IV. Π Ι Ν Α Κ Ε Σ. 1. Πίνακες. Κάθε διανυσματικός χώρος U(F), με dimu = n, έχει και έναν χώρο συντεταγμένων

Transcript

1 IV. Π Ι Ν Α Κ Ε Σ. Πίνκες. Κάθε δινυσμτικός χώρος U(F), με du, έχει κι ένν χώρο συντετγμένων F, προς τον οποίο μάλιστ είνι ισόμορφος. Το ίδιο ισχύει κι γι τον χώρο (U,V). Ο χώρος, προς τον οποίον ο (U,V) είνι ισόμορφος, είνι ο χώρος των πινάκων F. Εν στοιχείο του χώρου υτού, είνι ένς πίνκς, που ποτελείτι πό στοιχεί του σώμτος F, κι ο οποίος έχει γρμμές κι κολώνες. Τους πίνκες θ τους συμβολίζουμε με κεφλί γράμμτ. Αν Τ (U,V) τότε με το ίδιο γράμμ Τ θ συμβολίζουμε κι το F στοιχείο του, προς το οποίο ο Τ πεικονίζετι πό τον προνφερθέντ ισομορφισμό. Το σύνολο F οργνώνετι σε γρμμικό χώρο, ως εξής. Αν Α ( ) κι Β ( β ),,...,, j,...,, τότε κι Α+Β ( + β ) κι λα ( λ ). Ανλυτικά, είνι δηλδή, A O, β B β O β β A + B + β + β O + β + β λ λ κι λa O. λ λ Μηδενικό στοιχείο του χώρου είνι εκείνος ο πίνκς, του οποίου όλ τ στοιχεί είνι μηδενικά. Η ισότητ τέλος, δύο πινάκων, Α κι Β, ορίζετι πό την σχέση, β γι κάθε,..., κι j,...,. Η διάστση του χώρου υτού, είνι μιά κι τ στοιχεί E O, E O,..., E O ποτελούν, φνερά, μιά βάση γι υτόν. Υποθέτουμε τώρ, ότι έχουμε την Τ: U V. Εστω U κι,, K, } μιά βάση του V. Αν είνι { + + K K + ορίζετι τότε μονοσήμντ ο πίνκς Α ( {,, K, } μιά βάση του ),,...,, j,...,. Εύκολ ποδεικνύετι, ότι η πεικόνιση η οποί στον μετσχημτισμό Τ ντιστοιχίζει τον πίνκ Α, F είνι ένς ισομορφισμός φ του χώρου (U,V) πάνω στον χώρο. Ιδιίτερ, ότν θεωρούμε τον χώρο των υτομορφισμών του U, ο πίνκς Α είνι ένς τετργωνικός πίνκς, μι κι. Συμβολισμός. ) Αν δεν νφέρουμε τις βάσεις των χώρων που χρησιμοποιούμε, υποθέτουμε πάντ ότι υτές είνι οι κνονικές.

2 ) Αν θέλουμε ν εμφνίζουμε τις βάσεις ως προς της οποίες έχουμε λάβει την εικόν του Τ, f, κλπ. εν, γράφουμε, f :,. F ( ) Ασκήσεις. Ν δείξετε ότι, η πεικόνιση φ: (U,V) F, που ορίζετι πό τις προηγούμενες ισότητες, είνι ισομορφισμός ως προς τις πράξεις που κθιστούν τον (U,V) δινυσμτικό χώρο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Ο πίνκς που ντιστοιχεί μέσω της φ στην πεικόνιση στροφή στο επίπεδο κτά γωνί θ (βλέπε Εφρμογές ), σελ. ) στην κνονική βάση του R, βρίσκετι ως εξής: Έχουμε ότι, (,y) a (cosθysθ, sθ+ycosθ). Αρ κι, (,) θ (cosθ, sθ) (,) θ (sθ, cosθ) Είνι λοιπόν, cosθ sθ φ( Τ θ ) sθ cosθ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Έστω ότι a. Αν R, ζητάμε ν βρούμε την εικόν του,. Είνι, (,)Τ (,) κι (,)Τ (,). Άρ, ( (,) + (,)) (,) + (,) (,) + (,), + ). ( ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Εστω ότι, οι κι ορίζοντι πό τις σχέσεις: (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,). Θεωρούμε κι την πεικόνιση +. Επειδή είνι ( + ) + (πό τον ορισμό του θροίσμτος των πεικονίσεων), είνι κι (,,)( + ) (,,)+(,,) (,,) (,,)( + ) (,,)+(,,) (,,) (,,)( + ) (,,)+(,,) (,,). Πρτηρούμε ότι, ν φ( Τ ) κι φ( Τ ), τότε + ( ) ( ) + + ( ) κι φ( + ) + + ( ) + φ ( ) + φ( ) Εξ άλλου, κι γι τον λ έχουμε ότι, (,,)(λ ) λ(,,) λ(,,) (λ,λ,λ) (,,)(λ ) λ(,,) λ(,,) (,λ,λ) (,,)(λ ) λ(,,) λ(,,) (λ,λ,) δηλδή, φ(λ ) λφ( ).

3 Θ ορίσουμε, τώρ, ένν πολλπλσισμό μέσ στο σύνολο των πινάκων, ο οποίος ν νπριστά την σύνθεση των πεικονίσεων. Προς τούτο, πρτηρούμε κτ ρχήν, ότι γι ν είνι δυντή η σύνθεση των f:u V κι g: Z W, θ πρέπει ν έχουμε ότι Z f(v). Συνέπει υτού του γεγονότος είνι ότι ν ο φ(f) είνι ένς k πίνκς, ο φ(g) πρέπει ν είνι ένς k πίνκς. Το ποτέλεσμ, δηλδή ο πίνκς φ(fg) θ είνι ένς πίνκς. Θεωρούμε, τώρ, τους πίνκες Α ( k ) κι Β β ). Ορίζουμε ως γινόμενο των πινάκων Α κι Β, το πίνκ C γ ) όπου γ β. Το πρκάτω πράδειγμ, θ ( δικιολογήσει υτόν τον ορισμό, του γινομένου δύο πινάκων., ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Έστω ότι ο ορίζετι ως εξής: (,,) (,), (,,) (,), k κ κ ( kj κι (,,) (,). Εδώ, είνι, φ( Τ ). Θεωρούμε το γινόμενο. Είνι, (,,)( ) (,,) {(,,)+()(,,)+(,,)} (,)+(,)+(,6) (,) (,,)( ) (,,) {(,,)+(,,)+()(,,) (,)+(,)+(,) (,) (,,)( ) (,,) {(,,)+(,,)+(,,)} (,)+(,)+(,) (,). κj Συνεπώς, φ( ). Εξ άλλου, είνι κι: + ( ) ( ) + + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) ( ) + +. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι φ( ) φ( )φ( ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Η πρόσθεση, όπως ορίσθηκε στο σύνολο των πινάκων, κθιστά το σύνολο υτό ημιομάδ. Ουδέτερο στοιχείο της ημιομάδς υτής, είνι ο μηδενικός πίνκς Ο, όλ τ στοιχεί του οποίου, είνι μηδενικά. Ο πολλπλσισμός, όπως ορίστηκε, δεν είνι ντιμετθετικός. Τούτο βέβι το περιμένμε, μιά κι η σύνθεση των συνρτήσεων, δεν γίνετι πάντοτε. Γι πράδειγμ, ενώ ο πολλπλσισμός φ( )φ( ) γίνετι, ο φ( )φ( ) δεν γίνετι, μι κι δεν μπορούμε ν πολλπλσιάσουμε πίνκ επί πίνκ. Κι στην περίπτωση όμως, που ο πολλπλσισμός είνι δυντός, δεν είνι ντιμετθετικός.

4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Εστω, A κι B είνι τότε κι 7 9 AB 8 9 ενώ BA. Είνι, λοιπόν, ΑΒ ΒΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Θεωρούμε τις δύο στροφές του επιπέδου, κτά γωνίες θ κι θ. Οι πίνκες που ντιστοιχούν στους μετσχημτισμούς υτούς, είνι ντίστοιχ οι cosθ sθ sθ cosθ cosθ sθ κι. sθ cosθ Το γινόμενο των δύο υτών πινάκων, είνι ο πίνκς cosθcosθ sθsθ sθcosθ cosθsθ cosθ sθ sθ sθ + sθ cosθ + cosθ cosθ cos(θ + θ ) s(θ + θ ) s(θ + θ ) cos(θ + θ ) πίνκς, που ντιστοιχεί σε στροφή στο επίπεδο κτά γωνί θ + θ. Εδώ, φνερά, ο πολλπλσισμός είνι ντιμετθετικός. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. O πολλπλσισμός των πινάκων, ότν υτός είνι δυντός, είνι προσετιριστικός. Αυτό, είνι συνέπει του τρόπου ορισμού του πολλπλσισμού. Ομως, την ιδιότητ υτή, μπορούμε ν την συνάγουμε κι πό την σχέση φ ( Τ ) φ( Τ ) φ( ), σχέση, που διτηρεί την ισομορφί νάμεσ στις πράξεις σύνθεση συνρτήσεων κι πολλπλσισμός πινάκων. Πράγμτι, είνι φ ( Τ ) φ( Τ )} φ( Τ ) φ( ) φ( Τ ) φ(( Τ Τ ) )) κι { Τ φ ( Τ ){ φ( Τ ) φ( Τ )} φ( ) φ( Τ ) φ( Τ ( ΤΤ )) Η ισομορφί υτή, μετφέρει τις ιδιότητες της σύνθεσης των συνρτήσεων, σε ιδιότητες του πολλπλσισμού πινάκων. Επειδή λοιπόν, η σύνθεση είνι προσετιριστική, είνι κι ο πολλπλσισμός. ( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Ο πολλπλσισμός των πινάκων έχει κι μονάδ. Είνι ο πίνκς Ι δ ), j,...,. Ισχύουν επίσης κι οι πρκάτω επιμεριστικοί νόμοι, εφ όσον βέβι, οι σημειούμενοι πολλπλσισμοί εκτελούντι. Α(Β+Γ) ΑΒ+ΑΓ κι (Β+Γ)Α ΒΑ+ΓΑ Αντίστοιχους νόμους έχουμε κι στο ντίστοιχο δι της φ σύνολο των συνρτήσεων, που εκφράζουν οι πρπάνω πίνκες. Εφ όσον μέσ σε έν σύνολο ορίζοντι δύο πράξεις, πρόσθεση κι πολλπλσισμός, κι ως προς την πρόσθεση είνι υτό Αβελινή ομάδ, κι ως προς τον πολλπλσισμό ημιομάδ, ισχύουν δε κι οι δύο επιμεριστικοί νόμοι, που γράψμε πρπάνω, λέμε ότι η προκύπτουσ δομή, είνι ένς δκτύλιος. Αν μάλιστ έχουμε κι μονάδ, ο δκτύλιός μς είνι ένς δκτύλιος με μονάδ. Όπως είδμε, το σύνολο των υτομορφισμών του U ποτελεί δκτύλιο με μονάδ. Η πεικόνιση, που ντιστοιχεί στον μονδιίο πίνκ, συμβολίζετι με U.

5 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Αν θέλουμε ν βρούμε την εικόν κάποιου νύσμτος U, ότν Τ (U,V), κι γνωρίζουμε τον πίνκ Τ φ(τ), πλά εκτελούμε τον πολλπλσισμό. Ετσι, στο πράδειγμ 6, η εικόν του (, ) είνι η, που είνι η (, ) (, + ). Ασκήσεις. ) Δίδοντι οι γρμμικοί μετσχημτισμοί κι S επί του R. a κι S a Ν βρεθούν: ) Η εικόν του (,, ) δι του Τ. β) Η εικόν του (,, ) δι του S. γ) Ο πίνκς που ντιστοιχεί στην σύνθεση S των Τ κι S. δ) Ο πίνκς που ντιστοιχεί στο άθροισμ Τ+S. ε) Η εικόν του (,, ) δι του S. ) Ν βρεθούν όλοι οι πίνκες, που ντιμεττίθεντι με τον πίνκ που ντιστοιχεί στις περιστροφές του επιπέδου. ) Ν δείξετε ότι η πεικόνιση φ: C R (C το σώμ των μιγδικών ριθμών), κι που ορίζετι πό την σχέση + β a β β είνι ένς ισομορφισμός του C στο σύνολο των πινάκων της μορφής που νγράφετι. ) Ν βρεθεί ο πίνκς του διφορικού τελεστή D (βλέπε σελ. ), ως προς την κνονική βάση του χώρου P. Είνι, D: P P. Η κνονική βάση του P ποτελείτι πό τ πολυώνυμ:,, K,,. Η κνονική βάση του P ποτελείτι πό τ πολυώνυμ:,, K,. Είνι, λοιπόν, D( ) D( ) Αρ, φ(d). O + + K + + K + + D( ) + + K D( ) + + K +.

6 6. Μη Ιδιάζοντες πίνκες. Αλλγή βάσεως. Ο πίνκς ενός μη ιδιάζοντος μετσχημτισμού, (μετσχημτισμού δηλδή, που είνι έν-έν κι επί), κλείτι μη ιδιάζων [o sglar] (ή ντιστρέψιμος, ή ομλός) πίνκς. Ο πίνκς υτός, είνι ένς τετργωνικός πίνκς που έχει ντίστροφο. Ανάστροφος ενός πίνκ Α ( ) είνι ο πίνκς A ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Η πεικόνιση που ορίζετι πό την σχέση Α a Α είνι έν προς έν κι επί. (Ισομορφισμός είνι ;). Σε κάθε πίνκ Α οι γρμμές του, θεωρούμενες ως στοιχεί του δινυσμτικού χώρου R πράγουν έν υπόχωρο του χώρου υτού, ο οποίος κλείτι κι χώρος των γρμμών. Το ίδιο συμβίνει κι με τις κολώνες του Α. Εδώ, έχουμε την πργωγή ενός υπόχωρου του, τον χώρο των στηλών. R ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω ο πίνκς Α ( ( j ),, j,...,. Θεωρούμε τ δινύσμτ a (,, K, ). Το σύνολο { a, a, K, a } είνι γρμμικά νεξάρτητο, νν ο Α είνι μη ιδιάζων. Απόδειξη. ) Ο Α είνι μη ιδιάζων. Τότε κι η πεικόνιση, f : R R που έχει τον Α ως πίνκ, κι που ορίζετι πό τις σχέσεις e f a, είνι έν-έν. Το σύνολο { a, a, K, a } είνι κτά συνέπει γρμμικά νεξάρτητο. β) Το σύνολο { a, a, K, a } είνι γρμμικά νεξάρτητο. Τότε, η πεικόνιση f είνι ένέν, κι συνεπώς ντιστρέψιμη (βλέπε κι πρότση, σελ. ). ΠΟΡΙΣΜΑ. Ενς πίνκς Α είνι μη ιδιάζων, νν dea. (Βλέπε Θεώρημ, σελ. ) ΠΡΟΤΑΣΗ. Θεωρούμε κι πάλι τον πίνκ Α, κι έστω, j,..., τ δινύσμτ b,, K, ). Το σύνολο b, b, K, } είνι γρμμικά εξρτημένο, j ( j j j νν το σύνολο { a, a, K, a } { b είνι γρμμικά εξρτημένο. Απόδειξη. Είνι συνέπει του προηγούμενου πορίσμτος, κι του ότι dea de(a ). ΠΡΟΤΑΣΗ. Κάθε μη ιδιάζων πίνκς Α, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως πίνκς A j λλγής βάσεως. Ο ντίστροφός του πίνκς είνι ο A adja/dea. dea Απόδειξη. Ο πρώτος ισχυρισμός έπετι πό το ότι ο μετσχημτισμός, που έχει πίνκ τον Α, μετσχημτίζει σύνολο γρμμικά νεξάρτητων δινυσμάτων, σε σύνολο με το ίδιο πλήθος γρμμικά νεξάρτητων δινυσμάτων. Ο τύπος του ντιστρόφου πίνκος του πίνκ Α, έπετι πό το γεγονός ότι deade de(a ) κι τον τύπο του Cachy (σελ. ). R A A ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Στον δίδοντι οι βάσεις : {(,,), (,,), (,,)} κι y : {(,,), (,,), (,,)} Ν βρεθεί ο πίνκς λλγής της βάσεως του χώρου. Θέλουμε ν βρούμε τον πίνκ P ενός f : R R, ο οποίος ν μετσχημτίζει την βάση στην βάση y. Ο πίνκς του f, εκπεφρσμένος στις βάσεις, y, βρίσκετι, ν εκφράσουμε τ στοιχεί της βάσεως y γρμμικά, πό τ στοιχεί της βάσεως. Είνι: y r (,, ) r + r + r y r (,,) r + r + r κι y r (,,) r r + r Ο πίνκς P του μετσχημτισμού f της βάσεως σε μί βάση y, είνι ο b j

7 7 P Πρτηρούμε ότι, ν Χ κλέσουμε τον πίνκ που σχημτίζουν τ δινύσμτ της βάσεως, λμβνόμεν ως γρμμές του Χ, κι Y τον πίνκ που σχημτίζουν τ δινύσμτ της βάσεως y, λμβνόμεν ως γρμμές του Y, ισχύει τότε ότι, ή Υ PX. Τούτο έπετι πό την γενική μορφή του συστήμτος,,...,, ν εισάγουμε τον εξής νέο συμβολισμό k k k p y r r P y y r r r r με ) ( p P, γι το προηγούμενο σύστημ. Εύκολ βλέπουμε τώρ, ότι, y y P r r r r. (Στο εξής, θ πρλείπουμε τ βέλη πάνω πό τ δινύσμτ). Επεκτείνουμε τις πράξεις επί των πινάκων, κι στους θεωρούμενους πίνκες, τ στοιχεί των οποίων είνι δινύσμτ. Χρησιμοποιώντς τον συμβολισμό υτό, μπορούμε εύκολ ν βρούμε την έκφρση του τυχόντος δινύσμτος z στη βάση y, ότν το έχουμε στη βάση. Αν, γράφουμε την σχέση υτή στην μορφή, γ z. ( ) γ γ z ( ) y y P γ γ Μετά την εκτέλεση των σημειουμένων πράξεων, έχουμε το z εκφρσμένο στη νέ βάση y. Επνερχόμεθ στο πράδειγμά μς. Είνι, ( ) P Άρ κι ισότητ, που γράφετι ισοδύνμ κι,

8 8 P y y y που είνι μί άλλη γρφή του συστήμτος + y + y y y y y y y y. Το σύστημ υτό, δίδει τις ισότητες μέσω των οποίων πό την βάση y πηγίνουμε στη βάση. Ο πίνκς του μετσχημτισμού υτού, είνι ο. Έστω, τώρ, έν διάνυσμ z + + εκφρσμένο στη βάση. Γι ν βρούμε την νέ του έκφρση στη βάση y, ρκεί ν εκτελέσουμε τις πράξεις z ( ) y ( 7 6 ) y 7y 6y y y y που είνι κι η ζητούμενη έκφρση του z. P y y. Ισοδυνμί - ομοιότης πινάκων. Όπως είδμε, ο πίνκς φ(τ), που ντιστοιχεί στην γρμμική πεικόνιση : U V, εξρτάτι πό την εκλογή των βάσεων των χώρων U κι V ντίστοιχ. Θ πρέπει βέβι, ότν λλάζουν οι βάσεις των χώρων υτών, οι λμβνόμενοι πίνκες ν πριστούν την ίδι πεικόνιση. Θεωρούμε κτ ρχήν τις βάσεις κι των χώρων U κι V ντίστοιχ. Ο πίνκς Α της πεικονίσεως Τ, δίδετι πό το σύστημ, + + K K + Σύμφων με τον συμβολισμό, που εισάγμε πιο πάνω, το σύστημ υτό γράφετι. A όπου Α ( ),,..., κι j,..., ένς πίνκς που ντιστοιχεί στον μετσχημτισμό Τ, εκφρσμένος στις βάσεις κι. :,. Είνι λοιπόν, Α ( ) Έστω, τώρ, z ξ έν τυχών διάνυσμ του χώρου U. H εικόν του, είνι το z ξ ( ) ( ξ ξ ) ( ξ ξ ) A. Υποθέτουμε, τώρ, ότι λλάζουμε τις βάσεις κι σε κι ντίστοιχ. Θ βρούμε τον τρόπο με τον οποίο ο πίνκς Α U V λλάζει, έτσι ώστε, ν είνι πίνκς της ιδίς A πεικονίσεως. Γι τον σκοπό υτό, χρησιμοποιούμε το διπλνό διάγρμμ, το οποίο βέβι, πρέπει ν είνι P Q ντιμετθετικό. Εδώ, Α κι Β είνι οι πίνκες ' Α ( :, ) κι Β ( :, ) B

9 9 P κι Q είνι οι πίνκες λλγής των βάσεων. Γι ν είνι το διάγρμμ ντιμετθετικό, θ πρέπει ν ισχύει ότι,. PAQ B Πράγμτι, έχουμε τις ισότητες: A B Απεικόνιση της Απεικόνιση της βάσης στη βάσης στη βάση. στη βάση. Πίνκς Πίνκς Β ( ), : Α ( ), : Αλλγή βάσης πό Αλλγή βάσης πό Q P σε. σε. P Πίνκς Q Πίνκς λλγής λλγής βάσης. βάσης. Είνι, λοιπόν, κι Αλλγή βάσης Q πό σε. Q πίνκς λλγής βάσης. Εχουμε συνεπώς, P οπότε κι PAQ PA P άρ κι, PAQ B οπότε κι. PAQ B ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Θεωρούμε τους χώρους V {(,,), (,,)} κι W {(,,,), (,,,), (,,,)}, κι την πεικόνιση Τ, γιά την οποί είνι, (,,)Τ (,,,)+(,,,)+(,,,) (,,)Τ (,,,)+(,,,)+(,,,) Ο πίνκς Α του μετσχημτισμού Τ ως προς τις βάσεις κι w, είνι ο ( ) w A, :.

10 Θεωρούμε τις νέες βάσεις {(,,), (,,)} κι w {(,,,), (,,,), (,,,)}. Είνι, (,,) (,,)+(,,) κι (,,,) (,,,)+(,,,)(,,,) (,,) (,,)+(,,) (,,,) (,,,)+(,,,)+(,,,) (,,,) (,,,)+(,,,)+(,,,). Οι πίνκες P κι Q λλγής των βάσεων στούς χώρους V κι W είνι ντ. Οι P κι Q. Είνι Q. Αρ B είνι ο πίνκς του μετσχημτισμού Τ, ως προς τις νέες βάσεις κι w Β (, w ) :. Ορισμός. Δύο πίνκες Α κι Β κλούντι ισοδύνμοι (eqale), νν υπάρχουν ντιστρέψιμοι πίνκες P κι Q τέτοιοι ώστε, B PAQ. ΠΟΡΙΣΜΑ. Αν Τ (U), κι πό την βάση μετβίνουμε στην βάση με πίνκ λλγής βάσεως τον P, είνι τότε, B PAP. (A (, ) : κι B (, ) : ). Ορισμός. Δύο πίνκες Α κι Β κλούντι όμοιοι (slar), νν υπάρχει ντιστρέψιμος πίνκς Ρ, τέτοιος ώστε, B PAP. ΠΟΡΙΣΜΑ. Οι σχέσεις ισοδυνμίς κι ομοιότητος δύο πινάκων, είνι σχέσεις ισοδυνμίς. R. Στοιχειώδεις πίνκες. Μονόμετρος (ή βθμoτός) πίνκς [scalar ar] κλείτι κάθε τετργωνικός πίνκς Α, του οποίου όλ τ διγώνι στοιχεί R,,...,, ενώ,., γιά j με, j, K, Το σύνολο των μονομέτρων πινάκων, είνι φνερά ισόμορφο του σώμτος R. Αν, είνι τότε κι, A. Διγώνιος πίνκς κλείτι ένς τετργωνικός πίνκς, του οποίου τ μόν μη μηδενικά στοιχεί, βρίσκοντι επί της κυρίς διγωνίου του. Έν διγώνιο πίνκ, θ τον συμβολίζουμε με D,, K, ). Είνι, ( D(,, K, ) D(,, K, ), όπου, (,, K, ). Το άθροισμ κι το γινόμενο δύο διγωνίων πινάκων, είνι πάλι διγώνιος πίνκς. Ισχύει k k k k μάλιστ ότι D (,, K, ) D(,, K, ). Κάτω τριγωνικός λέγετι ένς τετργωνικός πίνκς Α, ότν τ στοιχεί του, που βρίσκοντι άνω της κυρίς διγωνίου, είνι όλ ίσ με μηδέν. Το άθροισμ κι το γινόμενο δύο κάτω τριγωνικών πινάκων, είνι πάλι κάτω τριγωνικός πίνκς. Αντίστοιχ, ορίζοντι οι άνω τριγωνικοί πίνκες. Οπως είδμε, νάστροφος [rasposed] του Α ( ), είνι ο A ). Ισχύει ότι, ( AB ) B A. Συμμετρικός λέγετι ο τετργωνικός πίνκς Α, νν έχουμε ότι ( j A A. R

11 Αντισυμμετρικός λέγετι ο τετργωνικός πίνκς Α νν A A. Τ στοιχεί που βρίσκοντι επι της κυρίς διγωνίου ενός ντισυμμετρικού πίνκ Α, είνι, υποχρεωτικά, ίσ με μηδέν. Ασκήσεις. ) Ν δείξετε ότι, γι τυχόντ πίνκ Α ο πίνκς AA είνι συμμετρικός. ) Ν δείξετε ότι, κάθε τετργωνικός πίνκς γράφετι ως άθροισμ ενός συμμετρικού κι ενός ντισυμμετρικού πίνκ. ) Ν δείξετε ότι, το γινόμενο δύο συμμετρικών πινάκων είνι συμμετρικός πίνκς νν ο πολλπλσισμός είνι ντιμετθετικός. Ένς Στοιχειώδης πίνκς του πρώτου είδους, είνι o διγώνιος πίνκς (λ) που έχει kk, γι k, κι. Το γινόμενο D ()Α δίδει ένν πίνκ Α, που είνι ίδιος με τον Α, πλην της γρμμής του a που ισούτι με λa. Το γινόμενο A D () δίδει ένν πίνκ Α, που είνι ίδιος με τον Α, πλην της κολώνς του b που ισούτι με λ b. Γι πράδειγμ, ν ο Α είνι ένς πίνκς κι τον πολλπλσιάσουμε πό ριστερά με τον (υποχρεωτικά) πίνκ (λ) θ έχουμε ότι, D D λ λ λ λ Ο D (λ) είνι ντιστρέψιμος, κι ο ντίστροφός του, είνι ο D ( λ ). Ένς Στοιχειώδης πίνκς του δευτέρου είδους, είνι ένς τετργωνικός πίνκς, [perao ar] του οποίου όλ τ στοιχεί είνι μηδενικά, πλήν των στοιχείων kk γι k κι k j, κι των. Το γινόμενο Α δίδει ένν πίνκ Α, που είνι j ίδιος με τον Α, πλην του ότι η γρμμή του P a P είνι ίδι με την a j κι η γινόμενο Α δίδει ένν πίνκ Α, που είνι ίδιος με τον Α, πλην του ότι η κολών του b είνι ίδι με την b j κι η j a j a P. Το b b. Γι πράδειγμ, ν ο Α είνι ένς πίνκς κι τον πολλπλσιάσουμε πό δεξιά με τον (υποχρεωτικά) πίνκ, θ έχουμε ότι, P Ο P είνι συμμετρικός πίνκς, κι ντιστρέψιμος,. j P Αντίστροφός του είνι ο πίνκς P. Ένς Στοιχειώδης πίνκς του τρίτου είδους, είνι ένς τετργωνικός πίνκς (λ), του οποίου όλ τ στοιχεί είνι μηδενικά, πλην των διγωνίων στοιχείων kk. Εχει επίσης λ. Το γινόμενο (λ) Α δίδει ένν πίνκ Α, που είνι ίδιος με τον Α, πλην S του ότι η γρμμή του a λa + a. Το γινόμενο Α (λ) δίδει ένν πίνκ Α, που είνι ίδιος με τον Α, πλην του ότι η j κολών του j b j S είνι ίση με την j j S b λb + b. Γι πράδειγμ, ν ο Α είνι ένς πίνκς κι τον πολλπλσιάσουμε πό δεξιά με τον (υποχρεωτικά) πίνκ S (λ), θ έχουμε ότι,

12 λ Ο S (λ) είνι ντιστρέψιμος, πίνκς. Αντίστροφός του είνι ο πίνκς S ( λ ). ΠΟΡΙΣΜΑ. Αν Ε στοιχειώδης πίνκς, τότε ο πίνκς ΕΑ (ντ. ο ΑΕ) έχει τον ίδιο χώρο γρμμών (ντ. στηλών) με τον πίνκ Α. ΠΡΟΤΑΣΗ. Έστω Α μη ιδιάζων πίνκς Α. Τότε, πολλπλσιάζοντς τον Α πό ριστερά (ντ. δεξιά) με κτάλληλους στοιχειώδεις πίνκες, μπορούμε ν τον μεττρέψουμε στον μονδιίο πίνκ Ι. Απόδειξη. Δίδουμε τον σχετικό λγόριθμο, γιά την περίπτωση. Έστω, λοιπόν, ο πίνκς A. Μηδενίζουμε πρώτ τις θέσεις λ λ + + κι. Την θέση την μηδενίζουμε, ν πολλπλσιάσουμε επί τον. Πράγμτι, S. Στη συνέχει μηδενίζουμε την θέση πολλπλσιάζοντς επί S. Είνι,., όπου Εύκολ, τώρ, τον πίνκ υτόν, τον μεττρέπουμε σε μονδιίο, πολλπλσιάζοντς πρώτ επί D ( ), κι μετά επί D ( ). Είνι, τώρ, D DSSA I. Δείξμε, λοιπόν, ότι ο τυχών ντιστρέψιμος τετργωνικός πίνκς Α, πληροί κάποι σχέση της μορφής E, E, K, E A I. Άρ, A E, E, K, E. Μπορούμε συνεπώς, ν βρούμε κι κτ υτόν τον τρόπο τον ντίστροφο ντιστρέψιμου πίνκ Α. A πίνκ, τυχόντος ΠΟΡΙΣΜΑ. Ο τυχών ντιστρέψιμος πίνκς Α, γράφετι ως γινόμενο στοιχειωδών πινάκων. Απόδειξη. Αρκεί ν ντιστρέψουμε την σχέση A E, E, K, E, οπότε έχουμε την A E, E, K,. E ΠΟΡΙΣΜΑ. Αν Α, Β δύο πίνκες, τότε de(ab) (dea)(deb). (Βλέπε σελ. ) Απόδειξη. ) Αν ο Α δεν είνι ντιστρέψιμος πίνκς, τότε ο πυρήνς του μετσχημτισμού Τ, που ντιστοιχεί στον πίνκ Α, περιέχει κι στοιχεί του χώρου, διφορετικά πό το μηδέν. Έστω έν τέτοιο Ker. Είνι, τότε,, άρ κι A, οπότε, κι (AB), άρ κι ο ΑΒ είνι μη ντιστρέψιμος πίνκς. ) Εστω ότι ο Α είνι ντιστρέψιμος. Τότε πρίσττι, ως γινόμενο στοιχειωδών πινάκων. Κάθε ένς πό τους στοιχειώδεις υτούς πίνκες, πολλπλσιάζει πό δεξιά τον πίνκ, που θ βρίσκετι στη θέση του Β. Αρκεί,

13 λοιπόν, ν δείξουμε πρώτ, ότι de(eb) (dee)(deb). Τούτο έπετι εύκολ, γι κάθε είδους στοιχειώδη πίνκ. Στη συνέχει, επγωγικά ποδεικνύετι ότι, de( E E E B) (dee ) de(e ) de(e ) de( B).. Τάξη (rak) πίνκος. Θ δείξουμε ότι, οι πρκάτω έννοιες που συνδέοντι με τον όρο τάξη, δηλώνουν όλες, ουσιστικά το ίδιο πράγμ. ) Τάξη γρμμών του πίνκ Α, είνι η διάστση του χώρου που πράγουν οι γρμμές του πίνκ Α. ) Τάξη στηλών του πίνκ Α, είνι η διάστση του χώρου που πράγουν οι κολώνες του πίνκ Α. ) Η τάξη της μεγλύτερης μη μηδενικής ορίζουσς, που περιέχετι μέσ στον πίνκ Α. ) Η Τάξη της πεικονίσεως Τ, που έχει γι πίνκ τον Α. Στην περίπτωση, που ο Α είνι μη ιδιάζων τετργωνικός πίνκς, φνερά οι πρπάνω έννοιες τυτίζοντι. Φνερά, όλες υτές οι έννοιες τυτίζοντι, κι στην περίπτωση του μηδενικού πίνκ. Γι την γενικά περίπτωση ενός πίνκ Α, πρτηρούμε ότι, πό τον ορισμό του Α, ( a, a, K, a ) I. Άρ ρ(τ) r(a), όπου r(a) d a, a, K, ). ( a Όπως πρτηρήσμε πιο πάνω, ο δεξιά (ντ. ριστερά) πολλπλσισμός του πίνκ Α επί ένν (ντ. ) στοιχειώδη πίνκ Ε, δεν μετβάλλει τον χώρο γρμμών (ντ. στηλών) του πίνκ Α. Μπορούμε συνεπώς, τον πίνκ Α, ν τον μεττρέψουμε σε ένν ισοδύνμο πίνκ κλιμκωτής (ή νοιγμένης) [echelo for] μορφής. Κλιμκωτή ως προς τις γρμμές, είνι εκείνη η μορφή του πίνκ Α, του οποίου οι γρμμές,,..., είνι έτσι ώστε: ) Η πρώτη μη μηδενική κολών έχει το στοιχείο κι όλ τ στοιχεί, που βρίσκοντι κάτω π υτό, k, k > j. β) Κάθε μηδενική γρμμή, βρίσκετι κάτω πό κάθε μη μηδενική γρμμή. γ) Το πρώτο στοιχείο μη μηδενικής γρμμής είνι η μονάς, κι όλ τ κάτω π υτήν στοιχεί είνι μηδενικά. Αντίστοιχ, γι την κλιμκωτή μορφή ως προς τις κολώνες. ΘΕΩΡΗΜΑ. Η διάστση του χώρου γρμμών ενός πίνκ Α, ισούτι με το πλήθος των μη μηδενικών γρμμών της κλιμκωτής μορφής ως προς τις γρμμές, του πίνκ Α. Απόδειξη. Κτ ρχήν, η διάστση του χώρου γρμμών του Α, ισούτι με την διάστση του χώρου γρμμών του Α. Αρκεί συνεπώς ν δείξουμε ότι, τ μη μηδενικά δινύσμτ a,,...,k της κλιμκωτής μορφής, είνι γρμμικώς νεξάρτητ. Γι τ a,, K, ), ισχύει ότι, γι τους δείκτες k < k < K <, κι γι r, ( k r k, j k j k j, ν j < ν j, ν j >. Έστω, τώρ, c ( γ, γ, K, γ ) τυχόν διάνυσμ του χώρου γρμμών του Α. Είνι τότε, c ξ a, π όπου έχουμε κι γ ξ, j,...,. Άρ κι γ δ ξ ξ. Είνι λοιπόν, j κι ξ a, νν ξ. j ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ. ) Ένς τετργωνικός πίνκς Α με τάξη γρμμών k, είνι ισοδύνμος προς τον Α, ο οποίος έχει γι k,, κι όλ τ άλλ στοιχεί ίσ με μηδέν. (Περιέχει, δηλδή, τον μονδιίο πίνκ k τάξεως, στη θέση της άνω ριστερά γωνίς). I k a j j j

14 ) Αν η τάξη γρμμών ενός τετργωνικού πίνκ είνι k, τότε κι η τάξη στηλών υτού είνι k. ) Στην περίπτωση ενός πίνκ, με έστω >, θεωρούμε υτόν, βυθισμένο μέσ σε ένν πίνκ, όπου όλ τ επιπλέον στοιχεί είνι μηδενικά. Γι τον πίνκ υτόν, ισχύουν τ προηγούμεν δύο πορίσμτ. Συμπέρσμ. Η τάξη γρμμών κι η τάξη στηλών, συμπίπτουν. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Θ βρούμε την τάξη του πρκάτω πίνκ, εκτελώντς διδοχικούς μετσχημτισμούς, πρώτ στις γρμμές του, μέχρις ότου μετπέσει σε κλιμκωτή μορφή, κι μετά στις κολώνες του, μέχρις ότου περιλάβει στο εσωτερικό του, τον πίνκ. I k 6 6 που είνι η κλιμκωτή μορφή. Η τάξη του πίνκ είνι. Στη συνέχει, έχουμε.. Γρμμικά συστήμτ. Έν γρμμικό σύστημ εξισώσεων με γνώστους έχει την γενική μορφή: β K β K () β K. Ισοδύνμ, γράφουμε το σύστημ υτό κι στη μορφή ΑΧ Β, όπου Α ένς πίνκς, κλούμενος κι πίνκς των συντελεστών του συστήμτος, Χ ένς πίνκς των γνώστων, κι Β ο πίνκς των στθερών όρων. Αν ο Β, το σύστημ κλείτι ομογενές. Με A θ συμβολίζουμε τον (+) πίνκ που ποτελείτι πό τον πίνκ Α συν μί κολών, που είνι ο πίνκς Β. Ο πίνκς υτός, κλείτι επυξημένος πίνκς [ageed ar]. Τυτίζουμε τους πίνκες Χ κι Β ντ. με τ ) ( ) ( j ) ( β

15 R R δινύσμτ κι b εν ντ. εν. Κάθε διάνυσμ, που πληροί τις ισότητες () κλείτι λύση του συστήμτος. Έν σύστημ, που δεν έχει λύση, λέγετι δύντο. Στην περίπτωση υτή, λέμε ότι, οι εξισώσεις () είνι σύμβτες. ΠΡΟΤΑΣΗ. Το σύνολο των λύσεων του ομογενούς συστήμτος ΑΧ ποτελεί υπόχωρο του R. Απόδειξη. Αν κι y λύσεις του συστήμτος ΑΧ Β, τότε έχουμε ότι, Α(λ+ξy) λα+ξαy λb+ξb (λ+ξ)b. Το λ+ξy ποτελεί συνεπώς λύση νν b. Έστω W ο υπόχωρος των λύσεων του ομογενούς συστήμτος. Η λύση, τώρ, του συστήμτος ΑΧ Β με Β, συνδέετι με την εύρεση του W. Πράγμτι, ν είνι μι λύση του συστήμτος () κι οιδήποτε λύση του ομογενούς, τότε κι η + είνι λύση του (), μι κι είνι, h A( + ) A + A A b. Επιπλέον, κάθε λύση του p h p h p συστήμτος, μπορεί ν γρφεί ως άθροισμ πό την + γι κτάλληλο διάνυσμ. Πράγμτι p h A( ) A A b b, βλέπουμε ότι, η διφορά W. Η p p σχέση υτή μς δείχνει κόμ κι ότι, (odw). Δείξμε, λοιπόν, το ΘΕΩΡΗΜΑ. Το ποτελεί λύση του (), νν (odw). Η λύση κλείτι ειδική λύση [parclar solo] του συστήμτος () εν εν p ντιθέσει προς την +W, που είνι η γενική λύση [geeral solo] του (). p ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 6. Έστω η πεικόνιση :R με πίνκ Γ. Οπως είδμε, η ισότητ y (), γράφετι ισοδύνμ κι y Γ (βλέπε Πρτήρηση, σελ. ). Η σχέση υτή, δίδει κι την y Γ, όπου τ δινύσμτ, y θεωρηθούν ως κι πίνκες ντίστοιχ. Αν, τώρ, θέσουμε Υ y, Α Γ, κι Χ, λβίνουμε την ισότητ των πινάκων, Υ ΑΧ. Το σύστημ () συνεπώς, δηλώνει εκείν τ δινύσμτ, που πεικονίζοντι μέσω της Τ στο b R. Ker είνι ο υπόχωρος λύση, του ομογενούς συστήμτος του (). Ορισμός. Ισοδύνμ λέγοντι δύο συστήμτ, ότν έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 7. Ο πίνκς A χρκτηρίζει πολύτως έν σύστημ. Συμπεράσμτ. ) Αν οι k γρμμές του πίνκ A ενός συστήμτος, εξρτώντι γρμμικά πό τις k γρμμές του, τότε τ συστήμτ, που έχουν πίνκες A κι A όπου ο A δεν περιέχει γρμμικά εξρτημένες γρμμές, είνι ισοδύνμ. β) Σε ισοδύνμ συστήμτ ντιστοιχούν ισοδύνμοι πίνκες A. γ) Οι στοιχειώδεις πράξεις επί των γρμμών του πίνκ A ενός συστήμτος, οδηγούν σε ισοδύνμο σύστημ. Κάθε σύστημ λοιπόν, μπορεί ν λάβει την κλιμκωτή του μορφή. δ) W Ker. ε) dw d(i) r(a). (r(a) r, η τάξη [rak] του A) στ) Το σύστημ ΑΧ Β έχει μονδική λύση, νν KerΤ. Στην περίπτωση υτή, de(a), κι η κλιμκωτή μορφή του πίνκ A, έχει ως τελευτί μη μηδενική γρμμή, την,, K,, β ). Είνι, λοιπόν, κι r(a) r(a). ( p R p p h p h p p R

16 6 ζ) Αν r(a) > r(a), το σύστημ είνι δύντο, μιά κι η κλιμκωτή μορφή του πίνκ A, θ περιέχει γρμμές του τύπου (,, K,, β). η) Αν r(a) < r(a), το σύστημ έχει περισότερες πό μί λύσεις (είνι, όπως λέμε όριστο), μι κι η τελευτί μη μηδενική μορφή του κλιμκωτού πίνκ του πίνκ A, θ περιέχει μι γρμμή της μορφής (,, K, r, K,, β ). θ) Έν ομογενές σύστημ ΑΧ έχει λύση διφορετική της προφνούς, (νν W {}) νν dea, οπότε dker, μιά κι τότε, di < (Βλέπε Πρότση 7, σελ. ). ι) Λύση του συστήμτος ΑΧ Β (ότν υτή υπάρχει) είνι η Χ A Β. Άρ, j β A. (Βλέπε κι πρότση, σελ. ). dea ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. ) Έστω το σύστημ των εξισώσεων: Το σύστημ είνι ομογενές. Έχει δύο εξισώσεις κι τέσσερεις γνώστους. Είνι λοιπόν, κι r. Επίσης, d W r. Τ δινύσμτ (,,,) κι (,,,) ποτελούν μί βάση του χώρου των λύσεων W του συστήμτος. Άρ λύση του συστήμτος, ποτελεί κάθε διάνυσμ της μορφής +β. το β) Του ομογενούς συστήμτος (,, ) όπου, ποτελεί λύση. Τό σύστημ υτό, έχει κι r κι συνεπώς dw. Αρ, κάθε διάνυσμ της μορφής λ ποτελεί λύση του συστήμτος. γ) Γι ποιές τιμές του λ, το σύστημ λ λ έχει λύση ; Λύση. Θ πρέπει η ορίζουσ του πίνκ των συντελεστών του συστήμτος, ν είνι. Είνι Δ + λ, με ρίζες λ κι λ. δ) Ποίες είνι οι λύσεις του συστήμτος: Λύση. Η ορίζουσ του πίνκ των συντελεστών των γνώστων, είνι Δ. Αρ το σύστημ έχει κι λύσεις. Επειδή r κι, είνι dw. Μιά λύση του συστήμτος, είνι η (,,). Άρ, W {(,,)}. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. ) Το σύστημ: + + 7

17 έχει, r(a), κι r(a). Άρ, είνι σύστημ δύντο. β) Το σύστημ έχει, r(a), κι r(a). Είνι λοιπόν, συμβτό κι όριστο. Θεωρούμε τους r γνώστους,,, ως πρμέτρους, κι λβίνουμε γι τους υπόλοιπους τις 7 7 τιμές, + κι + +. γ) Το σύστημ έχει r(a) κι r(a). Είνι, λοιπόν, συμβτό. Η λύση του συστήμτος υτού, είνι η,. 7 7 δ) Το σύστημ είνι δύντο. Ασκήσεις. ) Έστω ότι οι μετσχημτισμοί Α, B : P P ορίζοντι πό τις ισότητες A(p()) p()p() κι B(p()) ()p(). Ν βρεθεί ο πίνκς του μετσχημτισμού ΑΒ ως προς τις κνονικές βάσεις των χώρων, P, κι στη συνέχει, ως προς τις βάσεις P {,, ( ) } κι {, (), ( ), ( ) των P, P ντιστοίχως. ) Ν υπολογίσετε την διάστση του υπόχωρου του χώρου, που πράγετι πό τους πίνκες: 9, 6,. R R ) ) Έστω ότι η f : R ορίζετι πό την ισότητ: f. Ν δείξετε ότι η f είνι γρμμική, κι ν βρείτε τον πίνκ της f ως προς τις κνονικές βάσεις του χώρου R. β) Τ ίδι γι την πεικόνιση f : R R που ορίζετι πό την ισότητ: f. ) Ν βρείτε μι νγκί κι ικνή συνθήκη, ίν οι πίνκες

18 8 β β A κι ντιμεττίθεντι. B β β (Δηλδή, ΑΒ ΒΑ). ) Ν υπολογίσετε την δύνμη Α, ότν Α είνι ο πίνκς: ) A, β) A, γ) A. R 6) Εστω ότι η f : R ορίζετι πό την σχέση: f. Ν δείξετε ότι η f είνι γρμμική κι ν βρείτε τον πίνκά της ως προς τις κνονικές βάσεις του χώρου R. 7) Έστω V {s, cos, scos, s, cos }. Τότε, D : V V, κι ν βρείτε τον πίνκ της D -D+ ως προς την δοσμένη βάση του V.