Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη"

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος ΑΕΜ 0568 Ιανουάριος 006

2

3 Υπεύθυνος καθηγητής Γ. Βουγιατζής 3

4 4

5 Περιεχόμενα. Εισαγωγή...7. Το ύστημα Γη ελήνη...9. Παραδοχές...9. υστήματα υντεταγμένων...9.α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...9.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων....γ Βαθμοί Ελευθερίας....δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων Εξισώσεις Κίνησης...4.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες...4.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...5.3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Ποιοτική Ανάλυση Το Ολοκλήρωμα Jacobi Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας ημεία Ισορροπίας Η Τομή Poincare α Τι Είναι Η Τομή Poincare β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη Περιοδικές Τροχιές Υψηλών Ενεργειών α Τρόπος Εύρεσης Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής β Αποτελέσματα Τροχιές Από Την Γη τη ελήνη Προσέγγιση τη ελήνη Η Μεταβατική Ταχύτητα Παραδείγματα Προσεγγίσεων...56 Παράρτημα...63 Παράρτημα...65 Παράρτημα Βιβλιογραφία...73

6 6

7 . Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό, βασικός παράγοντας που καθορίζει τη δυσκολία στη μελέτη ενός συστήματος αλληλεπιδρώντων σωμάτων, είναι ο αριθμός των σωμάτων που το συνιστούν. Μέχρι σήμερα, αναλυτική λύση έχει βρεθεί για το πρόβλημα δύο αλληλεπιδρώντων, με αμοιβαίες βαρυντικές δυνάμεις, σωμάτων που είναι και το απλούστερο ενώ το πρόβλημα των τριών σωμάτων, που εδώ και αιώνες κεντρίζει το ενδιαφέρoν μεγάλων μαθηματικών και φυσικών, έχει λυθεί μόνον αριθμητικά. Το θέμα της εργασίας αυτής είναι μία απλοποιημένη μορφή του προβλήματος των τριών σωμάτων, που στη διεθνή βιβλιογραφία είναι γνωστό ως Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων. Γίνεται δε εφαρμογή του προβλήματος στο σύστημα Γη ελήνη. την απλουστευμένη αυτή περίπτωση το τρίτο σώμα, η κίνηση του οποίου μελετάται, θεωρείται ότι έχει αμελητέα μάζα σε σχέση με αυτή των άλλων δύο έτσι, ενώ κινείται στο πεδίο τους δεν επηρεάζει την κίνησή τους. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη μελέτη του συστήματος, τα δύο σώματα θα έχουν καθορισμένες τροχιές (που υπαγορεύονται από την μεταξύ τους αλληλεπίδραση), ενώ η κίνηση του τρίτου θα δίνεται από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης του r r r δεύτερου νόμου του Νεύτωνα m γ = F + F (όπου F r και F r οι δυνάμεις που δέχεται το 3 ο σώμα από το ο και το ο αντίστοιχα). Παρά όμως την εισαγωγή της παραδοχής αυτής και αρκετών άλλων που καθιστούν το πρόβλημα αρκετά απλό, η λύση των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης του τρίτου σώματος συνεχίζει να δίνεται αριθμητικά. ε πολλές περιπτώσεις παρουσιάζεται ευαίσθητη εξάρτηση της εξέλιξης των τροχιών από τις αρχικές συνθήκες και εμφανίζεται χάος. Όλα αυτά θα αναπτυχθούν στο κεφάλαιο 3 όπου και γίνεται η ποιοτική μελέτη του προβλήματος για το σύστημα Γης ελήνης. Προηγουμένως όμως, στο κεφάλαιο γίνεται λεπτομερής περιγραφή του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο πεδίο Γης ελήνης ορίζονται το αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή του, όπως και οι μετασχηματισμοί από το ένα σύστημα στο άλλο. Τέλος δίνονται και οι εξισώσεις της κίνησης σύμφωνα με τις οποίες εξελίσσονται οι τροχιές του τρίτου σώματος. Η εισαγωγή στο κεφάλαιο 3 γίνεται με τον ορισμό του ολοκληρώματος Jacobi και την περιγραφή της χρησιμότητάς του στη μελέτη του προβλήματος. Κάνοντας χρήση του ολοκληρώματος αυτού κατασκευάζονται οι ισοδυναμικές καμπύλες του συστήματος για αντιπροσωπευτικές ενέργειες και με τη βοήθεια αυτών βρίσκονται οι περιοχές στις οποίες μπορεί να κινείται το σώμα. τη συνέχεια γίνεται μελέτη των σημείων ισορροπίας, τα οποία έχουν καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση των ισοδυναμικών καμπύλων στις διάφορες ενεργειακές περιοχές. την παράγραφο 3.4 ορίζεται η τομή Poincare έτσι όπως χρησιμοποιείται για την επεξεργασία του προβλήματος και για

8 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χαρακτηριστικές ενέργειες κατασκευάζονται οι τομές Poincare του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο σύστημα Γη ελήνη. Παράλληλα, γίνεται ποιοτική μελέτη των τομών περιγράφεται, δηλαδή, το είδος των τροχιών που αναμένεται στις αντίστοιχες ενέργειες, σε συνάρτηση με τις αρχικές τους συνθήκες. Τέλος, η παράγραφος 3.5 αφιερώνεται σε μία οικογένεια περιοδικών τροχιών που βρέθηκε κατά την κατασκευή των τομών Poincare για υψηλές ενέργειες. το κεφάλαιο 4 γίνεται λεπτομερής ανάλυση τροχιών με αντιπροσωπευτικές ενέργειες. Οι τροχιές αυτές εκκινούν από την γειτονιά της Γης και η πλειοψηφία τους πλησιάζει σε πολύ μικρές αποστάσεις από τη ελήνη έμφαση δίνεται στους χρόνους που το σώμα προσεγγίζει τη ελήνη από τη στιγμή που θα ξεκινήσει την τροχιά του και στην ελάχιστη απόσταση που θα επιτύχει κατά την προσέγγιση. Παρατίθενται δε σχήματα με απεικονίσεις των τροχιών και στα δύο συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία του προβλήματος. Τέλος, οι προσεγγίσεις στη ελήνη αποτελούν αντικείμενο του 5 ου κεφαλαίου. τόχος της ανάλυσης που γίνεται είναι να τεθεί το τρίτο σώμα σε περιστροφική τροχιά γύρω από τη ελήνη τη στιγμή που θα απαιτείται η ελάχιστη δυνατή μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητάς του. Δίνονται σχήματα με την τροχιά του σώματος πριν και μετά την μεταβολή της ταχύτητάς του, όπως και αναλυτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα της επεξεργασίας για κάθε χρονική στιγμή της προσέγγισης. 8

9 . Το ύστημα Γη ελήνη. Παραδοχές Από το σημείο αυτό και έπειτα, όλη η ανάλυση που ακολουθεί αφορά την κίνηση σώματος στο πεδίο του συστήματος Γης ελήνης. Για τη μελέτη του συστήματος αυτού, εισάγονται δύο παραδοχές. Θα θεωρηθεί, λοιπόν, ότι το σύστημα είναι απομονωμένο. Αυτό σημαίνει ότι δεν λαμβάνονται υπόψη οι αλληλεπιδράσεις, των τριών σωμάτων, με το υπόλοιπο ηλιακό σύστημα (ήλιος και πλανήτες), όπως επίσης αγνοούνται και οι σαφώς ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις με τους γειτονικούς γαλαξίες. Η δεύτερη παραδοχή αφορά την κίνηση της ελήνης γύρω από τη Γη. Ενώ λοιπόν είναι γνωστό ότι η κίνηση αυτή είναι σχεδόν ελλειπτική, για τη λύση του προβλήματος θεωρείται ότι Γη και ελήνη περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους σε κυκλικές τροχιές και με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.. υστήματα υντεταγμένων Βασικό ρόλο, στη διευκόλυνση της επεξεργασίας και της κατανόησης ενός φυσικού προβλήματος, έχει η επιλογή του κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Θεωρώντας το σύστημα των σωμάτων απομονωμένο, αδρανειακό σύστημα αναφοράς θα θεωρείται το ακίνητο ως προς το κέντρο μάζας των σωμάτων. Το δε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς θα έχει κέντρο το κέντρο μάζας των σωμάτων και άξονα τετμημένων, τον περιστρεφόμενο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, άξονα που συνδέει τη Γη και τη ελήνη..α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων ε αυτό το σύστημα συντεταγμένων η Γη και η ελήνη κινούνται και επομένως η απεικόνιση της τροχιάς του τρίτου σώματος δεν βοηθάει στην κατανόηση της σχετικής του θέσης με τα δύο άλλα. Παρά το γεγονός αυτό όμως, επειδή η Γη κινείται πολύ κοντά στο κέντρο βάρους, οι ταχύτητες του τρίτου σώματος, ως προς το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, είναι πολύ κοντά σε αυτές που θα μετρούσε ένας παρατηρητής της επιφάνεια της Γης (που όμως δεν ακολουθεί την ιδιοπεριστροφή της). το σχήμα.α φαίνεται η τροχιά ενός σώματος έτσι όπως αυτή αναπαρίσταται στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων. Η μπλε χρώματος

10 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη κουκκίδα κοντά στην αρχή των αξόνων δείχνει τη θέση της Γης, ενώ η μαύρη κουκκίδα τη θέση της ελήνης. χήμα. t = 5.d t =.34d α.β t =.6d γ το χρονικό διάστημα για το οποίο έχει σχεδιαστεί η τροχιά το σώμα περνά σε πολύ μικρή απόσταση από τη ελήνη. Αυτό όμως δε γίνεται αντιληπτό γιατί συνέβη σε μία χρονική στιγμή που η ελήνη δεν ήταν στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Πιο συγκεκριμένα, η τροχιά που έχει σχεδιαστεί είναι διάρκειας 5. ημερών, ενώ το σώμα είχε ελάχιστη απόσταση από την ελήνη. 34 ημέρες περίπου από την εκκίνηση της τροχιάς του. Προφανώς, σε μία απεικόνιση της τροχιάς από την στιγμή της εκκίνησης μέχρι και. 34 ημέρες μετά, η κουκκίδα της ελήνης θα είναι πολύ κοντά στην γραμμή της τροχιάς (σχήμα.β) αλλά μόνο με την συγκεκριμένη απεικόνιση φαίνεται ότι το σώμα πέρασε κοντά από τη ελήνη. Παρερμηνεία της τροχιάς μπορεί επίσης να γίνει και σε μία περίπτωση σαν αυτή του σχήματος.γ, στο οποίο η τροχιά του σώματος τέμνει τη ελήνη και κάποιος μπορεί να θεωρήσει ότι το σώμα προσκρούει σε αυτή. Τη χρονική στιγμή όμως που απεικονίζεται στο σχήμα (. 6 ημέρες μετά την εκκίνηση του σώματος), η ελήνη βρίσκεται σε μία θέση από την οποία έχει ήδη περάσει το σώμα και επομένως δε συμβαίνει σύγκρουση. 0

11 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Όλες αυτές οι δυσκολίες στην κατανόηση μιας τροχιάς μπορούν να ξεπεραστούν με την προβολή της στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτό το σύστημα συντεταγμένων «ακολουθεί» την περιστροφική με σταθερή γωνιακή ταχύτητα κίνηση της Γης και της ελήνης γύρω από το κέντρο μάζας τους με αποτέλεσμα οι περιστρεφόμενες συντεταγμένες τους να παραμένουν πάντα σταθερές. Αυτό βοηθάει κυρίως στην άμεση εποπτεία των αποστάσεων από τις οποίες έχει διέλθει το σώμα σε σχέση με τη ελήνη. Όσον αφορά τις αποστάσεις από την Γη, και αυτές γίνονται άμεσα αντιληπτές, αλλά η διαφορά από το αδρανειακό σύστημα δεν είναι τόσο μεγάλη, αφού και εκεί η Γη παραμένει πολύ κοντά στο κέντρο μάζας και επομένως είναι σχεδόν ακίνητη. το σχήμα. φαίνεται η τροχιά του σχήματος. όπως αυτή αναπαρίσταται στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. χήμα. t = 5.d Παρά το γεγονός ότι έχει σχεδιαστεί η εξέλιξη της τροχιάς μέχρι και 5. ημέρες μετά την εκκίνησή της, φαίνεται ότι το σώμα, μέσα στο χρονικό διάστημα αυτό, πλησίασε κάποια στιγμή αρκετά κοντά στη ελήνη. Όσο μεγάλο και να είναι, λοιπόν, το διάστημα για το οποίο σχεδιάζεται μία τροχιά στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων, δεν χάνεται η πληροφορία μιας ενδεχόμενης προσέγγισης στη ελήνη που συνέβη εντός του διαστήματος αυτού.

12 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη.γ Βαθμοί Ελευθερίας Πέρα από την εποπτική διευκόλυνση που προσφέρει το περιστροφικό σύστημα συντεταγμένων, ο λόγος για τον οποίο ορίζεται είναι για να μειώσει τις παραμέτρους του συστήματος των τριών σωμάτων. χήμα.3 Αρχικά, στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων (βλ. σχήμα.3) χρειάζονται τρία ζεύγη συντεταγμένων για την πλήρη περιγραφή του συστήματος το ( ξ, η Γ Γ ) για τη Γη, το ( ξ, η ) για τη ελήνη και το ( ξ, η ) για το τρίτο σώμα. Η Γη και η ελήνη όμως, περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, και επομένως εισάγονται δύο σκληρόνομοι δεσμοί που περιγράφονται από τις εξισώσεις ξ η Γ Γ = r Γ = r Γ cosωt sinωt ή ξ η = r = r cosωt sinωt (.) και οι παράμετροι του συστήματος μειώνονται σε τέσσερις. Ένας ακόμη δεσμός είναι αυτός που περιγράφεται στην δεύτερη παραδοχή της παραγράφου., ο ω = σταθ. Τέλος, η απόσταση Γης ελήνης είναι γνωστή (τέταρτος δεσμός) επομένως, ένα από τα δύο ζεύγη εξισώσεων (.) μαζί με τις εξισώσεις m m Γ Γ ξ η Γ Γ + m + m ξ η = = ( m Γ + m ) ξ Κ ( m Γ + m ) ηκ (.) θα δίνει τις συντεταγμένες της Γης και της ελήνης. Δηλαδή, οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος μειώνονται στους δύο και αυτό που απομένει είναι η επιλογή των γενικευμένων συντεταγμένων που θα ξ, η για το περιγράφουν τη θέση του τρίτου σώματος. Αυτές θα είναι οι ( ) αδρανειακό ή οι ( x, y) για το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Η

13 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη διαφορά είναι ότι στην περίπτωση του αδρανειακού συστήματος συντεταγμένων, πέρα της θέσης του τρίτου σώματος θα πρέπει να δίνονται και οι θέσεις της Γης και της ελήνης οι οποίες, παρόλο που είναι γνωστές, θα μεταβάλλονται αντίθετα, στο περιστρεφόμενο σύστημα θα παραμένουν σταθερές: x y Γ Γ = r Γ = 0 και x y = r = 0 όπως φαίνεται και στο σχήμα.4. χήμα.4.δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων Πριν γίνει η περιγραφή των εξισώσεων κίνησης στα δύο συστήματα συντεταγμένων, κρίνεται χρήσιμο να δοθούν οι μετασχηματισμοί θέσης και ταχύτητας από το ένα σύστημα στο άλλο για να υπάρχει η δυνατότητα να λύνεται και να σχεδιάζεται η ίδια τροχιά και στις δύο περιπτώσεις. Από το σχήμα.3 προκύπτει ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων θέσης για τη μετάβαση από το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων στο αδρανειακό: ξ = cosωt x sinωt y η = sinωt x + cosωt y (.3) Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς το χρόνο, και λαμβάνοντας υπόψη ότι ω = σταθ, προκύπτει ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: ξ& = η& = ( x& y ω) cosωt ( y& + x ω) sinωt ( y& + x ω) cosωt ( y ω x& ) sinωt (.4) 3

14 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη Από το σχήμα.3 προκύπτει και ο αντίστροφος του μετασχηματισμού που περιγράφεται από τις σχέσεις (.3), αυτός δηλαδή που χρησιμοποιείται για την μετάπτωση από το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων στο περιστρεφόμενο: x = cosωt ξ + sinωt η y = sinωt ξ + cosωt η Με την παραγώγιση των σχέσεων (.5) και για αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: x& = y& = ( ξ& + η ω) cosωt ( ξ ω η& ) sinωt ( η& ξ ω) cosωt ( ξ& + η ω) sinωt (.5) θ & = ω = σταθ, προκύπτει ο (.6) Όπως, όμως θα αναφερθεί και στην παράγραφο.3α για τις κανονικοποιημένες συντεταγμένες, στη λύση και την επεξεργασία του προβλήματος θα θεωρηθούν κατάλληλες μονάδες ώστε να είναι ω = και επομένως τα ζεύγη εξισώσεων (.4) και (.6) γίνονται αντίστοιχα ξ& = η& = ( x& y) cost ( y& + x) sint ( y& + x) cost ( y x& ) sint (.7) και x& = y& = ( ξ& + η) cost ( ξ η& ) sint ( η& ξ) cost ( ξ& + η) sint (.8).3 Εξισώσεις Κίνησης.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες ε αυτό το σημείο γίνεται μία σύντομη περιγραφή του συστήματος Γης ελήνης με αριθμούς. ήμερα, είναι γνωστό ότι η διάμετρος της Γης είναι km, ενώ η μάζα της είναι g. Για τη ελήνη είναι γνωστό ότι 5 έχει διάμετρο 3476 km και μάζα g ( 0.03 M Γ ) η τροχιά της γύρω από τη Γη γίνεται σε ακτίνα km και έχει περίοδο 7.3d. Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζουν μεταξύ τους διαφορές πολλών τάξεων μεγέθους και επομένως εάν εισαχθούν σαν δεδομένα για τις ίδιες εξισώσεις σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, θα φέρουν αποτελέσματα με αρκετά σημαντικά 4

15 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη σφάλματα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούνται κανονικοποιημένες μονάδες μήκους, μάζας και χρόνου στις εξισώσεις κίνησης. Κανονικοποιημένη μονάδα μήκους ορίζεται ως η απόσταση Γης ελήνης ( km ). Όσον αφορά τις μάζες, κανονικοποιημένη μονάδα ορίζεται το άθροισμα των μαζών της Γης και της ελήνης. μ + μ (.9) Γ = Τέλος, για τον ορισμό της κανονικοποιημένης μονάδας χρόνου, θεωρείται ότι για την παγκόσμια σταθερά έλξης ισχύει G = (.0) και επομένως η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος Γης ελήνης γύρω από το κέντρο βάρους ισούται με τη μονάδα θ & = ω =. Αυτό έχει σαν άμεση συνέπεια την αντιστοίχηση της περιόδου περιστροφής της ελήνης 7.3d σε τόξο π. Τελικά, η κανονικοποιημένη μονάδα χρόνου προκύπτει να είναι 4.348d.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων Ξεκινώντας από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση του τρίτου σώματος στο πεδίο της Γης και της ελήνης, θα είναι: r r r m γ = F + F (.) Όπου F r η δύναμη που δέχεται από τη Γη και F r η δύναμη που δέχεται από τη ελήνη. Δηλαδή, r m m ) m m v F = και (.) Γ Γ G r = G r 3 r r r F m m ) m m r = G r = G (.3) r 3 r r Όπου r ) ) = και (.4) r = (.5) Τελικά ( ξ ξ Γ ) i + ( η ηγ ) j ) ) ( ξ ξ ) i + ( η η ) j 5

16 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη r m v m r (.6) r r Γ (.) γ = G r G r 3 3 Για τις κανονικοποιημένες μάζες της Γης και της ελήνης μ μ Γ και μ θα ισχύει: m m = = (.7) m + m m = Γ Γ ( ) και επομένως ( ) μ = μ Γ = (.8) Αναλύοντας την (.6) στις συνιστώσες της, λαμβάνοντας υπόψη την (.0) και εισάγοντας τις μάζες μ Γ και μ, προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης του τρίτου σώματος στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων: & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = μ Γ + μ 3 3 r r & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = (.9) 3 3 r r ηγ η η η & η& = μ Γ + μ 3 3 r r ηγ η η η & η = (.0) 3 3 r r Όπου, τα ( ξ, ) και (, ) η Γ Γ ξ η δεν είναι σταθερά, αλλά δίνονται από την λύση του συστήματος των σχέσεων (.), (.) και με αντικατάσταση των κανονικοποιημένων μαζών από τις (.7) και (.8): ξ Γ η Γ ξ η = cost (.) = sint (.) = cost (.3) = sint (.4).3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Μετασχηματίζοντας τις σχέσεις (.9) και (.0) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. x + μ x μ Γ & x = μ Γ + μ + y + x 3 3 R R & (.5) 6

17 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη μ μ Γ & y = + y x + y 3 3 R R & (.6) Όπου τώρα τα R και R δίνονται από τις σχέσεις R R = = ( x x ) + ( y y ) Γ ( x x ) + ( y y ) Γ και (.7) Οι δε συντεταγμένες της Γης και της ελήνη στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων θα είναι σταθερές και ίσες με ( x Γ, y Γ ) ( ,0) ( x, y ) ( ,0) = (.8) = (.9) 7

18 8 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη

19 3. Ποιοτική Ανάλυση 3. Το Ολοκλήρωμα Jacobi Έχοντας περιγράψει τις εξισώσεις κίνησης του προβλήματος, επόμενος στόχος είναι να βρεθούν τα όρια της κίνησης για διάφορες ενέργειες αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του ολοκληρώματος Jacobi. Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του τρίτου σώματος που δίνονται από τις διαφορικές εξισώσεις (.5) και (.6), μπορούν να γραφούν και σαν μερικές παράγωγοι μίας βαθμωτής συνάρτησης U: U & x y& = x (3.) U & y + x& = y (3.) Όπου η U δίνεται από τη σχέση ( x + y ) μ μ U + Γ = + (3.3) R R Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (3.) επί x& και τη σχέση (3.) επί y& και προσθέτοντας, προκύπτει η σχέση U U du x & && x + y& && y = x& + y& = (3.4) x y dt η οποία μετά από ολοκλήρωση γίνεται x& + y& = U C (3.5) όπου C η σταθερά ολοκλήρωσης. Η (3.5) μέσω της (3.3) δίνει C μ μ ( x& + y& ) Γ = x + y + + R R (3.6) την προσπάθεια να έρθει ο όρος με τις γενικευμένες ταχύτητες σε μία μορφή που να μοιάζει με κινητική ενέργεια, πολλαπλασιάζεται η σταθερά C επί :

20 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη μ Γ μ ( x + y & ) + ( x + y ) C J C = & = R R (3.7) Η παράσταση αυτή έχει σταθερή τιμή κατά μήκος μιας τροχιάς και ονομάζεται ολοκλήρωμα Jacobi. Το ολοκλήρωμα αυτό, όπως είναι γραμμένο στη σχέση (3.7) έχει τη μορφή C J = T + V, όπου V το υποθετικό δυναμικό, ( x y ) μ μ = + R R (3.8) Γ V + επομένως, μπορεί να αποκαλείται και ολοκλήρωμα ενέργειας. 3. Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας Όπως στις μονοδιάστατες κινήσεις χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της ενέργειας για να βρεθούν τα όρια της κίνησης, έτσι και εδώ θα χρησιμοποιηθεί η σχέση (3.7): μ μ & J R R (3.9) Γ ( 3.7) ( x + y& ) = C ( x + y ) 0 Η σχέση αυτή ορίζει τις επιτρεπτές περιοχές κίνησης. Θεωρώντας την ισότητα με το μηδέν και δίνοντας στη σταθερά C J διάφορες τιμές, προκύπτουν καμπύλες που δείχνουν τις περιοχές στις οποίες μπορεί να κινηθεί το τρίτο σώμα με την ανάλογη ενέργεια. Οι καμπύλες αυτές ονομάζονται ισοδυναμικές καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. το σχήμα 3. φαίνεται η ισοδυναμική καμπύλη για C J = και μία τροχιά με αντίστοιχη ενέργεια η οποία περιορίζεται από τα όρια που θέτει η καμπύλη. Γίνεται δε σαφές ότι το τρίτο σώμα δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ αρκετά κοντά στη ελήνη ώστε να επηρεάζεται κατά κύριο λόγο από το πεδίο της. Η χρησιμότητα των ισοδυναμικών καμπύλων είναι προφανής και γι αυτό στο σχήμα 3. δίνονται οι διάφορες μορφές που παίρνουν με τη μεταβολή του C J. το σχήμα 3.α έχει σχεδιαστεί η ισοδυναμική καμπύλη του σχήματος 3. που είναι αντιπροσωπευτική μορφή για χαμηλές ενέργειες. Η αμέσως επόμενη, ενεργειακά, οικογένεια ισοδυναμικών καμπύλων έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 3.β αυτές οι ενέργειες είναι οι χαμηλότερες για τις οποίες υπάρχει η δυνατότητα μετάβασης από τη Γη στη ελήνη, αλλά δεν είναι αρκετές για τη διαφυγή από το σύστημα Γης ελήνης. το επόμενο ενεργειακό στάδιο οι ισοδυναμικές καμπύλες παίρνουν τη μορφή του σχήματος 3.γ και το τρίτο σώμα έχει τη δυνατότητα να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη, αλλά και να διαφύγει από το πεδίο τους μόνον όμως από την 0

21 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα 3. C J = πλευρά της ελήνης. Τέλος, στην ενεργειακή κατάσταση που περιγράφεται από τις καμπύλες του σχήματος 3.δ το σώμα έχει τη δυνατότητα να διαφύγει από το πεδίο Γης ελήνης και από την πλευρά της Γης όπως φαίνεται και από το σχήμα, όμως, υπάρχουν δύο περιοχές στις οποίες το σώμα δεν μπορεί να κινηθεί. Προφανώς οι περιοχές αυτές όσο αυξάνεται η ενέργεια μικραίνουν και όταν η σταθερά C J πάρει την τιμή C J = εξαφανίζονται από την ενέργεια που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή της σταθεράς Jacobi και για υψηλότερες ενέργειες, το σώμα μπορεί να κινείται οπουδήποτε στο χώρο. Οι τιμές C J = , C J = και C J = είναι αυτές στις οποίες γίνεται η αλλαγή της μορφής των ισοδυναμικών καμπύλων και τα αντίστοιχα σχέδια φαίνονται στο σχήμα 3.3. Τα σημεία που τονίζονται με πράσινο χρώμα (στο ίδιο σχήμα) είναι αυτά στα οποία ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες κατά την αλλαγή της μορφής τους και αποτελούν τα σημεία ισορροπίας της κίνησης για τα οποία γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Για να υπάρχει εποπτεία της συνεχής μεταβολής των ισοδυναμικών καμπύλων συναρτήσει του C, κατασκευάζεται το τρισδιάστατο σχήμα 3.4. J

22 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα 3. C J = C J = α 3.β C J =.56 C J = γ 3. δ Το δεύτερο μέλος της σχέσης (3.9) πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση επιτρέπεται εκεί που τα επίπεδα σταθερής C J έχουν μεγαλύτερη τιμή από αυτή της γραφικής παράστασης του σχήματος 3.4. την ουσία, η τομή ενός επιπέδου σταθερής C J με τη γραφική παράσταση δίνει μία ισοδυναμική καμπύλη που θα έχει μία από τις μορφές που παρατέθηκαν στο σχήμα 3..

23 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα χήμα 3.4 3

24 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.3 ημεία Ισορροπίας Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης σε ένα πεδίο είναι τα σημεία ισορροπίας. Η θέση των σημείων αυτών για το υπό μελέτη πρόβλημα φαίνεται στο σχήμα 3.3 με πράσινες τονισμένες τελείες, ενώ η ονομασία τους προκύπτει από τη σειρά με την οποία ανοίγουν σε αυτά οι ισοδυναμικές καμπύλες. Έτσι, καθώς αυξάνεται η ενέργεια του τρίτου σώματος, οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν όταν C J = στο σημείο L που βρίσκεται μεταξύ Γης ελήνης αυτή είναι η χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση για την οποία το σώμα μπορεί να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη. Το L σημείο ισορροπίας βρίσκεται πάνω στον άξονα Γης ελήνης και από την εξωτερική πλευρά της ελήνης στο σημείο αυτό ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες όταν C J = Για C J = οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν στο σημείο L3 που βρίσκεται πάνω στον άξονα των ξ και από την εξωτερική πλευρά της Γης. Τα σημεία L4 και L5 είναι αυτά στα οποία εξαφανίζονται οι απαγορευμένες περιοχές του σχήματος 3.δ όταν C J = Οι θέσεις των σημείων ισορροπίας, όπως φαίνεται και από το σχήμα 3.3, είναι σταθερές στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων ακολουθούν, δηλαδή, την περιστροφή της ελήνης γύρω από τη Γη. Προκύπτουν δε από το μηδενισμό των μερικών παραγώγων της συνάρτησης υποθετικού δυναμικού (βλ. σχέση (3.8)), λύνοντας, δηλαδή, το σύστημα εξισώσεων V = 0 x V = 0 y (3.0α) (3.0β) Οι συντεταγμένες των πέντε σημείων ισορροπίας με ακρίβεια μέχρι και 6 ου δεκαδικού * στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων είναι οι ακόλουθες: Για το L ( x, y ) ( ,0) Για το L ( x, y ) (.5568,0) Για το L3 ( x 3, y3 ) (.00506,0) Για το L4 ( x 4, y 4 ) ( , ) Για το L5 (, y ) ( , ) = (3.α) = (3.β) = (3.γ) = (3.δ) 5 = (3.ε) x 5 Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι θέσεις των L4 και L5 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα των ξ, και είναι τέτοιες ώστε να σχηματίζονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα με τη Γη και τη ελήνη. Είναι επίσης οι θέσεις που φιλοξενούν τα ευσταθή σημεία ισορροπίας του συστήματος τα υπόλοιπα L, L και L3 σημεία ισορροπίας είναι ασταθή. * Ο τρόπος εύρεσης των σ.ι. αλλά και μεγαλύτερη ακρίβεια δίνονται στο παράρτημα 4

25 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση Μία απλή μελέτη της ευστάθειας μπορεί να γίνει αφήνοντας το τρίτο σώμα σε περιοχές κοντά στις θέσεις ισορροπίας με μηδενική ταχύτητα και καταγράφοντας την τροχιά του. Για τα ευσταθή L4 και L5, ακόμα και για αρκετά μεγάλες αποστάσεις από την ακριβή θέση ισορροπίας το σώμα θα κινείται στην ίδια περιοχή όπως και στο σχήμα 3.5. την περίπτωση αυτή, το τρίτο σώμα έχει τοποθετηθεί σε απόσταση km από το L4 με μηδενική ταχύτητα ακόμα και 7 μέρες μετά (τόσος είναι ο χρόνος της τροχιάς του σχήματος) κινείται στην ίδια περιοχή. Αντίθετα, για τα ασταθή L, L και L3 με όσο μεγαλύτερη ακρίβεια τοποθετηθεί το σώμα στη θέση ισορροπίας, για τόσο μεγαλύτερο διάστημα θα παραμείνει σε εκείνη την περιοχή. το σχήμα 3.6 φαίνεται η τροχιά ενός σώματος που τοποθετήθηκε σε απόσταση 8.34 m από το L με μηδενική σχετική ταχύτητα. Για τις πρώτες 6. μέρες το σώμα παραμένει σε πολύ μικρές αποστάσεις από το L (σχήμα 3.6α). Μέσα στις 43.5 πρώτες μέρες διαγράφει την τροχιά του σχήματος 3.6β, ενώ στις 87 πρώτες μέρες έχει ξεφύγει τελείως από την περιοχή που αρχικά τοποθετήθηκε διαγράφοντας την τροχιά του σχήματος 3.6γ. Εάν το σώμα είχε τοποθετηθεί σε απόσταση 39 m από το L, μετατοπισμένο κατά την ίδια διεύθυνση, θα είχε αρχίσει να διαφεύγει από την περιοχή αυτή ήδη μετά τις πρώτες.7 μέρες. 5

26 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα χήμα α β γ

27 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση 3.4 Η Τομή Poincare 3.4α Τι Είναι Η Τομή Poincare Έχοντας ολοκληρώσει την έρευνα γύρω από τη δυναμική του τρίτου σώματος στο πεδίο Γης ελήνης, από το σημείο αυτό και έπειτα βασικό θέμα είναι η περιγραφή τροχιών. την περίπτωση που δεν ενδιαφέρει τόσο η παρακολούθηση της τροχιάς κάθε χρονική στιγμή όσο η ποιοτική της μελέτη, ένας τρόπος απεικόνισης είναι οι τομές Poincare για τις οποίες γίνεται λόγος σε αυτή την παράγραφο. Θεωρώντας κινήσεις που αντιστοιχούν σε μία σταθερή τιμή του ολοκληρώματος Jacobi κινήσεις δηλαδή, σταθερής ενέργειας και επιλέγοντας επιπλέον την συνθήκη y = 0, κατασκευάζεται μία διδιάστατη επιφάνεια που ονομάζεται επιφάνεια τομής. Από την σχέση (3.7) φαίνεται ότι κάθε σημείο της επιφάνειας αυτής προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του συστήματος, αφού τα x, x& προσδιορίζονται σαν συντεταγμένες του σημείου, το C είναι σταθερό και y = 0. Τέλος, θα είναι: J μ Γ μ ( 3.7) y& = C ( x + y ) y& = ± C J J μ + R R Γ μ + R R + x x& x& και η αβεβαιότητα στο πρόσημο του y&, μπορεί να ξεπεραστεί κατασκευάζοντας την επιφάνεια τομής με σημεία για τα οποία είναι π.χ. y & < 0. Η επιφάνεια τομής ονομάζεται και τομή Poincare και βοηθάει πολύ στον ποιοτικό διαχωρισμό των τροχιών σε τρεις βασικές κατηγορίες για τις οποίες γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Μία ακόμα αρκετά σημαντική προσφορά των τομών Poincare είναι ότι βοηθούν στην εκτίμηση των αποστάσεων από τις οποίες διέρχεται το τρίτο σώμα σε σχέση με τη Γη και τη ελήνη. Αυτό, τις καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμες για τη μελέτη των τροχιών που γίνεται στο επόμενο κεφάλαιο καθώς ενδιαφέρουν κυρίως τροχιές που περνούν κοντά από τη Γη αλλά και τη ελήνη. 3.4β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών Όπως έγινε σαφές στην παράγραφο 3.4α, κάθε σημείο της τομής Poincare καθορίζει πλήρως το σύστημα και επομένως αντιστοιχεί σε μία και μόνο τροχιά του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή ενέργειας (δηλαδή για κάθε τιμή του ολοκληρώματος Jacobi) μπορεί να κατασκευαστεί μία επιφάνεια 7

28 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη τομής με πλήθος αντιπροσωπευτικών τροχιών η οποία παρέχει πλήρη εποπτεία της δυναμικής του συστήματος. Για να γίνεται όμως αντιληπτή η συμπεριφορά μιας τροχιάς από την απεικόνισή της στην τομή Poincare, στο σημείο αυτό παρατίθενται τα χαρακτηριστικά των τριών βασικών κατηγοριών τροχιών όπως αυτά παρουσιάζονται στις επιφάνειες τομής. Έτσι, μία τροχιά που στην τομή Poincare απεικονίζεται ως ένας πεπερασμένος αριθμός k για παράδειγμα σημείων θα είναι περιοδική, με περίοδο k. Μία τροχιά που στην τομή Poincare αποτελείται από άπειρα σημεία τα οποία για t σχηματίζουν κλειστή καμπύλη, θα αποκαλείται ημιπεριοδική τροχιά η δε κλειστή καμπύλη ονομάζεται αναλλοίωτος κύκλος. Τέλος, τροχιές που απεικονίζονται με άτακτα διασκορπισμένα σημεία, ονομάζονται χαοτικές τροχιές. Οι τροχιές αυτού του είδους έχουν απρόβλεπτη συμπεριφορά με το πέρασμα του χρόνου και εμφανίζουν εξαιρετική ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Τ χήμα 3.7 Τ Τ3 Τ Τ3 Τ Τ Το σχήμα 3.7 δείχνει την τομή Poincare του συστήματος για 6 C J. =, ενώ οι δείκτες που έχουν τοποθετηθεί υποδεικνύουν τη θέση των σημείων που απεικονίζουν τις τροχιές τ, τ και τ3. ύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η τ τροχιά είναι περιοδική, η τ ημιπεριοδική και 8

29 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση η τ3 χαοτική. Για τις τρεις αυτές τροχιές κατασκευάζεται το σχήμα 3.8 στο οποίο φαίνεται η 30 ημερών εξέλιξή τους στο αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Τροχιά Αδρανειακό χήμα 3.8 ύστημα υντεταγμένων Περιστρεφόμενο Τ Τ Τ

30 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.4γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη Όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 3., η περιοχή κίνησης αλλά και το είδος των τροχιών του τρίτου σώματος εξαρτώνται από την ενέργειά του. Για αυτό τον λόγο, εξετάζονται παρακάτω οι τομές Poincare για τις χαρακτηριστικές περιοχές τιμών του ολοκληρώματος C J. τα διαγράμματα αυτά, η Γη βρίσκεται στην θέση x 0, ενώ η ελήνη στην x η μιλλιμετρέ περιοχή είναι αυτή στην οποία δεν έχει την δυνατότητα να εισέλθει το σώμα λόγω της ενέργειάς του. Επίσης υπενθυμίζεται ότι στις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιούνται παρακάτω, η y& συνιστώσα είναι αρνητική. Αρχικά παρατίθεται στο σχήμα 3.9 η τομή Poincare για C J =. 9. Η ενέργεια αυτή είναι αρκετά χαμηλή και πρακτικά δεν υπάρχουν χαοτικές τροχιές. χήμα 3.9 C J =.9 Παρατηρώντας την επιφάνεια τομής εύκολα μπορεί κανείς να χωρίσει τις τροχιές σε τέσσερις κατηγορίες, με βάση την περιοχή στην οποία εμφανίζονται τα σημεία που την απεικονίζουν. Έτσι προκύπτουν οι τροχιές που δίνουν σημεία αριστερά της Γης, στις οποίες το τρίτο σώμα κινείται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής της ελήνης και οι οποίες αποκαλούνται direct (σχήμα 3.0α). Αντίστροφα τώρα, στις τροχιές που δίνουν σημεία δεξιά 30

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015 ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ «Μπορούμε να παρομοιάσουμε τις έννοιες που δεν έχουν καμιά θεμελίωση στη φύση, με τα δάση εκείνα του Βορρά όπου τα δένδρα δεν έχουν καθόλου ρίζες. Αρκεί ένα φύσημα του αγέρα, ένα ασήμαντο γεγονός για να

Διαβάστε περισσότερα

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o Στις ασκήσεις Κινητικής υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να δουλέψουμε. Ένας από αυτούς είναι με τη σωστή χρήση των εξισώσεων θέσης (κίνησης) και ταχύτητας των σωμάτων που περιγράφονται. Τα βήματα που ακολουθούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα

Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα Φυσική έννοια Φυσική έννοια Φαινόμενα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα Ένα τρένο που ταξιδεύει αλλάζει διαρκώς θέση, το ίδιο ένα αυτοκίνητο και ένα πλοίο ή αεροπλάνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Και τα στερεά συγκρούονται

Και τα στερεά συγκρούονται Και τα στερεά συγκρούονται Εξετάζοντας την ελαστική κρούση υλικών σημείων, ουσιαστικά εξετάζουμε την κρούση μεταξύ δύο στερεών σωμάτων, δύο μικρών σφαιρών, τα οποία εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών

Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών Διονύσης Στεφανάτος Ειδικός Επιστήμονας, Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων 1. Εισαγωγή Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζουμε μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας 5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας Ομαλή κυκλική κίνηση Κίνηση σωματίου σε κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών.

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών. Γ Λυκείου 26 Απριλίου 2014 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διατήρηση Ορμής Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός htt://hyiccore.wordre.co/ Βασικές Έννοιες Μέχρι τώρα έχουμε ασχοληθεί με την μελέτη ενός σώματος και μόνο. Πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 5. Μελέτη ευθύγραμμης ομαλής και επιταχυνόμενης κίνησης.

ΠΕΙΡΑΜΑ 5. Μελέτη ευθύγραμμης ομαλής και επιταχυνόμενης κίνησης. ΠΕΙΡΑΜΑ 5 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλής και επιταχυνόμενης κίνησης. Σκοπός του πειράματος Σκοπός του πειράματος είvαι vα μελετηθούν τα βασικά φυσικά μεγέθη της μεταφορικής κίνησης σε μία διάσταση. Τα μεγέθη

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο 1) Σημειακή μάζα 0.4 kg εκτοξεύεται με ταχύτητα 17 m/s στο t = 0 από την αρχή των αξόνων με γωνία 72 0 ως προς τον άξονα x ο οποίος είναι παράλληλος με το έδαφος. Εάν στη μάζα ασκείται μόνο το βάρος της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις . Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις Εξετάζοντας την αιώρα παρατηρούμε ότι στα ανώτατα σημεία η ενέργεια μοιάζει να έχει αποθηκευτεί υπό κάποια άλλη μορφή, που συνδέεται με το ύψος της πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

1. Υλικό σημείο 2. Τροχιά διάνυσμα θέσης 3. Η μετατόπιση 4. ιάγραμμα θέσης χρόνου 5. Η ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση. 24-Σεπ-14.

1. Υλικό σημείο 2. Τροχιά διάνυσμα θέσης 3. Η μετατόπιση 4. ιάγραμμα θέσης χρόνου 5. Η ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση. 24-Σεπ-14. Γενική Φυσική Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) Καστοριά, Σεπτέμβριος 14 Εισαγωγή στην (ευθύγραμμη) κίνηση 1. Υλικό σημείο 2. Τροχιά διάνυσμα θέσης 3. 4. 5. στην ευθύγραμμη κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία 1 =2μC και 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Λυκείου Διαγώνισμα Κινηματική. Θέμα 1 ο. Φυσική Α Λυκείου: Διαγώνισμα Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

Φυσική Α Λυκείου Διαγώνισμα Κινηματική. Θέμα 1 ο. Φυσική Α Λυκείου: Διαγώνισμα Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Φυσική Α Λυκείου Διαγώνισμα Κινηματική. Θέμα 1 ο 1.1. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμμη ομαλή όταν: α) Η τροχιά είναι ευθεία. β) Η ταχύτητα έχει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 1. Νήμα τυλίγεται σε λεπτό αυλάκι κατά μήκος της περιφέρειας κυλίνδρου, που έχει μάζα 2 kg και ακτίνα 0,2 m. Ο κύλινδρος συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, με το νήμα να εξέχει τεντωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ

ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Οι δακτύλιοι του Κρόνου είναι ένα σύστημα πλανητικών δακτυλίων γύρω από αυτόν. Αποτελούνται από αμέτρητα σωματίδια των οποίων το μέγεθος κυμαίνεται από μm μέχρι m, με

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

8 ο Μάθημα Περιστροφική κίνηση

8 ο Μάθημα Περιστροφική κίνηση 8 ο Μάθημα Περιστροφική κίνηση Κέντρο μάζας Στερεό σώμα Γωνιακή ταχύτητα γωνιακή επιτάχυνση Περιστροφή με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Σχέση γωνιακής ταχύτητας και επιτάχυνσης Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες

1. Ιδιότητες φακών. 1 Λεπτοί φακοί. 2 Απριλίου Βασικές έννοιες . Ιδιότητες φακών 2 Απριλίου 203 Λεπτοί φακοί. Βασικές έννοιες Φακός είναι ένα οπτικό σύστημα με δύο διαθλαστικές επιφάνειες. Ο απλούστερος φακός έχει δύο σφαιρικές επιφάνειες αρκετά κοντά η μία με την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1 Ορμή και Δύναμη Η ορμή p είναι διάνυσμα που ορίζεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος 1. Ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς = 0 π N/ και μάζας = 0, g τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν είναι Α 1 και Α τα πλάτη της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Εισαγωγή Στην Α Λυκείου είχαμε μελετήσει τη δύναμη προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις

Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις Φυσική Β Γυμνασίου Κεφάλαιο 3 Δυνάμεις Σχέσεις Σύνθεση Ισορροπία Ίσες Δυνάμεις Δυο δυνάμεις F 1 και F 2 είναι ίσες αν και μόνο αν έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο. F = F Στην περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

α. 2 β. 4 γ. δ. 4 2 Μονάδες 5

α. 2 β. 4 γ. δ. 4 2 Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ Β Λ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Το διαστημόπλοιο Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Όταν δίνονται οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα σώμα, υπολογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και από τη σχέση (ΣF=m.α ) την επιτάχυνσή του.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου.

το άκρο Β έχει γραμμική ταχύτητα μέτρου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Μια ράβδος ΑΒ περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από έναν σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από ένα σημείο πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα