6 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ-ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Transcript

1 6 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ-ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΙΣΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΡΕΨΗΣ ΚΑΘΕΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑ FRENET-SERRET ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ - ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ - ΔΕΥΤΕΡΗ ΒΑΣΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ TABULATED CYLlNDER ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΔΙΚΥΒΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ HERMITE ΔΙΚΥΒΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ BEZIER ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Β-SLINES ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ COONS ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ ΡΗΤΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ BEZIER ΚΑΙ B-SLINES

2 6 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ-ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 6.1 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Μια επιφάνεια ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στο χώρο που ικανοποιούν μία συνθήκη της μορφής Fx y z. Μη παραμετρική αναπαράσταση επιφανειών. Στα συστήματα σχεδιομελέτης με Η/Υ όμως όπως και στην περίπτωση των καμπύλων χρησιμοποιείται η παραμετρική αναπαράσταση με εξισώσεις της μορφής : S Χ ν Υ ν Ζ ν όπου Χ Υ και Ζ είναι κατάλληλες συναρτήσεις των δύο παραμέτρων ν σχ.6.1 και οι παράμετροι και ν μεταβάλλονται από ν ax. Συνήθως και ax1. Σχ.6.1. Παραμετρική αναπαράσταση τρισδιάστατης επιφάνειας. Αριστερά φαίνεται η επιφάνεια και δεξιά η παραμετρική αναπαράσταση των τριών συντεταγμένων Χ Υ και Ζ. Παράδειγμα. Παραμετρική αναπαράσταση σφαίρας. Για την περίπτωση της σφαίρας ακτίνας R με κέντρο την αρχή των αξόνων οι παραπάνω εξισώσεις έχουν τη μορφή Μοντέλα Επιφανειών 6--

3 x Χθ φ R sφ cosθ y Υθ φ R sφ sθ z Ζθ φ R cοsφ όπου οι παράμετροι και ν είναι τώρα οι γωνίες φ και θ Σχ.6. και φ θ π Σχ.6.. Παραμετρική εξίσωση σφαίρας βάσει των γωνιών θ και φ. Οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται παραμετρικές ή ελεύθερες εξισώσεις επιφανείας και οι αντίστοιχες πεπλεγμένες εξισώσεις προέρχονται απαλείφοντας τα και ν από τις παραπάνω εξισώσεις για τα Χ Υ και Ζ Iplctzato. Για την περίπτωση της σφαίρας η εξίσωση είναι Χ +Υ +Ζ R. Στις περισσότερες περιπτώσεις η απαλοιφή αυτή δεν είναι εύκολη και πολλές φορές μικρού βαθμού παραμετρικές εξισώσεις ισοδυναμούν σε υψηλού βαθμού πεπλεγμένες εξισώσεις. Με τη μέθοδο αυτή μια επιφάνεια χωρίζεται σε ανεξάρτητα τμήματα μπαλώματα και το τελικό αποτέλεσμα είναι η σύνδεση αυτών των μπαλωμάτων. Ένα μπάλωμα είναι το βασικό μαθηματικό στοιχείο για την μοντελοποίηση μιας σύνθετης επιφάνειας και μπορεί να είναι τετράπλευρο και αυτά τα σχήματα θα αναπτύξουμε στη συνέχεια ή τρίγωνα σχ.6.3. Οι επιφάνειες χωρίζονται σε δύο κατηγορίες Στις αναλυτικές επιφάνειες που είναι η επίπεδη επιφάνεια η γραμμική επιφάνεια η επιφάνεια εκ περιστροφής και ο τμηματικός κύλινδρος και στις επιφάνειες ελεύθερης μορφής που απεικονίζονται με πολυωνυμικά ή ρητά σχήματα. Μοντέλα Επιφανειών 6-3-

4 Σχ Ορισμός σύνθετης επιφάνειας από τετράπλευρα και τρίγωνα μπαλώματα. Μοντέλα Επιφανειών 6-4-

5 6. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Η γεωμετρική ανάλυση των επιφανειών έχει πολλές εφαρμογές. Π.χ. το εφαπτόμενο διάνυσμα σε μια επιφάνεια μας ορίζει την πορεία κίνησης του κοπτικού εργαλείου κατά τη κατεργασία της. Το κάθετο διάνυσμα ορίζει τη πορεία προσέγγισης και αποχώρησης του κοπτικού εργαλείου προς την επιφάνεια. Επίσης ορίζει και τις παράλληλες offset επιφάνειες που χρησιμοποιούνται κατά την κατεργασία ενός εξαρτήματος. Οι ισοπαραμετρικές καμπύλες χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των πεπερασμένων στοιχείων για τον προσδιορισμό της τροχειάς του κοπτικού εργαλείου κλπ. H διαφορική γεωμετρία επίσης είναι σημαντική στη μέτρηση μήκους και εμβαδού στον ορισμό των κατευθύνσεων και των γωνιών κλπ ΙΣΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Σε μια παραμετρική επιφάνεια ορίζονται δύο οικογένειες ισοπαραμετρικών καμπυλών. Η πρώτη δημιουργείται θέτοντας σταθερό και η δεύτερη θέτοντας ν σταθερό. Μια ισοπαραμετρική καμπύλη με σταθερό έχει το ν ως παράμετρο ορισμού της και αντίστροφα. Για το παράδειγμα της σφαίρας οι παράμετροι είναι οι θ και φ και οι ισοπαραμετρικές καμπύλες δίνονται από τις εξισώσεις : S φ R cosθ cosφ + R sθ cosφ - R sφ k και S θ -R sθ sφ + R cosθ sφ Όταν σταθερό έχουμε τους παράλληλους της σφαίρας και όταν σταθερό έχουμε τους μεσημβρινούς. 6.. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Σε κάθε σημείο της επιφάνειας υπάρχουν δύο εφαπτόμενα διανύσματα ένα κατά τη διεύθυνση και ένα κατά τη ν κατά μήκος των ισοπαραμετρικών καμπύλων που δίνονται από τις σχέσεις : x y z ˆ ˆ + + kˆ ax ax x y z ˆ ˆ + + kˆ ax ax Προφανώς διαφορετική παραμετροποίηση έχει ως αποτέλεσμα και διαφορετικά εφαπτόμενα διανύσματα. Εάν το εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων είναι μηδέν σε ένα σημείο τότε τα δύο διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους. Σημεία της επιφάνειας στα οποία έχουμε S xs διάφορο του μηδενός ονομάζονται ομαλά reglar σημεία και σε αυτά Μοντέλα Επιφανειών 6-5-

6 μπορούμε να ορίσουμε το εφαπτόμενο επίπεδο προς την επιφάνεια καθώς και το κάθετο. Το μέτρο των διανυσμάτων και τα μοναδιαία διανύσματα ορίζονται από τις σχέσεις : x y + z + x y + z + ˆ ˆ Για την παρίπτωση της σφαίρας το μοναδιαίο διάνυσμα είναι : S S φ φ S S θ θ R s φ cos θ + R sφ cosθ + sφ sθ + cosφk s φ sθ + R R sφ x R + y R + z R k cosφ sφ k grads grads όπου Sr x + y + z - R. Για γωνία φ το μοναδιαίο διάνυσμα είναι μηδέν και εάν δεν είχαμε προβλέψει την τιμή του sφ τότε η παραπάνω παραμετροποίηση δεν θα μπορούσε να υπολογίσει το κάθετο διάνυσμα στους πόλους παρ όλο που αυτό υφίσταται. Η διανυσματική εξίσωση που περιγράφει το εφαπτόμενο επίπεδο Π σε ένα σημείο Ρ της επιφάνειας δίνεται από τη σχέση : Πr. r r όπου r είναι το διάνυσμα θέσης ενός σημείου στο εφαπτόμενο επίπεδο. Για την περίπτωση της σφαίρας και για το σημείο r R R r / 3.5 : / 3.5 και το κάθετο επίπεδο προσδιορίζεται από την εξίσωση : x + y + z 3.5 R 6..3 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Παράλληλα μπορούμε να ορίσουμε και καμπύλες πάνω στην επιφάνεια που δεν είναι ισοπαραμετρικές καμπύλες. Κάθε συνεχής σχέση μεταξύ υ και ν ορίζει μια καμπύλη στην επιφάνεια r r ν. Θέτοντας t ν νt ή t t νt T Μοντέλα Επιφανειών 6-6-

7 Το εφαπτόμενο διάνυσμα σε καμπύλη πάνω στην επιφάνεια δίνεται από τη σχέση : r& r & + r & A& όπου Α r r και η τελεία συμβολίζει την παράγωγο ως προς t. Το μήκος του εφαπτόμενου διανύσματος δίνεται από τη σχέση : s T T T T r& r& r& & A A& & G& όπου G A T r r A r r r r r r Ο συμμετρικός πίνακας G ονομάζεται πρώτος βασικός πίνακας ή πρώτη βασική μορφή της επιφάνειας frst fdaetal atrx or frst fdaetal for και χρησιμοποιείται στον υπολογισμό διαφόρων μετρικών μεγεθών μιας επιφάνειας όπως 1. Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα κατά μήκος μιας καμπύλης t είναι : T A& / & T G & 1/. Το μήκος τμήματος καμπύλης μεταξύ < t < t 1 είναι : t1 s & t T G& 1/ dt 3. Η γωνία τομής δύο καμπυλών 1 t t : cosθ & & T { 1/ T & G& & G& 1/ } T 1 G / Το εμβαδόν μιας κλειστής περιοχής επιφάνειας που αντιστοιχεί στο πεδίο R στο επίπεδο ν είναι : S G R 1/ dd Για να υπάρχει το εφαπτόμενο μοναδιαίο διάνυσμα σε μια καμπύλη σε όλα τα σημεία της επιφανείας πρέπει & και r x r Η δεύτερη συνθήκη επίσης εξασφαλίζει και την ύπαρξη εφαπτόμενου επίπεδου στην επιφάνεια στο σημείο αυτό. Αστοχία της πρώτης συνθήκης σημαίνει ότι η καμπύλη στην επιφάνεια έχει μια ασυνέχεια στην εφαπτόμενη διεύθυνση. Αστοχία της δεύτερης συνθήκης οφείλεται στο ότι μία από τις παραγώγους είναι μηδέν ασυνέχεια στην εφαπτομένη σε σημείο της μιας ισοπαραμετρικής που σημαίνει ότι η επιφάνεια έχει κάποιο csp ή rdge ή στο ότι οι δύο ισοπαραμετρικές καμπύλες είναι παράλληλες στο σημείο αυτό. Συνεπώς η Μοντέλα Επιφανειών 6-7-

8 Μοντέλα Επιφανειών 6-8- αδυναμία καθορισμού του εφαπτόμενου διανύσματος σε μια καμπύλη πάνω στην επιφάνεια οφείλεται 1 σε ένα kk πάνω στην ίδια την καμπύλη σε ένα csp ή rdge στην επιφάνεια 3 σε άσχημη επιλογή παραμετροποίησης ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΡΕΨΗΣ Το διάνυσμα στρέψης μετράει τη στρέψη της επιφάνειας σε ένα σημείο. Ορίζεται από το ρυθμό αλλαγής του εφαπτόμενου διανύσματος ως προς το ή του διανύσματος ως προς την κατεύθυνση σχ.6.4. Συνεπώς ορίζεται από τη διπλή παράγωγο της καμπύλης ως προς τις δύο κατευθύνσεις. Οι αντίστοιχες εξισώσεις είναι: Lt Δ Δ Δ Lt Δ Δ Δ και σε καρτεσιανές συντεταγμένες ορίζεται ως : k z y x z y x T ˆ ˆ ˆ + + ax ax Το διάνυσμα στρέψης εξαρτάται από γεωμετρικά χαρακτηριστικά της επιφάνειας και από την παραμετροποίησή της και η γεωμετρική ερμηνεία του διαμύσματος δεν είναι εύκολη. Σχ.6.4. Γεωμετρική αναπαράσταση διανύσματος στρέψης ΚΑΘΕΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια σε ένα σημείο είναι το διάνυσμα που είναι κάθετο προς τα δύο εφαπτόμενα διανύσματα της επιφάνειας στο σημείο αυτό. Συνεπώς

9 ορίζεται από το εξωτερικό γινόμενο των δύο εφαπτόμενων διανυσμάτων σχ.6.5. : N x x και το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα δίνεται από τη σχέση : N ˆ N x x Σχ.6.5. Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια 6..6 ΣΥΣΤΗΜΑ FRENET-SERRET ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ - ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ Κάθε καμπύλη πάνω σε μια επιφάνεια έχει ένα μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα Τ σε όλα τα μη ιδιαίτερα σημεία. Ορίζουμε το τοπικό σύστημα συντεταγμένων βασιζόμενοι στο κάθετο διάνυσμα η προς την επιφάνεια και όχι στο κάθετο προς την καμπύλη διάνυσμα Ν. Το τρίτο διάνυσμα b είναι κάθετο στα δύο προηγούμενα Τ και η. Συνεπώς σε σχέση με το σύστημα Freet-Serret για τις καμπύλες τα δύο συστήματα συντεταγμένων έχουν κοινό διάνυσμα Τ και το ένα προέρχεται από το άλλο με απλή περιστροφή σχ.6.6 κατά μια γωνία φ γωνία μεταξύ η και Ν με Θετική φορά την CW κοιτάζοντας κατά τη διεύθυνση του Τ. Συνεπώς εάν F είναι το σύστημα της καμπύλης και f της επιφάνειας τότε : F Φ F όπου Φ ο πίνακας περιστροφής. Διαφορίζοντας την παραπάνω σχέση παίρνουμε : d dt T b e e g e g o g e T og b Μοντέλα Επιφανειών 6-9-

10 όπου κ g κ sφ γεωδαιτική καμπυλότητα - geodesc cratre κ η κ cosφ κάθετη καμπυλότητα - oral cratre τ g φ' + τ γεωδαιτική στρέψη - geodesc torso Σχ.6.6. Σχέση μεταξύ συστημάτων Freet και επιφάνειας σε σημείο καμπύλης πάνω στην επιφάνεια. Η γεωδαιτική καμπυλότητα είναι η καμπυλότητα της κάθετης προβολής της καμπύλης πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια και είναι ιδιότητα της καμπύλης μόνο. Η κάθετη καμπυλότητα είναι η καμπυλότητα της κάθετης προβολής της καμπύλης πάνω στην επιφάνεια που περιέχει το εφαπτόμενο και το κάθετο διάνυσμα. Η τιμή της εξαρτάται από την επιφάνεια και είναι η ίδια για όλες τις καμπύλες που περνούν από το σημείο αυτό. Η γεωδαιτική στρέψη αποτελείται από δύο τμήματα τη στρέψη της καμπύλης τ που εξαρτάται μόνο από την καμπύλη και την ταχύτητα με την οποία το σύστημα f περιστρέφεται σε σχέση με το σύστημα F και εξαρτάται από την επιφάνεια. Σε σχέση με τα παραπάνω μεγέθη ορίζονται τρία είδη καμπυλών σε μια επιφάνεια : Γεωδαιτικές καμπύλες κ g σε όλο το μήκος της καμπύλης ευθεία γραμμή ή φ και τ g τ. Σε κάθε σημείο της επιφάνειας και σε οποιαδήποτε εφαπτόμενη διεύθυνση της επιφανείας υπάρχει μια γεωδαιτική καμπύλη. Το γεωδαιτικό τμήμα καμπύλης που ενώνει δύο σημεία στην επιφάνεια έχει ακραίο μήκος μέγιστο ή ελάχιστο και η ιδιότητα αυτή έχει πολλές εφαρμογές πχ. κατεργασία επιφανειών. Ασυμπτωτικές καμπύλες κ η σε όλο το μήκος τους οι οποίες δεν είναι τόσο συνήθεις όπως οι γεωδαιτικές και δεν έχουν κάποια ιδιαίτερη σημασία. Γραμμές καμπυλότητας τ g σε όλο το μήκος τους ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ - ΔΕΥΤΕΡΗ ΒΑΣΙΚΗ ΣΧΕΣΗ Παίρνοντας την παράγωγο της εξίσωσης την με το μέγεθος μας δίνει : r& r & + r & A& και πολλαπλασιάζοντάς s& kn & T D& Μοντέλα Επιφανειών 6-1-

11 όπου r D r r r ο πίνακας D ονομάζεται δεύτερη βασική σχέση στην επιφάνεια. Στις περιπτώσεις που r r ο πίνακας είναι συμμετρικός. Ορίζουμε σε ένα σημείο της επιφάνειας το επίπεδο από τα διανύσματα : κάθετο διάνυσμα προς την επιφάνεια και Τ εφαπτόμενο διάνυσμα στην επιφάνεια. Η καμπυλότητα της καμπύλης που προέρχεται από την τομή του επιπέδου αυτού με την επιφάνεια ονομάζεται κάθετη καμπυλότητα k. Η καμπύλη αυτή έχει το κάθετο διάνυσμα Ν παράλληλο προς την κάθετο προς την επιφάνεια η. Συνεπώς : k T T T & D& / s& & D& / & G& Με τον ορισμό αυτό η κάθετη καμπυλότητα είναι θετική στις καμπύλες που είναι κοίλες προς την κατεύθυνση του κάθετου διανύσματος προς την επιφάνεια. Εάν το εφαπτόμενο διάνυσμα Τ περιστραφεί 36 γύρω από το η καμπυλότητα κ η αποκτά δύο μέγιστες και δύο ελάχιστες τιμές. Οι κατευθύνσεις της μέγιστης και ελάχιστης τιμής είναι κάθετες μεταξύ τους ονομάζονται κύριες κατευθύνσεις της κάθετης καμπυλότητας και οι αντίστοιχες τιμές ονομάζονται κύριες καμπυλότητες. Εάν οι κύριες καμπυλότητες ενός σημείου είναι κ 1 και κ τότε η κάθετη καμπυλότητα σε κατεύθυνση Θ ως στο εφαπτόμενο επίπεδο ως προς την κ 1 δίνεται από τη σχέση : k E' k cos E' + k s 1 E ' Η γεωδαιτική στρέψη της καμπύλης που διέρχεται από το παραπάνω σημείο είναι : τ g Ρ k k 1 sρ cos Δύο τιμές καμπυλότητας που χρησιμοποιούνται για τη διάγνωση των επιφανειών είναι η μέση καμπυλότητα Μ το άθροισμα των τιμών κύριας καμπυλότητας και η Gasa καμπυλότητα Κ το γινόμενο τους. Η δεύτερη είναι πιο σημαντική επειδή η τιμή της μας δίνει ορισμένες χρήσιμες πληροφορίες. Εάν είναι θετική τότε και οι δύο καμπυλότητες είναι προς την ίδια κατεύθυνση δηλαδή και οι δύο είναι κυρτές ή κοίλες. Αντίθετα εάν είναι αρνητική τότε η επιφάνεια στο σημείο αυτό σχηματίζει μια ιδιομορφία saddle. Η καμπύλη πάνω σε μια επιφάνεια της οποίας κάθε σημείο έχει ως εφαπτομένη μια από τις κύριες κατευθύνσεις ονομάζεται γραμμή καμπυλότητας και είναι η ίδια με την καμπύλη με μηδενική γεωδαιτική στρέψη. Μοντέλα Επιφανειών 6-11-

12 6.3 ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Στα πρώτα συστήματα ως αναλυτικές επιφάνειες ή απλά επιφανειακά μπαλώματα ορίζονται η επίπεδη επιφάνεια η γραμμική επιφάνεια η επιφάνεια εκ περιστροφής και ο τμηματικός κύλινδρος. Στα σύγχρονα συστήματα όπου όλα τα γεωμετρικά στοιχεία αναπαρίστανται με ρητά τμήματα δεν υφίσταται ανάγκη να χρησιμοποιούμε ιδιαίτερο ορισμό για αυτά τα στοιχεία ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Η παραμετρική εξίσωση του επιπέδου εξαρτάται και από τον τρόπο ορισμού του. Στο σχ. 6.7 το επίπεδο ορίζεται από τα τρία σημεία Ρ 1 Ρ και Ρ 3 που ορίζονται από τα δινύσματα r 1 r και r 3. Ορίζοντας ότι το Ρ 1 αντιστοιχεί σε τιμές παραμέτρου και τα διανύσματα - 1 και 3-1 τις διευθύνσεις και τότε η παραμετρική εξίσωση της επιφάνειας είναι: r ν r 1 + r + r 3 όπου 1 1. Σχ.6.7. Παραμετρική περιγραφή επιπέδου από τρία σημεία Ρ 1 Ρ και Ρ 3. Τα εφαπτόμενα διανύσματα είναι: - 1 και 3-1. Γραμμές με σταθερό ισοπαραμετρική ως προς είναι παράλληλες προς Ρ 1 Ρ 3 και με σταθερό ν ισοπαραμετρικές ως προς παράλληλες προς Ρ 1 Ρ. Το κάθετο διάνυσμα υπολογίζεται από το εξωτερικό γινόμενο δυο διαφορετικών διανυσμάτων που βρίσκονται πάνω στο επίπεδο πχ. από το Ρ 1 στο Ρ και από το Ρ 1 στο Ρ 3 δηλαδή τα r - r 1 και r 3 r 1. Το κάθετο διάνυσμα είναι : r r 1 x r 3 r 1 Μοντέλα Επιφανειών 6-1-

13 6.3. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Δημιουργείται μεταξύ σε δύο καμπύλων στο χώρο G και Q που ονομάζονται και τροχιές ενώνοντας αντίστοιχα σημεία των δύο καμπύλων δηλ. σημεία που ορίζονται από την ίδια τιμή του και για τις δύο καμπύλες με ευθύγραμμα τμήματα γενέτειρες σχ.6.8. Το χαρακτηριστικό τους είναι ότι από κάθε σημείο της επιφάνειας περνάει μια ευθεία γραμμή που ανήκει εξ ολοκλήρου στην γραμμική επιφάνεια και ότι κάθε αναπτυσσόμενη επιφάνεια είναι μια γραμμική επιφάνεια. Ο κύλινδρος ο κώνος και το επίπεδο είναι γραμμικές επιφάνειες. Η εξίσωση της ευθείας που ενώνει δύο αντίστοιχα σημεία τα G ί G ί και Q ί Q δίνεται από τη σχέση: Ρ G +νq - G όπου ν είναι η παράμετρος ορισμού του ευθύγραμμου τμήματος. Συνεπώς η εξίσωση της επιφάνειας είναι : G + [Q G] 1 G + Q 1 1 Σχ.6.8. Παραμετρική αναπαράσταση γραμμικής επιφάνειας. Οι ισοπαραμετρικές καμπύλες για σταθερό είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν αντίστοιχα σημεία ενώ οι ισοπαραμετρικές καμπύλες για σταθερό δίνει καμπύλες στην κατεύθυνση που είναι γραμμικές μείξεις των τροχιών. Για κοντά στο η καμπύλη προσεγγίζει την G ενώ για κοντά στο 1 η καμπύλη προσεγγίζει την Q ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ Δημιουργείται από την περιστροφή μιας επίπεδης καμπύλης γύρω από ένα άξονα περιστροφής κατά γωνία ν < ν 36. Κάθε σημείο της καμπύλης διαγράφει τμήμα Μοντέλα Επιφανειών 6-13-

14 κύκλου ακτίνας r z σχ.6.9. Η καμπύλη που περιστρέφεται ονομάζεται προφίλ οι κύκλοι που διαγράφονται ονομάζονται παράλληλοι και οι διάφορες θέσεις που παίρνει η καμπύλη ονομάζονται μεσημβρινοί. Η επίπεδη καμπύλη και ο άξονας περιστροφής σχηματίζουν το επίπεδο εκκίνησης ν. Για τον ορισμό της εξίσωσης της επιφάνειας ορίζεται το τοπικό σύστημα συντεταγμένων Χ L Υ L Ζ L σχ.6.9. Ο άξονας Z L συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής ο άξονας X L ορίζεται κάθετος προς το επίπεδο που ορίζουν η καμπύλη περιστροφής και ο άξονας περιστροφής. Συνεπώς ο Y L ορίζεται κάθετος στους δύο άλλους άξονες. Κατά μήκος αυτών ορίζονται και τα τρία μοναδιαία διανύσματα 1 3. 'Ένα σημείο G Ρ στο προφίλ σε απόσταση r z από τον άξονα περιστροφής περιστρέφεται κατά γωνία ν γύρω από τον άξονα Ζ L όταν το προφίλ περιστρέφεται κατά την ίδια γωνία τότε : z cosˆ 1 + rz s ˆ + zl ˆ3 r 1 π Αντιστοιχώντας z L για κάθε σημείο στο προφίλ η παραπάνω εξίσωση μας δίνει τις τοπικές συντεταγμένες x L y L z L του σημείου Ρ ν ως [r z cos r z s ]. Συνεπώς οι τοπικές αυτές συντεταγμένες μετατρέπονται στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων από την αντίστροφή σχέση σχ.6.9. Στη βάση δεδομένων μιας επιφάνειας εκ περιστροφής καταχωρείται το προφίλ o άξονας περιστροφής και η αρχική και τελική γωνία περιστροφής. Κατά την εμφάνιση της στην οθόνη ως πλέγμα x το διάστημα διαιρείται σε -1 ίσα διαστήματα και το διάστημα ν σε η-1 διαστήματα αντίστοιχα. Σχ.6.9. Παραμετρική αναπαράσταση επιφάνειας εκ περιστροφής ΤΜΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ TABULATED CYLlNDER Δημιουργείται από την μετατόπιση μιας επίπεδης καμπύλης κατά μια ορισμένη Μοντέλα Επιφανειών 6-14-

15 κατεύθυνση ή αντίστοιχα από την μετακίνηση ενός ευθυγράμμου τμήματος γεννήτρια - geeratrx κατά μήκος μιας επίπεδης καμπύλης κατεύθυνση - drectrx σχ.6.1. Το ευθύγραμμα τμήμα παραμένει παράλληλο προς ένα ορισμένο διάνυσμα κατεύθυνσης που ορίζει την διεύθυνση. Εάν G είναι η επίπεδη καμπύλη τότε το διάνυσμα θέσης κάθε σημείου στην επιφάνεια δίνεται από τη σχέση : G + ˆ ax ν ax Στη βάση δεδομένων του τμηματικού κυλίνδρου καταχωρείται η επίπεδη καμπύλη το μοναδιαίο διάνυσμα ˆ και το κάτω και άνω όριο του κυλίνδρου. Σχ.6.1. Παραμετρική αναπαράσταση τμηματικού κυλίνδρου. Μοντέλα Επιφανειών 6-15-

16 6.4 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Παραμετρικές επιφάνειες ορίζονται με δύο τρόπους. Από πλέγμα σημείων στο χώρο όπου για το κάθε ένα δίνονται οι συντεταγμένες τα εφαπτόμενα διανύσματα και τα διανύσματα στρέψης. Από σειρά καμπυλών στο χώρο που ανήκουν στις επιφάνειες. Για κάθε καμπύλη δίνεται η θέση της οι κλίσεις και τα κάθετα διανύσματα. Το αποτέλεσμα είναι μια σύνθετη επιφάνεια που παρεμβάλλει ή προσεγγίζει τα δεδομένα αυτά. Κάθε σύνθετη επιφάνεια ορίζεται από ένα αριθμό από "μπαλώματα" patches. Το κάθε μπάλωμα είναι συνήθως τετράπλευρο και ορίζεται σε ένα ορθογώνιο πεδίο ορισμού -ν χώρο όπου 1 και ν 1. Εάν η επιφάνεια ορίζεται από πλέγμα σημείων και πρέπει να παρεμβάλλει όλα τα σημεία τότε απαιτείται να έχουμε τον ίδιο αριθμό σημείων σε κάθε σειρά τετράγωνος πίνακας ορισμού σημείων. Για να ορίσουμε την επιφάνεια ορίζουμε πρώτα τις καμπύλες που παρεμβάλουν τα σημεία κατά τη μία διεύθυνση παρεμβάλουμε καμπύλη σε κάθε σειρά σημείων και στη συνέχεια παρεμβάλουμε πάνω από τις νέες καμπύλες ή τα σημεία ελέγχου που τις ορίζουν την τελική επιφάνεια σχ O ορισμός αυτός είναι συμμετρικός ως προς την αλλαγή σειράς ορισμού καμπυλών και παρεμβολής. Η παρεμβολή ή προσέγγιση μεταξύ των καμπυλών γίνεται μεταξύ αντίστοιχων σημείων. Συνεπώς οι καμπύλες προς την μία κατεύθυνση ορίζονται στο ίδιο πεδίο ορισμού όλες πχ. και σημεία με την ίδια τιμή του ορίζουν τις νέες καμπύλες προς την άλλη κατεύθυνση πχ. ν. Α Β Γ Σχ Σημεία κατανεμημένα α ομοιόμορφα β ημι - ομοιόμορφα γ ανομοιόμορφα. Μοντέλα Επιφανειών 6-16-

17 α β δ γ Σχ.6.1. Προσαρμογή επιφάνειας σε πλέγμα σημείων α Fergsso σε ομοιόμορφα κατανεμημένα β Fergsso σε ανομοιόμορφα κατανεμημένα γ Ανομοιόμορφη ΒSple σε ανομοιόμορφα κατανεμημένα δ G 1 -Bezer σε ανομοιόμορφα κατανεμημένα. Το είδος της επιφάνειας που προκύπτει εξαρτάται από την κατανομή των σημείων ομοιόμορφα ή ανομοιόμορφα κατανεμημένα και τη μεθοδολογία που ακολουθεί το κάθε σύστημα σχ.6.1. Τα επιμέρους μπαλώματα που δημιουργούνται μπορεί να είναι : Μπαλώματα Herte Μπαλώματα Bezer Μπαλώματα Β-Sples ομοιόμορφα και ανομοιόμορφα πολυωνυμικά ή ρητά NURBS Κατά την παρεμβολή επιφάνειας από μια σειρά από καμπύλες στο χώρο έχουμε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση οι καμπύλες τέμνονται μεταξύ τους και σχηματίζουν μια σειρά από τετράπλευρα στο χώρο. Το αποτέλεσμα είναι απλές γραμμικές επιφάνειες που παρεμβάλουν απέναντι καμπύλες ή σύνθετα μπαλώματα Coos για τις διαφορετικές οριακές συνθήκες. Στη δεύτερη περίπτωση οι καμπύλες αποτελούν διατομές της τελικής επιφάνειας στο χώρο και μπορεί να είναι επίπεδες διατομές ή τρισδιάστατες διατομές. Στην περίπτωση αυτή απαιτείται όλες οι καμπύλες να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά δηλ. για Β- Sples να έχουν κοινό διάνυσμα κόμβων βαθμό και σημεία ελέγχου. Εάν δεν ισχύει αυτό τότε πρώτα γίνεται αναδιαμόρφωση των καμπυλών και στην συνέχεια προχωρούμε στην δημιουργία του μπαλώματος. H λειτουργία προσαρμογής επιφάνειας από καμπύλες στο χώρο ονομάζεται skg ή loftg. Μοντέλα Επιφανειών 6-17-

18 6.4. ΔΙΚΥΒΙΚΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ Οι παράμετροι ορισμού του μπαλώματος και ν είναι μέχρι τρίτου βαθμού με συνέπεια να υπάρχουν δεκαέξι πιθανοί συνδυασμοί των δυνάμεων 3 για τις δύο παραμέτρους με συνέπεια να απαιτούνται 16 διανυσματικοί συντελεστές a 1 3. Η πιο άμεση εξίσωση του δικυβικού επιφανειακού μπαλώματος είναι : ν α 11 + α 1 ν + α 13 + α 14 ν 3 + α 1 + α ν + a 3 + α 4 ν 3 + α 31 + α 3 ν + a 33 + α 34 ν 3 + α 41 + α 4 ν + a 43 + α 44 ν 3 3 ή σε μορφή πολλαπλασιασμού πινάκων : UAV 3 [ 1 ][ a ] r 1 3 όπου [a ] 1 3 είναι ο 4 Χ 4 πίνακας των διανυσματικών συντελεστών. Όπως και στην περίπτωση των καμπύλων επιλέγουμε διαφορετικές βασικές συναρτήσεις μείξης από τις πιο πάνω απλές για να δώσουμε γεωμετρική σημασία στους διανυσματικούς συντελεστές. Η αλλαγή των βασικών συναρτήσεων γίνεται με ένα κατάλληλο βασικό πίνακα μετασχηματισμού M που συνδέει τις νέες βασικές συναρτήσεις με τις απλές. Συνεπώς η γενικευμένη μορφή ενός δικυβικού μπαλώματος είναι : r ν UMAM T V T όπου: Μ είναι ο βασικός πίνακας που ορίζεται για κάθε είδος μπαλώματος U [ 1 υ υ 3 ] V [ 1 ν ν ν 3 ] οι απλές συναρτήσεις μείξης και Α είναι ο νέος πίνακας των διανυσματικών συντελεστών. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε ορισμένα είδη μπαλωμάτων και θα δούμε τον ορισμό των νέων διανυσματικών συντελεστών. Μοντέλα Επιφανειών 6-18-

19 6.4.3 HERMITE ΔΙΚΥΒΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Για τον ορισμό αυτού του μπαλώματος sx.6.13 απαιτούνται. τα τέσσερα ακραία σημεία του πλέγματος 1 1 και 11 δηλαδή τα 4 διανύσματα θέσης των άκρων τα 8 εφαπτόμενα διανύσματα στα άκρα κατά και κατά και τα 4 διανύσματα στρέψης στα άκρα Σχ Herte δικυβικό επιφανειακό μπάλωμα. Η τελική μορφή της εξίσωσης είναι : T T U [ M ][ B][ M ] V 1 ν 1 H H όπου ο πίνακας [Μ Η ] είναι ίδιος με τις καμπύλες Fergso και : [ B ] [ B] [ ] [ ] [ ] [ ] όπου [Ρ] [Ρ ] [Ρ ν ] και [Ρ ν ] είναι οι μερικοί πίνακες για τα ακραία σημεία εφαπτόμενα διανύσματα και διανύσματα στρέψης σε αυτά αντίστοιχα και U [ 3 1] T V [ 3 1] T Τα εφαπτόμενα διανύσματα σε κάθε σημείο της επιφάνειας είναι : T U [ M H ] [ B][ M H ] T V Μοντέλα Επιφανειών 6-19-

20 T U [ M H ][ B][ M H ] T V T U [ M H ] [ B][ M H ] T V όπου οι πίνακες [Μ Η ] U και [Μ Η ] V είναι όπως και στις καμπύλες. Αντικαθιστώντας τους πίνακες στην παραπάνω εξίσωση και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε την παρακάτω σχέση για το δικυβικό μπάλωμα. [ F F F F ] F1 11 F 1 F3 11 F4 Όπου οι συναρτήσεις μείξης F 1 F F 3 F 4 είναι ίδιες με τις συναρτήσεις μείξης των καμπύλων Fergso και ορίζονται ως: F 1 x x 3 3x +1 F x -x 3 + 3x F 3 x x 3 x + x F 4 x x 3 - x Η παραπάνω εξίσωση της επιφάνειας είναι μια επέκταση της εξίσωσης της καμπύλης σε δύο διαστάσεις. Αντικαθιστώντας και 1 στη εξίσωση παίρνουμε τις δύο ακραίες καμπύλες την κάτω και την επάνω αντίστοιχα στο σχ.6.13 ενώ για και 1 παίρνουμε την αριστερή και τη δεξιά οριακή καμπύλη. Και oι τέσσερεις οριακές καμπύλες είναι καμπύλες Fergso. Τα διανύσματα στρέψης είναι δύσκολο να υπολογιστούν και επίσης η επίδρασή τους στην μορφή της καμπύλης δεν εξηγείται εύκολα. Μια απλή λύση είναι να μηδενιστούν οπότε έχουμε ένα μπάλωμα Fergso. Το αποτέλεσμα είναι η επιφάνεια να παρουσιάζεται ως επίπεδος. Μοντέλα Επιφανειών 6--

21 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ BEZIER Αποτελεί μια επέκταση της καμπύλης Bezer στις δύο παραμετρικές κατευθύνσεις και ν. Μια σειρά σημείων που σχηματίζουν το πολύεδρο ελέγχου ορίζουν το επιφανειακό μπάλωμα κατά Bezer σχ Σχ Επιφανειακό μπάλωμα Bezer 4x5. Η εξίσωση της επιφάνειας είναι : B B 1 ν 1 όπου Ρ ν είναι ένα σημείο στην επιφάνεια και είναι τα σημεία ελέγχου. Τα σημεία ελέγχου αποτελούν τις κορυφές του πολύεδρου ελέγχου ή χαρακτηριστικού πολύεδρου και τοποθετούνται σε ένα ορθογώνιο πίνακα η+1 x +1. Τα γινόμενα Β l B ν είναι τα πολυώνυμα Berste και στο σχ.6.15 φαίνεται ο τρόπος ορισμού των. Στο σχ φαίνεται το μπάλωμα Bezer δευτέρου Χ τρίτου βαθμού. Τα χαρακτηριστικά των επιφανειών Bezer είναι αντίστοιχα με αυτά των καμπυλών. περνάει από τα τέσσερα ακραία σημεία ν Μοντέλα Επιφανειών 6-1-

22 Σχ Ο ορισμός των βασικών συναρτήσεων μείξης B Β 13 ν. Σχ Το πολύγωνο ελέγχου και το μπάλωμα Bezer βαθμού Χ3. εφάπτεται στα ακραία τμήματα του πολύεδρου. Τα εφαπτόμενα διανύσματα είναι: Ρ Ρ 1 - Ρ Ρ η Ρ - Ρ η-1 για την ακμή ν Ρ 1 - Ρ η-1 για την ακμή ν 1 Ρ ν Ρ 1 - Ρ Ρ -1 για την ακμή Ρ ν Ρ 1 - Ρ - Ρ -1 για την ακμή 1 ισχύει η ιδιότητα του κλειστού περιβλήματος κυρτό πολύεδρο Μεταβάλλουμε τη μορφή της επιφάνειας από τα σημεία ελέγχου αλλαγή Θέσης ή πολλαπλά σημεία Δημιουργούμε κλειστή επιφάνεια από κλειστό πολύεδρο ελέγχου ή ταυτόσημα ακραία σημεία σχ Μοντέλα Επιφανειών 6--

23 Σχ Κλειστές επιφάνειες Bezer κατά και κατά ν. το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια υπολογίζεται από τη σχέση : N B Bl B kl Bk k l B l B Bk k l B kl Ισχύει ότι I x kl εάν k και Ι και x kl - ki x. Ο βαθμός της επιφάνειας σε κάθε μία από τις δύο κατευθύνσεις εξαρτάται από τον αριθμό των σημείων ελέγχου σε κάθε κατεύθυνση. Πολλά σημεία ορίζουν επιφάνεια μεγάλου βαθμού. Μπορούμε να χωρίσουμε την επιφάνεια σε επί μέρους τμήματα με συνέχεια C συνέχεια - κοινή οριακή καμπύλη δηλ. κοινό οριακό πολύγωνο ελέγχου σχ.6.18α. C 1 συνέχεια - τα ακραία τμήματα πού τελειώνουν ή αρχίζουν από τα σημεία του κοινού οριακού πολύγωνου ελέγχου να είναι στην ίδια ευθεία συνεπώς πρέπει να έχουν κοινό οριακό επίπεδο σχ.6.18β. Μοντέλα Επιφανειών 6-3-

24 Σχ Σύνθετη επιφάνεια Bezer με α συνέχεια C και β συνέχεια C 1. Ισχύει ο αλγόριθμος De Castela για εύρεση σημείων πάνω στο μπάλωμα γα διαίρεση του μπαλώματος για ανύψωση του βαθμού του προς τη μία ή και τις δύο κατευθύνσεις κλπ. σχ Για να υπολογίσουμε ένα σημείο στην επιφάνεια αρχίζοντας από την κατεύθυνση απαιτούνται : +1+1 / + +1 / υπολογισμοί ενώ αρχίζοντας από την ν κατεύθυνση απαιτούνται : +1+1 / + +1 / υπολογισμοί. Σχ Ο αλγόριθμος DeCastea για μπάλωμα Bezer. Μοντέλα Επιφανειών 6-4-

25 6.4.4 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Β-SLINES Ορίζονται επίσης από ένα πλέγμα σημείων τα σημεία ελέγχου που ορίζουν το πολύεδρο ελέγχου. Η επιφάνεια προσεγγίζει τα σημεία αυτά κορυφές πολύεδρου και μεταβάλλοντας τις θέσεις των σημείων ελέγχου μεταβάλουμε και τη μορφή της επιφάνειας. Εάν η επιφάνεια παρεμβάλλει τα σημεία αυτά τότε επιλύουμε το αντίστροφο πρόβλημα και βρίσκουμε τα σημεία ελέγχου σχ.6.. Σχ.6.. Επιφάνεια Β-Sple πού α προσεγγίζει και β παρεμβάλλει πλέγμα σημείων. Η εξίσωση της επιφάνειας πού ορίζεται από η+1x+1 σημεία ελέγχου είναι : N N ax ax k l οι κόμβοι στις διευθύνσεις και ν είναι σταθεροί αλλά όχι ίσοι αναγκαστικά. Τα χαρακτηριστικά των επιφανειών Β-Sples είναι ίδια με των καμπυλών. Σύνθετες επιφάνειες Β-Sples μπορούν να δημιουργηθούν με συνέχεια μεταξύ τους C ή C 1. Το πλεονέκτημα τους είναι ότι επιτρέπουν το τοπικό έλεγχο της επιφάνειας σε αντίθεση με τις επιφάνειες Bezer. Μοντέλα Επιφανειών 6-5-

26 Στο σχ.6.1 φαίνεται ο τρόπος ορισμού του γινομένου των βασικών συναρτήσεων Ν 3 Ν ν που ορίζονται στα διανύσματα κόμβων U 1/41/3/41111 και V1/5/53/53/54/5111. Σχ.6.1. Το γινόμενο των βασικών συναρτήσεων Α Ν 43 Ν 4 ν και Β Ν 43 Ν ν' Ο βαθμός της επιφάνειας είναι ανεξάρτητος από τα σημεία ελέγχου όπως και στις καμπύλες και η συνέχεια στην επιφάνεια διατηρείται από τις ιδιότητες των συναρτήσεων μείξης. Στο σχ.6. φαίνονται δύο επιφάνειες Β-Sple που έχουν ορισθεί από το ίδιο πολύγωνο ελέγχου. Η μία είναι μια δικυβική επιφάνεια ενώ η άλλη είναι μια 4Χ4 βαθμού επιφάνεια. Α Β Σχ.6.. Δύο επιφάνειες Β-Sple που ορίζονται από το ίδιο πολύγωνο ελέγχου Α επιφάνεια βαθμού 3Χ3 Β επιφάνεια βαθμού 4Χ4. Οι επιφάνειες Β-Sple έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και οι αντίστοιχες καμπύλες. Στο σχ.6.3 φαίνεται η ιδιότητα του κυρτού πολύεδρου όπως εφαρμόζεται στις Β-Sple. Μοντέλα Επιφανειών 6-6-

27 Α Β Σχ.6.3. Α Επιφάνεια Β-Sple βαθμού 3Χ Β Η ιδιότητα του κυρτού πολύεδρου. Έχουμε επίσης και δυνατότητα τοπικού ελέγχου της επιφάνειας από την μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου. Το διάστημα που επηρεάζει η μετακίνηση κάθε σημείου ελέγχου εξαρτάται από τον βαθμό της επιφάνειας σχ.6.4. Α Β Σχ.6.4. Α Επίπεδη επιφάνεια Β-Sple βαθμού Χ3 με διανύσματα κόμβων U1/4/43/4111 και V1/5/53/54/51111 Β Μορφή επιφάνειας από την μετακίνηση του σημείου ελέγχου Ρ 35. Επηρεάζεται μόνο η περιοχή [1/41 Χ [/51. Μπορούμε να αποδώσουμε και επιφάνειες με ασυνεχή μορφή όπως και με τις καμπύλες επιλέγοντας το κατάλληλο διάνυσμα κόμβων προς τη μία ή προς την άλλη κατεύθυνση σχ.6.5 ή όταν συμπίπτουν ορισμένα από τα σημεία ελέγχου σχ.6.6. Μοντέλα Επιφανειών 6-7-

28 Σχ.6.5. Επιφάνεια με ασυνέχεια. Βαθμός επιφάνειας Χ3. Διάνυσμα κόμβων U1/1/111 και V1/1111. Σχ.6.6. Επιφάνεια με ασυνέχεια. Βαθμός 3Χ 3. Διανύσματα κόμβων U ¼ 1/ 3/ και V1/1111. Συμπίπτοντα σημεία ελέγχου Ρ 3 4. Μοντέλα Επιφανειών 6-8-

29 6.4.5 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ COONS Με τη μέθοδο αυτή παρεμβάλλουμε μία επιφάνεια από μία σειρά από καμπύλες στο χώρο πού τέμνονται μεταξύ τους και σχηματίζουν ένα κλειστό πολύγωνο σχ.6.7. Οι τέσσερις καμπύλες είναι οι Ρ Ρ1ν Ρ1 Ρν οι παράμετροι και κυμαίνονται από -1 και οι απέναντι καμπύλες έχουν την ίδια παραμετροποίηση. H επιφάνεια αυτή στις οριακές συνθήκες 1 ν και ν1 ορίζει τις αρχικές καμπύλες. Σχ.6.7. Οριακές συνθήκες μπαλώματος Coos. A ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ COONS Δημιουργούμε δύο γραμμικές επιφάνειες από τις απέναντι καμπύλες σχ.6.8 : Προσθέτουμε τις δύο γραμμικές επιφάνειες : 1 + Η επιφάνεια αυτή δεν περνάει από τις οριακές καμπύλες πχ. για ν και 1 : Ρ Ρ + [1 - Ρ + Ρ1] Ρ1 Ρ1 + [1 - Ρ1 + Ρ11] Οι πρόσθετοι όροι στις δύο παραπάνω εξισώσεις ορίζουν τα όρια μιας νέας γραμμικής επιφάνειας της επιφάνειας διόρθωσης : Ρ 3 ν 1 - ν[1 - Ρ+Ρ1] + ν[1 - Ρ1+Ρ11] πού την αφαιρούμε από το διγραμμικό μπάλωμα : Μοντέλα Επιφανειών 6-9-

30 όπου το σύμβολο είναι το άθροισμα Ρ 1 +Ρ -Ρ 3. Σχ.6.8. Διγραμμική επιφάνεια Coos. Η παραπάνω εξίσωση ορίζει τη διγραμμική επιφάνεια Coos και σε μορφή πινάκων η εξίσωση είναι : 1 1 [ 1 1 ] οι συναρτήσεις [ ] και [ ν ν] ονομάζονται συναρτήσεις μείξης. H αριστερή στήλη και η πάνω γραμμή ορίζουν τις δύο γραμμικές επιφάνειες Ρ 1 ν και Ρ ν ενώ το κάτω δεξιό τμήμα την επιφάνεια 3 ν. Το μειονέκτημα της διγραμμικής παρεμβολής είναι ότι παρέχει συνέχεια C μόνο ακόμα και όταν οι οριακές καμπύλες δημιουργούν ένα πλέγμα με συνέχεια C 1 επειδή τα διανύσματα Ρ 1ν και Ρ ν δεν είναι ίσα σχ.6.9. Μοντέλα Επιφανειών 6-3-

31 Σχ.6.9. Οριακά διανύσματα μεταξύ γειτονικών μπαλωμάτων. B ΔIKYBIKH ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ COONS. Για συνέχεια πρώτου βαθμού αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις μείξης 1 - και με τα κυβικά πολυώνυμα Herte. F 1 x x 3 3x +1 F x -x 3 + 3x Η εξίσωση των δύο επιφανειακών μπαλωμάτων είναι : Ρ 1 ν Ρν Ρ1ν Ρ ν 3-3ν + 1Ρ+-ν 3 + 3ν Ρ1 Η τελική εξίσωση της επιφάνειας είναι : [ 1 F F ] F 1 11 F Για να έχουμε συνέχεια C και C 1 πρέπει να ισχύει : [ν] patch [Ρ1ν] patch1 [Ρν] patch [Ρ1ν] patch1 Η πρώτη σχέση ισχύει επειδή τα δύο μπαλώματα έχουν κοινή ακμή. Παραγοντοποίηση της εξίσωσης του μπαλώματος μας δίνει : Ρ ν F 1 νρ + F νρ 1 και στα όρια έχουμε : [Ρ ν] patch F 1 + F Ρ 1 και [Ρ ν] patch1 F F Ρ 11 Συνεπώς έχουμε συνέχεια C 1 συνέχεια. εάν οι οριακές καμπύλες έχουν την αντίστοιχη C : ΚΥΒΙΚΗ HERMITE ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Δημιουργείται όταν εκτός από τις οριακές καμπύλες δίνονται και οι πρώτοι παράγωγοι Μοντέλα Επιφανειών 6-31-

32 Ρ ν Ρ 1ν Ρ και Ρ 1. Οι αντίστοιχες εξισώσεις διαμορφώνονται ως εξής. Για τα δύο κυβικά μπαλώματα Herte : Ρ 1 ν F 1 Ρν + F Ρ1ν + F 3 Ρ ν + F 4 Ρ 1ν ν F 1 νρ + F νρ1 + F 3 νρ + F 4 νρ 1 όπου οι συναρτήσεις F 3 ν και F 4 ν δίνονται από τις σχέσεις : F 3 x x 3 x + x F 4 x x 3 - x Το τελικό μπάλωμα που προκύπτει είναι ένα δικυβικο μπάλωμα που περιλαμβάνει και τα διανύσματα στρέψης στις γωνίες του και δίνεται από την εξίσωση : F 1 [ 1 F1 F F3 F4 ] F 1 1 F F 4 Στην εξίσωση αυτή το άνω 3x3 τμήμα του πίνακα ορίζει το μπάλωμα δικυβικής παρεμβολής Coos. Η αριστερή στήλη και η άνω γραμμή του πίνακα ορίζουν τις επιφάνειες Ρ 1 ν Ρ ν αντίστοιχα. Το κάτω 4x4 τμήμα του ορίζει το δικυβική Herte παρεμβολή. Μοντέλα Επιφανειών 6-3-

33 6.4.6 ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΜΠΑΛΩΜΑΤΑ Χρησιμοποιούνται στις περιπτώσεις πού τα σημεία δεν κατανέμονται σε ορθογώνιο πλέγμα τουλάχιστον ένα από τα μπαλώματα. Στα μπαλώματα αυτά χρησιμοποιούνται τρεις παράμετροι ν και ω που ορίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο μοναδιαίου μήκους με πεδίο ορισμού [1] σχ.6.3. Οι συντεταγμένες ν και ω ονομάζονται "βαρυκεντρικές συντεταγμένες" και μεταξύ τους ισχύει η σχέση +ν+ω1 σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους. Σχ.6.3. Αναπαράσταση τριγωνικού μπαλώματος. Τα αντίστοιχα μπαλώματα ορίζονται όπως και τα tesor μπαλώματα. πχ. το μπάλωμα bezer έχει τη μορφή : B k k k όπου k ++k και ο βαθμός της καμπύλης. Τα k είναι τα σημεία ελέγχου και το B k είναι τα πολυώνυμα Berste βαθμού. B. k!!! k! k Ο αριθμός των σημείων ελέγχου που απαιτείται για τον ορισμό τριγωνικού μπαλώματος Bezer βαθμού είναι /. Στο σχ.6.31 φαίνονται δύο τριγωνικά μπαλώματα ένα τρίτου και ένα τετάρτου βαθμού καθώς και η σειρά ορισμού των σημείων ελέγχου που ακολουθεί την αντίστοιχη πυραμίδα που φαίνεται στο σχήμα. Μοντέλα Επιφανειών 6-33-

34 Σχ Τριγωνικά μπαλώματα Bezer. Αντίστοιχα μπορούμε να ορίσουμε και τριγωνικά μπαλώματα Coos. Μοντέλα Επιφανειών 6-34-

35 Μοντέλα Επιφανειών ΡΗΤΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ BEZIER ΚΑΙ B-SLINES. Κατ αντιστοιχία με τις ρητές καμπύλες Bezer και B-Sples ορίζουμε και τις ρητές επιφάνειες. Μια ρητή επιφάνεια Bezer S ορίζεται από την προοπτική προβολή μιας πολυωνυμικής επιφάνειας Bezer τεσσάρων διαστάσεων S. Εξίσωση πολυωνυμικής επιφάνειας: B B S και η εξίσωση της ρητής επιφάνειας: R B B B B S όπου: r s s r s r B B B B R είναι οι ρητές συναρτήσεις που δεν προέρχονται από τον πολλαπλασιασμό άλλων βασικών συναρτήσεων όπως γίνεται στις αντίστοιχες πολυωνυμικές βασικές συναρτήσεις των επιφανειών. Στην επεξεργασία τους χρησιμοποιείται η πολυωνυμική επιφάνεια και προβάλεται το αποτέλεσμα. Στο σχ.6.1α φαίνεται μια ρητή βασική συνάρτηση και στο σχ.6.1β μια ρητή επιφάνεια Bezer δευτέρου x τρίτου βαθμού. Σχ.6.1 α Η βασική συνάρτηση R 1 με 1 5 και όλα τα άλλα βάρη β ρητή επιφάνεια Bezer δευτέρου x τρίτου βαθμού. Εάν > για όλα τα τότε οι ιδιότητες για τις μη ρητές επιφάνειες Bezer ισχύουν και για τις ρητές επιφάνειες Bezer. Πρόσθετα εάν 1 για όλα τα τότε R B B και η τελική επιφάνεια είναι μη ρητή.

36 Η εξίσωση της ρητής επιφάνεια B-Sple σχ.6. βαθμού p στην κατεύθυνση και βαθμού q στην κατεύθυνση περιγράφεται από την εξίσωση: S N p N N p q N q. Σχ.6.. Πλέγμα ελέγχου και παραγόμενες ρητές επιφάνειες. Βάρη σημείων ελέγχου και όλα τα υπόλοιπα μονάδα. Διανύσματα κόμβων UV{ 1/3 / }. a το πλέγμα ελέγχου σημεία ελέγχου β διτετράγωνη ρητή επιφάνεια γ δικυβική επιφάνεια με διανύσματα κόμβων UV{1/ 1111}. Τα σημεία { } είναι τα σημεία ελέγχου τα { } είναι τα βάρη των σημείων ελέγχου και τα {N p και N q } είναι ρητές βασικές συναρτήσεις B-Sple που ορίζονται στα διάνυσμα κόμβων U { p+1 r-p-1 1 1} p+1 τιμές στην αρχή και 1 στο τέλος. V { q+1 s-q-1 1 1} q+1 τιμές στην αρχή και 1 στο τέλος. Όπου r +p+1 και s +q+1 Ορίζοντας την ρητή βασική συνάρτηση από την εξίσωση R N k l p N N k p p N l q η αντίστοιχη εξίσωση της ρητής B-Sple επιφάνειας είναι: k 1 Μοντέλα Επιφανειών 6-36-

37 S R Οι βασικές ιδιότητες των ρητών συναρτήσεων είναι ίδιες με αυτές των απλών συναρτήσεων B-Sple δηλ. Παίρνουν μόνο θετικές τιμές: R για όλα τα. Το άθροισμα όλων των ρητών συναρτήσεων είναι ίσο με την μονάδα: R 1 για όλα τα [1] x [1] Τοπικότητα: R όταν είναι εκτός των τιμών [ +p+1 x [ +q+1 Σε κάθε εύρος τιμών παραμέτρων ορισμού [ +1 x [ +1 τουλάχιστον p+1 x q+1 βασικές συναρτήσεις είναι μη μηδενικές και αυτές είναι οι συναρτήσεις R για p και q Όρια μεταβολής εάν p> και q> τότε η συνάρτηση R παίρνει μόνο μία μέγιστη τιμή R R 1 R 1 R 11 1 Παράγωγοι. Σε κάθε εσωτερικό σημείο του τετράγωνου τιμών που παίρνουν οι παράμετροι και υπάρχουν όλοι οι μερικοί παράγωγοι R. Στις τιμές των και κόμβων ορίζονται οι παράγωγοι p-k q-k τάξης ως προς αντίστοιχα όπου k είναι η πολλαπλότητα του κόμβου. Εάν όλα τα βάρη είναι ίσα a για και a τότε R N p N q για όλα τα. Οι ιδιότητες των ρητών καμπυλών που πηγάζουν από τις ιδιότητες των ρητών συναρτήσεων είναι: Η επιφάνεια παρεμβάλλει τα ακραία σημεία: S S1 S1 S11. Εφαρμόζονται οι όλοι οι μετασχηματισμοί άμεσα. Οι μετασχηματισμοί εφαρμόζονται στα σημεία ελέγχου. Ισχύει η ιδιότητα του κυρτού περιβλήματος και μάλιστα με τοπική εφαρμογή. Εάν για όλα τα τότε για [ +1 x [ +1 το τμήμα της επιφάνειας S περιέχεται στο κυρτό πολύεδρο που ορίζεται από τα σημεία ελέγχου p o και p o. Τοπική μεταβολή. Μετακίνηση του σημείου ή αλλαγή του βάρους επηρεάζει το τμήμα της επιφάνειας που ορίζεται από τις τιμές των παραμέτρων ορισμού [ +p+1 x [ +q+1. Οι απλές επιφάνειες Bezer και B-Sple και οι ρητές Bezer είναι υποσύνολα των ρητών επιφανειών B-Sple. Μοντέλα Επιφανειών 6-37-

38 Παράγωγοι. Οι παράγωγοι της S ορίζονται p-k q-k φορές ως προς στις τιμές του κόμβου πολλαπλότητας k. Μεταβάλουμε τοπικά τη μορφή της επιφάνειας αλλάζοντας τη θέση ή το βάρος του σημείου ελέγχου. Στο σχήμα 6.3 φαίνεται η επίδραση της μεταβολής του βάρους σε μια βασική συνάρτηση και στην τελική επιφάνεια. Αύξηση του βάρους του σημείου ελέγχου έλκει το σημείο S της επιφάνειας πλησιέστερα προς το σημείο ενώ η μείωση του βάρους απωθεί το σημείο της επιφάνειας πιο μακριά από το σημείο ελέγχου. Σχ.6.3. Επίδραση του βάρους σημείου στις βασικές συναρτήσεις και στην επιφάνεια. Διανύσματα κόμβων U{ ¼ ½ ¾ 1111} και V{ 1/5 /5 3/5 3/5 4/5 111}. Βασικές συναρτήσεις 1 για όλα τα 4. α. Η βασική συνάρτηση R 4 για 4 /5 β. Η βασική συνάρτηση R 4 για 4 6 γ επιφάνεια βαθμού 3x για 4 /5 δ επιφάνεια βαθμού 3x για 4 6. Όπως και στην περίπτωση των καμπυλών η κίνηση του σημείου S είναι κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Στο σχήμα 6.4 τα είναι σταθερά και αλλάζει το βάρος. Ορίζουμε τα σημεία: S S ; M S ; 1 Η ευθεία γραμμή που ορίζεται από τα σημεία S και M περνάει από το σημείο και για τυχούσα τιμή του βάρους < < θα βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ S και. Μοντέλα Επιφανειών 6-38-

39 Μοντέλα Επιφανειών Σχ.6.4. Μεταβολή του βάρους του σημείου ελέγχου Ρ. Φαίνεται η ευθεία πάνω στην οποία κινείται σημείο της επιφάνειας. Μπορούμε να ορίσουμε και μια ρητή επιφάνεια B-Sple χρησιμοποιώντας τις ομογενείς συντεταγμένες. Εξίσωση επιφάνειας: q p N N S όπου z y x. Η επιφάνεια S προκύπτει από το γινόμενο βασικών συναρτήσεων και είναι τμηματική πολυωνυμική επιφάνεια στον χώρο των τεσσάρων διαστάσεων. Η S είναι τμηματική ρητή επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο αλλά δεν προκύπτει από γινόμενο βασικών συναρτήσεων. Μπορούμε να ορίσουμε και τις ισοπαραμετρικές καμπύλες πάνω σε μια ρητή επιφάνεια. Ορίζουμε σταθερό το. Q N N N N N S C q p q q p o όπου p N Q Κατ αναλογία παίρνουμε: p Q N C Όπου q N Q Τα C και C είναι q και p βαθμού αντίστοιχα καμπύλες NURBS με διάνυσμα κόμβων το V και U. Το σημείο S βρίσκεται στην τομή των καμπυλών C και C. Η προβολή τους μας δίνει: S C S C

40 Μοντέλα Επιφανειών 6-4-