A Εάν το «κύκλωμα» μέσα από το οποίο μεταβάλλεται η μαγνητική ροή έχει Ν όμοιες σπείρες τότε: ε

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό 3 ο Εξαμήνο) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 8: Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή Αντιστοιχεί στα Κεφάλαια (α) Η.9 και Η.10 των Serwy/Jewett, (β) 36 και 38 των Hllidy / esnick / Krne και (γ) 9 και 30 των Young / Freedmn Τα προβλήματα παρατίθενται με τη σειρά πο διδάχθηκε η ύλη και με αύξοσα σειρά δσκολίας ανά κατηγορία.η ένδειξη ποδηλώνει λίγο πιο δύσκολο πρόβλημα. Οι φοιτητές μετά την παρακολούθηση και τη μελέτη των λμένων Παραδειγμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση να διαπραγματετούν και ατά τα προβλήματα. Η ένδειξη ποδηλώνει απαιτητικό πρόβλημα.η ένδειξη!! ποδηλώνει πρόβλημα πο πρέπει να αντιμετωπισθεί απαραίτητα. Ι. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Γενική Υπόδειξη: Η εξ επαγωγής ΗΕΔ πολογίζεται πάντα από την έκφραση : BA i, ομογενές μαγνητικό πεδίο dφ ε = (1) όπο Φ= i () dt BdA, ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο A Εάν το «κύκλωμα» μέσα από το οποίο μεταβάλλεται η μαγνητική ροή έχει Ν όμοιες σπείρες τότε: dφ ε = N (3) dt Το πρόσημο της ροής εξαρτάται από το πως θα πάρομε το μοναδιαίο διάνσμα της επιφάνειας μέσα από την οποία μεταβάλλεται η μαγνητική ροή (προς τα «έξω» ή προς τα «μέσα»). Ατό είναι αποκλειστικά στη διακριτική μας εχέρεια. Το πρόσημο της ροής θα δηλώνει απλά ότι, σύμφωνα με τη σύμβαση πο κάναμε, η ροή θα είναι εισερχόμενη ή εξερχόμενη στην ανοικτή επιφάνεια πο μελετούμε. Το πρόσημο της εξ επαγωγής ΗΕΔ εξαρτάται, μετά την εφαρμογή της σχέσης (1), από το πρόσημο της ροής. Στην πράξη όμως δεν μας ενδιαφέρει γιατί την πολικότητά της μπορούμε απλά να την πολογίσομε από τον κανόνα το enz με βάση την φορά πο πρέπει να έχει το επαγωγικό ρεύμα ώστε να αναιρέσει την επιφερόμενη μεταβολή της μαγνητικής ροής [ατό ποδηλώνει το της σχέσης (1)].Για τον λόγο ατό αναφέρομε πάντα την απόλτη τιμή της ΗΕΔ και δείχνομε στο Σχήμα την πολικότητά της ή τη φορά το επαγωγικού ρεύματος. Εάν μια εξ επαγωγής ΗΕΔ είναι μέρος ενός κλειστού κκλώματος την αναπαριστούμε ή την φανταζόμαστε σαν μια πηγή ΗΕΔ ε και πολικότητας πο προκύπτει πάντα από την απαιτούμενη φορά το επαγωγικού ρεύματος.την χειριζόμαστε δε κατά την εφαρμογή το ο Κανόνα το Kirchhoff σε έναν κλειστό βρόγχο σύμφωνα με τις γνωστές σμβάσεις ανάλογα με το εάν διαγράφοντας τον βρόγχο σναντούμε τον θετικό ή τον αρνητικό πόλο της. I I ε ε Το επαγωγικό ρεύμα θα είναι : με φορά πο δίδεται από τον κανόνα το enz. ε + I = 0 ε I = 0 I ε dφ = dt dφ ε dt = = 1

2 (α) Εξ επαγωγής ΗΕΔ και ο Νόμος το Frdy!!Πρόβλημα 8.1 Ένας κκλικός αγώγιμος βρόγχος ακτίνας α και σνολικής αντίστασης, βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο η μαγνητική επαγωγή το οποίο έχει φορά προς το εσωτερικό της σελίδας και μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την έκφραση : B = B0 + bt, Β 0, b = σταθερές. (α) Να πολογισθεί η επαγόμενη ΗΕΔ στον βρόγχο. (β) Να πολογισθεί η φορά και η ένταση το επαγόμενο ρεύματος. (γ) Να πολογισθεί η ισχύς πο μετατρέπεται σε θερμότητα στην αντίσταση το βρόγχο. ( πbα ) πbα [Απ. (α) ε = πbα, (β) Ι =, (γ) P = ]!!Πρόβλημα 8. [Serwy Πρόβλημα 31.11] Ένα σωληνοειδές μεγάλο μήκος έχει αριθμό σπειρών ανά μονάδα μήκος n= 400 σπείρες / m και διερρέεται από ρεύμα εντάσεως Ι= I e ), Ι 0 = 30A και α = 1,6 s -1 ( 0 1 t με φορά πο φαίνεται στο Σχήμα. Μέσα στο σωληνοειδές και ομοαξονικά με ατό βρίσκεται ένα κκλικό σπείρωμα πο αποτελείται από Ν=50 κκλικούς βρόγχος ακτίνας = 6 cm.να πολογισθεί η εξ επαγωγής ΗΕΔ πο αναπτύσσεται στο σπείρωμα λόγω της μεταβολής το ρεύματος στο σωληνοειδές καθώς και η φορά το επαγόμενο ρεύματος. 1,6t [Απ. 68, e mv ]!!Πρόβλημα 8.3 Ένας σρμάτινος βρόγχος ακτίνας r = 50 cm και αμελητέας αντίστασης είναι σνδεδεμένος σε σειρά με αντίσταση =0Ω, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Ο βρόγχος (μόνο) βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδό της, η μαγνητική επαγωγή το οποίο έχει φορά προς το εξωτερικό της σελίδας και μεταβάλλεται σναρτήσει το χρόνο όπως στο Σχήμα. (α) Ποιά είναι η έκφραση της εξ επαγωγής αναπτσσόμενης ΗΕΔ στο κύκλωμα ; Για να την πολογίσετε πρέπει να εξάγετε την έκφραση της μαγνητικής επαγωγής σναρτήσει το χρόνο. (β) Να παρασταθεί γραφικά η εξ επαγωγής αναπτσσόμενη ΗΕΔ στο κύκλωμα σναρτήσει το χρόνο σε βαθμονομημένος άξονες ως προσημασμένο μέγεθος. (γ) Να παρασταθεί γραφικά το επαγωγικό ρεύμα πο διαρρέει την αντίσταση σναρτήσει το χρόνο σε βαθμονομημένος άξονες ως προσημασμένο μέγεθος με το πρόσημο να αντικατοπτρίζει τη φορά το.να ληφθεί ως θετική η φορά πο εικονίζεται στο Σχήμα.

3 (δ) Να παρασταθεί γραφικά ο ρθμός ανάπτξης θερμότητας στην αντίσταση σναρτήσει το χρόνο σε βαθμονομημένος άξονες. [Απ. (β) Τιμές της ΗΕΔ :1,96 V, 0V, 0,98V (γ) Τιμές το Ι :98 ma, 0 ma, 49 ma, (δ) Τιμές της P: 19 mw, 0 mw, 48 mw ]!!Πρόβλημα 8.4 [Serwy Προβλήματα και 31.34] Ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο περιορίζεται σε μια κκλική περιοχή το χώρο ακτίνας =,5cm, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Η φορά της μαγνητικής επαγωγής το είναι προς το εσωτερικό της σελίδας. (α) Εάν η μαγνητική επαγωγή το μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την έκφραση Β(t) = (0,03t + 1,4)T, όπο ο χρόνος μετράται σε sec, ποιό είναι το μέτρο και η κατεύθνση το επαγόμενο ηλεκτρικού πεδίο στο σημείο P 1 όπο r 1 =0,0 m τη χρονική στιγμή t = 3sec; (β) Εάν η μαγνητική επαγωγή το μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την έκφραση Β(t) = (t 3-4 t + 0,8)T, όπο ο χρόνος μετράται σε sec, ποιό είναι το μέτρο και η φορά της δύναμης πο δέχεται ένα ηλεκτρόνιο πο βρίσκεται στο σημείο P όπο r = 5cm τη χρονική στιγμή t = sec; Σε ποιά χρονική στιγμή η δύναμη μηδενίζεται ; [Απ. (α) 1,8x10-3 N/Cb, (β) 8x10-1 N, t = 1,33 sec]!!πρόβλημα 8.5 Ένα ιδανικό σωληνοειδές πηνίο μεγάλο μήκος και ακτίνας έχει αριθμό σπειρών ανά μονάδα μήκος n και διαρρέεται από ρεύμα, η ένταση το οποίο μεταβάλλεται με το χρόνο ως: I = I cos ωt 0 όπο I 0 και ω σταθερές. Να πολογισθεί η ένταση το επαγόμενο ηλεκτρικού πεδίο σναρτήσει της απόστασης r από τον άξονα το σωληνοειδούς στις περιπτώσεις : (i) r < και (ii) r >. μ0ni0ω μ0ni0ω [Απ. E = rs ωt, r <, E = s ωt, r > ] r I = I cos ωt 0 (β) Κινητική ΗΕΔ!!Πρόβλημα 8.6 [Serwy Πρόβλημα 31.53] Μία αγώγιμη ράβδος μήκος κινείται με σταθερή ταχύτητα στο μαγνητικό πεδίο ενός εθύγραμμο ρεματοφόρο αγωγού απείρο μήκος πο διαρρέεται από σνεχές ρεύμα σταθερής εντάσεως I, όπως στο Σχήμα. Να πολογισθεί το μέτρο και η πολικότητα της εξ επαγωγής ΗΕΔ πο αναπτύσσεται μεταξύ των άκρων της. Αντιμετωπίστε το πρόβλημα με τος δύο τρόπος πο αναπτύθχηκαν στο μάθημα (α) Ξεκινώντας από τη μικροσκοπική θεώρηση το φαινομένο και (β) Υπολογίζοντας την μεταβολή της μαγνητικής ροής μέσα από το νοητό εμβαδό πο «σαρώνει» η ράβδος κατά την κίνησή της. μ0 I [Απ. ε = ] π r 3

4 !!Πρόβλημα 8.7 [Serwy Πρόβλημα 31.63] Μία αγώγιμη ράβδος μήκος κινείται με σταθερή ταχύτητα στο μαγνητικό πεδίο ενός εθύγραμμο ρεματοφόρο αγωγού απείρο μήκος πο διαρρέεται από σνεχές ρεύμα σταθερής εντάσεως I, όπως στο Σχήμα. Να πολογισθεί το μέτρο και η πολικότητα της εξ επαγωγής ΗΕΔ πο αναπτύσσεται μεταξύ των άκρων της. Αντιμετωπίστε το πρόβλημα με τος δύο τρόπος πο αναπτύθχηκαν στο μάθημα (α) Ξεκινώντας από τη μικροσκοπική θεώρηση το φαινομένο και (β) Υπολογίζοντας την μεταβολή της μαγνητικής ροής μέσα από το νοητό εμβαδό πο «σαρώνει» η μ 0 I ράβδος κατά την κίνησή της. [Απ. ε = ln 1+ ] π r!!πρόβλημα 8.8 Εθύγραμμος αγωγός ΑΓ μήκος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω περί άξονα κάθετο σε ατόν πο διέρχεται από το σημείο Ο πο απέχει απόσταση x από το άκρο το Α, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Κατά την περιστροφή το ο αγωγός διαγράφει επιφάνεια κάθετη στις δναμικές γραμμές ομογενούς μαγνητικού πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Να αναλθεί το τι θα σμβεί κατά την περιστροφή το αγωγού και να πολογισθεί η διαφορά δναμικού μεταξύ των άκρων το αγωγού V ΑΓ. Ποιό είναι το κκλωματικό ισοδύναμό το ; [Απ. VA Γ = V A VΓ = Bω x ] A x O Β Γ ω!!πρόβλημα 8.9 Μία αγώγιμη ράβδος μήκος =35 cm και αμελητέας αντίστασης κινείται χωρίς τριβές με σταθερή ταχύτητα = 8 m/s πό την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης F ext επάνω σε δύο παράλληλος αγωγούς πο τα άκρα τος ενώνονται μέσω των αντιστάσεων 1 = Ω και = 5Ω, όπως στο Σχήμα. Η όλη διάταξη βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β =,5 Τ με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Να πολογισθούν : (α) Η τιμή και η πολικότητα της ΗΕΔ πο αναπτύσσεται μεταξύ των άκρων της ράβδο. (β) Οι φορές και οι εντάσεις των ρεμάτων πο διαρρέον τις αντιστάσεις 1 και. (γ) Η σνολική ισχύς πο καταναλώνεται στις αντιστάσεις 1 και. (δ) Η έκφραση της εξωτερικής δύναμης F ext πο απαιτείται για να κινείται η ράβδος με σταθερή ταχύτητα. (ε) Υπολογίστε την μηχανική ισχύ πο παρέχεται από την εξωτερική δύναμη και σγκρίνετε το αποτέλεσμα με ατό το σκέλος (γ). 1 1 [Απ. (α) ε = B = 7V, (β) Ι 1 =3,5 Α, Ι =1,4 Α, (γ) 34,3 W, (δ) Fext = B + = 4, 9N ] 1!!Πρόβλημα 8.10 Δύο παράλληλες εθύγραμμες μεταλλικές ράγες αμελητέας αντίστασης απέχον απόσταση = 10cm και σνδέονται μέσω αντίστασης = 5Ω,όπως στο Σχήμα. Δύο μεταλλικοί αγωγοί αντιστάσεων 1 =10Ω και =15Ω εφάπτονται και ολισθαίνον χωρίς τριβές με σταθερές ταχλτητες v 1 = 4 m/sec και v = m/sec επάνω στις ράγες απομακρνόμενοι από την αντίσταση. Όλη η διάταξη βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β = 0,01 Τ με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Να πολογισθεί η ένταση και η φορά το ρεύματος πο διαρρέει την αντίσταση. [Υπόδειξη : Θα χρησιμοποιήσετε τος κανόνες το Kirchhoff για τος κλειστούς βρόγχος το Σχήματος ] [Απ. 145 μα με φορά προς τα επάνω] 4

5 !!Πρόβλημα 8.11 Εθύγραμμος αγωγός ΚΛ αμελητέας αντίστασης, μήκος και μάζας m δύναται να ολισθαίνει χωρίς τριβή επάνω σε δύο μεγάλο μήκος οριζόντιες μεταλλικές ράγες αμελητέας επίσης αντίστασης πο τα δο άκρα τος ενώνονται με πκνωτή χωρητικότητας C, όπως στο Σχήμα. Η διάταξη βρίσκεται σε περιοχή κατακόρφο ομογενούς μαγνητικού πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Την χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να ασκείται στον αγωγό σταθερή οριζόντια δύναμη F. Να πολογισθεί η ταχύτητα το αγωγού (οσιαστικά η επιτάχνσή το α) και το φορτίο το πκνωτή σναρτήσει το χρόνο F CB F [Απ. α =, Q = t m+ CB m+ CB ]!! Πρόβλημα 8.11 Δύο αγώγιμα σύρματα Οx 1 και Οx με αντίσταση ανά μονάδα μήκος r = 0,01 Ω/cm ενώνονται ώστε να σχηματίζον γωνία φ=60 0, όπως στο Σχήμα. Εθύγραμμος αγωγός yy με αντίσταση ανά μονάδα μήκος r = 0,01 Ω/cm βρίσκεται τη χρονική στιγμή t=0 στην κορφή της γωνίας κάθετο στη διχοτόμο της.η όλη διάταξη βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β = 0,3Τ με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Ξαφνικά πό την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης F ο αγωγός αρχίζει να κινείται κατά την διεύθνση το x-άξονα παραμένοντας πάντα κάθετος στη διχοτόμο της γωνίας φ με σταθερή ταχύτητα = 1 m/ sec και ερισκόμενος πάντα σε επαφή με τα σύρματα Οx 1 και Οx.Τριβές δεν πάρχον. (α)να περιγραφεί τι σμβαίνει κατά την κίνηση το αγωγού. (β)να πολογισθεί και να παρασταθεί γραφικά η ένταση το επαγωγικού ρεύματος πο διαρρέει τον σχηματιζόμενο βρόγχο ΟΚΛ, όπο Κ και Λ τα σημεία επαφής το αγωγού με τα σύρματα. (γ)να πολογισθεί το μέτρο της απαιτούμενης εξωτερικής δύναμης F πο πρέπει να ασκείται στον αγωγό ώστε ατός να κινείται με σταθερή ταχύτητα. (δ)η ενέργεια πο μεταφέρεται στον αγωγό μέσω το έργο της εξωτερικής δύναμης F κατά το χρονικό διάστημα από t 1 =10 sec έως t =30 sec φ B B φ [Απ.(β) ε = B tn t, I =, (γ) F = tn t,(δ) Ο ρθμός 3r 3r μεταφοράς ενέργειας είναι P=F.Υπολογίστε γραφικά την ενέργεια. W = 8 3Joule]!! Πρόβλημα 8.1 Εθύγραμμος αγωγός αμελητέας αντίστασης, μήκος και μάζας m δύναται να ολισθαίνει χωρίς τριβή επάνω σε δύο μεγάλο μήκος κατακόρφες μεταλλικές ράγες αμελητέας επίσης αντίστασης πο στο επάνω μέρος τος ενώνονται με αντίσταση όπως στο Σχήμα. Η διάταξη βρίσκεται σε περιοχή οριζόντιο ομογενούς μαγνητικού πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Την χρονική στιγμή t = 0 ο αγωγός αφήνεται ελέθερος να ολισθήσει επάνω στις ράβδος. (α) Να περιγραφεί το τι θα γίνει κατά την κίνηση το αγωγού. (β) Να πολογισθεί η ταχύτητα το αγωγού σναρτήσει το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά. Ποιά οριακή ταχύτητα θα αποκτήσει ο αγωγός μετά από αρκετό χρόνο (t ) και γιατί ; (γ) Να πολογισθεί ο ρθμός μεταβολής της δναμικής ενέργειας το αγωγού, ο ρθμός μεταβολής της κινητικής το ενέργειας και ο ρθμός με τον οποίο ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα στην αντίσταση. Τι παρατηρείτε ; Τι παρατηρείτε στο όριο όπο t ; Θεωρείστε γνωστή την επιτάχνση της βαρύτητας g και αμελητέα την αντίσταση το αέρα. 5

6 mg [Απ.(β) () t = 1 e B B t m B B de t t κ mg = m m e e dt B du,(γ) dt ] m g = 1 e B B t m B mg t, P 1 m = e + e B B t m,!! Πρόβλημα 8.13 Εθύγραμμος αγωγός και αντίστασης 1, μήκος και μάζας m δύναται να ολισθαίνει χωρίς τριβή επάνω σε δύο μεγάλο μήκος παράλληλες μεταλλικές δοκούς επίσης αντίστασης πο στο κάτω μέρος τος ενώνονται με αντίσταση σχηματίχοντας το κλειστό βρόγχο αbκλα το Σχήματος. Το επίπεδο των δοκών σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντιο. Η διάταξη βρίσκεται σε περιοχή κατακόρφο ομογενούς μαγνητικού πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β με φορά πο εικονίζεται στο Σχήμα. Την χρονική στιγμή t = 0 ο αγωγός αφήνεται ελέθερος να ολισθήσει επάνω στις δοκούς. (α) Να περιγραφεί το τι θα γίνει κατά την κίνηση το αγωγού. (β) Να πολογισθεί η ταχύτητα το αγωγού σναρτήσει το χρόνο και να παρασταθεί γραφικά.ποιά οριακή ταχύτητα θα αποκτήσει ο αγωγός μετά από αρκετό χρόνο (t ) και γιατί ; (γ) Να πολογισθεί ο ρθμός μεταβολής της δναμικής ενέργειας το αγωγού, ο ρθμός μεταβολής της κινητικής το ενέργειας και ο ρθμός με τον οποίο ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα στην αντίσταση.τι παρατηρείτε;τι παρατηρείτε στο όριο όπο t ; Θεωρείστε γνωστή την επιτάχνση της βαρύτητας g και αμελητέα την αντίσταση το αέρα. Μερική Λύση - Υποδείξεις: (α+β) H κατάσταση αποδίδεται στα ακόλοθα Σχήματα (α) και (β). Η κίνηση της ράβδο περιγράφεται στο σύστημα αξόνων το Σχήματος (β), στο οποίο η μαγνητική επαγωγή το μαγνητικού πεδίο αναλύεται στις σνιστώσες: Bcos ϑiˆ και Bs ϑ( ˆj ) mg sϑ με ταχύτητα Η ράβδος κινείται πό της επίδραση της σνιστώσας το βάρος της κατά τον άξονα Χ = î, εκτελώντας αρχικά επιταχνόμενη κίνηση. Τα ηλεκτρόνια της ράβδο φίστανται δύναμη: i ( ) ˆ ( iˆ) = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ qe < 0 F = q ( ) s cos cos cos ( ˆ e B = q e i B ϑi + B ϑj ==== qeb ϑk F = qe B ϑ k) Έτσι τα ηλεκτρόνια σσσωρεύονται στο άκρο b της ράβδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα (α), και στα άκρα της εμφανίζεται επαγόμενη κινητική ΗΕΔ με τιμή: ε = B cosϑ και πολικότητα πο εικονίζεται στο Σχήμα (α). Παρατηρούμε ότι μόνο η κάθετη στην ταχύτητα σνιστώσα της μαγνητικής επαγωγής σμμετέχει στην ανάπτξή της. Το επαγόμενο ρεύμα έχει την φορά το Σχήματος (α) και η αναπτσσόμενη δύναμη plce στον αγωγό θα είναι ; F ˆ ( s ˆ cos ˆ) s ˆ = I B= I k B θi + B θ j = BI θ j BI cosθ î και εικονίζεται στο Σχήμα (β). 6

7 Στη ράβδο ασκείται και η σνισταμένη των αντιδράσεων των δοκών N πο εικονίζεται στο Σχήμα (β). Θα έχομε κατά σνέπεια: Στον άξονα Y: Σ F = 0 N mgcosϑ BI sθ =0 Y d Στον άξονα X: m = mgsϑ BI cosθ, όπο dt mg από όπο έχομε ότι: () t = 1 e B cos θ (γ) Γενικά θα έχομε ότι : = 1 + ( ) B cos 1 + sθ m ( + ) dek d 1 d = m = m, dt dt dt du d d dx = ( mgh) = ( mgxsϑ ) = mg sϑ = mgs ϑ, dt dt dt dt P I ( ) 1 θ t I ε B cosϑ = =

8 !! Πρόβλημα 8.15 Ένα τετράγωνο πλαίσιο πλεράς α διέρχεται με σταθερή ταχύτητα από μια περιοχή πλάτος όπο πάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο επαγωγής Β με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Η σνολική αντίσταση το πλαισίο είναι. Να πολογισθούν και να παρασταθούν γραφικά ως προσημασμένα μεγέθη σναρτήσει το χρόνο : (α) Η μαγνητική ροή πο διέρχεται από το πλαίσιο.θεωρείστε για διεκόλνση το μοναδιαίο διάνσμα της επιφάνειας το πλαισίο με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. (β) Η εξ επαγωγής ΗΕΔ πο αναπτύσσεται στο πλαίσιο. (γ) Η ένταση το επαγωγικού ρεύματος πο διαρρέει το πλαίσιο. (δ) Η δύναμη plce πο δέχεται το πλαίσιο. (ε) Ο ρθμός ανάπτξης θερμότητας στο πλαίσιο λόγω φαινομένο Joule. Να θεωρηθεί ως αρχή το χρόνο t = 0 η στιγμή κατά την οποία η δεξιά πλερά το πλαισίο βρίσκεται ακριβώς στην αριστερή πλερά το πεδίο. Υπόδειξη: Το σημείο πο θέλει προσοχή είναι η διάρκεια εξόδο το πλαισίο από το πεδίο.το x μετράται από την αρχή το πεδίο και κατά σνέπεια y = t [Απ. B t, 0 t (α) B, t Φ= + B + B B t, t + 0, t (β) B, 0 t 0, t ε = + B, t + 0, t (γ) I B, 0 t 0, t = B +, t + 0, t (δ) B, 0 t 0, t F = B +, t + 0, t (ε) B, 0 t 0, t P = B +, t + 0, t ] 8

9 ΙΙ. ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑ - ΣΕ ΣΕΙΡΑ ΣΤΟ ΣΥΝΕΧΕΣ ΡΕΥΜΑ Γενική Υπόδειξη: Εάν μια εξ ατεπαγωγής ΗΕΔ ενός πηνίο είναι μέρος ενός κλειστού κκλώματος την αναπαριστούμε ή την φανταζόμαστε σαν μια πηγή ΗΕΔ ε = di di dt = dt και πολικότητας πο προκύπτει πάντα από την απαιτούμενη φορά το επαγωγικού ρεύματος.την χειριζόμαστε δε κατά την εφαρμογή το ο Κανόνα το Kirchhoff σε έναν κλειστό βρόγχο σύμφωνα με τις ακόλοθες σμβάσεις ανάλογα με το εάν διαγράφοντας τον βρόγχο σναντούμε τον θετικό ή τον αρνητικό πόλο της. di di ε = = dt dt di di ε = = dt dt di di ε = = dt dt di di ε = = dt dt 9

10 !!Πρόβλημα 8.16 Θεωρείστε το τοροειδές πηνίο ορθογώνιας διατομής το Σχήματος με εσωτερική ακτίνα α και εξωτερική b. Eάν το ρεύμα πο το διαρρέει είναι τέτοιο ώστε το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό το να έχει τη φορά το Σχήματος, δείξτε ότι ο σντελεστής ατεπαγωγής το είναι : μ0nh b = ln π!!πρόβλημα 8.17 Νά αποδειχθεί ότι ο σντελεστής ατεπαγωγής ενός σστήματος δύο όμοιων παράλληλων εθύγραμμων αγωγών ακτίνας και πολύ μεγάλο μήκος (>>) [ώστε να μπορούν πρακτικά να θεωρηθούν ως απείρο μήκος] πο απέχον μεταξύ τος απόσταση α>> και διαρρέονται από αντίρροπα σνεχή ρεύματα εντάσεως Ι, όπως εικονίζεται στο Σχήμα, δίδεται από την έκφραση : μ0 μ0 = ln ln π π da Υπόδειξη: Υπολογίστε τη σνολική μαγνητική ροή πο διέρχεται από την επιφάνεια πο οριοθετείται από τος δύο αγωγούς αγνοώντας την ροή μέσα στούς ίδιος τος αγωγούς (είναι ασφαλής ατή η θεώρηση;).εκτός το χώρο πο οριοθετείται από ατούς το σνολικό μαγνητικό πεδίο είναι μηδέν (γιατί ;).!!Πρόβλημα 8.18 Στο κύκλωμα το Σχήματος ο διακόπτης έχει μείνει στη θέση α για αρκετό χρόνο ώστε το ρεύμα να βρίσκεται σε στάσιμη κατάσταση.ο διακόπτης μετακινείται τη χρονική στιγμή t = 0 στη θέση b.να πολογισθεί το ρεύμα πο διαρρέει το κύκλωμα μετά την μεταγωγή το διακόπτη και η ενέργεια πο καταναλίσκεται στις αντιστάσεις μέχρι το ρεύμα να μηδενισθεί. Δίδεται ότι = 50 Ω, = 4H και η ΗΕΔ της πηγής Ε = 100 V. 5t [Απ. I = e A, 8 J] 10

11 !!Πρόβλημα 8.19 Στο κύκλωμα το Σχήματος ο διακόπτης Δ1 κλείνει τη χρονική στιγμή t = 0. Μετά από χρόνο t = 4 ms ανοίγει ο διακόπτης Δ (πο πριν ήταν κλειστός). Να βρεθεί το ρεύμα πο διαρρέει το κύκλωμα για t < t και t > t. 500t I = 1 e A, t<t 1500 t t I = 0, ,06e A, t>t ] [Απ. ( ) ( )!! Πρόβλημα 8.0 Στο κύκλωμα το Σχήματος ο διακόπτης κλείνει την χρονική στιγμή t = 0.Να πολογισθούν τα ρεύματα πο διαρρέον τος κλάδος το κατά την μεταβατική κατάσταση σναρτήσει το χρόνο. Υπόδειξη: Ξεκινήστε με τον πολογισμό το Ι 3 καταστρώνοντας μία διαφορική εξίσωση πο περιέχει μόνον ατό και σταθερές. 10t 10t 10 I 1,5 0,5e t = A, I = 1+ 0,5e A, I = 0,5 1 e A ] [Απ. ( ) 1 3!!Πρόβλημα 8.1 Εθύγραμμος αγωγός ΚΛ μήκος =1m και αμελητέας αντίστασης κινείται με σταθερή ταχύτητα = 10 m/s πό την επίδραση εξωτερικής δύναμης πο το παρέχει ενέργεια με σταθερό ρθμό P ext = 10W ολισθαίνoντας χωρίς τριβή επάνω στις δύο μεγάλο μήκος οριζόντιες μεταλλικές ράγες Α 1 x 1 και Α x (αμελητέας επίσης αντίστασης), όπως στο Σχήμα. Η διάταξη βρίσκεται σε περιοχή κατακόρφο ομογενούς μαγνητικού πεδίο μαγνητικής επαγωγής Β=1T με φορά προς το εσωτερικό της σελίδας. Την χρονική στιγμή t = 0 πο ξεκινά η κίνηση το αγωγού ο πκνωτής χωρητικότητας C = mf είναι αφόρτιστος. Να πολογισθούν: (α) Η τελική ενέργεια το ηλεκτρικού πεδίο το πκνωτή και το μαγνητικού πεδίο το πηνίο. (β) Η αντίσταση και ο σντελεστής ατεπαγωγής το πηνίο. [Απ. (α) U = 0,1 J, U = 0,1J (β) = 10Ω, = 0,H] C 11

12 ΙΙΙ. ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ!! Πρόβλημα 8. Ένα μακρύ ιδανικό σωληνοειδές μήκος, αριθμού σπειρών Ν 1 και διατομής σπειρών Α διαρρέεται από σνεχές ρεύμα εντάσεως Ι 1. Το σωληνοειδές περιτλίγεται από ένα αραιότερο σπείρωμα αριθμού σπειρών Ν όπως φαίνεται στο Σχήμα. (α) Να αποδειχθεί ότι ο σντελεστής αμοιβαίας επαγωγής το σστήματος δίδεται από την έκφραση: 0NN 1 A M = μ θεωρώντας ότι όλη η ροή το μαγνητικού πεδίο το σωληνοειδούς διέρχεται από τις σπείρες το σπειρώματος (δεν έχομε δηλαδή κανενός είδος μαγνητική σκέδαση). (β) Εάν 1 και είναι οι σντελεστές ατεπαγωγής το σωληνοειδούς και το σπειρώματος να αποδειχθεί ότι : M = 1 1