Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
|
|
- Ναβαδίας Βαρουξής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα
2 3. Εισαγωγή στη πολυωνυμική παρεμβολή Έστω ότι από μετρήσεις ή/και υπολογισμούς δίδονται οι τιμές 0 i f με i 0,,...,. και οι αντίστοιχες διακριτές τιμές i Σημειώνεται ότι ενώ τα αναλυτική μορφή της συνάρτησης ζευγάρια τιμών f είναι άγνωστη. f f είναι γνωστά η i i i Ο σκοπός της αριθμητικής πολυωνυμικής παρεμβολής είναι η εύρεση συνάρτησης g f f f. g έτσι ώστε και που θα προσεγγίζει την άγνωστη i i i i Για ζευγάρια τιμών η συνάρτηση g επιλέγεται να είναι ένα πολυώνυμο βαθμού της μορφής P a a a a και επομένως θα πρέπει 0 P i f i fi με i 0,,...,. Επομένως θα πρέπει να ισχύουν οι εξής σχέσεις:
3 P a a a a f P a a a a f 0 P a a a a f i i i i 0 i P a a a a f 0 ή a f a f a i i i i fi a f Επομένως, οι συντελεστές του πολυώνυμου P προκύπτουν από τη λύση του παραπάνω συστήματος που είναι στη μορφή Xa f. Αποδεικνύεται ότι: det X i i 3
4 Επομένως, ο πίνακας X είναι αντιστρέψιμος και η λύση του συστήματος είναι μοναδική όπως και το πολυώνυμο παρεμβολής P!! Έχοντας την αναλυτική μορφή του πολυωνύμου η τιμή της συνάρτησης f,. 0 P υπολογίζεται προσεγγιστικά Είναι γνωστό ότι για μεγάλο αριθμό δεδομένων, κάτι που είναι συνηθισμένο, η επίλυση του συστήματος Xa f είναι αριθμητικά επίπονη λόγω του δείκτη κατάστασης του πίνακα X. Αναζητούμε τεχνικές που να εξάγουν το πολυώνυμο παρεμβολής P έτσι ώστε P i fi χωρίς να είναι αναγκαία η επίλυση γραμμικού συστήματος (π.χ. παρεμβολές Newto και Lagrage). 4
5 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Newto Το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής P γράφεται στη μορφή P b b b b Οι άγνωστοι συντελεστές b i, i 0,,...,, προκύπτουν ως εξής: 0 : P 0 b0 f0 : P b0 b0 f : i P b b b f P b b b b f : i 0 i 0 i 0 i i i 0 i i i i : P b b b b f
6 Σχετικά εύκολα αποδεικνύεται ότι b f 0 0 b f f0 0 0 b f f f 0 b f f f
7 Παράδειγμα: Δίδονται τα δεδομένα f0 f 0, f f, f f βρεθεί με τη μέθοδο Newto το πολυώνυμο παρεμβολής ης τάξης 4 και να P a a a. 0 b 0 f0 b f f b Επομένως: Pb0 b0b00 0 P 7
8 3.. Παρεμβολή Lagrage Το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής P γράφεται στη μορφή P L f, όπου L i i i0 i 0i i i i 0 i i i i i i 0 Όταν i i 0 i i i i i η ποσότητα Li Lii. i 0 i i i i i Όταν i η ποσότητα τότε το θα είναι ίσο με ένα από τα, 0 i i L. και επομένως 0 i 8
9 Επομένως L για i i και 0 L για i. P L f L f L f L f L f i i 0 0 i i i0 Με βάση τα παραπάνω ισχύει ότι: P L f L f L f L f f i 0 i 0 0 P L f L f L f L f f 0 0 i i P L f L f L f L f f i 0 i 0 i i i i i i P L f L f L f L f f 0 0 i i i Επομένως το προκύπτον πολυώνυμο P ικανοποιεί τις σχέσεις που P f. i i 9
10 f, f f, f f Παράδειγμα: Δίδονται τα δεδομένα f0 0 4 και να βρεθεί με τη μέθοδο Lagrage το πολυώνυμο παρεμβολής ης τάξης P L f L f L f L L L 0 P f f f 0 P 0
11 Έστω Παράδειγμα: Επιλέξτε αυθαίρετα µία συνάρτηση f ( ) και τέσσερα i, f( i). Στη συνέχεια, µε βάση τα επιλεγμένα ζευγάρια τιμών, βρείτε το πολυώνυμο παρεμβολής, 3 ης τάξης, εφαρμόζοντας παρεμβολή α) Lagrage και β) Newto. f 3 ( ) και τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών 0, 5,,7, 5,90, 9,46 α) Παρεμβολή Lagrage P( ) f ( ) L ( ) f ( ) L ( ) f ( ) L ( ) f ( ) L ( ) L L 0 ( ) ( ) P f ( ) ( ) 3,, L ( ) L ( ) β) Παρεμβολή Newto: Θα δώσει ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα.
12 Γραφική παράσταση της f ( ) με τα σημεία παρεμβολής και του πολυωνύμου P( ) που 3 προέκυψε με τις παρεμβολές Lagrage και Newto. Σημειώνεται ότι στη περίπτωση αυτή λόγω της μοναδικότητας του πολυωνύμου παρεμβολής f P( ). 3
13 3.3 Μέθοδος κυβικών splies Αρχικά η μέθοδος περιγράφεται για την ειδική περίπτωση των 4 ( 3) σημείων και στη συνέχεια γενικεύεται για σημεία. Έστω τα δεδομένα:,f 0 0,,f,,f,,f 3 3 Σε κάθε διάστημα,, 03,,, βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης: S a b c d, 0,, (συνολικά άγνωστοι) έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής: 3 Συνθήκη Α: S f, S f S, S f S, Συνθήκη Β: S S, S S 0 Συνθήκη Γ: S S, S S 0 Θέτουμε αυθαίρετα (για να κλείσουμε το σύστημα): S, S S f 3 3 3
14 Ορίζουμε τις ποσότητες y S, y S S, y S S, y S και h0 0, h, h 3, f0 f f0, f f f, f f3 f S είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S Αφού τα πολυώνυμα ης τάξης και επιλέγουμε να τα γράψουμε στη μορφή: S y y 3 3 θα είναι πολυώνυμα 0 3, S y y, S y y 0 0 h0 h0 h h 3 h h Με τη συγκεκριμένη επιλογή ικανοποιείται αυτόματα η συνθήκη Γ. y 3 y 3 S c d, 0,,. 6h 6h Ολοκληρώνουμε δύο φορές: Βρίσκουμε τους άγνωστους συντελεστές c και d ικανοποιώντας τη συνθήκη Α. 4
15 y y S c d 0 3 3, S f h0 6h0 y y S c d S f 3 3, S f 6h 6h y y S c d 0 S f 3 3, S f 3 6h 6h S f 3 3 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές c και d και προκύπτει: y 0 3 y 3 f yh 0 f0 y 0h 0 S h0 6h0 h0 6 h0 6 '' '' '' '' y y f y h f y h S 6h 6h h 6 h '' '' '' '' y y f y h f y h S 3 3 6h 6h h 6 h
16 S,S,S : y y f h S y y Η συνθήκη Β δεν έχει ακόμη εφαρμοστεί. Επομένως παραγωγίζουμε τα h0 h0 h0 6 y y f h S y y h h h 6 y y f h S y y h h h 6 Εφαρμόζεται η συνθήκη Β, δηλαδή S S, S S Προκύπτουν τα y και 0 f 0 6 h 0 h h y h y 0 : f h f f hy hh y6 h h S,S,S. y τα οποία αντικαθιστούμε στις εκφράσεις για τα 0 6
17 Παράδειγμα: Να εφαρμοστεί η μέθοδος των κυβικών splies, στον παρακάτω πίνακα 0.5 f '0.5: δεδομένων ώστε να εκτιμηθούν οι τιμές των f και i f i Οι όροι h είναι: h0 0 0., h 0., h 3 0. Οι όροι Δf είναι: f0 f f , f f f 0.906, f f3 f 0.48 f f0 h0 h h y h h 0 Τριδιαγώνιο σύστημα ( y 0 y 3 0): 6 h h h y f f h h y y y 5.39 και y
18 Τα πολυώνυμα τα οποία αντιστοιχούν στα τρία υποδιαστήματα είναι: 3 S S S Για τον υπολογισμό της τιμής στο 0.5 αντιστοιχεί στο διάστημα [0., 0.3]. Τότε S και επιλεγούμε το πολυώνυμο S S , το οποίο 8
19 Γραφική απεικόνιση των πολυωνύμων παρεμβολής με κυβικές Splies. 9
20 Γενίκευση: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με 0,,,...,. Για κάθε διάστημα, βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S, 0,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S f Συνθήκη Β: S S Συνθήκη Γ: S S, S f S,,...,,,...,,,..., Ορίζουμε τις ποσότητες y S Αφού τα πολυώνυμα, S f,,..., ; h, f f f, 0,..., S είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S ης τάξης και επιλέγουμε να τα γράψουμε στη μορφή θα είναι πολυώνυμα 0
21 S y y, 0,..., h h Με τη συγκεκριμένη επιλογή ικανοποιείται αυτόματα η συνθήκη Γ. Ολοκληρώνουμε δύο φορές και βρίσκουμε y 3 y 3 S c d 6h 6h S f Εφαρμόζοντας τη συνθήκη Α δηλαδή S f και f h c y y h 6 S f βρίσκουμε και d y y f f h h 6
22 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές c και d : y y f y h f yh S 6h 6h h 6 h Επομένως η μορφή των S που έχουν προκύψει έως τώρα ικανοποιεί τις συνθήκες Α και Γ. Βρίσκουμε τις ποσότητες y που παραμένουν ακόμα άγνωστες έτσι ώστε να ικανοποιείται και η συνθήκη Β. Παραγωγίζουμε μία φορά και έχουμε y y f h S y y h h h 6 Για να εφαρμόσουμε τη συνθήκη Β γράφουμε και την αντίστοιχη έκφραση y y f h S y y h h h 6
23 Εξισώνουμε τις δύο εκφράσεις και μετά από κάποια επεξεργασία έχουμε το σύστημα f h f h yh y y yh y y h 3 h 3 που το ξαναγράφουμε στη μορφή τριδιαγωνίου συστήματος f f h y h h y hy 6 h h Για να κλείσει το σύστημα θέτουμε S S Από την επίλυση του συστήματος προκύπτουν τα αντικαθίστανται στις εκφράσεις πολυώνυμα παρεμβολής 3 ου βαθμού. y,,..., τα οποία S, 0,..., και προκύπτουν τα ζητούμενα 3
24 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f i i με i,,...,. Ορίζουμε τις διαφορές di fi Pmi m P a a... a το ζητούμενο πολυώνυμο παρεμβολής που προκύπτει όπου m 0 ελαχιστοποιώντας την ποσότητα m m i i m i i 0 i m i S d f P f a a... a i i i Αυτό επιτυγχάνεται θέτοντας τις παραγώγους του S ως προς τους συντελεστές a m ίσες με το μηδέν και επιλύοντας το προκύπτον γραμμικό σύστημα. S m m 0 fi a0 a i... ami 0 a0 a i... ami fi a0 i i i S 0 m fi a0 a i... ami i m 0 a0 a i... ami i fii a i i i S m m 0 fi a0 a i... ami i 0a0 a... a f a m i m m m i m i i i i i i 4
25 Το σύστημα των m εξισώσεων ξαναγράφεται στη μορφή 3 m 0 i i i 3... i m i i i i i i 3 m a i 0 i a i a... i am i fi i i i i i 3 4 m i a0 i a i a... i am i fi i i i i i a a a a a f... m m m m m i a0 i a i a... i am i fi i i i i i Η μέθοδος συνήθως εφαρμόζεται για m. 5
26 Επίσης εναλλακτικά το σύστημα γράφεται στη μορφή Aa F ή m i i... i a0 fi i i i i 3 m i i i... i a i fi i i i i i m m m m i i i... i a m i fi i i i i i Αποδεικνύεται ότι η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών A είναι διάφορη του μηδενός και επομένως η λύση του συστήματος είναι μοναδική. 6
27 Επίσης, με βάση την θεωρία εύρεσης ελαχίστου μεγίστου συναρτήσεων πολλών μεταβλητών αποδεικνύεται ότι θέτοντας της πρώτες παραγώγους S / a i 0 ελαχιστοποιείται η συνάρτηση S. Απαιτείται ο υπολογισμός εσσιανού πίνακα τα στοιχεία είναι οι μερικές παράγωγοι: S, i,,...,. a i a Εύκολα προκύπτει ότι a i S a A i όπου A i τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A. 7
28 3 Παράδειγμα: Με βάση τη συνάρτηση f ( ) επιλέξτε δέκα ζευγάρια σημείων i, f ( i) και εφαρμόστε παρεμβολή µε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων μηδενικής, πρώτης και δεύτερης τάξης. Επιλέγονται τα εξής 0 ζεύγη τιμών: {-, -4}, {0, -5}, {.5, }, {.3,.66}, {3., 38.5}, {4.5, 34.5}, {5.8, 307.5}, {6., 38.4}, {7.9, 85.45}, {8.4, 00.33} 8
29 α) Πολυώνυμο μηδενικού βαθμού: P0( ) a0, 0 0 0a fi, P( ) i y Γραφική παράσταση του πολυωνύμου 0 ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα. 9
30 β) Πολυώνυμο πρώτου βαθμού: P( ) a0 a 0 0 a a f 0 0 i i i i i i i i i i i y a a f 000 P ( ) Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα. 30
31 γ) Πολυώνυμο δεύτερου βαθμού: P( ) a a a a0 a i ai fi i i i a0i ai ai i fi i i i i a0i ai ai i fi i i i i a b c a0 a = a b = a c = P ( )
32 y Γραφική παράσταση του πολυωνύμου ου βαθμού (μπλε γραμμή) με ελάχιστα τετράγωνα. 3
33 Παράδειγμα: Να εφαρμοσθεί η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων στον πίνακα δεδομένων: i f Επιλέγοντας πολυώνυμο ου βαθμού προκύπτει το σύστημα i 0 i i i i i i 3 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a f a a a f a a a f Επιλύεται το σύστημα και προκύπτουν οι συντελεστές a 0, a, P a. Το πολυώνυμο παρεμβολής είναι 33
34 Επιλέγοντας πολυώνυμο 3 ου βαθμού προκύπτει το σύστημα 3 0 i i i 3 i i i i i a a a a f 3 4 a i 0 i a i a i a3 i fi i i i i i i a0 i a i a i a3 i fi i i i i i i a0 i ai a i a3 i fi i i i i i P Η συνάρτηση παρεμβολής είναι 3 34
35 Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με πολυώνυμο ου (αριστερά) και 3 ου (δεξιά) βαθμού. 35
36 Εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων σε διαστάσεις: Παράδειγμα: Δίδεται ο πίνακας δεδομένων: y Ζητείται το πολυώνυμο παρεμβολής y a0 a a με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Ελαχιστοποιείται η ποσότητα S d f a a a i i 0 i i i0 i0 36
37 Πρέπει να επιλυθεί το γραμμικό σύστημα: S 0 S 0 S a0 a a 0 Μετά τη εύρεση των παραγώγων το σύστημα ξαναγράφεται στη μορφή i i yi i i i a 0 i i i i a iy i i i i i a i ii i iyi i i i i 9 9 9a a a 54 Επιλύεται το σύστημα και προκύπτουν οι άγνωστοι συντελεστές: a 7, a 85, a
38 85 7 y, 6 3 Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με πολυώνυμο ου βαθμού σε δύο διαστάσεις. 38
39 Παράδειγμα: Παρεμβολή ελαχίστων τετραγώνων με εκθετικές συναρτήσεις βάσεις Με βάση τον παρακάτω πίνακα δεδομένων βρείτε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων τους συντελεστές της συνάρτησης παρεμβολής f c ce i y i i i 0 y i i c0 ce i c0 i S y c ce 5 S S 0 i i yi c0 ce e 0 c i 5 i i 5 5 c e c y 0 i i i i i e c0 e c yie i i i 5c 79.6c c 49.9c c 0 c Γενίκευση: (αποδεικνύεται ότι η επιλογή των 0 f c e c είναι μοναδική). 39
40 Παράδειγμα: Τυπικά αποτελέσματα αριθμητικής παρεμβολής της συνάρτησης 3 f ( ) si 3 e ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òò ò ò ò Newto ad Lagrage Cubic splies Least square methods 40
41 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα Εφαρμόζεται η μεθοδολογία των ελαχίστων τετραγώνων όπου οι συναρτήσεις βάσης είναι ορθογώνια πολυώνυμα (όχι μονώνυμα) και ΔΕΝ απαιτείται επίλυση αλγεβρικού συστήματος. Έστω ότι προσεγγίζεται µία συνάρτηση f a, b μορφής: m f c 0 όπου οι συναρτήσεις βάσεις b w kd 0, k a µε ένα γραμμικό συνδυασμό της είναι ορθογώνια πολυώνυμα στο, b και ab, δηλαδή w k d dk, k a 4
42 Legedre P0, P P : ορθογώνια στο διάστημα [,] P P d m 0, m Laguerre L0, 0, P 3 με συνάρτηση βαρύτητας w., P P P και P P d m, m L : ορθογώνια στο διάστημα 0, με συνάρτηση βαρύτητας w e L e L Lm d 0, m., L, L L L 4 και 0 e L Lm d, m! 4
43 Chebyshev T0, T : ορθογώνια στο διάστημα [,] T με συνάρτηση βαρύτητας w /, T, T T T 0 m T T d, m Hermite H0, m T T d, m 0 m T T d, m 0 και H : ορθογώνια στο διάστημα, H με συνάρτηση βαρύτητας, H, H H H 4 e H Hm d 0, m και. w e. e H Hm d!, m 43
44 Ορίζεται τα υπόλοιπα r f c m, m. 0 Στη συνέχεια ελαχιστοποιείται η ποσότητα S wr d όπου συναρτήσεις βαρύτητας. Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση του S είναι b b m S wr d wf c d ck ck c a k a 0 b a w οι αντίστοιχες b w f c d k a c k 0 m b m w f c d0, 0 k m a 0 οι οποίες οδηγούν στο γραμμικό σύστημα 44
45 b a m 0 k k a b w c d w f d, 0 k m ή b cw kd wk f d, 0 k m 0 a a Το σύστημα είναι στη μορφή A b b και επιλύεται για τους άγνωστους συντελεστές c. b k, k a Εφαρμόζοντας τις σχέσεις ορθογωνιότητας w d 0 ανάγεται σε διαγώνιο πίνακα και οι συντελεστές προκύπτουν από τις σχέσεις, ο πίνακας A 45
46 c k b w k f d b a w b k f d d k a w d a k k i k i i d k w f, 0 k m i0 Παράδειγμα: Προσεγγίζεται με ορθογώνια πολυώνυμα Legedre στο διάστημα [,] η 3 συνάρτηση f ( ) si 3 e f ( ) c P( ) c P( ) r f c P c P Έστω 0 0, m όπου S w f c P c P d w. 46
47 Αναγκαίες συνθήκες για την ελαχιστοποίηση του S είναι S c S c 0 0 r d f c0p0 cp d S c c c c f c0p0 cp d c P c P P d f P d f c P c P P d0 0 c P P d c P P d f P d c wp f i0 i 0 i i 47
48 S r d f c0p0 cp d c c c c f c0p0 cp d 0 0 f c P c P P d0 c P c P P d f P d 0 0 c P P d c P P d f P d c wp f i0 i i i Αριθμητικά αποτελέσματα θα πάρουμε αφού εξετάσουμε το κεφάλαιο της αριθμητικής ολοκλήρωσης 48
49 Αποτελέσματα αριθμητικής παρεμβολής με ορθογώνια πολυώνυμα Legedre 3 με 7 και m 4 της συνάρτησης f ( ) si στο διάστημα [,] : 3 e ò ò ò ò ò ò ò ( ) 0 0( ) ( ) ( ) 3 3( ) 4 4( ) f c P c P c P c P c P
50 Ασκήσεις:. Με βάση τα σημεία 0, /3, /3 και 3 5 εφαρμόστε κυβικές splies και βρείτε τα πολυώνυμα S, 0,, S S.. Έστω η συνάρτηση f i i με την υπόθεση ότι και τις αντίστοιχες τιμές f, i 0,,,3 i. Μια εναλλακτική στρατηγική στη μέθοδο των κυβικών splies είναι να χρησιμοποιούνται στα πρώτα δύο υποδιαστήματα 0 και στα δύο τελευταία υποδιαστήματα μόνο από ένα πολυώνυμο 3 ης τάξης. Με βάση αυτή τη προσέγγιση διατυπώστε την ελαφρά τροποποιημένη μαθηματική επεξεργασία ώστε να προκύψει το σύστημα των εξισώσεων για τον υπολογισμό των άγνωστων συντελεστών των πολυωνύμων 3 ης τάξης. 3. Έστω τα δεδομένα,,...,, yaf bg όπου f και y y. Διατυπώστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για την εύρεση της συνάρτησης παρεμβολής g είναι γνωστές συναρτήσεις. 4. Ένα εικονικό πείραμα παράγει τα εξής τέσσερα ζεύγη δεδομένων y Να εκτιμηθεί η τιμή της y στο σημείο =0 με i) παρεμβολή Lagrage και ii) παρεμβολή κυβικών splies. 50
51 ,,. Με βάση τα σημεία 0, 0, και τις αντίστοιχες τιμές f0, f 0, f εφαρμόστε παρεμβολή Lagrage και παρεμβολή κυβικών splies και βρείτε τα πολυώνυμα παρεμβολής. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 5. Έστω η συνάρτηση f si Λαμβάνοντας υπόψη ότι f f 0 (επιπλέον δεδομένα) εφαρμόστε τη μέθοδο παρεμβολής κυβικών splies ελαφρώς τροποποιημένη και βρείτε τα πολυώνυμα παρεμβολής. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας ως προς τη σημαντικότητα των επιπλέον δεδομένων. Προτείνετε επιγραμματικά τρόπους βελτίωσης των παραπάνω αποτελεσμάτων Το ιξώδες του νερού ( 0 Ns/m ) σε διάφορες θερμοκρασίες T ( o C) δίδεται στον παρακάτω πίνακα: T Εφαρμόστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και βρείτε ένα γραμμικό πολυώνυμο παρεμβολής της μορφής: T at b 7. Ο πληθυσμός μιας μικρής κοινότητας έχει αυξηθεί ραγδαία τα τελευταία 0 χρόνια σύμφωνα με τα εξής δεδομένα: t p Εφαρμόστε ένα εκθετικό μοντέλο παρεμβολής και εκτιμήστε τον πληθυσμό της κοινότητας μετά από 5 έτη ( t 5). 5
52 8. Θεωρείστε το εξής πρόβλημα παρεμβολής: Έστω ότι 0,,..., είναι διακριτοί πραγματικοί αριθμοί και y0, y,..., y τα αντίστοιχα δεδομένα. Η συνάρτηση παρεμβολής είναι f ce 0 έτσι ώστε f i yi, i 0,,...,. Αποδείξτε ότι η επιλογή των c0, c,..., c είναι μοναδική. Στη συνέχεια με βάση τον πίνακα δεδομένων i y i βρείτε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων τους συντελεστές της συνάρτησης παρεμβολής f c ce 0 9. Να βρεθούν με τη μέθοδο των κυβικών splies για τα δεδομένα f οι τιμές παρεμβολής της 0. Δίδεται ο πίνακας δεδομένων: f στα σημεία, 7 και 7. Σχολιάστε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων y Βρείτε το πολυώνυμο παρεμβολής y a0 a a με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων 5
Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραx,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα
Μέθοδος κυβικών sples: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με,,,...,,. Για κάθε διάστημα βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S,,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S f, S f S Συνθήκη
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. x x
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, --, ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ Βαρούτης Ποια είναι η γενική μορφή των πολυωνύμων παρεμβολής των μεθόδων Newto και grge; Τα πολυώνυμα παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 4: Ολοκλήρωση. 4.1 Εισαγωγή
Κεφ. 4: Ολοκλήρωση 4. Εισαγωγή 4. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 4.. Κανόνας τραπεζίου 4.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Simpso 4.. Πολλαπλά ολοκληρώματα 4. Ολοκλήρωση Gauss 4.. Πολυώνυμα Legedre, Chebyshev,
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή
Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5..
Διαβάστε περισσότεραf x και τέσσερα ζευγάρια σημείων
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 5: Ολοκλήρωση. 5.1 Εισαγωγή
Κεφ. 5: Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή 5. Εξισώσεις ολοκλήρωσης Newto Cotes 5.. Κανόνας τραπεζίου 5.. Πρώτος και δεύτερος κανόνας Smpso 5.. Παραδείγματα (απλά και πολλαπλά ολοκληρώματα) 5. Ολοκλήρωση Gauss 5..
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραInterpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1
Iterpolatio () Τρίτη, 3 Μαρτίου 05 9:46 πμ 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 3 05.03.03 Σελίδα 4 05.03.03 Σελίδα 5 05.03.03 Σελίδα 6 05.03.03 Σελίδα 7 05.03.03 Σελίδα 8 05.03.03 Σελίδα 9
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης
Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση Να γίνει σύγκριση των μεθόδων παρεμβολής Newton και agrange: Απάντηση: Παρεμβολή Newton: N ( ) ( )( ) ( ) P a a a a () N Παρεμβολή agrange:
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών
Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas)..
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Επιλέξτε αυθαίρετα µία συνάρτηση ( x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ( x, ( x, έτσι ώστε τα σημεία x να μην
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas..
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους
Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραΑν θεωρήσουμε την ^5h εξίσωση ως προς x και εκτελέσουμε τις πράξεις προκύπτει:
Οι προσεγγίσεις στον νόμο αραιώσεως του Ostld Η μελέτη των προσεγγίσεων προϋποθέτει τη μελέτη χωρίς προσεγγίσεις. Από μαθηματικής σκοπιάς είτε έχουμε διάλυμα ασθενούς οξέος είτε διάλυμα ασθενούς βάσης
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΣυµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΗ ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς.
569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Παρεμβολή ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Παρεµβολή Παρεµβολή interpoltion είναι η διαδικασία µε την οποία βρίσκεται µία
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΟι συναρτήσεις που θα διαπραγματευτούμε θεωρούνται ότι είναι ολοκληρώσιμες με την έννοια που καθόρισε ο Riemann. Η συνάρτηση
. Αριθμητική ολοκλήρωση Η αριθμητική ολοκλήρωση αφορά την εύρεση της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος. Η αρχή αυτής της προσπάθειας ανάγεται στην αρχαιότητα και ένα παράδειγμα είναι ο διαμερισμός (quadrature)
Διαβάστε περισσότερα3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;
3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού; Βασικό! Το να έχεις τον άγνωστο x με εκθέτη 2 εξ αρχής στην εξίσωση, δεν είναι σίγουρο ότι θα δώσει εξίσωση δευτέρου βαθμού! Αυτό θα προκύψει μετά την εκτέλεση
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Κοινό κριτήριο επιλογής µεταξύ εναλλακτικών τρόπων παραγωγής είναι η µεγιστοποίηση (κέρδος ήηελαχιστοποίηση (κόστος κάποιου µεγέθους. Αυτά τα προβλήµατα µεγιστοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότερανα είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
Διαβάστε περισσότερα7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων)
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (για την προσαρμογή (ή λείανση) δεδομένων/μετρήσεων) Στην πράξη, για πολύ σημαντικές εφαρμογές, γίνονται μετρήσεις τιμών μιας ποσότητας σε μια κλινική, για μια σφυγμομέτρηση,
Διαβάστε περισσότεραΚ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές
Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0: Εισαγωγή
Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Γραμμική Άλγεβρα Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών
Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 7
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 7 Πάτρα 2008 Τοποθέτηση Επιλογή πόλων Θεωρούμε ένα (Σ)
Διαβάστε περισσότεραΣυνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραAριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου
Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότερα5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.
69: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Ολοκληρώματα ttp://ecourses.cemeng.ntu.gr/courses/computtionl_metods_or_engineers/ Αριθμητική Ολοκλήρωση συναρτήσεων Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για τον
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Διαβάστε περισσότερα1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες
Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια
Διαβάστε περισσότερα,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Διαβάστε περισσότεραf(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΟλοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,
. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης. την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και β) για τη παράγωγο f
Παράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση 1 Με βάση τη σειρά Taylor να βρεθεί α) για τη παράγωγο την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης και β) για τη παράγωγο την
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.
Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη
Διαβάστε περισσότεραΠαρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
Διαβάστε περισσότεραΜέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8
Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΟΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θεωρούμε τη γενιϰή ομογενή γραμμιϰή διαφοριϰή εξίσωση τάξης n N στην ϰανονιϰή μορφή της
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΌριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
Διαβάστε περισσότεραΕλαχιστοποίηση του Κόστους
Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών: () Επιτρέπει τη διατύπωση μιας θεωρίας
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΥποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις.
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Στα υποδείγματα με πολυωνυμικά κατανεμημένες διαχρονικές επιδράσεις υποθέτουμε
Διαβάστε περισσότερα(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0
Τρόποι Κατασκευής Εάν οι ιδιοσυναρτήσεις του διαφορικού τελεστή L αποτελούν ένα ορθοκανονικό L ( ) ( ) (7) και πλήρες σύστημα συναρτήσεων ( ) m( ), m (8) και εάν τότε η εξίσωση Gree ( ) ( ) ( ) (9) z ()
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το
Διαβάστε περισσότερα