ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΟΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΕ ΑΡΘΡΩΤΗ ΦΙΓΟΥΡΑ

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΟΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΕ ΑΡΘΡΩΤΗ ΦΙΓΟΥΡΑ Γ ιαγτζή Αναστασία Κάζογλου Αναστασία ΜΑΙΟΣ 2009 ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μαρκουλίδης Αναστάσιος Εκπονηθείσα πτυχιακή εργασία απαραίτητη για την κτήση του βασικού πτυχίου

2 Πρόλογος Μετά τα χρόνια της φοίτησης και της εργασίας μας, έφτασε η στιγμή που πρέπει να τελειώσει κι αυτό το κομμάτι της ζωής μας. Ευχαριστούμε θερμά όλους τους καθηγητές και ιδιαίτερα τον κ. Μαρκουλίδη Αναστάσιο (επόπτης καθηγητής) που με την βοήθεια και τις συμβουλές τους φτάσαμε ως εδώ. Και τους συμφοιτητές/φίλους μας που όλα αυτά τα χρόνια περάσαμε μαζί υπέροχες στιγμές. Τέλος ευχαριστούμε τους γονείς μας που χωρίς αυτούς δεν θα καταφέρναμε τίποτα.

3 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή... 7 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο Μοντελοποιώντας τον βραχίονα Η άρθρωση του ώμου Το χέρι Συντονισμένη κίνηση Έκταση γύρω από εμπόδια Δύναμη...21 Κεφάλαιο 2: Βάδισμα Οι μηχανισμοί της μετακίνησης Κύκλος βαδίσματος Κύκλος τρεξίματος Μεταφορά της λεκάνης Περιστροφή της λεκάνης Κλίση λεκάνης Κάμψη γονάτου Αρθρώσεις αστραγάλου και δακτύλου Η κινηματική του βαδίσματος Χρήση δυναμικής για την παραγωγή ρεαλιστικής κίνησης Εμπρόσθιος δυναμικός έλεγχος Συμπεράσματα...38 Κεφάλαιο 3: Απόδοση κίνησης στο πρόσωπο Είδη προτύπων προσώπου Δημιουργώντας το πρότυπο Συστάσεις Προσεγγίσεις στην απόδοση της κίνησης του προσώπου Το σύστημα κωδικοποίησης δράσης του προσώπου Παραμετροποιημένα πρότυπα Μυϊκά μοντέλα...56 Κεφάλαιο 4: Επισκόπηση της αναπαράστασης του εικονικού ανθρώπου Εκπροσώπηση της γεωμετρίας του σώματος Πολυγωνική εκπροσώπηση Εκπροσώπηση αυλακιών Άλλες εκπροσωπήσεις Απόκτηση γεωμετρικών δεδομένων Γεωμετρική παραμόρφωση... 67

4 4.4 Ρουχισμός Μαλλιά Λεπτομέρειες επιφάνειας Κεφάλαιο 5: Μοντελοποίηση ανθρώπινης φιγούρας σε στρώματα Κεφάλαιο 6: Ύφασμα και ρουχισμός Απλή κάλυψη Μπαίνοντας στα ρούχα Μοντελοποίηση δυναμικής Ανίχνευση σύγκρουσης και αντίδρασης...84 Κεφάλαιο 7: Σύλληψη κίνησης (Motion Capturing) Επεξεργασία των εικόνων Ρυθμίσεις λειτουργίας κάμερας Τρισδιάστατη αναδημιουργία θέσης Πολλαπλοί Δείκτες Πολλαπλές Κάμερες Προσαρμογή στο σκελετό Τροποποίηση του Motion Capturing Επίλογος Κεφάλαιο 8: Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

5 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Πίνακας σχημάτων Σχήμα 1: Βασικό μοντέλο ανθρώπινου χεριού...10 Σχήμα 2: Η επίδραση του πρώτου βαθμού ελευθερίας στον τελικό χρήστη...13 Σχήμα 3: Κατασκευάζοντας το χέρι σε ένα συγκεκριμένο πλάνο του χρήστη Σχήμα 4: Αρχικοποιημένο μοντέλου του άνω άκρου Σχήμα 5: Απλό μοντέλο χεριού και δαχτύλων...16 Σχήμα 6: Απλοποιημένα χέρια...17 Σχήμα 7: Το λύγισμα του δαχτύλου ελέγχεται από απλές παραμέτρους : η αύξηση της γωνίας άρθρωσης (βαθμίδες) ανά άρθρωση...17 Σχήμα 8: Αποτέλεσμα προγραμματισμού τροχιάς...20 Σχήμα 9: Κύκλος βαδίσματος ([37]) Σχήμα 10: Κύκλος τρεξίματος ([12]) Σχήμα 11:Η θέση της λεκάνης κατά τη διάρκεια της φάσης θέσης (πλάνο μεσαίου επιπέδου του σώματος) δείχνει τη σχετική επαφή με το πάτωμα...27 Σχήμα 12: Μεταφορά της λεκάνης με τεμνόμενα κυκλικά τόξα Σχήμα 13: Προσανατολισμός της λεκάνης κατά τη διάρκεια της φάσης θέσης. 28 Σχήμα 14: Φάση θέσης του κέντρου της λεκάνης, υπερβάλλεται για επεξηγηματικούς λόγους...28 Σχήμα 15: Κλίση λεκάνης, για τη μείωση του ποσού του καταλόγου (στεφανιαίο επίπεδο) Σχήμα 16: Κάμψη γονάτου που επιτρέπει την περιστροφή του ποδιού χωρίς να ακουμπάει στο έδαφος, την κίνηση της λεκάνης και την απορρόφηση του κραδασμού...29 Σχήμα 17: Περιστροφή λόγω των αρθρώσεων αστραγάλου- δαχτύλου Σχήμα 18: Πλευρικό εκτόπισμα της λεκάνης ([37])...32 Σχήμα 19: Γωνίες του γοφού ([37]) Σχήμα 20: Γωνίες γονάτου ([37]) Σχήμα 21: Γωνίες του αστραγάλου ([37]) Σχήμα 22: Γωνίες των δαχτύλων των ποδιών Σχήμα 23: Λεκάνη και πόδια περιορισμοί που ικανοποιούνται από αντίστροφες κινηματικές Σχήμα 24: Οριζόντια και κάθετη δυναμική του ποδιού...37 Σχήμα 25: Τηλεσκοπική άρθρωση με κατάλληλες σύνθετες κινηματικές του ποδιού Σχήμα 26: Εικονογραφημένη κίνηση του προσώπου από το Getting into Art.. 42 Σχήμα 27: Πρόσωπο από καρτούν Σχήμα 28: Φωτογραφίες από το πώς ένα πρόσωπο μπορεί να ψηφιοποιηθεί 48 Σχήμα 29: Σημεία χαρακτηριστικών γνωρισμάτων που αντιστοιχούν στα MPEG- 4 Facial Definition Parameters[26] Σχήμα 30: Τρεις μονάδες δράσης της άκρης του προσώπου[22] Σχήμα 31: Πρότυπο του Parke; [56] Σχήμα 32: Μέρος της γεωμετρίας επιφάνειας του προσώπου που παρουσιάζει το σημείο της σύνδεσης (Α) και το σημείο της εισαγωγής (Β) ενός γραμμικού μυός Σχήμα 34: Μείωση δειγμάτων:... 59

6 Σχήμα 35: Πλέγμα ελατηρίου ως πρότυπο δερμάτων Σχήμα 36: Το ελαστικό και κολλώδες πρότυπο voight...60 Σχήμα 37: Το πρότυπο μυός του Hill Σχήμα 38: Το βασικό δικτυωτό πλέγμα FFD...72 Σχήμα 39: Παραμόρφωση που προκαλείται από τα FFDs ως αποτέλεσμα κίνησης αρθρώσεων...73 Σχήμα 40: Πρότυπο γραμμικού μυ ([62]) Σχήμα 41: Άνω θωρακικοί μύες Σχήμα 42: Μοντέλο του δέρματος πάνω από τους μύες, τους τένοντες και τον λιπώδη ιστό Σχήμα 43: Χώρος περιορισμένου υφάσματος και συντεταγμένου πλέγματος.. 77 Σχήμα 44: Δύο αλυσοειδείς καμπύλες που υποστηρίζουν το ίδιο σημείο Σχήμα 45: Τριγωνισμός περιορισμένων σημείων στις συντεταγμένες του πλέγματος Σχήμα 46: Υποδιαιρούμενα τρίγωνα Σχήμα 48: Έλεγχος του λυγίσματος με δίεδρη γωνία...84 Σχήμα 49: Έλεγχος του λυγίσματος με χωρισμό των συνεχόμενων κορυφών. 84 Σχήμα 50: Εικόνα από την σύλληψη οπτικής κίνησης Σχήμα 51: Πρότυπο κάμερας...92 Σχήμα 52: Υ-Ζ προβολή του σημείου στο χώρο πάνω στο επίπεδο στο συντεταγμένο σύστημα κάμερας Σχήμα 53: Άποψη ενός σημείου από δύο κάμερες...94 Σχήμα 54: Δείγμα καθορισμού σημαδιών (markers)...96 Σχήμα 55: Πλήρες σύνολο σημαδιών ([49]) Σχήμα 56: Περιστροφή συνδέσμου με ένα βαθμό ελευθερίας...99

7 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ίέ / ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Η μοντελοποίηση και η απόδοση της κίνησης σε μια φιγούρα με αρθρώσεις είναι ένα αποθαρρυντικό έργο. Είναι ιδιαιτέρως προκλητικό όταν η φιγούρα προορίζεται να αναπαραστήσει έναν άνθρωπο. Υπάρχουν πολλοί λόγοι για αυτό. Πρώτον, η ανθρώπινη φιγούρα είναι μια πολύ οικία φιγούρα, αυτή η οικειότητα κάνει κάθε άνθρωπο έναν κρίσιμο παρατηρητή. Όταν ένας άνθρωπος έχει να κάνει με μια κινούμενη φιγούρα μπορεί αμέσως να αναγνωρίσει πότε οι κινήσεις του είναι ή δείχνουν σωστές. Δεύτερον, το ανθρώπινο σώμα είναι πολύπλοκο με περισσότερα από 200 οστά και 600 μύες. Όταν το αναπαριστούμε μαζί με τα συνδεδεμένα άκαμπτα τμήματα τότε η ανθρώπινη μορφή αποκτά επιπλέον περίπου 200 βαθμούς ελευθερίας. Η παραμορφώσιμη των τμημάτων του ανθρώπινου σώματος μπερδεύει κι άλλο το θέμα της μοντελοποίησης και της απόδοσης κίνησης. Τρίτον, η ανθρωπόμορφη κίνηση δεν είναι αρκετά καλά προσδιορισμένη από υπολογιστικής άποψης. Ορισμένες μελέτες προσπάθησαν να περιγράψουν την ανθρώπινη κίνηση επακριβώς αλλά τυπικά αυτές οι περιγραφές μπορούν να εφαρμοστούν μόνο σε περιορισμένες καταστάσεις. Τέταρτον, δεν υπάρχει καμία εξορισμού κίνηση η οποία να αναπαριστά ακριβώς έναν άνθρωπο. Οι διαφορές που προκύπτουν από την γενετική, την κουλτούρα, την προσωπικότητα και την ψυχική κατάσταση μπορούν να επηρεάσουν το πώς μια συγκεκριμένη κίνηση εκτελείται. Δεν έχουν γενικές μέθοδοι για παραγωγή συναισθημάτων περιγραφεί, ούτε επίσης αποχρώσεις συναισθημάτων τα οποία κάνουν τον καθένα μοναδικό και μοναδικά αναγνωρίσιμο. Παρόλο που η συζήτηση σε αυτό το κεφάλαιο επικεντρώνεται αρχικά στο ανθρώπινο σχήμα πολλές από τις τεχνικές μπορούν να εφαρμοστούν σε κάθε τύπο ανθρωπόμορφης φιγούρας με άρθρωση.

8 Τοξοειδές (Sagittal plane) επίπεδο κάθετο στο έδαφος και χωρίζει το σώμα αριστερό και δεξί μισό. Στεφανιαίο επίπεδο κάθετο στο έδαφος και χωρίζει το σώμα σε εμπρόσθιο (Coronal plane) και πισινό ήμισυ. Εγκάρσιο επίπεδο παράλληλο με το έδαφος και χωρίζει το σώμα στη μέση σε πάνω και κάτω μέρος. Ακραίο επίπεδο μακριά από τη σύνδεση του άκρου. Κεντρικό επίπεδο προς τη σύνδεση του άκρου. Κάμψη κίνηση της άρθρωσης που μειώνει τη γωνία μεταξύ δυο οστών. Επέκταση κίνηση της άρθρωσης που αυξάνει τη γωνία μεταξύ δυο οστών. Πίνακας 1: Επιλεγμένοι όροι ανατομίας Ο Πίνακας 1 μας παρέχει τους ορισμούς των ανατομικών όρων που χρησιμοποιούνται εδώ. Σε αυτό το κεφάλαιο είναι ιδιαίτερα σημαντικοί οι όροι που ονομάζουν τα πλάνα σχετικά με την ανθρωπόμορφη φιγούρα : τοξοειδές, στεφανιαίο και εγκάρσιο.

9 Πτυχιακή εργασία της Γιαγτζή Αναστασίας και της Κάζογλου Αναστασίας Κεφάλαιο 1 : Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο Ένα από τα πιο κοινά ζητήματα όσο αναφορά κινητικότητας ανθρωπόμορφης φιγούρας είναι η κίνηση του άνω άκρου. Μια συνθετική φιγούρα μπορεί να χρειαστεί να πιάσει και να χειριστεί ένα τηλεχειριστήριο, να σηκώσει μια κούπα καφέ από ένα τραπέζι μέχρι το στόμα, ή να περιστρέψει ένα αντικείμενο κατ επανάληψη προκειμένου να το εξετάσει. Είναι υπολογιστικά απλούστερο να θεωρήσουμε το βραχίονα σαν προσάρτημα ο οποίος κινείται ανεξάρτητα από το υπόλοιπο σώμα. Σε ορισμένες περιπτώσεις αυτό μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα μια κίνηση όχι και τόσο φυσιολογική. Για να παραχθεί μια πιο ρεαλιστική κίνηση, ο χρήστης συχνά προσθέτει επιπλέον αρθρώσεις του σώματος για να εκτελεστεί η κίνηση. Σ αυτή την ενότητα ο βραχίονας θεωρείται ότι είναι απομονωμένος. Υποτίθεται ότι οι επιπλέον αρθρώσεις αν χρειαστούν μπορούν να προστεθούν στην κίνηση προσέγγισης ως ένα στάδιο προεπεξεργασίας το οποίο τοποθετεί την φιγούρα και την ετοιμάζει για μια ανεξάρτητη κίνηση του βραχίονα. 1.1 Μοντελοποιώντας τον βραχίονα Το πλέον απλούστερο μοντέλο του ανθρώπινου βραχίονα (αγνοούμε, προς το παρόν, τις αρθρώσεις της παλάμης) είναι αυτό ενός χειριστή με εφτά βαθμούς ελευθερίας (degrees of freedom, DOF) (Σχήμα 1) :τρεις βαθμοί ελευθερίας υπάρχουν στην άρθρωση του ώμου, ένας στον αγκώνα και τρεις στο καρπό. Μια διαμόρφωση (configuration) ή μια στάση (pose) για το βραχίονα είναι ένα σύνολο εφτά γωνιών αρθρώσεων, μια για κάθε ένα από τους εφτά βαθμούς ελευθερίας του μοντέλου. Η περιστροφή του πήχη παρουσιάζει ένα πρόβλημα. Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1, η κίνηση αυτή σχετίζεται με τον καρπό. Ωστόσο στην πραγματικότητα Σελίδα 9 από 110

10 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο η περιστροφή του πήχη δεν σχετίζεται με κάποια άρθρωση όπως συμβαίνει στους περισσότερους βαθμούς ελευθερίας της ανθρώπινου σώματος, αλλά διανέμεται κατά μήκος του ίδιου του πήχη καθώς τα δυο οστά του πήχη (κερκίδα και ωλένη) περιστρέφονται μεταξύ τους. Ορισμένες φορές αυτή η περιστροφή σχετίζεται με τον αγκώνα δημιουργείτε μια εικονική ενδιάμεση άρθρωση η οποία αναλαμβάνει κατά μήκος του πήχη για να χειριστεί την περιστροφή του. Σχήμα 1: Βασικό μοντέλο ανθρώπινου χεριού Φυσικά, οι αρθρώσεις ενός ανθρώπινου βραχίονα έχουν όρια. Για παράδειγμα ο αγκώνας μπορεί να λυγίσει μέχρι και περίπου 20ο και να επεκταθεί μέχρι και περίπου 160ο Επιτρέποντας τα άκρα μιας φιγούρας να υπερβούν τα όρια των αρθρώσεων συντελούμε σε μια αφύσικη προσέγγιση. Οι περισσότερες αρθρώσεις είναι τοποθετημένες κατά τέτοιο τρόπο ώστε η ελάχιστη μυϊκή διάταση να εντοπίζεται κάπου στο μέσο της εμβέλειάς τους και σπάνια επιτυγχάνονται τα όρια της περιστροφής τους, εκτός και αν αυτό είναι αναγκαίο. Πιο αναλυτικά, τα όρια των αρθρώσεων μπορεί να ποικίλουν ανάλογα με τη θέση των άλλων αρθρώσεων οπότε εκεί επιβάλλονται καινούρια για να αποφευχθεί η διασταύρωση των προσθηκών με άλλα μέρη του σώματος. Για παράδειγμα αν ο βραχίονας κινείται σε ένα μεγάλο κύκλο παράλληλο και προς την πλευρά του κορμού η μυϊκή διάταση αναγκάζει τον βραχίονα να παραμορφώσει τον κύκλο προς τα πίσω. Σαν ακόμη ένα παράδειγμα, οι τένοντες κάνουν ακόμη πιο δύσκολη την πλήρη επέκταση του γονάτου όταν Σελίδα 10 από 110

11 Πτυχιακή εργασία της Γιαγτζή Αναστασίας και της Κάζογλου Αναστασίας κάποιος σκύβει προς τους γοφούς (η κίνηση χρησιμοποιείται για να ακουμπήσουμε τα δάχτυλα του ποδιού). Εάν ενισχυθούν τα όρια των αρθρώσεων ορισμένες γενικές κινήσεις μπορούν επιτυχημένα να επιτευχθούν χρησιμοποιώντας εμπρόσθια κινηματική (forward kinematics). Ακόμη και αν ένα αντικείμενο μεταφέρεται με το χέρι, η εμπρόσθια κινηματική σε συνδυασμό με το άγγιγμα του αντικειμένου στον τελικό δράστη (δάχτυλα)] δημιουργεί μια αρκετά πειστική κίνηση. Αλλά εάν το άκρο-χέρι πρέπει να λειτουργήσει σε συνάρτηση με ένα αντικείμενο όπως ένα εξόγκωμα τότε είναι απαραίτητη η αντίστροφη κινηματική (inverse kinematics). Δυστυχώς οι συνηθισμένες μέθοδοι των αντίστροφων κινηματικών οι οποίες χρησιμοποιούν την ψευδοαντίστροφη της Ιακωβιανής συνάρτησης δεν είναι σίγουρο ότι δίνουν μια πειστική ανθρωπόμορφη κίνηση. Σε ορισμένες κατευθύνσεις είναι πιθανόν να εμφανιστεί μια κάποια ιδιομορφία στην οποία ένας βαθμός ελευθερίας χάνεται στο Καρτεσιανό χώρο. Για παράδειγμα η κίνηση μπορεί να είναι δύσκολο να ελεγχθεί σε περιπτώσεις που ο βραχίονας είναι πλήρως εκτεταμένος. Σύμφωνα με το μοντέλο του Σχήματος 1, εάν μας δοθεί μόνο η επιθυμητή θέση του τελικού δράστη (δάχτυλα), τότε ο χώρος επίλυσης επεκτείνεται σημαντικά. Σ αυτή την περίπτωση υπάρχουν πολλαπλές λύσεις και μπορεί να προκύψουν μέθοδοι αντίστροφης κινηματικής που δεν δείχνουν φυσικοί. Υπάρχουν μέθοδοι για την επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης, η οποία θα ικανοποιεί ορισμένες επιθυμητές γωνίες των αρθρώσεων. Αυτό βοηθάει στο να αποφευχθεί η παραβίαση των ορίων της άρθρωσης και παράγει μια πιο ανθρωπόμορφη κίνηση η οποία όμως πάλι θα έχει ελλείψεις ως προς τη βάση ανατομίας. Συχνά είναι χρήσιμο να προσδιορίσουμε την ιδανική θέση του καρπού αντί των δακτύλων για τον καλύτερο έλεγχο της διαμόρφωσης που παράγουμε. Αλλά ακόμη και αν έχουμε σταθερό τον καρπό (τον χρησιμοποιούμε ως τελικό χρήστη) στην επιθυμητή τοποθεσία και τον ώμο παρόμοια σταθερό θα υπάρχει και πάλι ένας μεγάλος αριθμός θέσεων που μπορούν να υιοθετηθούν, και οι οποίες ικανοποιούν τόσο τις μυϊκές διατάσεις όσο και τα όρια των αρθρώσεων. Σελίδα 11 από 110

12 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο Ορισμένες φορές θέτοντας τις γωνίες των αρθρώσεων σε επιθυμητούς προσανατολισμούς για κάποια χρήση μειώνουμε το πρόβλημα των πολλαπλών λύσεων. Για πιο ακριβή έλεγχο της κίνησης ο χρήστης μπορεί να ορίσει ενδιάμεσες θέσεις και προσανατολισμούς για τον τελικό δράστη (δάχτυλα), καθώς και για τις ενδιάμεσες αρθρώσεις. Ουσιαστικά καθιερώνει θέσεις κλειδιά για την άρθρωση. Σε αυτήν την περίπτωση, η αντίστροφη κινηματική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προχωρήσει από τη μια θέση στην επόμενη έτσι ώστε ο βραχίονας να συνεχίσει να καθοδηγείται δια μέσου της διαδρομής. Αυτό επιτρέπει έναν κάποιο περιορισμό της χρήσης της αντίστροφης κινηματικής ενώ δίνει στον χρήστη περισσότερο έλεγχο στην τελική κίνηση. Η τυπική αντίστροφη Ιακωβιανή προσέγγιση μπορεί να αντικατασταθεί με μια πιο διαδικαστική προσέγγιση βασισμένη στις ίδιες αρχές για να παραχθεί μια ανθρωπόμορφη κίνηση. Στην ανθρώπινη κίνηση, οι αρθρώσεις που είναι μακριά από τον τελικό "χρήστη (το χέρι) έχουν την περισσότερη επίδραση σ αυτό. Οι αρθρώσεις που βρίσκονται πιο κοντά στο χέρι αλλάζουν γωνίες έτσι ώστε να δώσουν τις τελικές αλλαγές κατεύθυνσης που είναι απαραίτητες για την τελική ευθυγράμμιση. Αυτό μπορεί να εφαρμοστεί διαδικαστικά υπολογίζοντας την επίδραση κάθε βαθμού ελευθερίας στον τελικό χρήστη παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο του άξονα της περιστροφής ω1 με το διάνυσμα της άρθρωσης του τελικού χρήστη V (Σχήμα 2). Επιπλέον, από τη στιγμή που ο βραχίονας περιέχει μια γωνία με ένα βαθμό ελευθερίας (αγκώνας), δημιουργείται ένα επίπεδο μεταξύ του ώμου, του αγκώνα και του καρπού και οι προτιμώμενες θέσεις του βραχίονα υπαγορεύουν μια σχετικά περιορισμένη περιστροφική εμβέλεια γι αυτό το πλάνο. Μόλις σταθεροποιηθεί το σχήμα οι γωνίες του ώμου και του αγκώνα είναι εύκολο να υπολογιστούν και μπορούν εύκολα να προσαρμοστούν σε αυτό το επίπεδο (Σχήμα 3). Ορισμένα πακέτα δημιουργίας animation (π.χ. MayaTM) επιτρέπουν στον σχεδιαστή να ορίσει μια αντίστροφη κινηματική λύση βασισμένη σε ένα τέτοιο επίπεδο και να το περιστρέψει όπως επιθυμεί. Σελίδα 12 από 110

13 Πτυχιακή εργασία της Γιαγτζή Αναστασίας και της Κάζογλου Αναστασίας Ορισμένες νευρολογικές μελέτες, ιδίως αυτές των Lanquaniti και Soechting [42] και των Soechting και Flanders [66], προχωρούν στην υπόθεση ότι η θέση του βραχίονα καθορίζεται από την επιθυμητή τοποθεσία του τελικού χρήστη (με απλά λόγια, σταθεροποιώντας τον προσανατολισμό του καρπού), και ότι η τελική στροφή του καρπού σχετίζεται με τη φύση του αντικειμένου και την εκάστοτε εργασία. Το μοντέλο που έχει αναπτυχθεί από τον Kondo [41] για αυτούς τους υπολογισμούς κάνει χρήση ενός σφαιρικού ισότιμου συστήματος. Ένα σύνολο από γωνίες για τον ώμο και τον αγκώνα υπολογίζεται από την επιθυμητή θέση του χεριού και του αγκώνα και μετά προσαρμόζεται σαν να έχουν παραβιαστεί τα όρια της άρθρωσης. Τέλος ο προσανατολισμός του καρπού υπολογίζεται χωριστά. Η μέθοδος περιγράφεται μαζί με έναν αρμόδιο για τον σχεδιασμό χειρισμού των τροχών των συνεργαζόμενων βραχιόνων από τον Koga [40]. Σχήμα 2: Η επίδραση του πρώτου βαθμού ελευθερίας στον τελικό χρήστη Σελίδα 13 από 110

14 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο Σχήμα 3: Κατασκευάζοντας το χέρι σε ένα συγκεκριμένο πλάνο του χρήστη 1.2 Η άρθρωση του ώμου Η άρθρωση του ώμου απαιτεί ειδική μνεία. Διαμορφώνεται συνήθως ως μια σφαιρική άρθρωση με τρεις συμπίπτοντες βαθμούς ελευθερίας. Το ανθρώπινο σύστημα ώμου είναι στην πραγματικότητα πιο πολύπλοκο. Ο βοήθθρθτβ [62] περιγράφει ένα πιο ρεαλιστικό μοντέλο της κλείδας και της ωμοπλάτης μαζί με την άρθρωση του ώμου, στο οποίο τρεις ξεχωριστές αρθρώσεις με περιορισμένη εμβέλεια παρέχουν μια πολύ ρεαλιστική κίνηση του βραχίονα και του ώμου. Ο βοήθθρθτβ επίσης παρέχει μια λύση για το πρόβλημα της περιστροφής του πήχη χρησιμοποιώντας μια μεσο-πήχηα άρθρωση (Σχήμα 4). 1.3 Το χέρι Για να συμπεριλάβουμε ένα πλήρως αρθρωτό χέρι στο μοντέλο ενός βραχίονα πρέπει πρώτα να εισάγουμε πολλές παραπάνω αρθρώσεις (άρα πολύ περισσότερους βαθμούς ελευθερίας). Μια απλή διαμόρφωση ενός χεριού μπορεί να περιέχει μια παλάμη, τέσσερα δάχτυλα και έναν αντίχειρα με αρθρώσεις και βαθμούς ελευθερίας όπως το Σχήμα 5. Σελίδα 14 από 110

15 Πτυχιακή εργασία της Γιαγτζή Αναστασίας και της Κάζογλου Αναστασίας κλείδωση των οστών ωμοπλάτη αγκώνας άρθρωση I I καρπός Σχήμα 4: Αρχικοποιημένο μοντέλου του άνω άκρου Ένα μοντέλο παρόμοιο με αυτό του Σχήματος 5 χρησιμοποιείται από τους Rijpkema και Girard [59] στη δουλειά τους πάνω στη λαβή. Ο Scheepers χρησιμοποιεί 27 οστά, αλλά μόνο 16 κινητές αρθρώσεις. Άλλοι χρησιμοποιούν μοντέλα με λεπτομερείς αρθρώσεις μέσα στην περιοχή της παλάμης ώστε να επιτύχουν μια ανθρωπόμορφη κίνηση. Σελίδα 15 από 110

16 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο Σχήμα 5: Απλό μοντέλο χεριού και δαχτύλων Εάν το χέρι πρέπει να αναπαρασταθεί λεπτομερώς ο σχεδιαστής πρέπει να προσέξει τους τύπους λαβής και τον τρόπο με τον οποίο αυτές πρέπει να χρησιμοποιούνται. Ο αντιτακτός αντίχειρας παρέχει στους ανθρώπους τη δυνατότητα για μεγαλύτερη επιδεξιότητα' παρέχει, δηλαδή, την ικανότητα να δείχνουν, να πιάνουν αντικείμενα διαφόρων σχημάτων και να ασκούν πίεση τόση όση χρειάζεται για να ανοίξουν ένα βάζο μαρμελάδα ή μια μικρή αγκράφα με κοσμήματα. Αυτό απαιτεί προσεκτικά σχεδιασμένα σκελετικά συστήματα. Μελέτες για τη λαβή δείχνουν τουλάχιστον 16 διαφορετικές κατηγορίες, οι περισσότερες εκ των οποίων περιλαμβάνουν τον αντίχειρα και ένα ή περισσότερα δάχτυλα. Για μια συγκεκριμένη εργασία το πρόβλημα επιλογής μιας λαβής βρίσκεται στην πολυπλοκότητα του σχηματισμού της. Σελίδα 16 από 110

17 Πτυχιακή εργασία της Γιαγτζή Αναστασίας και της Κάζογλου Αναστασίας Απλούστερα μοντέλα συνδυάζουν τα τέσσερα δάχτυλα σε μια επιφάνεια και αφαιρούν τον αντίχειρα (Σχήμα 6). Αυτό μειώνει την πολυπλοκότητα της επίδειξης και του ελέγχου κινήσεων. Η επίδειξη της πολυπλοκότητας άρα και η ποιότητα του σχεδίου μπορούν να διατηρηθούν χρησιμοποιώντας ένα λεπτομερέστατο μοντέλο χεριού συντονίζοντας όμως την κίνηση όλων των αρθρώσεων των τεσσάρων δακτύλων με μια παράμετρο λαβής (σχήμα 1.7). παρόλο που αυτό προσεγγίζει μια πραγματική κίνηση λαβής. Σχήμα 6: Απλοποιημένα χέρια Σχήμα 7: Το λύγισμα του δαχτυλου ελέγχεται απο απλές παραμέτρους : η αύξηση της γωνίας άρθρωσης (βαθμίδες) ανά άρθρωση. 1.4 Συντονισμένη κίνηση Στις δυσκολίες της μοντελοποίησης και του ελέγχου διαφορετικών τμημάτων του άνω άκρου πρέπει να προσθέσουμε και τη δυσκολία της συνεργασίας Σελίδα 17 από 110

18 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο μεταξύ αρθρώσεων σε μια κίνηση, καθώς και την ανάθεση οποιασδήποτε κίνησης σε μια συγκεκριμένη άρθρωση. Είναι εύκολο να δείξουμε αυτή τη δυσκολία. Επεκτείνετε τον βραχίονά σας στα πλάγια και στρίψτε την παλάμη του χεριού έτσι ώστε στην αρχή να κοιτάει προς τα πάνω. Έπειτα περιστρέψτε το χέρι έτσι ώστε να κοιτάει προς τα κάτω και προσπαθήστε να συνεχίσετε ολόκληρη την περιστροφή μέχρι η παλάμη να κοιτάξει ξανά προς τα πάνω. Προσπαθήστε να κάνετε αυτή την κίνηση βάζοντας αρχικά μόνο το χέρι, τον καρπό και τον αντιβραχίονα και μετά το πάνω μέρος του χεριού και του ώμου. Η προσθήκη την κίνηση του θώρακα (συμπεριλαμβανομένης της κλείδωσης και της σπονδυλικής στήλης), ο οποίος περιλαμβάνει παραπάνω βαθμούς ελευθερίας, κάνει τα πράγματα απλούστερα, ωστόσο η προδιαγραφή των γωνιών προς τις αρθρώσεις γίνεται πιο περίπλοκη. Είναι δύσκολο να καθορίσουμε ακριβώς ποια περιστροφή πρέπει να αντιστοιχηθεί στις ανάλογες αρθρώσεις σε οποιοδήποτε χρόνο έτσι ώστε να πετύχουμε ρεαλιστική αναπαράσταση της κίνησης. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των τμημάτων του σώματος είναι ένα ζήτημα που ξεπερνάει κατά πολύ την διαδικασία καθορισμού του ποιες αρθρώσεις θα χρησιμοποιηθούν για μια συγκεκριμένη κίνηση. Ενώ το να παρατηρήσουμε τον βραχίονα και το χέρι σαν ξεχωριστά ανεξάρτητα συστήματα απλοποιεί την όλη διαδικασία, η σχέση με το υπόλοιπο σώμα πρέπει να ληφθεί υπόψη ως μια πιο σταθερή μεταχείριση επέκτασης. Η επανατοποθέτηση, η περιστροφή και το λύγισμα του κορμού ενεργοποιούν κινήσεις από το άλλο χέρι και ακόμη και αν αντισταθμίζονται από τα πόδια συχνά αποτελούν μέρη κινήσεων που φαίνονται ότι ανήκουν στον ένα βραχίονα. Είναι σχεδόν αδύνατο για έναν άνθρωπο να απλωθεί για να πιάσει ένα αντικείμενο και συγχρόνως να διατηρήσει το υπόλοιπο σώμα σε σταθερή θέση. Παρά την επέκταση των αρθρώσεων στα όριά τους, τα υπόλοιπα τμήματα του σώματος συνεργάζονται για να ελαφρύνουν τη μυϊκή πίεση ή να διατηρήσουν την ισορροπία. Για τον ίδιο λόγο η διαχείριση του βραχίονα χρησιμοποιείται σε πολλές διαφορετικές κινήσεις ολόκληρου του σώματος. Ακόμη και το περπάτημα (το Σελίδα 18 από 110

19 Πτυχιακή εργασία της Γιαγτζή Αναστασίας και της Κάζογλου Αναστασίας οποίο αναπαριστάται συχνά ως μια δραστηριότητα μονάχα των ποδιών), η κίνηση περιλαμβάνει τον κορμό, τα χέρια, ακόμα και το κεφάλι. Ο βραχίονας συχνά φαίνεται ως ένα απλό και ιδανικό τμήμα για να ξεκινήσει κάποιος την αναπαράσταση μιας ανθρώπινης φιγούρας αλλά είναι δύσκολο να κρατηθεί αυτή η διαδικασία σε απλό επίπεδο. 1.5 Έκταση γύρω από εμπόδια Για να περιπλέξουμε ακόμα περισσότερο τον καθορισμό και τον έλεγχο της κίνησης της έκτασης, μπορούμε να βάλουμε εμπόδια στο χώρο, τα οποία θα πρέπει να υπερκεραστούν. Φυσικά δεν είναι αρκετό να δημιουργήσουμε μια κίνηση η οποία δεν θα περιέχει κανένα εμπόδιο για το τελικό χρήστη. Ολόκληρο το άκρο καταλαμβάνει έναν όγκο κατά τη διάρκεια της έκτασης ο οποίος πρέπει να είναι σε διαφορετική θέση με άλλα αντικείμενα προκειμένου να αποφευχθούν οι συγκρούσεις. Σε αραιά περιβάλλοντα (δηλ. χωρίς πολλά εμπόδια) μπορούν να χρησιμοποιηθούν απλές στρατηγικές για να καθορίσουν τον κατάλληλο τρόπο αποφυγής εμποδίων. Όσο περισσότερα εμπόδια υπάρχουν στο περιβάλλον, τόσο πιο σύνθετες στρατηγικές θα χρειαστούν για να καθορίσουν τη διαδρομή. Έχουν προταθεί διάφορες στρατηγικές σχεδιασμού διαδρομής. Για παράδειγμα, σε ένα περιβάλλον με εμπόδια μπορεί να χτιστεί ένας πιθανός τεχνητός χώρος σαν συνάρτηση της τοπικής γεωμετρίας. Τα εμπόδια προσδίδουν μια μεγάλη δυναμική, η οποία μειώνεται όσο μεγαλώνει η απόσταση. Ομοίως, η θέση στην οποία έχει καθοριστεί ο τελικός στόχος προσδίδει χαμηλή δυναμική στο χώρο. Η κλίση του χώρου μας δείχνει την κατεύθυνση διαδρομής για τον τελικό χρήστη που οδηγεί ολόκληρη την άρθρωση μακριά από τη σύνδεση (Σχήμα 8). Σελίδα 19 από 110

20 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο Values indicate potentials induced bv obstacles πολυγωνικά εμπόδια που ατταιτούντε.τελική θέση του τελικού χρήστη ανώτερα βασικά πλαίσια της τροχιάς του βραχίονα υπολογισμένα από γενετικούς αλγορίθμους αρχική διαμόρφωση του βραχίονα Σχήμα 8: Αποτέλεσμα προγραμματισμού τροχιάς Τέτοιες προσεγγίσεις είναι ευαίσθητες σε τοπικές παγίδες, για το ξεπέρασμα των οποίων έχουν χρησιμοποιηθεί διάφορες στρατηγικές. Για παράδειγμα, στην [50] χρησιμοποιούνται γενετικοί αλγόριθμοι για την αναζήτηση μιας καθολικής ελάχιστης τιμής μέσα στο χώρο [50]. Η γενετική συνάρτηση επάρκειας μπορεί να προσαρμοστεί για να βρει την βέλτιστη διαδρομή με βάση μια σειρά κριτηρίων όπως η συντομότερη απόσταση που έχει καλυφθεί από τον τελικό "χρήστη, η ελάχιστη ροπή στρέψης και η ελάχιστη γωνιακή επιτάχυνση. Ωστόσο τέτοιες βελτιώσεις παράγουν διαδρομές οι οποίες δεν θεωρούνται απαραίτητα ανθρωπόμορφες. Τυπικά, οι βέλτιστες διαδρομές θα προσεγγίσουν όσο κοντινότερα γίνεται σε αντικείμενα έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσουν τη συνάρτηση επάρκειας. Οι άνθρωποι σπάνια κάνουν τέτοιες διαδρομές όταν προσπαθούν να πιάσουν ένα αντικείμενο. Η πολυπλοκότητα της ανθρώπινης κίνησης περιπλέκεται περεταίρω από την επίδραση της όρασης στην αποφυγή εμποδίων. Εάν η φιγούρα «γνωρίζει» ότι υπάρχει κάποιο εμπόδιο για να αποφύγει, αλλά δεν κοιτάει κατευθείαν σε αυτό, τότε η κίνησης έκτασης θα Σελίδα 20 από 110

21 Πτυχιακή εργασία της Γιαγτζή Αναστασίας και της Κάζογλου Αναστασίας περιλαμβάνει πολύ μεγαλύτερη παρέκκλιση από τη διαδρομή από ότι αν το εμπόδιο ήταν στο οπτικό του πεδίο. Επιπλέον το κόστος της σύγκρουσης μπορεί να επηρεάσει την τελική διαδρομή: είναι μεγαλύτερη η ζημιά της σύγκρουσης με ένα οδοντωτό φράχτη καλωδίων παρά με μια πετσέτα!!! 1.6 Δύναμη Όπως γνωρίζει ο καθένας ο οποίος έχει αλλάξει μπουλόνια στο αμάξι του, το να αποφύγει όλα τα εμπόδια και να πάρει το κλειδί για να κλειδώσει είναι μόνο η μισή δουλειά. Όταν ο βραχίονας και το χέρι έχουν τοποθετηθεί σωστά, η διαμόρφωση θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε να υπάρχει αρκετή δύναμη για να γίνει η περιστροφή της βίδας. Για να μπορέσουν οι σχεδιαστές να αναπαραστήσουν πιο ρεαλιστικές κινήσεις, θα πρέπει να ενσωματώσουν διάφορα κριτήρια δύναμης στο γενικό σχεδιασμό [44]. Όπως προείπαμε, τα προβλήματα της τυπικής κίνησης έκτασης έχουν συνήθως πολλές δυνατές λύσεις. Το σύνολο αυτών των λύσεων μπορεί να σαρωθεί προκειμένου να βρεθεί μια συγκεκριμένη κίνηση που θα είναι αποδεκτή με βάση το πόσο μεγάλη είναι η πίεση που θα ασκηθεί στη φιγούρα. Όταν ένας κινηματικός σχεδιαστής προτείνει μια συγκεκριμένη κίνηση, αυτή αξιολογείται σύμφωνα με την πίεση που ασκείται στο σώμα. Η πίεση καθορίζεται από τον υπολογισμό της ροπής στρέψης που χρειάζεται σε κάθε άρθρωση για να επιτευχθεί η κίνηση, καθώς και από τα κριτήρια της ροπής. Δεδομένης της τρέχουσας στάσης για τη φιγούρα μας, της απαιτούμενης επιτάχυνσης άρθρωσης και όλων των εξωτερικών δυνάμεων, μπορούμε να υπολογίσουμε την απαιτούμενη ροπή στρέψης για κάθε άρθρωση. Για κάθε άρθρωση η μέγιστη δυνατή ροπή για την κάμψη και για την έκταση ορίζεται σαν μια συνάρτηση της γωνίας της τρέχουσας άρθρωσης, αλλά και των γειτονικών αρθρώσεων. Αμέσως μετά, υπολογίζονται δύο ποσότητες: Η μετρική άνεσης (comfort metric), δηλ. ο λόγος της τρέχουσας απαιτούμενης ροπής προς την μέγιστη δυνατή ροπή στρέψης. Σελίδα 21 από 110

22 Κεφάλαιο 1: Προσεγγίζοντας και πιάνοντας ένα αντικείμενο Το επίπεδο άνεσης (comfort level), δηλ. η μέγιστη αναλογία ροπής στρέψης για όλο το σώμα. Οι πιο επιθυμητές κινήσεις είναι αυτές που ελαχιστοποιούν την μέγιστη αυτή αναλογία καθ όλη τη διάρκεια της κίνησης. Από την στιγμή που θα καθοριστεί ότι μια κίνηση δεν είναι αποδεκτή, θα πρέπει να τροποποιηθεί ούτως ώστε το επίπεδο άνεσης να επανέλθει σε αποδεκτό επίπεδο. Αυτό μπορεί να γίνει εισάγοντας μια ή περισσότερες στρατηγικές για να μειώσουν την πίεση. Ας υποθέσουμε ότι έχει βρεθεί μια συγκεκριμένη κίνηση, η οποία υπερβάλει του αποδεκτού επίπεδου άνεσης. Εάν μπορούν να βρεθούν άλλες αρθρώσεις στην όλη διάταξη, οι οποίες θα παράγουν μια κίνηση για τον τελικό χρήστη παρόμοια με αυτήν της προβληματικής άρθρωσης, αλλά η οποία θα έχει τη δυνατότητα προσθήκης επιπλέον ροπής, τότε μπορούμε να αντισταθμίσουμε την μειωμένη ροπή στην προβληματική άρθρωση αυξάνοντας τη ροπή στις υπόλοιπες. Υπάρχει επίσης η πιθανότητα να συμπεριληφθούν περισσότερες αρθρώσεις στην όλη διάταξη (όπως η σπονδυλική στήλη σε μια κίνηση έκτασης) για να επαναδιατυπωθεί το εμπρόσθιο κινηματικό πρόβλημα, με την ελπίδα ότι θα μειωθεί η ροπής στην προβληματική άρθρωση (βλ. [44] για λεπτομέρειες). Σελίδα 22 από 110

23 Κεφάλαιο 2: Βάδισμα Το βάδισμα, μαζί με την προσέγγιση αντικειμένου, είναι δυο από τις πιο συνηθισμένες ενέργειες τις οποίες κάνει ένας άνθρωπος. Είναι, ωστόσο, μια πολύπλοκη δραστηριότητα, την οποία ένας άνθρωπος περνάει επιτυχώς μετά από μια μεγάλη δοκιμασία, γεμάτη από αποτυχημένες προσπάθειες. Ένα θέμα το οποίο διαφοροποιεί το περπάτημα από μια τυπική κίνηση προσέγγισης, εκτός του γεγονότος ότι χρησιμοποιεί τα πόδια αντί για τα χέρια, είναι ότι η κίνηση είναι κυκλική. Ενώ η κυκλική αυτή φύση προσδίδει ομοιομορφία στο περπάτημα, συχνά εμφανίζονται ακυκλικά γεγονότα όπως η στροφή. Επιπλέον, το βάδισμα ευθύνεται για τη μεταφορά της φιγούρας από ένα μέρος σε ένα άλλο και, επίσης, ευθύνεται για τη διατήρηση της ισορροπίας. Άρα οι δυναμικές παίζουν πολύ σημαντικότερο και πιο ακέραιο ρόλο στο σχηματισμό της κίνησης του βαδίσματος απ ότι σε αυτόν της προσέγγισης. Ένα θέμα αναφορικά με το βάδισμα, το οποίο περιπλέκει την ανάλυση είναι ότι είναι δυναμικά, αλλά όχι στατικά σταθερό. Αυτό σημαίνει ότι εάν η φιγούρα η οποία βαδίζει ξαφνικά "παγώσει δεν θα βρίσκεται αναγκαστικά σε κατάσταση ισορροπίας και μπορεί να πέσει στο έδαφος. Αυτό, πρακτικά, σημαίνει ότι η κίνηση του βαδίσματος δεν μπορεί να σταματήσει τελείως σε ένα συγκεκριμένο χρονικό σημείο ώστε να μπορέσουμε να καθορίσουμε τις σωστές δυνάμεις και ροπές που παράγουν αυτήν την κίνηση. Ως αποτέλεσμα η γνώση για το βάδισμα, η οποία έχει την μορφή εμπειρικά συλλεχθέντων δεδομένων ([32], [37]), ή μια σειρά από παραμέτρους που μπορούν να προσαρμοστούν από τον σχεδιαστή, χρησιμοποιούνται τυπικά σαν συνολικός μηχανισμός ελέγχου της συμπεριφοράς του βαδίσματος. Ιδιότητες όπως το μήκος του διασκελισμού, η περιστροφή του γοφού και η τοποθέτηση του πέλματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προσδιορίσουν αν ένα συγκεκριμένο βάδισμα είναι και το σωστό. Ένα τυπικό διάγραμμα μετάβασης χρησιμοποιείται τυπικά για την μετάβαση από το ένα στάδιο του βηματισμού στο άλλο ([11][12][28][35][57]). Στην περίπτωση αυτή, ο υπολογισμός των δυνάμεων και των ροπών μπορεί να προστεθεί, εάν χρειαστεί, για να γίνουν οι αποχρώσεις της κίνησης φυσικά πιο Σελίδα 23 από 110