ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ"

Ευφρανωρ Βλαβιανός
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Βλέε σχολικό βιβλίο Α α Ψευδής β Η είναι συνεχής στο, αού είναι συνεχής στο R ως αόλυτο συνεχούς συνάρτησης Όμως δεν είναι αραγωγίσιμη στο, αού: () () lim lim lim και () () lim lim lim Έτσι () () () () lim lim Α Βλέε σχολικό βιβλίο Α α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Η (og)() ορίζεται αν και μόνο αν ισχύει D g (,) g() D ( ) Για κάθε (,), (og)() (g()) ln

2 Β Έστω, (,) με h( ) h( ) Τότε θα έχουμε: ln ln η h είναι και άρα αντιστρέεται e y y y y y y y h() y ln e e e (e ) e y e h () e, R e Β () e, R e Η είναι συνεχής στο R ως ηλίκο συνεχών συναρτήσεων Για κάθε R, e () (e ) η είναι γνησίως αύξουσα στο R, ου είναι ανοιχτό διάστημα και άρα δεν αρουσιάζει ακρότατα Για κάθε R, e ( e ) () (e ) e () e e () e e () Έτσι η είναι κυρτή στο (,] και κοίλη στο [, ) Η έχει σημείο καμής το (,()), δηλαδή το,

3 Β e e lim () lim ο είναι οριζόντια ασύμτωτη της στο e (e ) e lim () lim lim lim e (e ) e η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμτωτη της στο y y ΘΕΜΑ Γ () ημ, [,] () συν, [,] Γ Έστω Μ(,( )), [,] σημείο της και ε : y ( ) ( )( ) η εξίσωση της εατομένης της στο Μ Η ε θα διέρχεται αό το Α αν και μόνο αν ισχύει ημ συν Έτσι θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση στο [,] συν ημ έχει δύο ακριβώς λύσεις Θεωρώ g() συν ημ, [,] Προανώς g() και g() Για κάθε (,), g () ημ και ημ g () g

4 Έτσι η g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα αό τα διαστήματα, και,, οότε θα έχει δύο το ολύ ρίζες Τελικά η εξίσωση g() έχει δύο ακριβώς ρίζες, το και το Οι εατόμενες στο (,()) και στο (,()) έχουν εξισώσεις ε : y () ()( ) y ε : y () ()( ) y Γ (ΟΑΒ) y Α (ΟΒ) τμ τμ Ε ημ d ημ d ημd συν ( ) Έτσι Ε (ΟΑΒ) Ε τμ και άρα Ε Ε 8 () ημ lim lim lim (ημ ), αού: () ημ ημ Γ lim (ημ ) lim (ημ ) και lim ημ κοντά στο ημ Είναι () ημ για κάθε (,) και άρα η είναι κυρτή στο [,] Έτσι η θα βρίσκεται άνω αό την ε με εξαίρεση το (,()), δηλαδή θα ισχύει για κάθε [,], () ημ ημ, με το ίσον να ισχύει για

5 Γ Για κάθε [,], ημ ημ Έτσι για κάθε [,e], () (), με το ίσον να ισχύει μόνο για () () () e e e e e d d d ln d Όμως e, αού e e () d e ΘΕΜΑ Δ (), [,) e ημ, [,] Δ Στο [,) η έχει τύο και είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Στο (,] η έχει τύο e ημ και είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων lim () lim ( ) lim () lim (e ημ) e ημ () e ημ Έτσι lim () () και άρα η είναι συνεχής στο Εομένως η είναι συνεχής στο [,] Τα κρίσιμα σημεία της στο [,] είναι τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οοία η μηδενίζεται και τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος στα οοία η δεν είναι αραγωγίσιμη Για κάθε (,), Για κάθε (,), () ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) () (e ημ) e (ημ συν) () e (ημ συν) συν ημ σ () () ( ) lim lim lim lim ( ( ) ) lim ( ) ( ) () () e ημ lim lim e

6 Έτσι () () () () lim lim και άρα η δεν είναι αραγωγίσιμη στο Έτσι τα κρίσιμα σημεία της στο [,] είναι το και το Δ Στο [,] η e(ημ συν) έχει μοναδική ρίζα το Έτσι ως συνεχής συνάρτηση θα διατηρεί σταθερό ρόσημο σε καθένα αό τα διαστήματα, και, Η τιμή της στο είναι ίση με και στο ίση με e e(ημσυν) για κάθε,, άρα και για κάθε, και e(ημσυν) για κάθε, () Έτσι η είναι γνησίως θίνουσα σε καθένα αό τα διαστήματα [,] και, και γνησίως αύξουσα στο, Στη θέση αρουσιάζει τοικό μέγιστο το ( ), στη θέση τοικό ελάχιστο το (), στη θέση τοικό μέγιστο το e και στη θέση τοικό ελάχιστο το () Η είναι συνεχής στο [,] και άρα θα έχει ολικό μέγιστο το μεγαλύτερο αό τα τοικά, δηλαδή το e είναι e e ln ln ln,

7 ου ισχύει, αού ln και ολικό ελάχιστο το μικρότερο αό τα τοικά, ου είναι το Έτσι ([,]), e Δ Έστω Ω το χωρίο ου ζητείται το εμβαδόν του 5 Ε(Ω) e ημ e d e ημ e d Για e και ημ ημ e 5 Ε(Ω) e (e ημ)d e d e ημd 5 5 e e τμ, αού 5 5 e e e 5 d και e ημd (e )ημd e ημ e συνd (e ) συνd e συν e ημd e ημd ( e ) e ημd e Δ Στο [,] η εξίσωση γράεται ισοδύναμα: 6() ( ) 8 e () e () e Όμως για κάθε [,], () e με το ίσον να ισχύει για και άρα

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 17 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Ααντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α1. Αόδειξη σχολικού βιβλίου σελ 135 Α. α. Ψευδής