ΜΑΘΗΜΑ Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i, τότε iz = i(x + i) = ix + = ix. Οι εικόνες των z, i, iz είναι Μ(x, ), A(0, ), B(, x) αντίστοιχα. Μ(x, ) το τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου Μ, Α, Β συνευθειακά Det( AM, AB ) = 0 Είναι x 0 = 0 0 x x( x ) ( ) = 0 x x x + A + B 4Γ = = > 0 + = 0 + x = 0 (). Άρα η εξίσωση () παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ ( A, B ) ρ =, δηλαδή Κ (, ) και ακτίνα. και ακτίνα

2 . +λi Έστω οι z C µε z=, όπου λ R. λ+ i i) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε γνωστό κύκλο. ii) Για τις διάφορες τιµές του λ R, να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z. i) z = +λ i λ+ i = +λi = +λ = λ+ i λ + Άρα η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο (Ο, ), όπου Ο η αρχή των αξόνων. ii) Έστω Μ(x, ) η εικόνα του τυχαίου z µε i) Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κάποια γραµµή, πάµε µε ii) Όταν θέλουµε να βρούµε το γ.τόπο της εικόνας του z, πάµε µε Όταν x 0, η () λ = + x +λi z= λ+ i x + i = +λ i λ+ i (x + i)(λ + i) = +λi xλ + (x + λ)i = +λi xλ = και x + λ = λ xλ = + και x + λ = λ () και x = x x x = x x x + + = + x + = µε x 0 Εποµένως, όταν x 0, ο γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα, εκτός από τα σηµεία του Α(0, ) και Β(0, ) που έχουν τετµηµένη 0.. Όταν x = 0, η () 0 λ = + και 0 + λ = λ 0 = + και λ = λ = και λ = λ = και λ = 0 = και λ = 0 Οπότε το σηµείο B (0, ) είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου. Πλεονασµατικά, µπορούµε να ελέγξουµε αν υπάρχει λ R, ώστε το σηµείο Α(0, ) να είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου, δηλαδή να είναι +λi 0+ i=. λ+ i

3 3 iλ = + λi = που είναι άτοπο άρα δεν υπάρχει τέτοιο λ. Τελικά, ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι ο κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα εκτός από το σηµείο Α(0, ) 3. 4 Έστω οι z, w C µε z = και w = z +. Να αποδείξετε ότι η εικόνα z του w κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα του άξονα x x. Έστω z = x + i Βρίσκουµε χωριστά z = z = x x + Άρα και x + i () z + 4 = x + i + x i = x z 4 z + z = x Έστω w = u +vi 4 w = z + z z = 4 x + z = x 4 4 i 4 z = x i = 4 () u + vi = x u = x και v = 0 Άρα w = x + 0i πραγµατικός, άρα η εικόνα του κινείται στον άξονα x x. Αλλά () 4 4 x = x 4 x 0 0 x x Και αφού u = x, θα είναι u. Εποµένως, η εικόνα του w κινείται στο τµήµα ΑΒ του άξονα x x, όπου Α(, 0) και Β(, 0)

4 4 4. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει i) + z i 6 ii) z i z + i = iii) z i z+ i = i) + z i 6 + z i 6 z ( i ) Με κέντρο το σηµείο Κ (, ) και ακτίνες και 3 γράφουµε κύκλους. + 3 () Η () σηµαίνει ότι η απόσταση της εικόνας του z από το Κ είναι µεγαλύτερη ή ίση του και µικρότερη ή ίση του 3, άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι το µέρος του επιπέδου µεταξύ των κύκλων µαζί µε τους κύκλους. ii) z i z + i = z (0+ i) z (0 i) = () Θεωρούµε τα σηµεία Ε(0, ), Ε (0, ) Η () σηµαίνει ότι το απόλυτο της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας του z από τα Ε, Ε ισούται µε, άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι υπερβολή µε γ = και α =, άρα β = Η εξίσωση της υπερβολής είναι ( ) γ α = x 5 iii) z i z+ i = > 0 (δηλαδή z i > z + i ) = 4 = = 5 Ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι ο κλάδος της προηγούµενης υπερβολής, που βρίσκεται κάτω του άξονα x x.

5 5 5. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει 0 + = z 5 z+ 5 z 5 z = z 5 z+ 5 z 5 z+ 5 z+ 5 + z 5 = 0 z ( 5+ 0i) + z (5+ 0i) = 0 () Θεωρούµε τα σηµεία Ε(5, 0)), Ε ( 5, 0) Η () σηµαίνει ότι το άθροισµα των αποστάσεων της εικόνας του z από τα Ε, Ε ισούται µε 0, άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι έλλειψη µε γ = 5 και α = 0, άρα β = α γ = Η εξίσωση της έλλειψης είναι x 0 5 = 00 5 = 75 = ( 5 3) =

6 6 6. Οι µιγαδικοί z επαληθεύουν την ισότητα z i = z + i. Να βρείτε εκείνον που έχει το ελάχιστο µέτρο. z i = z + i z (0+ i) = z ( i) () Θεωρούµε τα σηµεία Α(0, ), Β(, ) Η () σηµαίνει ότι η εικόνα του z ισαπέχει από τα Α, Β, άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η µεσοκάθετος µ του τµήµατος ΑΒ. Εξίσωση του γεωµετρικού τόπου : Έστω z = x + i z i = z + i x+ i i = x + i + i A O M(z) K B µ x x + ( )i = (x ) + (+ )i x + ( )i = (x ) + ( + )i x + ( ) = (x ) + ( + ) x + + = x 4 = 0 () x x Φέρνουµε ΟΚ µ Έστω Μ τυχαία εικόνα του z. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΜ έχουµε (ΟΚ) (ΟΜ), άρα ο ζητούµενος z, που έχει το ελάχιστο µέτρο, δηλαδή την ελάχιστη απόσταση από το Ο, είναι αυτός που έχει για εικόνα του το Κ. Συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΟΚ : λ ΟΚ = λ ΑΒ = = 0 Εξίσωση της ευθείας ΟΚ : 0 = (x 0) = x (3) Λύνουµε το σύστηµα των (), (3) για να βρούµε τις συντεταγµένες του Κ (3) () x 4 ( x) = 0 0x = x = 0 (3) = 0 = 5 Εποµένως ο ζητούµενος z είναι 0 5 i

7 7 7. Οι µιγαδικοί z επαληθεύουν την ισότητα + z i = 3+ i z. Να βρείτε εκείνον που έχει το ελάχιστο µέτρο. Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z C, για τους οποίους ισχύει ( 3z ) ( z 3) ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων ( 3z ) = ( z 3) ( 3z ) 500 = ( z 3) 500 Μόνο 500 3z = 500 z 3 3z = z 3 3z = z 3 (3z )(3 z ) = (z 3)( z 3) 9z z 3z 3 z + = z z 3z 3 z + 9 8z z = 8 =, z =, άρα z = κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα.

8 8 9. Αν z C µε z + i = z + i, να βρείτε το ελάχιστο του z. z + i = z + i z (0 i) = z ( i) () Θεωρούµε τα σηµεία Α(0, ), Β(, ) Η () σηµαίνει ότι η εικόνα του z ισαπέχει O A Γ Κ Μ(z) x από τα Α, Β, άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η µεσοκάθετος µ του µ B τµήµατος ΑΒ. Εξίσωση του γεωµετρικού τόπου : ουλεύουµε όπως στην άσκηση 6 και βρίσκουµε (µ) : x = 0 () O αριθµός z = z (+ 0i) εκφράζει την απόσταση του σηµείου Μ(z) από το σηµείο Γ(, 0) Φέρνουµε ΓΚ µ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΚΜ έχουµε (ΓΚ) (ΓΜ). Άρα το ελάχιστο του (ΓΜ) είναι το (ΓΚ), ηλαδή το ελάχιστο του z είναι η d(γ, µ) = 0 + ( ) = = 0. Αν z C µε z = 4i z να βρείτε το ελάχιστο του 3z+ i Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση 9

9 9. Οι µιγαδικός z επαληθεύει τις σχέσεις z i z 3 και z + z =. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του. Έστω x + i ο τυχαίος z z i z 3 και z + z = ε : x = x + i i x + i 3 και x = x + ( )i (x 3) + i και x = O x x + ( ) (x 3 ) + και x = - K η : = - x + + x 6x και x = 6x 8 και x = 6 8 και x = και x = και x = Εποµένως ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ηµιευθεία Κε ( ε : x = ) πάνω από την ευθεία που έχει εξίσωση =.. Αν για τους µιγαδικούς z ισχύει z = z + i, να βρείτε σε ποια γνωστή γραµµή ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών z 4 w = + z + i z 4 w = + z + i (z ) w = z + i (z ) w = z + i (z ) w = z+ i w = z w = z+ i Άρα οι εικόνες των µιγαδικών w ανήκουν στον κύκλο που έχει κέντρο Κ(, 0) και ακτίνα.

10 0 3. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης 999 ( ) ( ) ( ) ( ) i z i z 000 i = 0 ανήκουν σε ευθεία. Παρατηρούµε ότι + i = + = 5 και 3+ i = 3+ = ( ) ( ) ( ) ( ) i z i z 000 i = = ( 3+ i ) ( z 000 i) ( i) ( z 000) = ( 3+ i ) ( z 000 i) ( i) ( z 000) ( + i) 999 ( z 000) 00 = ( 3 i ) 999 z 000 i + ( ) i 00 z 000 = 3+ i 999 z 000 i 00 ( 5) z 000 = ( 5) 999 z 000 i z 000 = z 000 i 00 z 000 = z 000 i z (000+ 0i) = z (000+ i) οι εικόνες των ριζών z της δοσµένης εξίσωσης ισαπέχουν από τα σηµεία Α(000, 0), Β(000, ), άρα ανήκουν στη µεσοκάθετο του τµήµατος ΑΒ

11 4. Οι µιγαδικοί z, w συνδέονται µε τη σχέση zw = 4w + iz. Αν η εικόνα του z κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ = 4, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε ευθεία. zw = 4w + iz zw iz = 4w (w i)z = 4w () Αν είναι w i = 0, δηλαδή w = i, η () 0 z = 4i 0 = 4i άτοπο. Άρα w i 0 Η () z = 4w z = 4w 4w = = 4 w () w i w i w i w i Επειδή η εικόνα του z κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ = 4, () 4 w θα είναι z = 4 = 4 w = w i w i w (0+ 0i) = w (0+ i) η εικόνα του w ισαπέχει από τα σηµεία Ο(0, 0), Α(0, ), άρα κινείται στη µεσοκάθετο του τµήµατος ΟΑ

12 5. Για το µιγαδικό z και για κάθε λ R δίνεται ότι ( ) i) το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z ii) τους λ, z i) Έστω z = x + i ( λ i) z= 4 i ( λ ) ώστε ο z να έχει το µέγιστο µέτρο. i (x+ i) = 4 i x + i λxi +λ = 4 i λ i z= 4 i. Να βρείτε x + λ = 4 και λx = λ = 4 x και = λx () Όταν = 0 το σύστηµα () γίνεται 0 = 4 x και 0 = λx x = 4 και 0 = λ 4 x = 4 και λ = Άρα το σηµείο (4, 0) είναι σηµείο του γεωµετρικού τόπου, όταν λ = Όταν 0 το σύστηµα () λ = 4 x λ = 4 x λ = 4 x A + B 4Γ = = 0 > 0 και = 4 x x και και = 4x x x + 4x + = 0 () Άρα, η εξίσωση () παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(, ) και ακτίνα 0, εκτός των σηµείων του Γ, που έχουν τεταγµένη = 0 (αφού 0). Για να βρούµε αυτά τα σηµεία, θέτουµε στη () όπου το 0. x 4x = 0 άρα x = 0 η x = 4. Οπότε Γ(0, 0) και (4, 0) Τελικά (από τις δύο περιπτώσεις), ο γεωµετρικός τόπος είναι ο κύκλος () εκτός από το σηµείο του Γ(0, 0) ii) Φέρνουµε τη διάµετρο ΓΚΕ (ΟΚΕ) Έστω Μ η τυχαία εικόνα του z. Με την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΚΜ έχουµε (ΟΜ) (ΟΚ) + (ΚΜ) - Μ O= Γ K Ε 5 x

13 3 z (ΟΚ) + (ΚΕ) z (ΟΕ) Άρα το z γίνεται µέγιστο, όταν Μ Ε Συντεταγµένες του Ε : K µέσο του ΟΕ x K = 0 + x = x x = 4 E E E Άρα z = 4 i E και K = 0 + ( ) = x E E H πρώτη εξίσωση του συστήµατος () λ = 4 4 E Άρα ο z έχει το µέγιστο µέτρο, όταν λ = 0. = 0 = E 6. Έστω οι z C µε ( ) + λi z = 3λ + i για κάθε λ R. i) Να δείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε κύκλο. ii) Για τους τυχαίους z, z, από τους µιγαδικούς z, να αποδείξετε ότι z z 4. Υπόδειξη i) Εργαζόµαστε όπως στο (i) της άσκησης 5 και βρίσκουµε ότι οι εικόνες του z ανήκουν στον κύκλο x = 0 ii) Η τυχαία χορδή της διαµέτρου

14 4 7. ίνονται οι z, z C µε z z = ρ. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της z z z z + z z z z =ρ εικόνας του z, για τον οποίο ισχύει ( )( ) ( )( ) Έστω Α, Α οι εικόνες των δοσµένων µιγαδικών z, z και Μ η εικόνα του z z z z + z z z z =ρ τυχαίου z για τον οποίο ισχύει ( )( ) ( )( ) z z + z z = ρ z z + z z = z z (ΜΑ ) + (ΜΑ ) = ( Α Α ) το τρίγωνο ΜΑ Α είναι ορθογώνιο στο Μ το Μ διαγράφει κύκλο διαµέτρου Α Α

15 5 8. Για τους z, w C ισχύουν z 3i και w 3 i. i) Να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί z, w τέτοιοι ώστε z = w ii) Να βρείτε τη µέγιστη τιµή του z w. i) z 3i () z (+ 3i) Με βάση τη σχέση (), ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z είναι ο κυκλικός δίσκος, που έχει κέντρο K (, 3) και ακτίνα ρ = w 3 i () w (3+ i) Με βάση τη σχέση (), ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του w είναι ο κυκλικός δίσκος, που έχει κέντρο K (3, ) και ακτίνα ρ = Αφού z = w, πρόκειται για τα κοινά σηµεία των δύο κύκλων. 4 O B K A K Γ 5 x Είναι ( K K ) = (3 ) + ( 3) = 4+ 4 = 8 = = ρ +ρ Άρα οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά σε σηµείο Α. Εποµένως οι δύο γεωµετρικοί τόποι έχουν µοναδικό κοινό στοιχείο, του οποίου εικόνα είναι το σηµείο επαφής Α. ii) Η διάκεντρος K K τέµνει τους κύκλους K, K στα σηµεία Β, Γ αντίστοιχα. Το µέγεθος z w εκφράζει την απόσταση τυχαίου σηµείου του ενός κυκλικού δίσκου από το τυχαίο σηµείο του άλλου. Άρα z w (ΒΓ) = ρ = η µέγιστη τιµή.

16 6 9. Αν για τον z C ισχύει z+ 3 + z 3 = 0, να αποδείξετε ότι 9z z = 40. Επειδή z 3 = z 3 = z 3 η υπόθεση γράφεται z ( 3+ 0i) + z (3+ 0i) = 0 Έτσι, το άθροισµα των αποστάσεων της εικόνας του z από τα σηµεία Ε ( 3, 0), Ε(3, 0) ισούται µε 0, άρα ο γεωµετρικός τόπος της εικόνας του z = x + i είναι έλλειψη µε εστίες Ε, Ε, α =5 και γ = 3. Είναι δε : β = Η εξίσωση της έλλειψης είναι α γ = 5 9 = 6 β = 4 x z z = 40 9(x + i) (x i) = 40 9x+ 9i x + i = 40 8x + 0i = 40 4x + 5i = 0 4x + 5i = 0 ( ) 4x +( ) 5 = 400 = 6 x + 5 = 400 () 6 x + 5 = 400 που ισχύει από την ()

17 7 0. Αν για τον z C ισχύει z + i + z i = z+ + z να αποδείξετε ότι Re( z ) = Im( z ). η Θέτουµε z+ + z = α (), z i z i + + =α () z ( + 0i) + z (+ 0i) = α, z (0 i) + z (0+ i) =α Κατά την (), ο z = x +i ανήκει σε έλλειψη C µε εστίες Ε (, 0), Ε(, 0), γ = και εξίσωση x α + β = β x + α = α β (3) Κατά τη (), ο z = x +i ανήκει σε έλλειψη C µε εστίες Η (0, ), Η(0, ), γ = και εξίσωση α + x β = β + α x = α β (4) (3) (4) β β ( x + ( x x x = x α ) )( β = 0 β α ( x α ) = 0 α x = 0 ) = 0 x = Re( z ) = Im( z ). η z + i + z i = z+ + z ( z + i + z i ( z + i ) = ( z+ + z ) + z + i z i + ( z i ) ) = ( z+ ) + z+ z + ( z ) (z +i)( z i) + (z + i)(z i) + (z i)( z + i) = = (z +)( z +) + (z +)(z ) + (z )( z ) z z zi + i z + + z + + z z + zi i z + = = z z + z + z + + z + z z z z + z + = z z + = z z + = z

18 8 ( z + )( z + ) = ( z )( z ) z z + z + z + z = 0 z + z = 0 z + = z z z z + Έστω z = x + i. Τότε (x + i ) + (x i ) = 0 x + xi + x + xi = 0 x = x = x =