Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη"

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος ΑΕΜ 0568 Ιανουάριος 006

2

3 Υπεύθυνος καθηγητής Γ. Βουγιατζής 3

4 4

5 Περιεχόμενα. Εισαγωγή...7. Το ύστημα Γη ελήνη...9. Παραδοχές...9. υστήματα υντεταγμένων...9.α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...9.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων....γ Βαθμοί Ελευθερίας....δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων Εξισώσεις Κίνησης...4.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες...4.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...5.3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Ποιοτική Ανάλυση Το Ολοκλήρωμα Jacobi Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας ημεία Ισορροπίας Η Τομή Poincare α Τι Είναι Η Τομή Poincare β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη Περιοδικές Τροχιές Υψηλών Ενεργειών α Τρόπος Εύρεσης Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής β Αποτελέσματα Τροχιές Από Την Γη τη ελήνη Προσέγγιση τη ελήνη Η Μεταβατική Ταχύτητα Παραδείγματα Προσεγγίσεων...56 Παράρτημα...63 Παράρτημα...65 Παράρτημα Βιβλιογραφία...73

6 6

7 . Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό, βασικός παράγοντας που καθορίζει τη δυσκολία στη μελέτη ενός συστήματος αλληλεπιδρώντων σωμάτων, είναι ο αριθμός των σωμάτων που το συνιστούν. Μέχρι σήμερα, αναλυτική λύση έχει βρεθεί για το πρόβλημα δύο αλληλεπιδρώντων, με αμοιβαίες βαρυντικές δυνάμεις, σωμάτων που είναι και το απλούστερο ενώ το πρόβλημα των τριών σωμάτων, που εδώ και αιώνες κεντρίζει το ενδιαφέρoν μεγάλων μαθηματικών και φυσικών, έχει λυθεί μόνον αριθμητικά. Το θέμα της εργασίας αυτής είναι μία απλοποιημένη μορφή του προβλήματος των τριών σωμάτων, που στη διεθνή βιβλιογραφία είναι γνωστό ως Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων. Γίνεται δε εφαρμογή του προβλήματος στο σύστημα Γη ελήνη. την απλουστευμένη αυτή περίπτωση το τρίτο σώμα, η κίνηση του οποίου μελετάται, θεωρείται ότι έχει αμελητέα μάζα σε σχέση με αυτή των άλλων δύο έτσι, ενώ κινείται στο πεδίο τους δεν επηρεάζει την κίνησή τους. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη μελέτη του συστήματος, τα δύο σώματα θα έχουν καθορισμένες τροχιές (που υπαγορεύονται από την μεταξύ τους αλληλεπίδραση), ενώ η κίνηση του τρίτου θα δίνεται από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης του r r r δεύτερου νόμου του Νεύτωνα m γ = F + F (όπου F r και F r οι δυνάμεις που δέχεται το 3 ο σώμα από το ο και το ο αντίστοιχα). Παρά όμως την εισαγωγή της παραδοχής αυτής και αρκετών άλλων που καθιστούν το πρόβλημα αρκετά απλό, η λύση των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης του τρίτου σώματος συνεχίζει να δίνεται αριθμητικά. ε πολλές περιπτώσεις παρουσιάζεται ευαίσθητη εξάρτηση της εξέλιξης των τροχιών από τις αρχικές συνθήκες και εμφανίζεται χάος. Όλα αυτά θα αναπτυχθούν στο κεφάλαιο 3 όπου και γίνεται η ποιοτική μελέτη του προβλήματος για το σύστημα Γης ελήνης. Προηγουμένως όμως, στο κεφάλαιο γίνεται λεπτομερής περιγραφή του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο πεδίο Γης ελήνης ορίζονται το αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή του, όπως και οι μετασχηματισμοί από το ένα σύστημα στο άλλο. Τέλος δίνονται και οι εξισώσεις της κίνησης σύμφωνα με τις οποίες εξελίσσονται οι τροχιές του τρίτου σώματος. Η εισαγωγή στο κεφάλαιο 3 γίνεται με τον ορισμό του ολοκληρώματος Jacobi και την περιγραφή της χρησιμότητάς του στη μελέτη του προβλήματος. Κάνοντας χρήση του ολοκληρώματος αυτού κατασκευάζονται οι ισοδυναμικές καμπύλες του συστήματος για αντιπροσωπευτικές ενέργειες και με τη βοήθεια αυτών βρίσκονται οι περιοχές στις οποίες μπορεί να κινείται το σώμα. τη συνέχεια γίνεται μελέτη των σημείων ισορροπίας, τα οποία έχουν καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση των ισοδυναμικών καμπύλων στις διάφορες ενεργειακές περιοχές. την παράγραφο 3.4 ορίζεται η τομή Poincare έτσι όπως χρησιμοποιείται για την επεξεργασία του προβλήματος και για

8 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χαρακτηριστικές ενέργειες κατασκευάζονται οι τομές Poincare του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο σύστημα Γη ελήνη. Παράλληλα, γίνεται ποιοτική μελέτη των τομών περιγράφεται, δηλαδή, το είδος των τροχιών που αναμένεται στις αντίστοιχες ενέργειες, σε συνάρτηση με τις αρχικές τους συνθήκες. Τέλος, η παράγραφος 3.5 αφιερώνεται σε μία οικογένεια περιοδικών τροχιών που βρέθηκε κατά την κατασκευή των τομών Poincare για υψηλές ενέργειες. το κεφάλαιο 4 γίνεται λεπτομερής ανάλυση τροχιών με αντιπροσωπευτικές ενέργειες. Οι τροχιές αυτές εκκινούν από την γειτονιά της Γης και η πλειοψηφία τους πλησιάζει σε πολύ μικρές αποστάσεις από τη ελήνη έμφαση δίνεται στους χρόνους που το σώμα προσεγγίζει τη ελήνη από τη στιγμή που θα ξεκινήσει την τροχιά του και στην ελάχιστη απόσταση που θα επιτύχει κατά την προσέγγιση. Παρατίθενται δε σχήματα με απεικονίσεις των τροχιών και στα δύο συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία του προβλήματος. Τέλος, οι προσεγγίσεις στη ελήνη αποτελούν αντικείμενο του 5 ου κεφαλαίου. τόχος της ανάλυσης που γίνεται είναι να τεθεί το τρίτο σώμα σε περιστροφική τροχιά γύρω από τη ελήνη τη στιγμή που θα απαιτείται η ελάχιστη δυνατή μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητάς του. Δίνονται σχήματα με την τροχιά του σώματος πριν και μετά την μεταβολή της ταχύτητάς του, όπως και αναλυτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα της επεξεργασίας για κάθε χρονική στιγμή της προσέγγισης. 8

9 . Το ύστημα Γη ελήνη. Παραδοχές Από το σημείο αυτό και έπειτα, όλη η ανάλυση που ακολουθεί αφορά την κίνηση σώματος στο πεδίο του συστήματος Γης ελήνης. Για τη μελέτη του συστήματος αυτού, εισάγονται δύο παραδοχές. Θα θεωρηθεί, λοιπόν, ότι το σύστημα είναι απομονωμένο. Αυτό σημαίνει ότι δεν λαμβάνονται υπόψη οι αλληλεπιδράσεις, των τριών σωμάτων, με το υπόλοιπο ηλιακό σύστημα (ήλιος και πλανήτες), όπως επίσης αγνοούνται και οι σαφώς ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις με τους γειτονικούς γαλαξίες. Η δεύτερη παραδοχή αφορά την κίνηση της ελήνης γύρω από τη Γη. Ενώ λοιπόν είναι γνωστό ότι η κίνηση αυτή είναι σχεδόν ελλειπτική, για τη λύση του προβλήματος θεωρείται ότι Γη και ελήνη περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους σε κυκλικές τροχιές και με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.. υστήματα υντεταγμένων Βασικό ρόλο, στη διευκόλυνση της επεξεργασίας και της κατανόησης ενός φυσικού προβλήματος, έχει η επιλογή του κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Θεωρώντας το σύστημα των σωμάτων απομονωμένο, αδρανειακό σύστημα αναφοράς θα θεωρείται το ακίνητο ως προς το κέντρο μάζας των σωμάτων. Το δε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς θα έχει κέντρο το κέντρο μάζας των σωμάτων και άξονα τετμημένων, τον περιστρεφόμενο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, άξονα που συνδέει τη Γη και τη ελήνη..α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων ε αυτό το σύστημα συντεταγμένων η Γη και η ελήνη κινούνται και επομένως η απεικόνιση της τροχιάς του τρίτου σώματος δεν βοηθάει στην κατανόηση της σχετικής του θέσης με τα δύο άλλα. Παρά το γεγονός αυτό όμως, επειδή η Γη κινείται πολύ κοντά στο κέντρο βάρους, οι ταχύτητες του τρίτου σώματος, ως προς το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, είναι πολύ κοντά σε αυτές που θα μετρούσε ένας παρατηρητής της επιφάνεια της Γης (που όμως δεν ακολουθεί την ιδιοπεριστροφή της). το σχήμα.α φαίνεται η τροχιά ενός σώματος έτσι όπως αυτή αναπαρίσταται στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων. Η μπλε χρώματος

10 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη κουκκίδα κοντά στην αρχή των αξόνων δείχνει τη θέση της Γης, ενώ η μαύρη κουκκίδα τη θέση της ελήνης. χήμα. t = 5.d t =.34d α.β t =.6d γ το χρονικό διάστημα για το οποίο έχει σχεδιαστεί η τροχιά το σώμα περνά σε πολύ μικρή απόσταση από τη ελήνη. Αυτό όμως δε γίνεται αντιληπτό γιατί συνέβη σε μία χρονική στιγμή που η ελήνη δεν ήταν στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Πιο συγκεκριμένα, η τροχιά που έχει σχεδιαστεί είναι διάρκειας 5. ημερών, ενώ το σώμα είχε ελάχιστη απόσταση από την ελήνη. 34 ημέρες περίπου από την εκκίνηση της τροχιάς του. Προφανώς, σε μία απεικόνιση της τροχιάς από την στιγμή της εκκίνησης μέχρι και. 34 ημέρες μετά, η κουκκίδα της ελήνης θα είναι πολύ κοντά στην γραμμή της τροχιάς (σχήμα.β) αλλά μόνο με την συγκεκριμένη απεικόνιση φαίνεται ότι το σώμα πέρασε κοντά από τη ελήνη. Παρερμηνεία της τροχιάς μπορεί επίσης να γίνει και σε μία περίπτωση σαν αυτή του σχήματος.γ, στο οποίο η τροχιά του σώματος τέμνει τη ελήνη και κάποιος μπορεί να θεωρήσει ότι το σώμα προσκρούει σε αυτή. Τη χρονική στιγμή όμως που απεικονίζεται στο σχήμα (. 6 ημέρες μετά την εκκίνηση του σώματος), η ελήνη βρίσκεται σε μία θέση από την οποία έχει ήδη περάσει το σώμα και επομένως δε συμβαίνει σύγκρουση. 0

11 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Όλες αυτές οι δυσκολίες στην κατανόηση μιας τροχιάς μπορούν να ξεπεραστούν με την προβολή της στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτό το σύστημα συντεταγμένων «ακολουθεί» την περιστροφική με σταθερή γωνιακή ταχύτητα κίνηση της Γης και της ελήνης γύρω από το κέντρο μάζας τους με αποτέλεσμα οι περιστρεφόμενες συντεταγμένες τους να παραμένουν πάντα σταθερές. Αυτό βοηθάει κυρίως στην άμεση εποπτεία των αποστάσεων από τις οποίες έχει διέλθει το σώμα σε σχέση με τη ελήνη. Όσον αφορά τις αποστάσεις από την Γη, και αυτές γίνονται άμεσα αντιληπτές, αλλά η διαφορά από το αδρανειακό σύστημα δεν είναι τόσο μεγάλη, αφού και εκεί η Γη παραμένει πολύ κοντά στο κέντρο μάζας και επομένως είναι σχεδόν ακίνητη. το σχήμα. φαίνεται η τροχιά του σχήματος. όπως αυτή αναπαρίσταται στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. χήμα. t = 5.d Παρά το γεγονός ότι έχει σχεδιαστεί η εξέλιξη της τροχιάς μέχρι και 5. ημέρες μετά την εκκίνησή της, φαίνεται ότι το σώμα, μέσα στο χρονικό διάστημα αυτό, πλησίασε κάποια στιγμή αρκετά κοντά στη ελήνη. Όσο μεγάλο και να είναι, λοιπόν, το διάστημα για το οποίο σχεδιάζεται μία τροχιά στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων, δεν χάνεται η πληροφορία μιας ενδεχόμενης προσέγγισης στη ελήνη που συνέβη εντός του διαστήματος αυτού.

12 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη.γ Βαθμοί Ελευθερίας Πέρα από την εποπτική διευκόλυνση που προσφέρει το περιστροφικό σύστημα συντεταγμένων, ο λόγος για τον οποίο ορίζεται είναι για να μειώσει τις παραμέτρους του συστήματος των τριών σωμάτων. χήμα.3 Αρχικά, στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων (βλ. σχήμα.3) χρειάζονται τρία ζεύγη συντεταγμένων για την πλήρη περιγραφή του συστήματος το ( ξ, η Γ Γ ) για τη Γη, το ( ξ, η ) για τη ελήνη και το ( ξ, η ) για το τρίτο σώμα. Η Γη και η ελήνη όμως, περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, και επομένως εισάγονται δύο σκληρόνομοι δεσμοί που περιγράφονται από τις εξισώσεις ξ η Γ Γ = r Γ = r Γ cosωt sinωt ή ξ η = r = r cosωt sinωt (.) και οι παράμετροι του συστήματος μειώνονται σε τέσσερις. Ένας ακόμη δεσμός είναι αυτός που περιγράφεται στην δεύτερη παραδοχή της παραγράφου., ο ω = σταθ. Τέλος, η απόσταση Γης ελήνης είναι γνωστή (τέταρτος δεσμός) επομένως, ένα από τα δύο ζεύγη εξισώσεων (.) μαζί με τις εξισώσεις m m Γ Γ ξ η Γ Γ + m + m ξ η = = ( m Γ + m ) ξ Κ ( m Γ + m ) ηκ (.) θα δίνει τις συντεταγμένες της Γης και της ελήνης. Δηλαδή, οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος μειώνονται στους δύο και αυτό που απομένει είναι η επιλογή των γενικευμένων συντεταγμένων που θα ξ, η για το περιγράφουν τη θέση του τρίτου σώματος. Αυτές θα είναι οι ( ) αδρανειακό ή οι ( x, y) για το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Η

13 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη διαφορά είναι ότι στην περίπτωση του αδρανειακού συστήματος συντεταγμένων, πέρα της θέσης του τρίτου σώματος θα πρέπει να δίνονται και οι θέσεις της Γης και της ελήνης οι οποίες, παρόλο που είναι γνωστές, θα μεταβάλλονται αντίθετα, στο περιστρεφόμενο σύστημα θα παραμένουν σταθερές: x y Γ Γ = r Γ = 0 και x y = r = 0 όπως φαίνεται και στο σχήμα.4. χήμα.4.δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων Πριν γίνει η περιγραφή των εξισώσεων κίνησης στα δύο συστήματα συντεταγμένων, κρίνεται χρήσιμο να δοθούν οι μετασχηματισμοί θέσης και ταχύτητας από το ένα σύστημα στο άλλο για να υπάρχει η δυνατότητα να λύνεται και να σχεδιάζεται η ίδια τροχιά και στις δύο περιπτώσεις. Από το σχήμα.3 προκύπτει ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων θέσης για τη μετάβαση από το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων στο αδρανειακό: ξ = cosωt x sinωt y η = sinωt x + cosωt y (.3) Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς το χρόνο, και λαμβάνοντας υπόψη ότι ω = σταθ, προκύπτει ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: ξ& = η& = ( x& y ω) cosωt ( y& + x ω) sinωt ( y& + x ω) cosωt ( y ω x& ) sinωt (.4) 3

14 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη Από το σχήμα.3 προκύπτει και ο αντίστροφος του μετασχηματισμού που περιγράφεται από τις σχέσεις (.3), αυτός δηλαδή που χρησιμοποιείται για την μετάπτωση από το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων στο περιστρεφόμενο: x = cosωt ξ + sinωt η y = sinωt ξ + cosωt η Με την παραγώγιση των σχέσεων (.5) και για αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: x& = y& = ( ξ& + η ω) cosωt ( ξ ω η& ) sinωt ( η& ξ ω) cosωt ( ξ& + η ω) sinωt (.5) θ & = ω = σταθ, προκύπτει ο (.6) Όπως, όμως θα αναφερθεί και στην παράγραφο.3α για τις κανονικοποιημένες συντεταγμένες, στη λύση και την επεξεργασία του προβλήματος θα θεωρηθούν κατάλληλες μονάδες ώστε να είναι ω = και επομένως τα ζεύγη εξισώσεων (.4) και (.6) γίνονται αντίστοιχα ξ& = η& = ( x& y) cost ( y& + x) sint ( y& + x) cost ( y x& ) sint (.7) και x& = y& = ( ξ& + η) cost ( ξ η& ) sint ( η& ξ) cost ( ξ& + η) sint (.8).3 Εξισώσεις Κίνησης.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες ε αυτό το σημείο γίνεται μία σύντομη περιγραφή του συστήματος Γης ελήνης με αριθμούς. ήμερα, είναι γνωστό ότι η διάμετρος της Γης είναι km, ενώ η μάζα της είναι g. Για τη ελήνη είναι γνωστό ότι 5 έχει διάμετρο 3476 km και μάζα g ( 0.03 M Γ ) η τροχιά της γύρω από τη Γη γίνεται σε ακτίνα km και έχει περίοδο 7.3d. Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζουν μεταξύ τους διαφορές πολλών τάξεων μεγέθους και επομένως εάν εισαχθούν σαν δεδομένα για τις ίδιες εξισώσεις σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, θα φέρουν αποτελέσματα με αρκετά σημαντικά 4

15 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη σφάλματα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούνται κανονικοποιημένες μονάδες μήκους, μάζας και χρόνου στις εξισώσεις κίνησης. Κανονικοποιημένη μονάδα μήκους ορίζεται ως η απόσταση Γης ελήνης ( km ). Όσον αφορά τις μάζες, κανονικοποιημένη μονάδα ορίζεται το άθροισμα των μαζών της Γης και της ελήνης. μ + μ (.9) Γ = Τέλος, για τον ορισμό της κανονικοποιημένης μονάδας χρόνου, θεωρείται ότι για την παγκόσμια σταθερά έλξης ισχύει G = (.0) και επομένως η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος Γης ελήνης γύρω από το κέντρο βάρους ισούται με τη μονάδα θ & = ω =. Αυτό έχει σαν άμεση συνέπεια την αντιστοίχηση της περιόδου περιστροφής της ελήνης 7.3d σε τόξο π. Τελικά, η κανονικοποιημένη μονάδα χρόνου προκύπτει να είναι 4.348d.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων Ξεκινώντας από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση του τρίτου σώματος στο πεδίο της Γης και της ελήνης, θα είναι: r r r m γ = F + F (.) Όπου F r η δύναμη που δέχεται από τη Γη και F r η δύναμη που δέχεται από τη ελήνη. Δηλαδή, r m m ) m m v F = και (.) Γ Γ G r = G r 3 r r r F m m ) m m r = G r = G (.3) r 3 r r Όπου r ) ) = και (.4) r = (.5) Τελικά ( ξ ξ Γ ) i + ( η ηγ ) j ) ) ( ξ ξ ) i + ( η η ) j 5

16 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη r m v m r (.6) r r Γ (.) γ = G r G r 3 3 Για τις κανονικοποιημένες μάζες της Γης και της ελήνης μ μ Γ και μ θα ισχύει: m m = = (.7) m + m m = Γ Γ ( ) και επομένως ( ) μ = μ Γ = (.8) Αναλύοντας την (.6) στις συνιστώσες της, λαμβάνοντας υπόψη την (.0) και εισάγοντας τις μάζες μ Γ και μ, προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης του τρίτου σώματος στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων: & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = μ Γ + μ 3 3 r r & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = (.9) 3 3 r r ηγ η η η & η& = μ Γ + μ 3 3 r r ηγ η η η & η = (.0) 3 3 r r Όπου, τα ( ξ, ) και (, ) η Γ Γ ξ η δεν είναι σταθερά, αλλά δίνονται από την λύση του συστήματος των σχέσεων (.), (.) και με αντικατάσταση των κανονικοποιημένων μαζών από τις (.7) και (.8): ξ Γ η Γ ξ η = cost (.) = sint (.) = cost (.3) = sint (.4).3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Μετασχηματίζοντας τις σχέσεις (.9) και (.0) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. x + μ x μ Γ & x = μ Γ + μ + y + x 3 3 R R & (.5) 6

17 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη μ μ Γ & y = + y x + y 3 3 R R & (.6) Όπου τώρα τα R και R δίνονται από τις σχέσεις R R = = ( x x ) + ( y y ) Γ ( x x ) + ( y y ) Γ και (.7) Οι δε συντεταγμένες της Γης και της ελήνη στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων θα είναι σταθερές και ίσες με ( x Γ, y Γ ) ( ,0) ( x, y ) ( ,0) = (.8) = (.9) 7

18 8 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη

19 3. Ποιοτική Ανάλυση 3. Το Ολοκλήρωμα Jacobi Έχοντας περιγράψει τις εξισώσεις κίνησης του προβλήματος, επόμενος στόχος είναι να βρεθούν τα όρια της κίνησης για διάφορες ενέργειες αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του ολοκληρώματος Jacobi. Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του τρίτου σώματος που δίνονται από τις διαφορικές εξισώσεις (.5) και (.6), μπορούν να γραφούν και σαν μερικές παράγωγοι μίας βαθμωτής συνάρτησης U: U & x y& = x (3.) U & y + x& = y (3.) Όπου η U δίνεται από τη σχέση ( x + y ) μ μ U + Γ = + (3.3) R R Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (3.) επί x& και τη σχέση (3.) επί y& και προσθέτοντας, προκύπτει η σχέση U U du x & && x + y& && y = x& + y& = (3.4) x y dt η οποία μετά από ολοκλήρωση γίνεται x& + y& = U C (3.5) όπου C η σταθερά ολοκλήρωσης. Η (3.5) μέσω της (3.3) δίνει C μ μ ( x& + y& ) Γ = x + y + + R R (3.6) την προσπάθεια να έρθει ο όρος με τις γενικευμένες ταχύτητες σε μία μορφή που να μοιάζει με κινητική ενέργεια, πολλαπλασιάζεται η σταθερά C επί :

20 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη μ Γ μ ( x + y & ) + ( x + y ) C J C = & = R R (3.7) Η παράσταση αυτή έχει σταθερή τιμή κατά μήκος μιας τροχιάς και ονομάζεται ολοκλήρωμα Jacobi. Το ολοκλήρωμα αυτό, όπως είναι γραμμένο στη σχέση (3.7) έχει τη μορφή C J = T + V, όπου V το υποθετικό δυναμικό, ( x y ) μ μ = + R R (3.8) Γ V + επομένως, μπορεί να αποκαλείται και ολοκλήρωμα ενέργειας. 3. Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας Όπως στις μονοδιάστατες κινήσεις χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της ενέργειας για να βρεθούν τα όρια της κίνησης, έτσι και εδώ θα χρησιμοποιηθεί η σχέση (3.7): μ μ & J R R (3.9) Γ ( 3.7) ( x + y& ) = C ( x + y ) 0 Η σχέση αυτή ορίζει τις επιτρεπτές περιοχές κίνησης. Θεωρώντας την ισότητα με το μηδέν και δίνοντας στη σταθερά C J διάφορες τιμές, προκύπτουν καμπύλες που δείχνουν τις περιοχές στις οποίες μπορεί να κινηθεί το τρίτο σώμα με την ανάλογη ενέργεια. Οι καμπύλες αυτές ονομάζονται ισοδυναμικές καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. το σχήμα 3. φαίνεται η ισοδυναμική καμπύλη για C J = και μία τροχιά με αντίστοιχη ενέργεια η οποία περιορίζεται από τα όρια που θέτει η καμπύλη. Γίνεται δε σαφές ότι το τρίτο σώμα δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ αρκετά κοντά στη ελήνη ώστε να επηρεάζεται κατά κύριο λόγο από το πεδίο της. Η χρησιμότητα των ισοδυναμικών καμπύλων είναι προφανής και γι αυτό στο σχήμα 3. δίνονται οι διάφορες μορφές που παίρνουν με τη μεταβολή του C J. το σχήμα 3.α έχει σχεδιαστεί η ισοδυναμική καμπύλη του σχήματος 3. που είναι αντιπροσωπευτική μορφή για χαμηλές ενέργειες. Η αμέσως επόμενη, ενεργειακά, οικογένεια ισοδυναμικών καμπύλων έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 3.β αυτές οι ενέργειες είναι οι χαμηλότερες για τις οποίες υπάρχει η δυνατότητα μετάβασης από τη Γη στη ελήνη, αλλά δεν είναι αρκετές για τη διαφυγή από το σύστημα Γης ελήνης. το επόμενο ενεργειακό στάδιο οι ισοδυναμικές καμπύλες παίρνουν τη μορφή του σχήματος 3.γ και το τρίτο σώμα έχει τη δυνατότητα να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη, αλλά και να διαφύγει από το πεδίο τους μόνον όμως από την 0

21 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα 3. C J = πλευρά της ελήνης. Τέλος, στην ενεργειακή κατάσταση που περιγράφεται από τις καμπύλες του σχήματος 3.δ το σώμα έχει τη δυνατότητα να διαφύγει από το πεδίο Γης ελήνης και από την πλευρά της Γης όπως φαίνεται και από το σχήμα, όμως, υπάρχουν δύο περιοχές στις οποίες το σώμα δεν μπορεί να κινηθεί. Προφανώς οι περιοχές αυτές όσο αυξάνεται η ενέργεια μικραίνουν και όταν η σταθερά C J πάρει την τιμή C J = εξαφανίζονται από την ενέργεια που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή της σταθεράς Jacobi και για υψηλότερες ενέργειες, το σώμα μπορεί να κινείται οπουδήποτε στο χώρο. Οι τιμές C J = , C J = και C J = είναι αυτές στις οποίες γίνεται η αλλαγή της μορφής των ισοδυναμικών καμπύλων και τα αντίστοιχα σχέδια φαίνονται στο σχήμα 3.3. Τα σημεία που τονίζονται με πράσινο χρώμα (στο ίδιο σχήμα) είναι αυτά στα οποία ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες κατά την αλλαγή της μορφής τους και αποτελούν τα σημεία ισορροπίας της κίνησης για τα οποία γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Για να υπάρχει εποπτεία της συνεχής μεταβολής των ισοδυναμικών καμπύλων συναρτήσει του C, κατασκευάζεται το τρισδιάστατο σχήμα 3.4. J

22 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα 3. C J = C J = α 3.β C J =.56 C J = γ 3. δ Το δεύτερο μέλος της σχέσης (3.9) πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση επιτρέπεται εκεί που τα επίπεδα σταθερής C J έχουν μεγαλύτερη τιμή από αυτή της γραφικής παράστασης του σχήματος 3.4. την ουσία, η τομή ενός επιπέδου σταθερής C J με τη γραφική παράσταση δίνει μία ισοδυναμική καμπύλη που θα έχει μία από τις μορφές που παρατέθηκαν στο σχήμα 3..

23 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα χήμα 3.4 3

24 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.3 ημεία Ισορροπίας Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης σε ένα πεδίο είναι τα σημεία ισορροπίας. Η θέση των σημείων αυτών για το υπό μελέτη πρόβλημα φαίνεται στο σχήμα 3.3 με πράσινες τονισμένες τελείες, ενώ η ονομασία τους προκύπτει από τη σειρά με την οποία ανοίγουν σε αυτά οι ισοδυναμικές καμπύλες. Έτσι, καθώς αυξάνεται η ενέργεια του τρίτου σώματος, οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν όταν C J = στο σημείο L που βρίσκεται μεταξύ Γης ελήνης αυτή είναι η χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση για την οποία το σώμα μπορεί να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη. Το L σημείο ισορροπίας βρίσκεται πάνω στον άξονα Γης ελήνης και από την εξωτερική πλευρά της ελήνης στο σημείο αυτό ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες όταν C J = Για C J = οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν στο σημείο L3 που βρίσκεται πάνω στον άξονα των ξ και από την εξωτερική πλευρά της Γης. Τα σημεία L4 και L5 είναι αυτά στα οποία εξαφανίζονται οι απαγορευμένες περιοχές του σχήματος 3.δ όταν C J = Οι θέσεις των σημείων ισορροπίας, όπως φαίνεται και από το σχήμα 3.3, είναι σταθερές στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων ακολουθούν, δηλαδή, την περιστροφή της ελήνης γύρω από τη Γη. Προκύπτουν δε από το μηδενισμό των μερικών παραγώγων της συνάρτησης υποθετικού δυναμικού (βλ. σχέση (3.8)), λύνοντας, δηλαδή, το σύστημα εξισώσεων V = 0 x V = 0 y (3.0α) (3.0β) Οι συντεταγμένες των πέντε σημείων ισορροπίας με ακρίβεια μέχρι και 6 ου δεκαδικού * στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων είναι οι ακόλουθες: Για το L ( x, y ) ( ,0) Για το L ( x, y ) (.5568,0) Για το L3 ( x 3, y3 ) (.00506,0) Για το L4 ( x 4, y 4 ) ( , ) Για το L5 (, y ) ( , ) = (3.α) = (3.β) = (3.γ) = (3.δ) 5 = (3.ε) x 5 Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι θέσεις των L4 και L5 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα των ξ, και είναι τέτοιες ώστε να σχηματίζονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα με τη Γη και τη ελήνη. Είναι επίσης οι θέσεις που φιλοξενούν τα ευσταθή σημεία ισορροπίας του συστήματος τα υπόλοιπα L, L και L3 σημεία ισορροπίας είναι ασταθή. * Ο τρόπος εύρεσης των σ.ι. αλλά και μεγαλύτερη ακρίβεια δίνονται στο παράρτημα 4

25 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση Μία απλή μελέτη της ευστάθειας μπορεί να γίνει αφήνοντας το τρίτο σώμα σε περιοχές κοντά στις θέσεις ισορροπίας με μηδενική ταχύτητα και καταγράφοντας την τροχιά του. Για τα ευσταθή L4 και L5, ακόμα και για αρκετά μεγάλες αποστάσεις από την ακριβή θέση ισορροπίας το σώμα θα κινείται στην ίδια περιοχή όπως και στο σχήμα 3.5. την περίπτωση αυτή, το τρίτο σώμα έχει τοποθετηθεί σε απόσταση km από το L4 με μηδενική ταχύτητα ακόμα και 7 μέρες μετά (τόσος είναι ο χρόνος της τροχιάς του σχήματος) κινείται στην ίδια περιοχή. Αντίθετα, για τα ασταθή L, L και L3 με όσο μεγαλύτερη ακρίβεια τοποθετηθεί το σώμα στη θέση ισορροπίας, για τόσο μεγαλύτερο διάστημα θα παραμείνει σε εκείνη την περιοχή. το σχήμα 3.6 φαίνεται η τροχιά ενός σώματος που τοποθετήθηκε σε απόσταση 8.34 m από το L με μηδενική σχετική ταχύτητα. Για τις πρώτες 6. μέρες το σώμα παραμένει σε πολύ μικρές αποστάσεις από το L (σχήμα 3.6α). Μέσα στις 43.5 πρώτες μέρες διαγράφει την τροχιά του σχήματος 3.6β, ενώ στις 87 πρώτες μέρες έχει ξεφύγει τελείως από την περιοχή που αρχικά τοποθετήθηκε διαγράφοντας την τροχιά του σχήματος 3.6γ. Εάν το σώμα είχε τοποθετηθεί σε απόσταση 39 m από το L, μετατοπισμένο κατά την ίδια διεύθυνση, θα είχε αρχίσει να διαφεύγει από την περιοχή αυτή ήδη μετά τις πρώτες.7 μέρες. 5

26 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα χήμα α β γ

27 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση 3.4 Η Τομή Poincare 3.4α Τι Είναι Η Τομή Poincare Έχοντας ολοκληρώσει την έρευνα γύρω από τη δυναμική του τρίτου σώματος στο πεδίο Γης ελήνης, από το σημείο αυτό και έπειτα βασικό θέμα είναι η περιγραφή τροχιών. την περίπτωση που δεν ενδιαφέρει τόσο η παρακολούθηση της τροχιάς κάθε χρονική στιγμή όσο η ποιοτική της μελέτη, ένας τρόπος απεικόνισης είναι οι τομές Poincare για τις οποίες γίνεται λόγος σε αυτή την παράγραφο. Θεωρώντας κινήσεις που αντιστοιχούν σε μία σταθερή τιμή του ολοκληρώματος Jacobi κινήσεις δηλαδή, σταθερής ενέργειας και επιλέγοντας επιπλέον την συνθήκη y = 0, κατασκευάζεται μία διδιάστατη επιφάνεια που ονομάζεται επιφάνεια τομής. Από την σχέση (3.7) φαίνεται ότι κάθε σημείο της επιφάνειας αυτής προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του συστήματος, αφού τα x, x& προσδιορίζονται σαν συντεταγμένες του σημείου, το C είναι σταθερό και y = 0. Τέλος, θα είναι: J μ Γ μ ( 3.7) y& = C ( x + y ) y& = ± C J J μ + R R Γ μ + R R + x x& x& και η αβεβαιότητα στο πρόσημο του y&, μπορεί να ξεπεραστεί κατασκευάζοντας την επιφάνεια τομής με σημεία για τα οποία είναι π.χ. y & < 0. Η επιφάνεια τομής ονομάζεται και τομή Poincare και βοηθάει πολύ στον ποιοτικό διαχωρισμό των τροχιών σε τρεις βασικές κατηγορίες για τις οποίες γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Μία ακόμα αρκετά σημαντική προσφορά των τομών Poincare είναι ότι βοηθούν στην εκτίμηση των αποστάσεων από τις οποίες διέρχεται το τρίτο σώμα σε σχέση με τη Γη και τη ελήνη. Αυτό, τις καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμες για τη μελέτη των τροχιών που γίνεται στο επόμενο κεφάλαιο καθώς ενδιαφέρουν κυρίως τροχιές που περνούν κοντά από τη Γη αλλά και τη ελήνη. 3.4β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών Όπως έγινε σαφές στην παράγραφο 3.4α, κάθε σημείο της τομής Poincare καθορίζει πλήρως το σύστημα και επομένως αντιστοιχεί σε μία και μόνο τροχιά του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή ενέργειας (δηλαδή για κάθε τιμή του ολοκληρώματος Jacobi) μπορεί να κατασκευαστεί μία επιφάνεια 7

28 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη τομής με πλήθος αντιπροσωπευτικών τροχιών η οποία παρέχει πλήρη εποπτεία της δυναμικής του συστήματος. Για να γίνεται όμως αντιληπτή η συμπεριφορά μιας τροχιάς από την απεικόνισή της στην τομή Poincare, στο σημείο αυτό παρατίθενται τα χαρακτηριστικά των τριών βασικών κατηγοριών τροχιών όπως αυτά παρουσιάζονται στις επιφάνειες τομής. Έτσι, μία τροχιά που στην τομή Poincare απεικονίζεται ως ένας πεπερασμένος αριθμός k για παράδειγμα σημείων θα είναι περιοδική, με περίοδο k. Μία τροχιά που στην τομή Poincare αποτελείται από άπειρα σημεία τα οποία για t σχηματίζουν κλειστή καμπύλη, θα αποκαλείται ημιπεριοδική τροχιά η δε κλειστή καμπύλη ονομάζεται αναλλοίωτος κύκλος. Τέλος, τροχιές που απεικονίζονται με άτακτα διασκορπισμένα σημεία, ονομάζονται χαοτικές τροχιές. Οι τροχιές αυτού του είδους έχουν απρόβλεπτη συμπεριφορά με το πέρασμα του χρόνου και εμφανίζουν εξαιρετική ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Τ χήμα 3.7 Τ Τ3 Τ Τ3 Τ Τ Το σχήμα 3.7 δείχνει την τομή Poincare του συστήματος για 6 C J. =, ενώ οι δείκτες που έχουν τοποθετηθεί υποδεικνύουν τη θέση των σημείων που απεικονίζουν τις τροχιές τ, τ και τ3. ύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η τ τροχιά είναι περιοδική, η τ ημιπεριοδική και 8

29 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση η τ3 χαοτική. Για τις τρεις αυτές τροχιές κατασκευάζεται το σχήμα 3.8 στο οποίο φαίνεται η 30 ημερών εξέλιξή τους στο αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Τροχιά Αδρανειακό χήμα 3.8 ύστημα υντεταγμένων Περιστρεφόμενο Τ Τ Τ

30 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.4γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη Όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 3., η περιοχή κίνησης αλλά και το είδος των τροχιών του τρίτου σώματος εξαρτώνται από την ενέργειά του. Για αυτό τον λόγο, εξετάζονται παρακάτω οι τομές Poincare για τις χαρακτηριστικές περιοχές τιμών του ολοκληρώματος C J. τα διαγράμματα αυτά, η Γη βρίσκεται στην θέση x 0, ενώ η ελήνη στην x η μιλλιμετρέ περιοχή είναι αυτή στην οποία δεν έχει την δυνατότητα να εισέλθει το σώμα λόγω της ενέργειάς του. Επίσης υπενθυμίζεται ότι στις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιούνται παρακάτω, η y& συνιστώσα είναι αρνητική. Αρχικά παρατίθεται στο σχήμα 3.9 η τομή Poincare για C J =. 9. Η ενέργεια αυτή είναι αρκετά χαμηλή και πρακτικά δεν υπάρχουν χαοτικές τροχιές. χήμα 3.9 C J =.9 Παρατηρώντας την επιφάνεια τομής εύκολα μπορεί κανείς να χωρίσει τις τροχιές σε τέσσερις κατηγορίες, με βάση την περιοχή στην οποία εμφανίζονται τα σημεία που την απεικονίζουν. Έτσι προκύπτουν οι τροχιές που δίνουν σημεία αριστερά της Γης, στις οποίες το τρίτο σώμα κινείται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής της ελήνης και οι οποίες αποκαλούνται direct (σχήμα 3.0α). Αντίστροφα τώρα, στις τροχιές που δίνουν σημεία δεξιά 30

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Το διαστημόπλοιο Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές

1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές 1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς από τις παρακάτω προτάσεις Α1 έως Α3 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Α1. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ 2 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

φυσική κεφ.2 ΚΙΝΗΣΕΙΣ

φυσική κεφ.2 ΚΙΝΗΣΕΙΣ φυσική κεφ. ΚΙΝΗΣΕΙΣ Επισημάνσεις από τη θεωρία του βιβλίου Διανυσματική μέση ταχύτητα: v = = ό ό ά Είναι διάνυσμα, δε χρησιμοποιείται στην καθημερινή γλώσσα. Μέση ταχύτητα: v = = ή ή ό ά Δεν είναι διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Ένα σώμα κινείται πάνω σε μια λεία επιφάνεια, υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης όπως το σχήμα

Ένα σώμα κινείται πάνω σε μια λεία επιφάνεια, υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης όπως το σχήμα 1 ΦΕΠ 01 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 8 η Ένα σώμα κινείται πάνω σε μια λεία επιφάνεια, υπό την επίδραση πλάγιας δύναμης όπως το σχήμα Νόμοι του Νεύτωνα: Fx = Fσυνθ = m α Χ (1) Fy + N = mg (δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΩΝ (ΒΑΣΙΚΟ+ΣΥΝΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ)

ΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΩΝ (ΒΑΣΙΚΟ+ΣΥΝΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ) ΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΧΙΛΙΑΔΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΦΥΣΙΚΩΝ (ΒΑΣΙΚΟ+ΣΥΝΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ) ΠΟΥ ΔΙΑΘΕΤΟΥΜΕ ΚΑΙ ΠΟΥ ΑΝΟΙΓΟΥΝ ΤΟ ΔΡΟΜΟ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΜΑΣ ΣΤΟ ΔΗΜΟΣΙΟ 1. Για το κωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th International Physics Olympiad, erida, exico, -9 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ-ΣΕΛΗΝΗΣ Οι επιστήμονες μπορούν να προσδιορίσουν την απόσταση Γης-Σελήνης, με μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Διατήρηση της στροφορμής) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ.

1.1. Κινηµατική Οµάδα Γ. 1.1. Οµάδα Γ. 1.1.21. Πληροφορίες από το διάγραµµα θέσης-χρόνου..ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και στο διάγραµµα βλέπετε τη θέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. i) Βρείτε την κλίση στο διάγραµµα x-t στις

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Γενικής Παιδείας Α Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Σ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και σχολιάζει κάποια σημεία τους).

Διαβάστε περισσότερα

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013

A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θεωρητικό Μέρος A Λυκείου 9 Μαρτίου 2013 Θέμα 1 ο Στις ερωτήσεις A1, A2, A3, A4 και Β μία μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου

Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου ΛΥΚΕΙΟ ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ ΛΑΡΝΑΚΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2014-15 Οδηγός βαθμολόγησης Εξεταστικού Δοκιμίου Α Λυκείου 1) Να γράψετε 3 διανυσματικά μεγέθη και 2 μονόμετρα μεγέθη καθώς και τις μονάδες μέτρησής τους (στο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης

Μοριακή Φασματοσκοπία I. Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης Μοριακή Φασματοσκοπία I Παραδόσεις μαθήματος Θ. Λαζαρίδης 2 Τι μελετά η μοριακή φασματοσκοπία; Η μοριακή φασματοσκοπία μελετά την αλληλεπίδραση των μορίων με την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία Από τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα