Αναλυτική Γεωμετρία (Ευθεία-επίπεδο) ΣΕΜΦΕ

Transcript

1 νλυτική Γωμτρί (Ευθί-πίπδο) ΣΕΜΦΕ 05-6.() Τ δινύσμτ Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίνι μη συγγρμμικά κι πράλληλ προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμ θέσης r A = (,,3) ίνι σημίο του πιπέδου. Άρ η ξίσωση του πιπέδου ίνι: x y z 3 ( r ra, Β, Γ ) = 0 = 0... x 5y+ 4z 4 = 0. 3 (β) Το διάνυσμ η = (,, 3) ίνι κάθτο προς το πίπδο Π (φού ίνι η Q ). Άρ η ξίσωση του πιπέδου ίνι: ( r r A) η = 0 ( x, yz, ) (,, 3) = 0 x y+ 3z 7 = 0 (γ) Η υθί έχι πράλληλο διάνυσμ i j k η = η η = = i + 4j + 3 k, 3 0 το οποίο ίνι κάθτο προς το πίπδο Π. Επιπλέον το (3,-,) Π. Άρ η ξίσωση του πιπέδου Π ίνι : ( r r ) η = 0 ( x, y+, z ) (, 4,3) = 0 x+ 4 y+ 3z 5 = 0. A.() Το πίπδο Π πριέχι το σημίο μ διάνυσμ θέσης a = OA κι έχι πράλληλ δινύσμτ τ, Γ = a c, που ίνι μη συγγρμμικά γι a c 0. Άρ η ξίσωση του πιπέδου ίνι(δς σχήμ ) r = a+ λ + µ ( a c), λµ, [ δινυσμτική πρμτρική ξίσωση ] ή ( r aa,, c) = 0 [δινυσμτική ξίσωση ] Π A Γ a a Σχήμ Σχήμ a (β) Τ δινύσμτ a, a ίνι πράλληλ προς το πίπδο Π κι κόμη η ρχή των ξόνων (0,0,0) νήκι στο Π(σχήμ ). Άρ η ξίσωση του πιπέδου Π ίνι : r = 0 + λ a+ µ ( a ) λµ, ή ( raa,, ) = 0.

2 3. Το a ίνι το διάνυσμ θέσης νός σημίου της υθίς, νώ το η ίνι έν πράλληλο διάνυσμ προς την υθί. Θέτοντς x = 0 στις ξισώσις των Π, Π νζητούμ το σημίο της τομής των πιπέδων Π, Ππου βρίσκτι στο πίπδο yoz( x = 0). Έχουμ το σύστημ { } y+ z =, 3 y z = y = 0, z =, οπότ το σημίο (0,0,) Π. Το σημίο δν ίνι μονδικό, φού το σύστημ των ξισώσων των δύο πιπέδων έχι άπιρς λύσις. Επιπλέον το διάνυσμ η = η η, όπου η (,,) Π κι η (4, 3, ) Π, ίνι πράλληλο προς την υθί. Είνι δηλδή η = (,5, 7), λλά κι κάθ διάνυσμ λη, λ ίνι πράλληλο προς την υθί. y 0 z 4. Η υθί έχι ξισώσις x 3 = 0, =, δηλδή πρνάι πό το σημίο (3,0,0) κι έχι πράλληλο διάνυσμ το = (0,,), νώ η υθί πρνάι πό το σημίο (,, ) κι έχι πράλληλο διάνυσμ το = (3,, ). Τότ = (5,,) κι πιπλέον έχουμ:, σύμβτς,, μη συνπίπδ (,, ) 0, 5 που ισχύι, φού (,, ) = 0 = Κ = (0,,), = (3,, ). Σχήμ 3 Το τυχόν σημίο Κ της έχι συνττγμένς (3, t+ 0, t), t, το τυχόν σημίο Λ της έχι συνττγμένς (3s, s, s ), s, νώ το τυχόν διάνυσμ μ άκρ πάνω στις υθίς, έχι συνττγμένς (3s 5,s+ t,s t ). Ζητάμ τ Κ,Λ που ικνοποιούν τις σχέσις: 3 0 5t s t ΚΛ ΚΛ = = = 9, ΚΛ ΚΛ = 0 t+ s= s = 9 οπότ θ ίνι Κ(3, 8, 3 ), Λ ( 33, 5, 5 ) κι dmin = ΚΛ = () Σύμφων μ τη θωρί, το μβδόν πρλληλογράμμου ΒΔΓ ισούτι μ το μέτρο του ξωτρικού γινομένου των δινυσμάτων Β, Δ. Έτσι έχουμ: Λ

3 Ε( ΒΓ ) = Ε( Β Γ ) = Β Γ = ( a) ( c a) = c a c a = c+ c a+ a. Σχήμ 4 (β) Το πίπδο Π τέμνι τους άξονς xxyyzzστ ', ', ' σημί (,0,0), Β(0,,0) κι Γ(0, 0, 3 ), ντιστοίχως. Έτσι έχουμ Β = (,,0), Γ = (,0, 3 ) κι 7 Ε( ΒΓ ) = Β Γ = 6ι+ 3 j + k =. 6. () Έστω P '( βγ,, ) το συμμτρικό του P ως προς την. Τότ το μέσον M του PP ' νήκι u(,, ) a + β γ + 3 στην υθί, οπότ το σημίο M (,, ) (, 0, 3) ικνοποιί τις ξισώσις της υθίς, δηλδή + β γ + 3 : x = y = z = = (). (, β, γ) Μ Επιπλέον PP ' = (, βγ, 3) u(,, ), όπου το διάνυσμ u ίνι πράλληλο προς την υθί, οπότ θ ισχύι: Σχήμ 5 ( ) + β ( ) + ( γ 3) ( ) = 0 β γ = ( ) πό () κι () έχουμ: =, β =, γ = (β) Έστω P ( βγ,, ) το συμμτρικό του P ως προς το πίπδο Π: x y z = 0. PP, βγ, 3 ίνι κάθτο προς το πίπδο Π, οπότ θ ίνι Τότ το διάνυσμ ( ) συγγρμμικό μ το κάθτο διάνυσμ (,, ) η του πιπέδου Π, οπότ: β γ 3 = = = t ()

4 Σχήμ 6 + β γ + 3 Επιπλέον, το μέσο Μ,, του υθύγρμμου τμήμτος PP θ νήκι στο πίπδο Π, οπότ θ έχουμ: + β γ + 3 = 0 β γ = 6 () πό το σύστημ των ξισώσων () κι () λμβάνουμ: P,, Ν ποδίξτ ότι το μβδόν Ε της ορθογώνις προβολής του πρλληλογράμμου ΒΓΔ μ Β = u, Δ = v πάνω σ έν πίπδο μ κάθτο διάνυσμ n, n =, δίντι πό την ισότητ Λύση ( ος τρόπος) Ε= ( u v) n. Σχήμ 7 Το πίπδο Π στο σχήμ τυτίζτι μ το πίπδο της ορθής προβολής ABΓ. Η ορθή προβολή ABΓ του πρλληλογράμμου ABΓ ίνι πρλληλόγρμμο,

5 γιτί οι πένντι πλυρές του ίνι πράλληλς, ως τομές πράλληλων πιπέδων πό το πίπδο Π. Έτσι, ν ονομάσουμ B = u, Δ = v, τότ το μβδόν Ε της ορθογώνις προβολής του ΒΓΔ ίνι: Ε= u v. Στη συνέχι κτσκυάζουμ το πρλληλπίπδο ΒΓ ΒΓ που ορίζτι πό τ δινύσμτ του οποίου ο όγκος V δίντι πό τον τύπο u, v κι n V = ( u, v,n) = ( u v) n () Σύμφων μ γνωστό θώρημ της Στρομτρίς, (δς Γωμτρί Λύκίου, ΕΜΕ) ο όγκος V μπορί ν δοθί κι ως ξής: V = µβδ όν κάθτης τοµ ής µ ήκος πράπλυρης κµ ής ( ) ( ) ( ) n V = Ε Β Γ = Ε = Ε () πό τις () κι () προκύπτι η ισότητ Ε= ( u v) n. ος τρόπος πό το γνωστό τύπο της προβολής δινύσμτος πάνω σ διάνυσμ, κφράζουμ τ δινύσμτ B = u, Δ = v συνρτήσι των δινυσμάτων Β = u, Δ = v κι n. Έτσι έχουμ un ( ), vn u= = = u n u unnv v n= v ( vnn ), n n φού ίνι n =. Εύκολ διπιστώνουμ ότι: u n= u n κι v n= v n κι πό τις ιδιότητς του μικτού γινομένου προκύπτι u v n = u v n = u v n = u v n ( ) ( ) ( ) ( ) = ( v u) n = ( v u) n = v ( u n) = ( ) = ( ) = ( ) = u v n cos ( u v, n) = u v =Ε, n κι cos ( u v, n ) =±, φού τ u γιτί = v u n v u n u v n v κι n ίνι συγγρμμικά. 8. Γράφουμ 0 - : x = y, z = 3 κι : x = y, z = 0 3 Έστω (,0,0). H υθί 3 που πρνάι πό το έχι ξισώσις: x y =, z = 0. Το πίπδο Π έχι ξίσωση z = 0. Θωρούμ Μ(4, 6,3) κι φέρουμ υθί 4 Π. Η 4 έχι ξισώσις x= 4, y = 6 κι τέμνι το Π στο σημίο Β(4,6,0). x 4 y 6 Η υθί η κάθτη πό το Β προς την έχι ξισώσις =, z = 0 κι τέμνι την στο σημίο

6 Σχήμ 8 9. (i), συνπίπδς PP, a, συνπίπδ ( PP, a, ) = 0 ( r r, a, ) = 0. (ii) Η προβολή του PP πάνω στο διάνυσμ a ίνι το διάνυσμ ΛΚ, οπότ ( a ) PP = ( a ) ΛΚ ( r r)( a ) = ± a ΛΚ ( r r, a, ) ( r r, a, ) = a ΛΚ d= ΛΚ =. a ( Είνι a 0, φού οι, ίνι σύμβτς.) Λ Β a Κ Σχήμ 9 a Σχήμ 0 (iii) Είνι d = ΚΛ, όπου ΚΛ. Θωρούμ πί της σημίο τέτοιο, ώστ P = a κι σχημτίζουμ το πρλληλόγρμμο PPΒ. Τότ έχουμ ( r r) a Ε(PP Β ) = P ΚΛ = ad d =. a

7 0. Θωρούμ σημίο Β τέτοιο ώστ Β = u. Επίσης θωρούμ το πρλληλόγρμμο ΜΒΝ. Τότ Ε( ΜΒΝ ) = d( Μ, ) u κι Ε(ΜΒΝ) = Μ u = ( rm a) u, ( rm a) u οποτ d( Μ, ) =. u Εφρμογή: Είνι r = (,, ), u = Β = (,,), M r a = (, 3, 5), ( r a) u = i 3 j 5k M κι M 55 dm (, ) =. 3 Ν Β Μ r Μ Σχήμ u a