ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις)"

Βασίλης Παπαγεωργίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04--07 (ενδεικτικές λύσεις) ΘΕΜΑ A Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 99 Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 3 Α3. α) Ο ισχυρισμός είναι Ψ (ψευδής).

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις) ΘΕΜΑ A Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 99 Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 3 Α3. α) Ο ισχυρισμός είναι Ψ (ψευδής). β) Θεωρούμε τη συνάρτηση fx x, x 0 και διαπιστώνουμε ότι είναι -, αφού για κάθε x,x (,0] με x x για κάθε x, x 0, για κάθε x (,0] δηλαδή f x f x με x x, x 0 x έχουμε: x x f x f x έχουμε: x x f x f x x x και x 0, έχουμε f x x 0 και f x 0 x αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη. y 34 y=g(x) O x Σελίδα από 8

2 Α4. α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα ρητή. Για να είναι συνεχής στο δηλαδή θα πρέπει Για x x ονομάζουμε fx Af lim f x f 6 () Σελίδα από 8,, και θα πρέπει να είναι συνεχής και στο α x 3β x 8 x Οπότε α x 3 β x 8 x f x. Άρα lim α x 3β x 8 lim x f x x x 4 α 3β 8 0 β α 3 Από την σχέση () και με τη βοήθεια της () έχουμε: x lim f x 6 α x 3 β x 8 lim 6 x x α x 3 α 3 x 8 lim 6 x x α x αx 8 lim 6 x x αx x αx 8 lim 6 x x αx x x x lim 6 x x x αx x lim 6 x x lim f x 6., με x 0 ως x,

3 x lim αx x 6 α 8 6 α Από () προκύπτει ότι β Πράγματι, η συνάρτηση είναι συνεχής στο Af f x x 6, x. x x 8, x Β. α) Για x ονομάζουμε g x οπότε f x x g x. x f x με x lim g x 3 Άρα lim f x lim x g x x x Εφόσον η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 β) Είναι, θα ισχύει x f limf x f x f x g x x g x lim lim lim limx gx 03 0 x x x x x x x Οπότε, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x0 με f 0 ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω x, x R με f x f x. Τότε έχουμε: f x f x f f x f f x 3 3 f x f x f x f x Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι: f f x f x f f x f x Σελίδα 3 από 8

4 Όμως, η σχέση της εκφώνησης γράφεται: 3 Έτσι, από τη σχέση (3) προκύπτει ότι: x 3 x 3 x x Επομένως, η συνάρτηση f είναι -. Γ. α) Για κάθε x 0 f f x f x x 3, για κάθε xr έχουμε: f g x x f ln x 0 f f g x x =f ln x g x x ln x g x x ln x Έστω x, x 0, x x με x x. Τότε έχουμε: x x ln x ln x ln x ln x Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι: x ln x x ln x g x g x Άρα, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα συνεπώς και -. β) Η g είναι συνεχής στο 0, ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο τιμών της g, οπότε: g gή g. ύ A g A g 0, lim g x, lim g x όπου lim g x lim x ln x x0 x0 x0 x Σελίδα 4 από 8

5 x lim g x lim x ln x x Οπότε, το πεδίο ορισμού της g είναι το A ga, g γ) Επειδή το 08 g A, από το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών προκύπτει ότι υπάρχει ένα, x0 0, τέτοιο, ώστε gx0. 07 τουλάχιστον, Όμως η g είναι -, οπότε προκύπτει ότι το δ) Η εξίσωση γίνεται: g 3g x 4 g g 3g x 4 g 3g x 4 3g x 6 g x g g x g x x 0 x 0 ε) Η ανίσωση γίνεται: x 0 είναι μοναδικό. x 7 x 4 ln x 3 x 4 ln x 7 ln x 3 x 7 ln x 3 x 4 ln x 7 ln x 3 x 4 x 7 ln x 7 x 7 ln x 3 x 3 ln x 7 x 7 ln x 3 x 3 ln x 7 x 7 Σελίδα 5 από 8

6 g.. g x 3 g x 7 x 3 x 7 x 4 x x ΘΕΜΑ Δ Δ. Γνωρίζουμε ότι f είναι γνησίως μονότονη. Άρα θα είναι f: ή f:. Έστω Άρα f:. α β f α f β β α β α Άτοπο. f:.τότε για Δ. Έχουμε: x f β ημx f α x f β ημx f α 0 x α ημx β 0 x αημx β 0 Έστω gx x αημx β, xr. Για την g στο 0, έχουμε: Η g είναι συνεχής στο g0 0 0 β β 0, αφού β 0 ημ α β ημ α β 0. Οπότε προκύπτει g0g 0 0, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και g α β α β αημ α β β α ημ α β 0, αφού α 0 και Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν gα β 0, τότε ο α β είναι ρίζα της g. Αν gα β 0, τότε g0 g 0 τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,α β. οπότε από θεώρημα Bolzano υπάρχει Άρα, σε κάθε περίπτωση, υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,α β. Σελίδα 6 από 8

7 Δ3. Για την f στο, έχουμε: Η f είναι συνεχής στο και β f α f β α, δηλαδή f α f β Επίσης, α α β αββ,. α α β β f β α β f α Άρα, από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ α,β f ξ α β. Όμως η f:, άρα και f :. Επομένως, υπάρχει μοναδικό ξ α,β τέτοιο ώστε f ξ α β. τέτοιο, ώστε Δ4. Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f x x. Δηλαδή f x x 0. Θέτουμε hx f x x, xr, όπου h συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. hα f α α β α β α 0 Για την h στο, έχουμε: hβ f β β α β α β 0, αφού. Άρα, από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα x α,β h x 0 f x x 0 f x x. Όμως f :, άρα το x είναι μοναδικό. τέτοιο, ώστε: Δ5. Ισχύει ότι: x f x Όμως ημx x f x ημx x f x ημx. x x x x f xημx x f x x f x x f x ημx ημx x Επίσης x x x x f x x 07 x f x 07 x f x 07. x x x x. Σελίδα 7 από 8

8 Άρα Όμως x f x x f x ημx 07 x. x x x 0 x x και επομένως ημx 07 x Επομένως: 07 x x f xημx 07 x x x x όπου 07 x x0 07 x 07 x 07 lim lim lim lim 0 x x x x x x x x 07 x x0 07 x 07 x 07 lim lim lim lim 0 x x x x x x x x Άρα, από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε x x f x ημx lim 0. x Σελίδα 8 από 8

Σχετικά έγγραφα

f (x) 2e 5(x 1) 0, άρα η f

f (x) 2e 5(x 1) 0, άρα η f ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α 1 Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 14-143