ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2003

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Αν α, ν είναι δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 και η προβολή του ν στο α συµβολίζεται µε προβ α ν, τότε να αποδείξετε ότι α ν = α προβ ν. α Μονάδες 7 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν α β (δηλαδή τα α και β έχουν αντίθετη κατεύθυνση) τότε α β r r = α β και αντιστρόφως. Μονάδες β. Η εφαπτοµένη του κύκλου + y = ρ στο σηµείο του Α( 1,y 1 ) έχει εξίσωση y + 1 y 1 = ρ. Μονάδες γ. Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε ( γ,0), Ε(γ,0) και σταθερό άθροισµα α είναι y + = 1 όπου β = α γ. α β Μονάδες δ. Αν Ο είναι ένα σηµείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσµα B έχουµε B = O OB. Μονάδες α. Αν α, β είναι δύο ακέραιοι µε β 0, πότε θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α; Μονάδες 5 β. ίνονται µια ευθεία δ και ένα σηµείο Ε εκτός της δ. Τι ονοµάζεται παραβολή µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ; Μονάδες 5 1

2 ΘΕΜΑ ο Έστω α Ζ. Να αποδείξετε ότι: Α. Ο αριθµός α 3 παίρνει την µορφή α 3 = 8k όπου k Ζ ή α 3 = k + 1 όπου k Ζ. Μονάδες 1 Β. Ο αριθµός α(α + 1) είναι άρτιος. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται ένα τρίγωνο µε κορυφές Α(λ 1, 3λ + ), Β(1,) και Γ(,3) όπου λ R µε λ. Α. Να αποδείξετε ότι το σηµείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ µεταβάλλεται στο R. Β. Εάν λ=1, να βρείτε: α. το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία Β Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο ίνονται δύο κωνικές τοµές: η παραβολή y =, και η έλλειψη 4 + y = 3, > 0. Α. Να αποδείξετε ότι οι εστίες Ε και Ε της έλλειψης είναι τα σηµεία 3 E 0,. E 0, 3 και Β. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία τοµής Κ και Λ των δύο κωνικών τοµών είναι τα σηµεία Κ, και Λ,. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες των δύο κωνικών τοµών στο σηµείο Κ, είναι κάθετες. Μονάδες 9

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o Α. Θεωρία: σελ. 45 σχολικού βιβλίου. Β. α - Σ, β - Λ, γ - Σ, δ - Λ. α. Ορισµός σελ. 146 σχολικού βιβλίου. β. Ονοµάζεται παραβολή µε εστία Ε και διευθετούσα την ευθεία δ, ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ. ΘΕΜΑ o Κάθε ακέραιος α Ζ γράφεται: α = λ ή α = λ + 1, όπου λ Ζ. Α. 1) Όταν α = λ, τότε α 3 = (λ) 3 = 8λ 3. Επειδή λ Ζ είναι και λ 3 Ζ, οπότε µπορούµε να θέσουµε λ 3 = κ Ζ. Έτσι έχουµε α 3 = 8κ, κ Ζ. ) Όταν α = λ + 1, τότε α 3 = (λ + 1) 3 = (λ) 3 + 3(λ) + 3(λ) + 1 = = 8λ 3 + 1λ + 6λ + 1 = (4λ 3 + 6λ + 3λ) +1. Ο αριθµός 4λ 3 + 6λ + 3λ είναι ακέραιος ως άθροισµα ακεραίων οπότε µπορούµε να θέσουµε 4λ 3 + 6λ + 3λ = κ Ζ. Έτσι έχουµε: α 3 = κ + 1, κ Ζ. Β. 1) Όταν α = λ, τότε λόγω του Α 1 ισχύει: α(α + 1) = α 3 + α = 8κ + λ = (4κ + λ), µε κ,λ Ζ. Αν θέσουµε 4κ + λ = ρ Ζ, έχουµε α(α + 1) = ρ: άρτιος. ) Όταν α = λ + 1 τότε λόγω του Α ισχύει: α(α + 1) = α 3 + α = κ λ + 1 = (κ + λ + 1), µε κ,λ Ζ. Αν θέσουµε κ + λ + 1 = µ Ζ, έχουµε α(α + 1) = µ: άρτιος. ΘΕΜΑ 3o. Θέτουµε λ - 1 = και 3λ + = y και απαλείφοντας το λ έχουµε αντίστοιχα: 1 λ + y = και λ = y Προκύπτει έτσι = = y y + 7 = 0. 3 Έτσι, όταν το λ µεταβάλλεται στο R, το σηµείο Α διατρέχει την ευθεία 3 - y + 7 = 0. B. α. Εάν λ = 1, οι κορυφές του τριγώνου είναι Α(1,5), Β(1,), Γ(,3). Έτσι είναι: r r ΑΒ = ( 0, 3), ΑΓ = (1, ) και το εµβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ είναι: 1 r r ( ΑΒΓ) = det ( ΑΒ, ΑΓ) = = = τ. µ. 1 β. Για τον κύκλο µε κέντρο Α, που εφάπτεται της ΒΓ, η ακτίνα του είναι R = d(α,βγ). Όµως η εξίσωση της ΒΓ είναι: 3 y-y Β = λ ΒΓ (- B ) y = ( 1) y-=-1 -y+1=0 1 Έτσι είναι: 1 1 y R = = =

4 Άρα η εξίσωση του ζητούµενου κύκλου είναι: 3 ( 1) (y 5) + =. ΘΕΜΑ 4o. Η εξίσωση 4 + ψ = 3 γράφεται 4 ψ ψ ψ + = 1 ή + = 1 ή + = Επειδή > < < (αφού > 0). Εποµένως ο µεγάλος άξονας της έλλειψης βρίσκεται στον άξονα y y. Έτσι έχουµε: 3 3 α = και β = Από τη σχέση γ = α - β 3 3, έχουµε: γ = = =, οπότε 3 3 γ = =. Άρα οι εστίες της έλλειψης είναι τα σηµεία: Ε 0, και Ε 0,. Β. Επειδή > 0, προκύπτει από την εξίσωση y = ότι 0. (1) Τα σηµεία τοµής των δύο κωνικών τοµών προκύπτουν από τη λύση του συστήµατος: y = () 4 + y = 3 (3) H (3) γράφεται: = 0. Η διακρίνουσά της είναι: = = 64 > 0, οπότε προκύπτουν οι λύσεις: = = η οποία απορρίπτεται λόγω της (1), = = δεκτή. 8 Την τιµή = =, αντικαθιστούµε στη () και βρίσκουµε: y = =, οπότε y = - ή y =. Άρα τα σηµεία τοµής των δύο κωνικών τοµών είναι: K, και Λ,. Η εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας (ε 1 ) της παραβολής στο σηµείο της K, είναι y = + y = + y + = 0, της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι λ 1 = = 1. Η εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας (ε ) της έλλειψης στο σηµείο της 4

5 Λ, είναι y y + = 1 + = 1 + y = 1, της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι 3 λ = = 1. 3 Επειδή λ 1 λ = (+1)(-1) = -1, προκύπτει ότι ε 1 ε. 5