Η Ευκλείδεια διαίρεση

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Ευκλείδεια διαίρεση"

Transcript

1 1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ τέτοιοι ώστε α=κβ +υ,0 υ< β Η διαδικασία εύρεσης των κ, υ λέγεται ευκλείδεια ή αλγοριθµική διαίρεση του α µε τον β και συµβολίζουµε α : β. Η ισότητα α = κβ + υ µε 0 υ<β, λέγεται ταυτότητα της αλγοριθµικής διαίρεσης του α µε τον β. Ο κ λέγεται πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής, ενω ο α διαιρετέος και ο β διαιρέτης. Η διαίρεση λέγεται τέλεια αν το υπόλοιπο είναι ίσο µε 0. Παρατηρήσεις και συνέπειες του θεωρήµατος α. Οι δυνατές τιµές του υπολοίπου υ της ευκλείδειας διαίρεσης του ακέραιου α µε τον µη µηδενικό ακέραιο β είναι 0,1,,..., β 1 0 υ β 1). β. Είναι πλέον φανερό ότι για την διαίρεση του ακεραίου α µε τον ακέραιο ισχύει: α = κ+ υ, 0 υ<. Οι δυνατές τιµές του υ είναι 0 ή 1. Αν υ= 0 τότε α = κ, κ Ζ άρτιοι αριθµοί) Αν υ= 1 τότε α = κ+ 1, κ Ζ περιττοί αριθµοί) γ. Λόγω της µοναδικότητας του πηλίκου και του υπoλοίπου σε µια ευκλείδεια διαίρεση η ισότητα α = β λ + µ µε 0 µ < β, εκφράζει την ευκλείδεια διαίρεση του ακεραίου α µε τον ακέραιο β 0 µε πηλίκο λ και υπόλοιπο µ. δ. Οι ακέραιοι αριθµοί ταξινοµούνται σε κατηγορίες ανάλογα µε την τιµή του υπολοίπου

2 188. Η Ευκλείδεια διαίρεση της διαίρεσής τους µε έναν ακέραιο έστω β 0. ισοϋπόλοιποι) * Ζ συγκεκριµέ- Ισχύει α = κβ+ υ µε υ= 0,1,,..., β 1 όπου α Ζ τυχαίος) και νος). Τότε: β Ειδικά για την διαίρεση µε τον έχουµε: Σχόλιο Για την αντιµετώπιση αρκετών προβληµάτων στην θεωρία αριθµών χρειάζεται να διακρίνουµε τους ακέραιους σε δύο µεγάλες πολυπληθείς οµάδες, τους άρτιους και τους περιττούς δηλαδή της µορφής α = κ ή α = κ+ 1, κ Ζ αντίστοιχα. Άλλες φορές πάλι η λύση των προβληµάτων ή η απόδειξη ιδιοτήτων των ακέραιων απαιτεί τη διάκρισή τους σε µεγάλου πλήθους ολιγοµελείς οµάδες δηλαδή της µορφής α = κβ, α = κβ + 1, α = κβ+,..., α = κβ+ β 1), κ Ζ. Στην παρακάτω πρόταση αναφέρονται σηµαντικά και εύχρηστα συµπεράσµατα. Όσα δεν αναφέρονται σαν προτάσεις στο σχολικό βιβλίο,θα πρέπει να αποδεικνύονται. Βασικές προτάσεις Το άθροισµα ή η διαφορά δύο άρτιων είναι άρτιος. Το άθροισµα ή η διαφορά δύο περιττών είναι άρτιος. Αν η διαφορά δύο ακέραιων είναι άρτιος τότε και το άθροισµα είναι άρτιος και αντίστοιχα, αν η διαφορά δύο ακέραιων είναι περιττός τότε και το άθροισµα είναι περιττός. Το άθροισµα ή η διαφορά ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός. Το γινόµενο δύο άρτιων είναι άρτιος. Το γινόµενο δύο περιττών είναι περιττός.

3 Η Ευκλείδεια διαίρεση 189. Το γινόµενο ενός άρτιου και ενός περιττού είναι άρτιος. Το γινόµενο δύο διαδοχικών ακέραιων είναι άρτιος. ν * Αν α άρτιος τότε α, ν Ν είναι άρτιος. ν * Αν α περιττός τότε α, ν Ν είναι περιττός. Το άθροισµα πεπερασµένου πλήθους άρτιων είναι άρτιος. Το άθροισµα άρτιου πλήθους περιττών είναι άρτιος. Το άθροισµα περιττού πλήθους περιττών είναι περιττός. Το γινόµενο δύο ή περισσοτέρων ακέραιων είναι άρτιος, αν και µόνο αν, ένας τουλάχιστον παράγοντας είναι άρτιος. Το γινόµενο δύο ή περισσοτέρων ακεραίων είναι περιττός, αν και µόνο αν, όλοι οι παράγοντες είναι περιττοί. Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία - Mέθοδος 1 Για την εύρεση της ταυτότητας της αλγοριθµικής διαίρεσης του α µε τον β αρχικά κάνουµε την διαίρεση του α µε τον β και στη συνέχεια διαµορφώνουµε τα πρόση- µα των δύο µελών ώστε να εµφανίσουµε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του α µε τον β. Συχνά χρειάζεται και η προσθαφαίρεση του β διαιρέτη) ώστε να εµφανίσουµε την ταυτότητα της διαίρεσης. Παράδειγµα 1 Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α µε τον β όταν: i. α =, β = 4 ii. α =, β = 4 iii. α=, β = 4 iv. α =, β = 4 v. α = 4, β = vi. α = 4, β = vii. α = 4, β = viii. α = 4, β = i. Είναι φανερό ότι = ii. Ισχύει λόγω του i. = ή = 5 4 ή = ή = 6) iii. Ισχύει = ή = 5) 4) + iv. Είναι = ή = 5 4 ή = ή = 6) 4) + 1. v. Είναι προφανές ότι 4= vi. Ισχύει 4= ή 4= 0 4 ή 4 = ή 4 = 1) vii. Είναι 4= ή 4 = 0 ) + 4. viii. Ισχύει 4= ή 4= 0 4 ή 4 = ή 4 = 1 ) Ο πολλαπλασιασµός και των δύο µελών σε αρκετές από τις παραπάνω ισότητες όπως και η προσθαφαίρεση του διαιρέτη και στα δύο µέλη σκοπό έχει να δηµιουργήσουµε υπόλοιπο υ θετικό και µικρότερο της απόλυτης τιµής του διαιρέτη.

4 190. Η Ευκλείδεια διαίρεση Παράδειγµα ίνεται η ισότητα 14 = ) Ι. α. Να ελέγξετε ποιων ακεραίων αποτελεί ταυτότητα αλγοριθµικής διαίρεσης. β. Να προσδιορίσετε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του 14 µε τον 11 µε τη βοήθεια της ισότητας Ι). α. Αποτελεί ταυτότητα ευκλείδειας διαίρεσης του 14 µε τον 1,αφού ισχύει: α = κβ+ υ µε 0 υ<β,όπου α = 14, κ = 11, β = 1 και υ= 11 µε 0 11< 1 ενώ δεν αποτελεί ταυτότητα ευκλείδειας διαίρεσης του 14 µε τον 11, διότι δεν ισχύει 0 11< 11. β. Λόγω του i. ερωτήµατος η ισότητα Ι) δεν είναι ταυτότητα ευκλείδειας διαίρεσης του 14 µε τον 11. Έχουµε 14 = ή 14 = ή 14 = Άρα το πηλίκο είναι 1 το υπόλοιπο 0 και η διαίρεση είναι τέλεια. Παράδειγµα α. Να δείξετε ότι κάθε αριθµός της µορφής κ 1 είναι περιττός, κ Ζ. β. Να δείξετε ότι κάθε αριθµός της µορφής κ+ είναι άρτιος, κ Ζ. γ. Να δείξετε ότι κάθε περιττός αριθµός είναι της µορφής 4κ± 1, κ Ζ. α. Έστω ακέραιος αριθµός α = κ 1, κ Ζ. Είναι α = κ 1= κ + 1= κ 1) + 1. Θέτουµε κ 1= λ οπότε α = λ+ 1, λ Ζ. Άρα ο α = κ 1, κ Ζ είναι περιττός. β. Έστω ακέραιος αριθµός α = κ+, κ Ζ. Είναι α = κ+ = κ+ 1) = λ, λ Ζ. Άρα ο α = κ+, κ Ζ είναι άρτιος. γ. Έστω ένας περιττός ακέραιος α = λ+ 1, λ Ζ. Ο ακέραιος λ είναι ή άρτιος ή περιττός. Αν λ = κ τότε α = κ) + 1= 4κ+ 1, κ Ζ. Ενώ,αν λ= µ + 1 τότε : α= µ + 1) + 1= 4µ + = 4µ + 4 1= 4 µ + 1) 1= 4κ 1, κ = µ + 1 Ζ. Παράδειγµα 4 Α. Το τετράγωνο ενός ακεραίου α παίρνει τις µορφές: α. α = λ ή α = λ+ 1, λ Ζ β. α = 4κ ή α = 4κ+ 1, κ Ζ γ. α = 5ρ ή α = 5ρ 1 ή α = 5ρ + 1, ρ Ζ Β. Το τετράγωνο ενός περιττού ακεραίου α παίρνει τις µορφές: δ. α = 8λ+ 1λ Ζ ε. α = 4ρ + 1 ή α = 4ρ 1, ρ Ζ Γ. Το τετράγωνο ενός άρτιου ακέραιου α παίρνει την µορφή : ζ. α = 4 κ, κ Ζ.

5 Η Ευκλείδεια διαίρεση 191. Α.α. Είναι γνωστό ότι η ευκλείδεια διαίρεση του ακέραιου α µε τον έχει δυνατά υπόλοιπα. 0,1, υ= οπότε ο α είναι της µορφής:, 1,, α= κ α= κ+ α= κ+ κ Ζ. Σχόλιο: α= κ τότε Aν Aν 1 α = κ = 9κ = κ = λ, λ Ζ. α= κ+ τότε α= κ+ τότε Aν α = κ+ 1 = 9κ + 6κ+ 1= κ + κ + 1= λ+ 1. α = κ+ = 9κ + 1κ+ 4= 9κ + 1κ+ + 1= = κ + 4κ+ 1+ 1= λ+ 1, λ Ζ Επιπλέον αναφέρουµε ότι α= κ+ = κ+ 1= κ+ 1) 1= λ 1, λ Ζ οπότε οι δεκτές µορφές του α είναι : α= κ, α= κ 1, α= κ+ 1, κ Ζ. β. Σύµφωνα µε την ταυτότητα ευκλείδειας διαίρεσης του α µε τον 4 είναι 4, 4 1, 4, 4, α= κ α= κ+ α= κ+ α= κ+ κ Ζ. Aν 4 α= κ είναι Aν 4 1 α = 16κ = 4 4κ = 4 λ, λ Ζ. α= κ+ είναι ) Aν 4 α = 4κ+ 1 = 16κ + 8κ+ 1= 4 4κ + κ + 1= 4λ+ 1, λ Ζ. α= κ+ είναι α= κ+ είναι Aν 4 α = 4κ+ = 16κ + 16κ+ 4 = 4 4κ + 4κ+ 1 = 4 λ, λ Ζ. α = 4κ+ = 16κ + 4κ+ 9= 16κ + 4κ+ 8+ 1= = 4 4κ + 6κ+ + 1= 4λ+ 1, λ Ζ γ. Ισχύει α= 5κ+υ µε 0 υ< 5, κ Ζ οπότε α = 5κ+υ = 5κ + 10κυ+υ = 5 5κ + υκ +υ = 5 ρ +υ, ρ Ζ. Αν υ = 0 τότε α = 5ρ, υ = 1 τότε α = 5ρ + 1, ρ Ζ ρ Ζ υ = τότε α = 5ρ + 4= 5ρ + 5 1= 5 ρ + 1 1= 5λ 1, λ Ζ υ = τότε α = 5ρ + 9= 5ρ = 5 ρ + 1= 5λ 1, λ Ζ υ = 4 τότε α = 5ρ + 16= 5ρ = 5 ρ + + 1= 5λ+ 1, λ Ζ Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει : α = 5ρ ή α = 5ρ - 1 ή α = 5ρ + 1. Όταν ζητείται να αποδείξουµε α = 4κ ή α = 4λ ή α = 4ρ κ. λ.π. και αποδείξουµε ότι α = 4µ είναι το ίδιο πράγµα αφού όλα τα παραπάνω σηµαίνουν ότι ο α είναι πολλαπλάσιο του 4.

6 19. Η Ευκλείδεια διαίρεση Β.δ. Έστω ακέραιος περιττός α= κ+ 1, κ Ζ. Τότε α = κ+ 1 = 4κ + 4κ+ 1= 4κ κ = 4 λ+ 1= 8λ+ 1, λ Z Κάναµε χρήση του συµπεράσµατος Το γινόµενο δύο διαδοχικών ακέραιων είναι άρτιος. Οι αποδείξεις των υπολοίπων είναι ανάλογες. Κατηγορία - Mέθοδος Όταν γνωρίζουµε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 1 δ1 β και ζητούµε το πηλίκο ή το υπόλοιπο της διαίρεσης α µε δ β ) µετασχηµατίζουµε κατάλληλα την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του 1 α µε τον δ 1 α ώστε να εµφανίσουµε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του α µε τον δ β ). Ο µετασχηµατισµός περιλαµβάνει πολλαπλασιασµούς και προσθαφαιρέσεις ειδικών παραστάσεων των α, β και ιδιαίτερα προσοχή στον περιορισµό του υπολοίπου. α µε Παράδειγµα 1 Θεωρούµε την ευκλείδεια διαίρεση των θετικών ακέραιων α, β, µε πηλίκο κ και υπόλοιπο υ. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ακέραιου xα + yβ µε τον β όπου x, y ακέραιοι. Ισχύει α = κβ+ υ µε 0 υ< β. Οπότε xα = κxβ + xυ ή xα + yβ = κxβ+ yβ+ xυ 1) α. Αν 0 xυ< β τότε η 1) γράφεται xα + yβ = κx+ y) β+ xυ και αποτελεί την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του xα + yβ µε τον β µε πηλίκο κx + y και υπόλοιπο xυ. β. Αν xυ β τότε η 1) γράφεται : xα + yβ = κxβ+ yβ+ λβ+ xυ λβ), µε λ Ζ έτσι ώστε 0 xυ λβ < β Οπότε xα + yβ = κx+ y + λβ ) + xυ λβ) και αποτελεί την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του xα + yβ µε τον β µε πηλίκο κx + y + λ και υπόλοιπο xυ λβ. Ο προσδιορισµός του λ γίνεται από την επίλυση του συστήµατος : xυ x υ λβ 0 x υ λβ λ β και xυ β xυ β xυ λβ<β xυ β<λβ <λ λ> β β xυ β xυ δηλαδή < λ β β.

7 Η Ευκλείδεια διαίρεση 19. Κατηγορία - Mέθοδος Π α) Για να αποδείξουµε ή να ελέγξουµε ότι ένα κλάσµα της µορφής παριστάνει ακέραιο Πα) είναι µια παράσταση του ακέραιου α) συνήθως εκφράζουµε τον ακέραιο ν α= κν+ υ µε υ = 0,1,,...,ν 1 δηλαδή α = κν, α=κν+ 1,..., α = κν+ ν 1) και Π α) εξετάζουµε την τιµή του κλάσµατος, για κάθε µια µορφή του α. ν Παράδειγµα 1 x y Θεωρούµε το σύνολο των σηµείων Μ x,y ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει + = 1 Ι). 7 4 α. Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι ευθεία. β. Να προσδιορίσετε το σύνολο των σηµείων της ευθείας του α. ερωτήµατος που έχουν συντεταγµένες ακέραιους αριθµούς. γ. Να ελέγξετε αν τα σηµεία του επιπέδου µε ακέραιες συντεταγµένες των οποίων η τεταγµένη διαιρούµενη µε τον αριθµό 4 δίνει υπόλοιπο 1 ή βρίσκονται πάνω στην ευθεία του α. ερωτήµατος. δ. Να ελέγξετε αν το σηµείο µε συντεταγµένες ακέραιους και τεταγµένη 4 00) βρίσκεται επί της ευθείας Ι). x y α. Ισχύει + = 1 4x 7y = 8 4x 7y + 8 = 0 οπότε η σχέση Ι) έχει τη µορφή 7 4 Ax + By + Γ= 0 µε A + B 0 και εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ x,y ) που επαληθεύουν την Ι) είναι ευθεία y 7y β. Η εξίσωση 4x 7y + 8 = 0 γίνεται 4x = 7y 8 x = x = y Επειδή o x είναι ακέραιος πρέπει και 7 + να είναι ακέραιος. Γνωρίζουµε ότι τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του y µε τον 4 είναι 0, 1,,,οπότε ο ακέραιος y έχει µία 4 από τις µορφές : y= 4κ ή y= 4κ+ 1 ή y= 4κ+ ή y= 4κ+, κ Ζ. 7y 7 4κ Αν y= 4κ, κ Ζ τότε : 7+ = 7+ = 7+ 7κ = 7 κ 1) Ζ. 4 4 Αν y= 4κ+ 1, κ Ζτότε : Αν y= 4κ+ κ Ζ τότε : 7y 7 4κ+ 1) 7 4κ = 7+ = 7+ + = 7+ 7κ+ Ζ y 7 4κ+ ) 7 4κ = 7+ = 7+ + = 7+ 7κ+ Ζ

8 194. Η Ευκλείδεια διαίρεση Αν y= 4κ+, κ Ζ τότε : 7y 7 4κ+ ) 7 4κ = 7+ = 7+ + = 7+ 7κ+ Ζ Τα σηµεία της ευθείας µε εξίσωση 4x 7y + 8 = 0 που έχουν συντεταγµένες ακέραιους είναι Μ x,y ) µε x = 7 κ 1) και y= 4κ, κ Ζ. γ. Έστω Σ x,y ) τα σηµεία του επιπέδου µε x, y ακέραιους. Επειδή ο y διαιρούµενος µε τον 4 δίνει υπόλοιπο 1 ή έχει την µορφή y= 4κ+ 1 ή y= 4κ+, σύµφωνα µε το συµπέρασµα του β. ερωτήµατος τα σηµεία Σ x,y ) δεν αποτελούν σηµεία της ευθείας 4x 7y + 8 = 0. δ. Η τεταγµένη 4 00) του σηµείου γίνεται: 4 00) ) = = 4κ + 1, όπου κ = [ 00) + 1] Ζ οπότε λόγω του συµπεράσµατος του ερωτήµατος γ. το σηµείο δεν ανήκει στην ευθεία. Παράδειγµα Έστω α ακέραιος αριθµός. α α + ) α. Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί της µορφής είναι ακέραιοι. α + α+ 1) + α+ ) β. Να αποδείξετε ότι ο αριθµός Α = είναι ακέραιος. 9 α. Επειδή τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του α µε τον είναι 0, 1, ο α έχει µια από τις µορφές α = κ ή α = κ+ 1 ή α = κ+, κ Ζ. Αν α = κ, κ Ζ τότε: Αν α = κ+ 1, κ Ζ τότε: α α + ) κ[ κ) + ] = = κ 9κ + ) Ζ. α α + ) κ+ 1) [ κ+ 1) + ] = = κ+ 1 κ + κ+ 1) Ζ. Αν α = κ+, κ Ζ τότε: β. Είναι α α + ) κ+ ) [ κ+ ) + ] = = κ+ κ + 4κ+ ) Ζ. ) α + α+ 1 + α+ α + α + α + α+ 1 + α + 6α + 1α+ 8) Α = = = 9 9

9 Η Ευκλείδεια διαίρεση 195. α + 9α + 15α + 9 α + α + 5α + α + α + α + α + = = = 9 ) ) ) ) α + α+ + α + α α + α+ 1 α α + ) ) α α + = + = α + α+ 1 + Ζ, λόγω α.) ερωτήµατος. Κατηγορία - Mέθοδος 4 Στην περίπτωση που αναζητούµε τους ακέραιους που διαιρούµενοι µε γνωστό αριθ- µό δίνουν πηλίκο Π λ ) και υπόλοιπο υ λ) εκµεταλευόµαστε την ανισοτική σχέση, από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης, που αφορά στο υπόλοιπο δηµιουργώντας ανισοτική σχέση για το λ. Απο την ανισοτική αυτή σχέση προσδιορίζουµε το λ αφού λ ακέραιος) και στη συνέχεια βρίσκουµε τους ζητούµενους ακέραιους. Παράδειγµα 1 Να προσδιορίσετε αν υπάρχει) ακέραιος α ο οποίος διαιρούµενος µε τον 1 δίνει πηλίκο λ - 16 και υπόλοιπο λ + λ 4λ. Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι α = 1 λ 16 + λ + λ 4λ). Πρέπει 0 λ + λ 4λ< 1 δηλαδή λ + λ 4λ 0 ). Επίλυση της ανίσωσης 1). Έχουµε λ + λ 4λ 1< 0 λ λ+ ) 4 λ+ ) < 0 λ 4) λ + ) < 0 λ ) λ + ) λ + ) < Γ 1 = 0 λ, ),) Επίλυση της ανίσωσης ). Έχουµε λ + λ 4λ 0 λ λ + λ 4) 0 Γ = λ λ+ 4 λ 1 0 λ [ 4,0] [ 1, + ) Από την επαλήθευση των ανισώσεων 1) και ) και επειδή λ Ζ προκύπτουν, λ = 4ή λ = 0 ή λ = 1. λ + λ 4λ 1< 0 1) και

10 196. Η Ευκλείδεια διαίρεση Για λ = 4 είναι α = 1) 4 16) + 0 = 004 Για λ = 0 είναι α = 1) 0 16) + 0 = 1956 Για λ = 1 είναι α = 1) 1 16) + 0 = Παράδειγµα α. Να προσδιορίσετε τους θετικούς ακέραιους α και β αν το πηλίκο της διαίρεσης του α µε τον β είναι 8 και το υπόλοιπο, δεδοµένου ότι α< 4. β. Να προσδιορίσετε τους φυσικούς αριθµούς α, β αν ισχύει 6 = 15α+ 9β και α+ β< 14. α. Ισχύει α = 8β+ µε 0 < β δηλαδή β > 1). Επίσης είναι α < 4 8β + < 4 8β < 40 β < 5 ) Από τις σχέσεις 1) και ) και επειδή β ακέραιος είναι β = 4. Άρα α = 8 4+ δηλαδή α = 5. β. Έχουµε 6 = 15α+ 9β = 14α+ 8β+ α+ β = 14 α+ β) + α+ β και επειδή 0 α+ β< 14 µπορούµε να θεωρήσουµε το α+ β ως πηλίκο και το α+ β υπόλοιπο της διαίρεσης 6 :14. Όµως 6 = και επειδή το πηλίκο και το υπόλοιπο στην ευκλείδεια α + β = 5 διαίρεση είναι µοναδικά πρέπει να ισχύουν: α = 1 και β = 1. α + β = 1 Παράδειγµα Να προσδιορίσετε τους ακέραιους αριθµούς κ, λ, µ για τους οποίους ισχύει : κ+ 4λ+ 80µ = 58 µε 0 κ < 4 και λ < 6. Είναι κ+ 4λ+ 80µ = 58 ή κ+ 4 λ+ 0µ ) = 58 1). Επειδή 0 κ < 4 και το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης δύο ακέραιων είναι µοναδικοί αριθµοί, από την 1) προκύπτει ότι το κ ισούται µε το υπόλοιπο και το λ+ 0µ µε το πηλίκο της διαίρεσης του 58 µε τον 4 δηλαδή κ = και λ+ 0µ = 145 ) αφού 58 = Η σχέση ) δηλαδή λ+ 0µ = 145 αφού λ < 6 εκφράζει την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του 145 µε τον 0 η οποία είναι 145 = και για τους ίδιους µε τη παραπάνω περίπτωση λόγους ο λ = 5 και ο µ = 7 ως µοναδικά, υπόλοιπο και πηλίκο της διαίρεσης του 145 µε τον 0 αντίστοιχα.

11 Η Ευκλείδεια διαίρεση 197. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 5κ+ 4 α. Να βρείτε τις τιµές του ακέραιου αριθµού κ ώστε ο αριθµός α= να είναι ακέραιος 6κ β. Να βρείτε τις τιµές του κ Ζ ώστε ο αριθµός α= να είναι ακέραιος 4 α. Η διαίρεση του κ µε το δίνει: κ= λ+υ µε υ= 0,1,. Αν υ = 0 τότε κ = λ οπότε Αν υ = 1 Αν υ = τότε κ = λ + 1 οπότε τότε κ = λ + οπότε 5κ+ 4 5 λ+ 4 15λ+ 4 4 α= = = = 5λ+ Ζ 5λ λ+ 9 α= = = 5λ+ Ζ 5 λ+ ) λ α= = = 5λ+ Ζ 5κ+ 4 άρα ο αριθµός α= είναι ακέραιος όταν κ= λ+ 1, λ Ζ. β. Από την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του κ µε το 4 προκύπτει: κ = 4λ + υ µε 0 υ< 4 δηλαδή υ = 0, 1,,. Αν υ = 0 τότε κ = 4λ οπότε Αν υ = 1 τότε κ = 4λ + 1 οπότε Αν υ = τότε κ = 4λ + οπότε 6 4λ 4λ α= = = 6λ Ζ λ+ 1 4λ+ α= = = 6λ+ Ζ λ+ 4λ+ 9 α= = = 4λ+ Ζ λ+ 4λ Αν υ = τότε κ = 4λ + οπότε α= = = 4λ+ Ζ Άρα δεν υπάρχει κ Ζ τέτοιο ώστε το α Ζ. Άσκηση Αν ο ακέραιος κ διαιρούµενος µε 4 δίνει υπόλοιπο να δείξετε ότι ο αριθµός α=κ + κ+ διαιρούµενος µε 4 δίνει υπόλοιπο. Αφού ο κ διαιρούµενος µε 4 δίνει υπόλοιπο τότε είναι της µορφής κ= 4λ+, λ Ζ. Είναι α=κ + κ+ = 4λ+ + 4λ+ + = 16λ + 16λ λ+ 4 + = 16λ + 4λ+ 11 = 16λ + 4λ+ 8 + = 4 4λ + 6λ+ + = 4ρ +. Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε 4 είναι.

12 198. Η Ευκλείδεια διαίρεση Άσκηση Αν σε µια διαίρεση ο διαιρετέος είναι ο 5 και το πηλίκο ο 19 να βρείτε τον διαιρέτη και το υπόλοιπο. Είναι 5 = 19 δ+υ, 0 υ<δ. Οπότε 5 = 19 δ+υ 5 19 δ=υ 1) Επίσης δ<δ 5 < 0δ δ> 1) 0 0 υ<δ δ<δ δ 19 δ 5 δ Άρα <δ 6,6 <δ 8, οπότε το δ παίρνει τις τιµές 7, Αν δ = 7 τότε από την 1) είναι υ= υ= 19. Αν δ = 8 τότε από την 1) είναι υ= υ= 0. Άσκηση 4 4 α 1 Αν ο α είναι περιττός ακέραιος να δείξετε ότι ο αριθµός Ζ 16 1 ος τρόπος Αφού ο α είναι είναι περιττός γράφεται µε τη µορφή : α= λ+ 1, λ Ζ. Τότε α ) α ) α + ) α ) α+ ) α + ) 4 α = = = = λ+ 1 1) λ+ 1+ 1) 4λ + 4λ+ 1+ 1) λ λ+ ) 4λ + 4λ+ ) = = = λ λ+ 1 λ + λ+ 1 8λ λ+ 1 λ + λ+ 1 = = = ) 1) ) 1 λ λ+ λ + λ+ ρ λ + λ+ = = =ρ λ + λ+ 1) Ζ *), 1 λ λ+ 1 = ρ λλ+ είναι διαδοχικοί ακέραιοι οπότε ος τρόπος Από την εφαρµογή ) του Σχολ. βιβλίου Μαθηµατικά Θετικής Κατευθυνσης ii) Το τετράγωνο κάθε περιττού αριθµού είναι της µορφής α = 8λ+ 1, λ Ζ. 4 1 α 1) α + 1) 8λ+ 1 1) 8λ+ 1+ 1) 8λ 8λ+ ) 16λ 4λ+ 1) Είναι α = = = = = =λ 4λ+ 1 Ζ.

13 Η Ευκλείδεια διαίρεση 199. Άσκηση 5 Αν ο ακέραιος αριθµός α δεν είναι πολλαπλάσιο του να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α + 1 µε το. Ο ακέραιος α γράφεται: α= λ+υ, υ= 0,1,. ηλαδή: α= λ α= λ+ 1 α= λ+ Αφού το α δεν είναι πολ/σιο του είναι α = λ+ 1 ή α= λ+ Αν α = λ + 1 τότε ) α + 1= λ = 9λ + 6λ+ = λ + λ + = ρ +, οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α + 1 µε είναι. Αν α = λ + τότε α + = λ+ + = λ + λ+ = λ + λ+ + = λ + λ+ + = ρ ρ ρ οπότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α + 1 µε είναι.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε τον β στις παρακάτω περιπτώσεις: i. α = 10, β = 1, ii. α = -59, β = 6 iii. α = 17, β = -7 iv. α = -98, β = -. Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς α, β, γ, δ για τους οποίους ισχύουν: α. α+ 6β + 4γ + 7δ= 658 β. α< 6, β < 4, γ < ν +. Να εξετάσετε πότε ο αριθµός α= να είναι ακέραιος αν ν Ζ 4. Να βρείτε οι τιµές του ρ Ζ ώστε ο αριθµός 5ρ + α= να είναι ακέραιος Να δείξετε ότι για κάθε α Ζ ο αριθµός 1) 1) α α+ α+ 6 είναι ακέραιος

14 00. Η Ευκλείδεια διαίρεση 6. Αν α περιττός ακέραιος να δείξετε ότι: α. ο αριθµός 6 α + α+ 1 α + 11 ) α + 15 ) β. ο αριθµός είναι ακέραιος είναι θετικός ακέραιος ν +ν ίνεται το κλάσµα κ=, ν Ν * το οποίο απλοποιείται µε τον αριθµό 7. ν +ν + Να δείξετε ότι ο ν διαιρούµενος µε 7 δίνει υπόλοιπο. 8. Να βρείτε τους ακέραιους αριθµούς ν ώστε ο αριθµός ν +ν+ α= να είναι ακέραιος. 9. Έστω α, β, γ διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι. Να δείξετε ότι αν ένας απ αυτούς διαιρείται µε τον αριθµό δίνει υπόλοιπο µηδέν υ = 0) 10. Αν α Ζ και ο α δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε τον Να δείξετε ότι η εξίσωση x = 1+ 8y έχει λύση στο σύνολο των ακεραίων Ζ. 1. ίνεται η εξίσωση α x +β x+ γ = 0 όπου οι συντελεστές α, β και ο σταθερός όρος γ είναι περιττοί ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει ρητές ρίζες. 1. Έστω fx) πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει ότι f4) f5) είναι περιττός αριθµός. Να δείξετε ότι το fx) δεν έχει ακέραια ρίζα. 14. Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν ο αριθµός 541 να γραφεί ως άθροισµα 600 φυσικών αριθµών που επιλέγονται από το σύνολο A = { 1,,5,7,9} 15. Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς x, y ώστε να ισχύει η σχέση 189 = 1α+ 5β µε α+β < 1.

15 Η Ευκλείδεια διαίρεση 01. Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ 1. Έστω πολυώνυµο Ρ x = x + x λ, λ Ζ, x R και ακέραιος α ο οποίος διαιρούµενος µε τον 9 δίνει πηλίκο λ+ 1 και υπόλοιπο τον Ρ ). α. Να προσδιορίσετε το πολυώνυµο Ρ x ) και τον ακέραιο α αν το πηλίκο είναι περιττός ακέραιος. β. Να δείξετε ότι οι ακέραιοι α του πρώτου ερωτήµατος αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου.. α. Να δείξετε ότι για κάθε,,, * 00 β. Να βρείτε το τελευταίο ψηφίο του αριθµού 9. Υπ.: α. P x) = x ) Π x) + P, α = λ+ 1) + P β. Είναι 9= 4+ 1 και χρησιµοποιήστε το α) κλ µ Ζ ν Ν ισχύει ότι: ν ν κλ + µ =πολκ+µ

16

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ 1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων . ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)

Διαβάστε περισσότερα

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β

v Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.

1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ 158 44 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω α, β δύο ακέραιοι Ένας ακέραιος δ λέγεται κοινός διαιρέτης των α και β, όταν είναι διαιρέτης και του α και του

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η µαθηµατική ανάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί να πάρει τη µορφή ποιοτικής, παραµετρικής και ποσοτικής ανάλυσης.

Πρόλογος. Η µαθηµατική ανάλυση των οικονοµικών σχέσεων µπορεί να πάρει τη µορφή ποιοτικής, παραµετρικής και ποσοτικής ανάλυσης. 1 Πρόλογος Σκοπός του παρόντος συγγράµµατος είναι να αναδείξει τη συµβολή των καθαρών µαθηµατικών στην ανάπτυξη και λειτουργία οποιουδήποτε οικονοµικού συστήµατος. Σε κάθε βήµα των µαθηµατικών µεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς :

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : 1. Αν μια πρόταση Ρ(ν) αληθής για ν = 3 και με την υπόθεση ότι Ρ(ν) είναι αληθής αποδείξουμε ότι και η Ρ(ν+1)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Αν, δ φυσικοί αριθµοί µε δ 0, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ όπου υ < δ Η διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα