Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Transcript

1 Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

2 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της τετραγωνική συνάρτησης είναι μία καμπύλη γραμμή που ονομάζεται παραβολή. Όταν β γ 0 τότε η συνάρτηση παίρνει τη μορφή y αx. Η γραφική παράσταση της y αχ + κ προκύπτει από τη γραφική παράσταση της y αχ αν μεταφερθεί: i) κ μονάδες προς τα πάνω αν κ > 0 ii) κ μονάδες προς τα κάτω αν κ < 0. Δεν υπάρχει οριζόντια μετατόπιση. Η γραφική παράσταση της y α(χ-κ) προκύπτει από τη γραφική παράσταση της y αχ αν μεταφερθεί: i) κ μονάδες δεξιά αν κ > 0 ii) κ μονάδες αριστερά αν κ < 0. Δεν υπάρχει κατακόρυφη μετατόπιση. Μελέτη της συνάρτησης : y αx + βx + γ Πεδίο Ορισμού: Α R (αφού f(x) ορίζεται για κάθε x R) Σύνολο Τιμών: f(a) [ Δ 4α f(a) (-, Δ 4α Σημεία τομής με τον άξονα χ χ,+ ), αν α > 0 ], αν α < 0 Θέτουμε y0 στην εξίσωση y αx + βx + γ.οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της παραβολής με τον άξονα χ χ. Σημεία τομής με τον άξονα y y Θέτουμε x0 στην εξίσωση y αx + βx + γ. Σελίδα 1

3 Mέγιστο και ελάχιστο Αν α > 0 τότε y min Δ 4a για x β α Αν α < 0 τότε y mαχ Δ 4a για x β Κορυφή Κ β α, Δ 4α α Ο άξονας συμμετρίας της, ο οποίος είναι η ευθεία με εξίσωση x β α Αν Δ>0 το τριώνυμο f(x) με ρίζες x 1,x : για x<x 1 ή x >x είναι ομόσημο του α, ενώ για x 1 <x<x είναι ετερόσημο του α Δ >0 α <0 Δ>0 α >0 Αν Δ0 το τριώνυμο f(x) με διπλή ρίζα ρ : ομόσημο του α για x<ρ ή x >ρ είναι Σελίδα

4 3 Δ0 α>0 Δ 0 α <0 Αν Δ<0 το τριώνυμο f(x) δεν έχει ρίζες και : για κάθε x R είναι ομόσημο του α y x + x + y x + x Δ < 0 α <0 Δ< 0 α>0 Σελίδα 3

5 4 Εφαρμογές Να σχεδιάσετε την παραβολή y χ 3χ + Είναι α1 > 0, άρα η γραφική παράσταση θα είναι στι 1 ο και ο τεταρτημόριο. Σημεία τομής: Αν χ 0, y. Άρα η παραβολή τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0,). Αν y 0, χ 3χ + 0. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: χ 1 και χ. Άρα η παραβολή τέμνει τον χ χ στα σημεία (,0) και (1,0). Επειδή α >0 η παραβολή θα έχει ελάχιστο το y 1/4 για χ 3/ Άρα η κορυφή θα είναι στο σημείο Κ 3, 1 4 Άξονας συμμετρίας θα είναι η ευθεία με εξίσωση χ 3/ Σελίδα 4

6 5 1. i) Να γράψετε τη συνάρτηση f(x) x 4x + 5 στη μορφή f(x) α(x p ) + q και στη συνέχεια να βρείτε με ποια οριζόντια και ποια κατακόρυφη μετατόπιση η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) x θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f. ii) Να κάνετε το ίδιο και για τη συνάρτηση f(x) x + 8x 9, θεωρώντας ως g την g(x) x i) Από τη θεωρία είναι f(x) β α x + α 4α (1) βα 4. 1 και 4α β 4αγ 4α (1) f(x) (x 1 ) 3 Οριζόντια μετατόπιση της C g : 1 μονάδα δεξιά Κατακόρυφη μετατόπιση της ii) C g : 3 μονάδες πάνω. βα 8 ( ) και 4α β 4αγ 4α 8 4.( )( 9) 4.( ) (1) f(x) (x ) 1 Οριζόντια μετατόπιση της C g : μονάδες δεξιά Σελίδα 5

7 6 Κατακόρυφη μετατόπιση της C g : 1 μονάδα πάνω.. Να βρείτε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων α) f(x) x 6x + 3 και β) g(x) 3 x 5x + α) f min 4 α β 4αγ ( 6) α β) f max 4 α β 4αγ 4α ( ) ( ) ( 5) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις α) f(x) x + 4x + 1 και β) g(x) x + 8x 9 α) Πεδίο ορισμού D f R y β α 4. 1 Δ , -1 O x 4 α K(-1, -1) Σελίδα 6

8 7 Γν.φθίνουσα στο διάστημα (, 1] Γν.αύξουσα στο διάστημα [ 1, + ) Ελάχιστο για x 1, το f( 1) 1 Άξονας συμμετρίας η ευθεία x 1 β) Πεδίο ορισμού D f y β α 8 ( ) Δ 8 4( )( 9) , O 1 Λ(, -1) x - 4 α 8 4.( ) 1 Γν.αύξουσα στο διάστημα (, 1] Γν.φθίνουσα στο διάστημα [1, + ) Ελάχιστο για x, το f() 1 Άξονας συμμετρίας η ευθεία x 1 4. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις επτά τριωνύμων, δηλαδή συναρτήσεων της μορφής y αx + βx + γ. συμπληρώσετε τις στήλες του πίνακα που ακολουθεί με το πρόσημο των συντελεστών και της διακρίνουσας των αντίστοιχων τριωνύμων. Να Σελίδα 7

9 8 f 3 f 1 f f 4 f 5 f 6 f 7 Σελίδα 8

10 9 Τριώνυμο f 1 f f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 α β γ Δ Β Ομάδας 1. Δίνεται η παραβολή y x + (k + 1)x + k. Να καθορίσετε τις τιμές του k, για τις οποίες η παραβολή : i) Εφάπτεται του άξονα xx ii) Έχει τον yy άξονα συμμετρίας iii) Έχει για κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη 4. τετμημένη της Ποια είναι η i) κορυφής; Εφάπτεται του άξονα xx Δ 0 Σελίδα 9

11 10 (k + 1 ) 4k 0 k + k + 1 4k 0 k k (k 1 ) 0 k 1 ii) Έχει τον yy άξονα συμμετρίας iii) β 0 α β 0 k k 1 Έχει για κορυφή ένα σημείο με τεταγμένη α Δ 16 (k + 1) 4k 16 k + k + 1 4k 16 k k (k 1) 16 k 1 4 ή k 1 4 k 5 ή k 3 Σελίδα 10

12 11. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση ενός τριωνύμου P(x) α x + βx + γ. Να βρείτε : i) Το πρόσημο του α. y 4 y P(x) ii) Το πρόσημο της διακρίνουσας Δ και O 1 5 x iii) Τους συντελεστές του τριωνύμου, αν δίνεται ότι β 6. i) Θα είναι α < 0 αφού το τριώνυμο έχει μέγιστο ii) Θα είναι Δ > 0 αφού το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες (1 και 5) iii) Είναι P(1) 0 α. 1 + β. 1 + γ 0 α γ 0 γ α 6 (1) P(5) 0 α. 5 + β. 5 + γ 0 (1) γ α γ 0 (1) 5α + 30 α 6 0 4α 4 α 1 Σελίδα 11

13 1 3. Οι διαστάσεις x, y ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται, έτσι ώστε η περίμετρός του να παραμένει σταθερή και ίση με 0 μ. i) Να εκφράσετε το y συναρτήσει του x και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο E f(x) που δίνει το εμβαδόν του ορθογωνίου συναρτήσει του x. ii) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν μεγιστοποιείται για x 5 και να βρείτε τη i) μέγιστη τιμή του. x + y 0 x + y 10 y 10 x με 0 < x < 10 E xy x(10 x) x + 10x Άρα f(x) x + 10x με 0 < x < 10 ii) Επειδή α 1 < 0, το τριώνυμο f(x) x + 10x θα έχει μέγιστο για β x α 10 ( 1) 5 Είναι δε f max f(5) Σελίδα 1

14 13 4. Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ 6cm. Με πλευρές τα ΜΑ και ΜΒ κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα. Για ποια θέση του Μ το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων είναι ελάχιστο; Έστω (ΑΜ) x, τότε (ΜΒ) 6 x (ΓΑΜ) + (ΔΜΒ) x (6 x) [ x + (6 x ) ] 3 4 ( x x + x ) 3 4 ( x x) 3 ( x 6x + 18) 3 Έτσι ορίζεται η συνάρτηση Ε(x) ( x 6x + 18) με 0 < x < 6, που εκφράζει το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων συναρτήσει του x. Επειδή α 1 > 0 θα παρουσιάζει ελάχιστο για x β 6 α.1 3. Επομένως η ζητούμενη θέση του Μ είναι το μέσο του ΑΒ. Σελίδα 13

15 14 5. Ένας κτηνοτρόφος έχει σύρμα 00m και θέλει να περιφράξει δύο συνεχόμενους y ορθογώνιους υπαίθριους χώρους με διαστάσεις x και y, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Για ποιες τιμές των x και y το εμβαδόν και των δύο χώρων μεγιστοποιείται; x x Θα είναι 4x + 3y 00 3y 00 4x y 1 (00 4x) 3 (1) Ολικό εμβαδόν xy (1) x 1 3 (00 4x) 3 4x(50 x) 8 3 ( x + 50x) Έτσι ορίζεται η συνάρτηση Ε(x) 8 3 ( x + 50x), που εκφράζει το ολικό εμβαδόν συναρτήσει του x. Σελίδα 14

16 15 Επειδή α 1 < 0 θα παρουσιάζει μέγιστο για x β α 50.( 1) 5m. Για x 5, η (1) y 1 3 ( ) m Σελίδα 15