υναµική µελέτη γαλαξιών ως ρεαλιστικών φυσικών συστηµάτων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ υναµική µελέτη γαλαξιών ως ρεαλιστικών φυσικών συστηµάτων ιδακτορική διατριβή ΝΙΚΟΛΑΟΣ Ι. ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2012

2 - 2 -

3 υναµική µελέτη γαλαξιών ως ρεαλιστικών φυσικών συστηµάτων - 3 -

4 - 4 -

5 - 5 - Στον γιο µου, Ιωάννη-Μάριο

6 - 6 -

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γαλαξίας και η τοπική οµάδα γαλαξιών Κατηγορίες γαλαξιών Ενεργοί γαλαξίες ηµιουργία και εξέλιξη γαλαξιών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ Γαλαξιακά δυναµικά πρότυπα Τρόποι µελέτης των τροχιών των αστέρων Σύντοµη αναφορά στην εξέλιξη της υναµικής των γαλαξιών κατά την τελευταία τριακονταετία ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΞΟΝΙΚΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΓΑΛΑΞΙΩΝ Μελέτη χαοτικών τροχιών σε γαλαξιακό πρότυπο µε συµπαγή πυρήνα Γενικά Κανονική και χαοτική κίνηση Σύνδεση φυσικών παραµέτρων µε το χάος σε ελλειπτικούς γαλαξίες Γενικά Αριθµητικοί υπολογισµοί Ηµιαναλυτική προσέγγιση υναµική εξέλιξη και χάος σε γαλαξιακά πρότυπα Γενικά Η δοµή του χώρου των φάσεων υναµική εξέλιξη Συµπεράσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΓΑΛΑΞΙΩΝ Η σηµασία των φυσικών ποσοτήτων στον προσδιορισµό της χαοτικής φύσης των τροχιών σε ραβδωτούς γαλαξίες Γενικά Σχέσεις που περιγράφουν τη µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση Ηµιαναλυτική προσέγγιση Ο µηχανισµός του φάσµατος S(c) για την απεικόνιση της κίνησης στους γαλαξίες Γενικά Αριθµητικά αποτελέσµατα Το δυναµικό φάσµα S(c)

8 4.3. Συµπεράσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΜΙΑΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ BL- LAERTAE Χάος σε πρότυπο ηµιαστέρα µε δίσκο και πυκνό πυρήνα Εισαγωγή Σύνδεση της έκτασης των χαοτικών περιοχών µε τις φυσικές παραµέτρους Θεωρητικά δεδοµένα υναµική εξέλιξη αξονικά συµµετρικού προτύπου ηµιαστέρα Εισαγωγή Αποτελέσµατα του χρονικά ανεξάρτητου προτύπου Το χρονικά εξελισσόµενο πρότυπο Αποτελέσµατα - Συµπεράσµατα Το δυναµικό πρότυπο ενός αντικειµένου BL-Lacertae Γενικά Η δοµή του χώρου των φάσεων - Θεωρητική εξήγηση Τροχιές στο χρονικά εξαρτηµένο δυναµικό Σύνδεση αποτελεσµάτων µε παρατηρήσεις Συµπεράσµατα ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ SUMMARY ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή αναφέρεται στη δυναµική µελέτη των γαλαξιών ως ρεαλιστικών φυσικών συστηµάτων. Με τον όρο «ρεαλιστικά φυσικά συστήµατα» εννοούµε ότι όλα τα συστήµατα περιγράφονται µε κλασσικά δυναµικά πρότυπα που η κατασκευή τους έχει ως βάση τις παρατηρήσεις. Επιπλέον, στα πρότυπα που µελετούµε µας ενδιαφέρει ο ρόλος που παίζουν οι διάφορες φυσικές παράµετροι, όπως είναι η µάζα, η πυκνότητα, η στροφορµή και οι φυσικές διαστάσεις, στη συµπεριφορά των συστηµάτων αυτών. Πιο συγκεκριµένα, στο Κεφάλαιο 3 µελετάµε τη δυναµική συµπεριφορά και τη σχέση της µε τις φυσικές παραµέτρους σε αξονικά συµµετρικά συστήµατα, στο Κεφάλαιο 4 την αντίστοιχη συµπεριφορά σε ραβδωτούς γαλαξίες, ενώ στο Κεφάλαιο 5 επικεντρωνόµαστε σε ενεργούς γαλαξίες, όπως είναι τα αντικείµενα BL- Lac, και στους ηµιαστέρες. Το πρώτο µέρος του Κεφαλαίου 3 (παράγραφος 3.1) αναφέρεται στη µελέτη χαοτικών τροχιών σε γαλαξιακό πρότυπο µε συµπαγή πυρήνα. Συγκεκριµένα, ερευνάται η µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση εντός δυναµικού µε εκθετική µεταφορά µάζας από την περιοχή του δίσκου στην περιοχή του πυρήνα. Το δεύτερο µέρος (παράγραφος 3.2) αναφέρεται στη σύνδεση φυσικών παραµέτρων µε το χάος σε ελλειπτικούς γαλαξίες, όπου γίνεται µελέτη της µετάβασης από κανονική σε χαοτική κίνηση εντός λογαριθµικού δυναµικού, στο οποίο έχει προστεθεί ένας όρος διαταραχής της µορφής -λr 3. Στο τελευταίο µέρος του κεφαλαίου 3 (παράγραφος 3.3), γίνεται µελέτη των ιδιοτήτων της κίνησης εντός αξονικά συµµετρικού προτύπου στο οποίο υπάρχουν δύο παράµετροι, α και h, όπου µε αλλαγή της παραµέτρου h προκύπτει µια ποικιλία γαλαξιακών προτύπων. Στο Κεφάλαιο 4, το πρώτο µέρος (παράγραφος 4.1) αναφέρεται στη σηµασία των φυσικών ποσοτήτων στον προσδιορισµό της φύσης των τροχιών σε ραβδωτούς γαλαξίες, ενώ στο δεύτερο µέρος (παράγραφος 4.2) γίνεται µελέτη της κίνησης εντός δυναµικού που περιέχει έναν αρµονικό όρο που σχετίζεται µε τον πυρήνα και έναν όρο που αντιπροσωπεύει ένα ισχυρό δυναµικό ράβδου. Για τη µελέτη της κίνησης χρησιµοποιείται ένα πολύ αποτελεσµατικό εργαλείο, το φάσµα S(c), µε το οποίο µπορεί να ανιχνευθεί κίνηση σε νησίδες, ενώ επιπλέον µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για τον υπολογισµό της περιόδου της κολλώδους (sticky) κίνησης

10 Τέλος, στο 5 ο Κεφάλαιο, που αφορά τη δυναµική µελέτη των ενεργών γαλαξιών, στην παράγραφο 5.1 εξετάζεται ένα δυναµικό πρότυπο για ηµιαστέρα µε περιστρεφόµενο δίσκο και συµπαγή πυρήνα και γίνεται προσπάθεια συσχέτισης της έκτασης των χαοτικών περιοχών µε τις φυσικές παραµέτρους του προτύπου. Στην παράγραφο 5.2 µελετάται ένα αξονικά συµµετρικό πρότυπο ηµιαστέρα και συγκεκριµένα ο ρόλος της στροφορµής στην κανονική ή χαοτική κίνηση σε ένα τέτοιο σύστηµα, ενώ στην παράγραφο 5.3 ερευνάται ένα δυναµικό πρότυπο για αντικείµενα BL-Lacertae, όπου χρησιµοποιείται ένα απλό πρότυπο αποτελούµενο από ένα λογαριθµικό δυναµικό µε έναν επιπρόσθετο όρο εσωτερικής διαταραχής. Στο τέλος της διατριβής καταγράφονται τα γενικά συµπεράσµατα που προέκυψαν από την παρούσα µελέτη. Πρέπει να τονίσουµε ότι στην παρούσα διατριβή θεωρούµε ότι οι γαλαξίες αποτελούνται µόνο από αστέρες. Αυτό είναι µια πολύ καλή προσέγγιση διότι, γενικά, το ποσοστό της µεσοαστρικής ύλης, δηλαδή του αερίου και της σκόνης στους γαλαξίες, είναι λιγότερα από 10%. Επίσης, επειδή οι προσεγγίσεις αστέρων στους γαλαξίες είναι κατά κανόνα εξαιρετικά σπάνιες, θεωρούµε ότι η κίνηση του αστέρα, του γνωστού µας δοκιµαστικού σωµατιδίου, καθορίζεται από το βαρυτικό δυναµικό που δηµιουργούν όλοι οι υπόλοιποι αστέρες του γαλαξία. Τελειώνοντας, θα πρέπει ακόµα να αναφερθεί ότι όλα τα αποτελέσµατα της παρούσας µελέτης βασίστηκαν, γενικά, σε σχετικά απλά δυναµικά πρότυπα. Αυτό συνέβη για δύο λόγους: ο πρώτος λόγος είναι ότι θα ήταν δύσκολο να κατασκευαστεί, να γίνει κατανοητό και να είναι εύκολο στο χειρισµό του ένα πολύπλοκο πρότυπο. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι τα πρότυπα που χρησιµοποιούνται παρουσιάζουν ενδιαφέρον, διότι εµφανίζουν κανονική κίνηση σε συνδυασµό µε µεγάλες χαοτικές περιοχές. Επίσης, υπάρχει σύνδεση µεταξύ της δυναµικής τους συµπεριφοράς και των φυσικών τους παραµέτρων και αυτό συνηγορεί στο ότι είναι κατάλληλα για την περιγραφή της δυναµικής εξέλιξης των γαλαξιών. Η διατριβή αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Αστρονοµίας του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης. Από τη θέση αυτή, θα ήθελα να εκφράσω τις θερµότερες ευχαριστίες µου στον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. Ν. Καρανικόλα για το συνεχές και αδιάκοπο ενδιαφέρον του, για την πολύτιµη καθοδήγηση και την αµέριστη βοήθειά του σε όλα τα στάδια της εργασίας. Επίσης, ευχαριστώ θερµά τον οµότιµο καθηγητή κ. Ι. Χατζηδηµητρίου για το ενδιαφέρον του καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας και για τις πολύ εύστοχες υποδείξεις και παρατηρήσεις του, όπως και τον συνταξιοδοτηθέντα καθηγητή κ. Ν. Σπύρου για τις χρήσιµες παρατηρήσεις του και τις ενδιαφέρουσες συζητήσεις που είχα µαζί του σε

11 θέµατα σχετικά µε την παρούσα εργασία. Χωρίς τη βοήθεια της παραπάνω τριµελούς επιτροπής θα δεν ήταν δυνατή η ολοκλήρωση της διδακτορικής διατριβής. Θα ήθελα ακόµη να ευχαριστήσω τον λέκτορα του Τ.Ε.Ι. Σερρών κ. Χ. Βοζίκη για το ενδιαφέρον, την προθυµία και τη βοήθειά του σε ζητήµατα προγραµµατισµού. Τέλος, ευχαριστώ θερµά την σύζυγό µου, Αγγελική Μελιοπούλου, για την αδιάλειπτη συµπαράσταση και υποστήριξή της σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διατριβής

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Ο Γαλαξίας και η τοπική οµάδα γαλαξιών Η κατανοµή της ύλης, τόσο σε µικροσκοπική όσο και σε µακροσκοπική κλίµακα, δεν είναι τυχαία. Όπως στο µικρόκοσµο συναντάµε τα άτοµα και κατ επέκταση τα µόρια, έτσι και στο µακρόκοσµο η ύλη παρουσιάζει την τάση να «οµαδοποιείται» σε τοπικές συγκεντρώσεις µάζας. Σε µακροσκοπικό επίπεδο, λοιπόν, αυτές οι τοπικές συγκεντρώσεις µάζας δηµιουργούν σε πρώτο επίπεδο τους αστέρες, όπως ο Ήλιος, οι οποίοι µε τη σειρά τους σχηµατίζουν µεγαλύτερες δοµές, τους γαλαξίες. Σε ακόµη µεγαλύτερη κλίµακα, οι γαλαξίες δηµιουργούν τα λεγόµενα σµήνη γαλαξιών. Ο Γαλαξίας µας στο νυχτερινό ουρανό φαίνεται σαν µια γαλακτόχρωµη ταινία από αστέρες. Η παρατηρούµενη αυτή µορφή οφείλεται τόσο στο σχήµα του Γαλαξία όσο και στη θέση του ηλιακού µας συστήµατος µέσα σε αυτόν. Πρώτος ο William Herschel το 1785, παρατηρώντας την κατανοµή των αστέρων σε διαφορετικές διευθύνσεις, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι το σχήµα του Γαλαξία είναι δισκοειδές. Πράγµατι, τα διάφορα αντικείµενα του Γαλαξία, αστέρες, σκόνη, αέρια, συγκεντρώνονται κυρίως στο µέσο επίπεδο ενός δίσκου, ενώ οι διάφορες παρατηρήσεις µε ραδιοτηλεσκόπια επιβεβαίωσαν την ύπαρξη βραχιόνων, γεγονός που δίνει, τελικά, στο Γαλαξία µας σπειροειδές σχήµα. Σήµερα δεχόµαστε ότι υπάρχουν τέσσερις τέτοιοι βραχίονες. Ο βραχίονας του Κενταύρου πλησιάζει περισσότερο προς το κέντρο του Γαλαξία και τον παρατηρούµε στην περιοχή του ουρανού που καλύπτεται από τους αστερισµούς του Κενταύρου, Σταυρό του Νότου και Καρίνα. ύο άλλοι καµπυλώνονται επάνω από τους αστερισµούς του Τοξότη και του Ωρίωνα, ενώ ο βραχίονας που εκτείνεται µακρύτερα από το κέντρο βρίσκεται στην περιοχή του αστερισµού του Περσέα

13 Εικόνα 1: Ο Γαλαξίας µας όπως φαίνεται από τη Γη. Η διάµετρος του γαλαξιακού δίσκου είναι περίπου 30 kpc και το ύψος του περίπου 1 kpc. Στο κέντρο του Γαλαξία υπάρχει µια κεντρική συµπύκνωση, σχεδόν σφαιρική, µε ακτίνα περίπου 2 kpc και ο πυρήνας ακτίνας λιγότερο από 10 pc. Η κεντρική αυτή περιοχή είναι ισχυρή πηγή ακτίνων-χ και ακτινοβολίας γάµµα γεγονός που παραπέµπει στην πιθανότητα ύπαρξης µελανής οπής. Συνολικά, το σύστηµα του γαλαξιακού δίσκου περιβάλλεται από µια σφαιρική άλω της οποίας η διάµετρος είναι περίπου 35 kpc και η οποία περιέχει εκατοντάδες σφαιρωτά σµήνη, που είναι πυκνές συγκεντρώσεις εκατοντάδων χιλιάδων αστέρων και µεµονωµένους αστέρες. Υπάρχει, βέβαια, η πιθανότητα οι ακριβείς διαστάσεις της άλω να είναι κατά πολύ µεγαλύτερες από τα 35 kpc, διότι έχουν παρατηρηθεί σφαιρωτά σµήνη που ενδεχοµένως να ανήκουν στα Γαλαξία µας, σε πολύ µεγαλύτερες αποστάσεις. Το ηλιακό µας σύστηµα βρίσκεται σχεδόν πάνω στο γαλαξιακό επίπεδο σε απόσταση περίπου 8.5 kpc από το κέντρο του Γαλαξία, στο βραχίονα του Ωρίωνα. Ο αριθµός των αστέρων του Γαλαξία είναι της τάξης του Ανάλογα µε την ηλικία, τη χηµική τους σύσταση, τις περιοχές συγκέντρωσης και τις κινηµατικές τους ιδιότητες διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, τους πληθυσµούς Ι και ΙΙ. Ο δίσκος του Γαλαξία και οι σπειροειδείς βραχίονες αποτελούνται από αστέρες του πληθυσµού Ι, οι οποίοι είναι νεότερης ηλικίας, πλούσιοι σε µέταλλα και κινούνται σε επίπεδες και σχεδόν κυκλικές τροχιές γύρω από το κέντρο του. Η άλως και η κεντρική περιοχή του Γαλαξία περιλαµβάνει αστέρες του πληθυσµού ΙΙ, οι οποίοι είναι µεγαλύτεροι σε ηλικία, φτωχότεροι σε µέταλλα από τους αστέρες του πληθυσµού Ι και κινούνται σε έκκεντρες τροχιές µικρής στροφορµής ως προς το κέντρο του Γαλαξία

14 Οι παρατηρήσεις των κινήσεων των αστέρων έδειξαν ότι ο Γαλαξίας περιστρέφεται µε τα εξωτερικά µέρη του δίσκου να κινούνται πιο αργά από εκείνα που βρίσκονται πιο κοντά στο κέντρο, παρουσιάζει δηλαδή διαφορική περιστροφή που σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής µειώνεται µε την απόσταση από το κέντρο. Ο Ήλιος, για παράδειγµα, κινείται µε ταχύτητα 250 χιλιόµετρα το δευτερόλεπτο και χρειάζεται περίπου 200 εκατοµµύρια χρόνια για µια πλήρη περιστροφή, ενώ για έναν αστέρα µε µικρότερη απόσταση από το κέντρο ο χρόνος περιστροφής θα είναι µικρότερος. Το γεγονός αυτό επιβεβαιώνεται από τις µετατοπίσεις Doppler των φασµατικών γραµµών των αστέρων από τις οποίες φαίνεται ότι κινούνται σε σχέση µε τον Ήλιο. Για τη µελέτη της διαφορικής περιστροφής του Γαλαξία, υποθέτουµε ότι οι αστέρες κινούνται σε κυκλικές τροχιές πάνω στο γαλαξιακό επίπεδο. Στο Σχήµα 1.1, r και r o είναι οι αποστάσεις ενός αστέρα Σ και του Ήλιου Η από το κέντρο Κ του γαλαξία αντίστοιχα, d η απόσταση Ήλιου-αστέρα, Θ και Θ ο η κυκλικές ταχύτητες αστέρα και Ήλιου, l το γαλαξιακό µήκος και a η γωνία µεταξύ της οπτικής ακτίνας του παρατηρητή, που θεωρούµε ότι βρίσκεται στον Ήλιο, και του διανύσµατος κυκλικής ταχύτητας του αστέρα. Σχήµα 1.1: Μελέτη της διαφορικής περιστροφής του Γαλαξία. Η ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας υ d του αστέρα ως προς τον Ήλιο είναι u =Θcos a Θ sin l. (1.1) d o

15 Συνδυάζοντας τη σχέση Θ=ωr µε το νόµο των ηµιτόνων sin l r cos a = r, (1.2) o η εξίσωση (1.1) γίνεται u = r ( ω ω )sin l, (1.3) d o o όπου ω και ω ο οι γωνιακές ταχύτητες περιστροφής του αστέρα και του Ήλιου αντίστοιχα. Από την (1.3) διαπιστώνουµε ότι λόγω της διαφορικής περιστροφής του Γαλαξία, οι αστέρες εµφανίζουν µη µηδενικές ακτινικές συνιστώσες ταχύτητας. Η εφαπτοµενική συνιστώσα της ταχύτητας του αστέρα ως προς τον Ήλιο είναι ενώ από το νόµο των συνηµιτόνων προκύπτει u =Θ sin a Θ ε o cosl, (1.4) sin l cos(1 + a) cosl cos a sin l sin a = =. (1.5) r d d Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1.2), (1.5) και (1.4) προκύπτει uε = r ( ω ω )cos l ωd. (1.6) o Στη γειτονιά του Ήλιου όπου d<<r o, το ανάπτυγµα Taylor της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του γαλαξία ω είναι o ω dω 1 d ω 2 2 ( r) = ωo+ ( r ro ) + ( r r )... 2 o + dr ro 2 dr ro (1.7) Για µικρές, όµως, τιµές της απόστασης d ισχύει ro r d cos l. Με την προσέγγιση αυτή και κρατώντας τους γραµµικούς όρους της σειράς (1.7), οι σχέσεις που δίνουν την ακτινική και την εφαπτοµενική συνιστώσα της ταχύτητας γίνονται

16 u Ad sin 2l d =, (1.8) u = ( Acos 2 l + ε B) d, (1.9) όπου ro dω A= 2 dr ro 2 1 d( r ω) B= = A ωo. 2ro dr ro (1.10) Οι παραπάνω ποσότητες ονοµάζονται σταθερές του Oort και οι τιµές τους υπολογίζονται από παρατηρήσεις που επιτρέπουν τον προσδιορισµό της ακτινικής και της εφαπτοµενικής ταχύτητας. Η ακτινική ταχύτητα βρίσκεται από τις µετατοπίσεις Doppler των φασµατικών γραµµών των λαµπρών αστέρων Β και των Κηφείδων µέσω της σχέσης u d c λ λ =, (1.11) ενώ η εφαπτοµενική προσδιορίζεται από τις ίδιες κινήσεις των κοντινών προς το Ήλιο αστέρων µέσω της σχέσης µ u ε 4.74 π =, (1.12) όπου µ η ίδια κίνηση και π η παράλλαξη του αστέρα. Για την εύρεση της καµπύλης περιστροφής Θ=Θ(r) του Γαλαξία, εργαζόµαστε ως εξής. Όταν η γραµµή παρατήρησης και η διεύθυνση της κυκλικής ταχύτητας Θ του αστέρα συµπίπτουν, δηλαδή για α=0, η ακτινική ταχύτητα (για δεδοµένη τιµή του l) γίνεται µέγιστη. Στην περίπτωση αυτή (Σχήµα 1.1), προκύπτει και ω r r sin l min = (1.13) d,max ( rmin ) o. ro sin l o u = ω + (1.14)

17 Από τις τιµές των ω ο και r o και µετρώντας τις µέγιστες ακτινικές ταχύτητες για διάφορες τιµές του l υπολογίζουµε τις τιµές ω(r min ). Με τον τρόπο αυτό κατασκευάζουµε την καµπύλη ω(r) και στη συνέχεια την καµπύλη περιστροφής του Γαλαξία. Για αποστάσεις r>r o η καµπύλη περιστροφής βρίσκεται από τις ακτινικές ταχύτητες των µοριακών νεφών του υδρογόνου που προσδιορίζονται από τη µελέτη των φασµατικών γραµµών του µονοξειδίου του άνθρακα. Σχήµα 1.2: Καµπύλη περιστροφής του Γαλαξία. Όπως αναφέρθηκε στην αρχή, οι Γαλαξίες σε µεγάλη κλίµακα σχηµατίζουν σµήνη γαλαξιών. Γενικά, υπάρχουν δύο κατηγορίες σµηνών γαλαξιών. Τα οµαλά σµήνη (regular clusters) που παρουσιάζουν σφαιρική συµµετρία και περιέχουν από εκατοντάδες µέχρι µερικές χιλιάδες γαλαξίες, και τα ανώµαλα σµήνη (irregular clusters) που παρουσιάζονται άµορφα και ο αριθµός των γαλαξιών που περιέχουν µπορεί να ξεπεράσει τους χίλιους. Υπάρχουν, όµως, και κάποια µικρά σµήνη που αποτελούνται µόνο από µερικές δεκάδες γαλαξίες. Το σµήνος στο οποίο ανήκει ο δικός µας Γαλαξίας ονοµάζεται Τοπική Οµάδα και είναι σχετικά µικρό. Ο αριθµός των γαλαξιών που περιλαµβάνει εξαρτάται από τον αν συµπεριλαµβάνονται και κάποια απόµερα µέλη. Σίγουρα υπάρχουν τουλάχιστον 26 κύρια µέλη και, µε γενική συµφωνία, περιλαµβάνονται και µερικοί ακόµα µικροί και αµυδροί γαλαξίες που βρίσκονται κοντά. Συνολικά προκύπτουν τουλάχιστον 28 µέλη και, αναµφίβολα, πρέπει να υπάρχουν και άλλοι αµυδρότεροι που δεν έχουν ακόµα ανακαλυφθεί

18 Σχήµα 1.3: Σχηµατική παράσταση της τοπικής οµάδας γαλαξιών. Επικρατεί η εντύπωση ότι η Τοπική οµάδα περιέχει γύρω στους 40 γαλαξίες και κινείται ως σύνολο µε ταχύτητα 220 km/s περίπου προς το σµήνος γαλαξιών της Παρθένου που βρίσκεται σε απόσταση 19 Mpc. Κυριαρχείται από δύο µεγάλους σπειροειδείς γαλαξίες, το Γαλαξία µας και το γαλαξία της Ανδροµέδας και οι υπόλοιποι φαίνεται να είναι συγκεντρωµένοι γύρω από καθέναν από τους δύο. Έτσι δηµιουργούνται δύο υποοµάδες στη µία εκ των οποίων ανήκει ο Γαλαξίας µας, τα Νέφη του Μαγγελάνου και µερικοί νάνοι γαλαξίες, ενώ στην άλλη, σε απόσταση περίπου 600 kpc, οι γαλαξίες Μ31(Ανδροµέδα), Μ33 και ορισµένοι νάνοι συνοδοί. Η διάµετρος του σµήνους είναι σχεδόν 4 εκατοµµύρια έτη φωτός, ενώ οι περισσότεροι γαλαξίες του είναι ελλειπτικοί. (α) (β) Εικόνα 2: (α) Το Μεγάλο και (β) το Μικρό Νέφος του Μαγγελάνου

19 Εικόνα 3: Ο Μ31, ο γαλαξίας της Ανδροµέδας µε τους δύο λαµπρούς συνοδούς της. Εικόνα 4: Ο γαλαξίας Μ33 της τοπικής οµάδας γαλαξιών Κατηγορίες γαλαξιών Παρά το µεγάλο αριθµό των γαλαξιών που υπάρχουν στο Σύµπαν όλοι σχεδόν, µε κριτήριο τη µορφολογία τους, µπορούν να ταξινοµηθούν σε τρεις βασικές κατηγορίες: τους ελλειπτικούς γαλαξίες (Ε), τους σπειροειδείς γαλαξίες (S) και τους ανώµαλους γαλαξίες (Irr). Οι

20 σπειροειδείς χωρίζονται επίσης σε δύο υποκατηγορίες, τους κανονικούς και τους ραβδωτούς. Η κατηγοριοποίηση αυτή φαίνεται στο Σχήµα 1.4, που είναι γνωστό ως το διαπασών του Hubble. Βλέπουµε κατά µήκος της λαβής τους ελλειπτικούς γαλαξίες, κατά µήκος των δύο βραχιόνων τους κανονικούς και τους ραβδωτούς σπειροειδείς αντίστοιχα, ενώ ανάµεσα στους βραχίονες τους ανώµαλους γαλαξίες. Σχήµα 1.4: Το διαπασών του Hubble. Ενώ παλιότερα επικρατούσε η άποψη ότι το µεγαλύτερο ποσοστό των γαλαξιών (75%) είναι σπειροειδείς, σήµερα οι παρατηρήσεις, σε αποστάσεις που φτάνουν περίπου τα 9.1 Μpc, δείχνουν ότι το 33% των γαλαξιών είναι σπειροειδείς, το 13% ελλειπτικοί και το 54% ανώµαλοι γαλαξίες. Οι µεγαλύτεροι γαλαξίες, που έχουν παρατηρηθεί µέχρι σήµερα, είναι ελλειπτικοί (E). Οι µάζες τους κυµαίνονται από έως ηλιακές µάζες, M, και ο µεγάλος τους ηµιάξονας µπορεί να φτάσει τα 100 kpc. Ανάλογα µε την ελλειπτικότητα τους -που καθορίζεται από την πλάτυνση της παρατηρούµενης έλλειψης e= 1 b, -όπου α και b ο µεγάλος και ο µικρός ηµιάξονας της έλλειψης αντίστοιχα- οι ελλειπτικοί γαλαξίες χωρίζονται σε οχτώ υποκατηγορίες (Ε0, Ε1...Ε7). Ο αριθµός που συνοδεύει το Ε είναι το δεκαπλάσιο της πλάτυνσης. Έτσι στο Ε0 που αντιστοιχεί σε e=0, αντιστοιχούν γαλαξίες που εµφανίζονται κυκλικοί, ενώ στο Ε7 (e=0.7) αντιστοιχούν οι πιο πεπλατυσµένοι. Οι ελλειπτικοί γαλαξίες περιέχουν κυρίως αστέρες µεγαλύτερης ηλικίας γεγονός που a

21 οφείλεται στην έλλειψη αερίου και σκόνης που απαιτούνται για τη δηµιουργία νέων αστέρων. Εικόνα 5: Ο ελλειπτικός γαλαξίας NG Παλαιότερα υπήρχε η εσφαλµένη άποψη ότι το σχήµα των ελλειπτικών γαλαξιών ήταν αποτέλεσµα της περιστροφής τους. Παρατηρήσεις που έγιναν στα µέσα περίπου της δεκαετίας του 70 άλλαξαν αυτή την εικόνα. Σήµερα επικρατεί η άποψη ότι οι ελλειπτικοί γαλαξίες δεν οφείλουν την παρατηρούµενη πλάτυνσή τους στην περιστροφή τους αλλά στην ανισότροπη κατανοµή των ταχυτήτων των αστέρων τους. Εικόνα 6: Ο γιγαντιαίος ελλειπτικός γαλαξίας Μ

22 Εικόνα 7: Ο σπειροειδής γαλαξίας Μ81. Οι σπειροειδείς γαλαξίες (S) αποτελούνται συνήθως από ένα περιστρεφόµενο δίσκο, µικρού πάχους συγκριτικά µε τη διάµετρό τους, στην κεντρική περιοχή του οποίου υπάρχει µια σφαιρική συµπύκνωση αστέρων. Το όλο σύστηµα περιβάλλεται από µια άλω που αποτελείται από αστέρες ή/και σµήνη αστέρων. Οι σπείρες εµφανίζονται στην περιοχή του δίσκου, και πρόκειται για περιοχές µε µεγαλύτερη πυκνότητα µεσοαστρικής ύλης, όπου υπάρχουν νέοι λαµπροί αστέρες. Ο δίσκος περιέχει κυρίως νεαρούς αστέρες, ενώ στην κεντρική περιοχή που υπάρχει η σφαιρική συµπύκνωση οι αστέρες είναι µεγαλύτερης ηλικίας. Ανάλογα µε τη διάµετρο, τη µορφή των περιελίξεων των σπειρών και τη φωτεινότητα του πυρήνα, οι σπειροειδείς γαλαξίες κατατάσσονται σε τρεις υποκατηγορίες Sa, Sb και Sc, µε την πρώτη να αντιστοιχεί σε λαµπρούς πυρήνες και κλειστές σπείρες, τη δεύτερη σε λίγο πιο αµυδρούς πυρήνες και πιο ανοιχτές σπείρες και την τελευταία σε πολύ αµυδρούς πυρήνες και ανοιχτές σπείρες. Οι ραβδωτοί σπειροειδείς γαλαξίες (SB) έχουν το χαρακτηριστικό ότι οι σπείρες ξεκινούν από τα άκρα µιας κεντρικής ράβδου που αποτελείται από αστέρες, αέριο και σκόνη. Μεταξύ των ελλειπτικών και των σπειροειδών γαλαξιών, υπάρχουν οι µεταβατικοί τύποι S0 και SB0. Οι γαλαξίες αυτοί, ενώ εµφανίζουν δίσκο µε κεντρική συµπύκνωση δεν εµφανίζουν σπειροειδείς βραχίονες, δεν περιέχουν µεσοαστρικό αέριο και σκόνη και αποτελούνται από µεγάλους σε ηλικία αστέρες

23 Εικόνα 8: Ο ραβδωτός σπειροειδής γαλαξίας NG Στους ανώµαλους γαλαξίες (Irr) εντάσσονται εκείνοι που δεν παρουσιάζουν κάποια εµφανή συµµετρία. Χωρίζονται σε δύο βασικές υποκατηγορίες, τους τύπου Ι (Irr I) και τύπου ΙΙ (Irr II). Οι τύπου Ι έχουν γενικά µικρές µάζες, διαµέτρους που δεν ξεπερνούν τα 10 kpc και περιέχουν σηµαντικές ποσότητες µεσοαστρικού αερίου, εποµένως και µεγάλο ποσοστό νεαρών αστέρων. Οι τύπου ΙΙ εµφανίζονται ως άµορφα φωτεινά αντικείµενα µε µεσοαστρική σκόνη, στα οποία δεν έχουν παρατηρηθεί αστέρες. Πιθανόν να υπάρχουν αµυδροί αστέρες που είναι δύσκολο να παρατηρηθούν Ενεργοί γαλαξίες Από τη στιγµή που οι γαλαξίες αναγνωρίστηκαν ως αστρικά συστήµατα, επικράτησε η εντύπωση ότι πρόκειται για σώµατα µε οµαλή συµπεριφορά. Οι παρατηρήσεις, όµως, έδειξαν ότι υπάρχουν και γαλαξίες οι οποίοι παρουσιάζουν «βίαιη» δραστηριότητα. Οι γαλαξίες αυτοί ονοµάζονται ενεργοί γαλαξίες. Τα παρατηρησιακά δεδοµένα δείχνουν ότι η «βίαιη» δραστηριότητα προέρχεται από γεγονότα που συµβαίνουν στα κέντρα των γαλαξιών αυτών. Πιστεύεται ότι οι ενεργοί γαλαξίες περιέχουν πυρήνες µεγάλης µάζας στο κέντρο τους από όπου

24 εκπέµπεται πολύ ισχυρή ακτινοβολία. Ο ενεργός πυρήνας είναι ιδιαίτερα φωτεινός σχετικά µε τη φωτεινότητα του υπόλοιπου γαλαξία. Για τους κανονικούς γαλαξίες µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η συνολική ενέργεια που εκπέµπουν είναι το άθροισµα της ενέργειας που προέρχεται από το σύνολο των αστέρων του. Για τους ενεργούς, όµως, γαλαξίες, αυτό δεν ισχύει. Εκπέµπεται πολύ περισσότερη ενέργεια από αυτή που εκπέµπουν οι κανονικοί γαλαξίες και αυτή η υπερβολική ενέργεια βρίσκεται στην υπέρυθρη, τη ραδιοφωνική, την υπεριώδη, καθώς και στην περιοχή των ακτινών-x του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος. Οι ενεργοί γαλαξίες θεωρούνται ως οι πιο λαµπρές συνεχείς πηγές ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας στο Σύµπαν. Οι γαλαξίες αυτοί χαρακτηρίζονται από ορισµένες ιδιότητες και παρουσιάζουν σειρά χαρακτηριστικών, όπως: α) πυρήνες που παρουσιάζουν απότοµες αλλαγές, β) ασυνήθιστα υψηλές λαµπρότητες, οι οποίες σε κάποιες περιπτώσεις φτάνουν µέχρι και 10 4 φορές τη λαµπρότητα ενός τυπικού γαλαξία, γ) µη θερµικό συνεχές φάσµα το οποίο εκτείνεται σε πολλές τάξεις µεγέθους της συχνότητας, συχνά από τα ραδιοκύµατα µέχρι τις ακτίνες γ, δ) έντονες γραµµές εκποµπής στο οπτικό, το υπεριώδες καθώς και στις ακτίνες-χ, ε) το µεγαλύτερο ποσοστό της εκπεµπόµενης ενέργειάς τους είναι σε περιοχές του φάσµατος εκτός της οπτικής, στ) έντονη και ταχύτατη µεταβλητότητα σε όλο το φάσµα τους, ζ) εκποµπή ασυνήθιστα µεγάλων ποσοτήτων ραδιοφωνικής, υπέρυθρης, υπεριώδους και ακτινοβολίας ακτίνων-χ. Εκτός, όµως, από τη βίαιη δραστηριότητα και τα τεράστια ποσά ενέργειας, οι ενεργοί γαλαξίες παρουσιάζουν και ορισµένα ιδιόµορφα χαρακτηριστικά όπως δύσµορφους βραχίονες και ουρές ή πίδακες εκτινασσόµενων αερίων. Παρά το γεγονός ότι το ποσοστό των πραγµατικά ενεργών γαλαξιών είναι µόλις λίγα εκατοστά του συνολικού αριθµού τους, διαπιστώθηκε ότι περίπου ένα 30% τυχαίων δειγµάτων γαλαξιών εµφανίζει δραστηριότητα στον πυρήνα του. Θεωρείται πως οι γαλαξίες αυτοί βρίσκονται σε ένα στάδιο που προηγείται ή ακολουθεί την βίαιη δραστηριότητα. Το πλέον κατάλληλο περιβάλλον για την δηµιουργία ενεργών γαλαξιών είναι τα συµπλέγµατα γαλαξιών. Εκεί αναπτύσσονται αλληλεπιδράσεις που µπορούν να παίξουν πολύ σηµαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της δραστηριότητας του πυρήνα. Η άποψη αυτή, µάλιστα, ενισχύεται και από το γεγονός ότι πολλοί ενεργοί γαλαξίες είναι µέλη διπλών συστηµάτων. Οι ενεργοί γαλαξίες διακρίνονται σε τρεις βασικές κατηγορίες. Τους γαλαξίες Seyfert, τα αντικείµενα BL-Lac και τους ραδιογαλαξίες. Εκτός, όµως, από αυτές τις τρεις κατηγορίες ενεργών γαλαξιών υπάρχουν και οι ηµιαστέρες (quasars) για τους οποίους δεν έχει διαπιστωθεί αν πρόκειται για γαλαξίες ή πυρήνες γαλαξιών

25 Εικόνα 9: Ο γαλαξίας Seyfert Ι NG Οι γαλαξίες Seyfert είναι σπειροειδείς γαλαξίες µε πολύ λαµπρούς πυρήνες και σε συνηθισµένες φωτογραφίες εµφανίζονται σαν αστέρες. Μερικοί επιστήµονες, µάλιστα, θεωρούν ότι οι γαλαξίες Seyfert αποτελούν µια ενδιάµεση φάση της ζωής των σπειροειδών γαλαξιών. Η λαµπρότητα τους µεταβάλλεται σηµαντικά µέσα σε µικρά χρονικά διαστήµατα και τα φάσµατα τους παρουσιάζουν ισχυρές γραµµές εκποµπής που είναι πολύ πλατιές, υποδηλώνοντας ταχύτητες από 500 km/s έως km/s. Οι γαλαξίες Seyfert διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, ανάλογα µε τη µορφή των φασµάτων τους, στους Seyfert I και Seyfert II. Οι πρώτοι παρουσιάζουν πλατιές γραµµές της σειράς Balmer του υδρογόνου και στενές τις απαγορευµένες γραµµές ΟΙΙ και ΟΙΙΙ, ενώ στους δεύτερους, οι παραπάνω γραµµές έχουν το ίδιο περίπου πλάτος και µικρότερο από αυτό των Seyfert I. Η µελέτη των φασµάτων των πυρήνων των γαλαξιών Seyfert δείχνει ότι η ακτινοβολία τους είναι τελείως διαφορετική από αυτή των κανονικών γαλαξιών. Η οπτική ακτινοβολία στους κανονικούς γαλαξίες προέρχεται από την ακτινοβολία των αστέρων όπου έχουµε θερµικό συνεχές φάσµα και γραµµές απορρόφησης, ενώ στην ακτινοβολία των πυρήνων στους γαλαξίες Seyfert έχουµε συνεχές φάσµα µη θερµικής φύσεως και γραµµές εκποµπής περίπου 10 φορές πλατύτερες από αυτές των κανονικών γαλαξιών. Το πλάτος των γραµµών δείχνει ότι το αέριο στην περιοχή του πυρήνα βρίσκεται σε κατάσταση βίαιης κίνησης, ενώ πιθανολογείται ότι

26 η βασική πηγή ενέργειας των πυρήνων των γαλαξιών Seyfert δεν είναι η θερµοπυρηνική σύντηξη, όπως συµβαίνει στους συνήθεις αστέρες, χωρίς, ωστόσο, να γνωρίζουµε ακόµη την απάντηση στο ερώτηµα από πού προέρχεται η τεράστια ενέργειά τους. Εικόνα 10: Ο γαλαξίας Seyfert ΙΙ NG Όλοι οι γαλαξίες Seyfert εκπέµπουν ραδιοκύµατα, ενώ αρκετοί από αυτούς εκπέµπουν πολύ µεγάλες ποσότητες υπεριώδους και υπέρυθρης ακτινοβολίας, όπως και ακτίνων-χ. Επιπλέον, οι γαλαξίες Seyfert εκπέµπουν ακτίνες γ χαµηλής ενέργειας έως περίπου 100 kev. Οι πρώτες παρατηρήσεις ακτίνων γ των γαλαξιών Seyfert έδειξαν φωτόνια µέχρι 1 MeV, αλλά πιο ευαίσθητες παρατηρήσεις έχουν δηµιουργήσει αµφιβολία για αυτήν τη µέτρηση. Σε αυτές τις χαµηλές ενέργειες ακτίνων γ, η εκποµπή είναι συνήθως µια οµαλή συνέχεια της εκποµπής ακτίνων-x από τέτοια αντικείµενα. Αυτό δείχνει ότι οι φυσικές διαδικασίες που δηµιουργούν τις ακτίνες γ είναι θερµικές διαδικασίες παρόµοιες µε αυτές που είναι υπεύθυνες για την εκποµπή από τις πηγές των γαλαξιακών µελανών οπών. Κατά συνέπεια, οι µελέτες των ακτίνων γ στο φάσµα υψηλής ενέργειας καθώς και της µεταβλητότητας τους µπορούν να µας δώσουν σηµαντικές πληροφορίες για το φυσικό περιβάλλον των ενεργών γαλαξιών

27 Εικόνα 11: Το αντικείµενο BL-Lacertae RGB (ο µεγάλος ελλειπτικός γαλαξίας επάνω δεξιά). Το αντικείµενο BL-Lacertae (BL-Lac) είναι ένας τύπος ενεργού γαλαξία που χαρακτηρίζεται, γενικά, από µια πολύ γρήγορη (καθηµερινή) µεταβλητότητα. εν παρουσιάζει γραµµές εκποµπής, εκπέµπει, όµως, ισχυρή µη θερµική ακτινοβολία µε απότοµες µεταβολές της ενέργειας εκποµπής στη ραδιοφωνική, υπέρυθρη και οπτική περιοχή του φάσµατος. Στην αρχή µάλιστα, λόγω των πολύ γρήγορων µεταβολών στη λαµπρότητά του, θεωρήθηκε ότι πρόκειται για µεταβλητό αστέρα. Η πραγµατική φύση των αντικειµένων αυτών αποκαλύφθηκε όταν οι επιστήµονες κατάφεραν να δείξουν ότι το φάσµα των BL-Lac, αν εξαιρεθεί το φως του πυρήνα που δίνει το συνεχές υπόβαθρο, είναι παρόµοιο µε τα φάσµατα των ελλειπτικών γαλαξιών. Σήµερα, τα αντικείµενα BL-Lac θεωρούνται ότι είναι ελλειπτικοί γαλαξίες µε λαµπρούς πυρήνες, ενώ το οπτικό φως που προέρχεται από αυτά είναι έντονα µεταβαλλόµενο και ισχυρά πολωµένο. Το γεγονός ότι µπορούµε να δούµε πολύ πιο βαθιά στην καρδιά ενός αντικειµένου BL- Lac από ό,τι σε έναν Seyfert δείχνει ότι το πρώτο περιβάλλεται από πολύ λιγότερο αέριο και σκόνη. Το συµπέρασµα αυτό είναι συµβατό µε την ερµηνεία ότι τα αντικείµενα BL-Lac είναι ελλειπτικοί γαλαξίες, ενώ οι Seyfert σπειροειδείς. Αξίζει επίσης να αναφερθεί ότι ορισµένα από τα αντικείµενα BL-Lac παρατηρήθηκαν µέσα σε σµήνη γαλαξιών. Το γεγονός αυτό αποτελεί έµµεση ένδειξη ότι είναι και αυτά γαλαξίες. Ωστόσο, η διάµετρος τους είναι αρκετά µικρή, της τάξης των µερικών

28 µηνών φωτός γεγονός που αποτελεί ένδειξη ότι ίσως κάποια από τα αντικείµενα BL-Lac να είναι στην πραγµατικότητα πυρήνες γαλαξιών. Εικόνα 12: Το αντικείµενο BL-Lac H Εικόνα 13: Ο ραδιογαλαξίας ygnus Α

29 Οι ραδιογαλαξίες έχουν το χαρακτηριστικό ότι το µεγαλύτερο µέρος της ενέργειας τους εκπέµπεται υπό µορφή ραδιοφωνικών κυµάτων, ισχύος Watt. Αυτή η ακτινοβολία προέρχεται συνήθως από έναν πυρήνα θερµικής ακτινοβολίας που συµπίπτει µε τον οπτικό πυρήνα και από δύο λοβούς µη θερµικής ακτινοβολίας που απέχουν µεγάλη απόσταση από τον πυρήνα. Οι λοβοί αυτοί βρίσκονται συνήθως σε διαµετρικά αντίθετες πλευρές του κεντρικού πυρήνα, σε αποστάσεις της τάξης των εκατοµµυρίων ετών φωτός από αυτόν, και το µέγεθός τους κυµαίνεται από το ένα τρίτο ως το ένα πέµπτο περίπου της µεταξύ τους απόστασης. Οι ραδιογαλαξίες διακρίνονται σε δύο είδη: α) στους συµπαγείς ραδιογαλαξίες (compact radio ga1axies) στους οποίους η περιοχή εκποµπής της ραδιοφωνικής ακτινοβολίας ταυτίζεται µε τον οπτικά ορατό γαλαξία και β) στους εκτεταµένους ραδιογαλαξίες (extended radio galaxies) στους οποίους η αντίστοιχη περιοχή εκτείνεται σε πολύ µεγαλύτερη έκταση από την οπτικά ορατή. Εικόνα 14: Ο ραδιογαλαξίας Μ87. Όσον αφορά τους ηµιαστέρες, αυτοί εµφανίζονται ως σηµειακές πηγές φωτός παρόµοιες µε αστέρες. Το οπτικό φάσµα τους µοιάζει µε αυτό των γαλαξιών Seyfert, παρατηρούµε, δηλαδή, µη θερµικό συνεχές φάσµα µε πλατιές γραµµές εκποµπής και απορρόφησης. Ενδιαφέρον χαρακτηριστικό των ηµιαστέρων είναι και το ότι τα φάσµατά τους έχουν γραµµές εκποµπής από στοιχεία βαρύτερα του ηλίου, που µπορούν, όπως πιστεύεται, να παραχθούν µόνο από το θάνατο αστέρων

30 Η µελέτη των γραµµών εκποµπής των φασµάτων των ηµιαστέρων δείχνει ότι παρουσιάζουν µεγάλες µετατοπίσεις προς το ερυθρό, γεγονός που υποδηλώνει ότι πρόκειται για τα µακρινότερα αντικείµενα του Σύµπαντος. Βεβαίως, παρά τις µεγάλες αποστάσεις τους, οι ηµιαστέρες εµφανίζονται το ίδιο φωτεινοί µε τους αµυδρούς αστέρες. Από υπολογισµούς προκύπτει ότι η φωτεινότητα τους είναι περίπου 1000 φορές µεγαλύτερη από τη φωτεινότητα ενός κανονικού σπειροειδούς γαλαξία, γεγονός που θέτει το ερώτηµα της προέλευσης αυτής της τεράστιας ενέργειας. Ως προς αυτό το θέµα υπάρχουν διάφορες θεωρίες, αλλά σύµφωνα µε το επικρατέστερο πρότυπο, η µεγάλη φωτεινότητα των ηµιαστέρων οφείλεται στην ύπαρξη µιας µελανής οπής στο κέντρο τους, µάζας M. Λόγω της µεταφοράς µάζας από τα εξωτερικά στρώµατα του πυρήνα, µέσω ενός δίσκου προσαύξησης, προς τη µελανή οπή, εκπέµπονται µεγάλες ποσότητες ακτινοβολίας που έχουν ως συνέπεια τη µεγάλη φωτεινότητα των ηµιαστέρων. Εικόνα 15: Ο ηµιαστέρας PG Το γεγονός ότι οι ηµιαστέρες είναι τα µακρινότερα αντικείµενα του Σύµπαντος καθιστά την παρατήρησή τους ισοδύναµη κατά κάποιο τρόπο µε την παρατήρηση των πρώτων φάσεων της ζωής του Σύµπαντος. Επιπλέον, ο αριθµός των παρατηρούµενων ηµιαστέρων ανά µονάδα όγκου αυξάνει καθώς πηγαίνουµε σε µεγαλύτερες αποστάσεις, πράγµα

31 που σηµαίνει ότι οι ηµιαστέρες ήταν περισσότεροι στα αρχικά στάδια της ζωής του Σύµπαντος. Εικόνα 16: Ο ηµιαστέρας PKS Κάποιοι ηµιαστέρες εµφανίζουν πολύ γρήγορες µεταβολές στη φωτεινότητα, γεγονός που δηλώνει πως η έκτασή τους είναι µικρή, αφού η φωτεινότητα µιας πηγής δεν µπορεί να µεταβάλλεται σε χρόνο µικρότερο από αυτόν που χρειάζεται το φως για να τη διασχίσει. Επίσης, η λαµπρότητά τους µεταβάλλεται σε µεγάλη ποικιλία περιόδων. Κάποιοι ηµιαστέρες εµφανίζουν µεταβολή σε κλίµακα µηνών, ενώ άλλοι σε λίγες ηµέρες ή και µερικές ώρες. Οι ηµιαστέρες εµφανίζουν πολλές από τις ιδιότητες των ενεργών γαλαξιών: µη θερµική ακτινοβολία, ύπαρξη πιδάκων και λοβών, όπως στους ραδιογαλαξίες, µε µόλις έναν στους δέκα να έχει ισχυρή εκποµπή στα ραδιοκύµατα. Εκτός, όµως, από το ορατό και τα ραδιοκύµατα, οι ηµιαστέρες έχουν παρατηρηθεί και σε άλλες περιοχές του ηλεκτροµαγνητικού φάσµατος, όπως το υπέρυθρο, το υπεριώδες, τις ακτίνες-χ, ακόµα και τις ακτίνες γ. Για κάθε ραδιοεκπέµποντα ηµιαστέρα, οι αστρονόµοι γνωρίζουν σήµερα ότι υπάρχουν περίπου 20 ραδιοαδρανή ηµιαστρικά αντικείµενα που έχουν τις ίδιες οπτικές ιδιότητες µε τους ηµιαστέρες. Τα αντικείµενα

32 αυτά ονοµάζονται ηµιαστρικά αντικείµενα ή QSO (quasistellar οbjects). Τα ηµιαστρικά αντικείµενα και οι ηµιαστέρες θεωρούνται παρόµοια είδη συστηµάτων, εκτός από το ότι τα ηµιαστρικά αντικείµενα δεν παρουσιάζουν αξιοσηµείωτη µη θερµική ραδιοεκποµπή, αντίστοιχη της έντονης εκποµπής τους στο οπτικό, το υπέρυθρο και τις ακτίνες-χ. Η οµοιότητα των ηµιαστέρων µε ραδιογαλαξίες και των ηµιαστρικών αντικειµένων µε πυρήνες γαλαξιών Seyfert είναι τόσο έντονη, που οι περισσότεροι αστρονόµοι πιστεύουν ότι οι ηµιαστέρες και τα ηµιαστρικά αντικείµενα προέρχονται από δραστηριότητα σε γαλαξιακούς πυρήνες. Ωστόσο, δεν έχει αποδειχθεί άµεσα ότι οι ηµιαστέρες και τα ηµιαστρικά αντικείµενα είναι µέρη αστρικών συστηµάτων ηµιουργία και εξέλιξη γαλαξιών Για αρκετά χρόνια θεωρήθηκε ότι η ταξινόµηση των γαλαξιών κατά Hubble αντιπροσωπεύει και την εξελικτική πορεία των γαλαξιών, δηλαδή ότι στην ουσία οι γαλαξίες ξεκινούν τη ζωή τους ως ελλειπτικοί και µε την πάροδο του χρόνου συµπιέζονται παράλληλα προς τον άξονα περιστροφής τους εξελισσόµενοι σε σπειροειδείς. Αυτή η άποψη δεν υποστηρίζεται πλέον και θεωρείται ότι οι γαλαξίες καταλήγουν σε κάποιο µορφολογικό τύπο ανάλογα µε την αρχική µάζα και στροφορµή των πρωτογαλαξιακών νεφών από τα οποία σχηµατίστηκαν. Στη συνέχεια εξελίσσονται ελάχιστα, εκτός και αν συγκρουστούν µε άλλους γαλαξίες, γεγονός που δεν είναι σπάνιο. Συνεπώς, δεν φαίνεται να υπάρχει άµεση εξελικτική σχέση ανάµεσα στους σπειροειδείς και στους ελλειπτικούς γαλαξίες. Όσον αφορά τη δηµιουργία των γαλαξιών, οι γνώσεις µας είναι σχετικά περιορισµένες, αφού βασικά ερωτήµατα όπως το αν δηµιουργήθηκαν πρώτα οι γαλαξίες και µετά οι αστέρες δεν έχουν απαντηθεί ουσιαστικά. Από έµµεσες παρατηρήσεις, είναι γνωστό ότι το 90% περίπου της ύλης στο Σύµπαν αποτελείται από τη λεγόµενη σκοτεινή ύλη (dark matter). Μία ένδειξη για την ύπαρξη σκοτεινής ύλης στο Γαλαξία προέρχεται από τη µελέτη των κάθετων, ως προς το γαλαξιακό επίπεδο, κινήσεων των αστέρων στην περιοχή του Ήλιου. Θεωρώντας πως ο Γαλαξίας µας έχει επίπεδο και άξονα συµµετρίας και ότι οι αστέρες κινούνται σε κυκλικές τροχιές επάνω στο γαλαξιακό επίπεδο, βρίσκουµε ότι η κατακόρυφη συνιστώσα της συνολικής δύναµης που ασκείται ανά µονάδα µάζας, F z, σχετίζεται µε την επιφανειακή πυκνότητα, σ, του Γαλαξία. Από τη µελέτη της κατανοµής των αστέρων κάθετα προς το γαλαξιακό επίπεδο υπολογίζουµε τη δύναµη F z, κατόπιν βρίσκουµε την

33 επιφανειακή πυκνότητα και τη συγκρίνουµε µε αυτή που παρατηρούµε. Οι τιµές της F z που προκύπτουν από τις παρατηρήσεις χρειάζονται 3 πυκνότητα ίση περίπου µε 0.15 M / pc, τη στιγµή που η τιµή της παρατηρούµενης πυκνότητας είναι κατά 50% περίπου µικρότερη. Η ασυµφωνία αυτή στην ποσότητα της µάζας συνηγορεί στην ύπαρξη κάποιας άλλης αόρατης ύλης µικρής µάζας και οµοιόµορφης κατανοµής. Μία ακόµη ένδειξη για την ύπαρξη σκοτεινής ύλης στο Γαλαξία προέρχεται από τη µορφή της καµπύλης περιστροφής του, η οποία παρουσιάζει επίπεδα τµήµατα σε µεγάλη απόσταση από το κέντρο του (Σχήµα 1.2). Πιο συγκεκριµένα, επίπεδα τµήµατα εκτείνονται σε αποστάσεις περίπου της τάξεως των 20 kpc, την ώρα που η απόσταση που παρατηρείται φωτεινή ύλη στο Γαλαξία µας είναι της τάξης µόλις των 10 kpc. Όπως είναι προφανές, η σκοτεινή ύλη ονοµάζεται έτσι διότι δεν είναι ορατή µε τις συµβατικές µεθόδους παρατήρησης, ενώ διαχωρίζεται ανάλογα µε τη θερµοκρασία της σε θερµή ή ψυχρή, ενώ ανάλογα µε τη φύση της σε βαρυονική ή εξωτική. Η βαρυονική σκοτεινή ύλη είναι κοινή ύλη που είναι αποθηκευµένη σε ψυχρά σώµατα που δεν ακτινοβολούν σηµαντικά ποσά θερµότητας όπως πλανητοειδείς, πλανήτες, φαιοί νάνοι (αστέρες που δεν έχουν αρκετή µάζα για να συντηρήσουν θερµοπυρηνικές αντιδράσεις στον πυρήνα τους) κλπ, και η οποία θεωρείται ψυχρή επειδή η ταχύτητα της είναι πολύ µικρότερη από την ταχύτητα του φωτός. Η εξωτική σκοτεινή ύλη αποτελείται είτε από γνωστά στοιχειώδη σωµατίδια, τα οποία όµως δεν θεωρούνται δοµικά στοιχεία του Σύµπαντος, είτε από σωµατίδια των οποίων έχει µεν προταθεί η ύπαρξη, αλλά δεν έχουν ανιχνευτεί πειραµατικά. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα νετρίνα τα οποία έχει πλέον αποδειχθεί ότι έχουν µικρή αλλά µη µηδενική µάζα ηρεµίας. Λόγω, όµως, της µικρής µάζας τους, τα σωµατίδια αυτά κινούνται µε σχετικιστικές ταχύτητες και για αυτό θεωρούνται ως θερµή σκοτεινή ύλη. Σύµφωνα µε τις τελευταίες εκτιµήσεις, τα νετρίνα αποτελούν το 5% της µάζας - ενέργειας του Σύµπαντος. Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν τα αξιόνια, µε µάζα ev, και σωµατίδια που προβλέπονται από τις σύγχρονες θεωρίες υπερσυµµετρίας όπως τα φωτίνα, µε µάζα 100GeV. Τα σωµατίδια αυτά κινούνται µε µικρές ταχύτητες, είτε γιατί έτσι δηµιουργούνται (αξιόνια) είτε λόγω της µεγάλης µάζας τους (φωτίνα) για αυτό και θεωρούνται ως ψυχρή σκοτεινή ύλη. Είναι σχετικά προφανές λοιπόν, ότι στη δηµιουργία και εξέλιξη των γαλαξιών και αστέρων έπαιξε και παίζει σηµαντικό ρόλο η βαρυτική επιρροή της σκοτεινής ύλης. Αν η σκοτεινή ύλη είναι ψυχρή, η µέση ταχύτητα της είναι µικρή και αυτό ευνοεί τη δηµιουργία αστέρων, ενώ αντίστοιχα αν είναι θερµή, η ταχύτητα της είναι µεγάλη µε αποτέλεσµα

34 να µην είναι δυνατή η δηµιουργία µικρών µονάδων µάζας, όπως οι αστέρες. 0,5 δισεκατοµµύρια χρόνια µετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Η αρχικά οµογενής κατάσταση της ύλης µεταβάλλεται, όταν βαρύτερα σώµατα προσελκύουν ελαφρότερα δηµιουργώντας µικρά πρωτονέφη. 0,5-1 δισεκατοµµύρια χρόνια µετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Τα µικρά αστρικά πρωτονέφη συγκεντρώνονται σε µεγαλύτερα. 1-2 δισεκατοµµύρια χρόνια µετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Οι διαστάσεις των πρωτονεφών αυξάνονται τόσο, ώστε σήµερα παρατηρούνται από το διαστηµικό τηλεσκόπιο Hubble. 2-4 δισεκατοµµύρια χρόνια µετά τη Μεγάλη Έκρηξη. Με συγκρούσεις και συνενώσεις δηµιουργούνται ανώµαλα πρωτογαλαξιακά νέφη δις χρόνια µετά τη Μεγάλη Έκρηξη. ηµιουργούνται οι γαλαξίες στην τελική τους µορφή. Πρώτα δηµιουργούνται οι ελλειπτικοί και οι πυρήνες των σπειροειδών γαλαξιών και αργότερα οι σπειροειδείς δίσκοι των τελευταίων από ύλη προσαύξησης προερχόµενη απ το µεσογαλαξιακό χώρο. Εικόνα 17: Πρότυπο εξέλιξης γαλαξιών σύµφωνα µε τον Sam Pascarelle (Πανεπιστήµιο Arizona State, ΗΠΑ)

35 Νεώτερες θεωρίες προτείνουν ότι οι γαλαξίες δηµιουργήθηκαν στην τελική τους µορφή, 4-13 δισεκατοµµύρια χρόνια µετά από τη µεγάλη έκρηξη, πιθανόν από συγκρούσεις ανώµαλων πρωτογαλαξιακών νεφών. Η πιθανότητα σύγκρουσης αυτών των νεφών είναι σχετικά µεγάλη διότι η µέση απόσταση τους είναι µικρή, της τάξης των 20 γαλαξιακών διαµέτρων. Σε πρώτη φάση δηµιουργήθηκαν οι ελλειπτικοί γαλαξίες και οι πυρήνες των σπειροειδών και αργότερα οι δίσκοι των σπειροειδών από ύλη προερχόµενη από το µεσογαλαξιακό χώρο. Συνεπώς, δεν είναι περίεργο το γεγονός ότι σε µεγαλύτερες αποστάσεις παρατηρούνται λιγότεροι γαλαξίες µε οµαλά σχήµατα και περισσότεροι µε ακανόνιστα όπως επίσης και ηµιαστέρες. Στο Σύµπαν υπάρχει και σκοτεινή ενέργεια (dark energy). Η έννοια της σκοτεινής ενέργειας συνδέεται κυρίως µε θέµατα Κοσµολογίας. Οι επιστήµονες πιστεύουν ότι η ύπαρξη της σκοτεινής ενέργειας είναι υπεύθυνη για την επιταχυνόµενη διαστολή του Σύµπαντος (Peebles P. J. E., and Bharat Ratra, 2003, "The cosmological constant and dark energy", Reviews of Modern Physics 75 (2): )

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. ΥΝΑΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 2.1. Γαλαξιακά δυναµικά πρότυπα Με τον όρο γαλαξιακό δυναµικό πρότυπο εννοούµε µία ή περισσότερες µαθηµατικές σχέσεις που περιγράφουν το δυναµικό, τη δύναµη ή την πυκνότητα ενός γαλαξία ως συνάρτηση της θέσης. Τα διάφορα δυναµικά πρότυπα χρησιµεύουν για τον υπολογισµό ορισµένων βασικών χαρακτηριστικών των γαλαξιών, όπως οι τροχιές των αστέρων, η ολική µάζα, η φωτεινότητα και τα ολοκληρώµατα κίνησης. Γενικά, µπορούν να χωριστούν σε δύο βασικές κατηγορίες: τα γενικά (global) δυναµικά πρότυπα και τα τοπικά (local) δυναµικά πρότυπα. Τα πρώτα περιγράφουν συνολικά τον γαλαξία, ενώ τα δεύτερα δίνουν µια τοπική περιγραφή (γύρω από ένα σηµείο ισορροπίας που αντιστοιχεί σε µια ευσταθή κυκλική τροχιά). Τα τελευταία προέρχονται από την ανάπτυξη των γενικών προτύπων σε σειρά Taylor στην περιοχή του σηµείου ισορροπίας. Πρωταρχικά στοιχεία για την κατασκευή ενός προτύπου προέρχονται από µετρήσεις της κυκλικής ταχύτητας Θ=Θ(r) σε διάφορες αποστάσεις από το κέντρο του γαλαξία, γεγονός που δίνει πληροφορίες για τη δύναµη έλξης και τη συνολική µάζα του συστήµατος. Σε πρώτο επίπεδο, για τη µελέτη της κίνησης τους, θα αρκούσε ο υπολογισµός του συνολικού δυναµικού σε κάθε θέση που οφείλεται στο σύνολο των αστέρων του γαλαξία. Στην πράξη, όµως, ο µεγάλος αριθµός των αστέρων καθιστά τη διαδικασία αυτή αδύνατη. Η δυσκολία αυτή παρακάµπτεται αν θεωρήσουµε ότι το δυναµικό προέρχεται από µια οµαλή κατανοµή µάζας. Η κίνηση ενός αστέρα -του δοκιµαστικού σωµατιδίου- µελετάται λαµβάνοντας υπόψη το βαρυτικό δυναµικό που οφείλεται σε όλους τους υπολοίπους αστέρες, ενώ παράλληλα αγνοούνται οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των αστέρων, διότι είναι εξαιρετικά σπάνιες

37 Αν θεωρήσουµε την πυκνότητα µάζας ρ του γαλαξία και το δυναµικό του V, οι ποσότητες αυτές συνδέονται µέσω της εξίσωσης Poisson 2 V = 4π Gρ. (2.1) Η συνολική δύναµη που εξασκείται σε έναν αστέρα είναι F = V. (2.2) Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων, οι εξισώσεις κίνησης του αστέρα µάζας m είναι V V V mx ɺɺ=, my ɺɺ =, mz ɺɺ =, (2.3) x y z όπου η τελεία δηλώνει παραγώγιση ως προς τον χρόνο. Στη συνέχεια, ορίζουµε τη συνάρτηση κατανοµής f(x,v,t) η οποία δίνει την πυκνότητα των αστέρων στο χώρο φάσεων, δηλαδή στο χώρο των συντεταγµένων και των ταχυτήτων. Με βάση τον ορισµό της συνάρτησης κατανοµής, η ποσότητα f(x,v,t)drdv δίνει το πλήθος των αστέρων µε συντεταγµένες µεταξύ x και x+dx και ταχύτητες µεταξύ v και v+dv την χρονική στιγµή t. Από την ολοκλήρωση της συνάρτησης κατανοµής σε όλο το χώρο των ταχυτήτων, προκύπτει ο αριθµός των αστέρων ανά µονάδα όγκου σε απόσταση r την χρονική στιγµή t n(r,t)= f (r,v,t)dv. (2.4) Υποθέτοντας ότι όλοι οι αστέρες έχουν την ίδια µάζα m, προκύπτει ότι πυκνότητα των αστέρων δίνεται από την σχέση ρ=m n(r,t)=m f (r,v,t)dv. (2.5) Με την υπόθεση ότι δεν υπάρχουν προσεγγίσεις µεταξύ των αστέρων, η πυκνότητα στο χώρο των φάσεων θα πρέπει να παραµένει σταθερή, δηλαδή df f f f = v V + = 0, dt x v t (2.6)

38 η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Boltzmann άνευ συγκρούσεων. Όταν σε ένα γαλαξία η πυκνότητα, το δυναµικό και η συνάρτηση κατανοµής είναι ανεξάρτητα από το χρόνο και ικανοποιούν τις σχέσεις (2.1), (2.5) και (2.6), αυτό σηµαίνει ότι η µορφή του γαλαξία παραµένει στατιστικά σταθερή µε την πάροδο του χρόνου. Το σύστηµα των τριών παραπάνω εξισώσεων αποτελεί την έκφραση του προβλήµατος της ταυτοσυνέπειας (self consistent problem) στους γαλαξίες. Στη συνέχεια παρατίθενται µερικά σύγχρονα πρότυπα που χρησιµοποιούνται για τη δυναµική περιγραφή γαλαξιών. Α) Συστήµατα σφαιρικής συµµετρίας α) υναµικό οµογενούς σφαίρας: Στο πρότυπο αυτό θεωρούµε ότι ο γαλαξίας είναι σφαιρικός µε ακτίνα R G και σταθερή πυκνότητα ρ 0. Στην περίπτωση αυτή η συνολική µάζα του γαλαξία είναι 4 M R G 3 Το δυναµικό σε σηµείο εντός του γαλαξία είναι 3 = πρ0, (2.7) R ( ) G 2 2 GM R V( R) = 4 πgρ RdR= πgρ R + σταθ. R, (2.8) R όπου M( R ) είναι η µάζα εντός της ακτίνας R. Για τα εξωτερικά σηµεία του γαλαξία το δυναµικό δίνεται από τη σχέση ( ) V R M G R =, (2.9) όπου R = x + y + z. β) Ισόχρονο δυναµικό: Στο πρότυπο αυτό θεωρούµε επίσης σφαιρική κατανοµή αστέρων, αλλά µε πυκνότητα σταθερή κοντά στο κέντρο της κατανοµής και που φθίνει τείνοντας στο µηδέν για µεγάλες αποστάσεις. Το δυναµικό για σηµεία εντός του γαλαξία δίνεται από τη σχέση

39 GM = (2.10) b + b + R ( ) 2 2, V R όπου Μ η µάζα του γαλαξία, R η απόσταση από το κέντρο του και b σταθερή. Αντίστοιχα, για την πυκνότητα, µέσω της εξίσωσης Poisson προκύπτει η έκφραση ρ ( R) = M ( + + )( + ) ( ) b b R b R R b b R π ( b+ 3 b + R ) b + R. (2.11) Οι κινήσεις των αστέρων κοντά στο κέντρο του συστήµατος, b>>r, είναι περίπου αρµονικές ταλαντώσεις, ενώ για µεγάλες αποστάσεις, R>>b, το δυναµικό (2.10) συµπεριφέρεται όπως αυτό της σηµειακής µάζας. Β)Συστήµατα αξονικής συµµετρίας: Στα πρότυπα που ακολουθούν ο γαλαξίας θεωρείται ότι έχει άξονα και επίπεδο συµµετρίας. Για ευκολότερη περιγραφή τους χρησιµοποιούµε κυλινδρικές συντεταγµένες r, ϕ, z. ( ) α) Λογαριθµικό δυναµικό: Το δυναµικό αυτό χρησιµοποιείται για την µελέτη της κίνησης εντός των ελλειπτικών γαλαξιών και δίνεται από την εξίσωση 1, = ln( + + ), (2.12) ( ) υ V r z 0 r az c n όπου α (1 a< 2) είναι χαρακτηριστική παράµετρος που σχετίζεται µε την πλάτυνσή τους. Η δεύτερη παράµετρος δηλώνει την ύπαρξη ενός πυκνού πυρήνα ακτίνας c n, ενώ η σταθερή υ 0 έχει τοποθετηθεί για τη συνέπεια των γαλαξιακών µονάδων. Η πυκνότητα του γαλαξία δίνεται από τη σχέση υ (2 + a) c + ar + (2 a) az ρ( r, z) =. 4 π ( ) n G r + az + cn (2.13) β) υναµικό Miyamoto-Nagai: Το δυναµικό αυτό εξίσωση δίνεται από την

40 GM V ( r, z) =, r + ( a+ z + h ) (2.14) όπου οι παράµετροι α και h έχουν σχέση µε τη δοµή του γαλαξία. Η συνάρτηση πυκνότητας δίνεται από τη σχέση Mh ar + ( a+ 3 u)( a+ u) ρ( r, z) =, π 2 u ( r + ( a+ u) ) (2.15) όπου u= ( h + z ). Το πρότυπο αυτό µπορεί να περιγράψει από ένα σφαιρικό µέχρι ένα δισκοειδή γαλαξία ανάλογα µε τις τιµές των παραµέτρων α και h. Στην περίπτωση που h>>α έχουµε σχεδόν σφαιρικό γαλαξία, ενώ για α>>h έχουµε δισκοειδή γαλαξία. Στη συνέχεια θα µελετήσουµε δύο οριακές περιπτώσεις, το πρότυπο Kuzmin που προκύπτει για h=0 και περιγράφει γαλαξία απειροστού πάχους και το πρότυπο Plummer που προκύπτει για α=0 και περιγράφει σφαιρικό σύστηµα. β1) Πρότυπο Kuzmin: Όπως προαναφέρθηκε, το πρότυπο αυτό αντιστοιχεί στην τιµή h=0 του προτύπου Miyamoto-Nagai και περιγράφει ισχυρά πεπλατυσµένο σύστηµα. Η εξίσωση (2.14) του δυναµικού παίρνει τη µορφή GM V ( R, z) =, 2 2 r + ( a+ z ) (2.16) ενώ η έκφραση της επιφανειακής πυκνότητας πλέον είναι am σ ( r) = π ( r + a ) (2.17) β2) Πρότυπο Plummer: Θέτοντας την τιµή α=0 στο δυναµικό (2.16) προκύπτει το σφαιρικό δυναµικό Plummer GM V ( r, z) =, r + z + h (2.18)

41 στο οποίο αντιστοιχεί η πυκνότητα ρ ( r z) M r + z 3 2, = π h h (2.19) γ) Πρότυπο Hernquist: Το δυναµικό και η πυκνότητα µάζας που αντιστοιχούν στο πρότυπο αυτό δίνονται από τις σχέσεις V r = GM R + a (2.20) ( ), ρ Ma 2 π r( r+ a) ( r) =, 3 (2.21) όπου Μ η µάζα του συστήµατος και α παράµετρος. Σκοπός του προτύπου αυτού είναι η προσέγγιση των ιδιοτήτων που προκύπτουν από τον εµπειρικό νόµο του de Vaucouleurs σύµφωνα µε τον οποίο η επιφανειακή λαµπρότητα Ι ενός ελλειπτικού γαλαξία είναι συνάρτηση της ακτίνας r 1 I ( r ) r 4 ln = , I( re ) re (2.22) όπου r η προβαλλόµενη ακτίνα της έλλειψης και r e η ενεργός ακτίνα που είναι η ακτίνα εντός της οποίας περιέχεται το 50% της συνολικής λαµπρότητας Τρόποι µελέτης των τροχιών των αστέρων Ο υπολογισµός των τροχιών των αστέρων, σε γαλαξιακά δυναµικά πρότυπα γίνεται συνήθως µε αριθµητική ολοκλήρωση των εξισώσεων της κίνησης. Για την αριθµητική ολοκλήρωση χρησιµοποιούνται σύγχρονοι αλγόριθµοι, όπως είναι Runge-Kutta, Bulirsh-Stoer, Runge-Kutta- Fehlberg και Gear. Η ακρίβεια των αποτελεσµάτων ελέγχεται κυρίως µε τη διατήρηση ορισµένων ποσοτήτων, που διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησης του αστέρα. Οι ποσότητες αυτές ονοµάζονται ολοκληρώµατα της κίνησης. Για την ακρίβεια, ολοκλήρωµα της κίνησης

42 ονοµάζουµε κάθε συνάρτηση των συντεταγµένων και ταχυτήτων του δοκιµαστικού σωµατιδίου, η οποία παραµένει σταθερή κατά µήκος της τροχιάς του. Για έναν αστέρα µε µάζα ίση µε τη µονάδα, η ολική ενέργεια δίνεται από τη συνάρτηση Hamilton Η, η οποία γράφεται σε καρτεσιανές συντεταγµένες 1 ( ) (,,, ) H = T + V = xɺ + yɺ + zɺ + V x y z t, (2.23) 2 όπου V(x,y,z,t) το δυναµικό ανά µονάδα µάζας του αστέρα. Αν πάρουµε την ολική παράγωγο της παραπάνω συνάρτησης ως προς το χρόνο, προκύπτει dh dx dy dz V V V V = xɺ + yɺ + zɺ + xɺ + yɺ + zɺ +. (2.24) dt dt dt dt x y z t Λαµβάνοντας υπόψη τις εξισώσεις κίνησης του αστέρα V V V ɺɺ x=, ɺɺ y=, ɺɺ z=, x y z (2.25) η εξίσωση (2.24) γράφεται dh dt V =. (2.26) t Από την σχέση (2.26) συµπεραίνουµε ότι, όταν το δυναµικό είναι ανεξάρτητο του χρόνου, η ολική ενέργεια Η του αστέρα είναι ένα ολοκλήρωµα της κίνησης, δηλαδή Η =σταθερή κατά µήκος κάθε τροχιάς. Στην περίπτωση αξονικής συµµετρίας, όταν δηλαδή το δυναµικό σε κυλινδρικές συντεταγµένες δεν εξαρτάται από τη γωνία φ, πράγµα που σηµαίνει ότι ο άξονας z είναι άξονας συµµετρίας του συστήµατος, τότε η συνιστώσα L z της στροφορµής ως προς αυτόν τον άξονα επίσης διατηρείται. Πράγµατι, αν V=V(r,z) και Lz = xyɺ xy ɺ τότε για την ολική παράγωγο της L z ως προς το χρόνο προκύπτει dlz V y V x = xy ɺɺ ɺɺ xy= x y = 0. (2.27) dt r r r r

43 Ολοκληρώµατα όπως η ενέργεια Η και η συνιστώσα L z της στροφορµής, ονοµάζονται µονωτικά ολοκληρώµατα διότι περιορίζουν τα σηµεία της τροχιάς σε ένα υποσύνολο του χώρου των φάσεων και έχουν µεγάλη σηµασία στη δυναµική µελέτη των γαλαξιών. Σύµφωνα µάλιστα µε το θεώρηµα Jeans, η συνάρτηση κατανοµής είναι µια αυθαίρετη συνάρτηση των ολοκληρωµάτων κίνησης. Ένας από τους κλασικούς τρόπους µελέτης των τροχιών των αστέρων είναι η επιφάνεια τοµής Poincare. Στην περίπτωση ενός δυναµικού προτύπου δύο βαθµών ελευθερίας V(x,y), αν υπάρχουν ολοκληρώµατα κίνησης αυτά θα είναι της µορφής I ( x, y, xɺ, yɺ ) =σταθερά. Αν θεωρήσουµε το ολοκλήρωµα της ενέργειας I1( x, y, xɺ, yɺ ) = c1, αυτό περιορίζει την τροχιά επάνω σε µία τρισδιάστατη υπερεπιφάνεια στον τετραδιάστατο χώρο των φάσεων ( x, y, xɺ, yɺ ). Υποθέτουµε ότι υπάρχει και ένα δεύτερο µονωτικό ολοκλήρωµα της κίνησης, το I2( x, y, xɺ, yɺ ) = c2. Απαλείφοντας τη µεταβλητή yɺ µεταξύ των ολοκληρωµάτων Ι 1 και Ι 2, προκύπτει µια σχέση της µορφής f ( x, y, xɺ ) = c, η οποία παριστάνει µια επιφάνεια δύο διαστάσεων στο χώρο ( x, y, xɺ ) επάνω στην οποία βρίσκονται όλες οι τροχιές που αντιστοιχούν σε ορισµένες τιµές των δύο ολοκληρωµάτων Ι 1 και Ι 2. Η τοµή της επιφάνειας αυτής µε το επίπεδο y=0 δίνει µια καµπύλη, την g( x, xɺ ) =σταθερή. Η καµπύλη αυτή ονοµάζεται αµετάβλητη καµπύλη, διότι αν θεωρήσουµε την απεικόνιση κατά την οποία στο σηµείο Ρ της τοµής της τροχιάς µε το επίπεδο ( x, xɺ ) αντιστοιχεί το σηµείο Ρ στο οποίο η τροχιά τέµνει πάλι το επίπεδο ( x, xɺ ) τότε, αν το Ρ βρίσκεται επάνω στην καµπύλη σε αυτή θα βρίσκεται και το σηµείο Ρ. Στην παραπάνω περίπτωση η κίνηση του αστέρα ονοµάζεται κανονική. Όταν, όµως, δεν υπάρχει δεύτερο µονωτικό ολοκλήρωµα κίνησης, τότε τα σηµεία της επιφάνειας τοµής Poincare δεν βρίσκονται πάνω σε µια ορισµένη καµπύλη αλλά κατανέµονται τυχαία επάνω στην επιφάνεια ( x, xɺ ). Στην περίπτωση αυτή, η κίνηση του αστέρα ονοµάζεται χαοτική. Για γαλαξιακά δυναµικά πρότυπα περισσοτέρων των δύο διαστάσεων, δεν είναι εφικτή η γραφική απεικόνιση της επιφάνειας τοµής Poincare, για αυτό την χρησιµοποιούµε µόνο στη µελέτη συστηµάτων δύο βαθµών ελευθερίας. Στο Σχήµα 2.1 φαίνεται η επιφάνειας τοµής Poincare, για το µη περιστρεφόµενο δυναµικό γαλαξιακού τύπου 1 V x y x y ax y x y 2 (, ) = ω 2 ( ) ε β( ), (2.28)

44 όπου ω, α, β είναι παράµετροι. υναµικά της µορφής (2.28) µπορεί να προκύψουν από την ανάπτυξη σε σειρά Taylor προτύπων της µορφής (2.12) ή (2.14) κοντά σε ένα σηµείο ευσταθούς ισορροπίας. H Χαµιλτονιανή, που είναι η συνολική ενέργεια ενός αστέρα µε µάζα ίση µε τη µονάδα, είναι ένα ολοκλήρωµα της κίνησης 1 ( 2 2 x y ), ( ) H = p + p + V x y = h 2, (2.29) όπου p x, p y οι ορµές ανά µονάδα µάζας και h η σταθερή τιµή του ολοκληρώµατος. Στο Σχήµα 2.1, για τις τιµές των παραµέτρων ω=0.6, ε=0.4, α=-0.5, β=0.2, και h= παρατηρούµε περιοχές κανονικής κίνησης, αλλά και εκτεταµένες περιοχές, όπου η κίνηση είναι χαοτική. Παρόλο που η επιφάνεια τοµής Poincare παρέχει µια πολύ καλή πρώτη εικόνα των τροχιών του συστήµατος, έχει κάποιες αδυναµίες που µας παραπέµπουν στη χρήση και άλλων µεθόδων για τη διάκριση χαοτικών και κανονικών τροχιών. Τέτοιες αδυναµίες είναι, όπως προαναφέρθηκε, η αδυναµία εφαρµογής σε πρότυπα περισσοτέρων των δύο διαστάσεων, ο µεγάλος χρόνος κατασκευής της τοµής, όπως επίσης και το γεγονός της ύπαρξης τροχιών οι οποίες συµπεριφέρονται σχεδόν ως κανονικές για µεγάλα χρονικά διαστήµατα, προτού εκδηλώσουν την χαοτική τους συµπεριφορά (sticky orbits). Περισσότερα για τις τροχιές αυτές θα αναφέρουµε στα επόµενα Κεφάλαια. Σχήµα 2.1: Επιφάνεια τοµής Poincare για το δυναµικό της εξίσωσης (2.28)

45 Για τη διάκριση µεταξύ κανονικών και χαοτικών τροχιών, µια ευρέως χρησιµοποιούµενη µέθοδος είναι ο υπολογισµός του µέγιστου χαρακτηριστικού εκθέτη Lyapunov (L..E ή LE) (Lichtenberg and Lieberman, 1992). Ο δείκτης αυτός εκφράζει το µέσο εκθετικό ρυθµό απόκλισης µεταξύ µιας τροχιάς και της γειτονικής της. Ο υπολογισµός του πρακτικά γίνεται ως εξής. Θεωρούµε δύο τροχιές, την υπό µελέτη και κάποια γειτονική της σε απόσταση ξ ο. Ολοκληρώνουµε τις δύο τροχιές για ένα µικρό χρονικό διάστηµα t, υπολογίζουµε τη νέα τους απόσταση και επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία. Αν ξ n και ξ n+1 η απόστασή τους τις χρονικές στιγµές n t και (n+1) t, τότε ορίζουµε ως a n 1 ξ ln n+ 1 =, (2.30) t ξ n και τότε είναι N 1 n N an k t k= 1 < a > =. (2.31) Για Ν έχουµε το µέγιστο εκθέτη Lyapunov LE LE = lim N N 1 an k t. (2.32) k= 1 Στην περίπτωση που µια τροχιά είναι κανονική τότε ο LE είναι ίσος µε το µηδέν, ενώ αν είναι χαοτική LE>0. Στα επόµενα Κεφάλαια θα µελετήσουµε γραφήµατα που δίνουν την εξέλιξη του LE ως συνάρτηση του χρόνου σε ένα δυναµικό σύστηµα από τα οποία µπορούµε να βγάλουµε συµπεράσµατα για το είδος της τροχιάς (κανονική ή χαοτική) όπως και την εξέλιξή της, δηλαδή εάν αυτή µετατρέπεται στην πορεία από κανονική σε χαοτική (ή αντίστροφα) ή συνεχίζει να διατηρεί το είδος της µε την πάροδο του χρόνου. Εκτός από την επιφάνεια τοµής Poincare και τους εκθέτες Lyapunov, τα τελευταία χρόνια χρησιµοποιείται ως δείκτης κανονικής ή χαοτικής κίνησης και ένα καινούργιο εργαλείο, το λεγόµενο δυναµικό φάσµα. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιεί δεδοµένα σχετικά µε την κατανοµή των τιµών µιας συγκεκριµένης ποσότητας κατά µήκος µιας τροχιάς. Η κατανοµή αυτή ονοµάζεται αριθµός έκτασης (streching number) και ορίζεται ως εξής

46 α ξ i+ 1 i = ln, (2.33) ξi όπου ξ i είναι η απειροστά απόσταση µεταξύ δύο γειτονικών τροχιών στην τοµή Poincare και ξ i+1 η ακριβώς επόµενη απόσταση τους. Με βάση τα παραπάνω, ορίζουµε ως δυναµικό φάσµα S(α) τη συνάρτηση κατανοµής των αριθµών έκτασης α N ( α ) S( α ) =, N α (2.34) όπου Ν(α) ο αριθµός των τιµών του α στο διάστηµα (α, α+ α) µετά από Ν ολοκληρώσεις (Voglis and ontopoulos, 1994). Με αντίστοιχο τρόπο µπορούµε να ορίσουµε το φάσµα S(r) της παραµέτρου r η οποία ορίζεται ως εξής xi r=. p (2.35) Στην παραπάνω σχέση x i, p yi είναι οι τιµές της συντεταγµένης x και της ορµής ανά µονάδα µάζας p y επάνω στην επιφάνεια Poincare. Τότε το φάσµα της παραµέτρου r, S(r) είναι yi N( r) S( r) =, N r (2.36) όπου όπως και στο φάσµα S(α), Ν(r) είναι ο αριθµός των τιµών του r στο διάστηµα (r, r+dr) µετά από Ν ολοκληρώσεις. Η διαφορά των S(α) και S(r) είναι ότι το δεύτερο δεν χρειάζεται δεδοµένα που να αφορούν και µία γειτονική τροχιά, αλλά µόνο η τροχιά υπό µελέτη (Karanis and aranicolas, 2002). Τέλος, µπορούµε να ορίσουµε και το δυναµικό φάσµα S(u r ) το οποίο αναφέρεται στην κατανοµή τιµών της ολικής ταχύτητας u t N( ut ) S( ut ) =, N u t (2.37) όπου Ν(u t ) ο αριθµός των τιµών της u t στο διάστηµα (u t, u t + u t ) µετά από Ν ολοκληρώσεις

47 Σχήµα 2.2: Κανονική τροχιά για το δυναµικό της εξίσωσης (2.28). Σχήµα 2.3: LE για την τροχιά του Σχήµατος

48 Σχήµα 2.4: To φάσµα S(r) για την τροχιά του Σχήµατος 2.2. Σχήµα 2.5: To φάσµα S(u t ) για την τροχιά του Σχήµατος

49 Σχήµα 2.6: Χαοτική τροχιά για το δυναµικό της εξίσωσης (2.28). Σχήµα 2.7: LE για την τροχιά του Σχήµατος

50 Σχήµα 2.8: To φάσµα S(r) για την τροχιά του Σχήµατος 2.6. Σχήµα 2.9: To φάσµα S(u t ) για την τροχιά του Σχήµατος

51 Tα φάσµατα S(r) και S(u t ) έχουν το πλεονέκτηµα ότι χρησιµοποιούν µόνο µια τροχιά και όχι δύο γειτονικές για τον υπολογισµό τους. Στo Σχήµα 2.2 φαίνεται µία κανονική τροχιά στο δυναµικό (2.28). Οι αρχικές συνθήκες είναι x 0 =0 και p x0 =0.3, ενώ στα Σχήµατα 2.3, 2.4 και 2.5 φαίνεται ο LE, το φάσµα S(r) και το φάσµα S(u t ) της τροχιάς αντίστοιχα. Το Σχήµα 2.6 δείχνει µία χαοτική τροχιά στο ίδιο δυναµικό, ενώ τα Σχήµατα 2.7, 2.8 και 2.9 δείχνουν τον LE, το φάσµα S(r) και το φάσµα S(u t ) της χαοτικής τροχιάς αντίστοιχα. Όπως θα δούµε στα επόµενα Κεφάλαια, από την µορφή των παραπάνω δυναµικών φασµάτων µπορούµε να βγάλουµε πολύ χρήσιµα συµπεράσµατα για το είδος των τροχιών σε ένα δυναµικό γαλαξιακό πρότυπο. 2.3 Σύντοµη αναφορά στην εξέλιξη της υναµικής των γαλαξιών κατά την τελευταία τριακονταετία Στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούµε στις εξελίξεις της υναµικής των γαλαξιών κατά τις τελευταίες τρεις δεκαετίες. Πρέπει να τονιστεί στο σηµειό αυτό, ότι δεν πρόκειται για µια πλήρη καταγραφή των εξελίξεων της υναµικής που αφορά τους γαλαξίες στην προαναφερθείσα περίοδο, αλλά για µια απλή παράθεση γεγονότων στο υπόψη θέµα που δίνουν µια συνοπτική εικόνα σχετικά µε τη πρόοδο της υναµικής των γαλαξιών κατά τελευταία τριάντα χρόνια. Η υναµική των γαλαξιών παρουσίασε αξιόλογη πρόοδο κυρίως κατά τα τελευταία τριάντα χρόνια. Σηµαντικό ρόλο στην πρόοδο αυτή έπαιξε η εγκατάσταση µεγάλων επίγειων και διαστηµικών τηλεσκοπίων τα οποία αποτελούν συνεχή πηγή παρατηρησιακών δεδοµένων. Μεγάλη ήταν η συνεισφορά του διαστηµικού τηλεσκοπίου Hubble στην παρατήρηση των γαλαξιών. Μεταξύ άλλων, προέκυψαν οι εξής σηµαντικές διαπιστώσεις: (i) ενισχύθηκε η άποψη ότι η σκοτεινή ύλη του Γαλαξία µας δεν µπορεί να αποτελείται µόνο από µικρού µεγέθους αντικείµενα, (ii) έγιναν σηµαντικές παρατηρήσεις που αφορούσαν τα κέντρα των ενεργών γαλαξιών και (iii) µε την σηµαντική βελτίωση της τεχνικής που αφορά τα φάσµατα, ανακαλύφθηκαν και παρατηρήθηκαν νέοι γαλαξίες στη ραδιοφωνική και υπέρυθρη φασµατική περιοχή καθώς και στις ακτίνες-χ. Τα δεδοµένα αυτά ώθησαν τους θεωρητικούς αστρονόµους και ειδικότερα αυτούς που ασχολούνται µε τη δυναµική των γαλαξιών στην κατασκευή και µελέτη νέων προτύπων γαλαξιών. Παράλληλα, η ανάπτυξη της τεχνολογίας των ηλεκτρονικών

52 υπολογιστών, έδωσε µια ακόµη µεγαλύτερη ώθηση στην πρόοδο της έρευνας που σχετίζεται µε τη υναµική µελέτη των γαλαξιών. Πρώτος ο Kormendy (1983) έδειξε ότι ένα µεγάλο ποσοστό τροχιών, περίπου 20%, σε ραβδωτούς γαλαξίες παρουσιάζει όχι κυκλικές αλλά επιµήκεις τροχιές οι οποίες προσανατολίζονται κατά µήκος της ράβδου. Λίγα χρόνια αργότερα δηµοσιεύτηκαν και άλλες εργασίες που επιβεβαίωσαν αυτή την άποψη (Kent 1987, Kent and Glaudell, 1989). Επίσης, διαπιστώθηκε ότι το ποσοστό των µη κυκλικών τροχιών εξαρτάται και από το σχήµα της ράβδου (Bettoni and Galletta, 1988). Υπήρξαν προσπάθειες κατασκευής ταυτοσυνεπών προτύπων που βασίστηκαν σε συναρτήσεις κατανοµής, που είχαν εξάρτηση από τα ολοκληρώµατα της ενέργειας και της στροφορµής. υστυχώς, όµως, η προσπάθεια αυτή δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα µόνο για απλά δυναµικά συστήµατα και γίνεται πολύ δύσκολη όταν θέλουµε να την εφαρµόσουµε σε δυναµικά που περιγράφουν ρεαλιστικούς γαλαξίες. Συναρτήσεις κατανοµής που εξαρτώνται µόνο από ένα ολοκλήρωµα της κίνησης χρησιµοποίησε ο Vandervoort (1980). Τα πρότυπα αυτά περιγράφουν περιστρεφόµενους όχι αξονικά συµµετρικούς γαλαξίες, αλλά αποτυγχάνουν να περιγράψουν ραβδωτούς γαλαξίες. Αργότερα, ο Hietarinta (1987) συζητάει την πιθανότητα χρησιµοποίησης µιας συνάρτησης κατανοµής, η οποία εξαρτάται από το ολοκλήρωµα της ενέργειας, καθώς και από ένα δεύτερο ολοκλήρωµα, µε σκοπό να περιγράψει ένα ραβδωτό γαλαξία. Συναρτήσεις κατανοµής για πεπλατυσµένους ελλειπτικούς γαλαξίες προτάθηκαν από τους Hunter et a1. (1990). Οι δυσκολίες που παρουσίαζαν τα ταυτοσυνεπή πρότυπα οδήγησαν πολλούς ερευνητές στην µελέτη των γαλαξιών µε τη µέθοδο των Ν-σωµάτων. Στην περίπτωση αυτή δεν χρειάζεται η ταυτόχρονη επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων (2.1), (2.5) και (2.6). Υποθέτοντας µια ορισµένη κατανοµή πυκνότητας (imposed density), η οποία συµφωνεί µε τα παρατηρησιακά δεδοµένα, βρίσκουµε αριθµητικά το δυναµικό το οποίο κινεί τους αστέρες δηµιουργώντας µια νέα κατανοµή πυκνότητας (responsed density). Οι δύο αυτές κατανοµές πυκνότητας θα πρέπει να είναι ίσες σε ένα ταυτοσυνεπές πρότυπο. Αν υπάρχουν διαφορές στις δύο πυκνότητες µπορούν να ελαχιστοποιηθούν µε κατάλληλη εκλογή των παραµέτρων του προτύπου. Η µέθοδος παρουσιάζει ορισµένες υπολογιστικές δυσκολίες, κυρίως αν ο αριθµός των αστέρων του γαλαξία είναι µεγάλος. Συνήθως, στα πρότυπα που µελετήθηκαν, ο αριθµός των αστέρων δεν ξεπερνούσε τις µερικές εκατοντάδες χιλιάδες αστέρες. Για την οικονοµία του χρόνου που απαιτείται για τον υπολογισµό των τροχιών µελετήθηκαν κυρίως δισκοειδείς γαλαξίες δύο διαστάσεων. Τέτοιες µελέτες γαλαξιών έγιναν

53 από τους Sellwood (1980), van Albada (1986), Hernquist and Barnes (1990). Μελέτες σε πρότυπα γαλαξιών τριών διατάσεων µε τη µέθοδο της προσοµοίωσης των Ν-σωµάτων έδειξαν ότι ο σχηµατισµός της κεντρικής συµπύκνωσης των γαλαξιών µπορεί να µετατραπεί σταδιακά σε ράβδο (ombes et al., 1990). Οι Pfenninger and Friedli (1991) χρησιµοποίησαν σύγχρονα δισκοειδή πρότυπα µάζας τύπου Miyamoto Nagai µε ράβδο και µελέτησαν µε τη µέθοδο προσοµοίωσης Ν-σωµάτων ραβδωτούς γαλαξίες τριών διαστάσεων. Ειδικότερα, µελέτησαν τους υπάρχοντες συντονισµούς και τις κυριότερες περιοδικές τροχιές του συστήµατος. Από την µελέτη τους προέκυψε ότι ο συντονισµός 2/1 είναι υπεύθυνος για τη δοµή της ράβδου. Εξ αιτίας της χαρακτηριστικής ιδιότητάς του να δίνει επίπεδες καµπύλες περιστροφής, το λογαριθµικό δυναµικό πρότυπο της εξίσωσης (2.12) προσέλκυσε από την αρχή της δεκαετίας του 80 την προσοχή των ερευνητών. ιάφορες παραλλαγές του προτύπου αυτού µε ή δίχως αξονική συµµετρία, καθώς και µε ή δίχως τις παραµέτρους υ 0 και c n µελετήθηκαν από τους (Richstone 1980, 1982, 1984), Binney and Spergel (1984) και Gerhard and Binney (1985). Μια συστηµατική µελέτη των οικογενειών των τροχιών του συστήµατος και της ευστάθειας τους έγινε το 1989 από τους Miralda-Escude and Schwarzschild. Επιπλέον, το λογαριθµικό δυναµικό αποτέλεσε αντικείµενο έρευνας των Papaphilippou and Laskar (1996). Οι ερευνητές µελέτησαν τις τροχιές και τη δοµή του χώρου των φάσεων στο λογαριθµικό δυναµικό χρησιµοποιώντας µεταβλητές δράσεως γωνίας και στη συνέχεια εφάρµοσαν µια ηµιαναλυτική προσέγγιση. Μια ενδιαφέρουσα αναλυτική µελέτη του εν λόγω δυναµικού προτύπου έγινε από τον Vidal (2005). Το ενδιαφέρον των ερευνητών της γαλαξιακής υναµικής στράφηκε και στους ενεργούς γαλαξίες κυρίως κατά τις τρεις τελευταίες δεκαετίες. Μια ενδιαφέρουσα έρευνα έγινε από τους arlberg and Innanen (1987). Οι ερευνητές χρησιµοποίησαν ένα εξελιγµένο δισκοειδές πρότυπο τύπου Μiyamoto Nagai στο οποίο προσέθεσαν µια άλω που περιβάλλει το δίσκο και ένα σφαιρικό πυρήνα µεγάλης µάζας. Επίσης, στο πρότυπο αυτό φρόντισαν να εισαγάγουν τους δύο πληθυσµούς Ι και ΙΙ των αστέρων καθώς και την σκοτεινή ύλη. Το πρότυπο αυτό χρησιµοποίησαν για να περιγράψουν την κίνηση των αστέρων στο Γαλαξία µας. Βρήκαν ότι αστέρες µικρής στροφορµής που κινούνται σε έκκεντρες τροχιές και πλησιάζουν τον πυρήνα εκτρέπονται από το γαλαξιακό επίπεδο προς την άλω. Αν και οι παρατηρήσεις δεν συµφωνούν ικανοποιητικά µε τα αποτελέσµατα της εργασίας η ιδέα και το σύγχρονο πρότυπο που χρησιµοποιήθηκε, έδωσαν ώθηση για περαιτέρω µελέτες γαλαξιών που στα κέντρα τους φιλοξενούν πυρήνες µεγάλης µάζας

54 Σε έρευνα που έκανε ο Merrit (1996) σε πρότυπα ελλειπτικών γαλαξιών, που φιλοξενούν στο κέντρο τους µελανές οπές, διαπίστωσε ότι η ύπαρξη της µελανής οπής καταστρέφει τις τροχιές «κιβώτια» (box orbits) που αποτελούν τις βασικές τροχιές ενός τριαξονικού ελλειπτικού γαλαξία. Κατά συνέπεια, τα συστήµατα αυτά τείνουν να πάρουν το σχήµα ενός διαξονικού ελλειψοειδούς εκ περιστροφής. Οι Sridhar and Touma (1999) µελέτησαν τροχιές κοντά στο κέντρο γαλαξιών σε δυναµικά πρότυπα που περιέχουν µελανές οπές. Οι αστέρες κινούνται στο δυναµικό που δηµιουργείται από τη µελανή οπή και την κεντρική συµπύκνωση του γαλαξία και ακολουθούν τροχιές που επιδέχονται ένα ακόµη ολοκλήρωµα της κίνησης, εκτός από το ολοκλήρωµα της ενέργειας. Βρέθηκαν ότι υπάρχουν δύο βασικές οικογένειες τροχιών: τροχιές βρόγχοι και φακοειδείς τροχιές. Η πλειονότητα των τροχιών είναι κανονικές, ενώ ένα µικρό µέρος τους είναι χαοτικές. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι εργασίες που εξετάζουν το ρόλο που διαδραµατίζει η σκοτεινή άλως των γαλαξιών στη δυναµική τους συµπεριφορά. Αριθµητικές προσοµοιώσεις µε τη µέθοδο των Ν-σωµάτων (Athanassoula, 2002) έδειξαν ότι η παρουσία εσωτερικών οµόκεντρων άλω µπορεί να διεγείρει µηχανισµό δηµιουργίας ραβδωτών σχηµατισµών στους δισκοειδείς γαλαξίες. Τα αριθµητικά πειράµατα ενισχύουν την άποψη ότι όσο µεγαλύτερη είναι η επιρροή της άλω στο σύστηµα τόσο ισχυρότερος είναι ο ραβδωτός σχηµατισµός. Εξάλλου, οι Estrada et al. (2006) κατασκεύασαν, βασιζόµενοι σε παρατηρήσεις και αριθµητικές προσοµοιώσεις, πρότυπα σκοτεινής άλω γαλαξιών τα οποία παρουσίαζαν ένα λογαριθµικό νόµο πυκνότητας. Τα σύγχρονα αυτά πρότυπα µπορούν να θεωρηθούν ως µια εξέλιξη των προτύπων για τις άλω των γαλαξιών που είχαν προταθεί από το Einasto (1989). Μια άλλη ενδιαφέρουσα κατηγορία προτύπων για την σκοτεινή άλω των γαλαξιών προτάθηκε από τους Navarro-Frenk-White (1996). Ο νόµος της πυκνότητας που προτείνουν οι παραπάνω ερευνητές είναι αντίστροφος του τετραγώνου της απόστασης από το κέντρο της άλω και είναι γνωστός ως NFW profile. Η πρόταση των Navarro-Frenk-White βασίστηκε σε αριθµητικές προσοµοιώσεις που έγιναν µε τη µέθοδο των Ν-σωµάτων. Πιστεύουµε ότι η συνεχής ροή νέων παρατηρησιακών δεδοµένων θα ενισχύσει ακόµη περαιτέρω την έρευνα της υναµικής των γαλαξιών, µε αποτέλεσµα την καλύτερη κατανόηση της δοµής και της εξέλιξης των γαλαξιών που αποτελούν τις βασικές µονάδες του Σύµπαντος

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΞΟΝΙΚΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΓΑΛΑΞΙΩΝ 3.1. Μελέτη χαοτικών τροχιών σε γαλαξιακό πρότυπο µε συµπαγή πυρήνα Γενικά Τις τελευταίες τρεις δεκαετίες έχει δηµοσιευθεί ένας µεγάλος αριθµός ερευνών σχετικά µε την κανονική ή χαοτική φύση των τροχιών στα γαλαξιακά δυναµικά. Στις έρευνες αυτές χρησιµοποιήθηκαν κυρίως τα δύο είδη προτύπων που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 2.1. Στη µελέτη των προτύπων αυτών χρησιµοποιήθηκαν αριθµητικές, αναλυτικές ή ηµιαναλυτικές µέθοδοι και πολλές έρευνες βασίστηκαν στην κλασική µέθοδο της επιφάνειας τοµής Poincare. Σε πιο πρόσφατες, ωστόσο, έρευνες χρησιµοποιήθηκαν και νεότερες µέθοδοι που βασίζονται στα φάσµατα των τροχιών ή σε πιο σύγχρονες δυναµικές παραµέτρους που επιτρέπουν την ταχεία διάκριση της κανονικής από τη χαοτική κίνηση (aranicolas 2010, aranicolas and Zotos 2010). Στη συνέχεια, θα µελετήσουµε ένα αξονικά συµµετρικό γαλαξιακό πρότυπο, µε δίσκο, άλω και σφαιρικό πυρήνα, που έχει ως χαρακτηριστικό του την αύξηση της µάζας του πυρήνα εξαιτίας της µεταφοράς της από το δίσκο στον πυρήνα, ενώ ταυτόχρονα η συνολική µάζα του γαλαξία παραµένει σταθερή. Όπως θα δούµε, οι αστέρες που κινούνται κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο και των οποίων η στροφορµή L z είναι µικρότερη ή ίση από µια κρίσιµη τιµή της στροφορµής, L zc, σκεδάζονται στην άλω, όταν πλησιάζουν τον πυρήνα, ενώ οι αντίστοιχες τροχιές είναι χαοτικές

56 Συγκεκριµένα, θα µελετήσουµε τη µετάβαση από την κανονική στη χαοτική κίνηση σε έναν αξονικά συµµετρικό γαλαξία που περιγράφεται από ένα δυναµικό δίσκου µε άλω της µορφής όπου M d Φ ( r, z) =, (3.1) R = + βi ( + i ) + + i= 1. (3.2) R a z h b r Στα παραπάνω r, z είναι οι κυλινδρικές συντεταγµένες, Μ d η µάζα του δίσκου του γαλαξία, α είναι ο συντελεστής κλίµακας µήκους του δίσκου (disk scale length), h ο συντελεστής κλίµακας ύψους του δίσκου (disk scale height), b είναι ο συντελεστής κλίµακας της ακτίνας του πυρήνα της άλω του δίσκου (core radius scale length of the halo component) και β 1, β 2, β 3 είναι συντελεστές που δείχνουν το ποσοστό συνεισφοράς που έχουν στο δίσκο ο πληθυσµός ΙΙ, η σκοτεινή ύλη και ο πληθυσµός Ι αντίστοιχα. Εποµένως ισχύει β 1 + β 2 + β 3 =1. Στο παραπάνω δυναµικό προσθέτουµε και το δυναµικό ενός σφαιρικά συµµετρικού πυρήνα M n φ ( r, z) =, ( r + z + c ) (3.3) όπου Μ n η µάζα του πυρήνα και c παράµετρος. Έχει ήδη διαπιστωθεί ότι οι αστέρες χαµηλής στροφορµής που κινούνται κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο σκεδάζονται σε µεγαλύτερα ύψη όταν περνούν κοντά από τον πυρήνα, εµφανίζοντας χαοτική κίνηση. Επιπλέον, έχει επιβεβαιωθεί τόσο αριθµητικά όσο και αναλυτικά ότι υπάρχει γραµµική σχέση ανάµεσα στην κρίσιµη τιµή της στροφορµής L zc (που είναι η µέγιστη τιµή για την οποία εµφανίζεται χάος για δεδοµένη τιµή της µάζας του πυρήνα Μ n ) και της µάζας του πυρήνα Μ n (aranicolas and Innanen, 1992). Στο παραπάνω πρότυπο υποθέτουµε ότι µικρό ποσοστό µάζας (1/120-1/40) µεταφέρεται από το δίσκο στον πυρήνα µε πολύ αργό ρυθµό σε σύγκριση µε την περίοδο των τροχιών του γαλαξία, ώστε να µην επηρεάζεται η δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος, σύµφωνα µε τις σχέσεις

57 kt M = M m(1 e ), (3.4) d di kt M = M + m(1 e ), (3.5) n ni όπου Μ di, M ni η αρχική µάζα του δίσκου και του πυρήνα αντίστοιχα, m το κλάσµα της µάζας του δίσκου που µεταφέρεται και k>0 µια θετική παράµετρος. Σκοπός της µελέτης είναι να βρεθεί η σχέση µεταξύ της κρίσιµης τιµής της στροφορµής L zc και της τελικής µάζας M nf, που είναι η µάζα M n του πυρήνα, θεωρητικά, όταν t. Στην πράξη, για να µεταφερθεί µάζα 300 µονάδων χρειάζεται ένας χρόνος περίπου 600 µονάδων για k=0.01. Η επόµενη παράγραφος αναφέρεται στην αριθµητική µελέτη αυτού του προβλήµατος Κανονική και χαοτική κίνηση Στους υπολογισµούς χρησιµοποιείται ένα σύστηµα µονάδων όπου η µονάδα µήκους είναι το 1kpc, η µονάδα χρόνου yr, η µονάδα µάζας 2.325x10 7 M, η µονάδα ταχύτητας τα 10 km/s, ενώ το G είναι ίσο µε τη µονάδα. Στο παραπάνω σύστηµα µονάδων, παίρνουµε: Μ di =12000, (β 1, β 2,β 3 )=(0.4,0.5,0.1), (h 1,h 2,h 3 )=(0.325,0.09,0.125) kpc, M ni <100, ενώ τα m, c και k είναι παράµετροι. Με τη βοήθεια του ολοκληρώµατος της στροφορµής ανάγουµε την τρισδιάστατη κίνηση σε κίνηση δύο διαστάσεων στο µεσηµβρινό επίπεδο r-z του γαλαξία. Η Χαµιλτονιανή που περιγράφει την κίνηση είναι 1 ( 2 2 r z ) eff (, ) H = p + p +Φ r z, (3.6) 2 όπου p r, p z οι ορµές ανά µονάδα µάζας ως προς r και z αντίστοιχα, ενώ είναι το ενεργό δυναµικό µε 2 Lz Φ eff ( r, z) = +Φ (, ) 2 tot r z, (3.7) 2r Φ tot ( r, z) =Φ ( r, z) + φ( r, z). (3.8) Ο αναγνώστης µπορεί να βρεί όλη την ανάλυση για την κίνηση στο µεσηµβρινό επίπεδο r-z του γαλαξία στο Παράρτηµα 1 της σελίδας

58 της παρούσας διατριβής. Η µελέτη βασίζεται στην αριθµητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης Φeff Φeff ɺɺ r =, ɺɺ z=. (3.9) r z Σχήµα 3.1.1: Σχέση µεταξύ L zc και M nf. Οι τροχιές του σκιασµένου τµήµατος είναι χαοτικές. Μονάδα του L zc είναι τα 10 (km/s)kpc, η µονάδα µάζας δίνεται στο κείµενο. Οι τροχιές ξεκινούν σε απόσταση 0<r 8.5kpc και z=0 µε ακτινικές και κατακόρυφες ταχύτητες µικρότερες των 30 km/s. Επειδή δεν είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί η επιφάνεια τοµής Poincare για το χρονικά εξαρτώµενο δυναµικό, για τη διάκριση µεταξύ κανονικής και χαοτικής τροχιάς υπολογίστηκε ο µέγιστος χαρακτηριστικός εκθέτης Lyapunov (LE). Οι αριθµητικοί υπολογισµοί δείχνουν την ύπαρξη µιας γραµµικής σχέσης µεταξύ L zc και M nf, κάτι που φαίνεται και στο διάγραµµα του Σχήµατος Κάθε γραµµή χωρίζει το επίπεδο L zc -M nf σε δύο µέρη. Οι τροχιές µε τιµές των φυσικών παραµέτρων L zc και M nf που βρίσκονται στο αριστερό τµήµα του διαγράµµατος, συµπεριλαµβανοµένης και της γραµµής, είναι χαοτικές, ενώ οι τροχιές µε τιµές των L zc, M nf από το δεξιό τµήµα του διαγράµµατος είναι κανονικές. Παρατηρούµε ότι για

59 µικρές τιµές της στροφορµής η κλίση της ευθείας είναι διαφορετική. Για την εύρεση αυτού του τµήµατος της ευθείας χρησιµοποιήσαµε µικρές τιµές των Μ ni και m, (aranicolas & Innanen, 1991), ενώ σε όλες τις άλλες περιπτώσεις χρησιµοποιήσαµε Μ ni >100. Σχήµα 3.1.2: Χαοτική τροχιά µε L zc =22.5, M nf =400, c=0.25, k= Στο Σχήµα φαίνεται µια χαοτική τροχιά για L z =22.5, M nf =400, c=0,25, k=0.004, ενώ ο αντίστοιχος LE φαίνεται στο Σχήµα Η τροχιά υπολογίστηκε για 1000 χρονικές µονάδες. Παρακολουθώντας την εξέλιξη της τροχιάς, βλέπουµε ότι για χρονικό διάστηµα χρονικών µονάδων η τροχιά παραµένει κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο πριν σκεδαστεί σε µεγαλύτερα ύψη. Αυτό συµβαίνει διότι απαιτείται µια κρίσιµη τιµή της µάζας του πυρήνα, για δεδοµένη τιµή της στροφορµής, ώστε ο αστέρας να σκεδαστεί στην άλω. Το χρονικό αυτό διάστηµα είναι απαραίτητο για να αποκτήσει ο πυρήνας την αναγκαία µάζα µέσω του µηχανισµού µεταφοράς που περιγράφεται από τις εξισώσεις (3.4) και (3.5). Στη συνέχεια η τροχιά εξακολουθεί να σηµειώνει µεγάλες τιµές του z. Από το Σχήµα προκύπτουν κάποιες πολύ χρήσιµες πληροφορίες. Παρατηρούµε ότι χρειάζονται τουλάχιστον κάποιες χιλιάδες χρονικές µονάδες για να µπορούµε να κάνουµε µια εκτίµηση του LE, ενώ επίσης µπορούµε να πούµε ότι έχουµε µια περίπτωση «γρήγορου» χάους επειδή ο LE είναι σχετικά µεγάλος, της

60 τάξεως της µονάδας (aranicolas, 1990). Το Σχήµα δείχνει µια κανονική τροχιά για L z =22.5, M nf =100, c=0.25, k=0.004, ενώ στο Σχήµα φαίνεται ο αντίστοιχος LE που τείνει στο µηδέν. Παρατηρούµε ότι η τροχιά αυτή παραµένει πάντα κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο. LE Σχήµα 3.1.3: Ο LE για την χαοτική τροχιά του Σχήµατος Σχήµα 3.1.4: Κανονική τροχιά µε L zc =22.5, M nf =100, c=0.25, k= Παρατηρούµε ότι η τροχιά παραµένει κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο

61 LE Σχήµα 3.1.5: Ο LE για την κανονική τροχιά του Σχήµατος Υπολογίστηκε µεγάλος αριθµός τροχιών για διάφορες τιµές αρχικών αποστάσεων από το κέντρο του γαλαξία και µε αξονικές και κατακόρυφες ταχύτητες µικρότερες των 30 km/s. Όλα τα αριθµητικά αποτελέσµατα δηλώνουν την ύπαρξη αυτής της γραµµικής σχέσης µεταξύ της κρίσιµης τιµής της στροφορµής και της τελικής µάζας του πυρήνα. Στο Σχήµα φαίνεται η συµπεριφορά του LE µιας χαοτικής τροχιάς για δύο διαφορετικές τιµές του k. Οι τιµές των παραµέτρων είναι L zc =22.5, M ni =100, m=300 και c=0.25. Η συνεχής γραµµή αναφέρεται στην τιµή k=0.001, ενώ η διακεκοµµένη στην τιµή k=0.02. Παρατηρούµε ότι για αρκετές εκατοντάδες χρονικές µονάδες ο LE που αντιστοιχεί στη µικρότερη τιµή του k είναι δύο τάξεις µεγέθους µικρότερος από αυτόν που αντιστοιχεί στην τιµή k=0.02. Επιπλέον, ο LE που αντιστοιχεί στην τιµή k=0.001 παρουσιάζει σηµαντικές µεταβολές για περίπου δύο χιλιάδες χρονικές µονάδες, ενώ τελικά οι δύο γραµµές φαίνεται να συγκλίνουν µετά από µερικές εκατοντάδες χιλιάδες χρονικές µονάδες

62 LE Σχήµα 3.1.6: Ο LE για δύο χαοτικές τροχιές µε L zc =22.5, M nf =400, c=0.25. Η συνεχής γραµµή είναι για k=0.001 και η διακεκοµµένη για k= Σύνδεση φυσικών παραµέτρων µε το χάος σε ελλειπτικούς γαλαξίες Γενικά Όπως στα δισκοειδή πρότυπα γαλαξιών έτσι και σε αυτά που παριστάνουν ελλειπτικούς γαλαξίες έχει παρατηρηθεί µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση. Το κοινό στοιχείο στις περιπτώσεις αυτές είναι ότι η µετάβαση αυτή συµβαίνει όταν αστέρες µε µικρή στροφορµή πλησιάζουν έναν πυκνό πυρήνα ή µια κεντρική συµπύκνωση. Στην παράγραφο αυτή, η µελέτη αφορά τη µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση στο λογαριθµικό δυναµικό V ( r, z) = ln( r + az λr + c ), (3.10)

63 όπου r, z οι κυλινδρικές συντεταγµένες και α, c είναι παράµετροι. Το δυναµικό αυτό περιγράφει την κίνηση ενός αστέρα µοναδιαίας µάζας σε έναν ελλειπτικό γαλαξία, µε πυρήνα ή κεντρική συµπύκνωση ακτίνας c. Η παράµετρος α (1<α<2) καθορίζει την πλάτυνση του ελλειπτικού γαλαξία. Ο επιπρόσθετος όρος -λr 3 αντιπροσωπεύει µια εσωτερική διαταραχή και παρουσιάζει ενδιαφέρον γιατί εισάγει επιπλέον χαοτικά φαινόµενα χωρίς ωστόσο να καταστρέφει την αξονική συµµετρία του 3 γαλαξία (Binney and Tremaine, 1987). λr Ο στόχος εδώ είναι να βρεθεί, αν υπάρχει σχέση µεταξύ των παραµέτρων α, c και λ, έτσι ώστε να έχουµε µόνο χαοτικές ή µόνο κανονικές τροχιές, όπως επίσης και οι κρίσιµες τιµές των παραµέτρων για τις οποίες συµβαίνει η µετάβαση από την κανονικότητα στο χάος. Επίσης, αναζητείται και µία συσχέτιση µεταξύ της κρίσιµης στροφορµής L zc και της παραµέτρου λ. Όπως και στην προηγούµενη παράγραφο, µε τη βοήθεια του ολοκληρώµατος της στροφορµής ανάγουµε την τρισδιάστατη κίνηση σε κίνηση δύο διαστάσεων στο µεσηµβρινό επίπεδο r-z του γαλαξία (Παράρτηµα 1). Η µελέτη βασίζεται, εν µέρει, στην αριθµητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης V ɺɺ r = r V ɺɺ z= z όπου V eff είναι το ενεργό δυναµικό eff eff,, (3.11) 2 Lz Veff = + 2 ln( r + az λr + c ). (3.12) 2r 2 Στη µελέτη που ακολουθεί εκτός από την αριθµητική ολοκλήρωση χρησιµοποιούµε και κάποια θεωρητικά στοιχεία για την εύρεση σχέσεων µεταξύ των φυσικών παραµέτρων του ενεργού δυναµικού. Συνεπώς η µέθοδος που χρησιµοποιείται είναι ηµιαναλυτική. Οι ηµιαναλυτικές ή ηµιαριθµητικές µέθοδοι αποτελούν ένα σηµαντικό εργαλείο για την αντιµετώπιση προβληµάτων Ουράνιας Μηχανικής ή Γαλαξιακής υναµικής τις τελευταίες τρεις δεκαετίες (Henrard and aranicolas, 1990)

64 Αριθµητικοί υπολογισµοί Η Χαµιλτονιανή που αντιστοιχεί στο δυναµικό (3.12) είναι Lz H = ( pr + pz + ) + ln( r + az λr + c ) = h 2, (3.13) 2 2r 2 όπου p r, p z οι ορµές ανά µονάδα µάζας ως προς r και z αντίστοιχα, L z η στροφορµή και h η αριθµητική τιµή της Η. Ένας µεγάλος αριθµός τροχιών υπολογίζεται προκειµένου να βρεθεί µια σχέση ανάµεσα στην κρίσιµη στροφορµή και την παράµετρο λ. Οι αρχικές συνθήκες των τροχιών είναι r r max, p r =z=0, ενώ το p z υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα ενέργειας. Η τιµή της r max είναι η µέγιστη ρίζα της εξίσωσης 2 L z 2 1 ln( λ ) + r r + c = h, (3.14) 2r 2 η οποία επιλύεται αριθµητικά. Το r max είναι το ένα από τα δύο τα σηµεία που η καµπύλη µηδενικής ταχύτητας Veff ( r, z) = h, τέµνει τον άξονα z=0. Συνεπώς, όλες αυτές οι τροχιές ξεκινούν από το γαλαξιακό επίπεδο µε πολύ µικρές κατακόρυφες ταχύτητες. Για τη µελέτη της φύσης των τροχιών χρησιµοποιήθηκε η επιφάνεια τοµής Poincare r-p r, z=0, p z >0, ενώ οι αριθµητικοί υπολογισµοί έγιναν µε τη µέθοδο Bulirsh-Stoer. Στο Σχήµα φαίνεται η σχέση µεταξύ της κρίσιµης τιµής της στροφορµής L zc (η οποία είναι η µέγιστη τιµή της στροφορµής για την οποία ένας αστέρας παρουσιάζει χαοτική κίνηση, για δεδοµένες τιµές των παραµέτρων του συστήµατος) και της παραµέτρου λ. Παρατηρούµε ότι είναι µια ευθεία γραµµή. Οι τροχιές µε τιµές των L z και λ που βρίσκονται στο κάτω τµήµα του διαγράµµατος, συµπεριλαµβανοµένης και της γραµµής, είναι χαοτικές, ενώ οι τροχιές µε τιµές L z και λ στο επάνω τµήµα είναι κανονικές. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι c=0.01, α=1.9 και h=-0.1. Οι αριθµητικοί υπολογισµοί δείχνουν επίσης ότι η σχέση της κρίσιµης τιµής του λ και της ακτίνας του πυρήνα c είναι επίσης ευθεία γραµµή, κάτι που φαίνεται και στο Σχήµα Οι τιµές των άλλων παραµέτρων στο Σχήµα είναι L z =0.15, α=1.9 και h=-0.1. Γραµµική, όµως, σχέση υπάρχει και µεταξύ των κρίσιµων τιµών των α και λ, όπως φαίνεται από το Σχήµα (οι τιµές παραµέτρων εδώ είναι L z =0.15, c=0.01 και h=-0.1). Ως κρίσιµες τιµές των α και λ ορίζονται οι ελάχιστες

65 Σχήµα 3.2.1: Σχέση µεταξύ της κρίσιµης στροφορµής L zc και του λ για c=0.01, α=1.9, h=-0.1. Σχήµα 3.2.2: Σχέση µεταξύ του λ και της ακτίνας του πυρήνα c για L z =0.15, α=1.9, h=

66 Σχήµα 3.2.3: Σχέση µεταξύ των κρίσιµων τιµών των α και λ για c=0.01, L z= 0.15, h=-0.1. τιµές των παραµέτρων αυτών για τις οποίες ο αστέρας παρουσιάζει χαοτική κίνηση για δεδοµένες τιµές των άλλων παραµέτρων του συστήµατος. Στα Σχήµατα 3.2.4β και 3.2.4α παρουσιάζεται µια χαοτική τροχιά και η αντίστοιχη επιφάνεια τοµής r-p r (z=0, p z >0). Οι αρχικές συνθήκες είναι r=0.90, p r =z=0, ενώ η p z υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα ενέργειας. Οι άλλες παράµετροι έχουν τιµές: λ=0.05, c=0.01, α=1.9, h=-0.1 και L z =0.1. Τα Σχήµατα 3.2.4γ-δ είναι παρόµοια µε τα 3.2.4α-β, αλλά για L z =0.35 και αρχικές συνθήκες r=0.8493, z=p r =0 και την p z να προκύπτει πάντα από το ολοκλήρωµα της ενέργειας. Εδώ, όµως, η κίνηση είναι κανονική. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι οι χαοτικές τροχιές εµφανίζουν µεγαλύτερες τιµές του z, ενώ οι κανονικές µικρότερες. Επιπλέον, οι χαοτικές τροχιές αποµακρύνονται γρήγορα από το γαλαξιακό επίπεδο, ενώ οι κανονικές παραµένουν για περισσότερο χρόνο κοντά σε αυτό. Βλέπουµε, λοιπόν, ότι η συµπεριφορά των χαοτικών και κανονικών τροχιών στους ελλειπτικούς γαλαξίες είναι παρόµοια µε την παρατηρούµενη στους δισκοειδείς. Αυτό είναι ένα σηµαντικό συµπέρασµα που δείχνει µια συνέπεια της συµπεριφοράς των τροχιών σε δύο τελείως διαφορετικά πρότυπα γαλαξιών

67 Σχήµα 3.2.4α: Επιφάνεια τοµής r-p r για τη Χαµιλτονιανή Οι τιµές των παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. z Σχήµα 3.2.4β: Τροχιά στο επίπεδο r-z για τη Χαµιλτονιανή Οι τιµές των παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. Η κίνηση είναι χαοτική

68 Σχήµα 3.2.4γ: Επιφάνεια τοµής r-p r για τη Χαµιλτονιανή Οι τιµές των παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. Σχήµα 3.2.4δ: Τροχιά στο επίπεδο r-z για τη Χαµιλτονιανή Οι τιµές των παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. Η κίνηση είναι κανονική

69 Ενδιαφέρον είναι να εξετάσουµε πώς επηρεάζονται δύο σηµαντικές φυσικές ποσότητες, η στροφορµή L z και η κατακόρυφη δύναµη, F z, κοντά στον πυρήνα, από την παράµετρο λ. Αν Θ είναι η κυκλική ταχύτητα, τότε η αριθµητική τιµή της στροφορµής δίνεται από τη σχέση dv r r r r λr Lz = rθ= r r = dr 2 r λr + c 2 (,0) (2 3 ) 2 3 2, (3.15) ενώ η τιµή της κάθετης δύναµης είναι F z V ( r, z) az = = z r + az + c λr (3.16) Σχήµα 3.2.5: ιάγραµµα L z -λ για r=r 0 =0.9 και c=

70 Σχήµα 3.2.6: Εξέλιξη του F z µε το λ για z=z 0 =r=r 0 =0.1, c=0.01, α=1.9. Στο Σχήµα φαίνεται το διάγραµµα µεταβολής της L z µε την παράµετρο λ για r=r o =0.9 και c=0.01, ενώ το Σχήµα δείχνει την εξέλιξη της F z µε την παράµετρο λ για z=z o =r=r o =0.1, α=1.9 και c=0.01. Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι η τιµή της L z µειώνεται καθώς αυξάνει η παράµετρος λ, ενώ αντιθέτως η τιµή της ελκτικής δύναµης F z αυξάνει. Οι δύο αυτές µεταβολές των L z και F z είναι υπεύθυνες για την εµφάνιση της χαοτικής κίνησης στο συγκεκριµένο δυναµικό πρότυπο ελλειπτικού γαλαξία. Η φυσική σηµασία των αποτελεσµάτων αυτών είναι ότι η αύξηση της παραµέτρου εσωτερικής διαταραχής λ οδηγεί σε ταυτόχρονη µείωση της στροφορµής L z και αύξηση της κατακόρυφης δύναµης F z, έτσι ώστε να παρατηρηθεί εντονότερη χαοτική συµπεριφορά. Στο Σχήµα φαίνεται ο LE για δύο χαοτικές τροχιές. Η στικτή γραµµή αναφέρεται στην περίπτωση για λ=0, ενώ η συνεχής γραµµή στην περίπτωση όπου λ=0.1. Παρατηρούµε ότι ο LE που σηµειώνεται µε την συνεχή γραµµή είναι περίπου διπλάσιος από αυτόν που προκύπτει για λ=0. Το συµπέρασµα που συνάγεται από τα παραπάνω, είναι ότι ο όρος - λr 3 στο δυναµικό (3.12) έχει δύο βασικούς ρόλους. Αφενός µεγαλώνει το

71 εύρος της χαοτική ζώνης στην επιφάνεια τοµής Poincare και αφετέρου ενισχύει τον LE του συστήµατος. LE Σχήµα 3.2.7: Ο LE για δύο χαοτικές τροχιές. Στη συνεχή γραµµή λ=0.1, στη στικτή γραµµή λ=0. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων: L z =0.10, c=0.01,h=-0.1, α=1.9. Στο Σχήµα δίνεται µια συνολική άποψη των τροχιών του δυναµικού Είναι η επιφάνεια τοµής Poincare που αντιστοιχεί σε ενέργεια h=-0.1, ενώ οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι L z =0.1, λ=0.05, c=0.01 και α=1.9. Παρατηρούµε ότι εκτός από τις τροχιές του Σχήµατος υπάρχει και ένα σύνολο τροχιών που δηµιουργεί ένα διπλό σύνολο νησίδων. Οι αντίστοιχες τροχιές είναι τροχιές τύπου µπανάνα (banana like orbits)

72 Σχήµα 3.2.8: Επιφάνεια τοµής r-p r για τη Χαµιλτονιανή Οι τιµές των άλλων παραµέτρων δίνονται στο κείµενο Ηµιαναλυτική προσέγγιση Στην παράγραφο αυτή θα γίνει µια προσπάθεια να εξηγηθούν µε ηµιαναλυτικό τρόπο οι γραµµικές σχέσεις που βρέθηκαν µε αριθµητικούς υπολογισµούς. Εδώ θα πρέπει να αναφερθεί ότι η ανάλυση που ακολουθεί βασίζεται στην εµπειρική παρατήρηση της τροχιάς, στα αριθµητικά δεδοµένα και στη σύνδεσή τους µε αναλυτικές προσεγγίσεις. Η µέθοδος εφαρµόστηκε για πρώτη φορά µε επιτυχία σε πρότυπα δισκοειδών γαλαξιών από τους aranicolas & Innanen (1991). Όταν ένας αστέρας πλησιάζει την περιοχή του πυρήνα υπάρχει µια µεταβολή στη z-συνιστώσα της ορµής του που δίνεται από την σχέση m p = F t, (3.17) z z όπου m η µάζα του αστέρα, <F z > η συνολική µέση δύναµη στη z διεύθυνση και t η διάρκεια της προσέγγισης. Ο αστέρας κερδίζει υπολογίσιµο ύψος µετά από n (n>1) επαναλήψεις, όπου η συνολική µεταβολή στη z-συνιστώσα της ορµής είναι της τάξης του mυ φ, όπου υ φ η

73 εφαπτοµενική ταχύτητα του αστέρα κοντά στον πυρήνα, σε µια µέση απόσταση r=<r o >. Συνεπώς n m p < F > t zi z i i= 1 i= 1 n. (3.18) Αν θέσουµε προκύπτει n ml m p m και i= 1 zc zi = υ φ = < ro > n ti = Tc στην εξίσωση (3.18) i= 1 ml < F > T zc z c < ro >. (3.19) Η δύναµη που ασκείται κατά την z διεύθυνση σε έναν αστέρα µάζας m=1 είναι F z az = r + az λr + c (3.20) Θέτουµε z=c, r=<r o > >>z, λ<r o > <<1. Επειδή ο αστέρας πριν σκεδαστεί βρίσκεται πολύ κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο, κρατούµε µόνο τους γραµµικούς όρους στα z και c. Επίσης, αγνοούµε τον όρο λ<r o > 3 που είναι πολύ µικρός σε σχέση µε τους γραµµικούς και η εξίσωση (3.20) γίνεται ac < Fz >=. < 2 ro > (3.21) Αντικαθιστώντας την τιµή της <F z > από την σχέση (3.21) στην εξίσωση (3.19) βρίσκουµε Tc όπου k1 =. < r > o ac L T ak c zc c 1, < ro > (3.22) Η προσεγγιστική εξίσωση (3.22) µπορεί να θεωρηθεί ως προκαταρκτική κάποιας σχέσης που θα έπρεπε, όµως, να συµπληρωθεί µε επιπλέον όρους. Τα απαραίτητα δεδοµένα για αυτούς τους επιπλέον

74 όρους µπορούν να προκύψουν µε αριθµητικούς υπολογισµούς. Στην πραγµατικότητα, οι αριθµητικοί υπολογισµοί που απαιτήθηκαν για να πάρουµε το Σχήµα δηλώνουν ότι ο όρος L zc θα πρέπει να αντικατασταθεί από τον L zc - k 2 λ, όπου k 2 είναι σταθερή, διότι η τιµή της στροφορµής µειώνεται γραµµικά µε την παράµετρο λ. Έτσι προκύπτει L ak c+ k λ+ L zc, (3.23) 1 2 όπου ο επιπλέον όρος L zcο αντιπροσωπεύει την κρίσιµη τιµή της στροφορµής στην περίπτωση που c 0 ή λ 0 ή c 0 και λ 0 ταυτόχρονα. Η σχέση (3.23) εξηγεί τη γραµµική σχέση µεταξύ L zc και λ του Σχήµατος 3.2.1, όταν οι α και c παραµένουν σταθερές. Επίσης, εξηγεί τη γραµµική σχέση c-λ και λ-α των Σχηµάτων και αντίστοιχα, για δεδοµένη τιµή της στροφορµής και της τρίτης παραµέτρου. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η σχέση (3.23) είναι πολύ χρήσιµη στην περιγραφή της δυναµικής συµπεριφοράς του συστήµατος και στη σύνδεση όλων των φυσικών παραµέτρων του δυναµικού προτύπου (3.12). Σε προηγούµενες µελέτες (Karanis and aranicolas, 2001), έχει παρατηρηθεί ότι, για δεδοµένη τιµή της στροφορµής L z <L zc και c=0.01, τα χαοτικά φαινόµενα είναι αµελητέα για α 1.5. Στην προκειµένη περίπτωση παρατηρούµε ότι υπάρχουν χαοτικά φαινόµενα για πολύ µικρότερες τιµές του α (Σχήµα 3.2.3). Η σηµαντική αυτή διαφορά οφείλεται στην παρουσία της παραµέτρου λ. Η δύναµη F z που ευθύνεται για τα χαοτικά φαινόµενα, µειώνεται γραµµικά µε το α και υπάρχει ένα κατώφλι, για δεδοµένες τιµές των άλλων παραµέτρων, πέρα από το οποίο το σύστηµα δεν παρουσιάζει χάος. Το κατώφλι αυτό µετατοπίζεται σε µικρότερες τιµές του α διότι υπάρχει µια επιπλέον γραµµική αύξηση στην F z που προκαλείται από την παράµετρο λ. zco 3.3. υναµική εξέλιξη και χάος σε γαλαξιακά πρότυπα Γενικά Όπως αναφέρθηκε στις προηγούµενες παραγράφους, οι αστέρες µικρής στροφορµής σε γαλαξίες µε συµπαγή πυρήνα σκεδάζονται σε πολύ µεγαλύτερα ύψη παρουσιάζοντας χαοτική κίνηση. Σε όλες τις

75 παραπάνω έρευνες εξηγείται, επίσης, η αιτία αυτής της συµπεριφοράς των τροχιών, που είναι η παρουσία µιας ισχυρής κατακόρυφης δύναµης, F z, που προέρχεται από τον πυρήνα. Το πιο χαρακτηριστικό συµπέρασµα που προκύπτει σε όλες τις περιπτώσεις είναι η γραµµική εξάρτηση της κρίσιµης στροφορµής του αστέρα -που είναι η µέγιστη στροφορµή για την οποία οι αστέρες σκεδάζονται στην άλω παρουσιάζοντας χαοτική κίνηση- και της µάζας του πυρήνα. Στην παράγραφο αυτή θα µελετηθούν οι ιδιότητες της κίνησης σε γαλαξία που περιγράφεται από το δυναµικό πρότυπο M V ( r, z) =, 1 { 1 } a+ ( z + h ) + r (3.24) όπου r, z οι κυλινδρικές συντεταγµένες, Μ η µάζα του γαλαξία και α, h παράµετροι. Οι λόγοι της επιλογής του συγκεκριµένου δυναµικού προτύπου είναι οι εξής: α) Είναι ένα κλασσικό δυναµικό πρότυπο µάζας, που περιγράφει την κίνηση σε ένα γαλαξία µε άξονα και επίπεδο συµµετρίας, β) Το δυναµικό (3.24) µπορεί να περιγράψει την κίνηση από έναν σφαιρικό γαλαξία (α=0) µέχρι και ένα επίπεδο δισκοειδές σύστηµα (α>>h), γ) Συνδυάζοντας το δυναµικό (3.24) µε το δυναµικό ενός σφαιρικά συµµετρικού πυρήνα προκύπτει ένα σύνθετο πρότυπο που παρουσιάζει ένα πλήθος από οικογένειες κανονικών τροχιών και συγχρόνως µεγάλες περιοχές µε χαοτική κίνηση, και τέλος δ) ίνεται η δυνατότητα µελέτης και σύγκρισης των ιδιοτήτων των τροχιών τόσο σε δισκοειδείς όσο και σε ελλειπτικούς γαλαξίες χρησιµοποιώντας το ίδιο γενικό πρότυπο. Επιπλέον, µπορούµε να µελετήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο κάποιες φυσικές ποσότητες, όπως η πυκνότητα µάζας και η καµπύλη περιστροφής Θ=Θ(r) αλλάζουν µε τη µεταβολή της δοµής του συστήµατος. Στα επόµενα θα µελετήσουµε δύο ξεχωριστές περιπτώσεις, το χρονικά ανεξάρτητο και το χρονικά εξαρτηµένο πρότυπο. Όπως έγινε και στις προηγούµενες παραγράφους, και εδώ µε τη βοήθεια του ολοκληρώµατος της στροφορµής ανάγουµε την τρισδιάστατη κίνηση σε κίνηση δύο διαστάσεων στο µεσηµβρινό επίπεδο r-z του γαλαξία Η δοµή του χώρου των φάσεων Προσθέτοντας στο δυναµικό (3.24) το δυναµικό ενός σφαιρικά συµµετρικού πυρήνα προκύπτει το συνολικό δυναµικό

76 V tot M M n ( r, z) =, ( r + z + c ) { a+ ( z + h ) } + r (3.25) όπου M n η µάζα και c παράµετρος που καθορίζει την πυκνότητα του πυρήνα. Στο σύστηµα µονάδων που χρησιµοποιούµε, η µονάδα µήκους είναι 1 kpc, η µονάδα χρόνου yr και η µονάδα µάζας M. Μονάδα ταχύτητας είναι τα 10km/s, ενώ το G=1. Ως δοκιµαστικό σωµατίδιο θεωρούµε έναν αστέρα µάζας m=1. Εποµένως, η µονάδα ενέργειας (ανά µονάδα µάζας) είναι 100 (km/s) 2. Σε αυτό το σύστηµα µονάδων χρησιµοποιούµε τις τιµές c=0.25kpc, M=9500, M n =400, α=7 kpc, ενώ το h είναι παράµετρος. Στο Σχήµα φαίνεται η καµπύλη περιστροφής του γαλαξία που περιγράφεται από δυναµικό (3.25) όταν h=10. Στην περίπτωση αυτή έχουµε έναν ελλειπτικό γαλαξία µε µικρότερη κυκλική ταχύτητα περιστροφής Θ και µικρή πυκνότητα µάζας. Για r=8.5, z=0 προκύπτει Θ=121 km/s και ρ=0.008 M /pc 3. Όταν h=0.6 η εξίσωση (3.25) περιγράφει πεπλατυσµένο δισκοειδές σύστηµα και η αντίστοιχη καµπύλη περιστροφής φαίνεται στο Σχήµα Εδώ τα αποτελέσµατα είναι διαφορετικά, γιατί για r=8.5, z=0 προκύπτει Θ=226km/s, ρ=0.15 M /pc 3. Σχήµα 3.3.1: Καµπύλη περιστροφής για ελλειπτικό γαλαξία. Οι τιµές των παραµέτρων δίνονται στο κείµενο

77 Σχήµα 3.3.2: Καµπύλη περιστροφής για δισκοειδή γαλαξία. Οι τιµές των παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. Για τη δυναµική µελέτη του συστήµατος χρησιµοποιούµε τη Χαµιλτονιανή, που είναι ένα ολοκλήρωµα της κίνησης όπου 1 ( 2 2 r z ) eff (, ) H = p + p + V r z = E, (3.26) 2 2 Lz Veff ( r, z) = + V (, ) 2 tot r z, (3.27) 2r είναι το ενεργό δυναµικό και Ε η σταθερή τιµή του ολοκληρώµατος, που είναι η συνολική ενέργεια του αστέρα

78 Σχήµα α: Η επιφάνεια τοµής r-p r για ελλειπτικό γαλαξία µε Ε=-500, L z =20. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων: M=9500, α=7kpc, h=10kpc, M n =400, c n =0.25. Σχήµα 3.3.3β: Η επιφάνεια τοµής r-p r για δισκοειδή γαλαξία µε Ε=-730, L z =20. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων: M=9500, α=7kpc, h=0.6kpc, M n =400, c n =

79 Σχήµα 3.3.3γ: Η επιφάνεια τοµής r-p r για ελλειπτικό γαλαξία µε Ε=-500, L z =40. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων: M=9500, α=7kpc, h=10kpc, M n =400, c n =0.25. Σχήµα 3.3.3δ: Η επιφάνεια τοµής r-p r για δισκοειδή γαλαξία µε Ε=-730, L z =40. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων: M=9500, α=7kpc, h=0.6kpc, M n =400, c n =

80 Στη µελέτη του συστήµατος χρησιµοποιούµε την επιφάνεια τοµής Poincare στο επίπεδο r-p r, z=0, p z >0. Το Σχήµα 3.3.3α δείχνει τη δοµή της επιφάνειας τοµής όταν h=10 kpc, δηλαδή στην περίπτωση που το πρότυπο περιγράφει έναν ελλειπτικό γαλαξία. Η τιµή της ενέργειας είναι Ε=-500 και η τιµή της στροφορµής είναι L z =20. Στο Σχήµα αυτό παρατηρούµε περιοχές κανονικής κίνησης και µεγάλες χαοτικές περιοχές. Συγκεκριµένα, υπάρχουν τρεις διακριτές περιοχές κανονικών τροχιών: α) Τροχιές που δηµιουργούν αµετάβλητες καµπύλες γύρω από το κεντρικό αµετάβλητο σηµείο, β) Τροχιές που δηµιουργούν το τριπλό σύνολο των νησίδων και γ) Τροχιές που δηµιουργούν νησίδες που ανήκουν στο διπλό σύνολο των συµµετρικών ως προς τον άξονα x νησίδων. Οι αντίστοιχες τροχιές φαίνονται στα Σχήµατα α-δ. Σχήµα 3.3.4α: Τροχιά σε ελλειπτικό γαλαξία µε Ε=-500, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων είναι όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ

81 Σχήµα 3.3.4β: Τροχιά σε ελλειπτικό γαλαξία µε Ε=-500, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων είναι όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ. Σχήµα 3.3.4γ: Τροχιά σε ελλειπτικό γαλαξία µε Ε=-500, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων είναι όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ

82 Σχήµα 3.3.4δ: Τροχιά σε ελλειπτικό γαλαξία µε Ε=-500, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων είναι όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ. Στο Σχήµα 3.3.4α φαίνεται µια τροχιά που δηµιουργεί µια νησίδα γύρω από το κεντρικό αµετάβλητο σηµείο. Οι αρχικές συνθήκες είναι r=5, p r =z=0, ενώ για όλες τις τροχιές η τιµή της p z υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα ενέργειας. Η τροχιά στο Σχήµα 3.3.4β ανήκει στο σύνολο των τροχιών της περίπτωσης (β) και έχει αρχικές συνθήκες r=10, p r =z=0. Πρόκειται για µια χαρακτηριστική τροχιά συντονισµού 4/3. Η τροχιά που φαίνεται στο Σχήµα 3.3.4γ ανήκει στην περίπτωση (γ). Έχει αρχικές συνθήκες r=2.5, p r =17, z=0, ενώ η τροχιά του Σχήµατος 3.3.4δ είναι µια χαοτική τροχιά µε αρχικές συνθήκες r=1, p r =17, z=0. Στο Σχήµα 3.3.3β φαίνεται η δοµή του χώρου των φάσεων στην περίπτωση που h=0.6 kpc, L z =20. Η τιµή της ενέργειας είναι Ε=-730. Σε αυτήν την περίπτωση µιλάµε για έναν δισκοειδή γαλαξία. Παρατηρούµε και πάλι περιοχές κανονικής κίνησης και µεγάλες περιοχές χάους. Οι κανονικές τροχιές ανήκουν σε τρεις βασικές οµάδες: α) Τροχιές που δηµιουργούν αµετάβλητες καµπύλες γύρω από το κεντρικό αµετάβλητο σηµείο, β) Τροχιές που δηµιουργούν το εξωτερικό τριπλό σύνολο νησίδων και γ) Τροχιές που δηµιουργούν µία νησίδα που ανήκει στο διπλό σετ νησίδων συµµετρικά ως προς τον άξονα x. Οι αντίστοιχες τροχιές φαίνονται στο Σχήµα Στο Σχήµα 3.3.5α βλέπουµε µια τροχιά της κατηγορίας (α). Οι αρχικές συνθήκες της είναι r=3, p r =z=0. Οι τροχιές του Σχήµατος 2.3.5β ανήκουν στην κατηγορία (β) και

83 δηµιουργούν τρεις από τις εξωτερικές νησίδες. Παρατηρούµε ότι η τροχιά παραµένει κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο. Είναι χαρακτηριστική του συντονισµού 2/3. Η τροχιά του Σχήµατος 3.3.5γ ανήκει στην κατηγορία (γ) µε αρχικές συνθήκες r=1.8, p r =21, z=0, ενώ στο Σχήµα 3.3.5δ φαίνεται µια χαοτική τροχιά, για αρχικές συνθήκες r=8.5, p r =z=0. Η επιφάνεια τοµής που φαίνεται περιοχή στο Σχήµα 3.3.3γ είναι παρόµοια µε αυτή του Σχήµατος 3.3.3α, αλλά για L z =40. Εδώ δεν υπάρχουν χαοτικές περιοχές αλλά µόνο περιοχές κανονικής κίνησης. Επίσης, δεν υπάρχουν τροχιές της κατηγορίας (γ) και όλοι οι δευτερεύοντες συντονισµοί που αντιπροσωπεύονταν από µικρές νησίδες έχουν εξαφανιστεί. Το Σχήµα 3.3.3δ είναι παρόµοιο µε το Σχήµα 3.3.3β για L z =40. Παρατηρούµε ότι η πλειοψηφία των τροχιών είναι κανονικές, η χαοτική περιοχή πολύ µικρή, ενώ δεν υπάρχουν δευτερεύοντες συντονισµοί. Το συµπέρασµα που προκύπτει είναι ότι τα χαοτικά φαινόµενα, τόσο στους δισκοειδείς όσο και στους ελλειπτικούς γαλαξίες, είναι το αποτέλεσµα της σκέδασης αστέρων χαµηλής στροφορµής από τον πυρήνα. Ωστόσο, αυτό που παρατηρούµε επιπλέον, είναι ότι στους δισκοειδείς γαλαξίες οι χαοτικές περιοχές υπάρχουν για µεγαλύτερες τιµές της στροφορµής από ό,τι στους ελλειπτικούς γαλαξίες. Σχήµα 3.3.5α: Τροχιά σε δισκοειδή γαλαξία µε Ε=-730, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ

84 Σχήµα 3.3.5β: Τροχιά σε δισκοειδή γαλαξία µε Ε=-730, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ. Σχήµα 3.3.5γ: Τροχιά σε δισκοειδή γαλαξία µε Ε=-730, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ

85 Σχήµα 3.3.5δ: Τροχιά σε δισκοειδή γαλαξία µε Ε=-730, L z =20 και τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στα Σχήµατα 3.3.3α-δ. LE Σχήµα 3.3.6: Ο LE για δύο χαοτικές τροχιές. Η διακεκοµµένη γραµµή αντιστοιχεί σε ελλειπτικό γαλαξία, ενώ η συνεχής σε δισκοειδή

86 Για να έχουµε µια καλύτερη εκτίµηση της τάξης του χάους, υπολογίσαµε το µέγιστο χαρακτηριστικό εκθέτη Lyapunov (LE) για µια χαοτική τροχιά κάθε περίπτωσης. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στο Σχήµα 3.3.6, όπου ο LE µε τη διακεκοµµένη γραµµή αναφέρεται στο ελλειπτικό σύστηµα, ενώ µε την συνεχή γραµµή στο δισκοειδές. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι όπως στο Σχήµα 3.3.3α, ενώ η τιµή του L z είναι L z =20. Παρατηρούµε ότι ο LE του δισκοειδούς συστήµατος είναι τρεις φορές µεγαλύτερος από τον LE του ελλειπτικού γαλαξία. Συµπεραίνουµε, συνεπώς, πως ο βαθµός του χάους, όπως αυτός περιγράφεται από τον LE, στους δισκοειδείς γαλαξίες είναι αρκετά µεγαλύτερος σε σύγκριση µε τον παρατηρούµενο στους ελλειπτικούς γαλαξίες υναµική εξέλιξη Το δυναµικό της σχέσης (3.25) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µελέτη της δυναµικής εξέλιξης ενός γαλαξία. Αυτό µπορεί να γίνει αν υποθέσουµε ότι η παράµετρος h, που σχετίζεται µε την κλίµακα ύψους του δίσκου του γαλαξία (disk scale height), είναι συνάρτηση του χρόνου t h= h + λ exp( kt), (3.28) o όπου h o είναι η τελική τιµή του h όταν t και k, λ παράµετροι. Υποθέτουµε ότι το σύστηµα ξεκινάει ως ελλειπτικός πρωτογαλαξίας και µε το χρόνο εξελίσσεται σε δισκοειδές σύστηµα µε την ίδια µάζα. Κατά την εξέλιξη αυτή η µάζα και το σχήµα του πυρήνα δεν αλλάζουν. Υιοθετούµε αυτό το απλό µοντέλο εξέλιξης χωρίς να εµβαθύνουµε σε φυσικές λεπτοµέρειες, για να µπορέσουµε να παρακολουθήσουµε την εξέλιξη κάποιων σηµαντικών φυσικών ποσοτήτων όπως η πυκνότητα µάζας και η κυκλική ταχύτητα. Επιλέγουµε h o =0.6 kpc, k=0.08 και λ=9.4 kpc, έτσι ώστε για t=0 είναι h=10 kpc. Αυτή η τιµή του h σε συνδυασµό µε το α=7 kpc στο δυναµικό (3.25) περιγράφει κίνηση σε ελλειπτικό γαλαξία, ενώ για t το h 0.6 kpc, οπότε πρόκειται για δισκοειδές σύστηµα. Η εξέλιξη της πυκνότητας µάζας ρ και της κυκλικής ταχύτητας Θ µε το χρόνο, για r=r o =8.5, z=0 φαίνεται στα Σχήµατα και αντίστοιχα

87 Σχήµα 3.3.7: Εξέλιξη της πυκνότητας µάζας ρ µε το χρόνο για r=0.5, z=0. Σχήµα 3.3.8: Εξέλιξη της κυκλικής ταχύτητας Θ µε το χρόνο για r=0.5, z=

88 Είναι προφανές ότι όσο το σύστηµα εξελίσσεται από το ελλειπτικό σχήµα στο δισκοειδές, υπάρχει µια σταθερή αύξηση της κυκλικής ταχύτητας και της πυκνότητας µάζας. Στα προηγούµενα Σχήµατα χρησιµοποιήθηκε χρονική περίοδος 100 περίπου γαλαξιακών µονάδων, γεγονός που σηµαίνει ότι ο δισκοειδής γαλαξίας έχει ηλικία περίπου των έτη. Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον να παρακολουθήσουµε την εξέλιξη των τροχιών του δυναµικού προτύπου, καθώς αυτό εξελίσσεται από ελλειπτικό σε επίπεδο δισκοειδή γαλαξία. Κατά τη διάρκεια αυτής της εξέλιξης, οι τροχιές αλλάζουν από κανονικές σε χαοτικές ή αντίστροφα. Αν υποθέσουµε ότι το σύστηµα εξελίσσεται σύµφωνα µε την εξίσωση (3.28), µε τις τιµές των παραµέτρων, όπως προαναφέρθηκαν και µε k=0.001, τότε στο Σχήµα φαίνεται, µε την συνεχή γραµµή, η εξέλιξη του LE µιας τροχιάς, που ξεκινάει, όταν το σύστηµα έχει ελλειπτικό σχήµα, µε αρχικές συνθήκες r=8, z=0. Παρατηρούµε ότι η τροχιά ξεκινάει ως κανονική και καταλήγει χαοτική. Επίσης, παρατηρούµε ότι το ύψος της τροχιάς µειώνεται καθώς το σύστηµα µεταβάλλει το σχήµα του από ελλειπτικό σε δισκοειδές. Η διακεκοµµένη γραµµή του Σχήµατος δείχνει την εξέλιξη του LE µιας άλλης τροχιάς που ξεκινάει από τον ελλειπτικό γαλαξία, µε αρχικές συνθήκες r=9.6, p r =0. Εδώ παρατηρούµε ότι τροχιά ξεκινάει σαν χαοτική και τελικώς καταλήγει ως κανονική. Στα παρακάτω Σχήµατα α-δ φαίνεται η µορφή των τροχιών για τις αντίστοιχες χρονικές περιόδους. Παρατηρούµε ότι το ύψος των τροχιών µειώνεται όσο το σύστηµα εξελίσσεται από ελλειπτικό σε δισκοειδές

89 LE Σχήµα 3.3.9: Η εξέλιξη του LE για τις τροχιές των Σχηµάτων α-δ για k= Σχήµα α: Εξέλιξη τροχιάς από t=0 έως t=100 για αρχικές συνθήκες r=8, p r =z=

90 Σχήµα β: Εξέλιξη τροχιάς από t=9900 έως t=10000 για αρχικές συνθήκες r=8, p r =z=0. Σχήµα 3.310γ: Εξέλιξη τροχιάς από t=0 έως t=100 για αρχικές συνθήκες r=9.6, p r =z=

91 Σχήµα δ: Εξέλιξη τροχιάς από t=9900 έως t=10000 για αρχικές συνθήκες r=9.6, p r =z= Συµπεράσµατα Στις προηγούµενες παραγράφους αναφερθήκαµε στη δυναµική µελέτη αξονικά συµµετρικών γαλαξιών. Συγκεκριµένα, στην παράγραφο 3.1 µελετήθηκε η µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση για ένα γαλαξιακό πρότυπο µε δίσκο, άλω δίσκου και σφαιρικό πυρήνα. Χαρακτηριστικό του προτύπου αυτού είναι η εκθετική αύξηση της µάζας του πυρήνα λόγω της µεταφοράς µάζας από το δίσκο στον πυρήνα, ενώ ταυτόχρονα η συνολική µάζα του συστήµατος παραµένει σταθερή. Οι αστέρες που κινούνται κοντά στο γαλαξιακό επίπεδο και των οποίων η στροφορµή L z είναι µικρότερη ή ίση µιας κρίσιµης τιµής L zc, όταν πλησιάζουν τον πυρήνα σκεδάζονται στην άλω και οι αντίστοιχες τροχιές είναι χαοτικές. Οι αριθµητικοί υπολογισµοί έδειξαν ότι υπάρχει γραµµική σχέση µεταξύ της κρίσιµης τιµής της στροφορµής L zc και της τελικής τιµής της µάζας του πυρήνα M nf. Από τα αποτελέσµατα φαίνεται ότι οι αστέρες των κεντρικών περιοχών στους δισκοειδείς γαλαξίες µε συµπαγή πυρήνα κινούνται σε χαοτικές τροχιές. Στην παράγραφο 3.2 έγινε προσπάθεια συσχέτισης του χάους µε φυσικές παραµέτρους σε ελλειπτικούς γαλαξίες. Μελετήθηκε η µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση σε ένα λογαριθµικό γαλαξιακό

92 δυναµικό µε έναν επιπλέον όρο διαταραχής -λr 3. Οι αριθµητικοί υπολογισµοί έδειξαν την ύπαρξη γραµµικών σχέσεων τόσο µεταξύ των κρίσιµων τιµών των φυσικών παραµέτρων, όσο και µεταξύ της κρίσιµης τιµής της στροφορµής L zc και της παραµέτρου λ. Στο τελευταίο µέρος του Κεφαλαίου αυτού µελετήθηκε η φύση των τροχιών σε ένα πρότυπο που εξελίσσεται δυναµικά. Το δυναµικό πρότυπο που επιλέχθηκε µπορεί να περιγράψει την κίνηση τόσο σε ελλειπτικούς όσο και σε δισκοειδείς γαλαξίες µε την κατάλληλη επιλογή των παραµέτρων. Από τους υπολογισµούς προέκυψε ότι στο πρότυπο αυτό υπάρχουν οικογένειες κανονικών τροχιών, όπως επίσης και µεγάλες περιοχές χαοτικής κίνησης. Επιλέγοντας ορισµένες παραµέτρους ως συναρτήσεις του χρόνου, ακολουθήσαµε τη δυναµική εξέλιξη του γαλαξία και περιγράψαµε τη µεταβολή σε βασικές φυσικές ποσότητες, όπως η πυκνότητα και η κυκλική ταχύτητα µε τον χρόνο. Επιπλέον, κάναµε µια εκτίµηση του βαθµού του χάους κατά τη διάρκεια της εξέλιξης ενός συστήµατος από έναν ελλειπτικό πρωτογαλαξία σε ένα πεπλατυσµένο δισκοειδές σύστηµα, µε τα αποτελέσµατα να δείχνουν ότι στους ελλειπτικούς γαλαξίες το χάος εµφανίζεται σε µικρότερο βαθµό από ό,τι στους δισκοειδείς γαλαξίες

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4. ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΓΑΛΑΞΙΩΝ 4.1. Η σηµασία των φυσικών ποσοτήτων στον προσδιορισµό της χαοτικής φύσης των τροχιών σε ραβδωτούς γαλαξίες Γενικά Στο προηγούµενο Κεφάλαιο µελετήθηκε διεξοδικά η µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση τόσο σε ελλειπτικούς όσο και σε δισκοειδείς αξονικά συµµετρικούς γαλαξίες. Οι επόµενες παράγραφοι ( ) επεκτείνουν την έρευνα στους ραβδωτούς γαλαξίες και αναφέρονται στη µελέτη της µετάβασης από κανονική σε χαοτική κίνηση για το δυναµικό M M M Φ ( r, φ) = ( r a ) ( r c ) d b n r 1 + ( b 1) sin φ + c + b n, (4.1) όπου r, φ πολικές συντεταγµένες. Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει την επίπεδη κίνηση σε δισκοειδή γαλαξία µε ράβδο και πυκνό πυρήνα µεγάλης µάζας. Μ d, Μ b και Μ n είναι οι µάζες του δίσκου, της ράβδου και του πυρήνα αντίστοιχα, ενώ η παράµετρος b>1 σχετίζεται µε την ισχύ της ράβδου. Και εδώ θα χρησιµοποιήσουµε το γνωστό σύστηµα µονάδων στο που αναφέρθηκε στην παράγραφο Ως δοκιµαστικό σωµατίδιο θεωρούµε έναν αστέρα µοναδιαίας µάζας. Οι τιµές των παραµέτρων είναι α=12 kpc, M d =9500, c n =0.25 kpc, Ω b =1.25, ενώ οι υπόλοιπες φυσικές ποσότητες λαµβάνουν διάφορες τιµές µέσα στα φυσικά τους πλαίσια. Θεωρούµε ότι το σύστηµα περιστρέφεται δεξιόστροφα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ω b. Στην περίπτωση αυτή το µόνο ολοκλήρωµα της

94 κίνησης είναι το ολοκλήρωµα του Jacobi το οποίο µε µετατροπή των πολικών σε καρτεσιανές συντεταγµένες x, y γράφεται ( p x + p y) + ( x, y) Ω b( x + y ) = ( p x + p y) + Φ eff ( x, y) E J 1 2 H J = = όπου Φ, (4.2) M M M 1 Φ = Ω + d b n eff ( x, y) b ( x y ) ( x + y + a ) x + b y + c ( x + y + c ) 2 b n, είναι το ενεργό δυναµικό σε καρτεσιανές συντεταγµένες και E J η αριθµητική τιµή του ολοκληρώµατος του Jacobi. Η απόδειξη της σχέση (4.2) δίνεται στο Παράρτηµα 2 της σελίδας 162 της παρούσας διατριβής. Σκοπός της µελέτης που παρουσιάζεται παρακάτω είναι: i) η µελέτη της µετάβασης από την κανονική στη χαοτική κίνηση, ii) η συσχέτιση της µετάβασης αυτής µε τις τιµές των φυσικών παραµέτρων του δυναµικού προτύπου και iii) η εύρεση των αναλυτικών σχέσεων που περιγράφουν την παραπάνω συµπεριφορά. Στην παράγραφο παρουσιάζονται τα αριθµητικά αποτελέσµατα σχετικά µε τις σχέσεις των φυσικών παραµέτρων, ενώ στην παράγραφο παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο για την ερµηνεία των αποτελεσµάτων Σχέσεις που περιγράφουν τη µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση Για τον διαχωρισµό της κανονικής από τη χαοτική κίνηση θα χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της επιφάνειας τοµής Poincare x-p x, y=0, p y >0. Η επιφάνεια τοµής βρίσκεται ολοκληρώνοντας αριθµητικά τις εξισώσεις κίνησης Φeff ɺɺ x= 2 Ωb py, x Φeff ɺɺ y= 2 Ωb px. y (4.3) Στο Σχήµα φαίνεται η σχέση µεταξύ της κρίσιµης τιµής του b και της µάζας του πυρήνα Μ n όταν οι άλλες παράµετροι έχουν τις τιµές Μ b =3000 και c b =1.5 kpc. Οι σταυροί υποδηλώνουν σηµεία που

95 προέκυψαν από την αριθµητική ολοκλήρωση, ενώ η συνεχής γραµµή είναι η καλύτερη πολυωνυµική προσέγγιση που εκφράζεται από τη σχέση M b b 2 4 n = (4.4) Οι τροχιές µε τιµές των παραµέτρων που βρίσκονται στο αριστερό τµήµα του διαγράµµατος είναι κανονικές, ενώ αυτές µε τιµές που βρίσκονται στο δεξί χαοτικές. Παρατηρούµε ότι όταν b 1.26 το Μ n 0, ενώ για b 1.1 το Μ n. Αυτό σηµαίνει ότι για b>1.26 η χαοτική κίνηση παρατηρείται και σε ράβδους που δεν έχουν πυρήνες, ενώ όσο το b πλησιάζει στην τιµή 1.1 δεν υπάρχει χάος ακόµα και για πολύ µεγάλες µάζες πυρήνων. Σχήµα 4.1.1: Σχέση µεταξύ των κρίσιµων τιµών της παραµέτρου b και της µάζας του πυρήνα M n. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. Αριθµητικοί υπολογισµοί, επίσης, δείχνουν την ύπαρξη µιας σηµαντικής σχέσης µεταξύ των παραµέτρων b και Μ b. Το αντίστοιχο διάγραµµα φαίνεται στο Σχήµα 4.1.2, όπου οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι M n =0 και c b =2.4 kpc. Και πάλι οι σταυροί αντιστοιχούν σε σηµεία που προκύψαν από τη αριθµητική ολοκλήρωση, ενώ η συνεχής γραµµή στην καλύτερη προσέγγιση που εκφράζεται µε τη σχέση

96 M b b = 2 (4.5) Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι οι παράµετροι b και Μ b συνδέονται µε νόµο 5 2 αντιστρόφου τετραγώνου. Το αποτέλεσµα αυτό ισχύει για cb >> b (βλ. επόµενη παράγραφο 4.1.3) και για 1.5 b 2. Σχήµα 4.1.2: Σχέση µεταξύ των κρίσιµων τιµών της παραµέτρου b και της µάζας της ράβδου M b για M n =0. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. Το Σχήµα είναι παρόµοιο µε το Σχήµα και περιγράφει τη σχέση µεταξύ της κρίσιµης τιµής του c b και του Μ b όταν Μ n =0 και b=1.5. Τέλος, στο Σχήµα φαίνεται η σχέση µεταξύ της κρίσιµης τιµής του b και του c b όταν Μ n =0 και Μ b =3000. Οι αντίστοιχες καλύτερες αριθµητικές προσεγγίσεις δίνονται από τις σχέσεις M cb b = 222c, (4.6) b = 1.8b. (4.7) Οι δύο παραπάνω εξισώσεις ισχύουν επίσης για c >> b και 1.5 b b

97 Σχήµα 4.1.3: Σχέση µεταξύ των κρίσιµων τιµών της παραµέτρου c b και της µάζας της ράβδου M b για M n =0. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων δίνονται στο κείµενο. Σχήµα 4.1.4: Σχέση µεταξύ των κρίσιµων τιµών της παραµέτρου b και της παραµέτρου c b. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων δίνονται στο κείµενο

98 Ηµιαναλυτική προσέγγιση Στην παράγραφο αυτή θα επιχειρήσουµε να εξάγουµε τις σχέσεις (4.4), (4.5), (4.6) και (4.7) µε θεωρητικό τρόπο σε συνδυασµό µε τα αριθµητικά δεδοµένα, δηλαδή χρησιµοποιώντας µια ηµιαναλυτική µέθοδο. Τέτοιες µέθοδοι έχουν χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία σε προηγούµενες µελέτες (Henrard & aranicolas 1990, aranicolas & Innanen 1991). Έχει παρατηρηθεί πως η χαοτική κίνηση οφείλεται στην ύπαρξη της δύναµης F y, που προέρχεται από τις δύο συνιστώσες του γαλαξία την ράβδο και τον πυρήνα, δηλαδή F y 2 b M b y M n y b + + b = ( x b y c ) ( x y c ). (4.8) Στο Σχήµα φαίνεται το διάγραµµα της F y συναρτήσει του y για τιµές των παραµέτρων x=0.1 kpc, b=1.25, M n =300, c b =1.5 kpc, M b =3000 και c n =0.25 kpc. Παρατηρούµε ότι το µέγιστο της δύναµης αυτής παρουσιάζεται κοντά στο κέντρο του γαλαξία. Σχήµα 4.1.5: ιάγραµµα της δύναµης F y συναρτήσει του y. Οι τιµές των παραµέτρων δίνονται στο κείµενο

99 Αναπτύσσοντας σε σειρά McLaurin τον πρώτο όρο της (4.8) και x + b y θεωρώντας ότι << 1 2, προκύπτει c b F y b M b y 3( x + b y ) M y = cb 2 cb ( x + y + c ) n n (4.9) Παρατηρήθηκε, µε εντελώς εµπειρικό τρόπο, ότι η µετάβαση από την κανονική στη χαοτική κίνηση συµβαίνει όταν ένας αστέρας πλησιάζει την κεντρική περιοχή του γαλαξία, όπου η F y παίρνει τη µέγιστη τιµή της. Στο σηµείο αυτό ( x0, y 0) αναζητούµε τη σχέση µεταξύ του M n και του b όταν όλες οι άλλες παράµετροι παραµένουν αµετάβλητες. Θέτοντας F y =<F y > max, η (4.8) γράφεται < F > = b k (1 k b k...) k M, (4.10) y 2 2 max n όπου k 1, k 2, k 3 και k 4 θετικές παράµετροι. Αν στη συνέχεια θέσουµε <F y > max =σταθερά < 0 για την τιµή της κατακόρυφης δύναµης που χρειάζεται για την µετάβαση από την κανονικότητα στη χαοτική κίνηση προκύπτει η ακόλουθη σχέση µεταξύ των Μ n και b M A A b + A b, (4.11) n όπου Α 0, Α 1 και Α 2 θετικές σταθερές. Η σχέση (4.11) είναι της ίδιας µορφής µε την (4.4). Βεβαίως, η παραπάνω ηµιαναλυτική µέθοδος µας δίνει µόνο τη µορφή της σχέσης χωρίς κάποια άλλη επιπλέον πληροφορία, το οποίο σηµαίνει ότι δεν είναι δυνατό να προσδιοριστούν οι τιµές των σταθερών στην (4.4) έτσι ώστε να µπορεί να γίνει σύγκριση µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα. Τέλος, όταν Μ n =0, η σχέση (4.9) γίνεται F y b M b y 3( x + b y ) = cb 2cb (4.12) Αν θεωρήσουµε ότι b 2 << c 5 b ο δεύτερος όρος της (3.12) είναι αµελητέος. Αν στη συνέχεια θέσουµε F y =<F y > max =σταθερά < 0, στο σηµείο ( x0, y 0) τότε προκύπτει

100 M b c k b 3 b, 2 k>0. (4.13) Η τελευταία αυτή σχέση συνδέει τρεις σηµαντικές φυσικές ποσότητες του γαλαξία, τις Μ b, c b και b. Είναι προφανές ότι οι εξισώσεις (4.5), (4.6) και (4.7) είναι της µορφής της (4.13) αν κρατήσουµε µια από τις τρεις παραµέτρους σταθερή. Όπως, όµως, και προηγουµένως, η εξίσωση (4.13) παρέχει µόνο τη σχέση µεταξύ των παραµέτρων και δεν µπορεί να δώσει αποτελέσµατα που να συγκριθούν µε τα αντίστοιχα αριθµητικά. Στα Σχήµατα 4.1.6α-δ φαίνονται οι επιφάνειες τοµής Poincare x-p x για το σύστηµα και οι αντίστοιχοι LE. Οι τιµές των παραµέτρων είναι αυτές που δόθηκαν και στα προηγούµενα Σχήµατα µε b=1.2. Στο Σχήµα 4.1.6α, όπου Μ n =25, όλες οι τροχιές είναι κανονικές. Στο Σχήµα 4.1.6β είναι Μ n =45 και εµφανίζονται τα πρώτα σηµάδια χάους. Στο Σχήµα 4.1.6γ, όπου Μ n =300, παρατηρούµε µια µεγάλη χαοτική περιοχή, ενώ στο Σχήµα 4.1.6δ φαίνεται ο LE για τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις. Παρατηρούµε ότι στην πρώτη περίπτωση ο LE τείνει στο µηδέν, ενώ στις άλλες είναι διάφορος του µηδενός και επίσης όσο µεγαλύτερος είναι ο LE τόσο µεγαλύτερη είναι και η χαοτική περιοχή. Σχήµα 4.1.6α: Επιφάνεια τοµής x-p x για M n =

101 Σχήµα 4.1.6β: Επιφάνεια τοµής x-p x για M n =45. Σχήµα 4.1.6γ: Επιφάνεια τοµής x-p x για M n =

102 Σχήµα 4.1.6δ: Οι LE που αντιστοιχούν στα Σχήµατα 4.1.6α-γ, µε σειρά από κάτω προς τα επάνω Ο µηχανισµός του φάσµατος S(c) για την απεικόνιση της κίνησης στους γαλαξίες Γενικά Τα παρατηρησιακά δεδοµένα δείχνουν ότι η ραβδωτή δοµή είναι αρκετά συνηθισµένη στους δισκοειδείς γαλαξίες. Περίπου το 30% των παρατηρούµενων δισκοειδών γαλαξιών εµφανίζουν έντονη ραβδωτή δοµή, ενώ ένα άλλο 30% εµφανίζει ασθενή ραβδωτή µορφή. Το γεγονός αυτό, όπως έχει προαναφερθεί, καθιστά τους ραβδωτούς γαλαξίες πάρα πολύ ενδιαφέροντα αστρικά συστήµατα µε ακόµα πιο ενδιαφέρουσες δυναµικές ιδιότητες. Συνεχίζοντας λοιπόν την έρευνα στους ραβδωτούς γαλαξίες, µελετούµε την κίνηση σε ένα γαλαξία µε πυρήνα και ράβδο χρησιµοποιώντας αυτή τη φορά ένα διαφορετικό δυναµικό, της µορφής a V x y = x + y M 2 2 b (, ) ( ) ( x + b y + cb ) (4.14)

103 Ο πρώτος όρος περιγράφει τον πυρήνα µέσω ενός δυναµικού δισδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή, ενώ ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύει µια ράβδο µάζας Μ b. Οι παράµετροι α και b σχετίζονται µε την ισχύ του αρµονικού πυρήνα και της ράβδου αντίστοιχα, ενώ το c b σχετίζεται µε την πυκνότητα της ράβδου. Πρόκειται για µια διαφορετική προσέγγιση από αυτή στην οποία χρησιµοποιείται δυναµικό µάζας για τον πυρήνα και δυναµικό αρµονικού ταλαντωτή για τη ράβδο. Η επιλογή αυτή οφείλεται σε δύο βασικούς λόγους. Ο πρώτος λόγος είναι ότι θα ήταν ενδιαφέρον να συγκριθούν τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από τις δύο αυτές επιλογές, όπως επίσης και µε τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από τα κλασικά πρότυπα µάζας. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι, αν τα αποτελέσµατα του επιλεγµένου δυναµικού οδηγήσουν σε ενδιαφέροντα συµπεράσµατα, τότε το δυναµικό (4.14) καθίσταται αυτόµατα ένα σηµαντικό γαλαξιακό πρότυπο για µελλοντική χρήση. Τα αποτελέσµατα της µελέτης προκύπτουν από την αριθµητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης Veff ɺɺ x= 2 Ωpy x, Veff ɺɺ y= 2 Ωpx y, (4.15) όπου 1 Veff V x y x y = (, ) Ω ( + ), (4.16) το ενεργό δυναµικό. Θεωρούµε δεξιόστροφη περιστροφή του ραβδωτού σχηµατισµού µε µια σταθερή γωνιακή ταχύτητα, Ω. Η Χαµιλτονιανή που αντιστοιχεί στο δυναµικό (4.16) δίνεται από την εξίσωση 1 1 H p p V x y x y E = ( x + y ) + (, ) Ω ( + ) = J, (4.17) όπου Ε J η σταθερή αριθµητική τιµή της Η. Και εδώ χρησιµοποιούµε το ίδιο σύστηµα µονάδων όπως και στα προηγούµενα, ενώ α=100(km/s/kpc) 2, c b =0.25 kpc και M n, Ω παράµετροι

104 Αριθµητικά αποτελέσµατα Στο Σχήµα παρουσιάζεται η επιφάνεια τοµής Poincare x-p x, y=0, p y >0 για τη συνάρτηση Hamilton (4.17) µε E J =250, M b =3000, c b =1.5, b=5 και Ω=1.25. Η αριθµητική ολοκλήρωση έγινε και εδώ µε τη µέθοδο Bulirsh-Stoer διπλής ακρίβειας, ενώ η ακρίβεια των υπολογισµών ελέγχθηκε µε τη σταθερότητα του ολοκληρώµατος Jacobi, το οποίο διατηρήθηκε µέχρι και το δωδέκατο ψηφίο. Οι κανονικές τροχιές σχηµατίζουν αναλλοίωτες καµπύλες, ενώ οι χαοτικές τείνουν να γεµίζουν το χώρο των φάσεων που τους είναι ενεργειακά διαθέσιµος. Φαίνεται καθαρά από το Σχήµα 4.2.1, ότι η δοµή του ραβδωτού γαλαξιακού προτύπου κυριαρχείται από δύο βασικές οικογένειες κανονικών τροχιών. Η πρώτη οικογένεια δηµιουργεί τις αναλλοίωτες καµπύλες οι οποίες περικλείουν το κεντρικό σταθερό σηµείο που αντιστοιχεί στην ανάδροµη περιοδική τροχιά που φαίνεται στο Σχήµα 4.2.1α. Οι αρχικές συνθήκες αυτής της τροχιάς είναι x=1, y=p x =0, ενώ η τιµή της p y υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα του Jacobi. Η δεύτερη οικογένεια δηµιουργεί την οµάδα των τριών εξωτερικών µεγάλων νησίδων. Μια τροχιά της οικογένειας αυτής φαίνεται στο Σχήµα 4.2.2β. Οι αρχικές συνθήκες είναι x=3.65, y=p x =0, ενώ και πάλι η τιµή της p y υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα της ενέργειας. Υπάρχουν, όµως, και τροχιές που δηµιουργούνται από δευτερεύοντες συντονισµούς. Οι τροχιές αυτές σχηµατίζουν τις οµάδες των µικρότερων νησίδων. Στο Σχήµα 4.2.2γ φαίνεται µια τροχιά που δηµιουργεί µια οµάδα πέντε νησίδων. Οι αρχικές συνθήκες είναι x=-3 και y=p x =0, ενώ η p y υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα του Jacobi. Το Σχήµα 4.2.2δ δείχνει µια χαοτική τροχιά µε αρχικές συνθήκες x=3.2, y=p x =0. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η µελέτη της εξέλιξης της περιοχής κανονικής κίνησης µε τη µεταβολή της γωνιακής ταχύτητας Ω. Στο Σχήµα φαίνεται ένα διάγραµµα του ποσοστού της επιφάνειας που καλύπτεται από κανονικές τροχιές συναρτήσει του Ω

105 Σχήµα 4.2.1: Επιφάνεια τοµής x-p x για τη Χαµιλτονιανή (4.17) µε Ε J =250, M b =3000, c b =1.5, b=5, Ω=1.25. Μεγάλο µέρος της επιφάνειας καλύπτεται από χαοτικές τροχιές. Σχήµα 4.2.2α: Τυπική τροχιά της Χαµιλτονιανής (4.17) για τιµές παραµέτρων όπως στο Σχήµα

106 Σχήµα 4.2.2β: Τυπική τροχιά της Χαµιλτονιανής (4.17) για τιµές παραµέτρων όπως στο Σχήµα Σχήµα 4.2.2γ: Τυπική τροχιά της Χαµιλτονιανής (4.17) για τιµές παραµέτρων όπως στο Σχήµα

107 Σχήµα 4.2.2δ: Τυπική τροχιά της Χαµιλτονιανής (4.17) για τιµές παραµέτρων όπως στο Σχήµα Σχήµα 4.2.3: Ποσοστό της επιφάνειας τοµής x-p x που καλύπτεται από κανονικές τροχιές συναρτήσει του Ω. Η κανονική περιοχή µειώνεται γραµµικά µε το Ω. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στο Σχήµα

108 Το ποσοστό της επιφάνειας που καλύπτεται από κανονικές τροχιές συναρτήσει του Ω βρίσκεται ως εξής. Για δεδοµένη τιµή του Ω κατασκευάζουµε την επιφάνεια τοµή Poincare x-p x και στη συνέχεια υπολογίζουµε µε εντελώς εµπειρικό τρόπο την επιφάνεια R των κανονικών τροχιών εντός της οριακής καµπύλης px + V ( x) Ω x = EJ. 2 2 Ακολούθως, υπολογίζουµε το λόγο R/A όπου Α η συνολική επιφάνεια εντός της οριακής καµπύλης. Η ίδια διαδικασία επαναλαµβάνεται για άλλη τιµή του Ω µε τις άλλες παραµέτρους σταθερές κ.ο.κ. Παρατηρούµε ότι η επιφάνεια αυτή µειώνεται γραµµικά όσο το Ω αυξάνει. Αιτία είναι ότι η στροφορµή L και η γωνιακή ταχύτητα Ω στο περιστρεφόµενο δυναµικό (4.16) συνδέονται µέσω της σχέσης (Παράρτηµα 2, σελίδα 162) 2 2 ɺ ɺ ( ). (4.18) L= xy xy Ω x + y Όπως φαίνεται από την παραπάνω σχέση, η τιµή της στροφορµής L µειώνεται µε την αύξηση του Ω. Εποµένως, αν όλες οι άλλες παράµετροι διατηρηθούν σταθερές, η µείωση της L προκαλεί αύξηση των χαοτικών περιοχών ή αλλιώς µείωση των κανονικών περιοχών. Πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι η στροφορµή δεν διατηρείται, ωστόσο µπορεί να χρησιµοποιηθεί η µέση τιµή της <L> για τον έλεγχο των αριθµητικών αποτελεσµάτων. Επίσης, υπενθυµίζουµε ότι οι χαοτικές τροχιές έχουν πολύ µικρότερη τιµή µέσης στροφορµής από τις κανονικές τροχιές. Στο Σχήµα φαίνεται ένα διάγραµµα του ποσοστού της επιφάνειας που καλύπτεται από κανονικές τροχιές συναρτήσει του α. Είναι προφανές ότι το ποσοστό αυτό αυξάνεται γραµµικά µε το α. Αυτό είναι λογικό διότι όσο αυξάνεται το α, το ολοκληρώσιµο κοµµάτι του δυναµικού (4.14), δηλαδή το αρµονικό, αυξάνεται προκαλώντας µε τον τρόπο αυτό µείωση των χαοτικών περιοχών

109 Σχήµα 4.2.4: Ποσοστό της επιφάνειας τοµής x-p x που καλύπτεται από κανονικές τροχιές συναρτήσει του α. Η κανονική περιοχή αυξάνεται γραµµικά µε το α. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στο Σχήµα Ένα άλλο ενδιαφέρον σηµείο µελέτης είναι οι µεταβολές στο χαρακτηριστικό εκθέτη Lyapunov (LE) όταν µεταβάλλονται το Ω ή το α. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στα Σχήµατα και Στο Σχήµα φαίνεται ότι ο LE αυξάνεται γραµµικά µε την αύξηση του Ω.Οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι ίδιες µε αυτές του Σχήµατος Αντιθέτως ο LE µειώνεται γραµµικά µε το α όπως φαίνεται στο Σχήµα Γενικά, µπορούµε να πούµε ότι έχουµε «γρήγορο» χάος (fast chaos), δηλαδή ο LE είναι της τάξης µεγέθους της µονάδας, εκτός από την περίπτωση που το Ω παίρνει µικρές τιµές ή το α µεγάλες, οπότε το χάος χαρακτηρίζεται «αργό» (slow chaos)

110 LE Σχήµα 4.2.5: ιάγραµµα του LE συναρτήσει του Ω. Ο LE αυξάνεται γραµµικά µε το Ω. LE Σχήµα 4.2.6: ιάγραµµα του LE συναρτήσει του α. Ο LE µειώνεται γραµµικά µε το α

111 Το δυναµικό φάσµα S(c) Όπως αναφέρθηκε και στο δεύτερο Κεφάλαιο (παράγραφος 2.3), τα δυναµικά φάσµατα χρησιµοποιούνται ευρύτατα ως δείκτες για την διάκριση της κανονικής κίνησης από την χαοτική. Στην παράγραφο αυτή θα χρησιµοποιήσουµε έναν καινούργιο τύπο δυναµικού φάσµατος, το συνδυαστικό φάσµα ή αλλιώς το φάσµα S(c). Ορίζουµε την παράµετρο c ως c i = x i p yi p xi. (4.19) όπου x i, p xi, p yi είναι οι διαδοχικές τιµές των x, p x, p y στην επιφάνεια τοµής x-p x, p y >0. Ονοµάζουµε δυναµικό φάσµα της παραµέτρου c τη συνάρτηση κατανοµής της N( c) S( c) =, N c (4.20) όπου Ν(c) είναι ο αριθµός των παραµέτρων c στο διάστηµα (c, c+ c) µετά από Ν επαναλήψεις. Εξ ορισµού, η παράµετρος c βασίζεται σε έναν συνδυασµό συντεταγµένων και ταχυτήτων για αυτό και το φάσµα ονοµάζεται συνδυαστικό. Οι δύο βασικοί λόγοι που χρησιµοποιήθηκε αυτό το φάσµα είναι: i) µπορεί να αναγνωρίσει κίνηση που αντιστοιχεί σε νησίδες και ii) βοηθάει στην αναγνώριση sticky (κολλητικών) τροχιών. Στο Σχήµα φαίνεται το S(c) φάσµα για µια τροχιά που δηµιουργεί µια αµετάβλητη καµπύλη γύρω από το κεντρικό σταθερό σηµείο του Σχήµατος Οι αρχικές συνθήκες είναι x=2, y=p x =0, µε την p y να υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα του Jacobi. Παρατηρούµε ότι προκύπτει ένα καλά καθορισµένο φάσµα τύπου U που υποδηλώνει κανονική κίνηση

112 Σχήµα 4.2.7: Το φάσµα S(c) για µία τροχιά που δηµιουργεί µια από τις αναλλοίωτες καµπύλες γύρω από το κεντρικό σταθερό σηµείο του Σχήµατος Σχήµα 4.2.8α: Το φάσµα S(c) για την τροχιά που δηµιουργεί τις τρεις µικρές νησίδες του Σχήµατος 4.2.8β

113 Σχήµα 4.2.8β: Οι νησίδες που αναφέρονται στο Σχήµα 4.2.8α. Στο Σχήµα 4.2.8α βλέπουµε το φάσµα S(c) για την τροχιά που δηµιουργεί τις τρεις µικρές νησίδες του Σχήµατος 4.2.8β. Οι αρχικές συνθήκες είναι x=-0.5, y=p x =0. Η τιµή του α είναι α=85, ενώ οι άλλες παράµετροι είναι όπως στο Σχήµα Εδώ παρατηρούµε τρία φάσµατα τύπου U, όσος δηλαδή και ο αριθµός των νησίδων. Επιπλέον, βλέπουµε ότι το αριστερό και το δεξιό φάσµα είναι συµµετρικά γύρω από τον c=0 άξονα, ενώ το κεντρικό φάσµα εκτείνεται και στις δύο πλευρές του άξονα αυτού. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι δύο από τις νησίδες είναι συµµετρικές γύρω από τον άξονα x, ενώ η τρίτη τον τέµνει. Πρόκειται, δηλαδή, για µια ηµιπεριοδική τροχιά µε σηµείο εκκίνησης πάνω στον άξονα x. Όπως προκύπτει από τα παραπάνω, το φάσµα S(c) είναι πολύ χρήσιµο για την αναγνώριση της κίνησης στις νησίδες. Στο σηµείο αυτό πρέπει να αναφερθεί ότι µε τα φάσµατα που είχαν χρησιµοποιηθεί παλιότερα, όπως είναι το φάσµα S(r) (Karanis & aranicolas, 2002), ενώ µπορούσαµε να ανιχνεύσουµε την κίνηση σε νησίδες, ορισµένες φορές ο αριθµός των φασµάτων ήταν µικρότερος από τον αριθµό των νησίδων διότι οι συµµετρικές ως προς τον άξονα x νησίδες δεν µπορούσαν να δηµιουργήσουν διαφορετικά φάσµατα

114 Στο Σχήµα 4.2.9α παρουσιάζεται το φάσµα S(c) για µια χαοτική τροχιά. Πρόκειται για ένα πολύπλοκο φάσµα µε µεγάλο αριθµό µεγάλων και µικρών κορυφών. Η τροχιά αυτή δηµιουργεί τη µεγάλη χαοτική περιοχή που φαίνεται στο Σχήµα Οι αρχικές συνθήκες είναι x=3.5, y=p x =0. Ο αντίστοιχος LE για χρονικό διάστηµα 10 5 µονάδων χρόνου δίνεται στο Σχήµα 4.2.9β. Το Σχήµα α δείχνει το φάσµα S(c) για την τροχιά που δηµιουργεί την οµάδα των πέντε µικρών νησίδων του Σχήµατος Οι αρχικές συνθήκες είναι x=-3.0, y=p x =0, ενώ η p y υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα του Jacobi. Όπως αναµενόταν, παρατηρούµε πέντε καλά καθορισµένα φάσµατα. Η κίνηση εδώ είναι κανονική. Στο Σχήµα β φαίνεται το φάσµα για µια τροχιά που ξεκινάει πολύ κοντά στην προηγούµενη µε αρχικές συνθήκες x=-3.073, y=p x =0. Εδώ υπάρχουν πέντε φάσµατα καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε µία νησίδα. Η βασική διαφορά µεταξύ των Σχηµάτων α και β είναι ότι στο δεύτερο παρατηρούµε και κάποιες επιπλέον µικρές κορυφές. Αυτές οι επιπλέον κορυφές υποδηλώνουν sticky κίνηση. Είναι γνωστό ότι σε δυναµικά συστήµατα δύο βαθµών ελευθερίας οι sticky τροχιές είναι τροχιές που παραµένουν για µεγάλο χρονικό διάστηµα κοντά στον τελευταίο τόρο Κ.Α.Μ. πριν δραπετεύσουν στην εξωτερική χαοτική περιοχή. Η sticky περίοδος της παραπάνω τροχιάς είναι περίπου 1500 µονάδες χρόνου. Στο Σχήµα γ φαίνεται το φάσµα της ίδιας τροχιάς περίπου 100 χρονικές µονάδες αφότου το δοκιµαστικό σωµατίδιο έχει εγκαταλείψει την sticky περιοχή. Τα πέντε φάσµατα τώρα έχουν ενωθεί δηµιουργώντας ένα ενιαίο φάσµα. Το ενιαίο αυτό φάσµα έχει τα χαρακτηριστικά ενός χαοτικού φάσµατος και υποδηλώνει έντονα ότι το δοκιµαστικό σωµατίδιο έχει µπει στην χαοτική περιοχή. Τέλος, στο Σχήµα δ βλέπουµε τη µορφή του φάσµατος S(c) µετά από µονάδες χρόνου από τη στιγµή που το δοκιµαστικό σωµατίδιο µπήκε στη χαοτική περιοχή. Η µορφή του φάσµατος επιβεβαιώνει ότι η κίνηση του σωµατιδίου είναι χαοτική

115 Σχήµα 4.2.9α: Το φάσµα S(c) για µια χαοτική τροχιά. LE Σχήµα 4.2.9β: Ο LE για την τροχιά του Σχήµατος 4.2.9α

116 Σχήµα α: Το φάσµα S(c) για την τροχιά που δηµιουργεί τις πέντε µικρές νησίδες του Σχήµατος Σχήµα β: Εξέλιξη του φάσµατος S(c) για µία sticky τροχιά. Λεπτοµέρειες δίνονται στο κείµενο

117 Σχήµα γ: Εξέλιξη του φάσµατος S(c) για µία sticky τροχιά. Λεπτοµέρειες δίνονται στο κείµενο. Σχήµα δ: Εξέλιξη του φάσµατος S(c) για µία sticky τροχιά. Λεπτοµέρειες δίνονται στο κείµενο

118 4.3. Συµπεράσµατα Στο Κεφάλαιο αυτό παρουσιάστηκε η δυναµική µελέτη ραβδωτών γαλαξιών και πιο συγκεκριµένα ο ρόλος των φυσικών παραµέτρων στον προσδιορισµό της φύσης των τροχιών και η χρήση του φάσµατος S(c) για τη µελέτη της κίνησης. Από τους αριθµητικούς υπολογισµούς προέκυψε ότι η εµφάνιση χαοτικής κίνησης συνδέεται µε τις φυσικές παραµέτρους του συστήµατος, όπως είναι η µάζα του πυρήνα, η µάζα της ράβδου ή παράµετρος c b. Σηµαντικός είναι ο ρόλος της παραµέτρου b που καθορίζει την ισχύ της ράβδου. ιαπιστώθηκε ότι υπάρχει µια κρίσιµη τιµή της ισχύος της ράβδου b για την οποία εµφανίζεται χαοτική κίνηση, όταν οι τιµές των άλλων παραµέτρων παραµένουν σταθερές. Οι σχέσεις µεταξύ των φυσικών µεγεθών βρέθηκαν αριθµητικά, αλλά ερµηνεύτηκαν και µε την χρήση ορισµένων αναλυτικών υπολογισµών. Στη συνέχεια µελετήθηκε η κίνηση σε ένα δυναµικό πρότυπο µε αρµονικό πυρήνα και ισχυρή ράβδο. Προέκυψε ότι ένα µεγάλο ποσοστό των τροχιών είναι χαοτικές. Το ποσοστό των χαοτικών τροχιών βρέθηκε ότι µεγαλώνει µε την αύξηση της γωνιακής ταχύτητας ή µε τη µείωση της ισχύος του αρµονικού όρου του δυναµικού. Με την εισαγωγή µιας καινούργιας δυναµικής παραµέτρου, του φάσµατος S(c), µελετήθηκε η εξέλιξη των sticky περιοχών και, επιπλέον, ανιχνεύθηκε η κίνηση του δοκιµαστικού σωµατιδίου σε συστήµατα πολλαπλών νησίδων. Επειδή οι πολλαπλές νησίδες παράγονται από δευτερεύοντες συντονισµούς καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το φάσµα S(c) είναι ένα πολύ χρήσιµο εργαλείο τόσο για την διερεύνηση της εξέλιξης των sticky περιοχών όσο και τη µελέτη των δευτερευόντων συντονισµών σε γαλαξιακά δυναµικά πρότυπα

119 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5. ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΜΙΑΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ BL-LAERTAE 5.1. Χάος σε πρότυπο ηµιαστέρα µε δίσκο και πυκνό πυρήνα Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο αυτό θα µελετήσουµε τις ιδιότητες της κίνησης στους ενεργούς γαλαξίες, και ειδικότερα στους ηµιαστέρες και τα αντικείµενα BL-Lacertae. Πιο συγκεκριµένα, στις παραγράφους που ακολουθούν, παρουσιάζουµε, αρχικά, ένα δυναµικό πρότυπο ηµιαστέρα όπου σκοπός µας είναι η µελέτη της φύσης των τροχιών (κανονική ή χαοτική) και η σύνδεση της έκτασης των χαοτικών περιοχών µε τις φυσικές παραµέτρους του συστήµατος. Το δυναµικό πρότυπο που χρησιµοποιούµε αποτελείται από δύο συνιστώσες. Η πρώτη συνιστώσα είναι ένας µη αξονικά συµµετρικός δίσκος, ενώ η δεύτερη είναι ένας πυκνός σφαιρικός πυρήνας µεγάλης µάζας. Η εξίσωση που περιγράφει το δυναµικό πρότυπο είναι M d V ( r, ϕ) = n 1/ 2 1/ { r 1+ ( b 1) sin ϕ + c } ( r + cn) d M, (5.1) όπου r, φ είναι πολικές συντεταγµένες, Μ d, M n οι µάζες του δίσκου και του πυρήνα αντίστοιχα, c d, c n οι κλίµακες µήκους του δίσκου και του πυρήνα αντίστοιχα. Η παράµετρος b 1 εκφράζει την απόκλιση του δίσκου από την αξονική συµµετρία

120 Θεωρούµε την περίπτωση όπου όλο το σύστηµα περιστρέφεται δεξιόστροφα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ω. Η Χαµιλτονιανή που αντιστοιχεί στο δυναµικό (5.1) σε καρτεσιανές συντεταγµένες x, y είναι ( p x + p y) + V ( x, y) Ω ( x + y ) = ( p x + p y) + Veff ( x, y) E J 1 2 H J = = όπου V M 2 2 ( x ) d n 2 eff ( x, y) = Ω + y x + b y + c x y c 2 d + + n M 1, (5.2), (5.3) είναι το ενεργό δυναµικό µε µετατροπή των πολικών σε καρτεσιανές συντεταγµένες και Ε J η αριθµητική τιµή του ολοκληρώµατος Jacobi. Στη µελέτη χρησιµοποιούµε ξανά το γνωστό σύστηµα γαλαξιακών µονάδων όπως έχει οριστεί στα προηγούµενα Κεφάλαια, ενώ ως δοκιµαστικό σωµατίδιο θεωρούµε έναν αστέρα µοναδιαίας µάζας. Στην παράγραφο παρουσιάζονται τα αριθµητικά δεδοµένα για τις σχέσεις µεταξύ των φυσικών παραµέτρων, ενώ στην παράγραφο το θεωρητικό υπόβαθρο για την εξήγηση των αριθµητικών αποτελεσµάτων Σύνδεση της έκτασης των χαοτικών περιοχών µε τις φυσικές παραµέτρους Για το διαχωρισµό των κανονικών και των χαοτικών περιοχών κίνησης χρησιµοποιούµε και εδώ την επιφάνεια τοµής Poincare x-p x, y=0, p y >0, η οποία προκύπτει από την αριθµητική ολοκλήρωση των εξισώσεων της κίνησης.. x V.. eff Veff = 2Ωpy, y= 2Ωpx. (5.4) x y Στο Σχήµα φαίνεται η έκταση της χαοτικής περιοχής, δηλαδή το ποσοστό της επιφάνειας τοµής Poincare που καλύπτεται από χαοτικές τροχιές ως συνάρτηση της παραµέτρου b, ενώ οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι M n =400, M d =800, c d =1.5 kpc, c n =0.25 kpc και Ω=1.25. Οι σταυροί αντιστοιχούν σε σηµεία που προέκυψαν από την αριθµητική

121 ολοκλήρωση, ενώ η συνεχόµενη γραµµή είναι η καλύτερη πολυωνυµική προσέγγιση που παριστάνεται από τη σχέση 2 4 A ch = b b (5.5) Παρατηρούµε ότι η έκταση της χαοτικής περιοχής εξαρτάται έντονα από την παράµετρο b που, όπως αναφέρθηκε, εκφράζει την απόκλιση του συστήµατος από την αξονική συµµετρία. Βλέπουµε, δηλαδή, ότι έχουµε µια πολυωνυµική εξάρτηση τετάρτου βαθµού. Σχήµα 5.1.1: Η έκταση της χαοτικής περιοχής συναρτήσει του b για τιµές παραµέτρων M n =400, M d =800, c d =1.5kpc, c n =0.25kpc, Ω=

122 Σχήµα 5.1.2: Το επίπεδο x-p x για b=2, M n =400, M d =800, c d =1.5kpc, c n =0.25kpc, Ω=1.25 και Ε J =-400. Στο Σχήµα παρουσιάζεται η επιφάνεια τοµής Poincare x-p x, y=0, p y >0 για τιµές παραµέτρων b=2, M n =400, M d =800, c d =1.5 kpc, c n =0.25 kpc, Ω=1.25, ενώ η τιµή του ολοκληρώµατος Jacobi είναι Ε J = Παρατηρούµε ότι περίπου το 85% της επιφάνειας τοµής καλύπτεται από χαοτικές τροχιές. Οι κανονικές τροχιές είναι αυτές που ξεκινούν κοντά στις ευθείες και τις ανάδροµες περιοδικές τροχιές που µοιάζουν µε ελλείψεις γύρω από την αρχή των αξόνων. Η έκταση της χαοτικής περιοχής συναρτήσει της µάζας του πυρήνα Μ n φαίνεται στο Σχήµα Εδώ έχουµε εκλέξει Μ n +M d =1200, ενώ οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι όπως στο Σχήµα Παρατηρούµε ότι υπάρχει γραµµική εξάρτηση της έκτασης της χαοτικής περιοχής από τη µάζα του πυρήνα. Είναι ενδιαφέρον το ότι για διαφορετικό εύρος τιµών της µάζας του πυρήνα µεταβάλλεται η κλίση της γραµµικής εξάρτησης. Το Σχήµα παρουσιάζει την έκταση της χαοτικής περιοχής συναρτήσει του Ω, ενώ οι τιµές των άλλων παραµέτρων είναι ίδιες µε αυτές του Σχήµατος Και εδώ παρατηρούµε πως υπάρχει µια γραµµική εξάρτηση µεταξύ των δύο ποσοτήτων

123 Σχήµα 5.1.3: Η έκταση της χαοτικής περιοχής συναρτήσει του M n. Σηµειώνουµε ότι Μ n +M d =1200. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στο Σχήµα Σχήµα 5.1.4: Η έκταση της χαοτικής περιοχής συναρτήσει του Ω. Οι τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στο Σχήµα

124 Η σχέση (5.5), όπως επίσης και η γραµµική εξάρτηση µεταξύ της έκτασης της χαοτικής περιοχής και της µάζας του πυρήνα ή της γωνιακής ταχύτητας Ω, µπορούν να εξηγηθούν µέσω εµπειρικών παρατηρήσεων σε συνδυασµό µε κάποια θεµελιώδη θεωρητικά δεδοµένα, που παρουσιάζονται στην επόµενη παράγραφο Θεωρητικά δεδοµένα Στα επόµενα θα προσπαθήσουµε να συνδέσουµε την έκταση της χαοτικής περιοχής Α ch µε την παράµετρο b. Έχει παρατηρηθεί, µε βάση τα αριθµητικά δεδοµένα, ότι η χαοτική κίνηση οφείλεται στην παρουσία της δύναµης F y η οποία είναι δίνεται από την εξίσωση F y M n M d = + 2Ωpx + Ωy 2 3/ 2. (5.6) 2 2 ( x + y + c ) 3/ ( x + b y + c ) n d Είναι γεγονός ότι η έκταση της χαοτικής περιοχής Α ch εξαρτάται από την απόλυτη τιµή της δύναµης F y. ιατηρώντας όλες τις άλλες παραµέτρους σταθερές, εκτός από το b, σε ένα σηµείο ( x0, y 0) κοντά στο κέντρο, για p = p, η εξίσωση (5.6) µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή x x0 M d Ach Fy + k ( x ) 3/ by0 + cd, (5.7) όπου το k περιλαµβάνει όλους τους σταθερούς όρους. Παίρνοντας το ανάπτυγµα McLaurin της (4.7) βρίσκουµε A ch ( x0 + b y0) 2 b M 3 d y k 3 2 c b 2c d, (5.8) όπου θεωρούµε ότι ισχύει ( x0 + b y0) c 1 2 d <<. (5.9)

125 Η µέγιστη απόλυτη τιµή της δύναµης F y παρουσιάζεται κοντά στο κέντρο του συστήµατος όπου x=x 0 <1, y=y 0 <1. Με βάση αυτό, η εξίσωση (5.8) γράφεται A ch k +, (5.10) 2 4 1b k2b k3 όπου k 1, k 2 και k 3 σταθερές. Είναι προφανές ότι οι εξισώσεις (5.5) και (5.10) είναι της ίδιας µορφής. Για να εξηγήσουµε την γραµµική σχέση µεταξύ της µάζας του πυρήνα Μ n και της έκτασης της χαοτικής περιοχής Α ch θεωρούµε -λαµβάνοντας υπόψη την (5.6)- ότι M n 1200 M n Ach Fy + + 3/ / ( x + y + c ) ( x + b y + c ) n d const, (5.11) αφού η Α ch είναι αποτέλεσµα της F y. Για δεδοµένες τιµές των άλλων παραµέτρων και x=x 0 <1, y=y 0 <1 η σχέση (4.11) γράφεται M n 1200 M n Ach Fy + + A B, (5.12) όπου Α, Β, είναι σταθερές. Η εξίσωση (5.12) δείχνει τη γραµµική σχέση µεταξύ των Α ch και Μ n. Η διαφορετική κλίση της γραµµικής σχέσης οφείλεται στη µεταβολή της δύναµης F y η οποία αποτελείται από δύο βασικούς όρους. Ο πρώτος, που είναι αξονικά συµµετρικός, αυξάνεται µε την αύξηση της Μ n και ο δεύτερος, που δεν είναι συµµετρικός, µειώνεται µε την αύξηση της Μ n. Η γραµµική εξάρτηση µεταξύ των Α ch και Ω εξηγείται εύκολα, διότι από την (5.6) προκύπτει A ch F F + 2 Ωp + Ωy, (5.13) y yg x όπου F yg είναι η βαρυτική δύναµη F y όταν όλες οι άλλες παράµετροι είναι σταθερές. Η µέγιστη τιµή της F y παρουσιάζεται κοντά στο κέντρο του συστήµατος για p x = p x0, που είναι σταθερό για δεδοµένη τιµή της ενέργειας. Επειδή η βαρυτική δύναµη F y είναι αρνητική, ενώ η δύναµη oriolis και η φυγόκεντρος δύναµη είναι θετικές, η εξίσωση (5.13) γράφεται

126 A ch a 1 a Ω, (5.14) 2 όπου α 1 και α 2 είναι σταθερές. Η (5.14) δίνει τη γραµµική σχέση µεταξύ των Α ch και Ω υναµική εξέλιξη αξονικά συµµετρικού προτύπου ηµιαστέρα Εισαγωγή Στη διάρκεια της ζωής ενός γαλαξία, η πυρηνική δραστηριότητα είναι ένα πολύ συνηθισµένο φαινόµενο, γεγονός που υποδηλώνεται και από τα δεδοµένα υψηλής ανάλυσης που λαµβάνονται από το τηλεσκόπιο του Hubble (Hubble Space Telescope, HST). Επιπλέον, πιστεύεται γενικά ότι τα γεγονότα προσαύξησης και η εκπεµπόµενη πυρηνική ισχύς, εξαρτώνται ισχυρά από τη µάζα του συστήµατος. Όπως προαναφέρθηκε, ένα από τα άλυτα προβλήµατα της αστρονοµίας είναι το πρόβληµα της ενέργειας των ηµιαστέρων. Οι περισσότεροι αστρονόµοι πιστεύουν ότι οι ηµιαστέρες είναι αστρικά αντικείµενα πολύ µεγάλης µάζας (Supermassive Stellar Objects, SMOs) µε τεράστια φωτεινότητα. Η τεράστια αυτή φωτεινότητα είναι αποτέλεσµα της προσαύξησης ύλης στα SMOs (avaliere and Padovani 1988, Dobrycki and Bechtold 1991, Siemiginowska 1991, anizzo 1995, Peng and hou 1997, 2001). Στη συνέχεια θα µελετήσουµε τις ιδιότητες της κίνησης και τη δυναµική συµπεριφορά ενός δυναµικού προτύπου αξονικά συµµετρικού ηµιαστέρα. Όπως στα προηγούµενα, µας ενδιαφέρει να προσδιορίσουµε την κανονική ή χαοτική φύση των κινήσεων και να αναζητήσουµε τις σχέσεις που συνδέουν το χάος µε σηµαντικές φυσικές παραµέτρους, όπως η µάζα και η στροφορµή του δοκιµαστικού σωµατιδίου - αστέρα. εδοµένου ότι αυτή η µελέτη έχει ήδη γίνει για άλλα είδη γαλαξιών, θα είναι δυνατή η σύγκριση των εξαγόµενων αποτελεσµάτων µε τα γνωστά πλέον αποτελέσµατα που αφορούν τους γαλαξίες και τα οποία παρουσιάσαµε στο τρίτο Κεφάλαιο. Το δυναµικό µας πρότυπο έχει δύο συνιστώσες, το δίσκο και τον συµπαγή πυρήνα και δίνεται από την παρακάτω εξίσωση

127 M d M n V ( r, z) =, ( ) 2 2 r + z + c 2 2 n a+ ( z + h ) + r (5.15) όπου r, z είναι κυλινδρικές συντεταγµένες, Μ d και α η µάζα και η κλίµακα µήκους του δίσκου αντίστοιχα, h το ύψος του δίσκου, Μ n και c n η µάζα και η κλίµακα µήκους του πυρήνα. Επίσης, χρησιµοποιούµε το γνωστό σύστηµα γαλαξιακών µονάδων όπου µονάδα µήκους είναι το 1kpc, µονάδα χρόνου τα yr και µονάδα µάζας οι M. Οι µονάδες µέτρησης της ταχύτητας και της στροφορµής είναι αντίστοιχα τα 10 km/s και τα 10 km/s/kpc, το G θεωρείται µονάδα και η ενέργεια ανά µονάδα µάζας είναι 100 (km/s) 2. Σε αυτό το σύστηµα µονάδων χρησιµοποιήθηκαν οι τιµές c n =0.01 kpc, α=1.5 kpc, h=0.02 kpc, ενώ M d = M n. Αφού έχουµε αξονικά συµµετρικό γαλαξία, µε τη βοήθεια του ολοκληρώµατος της στροφορµής ανάγουµε την τρισδιάστατη κίνηση σε κίνηση δύο διαστάσεων στο µεσηµβρινό επίπεδο r-z του γαλαξία. (Παράρτηµα 1, σελίδα 159) Αποτελέσµατα του χρονικά ανεξάρτητου προτύπου Προκειµένου να µελετήσουµε τις ιδιότητες της κίνησης και τη γενική δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος, χρησιµοποιούµε τη δισδιάστατη Χαµιλτονιανή 1 ( 2 2 r z ) eff (, ), H = p + p + V r z = E (5.16) 2 όπου p r και p z είναι οι ορµές ανά µονάδα µάζας ως προς r και z, Ε είναι η ενέργεια του αστέρα και V eff 2 Lz = + V ( r, z), 2 (5.17) 2r το ενεργό δυναµικό µε την L z να είναι η συνιστώσα της στροφορµής που διατηρείται

128 Η µελέτη βασίζεται στην αριθµητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης V rɺɺ = r V ɺɺ z= z eff eff. (5.18) Για το διαχωρισµό κανονικών και χαοτικών τροχιών στο χρονικά ανεξάρτητο πρότυπο χρησιµοποιείται η r-p r (z=0, p z >0) τοµή Poincare. Στο σηµείο αυτό πρέπει να διευκρινιστεί ότι µε τη φράση «το σύστηµα παρουσιάζει χαοτικές τροχιές» εννοούµε ότι, για τις συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων, υπάρχει ένα ορατό τµήµα της επιφάνειας της τοµής που καλύπτεται από χαοτικές τροχιές. Όλες οι τροχιές ξεκινούσαν επάνω στο επίπεδο συµµετρίας (z=0), µε ακτινικές και κάθετες ταχύτητες µικρότερες ή ίσες των 30 km/s. Lzc Σχήµα 5.2.1: Σχέση µεταξύ των L zc και M n. Οι τιµές των υπολοίπων παραµέτρων δίνονται στο κείµενο

129 Στο Σχήµα παρουσιάζεται η σχέση µεταξύ της κρίσιµης τιµής της στροφορµής L zc (που είναι η µέγιστη τιµή της στροφορµής για την οποία παρατηρούνται χαοτικές περιοχές στην επιφάνεια τοµής r-p r για δεδοµένη τιµή της µάζας Μ n και µε όλες τις άλλες παραµέτρους σταθερές) και της µάζας του πυρήνα, Μ n. Όπως και στην περίπτωση του δισκοειδούς γαλαξία (aranicolas and Innanen, 1991) παρατηρούµε ότι υπάρχει µια γραµµική σχέση µεταξύ των L zc και Μ n. Αυτό που παρουσιάζει ενδιαφέρον εδώ είναι ότι για µία δεδοµένη τιµή της κρίσιµης στροφορµής υπάρχουν δύο τιµές της µάζας του πυρήνα Μ n για τις οποίες εµφανίζεται µετάβαση από την κανονική στη χαοτική κίνηση και όχι µία, όπως είχε παρατηρηθεί στους δισκοειδείς γαλαξίες. Οι δύο ευθείες ορίζουν µια περιοχή στο επίπεδο L zc - Μ n. Για τιµές των παραµέτρων µεταξύ των δύο γραµµών, συµπεριλαµβανοµένων και των γραµµών, η επιφάνεια τοµής r-pr εµφανίζει περιοχές χαοτικής κίνησης, ενώ για τιµές των παραµέτρων εκτός των ευθειών όλες οι τροχιές είναι κανονικές. Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι η κλίση των ευθειών είναι διαφορετική για µικρές τιµές της L zc. Όσον αφορά την ερµηνεία της συµπεριφοράς του συστήµατος που παρουσιάζεται στο Σχήµα 5.2.1, είναι γνωστό (aranicolas and Innanen, 1991) ότι για την εµφάνιση χαοτικών τροχιών ευθύνεται η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης, F z. Η δύναµη αυτή είναι F z ( ) 2 a+ z + h ( 1000 M n) z = n ( r + z + cn ) ( ) ( ) z + h a+ z + h + r M z. (5.19) Όπως µπορεί να παρατηρήσει κανείς, υπάρχουν δύο όροι: ο πρώτος προκύπτει από το δίσκο και ο δεύτερος από τον πυρήνα. Στο Σχήµα παρουσιάζεται ένα διάγραµµα των δύο συνιστωσών συναρτήσει του Μ n, για δεδοµένες τιµές των r και z

130 Σχήµα 5.2.2: ιάγραµµα των δύο συνιστωσών της F z συναρτήσει του Μ n για δεδοµένες τιµές r και z. Η οµοιότητα των Σχηµάτων και είναι προφανής. Οι τιµές που χρησιµοποιήθηκαν παραπάνω είναι r=r 0 =0.5 και z=z 0 =0.01. Παρατηρούµε ότι η δύναµη F z εξαιτίας του πυρήνα αυξάνεται όσο αυξάνεται η Μ n, ενώ η άλλη συνιστώσα που οφείλεται στο δίσκο µειώνεται. Επιπλέον, η F z είναι ανάλογη της Μ n, ενώ είναι ήδη γνωστό ότι η F z είναι ανάλογη της L zc. Συνεπώς, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι και η Μ n είναι ανάλογη της L zc Το χρονικά εξελισσόµενο πρότυπο Ερχόµαστε τώρα µελετήσουµε τη συµπεριφορά των τροχιών όταν το σύστηµα εξελίσσεται µε το χρόνο. Το φαινόµενο αυτό περιγράφεται από τις εξισώσεις M d = M di m 1 exp( kt), (5.20) M n = M ni + m 1 exp( kt), (5.21)

131 όπου Μ di, M ni είναι οι αρχικές τιµές των µαζών του δίσκου και του πυρήνα, M d, M n είναι οι µάζες δίσκου και πυρήνα τη χρονική στιγµή t, m το ποσοστό της µάζας που µεταφέρεται µετά από χρόνο t και k>0 είναι παράµετρος. Σηµειώνουµε ότι σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει M d + M n =1000. Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις της κίνησης (5.18) εξαρτώνται από το χρόνο, λόγω των (5.20) και (5.21). Λόγω της αργής µεταφοράς µάζας θεωρούµε ότι δεν έχουµε αλλαγή στην συνολική στροφορµή του ηµιαστέρα. Όπως και προηγουµένως, έτσι και στην περίπτωση αυτή οι τροχιές ξεκίνησαν από επίπεδο συµµετρίας, όπου z=0, µε ακτινικές και κάθετες ταχύτητες µικρότερες ή ίσες των 30 km/s. Επιπλέον, και εδώ για το διαχωρισµό των κανονικών από τις χαοτικές τροχιές υπολογίστηκε ο µέγιστος χαρακτηριστικός αριθµός Lyapunov (LE). Τα πειραµατικά δεδοµένα δείχνουν ότι υπάρχει κάποια σχέση µεταξύ των M nf και L zc η οποία παρουσιάζεται στο Σχήµα M nf είναι η τελική µάζα του πυρήνα, που είναι το όριο της M n όταν t. Η αρχική τιµή της µάζας είναι M ni =5. Παρατηρούµε ότι τα γενικά χαρακτηριστικά είναι ίδια µε αυτά του Σχήµατος Υπάρχουν πάλι δύο γραµµές και για τιµές των παραµέτρων που βρίσκονται εντός των γραµµών, συµπεριλαµβανοµένων και των γραµµών, το σύστηµα παρουσιάζει χαοτικές τροχιές, ενώ για τιµές των παραµέτρων εκτός των γραµµών όλες οι τροχιές είναι κανονικές. Παρατηρούµε επίσης, ότι στην περίπτωση αυτή οι γραµµές δεν είναι ευθείες. Αυτό, οφείλεται πιθανότατα στο εξελισσόµενο δυναµικό, όπου υπάρχει εκθετική εξέλιξη της δύναµης F z λόγω της εκθετικής µεταφοράς µάζας

132 Lzc Σχήµα 5.2.3: Παρόµοια µε το Σχήµα για το χρονικά εξελισσόµενο πρότυπο. Παρατηρούµε ότι η περιοχή των χαοτικών τροχιών δεν περιορίζεται από ευθείες γραµµές. Σχήµα 5.2.4: Παρόµοια µε το Σχήµα για το χρονικά εξελισσόµενο πρότυπο. Η οµοιότητα µε το Σχήµα είναι προφανής

133 Το γεγονός αυτό δικαιολογείται αν παρατηρήσουµε το Σχήµα 5.2.4, όπου δίνεται ένα διάγραµµα της συνολικής δύναµης F z συναρτήσει του χρόνου t. Ουσιαστικά έχουµε αντικαταστήσει στην εξίσωση (5.19) την τιµή της µάζας M n που δίνεται από τις σχέσεις (5.20) και (5.21) οπότε η F z έχει γίνει συνάρτηση του χρόνου. Οι τιµές των r και z είναι όπως στο Σχήµα Παρατηρούµε ότι η δύναµη F z που οφείλεται στον πυρήνα αυξάνεται εκθετικά, ενώ αυτή που οφείλεται στο δίσκο µειώνεται εκθετικά. Όπως και στη χρονικά ανεξάρτητη περίπτωση, µπορούµε να αντικαταστήσουµε την F z µε την M n και το χρόνο t µε την L zc και να πάρουµε ένα σχήµα παρόµοιο µε το Σχήµα Τονίζουµε ότι τα αποτελέσµατα µπορεί να µην είναι τα ίδια, ωστόσο η σύγκριση δείχνει ότι τα αριθµητικά αποτελέσµατα µπορούν να αναπαραχθούν ποιοτικά συνδυάζοντας κάποια θεωρητικά µε κάποια αριθµητικά δεδοµένα. Σχήµα 5.2.5: Εξέλιξη των τροχιών στο χρονικά εξελιγµένο πρότυπο όπου φαίνεται η µεταπήδηση των τροχιών από την κανονικότητα στο χάος και αντίστροφα

134 Ενδιαφέρον παρουσιάζει να παρακολουθήσουµε τις τροχιές στο χρονικά εξαρτηµένο δυναµικό. Σύµφωνα µε το διάγραµµα του Σχήµατος 5.2.3, µια τροχιά µε δεδοµένη τιµή στροφορµής και µικρή αρχική τιµή µάζας του πυρήνα, ξεκινάει σαν κανονική, µετά γίνεται χαοτική όταν η µάζα του πυρήνα εξελίσσεται µεταξύ των ορίων των δύο γραµµών του Σχήµατος και αργότερα ξαναγίνεται κανονική. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στο Σχήµα Η τροχιά έχει αρχικές συνθήκες r=1.536, z=0=pr=0, ενώ η τιµή p z 30 km/s βρίσκεται από το ολοκλήρωµα της ενέργειας (για t=0). Η αρχική τιµή της ενέργειας, η οποία δεν διατηρείται, είναι Ε=-450, k=0.01 και η τιµή της στροφορµής είναι L z =8. Στο πάνω αριστερά Σχήµα φαίνεται η τροχιά για 5 M n 55, στο πάνω δεξιά για 200 M n 250, στο κάτω αριστερά για 440 M n 490 και κάτω δεξιά για 705 M n 755. Στο Σχήµα παρουσιάζεται ο LE της τροχιάς του Σχήµατος Οι αριθµοί 1 και 4 υποδηλώνουν τις κανονικές περιοχές και οι αριθµοί 2, 3 τις χαοτικές. LE Σχήµα 5.2.6: Ο LE για την τροχιά του Σχήµατος Οι κανονικές περιοχές δηλώνονται µε 1 και 4, ενώ οι χαοτικές µε 2 και 3. Από όλα τα παραπάνω, προκύπτει ότι στο χρονικά εξελισσόµενο δυναµικό πρότυπο ηµιαστέρα, η κανονική ή χαοτική φύση των τροχιών εξαρτάται ισχυρά από τη µάζα του πυρήνα και υπάρχουν δύο σηµεία µετάβασης για δεδοµένη τιµή της κρίσιµης στροφορµής. Αντιθέτως, όπως είδαµε στο τρίτο Κεφάλαιο (παράγραφος 3.1), στα δυναµικά

135 πρότυπα δισκοειδών γαλαξιών µε ενεργούς πυρήνες η κατάσταση είναι διαφορετική. Εκεί για µικρή τιµή της κρίσιµης στροφορµής υπάρχει µία µόνο τιµή της µάζας του πυρήνα για την οποία συµβαίνει µετάβαση από κανονική σε χαοτική κίνηση. Αυτή η βασική διαφορά µπορεί να ερµηνευτεί αν κάνουµε ένα διάγραµµα της δύναµης F z συναρτήσει της µάζας M n. Στο Σχήµα παρουσιάζεται ένα τέτοιο διάγραµµα. Το σχήµα αυτό είναι παρόµοιο µε το Σχήµα 5.2.4, αλλά για τον δισκοειδή γαλαξία που µελετήσαµε στην παράγραφο 3.1. Παρατηρούµε ότι η δύναµη F z εξαιτίας του δίσκου είναι πρακτικά σταθερή, ενώ η ελκτική πυρηνική δύναµη F z αυξάνεται ραγδαία µε την αύξηση της µάζας Μ n. Η περιοχή που ορίζεται από τις δύο αυτές καµπύλες προκύπτει για πολύ µικρές τιµές της µάζας M n, συνεπώς είναι αρκετά δύσκολο να ανιχνευτεί µε αριθµητικούς υπολογισµούς. Επιπλέον, η περιοχή αυτή δεν είναι σηµαντική γιατί σε κάθε περίπτωση είναι αµελητέα. Σχήµα 5.2.7: Παρόµοιο µε το Σχήµα 5.2.4, αλλά για το εξελισσόµενο πρότυπο δισκοειδούς γαλαξία που περιγράφεται στην παράγραφο

136 Αποτελέσµατα - Συµπεράσµατα Στα παραπάνω µελετήθηκε η κίνηση σε έναν ηµιαστέρα µέσω ενός απλού αξονικά συµµετρικού προτύπου µε δίσκο και υπερµεγέθη πυρήνα και έγινε προσπάθεια να εξαχθούν σχέσεις που να συνδέουν φυσικές ποσότητες, όπως η µάζα του πυρήνα και η στροφορµή, µε την ικανότητα του συστήµατος να παρουσιάζει χαοτική κίνηση. Η επιλογή αυτή είχε δύο στόχους. Ο πρώτος ήταν να εξαχθούν συµπεράσµατα για τη δυναµική συµπεριφορά τέτοιων συστηµάτων και ο δεύτερος να γίνει σύγκριση των αποτελεσµάτων αυτών µε τα ήδη υπάρχοντα αποτελέσµατα για τους γαλαξίες. Στην περίπτωση του χρονικά ανεξάρτητου προτύπου, βρέθηκε µια γραµµική σχέση µεταξύ της µάζας του πυρήνα και της κρίσιµης τιµής της στροφορµής. Μια παρόµοια σχέση, αλλά όχι γραµµική, φαίνεται να υπάρχει και για το χρονικά εξελισσόµενο πρότυπο. Και οι δύο σχέσεις µπορούν να ερµηνευτούν µε τη χρήση θεωρητικών δεδοµένων σε συνδυασµό µε το διάγραµµα της δύναµης F z που ευθύνεται για την εµφάνιση χάους. Ενδιαφέροντα αποτελέσµατα προκύπτουν αν παρακολουθήσουµε την εξέλιξη των τροχιών στο χρονικά εξελισσόµενο πρότυπο. Οι αριθµητικοί υπολογισµοί δείχνουν ότι κατά τη διάρκεια µεταφοράς µάζας από το δίσκο στον πυρήνα µια τροχιά µπορεί να αλλάξει το χαρακτήρα της από κανονική σε χαοτική και αντιστρόφως περισσότερες από µία φορές. Η δυναµική συµπεριφορά των αξονικά συµµετρικών ηµιαστέρων είναι διαφορετική από αυτή που παρατηρείται στους δισκοειδείς γαλαξίες. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι, στην περίπτωση του ηµιαστέρα, η µεταφορά µάζας από το δίσκο στον πυρήνα επηρεάζει δραστικά τη δύναµη F z που προέρχεται από το δίσκο, ενώ η ίδια δύναµη στην περίπτωση του δισκοειδούς γαλαξία παραµένει πρακτικά σταθερή

137 5.3. Το δυναµικό πρότυπο ενός αντικειµένου BL-Lacertae Γενικά Στα προηγούµενα µελετήθηκε διεξοδικά η κίνηση σε αξονικά και µη αξονικά συµµετρικά πρότυπα ηµιαστέρων και προέκυψαν σχέσεις που συνδέουν φυσικές ποσότητες, µε την ιδιότητα των συστηµάτων να παρουσιάζουν χαοτική συµπεριφορά. Σε ό,τι ακολουθεί θα επιχειρήσουµε να κάνουµε το ίδιο και για τα αντικείµενα BL-Lacertae. Όπως προαναφέρθηκε, τα αντικείµενα BL-Lacertae είναι ενεργοί γαλαξίες που χαρακτηρίζονται από ραγδαία µεταβαλλόµενη λαµπρότητα. Το φάσµα τους δεν εµφανίζει γραµµές εκποµπής και στον ουρανό εµφανίζονται σαν σηµειακά αντικείµενα. Ο πρώτος γαλαξίας BL-Lac που παρατηρήθηκε, θεωρήθηκε εσφαλµένα ως είδος µεταβλητού αστέρα στο Γαλαξία. Το µυστήριο των αντικειµένων BL-Lac λύθηκε στα τέλη της δεκαετίας του 1970, όταν µια οµάδα αστρονόµων έδειξαν ότι το αρχέτυπο ενός αντικειµένου BL-Lac αποτελεί µέρος κάποιου λαµπρού γαλαξία. Συγκεκριµένα, αποδείχθηκε ότι το φως από τον πυρήνα του αρχέτυπου του αντικειµένου BL-Lac παρουσίαζε παρόµοιο φάσµα µε αυτό του µικρού ελλειπτικού γαλαξία Μ32. Το αποτέλεσµα αυτό σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι µε τα σύγχρονα τηλεσκόπια µπορούµε να δούµε πολύ βαθύτερα µέσα σε ένα αντικείµενο BL-Lac, δηλώνει έντονα ότι τα αντικείµενα BL-Lac είναι ελλειπτικοί γαλαξίες µε λαµπρό ενεργό πυρήνα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατασκευή ενός δυναµικού προτύπου και η µελέτη της κίνησης σε ένα αντικείµενο BL-Lacertae. Στα επόµενα θα προσπαθήσουµε να διαχωρίσουµε τις κρίσιµες παραµέτρους του συστήµατος, δηλαδή αυτές που παίζουν σηµαντικό ρόλο στη δυναµική του συµπεριφορά και να προσδιορίσουµε το ρόλο αυτό. Επιπλέον, ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η σύγκριση των αποτελεσµάτων που εξάγονται από τη χρήση του δυναµικού προτύπου µε αυτά που προέρχονται από τις παρατηρήσεις. Για την περιγραφή της κίνησης στο πρότυπο του αντικειµένου BL- Lacertae θα χρησιµοποιήσουµε το δυναµικό VBL ( x, y) = υ0 ln x + ay λ x + c n 2. (5.22)

138 Το παραπάνω πρότυπο αντιπροσωπεύει έναν ελλειπτικό γαλαξία µε παράµετρο πλάτυνσης 1 a< 2 και ακτίνα πυρήνα c n. Ο όρος -λx 3 µε λ<<1 αντιπροσωπεύει µια εσωτερική διαταραχή και η παράµετρος υ 0 χρησιµοποιείται για τη συµβατότητα των γαλαξιακών µονάδων. Το δυναµικό (5.22) επιλέχθηκε για δύο βασικούς λόγους. Πρώτον, πρόκειται για γενικό πρότυπο πράγµα που σηµαίνει ότι περιγράφει την κίνηση στο γαλαξία ως σύνολο και δεύτερον, είναι απλό συγκριτικά µε άλλα δυναµικά πρότυπα. Χρησιµοποιούµε το γνωστό σύστηµα γαλαξιακών µονάδων, όπως και στα προηγούµενα, και έχουµε επιλέξει τις τιµές υ 0 =15, c n =0.25, µε τα α, λ και Ω να αντιµετωπίζονται ως παράµετροι. Θεωρούµε ότι ο γαλαξίας περιστρέφεται δεξιόστροφα µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα Ω. Το δυναµικό που περιγράφει την κίνηση στο περιστρεφόµενο σύστηµα γράφεται 1 Veff V ( x, y) x y 2 ( ) = BL Ω +, (5.23) και η αντίστοιχη συνάρτηση Hamilton είναι 1 1 H J = px + py + VBL x y Ω x + y = ( px + py) + Veff ( x, y) = hj, ( ) (, ) ( ) (5.24) όπου h J η αριθµητική τιµή του ολοκληρώµατος Jacobi. Οι εξισώσεις κίνησης είναι Veff Veff ɺɺ x= 2 Ω py, ɺɺ y= + 2 Ωpx. (5.25) x y Στη συνέχεια θα µελετήσουµε τη δοµή του χώρου των φάσεων, και θα παρουσιαστούν διάφορες οικογένειες τροχιών του δυναµικού προτύπου (5.23). Επίσης, θα χρησιµοποιηθούν ορισµένα θεωρητικά στοιχεία για την ερµηνεία των αριθµητικών αποτελεσµάτων, ενώ, τέλος, θα γίνει σύγκριση των αριθµητικών αποτελεσµάτων µε παρατηρησιακά δεδοµένα

139 Η δοµή του χώρου των φάσεων - Θεωρητική εξήγηση Στην παράγραφο αυτή θα µελετήσουµε τη δοµή του χώρου των φάσεων. Στα Σχήµατα 5.3.1α-δ φαίνεται η επιφάνεια τοµής Poincare x-p x, y=0, p y >0, για την συνάρτηση Hamilton (5.24), που προέκυψε από την αριθµητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (5.25). Οι τιµές των h J και c n στα Σχήµατα αυτά είναι h J =500 και c n =0.25. Σχήµα 5.3.1α: Η επιφάνεια Poincare x-p x για τη Χαµιλτονιανή (5.26) µε h J =500, c n =0.25, Ω=0, α=1.1 και λ=0. Το Σχήµα 5.3.1α φαίνεται η επιφάνεια τοµής x-p x στην περίπτωση που είναι Ω=0 και λ=0. Η κίνηση είναι κανονική, ενώ οι χαοτικές περιοχές, αν υπάρχουν, είναι αµελητέες. Υπάρχουν δύο κύριες οικογένειες τροχιών που δηµιουργούν αναλλοίωτες καµπύλες γύρω από τα 1:1 ευθύ και ανάδροµο περιοδικά σηµεία. Το Σχήµα 5.3.1β είναι ίδιο µε το 5.3.1α, αλλά για Ω=0.5. Εδώ παρατηρούµε δύο επιπλέον χαρακτηριστικά που δεν παρουσιάζονται στο Σχήµα 5.3.1α. Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι µια σηµαντική χαοτική ζώνη που εµφανίζεται µεταξύ των κανονικών περιοχών, ενώ το δεύτερο είναι η παρουσία µικρών νησίδων που παράγονται από δευτερεύοντες συντονισµούς. Εποµένως, µπορούµε να συµπεράνουµε πως ο ρόλος της περιστροφής είναι η δηµιουργία χαοτικής κίνησης

140 Σχήµα 5.3.1β: Η επιφάνεια Poincare x-p x για τη Χαµιλτονιανή (5.24) µε h J =500, c n =0.25, Ω=0.5, α=1.1, λ=0. Σχήµα 5.3.1γ: Η επιφάνεια Poincare x-p x για τη Χαµιλτονιανή (5.24) µε h J =500, c n =0.25, Ω=0, α=1.1, λ=

141 Σχήµα 5.3.1δ: Η επιφάνεια Poincare x-p x για τη Χαµιλτονιανή (5.24) µε h J =500, c n =0.25, Ω=0, α=1.7, λ=0. Το Σχήµα 5.3.1γ είναι παρόµοιο µε το Σχήµα 5.3.1α, αλλά για λ=0.01. Εδώ η χαοτική περιοχή είναι πολύ µεγαλύτερη, ενώ υπάρχουν και κάποιοι δευτερεύοντες συντονισµοί. Είναι, λοιπόν, προφανές ότι η εσωτερική διαταραχή συντελεί στην αύξηση των χαοτικών περιοχών. Τέλος, το Σχήµα 5.3.1δ είναι παρόµοιο µε το Σχήµα 5.3.1α, αλλά για α=1.7. Στην περίπτωση αυτή παρατηρούµε µια µεγάλη «θάλασσα» χάους, ενώ οι περιοχές της κανονικής κίνησης γύρω από τα 1:1 περιοδικά σηµεία είναι πολύ µικρότερες. Στο σηµείο αυτό θα προσπαθήσουµε να δώσουµε µια θεωρητική εξήγηση ή καλύτερα µια ηµιθεωρητική εξήγηση για την παρατηρούµενη δοµή της επιφάνειας τοµής x-p x των Σχηµάτων 5.3.1α-δ. Στην περίπτωση περιστροφής, η στροφορµή ενός αστέρα είναι (Παράρτηµα 2, σελίδα 162) 2 2 ( ) L= xyɺ xy ɺ Ω x + y. (5.26) Παρόλο που η στροφορµή δεν διατηρείται, οι αριθµητικοί υπολογισµοί δείχνουν ότι η µέση τιµή της µειώνεται όταν µεγαλώνει η γωνιακή ταχύτητα Ω. Είναι, επίσης, γνωστό ότι οι αστέρες µικρής στροφορµής παρουσιάζουν χαοτική κίνηση σε γαλαξίες µε πυκνό πυρήνα. Εποµένως, η

142 παρουσία του χαοτικού στρώµατος στο Σχήµα 5.3.1β είναι αναµενόµενη. Εδώ βλέπουµε µια συµπεριφορά παρόµοια µε αυτή που συναντήσαµε και στους ραβδωτούς γαλαξίες (παράγραφος 4.2.2) Γνωρίζουµε, επίσης, ότι η κάθετη δύναµη παίζει σηµαντικό ρόλο στη δηµιουργία χαοτικής κίνησης στους γαλαξίες µε πυκνό πυρήνα. Όσο µεγαλύτερη είναι η κάθετη δύναµη τόσο µεγαλύτερες είναι και οι παρατηρούµενες χαοτικές περιοχές. Το ρόλο της κάθετης δύναµης στο δυναµικό (5.22) παίζει η F y συνιστώσα, η οποία είναι F y aυ y = +Ω x + ay λx + c y n (5.27) Είναι προφανές ότι η ελκτική δύναµη F y κοντά στην περιοχή του πυρήνα, για δεδοµένες -αλλά µικρές- τιµές των x και y και σταθερές τιµές των άλλων παραµέτρων, αυξάνεται µε αύξηση του λ. Επίσης, η δύναµη F y αυξάνεται γραµµικά µε την αύξηση της παραµέτρου πλάτυνσης α. Το γεγονός αυτό δικαιολογεί την αύξηση των παρατηρούµενων χαοτικών περιοχών στα Σχήµατα 5.3.1γ και 5.3.1δ. Ένα ακόµα ενδιαφέρον συµπέρασµα που προκύπτει από τη σχέση (5.27), είναι ότι η δύναµη F y αυξάνεται όταν µειώνεται η ακτίνα του πυρήνα, c n. Εποµένως, αναµένουµε µεγαλύτερες χαοτικές περιοχές σε γαλαξίες µε πυκνότερο πυρήνα Τροχιές στο χρονικά εξαρτηµένο δυναµικό Ερχόµαστε τώρα στη µελέτη της συµπεριφοράς των τροχιών σε ένα χρονικά εξαρτηµένο δυναµικό. Συγκεκριµένα, θα θεωρήσουµε την περίπτωση που το BL-Lac πρότυπο εξελίσσεται µε τέτοιο τρόπο ώστε οι παράµετροι α και λ να είναι γραµµικές συναρτήσεις του χρόνου, δηλαδή ( ), λ( ) a t = a + k t t = λ + k t, (5.28) in 1 in 2 όπου α in, λ in είναι οι αρχικές τιµές των α και λ και k 1, k 2 παράµετροι. Θεωρούµε µια τροχιά που ξεκινάει µε x 0 =6, y 0 =p x0 =0 µε αρχική τιµή ενέργειας h J0 =500. Η τιµή του p y0 σε όλες τις περιπτώσεις υπολογίζεται από την αρχική τιµή h J0 του ολοκληρώµατος της ενέργειας, αφού για t=0, h=h J0. Είναι προφανές ότι αυτή η τροχιά ξεκινάει κοντά στο ανάδροµο περιοδικό σηµείο. Όλες οι άλλες παράµετροι είναι ίδιες µε αυτές του Σχήµατος 5.3.1γ, ενώ η παράµετρος πλάτυνσης α µεταβάλλεται σύµφωνα µε την εξίσωση (5.28) µε α in =1.1 και k 1 =0.01. Στο χρονικά

143 εξαρτηµένο πρότυπο, η ενέργεια δεν διατηρείται κατά τη διάρκεια της εξέλιξης. Υποθέτουµε ότι η εξέλιξη σταµατάει όταν το α φτάσει σε µια τελική τιµή α fin = 1.7. Αυτό σηµαίνει ότι ο γαλαξίας εξελίσσεται για τις πρώτες 60 µονάδες χρόνου και µετά η εξέλιξη σταµατάει και έχουµε µια τελική τιµή ενέργειας. Στο Σχήµα φαίνονται τα αποτελέσµατα για χρονική διάρκεια 100 χρονικών µονάδων, που αντιστοιχεί περίπου σε yr. Παρατηρούµε µια καλά καθορισµένη ηµιπεριοδική τροχιά. Η τελική τιµή της ενέργειας είναι h Jf = Μπορούµε να πούµε ότι η τροχιά ξεκινάει σαν κανονική, παραµένει κανονική κατά τη διάρκεια της εξέλιξης και συνεχίζει να είναι κανονική µετά και το τέλος της εξέλιξης. Επιπλέον, βλέπουµε ότι η δοµή του χώρου των φάσεων κοντά στο ανάδροµο περιοδικό σηµείο παραµένει ίδια µε του Σχήµατος 5.3.1γ. Το Σχήµα διαφέρει από το Σχήµα στις αρχικές συνθήκες. Η τροχιά εδώ ξεκινάει µε x 0 = 6, y 0 = p x0 = 0 και αρχική τιµή ενέργειας h J0 =500, κοντά δηλαδή στο ευθύ περιοδικό σηµείο. Η τελική τιµή της ενέργειας εδώ είναι h JF =539. Οι αριθµητικοί υπολογισµοί δείχνουν πως η τροχιά ξεκινάει σαν κανονική, γίνεται σταδιακά χαοτική κατά τη διάρκεια της εξέλιξης και παραµένει χαοτική και µετά το τέλος της εξέλιξης αυτής. Σχήµα 5.3.2: Κανονική τροχιά στο χρονικά εξαρτηµένο πρότυπο µε αρχικές συνθήκες x 0 =6, y 0 =p x0 =0, h J0 =500. Οι άλλες παράµετροι είναι όπως στο Σχήµα 5.3.1γ και η παράµετρος α εξελίσσεται σύµφωνα µε την (5.28) µε α in =1.1 και k 1 =

144 Σχήµα 5.3.3: Όµοια µε το Σχήµα 5.3.2, αλλά για x 0 =-6, y 0 =p x0 =0. Η τροχιά ξεκινάει σαν κανονική και σταδιακά γίνεται χαοτική. Το επόµενο παράδειγµα εξέλιξης τροχιάς είναι πιο παραστατικό. Στα Σχήµατα 5.3.4α-γ παρουσιάζεται η εξέλιξη µιας τροχιάς όταν το λ µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη δεύτερη εξίσωση (5.28), µε λ in =0.01, k 2 = και λ fin =0. Όλες οι άλλες παράµετροι είναι ίδιες µε του Σχήµατος 5.3.1γ. Οι αρχικές συνθήκες είναι x 0 =-1.5, y 0 =0, p x0 =15, η αρχική τιµή της ενέργειας είναι h J0 =500, ενώ ο υπολογισµός έγινε για 150 χρονικές µονάδες. Στην περίπτωση αυτή, ο γαλαξίας εξελίσσεται για τις πρώτες 50 µονάδες χρόνου και µετά σταµατάει έχοντας τελική τιµή ενέργειας ίση µε h JF = Το Σχήµα 5.3.4α δείχνει την εξέλιξη µιας τροχιάς για 150 µονάδες χρόνου, ενώ τα Σχήµατα 5.3.4β και 5.3.4γ δείχνουν τις πρώτες 70 και τις τελευταίες 80 µονάδες χρόνου αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι η τροχιά ξεκινάει ως χαοτική, έπειτα γίνεται κανονική και παραµένει κανονική και µετά το τέλος της εξέλιξης. Ένα πολύ ενδιαφέρον σηµείο εδώ είναι η ύπαρξη µιας πολύ µικρής µεταβολής στην ενέργεια του αστέρα η οποία µπορεί να θεωρηθεί αµελητέα. Αυτό δείχνει ότι κατά τη διάρκεια της εξέλιξης ο χώρος φάσεων φαίνεται να αλλάζει και από τη µορφή του Σχήµατος 5.3.1γ να παίρνει µια διαφορετική µορφή

145 Σχήµα 5.3.4α: Ολόκληρη η τροχιά για µεταβολή του λ σύµφωνα µε την (5.28) µε λ in =0.01, k 2 = , λ fin =0 και αρχικές συνθήκες x 0 =0.3, y 0 =p x0 =0 και τιµές των άλλων παραµέτρων όπως στο Σχήµα 5.3.1γ. Σχήµα 5.3.4β: Εξέλιξη τροχιάς (t=0-70) µε µεταβολή του λ σύµφωνα µε την (5.28) µε λ in =0.01, k 2 = , λ fin =0, x 0 =0.3, y 0 =p x0 =0 και τιµές παραµέτρων όπως στο Σχήµα 5.3.1γ