ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ"

Transcript

1

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

3

4 Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β R και z = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ 3. * Αν z = κ + λi, κ, λ R, τότε Re (z) = κ. Σ Λ 4. * Αν z = x + (y - )i, x, y R και Ιm (z) = 0, τότε y =. Σ Λ 5. * Αν z, z C µε Re (z + z ) = 0, τότε Re (z ) + Re (z ) = 0. Σ Λ 6. * Αν z = α + βi, αβ 0, τότε ο = + i. Σ Λ z α β 7. * Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζεται z =. Σ Λ 8. * Αν z C, τότε z = z. Σ Λ 9. * Ο αριθµός z είναι πραγµατικός, αν και µόνο αν z = z. Σ Λ 0. * Ο αριθµός z είναι φανταστικός, αν και µόνο αν z = - z. Σ Λ. * Αν z = α + βi και z + z = α, τότε z = z. Σ Λ. * Αν i = -, τότε i 003 = i. Σ Λ 3. * Η διαφορά δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι φανταστικός αριθµός. Σ Λ 4. * Οι εικόνες των φανταστικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στον άξονα y y. Σ Λ 5. * Οι εικόνες των αντίθετων µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα x x. 6. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο µε Re (z) = βρίσκονται στην ευθεία x =. Σ Λ 7. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο µε Ιm (z + i) = 8 βρίσκονται στην ευθεία y = 8. Σ Λ Σ Λ 3

5 8. * Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των µιγαδικών z και z αντιστοίχως στο µιγαδικό επίπεδο και ο άξονας x x είναι η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος Μ Μ, τότε είναι z = z. Σ Λ 9. * Το µέτρο του z = - + 3i είναι 3. Σ Λ 0. * Για κάθε z, z C ισχύει z + z = z + z. Σ Λ. * Η εξίσωση z - z = z - z, z, z, z C, παριστάνει τη µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος που έχει άκρα τα σηµεία Α (z ) και B (z ). Σ Λ. * Αν K (z 0 ) η εικόνα του µιγαδικού z 0 στο µιγαδικό επίπεδο, τότε η εξίσωση z - z 0 = ρ, ρ > 0, z C, παριστάνει κύκλο µε κέντρο το K (z 0 ) και ακτίνα ρ. Σ Λ 3. * Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των µιγαδικών z λ = λ + (λ + ) i βρίσκονται πάνω στον άξονα x x για κάθε λ R. Σ Λ 4. * Η εξίσωση z - z = z - z µε άγνωστο το z C και z, z C έχει µόνο µια λύση. Σ Λ 5. * Για κάθε µιγαδικό αριθµό ορίζεται όρισµα. Σ Λ 6. * Αν Argz = θ τότε και Arg z = θ. Σ Λ 7. * Η πολική µορφή του µιγαδικού αριθµού z = α + βi είναι z = ρ (συνθ + iηµθ), όπου ρ = z και θ ένα όρισµά του. Σ Λ 8. * Αν z = 3 (συν 4 π + iηµ 4 π ) τότε ένα όρισµα του z είναι το π. Σ Λ 4 9. * Για τους µιγαδικούς αριθµούς z = ρ (συνθ + iηµθ ) και z = ρ (συνθ + iηµθ ) ισχύει z z = ρ θ (συν ρ θ + iηµ θ ). Σ Λ θ 4

6 30. * Αν ένας µιγαδικός αριθµός πολλαπλασιαστεί επί i 5 τότε η διανυσµατική του ακτίνα στρέφεται κατά γωνία π. Σ Λ 3. * ύο ορίσµατα ενός µιγαδικού αριθµού διαφέρουν κατά γωνία κπ µε κ Ζ. Σ Λ 3. * Αν τα ορίσµατα δύο µιγαδικών διαφέρουν κατά κπ, κ Ζ, τότε οι εικόνες τους και η αρχή των αξόνων βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Σ Λ 33. * Ισχύει: (συν π + iηµ π ) 4 = + 3 i. Σ Λ 34. * Η εξίσωση z 3 - i = 0 έχει µοναδική ρίζα τον z 0 = i. Σ Λ 35. * Η εξίσωση z 5 = έχει πέντε ρίζες, των οποίων οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται σε κύκλο µε κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα. Σ Λ 36. * Η εξίσωση x - x + λ = 0, λ R, µπορεί να έχει ρίζες τους µιγαδικούς + i και - i. Σ Λ 37. * Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, α, β, γ R έχει ρίζα τον + i θα έχει και τον 5 + i. Σ Λ 38. * Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. Σ Λ 39. * Υπάρχει εξίσωση µε πραγµατικούς συντελεστές 3ου βαθ- µού που έχει ρίζες τους αριθµούς, + i, + i. Σ Λ 40. * Οι εξισώσεις x ν = και x µ =, ν, µ Ν * έχουν τουλάχιστον µια κοινή ρίζα. Σ Λ 4. * Αν η εξίσωση αx 3 + βx + γx + δ = 0, α 0 έχει πραγµατικούς συντελεστές, τότε αυτή έχει οπωσδήποτε µια πραγµατική ρίζα. Σ Λ 5

7 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ισότητα x + (y - ) i = 3 + 4i, x, y R, ισχύει αν και µόνο αν Α. x = 3 ή y = 5 Β. x = 3 και y = 5 Γ. x = 3 ή y = 4. x = 3 και y = 4 Ε. x + y = 7. * Αν z = α + βi µε αβ 0 και z ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α. z + z πραγµατικός αριθµός Β. z - z φανταστικός αριθµός Γ. z z φανταστικός αριθµός. - z z πραγµατικός αριθµός Ε. z + z πραγµατικός αριθµός 3. * Ο αριθµός i 000 ισούται µε: Α. i Β. Γ. -. i Ε * Aν ν Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η Α. i 4ν = Β. i 4ν+ = - i Γ. i 4ν+ = -. i ν+4 = i ν Ε. i 4ν+3 = - i 5. * O Α.. - 4i + 4i i 0 ισούται µε Β i 0 Γ. - 4i 0 Ε. κανένα από τα προηγούµενα + i 6. * To - i 8 ισούται µε Α. + i Β. - i Γ. i. Ε. - 6

8 7. * Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού w = (x + ) + (y - ) i, x, y R, στο µιγαδικό επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο z = x + yi ισούται µε Α. - i Β. + i Γ. - - i. - + i E. + i 8. * Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθµού στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση Α. y = x Β. y = - x Γ. y = 0. x = 0 Ε. σε καµία από τις προηγούµενες. 9. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών + 3i και 3 + i στο µιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα συµµετρίας την ευθεία Α. x = Β. y = 3 Γ. y = x. y = - x Ε. x = 0 0. * Αν η διανυσµατική ακτίνα του µιγαδικού αριθµού z έχει φορέα τη διχοτόµο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου, τότε ο z µπορεί να είναι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i. - - i Ε. - - i. * Στο µιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι σηµεία συµµετρικά Α. ως προς τον άξονα y y Β. ως προς τον άξονα x x Γ. ως προς την ευθεία y = x. ως προς την ευθεία y = - x Ε. ως προς την αρχή των αξόνων. * Αν η εικόνα του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµείο της ευθείας x + 3y - = 0, τότε ο z δεν µπορεί να είναι ο Α. Β. - i Γ. 5-3i. i Ε. + i * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z = - - i, z = 5 + i, z 3 = 5 - i και z 4 = - + i στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές Α. τετραγώνου Β. ορθογωνίου Γ. τραπεζίου. ρόµβου Ε. τυχαίου τετραπλεύρου 7

9 4. * Αν z = + yi, y R και z =, τότε µια τιµή του y είναι Α. B. 4 Γ E. 5. * Αν για το µιγαδικό αριθµό z 0 είναι z = z τότε από τα παρακάτω ισχύει το Α. Im (z) < 0 B. Im (z) = 0 Γ. Im (z) > 0. Im (z) = Re (z) E. κανένα από τα παραπάνω 6. * Αν οι εικόνες δύο µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών z και z είναι στο ίδιο τεταρτηµόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις µπορεί να ισχύει; Α. z = - z B. z = z Γ. z = - z. Ιm (z ) + Im (z ) = 0 E. κανένα από τα παραπάνω - i 7. * Το µέτρο του µιγαδικού z = είναι + i Α. 0 B. Γ. -. E * Αν z = x + yi, x, y R, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι πάντα σωστή η Α. z = z Β. z = - z Γ. z = z. z = x + (-y) Ε. z = z 9. * Αν z = 3 και z = 4 + 3i τότε η µεγαλύτερη τιµή του z + z είναι Α. 5 Β. 8 Γ. 9. Ε * Αν z = και - z = 5 η ελάχιστη τιµή του z z είναι Α. B. 3 Γ E. 0. * Ποια είναι η καλύτερη προσεγγιστική τιµή για το µέτρο του µιγαδικού z = - 5-7i; 8

10 Α. 5 5 B. 9 Γ E * Αν το σηµείο Ρ (x, y) είναι η εικόνα των µιγαδικών z = x + yi, x, y R, στο µιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει z - 3 = 5, το Ρ (x, y) βρίσκεται πάνω σε Α. ευθεία B. έλλειψη Γ. κύκλο. παραβολή E. υπερβολή 3. * Η εξίσωση z - (+ i) = 4 παριστάνει στο µιγαδικό επίπεδο κύκλο µε Α. κέντρο (-, ) και ακτίνα 4 B. κέντρο (, - ) και ακτίνα Γ. κέντρο (, - ) και ακτίνα 4. κέντρο (, ) και ακτίνα E. κέντρο (, ) και ακτίνα 4 4. * Θεωρούµε στο µιγαδικό επίπεδο τον κύκλο µε κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα 0. Από τους παρακάτω αριθµούς έχει εικόνα πάνω στον κύκλο ο Α. z = + 3i B. z = 3 + i 7 Γ. z = - i 8. z = 8 + 6i E. z = + i 8 5. * Το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει z - = z - i είναι Α. ο άξονας y y B. η ευθεία y = x Γ. ο άξονας x x. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, 0) και (0, ) E. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (0, ) και (, 0) 9

11 6. * Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z βρίσκεται επάνω στον κύκλο z =, 3 τότε η εικόνα του w = βρίσκεται z Α. στον ίδιο κύκλο B. στον οµόκεντρο κύκλο ακτίνας 3 Γ. στον οµόκεντρο κύκλο ακτίνας 3. στην ευθεία µε εξίσωση y = 3x E. κανένα από τα παραπάνω 7. * Αν η εξίσωση z = z κi επαληθεύεται από τους µιγαδικούς αριθµούς που η εικόνα τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x, ο πραγµατικός αριθµός κ ισούται µε Α. B. - Γ.. - E * Στο µιγαδικό επίπεδο ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (, ) και ακτίνα 3 είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z για τον οποίο ισχύει Α. z - ( - i) = 3 B. z - (+ i) = 3 Γ. z - ( + i) = 9. z - ( + i) = 3 E. z + ( + i) = 3 9. * Αν οι εικόνες των µιγαδικών z, z, z 3 δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία τότε το πλήθος των λύσεων του συστήµατος z z = z z = z z 3 µε άγνωστο τον z C είναι Α. B. 3 Γ.. 4 Ε. 0 0

12 30. * Οι µιγαδικοί αριθµοί z που οι εικόνες y τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχήµατος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. z + < και z + i < B. z < και z + i < 0 x Γ. z > και z i >. z < και z i < Ε. z + < και z i < 3. * Οι µιγαδικοί αριθµοί z που οι εικόνες τους βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο y τµήµα του σχήµατος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. z < και z 3 < x B. z < και z 3 > Γ. z + < και z 3 >. z + < και z + 3 > Ε. z > και z 3 < 3. * Για το πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού z ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α. Το Arg (z) βρίσκεται στο διάστηµα [0, π) B. Το Arg (z) είναι η γωνία που σχηµατίζει η διανυσµατική ακτίνα του z µε τον άξονα x x και παίρνει τιµές στο [0, π) Γ. Αν Arg (z) = 4 π ο z έχει πραγµατικό µέρος ίσο µε το φανταστικό. Αν Arg (z) = π ο z είναι πραγµατικός αριθµός E. Αν Arg (z) = 3π τότε Re (z) = - Im (z) 4

13 33. * Αν z = α +βi, αβ 0 και Αrg (z) = θ, θ (0, π ) τότε πάντοτε ισχύει Α. β α = εφθ B. αβ = σφθ Γ. α β = εφθ. αβ = εφθ E. α + β = σφθ 34. * Αν Αrg (z) = 4 π, η εικόνα του z είναι σηµείο της ευθείας µε εξίσωση Α. y = x B. y = - x Γ. y = x. y = - x E. y = x 35. * Αν η εικόνα του µιγαδικού z βρίσκεται στην ευθεία y = - x τότε από τα παρακάτω µπορεί να είναι πρωτεύον όρισµα του z το Α. 4 π B. - 4 π Γ. 3π 4. π E. 5π * Αν Α, Β είναι οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο των µιγαδικών z και iz αντιστοίχως τότε η γωνία ΑΟΒ (Ο η αρχή των αξόνων) ισούται µε Α. 3π B. π 3 Γ. π. 5π 6 E. π 37. * Από τους παρακάτω µιγαδικούς αριθµούς γραµµένος σε τριγωνοµετρική µορφή είναι ο Α. - (συνθ + iηµθ) B. 3 (- συνθ + iηµθ) Γ. 3 (συνθ + iηµθ). 4 (ηµθ + iσυνθ) E. - 3 (ηµθ + iσυνθ)

14 38. * Αν z = z όπου z = ρ (συνθ + iηµθ) και z = ρ (συν 3 π + iηµ 3 π ), ρ > 0, τότε η γωνία θ δεν µπορεί να είναι Α. 7π 3 B. 3π 3 Γ. 9π 3. π 3 E. 5π * Αν z = ρ (συν 9 π + iηµ 9 π ), ρ > 0, τότε το Arg ( z) ισούται µε Α. - 9 π B. 0π 9 Γ. 7π 9. π 9 E. 7π * Αν z = συν 4 π + iηµ 4 π, τότε ο z 000 ισούται µε Α. + i B. Γ E. - i 4. * Ο z = (συν 90 π + iηµ 90 π ) 45 ισούται µε Α. 0 B. Γ. - i. i E * Αν z = συνθ + iηµθ τότε ο z ισούται µε Α. συνθ + i ηµθ B. συν θ + iηµ θ Γ. - συνθ - iηµθ. συν (- θ) + iηµ (- θ) E. - συνθ + iηµθ 43. * Αν η εξίσωση x 3 + κx + λ = 0, κ, λ R, έχει ως λύση την x = + 5i, τότε αποκλείεται να έχει λύση την Α. x = 5 B. x = - 5i Γ. x = 0. x = + i E. x = - 3 3

15 44. * H εξίσωση x - x + α = 0, α R, έχει ρίζα τον + i. Ο α ισούται µε Α. B. 4 Γ.. 0 E * Αν Ρ (x) πολυώνυµο τουλάχιστον ου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές και η εξίσωση P (x) = 0 έχει ρίζα τον αριθµό - i, θα έχει οπωσδήποτε και τον Α. + i 0 B. + i 0 Γ. + i i E. - i * Οι αριθµοί + i, 3-5i, - + 3i, + 7i είναι ρίζες του πολυωνύµου f (x) = α ν x ν + α ν- x ν- + α ν- x ν- + + α x + α 0, α ν 0, ν Ν, µε πραγµατικούς συντελεστές. Για το ν ισχύει Α. ν = 4 B. ν = 6 Γ. 4 < ν < 8. ν 8 E. 6 ν < * Η εξίσωση z 6 + z 3 + 3z + 3z + 36 = 0 έχει ρίζα τον µιγαδικό αριθµό - 3i. Τότε έχει οπωσδήποτε και τον Α. - B. + 3 i Γ E. 3 i 4

16 Ερωτήσεις συµπλήρωσης. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα για τους αριθµούς που δίνονται στην αριστερή στήλη: z Re (z) Im (z) - z z - + 3i - i - 5 3i z z. * Οι αριθµοί z, z είναι µιγαδικοί. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: µιγαδικός αριθµός z z = 3 + i z = - + i z z = z z z = z z 3 = Agr (z) τριγωνο- µετρική µορφή z 5

17 Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε κάθε µιγαδικός αριθµός της στήλης Α να αντιστοιχεί στην εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β. z = (συν 6 π + iηµ 6 π ) y Σ 5π 5π. z = συν + iηµ 6 6 Θ M E A 3. z 3 = συν 9π 9 + iηµ 6 6π Ρ Β Λ Ζ Í π 6 π 6 Κ N Η Γ x 4. z 4 = (συν 6 π - iηµ 6 π ) Τ 3 4 6

18 . * Στα σχήµατα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οποία βρίσκεται η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό επίπεδο. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β y M(z). z =, Im (z) 0 και Α. Re (z) x. z - = και Im (z) 0 y M(z) 3. z = και Re (z) 0 Β. 0 4 x 4. z + = και Re (z) < 0 y Γ. 0 4 x M(z) Α Β Γ 7

19 3. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο Στήλη Β σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός z Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας 3 Β. µεσοκάθετος του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, 0), (0, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας 3. z + + i = 3. z = 3 3. z i = 3 4. z + = z i 5. z = z + i Α Β Γ 8

20 4. * Στη στήλη Α φαίνονται οι γραµµές στο µιγαδικό επίπεδο στις οποίες ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z = x + yi, x, y R. Να συµπληρώσετε τον πίνακα έτσι ώστε σε κάθε γραµµή της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β y (ε) Α. 0 π 4 x ) z - 3 = z + 3i ) z - i = y t 3) Arg (z) = 4 π Β. 0 π 4 x 4) Arg (z - i) = - 4 π 3 y 5) z = x ( - i), x R Γ. 0 x Α Β Γ 9

21 5. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα έτσι ώστε σε κάθε γραµµή της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β 4 y Α. 4 4 x ) z - z = 8i 4 ) z = 4 y Β. 3) z - = x Γ. y 4 (ε) 4) z + z = 5) z = - z 0 x y (ε). 0 x Α Β Γ 30

22 6. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα έτσι ώστε σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α y Στήλη Β Α. 0 3π 4 3π 4 x ) Re (z) < 0, Im (z) 0 y ) z 4 4 Β x π 3) Arg (z) - π < 4 y 4) Re (z ) = - 4 Γ. 0 x 5) Im (z ) = y 6) z - =. 0 x Α Β Γ 3

23 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + yi = - i + - yi β) y + i = 3 - ( + i) x γ) 4y - 3yi - x = - 5xi + 9i δ) (x + ) i + x = x - xi - 3. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = x - x - 9i και w = - y i, x, y R. α) Να βρείτε τους x, y ώστε z = w. β) Να βρείτε τον z. 3. ** Αν θ [0, π] και z = συν θ + ηµθσυνθi, να βρείτε το θ ώστε z = ** ίνεται ο µιγαδικός z = 6i - (3-4i) x - 3yi - (3i - ) x + (4 - yi), x, y R. α) Να γράψετε τον z στη µορφή α + βi. β) Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re (z) = 0 ii) Im (z) = 0 iii) Re (z) = Im (z) iv) z = 0 5. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = ( + i) x + (y - ) i - 5, x, y R. α) Να τον γράψετε στη µορφή α + βi. β) Να γράψετε τον z συναρτήσει του x, αν Im (z) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (z) = Im (z). 6. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς: 3 α) 3i (- 5i) β) ( + i) (- i + 3) γ) 4i δ) - i ε) - i - i + ζ) ( + 3i) (- i + ) - i 3

24 7. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = - i και w = i. Να γράψετε στη µορφή α + βi τους παρακάτω µιγαδικούς: α) z δ) z β) z w ε) i w + 3 γ) ζ) w z z + i 8. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς: α) z = ( + i + i + i 3 ) 00 β) w = ( - 3i) - ( + 3i) 9. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = 3 + i και w =. Να βρείτε: - i α) Re (z) β) Re (w) γ) Im (zw) z δ) Re w z ε) Im w 0. ** Να γράψετε στη µορφή α + βi τους µιγαδικούς αριθµούς: α) z = 5 - i - i β) z = i - i - (- i). ** Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi) = + 5i. i. ** Να βρεθούν τα x, y R ώστε οι µιγαδικοί αριθµοί: z = x + y - i και z = - (4x - y) i να είναι συζυγείς. 3. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = 5 + 8i. α) Να βρείτε τους z, - z και. z β) Να βρείτε το άθροισµα w = z + z - z +. z 33

25 4. ** Αν z = x + yi, x, y R, να βρείτε τον z ώστε: ( - 3i) z i = ** Να βρείτε τον z C αν ( + 3i) z - = ( +i) + z + i. 6. ** Αν z = x + yi, x, y R και ο αριθµός w = (i - z) (z + 6i) είναι πραγµατικός, να δείξετε ότι x = 0 ή y = ** Να βρείτε όλους τους µη µηδενικούς µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει: z = iz. 8. ** Να βρείτε την τετραγωνική ρίζα του µιγαδικού αριθµού z = i. 9. ** Να βρείτε όλους τους ακεραίους ν Ν για τους οποίους ισχύει ( + i) ν = ( - i) ν. 0. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = α + βi και z = γ + δi, α, β, γ, δ R. Να δείξετε ότι ισχύει: Re (z z ) = Re (z ) Re (z ), αν και µόνο αν ένας τουλάχιστον από τους z, z είναι πραγµατικός.. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = x + yi, x, y R. z + 8i α) Να γράψετε στη µορφή α + βi τον µιγαδικό w =. z + 6 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0. γ) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0. δ) Να δείξετε ότι η προηγούµενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. ε) Να δείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. ** Η εξίσωση z + αz + β =0, α, β R έχει ρίζα τον µιγαδικό αριθµό - i. α) Να βρείτε την άλλη ρίζα. β) Να βρείτε τα α και β. 34

26 3. ** Να βρείτε τους µιγαδικούς z = x + yi, x, y R, για τους οποίους ισχύει: z + z + = ** Βρείτε τον z = x + yi, x, y R, αν z + i z - 6 = ** ίνεται ο µιγαδικός z = (3 - x) + x i, x R, x. x - α) Για ποιες τιµές του x, ο z είναι πραγµατικός αριθµός; β) Για ποιες τιµές του x, ο z είναι φανταστικός αριθµός; γ) Υπάρχει τιµή του x ώστε z = 0; 6. ** Να βρεθεί το µέτρο των µιγαδικών αριθµών: α) z = + i - 3i β) z = ( i) + i + - 4i 7. ** Να βρεθεί το µέτρο των µιγαδικών αριθµών: + i α) z = - 3i i β) z = ν 8. ** Να βρεθεί ο µιγαδικός αριθµός z που ικανοποιεί την ισότητα z + z = + i. 9. ** Αν z + 9 = 3 z +, αποδείξτε ότι z = ** Να γράψετε όλους τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει Re (z) = 3 και Im (z) = 4 ( απόλυτη τιµή). Πού βρίσκονται οι εικόνες των παραπάνω µιγαδικών αριθµών; 35

27 3. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = x + yi, x, y R. α) Να βρείτε τα Re (w) και Im (w) του w = z - 4. z - i β) Αν w R, πού βρίσκονται οι εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο; γ) Αν w φανταστικός αριθµός, πού βρίσκονται οι εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο; 3. ** Αν z = x + yi, y 0, να δείξετε ότι ο w =, + z 0 είναι πραγµατικός αν z =. z + z 33. ** Το άθροισµα τριών µιγαδικών αριθµών z, z και z 3 είναι µηδέν. Να βρείτε το κέντρο βάρους του τριγώνου που ορίζουν οι εικόνες των µιγαδικών στο επίπεδο. 34. ** Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z που ικανοποιούν τη σχέση z - = z - 4 βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας. 35. ** Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής την οποία ικανοποιούν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z = x + yi, x, y R, αν ο αριθµός w = πραγµατικός. z + i z + είναι 36. ** Ο µιγαδικός αριθµός z ικανοποιεί τις σχέσεις: - Re (z) () Im (z) () z (3) Να γραµµοσκιάσετε στο µιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του z και να βρείτε το εµβαδόν του. 37. ** Να γράψετε σε τριγωνοµετρική µορφή τους αριθµούς: 36

28 α) z = (- + i) 3 β) z = + i 38. ** Να γράψετε σε τριγωνοµετρική µορφή τους αριθµούς: α) z = - 3i β) z = - i γ) z z δ) z z και να υπολογίσετε το z z ** ίνονται οι µιγαδικοί z = - 5i και z = 5 + i. α) Να παραστήσετε τις εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο. β) Να βρείτε τα µέτρα τους. π π γ) Να δείξετε ότι z = z (συν + iηµ ). δ) Να δείξετε ότι οι διανυσµατικές ακτίνες των z και z τέµνονται κάθετα. ε) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τις εικόνες των z, z και την αρχή των αξόνων. + 5i π π 40. ** Αν z = και z = - (συν + iηµ ), να γραφούν σε τριγωνο- 3 + i 3 3 µετρική µορφή οι αριθµοί: α) z z β) z z 4. ** α) Αν Arg (z) = 6 π και z = x + yi να δείξετε ότι x = 3y. β) Να βρείτε τον w αν w - = και Arg (w - i) = 0. 37

29 4. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = 3 + i. α) Να βρείτε το Re (z), Im (z), z, Arg (z). β) Να γράψετε τον z στην τριγωνοµετρική του µορφή. γ) Αν ν θετικός ακέραιος να βρείτε τον w = z ν. δ) Να βρείτε τη µικρότερη τιµή του ν ώστε ο w να είναι πραγµατικός. ε) Υπάρχει τιµή του ν ώστε ο w να είναι φανταστικός; - i 43. ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = + i. α) Να τον γράψετε στη µορφή α + βi. β) Να βρείτε το Re (z), Im (z), z, Argz. γ) Να τον γράψετε στην τριγωνοµετρική του µορφή. δ) Να βρείτε τον w = z ** ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = x + yi, x, y R. α) Να βρείτε τον w = ( + i) z - i συναρτήσει των x, y R. β) Αν w =, να δείξετε ότι τα σηµεία Μ (x, y) ανήκουν σε κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα αυτού του κύκλου. γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής αυτού του κύκλου µε την ευθεία y = x. 45. ** Να παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο τους µιγαδικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει: π α) z - i = και Argz = 4 β) 3 z + i 4 γ) z - = z - 3 = z - i 38

30 46. ** Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων Μ (x, y) των µιγαδικών z = x + yi, x, y R, για τους οποίους ισχύει: α) Arg (z) = 4 π β) Arg (z - ) = 3 π γ) Arg (z - i) = 7π ** Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων Μ (x, y) των µιγαδικών z = x + yi για τους οποίους ισχύει: α) Arg (z - ) = 4 π β) Arg (z + 3) = 3π ** Να βρείτε το σύνολο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που είναι z - i εικόνες των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει η σχέση: Arg z + i = 4 π. 49. ** Να βρείτε το µιγαδικό αριθµό z για τον οποίο ισχύουν οι σχέσεις: Arg (z - ) = 4 π και z = ** Να γράψετε σε τριγωνοµετρική µορφή τον z = ( + i) ν + ( - i) ν, όπου ν θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι z = 0, αν ο ν είναι περιττός. π π 5. ** Για τον µιγαδικό αριθµό z ισχύουν: Arg (z + ) = και Arg (z - ) =. 6 3 Να δείξετε ότι z = ( + 3 i). 5. ** Να γράψετε στη µορφή x + yi τους µιγαδικούς: α) ( 3 + i) 4 ( + 3i) 4 β) ( + (i -) 3 i) 3 39

31 53. ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί: 3 3 z = - i z = - + i z3 = + i z 4 = i z5 = α) Να βρείτε τα µέτρα τους. β) Να βρείτε το πρωτεύον όρισµά τους. 3 + i γ) Να τους γράψετε σε µια σειρά ώστε να προηγείται αυτός που έχει το µικρότερο όρισµα. δ) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο; ε) Να βρείτε το µιγαδικό z έτσι ώστε η εικόνα του z z 5 να συµπίπτει µε την εικόνα του z ** ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί: z = - i z = - i z3 = - + i z 4 = i z 5 = i α) Να γράψετε τους µιγαδικούς αριθµούς στη µορφή z = κ ( - 3 i), κ R. β) Πού βρίσκονται οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο; γ) Να βρείτε τον µιγαδικό z έτσι ώστε η εικόνα του z z να συµπίπτει µε την εικόνα του z ** Η εξίσωση z + α + i (z - 4) = 0, α R, έχει µια πραγµατική λύση. α) Να βρείτε την τιµή του α. β) Να λύσετε την εξίσωση για την τιµή του α που βρήκατε στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών. 56. ** Να λύσετε στο σύνολο C τις εξισώσεις: α) z 4 = 8i β) z 3 + i = 0 γ) z 4 = 8-8 3i δ) z = 3+ i 57. ** Η εξίσωση z 3 + αz + z + 5 = 0 µε α R έχει ρίζα τον µιγαδικό - i. Να βρείτε όλες τις ρίζες της εξίσωσης. 40

32 58. ** α) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυµο Ρ (z) = z 3-3z + 4z -. β) Να λύσετε την εξίσωση: z 3-3z + 4z - = 0. γ) Να παραστήσετε στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία που είναι εικόνες των ριζών. δ) Τι είδους τρίγωνο σχηµατίζουν οι εικόνες των ριζών; Να βρείτε το εµβαδόν του. 59. ** Να δείξετε ότι ο µιγαδικός αριθµός + i είναι ρίζα της εξίσωσης z 4-3z 3 + 3z - = 0 και στη συνέχεια να βρείτε τις άλλες ρίζες της. 60. ** Να δείξετε ότι η εξίσωση - z = z έχει µια µόνο λύση, την z =. + i 6. ** α) Να γράψετε τον µιγαδικό w = στη µορφή α + βi. 3 - i β) Να βρείτε το µέτρο του και το πρωτεύον όρισµά του. γ) Να λύσετε την εξίσωση z 8 + i =. ( ίνεται συν 3 - i π = 6 - ) ** ίνεται η εξίσωση z - = z - 3i, z C. α) Να δειχθεί ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η µεσοκάθετος (ε) του τµήµατος ΑΒ µε άκρα Α (, 0) και Β (0, 3). β) Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x - 3y + 4 = 0. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε). δ) Να βρεθεί η εικόνα του z για τον οποίο το z είναι ελάχιστο. 63. ** ίνεται Ρ (z) = z 3 + z + 4z + 8. α) Να λύσετε την εξίσωση Ρ (z) = 0 και να γράψετε τις ρίζες της σε τριγωνοµετρική µορφή. β) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνάει από τις εικόνες των ριζών της Ρ (z) = 0. 4

33 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

34 44

35 Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 5. Λ 9. Λ. Σ 6. Σ 30. Σ 3. Σ 7. Λ 3. Σ 4. Σ 8. Σ 3. Σ 5. Σ 9. Λ 33. Σ 6. Λ 0. Λ 34. Λ 7. Λ. Σ 35. Σ 8. Σ. Σ 36. Σ 9. Σ 3. Λ 37. Σ 0. Σ 4. Λ 38. Σ. Σ 5. Λ 39. Λ. Λ 6. Λ 40. Σ 3. Σ 7. Σ 4. Σ 4. Σ 8. Λ 45

36 Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Β 7. Β 33. Γ. Γ 8. Γ 34. Α 3. Β 9. Β 35. Γ 4. Β 0. Β 36. Ε 5. Α. Γ 37. Γ 6. Γ. Γ Ε 39. Ε Β 9. Γ Β 6. Β 4.. Β 7. Γ 43.. Ε Γ 3. Β 9. Γ 45. Γ 4. Γ Β 3. Β 47. Ε 6. Ε 3. 46

37 Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης. Α. Α Θ Β 3 3 Ζ Γ 4 Γ 3. Α 3 4. Α 5 Β 5 Β 3 Γ Γ 5. Α 6. Α 3 Β 3 Β Γ Γ

38 Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης. α) x = 4, y = - 3 β) x = -, y = 7 γ) x = 3, y = δ) x = -. α) x =, y = ± 3 ή x = -, y = ± 3 β) z = - 9i 3. θ = π 4. α) z = ( 4 - x) + (6 + x - 5y) i β) i) x = 4 ii) x = 5λ - 6, y = λ R 5µ - iii) x =, y = µ R iv) x = 4, y = 5. α) z = (x - 5) + (x + y - ) i β) z = x - 5 γ) y - x + 4 = 0 6. α) 5 β) 7 + i γ) i 3 δ) + i ε) ζ) + i

39 7. α) + i β) i γ) - - i δ) i ε) ζ) i 8. α) 0 β) - 4i 9. α) 3 β) γ) 3 + δ) 3 + ε) α) i β). α = 3, β = - ή α = - 3, β =. x =, y = α) 5-8i, - 5-8i, - i β) - i z = - i

40 5. z = - i 7. i, i, - - i 8. α) - 3i, - + 3i 9. ν = 4λ, λ Ν 0. β = 0 ή δ = 0. α) w = x + y (x + 6) + 6x + 8y + y + 8x + 6y + 48 (x + 6) + y i x y β) + + = γ) x + y + 6x + 8y = 0 δ) K (- 3, - 4), R = 5 ε) Nαι. α) + i β) α = - 4, β = , + i, - i 50

41 i, i 5. α) x = 0 β) x = 3 γ) αδύνατο 6. α) β) 6 7. α) β) 3 ν 3 8. Αν z = x + yi, x, y R έχουµε x + y + x + yi = + i z = + i 4 9. z + 9 = 3 z = 3 z ( z 9)( z + 9) = 9 ( z + )( z + ) z i, i, 3-4i, - 3-4i κύκλος Κ (0, 0), R = 5 3. α) Re (w) = x x + y - 4x - y + (y -) β) ευθεία x + y - = 0 γ) κύκλος (x - ) + (y - ) = 4 5, Ιm (w) = x + 4y - 4 x + (y -) 5

42 33. Αν z = x + y i, z = x + y i, z 3 = x 3 + y 3 i είναι x G x + x + x 3 y + y + y3 =, y G =. Επειδή z + z + z 3 = x + x + x 3 = 0 και y + y + y 3 = 0 έχουµε G (0, 0), αρχή των αξόνων 34. z =, άρα Κ (0, 0), R = 35. w = w x + y + = E = 6-4π τ.µ. 37. α) z = 3 (συν 4 π + iηµ 4 π ) β) z = συνπ + iηµπ 38. α) z = (συν 5π 5π + iηµ ) β) z = (συν 3 3 7π 7π γ) z z = 4 (συν + iηµ ) 7π 7π + iηµ ) 4 4 δ) z z 6 π π z = (συν + iηµ ), z = 8i 5

43 39. β) z = z = 9 δ) άµεση συνέπεια του (γ) ε) z z 9 E = = τ.µ. 9π 40. α) (συν 9π π + iηµ ) β) συν π + iηµ 4. β) w = + i 4. β) (συν 6 π + iηµ 6 π ) γ) ν (συν δ) ν = 6 ε) ν = 3, 9, νπ νπ + iηµ ) α) - i γ) συν 3π 3π + iηµ δ) i 44. α) x - y + (x + y - ) i β) (x - ) + (y - ) = γ) (0, 0), (, ) 45. α) η εικόνα του z = + i γ) η εικόνα του z = + i 46. α) y = x, x > 0 β) y = 3 (x - ), x > γ) y = - x +, x > 0 53

44 47. α) y = x -, x > β) y = - x - 3, x < z = x + yi, (x + ) + y =, x < z = i 5. z = x + yi, z + = x + + yi π x + π y συν = = 6, ηµ = (x + ) + y 3 6 (x + ) + y =, κ.λπ. 5. α) 4 4 β) - 3i 55. α) Αν x R λύση της εξίσωσης έχουµε x + α + i (x - 4) = 0 x = 4 και x = - α α = - 4 β) z i (z - 4) = 0 (z - 4) ( + i) = 0 z = α = - 3, λύσεις -, - i, + i 58. α) P (z) = (z - i) (z + i) (z - 3) δ) 6 τ.µ. 54

45 59. Είναι ( + i) 4-3 ( + i) ( + i) - =... = 0. Επειδή η εξίσωση έχει πραγµατικoύς συντελεστές θα έχει ρίζα και τον - i. Θα έχουµε [z - ( + i)] [z - ( - i)] P (z) = 0... (z - z + ) P (z) = 0 P (z) = (z 4-3z 3 + 3z - ) : (z z + )... Ρίζες + i, - i,, 6. α) γ) z κ = 6 (συν i β) w = 4 κπ + 5π 5π κπ + + iηµ ) 8 6. δ) z = x + y = (3y - 4) + y =... = 0y - 4y + 6 Το ελάχιστο του f(y) = 0y 4 6-4y + 6 είναι στο y = = το f( ) =... =, z 5 5 min = Για y = έχουµε x = 0 x = Άρα z = i 63. α) -, i, - i β) x + y = 4 55

46 56

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ - - ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥΣ. Να βρεθούν οι τετραγωνικές ρίζες του µιγαδικού =3+4i. (+i και --i ). Nα αποδείξετε ότι v v+ v+ v+ 3 i + i + i + i = + + + v v+ v+ v+ 3. i i i i 3. Να

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 1ο. Μιγαδικοί Αριθμοί 1η. Άσκηση Να αποδείξετε ότι Α) όπου Β) Αν με τότε Γ) όπου ν Δ) Αν με τότε Ε) αν για τους μιγαδικούς z, w ισχύει τότε 2η. Άσκηση Α) Εφαρμογή 1 σελίδα 93. Β) Να βρείτε τους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).

Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z). εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις. ν α,β,γ,δ και ο OA, w a βi γ δi OB, των a βi, γ δi. α λυθεί η ανίσωση 0 πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, ], τότε να δείξετε ότι f(t)

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο

ΘΕΜΑ (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. πο ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (000-03) ΘΕΜΑ 000 α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς

Θέματα εξετάσεων στους μιγαδικούς Θέμα ο α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: 6 4 β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: i (Ιούλιος 00) Θέμα ο i

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0

Ισότητα μιγαδικών αριθμών πράξεις στο C Έστω z 1 =α+βi και z 2 =γ+δi δύο μιγαδικοί (α,β,γ,δ R) z 1 =z 2 α=γ και β=δ z 1 =0 α=0 και β=0 ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ C Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C, αποτελείται από αριθμούς της μορφής =α+βi,όπου α,βr Το στοιχείο i είναι τέτοιο ώστε : i = - Το σύνολο C είναι υπερσύνολο του R Οι πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς

Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικά ϑέµατα στους Μιγαδικούς Αριθµούς ιδάσκων : Αντώνης Λουτράρης Μαθηµατικός M.S.c Αύγουστος, 2012 Σελίδα 1 Ο συντοµότερος δρόµος ανάµεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνεχς συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της στο [α, ], τότε να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0

Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 Υλη: Μιγαδικοί Γ Λυκείου Ον/μο:.. 9-0-3 Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 0 Α. Να αποδείξετε ότι : «Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Σύγχρονο www.fasma.fro.gr ΦΑΣΜΑ GROUP προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. Μαθητικό Φροντιστήριο Κατά το πέρας της εξέτασης οι λύσεις θα αναρτηθούν στο και στο site του φροντιστηρίου. 5ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i. .3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 00-0 A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : +,, 3 +, 3, 5,, ( ) ( + ), ( ) ( + ), και +, 3+ 3 + + + ( ) 3+ 3 3 + 5 5 3 + ( ) 5 5 5 5 5. 5 + + (οι +, είναι συζυγείς,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Επίσης. Ολες οι ασκήσεις ανα κεφάλαιο του Μαίου. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

(2+ i)z (3 i)u= 5i (1+2i)z+(1+3i)u=7+8i

(2+ i)z (3 i)u= 5i (1+2i)z+(1+3i)u=7+8i Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: 00 00 005 006 ( ( ( ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ + + + + (Απ:0 5ν+ 5ν+ 5ν+ 5ν+ + + + (Απ:0 Να γίνουν οι πράξεις: + (Απ:0 5 ( 5 ( ( + + + + +

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς

Μαθηματικά Γ! Λυκείου. Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Μιγαδικοί αριθμοί. Θ ω μ ά ς. Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θ ω μ ά ς Μιγαδικοί αριθμοί Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Θ ω μ ά ς Ρ α ϊ κ ό φ τ σ α λ η ς Προαπαιτούμενες γνώσεις Βασικές TAYTOΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα