L A TEX 2ε. mathematica 5.2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "L A TEX 2ε. mathematica 5.2"

Transcript

1 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005

2

3 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica 5.2 ημερομηνια : 31 Μαρτιου 2007

4

5 Περιεχομενα 1 Καμπύλες Παραμετρικοποιημένες Καμπύλες Κανονικές Καμπύλες 5 1.2αʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα Εξωτερικό Γινόμενο (Διανυσματικό Γινόμενο) Τοπική Θεωρία Καμπυλών αʹ Επίπεδο Κίνησης βʹ Ανακεφαλαίωση γʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα Ισοπεριμετρική Ανισότητα 21 2 Επιφάνειες στον R Διαφορισιμότητα Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών αʹ Κανόνας Αλυσίδας Κανονικές Επιφάνειες αʹ Σφαιρικές Συντεταγμένες βʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα 39 Αʹ Σχήματα Σχεδιασμένα στο Mathematica Βιβλιογραφία 55 Ευρετήριο 57 v

6

7 Καταλογος Σχηματων 1.1 έλικας η καμπύλη α(t) = (e t, e t, 2t) η καμπύλη α(t) = (t 3 4t, t 2 4) οι καμπύλες (cos(t), sin(t)) και (cos(2t), sin(2t)) η καμπύλη α(t) = (t, t 3 ) κυκλοειδές μεγένθυση κυκλοειδούς οι καμπύλες cosh, sinh και ο υπερβολικός έλικας λογαριθμικός έλικας η μικρότερη καμπύλη που ενώνει δύο σημεία το διάνυσμα u v παράλληλες ευθείες στον R ρυθμός μεταβολής εφαπτόμενης ευθείας κύριο κάθετο διάνυσμα επίπεδο κίνησης μίας καμπύλης οι καμπύλες (t, 0, e 1 t 2 ) και (t, e 1 t 2, 0) παράδειγμα στο θεμελιώδες θ. τοπικής θεωρίας καμπυλών Τα διανύσματα T, N, B στον έλικα, σχήμα μεγενθυμένο η καμπύλη ( (1+s) 3 2 3, (1 s) 3 2 3, s 2 ) θεώρημα Green σκηνάκι μήκους L και ορθογώνιο τρίγωνο υποτίνουσας L η μπάλα B(ρ, δ) (e x cos(y), e x sin(y)) τομή σφαίρας και ενός επιπέδου το σημείο q στην κανονική βάση 30 vii

8 viii 0 Καταλογος Σχηματων 2.5 Η απεικόνιση f 1 από τον κυκλικό δίσκο στο ανοιχτό άνω ημισφαίριο της S κάλυψη της σφαίρας S σφαιρικές συντεταγμένες η σφαίρα S 2 με τα επίπεδα y = 0 και z = παράδειγμα κρίσιμων και κανονικών τιμών Το γράφημα του f 1 V και η προβολή του W το υπερβολοειδές x 2 y 2 + z 2 = τόρος zoom τόρου (x + 1) 2 + y 2 = 1 (x 1) 2 + y 2 = 1 40

9

10

11 Κεφαλαιο 1 Καμπυλες 1.1 Παραμετρικοποιημένες Καμπύλες Ορισμός Μία συνάρτηση g : I R, I R (Ι:υποδιάστημα) θα λέγεται διαφορίσιμη ή λεία αν έχει παραγώγους κάθε τάξεως. Ορισμός Μια παραμετρικοποιημένη καμπύλη ή καμπύλη με παραμέτρηση είναι μία λεία συνάρτηση α : I R 3 (I R) (Ι ανοιχτό υποδιάστημα του R). Η λέξη λεία στον παραπάνω ορισμό σημαίνει ότι η α απεικονίζει το σημείο t στο α(t) = (x(t), y(t), z(t)) με τρόπο ώστε οι απεικονίσεις t x(t), t y(t) και t z(t) να είναι λείες. Η μεταβλητή t I ονομάζεται παράμετρος. Το διάνυσμα α (t) = (x (t), y (t), z (t)) ονομάζεται διάνυσμα της ταχύτητας (ή εφαπτόμενο διάνυσμα). Η εικόνα α(i) είναι υποσύνολο του R 3 και ονομάζεται ίχνος της καμπύλης. Υ- πάρχουν διαφορετικές καμπύλες με το ίδιο ίχνος. παράδειγμα 1.1. Εστω η καμπύλη α : R R 3, α(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), a, b > 0. Το ίχνος της καμπύλης α είναι ένας έλικας πάνω στον κύλινδρο ακτίνας a και άξωνα zz. Η παράμετρος t μετράει την γωνία που σχηματίζει η προβολή του α(t) στο xy επίπεδομε τον άξωνα 0x. Η α είναι λεία (άπειρες φορές διαφορίσιμη). Σχήμα 1.1: έλικας 3

12 4 1 Καμπυλες παράδειγμα 1.2. Εστω η καμπύλη α : (, ) R 3, α(t) = (e t, e t, 2t). Το ίχνος της καμπύλης κείται υπεράνω του γραφήματος xy = 1 με ρυθμό ανόδου (ως προς z) =2. Η α είναι λεία. Το διάνυσμα ταχύτητας είναι α (t) = (e t, e t, 2). Σχήμα 1.2: α(t) = (e t, e t, 2t) παράδειγμα 1.3. Η α : R R 2, α(t) = (t 2, t 3 ) είναι καμπύλη με παραμέτρηση. Επιπλέον έχουμε, α (0) = (2t, 3t 2 ) t=0 = (0, 0). παράδειγμα 1.4. Η απεικόνιση α : R R 2, α(t) = (t 3 4t, t 2 4) είναι καμπύλη με παραμέτρηση που δεν είναι 1-1. Για t = 2 και t = 2 έχουμε α(2) = α( 2) = (0, 0). Σχήμα 1.3: α(t) = (t 3 4t, t 2 4) παράδειγμα 1.5. Εστω οι καμπύλες α, β : (0 1, 2π + 1 ) R2, α(t) = (cos(t), sin(t)), β(t) = (cos(2t), sin(2t)). Οι καμπύλες α και β έχουν το ίδιο ίχνος. Το ίχνος τους είναι ο κύκλος με κέντρο το (0, 0) και ακτίνα 1. Ως υποσύνολα του R 2 είναι ίδια αλλά ως καμπύλες είναι διαφορετικές. Σχήμα 1.4: α(t), β(t)

13 1.2 Κανονικες Καμπυλες 5 υπενθύμιση Εαν u = (u 1, u 2, u 3 ) R 3 τότε ορίζεται η νόρμα (μέτρο) του u ως εξής, u = u u u 2 3 = απόσταση του u από το (0, 0). Η νόρμα επίσης καλείται και ευκλείδεια απόσταση. Εαν u = (u 1, u 2, u 3 ) και v = (v 1, v 2, v 3 ) και ϑ [0, 2π] η περιεχόμενη γωνία των u και v τότε ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο ως u v = u v cos(ϑ) ιδιότητες (i) Εστω u, v 0. Αν u v = 0 u v (ϑ = π 2 ή 3π 2 ). (ii) u v = v u. (iii) λ(v w) = (λ v) (w) = v (λ w). (iv) u (v + w) = u v + u w. (v) Εαν {e i } i=1,2,3 είναι η ορθοκανονική βάση του R 3 και u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 χρησιμοποιώντας τις δύο προηγούμενες ιδιότητες έχουμε ότι: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. Εαν u(t) και v(t) είναι παραμετρικοποιημένες καμπύλες τότε (u v)(t) = d u(t) v(t) = u 1 (t)v 1 (t) + u 2 (t)v 2 (t) + u 3 (t)v 3 (t). Και (u(t) v(t)) = dt u (t)v(t) + u(t) v (t). 1.2 Κανονικές Καμπύλες Εστω α : I R παραμετρικοποιημένη καμπύλη με α (t) = 0 για κάποιο t I. Τότε θα υπάρχει μία μοναδικά ορισμένη ευθεία που θα περνάει από το α(t) και περιέχει το α (t). Είναι σημαντικό στην διαφορική γεωμετρία η ύπαρξη αυτής της ευθείας. Ορισμός Ενα σημείο t για το οποίο ισχύει α (t) = 0 ονομάζεται σημείο ιδιομορφίας ή ιδιάζων σημείο. Στο παράδειγμα 1.3 η καμπύλη έχει ιδιάζων δημείο. Ορισμός Μία καμπύλη θα λέγεται κανονική αν α (t) 0, t I.

14 6 1 Καμπυλες Εστω καμπύλη α : I R 3 και έστω t 0 I. Υποθέτουμε ότι α κανονική καμπύλη. Το μήκος τόξου της παραμετρικοποιημένης καμπύλης α από το t 0 είναι: όπου: S(t) = t t 0 α (t) dt. α (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2. Δεδομένου ότι α (t) 0, t έχουμε ότι η S(t) είναι παραγωγίσιμη ως προς t και άρα d S(t) = dt α (t). Εαν η καμπύλη α έχει παράμετρο t η οποία είναι ήδη ίση με το μήκος τόξου μετρημένο από κάποιο σημείο t 0 τότε S(t) = t d S(t) = 1 = dt α (t). Δηλαδή η ταχύτητα έχει μέτρο 1. Αντίστροφα αν η ταχύτητα της α έχει μέτρο 1 τότε S(t) = t t 0 1dt = t t 0. Τότε η παράμετρος είναι ίση με το μήκος τόξου. Για λόγους απλούστευσης (των ιδεών και των επιχειρημάτων) θα υποθέσουμε από εδώ και στο εξής ότι όλες οι θεωρούμενες καμπύλες έχουν παραμέτρηση μήκους τόξου (ισοδύναμα ταχύτητα = 1). Ο περιορισμός αυτός όμως δεν είναι ουσιώδης όπως θα δούμε στη συνέχεια με παράδειγμα, ασυτηρά θα αποδειχθεί αργότερα. Επιπλέον ούτε το t 0 έχει ουσιώδη ρόλο δεδομένου ότι οι περισσότερες έννοιες στη διαφορική γεωμετρία ορίζονται με χρήση παραγώγου. παράδειγμα 1.6. Εστω η καπμύλη α : [0, 2] R 2 α(t) = (t, t 3 ). Θα υπολογίσουμε το μήκος της καμπύλης από το 0 εως το 2. S = 2 0 α (t) = t 4 Σχήμα 1.5: α(t) = (t, t 3 ) παράδειγμα 1.7. Εστω ότι έχουμε μία καμπύλη α : [a, b] R 3 και έ- στω S = b a α (t) dt το μήκος της. Θεωρώ την συνάρτηση f : [0, s] [a, b], f(r) = rb + (1 r )a. Η f είναι 1-1 και επί. Η καμπύλη β : [0, s] s s R 3, β(r) = α(f(r)) έχει το ίδιο ίχνος με την α αλλά με διαφορετική παραμέτρηση. Ξεκινάει από το α(a) και σταματάει στο α(b). Επιπλέον έχουμε ότι β (r) 0. Άρα η συνάρτηση από το r στο β (r) δεν μηδενίζεται. Άρα υπάρχει g τέτοια ώστε g(r) β (r) = 1. Άρα συνθέτωντας με g 1 έχω παραμέτρηση με ταχύτητα μέτρου 1και άρα έχω παραμέτρηση μήκους τόξου.

15 1.2 Κανονικες Καμπυλες 7 1.2αʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα (1) Εστω η καμπύλη α : R R 3, α(t) = (a cos(t), a sin(t), bt). Θα βρούμε την παραμέτρηση μήκους τόξου μετρημένη από το 0. Υπολογίζουμε την παράγωγο α (t) = ( a sin(t), a cos(t), b). α (t) = a 2 sin 2 (t) + a 2 cos 2 (t) + b 2 = a 2 + b 2 = σταθερά = u Άρα το S(t) = t udt = ut. Συνεπώς θέτουμε t(s) = s και αντικαθιστώντας 0 u στην α(t) έχουμε α(s) = (a cos( s ), a sin( s ), b s ) όπου u = a u u u 2 + b 2. Άρα, α (s) = ( 1 u a sin( s u ), 1 u a cos( s u ), b u ) α (s) = = = = 1 a 2 u 2 sin2 ( s u ) + a2 u 2 cos2 ( s u ) + b2 u 2 a2 + b 2 u 2 a2 + b 2 a 2 + b 2 (2) Εστω δίσκος ακτίνας 1 ο οποίος περιστέφεται (χωρίς να ολισθαίνει) στο επίπεδο. Η τροχιά ενός σημείου της περιφέρειας του δίσκου λέγεται κυκλοειδές (cycloid). Σχήμα 1.6: κυκλοειδές Σχήμα 1.7: μεγένθυση κυκλοειδούς

16 8 1 Καμπυλες Εστω η καμπύλη α : [0, 2π] R 2, α(t) = (συντεταγμένες του σημείου Α) = (OB, AB). Θα υπολογίσουμε τα OB και AB σύμφωνα με την γωνία t. AB = 1 cos(t) OB = t BG = t AD = t sin(t) Και άρα α(t) = (t sin(t), 1 cos(t)) με α : R R 2. Σημεία ιδιομορφίας της α (τα σημεία όπου α (t) = 0) είναι τα t = 2kπ, k Z α (t) = (1 cos(t), sin(t)) sin(t) = 0 και cos(t) = 1. Το μήκος του κυκλοειδούς είναι ίσο με: 2π 0 (1 cos(t)) 2 + sin 2 (t)dt = = 8 ερώτηση Γιατί το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος είναι μικρότερο ή ίσο κάθε άλλης καμπύλης με τα ίδια άκρα; (3) Εστω η καμπύλη α(t) = (cosh(t), sinh(t), t). ( cosh(t) = e x e x, υπερβολικό συνιμήτονο 2 sinh(t) = ex +e x, υπερβολικό ημίτονο 2 ) Σχήμα 1.8: οι καμπύλες cosh, sinh και ο υπερβολικός έλικας Θυμίζουμε ότι: sinh (x) = cosh(x) cosh (x) = sinh(x) και cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1

17 1.2 Κανονικες Καμπυλες 9 Τώρα έχουμε ότι: S(t) = = t 0 t 0 sinh 2 (t) + cosh 2 (t) + 1dt (cosh(t) 2dt) = 2 sinh(t) Άρα διαλέγουμε t(s) = sinh 1 ( s 2 ) και αντικαθιστώντας στην α(t) έχουμε: α(s) = (cosh(sinh 1 ( s s )),, sinh 1 ( s )) = (1 + s2 2, s 2, sinh 1 ( s )) 2 α (s) = = 1. (4) Εστω η καμπύλη α : R R 3, α(t) = (ae bt cos(t), ae bt sin(t)) = e bt (a cos(t), a sin(t)) με a > 0 και b < 0. α(t) = (a cos(t), a sin(t)) e bt = a e bt όταν t 0 α (t) = (ae bt b cos(t) ae bt sin(t), ae bt b sin(t) + + ae bt cos(t)) = ( a sin(t), b sin(t) + cos(t)) e bt α (t) = a (...,... ) 0 e bt Σχήμα 1.9: λογαριθμικός έλικας Οταν t η ταχύτητα τείνει στο 0. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το μήκος καμπύλης. x 0 α (t) dt = x 0 ()2 + () 2 dt = t () 2 + () 2 t=x t=0 = x (e bx ab cos(x) e bx a sin(x)) 2 + (e bx ab sin(x) + e bx a cos(x)) 2 x = ()2 + () e 2 bx } {{ } φραγμένο

18 10 1 Καμπυλες Άρα lim x x 0 α (t) dt είναι φραγμένο (< ). 0 = α (t) dt = L όπου L το μήκος της α από τον χρόνο t = 0 εώς. (5) Εστω α : [a, b] R 3 καμπύλη με παραμέτρηση ορισμένη σε ένα διάστημα I [a, b]. Εστω u διάνυσμα σταθερό μέτρου 1. Σχήμα 1.10: α(t) b a α (t)udt = α(t)u t=b t=a = [α(b) α(a)]u Επίσης, b a α (t)udt b a b α (t)udt α (t)u dt = L(α) a Θέτουμε u = α(b) α(a) α(b) α(a) και αντικαθιστώντας έχουμε: L(α) [α(b) α(a)]u L(α) α(b) α(a). (6) Να βρείτε καμπύλη με παραμέτρηση και ίχνος ίσο με τον μοναδιαίο κύκλο x 2 + y 2 1 = 0 έτσι ώστε να διατρέξει τον κύκλο με την φορά των δεικτών του ρολογιού. απάντηση α(t) = (sin(t), cos(t)). (7) Εστω α(t) καμπύλη με παραμέτρηση που δεν περνάει από το (0, 0). Εστω t 0 : α(t 0 (0, 0) α(t) (0, 0) ). Να δείξετε ότι: α(t 0 ) α (t 0 ) (8) Εστω καμπύλη α(t) με παραμέτρηση έτσι ώστε α (t) = 0. Τι μπορείτε να πείτε για την καμπύλη; 1.3 Εξωτερικό Γινόμενο (Διανυσματικό Γινόμενο) Θα μελετήσουμε την έννοια του προσανατολισμού ενός γραμμικού χώρου. Θα λέμε ότι δύο διατεταγμένες βάσεις ένος διανυσματικού χώρου V είναι ισοδύναμες εάν ο πίνακας αλλαγής βάσης έχει θετική ορίζουσα. Για παράδειγμα έστω

19 1.3 Εξωτερικο Γινομενο (Διανυσματικο Γινομενο) 11 e = {e i } i=1,...,n και f = {f i } i=1,...,n, Εάν οι f και e έχουν τον ίδιο προσανατολισμό θε γράφουμε e f. Η σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας με δύο κλάσεις ισοδυναμίας. Το να επιλέξουμε προσανατολισμό για έναν γραμμικό χώρο είναι ισοδύνομο με το να διαλέξουμε μία από αυτές τις δύο κλάσεις. παράδειγμα 1.8. Θεωρούμε την διατεταγμένη βάση e = {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)}. Ονομάζουμε θετικό προσανατολισμό εκείνον τον προσανατολισμό που αντισοιχεί σε αυτήν την βάση. Τώρα έστω η διατεταγμένη βάση f = {e 1, e 3, e 2 }. Η f δεν είναι ισοδύναμη με την e διότι ο πίνακας αλλαγής βάσης είναι, f 1 = 1 e e e 3 f 2 = 0 e e e 3 f 3 = 0 e e e 3 Η ορίζουσα του πίνακα αλλαγής βάσης είναι: = 1 Η f είναι αρνητική βάση. Ορισμός Εστω u, v R 3. Το εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο του u με το v είναι το διάνυσμα u v R 3 που χαρακτηρίζεται από την παρακάτω σχέση: (u v) w = det(u, v, w) w R 3 όπου, det(u, v, w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Θεωρώντας w = u v έχουμε: u v = u 2 u 3 v 2 v 3 e 1 + u 1 u 3 v 1 v 3 ιδιότητες (i) u v = v u. e 2 + u 1 u 2 v 1 v 2 e 3. (ii) (ax + by) v = a(x v) + b(y v) = (ax) v + (by) v.

20 12 1 Καμπυλες (iii) u v = 0 αν και μόνο αν u, v εξαρτημένα αν u, v 0. (iv) (u v)v = 0 και (u v)u = 0. Παρατήρηση 1.1. Αν πάρω w = u v στον ορισμό τότε: (u v)(u v) = u v 2 > 0 και (u v)(u v) = det(u, v, u v) Άρα η βάση {u, v, u v} είναι θετική βάση. Πρόταση u, v, x, y R 3 έχουμε: (u v)(x y) = ux uy vx vy Απόδειξη. Αρκεί να δείξω την σχέση αυτή για διανύσματα της βάσης {e 1, e 2, e 3 }. Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι e i, e j, e k, e l i, j, k, l {1, 2, 3}. (e i e j )(e k e l ) = e ie k e j e k e i e l e j e l = = (ok) Από αυτήν την ιδιότητα έπεται ότι: u v 2 = (u v)(u v) = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 (θ), θ = γωνία u και v. = u 2 v 2 (1 cos 2 (θ)) Εστω A το εμβαδόν του επιπέδου που σχηματίζουν τα διανύσματα u και v. Το u v είναι δάνυσμα εγκάρσιο στο επίπεδο που ορίζουν τα u και v. Εχει μέτρο A και διεύθυνση τέτοια ώστε η βάση {u, v, u v} να είναι θετική. Εστω u, v : (a, b) R 3 λείες καμπύλες, τότε η u v : (a, b) R 3 είναι μία διαφορίσιμη απεικόνιση και μάλιστα, Σχήμα 1.11: u v d du dv (u v)(t) = v(t) + u(t) dt dt dt. Το διανυσματικό γινόμενο αναφύεται σε πολλές γεωμετρικές κατασκευές και ιδιότητες.

21 1.4 Τοπικη Θεωρια Καμπυλων 13 παράδειγμα 1.9. Εστω οι ευθείες ε 1 : x x 0 = u 1 t y y 0 = u 2 t z z 0 = u 3 t = η ευθεία που περνάει από το σημείο (x 0, y 0, z 0 ) με κατεύθυνση u = (u 1, u 2, u 3 ) και x x 1 = v 1 t ε 2 : y y 1 = v 2 t = η ευθεία που περνάει από το σημείο (x 1, y 1, z 1 ) με z z 1 = v 3 t κατεύθυνση v = (v 1, v 2, v 3 ). Εστω ότι οι ευθείες ε 1 και ε 2 δεν τέμνονται (ε 1 ε 2 ). Εστω διάνυσμα AB που είναι κάθετο και στις δύο ευθείες, όπως το σχήμα Η απόσταση μεταξύ των δύο ευθειών είναι ίση με p = AB και δίνεται από τον τύπο p = (u v) r u v. AB = pr u v, r = r cos(ϑ) = r cos(ϑ) u v u v 1.4 Τοπική Θεωρία Καμπυλών Σχήμα 1.12: παράλληλες ευθείες στον R 3 Εστω α : (a, b) R 3 καμπύλη με παραμέτρηση μήκους τόξου S (a, b). Αφού α (s) = 1 το μέτρο της δεύτερης παραγώγου α (s) μας δείχνει τον ρυθμό μεταβολής της εφαπτόμενης ευθείας. Το α (s) μετράει το πόσο γρήγορα απομακρύνεται η καμπύλη από το σημείο στο οποίο βρίσκεται (δηλαδή από την εφαπτόμενη ευθεία). Σχήμα 1.13: ρυθμός μεταβολής εφαπτόμενης ευθείας Ορισμός Εστω α : I R 3 καμπύλη με παραμέτρηση μήκους τόξου S. Ορίζουμε την καμπυλότητα της α στο σημείο s να είναι το k(s) = α (s). παράδειγμα Εστω η καμπύλη α(s) = su + v, s R. Τότε α (s) = 0 k(s) = α (s) = 0

22 14 1 Καμπυλες Δηλαδή η ευθεία έχει καμπυλότητα 0. Ανάποδα τώρα εάν μία καμπύλη έχει την ιδιότητα ότι: k(s) = α (s) = 0 α (s) = 0 ολοκληρώνοντας δύο φορές έχουμε ότι η α είναι ευθεία. παράδειγμα Εστω η καμπύλη α : ( 1, 2π + 1 ) R2, α(t) = (cos(t), sin(t)). Θα υπολογίσουμε την ακμπυλότητα της α. α (t) = ( sin(t), cos(t)) α (t) = ( cos(t), sin(t)) α (t) = () 2 + () 2 = 1 α (t) = () 2 + () 2 = 1 Άρα η καμπυλότητα είναι σταθερή ίση με 1. παράδειγμα Εστω ο κύκλος x 2 + y 2 = a 2 α(t) = (a cos(t), a sin(t)) β(s) = (a cos( s a ), a sin( s a )) Η β είναι παραμέτρηση ενώ η α δεν είναι. Θα υπολογίσουμε την καμπυλότητα της καμπύλης. β (s) = ( a( s a ) sin( s a ))2 + (a( s a ) cos( s a ))2 = = () 2 + () 2 = 1. β (s) = (( sin( s a )), (cos( s a )) ) = ( 1 a cos( s a ), 1 a sin( s a )) 1 1 β (s) = a 2 (cos2 + sin 2 ) = a 2 = 1 a. 1.4αʹ Επίπεδο Κίνησης (αυθαίρετη ορολογία osculating) Για τιμές s I για τις οποίες ισχύει k(s) 0 ορίζουμε το κύριο κάθετο διάνυσμα (μοναδιαίο) N(s) από την εξής σχέση α (s) = k(s)n(s).

23 1.4 Τοπικη Θεωρια Καμπυλων 15 Το διάνυσμα α (s) είναι κάθετο στο α (s) διότι: α (s) = 1 α (s)α (s) = 1 α (s)α (s) + α (s)α (s) = 0 α (s)α (s) = 0 α (s) α (s) Συνεπώς το N(s) είναι κάθετο στο α (s) (εξού και το όνομα κύριο κάθετο). Το επίπεδο που ορίζεται από τα α (s) και N(s) ονομάζεται επίπεδο κίνησης. Αν k(s) = 0 τότε το N(s) δεν ορίζεται. Στην θεωρία μας όμως το επίπεδο κίνησης έχει κεντρικό ρόλο και ως εκ τούτου υποθέτουμε ότι δουλεύουμε με καμπύλες τέτοιες ώστε α (s) 0 s I. Σχήμα 1.14: κύριο κάθετο διάνυσμα υπενθύμιση Ορίσαμε ένα σημείο s I να είναι σημείο ιδιομορφίας εαν ισχύει α (s) = 0. Τώρα ορίζουμε ένα σημείο s I να είναι σημείο ιδιομορφίας τάξης 2 εάν α (s) = 0. Ορισμός (συμβολισμοί). ΑΣΠΡΗ ΛΕΞΗ (i) T(s) = α (s) μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα. (ii) T (s) = α (s) = k(s)n(s) ορίζει το κύριο μοναδιαίο κάθετο N(s). (iii) B(s) := T(s) N(s) το δικάθετο διάνυσμα στη θέση α(s). Το B(s) είναι κάθετο στο επίπεδο κίνησης. Αν θέλουμε να μελετήσουμε το πως αλλάζει το επίπεδο κίνησης όταν μεταβάλεται το s, αρκεί να κοιτάξουμε πως αλλάζει το αντίστοιχο δικάθετο διάνυσμα (ή ένα οποιοδήποτε εγκάρσιο διάνυσμα). Η μεταβολή του εγκάρσιου εξαρτάται από το μέτρο, άρα ορίσαμε το εγκάρσιο B(s) το οποίο είναι μέτρου 1 και συνεπώς μετράει σωστά τον ρυθμό μεταβολής. Στη συνέχεια θα δούμε ότι B (s) N(s). B (s) = (T(s) N(s)) = T (s) N(s) + T(s) N(s) = (T (s) N(s)) = 0 + T(s) N (s) B (s) T(s) Σχήμα 1.15: επίπεδο κίνησης μίας καμπύλης Ομως B (s) B(s), άρα το B (s) είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα T(s) και B(s). Επίσης το N(s) είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο. Άρα B (s) N(s) και άρα αριθμός t(s) τέτοιος ώστε B (s) = t(s)n(s).

24 16 1 Καμπυλες Ορισμός Εστω α : I R 3 καμπύλη τέτοια ώστε α (s) 0, s I, (s παραμέτρηση μήκους τόξου). Ο αριθμός t(s) που ορίζεται από την σχέση: B (s) = t(s)n(s) ονομάζεται συστροφή της α στο s I. Παρατήρηση 1.2. Αν α είναι επίπεδη καμπύλη (δηλαδή το ίχνος της α περιέχεται σε ένα ακριβώς επίπεδο στον R 3 ) τότε το B(s) είναι πάντα μέτρου 1 και πάντα παράλληλο με τον άξωνα zz. Άρα B (s) = 0 t(s) = 0. Αντίστροφα αν t(s) = 0 s I τότε υποθέτοντας ότι k(s) 0, s έχουμε ότι B (s) = 0 N(s) = 0, άρα B(s) = B 0 σταθερό. Άρα (α(s)b 0 ) = α (s)b 0 + B 0α(s) = 0. Ομως B 0 = 0 και άρα α (s) B 0. Άρα α(s)b 0 = σταθερό. Και άρα το α(s) περιέχεται σε επίπεδο σταθερής γωνίας με το B 0. παράδειγμα Εστω η καμπύλη, (t, 0, e 1 t 2 ), t > 0 α : R R 3, α(t) = (t, e 1 t 2, 0), t < 0 0, t = 0 Παρατηρούμε ότι η α(t) είναι κανονική διαφορίσιμη καμπύλη. Επίσης ότι k(t) = 0 για t = 0 και ότι το B(t) δεν είναι συνεχής στο t = 0. Το δικάθετο δεν συμπεριφέρεται με συνεχή τρόπο στο t = 0. Σχήμα 1.16: η καμπύλη α(t) t 0 + B(t) (1, 0, 0) t 0 B(t) (0, 0, 1) Θεώρημα (θεμελιώδες θεώρημα τοπικής θεωρίας καμπυλών). Εστω I ανοιχτό,όχι κατάνάγκη φραγμένο, διάστημα και k, t : I R συνεχείς με k(s) > 0, Τότε υπάρχει καμπύλη α : I R 3 τέτοια ώστε, (i) s παραμέτρηση μήκους τόξου για την α, (ii) k(s) ισούτε με την καμπυλότητα της α στο s, (iii) t(s) ισούτε με την συστροφή της α στο s.

25 1.4 Τοπικη Θεωρια Καμπυλων 17 α Αν α είναι μία άλλη καμπύλη που ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες, τότε f : R 3 R 3 γραμμική με ορίζουσα +1 (δεν αλλάζει προσανατολισμό) και διάνυσμα c τέτοια ώστε α = fα + c (βλ. παράδειγμα στο σχήμα 1.17). Σχήμα 1.17: παράδειγμα 1.4βʹ Ανακεφαλαίωση Για κάθε τιμή της παραμέτρου s (μήκους τόξου) ορίσαμε τρεία μοναδιαία ορθοκανονικά διανύσματα, τα T(s), N i(s), B(s). Τα τρεία αυτά διανύσματα ορίζουν ένα τρίεδρο που ονομάζεται τρίεδρο Frenet στο s. Οι παράγωγοι T (s) και B (s), T (s) = k(s)n(s) καμπυλότητα B (s) = t(s)n(s) συστροφή ορίζουν γεωμετρικές ποσότητες (καμπυλότητα και συστροφή) οι οποίες μας δίνουν πληροφορίεσγια την κίνηση της α στο s. Είναι εύκολο να εκφράσουμε καί την N (s) στη βάση {T, N, B}. Επίσης, N = B T N (s) = B (s) T(s) + B(s) T (s) = [t(s)n(s)] T(s) + B(s) [k(s)n(s)] = t(s)[n(s)] T(s) + k(s)[b(s) N(s)] = t(s)b(s) k(s)t(s). T = kn B = tn N = tb kt.

26 18 1 Καμπυλες 1.4γʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα (1) Εστω α(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) ο κυλινδρικός έλικας (σχήμα 1.1). Εχουμε ότι: α (t) (0, 0, 1) = b α (t) = ( a sin(t), a cos(t), b) Άρα η καμπύλη έχει σταθερή γωνία με τον άξωνα των z. Θα υπολογίσουμε τις ποσότητες Frenet. ( s s α(s) = a cos( ), a sin( a2 + b2 a2 + b ), bs ) 2 a2 + b 2 ( α a (s) = a2 + b sin( s 2 a2 + b ), a 2 a2 + b cos( s 2 a2 + b ), b )= T(s) 2 a2 + b ( 2 T (s) = a a 2 + b cos( s 2 a2 + b ), a 2 a 2 + b sin( s ) 2 a2 + b ), 0 2 k(s) = α (s) = T a (s) = a 2 + b 2 Υπολογίζουμε το κύριο κάθετο N(s) από την Frenet σχέση: ( T s s = k N N(s) = cos( ), sin( ). a2 + b2 a2 + b ), 0 2 Στη συνέχεια υπολογίζουμε το δικάθετο, ( b B = T N = = a2 + b sin( s 2 a2 + b ), b 2 a2 + b cos( s 2 a2 + b ), a ). 2 a2 + b 2 Υπολογίζουμε την συστροφή (στρέψη) από την Frenet σχέση: B = t N ( B b (s) = a 2 + b cos( s 2 a2 + b, b 2 a 2 + b sin( s ) 2 a2 + b ), 0) 2 t(s) = b a 2 + b 2.

27 1.4 Τοπικη Θεωρια Καμπυλων 19 Στο σχήμα 1.18 βλέπουμε τα διάνυσματα T, N και B στην καμπύλη του έλικα. Με κόκκινο χρώμα βλέπουμε το διάνυσμα T, με μπλε το διάνυσμα N και με πράσινο το διάνυσμα B. Σχήμα 1.18: Τα διανύσματα T, N, B στον έλικα, σχήμα μεγενθυμένο (2) Εστω η καμπύλη α(s) = ( (1+s) 3 2 3, (1 s) 3 2 3, s 2 ), s ( 1, 1), ( T(s) = α 1 + s 1 s 1 ) (s) =,, α (s) = 1 + s + 1 s + 1 = Άρα s παραμέτρηση μήκους τόξου. ( α (s) = T 1 (s) = s, 1 ) 4 1 s, 0 Σχήμα 1.19: α(s) = ( (1+s) 3 2 3, (1 s) 3 2 3, s 2 ) k(s) = α (s) = 1 16(1 + s) (1 s) = 1 s s 1 = 16(1 s 2 ) 8(1 s2 )

28 20 1 Καμπυλες Το κύριο κάθετο διάνυσμα υπολογίζεται από την σχέση: T = kn. 1 N(s) = k(s) T (s) = ( 1 8(1 s 2 ) s, 1 ) 4(1 s), 0 ( 1 s 1 + s ) = 2, 2, 0. Το δικάθετο υπολογίζεται από την σχέση: B = T N, B(s) = = ( 1 + s 1 s,, ) ( B 1 (s) = s, 1 ) 4 1 s, 0 1 ( 2 1 s s ) =,, 0 8(1 s2 ) 2 2 } {{ } } {{ } N(s) t(s) 2 (3) Να υπολογίσετε τα στοιχεία Frenet της καμπύλης του υπερβολικού έλικα: α(t) = (cosh(t), sinh(t), t) (σχήμα 1.8). Θυμίζουμε ότι: απάντηση tanh(t) = et e t e t + e t T = 1 1 (tanh(t), 1, 2 cosh(t) ) B = 1 ( tanh(t), 1, 1 2 cosh(t) ) N = 1 (, 0, tanh(t)) cosh(t) k = 1 2 cosh 2 (t) (4) Ομοια για την καμπύλη α(t) = (e t cos(t), e t sin(t), e t )

29 1.5 Ισοπεριμετρικη Ανισοτητα Ισοπεριμετρική Ανισότητα Εστω f : [a, b] R 2. Η f είναι διαφορίσιμη εάν είναι περιορισμός μίας διαφορίσιμης ορισμένης σε διάστημα I, I [a, b]. Ορισμός Μία κλειστή καμπύλη είναι μία α : [a, b] R 2 διαφορίσιμη τέτοια ώστε, α(a) = α(b), α (a) = α (b), α (a) = α (b) κ.ο.κ. για κάθε τάξη. Επίσης η α λέγεται απλή αν f [a,b) είναι 1-1. Θυμίζουμε το θεώρημα Green από τον απειροστικό λογισμό 4. Θεώρημα (θεώρημα Green). Εστω C R 2 απλή κλειστή καμπύλη με μήκος l και εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται A. Τότε l 2 4πA 0 και το ίσον ισχύει αν και μόνο αν ο C είναι κύκλος. Σχήμα 1.20: θεώρημα Green Απόδειξη. A = l 0 x(s)y (s)ds πr 2 + A = l 0 xy ȳx ds l xy ȳx 0 ds ( ) ȳ 2 + x 2 [(x ) 2 + (y ) 2 ]ds = l ȳ2 + x 0 2 ds = r l. Από την γνωστή ανισότητα q p q + p 2 ( ) A πr 2 A + πr2 2 έχουμε ότι, rl 2 4Aπr2 r 2 l 2 l 2 4πA 0.

30 22 1 Καμπυλες όπως το θέλαμε. Εαν l 2 = 4πA τότε ισχύουν οι ισότητες ( ) και ( ). Άρα A = πr 2 l 2 = 4π 2 r 2 l = 2πr. Αποδυκνύεται ότι x(s) = ±ry (s) και y(s) = ±rx (s). x 2 + y 2 = r 2 (y 2 + x 2 ) = r 2 άσκηση Να δείξετε ότι υπάρχει ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο T υποτίνουσας L το οποίο σκεπάζει ένα σκηνάκι μήκους L το οποίο έχει πέσει στην γη στην τύχη. Σχήμα 1.21: σκηνάκι μήκους L και ορθογώνιο τρίγωνο υποτίνουσας L

31

32

33 Κεφαλαιο 2 Επιφανειες στον R Διαφορισιμότητα Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών Εάν f : U R 2 R συνάρτηση θα συμβολίζουμε τις μερικές παραγώγους της f ως προς x ή y στο σημείο (x 0, y 0 ) με f x (x 0, y 0 ) ή αντίστοιχα με f y (x 0, y 0 ). Ομοια αν f : U R n R θα συμβολίζουμε την μερική παράγωγο ως προς την πρώτη συντεταγμένη με f (x 10, x 20,..., x n0 ). x 1 2.1αʹ Εστω, Κανόνας Αλυσίδας x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) : U R2 R και f(x, y, z) διαφορίσιμη με πεδίο τιμών το R 3. Τότε η σύνθεση: f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) U x,y,z x(u, v) y(u, v) z(u, v) f R είναι διαφορίσιμη στο U και οι μερικές παράγωγοι της f ως προς u δίνεται από την σχέση: f u = f x x u + f y y u + f z z u. Ομοια ως προς v. 25

34 26 2 Επιφανειες στον R 3 Ολα τα παραπάνω ισχύουν για πραγματικές συναρτήσεις. Εστω ότι το πεδίο τιμών είναι το R m. Μία συνάρτηση F : UR n R m θα λέγεται διαφορίσιμη στο p U εάν οι συντεταγμένες συναρτήσεις της F, (F (x 1,..., x n ) = (F 1 (x 1,..., x n ), F 2 (x 1,..., x n ),..., F n (x 1,..., x n ))) είναι διαφορίσιμες στο p, έχουνε δηλαδή μερικές παραγώγους κάθε τάξεως στο p. παράδειγμα 2.1. Εστω F : U R 2 R 3 F (u, v) = (cos(u) sin(v), cos(u) cos(v), uv). Οι συντεταγμένες συναρτήσεις, F 1 (u, v) = cos(u) sin(v) F 2 (u, v) = cos(u) cos(v) F 3 (u, v) = uv έχουν μερικές παραγώγους ως προς u και v κάθε τάξης p U. Άρα η F είναι διαφορίσιμη στο U. Παρατήρηση 2.1. Εστω w R m τυχαίο σημείο και p R m. πάντα καμπύλη α για την οποία ισχύει: Υπάρχει α(0) = p και α (0) = w, την χρονική στιγμή περνάει από το p και έχει παράγωγο w. Διότι, αν α(t) = (p 1,..., p m ) + tw, t ( ε, ε) για t = 0 προφανώς α(0) = p και α (0) = (p 1 + tw 1, p 2 + tw 2,..., p m + tw m ) = (w 1, w 2..., w m ). Ορισμός (Διαφορικό). Εστω f : U R n R m διαφορίσιμη. Σε κάθε σημείο p U αντιστοιχίζουμε μία (γραμμική) απεικόνιση df p : R n R m (η οποία λέγεται διαφορικό της f στο p) ως εξής: Εστω w R n. Από την παρατήρηση 2.1 υπάρχει καμπύλη α : ( ε, ε) U με α(0) = p και α (0) = w. Η σύνθεση β = F α : ( ε, ε) R m είναι διαφορίσιμη (από κανόνα αλυσίδας), οπότε το β (0) είναι εξόρισμού το df p (w). Πρόταση Ο ορισμός του διαφορικού df p δεν εξαρτάται από την επιλογή της καμπύλης α και επιπλέον df p είναι γραμμική. Απόδειξη. Για απλούστευση του συμβολισμού υποθέτουμε ότι n = 2 και m = 3. Εστω (u, v) συντεταγμένες του U R 2 και (x, y, z) συντεταγμένες του R 3. Θεωρώ e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) και f 1 = (1, 0, 0), f 2 = (0, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1) οι στάνταρ βάσεις του R 2 και R 3. Τότε έχουμε α(t)(u(t), v(t)), t ( ε, ε), α (t) = (u (t), v (t)). w = α (0) = u (0)e 1 + v (0)e 2 = (u (0), v (0))

35 2.1 Διαφορισιμοτητα Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων 27 F (u, v) = (x(u, v), y(u, v)z(u, v)) β(t) = (F α)(t) = F (α(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) df p = β (0) = ( x u u t + x v v t, y u u t + y v v t, z u u t + z v v t ) ( x u = u t + x ) ( v y u f 1 + v t u t + y ) ( v z u f 2 + v t u t + z ) v f 3 v t x x u v u = y y t u v v. z z t u v Παρατηρούμε ότι η απεικόνιση df p παριστάνεται ως προς τις κανονικές βάσεις {e 1, e 2 }, {f 1, f 2, f 3 } του R 2 και R 3 αντίστοιχα, με τον πίνακα: x u y u z u x v y v z v Η df p είναι γραμμική και ( ο ορισμός ) της δεν εξαρτάται από την επιλογή της Fi καμπύλης α. Ο πίνακας, F : R n R m F = (F 1, F 2,..., F m ) x j i=1,...,m και (x 1, x 2,..., x n ) σημεία του R m, ονομάζεται ιακωβιανή της ( F στο ) p. Αν Fi n = m ο πίνακας αυτός είναι τετραγωνικός, άρα υπάρχει η det, η οποία x j λέγεται ιακωβιανή ορίζουσα.

36 28 2 Επιφανειες στον R 3 παράδειγμα 2.2. Εστω F (x, y) = (x 2 y 2, 2xy). ) ( Fi x j i=1,2 j=1,2 = df p = = (x 2 y 2 ) x 2xy ( 2x x ) 2y 2y 2x (x 2 y 2 ) y 2xy y Εστω p = (1, 1) και w = (2, 3) τότε, ( ) ( df (1,1) (2, 3) = w = ) ( 2 amfidiaf orish3 ) = ( 2, 10) Θεώρημα (κανόνας αλυσίδας). Εστω F : U R n R m και G : V R m R k με F (U) = V, F, G διαφορίσιμες και U, V ανοιχτά. Τότε η G F : U R k είναι διαφορίσιμη σε κάθε p U και d(g F ) p = df F (p) df p. Θεώρημα Εστω U R n ανοιχτό και συνεκτικό και F : U R διαφορίσιμη. Εάν df p : R m R είναι μηδέν σε κάθε p U τότε η F είναι σταθερή. Απόδειξη. Εστω p U και B(p, δ) U μπάλα κέντρου p με ακτίνα δ. Εστω q B(p, δ) τυχαίο. Θεωρώ το ευθύγραμμο τμήμα β : [0, 1] B(p, δ) β(t) = tq + (1 t)p. Η β (ορισμένη κατάλληλα σε ανοιχτό διάστημα) είναι διαφορίσιμη. Άρα είναι διαφορίσιμη και η F β, F β : ( ε, 1+ε) R. Από κανόνα αλυσίδας d(f β)(t) = df (β(t))dβ(t) = 0. Με άλλα λόγια η F β έχει παράγωγο 0 παντού. Άρα είναι σταθερή, (F β)(0) = (F β)(1), F (p) = F (q). Και αφού το q είναι τυχαίο έχουμε ότι η F είναι σταθερή στη B(p, δ). Σχήμα 2.1:η μπάλα B(ρ, δ) Τώρα έστω r U τυχαίο και έστω α : [a, b] U με α(a) = p και α(b) = r. Η F α είναι συνεχής και σύνφωνα με το παραπάνω επιχείρημα είναι σταθερή σε κάθε ανοιχτή μπάλα. Δηλαδή t [a, b] μπάλα B(α(t), δ t ) έτσι ώστε F σταθερή στη B(α(t), δ t ), με άλλα λόγια, t [a, b] διάστημα I t [a, b] τέτοιο ώστε F α σταθερή στο I t. Από την συμπάγεια του [a, b] έχουμε ότι υπάρχουν I 1, I 2,..., I k τέτοια ώστε η F να είναι σταθερή σε κάθε διάστημα I i I i+1 0. Τελικώς F : σταθερή, F (p) = F (q).

37 2.2 Διαφορισιμοτητα Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων 29 Θεώρημα (αντίστροφης συνάρτησης). Εστω F : R n R n διαφορίσιμη και έστω p U με df p : ισομορφισμός. Τότε υπάρχει περιοχή V του p στο U και W του F (p) στο R n έτσι ώστε η F V : V W να είναι αμφιδιαφόριση (1-1,επί και η F 1 διαφορίσιμη). παράδειγμα 2.3. Εστω F (x, y) = (e x cos(y), e y sin(y)), F : R 2 R 2. Οι συντεταγμένες συναρτήσεις τις F είναι οι u(x, y) = e x cos(y), v(x, y) = e x sin(y), οι οποίες έχουν μερικές παραγώγους κάθε τάξεως. Άρα η F είναι διαφορίσιμη. Η καμπύλη x (x, y 0 ) απεικονίζεται στην ημιευθεία κλίσης y 0 και η καμπύλη y (x 0, y) απεικονίζεται στον κύκλο κέντρου (0, 0) και ακτίνας e x 0. Τώρα έχουμε ότι df (x0,y 0 )(1, 0) =(το εφαπτόμενο διάνυσμα της εικόνας Σχήμα 2.2: (e x cos(y), e x sin(y)) της x (x, y 0 ))= d dx (ex cos(y 0 ), e x sin(y 0 )) x=x0 = (e x 0 cos(y 0 ), e x 0 sin(y 0 )) και df (x0,y 0 )(0, 1)= (εφαπτόμενο διάνυσμα της εικόνας της y (x 0, y))= d dy (ex 0 cos(y), e x 0 sin(y)) y=y0 = ( e x 0 sin(y 0 ), e x 0 cos(y 0 )).Η ιακωβιανή της F στο σημείο (x, y) είναι: J F (x, y) = u x v x u y v y Η ορίζουσα της ιακωβιανής είναι: = ( e x cos(y) e x sin(y) e x sin(y) e x cos(y) J F (x, y) = e x cos 2 (y) + e x sin 2 (y) 0 (x, y) Άρα df (x,y) είναι ισομορφισμός (x, y). Ομως η F δεν είναι 1-1, άρα από θεώρημα αντιστρόφου συναρτήσεως υπάρχουν ανοιχτές περιοχές V, W : F V : V W είναι αμφιδιαφόριση. Για παράδειγμα, V = {(x, y) R 2 / < x <, 0 < y < 2π} W = R 2 \ {(0, 0)}. )

38 30 2 Επιφανειες στον R Κανονικές Επιφάνειες Ενα υποσύνολο S R 2 θα λέγεται κανονική επιφάνεια εάν p S υπάρχει μία περιοχή V του R 3 έτσι ώστε: (i) u R 2 ανοιχτό και f : u S V επί. (ii) f διαφορίσιμη (οι μερικές παράγωγοι κάθε τάξεως υπάρχουν). (iii) f είναι ομοιομορφισμός (δηλαδή η f είναι 1-1 και f 1 είναι συνεχής). (iv) (κανονικότητα) q U το διαφορικό df q : R 2 R 3 είναι 1-1. Η απεικόνιση f ονομάζεται παραμετρικοποίηση ή σύστημα συντεταγμένων στο p. Σχήμα 2.3: τομή σφαίρας και ενός επιπέδου Στο παραπάνω σχήμα υποθέτουμε ότι το σύνολο S είναι το επίπεδο, το σύνολο V είναι η σφαίρα και ότι το σημείο p βρίσκεται στην τομή S V. Εστω q = (x 0, y 0 ) U και έστω (1, 0), (0, 1) η κανονική βάση του R 2 (συντεταγμένες u, v) και (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) η κανονική βάση του R 3 (συντεταγμένες x, y, z). Το (1, 0) είναι εφαπτόμενο του u (u, v 0 ) και το (0, 1) είναι εφαπτόμενο του v (u 0, v) και εικόνες αυτών των καμπυλών έχουν εφαπτόμενα διανύσματα, τα διανύσματα: Σχήμα 2.4: το σημείο q

39 2.2 Κανονικες Επιφανειες 31 ( x u, y u, z ) u ( x v, y v, z ) v = f u = f v Εξόρισμού του διαφορικού df q (e 1 ) = f u και df q(e 2 ) = f v διαφορικού είναι df q : R 2 R 3, x u y u z u x v y v z v ο πίνακας του Η συνθήκη (iv) λέει ότι το διαφορικό είναι 1-1 ή ισοδύναμα f u f v 0 ή ότι τα f u και f v είναι γραμμικά ανεξάρτητα. παράδειγμα 2.4. Η μοναδιαία σφαίρα S 2 = {(x, y, z) R 3 /x 2 + y 2 + z 2 = 1} είναι κανονική επιφάνεια. Εστω η απεικόνιση f 1 : U R 2 R 3 όπου U = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 < 1} και f 1 (x, y) = (x, y, 1 x 2 y 2 ). Στο σχήμα 2.5 βλέπουμε την απεικόνιση από το U στο f 1 (U) που είναι το ανοιχτό άνω ημισφαίριο της S 2. Οι συντεταγμένες συναρτήσεις της f έχουν μερικές παραγώγους κάθε τάξεως, άρα η f 1 είναι διαφορίσιμη. Το διαφορικό της f 1 δίνεται από τον πίνακα: x x y x 1 x 2 y 2 x x y y y 1 x 2 y 2 y = x 1 x2 y 2 y 1 x2 y 2 Άρα df 1 είναι 1-1. Η F 1 είναι ο περιορισμός της προβολής π : R 3 R 2, (x, y, z) (x, y) στο άνω ημισφαίριο f 1 (U), άρα η f 1 είναι συνεχής..

40 32 2 Επιφανειες στον R 3 Σχήμα 2.5: Η απεικόνιση f 1 από τον κυκλικό δίσκο στο ανοιχτό άνω ημισφαίριο της S 2 Σχήμα 2.6: κάλυψη της σφαίρας S 2

41 2.2 Κανονικες Επιφανειες 33 Μένει να καλύψουμε όλη την S 2 (σχήμα 2.6). Αυτό θα γίνει με τις παρακάτω συναρτήσεις: f 2 (x, y, z) = (x, y, ) f 3 (x, y, z) = (x, +, z) f 4 (x, y, z) = (x,, z) f 5 (x, y, z) = (+, y, z) f 6 (x, y, z) = (, y, z) 2.2αʹ Σφαιρικές Συντεταγμένες 0 φ π 0 θ 2π ρ > 0 Σχήμα 2.7: σφαιρικές συντεταγμένες παράδειγμα 2.5. S 2 = {(x, y, z)/x 2 + y 2 + z 2 = 1} Θεωρούμε V = {(θ, φ)/0 < θ < 2π, 0 < φ < π} και f : V R 3, f(θ, φ) = (cos(θ) sin(φ), sin(θ) sin(φ), cos(φ)). Η f είναι παραμετρικοποίηση για την S 2. Οι συντεταγμένες της f (δηλαδή cos(θ) sin(φ), sin(θ) sin(φ), cos(φ)) έχουν μερικές παραγώγους κάθε τάξεως, άρα f διαφορίσιμη. Το διαφορικό της f δίνεται από τον πίνακα: (cos(θ) sin(φ)) (cos(θ) sin(φ)) θ φ (sin(θ) sin(φ)) (sin(θ) sin(φ)) θ (cos(φ)) θ φ (cos(φ)) φ Άρα το διαφορικό της f σε σημείο (θ, φ), df (θ,φ) είναι 1-1.

42 34 2 Επιφανειες στον R 3 Τώρα έστω C = {(x, y, z) S 2 /x 0, y = 0}, όπως το σχήμα 2.8. Προφανώς f(v ) = S 2 \ C. Εστω p S 2 \ C. Το φ του σημείου αυτού Σχήμα 2.8: η σφαίρα S 2 με τα επίπεδα y = 0 και z = 0 καθορίζεται μοναδικά από την σχέση: φ = cos 1 (z). Για δοσμένο φ βρίσκω μοναδικά το θ από την σχέση: cos(θ) sin(φ) = x sin(θ) sin(φ) = y } cos(θ) = x sin(φ) sin(θ) = y sin(φ). Για τυχόν p = (x, y, z) S 2 \ C,! (θ, φ)f(θ, φ) = (x, y, z) = p. Ορίζω το σύνολο C = {(x, y, z) S 2 /z = 0, x 0}, όπως το σχήμα 2.8. Ομοια ορίζουμε g : V R 3 με g(θ, φ) = (sin(θ) sin(φ), cos(φ), cos(θ), sin(φ)) g(v ) = S 2 \ C. Πρόταση Εστω f : U R 2 R διαφορίσιμη (U ανοιχτό). Το σύνολο {(x, y, f(x, y))/x, y U} είναι κανονική επιφάνεια. Απόδειξη. Θεωρούμε την απεικόνιση f : U R 3 : f(u, v) = (u, v, f(u, v)). Θα δείξουμε ότι η f είναι παραμετρικοποίηση της S που καλύπτει όλη την S.

43 2.2 Κανονικες Επιφανειες 35 Η συνθήκη (i) του ορισμού ισχύει(διαφορισιμότητα). Για την συνθήκη (iii) έχουμε ότι το διαφορικό ισούτε με: u u u v 1 0 df p = v v u v = 0 1. f f f f u v u v Τώρα αφού αυτά τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα έχουμε ότι το df p είναι 1-1. Τέλος για την συνθήκη (ii) του ορισμού έχουμε ότι η f είναι 1-1 διότι σημείο (x, y, z) f(u),! σημείο (x, y) U : f(x, y) = (x, y, z) (η f είναι 1-1 αφού τα αρχέτυπα (x, y,... ) εμπεριέχονται μέσα στις εικόνες). Άρα f 1 η οποία είναι ίση με τον περιορισμό f(u) της προβολής π : R 3 R 2, (x, y, z) (x, y). Άρα είναι αμφιδιαφόριση. Ορισμός Εστω f : UR n R m, U ανοιχτό. Θα λέμε ότι το p U είναι κρίσιμο σημείο για την f εάν df p : R n R m δεν είναι επί. Η εικόνα f(p) λέγεται κρίσιμη τιμή της f. Εάν ένα σημείο q R m δεν είναι κρίσιμη τιμή τότε λέγεται κανονική τιμή. Η ορολογία προέρχεται από την περίπτωση των συναρτήσεων f : R R και τις ιδιότητες της παραγώγου. f(x 0 ) κανονική τιμή f (x 0 ) 0 Σχήμα 2.9: παράδειγμα κρίσιμων και κανονικών τιμών Παρατήρηση 2.2 (αναγνώριση κανονικών τιμών). Εστω f : UR 3 R διαφορίσιμη και U ανοιχτό. Εφαρμόζουμε το διαφορικό της f, df p στο (1, 0, 0) για να βρούμε το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης. x f(x, y 0, z 0 ) άρα, df p (1, 0, 0) = f x = f p x (x, y 0, z 0 ) = f x. x=x0 Ομοια df p (0, 1, 0) = f y (x 0, y, z 0 ) = f y και df p (0, 0, 1) = f z (x 0, y 0, z) = f z.

44 36 2 Επιφανειες στον R 3 Το διαφορικό της f στο p είναι ο 1 3 πίνακας df p (f x, f y, f z ). Για να ίναι επί η df p (δεδομένου ότι έχει πεδίο τιμών διάστασης 1) πρέπει και αρκεί τουλάχιστον ένα από τα f x, f y, f z να είναι 0. Συνεπώς το a f(u) είναι κανονική τιμή της f : U R 3 R οι f x, f y, f z δεν μηδενίζονται όλες στο f 1 (a). παράδειγμα 2.6. Εστω f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 1), f : R 3 R. Το f x = 2x 0 R είναι κανονική τιμή για την f. Οι f y = 2y μηδενίζονται όλες f z = 2z μαζί μόνο στο σημείο (0, 0, 0) το οποίο όμως δεν ανήκει στο f 1 (0). Άρα είναι κανονική τιμή. Πρόταση Εστω f : U R 3 R διαφορίσιμη με a f(u) κανονική τιμή για την f, τότε f 1 (a) είναι κανονική επιφάνεια. Από προηγούμενη πρόταση υποθέτουμε (αλλάζοντας αν χρειαστεί τους ά- ξωνες) ότι f z 0. Εστω p = (x 0, y 0, z 0 ) f 1 (a), ορίζουμε F : U R 3 R, F (x, y, z) F (x, y, f(x, y, z)). Το πεδίο ορισμού της F έχει συντεταγμένες x, y, z και το πεδίο τιμών της u, v, t. Το διαφορικό της F στο p είναι και det(f p ) = f z 0 ( ). f x f y f z Σχήμα 2.10: Το γράφημα του f 1 V και η προβολή του W

45 2.2 Κανονικες Επιφανειες 37 Από την ( ) εφαρμόζεται το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης το οποίο μας δίνει των περιοχών V του p και W του F (p) έτσι ώστε F : V W να είναι αντιστρέψιμη. Αφού F 1 είναι διαφορίσιμη οι συντεταγμένες συναρτήσεις του F 1, x = u. y = v, z = g(u, v, t), (u, v, t W ) είναι διαφορίσιμες. Για t = a έχουμε την συνάρτηση z = g(u, v, a) = h(u, v) η οποία είναι διαφορίσιμη και έχει πεδίο ορισμού την προβολή του W στο u v επίπεδο. Το f 1 (a) V είναι το γράφημα της h, άρα είναι κανονική επιφάνεια (σχήμα 2.10). παράδειγμα 2.7. Θα δείξουμε ότι το υπερβολοειδές x 2 y 2 +z 2 = 1 είναι κανονική επιφάνεια. Θεωρώ την συνάρτηση f(x, y, z) = z 2 x 2 y 2 1. (x, y, z) f 1 (0) (x, y, z) ικανοποιεί την εξίσωση x 2 y 2 + z 2 = 1. Το 0 είναι κανονική τιμή για την f διότι: f x = 2x f y = 2y f z = 2z. Οι μερικές παράγωγοι μηδενίζονται ταυτόχρονα μόνο στο σημείο (0, 0, 0) το οποίο δεν ανήκει στο f 1 (0). Άρα από την Σχήμα 2.11: πρόταση που λέει ότι η αντίστροφη το υπερβολοειδές x 2 y 2 +z 2 = 1 εικόνα κανονικής τιμής είναι κανονική ε- πιφάνεια έχουμε το ζητούμενο, ότι δηλαδή το υπερβολοειδές x 2 y 2 + z 2 = 1 είναι κανονική επιφάνεια. παράδειγμα 2.8 (σπείρα - λουκουμάς - τόρος). Εστω η επιφάνεια T που γενιέται περιστρέφοντας κύκλο ακτίνας r γύρω από άξωνα που απέχει a > r από το κέντρο του κύκλου. Θεωρώ την κατασκευή με κύκλο κέντρου (0, a, 0) ακτίνας r στο y z επίπεδο. (y a) 2 + z 2 = r 2 κενο Σχήμα 2.12: τόρος

46 38 2 Επιφανειες στον R 3 κενο Από το σχήμα 2.13 έχουμε: Σχήμα 2.13: zoom τόρου xb = z, xg = r, BG = OG OB = a x 2 + y 2 Άρα z 2 = xb 2 BG 2 (πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο xbg). z 2 = r 2 (a x 2 + y 2 ) 2 ( ) (x, y, z) T (x, y, z) ικανοποιεί την ( ). f(x, y, z) = z 2 + (a x 2 + y 2 ) 2 Τότε T = f 1 (r 2 ). Η f είναι διφορίσιμη σε κάθε σημείο (x, y, z) για το οποίο (x, y) 0 (οκ, αφού zz T = ). f = 2z z f x = 2x(a x2 + y 2 ) x2 + y 2 f y = 2y(a x 2 + y 2 ) x2 + y 2.

47 2.2 Κανονικες Επιφανειες 39 Οι μερικές μηδενίζονται όλες μαζί, x = 0 (z = 0) ή x 2 + y 2 = a 2 y = 0 ή x 2 + y 2 = a 2 είτε x = y = z = 0 είτε x 2 + y 2 = a 2. Κανένα από τα παραπάνω σημεία δεν ανήκει στο f 1 (r 2 ), άρα η T είναι κανονική επιφάνεια. Πρόταση (αντίστροφη πρότασης 2.2.1). Εστω S κανονική επιφάνεια και p S. Τότε υπάρχει περιοχή V του p στο S, έτσι ώστε η V να είναι το γράφημα μιας διαφορίσιμης συνάρτησης η οποία έχει μία πό τις παρακάτω μορφές: z = f(x, y), y = g(x, y), x = h(y, z). 2.2βʹ Ασκήσεις - Παραδείγματα παράδειγμα 2.9. Εστω f(x, y, z) = z 2. Το 0 R δεν είναι κανονική τιμή αλλά το f 1 (0) είναι κανονική επιφάνεια. f x = 0, f y = 0, f z = 2z Για το σημείο (0, 0, 0) R οι μερικές παράγωγοι μηδενίζονται επειδή το σημείο (0, 0, 0) f 1 (0) 0 όχι κανονική τιμή. f 1 (0) = {(x, y, z)/ f(x, y, z) = 0} = {(x, y, 0)/ x, y R} = xy-επίπεδο, το οποίο είναι κανονική επιφάνεια. παράδειγμα Εστω f(x, y, z) = (x + y + z 1) 2 και g(x, y, z) = xyz 2. Να βρεθούν τα κρίσιμα σημεία, οι κρίσιμες τιμές και για ποιά c, τα σύνολα f 1 (c) και g 1 (c) είναι κανονικές επιφάνειες. f x = 2(x + y + z 1) = f y = f z. Τα σημεία στα οποία μηδενίζονται όλες οι μερικές παράγωγοι είναι τα σημεία του επιπέδου E = {(x, y, z) R 3 / x + y + z 1 = 0} =(κρίσιμα σημεία). Το 0 δεν είναι κανονική τιμή αφού f(ενός σημείου της Ε) = 0. f 1 (0) =το επίπεδο Ε, άρα f 1 (0) είναι κανονική επιφάνεια. f 1 (c), (c 0), είναι εξίσωση επιφάνειας (δηλαδή επιπέδου). g x = yz2, g y = xz2, g z = 2xyz Τα σημεία (x, y, z) R 3 τα οποία μηδενίζουν ταυτόχρονα όλες τις μερικές παραγώγους είναι οι άξωνες xx yy zz. Η μοναδική κρίσιμη τιμή είναι το

48 40 2 Επιφανειες στον R 3 0. Τα κρίσιμα σημεία είναι οι άξωνες xx yy zz και οι κανονικές τιμές είναι τα σημεία που ανήκουν στο σύνολο R \ {0}. Το g 1 (0) δεν είναι επιφάνεια και το g 1 (c) είναι κανονική επιφάνεια c 0. Σχήμα 2.14: (x + 1) 2 + y 2 = 1 (x 1) 2 + y 2 = 1 Για κάθε σημείο (0, 0, z) δεν έχει σύστημα συντεταγμένων. παράδειγμα Θα δείξουμε ότι f(u, v) = (sinh(u) cos(v), sinh(u) sin(v), cosh(u)) είναι σύστημα συντεταγμένων για το υπερβολοειδές 1 + x 2 + y 2 = z 2 (σχήμα 2.11). Κοιτάμε αν f(u, v) ανήκει στο υπερβολοειδές. sinh 2 (u) cos 2 (v) + sinh 2 (u) sin 2 (v) + 1 = cosh 2 (u) sinh 2 (u)(cos 2 (v) + sin 2 (v)) + 1 = cosh 2 (u) sinh 2 (u) + 1 = cosh 2 (u) (ισχύει) Άρα ανήκει στο υπερβολοειδές. Κοιτάμε αν η f είναι 1-1. Εστω (u, v), (u, v ) έτσι ώστε f(u, v) = f(u, v ). Τότε, sinh(u) cos(v) = sinh(u ) cos(v ) sinh(u) sin(v) = sinh(u ) sin(v ) cosh(u) = cosh(u ) Από την τρίτη εξίσωση έχουμε ότι, u = ±u. (i) Αν u = u έχουμε ότι: cos(v) = cos(v ) και sin(v) = sin(v ) Άρα η f είναι 1-1. άρα v = v u = u και v = v

49 2.2 Κανονικες Επιφανειες 41 (ii) Αν u = u έχουμε ότι: sinh(u) sin(v) = sinh(u) sin(v ) u = 0 (άτοπο) Άρα u = u και η f είναι 1-1. Τέλος κοιτάμε αν είναι επί. Εστω (x, y, z) S +. Για τυχαίο z > 0 μοναδικός αριθμός u τέτοιος ώστε cosh(u) = z. Το V καθορίζεται μοναδικά.

50

51 Παραρτημα Αʹ Σχηματα Σχεδιασμενα στο Mathematica 5.2 Παρακάτω υπάρχει ο κώδικας των σχημάτων που σχεδιάστηκαν με το πρόγραμμα Mathematica 5.2. Τα σχήματα που λείπουν έχουν σχεδιαστεί με το πρόγραμμα Dia-Diagram. Γραφικο 1 { f[t ]:= Cos[t], Sin[t], t 8} ; sx1 = ParametricPlot3D[f[t], {t, 9, 9}, Boxed->False, Axes->False, ImageSize 200, DisplayFunction Identity]; tanu[u ] = Simplify [ u f[u]] ; tanv[u ] = Simplify[f [u]]; tanvectors[u ]:= {Arrow[tanv[u], Tail f[u], RGBColor[Random[], Random[], Random[]]]}; Show[sx1, Table[tanvectors[s], {s, 8, 8,.1}], DisplayFunction $DisplayFunction]; Γραφικο 2 << Graphics`PlotField3D` PlotVectorField3D[{x, y, z}, {x, 0, 2}, {y, 0, 2}, {z, 0, 2}, PlotPoints 5, VectorHeads True, 43

52 Boxed False, ColorFunction Hue, ViewPoint->{2.233, 2.259, 1.168}] Γραφικο 3 << Graphics`Polyhedra` Show[Stellate[Polyhedron[Octahedron], 3], Boxed False, ViewPoint->{0.667, 1.340, 3.034}, ImageSize 250]; σχημα 1.1 [{ ParametricPlot3D Cos[t], Sin[t], t 4}, {t, 5, 10}, Boxed False, Ticks {{0}, {0}, {}}, AxesLabel {x, y, z}, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.015]}, ImageSize 90]; σχημα 1.2 ParametricPlot3D [{e t, e t, 2t}, {t, 3, 3}, Boxed True, ViewPoint {1.888, 2.633,.975}, Ticks {{0}, {0}, {0}}, AxesLabel {x, y, z}, BoxStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0]}]; σχημα 1.3 << Graphics`Arrow` sx1 = ParametricPlot [{t 3 4t, t 2 4}, {t, 4.5, 4.5}, Ticks->{{ 5, 5}, {2, 2, 4}}, AxesLabel->{x, y}, AxesStyle->{RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}, DisplayFunction Identity]; Show[sx1, Graphics[{Hue[0], Arrow[{ 9, 2}, { 5,.7}]}], Graphics[{Hue[0], Arrow[{5,.7}, {9, 2}]}], DisplayFunction : $DisplayFunction, AspectRatio 1]; σχημα

53 ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 4, 4}, Ticks {{ 1,.5,.5, 1}, { 1,.5,.5, 1}}, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[.01]}, AspectRatio 1, AxesLabel {x, y}]; σχημα 1.5 sx1 = ParametricPlot[{t, t 3}, {t, 0, 2.2}, Ticks {{1, 2}, {}}, DisplayFunction : Identity]; Show[sx1, Graphics[{Dashing[{0.01, 0.01}], Line[{{1, 0}, {1, 1}}]}], Graphics [{Dashing[{0.015, 0.02}], Line [{{2, 0}, {2, 2 3 }}]}], AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[.01]}, AxesLabel {x, y}, DisplayFunction : $DisplayFunction]; σχημα 1.6 sx = ParametricPlot[{t Sin[t], 1 Cos[t]}, {t, 0, 6π}, DisplayFunction : Identity]; sx1 = ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t] + 1}, {t, 4, 4}, AxesOrigin {0, 0}, DisplayFunction : Identity]; sx2 = ParametricPlot[{Sin[t] + 1.5, Cos[t] + 1}, {t, 4, 4}, AxesOrigin {0, 0}, DisplayFunction : Identity]; Show[sx, sx1, sx2, AspectRatio 0.5, Ticks {{}, {}}, AxesStyle {{RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.02]}, {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[.004]}}, DisplayFunction : $DisplayFunction]; σχημα 1.7 sx1 = ParametricPlot[{t Sin[t], 1 Cos[t]}, {t, 0, 3}, Ticks {{}, {}}, DisplayFunction : Identity]; sx2 = ParametricPlot[{Cos[t] + 1.2, Sin[t] + 1}, {t, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; lin1 = Show[Graphics[Line[{{1.2, 0}, {1.2, 1}}]], DisplayFunction : Identity]; sx3 = ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t] + 1}, {t, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; 45

54 lin2 = Show[Graphics[Line[{{0.2, 0.5}, {1.5, 1}}]], DisplayFunction : Identity]; lin2 = Show[Graphics[Line[{{0.28, 0.64}, {1.2, 1}}]], DisplayFunction Identity]; lin3 = Show[Graphics[Line[{{0.28, 0.64}, {1.2, 0.64}}]], DisplayFunction Identity]; lin4 = Show[Graphics[Line[{{0.28, 0.64}, {0.28, 0}}]], DisplayFunction Identity]; gr1 = Show[Graphics[Text["E", {1.4, 1}]], DisplayFunction Identity]; gr2 = Show[Graphics[Text["D", {1.4, 0.7}]], DisplayFunction Identity]; gr3 = Show[Graphics[Text["A", {0.3, 0.85}]], DisplayFunction Identity]; gr4 = Show[Graphics[Text["B", {0.3, 0.1}]], DisplayFunction Identity]; gr5 = Show[Graphics[Text["O", { 0.1, 0.1}]], DisplayFunction Identity]; gr6 = Show[Graphics[Text["t", {1.1, 0.85}]], DisplayFunction Identity]; gr7 = Show[Graphics[Text["G", {1.4, 0.1}]], DisplayFunction Identity]; Show[sx1, sx2, sx3, lin1, lin2, lin3, lin4, gr4, gr2, gr1, gr3, gr5, gr6, gr7, AspectRatio Automatic, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}, DisplayFunction : $DisplayFunction]; σχημα 1.8 sx1 = Plot[Cosh[x], {x, 3, 3}, Epilog {Text["Cosh", { 2.3, 3}]}, DisplayFunction Identity]; sx2 = Plot[Sinh[x], {x, 3, 3}, DisplayFunction Identity]; sxhmata = Show[sx1, sx2, Graphics[Text["Sinh", { 1, 2.5}]], Ticks {{}, {}}, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[.01]}, DisplayFunction : $DisplayFunction]; sx3 = ParametricPlot3D[{Cosh[t], Sinh[t], t}, {t, 3, 3}, ViewPoint->{1.208, 3.007, 0.975}, Ticks {{}, {}, {}}, BoxStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}, 46

55 AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0]}]; Show[GraphicsArray[{sxhmata, sx3}]]; σχημα 1.9 ParametricPlot [{e t Cos[5t], e t Sin[5t]}, {t, 0, 4}, Ticks {{}, {}}, AspectRatio Automatic, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}]; sx1 = ParametricPlot3D [{t, 0, e 1 σχημα 1.16 } t 2, {t, 0.01, 2}, DisplayFunction Identity]; } sx2 = ParametricPlot3D [{t, e 1 t 2, 0, {t, 2, 0.01}, DisplayFunction Identity]; Show[sx1, sx2, DisplayFunction : $DisplayFunction, ViewPoint->{2.616, 1.912, 0.975}, Ticks {{0}, {0}, {0}}, AxesLabel {x, y, z}, BoxStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0]}]; f[t ]:= { } Cos[t], Sin[t], t 4 tanu[u ] = Simplify [{ [ u f[u]] ; [ tanv[u ] = Simplify Cos dianb[u ] [{ = Simplify 1/ [ Sin u σχημα 1.18 u ], 1/4 ] [, Sin [ Cos u u tanvectors[u ]:={Arrow[tanu[u], Tail f[u], Red], Arrow[tanv[u], Tail f[u], Blue], Arrow[dianb[u], Tail f[u], RGBColor[0, 1, 0]]}; Show[sx1, tanvectors[ 2], ImageSize 300]; ] }], 0 ; ], }] σχημα

56 [{ ParametricPlot3D } (1+s) 3 2, (1 s) 3 2 s 3, 2 3 {s, 1, 1}, Ticks {{}, {}, {}}, BoxStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[.01]}, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0]}];, σχημα 2.3 << Graphics`InequalityGraphics` << Graphics`Shapes` sx1 = ParametricPlot3D[{Cos[v]Sin[u], Sin[v]Sin[u], Cos[u]}, {v, 0, 2π}, {u, 0, π}, DisplayFunction Identity]; sx2 = InequalityPlot3D [x 2 + y 2 + z < z <.001, {x}, {y}, {z}, Axes->False, DisplayFunction Identity]; sx3 = Plot3D[0, {x, 1.5, 1.5}, {y, 1.5, 1.5}, Boxed False, Axes False, ColorFunction GrayLevel, DisplayFunction Identity]; Show[WireFrame[sx1], sx2, WireFrame[sx3], DisplayFunction : $DisplayFunction, ViewPoint->{1.844, 2.802, 0.447}, Boxed False, Axes False, AspectRatio Automatic, ImageSize 500]; σχημα 2.5 << Graphics`InequalityGraphics` ComplexInequalityPlot[Abs[z] 1, {z}, Ticks {{ 1,.5,.5, 1}, { 1,.5,.5, 1}}]; sx1 = ParametricPlot3D[{Cos[θ]Sin[φ], Sin[θ]Sin[φ], Cos[φ]}, {θ, 0, 2Pi}, {φ, 0, Pi/2}]; tanvectors = {Arrow[{1.5, 0, 0}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]], Arrow[{0, 1.5, 0}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]], Arrow[{0, 0, 1.5}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]]}; Show[sx1, tanvectors, ViewPoint->{2.915, 1.539, 0.764}, Boxed False, Axes False, ImageSize 600]; σχημα 2.6 sx1 = ParametricPlot3D[{Cos[θ]Sin[φ], Sin[θ]Sin[φ], Cos[φ]}, {θ, 0, 2Pi}, {φ, 0, Pi}, DisplayFunction : Identity]; g1[x, y ] = 4 x 2 y 2 ; {x[u, v ], y[u, v ]} = {ucos[v], usin[v]}; P1[u, v ] = {x[u, v], y[u, v], g1[x[u, v], y[u, v]]}; 48

57 sx2 = ParametricPlot3D[P1[u, v], {u, 0, 1}, {v, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; g2[x, y ] = 4 + x 2 + y 2 ; {x[u, v ], y[u, v ]} = {ucos[v], usin[v]}; P2[u, v ] = {x[u, v], y[u, v], g2[x[u, v], y[u, v]]}; sx3 = ParametricPlot3D[P2[u, v], {u, 0, 1}, {v, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; g3[x, y ] = 4 + x 2 + y 2 ; {x[u, v ], y[u, v ]} = {ucos[v], usin[v]}; P3[u, v ] = {x[u, v], g3[x[u, v], y[u, v]], y[u, v]}; sx4 = ParametricPlot3D[P3[u, v], {u, 0, 1}, {v, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; g4[x, y ] = 4 x 2 y 2 ; {x[u, v ], y[u, v ]} = {ucos[v], usin[v]}; P4[u, v ] = {x[u, v], g4[x[u, v], y[u, v]], y[u, v]}; sx5 = ParametricPlot3D[P4[u, v], {u, 0, 1}, {v, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; g5[x, y ] = 4 x 2 y 2 ; {x[u, v ], y[u, v ]} = {ucos[v], usin[v]}; P5[u, v ] = {g5[x[u, v], y[u, v]], x[u, v], y[u, v]}; sx6 = ParametricPlot3D[P5[u, v], {u, 0, 1}, {v, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; g6[x, y ] = 4 + x 2 + y 2 ; {x[u, v ], y[u, v ]} = {ucos[v], usin[v]}; P6[u, v ] = {g6[x[u, v], y[u, v]], x[u, v], y[u, v]}; sx7 = ParametricPlot3D[P6[u, v], {u, 0, 1}, {v, 0, 2π}, DisplayFunction : Identity]; tanvectors = {Arrow[{1.5, 0, 0}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]], Arrow[{0, 1.5, 0}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]], Arrow[{0, 0, 1.5}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]], Arrow[{0, 0, 1.5}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]], Arrow[{ 1.5, 0, 0}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]], Arrow[{0, 1.5, 0}, Tail {0, 0, 0}, Thickness[.007]]}; Show[sx1, sx2, sx3, sx4, sx5, sx6, sx7, tanvectors, Boxed False, Axes False, DisplayFunction : $DisplayFunction, ImageSize 800]; σχημα 2.8 << Graphics`Shapes` sx1 = ParametricPlot3D[{Cos[t]Sin[s], 0, Cos[s]}, {t, 0, 2π}, {s, 0, π}, 49

58 PlotPoints 50, ViewPoint->{2.797, 1.336, 1.356}, DisplayFunction : Identity]; sx2 = ParametricPlot3D[{Cos[t]Sin[s], Sin[t]Sin[s], 0}, {t, 0, 2π}, {s, 0, π}, PlotPoints 60, DisplayFunction : Identity]; Show[sx1, sx2, Graphics3D[Text["y-axis", {.5, 1.6, 0}]], Graphics3D[Text["x-axis", {1,.9,.7}]], Graphics3D[Text["z-axis", { 1.2,.6, 1}]], Graphics3D[Text["C", { 1.2,.3,.7}]], Graphics3D[Text["C ", { 1.2,.7,.2}]], WireFrame[Graphics3D[Sphere[1]]], Boxed False, TextStyle {FontSize 22}, AxesEdge {{ 1, 1}, { 1, 1}, { 1, 1}}, Ticks {{0, 1}, {0, 1}, {}}, ImageSize 600, DisplayFunction $DisplayFunction, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}]; σχημα 2.10 << Graphics`Shapes` << Graphics`Colors` sx1 = Show[box[{0, 2}, { 1, 3}, {4, 7}], DisplayFunction Identity]; setup3[z0 ]:=Graphics3D[Polygon[{{0, 1, z0}, {2, 1, z0}, {2, 3, z0}, {0, 3, z0}, {0, 1, z0}}]]; sx2 = ParametricPlot3D[{t, s, 0}, {t, 2, 4}, {s, 2, 4}, DisplayFunction Identity]; protosxhma = Show[sx1, setup3[5.5], setup3[0], WireFrame[sx2], Graphics3D[Text["u", { 1.6, 2, 1.2}]], Graphics3D[Text["v", {4, 4, 0.4}]], Graphics3D[Text["t", {0, 0, 8}]], Graphics3D[Text["t=a", {0.2, 0.2, 5}]], Graphics3D[Text["π(W)", {.7,.9, 0}, Background GrayLevel[.8]]], Graphics3D[Text["W", {3.6, 0.2, 7}]], Boxed False, Axes True, AxesEdge {{1, 1}, { 1, 1}, { 1, 1}}, Ticks {{}, {}, {}}, ImageSize 300, TextStyle {FontSize 10}, AxesStyle {RGBColor[1, 0, 0], Thickness[0.01]}, DisplayFunction : Identity]; sx3 = ParametricPlot3D[{t, s, Sin[t] + 5}, {t, 0, 2}, {s, 1, 3}, DisplayFunction:>Identity]; deyterosxhma = Show[sx1, sx3, WireFrame[sx2], Graphics3D[Text["V", {3.6, 0.2, 9}]], Graphics3D [Text ["f 1 (a) V", {4.4, 0.2, 8}]], Boxed->False, 50

...105 ...109...111...112 - ...117 9....118...119 ...130 1. ...133...136 10. ...138...146

...105 ...109...111...112 - ...117 9....118...119 ...130 1. ...133...136 10. ...138...146 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ...i ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑ ΡΟΜΗ...7 1. Επιχειρήσεων των ΟΤΑ µέχρι τον Κώδικα ήµων και Κοινοτήτων του 1954...7 Α. Νοµική µορφή των επιχειρήσεων...7

Διαβάστε περισσότερα

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ 2/10 ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΚEΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΩΝ & ΤΕΚΜΗΡΙΩΣΗΣ ΟΛΜΕ Αγαπητή/αγαπητέ Συνάδελφε, Το ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ ΠΟΛΥΚΕΝΤΡΟ, Ινστιτούτο της ΑΔΕΔΥ, με τη συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Νεοελληνική Γλώσσα Λυκείου

Νεοελληνική Γλώσσα Λυκείου Νεοελληνική Γλώσσα Λυκείου Πλαίσιο προδιαγραφών Ι. Δομή θεμάτων Η διαδικασία εισαγωγής των μαθητών/τριών στην Α Λυκείου προβλέπει τη δοκιμασία τους σε τρία θέματα Νεοελληνικής Γλώσσας, καθένα από τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ε. ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Μ. ΠΑΠΑΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΑΘΗΝΑ 2010 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Οι σηµειώσεις αυτές είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. ΑΡΓΥΡΗ ΔΗΜΗΤΡΑ Σχολής Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Χρηματοοικονομικής και Ελεγκτικής Επιστήμης Εισηγητής :Λυγγίτσος Αλέξανδρος

ΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ. ΑΡΓΥΡΗ ΔΗΜΗΤΡΑ Σχολής Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Χρηματοοικονομικής και Ελεγκτικής Επιστήμης Εισηγητής :Λυγγίτσος Αλέξανδρος ΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΑΡΓΥΡΗ ΔΗΜΗΤΡΑ Σχολής Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Χρηματοοικονομικής και Ελεγκτικής Επιστήμης Εισηγητής :Λυγγίτσος Αλέξανδρος «Φορολογία εισοδήματος φυσικών προσώπων στην Ελλάδα» ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο Η αριστοτελική φυσική

Κεφάλαιο 4 ο Η αριστοτελική φυσική Κεφάλαιο 4 ο Η αριστοτελική φυσική 4.1. Φυσική και μεταφυσική στον Αριστοτέλη Στην αριστοτελική εγκυκλοπαίδεια της γνώσης η επιστήμη που κατέχει την κυρίαρχη θέση είναι χωρίς αμφιβολία η «φυσική». Με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ. ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών. Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής

ΣΧΕΔΙΟ. ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών. Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής 1. Σκοπός του παρόντος νόµου είναι : α) η εξασφάλιση της συνεχούς προσφοράς δηµοσίων

Διαβάστε περισσότερα

Ο κόσμος των επιχειρήσεων, τησ οικονομιασ και των αγορών: επιχειρηματικές δραστηριότητες, επιχειρηματικοί κίνδυνοι και επιχειρηματικές πρακτικές

Ο κόσμος των επιχειρήσεων, τησ οικονομιασ και των αγορών: επιχειρηματικές δραστηριότητες, επιχειρηματικοί κίνδυνοι και επιχειρηματικές πρακτικές Παρατήρηση Από την παρούσα αξία 96.153,85 οδηγηθήκαμε με τον εκτοκισμό στην ονομαστική αξία, αφού το υπόλοιπο του πελάτη μας θα είναι κατά την 31.12.2016 100.000 (96.153,85 + 3.846,15). 4/31.12.2016 Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ. Άρθρο πρώτο.

Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΒΟΥΛΗΣ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ. Άρθρο πρώτο. ΝΟΜΟΣ: 1634/86 Κύρωση των πρωτοκόλλων 1980 «Για την προστασία της Μεσογείου θαλάσσης από τη ρύπανση από χερσαίες πηγές» και 1982 «περί των ειδικά προστατευομένων περιοχών της Μεσογείου» (ΦΕΚ 104/Α/18-07-86)

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3834, 8/4/2004 Ο ΠΕΡΙ ΑΣΤΥΝΟΜΙΑΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3834, 8/4/2004 Ο ΠΕΡΙ ΑΣΤΥΝΟΜΙΑΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ Ο ΠΕΡΙ ΑΣΤΥΝΟΜΙΑΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΑΡΘΡΩΝ ΜΕΡΟΣ Ι - ΕΙΣΑΓΩΓΗ Άρθρο 1. Συνοπτικός τίτλος. 2. Ερμηνεία. 3. Καθίδρυση Αστυνομίας Κύπρου. 4. Εξουσίες Υπουργού. 5. Συγκρότηση Αστυνομίας. 6. Εξουσίες

Διαβάστε περισσότερα

I.Επί της Αρχής του σχεδίου Νόµου: ΙΙ. Επί των άρθρων του σχεδίου Νόµου: ΕΙΣΗΓΗΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

I.Επί της Αρχής του σχεδίου Νόµου: ΙΙ. Επί των άρθρων του σχεδίου Νόµου: ΕΙΣΗΓΗΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΕΙΣΗΓΗΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «Πρωτοβάθµιο Εθνικό Δίκτυο Υγείας (Π.Ε.Δ.Υ.), αλλαγή σκοπού Ε.Ο.Π.Υ.Υ. και λοιπές διατάξεις» Προς τη Βουλή των Ελλήνων I.Επί της Αρχής του σχεδίου Νόµου: Με τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Δράση 1.2. Υλοτομία και προσδιορισμός ποσοτήτων υπολειμμάτων.

Δράση 1.2. Υλοτομία και προσδιορισμός ποσοτήτων υπολειμμάτων. 1 η ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΕΡΓΟΥ 1 η φάση έργου (Περίοδος 25 Μαϊου έως 30 Σεπτεμβρίου 2014) Στη πρώτη φάση του έργου υλοποιήθηκαν τα παρακάτω: 1 ο Πακέτο εργασίας (Προσδιορισμός είδους και ποσοτήτων υπολειμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 2005

Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 2005 Υποψήφιοι Σχολικοί Σύμβουλοι 1986 25 Για τους /τις εκπαιδευτικούς που υπέβαλαν αίτηση υποψηφιότητας για τη θέση Σχολικού Συμβούλου υπάρχουν μας διατέθηκαν από τις αρμόδιες υπηρεσίες του ΥΠΕΠΘ, για τα έτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αφιέρωση... 7 Εισαγωγή... 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Τι θα κερδίσετε από αυτό το βιβλίο... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ανάληψη των ευθυνών σας... 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Όλα ερείπια: το ψάξιμο στα συντρίμμια... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Αναγκαστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 13 Α' ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΤΟΥ 1897 ΣΤΟ ΓΟΥΔΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 13 Α' ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΤΟΥ 1897 ΣΤΟ ΓΟΥΔΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 13 Α' ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΤΟΥ 1897 ΣΤΟ ΓΟΥΔΙ Του Βασίλη Γούναρη 19 1. Η ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΗΣ ΗΤΤΑΣ ΤΟΥ 1897 21 η ηττα και η συνθηκολογηση οι συνεπειες της ηττας εξελιξεις και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «Παραθεριστικοί Οικοδοµικοί Συνεταιρισµοί. Μελέτη Περίπτωσης του «Βραχόκηπου» ήµου Γουβών Ηρακλείου Κρήτης»

ΘΕΜΑ: «Παραθεριστικοί Οικοδοµικοί Συνεταιρισµοί. Μελέτη Περίπτωσης του «Βραχόκηπου» ήµου Γουβών Ηρακλείου Κρήτης» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ: ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ - ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΑ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΧΩΡΙΚΩΝ ΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ Ι ΑΣΚΟΝΤΕΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ένας περίπατος στη Μονή Καισαριανής

Ένας περίπατος στη Μονή Καισαριανής Ένας περίπατος στη Μονή Καισαριανής Ένας περίπατος στη Μονή Καισαριανής Το Μάιο του 2008 το Υπουργείο Πολιτισμού εγκαινίασε το θεσμό «Περιβάλλον και Πολιτισμός» με στόχο την ανάδειξη των άρρηκτων δεσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ. ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ

ΙΙ. ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Ερμηνευτικό Σημείωμα της Ύπατης Αρμοστείας του ΟΗΕ για τους Πρόσφυγες Το βάρος της απόδειξης και η αποδεικτική ισχύς των ισχυρισμών κατά την εξέταση των αιτημάτων ασύλου Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του παρόντος

Διαβάστε περισσότερα

Το Ψυχολογικό Κλίμα της Σχολικής Τάξης στο Ελληνικό Δημοτικό Σχολείο

Το Ψυχολογικό Κλίμα της Σχολικής Τάξης στο Ελληνικό Δημοτικό Σχολείο Το Ψυχολογικό Κλίμα της Σχολικής Τάξης στο Ελληνικό Δημοτικό Σχολείο Ηλίας Γ. Ματσαγγούρας Καθηγητής Π.Τ.Δ.Ε. Πανεπιστημίου Αθηνών Σταμάτης Ν. Βούλγαρης Διδάκτωρ Επιστημών της Αγωγής Ι. Εισαγωγή Α. Το

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ)

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ) Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΘΡΗΣΚΕΙΑΣ ΣΤΟ ΟΥΔΕΤΕΡΟΘΡΗΣΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (ΤΟΥ ΡΕΖΙΣ ΝΤΕΜΠΡΕ) I Το Δεκέμβριο του 2001 ο Ζακ Λαγκ, Υπουργός Εθνικής Παιδείας της Γαλλίας ζήτησε από τον καθηγητή Ρεζίς Ντεμπρέ, το θεωρητικό ενδιαφέρον

Διαβάστε περισσότερα

Συνήγορος του Καταναλωτή Νομολογία ΕφΑθ 5253/2003

Συνήγορος του Καταναλωτή Νομολογία ΕφΑθ 5253/2003 ΕφΑθ 5253/2003 Τράπεζες. Στεγαστικά δάνεια. Γενικοί Όροι Συναλλαγών. Καταχρηστικοί όροι. Έξοδα χρηματοδότησης. Προμήθεια φακέλου Παράνομες επιβαρύνσεις. Υπέρμετρες εγγυήσεις. Καταγγελία σύμβασης δανείου.

Διαβάστε περισσότερα

15PROC002541788 2015-01-26

15PROC002541788 2015-01-26 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ Κάτω Τιθορέα 26/01/2015 ΔΗΜΟΣ ΑΜΦΙΚΛΕΙΑΣ-ΕΛΑΤΕΙΑΣ Αριθ. Πρωτ: 841 ------------------------------------------------------ Πληροφορίες: Τριφύλλη Ελένη Τηλ.:

Διαβάστε περισσότερα

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών 2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών Περίληψη Το Υπουργείο Οικονοµικών έχει κατορθώσει να µειώσει τους πραγµατικούς µας µισθούς, συνδυάζοντας την επίδραση των ακολούθων γεγονότων που

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α «Σύνταξη και Ψήφιση προϋπολογισµού ήµου Καβάλας οικονοµικού έτους 2009»

Θ Ε Μ Α «Σύνταξη και Ψήφιση προϋπολογισµού ήµου Καβάλας οικονοµικού έτους 2009» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΣ ΚΑΒΑΛΑΣ ΗΜΟΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το Πρακτικό της µε αριθ. 38 ης /14 εκεµβρίου 2008 Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Καβάλας Αριθ. Αποφάσεως 707/2008 Θ Ε

Διαβάστε περισσότερα

Α1. (α). ώστε τον ορισμό του προβλήματος (Μονάδες 3)

Α1. (α). ώστε τον ορισμό του προβλήματος (Μονάδες 3) ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΑΕΠΠ / ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ ΣΕΙΡΑ: 1η ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/11/2011 ΘΕΜΑ Α Α1. (α). ώστε τον ορισμό του προβλήματος (Μονάδες 3) (β). ίνεται ο παρακάτω πίνακας που στην Στήλη 1 υπάρχουν κριτήρια κατηγοριοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ : τον ΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΥΠΟΜΕΔΙ) ΥΦΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ. Γεν. Γραμματέα ΔΗΜ.

ΠΡΟΣ : τον ΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΥΠΟΜΕΔΙ) ΥΦΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ. Γεν. Γραμματέα ΔΗΜ. ΑΘΗΝΑ, 12-01-2011 Αριθμ. Πρωτ.: 622 ΠΡΟΣ : τον ΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΥΠΟΜΕΔΙ) κ. Δ. ΡΕΠΠΑ τον ΥΦΥΠΟΥΡΓΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ κ. Γ. ΜΑΓΚΡΙΩΤΗ τον Γεν. Γραμματέα ΔΗΜ. ΕΡΓΩΝ του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. Άρθρο 4 Κοινοί διαδικαστικοί κανόνες

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. Άρθρο 4 Κοινοί διαδικαστικοί κανόνες ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «Προσαρµογή στο εθνικό δίκαιο της Εκτελεστικής Οδηγίας 2012/25/ΕΕ της Επιτροπής της 9ης Οκτωβρίου 2012 για τη θέσπιση διαδικασιών ε- νηµέρωσης σχετικά µε την ανταλλαγή,

Διαβάστε περισσότερα

Επίσηµη Εφηµερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης. (Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ

Επίσηµη Εφηµερίδα της Ευρωπαϊκής Ένωσης. (Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ 13.2.2015 L 38/1 II (Μη νομοθετικές πράξεις) ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΙ ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΕ) 2015/207 ΤΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ της 20ής Ιανουαρίου 2015 για τη θέσπιση λεπτομερών κανόνων εφαρμογής του κανονισμού (ΕΕ) αριθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΛΕΠΤΟΥ ΚΑΙ ΩΡΙΑΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΛΕΠΤΟΥ ΚΑΙ ΩΡΙΑΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΟΛΙΓΟΛΕΠΤΟΥ ΚΑΙ ΩΡΙΑΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Παραδείγµατα ολιγόλεπτου διαγωνίσµατος Το παράδειγµα αυτό αναφέρεται στη διδακτική ενότητα 3. Κύριος στόχος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟΥ ΝΕΟΤΗΤΑΣ. ΙΔΡΥΣΗ Ιδρύεται Κέντρο Νεότητας µε την επωνυµία «Κέντρο Νεότητας... µε έδρα...

ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟΥ ΝΕΟΤΗΤΑΣ. ΙΔΡΥΣΗ Ιδρύεται Κέντρο Νεότητας µε την επωνυµία «Κέντρο Νεότητας... µε έδρα... ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟΥ ΝΕΟΤΗΤΑΣ ΑΡΘΡΟ 1 ΙΔΡΥΣΗ Ιδρύεται Κέντρο Νεότητας µε την επωνυµία «Κέντρο Νεότητας... µε έδρα... ΑΡΘΡΟ 2 Στο Καταστατικό αυτό «Κέντρο Νεότητας» σηµαίνει: «εθελοντική-κοινοτική οργάνωση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1. Κεφάλαιο 2. Κεφάλαιο 3. Κεφάλαιο 4. Κεφάλαιο 5. Κεφάλαιο 6. Κεφάλαιο 7. Κεφάλαιο 8.

Περιεχόμενα. Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1. Κεφάλαιο 2. Κεφάλαιο 3. Κεφάλαιο 4. Κεφάλαιο 5. Κεφάλαιο 6. Κεφάλαιο 7. Κεφάλαιο 8. Περιεχόμενα Εισαγωγή... 7 ΜΕΡΟΣ Α... 13 Κεφάλαιο 1 Η σταχτοπούτα της ζωής μας!... 15 Κεφάλαιο 2 Συνδέοντας τα κομμάτια: o εαυτός μας!... 23 Κεφάλαιο 3 Οι σχέσεις μας είναι ο καθρέφτης μας!... 27 Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Αυτή είναι η οικογένειά μου

Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Αυτή είναι η οικογένειά μου Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: Αυτή είναι η οικογένειά μου Ενότητα: Οικογένεια, συγγενικές σχέσεις (2 φύλλα εργασίας) Επίπεδο: Α1, Α2 Κοινό: αλλόγλωσσοι ενήλικες ιάρκεια: 4 ώρες (2 δίωρα) Υλικοτεχνική υποδομή: Για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΔΙΔΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ A1. Με αυτά λοιπόν τα μέσα εφοδιασμένοι οι άνθρωποι κατοικούσαν στην αρχή διασκορπισμένοι, πόλεις όμως δεν υπήρχαν κατασπαράσσονταν λοιπόν από τα θηρία, γιατί ήταν από

Διαβάστε περισσότερα

Η ευσέβεια, η αξιοπιστία και η ακεραιότητα του Αγησιλάου (1 διδακτική ώρα)

Η ευσέβεια, η αξιοπιστία και η ακεραιότητα του Αγησιλάου (1 διδακτική ώρα) Κεφάλαιο 3 4 (από µετάφραση) Η ευσέβεια, η αξιοπιστία και η ακεραιότητα του Αγησιλάου (1 διδακτική ώρα) Ενδεικτικοί διδακτικοί στόχοι 1. Να γνωρίσουν το µέγεθος της αξιοπιστίας του Αγησιλάου και να κατανοήσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ»

ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ: ΜΑΝΤΕΙΟ ΤΡΟΦΩΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΥΚΗΝΑΪΚΗ ΘΗΒΑ» ΕΡΓΟ: «ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΒΟΙΩΤΙΑ:» ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΜΕΙΖΟΝΟΣ ΕΛΛΗΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΕΙΚΟΝΙΚΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΝΗΜΕΙΩΝ ΒΟΙΩΤΙΑΣ, ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΕΡΙ ΥΔΑΤΟΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΛΛΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ ΝΟΜΟΣ

Ο ΠΕΡΙ ΥΔΑΤΟΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΛΛΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ ΝΟΜΟΣ Ο ΠΕΡΙ ΥΔΑΤΟΠΡΟΜΗΘΕΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΛΛΩΝ ΠΕΡΙΟΧΩΝ ΝΟΜΟΣ Κεφ. 350. 25 του 1972 31 του 1982 172 του 1988 9(Ι) του 1994 18(Ι) του 1996 24(Ι) του 2007 63(Ι) του 2007 9(Ι) του 2012 199(I) του 2012 105(Ι)

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΛΛΑΓΕΣ ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΚΤΑΚΤΗΣ ΑΝΑΓΚΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2013. Διάταγμα δυνάμει των άρθρων 4 και 5

Ο ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΛΛΑΓΕΣ ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΚΤΑΚΤΗΣ ΑΝΑΓΚΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2013. Διάταγμα δυνάμει των άρθρων 4 και 5 Ο ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΛΛΑΓΕΣ ΣΕ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΚΤΑΚΤΗΣ ΑΝΑΓΚΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2013 Διάταγμα δυνάμει των άρθρων 4 και 5 ΕΠΕΙΔΗ υπάρχει έλλειψη ουσιαστικής ρευστότητας και σημαντικός κίνδυνος

Διαβάστε περισσότερα

του Παναγιώτη Πούλου

του Παναγιώτη Πούλου του Παναγιώτη Πούλου ΠΩΣ EINAI ΔΥΝΑΤΟΝ ΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΊΣΟΥΜΕ με ακρίβεια τον ρόλο που διαδραματίζει η μουσική διάσταση στο Αναζητώντας τον χαμένο χρόνο; Δύο βιογραφικές μαρτυρίες μπορεί να μας βοηθήσουν να

Διαβάστε περισσότερα

5 η Ενότητα Κουλτούρα και στρατηγική

5 η Ενότητα Κουλτούρα και στρατηγική Στρατηγική Διοίκηση και Διαχείριση της Απόδοσης 5 η Ενότητα Κουλτούρα και στρατηγική ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Έως τώρα έχουμε μιλήσει Κεφάλαιο 2: Σημαντική επιρροή του περιβάλλοντος

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 Ασκήσεις στις Ανισώσεις Παραδείγματα Θα ξεκινήσουμε από την υπόθεση α > 3, θα Αν ισχύει α > 3, να αποδείξετε ότι 2(α + 4) 6 < 20 εφαρμόσουμε τις ιδιότητες της διάταξης και θα καταλήξουμε στη ζητούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Έλλειψη εσωτερικής ελευθερίας

Έλλειψη εσωτερικής ελευθερίας Έλλειψη εσωτερικής ελευθερίας Ανωριμότητα Προκαταλήψεις- Στερεότυπα Απουσία ανθρωπιστικής παιδείας Ημιμάθεια Έλλειψη έμπρακτης χριστιανικής ζωής ΣΤΟΧΟΙ Να αρχίσουν να αναγνωρίζουν και να εκφράζουν τα δικά

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία του Αθανασιάδη Σωτηρίου, καθηγητή φιλόλογου. Σοφοκλέους Αντιγόνη. (Αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου)

Εργασία του Αθανασιάδη Σωτηρίου, καθηγητή φιλόλογου. Σοφοκλέους Αντιγόνη. (Αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου) 1 Εργασία του Αθανασιάδη Σωτηρίου, καθηγητή φιλόλογου. Σοφοκλέους Αντιγόνη (Αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου) Σοφοκλής Ερμηνευτικές ερωτήσεις ανοικτού τύπου (ανάπτυξης και σύντομης απάντησης) Πρόλογος Στίχοι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Κληρονομικού Δικαίου

Σημειώσεις Κληρονομικού Δικαίου Σημειώσεις Κληρονομικού Δικαίου ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Κληρονομικό Δίκαιο -> ρυθμίζει τις έννομες σχέσεις του ατόμου μετά το θάνατό του και ιδίως στην τύχη της περιουσίας του. Καταλαμβάνει το πέμπτο βιβλίο του ΑΚ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 Ερωτήσεις στο Ηλεκτρικό Ρεύμα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε ηλεκτρικό ρεύμα ; 2. Ποια είναι η μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού ρεύματος στο S.I. ; Με ποια όργανα μετριέται η ένταση του ρεύματος και πως συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης

Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης W Μέλι, ένας θησαυρός υγείας και δύναμης 2012-2013 Ε Ρ Ε Υ Ν Η Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Α Τ Α Ξ Η Σ 1 Ο Υ Γ Ε Ν Ι Κ Ο Υ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Π Α Τ Ρ Α Σ Ο Μ Α Δ Α Β Ε Π Ι Β Λ Ε Π Ο Υ Σ Α Κ Α Θ Η Γ Η Τ Ρ Ι Α : Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τριμηνιαία Έρευνα. A Τρίμηνο 2014

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Τριμηνιαία Έρευνα. A Τρίμηνο 2014 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Τριμηνιαία Έρευνα A Τρίμηνο 2014 Αθήνα, Απρίλιος 2014 2 Έρευνα Καταναλωτικής Εμπιστοσύνης Α Τρίμηνο 2014 3 4 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σύμφωνα με ανακοίνωση του αρμόδιου φορέα Ε.Ο.Π.Π.Ε.Π. στην ιστοσελίδα του: ΑΝΑΓΓΕΛΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Σύμφωνα με ανακοίνωση του αρμόδιου φορέα Ε.Ο.Π.Π.Ε.Π. στην ιστοσελίδα του: ΑΝΑΓΓΕΛΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Σύμφωνα με ανακοίνωση του αρμόδιου φορέα Ε.Ο.Π.Π.Ε.Π. στην ιστοσελίδα του: ΑΝΑΓΓΕΛΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΑ ΑΝΑΓΓΕΛΙΑΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΕ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΚΕΝΤΡΑ ΞΕΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Λ ο υ κ ά ς Α π ο σ τ ο λ ί δ η ς & Σ υ ν ε ρ γ ά τ ε ς ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Λ ο υ κ ά ς Α π ο σ τ ο λ ί δ η ς & Σ υ ν ε ρ γ ά τ ε ς ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Λ ο υ κ ά ς Α π ο σ τ ο λ ί δ η ς & Σ υ ν ε ρ γ ά τ ε ς ΔΙΚΗΓΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Τηλ.: 2103619650, 2103610116, Fax: 2103619760, Email: lapostol@otenet.gr h t t p: / / w w w. l o u k a s a p o s t o l i d i

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΕ ΤΜΗΜΑ ΕΝΤΑΞΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ

Ι ΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΕ ΤΜΗΜΑ ΕΝΤΑΞΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΡΙΑ ΣΙΟΜΠΟΤΗ-ΣΑΜΣΑΡΗ Φιλόλογος Ι ΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΣΕ ΤΜΗΜΑ ΕΝΤΑΞΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Προλεγόμενα Τα Τμήματα Ένταξης, αν και λειτουργούν στην Α/βάθμια Εκπαίδευση από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ. λίτρα νερό. Πόσο νερό χρειάζεται ακόμα για να γεμίσει το δοχείο;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΝΩΣΕΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ. λίτρα νερό. Πόσο νερό χρειάζεται ακόμα για να γεμίσει το δοχείο; 1. Οι μαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από 283 και λιγότεροι από 293. Είναι δυνατό να παραταχθούν σε τριάδες ή πεντάδες χωρίς να περισσεύει κανένας. Πόσοι είναι οι μαθητές του σχολείου αυτού; 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Ανδρέας Αρβανιτογεώργος και Μαρίνα Σταθά Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μαθηματικών 1 Περιγραφή του προβλήματος 2 Θέλουμε να προσαρμόσουμε σε μια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ Οι Χαΐνηδες Ο Δημήτρης Αποστολάκης

ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ Οι Χαΐνηδες Ο Δημήτρης Αποστολάκης ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ 1. Έχω επιλέξει ένα τραγούδι τον που είναι μια δημιουργία των Χαΐνηδων. Οι Χαΐνηδες είναι ένα συγκρότημα από την Κρήτη που παίζουν έντεχνη και παραδοσιακή μουσική. Οι μουσική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ. «Δικαιώματα-υποχρεώσεις επιβατών και μεταφορέων στις επιβατικές θαλάσσιες μεταφορές».

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ. «Δικαιώματα-υποχρεώσεις επιβατών και μεταφορέων στις επιβατικές θαλάσσιες μεταφορές». Ο Ρ Θ Η Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΑΔΑ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Πειραιάς, 27-09-2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΑΙΓΑΙΟΥ Δ.Θ.Σ. Δ.Ε.Π. Δ.ΕΚ.Ν. Δ.Λ.Υ. Αριθ.Πρωτ.: 3332.12/10/13 Ταχ.Δ/νση : Ακτή Βασιλειάδη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΛΕΑΣ Σχολική χρονιά 2008-2009

ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΛΕΑΣ Σχολική χρονιά 2008-2009 ΛΥΚΕΙΟ ΣΟΛΕΑΣ Σχολική χρονιά 2008-2009 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 Μάθημα: ΦΥΣΙΟΓΝΩΣΤΙΚΑ Τάξη : Α Ημερομηνία: Πέμπτη, 4 Ιουνίου 2009 Ώρα: 07:45 09:45 ΒΑΘΜΟΣ Αριθμητικώς:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοσιακή ρώσικη χριστουγεννιάτικη ιστορία Διασκευή από την Μπιλιούρη Αργυρή

Παραδοσιακή ρώσικη χριστουγεννιάτικη ιστορία Διασκευή από την Μπιλιούρη Αργυρή Παραδοσιακή ρώσικη χριστουγεννιάτικη ιστορία Διασκευή από την Μπιλιούρη Αργυρή ΠΡΟΣΩΠΑ: Τρεις μάγοι Μπάμπουσκα Ξενοδόχος Φρουρός Αγγελιαφόρος Χωρικοί (μπορούμε να χρησιμοποιήσουνε όσα πρόσωπα θέλουμε )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ» Θ.Ε. ΔΕΟ 10 Βασικές Αρχές Δικαίου και Διοίκησης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ» Θ.Ε. ΔΕΟ 10 Βασικές Αρχές Δικαίου και Διοίκησης ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ» Θ.Ε. ΔΕΟ 10 Βασικές Αρχές Δικαίου και Διοίκησης Τρίτη Γραπτή Εργασία στο Αστικό και Εργατικό Δίκαιο Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΠΡΟΕ ΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Εκδίδοµε τον ακόλουθο νόµο που ψήφισε η Βουλή:

Ο ΠΡΟΕ ΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Εκδίδοµε τον ακόλουθο νόµο που ψήφισε η Βουλή: ΝΟΜΟΣ ΥΠ' ΑΡΙΘ.3084 (ΦΕΚ.318/Α /16-12-2002) Κύρωση της Σύµβασης µεταξύ της Ελληνικής ηµοκρατίας και της ηµοκρατίας της Σλοβενίας για την αποφυγή της διπλής φορολογίας αναφορικά µε τους φόρους εισοδήµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΕΒΕΑ. Το Ασφαλιστικό του 21ο αιώνα; Ανάγκη αναστοχασμού για μια νέα αρχή

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΕΒΕΑ. Το Ασφαλιστικό του 21ο αιώνα; Ανάγκη αναστοχασμού για μια νέα αρχή ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΕΒΕΑ Το Ασφαλιστικό του 21ο αιώνα; Ανάγκη αναστοχασμού για μια νέα αρχή 1 Ιανουάριος 2016 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 3 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ... 6 1. Ένας κώδωνας κινδύνου... 8 2. Προσανατολισμός:

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ»

«ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ» 1 ο ΕΠΑ.Λ ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ: «ΑΝΩ ΛΙΟΣΙΑ: ΤΟΠΙΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ, ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ, ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ» ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2008-2009 ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΟΜΑΔΑ: ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 12-12-2010

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 12-12-2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 12-12-2010 ΖΗΤΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ «ΥΓΡΟΜΟΝΩΣΕΙΣ ΕΡΓΟ:

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ «ΥΓΡΟΜΟΝΩΣΕΙΣ ΕΡΓΟ: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΑΛΕΞΑΝ ΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΛΕΤΩΝ KAI ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΡΓΟ: «ΥΓΡΟΜΟΝΩΣΕΙΣ ΩΜΑΤΩΝ, ΒΑΦΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αθήνα, 10/12/2014 ΠΟΛ 1253/2014

Αθήνα, 10/12/2014 ΠΟΛ 1253/2014 Αθήνα, 10/12/2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟ ΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ 1. ΥΠΟ /ΝΣΗ Β - ΕΜΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ Α' -ΦΠΑ 2. ΑΥΤΟΤΕΛΕΣ ΤΜΗΜΑ Β' -

Διαβάστε περισσότερα

Η Φυσική με Πειράματα

Η Φυσική με Πειράματα Α Γυμνασίου Η Φυσική με Πειράματα Πρόγραμμα Σπουδών Περιγραφή Το μάθημα της Φυσικής, η "Φυσική με Πειράματα", στην πρώτη τάξη του Γυμνασίου προβλέπεται να διδάσκεται μία ώρα την εβδομάδα, στην τάξη ή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΛΙΕΙΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΔΕΚΑΕΤΙΑ ΤΟΥ 20ουΑΙΩΝΑ Διπλωματική Εργασία για το Προπτυχιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΑΚΟΝ ΙΚΕ δτ: ORACON ΙΚΕ Αριθμ. ΓΕΜΗ : 058707504000

ΟΡΑΚΟΝ ΙΚΕ δτ: ORACON ΙΚΕ Αριθμ. ΓΕΜΗ : 058707504000 1. Σύννομη κατάρτιση και δομή των οικονομικών καταστάσεων Παρεκκλίσεις που έγιναν χάριν της αρχής της πραγματικής εικόνας (α) Άρθρο 42α 3: Παρέκκλιση από τις σχετικές διατάξεις περί καταρτίσεως των ετήσιων

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3646, 25/10/2002. ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ. 3646 της 25ης ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2002

Ε.Ε. Π α ρ.ι(i), Α ρ.3646, 25/10/2002. ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ. 3646 της 25ης ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2002 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ Αρ. 3646 της 25ης ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2002 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ I Ο περί Σκύλων Νόμος του 2002, εκδίδεται με δημοσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημοκρατίας

Διαβάστε περισσότερα

6 η Ενότητα Στρατηγική σε επιχειρηματικό επίπεδο

6 η Ενότητα Στρατηγική σε επιχειρηματικό επίπεδο Στρατηγική Διοίκηση και Διαχείριση της Απόδοσης 6 η Ενότητα Στρατηγική σε επιχειρηματικό επίπεδο ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ Αντικείμενο ενότητας Ποια ανταγωνιστική στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

(ΦΕΚ Α 19 16.2.2010) Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ. Εκδίδομε τον ακόλουθο νόμο που ψήφισε η Βουλή: Αρθρο πρώτο

(ΦΕΚ Α 19 16.2.2010) Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ. Εκδίδομε τον ακόλουθο νόμο που ψήφισε η Βουλή: Αρθρο πρώτο ΝΟΜΟΣ 3820/2010 (Μαρόκο) Κύρωση της Σύμβασης μεταξύ της Ελληνικής Δημοκρατίας και του Βασιλείου του Μαρόκου για την αποφυγή της διπλής φορολογίας και την αποτροπή της φοροδιαφυγής αναφορικά με τους φόρους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: ΘΕΜΑ: Ενηµερωτικό σηµείωµα για το πρόβληµα της παράνοµης υλοτοµίας και ειδικά αυτό της καυσοξύλευσης

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: ΘΕΜΑ: Ενηµερωτικό σηµείωµα για το πρόβληµα της παράνοµης υλοτοµίας και ειδικά αυτό της καυσοξύλευσης 1 Ιωάννης Κέκερης ασοπόνος Επίτιµος Πρόεδρος Ένωσης ασοπόνων Μακεδονίας Θράκης Μέλος.Σ. Πανελλήνιας Ένωσης ασοπόνων και ιαχειριστών Φυσικού Περιβάλλοντος ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ: Αρναία 16/12/2012 Κα Πρόεδρο Ειδικής

Διαβάστε περισσότερα

στο σχέδιο νόµου «Ρύθµιση συνταξιοδοτικών θεµάτων του Δηµοσίου και άλλες διατάξεις» Επί του άρθρου 1 ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

στο σχέδιο νόµου «Ρύθµιση συνταξιοδοτικών θεµάτων του Δηµοσίου και άλλες διατάξεις» Επί του άρθρου 1 ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «Ρύθµιση συνταξιοδοτικών θεµάτων του Δηµοσίου και άλλες διατάξεις» Προς τη Βουλή των Ελλήνων ΜΕΡΟΣ Α ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΝΤΑΞΙΟΔΟΤΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΗΜΟΣΙΟΥ Με τις προτεινόµενες διατάξεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΩΡΙΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΙΤΗΣΕΩΝ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΜΕ ΕΛΛΙΠΗ ΦΑΚΕΛΟ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ (ΚΑΤΑ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΕΙΡΑ ΚΩΔΙΚΟΥ ΑΝΑ ΔΗΜΟ)

ΠΡΟΣΩΡΙΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΙΤΗΣΕΩΝ ΩΦΕΛΟΥΜΕΝΩΝ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΜΕ ΕΛΛΙΠΗ ΦΑΚΕΛΟ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΤΙΚΩΝ (ΚΑΤΑ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΕΙΡΑ ΚΩΔΙΚΟΥ ΑΝΑ ΔΗΜΟ) 1897 62737 2132 1 30381 Γ - Κέντρο Δημιουργικής Απασχόλησης Παιδιών (ΚΔΑΠ) Η/Ο αιτούσα/αιτών εργάζεται σε φορέα του οποίου οι εργαζόμενοι δεν έχουν δικαίωμα συυμετοχής στο 02. Το συνολικό εισόδημα (27.832,88)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΙΔΩΝ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ-ΕΥΠΡΕΠΙΣΜΟΥ & ΣΑΚΩΝ ΑΠΟΡ/ΤΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015 ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ & ΤΩΝ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ

ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΙΔΩΝ ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑΣ-ΕΥΠΡΕΠΙΣΜΟΥ & ΣΑΚΩΝ ΑΠΟΡ/ΤΩΝ ΕΤΟΥΣ 2015 ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ & ΤΩΝ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΝΟΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ Μυτιλήνη 14 / 10 /2015 ΔΗΜΟΣ ΛΕΣΒΟΥ Αριθμ. Πρωτ. 64127 Δ/ΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Τμήμα Αποθηκών, Προμηθειών υλικών Εξοπλισμού Υπηρεσιών Γραφείο Προμηθειών Διαγωνισμών Προμηθειών Πληροφορίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 20 Ο ΣΤΟΝ 21 Ο ΑΙΩΝΑ

ΠΟΛΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 20 Ο ΣΤΟΝ 21 Ο ΑΙΩΝΑ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ-ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2005 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 ΠΟΛΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ 20 Ο ΣΤΟΝ 21 Ο ΑΙΩΝΑ Α. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΚΔΟΣΗΣ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΟΜΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟ ΣΑΡΗΓΙΑΝΝΗ Καθηγητή Ε.Μ.Π., Σχολή Αρχιτεκτόνων ΔΗΜΗΤΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το υπ' αριθμ. 21/09-12-2011 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το υπ' αριθμ. 21/09-12-2011 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ Από το υπ' αριθμ. 21/09-12-2011 Πρακτικό της Οικονομικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων Αριθμ. απόφασης 492/21-2011 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: «Εισήγηση

Διαβάστε περισσότερα

4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΡΙΣΗΣ ΕΚΘΕΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ. Ε ιµέλεια Εργασίας :Τµήµα Α4

4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΡΙΣΗΣ ΕΚΘΕΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ. Ε ιµέλεια Εργασίας :Τµήµα Α4 4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΕΚΘΕΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΡΙΣΗΣ Ε ιµέλεια Εργασίας :Τµήµα Α4 Ε ιβλέ ων Καθηγητής :Φράγκος Κων/νος Σχολικό Έτος : 2013-2014

Διαβάστε περισσότερα

ΣΩΜΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΚΥΠΡΟΥ. Εσωτερικός Κανονισμός. Προσκοπικού Πρατηρίου

ΣΩΜΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΚΥΠΡΟΥ. Εσωτερικός Κανονισμός. Προσκοπικού Πρατηρίου ΣΩΜΑ ΠΡΟΣΚΟΠΩΝ ΚΥΠΡΟΥ Εσωτερικός Κανονισμός Προσκοπικού Πρατηρίου Λευκωσία Μάιος 2010 Περιεχόμενα: 1. Υπόσταση.... 2 2. Σκοπός... 2 3. Λειτουργία... 2 4. Διαχειριστική Επιτροπή..... 2 5. Πελάτες.... 4

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΝΑ ΠΝΙΞΕΙΣ ΤΟ ΦΙΔΙ ΔΕΝ ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΤΣΑΚΙΣΕΙΣ ΤΑ (ΧΡΥΣΑ) ΑΥΓΑ ΤΟΥ

ΓΙΑ ΝΑ ΠΝΙΞΕΙΣ ΤΟ ΦΙΔΙ ΔΕΝ ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΤΣΑΚΙΣΕΙΣ ΤΑ (ΧΡΥΣΑ) ΑΥΓΑ ΤΟΥ ΓΙΑ ΝΑ ΠΝΙΞΕΙΣ ΤΟ ΦΙΔΙ ΔΕΝ ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΤΣΑΚΙΣΕΙΣ ΤΑ (ΧΡΥΣΑ) ΑΥΓΑ ΤΟΥ Φασισμός και αντιφασισμός στα χρόνια της χολέρας Συνέλευση για την ΚΥκλοφορία των Αγώνων Ένθετη έκδοση μαζί με το 7ο τεύχος της Σφήκας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε. Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ Ε Παρασκευή 10 Οκτωβρίου 2014 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 273 2. Ανακοινώνεται ότι τη συνεδρίαση παρακολουθούν µαθητές από το Γενικό Λύκειο Βαθέος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2009 2010 ΟΔΗΓΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Ν. Ιωνία, ΒΟΛΟΣ Τη συγκέντρωση της ύλης του και την επιμέλεια της έκδοσης είχε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α 1 ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ 1.1 Αντικείμενο του παρόντος Τιμολογίου είναι ο καθορισμός των τιμών μονάδος με τις οποίες θα εκτελεσθεί το έργο, όπως προδιαγράφεται στα λοιπά τεύχη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ ΖΩΓΡΑΦΟΥ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΗΣΗΣ ΕΡΓΟ: ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΗ ΚΑΙ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΤΟΥ ΥΠΑΡΧΟΝΤΟΣ ΤΟΙΧΕΙΟΥ ΣΤΟΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΧΩΡΟ ΤΗΣ ΠΛΑΤΕΙΑΣ ΑΓ.ΓΕΡΑΣΙΜΟΥ ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικός: ΕΜΦ2 Αρ. Έκδοσης: 1 Ημ/νία: 01-12-2014 Σελ. 1 από 15

Κωδικός: ΕΜΦ2 Αρ. Έκδοσης: 1 Ημ/νία: 01-12-2014 Σελ. 1 από 15 Κωδικός: ΕΜΦ2 Αρ. Έκδοσης: 1 Ημ/νία: 01-12-2014 Σελ. 1 από 15 1. ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της παρούσας οδηγίας είναι η περιγραφή του τρόπου με τον οποίο λαμβάνονται, μεταφέρονται και συντηρούνται τα δείγματα εμφιαλωμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΡΑΤΙΚΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΡΑΤΙΚΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΡΑΤΙΚΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 Μάθημα: Ελληνικά Επίπεδο: 2 Διάρκεια: 2 ώρες Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Αρμέγει δήθεν ο Γιώργος τα πρόβατά του κάθε πρωί και γεμίζει καρδάρες με γάλα το οποίο αποθηκεύεται σε δοχεία μεγάλης χωρητικότητας και μεταφέρεται σ

Αρμέγει δήθεν ο Γιώργος τα πρόβατά του κάθε πρωί και γεμίζει καρδάρες με γάλα το οποίο αποθηκεύεται σε δοχεία μεγάλης χωρητικότητας και μεταφέρεται σ Αρμέγει δήθεν ο Γιώργος τα πρόβατά του κάθε πρωί και γεμίζει καρδάρες με γάλα το οποίο αποθηκεύεται σε δοχεία μεγάλης χωρητικότητας και μεταφέρεται σ εργοστάσιο επίσης δήθεν δικής του ιδιοκτησίας όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΥΝΗΓΟΡΟΥ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ. για την κατάρτιση ΚΩΔΙΚΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΥΝΗΓΟΡΟΥ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ. για την κατάρτιση ΚΩΔΙΚΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ Ελληνική Δημοκρατία Ευρωπαϊκό ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Κέντρο Καταναλωτή Ελλάδας ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΥΝΗΓΟΡΟΥ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ για την κατάρτιση ΚΩΔΙΚΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΔΕΟΝΤΟΛΟΓΙΑΣ Δεκέμβριος 2015 ΠΡΟΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

lujo οό ΚΕΦΑΛΑΙΟ A Κυριότητα ακινήτου /. Γενικά 2. Κυριότψα βεβεφημένη με περιορισμένα εμπράγματα δικαιώματα 3. Μετακλητή κυριότψα

lujo οό ΚΕΦΑΛΑΙΟ A Κυριότητα ακινήτου /. Γενικά 2. Κυριότψα βεβεφημένη με περιορισμένα εμπράγματα δικαιώματα 3. Μετακλητή κυριότψα lujo οό Π ρ:ρ ιε χ ο μ ε ν α ΚΕΦΑΛΑΙΟ A Το δικαίωαα m e Υποθήκη:: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΥΠΟΘΗΚΗΣ Κυριότητα ακινήτου /. Γενικά 2. Κυριότψα βεβεφημένη με περιορισμένα εμπράγματα δικαιώματα 3. Μετακλητή κυριότψα σελ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικό σενάριο συνανάγνωσης κειμένων

Ενδεικτικό σενάριο συνανάγνωσης κειμένων Ενδεικτικό σενάριο συνανάγνωσης κειμένων Σκεπτικό σεναρίου Το προτεινόμενο σενάριο ετοιμάστηκε στο πλαίσιο σεμιναρίου επιμόρφωσης στο Πρόγραμμα Σπουδών Λογοτεχνίας, το οποίο διεξήχθη -σε κεντρικό επίπεδο,

Διαβάστε περισσότερα

Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων

Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων 2008 Υπό Παναγιώτη Δαλκαφούκη, μέλους Ένωσης Ελλήνων Ποινικολόγων 1. Λόγω διάλυσης της Βουλής δεν αποτελεί: α) Αν έχουν παραιτηθεί ή καταψηφιστεί από αυτή, δύο Κυβερνήσεις και η σύνθεσή της δεν εξασφαλίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ ΤΟΝ ΚΟΜΒΟ ΚΑΛΛΟΝΗΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΡΤΙΜΟΥ. ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α

ΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ ΤΟΝ ΚΟΜΒΟ ΚΑΛΛΟΝΗΣ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΡΤΙΜΟΥ. ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιμαριθμική 2012Α ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΝΗΣΩΝ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΔ & Μ.Ε Αριθμός Μελέτης : 3 Δήμος : ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ Εργο : ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΟΔΟΦΩΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗΝ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑ ΑΠΟ ΑΓ.ΕΛΕΝΗ ΕΩΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ Ν.Ο.Π.Ε. ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ Ν.Ο.Π.Ε. ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ Ν.Ο.Π.Ε. ΤΜΗΜΑ ΝΟΜΙΚΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ ΚΥΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΜΠΟΡΙΚΕΣ ΔΙΚΑΙΟΠΡΑΞΙΕΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΦΥΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ

ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΦΥΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΙΜΟΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΦΥΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗ Ισχύει από: 21/11/2011 Σελίδα 1 από 6 Τ Ι Μ Ο Κ Α Τ Α Λ Ο Γ Ο Σ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010 ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Επικύρωση Πρακτικών, σελ. 2917,2977 2. Αδεια απουσίας του Βουλευτή κ. Κ. Μητσοτάκη, σελ. 2961 3. Ανακοινώνεται ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτικός οδηγός για την εφαρμογή του νέου Κανονισμού Βρυξέλλες ΙΙ. www.europa.eu.int/civiljustice

Πρακτικός οδηγός για την εφαρμογή του νέου Κανονισμού Βρυξέλλες ΙΙ. www.europa.eu.int/civiljustice GR Πρακτικός οδηγός για την εφαρμογή του νέου Κανονισμού Βρυξέλλες ΙΙ www.europa.eu.int/civiljustice Εισαγωγή Ο χώρος της Ευρωπαϊκής Ένωσης για την ελευθερία, την ασφάλεια και τη δικαιοσύνη βοηθά τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 01002050209980016 3101 ΕΦΗΜΕΡΙΣΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΠΡΩΤΟ Αρ. Φύλλου 205 2Σεπτεμβριου 1996 ΝΟΜΟΣΥΠ' ΑΡΙΘ. 2639 Ρύθμιση εργασιακών σχέσεων, σύσταση Σώματος Επί θεώρησης Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

«Προμήθεια φιαλών υγραερίου, για τις ανάγκες των Κ.Α.Π.Η. της Δ/νσης Κοινωνικής Προστασίας και Υγείας, έτους 2015»

«Προμήθεια φιαλών υγραερίου, για τις ανάγκες των Κ.Α.Π.Η. της Δ/νσης Κοινωνικής Προστασίας και Υγείας, έτους 2015» ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΣ Ι Λ Ι Ο Υ Κ.Α.Π.Η. της Δ/νσης Κοινωνικής Προστασίας και Υγείας, έτους 2015» ΠΡΟΫΠ. : 996,30 με Φ. Π. Α. Περιεχόμενα: 1. Τεχνική Έκθεση 2. Ενδεικτικός Προϋπολογισμός 3. Συγγραφή Υποχρεώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαρξ, Κ. (2007). "Κριτική του προγράµµατος της Γκότα", σ. 37.

Μαρξ, Κ. (2007). Κριτική του προγράµµατος της Γκότα, σ. 37. «( ) Ίση λαϊκή εκπαίδευση; Τι να φαντάζονται µ αυτά τα λόγια; Πιστεύουν ότι µπορεί στη σηµερινή κοινωνία (και µονάχα µε δαύτην έχουν να κάνουν) να είναι η εκπαίδευση ίση για όλες τις τάξεις; Ή ζητάνε να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Κυριάκο Μπαμπαλίδη, Πρόεδρο Πρωτοδικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. στο σχέδιο νόµου «ιατήρηση δεδοµένων που παράγονται ή υποβάλλονται σε επεξεργασία σε συνάρτηση

ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ. στο σχέδιο νόµου «ιατήρηση δεδοµένων που παράγονται ή υποβάλλονται σε επεξεργασία σε συνάρτηση ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ στο σχέδιο νόµου «ιατήρηση δεδοµένων που παράγονται ή υποβάλλονται σε επεξεργασία σε συνάρτηση µε την παροχή διαθέσιµων στο κοινό υπηρεσιών ηλεκτρονικών επικοινωνιών ή δηµόσιων δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗΣ ΠΛΟΙΩΝ

Η ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗΣ ΠΛΟΙΩΝ Η ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗΣ ΠΛΟΙΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος.. 7 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Εισαγωγή.................. 29 2. Δικαιολογητική βάση επιβολής του φόρου μεταβίβασης πλοίων... 30 3.

Διαβάστε περισσότερα