Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥΣ ΛΥΣΗ

Transcript

1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΤΟΥΣ Μπάμπης Στεργίου - Μαθηματικός 1. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 3α + 6β β) x 8 γ) 8ω + 6ω δ) 9x 6x ε) 8α β + 4αβ στ) x xy + x ζ) α β + αβ αβ η) α 3 4α + 6α β θ) xy 18 y + 8 y Η παραγοντοποίηση γίνεται με τη μέθοδο του κοινού παράγοντα. α) 3α + 6β = 3(α + β) β) x 8 = (x 4) γ) 8ω + 6ω = ω(4ω + 3) δ) 9x 6x = 3x(3x + ) ε) 8α β + 4αβ = 4αβ(α + β) στ) x xy + x = x(x y + 1) ζ) α β + αβ αβ = αβ(α + β 1) η) α 3 4α + 6α β = α (α + 3β) θ) xy 18 y + 8 y = xy 9 y + 4 y = xy 3 y + y = y(x 3 + y). Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x(α β) + y(α β) β) α(x + y) + β(x + y) γ) (3x 1)(x ) (x + 4)(x ) δ) α (α ) 3( α) ε) 4x(x 1) x + 1 στ) x (x 3) 6x(x 3) Πρόκειται για πολύ βασικές ασκήσεις. Βασίζονται στη μέθοδο του κοινού παράγοντα. α) x(α β) + y(α β) = (α β)(x + y) β) α(x + y) + β(x + y) = (x + y)(α + β) γ) (3x 1)(x ) (x + 4)(x ) = (x )(3x 1) (x + 4)) = (x )(3x 1 x 4) = = (x )(x 5) δ) α (α ) 3( α) = α (α ) + 3(α ) = (α )(α + 3) ε) 4x(x 1) x + 1 = 4x(x 1) (x 1) = (x 1)(4x 1)

2 στ) x (x 3) 6x(x 3) = x(x 3)[x 3(x 3)] = x(x 3)(x 3x + 9) = = x(x 3)( x + 9) 3. i) Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: x + x, y 5y, ω(ω 3) (3 ω), α(3α + 1) 4α ii) Να επιλύσετε τις εξισώσεις: α) x + x = 0 β) y = 5y γ) ω(ω 3) (3 ω) = 0 δ) α(3α + 1) = 4α Εργαζόμαστε με κοινό παράγοντα και βρίσκουμε αντίστοιχα: i) α) x + x = x(x + 1) β) y 5y = y(y 5) γ) ω(ω 3) (3 ω) = ω(ω 3) + (ω 3) = (ω 3)(ω + ) δ) α(3α + 1) 4α = α(3α + 1 4) = α(3α 3) = 3α(α 1) ii) Γνωρίζουμε ότι αν αβ = 0, τότε: α = 0 ή β = 0. Επομένως, σύμφωνα και με το i) είναι: α) x + x = 0 ή x(x + 1) = 0 ή (x = 0 ή x + 1 = 0) ή (x = 0 ή x = 1) β) y = 5y ή y 5y = 0 ή y(y 5) = 0 ή (y = 0 ή y 5 = 0) ή (y = 0 ή y = 5 ) γ) ω(ω 3) (3 ω) = 0 ή (ω 3)(ω + ) = 0 ή (ω 3 = 0 ή ω + = 0) ή (ω = 3 ή ω = ) δ) α(3α + 1) = 4α ή α(3α + 1) 4α = 0 ή 3α + α 4α = 0 ή 3α(α 1) = 0, οπότε: (α = 0 ή α 1 = 0), δηλαδή (α = 0 ή α = 1) 4. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x + xy + αx + αy β) x 3 x + x 1 γ) x 3 5x + 4x 0 δ) x 3 3x + 4x 6 ε) 4x 8x αx + α στ) 9αβ 18β + 10β 5α ζ) 1x 8xy 15x + 10y η) x 3 + x + x + θ) 6 x + x 3 x Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο παραγοντοποίησης με ομάδες. α) x + xy + αx + αy = (x + xy) + (αx + αy) = x(x + y) + α(x + y) = (x + y)(x + α) β) x 3 x + x 1 = (x 3 x ) + (x 1) = x (x 1) + (x 1) = (x 1)(x + 1)

3 γ) x 3 5x + 4x 0 = (x 3 5x ) + (4x 0) = x (x 5) + 4(x 5) = (x 5)(x + 4) δ) x 3 3x + 4x 6 = (x 3 3x ) + (4x 6) = x (x 3) + (x 3) = (x 3)(x + ) ε) 4x 8x αx + α = (4x 8x) αx + α = 4x(x ) α(x ) = (x )(4x α) στ) 9αβ 18β + 10β 5α = (9αβ 18β ) + (10β 5α) = 9β(α β) + 5(β α) = = 9β(α β) 5(α β) = (α β)(9β 5) ζ) 1x 8xy 15x + 10y = (1x 8xy) 15x + 10y = 4x(3x y) 5(3x y) = (3x y)(4x 5) η) x 3 + x + x + = (x 3 + x ) + (x + ) = x (x + ) + (x + ) = (x + ) (x + 1) θ) 6 x + x 3 x =( 6 x + x) 3 x = ( 3 x + x) 3 x = = x( 3 x + ) ( 3 x + ) = ( 3 x + )( x 1) 5. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 7α + 10αβ + 3β β) 5x 8xy + 3y γ) 3x xy y Διασπάμε το μεσαίο όρο, ώστε οι συντελεστές των καινούριων όρων που προέκυψαν να είναι ή ίσοι ή πολλαπλάσια των συντελεστών των άκρων όρων. α) 7α + 10αβ + 3β = 7α + (7αβ + 3αβ) + 3β = (7α + 7αβ) + (3αβ + 3β ) = 7α(α + β) + 3β(α + β) = = (α + β)(7α + 3β) β) 5x 8xy + 3y = 5x 5xy 3xy + 3y = 5x(x y) 3y(x y) = (x y)(5x 3y) γ) 3x xy y = 3x 3xy + xy y = 3x(x y) + y(x y) = (x y)(3x + y) 6. α) Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων την παράσταση: α β + αβ α β. β) Αν για τους αριθμούς α, β ισχύει: α β + αβ = α + β, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι. α) Είναι: α β + αβ α β = αβ(α + β) (α + β) = (α + β)(αβ 1). β) Έχουμε: α β + αβ = α + β ή α β + αβ α β = 0 ή (σύμφωνα με το α ερώτημα) (α + β)(αβ 1) = 0 ή (α + β = 0 ή αβ 1 = 0) ή (α = β ή αβ = 1) Αν α = β, τότε οι α, β είναι αντίθετοι. Αν αβ = 1, τότε οι α, β είναι αντίστροφοι.

4 7. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) α α + αβ β + αx x β) αβ 4β + 5α 10 + αγ 4γ α) α α + αβ β + αx x = (α α) + (αβ β) + (αx x) = α(α 1) + β(α 1) + x(α 1) = = (α 1)(α + β + x) β) αβ 4β + 5α 10 + αγ 4γ = (αβ 4β) + (5α 10) + (αγ 4γ) = β(α ) + 5(α ) + γ(α ) = (α )(β γ) Άλλος τρόπος: αβ 4β + 5α 10 + αγ 4γ = (αβ + 5α + αγ) + ( 4β 10 4γ) = α(β γ) (β γ) = = (β γ)(α ) 8. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x 9 β) 16x 1 γ) α 9β δ) α β 4 ε) 36ω (ω + 5) στ) 4(x + 1) 9(x ) ζ) 1 16 η) x 3 θ) x y x Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα α β = (α β)(α + β). α) x 9 = x 3 = (x 3)(x + 3) β) 16x 1 = (4x) 1 = (4x 1)(4x + 1) γ) α 9β = α (3β) = (α 3β)(α + 3β) δ) α β 4 = (αβ) = (αβ )(αβ + ) ε) 36ω (ω + 5) = (6ω) (ω + 5) = [6ω (ω + 5)] [6ω + (ω + 5)] = =(6ω ω 5)(6ω + ω + 5) = (5ω 5)(7ω + 5) = 5(ω 1)(7ω + 5) στ) 4(x + 1) 9(x ) = [(x + 1)] [3(x )] = [(x + 1) 3(x )][(x + 1) + 3(x )] = =(x + 3x + 6)(x + + 3x 4) = ( x + 8)(5x ) ζ) 1 16 = x 1 x 1 4 = x 1 x η) x 3 = x ( 3) = (x 3 ) (x + 3 )

5 θ) x y = x ( y) = (x y) (x + y) 9. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x 3 β) 8 7y γ) x 3 x δ) 5αx 80α ε) (x 1) 8 Με τη μέθοδο του κοινού παράγοντα και της διαφοράς τετραγώνων, παίρνουμε αντίστοιχα: α) x 3 = (x 16) = (x 4 ) = (x 4)(x + 4) β) 8 7y = 7(4 y ) = 7( y ) = 7( y)( + y) γ) x 3 x = x(x 1) = x(x 1 ) = x(x 1)(x + 1) δ) 5αx 80α = 5α(x 16) = 5α(x 4 ) = 5α(x 4)(x + 4) ε) (x 1) 8 = [(x 1) 4] = [(x 1) ] = (x 1 )(x 1 + ) = (x 3)(x + 1) 10. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, να υπολογίσετε την πλευρά Γ γ, όταν: α) α = 53, β = 8 β) α = 0,37, β = 0,1 β α γ) α = 6λ, β = 10λ A γ B Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα: β + γ = α ή γ = α β. α) Για α = 53, β = 8 είναι: Επομένως: γ = 5 81, οπότε: β) Για α = 0,37, β = 0,1 είναι: γ = α β = 53 8 = (53 8)(53 + 8) = γ = 5 81 = 5 81 = 5 9 = 45 γ = α β = (0,37) (0,1) = (0,37 0,1)(0,37 + 0,1) = 0,5 0,49. Επομένως: γ = 0,5 0,49, οπότε: γ) Για α = 6λ, β = 10λ είναι: γ =,5 0, 49 0 = 0, 5, 49 0 = 0,5 0,7 = 0,35 γ = α β = (6λ) (10λ) = (6λ 10λ)(6λ + 10λ) = 16λ 36λ = 16 36λ. Επομένως: γ = 16 36λ, οπότε: γ = 16 36λ = λ = 4 6 λ = 4λ

6 γιατί λ > 0 (αφού α,β > 0) και έτσι λ = λ. 11. Να επιλύσετε τις εξισώσεις: α) x 49 = 0 β) 9x 3 4x = 0 γ) x(x + 1) = 4x δ) (x + ) 3 = x + Με τη μέθοδο της παραγοντοποίησης βρίσκουμε αντίστοιχα. α) x 49 = 0 ή (x 7 ) = 0 ή (x 7)(x + 7) = 0, οπότε: (x 7 = 0 ή x + 7=0), δηλαδή (x = 7 ή x = 7) β) 9x 3 4x = 0 ή x(9x 4) = 0 ή x(3x )(3x + ) = 0, οπότε: (x = 0 ή 3x = 0 ή 3x + = 0), δηλαδή (x = 0 ή x = ή x = ) 3 3 γ) x(x + 1) = 4x ή x(x + 1) 4x = 0 ή x[(x + 1) 4] = 0 ή x[(x + 1) ] = 0 ή x(x + 1 )(x ) = 0 ή x(x 1)(x + 3) = 0, οπότε: (x = 0 ή x 1 = 0 ή x + 3 = 0), δηλαδή (x = 0 ή x = 1 ή x = 3) δ) (x + ) 3 = x + ή (x + ) 3 (x + ) = 0 ή (x + )[(x + ) 1] = 0 ή (x + )(x + 1)(x + + 1) = 0 ή (x + )(x + 1)(x + 3) = 0, οπότε: (x + = 0 ή x + 1 = 0 ή x + 3 = 0), δηλαδή (x = ή x = 1 ή x = 3) 1. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x 3 7 β) y γ) ω δ) 8x 3 1 ε) 7y Με βάση τις ταυτότητες: α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ), α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ) παίρνουμε: α) x 3 7 = x = (x 3)(x + x ) = (x 3)(x + 3x + 9) β) y = y = (y + )(y y + ) = (y + )(y y + 4) γ) ω = ω = (ω + 4)(ω ω ) = (ω + 4)(ω 4ω + 16) δ) 8x 3 1 = (x) = (x 1)[(x) + x ] = (x 1)(4x + x + 1) ε) 7y = (3y) = (3y + 1)[(3y) 3y ] = (3y + 1)(9y 3y + 1)

7 13. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 3x 3 4 β) 16α 4 + α γ) 3 4 πr πρ 3 δ) α 4 β + αβ 4 Με τη μέθοδο του κοινού παράγοντα και του αθροίσματος ή της διαφοράς κύβων παίρνουμε αντίστοιχα. α) 3x 3 4 = 3(x 3 8) = 3(x 3 3 ) = 3(x )(x + x + ) = 3(x )(x + x + 4) β) 16α 4 + α = α(8α 3 + 1) = α[(α) ] = α(α + 1)[(α) α ] = = α(α + 1)(4α α + 1) γ) 4 πr 3 4 πρ 3 = 4 π(r 3 ρ 3 ) = 4 π(r ρ)(r + Rρ + ρ ) δ) α 4 β + αβ 4 = αβ(α 3 + β 3 ) = αβ(α + β)(α αβ + β ) 14. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) x 3 = (x 3)( + + 9) β) + y 3 = (x + y)(4x + ) γ) α 3 = (α β)( + + 4β ) δ) α 3 + = (α + 5β)( + 5β ) Στηριζόμαστε στις ταυτότητες: α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ), α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ) α) x 3 7 = (x 3)(x + 3x + 9) β) 8x 3 + y 3 = (x + y)(4x xy + y ) γ) α 3 8β 3 = (α β)(α + αβ + 4β ) δ) α β 3 = (α + 5β)(α 5αβ + 5β ) Σχόλιο: α) Από τον παράγοντα (x 3) του β μέλους (x 3) + +9) καταλαβαίνουμε ότι το α μέλος είναι: x = x 3 7. Έτσι ο δεύτερος παράγοντας του β μέλους συμπληρώνεται εύκολα. β,γ,δ) Όμοια σκεφτόμαστε και για τα άλλα ερωτήματα. 15. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x x + 1 β) y + 4y + 4 γ) ω 6ω + 9 δ) α + 10α + 5 ε) 1 4β + 4β στ) 9x 4 + 6x + 1 ζ) 4y 1y + 9 η) 16x + 8xy + y θ) 5α 10αβ + β ι) (α + β) y (α + β) + 1 ια) y + 9 ιβ) x 1 + x + 4 9

8 Πρόκειται για το ανάπτυγμα ταυτοτήτων της μορφής (α β) και (α + β). Έτσι, έχουμε: α) x x + 1 = x x = (x 1) β) y + 4y + 4 = y + y + = (y + ) γ) ω 6ω + 9 = ω ω = (ω 3) δ) α + 10α + 5 = α + α = (α + 5) ε) 1 4β + 4β = 1 1 β + (β) = (1 β) στ) 9x 4 + 6x + 1 = (3x ) + 3x = (3x + 1) ζ) 4y 1y + 9 = (y) y = (y 3) η) 16x + 8xy + y = (4x) + 4x y + y = (4x + y) θ) 5α 10αβ + β = (5α) 5α β + β = (5α β) ι) (α + β) (α + β) + 1 = (α + β) (α + β) = (α + β 1) y 9 + = y 3 ια) y 9 ιβ) x + x = x + x y = = y x Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 3x + 4x + 48 β) y + 4y 4 γ) α 8αβ + 8β δ) 4α 3 + 1α + 9α Με τη μέθοδο του κοινού παράγοντα και του αναπτύγματος τέλειου τετραγώνου παίρνουμε: α) 3x + 4x + 48 = 3(x + 8x + 16) = 3(x + x ) = 3(x + 4) β) y + 4y 4 = (y 4y + 4) = (y y + ) = (y ) γ) α 8αβ + 8β = (α 4αβ + 4β ) = [α α β + (β) ] = (α β) δ) 4α 3 + 1α + 9α = α(4α + 1α + 9) = α[(α) + α ] = α(α + 3) 17. Nα παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α) x + 3x + β) y 4y + 3 γ) ω + 5ω + 6 δ) α + 6α + 5 ε) x 7x + 1 στ) y y 1 ζ) ω 9ω + 18 η) α + 3α 10

9 Θα χρησιμοποιήσουμε τις ταυτότητες: x + (α + β)x + αβ = (x + α)(x + β) και x (α + β)x + αβ = (x α)(x β) α) x + 3x + = x + (1 + )x + 1 = (x + 1)(x + ) Άλλος τρόπος: Δύο αριθμοί με άθροισμα 3 και γινόμενο είναι οι 1 και. Επομένως: x + 3x + = (x + 1)(x + ) β) y 4y + 3 = y (3 + 1)y = (y 3)(y 1) Άλλος τρόπος: Δύο αριθμοί με άθροισμα 4 και γινόμενο 3 είναι οι 1 και 3. Επομένως: y 4y + 3 = (y 1)(y 3) γ) ω + 5ω + 6 = ω + ( + 3)ω + 3 = (ω + )(ω + 3) δ) α + 6α + 5 = α + (5 + 1)α = (α + 5)(α + 1) ε) x 7x + 1 = x (4 + 3)x = (x 4)(x 3) στ) Εδώ είναι α + β = 1 και αβ = 1. Άρα: α = 4 και β = 3, οπότε: y y 1 = (y 4)(y + 3) ζ) ω 9ω + 18 = ω (6 + 3)ω = (ω 6)(ω 3) Άλλος τρόπος: Δύο αριθμοί με άθροισμα 9 και γινόμενο 18 είναι οι αριθμοί 3 και 6. Επομένως: ω 9ω + 18 = (ω 3)(ω 6) η) Δύο αριθμοί με άθροισμα 3 και γινόμενο 10 είναι οι 5 και. Επομένως: α + 3α 10 = (α + 5)(α ) 18. Nα παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α) x + ( + 3) x + 3 β) x + (α + 3β)x + 6αβ γ) x + (3 ) x 3 Σύμφωνα με την ταυτότητα x + (α + β)x + αβ = (x + α)(x + β) παίρνουμε: α) x + ( + 3) x + 3 = (x + )(x + 3 ) (Εδώ είναι α = και β = 3 ) β) x + (α + 3β)x + 6αβ = x + (α + 3β) + α 3β = (x + α)(x + 3β) γ) x + (3 ) x 3 = x + (3 ) x + 3 ( ) = (x + 3)(x )

10 19. Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) ω + 10ω + 8 β) 3α 1α 15 γ) αx 7αx + 6α α) ω + 10ω + 8 = (ω + 5ω + 4). Δύο αριθμοί με άθροισμα 5 και γινόμενο 4 είναι οι 1 και 5. Επομένως: ω + 5ω + 4 = (ω + 1)(ω + 4) και έτσι: ω + 10ω + 8 = (ω + 1)(ω + 4) Άλλος τρόπος: ω + 10ω + 8 = (ω + 5ω + 4) = [ω + (4 + 1)ω + 4 1] = (ω + 4)(ω + 1). β) 3α 1α 15 = 3(α 4α 5) Δύο αριθμοί με άθροισμα 4 και γινόμενο 5 είναι οι 5 και 1. Έτσι: α 4α 5 = (α 5)(α + 1) 3α 1α 15 = 3(α 4α 5) = 3(α 5)(α + 1) γ) αx 7αx + 6α = α(x 7x + 6) Δύο αριθμοί με άθροισμα 7 και γινόμενο 6 είναι οι 1 και 6. Άρα: x 7x + 6 = (x 1)(x 6) αx 7αx + 6α = α(x 7x + 6) = α(x 1)(x 6) 0. Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε υπολογιστή τσέπης. α) β) γ) δ) ε) στ) Θα προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε τις αριθμητικές παραστάσεις για να έχουμε πιο «εύκολους» αριθμούς. α) = 1453(181 81) = = β) = 801 ( ) = = (= ) γ) = 998 = (998 )(998 + ) = = δ) = (1000 1)( ) + 1 = = 1000 = (10 3 ) = 10 6 ε) = ( ) = 1000 = (10 3 ) = 10 6 στ) Αν θέσουμε α = 97, τότε:

11 = α + 6α + 9 = α + α = (α + 3) = (97 + 3) = 100 = (10 ) = Nα παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x y 4y x + 4 β) x x 3 x γ) x 3 (x 1) + 1 x δ) (x + 9) 36x ε) α αβ + β α + β στ) x xy + y ω ζ) 1 α + αβ β η) y x 10y + 5 θ) (x 1)(x 4) 5(x 1)(x ) ι) (y 4) (y + ) ια) (α + β γ ) 4α β ιβ) (x + 9)(α + 4) (αx + 6) α) x y 4y x + 4 = (x y 4y ) x + 4 = y (x 4) (x 4) = (x 4)(y 1) = = (x )(x + )(y 1)(y + 1) β) x x 3 x = (x 4 1) + (x 3 x) = (x 1)(x + 1) + x(x 1) = (x 1)(x x) = = (x 1)(x + 1)(x + x + 1) γ) x 3 (x 1) + 1 x = x 3 (x 1) (x 1) = (x 1)(x 3 1) = (x 1)(x + 1)(x 1)(x + x + 1) = = (x 1) (x + 1)(x + x + 1) δ) (x + 9) 36x = (x + 9) (6x) = (x + 9 6x)(x x) = (x + 3 x 3)(x x 3) =(x 3) (x + 3) ε) α αβ + β α + β = (α αβ + β ) α + β = (α β) (α β) = (α β)(α β 1) στ) x xy + y ω = (x xy + y ) ω = (x y) ω = (x y ω)(x y + ω) ζ) 1 α + αβ β = 1 (α αβ + β ) = 1 (α β) = (1 (α β))(1 + (α β)) = = (1 α + β)(1 + α β) η) y x 10y + 5 = (y 10y + 5) x = (y y ) x = (y 5) x = = (y 5 x)(y 5 + x) θ) (x 1)(x 4) 5(x 1)(x ) = (x 1)(x )(x + ) 5(x 1)(x ) = =(x 1)(x )[(x + ) 5(x )] = (x 1)(x )(x + 4 5x + 10) = = (x 1)(x )( 3x + 14) ι) (y 4) (y + ) = (y + ) (y ) (y + ) = (y + ) [(y ) 1] = =(y + ) (y 1) (y + 1) = (y + ) (y 3) (y 1)

12 ια) (α + β γ ) 4α β = (α + β γ ) (αβ) = (α + β γ αβ)(α + β γ + αβ) = =[(α + β αβ) γ ] [(α + β + αβ) γ ] = [(α β) γ ] [(α + β) γ ] = =(α β γ)(α β + γ)(α + β γ)(α + β + γ) ιβ) (x + 9)(α + 4) (αx + 6) = x α + 4x + 9α + 36 (α x + 1αx + 36) = =x α + 4x + 9α + 36 α x 1αx 36 = 4x + 9α 1αx = (x) + (3α) x 3α = = (x 3α) Σημείωση Οι παραπάνω ασκήσεις είναι επιλεγμένες από το σχολικό βιβλίο.