β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Μονάδες 7 A. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 œa τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς ( ) γ) Αν είναι lim f = +, τότε f()<0 κοντά στο 0 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) (σφ) =, œ { ημ=0} ημ β β ε) f()g ()d = β [f()g()] + f ()g()d, όπου f,g είναι α α α συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z _ + z + = 4 () w _ 5 w = () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = Μονάδες 6 B. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z _ z = τότε, να βρείτε το z. z + Μονάδες 7 B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη y με εξίσωση + = και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w Μονάδες 6 B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: z w 4 Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΘΕΜΑ Γ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ίνεται η συνάρτηση f()=( ) ln, >0 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα =(0,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα =[,+ ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f Μονάδες 6 03 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =, >0 έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Μονάδες 6 Γ3. Αν, με < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 œ(, ) τέτοιο, ώστε (0) + f( ) = 0 f 0 - Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g()=f()+ με >0, τον άξονα και την ευθεία = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0,+ ), η οποία για κάθε >0 ικανοποιεί τις σχέσεις: f() 0 + f()d l n = n l d + f() f(). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Αν είναι f() = ( ln ), >0, τότε:. Να υπολογίσετε το όριο: lim ( f( ) ) + 0 ημ f ( ) f ( ) Μονάδες 5 3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε >0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F ( ) α = f() d, >0, όπου α>0, είναι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F() + F(3) > F(), για κάθε >0 (μονάδες 4). Μονάδες 6 4. ίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξœ(β,β) τέτοιο ώστε: F(β) + F(3β) = F(ξ) Μονάδες 4 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 53 (Απόδειξη) Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 9 (Ορισμός) Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 58 (Ορισμός) Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. z + z+ = 4 ( z )( z ) + ( z+ )( z+ ) = 4 zz z z + + zz + z+ z + = 4 z + + z = 4 z = z z = = Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με Κ(0,0) ακτίνα ρ= και εξίσωση + y =

6 Β. α τρόπος z z = z z = ( z z )( z z ) = zz zz zz + zz = z ( z z + z z ) + z = Από Β έχω z = z = Άρα η τελευταία σχέση γίνεται: ( zz + zz) + = zz + zz = 0() Οπότε έχουμε z + z = ( z + z )( z + z ) z+ z = zz+ zz+ zz + zz z + z = z + z z + zz + z από() z + z = + = Άρα z + z =

7 Β. β τρόπος Μ Μ 0 Μ Οι εικόνες των OM και OM = z = = z = z, z ας είναι Μ, Μ αντίστοιχα, είναι σημεία του κύκλου Εφόσον OM + OM = M M z + z = z z = z z Άρα το ΟΜ Μ είναι ορθογώνιο στο Ο. Η απόσταση που ζήταμε είναι z + z = z ( z ) Δηλαδή Μ Μ όπου Μ η εικόνα η συμμετρική του Μ ως προς την αρχή των αξόνων.

8 Άρα η ˆ ' 0 ΜΟΜ = 90, άρα το τρίγωνο αφού OM + OΜ ' = M M ' + = z + z z + z = Β3. Έχουμε: w 5w = όπου w= + y w= y i Άρα: + yi+ 5( yi) = + yi 5+ 5yi = 4+ 6yi = + y = y = 44 + = i y 9 4 ΟΜ Μ είναι ορθογώνιο στο Ο, y Β(0,) Α ( 3,0) Α (3,0) ' Β ' (0, ) ' y W = ( OA) = ( OA ) = 3 ma W = ( OB) = ( OB ) = min

9 Β4. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z + w ma = + 3= 4 () z w z w Όμως z = και w = Άρα z w z w min Έχουμε: z w = z w () Από () και () έχουμε: z w 4

10 Β4 β Τρόπος B ( 0, ) Γ A ' ( 3, 0) β '0, ( ) Δ (,0) Ζ Ε(, 0) A ( 3, 0 ) B '0, ( ) Ma z w = ΔΑ=+3=4 (ΟΑ=3, ΟΔ=) Min z w =ΒΓ=-= (ΟΒ=, ΟΓ=)

11 ΘΕΜΑ Γ Γ f ( ) = ( )ln, > 0 f '( ) = ln +, > 0 + f ''( ) = + = + > 0, > 0 f ''( ) f '( ) - + f ( ) f '() = 0 f ' 0< < f '( ) < f '() f '( ) < 0 f ' > f '( ) > f '() f '( ) > 0 f () = ( ) lim f( ) = lim ln + + = ( )( ) =+ 0 0 lim f( ) =+ +

12 Στο Δ = ( 0,] f (( 0,] ) = [, + ) Στο [, ) f ([, + )) = [, + ) Άρα το Σύνολο Τιμών της f είναι (( 0, )) [, ), η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα Δ = +, η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, άρα f + = =. Γ 03 = 03 ln = ln ln = 03 ln = 0 + ln = 0 f( ) = 0 () ( ) ( ) ( ) ( Δ ) = [, + ) ( Δ ) = [, + ) ( ) f f 0 f Δ, οπότε η εξίσωση () έχει μια τουλάχιστον λύση (ρίζα) στο Δ και f () =, άρα ( 0,),καθώς η f είναι γνησίως φθίνουσα η ρίζα είναι μοναδική. 0 f ( Δ ), οπότε η εξίσωση () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Δ και f () =, άρα (, + ), καθώς η f είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι μοναδική. Άρα η f έχει δύο θετικές ρίζες.

13 Γ3 Θεωρώντας h = f 0,, ( ) ( ) [ ] h συνεχείς στο [, ]. h παραγωγίσιμη στο (, ) h' ( ) = f ( ) + f '( ) 0. h( ) = 0 h( ) = 0 ( ( ) = ( ) 0 = ( ( ) 0) λύση της εξίσωσης (), άρα f ( ) = 0 ). Ομοίως αποδεικνύεται, ότι f ( ) = 0, άρα και h( ) = 0. Από το Θεώρημα Roll υπάρχει 0 (, ) h' ( o) = 0 o o o f ( o) + f '( o) 0 o = 0 ( > 0) f ( o) + f '( o) = 0. h f f, από το Γ ερώτημα το είναι τέτοιο ώστε

14 Γ4 g = f + = ln +, > 0 ( ) ( ) ( ) ((, + )) = [, + ) ( ) 0, > 0 επειδή f ( ) f ( ) g o o g ' ( ) E = g( ) d= lnd= ln d= ln d= ln d= ln = 4 ln 0 + = = 4 + = =

15 ΘΕΜΑ Δ f :(0, + ) + f( ) 0 > 0 f( ) d ln ln = ( d+ ) f( ) f() Δ. Από τη σχέση θεωρούμε την () () fd fd + R ( ) = f( d ) η f() συνεχής >0 άρα ορίζεται Φ ( ) = f( ) d, > 0 που είναι παραγωγίσιμη. Άρα παραγωγίσιμη είναι και η σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων Φ( -+) ως Επίσης η h ( ) = είναι παραγωγίσιμη άρα η R() παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων με R'( ) = f( + )( ) άρα R() είναι παραγωγίσιμη και στη θέση 0 = 0 όπου παρουσιάζει ελάχιστο αφού R( ) 0 = R(0). Σημείωση: εφόσον η f() ορίζεται > 0 και (0, + ) άρα πρέπει και + > 0, που ισχύει. Άρα η R() ορίζεται στο. Από Θεώρημα Frma λοιπόν R'(0) = 0 f() = 0 άρα f () = εφόσον η f() 0 και συνεχής διατηρεί πρόσημο και καθώς f () = ά f( ) 0 0 ρα < >,

16 ln Από τη σχέση ln = d+ f( ) εφόσον f( ) < 0 f() ln ln = ( ) ( ) () άρα d+ f f() εφόσον ln ( γνωστη σχεση) και < άρα ln < 0 άρα από () ln = ln d + f() f ( ). ln η g () = είναι συνεχεις > 0 f() ln άρα ορίζεται η ( ) = d+ που είναι παραγωγ ίσιμη f() Άρα η f() είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων. Από τη σχέση: ln ln = d+ f( ) f() ln ln = f( ) + f( ) Με παραγωγίσιμη: ' ln ln ' = Α πόεφαρμογ ήσχ. βιβλίου ( f = f f = c ) f( ) f( ) ln = c, c R με f () =, άρα c = f( ) ln = ( ) = άρα f (ln ), > 0 f( )

17 Δ. Παρατηρούμε ότι: lim f ( ) = lim (ln ) { + 0 lim = = li m (ln ) = } + 0 Άρα lim f ( ) + 0 = Για το ζητούμενο όριο: lim ( f ( ) ) ημ + 0 f ( ) f ( ) θέτουμε u = f ( ) Άρα το όριο γίνεται: lim u ημ u u u θέτουμε u = και το όριο γίνεται: ' ( ημ ) lim lim 0 0 ( ) ημ ημ lim lim 0 = = 0 συν = = ' συν lim = 0 = 0 Δ3 ( ) ( ) F = f d, > 0 a η f () είναι συνεχής άρα ορίζεται ( ) ( ) = ( ) = ( l ) η F που είναι παραγωγίσιμη με F' f n έτσι F'' ( ) = ( ln ) + = ln + + = + ln > 0

18 αφού { ln ln 0 και > 0 για κάθε } > o άρα F είναι κυρτή στο ( 0, + ). Θ.Μ.Τ. στο [, ] και [,3] η F συνεχείς στα [,] και [,3] και παραγωγίσιμη με F ()=f()<0 άρα υπάρχουν ξ (,) και ξ (,3) ώστε F()-F() F'(ξ )= F(3)-F() F'(ξ )= με > 0 ( ) όμως ξ < ξ F'( ξ ) < F'( ξ ), ( F > 0, άρα F ) F( ) F( ) F(3 ) F( ) άρa < Δηλαδή (αφού >0) F()-F()<F(3)-F() F()<F(3)+F() Δ4. Ζητάμε ρίζα για την εξίσωση F()=F(3β)+F(β). Θωρούμε R()=F()-F(3β)-F(β) η R συνεχής στο [β,β] R(β)=F(β)-F(3Β)-F(β)=F(β)-F(3β)>0 (αφού F ()=f()<0 άρα F καθώς β<3β (β>0), οπότε F(β)>F(3β) R(β)=F(β)-F(3β)-F(β)<0 (από Δ 3 για =β) F(β)+F(3Β)>F(β) άρα από ΘΒ υπάρχει μια τουλάχιστον ξ (β, β): R(ξ)=0. Επίσης R()=F ()=f()<0 άρα R άρα το ξ μοναδικό. Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη