ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - ΣΥΝΟΨΗ

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ - Π. ΑΣΒΕΣΤΑΣ E MAIL: pasv@uniwa.gr Εφαρμογές ρομποτικής στην Ιατρική Κλασσική χειρουργική Ορθοπεδικές επεμβάσεις Νευροχειρουργική Ακτινοθεραπεία Αποκατάσταση φυσιοθεραπεία 2

2 Βασικοί τύποι βραχιόνων 5 βασικοί τύποι:. Καρτεσιανός 2. Κυλινδρικός 3. Σφαιρικός 4. SCARA (2 περιστροφικές αρθρώσεις και μία πρισματική άρθρωση) 5. Ανθρωπομορφικός (3 περιστροφικές αρθρώσεις) 3 Κανόνας δεξιού χεριού Χρησιμοποιούμε το δεξί χέρι: Ο αντίχειρας και τα υπόλοιπα δάχτυλα σε ορθή γωνία. Ο αντίχειρας δείχνει τον ο άξονα. Τα υπόλοιπα δάχτυλα δείχνουν τον 2 ο άξονα. Η παλάμη δείχνει την κατεύθυνση του 3 ου άξονα. Μνημονικός κανόνας για τη σειρά των αξόνων: yy. 4 2

3 Κανόνας δεξιού χεριού Ειδικά, εάν είναι γνωστοί οι άξονες και,τότε: Αντίχειρας στον Δάχτυλα στον Παλάμη δείχνει κατεύθυνση του y. Εάν δεν βολεύει η τοποθέτηση του χεριού: Βάζουμε αντίχειρα στο Βάζουμε δάχτυλα στην αντίθετη κατεύθυνση του Η παλάμη θα δείχνει την αντίθετη κατεύθυνση του y. 5 ΕΥΡΕΣΗ ΑΞΟΝΑ y y 6 3

4 ΕΥΡΕΣΗ ΑΞΟΝΑ y y 7 ΕΥΡΕΣΗ ΑΞΟΝΑ y y 8 4

5 Πίνακας Περιστροφής Έστω δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων, το και το με άξονες,y, και,y, αντίστοιχα. Η περιστροφή του συστήματος ως προς το σύστημα εκφράζεται από έναν πίνακα 33, ο οποίος συμβολίζεται με R. Ο πίνακας περιέχει τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζει κάθε άξονας του συστήματος με κάθε άξονα του συστήματος (9 συνδυασμοί). Οι στήλες του πίνακα αντιστοιχούν στους άξονες του συστήματος {} με τη σειρά,y, και οι γραμμές αντιστοιχούν στους άξονες του συστήματος στη σειρά,y,. R y y y cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ 9 Πίνακας Περιστροφής Ειδική περίπτωση: περιστροφή γύρω από τον άξονα κατά γωνία θ. Το σύστημα και το σύστημα έχουν παράλληλους άξονες ( ), αλλά οι άξονες και y σχηματίζουν γωνία θ. cos θ sin θ R sin θ cos θ y θ y θ 5

6 Πίνακας Περιστροφής Ειδική περίπτωση: οι άξονες του συστήματος είναι παράλληλοι με τους άξονες του συστήματος : y y R Σε έναν πίνακα περιστροφής: δεν μπορεί να υπάρχει μία γραμμή ή μία στήλη που να έχει μόνο. δενμπορείναυπάρχειμίαγραμμήήμίαστήληπουναέχειπερισσότερα από ένα. Διάνυσμα μετατόπισης Έστω δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων, το και το με άξονες,y, και,y, αντίστοιχα. Η μετατόπιση του συστήματος ως προς το σύστημα εκφράζεται από έναν διάνυσμα 3, το οποίο συμβολίζεται με d. To περιέχει την μετατόπιση της αρχής των αξόνων του συστήματος ως προς την αρχή των αξόνων του συστήματος κατά μήκος των τριών αξόνων του συστήματος : d d d d 2 6

7 Πίνακας ομογενούς μετασχηματισμού (HTM) Έστω δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων, το και το με άξονες,y, και,y, αντίστοιχα. Ηπεριστροφήκαιημετατόπισητουσυστήματος ως προς το σύστημα περιγράφεται από έναν πίνακα 44 που περιλαμβάνει τον πίνακα περιστροφής (πάνω αριστερά υποπίνακας 33 ) και το διάνυσμα μετατόπισης (τελευταία στήλη). Η τελευταία γραμμή είναι Ο πίνακας ονομάζεται πίνακας ομογενούς μετασχηματισμού και συμβολίζεται με Η Η cos θ cos θ cos θ d cos θ cos θ cos θ d cos θ cos θ cos θ d 3 Πίνακας ομογενούς μετασχηματισμού (HTM) Παράδειγμα Το σύστημα {} έχει μετατοπιστεί 5 cm κατά και 4 cm κατά ως προς το. Να υπολογιστεί ο HTM του {} ως προς το {}. Λύση R 5 d 4 5 H 4 y y 4 7

8 Πίνακας ομογενούς μετασχηματισμού (HTM) Αν a,b,c είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου ως προς το σύστημα,τότεοι συντεταγμένες d,e,fως προς το σύστημα {} προκύπτουν ως εξής: d a e b H f c Στο προηγούμενο παράδειγμα, εάν ένα σημείο έχει συντεταγμένες 2, 3,4 ως προς το σύστημα, τότε οι συντεταγμένες ως προς το σύστημα θα είναι: δηλαδή 2,4,8. 5 Κινηματικές εξισώσεις Το βασικό αντικείμενο μελέτης στη ρομποτική, είναι να γίνει συσχέτιση της θέσης και του προσανατολισμού του τελικού επενεργητή με τις μεταβλητές των αρθρώσεων (δηλαδή τις γωνίες περιστροφής εάν πρόκειται για περιστροφικές αρθρώσεις ή τις μετατοπίσεις για πρισματικές αρθρώσεις). Εάν επιτευχθεί αυτό, τότε εάν γνωρίζουμε το ένα από τα δύο μπορεί να βρεθεί το άλλο: Εάνγνωρίζουμετιςτιμέςγιατιςμεταβλητέςτωναρθρώσεωνμπορούμενα υπολογίσουμε τη θέση και τον προσανατολισμό του τελικού επενεργητή. Εάν γνωρίζουμε την επιθυμητή θέση και προσανατολισμό του τελικού επενεργητή μπορούμε να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες τιμές για τις μεταβλητές των αρθρώσεων για την επίτευξη αυτών. 6 8

9 Κινηματικές εξισώσεις Βήματα για την εξαγωγή των εξισώσεων που συνδέουν συντεταγμένες τελικού επενεργητή με τις μεταβλητές των αρθρώσεων: Δημιουργία κινηματικού διαγράμματος. Τοποθέτηση συστημάτων συντεταγμένων. Εύρεση πινάκων ομογενούς μετασχηματισμού. Εξαγωγή σχέσεων που περιγράφουν τις συντεταγμένες του τελικού επενεργητή σε συνάρτηση με τις μεταβλητές των αρθρώσεων. Παραγωγή αντίστροφων σχέσεων που περιγράφουν τις μεταβλητές των αρθρώσεων σε συνάρτηση με τις συντεταγμένες του τελικού επενεργητή. 7 Κινηματικό Διάγραμμα Ένα κινηματικό διάγραμμα απεικονίζει τη δομή ενός ρομπότ με τη μορφή ενός απλοποιημένου διαγράμματος. Οι αρθρώσεις αναπαρίστανται με κυλίνδρους (περιστροφικές) ή κύβους (πρισματικές), ενώ οι σύνδεσμοι με ευθείες γραμμές. Στο κινηματικό διάγραμμα, σημειώνονται οι μεταβλητές των αρθρώσεων, τα μήκη των συνδέσμων και συστήματα αναφοράς σε κάθε άρθρωση και στον τελικό επενεργητή. Σχεδιάζεται για μηδενικές τιμές των μεταβλητών των αρθρώσεων. 8 9

10 Κινηματικό Διάγραμμα Παράδειγμα l θ l l d 9 Τοποθέτηση συστημάτων συντεταγμένων Τοποθετείται ένα σύστημα συντεταγμένων σε κάθε άρθρωση καθώς και στον τελικό επενεργητή. Για βραχίονα με N αρθρώσεις τοποθετούμε Nσυστήματα συντεταγμένων. Τα συστήματα συντεταγμένων αριθμούνται,, Nξεκινώντας από ην η άρθρωση και καταλήγοντας στον τελικό επενεργητή. Το σύστημα συντεταγμένων που τοποθετείται στην πρώτη άρθρωση, θεωρείται ως σύστημα αναφοράς και συμβολίζεται με. Το σύστημα αυτό θεωρείται σταθερό και δεν μετακινείται. Θέλουμεναεκφράσουμετιςσυντεταγμένεςτουτελικούεπενεργητήωςπροςτο σύστημα αυτό. Η τοποθέτηση των υπόλοιπων συστημάτων συντεταγμένων απλοποιούν και τυποποιούν τη διαδικασία εύρεσης των συντεταγμένων του τελικού επενεργητή ως προς το σύστημα αναφοράς. 2

11 Τοποθέτηση συστημάτων συντεταγμένων Κανόνες Denavit Hartenberg (DH):. Ο άξονας σε κάθε σύστημα συντεταγμένων συμπίπτει με τον άξονα κίνησης της άρθρωσης (Για τον τελικό επενεργητή, προτιμάται (χωρίς να είναι υποχρεωτικός) ο άξονας να είναι παράλληλος με άξονας του προηγούμενου συστήματος συντεταγμένων). 2. Ο άξονας σε κάθε σύστημα συντεταγμένων πρέπει να κάθετος με τον άξονα του τρέχοντος και του προηγούμενου συστήματος συντεταγμένων ( και ) 3. Η προέκταση του άξονα σε κάθε σύστημα συντεταγμένων πρέπει να τέμνει την προέκταση του άξονα του προηγούμενου συστήματος συντεταγμένων (Δεν εφαρμόζεται για την πρώτη άρθρωση). Εάν δεν τέμνονται, μετακινείται κατάλληλα η αρχή του τρέχοντος συστήματος συντεταγμένων. 4. Ο άξονας y σε κάθε σύστημα συντεταγμένων τοποθετείται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. 2 Τοποθέτηση συστημάτων συντεταγμένων Παράδειγμα Τοποθέτηση άξονα (ταυτίζεται με τον άξονα κίνησης της άρθρωσης) l θ l l 22 d

12 Τοποθέτηση συστημάτων συντεταγμένων Παράδειγμα Τοποθέτηση άξονα (. κάθετος στο τρέχοντα και προηγούμενο. 2. Τέμνει τον προηγούμενο ) l θ l l 23 d Τοποθέτηση συστημάτων συντεταγμένων Παράδειγμα Τοποθέτηση αξόνων y (Κανόνας δεξιού χεριού) y l y 2 θ l d l y 24 2

13 Εύρεση HTM Βρίσκουμε HTM μεταξύ διαδοχικών συστημάτων αναφοράς. Βρίσκουμε τον πίνακα τον περιστροφής λαμβάνοντας υπόψη: την περιστροφή (αν υπάρχει) λόγω άρθρωσης τον προσανατολισμό των δύο συστημάτων συντεταγμένων Βρίσκουμε διάνυσμα μετατόπισης λαμβάνοντας υπόψη : την περιστροφή (αν υπάρχει) λόγω περιστροφικής άρθρωσης την μετατόπιση (εάν υπάρχει) λόγω πρισματικής άρθρωσης την αρχική μετατόπιση των δύο συστημάτων συντεταγμένων Βρίσκουμε τον συνολικό HTM του συστήματος του τελικού επενεργητή ως προς το σύστημα αναφοράς, πολλαπλασιάζοντας τους επιμέρους HTM. 25 Εύρεση HTM Συνέχεια παραδείγματος ΗΤΜ μεταξύ {} και {} R d H l d l d l d 26 3

14 Εύρεση HTM Συνέχεια παραδείγματος ΗΤΜ μεταξύ {} και {2} cos θ sinθ R 2 sin θ cos θ d 2 cos θ sinθ sin θ cos θ l l sin θ cos θ cosθ sin θ l sin θ l cos θ l H 2 sin θ cos θ l sin θ cosθ sin θ l cos θ l 27 Εξαγωγή σχέσεων Θέλουμεναεκφράσουμετιςσυντεταγμένεςτουτελικούεπενεργητήωςπρος το σύστημα αναφοράς. Εάν έχουμε N αρθρώσεις, έχουμε υπολογίσει του πίνακες H,H 2,,H N N O τελικός επενεργητής έχει συντεταγμένες,, ως προς το τελευταίο σύστημα συντεταγμένων (το σύστημα N). Οι συντεταγμένες, y, ως προς το σύστημα αναφοράς προκύπτουν απότοακόλουθογινόμενο: y H H 2 H N N 28 4

15 Εξαγωγή σχέσεων Το γινόμενο μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους. Βρίσκουμε τον συνολικό HTM H N H H 2 H N N. Πολλαπλασιάζουμε με το : y H N 29 Εξαγωγή σχέσεων Το γινόμενο μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους 2. Πολλαπλασιάζουμε το Αυτό που προκύπτει με H N3 N2 κ.ο.κ. y με το H N N. Αυτό που προκύπτει με H N2 N. H H 2 H N3 N2 H N2 N N H N 3 5

16 Εύρεση σχέσεων Παράδειγμα ος τρόπος H l d sin θ cos θ l sin θ H cosθ 2 sin θ l cos θ l sin θ cos θ l sin θ H 2 H H l 2 cos θ sinθ d l l cos θ 3 Εύρεση σχέσεων Παράδειγμα ος τρόπος y H 2 sin θ cos θ l sin θ l cos θ sinθ d l l cos θ y l sin θ l d l l cos θ 32 6

17 Εύρεση σχέσεων Παράδειγμα 2 ος τρόπος Πολλαπλασιάζουμε το sin θ cos θ l sin θ cosθ sin θ l cos θ l με τον πίνακα H 2 : l sin θ l cos θ l 33 Εύρεση σχέσεων Παράδειγμα 2 ος τρόπος Πολλαπλασιάζουμε αυτό που προκύπτει με τον πίνακα H : l sin θ y l cos θ l d l y l sin θ l d l l cos θ 34 7

18 Εύρεση σχέσεων Στο παράδειγμα, οι σχέσεις που παρέχουν τις συντεταγμένες τους τελικού επενεργητή ως προς το σύστημα αναφοράς {}, σε συνάρτηση με τις μεταβλητές των αρθρώσεων είναι: l sin θ yl l d l cos θ Οι συγκεκριμένες σχέσεις είναι πολύ εύκολο να επιλυθούν αντίστροφα για να δώσουν τις μεταβλητές των αρθρώσεων σε συνάρτηση με τις συντεταγμένες των αρθρώσεων: θ sin /l d l l cos θ 35 Παράρτημα cos sin cos 9 cos9 sin 9 sin 9 cos 8 sin 8 cos sin 3 2 cos cos 6 2 sin sin