Ηλεκτρική Παραγωγή Και Ελεγχος Ηχητικών Σηµάτων Με Χρήση Μορφοµεταβλητών Κραµάτων Μνήµης

Transcript

1 Ηλεκτρική Παραγωγή Και Ελεγχος Ηχητικών Σηµάτων Με Χρήση Μορφοµεταβλητών Κραµάτων Μνήµης Σήµατα, Έλεγχος & Ροµποτική Έξυπνα Υλικά ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ: ΚΟΥΤΣΙΚΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ του ΙΩΑΝΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΜΑΝΕΣΗΣ ΣΤΑΜΑΤΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ Κούτσικος Απόστολος οιράνης 22, Πάτρα Τ.Κ Τήλ:

2 Στόχοι και πορεία εκπόνησης της διπλωµατικής εργασίας Στόχος της εργασίας ήταν η παραγωγή αναλογικού ήχου και ο έλεγχος των ηχητικών σηµάτων µε τη χρήση ψηφιακών µέσων. Η εκπόνηση της εργασίας χωρίζεται σε τρία τµήµατα, τη γνωριµία µε τα Μορφοµεταβλητά Κράµατα Μνήµης (ΜΚΜ) ή Shape Memory Alloy (SMA), το κατασκευαστικό τµήµα και τον προγραµµατισµό. Η εξοικείωση µε τα µορφοµεταβλητά κράµατα µνήµης και η χρησιµοποίησή τους ως µέσο παραγωγής ήχου αποτέλεσε µια πρόκληση, αφήνοντας την εµπειρία για επόµενες εφαρµογές τους. Το κατασκευαστικό τµήµα περιλαµβάνει τη µελέτη, το σχεδιασµό και την κατασκευή της πειραµατικής διάταξης, καθώς και την επιλογή και σύνδεση των επιµέρους εξαρτηµάτων µε τον προγραµµατιζόµενο λογικό ελεγκτή. Το τρίτο και τελευταίο µέρος περιλαµβάνει τον προγραµµατισµό του PLC σε γλώσσα STL µε σκοπό τον πλήρη έλεγχο της διάταξης, για παραγωγή ήχου µε ρύθµιση ηλεκτρικών µεγεθών. Keywords: SMA, PLC, guitar coils, shape memory effect 1.Εισαγωγή Επιστήµονες υλικών προβλέπουν να έχουν σηµαντικό ρόλο, στο µέλλον, υλικά που επισκευάζονται µόνα τους. Τα Μορφοµεταβλητά Κράµατα Μνήµης (ΜΚΜ) εντάσσονται σε µια κατηγορία υλικών, που χαρακτηρίζονται ως έξυπνα υλικά. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητά τους είναι πως µπορούµε να παραµορφώσουµε ένα µέταλλο, και να το επαναφέρουµε στην αρχική του κατάσταση, απλά παρέχοντάς του θερµότητα. Καθώς θερµαίνεται το µέταλλο, θυµάται την αρχική του κατάσταση, και επιστρέφει σε αυτή. Η χρήση ενός Μορφοµεταβλητού Κράµατος Μνήµης (ΜΚΜ), υπό µορφή χορδής για την παραγωγή ηχητικών σηµάτων, έπρεπε να ερευνηθεί καθώς δεν υπήρχε προηγούµενη εφαρµογή των ΜΚΜ για το σκοπό αυτό. Με την εφαρµογή µιας συγκεκριµένης αναλογικής τάσης το ΜΚΜ (χορδή) θα έπρεπε να δίνει συγκεκριµένες συχνότητες (νότες) µετά από µία διέγερση. Εφόσον αυτό εξασφαλίστηκε και διερευνήθηκε διεξοδικά, περάσαµε στο δεύτερο µέρος της εργασίας. Η µελέτη της κατασκευής της πειραµατικής διάταξης, στην οποία τοποθετήθηκε το ΜΚΜ, έγινε µε βάση την τεχνογνωσία πάνω στην κατασκευή µουσικών οργάνων. Τα επόµενα βήµατα ήταν η τοποθέτηση έξι ΜΚΜ αγωγών (χορδών) διαφορετικής διατοµής, η επιλογή και τοποθέτηση των ηλεκτρικών πηνίων που προκαλούν τη διέγερση στις χορδές, καθώς και η προσαρµογή κατάλληλων ηλεκτροµαγνητικών µετατροπέων για την συλλογή του ήχου. Τελευταίο βήµα του κατασκευαστικού µέρους ήταν η πραγµατοποίηση της ηλεκτρολογικής συνδεσµολογίας, αλλά και η κατασκευή έξι ενισχυτών ρεύµατος (έναν για κάθε ΜΚΜ).

3 2. ιαδεδοµένες εφαρµογές των ΜΚΜ Οι αξιοσηµείωτες ιδιότητες των µορφοµεταβλητών κραµάτων µνήµης, που περιλαµβάνουν την υψηλή αντοχή τους σε εξωτερικές καταπονήσεις και την µνήµη ενός ή δύο εξωτερικών σχηµάτων, µας δίνουν τη δυνατότητα να τα χρησιµοποιήσουµε στο χώρο της βιοµηχανίας, της ιατρικής, της ροµποτικής, ακόµη, και στο χώρο του διαστήµατος και των στρατιωτικών εξοπλισµών. Στα πλαίσια της διπλωµατικής θα διερευνηθεί η ιδιότητα των ΜΚΜ να µεταβάλλουν το µήκος τους όταν τους παρέχεται θερµότητα. Η ακριβής περιγραφή των ιδιοτήτων θα γίνει σε επόµενα κεφάλαια. Ροµποτικοί µύες Τα ΜΚΜ µιµούνται τις ανθρώπινες κινήσεις πάρα πολύ καλά. Έχουν αντοχή, αλλά και οµαλή λειτουργία, η οποία µοιάζει µε τις ανθρώπινες κινήσεις. Η δηµιουργία ανθρώπινης κίνησης µε ΜΚΜ είναι πολύπλοκη αλλά, µπορούµε να παραθέσουµε ένα πιο απλουστευµένο παράδειγµα. Για να δηµιουργήσουµε µία απλή κίνηση του δακτύλου, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το σχέδιο που απεικονίζεται στο Σχ.1. Το ελατήριο, το οποίο βρίσκεται στο επάνω µέρος, συγκρατεί το δάκτυλο στην οριζόντια Σχ. 1 Υλοποίηση ροµποτικού δακτύλου µε χρήση ΜΚΜ θέση, τεντώνοντας το ΜΚΜ. Εάν θερµάνουµε το ΜΚΜ, θα συρρικνωθεί, µε αποτέλεσµα το δάκτυλο να λυγίσει προς τα κάτω. Η ένταση αλλά και ο χρόνος που το ηλεκτρικό ρεύµα διαπερνά το ΜΚΜ, ελέγχεται από ηλεκτρονικό υπολογιστή.

4 3. Ιδιότητες µορφοµεταβλητών κραµάτων µνήµης Τα ΜΚΜ (γνωστά και ως memory metal ή smart wire) είναι µέταλλα, τα οποία θυµούνται την γεωµετρία τους. Οι ιδιότητες αυτές είναι από τις πιο ενδιαφέρουσες στην επιστήµη των υλικών. Οι δύο µοναδικές ιδιότητες που προαναφέρθηκαν, φαινόµενο µνήµης και υπερελαστικότητα, προέρχονται από την δυνατότητα των συγκεκριµένων µετάλλων να αλλάζουν φάση, ενώ παραµένουν σε στερεά κατάσταση. Πρόκειται για µια µοριακή ανακατανοµή πού συµβαίνει στο ΜΚΜ (Σχ. 2). Εξήγηση του φαινοµένου µνήµης Το φαινόµενο αυτό, περιγράφει την διαδικασία κατά την οποία το µορφοµεταβλητό κράµα µνήµης, αφού παραµορφωθεί σε χαµηλή θερµοκρασία, επανακτά το αρχικό του σχήµα όταν θερµανθεί σε µια πιο υψηλή θερµοκρασία. Αυτό είναι αποτέλεσµα αλλαγής της κρυσταλλικής φάσης µε την προσθήκη ενέργειας. Η αλλαγή ονοµάζεται martensite transformation, και προκαλείται καθώς το δείγµα παραµένει σε στερεή κατάσταση. Το φαινόµενο αυτό παρατηρείται όταν η θερµοκρασία σε ένα ΜΚΜ κατέβει κάτω από την Mf θερµοκρασία. Το κρυσταλλικό πλέγµα του υλικού µεταβαίνει από µια διατεταγµένη κυβική δοµή, που βρίσκεται στην θερµή κατάσταση, σε µια µονόκλινη κρυσταλλική κατάσταση, για τις θερµοκρασίες κάτω από την Mf. Σε αυτή την κατάσταση το σύρµα βρίσκεται σε ηρεµία, είναι εξαιρετικά εύκαµπτο και µπορεί εύκολα να παραµορφωθεί(σχ. 3). Αφού το παραµορφώσουµε, το κράµα µπορεί πολύ εύκολα να επανέλθει στην Σχ. 2 Mοριακή ανακατανοµή ΜΚΜ Σχ. 3 Φαινόµενο µνήµης αρχική του κατάσταση απλά θερµαίνοντάς το πάνω από την Af θερµοκρασία. Η µεταβολή αυτή πραγµατοποιείται, αφού το υλικό οδηγείται σε µια ευσταθή θερµοδυναµική κατάσταση.

5 Υπερελαστικότητα Το φαινόµενο κατά το οποίο ένα ΜΚΜ επιδεικνύει αντοχή σε εξωτερικές δυνάµεις παραµόρφωσης σε θερµοκρασίες πάνω από την Af θερµοκρασία, ονοµάζεται υπερελαστικότητα ή ψευδοελαστικότητα. Η Austenite είναι η σταθερή φάση στη θερµοκρασία Af χωρίς τη φόρτιση κάποιου φορτίου. Έτσι, το υλικό επιστρέφει στη σταθερή του κατάσταση µόλις το φορτίο αποσυρθεί (Σχ. 4). Καθώς ψύχεται το υλικό, η ελαστικότητά του Σχ.4 Υπερελαστικότητα µειώνεται. Το NiTi εµφανίζει το φαινόµενο της υπερελαστικότητας σε θερµοκρασίες αρκετά υψηλότερες από τη Af θερµοκρασία. Είναι χαρακτηριστικό πως το ΜΚΜ παρουσιάζει 20 φορές µεγαλύτερη αντοχή από αυτή που παρουσιάζουν τα κοινά µέταλλα. Το ποσοστό της παραµόρφωσης µπορεί να φτάσει το 8%. 4. Εξαγωγή µαθηµατικού µοντέλου Μια διάταξη που χρησιµοποιείται η οποία αποτελείται από ένα ελατήριο σε σειρά µε το ΜΚΜ (Σχ.5). Μόλις το ΜΚΜ θερµανθεί, συστέλλεται, ενώ καθώς ψύχεται, επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση µε την επίδραση του ελατηρίου. Στο κεφάλαιο αυτό κατασκευάζουµε ένα µοντέλο αποτελούµενο από τέσσερεις υποµονάδες (Σχ. 6). Σχ 5 Πειραµατική διάταξη

6 I.Χρησιµοποιούµε παραµέτρους εξαρτηµένες από την θερµοκρασία για να τις χρησιµοποιήσουµε στην εξίσωση µεταφοράς θερµότητας. (Μοντέλο Ι) II.Προτείνουµε συναρτήσεις για την µοντελοποίηση του βρόχου υστέρησης µε βάση το µοντέλο Likhachev. (Μοντέλο ΙΙ) III.Επεκτείνουµε την ανάλυση σχετικά µε την παραµόρφωση των Madrill και Wang. (Μοντέλο ΙΙΙ) IV.Μοντελοποιούµε την ηλεκτρική αντίσταση για κάθε φάση και προτείνουµε ένα µοντέλο για την ειδική αντίσταση σε κάθε φάση. (Μοντέλο ΙV). Σχ. 6 Προσεγγιστικό µοντέλο 5 Σχεδιασµός πειραµατικής διάταξης Βάση στήριξης Στην κατασκευή ενός µουσικού οργάνου, η επιλογή του υλικού της βάσης είναι η πιο σηµαντική παράµετρος που καθορίζει το ηχόχρωµα του. Η πιο συνηθισµένη επιλογή είναι το ξύλο καθώς βρίσκεται σε αφθονία, κατεργάζεται εύκολα και έχει έναν ξεχωριστό ζεστό ήχο. Στα πλαίσια της διπλωµατικής επιλέχθηκε µια ξύλινη βάση στήριξης από MDF σε σχήµα ορθογώνιο(εικόνα 1) µε διαστάσεις 60X40 cm. Εικόνα 1 Βάσης στήριξης

7 Ηλεκτρικά πηνία διέγερσης χορδών Σε ένα µουσικό όργανο τη διέγερση της χορδής προκαλεί ο εκτελεστής. Στην διπλωµατική εργασία θέλουµε ένα πλήρως αυτοµατοποιηµένο µουσικό όργανο. Έτσι, για τη διέγερση της χορδής τοποθετήθηκαν πηνία. Ο ρόλος των πηνίων στην διπλώµατικη εργασία είναι να προκαλούν την διέγερση της χορδής (ΜΚΜ αγωγού). Τοποθετήθηκαν έξι πηνία, ένα για κάθε χορδή. Η λειτουργία τους ελέγχεται από τις ψηφιακές εξόδους του προγραµµατιζόµενου λογικού ελεγκτή, και η αντιστροφή τάσης στα άκρα τους επιτυγχάνεται µε την κατάλληλη σύνδεση τους µε ρελαί. Η τροφοδοσία τους είναι 9V DC και παρέχεται από πηγή τάσης. ιέγερση της χορδής προκαλείται κατά την έκταση, αλλά και κατά την έλξη του εµβόλου. Ηλεκτροµαγνητικοί µετατροπείς Εικόνα 2 Τοποθέτηση στη διπλωµατική Στη διάταξη έχουν τοποθετηθεί τρεις ηλεκτροµαγνητικοί µετατροπείς (Εικ. 3). Όπως φαίνεται από την φωτογραφία έχει τοποθετηθεί ένας µαγνήτης για κάθε ζευγάρι χορδών. Ό ένας έχει τοποθετηθεί κοντά στο σηµείο που δένουν οι χορδές, ο δεύτερος πιο κεντρικά και ο τρίτος στο µέσο της χορδής. Έτσι έχουµε δυνατότητα αναπαραγωγής της ίδιας νότας µε διαφορετική χροιά ανάλογα ποιόν µετατροπέα θα επιλέξουµε. Εικόνα 3 Θέση µετατροπέων στη διάταξη

8 Κατασκευή και σύνδεση ενισχυτών ρεύµατος Ο έλεγχος της τάσης, που επιβάλλεται στα µορφοµεταβλητά κράµατα µνήµης γίνεται µε τη χρήση προγραµµάτων, γραµµένων σε λογισµικό STEP 7 που είναι κατάλληλο για προγραµµατισµό PLC. Τα αναλογικά σήµατα ελέγχου παράγονται από την αντίστοιχη αναλογική κάρτα που τοποθετήθηκε στο PLC. Η αναλογική κάρτα παράγει σήµατα µικρής ισχύος, και η άµεση εφαρµογή τους απευθείας στις χορδές Εικόνα 4 Ενισχυτής ρεύµατος θα είχε ως αποτέλεσµα είτε την υπερφόρτιση της κάρτας, είτε την παραγωγή µηδενικού έργου, καθώς απαιτείται υψηλή τιµή ρεύµατος. Λόγω της παραπάνω αδυναµίας, σχεδιάστηκαν κατάλληλες ενισχυτικές διατάξεις µε ικανότητα παραγωγής υψηλών ρευµάτων ικανών να καλύψουν τις ενεργειακές ανάγκες του πειράµατος. Σύνδεση πειραµατικής διάταξης µε προγραµµατιζόµενο λογικό ελεγκτή Ο προγραµµατιζόµενος λογικός ελεγκτής χρησιµοποιήθηκε για να ελέγχει πλήρως την κατασκευή. Χρησιµοποιήθηκαν έξι ψηφιακές έξοδοι από την αντίστοιχη κάρτα µε την οποία συνδέθηκαν έξι ρελέ, τα οποία ελέγχουν τα ηλεκτρικά πηνία διέγερσης χορδών. Από την κάρτα αναλογικών εξόδων χρησιµοποιήθηκαν, επίσης, έξι έξοδοι, στις οποίες συνδέθηκαν οι ενισχυτές ρεύµατος, που ελέγχουν το ρεύµα που διαρρέει κάθε χορδή (αγωγό) ΜΚΜ. Εικόνα 5 Κεντρική µονάδα 312C µε κάρτες Η κεντρική µονάδα που SM322 DO και SM332AO χρησιµοποιήθηκε είναι η CPU 312C της Siemens της σειράς SIMATIC S7-300, µε κάρτες την κάρτα ψηφιακών εξόδων SM322 DO 8 x Relay AC 230V και την κάρτα αναλογικών εξόδων SM332 AO 8x12bit της Siemens.

9 Στο παρακάτω σχηµατικό διάγραµµα (Σχ. 7), απεικονίζεται το πλήρες ηλεκτρολογικό διάγραµµα, µε βάση το οποίο, είναι συνδεδεµένα τα στοιχεία που αποτελούν τη πειραµατική διάταξη. Στο σχήµα φαίνεται λεπτοµερώς η σύνδεση της µίας χορδής (χορδή Νο 1) µε τα επιµέρους εξαρτήµατα. Εφόσον, και οι έξι χορδές είναι συνδεδεµένες κατά τον ίδιο τρόπο, θεωρήκε προτιµότερο, να απεικονιστεί η µία χορδή πλήρως συνδεδεµένη, έτσι ώστε να είναι πιο ευανάγνωστο το σχήµα. Επίσης µε διακεκοµµένες γραµµές φαίνονται οι συνδέσεις της χορδής Νο 6. Άλλωστε, στο προηγούµενο κεφάλαιο αναλύθηκε επιµελώς η ακριβής συνδεσµολογία του κάθε στοιχείου ξεχωριστά. Σχ. 7 Πλήρες ηλεκτρολογικό διάγραµµα

10 6 Πειραµατικά αποτελέσµατα Μετά από την κατασκευή ενός µουσικού οργάνου, το επόµενο στάδιο είναι η εξερεύνηση των δυνατοτήτων που έχει. Οι χώροι πειραµατισµού αφορούν τον ιδιαίτερο ήχο (χροιά) του οργάνου και το φάσµα των διαφορετικών ήχων (φθόγγων) που µπορεί να παράγει. Ο σκοπός ήταν να καθορίσουµε την αναλογία της τάσης (ρεύµατος), που εφαρµόζεται σε συγκριµένη χορδή µε προκαθορισµένη αρχική φόρτιση, µε την νότα που παράγεται. Το πείραµα πραγµατοποιήθηκε σε κάθε χορδή ξεχωριστά. Αρχικά, επιλέχθηκε η φόρτιση (τέντωµα) της χορδής σε κάποια συγκεκριµένη νότα. Έπειτα µέσω του προγράµµατος, που εκτελούνταν από το PLC, είχαµε διέγερση της χορδής. Η πειραµατική διάταξη ήταν συνδεδεµένη µε ηλεκτρονικό υπολογιστή, ο οποίος επεξεργαζόταν τα ηχητικά σήµατα. Μέσω του προγράµµατος επεξεργασίας ήχου Guitar Rig 2 πραγµατοποιούταν η συχνοτική ανάλυση, δηλαδή ανίχνευση της συχνότητα που παράγεται από τη χορδή, και σύγκριση µε τις ορισµένες συχνότητες που αντιστοιχεί κάθε νότα 7 Πρόγραµµα σε STL Οι πειραµατισµοί πάνω στην απόκριση της κάθε χορδής ανεξάρτητα, για διάφορες τιµές της τάσης, είχε αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Το επόµενο στάδιο ήταν ο πειραµατισµός µε τη χρήση περισσότερων από µιας χορδής, καθώς επίσης και η πλήρη αυτοµατοποίηση της διάταξης. Κατασκευάστηκαν αρκετά προγράµµατα σε γλώσσα STL µε ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Στο συγκεκριµένο κεφάλαιο αναλύονται τα τρία πιο αντιπροσωπευτικά προγράµµατα. Τ ε λ ι κ ά Σ υ µ π ε ρ ά σ µ α τ α Η ιδέα πάνω στην οποία στηρίχτηκε η διπλωµατική εργασία ήταν η παραγωγή αναλογικού ήχου και ο έλεγχος ηχητικών σηµάτων µε τη χρήση ψηφιακών µέσων. Ως χορδές χρησιµοποιήθηκαν ευθύγραµµοι αγωγοί κατασκευασµένοι από Νικέλιο και Τιτάνιο (ΜΚΜ). Με τη χρήση του ΜΚΜ το µήκος της χορδής, και εποµένως η νότα που παράγεται, ρυθµίζεται µε το ηλεκτρικό ρεύµα που διαρρέει τον αγωγό. Το γεγονός αυτό, µας δίνει τη δυνατότητα να ελέγχουµε µε έναν προγραµµατιζόµενο λογικό ελεγκτή (PLC) το ρεύµα, και εποµένως την νότα που παράγεται κάθε στιγµή από την χορδή. Οι πειραµατισµοί πάνω στην απόκριση της κάθε χορδής ανεξάρτητα, για διάφορες τιµές της τάσης, είχε αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Κατασκευάστηκαν επίσης. προγράµµατα που εκτελούν µουσικές κλίµακες,

11 αλλά και ολοκληρωµένες µουσικές συνθέσεις. Τα αποτελέσµατα κρίθηκαν ικανοποιητικά και ενθαρυντικά για περαιτέρω έρευνα και πείραµατισµό. Η παραγωγή µιας µεγάλης µουσικής σύνθεσης, όπως µια συµφωνία κλασσικής µουσικής, αν και θα απαιτούσε ένα παρόµοιο αλλά πολύ µεγαλύτερο σε έκταση πρόγραµµα για το PLC, δεν θα είχε νόηµα, καθώς, ο στόχος της ιπλωµατικής Εργασίας, δεν ήταν να κατασκευάσουµε κάποιο νέο µουσικό όργανο, αλλά να διερευνήσουµε τη χρήση ΜΚΜ υλικών στην παραγωγή ήχων. Στο CD που συνοδεύει τη.ε. περιέχονται τα ηχητικά δείγµατα που παρήχθησαν στα πλαίσια της εργασίας. Βιβλιογραφία [1] D.E. Hodgson, J.W.Brown, Using Nitinol Alloys, Shape Memory Applications Inc. [2] Fr.E.Fujita with contributions by R.W.Cahn, Physics of New Materials, Berling Springer-1998, 2 nd Edition [3] M. Fremond, S.Miyazaki, Shape Memory Alloys, CISM Courses and Lectures, Wien- New York,Springer, 1996 [4] Orren Merton, Guitar Rig 2 Power!: The Comprehensive Guide, Course Technology PTR, (February, 2006) [5] Peter Rohner, Plc: Automation With Programmable Logic Controllers, New South Wales Univ Pr Ltd (September 1996) [6] Sushant M. Dutta, Differential Hysteresis Modeling of a Shape Memory Alloy Wire Actuator, Transactions on mechatronics,vol. 10,No 2,April 2005 [7] Vladimir Gurevic, Electric Relays (Electrical and Computer Engineering), CRC (December, 2005) [8] Z. Ding, D.Lagoudas, Solution behaviour of the transient heat transfer problem in thermoelectric Shape Memory Alloys actuators,society for Industrial and Applied Mathematics 1997