ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ. Δυναμική

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ Δυναμική

2 Περιεχόμενα. Δυνάμεισ Η ζννοια τθσ δφναμθσ Δυνάμεισ με τισ οποίεσ κα αςχολθκοφμε αρχικά Βάροσ ςϊματοσ Δφναμθ επαφισ από λείο ακλόνθτο δάπεδο Δφναμθ επαφισ από τεντωμζνο ιδανικό νιμα Δφναμθ επαφισ από παραμορφωμζνο ιδανικό ελατιριο Σφνκεςθ και ανάλυςθ δυνάμεων Σφνκεςθ δυνάμεων Ανάλυςθ δυνάμεων Σφνκεςθ μζςω ανάλυςθσ Οι τρείσ νόμοι του Νewton για τθ δφναμθ και τθν κίνθςθ Ο πρϊτοσ νόμοσ του Newton (αξίωμα τθσ αδράνειασ) Ο δεφτεροσ νόμοσ του Newton (κεμελιϊδθσ νόμοσ τθσ μθχανικισ) Ο τρίτοσ νόμοσ του Newton (αξίωμα δράςθσ αντίδραςθσ) Τριβι από ακλόνθτο δάπεδο Στατικι τριβι από ακλόνθτο δάπεδο Τριβι ολίςκθςθσ Ερωτιςεισ Αςκιςεισ... 7

3 3. Δυνάμεισ.1. Η έννοια τησ δύναμησ Δφναμθ ονομάηουμε το φυςικό διανυςματικό μζγεκοσ που μπορεί να προκαλζςει παραμόρφωςθ ι/και μεταβολι ςτθν ταχφτθτα του ςϊματοσ ςτο οποίο αςκείται. Μια δφναμθ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα προζρχεται πάντοτε από κάποιο άλλο ςϊμα. Τα ςϊματα αλλθλεπιδροφν, δθλαδι δεν υπάρχουν κάποια ςϊματα που μόνο αςκοφν δυνάμεισ και κάποια άλλα που μόνο δζχονται δυνάμεισ, αλλά πρζπει να ξζρουμε ότι: όταν ζνα ςϊμα Α αςκεί δφναμθ ςε ζνα ςϊμα Β τότε και το ςϊμα Β αςκεί δφναμθ ςτο ςϊμα Α, δθλαδι ότι ςτθ φφςθ οι δυνάμεισ εμφανίηονται πάντοτε ανά ηεφγθ. Οι δυνάμεισ μποροφν να καταταγοφν ςε δφο κατθγορίεσ: α) τισ δυνάμεισ από επαφι που «βλζπουμε» να αναπτφςςονται όταν δυο ςϊματα ζρχονται ςε επαφι μεταξφ τουσ (π.χ. θ δφναμθ που δζχεται θ μπάλα του τζνισ από τθ ρακζτα τθ ςτιγμι που τθ χτυπάει, θ δφναμθ που δζχεται το δάπεδο από τα παποφτςια μασ όταν περπατάμε πάνω ς' αυτό, ι το κομμάτι του τυριοφ από τον τρίφτθ ςτον οποίο το τρίβουμε κ.λ.π.), β) τισ δυνάμεισ από απόςταςθ που «βλζπουμε» να αναπτφςςονται ανάμεςα ςε ςϊματα που απζχουν μεταξφ τουσ (π.χ. θ δφναμθ που ςυγκρατεί τθ Σελινθ κοντά ςτθ Γθ, θ δφναμθ που κάνει μια πζτρα να πζφτει όταν τθν αφιςουμε από κάποιο φψοσ, ι θ δφναμθ με τθν οποία ζνασ μαγνιτθσ φζρνει προσ το μζροσ του μια καρφίτςα κ.λ.π.).

4 4 Το αποτζλεςμα που κα προκαλζςει θ άςκθςθ μιασ δφναμθσ ςε ζνα ςυγκεκριμζνο ςϊμα, εξαρτάται από όλα τα ςτοιχεία του διανφςματόσ τθσ. Όταν λοιπόν ςχεδιάηουμε μια δφναμθ κα πρζπει να ξζρουμε ότι το «βζλοσ» με το οποίο παριςτάνουμε το διάνυςμά τθσ πρζπει να ξεκινάει από το ςθμείο εφαρμογισ τθσ, που είναι το ςθμείο του ςϊματοσ ςτο οποίο αςκείται θ δφναμθ. Το βζλοσ αυτό πρζπει να ζχει τθν κατεφκυνςθ προσ τθν οποία αςκείται θ δφναμθ και το μικοσ του βζλουσ πρζπει να είναι ανάλογο προσ το μζτρο τθσ δφναμθσ, ςφμφωνα με κλίμακα που εμείσ επιλζγουμε αυκαίρετα. Όποτε αναφερόμαςτε ςε μια δφναμθ, εννοοφμε το διάνυςμά τθσ, το οποίο κα ςυμβολίηουμε F. Το μζτρο τθσ δφναμθσ κα ςυμβολίηουμε F και κα ξζρουμε ότι ςτο S.I. μονάδα μζτρθςθσ τθσ δφναμθσ είναι το 1Newton (1N). Για να μετριςουμε (ςυγκρίνουμε) δυνάμεισ μποροφμε να χρθςιμοποιοφμε τισ παραμορφϊςεισ που προκαλοφν αυτζσ ςε ζνα ελατιριο. Σφμφωνα με το νόμο των ελαςτικϊν παραμορφϊςεων (του Hooke): οι ελαςτικζσ παραμορφϊςεισ είναι ανάλογεσ προσ τα αίτια που τισ προκαλοφν. Όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα, αν ςτερεϊςουμε το ζνα άκρο ενόσ ελατθρίου ςε ακλόνθτο ςθμείο και ςτο άλλο άκρο αςκιςουμε διαδοχικά δυνάμεισ με διαφορετικά μζτρα με ςτόχο να το επιμθκφνουμε, κα διαπιςτϊςουμε ότι όςο πιο μεγάλο είναι το μζτρο τθσ δφναμθσ, τόςο πιο μεγάλθ είναι και θ επιμικυνςθ του ελατθρίου. Στθριηόμενοι

5 5 λοιπόν ςτο νόμο του Hooke μποροφμε να μετριςουμε μια «άγνωςτθ» δφναμθ ςυγκρίνοντασ τισ επιμθκφνςεισ που προκαλοφν, ςτο ίδιο ελατιριο, αυτι και μια γνωςτι δφναμθ. Αν διαπιςτϊςουμε ότι θ άγνωςτθ δφναμθ προκαλεί ςτο ίδιο ελατιριο k φορζσ μεγαλφτερθ επιμικυνςθ από τθ γνωςτι, τότε το μζτρο τθσ άγνωςτθσ κα είναι k φορζσ μεγαλφτερο από το μζτρο τθσ γνωςτισ... Δυνάμεισ με τισ οποίεσ θα αςχοληθούμε αρχικά..1. Βάροσ ςώματοσ Η δφναμθ με τθν οποία θ μάηα τθσ Γθσ ζλκει τθ μάηα ενόσ ςϊματοσ ονομάηεται (γιινο) βάροσ του ςϊματοσ και ςυμβολίηεται με w. Η διεφκυνςθ του (γιινου) βάρουσ ενόσ ςϊματοσ ονομάηεται κατακόρυφθ και είναι κάκετθ ςτθν επιφάνεια υγροφ, που θρεμεί μζςα ςε δοχείο, ςτον ίδιο τόπο. Η φορά του είναι προσ το κζντρο τθσ Γθσ. Το βάροσ ενόσ υλικοφ ςθμείου (υλικοφ ςϊματοσ με αμελθτζεσ διαςτάςεισ) κα ςχεδιάηεται με ςθμείο εφαρμογισ το ίδιο το υλικό ςθμείο. Αν το ςϊμα ζχει διαςτάςεισ, αλλά είναι ςυμπαγζσ και ομοιογενζσ, το ςθμείο εφαρμογισ του βάρουσ του (κζντρο βάρουσ) ςυνθκίηεται να τοποκετείται ςτο γεωμετρικό κζντρο του. Να ςθμειωκεί ότι καλό είναι να ςυνειδθτοποιιςουμε εδϊ ότι τα μεγζκθ μάηα και βάροσ ςϊματοσ ανικουν ςε διαφορετικζσ κατθγορίεσ. Η μάηα Σχετίηεται με τθν ποςότθτα τθσ φλθσ που περικλείεται ςτο χϊρο που καταλαμβάνει το ςϊμα. Είναι μονόμετρο μζγεκοσ. Το βάροσ Είναι ελκτικι δφναμθ που αςκείται ςτθ μάηα του ςϊματοσ από τθ μάηα του ουράνιου ςϊματοσ ςτθν περιοχι του οποίου βρίςκεται. Είναι διανυςματικό μζγεκοσ. Ζχει μονάδα μζτρθςθσ ςτο S.I. το 1kg. Ζχει μονάδα μζτρθςθσ ςτο S.I. το 1Ν. Μζνει ςτακερι, όταν αλλάηει θ απόςταςθ του ςϊματοσ από το κζντρο του πλανιτθ. Μικραίνει όταν αυξάνεται θ απόςταςθ του ςϊματοσ από το κζντρο του πλανιτθ.

6 6 Το βάροσ που αςκεί θ μάηα τθσ Γθσ ςε κάκε ςϊμα που βρίςκεται ςτθν περιοχι τθσ, είναι μια περίπτωςθ μιασ γενικότερθσ αλλθλεπίδραςθσ και υπακοφει ςτο νόμο φφςθσ που «κζλει» όλεσ οι μάηεσ ς' αυτό το ςφμπαν να αλλθλεπιδροφν ελκτικά μεταξφ τουσ. Η αλλθλεπίδραςθ αυτι ονομάηεται βαρυτικι. Αν τα ςϊματα μποροφν να κεωρθκοφν ωσ υλικά ςθμεία, το μζτρο τθσ ελκτικισ αλλθλεπίδραςθσ των μαηϊν τουσ υπολογίηεται με εφαρμογι του νόμου τθσ παγκόςμιασ ζλξθσ που διατυπϊκθκε από τον Newton. m 1, 1 F F 1, m r Σφμφωνα με το νόμο αυτό: το μζτρο τθσ βαρυτικισ δφναμθσ με τθν οποία ζλκονται οι μάηεσ δφο υλικϊν ςθμείων είναι ανάλογο του γινομζνου αυτϊν των μαηϊν και αντιςτρόφωσ ανάλογο του τετραγϊνου τθσ απόςταςισ τουσ. mm F G r 1 Η ςτακερά G ονομάηεται ςτακερά τθσ παγκόςμιασ ζλξθσ και ςτο S.I. θ τιμι τθσ είναι: G 6, Nm kg. Σφμφωνα με τθν παραπάνω ςχζςθ, αν κζλουμε να βροφμε (κατά προςζγγιςθ) το μζτρο του βάρουσ ενόσ ςϊματοσ με μάηα 1kg που βρίςκεται ςτθν επιφάνεια τθσ Γθσ, πρζπει ςτθ κζςθ τθσ m 1 να βάλουμε τθ μάηα τθσ Γθσ που υπολογίηεται περίπου ςε kg, ςτθ κζςθ τθσ m να βάλουμε 1kg και ςτθ κζςθ τθσ r να βάλουμε τθν ακτίνα τθσ Γθσ που υπολογίηεται ςε 6.400km. Μετά από τθν εκτζλεςθ των πράξεων κα βροφμε ότι: ςϊμα με μάηα 1kg που βρίςκεται ςτθν επιφάνεια τθσ Γθσ ζχει βάροσ με μζτρο (κατά προςζγγιςθ) ίςο με 10Ν.

7 7... Δύναμη επαφήσ από λείο ακλόνητο δάπεδο Όταν ζνα ςϊμα Σ βρίςκεται ςε επαφι με ζνα λείο ακλόνθτο δάπεδο, δζχεται από αυτό δφναμθ επαφισ N (κάκετθ δφναμθ), που είναι κάκετθ ςτο δάπεδο και ζχει φορά από το δάπεδο προσ το ςϊμα Σ. N N N N..3. Δύναμη επαφήσ από τεντωμένο ιδανικό νήμα Το ιδανικό νιμα είναι ζνα μοντζλο νιματοσ το οποίο κεωρείται αβαρζσ (m=0) και μθ εκτατό (το μικοσ του είναι ςτακερό). Αν το ζνα άκρο τεντωμζνου ιδανικοφ νιματοσ είναι δεμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο Ο και ςτο άλλο άκρο του είναι δεμζνο ζνα ςϊμα Σ, το ςϊμα Σ δζχεται από το νιμα δφναμθ επαφισ T (τάςθ του νιματοσ) θ οποία κατευκφνεται από το ςϊμα Σ προσ το ςθμείο Ο.

8 8..4. Δύναμη επαφήσ από παραμορφωμένο ιδανικό ελατήριο Το ιδανικό ελατιριο είναι ζνα μοντζλο ελατθρίου το οποίο κεωρείται αβαρζσ (m=0) και για το οποίο ιςχφει ο νόμοσ του Hooke. Αν το ζνα άκρο παραμορφωμζνου ιδανικοφ ελατθρίου είναι δεμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο Ο και ςτο άλλο άκρο του ζχει ςυνδεκεί ζνα ςϊμα Σ, το ςϊμα Σ δζχεται από το ελατιριο δφναμθ επαφισ F (δφναμθ ελατθρίου) όταν το ελατιριο δεν ζχει το φυςικό του μικοσ. Η δφναμθ αυτι ζχει κατεφκυνςθ τζτοια ϊςτε να προςπακεί να επαναφζρει το ςϊμα ςτθ κζςθ ςτθν οποία το ελατιριο ζχει το φυςικό του μικοσ. Το μζτρο αυτισ τθσ δφναμθσ δίνεται από τθ ςχζςθ: F ελ = k Δ, όπου θ παραμόρφωςθ του ελατθρίου ( 0 όταν το ελατιριο ζχει επιμθκυνκεί, ενϊ 0 όταν το ελατιριο ζχει ςυςπειρωκεί) και k είναι θ λεγόμενθ ςτακερά του ιδανικοφ ελατθρίου. Η ςτακερά ενόσ ιδανικοφ ελατθρίου δείχνει πόςο είναι το μζτρο τθσ δφναμθσ που πρζπει να αςκθκεί ςτο ελατιριο για να επιμθκυνκεί κατά μια μονάδα μικουσ, δθλαδι είναι ζνασ τρόποσ ζκφραςθσ τθσ ςκλθρότθτασ του ελατθρίου και μετριζται ςτο S.I. ςε N m.

9 9.3. Σύνθεςη και ανάλυςη δυνάμεων.3.1. Σύνθεςη δυνάμεων Στα ςϊματα, ςυχνά, αςκοφνται περιςςότερεσ από μία δυνάμεισ. Η δφναμθ εκείνθ που προκαλεί τα ίδια αποτελζςματα με το ςφνολο των επιμζρουσ δυνάμεων που δζχεται ζνα ςϊμα, θ ςυνολικι δθλαδι δφναμθ, ονομάηεται ςυνιςταμζνθ δφναμθ F. Με τθ γλϊςςα των ςυμβόλων: F F1 F.... Σφνκεςθ δφο δυνάμεων o ίδιασ κατεφκυνςθσ F 1 F F F F1 F o αντίκετων κατευκφνςεων F F 1 F Η κατεφκυνςθ τθσ F F1 F F είναι ίδια με τθν κατεφκυνςθ τθσ δφναμθσ με το μεγαλφτερο μζτρο. Σθμείωσθ: Δφο δυνάμεις αντίκετων κατευκφνσεων με ίσα μζτρα ονομάηονται αντίκετες και αν ασκοφνται στο ίδιο σϊμα ζχουν μθδενικι συνισταμζνθ. o κάκετων διευκφνςεων F F F F1 F F F 1 κ F 1

10 10 o τυχαίων κατευκφνςεων F F1 F F1 F F F F 1 F φ κ F F 1 Σφνκεςθ περιςςότερων των δφο δυνάμεων Αν ς ζνα ςϊμα αςκοφνται ν δυνάμεισ F 1,F,...,F, τότε, για να βροφμε τθ ςυνιςταμζνθ τουσ, ςυνκζτουμε τισ δφο πρϊτεσ, ςτθ ςυνζχεια τθ ςυνιςταμζνθ τουσ με τθν τρίτθ κ.ο.κ.. Γενικά, για να ζχουμε «εικόνα» του διανφςματοσ τθσ ςυνιςταμζνθσ δφο ι περιςςότερων διανυςμάτων μποροφμε, ςε ζνα ςχζδιο, να τοποκετιςουμε τα διανφςματα αυτά διαδοχικά (από το τζλοσ του κακενόσ να αρχίηει το επόμενο), προςζχοντασ να ζχουν το ςωςτό μζτρο και τθ ςωςτι κατεφκυνςθ. Στθν περίπτωςθ αυτι, το διάνυςμα τθσ ςυνιςταμζνθσ κα είναι ζνα διάνυςμα με αρχι τθν αρχι του πρϊτου και τζλοσ το τζλοσ του τελευταίου.

11 Ανάλυςη δυνάμεων Ανάλυςθ μιασ γνωςτισ δφναμθσ ςε δυο ςυνιςτϊςεσ, είναι θ διαδικαςία κατά τθν οποία γνωρίηουμε μια δφναμθ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα και αναηθτοφμε δφο άλλεσ δυνάμεισ οι οποίεσ μποροφν να αντικαταςτιςουν τθ γνωςτι και να φζρουν ςτο ςϊμα αυτό το ίδιο αποτζλεςμα μ αυτιν. Ανάλυςθ δφναμθσ ςε δφο κάκετεσ ςυνιςτϊςεσ. F y φ F Fx F y F F F x.3.3. Σύνθεςη μέςω ανάλυςησ. Στο παράδειγμα του ςχιματοσ τρεισ δυνάμεισ αςκοφνται ςε ζνα υλικό ςθμείο.

12 1 Για να τισ ςυνκζςουμε με αυτόν τον τρόπο εργαηόμαςτε ωσ εξισ: Επιλζγουμε κατάλλθλο ορκογϊνιο ςφςτθμα αξόνων xoy, με κζντρο O το κοινό ςθμείο εφαρμογισ των δυνάμεων. Αναλφουμε ςε ςυνιςτϊςεσ, όςεσ δυνάμεισ χρειάηονται ανάλυςθ. (Στο παράδειγμα του ςχιματοσ, θ F 1 δε χρειάηεται ανάλυςθ, ενϊ οι άλλεσ δυο δυνάμεισ αναλφονται ςτουσ δεδομζνουσ άξονεσ.) Προςκζτουμε διανυςματικά τισ ςυνιςτϊςεσ ςε κάκε άξονα ξεχωριςτά και βρίςκουμε τθ F x και τθ F y. Συνκζτουμε τα δφο κάκετα διανφςματα που βρικαμε ςτο προθγοφμενο βιμα και βρίςκουμε τθ F = F x + F y που είναι και θ ςυνιςταμζνθ όλων των δυνάμεων που αςκοφνται ςτο ςϊμα..4. Οι τρείσ νόμοι του Νewton για τη δύναμη και την κίνηςη. Ο Isaac Newton το 1687 ςτο ζργο του Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica πρωτοδθμοςίευςε μια τριάδα νόμων, με τθ βοικεια των οποίων μπορεί κανείσ να μελετιςει τουσ τρόπουσ τθσ κίνθςθσ των ςωμάτων, ςυνδυάηοντασ τα κινθματικά μεγζκθ με τα αίτια των μεταβολϊν τουσ, δθλαδι με τισ δυνάμεισ.

13 Ο πρώτοσ νόμοσ του Newton (αξίωμα τησ αδράνειασ) «Κάκε ςϊμα ςτο οποίο δεν αςκείται δφναμθ (ι αςκοφνται δυνάμεισ που ζχουν μθδενικι ςυνιςταμζνθ), διατθρεί τθν ταχφτθτά του ςτακερι (πράγμα που ςθμαίνει ότι ι θρεμεί ι κινείται ευκφγραμμα και ομαλά).» F 0 υ σταθ. Τθν ιδιότθτα αυτι που ζχουν όλα τα υλικά ςϊματα (δθλαδι το να διατθροφν τθν κινθτικι τουσ κατάςταςθ για όςο χρονικό διάςτθμα δεν δζχονται καμία δφναμθ) τθν ονομάηουμε αδράνεια γι' αυτό και ο 1οσ νόμοσ του Newton λζγεται και αξίωμα τθσ αδράνειασ. Η δυςκολία που κα ςυναντιςει κανείσ, αν κελιςει, ςε ζνα ςυγκεκριμζνο χρονικό διάςτθμα, να προκαλζςει μια ςυγκεκριμζνθ μεταβολι ςτθν ταχφτθτα ενόσ ςϊματοσ, είναι τόςο πιο μεγάλθ όςο πιο μεγάλθ είναι και θ μάηα του ςϊματοσ. Για το λόγο αυτό λζμε ότι μζτρο τθσ αδράνειασ ενόσ ςϊματοσ είναι θ μάηα του. Επειδι για να αλλάξουμε τθν ταχφτθτα ενόσ ςϊματοσ πρζπει να του αςκιςουμε δφναμθ και κατά ςυνζπεια να δεχκοφμε δφναμθ, λζμε ότι τα υλικά ςϊματα αντιςτζκονται ςε κάκε προςπάκεια μεταβολισ τθσ κινθτικισ τουσ κατάςταςθσ.

14 Ο δεύτεροσ νόμοσ του Newton (θεμελιώδησ νόμοσ τησ μηχανικήσ) «Η επιτάχυνςθ που αποκτά ζνα ςϊμα, λόγω τθσ άςκθςθσ δυνάμεων ςε αυτό, είναι ανάλογθ με τθ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων αυτϊν και ζχει τθν κατεφκυνςι τθσ.» F και ίδιασ κατεφκυνςθσ με τθν F Ο ςυντελεςτισ αναλογίασ ανάμεςα ςτθν επιτάχυνςθ και τθ δφναμθ, είναι ςτακερόσ (ςτθ Μθχανικι του Νεφτωνα) για δεδομζνο ςϊμα. Αν όμωσ αςκιςουμε τθν ίδια ςυνιςταμζνθ δυνάμεων ςε δυο ςϊματα Α και Β, διαφορετικϊν μαηϊν, με m A >m B, κα διαπιςτϊςουμε ότι το ςϊμα Α με τθ μεγαλφτερθ μάηα, αποκτά μικρότερθ επιτάχυνςθ (μζτρο) από το ςϊμα Β. Αν είμαςτε και περιςςότερο παρατθρθτικοί κα διαπιςτϊςουμε και ότι όςεσ φορζσ είναι μεγαλφτερθ θ μάηα του Α από τθ μάηα του Β, τόςεσ φορζσ μικρότερθ κα είναι θ επιτάχυνςθ του Α από τθν επιτάχυνςθ του Β. Όλα τα παραπάνω μποροφν να ςυγκεντρωκοφν ςε μια μακθματικι ζκφραςθ τθσ 1 μορφισ: F ι αν προτιμάτε τθν ιςοδφναμθ: F m, m που κα αποτελεί για μασ ζνα ςπουδαίο εργαλείο για τθ ςφνδεςθ του αιτίου (των δυνάμεων που αςκοφνται ςτο ςϊμα) και του αποτελζςματοσ (τθσ επιτάχυνςθσ που αποκτά το ςϊμα λόγω των δυνάμεων που δζχεται). Στο S.I. ζχει λθφκεί μζριμνα (ζχουν φροντίςει) θ ςχζςθ αυτϊν των μεγεκϊν να είναι και ςχζςθ των μονάδων μζτρθςισ τουσ, ϊςτε να μθ χρειάηονται ςτακερζσ ανάμεςά τουσ. Ζτςι κα λζμε ότι 1 Newton είναι το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δυνάμεων που όταν m αςκοφνται ςε ςϊμα μάηασ 1kg του προκαλοφν επιτάχυνςθ μζτρου 1 s.

15 15.4..α Εφαρμογι του δεφτερου νόμου του Newton ςτθν περίπτωςθ που ζνα ςϊμα δζχεται μόνο το βάροσ του. Αν κατά τθν κίνθςι του ζνα ςϊμα δζχεται αποκλειςτικά και μόνο το βάροσ του, κα λζμε ότι εκτελεί ελεφκερθ πτϊςθ. Στθν εικόνα βλζπετε μια κίνθςθ που χαρακτθρίηεται από τουσ αλεξιπτωτιςτζσ ωσ «ελεφκερθ πτϊςθ», αλλά όπωσ καταλαβαίνετε δεν είναι, διότι κακζνασ από αυτοφσ που πζφτουν δζχεται : i) το βάροσ του, ii) δφναμθ επαφισ από όποιον κρατάει με τα χζρια του και iii) δφναμθ αντίςταςθσ από τον αζρα μζςα ςτον οποίο κινείται. Τθν επιτάχυνςθ που αποκτά ζνα ςϊμα λόγω τθσ επίδραςθσ του (γιινου) βάρουσ του και μόνο τθν ονομάηουμε (γιινθ) επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ, τθ ςυμβολίηουμε με g και για τθ αυτιν πρζπει να ξζρουμε ότι: 1. αφοφ και α F m g,όταν α F w w m g g w m. Έχει τθν κατεφκυνςθ του βάρουσ του ςϊματοσ, δθλαδι διεφκυνςθ κατακόρυφθ και φορά προσ το κζντρο τθσ Γθσ. 3. Το μζτρο τθσ μεγαλϊνει κατά τθν προςζγγιςθ του ςϊματοσ από το διάςτθμα προσ τθν επιφάνεια τθσ Γθσ και μικραίνει κατά τθν αντίςτροφθ κίνθςθ. Όμωσ είναι το ίδιο για όλα τα ςϊματα που βρίςκονται ςτο ίδιο φψοσ πάνω από τον ίδιο τόπο. 4. Για μικρζσ μετατοπίςεισ ςωμάτων (τθσ τάξεωσ μερικϊν δεκάδων ι και εκατοντάδων μζτρων) μποροφμε να κεωριςουμε ότι το διάνυςμά τθσ παραμζνει ςτακερό και αν θ κίνθςθ του ςϊματοσ είναι κατακόρυφθ μποροφμε να τθ κεωριςουμε ευκφγραμμθ και ομαλά μεταβαλλόμενθ αφοφ διεξάγεται με ςτακερι επιτάχυνςθ.

16 Ο τρίτοσ νόμοσ του Newton (αξίωμα δράςησ αντίδραςησ) «Κάκε φορά που ζνα ςϊμα Α αςκεί δφναμθ ςε ζνα ςϊμα Β, δζχεται και από το Β τθν ακριβϊσ αντίκετι τθσ.» F B,A F Οι δυνάμεισ δράςθσ αντίδραςθσ είναι αντίκετεσ, όμωσ δεν ζχει νόθμα να βροφμε τθ ςυνιςταμζνθ τουσ και να ποφμε ότι είναι ίςθ με μθδζν, διότι αυτζσ αςκοφνται ςε διαφορετικά ςϊματα. A,B

17 17.5 Τριβή από ακλόνητο δάπεδο. Όταν ζνα ςϊμα θρεμεί ι κινείται παραμζνοντασ ςε επαφι με ζνα ακλόνθτο δάπεδο, δζχεται από το δάπεδο αυτό μια ςυνολικι δφναμθ που ςυνικωσ ςυμβολίηουμε με A (μερικοί τθν ονομάηουν ςυνολικι αντίδραςθ του δαπζδου). Τθ δφναμθ αυτι πολλζσ φορζσ τθν αναλφουμε ςε δυο κάκετεσ ςυνιςτϊςεσ εκ των οποίων θ μια είναι κάκετθ ςτο δάπεδο, ςυμβολίηεται ςυνικωσ με N (και μερικοί τθν ονομάηουν κάκετθ αντίδραςθ του δαπζδου) και θ άλλθ είναι παράλλθλθ ςτο δάπεδο, ςυμβολίηεται ςυνικωσ με T και ονομάηεται τριβι. Τθν τριβι που δζχεται ςϊμα που δεν ολιςκαίνει πάνω ςτο δάπεδο ςτο οποίο ςτθρίηεται, κα τθν ονομάηουμε ςτατικι τριβι, ενϊ όταν ολιςκαίνει κα τθν ονομάηουμε τριβι ολίςκθςθσ. Όταν θ επιφάνεια του δαπζδου είναι λεία, θ ςυνολικι δφναμθ από το δάπεδο είναι οπωςδιποτε κάκετθ ςτθν επιφάνεια του δαπζδου και θ τριβι είναι μθδενικι Στατική τριβή από ακλόνητο δάπεδο Πολλζσ φορζσ, ςε ςϊμα που θρεμεί πάνω ςε τραχφ οριηόντιο δάπεδο (όπωσ το ςϊμα (Σ) του ςχιματοσ) αςκοφμε δφναμθ παράλλθλθ με το δάπεδο (όπωσ θ F 1 ) με ςκοπό να το κάνουμε να ολιςκιςει παράλλθλα με τθν επιφάνεια του δαπζδου, το ςϊμα όμωσ ςυνεχίηει να θρεμεί. Αυτό ςυμβαίνει διότι θ ςυνολικι δφναμθ A από το δάπεδο γίνεται πλάγια και δίνει α) τθν παράλλθλθ ςτο δάπεδο ςυνιςτϊςα τθσ

18 18 ςτατικισ τριβισ T. που είναι ακριβϊσ αντίκετθ από τθ δφναμθ F 1 και β) τθν κάκετθ ςτο δάπεδο δφναμθ N που είναι ακριβϊσ αντίκετθ από το βάροσ w του ςϊματοσ. Ζτςι με μθδενικι ςυνιςταμζνθ δυνάμεων και ςτθν παράλλθλθ και ςτθν κάκετθ προσ το δάπεδο διεφκυνςθ, το ςϊμα διατθρεί τθν προθγοφμενθ κινθτικι του κατάςταςθ δθλαδι ςυνεχίηει να θρεμεί. Χαρακτθριςτικά για τθ ςτατικι τριβι μποροφμε να ποφμε ότι: Είναι θ (παράλλθλθ προσ το δάπεδο) ςυνιςτϊςα τθσ ςυνολικισ δφναμθσ που αςκεί το δάπεδο ςτο ςϊμα, που δεν επιτρζπει τθν ζναρξθ τθσ ολίςκθςθσ. Το διάνυςμά τθσ ζχει τζτοιο μζτρο και τζτοια κατεφκυνςθ ϊςτε να εξαςφαλίηει το μθδενιςμό τθσ ςυνιςταμζνθσ των δυνάμεων ςτθν παράλλθλθ προσ το δάπεδο διεφκυνςθ. Εάν θ δφναμθ (ι θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων) που προςπακεί να κάνει το ςϊμα να ολιςκιςει παράλλθλα με το δάπεδο, ξεκινιςει από μθδενικό μζτρο και μεγαλϊνει προοδευτικά, κα ζρκει μια ςτιγμι κατά τθν οποία κα ζχουμε ζναρξθ τθσ ολίςκθςθσ. Αυτό ςυμβαίνει διότι το μζτρο τθσ ςτατικισ τριβισ ςε κάκε περίπτωςθ μπορεί να κυμαίνεται από μθδζν μζχρι ζνα όριο το οποίο δεν μπορεί να ξεπεράςει. Όταν το μζτρο τθσ ςτατικισ τριβισ φτάςει ς' αυτό το όριο, λζμε ότι ζχουμε τθν οριακι τριβι, το μζτρο τθσ οποίασ εξαρτάται από τθ φφςθ των τριβόμενων επιφανειϊν και για δεδομζνο ηευγάρι επιφανειϊν ςϊματοσ και δαπζδου είναι ανάλογο του μζτρου τθσ κάκετθσ δφναμθσ N. Η ςχζςθ T.. N εκφράηει τθν αναλογία που προαναφζρκθκε, με το ςυντελεςτι μ ορ. να ονομάηεται ςυντελεςτισ οριακισ τριβισ και να ζχει τιμι που εξαρτάται από τθ φφςθ των τριβόμενων επιφανειϊν.

19 Τριβή ολίςθηςησ Ασ υποκζςουμε τϊρα ότι αςκϊντασ ςτο ςϊμα μζςω του νιματοσ κατάλλθλθ δφναμθ F καταφζρνουμε να το κινιςουμε με ςτακερι ταχφτθτα. Όπωσ είπαμε και προθγοφμενα θ τριβι που κα δζχεται τϊρα το ςϊμα κα ονομάηεται τριβι ολίςκθςθσ. Τθ ςτακερι ταχφτθτα τθ κζλουμε για να ιςχφει πάλι ότι F 0 και ζτςι μετρϊντασ τθ δφναμθ F, να γνωρίηουμε ταυτόχρονα και πόςο είναι το μζτρο τθσ τριβισ ολίςκθςθσ που είναι ακριβϊσ αντίκετθ τθσ. Πειραματιηόμενοι με διάφορα ςϊματα που τα αναγκάηουμε να ολιςκαίνουν πάνω ςε διαφόρων ειδϊν δάπεδα, καταλιγουμε ςτα παρακάτω ςυμπεράςματα:

20 0 Η τριβι ολίςκθςθσ ζχει πάντοτε κατεφκυνςθ αντίκετθ από τθν κατεφκυνςθ τθσ ταχφτθτασ ολίςκθςθσ του ςϊματοσ πάνω ςτο δάπεδο. Το μζτρο τθσ τριβισ ολίςκθςθσ που δζχεται ζνα ςϊμα από ζνα τραχφ ακλόνθτο δάπεδο δεν εξαρτάται οφτε από τθν ταχφτθτα με τθν οποία κινείται το ςϊμα πάνω ςτο δάπεδο οφτε από το εμβαδόν τθσ τριβόμενθσ επιφάνειασ του ςϊματοσ. Το μζτρο τθσ τριβισ ολίςκθςθσ ςε ςυγκεκριμζνο ςϊμα πάνω ςε ςυγκεκριμζνο δάπεδο είναι ανάλογο με το μζτρο τθσ κάκετθσ δφναμθσ που δζχεται το ςϊμα από το δάπεδο. Ιςχφει λοιπόν θ αναλογία T. N, ι με μορφι ιςότθτασ:. Η τελευταία αυτι ςχζςθ αποτελεί τθ μακθματικι ζκφραςθ του λεγόμενου νόμου τθσ τριβισ ολίςκθςθσ. Ο ςυντελεςτισ αναλογίασ ανάμεςα ςτα μζτρα των δυνάμεων αυτϊν που ςυμβολίηεται με μ ολ, ονομάηεται ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ, είναι κακαρόσ αρικμόσ και θ τιμι του εξαρτάται από τθ φφςθ των τριβόμενων επιφανειϊν ςϊματοσ και δαπζδου. Συνικως ισχφει ότι μ ολ. > μ ορ. αν όμως σε άσκθσθ δεν αναφζρεται θ διαφορά τους, ζχετε δικαίωμα να κεωρείτε τις τιμζς τους ίσες.

21 1.6 Ερωτήςεισ 1. Τι μπορεί να προκαλζςει μια δφναμθ ςτο ςϊμα το οποίο τθ δζχεται;. Σε ποια κατθγορία μεγεκϊν ανικουν οι δυνάμεισ; Να δϊςετε ζνα παράδειγμα (με ςχιμα) αναφζροντασ όλα τα χαρακτθριςτικά ςτοιχεία μιασ δφναμθσ. 3. Ποια είναι θ μονάδα μζτρθςθσ τθσ δφναμθσ ςτο S.I.; Από ποφ προζρχεται θ ονομαςία τθσ; 4. Είναι δυνατόν ζνα ςϊμα να δεχκεί δφναμθ χωρίσ κανζνα άλλο ςϊμα να του τθν αςκιςει; 5. Είναι δυνατόν να αςκθκεί δφναμθ ςε κάτι που δεν ζχει υλικι υπόςταςθ; 6. Είναι δυνατόν να αςκθκεί δφναμθ από ζνα ςϊμα ςε ζνα άλλο χωρίσ αυτά τα δυο να ζρχονται ςε επαφι; 7. Είναι δυνατόν δυο ςϊματα που ζρχονται ςε επαφι να μθν αςκοφν δφναμθ το ζνα ςτο άλλο; 8. Με ζνα ςφυρί χτυπάμε και καταφζρνουμε να ςπάςουμε ζνα αυγό. Αν δεχκοφμε ότι ςτθν επαφι τουσ και το ςφυρί άςκθςε δφναμθ ςτο αυγό και το αυγό άςκθςε δφναμθ ςτο ςφυρί, ποια από τισ δυο αυτζσ δυνάμεισ είχε μεγαλφτερο μζτρο; 9. Πωσ διατυπϊνεται ο 3οσ νόμοσ του Νεφτωνα ι αξίωμα δράςθσ - αντίδραςθσ; 10. Τι ονομάηουμε βάροσ ενόσ ςϊματοσ το οποίο βρίςκεται ςτθν περιοχι τθσ Γθσ; 11. Η κακθμερινι διαπίςτωςθ τθσ ζλξθσ που αςκεί θ μάηα τθσ Γθσ ςτισ μάηεσ των ςωμάτων που βρίςκονται ςτθν περιοχι τθσ, είναι μια ιδιοτροπία που ζχει μόνο θ Γθ, ι πρόκειται για ζνα γενικότερο φαινόμενο που παρατθρείται ςε όλο το ςφμπαν; 1. Αν το φαινόμενο τθσ αμοιβαίασ ζλξθσ μαηϊν παρατθρείται ςε όλο το ςφμπαν, πωσ ονομάηεται ο νόμοσ που διζπει αυτι τθν ζλξθ, ποιοσ τον διατφπωςε και ποια είναι θ μακθματικι ζκφραςι του; 13. Είναι το βάροσ ενόσ ςυγκεκριμζνου ςϊματοσ ςτακερό; 14. Τι ςχζςθ ζχουν, ςτον ίδιο τόπο και ςτο ίδιο φψοσ πάνω από τθν επιφάνεια τθσ Γθσ, τα μζτρα των βαρϊν δυο ςωμάτων με τισ μάηεσ τουσ;

22 15. Πόςο περίπου είναι το μζτρο του βάρουσ ενόσ ςϊματοσ που ζχει μάηα m=1kg και τοποκετείται ςτθν επιφάνεια τθσ κάλαςςασ ςε γεωγραφικό πλάτοσ 45 ο ; 4 11 Nm (R Γθσ 6.300km, M Γθσ = 6 10 kg, G= 6,67 10 kg kg 16. Αν ζνα ςϊμα μεταφερκεί από τθν επιφάνεια τθσ Γθσ ςτθν επιφάνεια τθσ Σελινθσ, α) κα αλλάξει θ μάηα του; β) κα αλλάξει το μζτρο του βάρουσ του; 17. Ποιεσ παραμορφϊςεισ ςωμάτων ονομάηονται ελαςτικζσ και ποιεσ πλαςτικζσ; 18. Τι ονομάηουμε ιδανικό ελατιριο; 19. Πωσ διατυπϊνεται ο νόμοσ των ελαςτικϊν παραμορφϊςεων του Hooke; 0. Αν l 0 είναι το φυςικό μικοσ ενόσ ιδανικοφ ελατθρίου του οποίου το ζνα άκρο είναι ςτακερό και l είναι το μικοσ του ίδιου ελατθρίου όταν δζχεται ςτο άλλο άκρο δφναμθ μζτρου F, κατά μικοσ του άξονά του, που το παραμορφϊνει: α) τι ζχει υποςτεί το ελατιριο όταν l>l 0 και τι όταν l<l 0 ; β) πωσ παριςτάνεται γραφικά θ F εξ =f(l -l 0 ); γ) τι διαςτάςεισ ζχει ο ςυντελεςτισ διεφκυνςθσ τθσ ευκείασ γραφικισ παράςταςθσ κατά τθν επιμικυνςθ του ελατθρίου, τι εκφράηει, ςε τι μονάδεσ μετριζται και ποιόν χαρακτθρίηει; δ) αν το ελατιριο τοποκετθκεί κατά μικοσ του άξονα των x, με το ελεφκερο άκρο του ςτθ κζςθ x=0, ποια ςχζςθ δίνει τθν F' = f(x), όπου F' θ αλγεβρικι τιμι τθσ αντίδραςθσ του ελατθρίου ςτθν F που το παραμορφϊνει; 1. Πωσ μποροφμε να καταςκευάςουμε ζνα δυναμόμετρο;. Τι ονομάηουμε ςυνιςταμζνθ δυο ι περιςςότερων δυνάμεων, πωσ ονομάηεται θ διαδικαςία προςδιοριςμοφ τθσ, ποια μακθματικι ςχζςθ δίνει πάντα το διάνυςμά τθσ και πωσ εργαηόμαςτε γεωμετρικά για τον προςδιοριςμό τθσ; 3. Ποια είναι τα ςτοιχεία τθσ ςυνιςταμζνθσ δυο γνωςτϊν δυνάμεων που αςκοφνται ςτο ίδιο ςϊμα (με κοινό ςθμείο εφαρμογισ) αν αυτζσ οι δυνάμεισ ζχουν: α) τθν ίδια κατεφκυνςθ (θ μεταξφ τουσ γωνία φ=0 ο ), β) αντίκετεσ κατευκφνςεισ και άνιςα μζτρα (φ=180 ο ), γ) αντίκετεσ κατευκφνςεισ και ίςα μζτρα (ακριβϊσ αντίκετεσ), δ) κάκετεσ διευκφνςεισ (φ=90 ο ), ε) (γενικι περίπτωςθ)κατευκφνςεισ που ςχθματίηουν μεταξφ τουσ τυχαία γνωςτι γωνία φ. 4. Ποια διαδικαςία ονομάηεται «ανάλυςθ δφναμθσ ςε δυο ςυνιςτϊςεσ»; Πόςα αποτελζςματα μπορεί να ζχει αυτι θ διαδικαςία; Πωσ γίνεται θ ανάλυςθ δφναμθσ ςε γνωςτοφσ κάκετουσ άξονεσ; )

23 3 5. Πωσ μποροφμε να κάνουμε ςφνκεςθ δυνάμεων μζςω ανάλυςισ τουσ ςε δεδομζνουσ κάκετουσ άξονεσ; 6. Πότε λζμε ότι οι δυνάμεισ που αςκοφνται ςε ζνα ςϊμα ιςορροποφν; Τι επίπτωςθ ζχει ςτθν κινθτικι κατάςταςθ του ςϊματοσ, θ ιςορροπία των δυνάμεων που δζχεται; Μπορείτε να διατυπϊςετε τον ςχετικό νόμο του Newton (1 οσ Νόμοσ του Νεφτωνα ι αξίωμα τθσ αδράνειασ); 7. Ζχει ο νόμοσ τθσ αδράνειασ αντίςτροφθ ιςχφ; 8. Τι εννοοφμε με τον όρο ςτατικι ιςορροπία; 9. Όταν θ ςυνιςταμζνθ δφο ι περιςςοτζρων δυνάμεων είναι μθδενικι, τι ςυμπζραςμα μποροφμε να βγάλουμε για τισ ςυνιςτϊςεσ αυτϊν των δυνάμεων ςε δεδομζνουσ κάκετουσ άξονεσ; 30. Όταν θ ςυνιςταμζνθ τριϊν ι περιςςοτζρων δυνάμεων είναι μθδενικι ποια ςχζςθ ικανοποιεί θ κακεμία από αυτζσ τισ δυνάμεισ; 31. Όταν τρεισ μθ παράλλθλεσ δυνάμεισ είναι οι μόνεσ που αςκοφνται ςε ςτερεό ςϊμα που ιςορροπεί, ποια ςυνκικθ ικανοποιοφν οι φορείσ των δυνάμεων αυτϊν; 3. Ποια είναι τα χαρακτθριςτικά ενόσ ιδανικοφ νιματοσ; Τι κατεφκυνςθ ζχει θ δφναμθ που αςκεί το ιδανικό νιμα ςε ςϊμα που είναι δεμζνο ςτο άκρο του; Αν ζνα ιδανικό νιμα ζχει δεμζνα ςτα άκρα του δυο ςϊματα (και δεν εμποδίηεται κατά τθν κίνθςι του από κανζνα άλλο ςϊμα) τι κοινό ζχουν οι δυνάμεισ που αςκοφνται από το νιμα ςτα ςϊματα που είναι δεμζνα ςτα άκρα του; 33. Ποια δφναμθ ονομάηουμε τριβι και ςε τι οφείλεται αυτι; Πότε τθ χαρακτθρίηουμε «ςτατικι» και πότε «ολίςκθςθσ», πωσ βρίςκουμε το μζτρο και τθν κατεφκυνςθ τθσ ςτατικισ τριβισ και πωσ τθσ τριβισ ολίςκθςθσ; Μπορεί να διατυπωκεί κάποιοσ νόμοσ τριβισ για κακεμία από αυτζσ; 34. Σε ςϊμα που αρχικά θρεμεί πάνω ςε τραχφ οριηόντιο δάπεδο, αςκοφμε οριηόντια δφναμθ ςτακερισ κατεφκυνςθσ και μζτρου F που αρχικά είναι ςχεδόν μθδενικό και ςτθ ςυνζχεια αυξάνεται με ςτακερό ρυκμό. Μπορείτε να παραςτιςετε (ποιοτικά-χωρίσ τιμζσ) γραφικά τθν εξζλιξθ του μζτρου τθσ τριβισ που δζχεται το ςϊμα από το δάπεδο ςε ςυνάρτθςθ με το μζτρο τθσ F ;

24 4 35. Είναι χριςιμεσ ι επιηιμιεσ οι δυνάμεισ τριβισ; Αν το επικυμοφμε πωσ μποροφμε κατά περίπτωςθ να αυξιςουμε ι να ελαττϊςουμε τα μζτρα τουσ; 36. Πωσ διατυπϊνεται ο οσ νόμοσ του Νεφτωνα ι Θεμελιϊδθσ Νόμοσ τθσ Μθχανικισ; 37. Ποια ςχζςθ διαπιςτϊνουμε πειραματικά ότι ζχουν οι επιταχφνςεισ δυο ςωμάτων διαφορετικϊν μαηϊν (m 1 =λm ) που δζχονται ίςεσ δυνάμεισ F ( F ); ( 1) () 38. Ποια είναι θ διανυςματικι ζκφραςθ του Θεμελιϊδουσ Νόμου τθσ Μθχανικισ; 39. Πωσ ορίηεται μζςω του Θεμελιϊδουσ Νόμου τθσ Μθχανικισ θ μονάδα τθσ δφναμθσ ςτο S.I.; 40. Μπορεί το αξίωμα τθσ αδράνειασ να προκφψει ωσ ςυνζπεια του Θεμελιϊδουσ Νόμου τθσ Μθχανικισ; 41. Τι ονομάηουμε αδράνεια ενόσ ςϊματοσ; 4. Μπορείτε να εξθγιςετε με τθ βοικεια του Θεμελιϊδουσ Νόμου τθσ Μθχανικισ γιατί είναι δικαιολογθμζνο να κεωρείται θ μάηα ενόσ ςϊματοσ το μζτρο τθσ αδράνειάσ του; 43. Να περιγράψετε τθν κίνθςθ που κα εκτελεί, μετά τθν t=0, ζνα ςϊμα οριςμζνθσ μάηασ που δζχεται για t >0 : α) δυνάμεισ μθδενικισ ςυνιςταμζνθσ, αν τθν t=0 θρεμεί. β) δυνάμεισ ςτακερισ, μθ μθδενικισ, ςυνιςταμζνθσ, αν τθν t=0 θρεμεί. γ) δυνάμεισ μθδενικισ ςυνιςταμζνθσ, αν τθν t=0 κινείται με υ 0 0. δ) δυνάμεισ ςτακερισ, μθ μθδενικισ, ςυνιςταμζνθσ, αν τθν t=0 κινείται με 0 προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ F. ε) δυνάμεισ ςτακερισ, μθ μθδενικισ, ςυνιςταμζνθσ, αν τθν t=0 κινείται με 0 προσ κατεφκυνςθ αντίκετθ τθσ F. ςτ) αυξανόμενθ F προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ. η) ελαττοφμενθ F προσ τθν κατεφκυνςθ τθσ. θ) αυξανόμενθ F προσ κατεφκυνςθ αντίκετθ τθσ. κ) ελαττοφμενθ F προσ κατεφκυνςθ αντίκετθ τθσ. ι) ςτακερι F, αν τθν t=0 κινείται με 0 κάκετθ προσ τθ F. κ) ςτακεροφ μζτρου F, μονίμωσ κάκετθ ςτθ.

25 5 44. Πωσ ονομάηεται και πωσ ςυμβολίηεται θ επιτάχυνςθ ενόσ ςϊματοσ που κινείται, ςτθν περιοχι τθσ Γθσ, με τθν επίδραςθ του βάρουσ του και μόνο; Πωσ εφαρμόηεται ο Θεμελιϊδθσ Νόμοσ τθσ Μθχανικισ (ποια μορφι παίρνει θ ςχζςθ F m ) ςτθν περίπτωςθ αυτι; Πωσ ονομάηεται θ κίνθςθ που εκτελεί το ςϊμα αυτό; Είναι πάντα ευκφγραμμθ; Αν είναι ευκφγραμμθ είναι ομαλά μεταβαλλόμενθ; 45. Πωσ ςυνδυάηονται ο νόμοσ τθσ παγκόςμιασ ζλξθσ με το Θεμελιϊδθ Νόμο τθσ Μθχανικισ κατά τθν ελεφκερθ πτϊςθ ςϊματοσ, για τον υπολογιςμό του μζτρου τθσ επιτάχυνςθσ τθσ βαρφτθτασ ςε δεδομζνο φψοσ πάνω από τθν επιφάνεια τθσ Γθσ; 46. Η ςχζςθ w m g που δίνει το μζτρο του βάρουσ ενόσ ςϊματοσ όταν είναι γνωςτι θ μάηα του και το μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ τθσ βαρφτθτασ ςτθ κζςθ που βρίςκεται το ςϊμα, ιςχφει μόνο όταν το ςϊμα πζφτει ελεφκερα ι και όταν είναι ακίνθτο ι και ςε οποιαδιποτε κινθτικι κατάςταςθ και αν βρίςκεται; 47. Πωσ εφαρμόηουμε με αλγεβρικζσ τιμζσ το Θεμελιϊδθ Νόμο τθσ Μθχανικισ όταν είναι γνωςτι θ κατεφκυνςθ τθσ επιτάχυνςθσ του ςϊματοσ που δζχεται δυνάμεισ μιασ μόνο διεφκυνςθσ; (Εφαρμογι με δυνάμεισ που αςκοφνται ςε φορτίο που τοποκετείται ςε ανελκυςτιρα όταν αυτόσ θρεμεί ι ανζρχεται ι κατζρχεται, με ι χωρίσ επιτάχυνςθ). 48. Πωσ εφαρμόηουμε το Θεμελιϊδθ Νόμο τθσ Μθχανικισ για τον υπολογιςμό τθσ επιτάχυνςθσ ςϊματοσ που κινείται ςε δεδομζνθ διεφκυνςθ, όταν οι δυνάμεισ που δζχεται είναι διαφορετικϊν γνωςτϊν, ςτακερϊν διευκφνςεων; 49. Πωσ εργαηόμαςτε κατά τθ μελζτθ τθσ κίνθςθσ ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων που αλλθλεπιδροφν; Σε ποιεσ κατθγορίεσ διακρίνουμε τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτα μζλθ του ςυςτιματοσ; Πωσ απλοποιείται το κζμα όταν όλα τα μζλθ του ςυςτιματοσ κινοφνται με διανυςματικά ίςεσ ταχφτθτεσ;

26 6 50. Για ςϊμα που κινείται κατακόρυφα με τθν επίδραςθ μόνο του βάρουσ του που κεωρείται ςτακερό, να γράψετε τισ ςχζςεισ που δίνουν τισ αλγεβρικζσ τιμζσ τθσ επιτάχυνςθσ, τθσ ταχφτθτασ, και τθσ κζςθσ του ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο για t>0, ςε κακεμία από τισ παρακάτω περιπτϊςεισ: (και ςτισ πζντε περιπτϊςεισ απεικονίηεται το ςϊμα μάηασ m, τθν t=0 ςτθν «αρχικι» του κζςθ πάνω ςτον άξονα αναφοράσ με τθν «αρχικι» του ταχφτθτα.) y y 0 0 m 8 s 0 0 m 8 s O y=+0m O y=+0m O g g m g s g g y O y O y g m 10 s

27 7.7 Αςκήςεισ 1. Να ςυμπλθρϊςετε τον ακόλουκο πίνακα (όπου υπάρχουν. να βάλετε τον κατάλλθλο αρικμό): Σϊμα μάηασ m που δζχεται F κινείται με =m 1 = F 1 = 1 =m 1 =4 F 1 =... 1 =5m 1 = F 1 =... 1 =3m 1 =3 F 1 =. 1 = m 1 = F 1 =4 1 =6m 1 = F 1 = 1 m. Σϊμα με μάηα m=kg κινείται τθν t o =0 με ταχφτθτα μζτρου 0 =6. Το ςϊμα s αυτό δζχεται δυνάμεισ των οποίων θ ςυνιςταμζνθ είναι ςτακερι, ζχει μζτρο F =6N και διεφκυνςθ ίδια με αυτι τθσ ταχφτθτάσ του. Να βρείτε : α) τo μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ τθν t 1 =4s και τθν αλγεβρικι τιμι τθσ μετατόπιςισ του από t o ζωσ t 1, αν θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων και θ ταχφτθτα του ςϊματοσ ζχουν τθν ίδια φορά, β) ποια χρονικι ςτιγμι το ςϊμα κα ςταματιςει (ςτιγμιαία) να κινείται, αν θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων και θ ταχφτθτα του ςϊματοσ ζχουν αντίκετεσ κατευκφνςεισ.

28 8 3. Στο ςχιμα βλζπουμε ζναν ανελκυςτιρα μζςα ςτον οποίο ζχει τοποκετθκεί ζνα ψυγείο μάηασ m ψ =80kg. Tο ψυγείο δζχεται το βάροσ του w και μια δφναμθ N από το δάπεδο του ανελκυςτιρα με το οποίο ζρχεται ςε επαφι. Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ N όταν ο ανελκυςτιρασ : α) ιςορροπεί ακίνθτοσ, β) ανζρχεται με ςτακερι ταχφτθτα, γ) κατζρχεται με ςτακερι ταχφτθτα m δ) ανζρχεται με επιτάχυνςθ μζτρου 5, s ψυγείο N w w m ε) κατζρχεται με επιτάχυνςθ μζτρου 5, s m ςτ) ανζρχεται επιβραδυνόμενοσ με 5, s m z) κατζρχεται επιβραδυνόμενοσ με 5, s θ) κατζρχεται επιταχυνόμενοσ με g. m Για όλεσ τισ περιπτϊςεισ να κεωριςετε ότι g 10. s 4. Σϊμα μάηασ m=kg που θρεμεί αρχικά πάνω ςε οριηόντιο δάπεδο, αρχίηει να ολιςκαίνει με τθν επίδραςθ ςτακερισ οριηόντιασ δφναμθσ που του αςκοφμε και θ οποία ζχει μζτρο F =10N. Αν ςτα 3 πρϊτα δευτερόλεπτα τθσ κίνθςισ του το ςϊμα μετατοπιςτεί κατά 9m, ποια είναι θ τιμι του ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ που αναπτφςςεται ανάμεςα ςτισ επιφάνειεσ του ςϊματοσ και του m δαπζδου; Δίνεται g 10. s

29 9 5. Το ςϊμα του ςχιματοσ ζχει μάηα m=6kg και ολιςκαίνει προσ τα δεξιά με ταχφτθτα μζτρου πάνω ςτο οριηόντιο δάπεδο με το οποίο ο ςυντελεςτισ τθσ τριβισ ολίςκθςθσ που αναπτφςςεται είναι μ= 1. Στο ςϊμα αυτό (εκτόσ από το βάροσ του και τθ 3 ςυνολικι αντίδραςθ του δαπζδου) αςκείται και μια ςτακερι δφναμθ μζτρου F τθσ οποίασ το διάνυςμα ςχθματίηει γωνία φ με τθν οριηόντια διεφκυνςθ. Αν m g 10, θμφ=0,6 και ςυνφ=0,8, να υπολογίςετε το μζτρο τθσ δφναμθσ F αν: s α) θ ταχφτθτα του ςϊματοσ παραμζνει ςτακερι, β) το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ αυξάνεται κατά m s κάκε 3s κίνθςθσ, γ) το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ μειϊνεται κατά 1 m s ανά δευτερόλεπτο κίνθςθσ. 6. Το ςϊμα του ςχιματοσ αφινεται να ολιςκιςει κατά μικοσ του κεκλιμζνου επιπζδου γωνίασ φ=30 ο m. Αν θ μάηα του είναι m=4kg και g 10 s να βρείτε: α. με πόςθ επιτάχυνςθ (μζτρο) κατζρχεται αν το επίπεδο είναι λείο, β. με πόςθ επιτάχυνςθ (μζτρο) κατζρχεται αν το επίπεδο είναι τραχφ και μ= 3 4, γ. πόςθ κα ιταν θ επιβράδυνςθ (μζτρο) του ίδιου ςϊματοσ αν, αφοφ είχε δεχκεί κατάλλθλθ αρχικι ϊκθςθ, αφθνόταν ςτθ ςυνζχεια να ολιςκιςει ανερχόμενο κατά μικοσ του κεκλιμζνου επιπζδου (απαντιςτε i) για μ=0 και ii) για μ= 3 4 ); Δίνονται : θμ30 ο = 1 και ςυν30ο = 3.

30 30 7. Στο ςχιμα που ακολουκεί φαίνεται ζνα ςϊμα (Σ) μάηασ m=0kg που θρεμεί αρχικά (τθν t 0 =0s, ςτθ κζςθ x 0 =0m) πάνω ςε τραχφ οριηόντιο δάπεδο. Στο ςϊμα αυτό αρχίηει να αςκείται από τθ χρονικι ςτιγμι t 0 =0s, ςτακερι δφναμθ μζτρου F =100Ν, ο φορζασ τθσ οποίασ ςχθματίηει γωνία φ με το οριηόντιο επίπεδο, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Τθ ςτιγμι t 1 =3s και ενϊ το ςϊμα ζχει αποκτιςει ταχφτθτα 1, θ δφναμθ F παφει να αςκείται και ςτθ ςυνζχεια το ςϊμα ολιςκαίνει επιβραδυνόμενο και ςταματάει τθ χρονικι ςτιγμι t ςτθ κζςθ x. Αν το ςϊμα, εκτόσ από τθ δφναμθ F, δζχεται το βάροσ του και κάκετθ δφναμθ και τριβι ολίςκθςθσ με ςυντελεςτι μ, από το δάπεδο πάνω ςτο οποίο m ολιςκαίνει και g 10, θμφ=0,6, ςυνφ=0,8 και μ=0, : s α) να αναλφςετε τισ δυνάμεισ που δζχεται το ςϊμα ςε παράλλθλεσ και κάκετεσ προσ τθ διεφκυνςθ κίνθςθσ και να υπολογίςετε τισ αλγεβρικζσ τιμζσ τουσ από t 0 ζωσ t 1 και από t 1 ζωσ t, β) να υπολογίςετε τισ αλγεβρικζσ τιμζσ των επιταχφνςεων του ςϊματοσ από t 0 ζωσ t 1 και από t 1 ζωσ t, γ) να υπολογίςετε τθν αλγεβρικι τιμι υ 1, τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ τθ ςτιγμι t 1, και τθν τιμι x 1 τθσ κζςθσ του ςϊματοσ τθν ίδια ςτιγμι, δ) να υπολογίςετε τθν τιμι x τθσ κζςθσ του ςϊματοσ τθ ςτιγμι που ςταματάει, ε) να χαράξετε τισ γραφικζσ παραςτάςεισ τθσ επιτάχυνςθσ, τθσ ταχφτθτασ και τθσ κζςθσ του ςϊματοσ (αλγεβρικζσ τιμζσ) ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο κίνθςισ του, ςτ) να βρείτε ποια τιμι κα ζπρεπε να ζχει ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ϊςτε θ ςυνολικι μετατόπιςθ του ςϊματοσ να ιταν διπλάςια.

31 31 8. Σϊμα αφινεται να ολιςκιςει ελεφκερα κατά μικοσ λείου κεκλιμζνου δαπζδου ςτακερισ κλίςθσ. Αν το ςϊμα ςε s από τθν εκκίνθςι του διανφει διάςτθμα m 10m, να βρείτε τθν κλίςθ του δαπζδου. Δίνεται ότι g 10. s 9. Σϊμα μάηασ m που βρίςκεται ςτθ βάςθ κεκλιμζνου δαπζδου, που ςχθματίηει γωνία φ με το οριηόντιο, ζχει τθ χρονικι ςτιγμι t 0 =0s αρχικι ταχφτθτα μζτρου =10m/s, και ολιςκαίνει ανερχόμενο κατά μικοσ του κεκλιμζνου δαπζδου, 0 όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα που ακολουκεί. 0 m Α. Αν m=kg, g 10, s φ=30 ο και ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ζχει τιμι μ=0,1, να βρείτε τθ χρονικι ςτιγμι φ κατά τθν οποία το ςϊμα κα επιςτρζψει ςτθν αρχικι του κζςθ και να εξετάςετε αν θ ταχφτθτα με τθν οποία κα επιςτρζψει ζχει το ίδιο μζτρο με τθν αρχικι. Β. Αν θ μάηα του ςϊματοσ ιταν δεκαπλάςια και οι υπόλοιπεσ τιμζσ των δεδομζνων ιταν ίδιεσ, ποια κα ιταν θ χρονικι ςτιγμι τθσ επιςτροφισ του ςϊματοσ ςτθν αρχικι του κζςθ; 10. Σϊμα αφινεται τθ χρονικι ςτιγμι t 0 =0 από τθν θρεμία για να εκτελζςει ελεφκερθ πτϊςθ από αρχικό φψοσ h 0 =15m πάνω από το ζδαφοσ. Αν κατά τθ διάρκεια τθσ πτϊςθσ του θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ είναι ςτακερι και ζχει μζτρο g 10m/s, να βρείτε : α. τθ χρονικι ςτιγμι t τελ. κατά τθν οποία κα ςυναντιςει το ζδαφοσ, β. τθν ταχφτθτα με τθν οποία κα προςκροφςει ςτο ζδαφοσ, γ. τθν ταχφτθτά του τθ χρονικι ςτιγμι t 1 = t. και να χαράξετε ςε βακμολογθμζνουσ άξονεσ τισ γραφικζσ παραςτάςεισ : α. του μζτρου τθσ ταχφτθτασ του ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο πτϊςθσ του,

32 3 β. του φψουσ ςτο οποίο βρίςκεται ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο πτϊςθσ του. 11. Σϊμα βάλλεται τθ χρονικι ςτιγμι t 0 =0, από ςθμείο του εδάφουσ (h 0 =0) με κατακόρυφθ αρχικι ταχφτθτα που ζχει φορά προσ τα πάνω και μζτρο =60m/s. Το ςϊμα μετά τθν t=0 κινείται με τθν επίδραςθ μόνο του βάρουσ 0 του μζχρι να επιςτρζψει ςτο ζδαφοσ. Αν g 10m/s, Α. Να βρείτε : α. τθν αλγεβρικι τιμι τθσ ταχφτθτάσ του και το φψοσ ςτο οποίο κα βρίςκεται τισ χρονικζσ ςτιγμζσ : i) t 1 =s και ii) t =10s, β. i) μζχρι ποια χρονικι ςτιγμι κα κινείται ανερχόμενο και ii) μζχρι ποιο μζγιςτο φψοσ κα φτάςει, γ. τισ αλγεβρικζσ τιμζσ τθσ ταχφτθτάσ του τισ ςτιγμζσ κατά τισ οποίεσ βρίςκεται ςε φψοσ 135m, δ. ςε ποιο φψοσ κινείται με ταχφτθτα μζτρου 0m/s. Β. Να ςυγκρίνετε τθ χρονικι διάρκεια τθσ ανόδου με αυτι τθσ κακόδου του ςϊματοσ (μζχρι να επιςτρζψει ςτο ζδαφοσ). Γ. Να χαράξετε τισ γραφικζσ παραςτάςεισ : i) τθσ αλγεβρικισ τιμισ τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο κίνθςισ του, ii) του φψουσ ςτο οποίο βρίςκεται το ςϊμα ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο κίνθςισ του, iii) τθσ αλγεβρικισ τιμισ τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ ςε ςυνάρτθςθ με το φψοσ ςτο οποίο βρίςκεται το ςϊμα. Να κεωριςετε ωσ κετικι φορά του άξονα τθσ κίνθςθσ τθ φορά τθσ αρχικισ ταχφτθτασ του ςϊματοσ.

33 33 1. Δφο ςϊματα Α και Β βρίςκονται ςε αρχικά φψθ h 1 =45m και h =5m αντίςτοιχα, πάνω από το οριηόντιο ζδαφοσ. Τθ ςτιγμι t 0 =0 το ςϊμα Α αφινεται να πζςει ελεφκερα. Τθ ςτιγμι t 1 που το ςϊμα Α περνάει δίπλα από το ςϊμα Β, αφινεται ελεφκερο και το Β. Αν g 10m/s, ποιο από τα δφο ςϊματα κα φτάςει πρϊτο ςτο ζδαφοσ και μετά από πόςο χρόνο κα φτάςει και το άλλο ςτο ζδαφοσ; Να γίνουν κοινά διαγράμματα - t και h - t. 13. Αφινουμε, με διαφορά χρόνου Δt=1s, δυο ςϊματα να πζςουν ελεφκερα από το ίδιο αρχικό φψοσ h 0 =80m πάνω από το ζδαφοσ. Αν g 10m/s, να βρείτε: i) με πόςθ διαφορά χρόνου κα πζςουν ςτο ζδαφοσ (όπου ακινθτοποιοφνται), ii) πωσ μεταβάλλεται θ μεταξφ τουσ απόςταςθ d κατά τθ διάρκεια τθσ πτϊςθσ τουσ. *Να γίνει γραφικι παράςταςθ τθσ d=f(t) από τθν t 0 =0, που αφιςαμε το πρϊτο ςϊμα, μζχρι να πζςει ςτο ζδαφοσ και το δεφτερο Τα ςϊματα Α και Β του ςχιματοσ, που θρεμοφν αρχικά πάνω ςτο οριηόντιο δάπεδο, ςυνδζονται μεταξφ τουσ με οριηόντιο και μθ εκτατό νιμα αμελθτζασ μάηασ και μικουσ L. Από τθ χρονικι ςτιγμι t 0 =0 και μετά αςκοφμε ςτο ςϊμα Α ςτακερι οριηόντια δφναμθ μζτρου F =0Ν, οπότε το ςϊμα Α αρχίηει να κινείται, παραςφροντασ αμζςωσ και το ςϊμα Β. Αν m A =4kg,m B =1kg, m L=40cm και g 10, να βρείτε: s α. τθ ςτακερι επιτάχυνςθ με τθν οποία κινοφνται τα ςϊματα μετά τθν t 0 =0, ςτισ περιπτϊςεισ που: i) το δάπεδο είναι λείο και ii) ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ για τισ δεδομζνεσ τριβόμενεσ επιφάνειεσ των ςωμάτων και του δαπζδου είναι μ=0,, β. τθν απόςταςθ ανάμεςα ςτα δυο ςϊματα τθ χρονικι ςτιγμι t =3s, αν τθ χρονικι ςτιγμι t 1 =s ςπάςει το νιμα που τα ςυνδζει, ενϊ θ δφναμθ F ςυνεχίηει να αςκείται ςτο ςϊμα Α.

34 Τα ςϊματα Α και Β του ςχιματοσ ζχουν μάηεσ m 1 =4,5kg και m =0,5kg αντίςτοιχα και ςυνδζονται με μθ εκτατό νιμα, αμελθτζασ μάηασ, το οποίο περνάει από το λείο αυλάκι ςτακερισ τροχαλίασ που είναι ςτερεωμζνθ ςτθν οροφι ενόσ δωματίου. Αν τθν t 0 =0 τα ςϊματα, που ςυγκρατοφνται ακίνθτα ςτο ίδιο φψοσ, αφεκοφν ελεφκερα να κινθκοφν, να βρείτε: α) τθ δφναμθ που αςκεί το νιμα ςε κάκε ςϊμα και β) τθ χρονικι ςτιγμι κατά τθν οποία θ κατακόρυφθ απόςταςθ των δυο ςωμάτων κα είναι ίςθ με 80cm. m Δίνεται g 10. s 16. Η μθχανι του τρζνου ζχει μάηα Μ και το κακζνα από τα ν βαγόνια του ςυρμοφ ζχει μάηα m. Αν το ςφνολο των τριβϊν (με τισ γραμμζσ και τον αζρα) που δζχεται το κάκε βαγόνι κατά τθν κίνθςι του ζχει μζτρο T 1, να βρείτε: α. το μζτρο τθσ δφναμθσ F 1 που πρζπει να δζχεται το 1 ο βαγόνι από τθ μθχανι ϊςτε ο ςυρμόσ να κινείται οριηόντια και ευκφγραμμα: i) με ςτακερι ταχφτθτα, ii) με επιτάχυνςθ μζτρου 1, iii) με επιβράδυνςθ μζτρου (διερεφνθςθ για τθ φορά τθσ), β. τθ διαφορά των μζτρων των δυνάμεων που δζχεται το κάκε ενδιάμεςο βαγόνι ςτουσ ςυνδζςμουσ Σ από το βαγόνι που προθγείται και το βαγόνι που ζπεται, ςτθν περίπτωςθ που ο ςυρμόσ κινείται οριηόντια και ευκφγραμμα με επιτάχυνςθ μζτρου 1, γ. το μζτρο τθσ δφναμθσ F που δζχονται οι κινθτιριοι τροχοί τθσ μθχανισ από τισ γραμμζσ όταν κινείται με επιτάχυνςθ μζτρου 1, αν όλεσ οι υπόλοιπεσ τριβζσ που αντιτίκενται ςτθν κίνθςι τθσ ζχουν μζτρο T.

35 Το ςφςτθμα αλεξίπτωτο-ςϊμα του ςχιματοσ, όταν κατζρχεται με ταχφτθτα μζτρου, δζχεται από τον αζρα αντίςταςθ ανάλογθ του τετραγϊνου τθσ ταχφτθτασ αυτισ. Για το ςχιμα και το μζγεκοσ του ςυςτιματοσ, θ ςχζςθ που δίνει το μζτρο τθσ ςυνολικισ δφναμθσ που αςκείται από τον αζρα ςτο ςφςτθμα (ςτθν περιοχι τθσ προβλεπόμενθσ ταχφτθτασ) είναι: A=40( kg m ). υ. α. Αν θ μάηα του ςυςτιματοσ είναι m=100kg, ποια είναι θ τιμι τθσ προβλεπόμενθσ ςτακερισ ταχφτθτασ κακόδου; β. Τι κα ςυνζβαινε αν θ ταχφτθτα κακόδου ιταν μικρότερθ ι μεγαλφτερθ από τθν προβλεπόμενθ; m Δίνεται g 10. s 18. Τα ςϊματα Σ 1 και Σ του ςχιματοσ ζχουν μάηεσ m 1 και m αντίςτοιχα και ςυνδζονται με μθ εκτατό νιμα αμελθτζασ μάηασ, το οποίο περνάει μζςα από το λείο αυλάκι τθσ ςτακερισ τροχαλίασ που είναι ςτερεωμζνθ ςτθν κορυφι του κεκλιμζνου επιπζδου γωνίασ φ. Αν ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτισ τριβόμενεσ επιφάνειεσ του Σ και του κεκλιμζνου επιπζδου είναι μ, ποιοσ m1 είναι ο λόγοσ των μαηϊν m δυο ςωμάτων αν το Σ 1 : των α. ανζρχεται με ςτακερι ταχφτθτα, β. κατζρχεται με ςτακερι ταχφτθτα, γ. ανζρχεται με ςτακερι επιτάχυνςθ μζτρου,

36 36 δ. κατζρχεται με ςτακερι επιτάχυνςθ μζτρου. Να κεωριςετε γνωςτά τα μ, φ, g. και 19. Ο ςερβιτόροσ ςτο ςχιμα κρατάει ςτο χζρι του ζνα δίςκο μάηασ m δ =0,8kg πάνω ςτον οποίο ζχει τοποκετιςει ζνα ποτιρι με μάηα m π =0,4kg. Το επίπεδο του δίςκου είναι οριηόντιο και ο ςυντελεςτισ οριακισ τριβισ ανάμεςα ςτισ εφαπτόμενεσ επιφάνειεσ του ποτθριοφ και του δίςκου είναι μ ορ =0,4 ενϊ ο αντίςτοιχοσ ςυντελεςτισ ανάμεςα ςτισ εφαπτόμενεσ επιφάνειεσ του χεριοφ του και του δίςκου είναι πολφ μεγαλφτεροσ. Α. Πόςθ είναι θ μζγιςτθ τιμι τθσ οριηόντιασ επιτάχυνςθσ με τθν οποία μπορεί ο ςερβιτόροσ να μετακινεί οριηόντια το δίςκο ϊςτε το ποτιρι να μθν ολιςκαίνει πάνω ς' αυτόν; Β. Πόςθ είναι ς' αυτι τθν περίπτωςθ θ ςυνολικι δφναμθ που δζχεται ο δίςκοσ από το χζρι του ςερβιτόρου; m Δίνεται g 10. s