2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

Transcript

1 ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι τιμές που επιτρέπεται να πάρει η μεταβλητή x. Α1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i. ii. f ( x ) = x 5 g( x ) = x 6 iii. h( x ) = 4x 8 iv. p( x ) = 7x+ 1 x 1 Μονάδες 1 A. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία έχει κλίση α = 1 και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(0, 6). β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α όταν ισχύει x < 6: A= 6 1x+ x x 6 Μονάδες Μονάδες 6 γ) Ποια η σχετική θέση της ευθείας που βρήκατε στο (α) ερώτημα και κάθε ευθείας που έχει ως συντελεστή διεύθυνσης (δηλαδή κλίση) τον αριθμό που προέκυψε από την απλοποίηση της παράστασης Α; Μονάδες 4

2 ΘΕΜΑ B Β1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή (Λ), αν είναι λανθασμένες: i. Ισχύει ότι α β = α α β + αβ β. ii. Η ισοδυναμία α > β α ν > β ν ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό α και β και ακέραιο ν. iii. Ισχύει ότι iv. Ισχύει ότι x = α x = α ή x = α. α = α v. Ισχύει ότι α + β = 0 α = 0 ή β = 0. Μονάδες 10 Β. α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του x, αν ισχύει 1 < x < (δηλαδή να «διώξετε» τα απόλυτα και στο αποτέλεσμα να μην υπάρχει το x). Α= x 1+ x 4 x β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β. ( 7 ) ( 7 ) 7 7 B = + Μονάδες 5 Μονάδες 4 γ) Αν ισχύει Α < x < Β και < y < 5 (όπου Α και Β οι απαντήσεις σας από τα προηγούμενα ερωτήματα), να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι ακόλουθες παραστάσεις: i) x + y ii) x y iii) x + y Μονάδες 6

3 ΘΕΜΑ Γ Γ1. α) Γεωμετρική πρόοδος λέγεται η ακολουθία, στην οποία κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό να γράψετε τι ονομάζουμε αριθμητική πρόοδο. Μονάδες β) Έστω (αν) μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω και (βν) μια γεωμετρική πρόοδος με θετικούς όρους και λόγο λ. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β κι ένα στοιχείο της στήλης Γ. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β ΣΤΗΛΗ Γ ν λ 1 1. β1 λ 1 a. αν ν. 1 ( α + α ) ν b. β. α1 + ( ν 1) ω c. ω β β ν ν α+ γ d. Sν e. βν 6. α ν+ 1 αν f. β 7. α γ g. ν 1 8. β 9. β1 λ β + ν 1 1 λ h. Sν ν i. λ i. Άθροισμα πρώτων ν όρων γεωμετρικής προόδου. ii. iii. iv. ν ος όρος γεωμετρικής προόδου με λόγο λ. ν ος + 1 όρος γεωμετρικής προόδου με λόγο λ. Ορισμός γεωμετρικής προόδου. v. Άθροισμα πρώτων ν όρων vi. αριθμητικής προόδου. Αριθμητικός μέσος των α και γ. vii. Ορισμός αριθμητικής προόδου. viii. Γεωμετρικός μέσος των α ix. και γ. ν ος όρος αριθμητικής προόδου με διαφορά ω. Μονάδες 9

4 Γ. Σε μια γεωμετρική πρόοδο (αν) ο δεύτερος και τέταρτος όρος έχουν άθροισμα 60, ενώ ισχύει α + α5 = 180. Να βρείτε: α) Τον πρώτο όρο α1 και το λόγο λ της (α ν). β) Το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (α ν). Γ. Δίνεται ακολουθία (βν) της οποίας ο ν-οστος όρος είναι ο βν = ν. Μονάδες Μονάδες α) Να δείξετε ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον πρώτο όρο β1 και τη διαφορά ω της προόδου. Μονάδες 4 β) Δίνεται η εξίσωση x β1 x + ω, όπου β1 και ω ο πρώτος όρος κι η διαφορά της παραπάνω ακολουθίας αντίστοιχα. Να λυθεί η εξίσωση: x β x ω = x + β x + ω 1 1 Μονάδες 5

5 ΘΕΜΑ Δ1. α) Αντιστοιχίστε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα στοιχείο της στήλης Β σχετικά με τη διακρίνουσα της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0: ΣΤΗΛΗ Α 1. Δ > 0 i. ίσες ρίζες.. Δ < 0 ii. πραγματικές ρίζες. ΣΤΗΛΗ Β. Δ 0 iii. πραγματικές και άνισες ρίζες. 4. Δ = 0 iv. Αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς. β) Συμπληρώστε τα κενά με τις λέξεις που δίνονται: (μηδέν, εκτός των ριζών, ομόσημο, ετερόσημο, μεταξύ των ριζών) Το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0 γίνεται: Μονάδες του α, μόνο όταν είναι Δ > 0 και για τις τιμές του x, που βρίσκονται, όταν η τιμή του x είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου. του α σε κάθε άλλη περίπτωση. Δ. Δίνεται η εξίσωση λx 4x λ = 0, λ 0 (1). α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές και άνισες ρίζες. Μονάδες Μονάδες 4 β) Να βρείτε το λ, ώστε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης (1) να είναι ίσο με το γινόμενό τους. Μονάδες 5 γ) Έστω λ = 4. Να λύσετε τις ανισώσεις που δίνονται παρακάτω και να βρείτε τις κοινές τους λύσεις: λx και λx x Μονάδες 6 δ) Να κατασκευάσετε τριώνυμο της μορφής x + βx + γ, το οποίο να έχει ως ρίζες τις δύο αρνητικές κοινές ακέραιες λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. Μονάδες 6

6 ΘΕΜΑ Γ Γ1. α) Να λύσετε την εξίσωση: Εναλλακτικό θέμα αντί για τις προόδους. x x 4 = 0 Μονάδες 6 β) Αν ω είναι η μεγαλύτερη ρίζα (λύση) της παραπάνω εξίσωσης, να αποδείξετε ότι Α = Β, όταν: 1 1 Α= ω 1 ω+ 1 και Β = ω ω Γ. Να λυθεί η εξίσωση: x + x = x x+ Μονάδες 1 Μονάδες 7

7 ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. i. R (το σύνολο των πραγματικών αριθμών) ii. x 6 0 x 6 6 x x iii. 4x 8 0 4x 8 x 8 4 x 1 iv. 7x x 1 x x και x 1 0 x 1 7 Τελικά: [, 1) ( 1, + ) Α. α) y = x + 6 β) ( ) 6 x 6 x 6 x x 6 A= = = = = 1 (αφού x < 6) x 6 x 6 x 6 x 6 γ) Είναι παράλληλες (ή συμπίπτουν), γιατί έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης.

8 ΘΕΜΑ B Β1. i. Λ ii. Λ iii. Σ iv. Σ v. Λ Β. α) Από τη σχέση 1 < x < προκύπτει ότι x 1 > 0 και x < 0 και x > 0, οπότε έχουμε στην παράσταση: Α = (x 1) (x 4) x = x x + 4 x = 1 β) ( )( ) ( ) B= 7 7+ = 7 = 7 4= γ) Έχουμε Α < x < Β 1 < x < (1) και < y < 5 (). Άρα: i) Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες (1) και () προκύπτει: ii) iii) < x + y <8 < y < 5 ( 1) > ( 1) y > ( 1) 5 > y > 5 5 < y < () Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες (1) και () προκύπτει: 4 < x y < 1 1 < x < 1< x < 1 < x <9 1 < x < 9 < x < 18 (4) και < y < 5 < y < 5 4 < y < 5 (5) Προσθέτοντας κατά μέλη τις ανισότητες (4) και (5) προκύπτει: 6 < x + y < 4

9 ΘΕΜΑ Γ Γ1. α) Αριθμητική πρόοδος λέγεται η ακολουθία, στην οποία κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. β) 1 d ή h i h ή d v a ix 4 i iv 5 f vi 6 c vii 7 b viii 8 e ii 9 g iii Γ. α) (α + α4 = 60 και α + α5 = 180) β) ( α λ + α λ = και α1 λ + α1 λ 4 = 180) (α1 λ (1 + λ ) = 60 και α1 λ (1 + λ ) = 180) ( ) ( 1 ) ( α1 λ 1+ λ 60 = = ) λ α λ λ 1 Αντικαθιστώντας το λ στην α1 λ (1 + λ ) = 60 βρίσκουμε α1 =. S = = 4 1 Γ. α) Για να είναι η ακολουθία αριθμητική πρόοδος αρκεί: β = + = + + = ν+ 1 βν ( ν 1) ( ν ) ν ν : σταθερός αριθμός Άρα η ακολουθία (βν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω = και β = 1 = 1. 1 β) Έχουμε: x β1 x + ω = x + x +

10 Άρα x + x = x x+ Ισχύει α = α α 0. Άρα πρέπει: Έχουμε Δ = = 9 και 1± x 1, = = 1 ή x x x x + 0 x Τελικά το x ανήκει στο [, 1].

11 ΘΕΜΑ Δ1. α) 1 iii, iv, ii, 4 i β) Ετερόσημο, μεταξύ των ριζών Μηδέν Oμόσημο Δ. α) Δ = λ > 0, άρα η εξίσωση έχει πραγματικές και άνισες ρίζες. β) Αρκεί β γ 4 λ S = P = = λ = 4, λ 0 α α λ λ γ) λx 1 7 4x 1 7 4x x x και λ x x = = 49 x x 1 0 4x x = = = = = = x / x + x Άρα x ανήκει στο (, / 4] [ 1, + ) Κοινές λύσεις: x ανήκει στο [, / 4] [ 1, / ] δ) Κοινές ακέραιες λύσεις:, 1, 1. Έχουμε για την x βx β β S = = β = και α γ : S = x1 + x = 1 = γ γ P = x 1 x = ( )( 1) = P = = γ = α 1 Άρα το ζητούμενο τριώνυμο: x + x +

12 ΘΕΜΑ Γ Γ1. α) Εναλλακτικό θέμα αντί για τις προόδους. 4 = 0 4 = 0 = 0 ή x 4 = 0 x = 4 x = ή x= x x x( x ) x β) Η μεγαλύτερη ρίζα είναι η ω =. Οπότε έχουμε: Γ. Έχουμε: Α= = = = = ω 1 ω ( 1)( + 1) 1 Άρα Α = Β = = x + x = x x+ Ισχύει α = α α 0. Άρα πρέπει: Έχουμε Δ = = 9 και x 1, Β = ω ω 1± = = 1 ή x x και = = = = x x + 0 x Τελικά το x ανήκει στο [, 1].