= 2. iii) Αν το Q(χ) είναι περιττού βαθµού, βρείτε το άθροισµα των συντελεστών των άρτιων δυνάµεων του χ.

Transcript

1 Σύλλογος Θετιών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του αθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου Μαθηµατιά : Τάξη: Β ράµα 3 Απριλίου 11 Θέµα 1 ο ίνονται τα πολυώνυµα P(x) αι Q(x) ώστε η εξίσωση P (x) + Q (x) = (1) να έχει δύο άνισες πραγµατιές αέραιες ρίζες. Επίσης ισχύει 4 5 i) Να ρεθούν οι αέραιες ρίζες της εξίσωσης (1) ii) Aν Π(χ) το πολυώνυµο που είναι το πηλίο της διαίρεσης του Ρ(χ) µε το (χ 1), να δείξετε ότι ο σταθερός όρος του, είναι αντίθετος του σταθερού όρου του Ρ(χ) iii) Αν το Q(χ) είναι περιττού αθµού, ρείτε το άθροισµα των συντελεστών των άρτιων δυνάµεων του χ. Θέµα ο ίνεται η εξίσωση χ + ψ +(µ + 1)χ + (µ 1)ψ + µ + 3µ + 3 = (1), µ R i) Να ρεθούν οι τιµές του µ R ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει ύλο. ii) Να ρεθεί ο γεωµετριός τόπος των έντρων των παραπάνω ύλων. iii) Να δείξετε ότι όλοι αυτοί οι ύλοι ρίσονται στην ταινία που ορίζεται από τις ευθείες (ε): χ ψ 1 = αι (δ): χ ψ + 3 = iv) Να ρεθεί η εξίσωση του ύλου µε την µέγιστη ατίνα. 1

2 Σύλλογος Θετιών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του αθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Θέµα 1 ο i) Αρχιά για την λύση του δοθέντος συστήµατος θέτω Ρ() = α αι = οπότε έχουµε: 4 5 e α 5 αι µε αφαίρεση ατά µέλη προύπτει Τάξη: B ράµα 3 Απριλίου 11 1 = e e e = 1. Επίσης = 1 = 1 Άρα α = 5, = 1 αι Ρ() = 5, = 1. Πιθανές αέραιες ρίζες του Ρ(χ) είναι το ± 1 αι ± 5 ενώ του Q(χ) είναι το ± 1. Επίσης P (x) + Q (x) = P(x) = αι Q(x) =, άρα η εξίσωση (1) έχει για ρίζες τα ± 1. ηλαδή: Ρ(1) = Ρ(-1) = αι Q(1) = Q(-1) = ii) Ρ(χ) = (χ 1)Π(χ) + χ + λ αι επειδή Ρ(1) = Ρ(-1) = προύπτει = λ =. Το Ρ(χ) εποµένως γίνεται Ρ(χ) = (χ 1)Π(χ) αι Ρ() = -Π() ( Ρ(),Π() σταθεροί όροι). iii) Έστω Q(χ) = +1 χ +1 + χ + -1 χ -1 + χ + 1 χ +. Q(-1) = (1) Q(1) = () Με πρόσθεση των (1) αι () αι επειδή ότι = = 1 έχουµε Q(-1) + Q(1) ( ) + ( ) =.

3 Θέµα ο i) Για να είναι ύλος η εξίσωση (1) θα πρέπει Α + Β 4Γ > -µ 1µ 1 > µ (-5, - 1) ii) Για την τετµηµένη χ αι τεταγµένη ψ του έντρου των παραπάνω ύλων θα πρέπει να ισχύει: µ + 1 x = 1 µ = x x ψ + 1= µ ψ = µ = ψ + 1 < x < 5< µ < 5< x < 1< ψ < 3 5< ψ + 1< Άρα ο γεωµετριός τόπος των έντρων των ύλων είναι το ευθύγραµµο τµήµα, µέρος της ευθείας t: χ ψ + 1 =, µε άρα τα σηµεία Γ(,1), (,3) χωρίς τα άρα Γ αι. iii) Είναι (ε) // (t) // (δ) µε την ευθεία (t) µεσοπαράλληλη των (ε) αι (δ) αφού αυτές τέµνουν τον άξονα χ χ στα σηµεία Α(1,), Μ(-1,), Β(-3,) µε το σηµείο Μ να είναι µέσο του ΑΒ. Επειδή τα έντρα των ύλων ρίσονται στην ευθεία (t), αρεί η ατίνα τους να είναι µιρότερη ή ίση της απόστασης των ευθειών (t) αι (ε). + ( ) d ( t, ε ) = d( Μ, ε ) = = (1) iv) 1 Και ρ = µ 1µ 1 () Από τις σχέσεις (1) αι () αρεί να ισχύει 1 µ µ µ ( µ + 3) που ισχύει. 1 = µ µ = µ µ µ ( ) ρ ( ) Αλλά f(µ) = µ µ = ( µ + 6µ + 5) = [ ( µ + 3) 4] ( + 3) + 8 = µ. Άρα f(µ) 8= ( µ + 3) f ( µ ) 8 ρ έχουµε όταν f(µ) = 8 το οποίο ισχύει όταν µ = -3, όπου -5 < µ < -1. Όταν µ = -3 τότε έχουµε ύλο µε έντρο Κ(1,) αι ατίνα ρ. Εποµένως ο ύλος µε την µεγαλύτερη ατίνα είναι ο C: (χ 1) + (ψ - ) 3

4 Σύλλογος Θετιών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του αθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Θέµα 1 ο i) Αρχιά για την λύση του δοθέντος συστήµατος θέτω Ρ() = α αι = οπότε έχουµε: 4 5 e α 5 αι µε αφαίρεση ατά µέλη προύπτει Τάξη: B ράµα 3 Απριλίου 11 1 = e e e = 1. Επίσης = 1 = 1 Άρα α = 5, = 1 αι Ρ() = 5, = 1. Πιθανές αέραιες ρίζες του Ρ(χ) είναι το ± 1 αι ± 5 ενώ του Q(χ) είναι το ± 1. Επίσης P (x) + Q (x) = P(x) = αι Q(x) =, άρα η εξίσωση (1) έχει για ρίζες τα ± 1. ηλαδή: Ρ(1) = Ρ(-1) = αι Q(1) = Q(-1) = ii) Ρ(χ) = (χ 1)Π(χ) + χ + λ αι επειδή Ρ(1) = Ρ(-1) = προύπτει = λ =. Το Ρ(χ) εποµένως γίνεται Ρ(χ) = (χ 1)Π(χ) αι Ρ() = -Π() ( Ρ(),Π() σταθεροί όροι). iii) Έστω Q(χ) = +1 χ +1 + χ + -1 χ -1 + χ + 1 χ +. Q(-1) = (1) Q(1) = () Με πρόσθεση των (1) αι () αι επειδή ότι = = 1 έχουµε Q(-1) + Q(1) ( ) + ( ) =. 4

5 Θέµα ο i) Για να είναι ύλος η εξίσωση (1) θα πρέπει Α + Β 4Γ > -µ 1µ 1 > µ (-5, - 1) ii) Για την τετµηµένη χ αι τεταγµένη ψ του έντρου των παραπάνω ύλων θα πρέπει να ισχύει: µ + 1 x = 1 µ = x x ψ + 1= µ ψ = µ = ψ + 1 < x < 5< µ < 5< x < 1< ψ < 3 5< ψ + 1< Άρα ο γεωµετριός τόπος των έντρων των ύλων είναι το ευθύγραµµο τµήµα, µέρος της ευθείας t: χ ψ + 1 =, µε άρα τα σηµεία Γ(,1), (,3) χωρίς τα άρα Γ αι. iii) Είναι (ε) // (t) // (δ) µε την ευθεία (t) µεσοπαράλληλη των (ε) αι (δ) αφού αυτές τέµνουν τον άξονα χ χ στα σηµεία Α(1,), Μ(-1,), Β(-3,) µε το σηµείο Μ να είναι µέσο του ΑΒ. Επειδή τα έντρα των ύλων ρίσονται στην ευθεία (t), αρεί η ατίνα τους να είναι µιρότερη ή ίση της απόστασης των ευθειών (t) αι (ε). + ( ) d ( t, ε ) = d( Μ, ε ) = = (1) iv) 1 Και ρ = µ 1µ 1 () Από τις σχέσεις (1) αι () αρεί να ισχύει 1 µ µ µ ( µ + 3) που ισχύει. 1 = µ µ = µ µ µ ( ) ρ ( ) Αλλά f(µ) = µ µ = ( µ + 6µ + 5) = [ ( µ + 3) 4] ( + 3) + 8 = µ. Άρα f(µ) 8= ( µ + 3) f ( µ ) 8 ρ έχουµε όταν f(µ) = 8 το οποίο ισχύει όταν µ = -3, όπου -5 < µ < -1. Όταν µ = -3 τότε έχουµε ύλο µε έντρο Κ(1,) αι ατίνα ρ. Εποµένως ο ύλος µε την µεγαλύτερη ατίνα είναι ο C: (χ 1) + (ψ - ) 5

6 6