Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη Σελήνη"

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης χολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη Διπλωματική Εργασία Αντωνιάδης Παναγιώτης Δημήτριος ΑΕΜ 0568 Ιανουάριος 006

2

3 Υπεύθυνος καθηγητής Γ. Βουγιατζής 3

4 4

5 Περιεχόμενα. Εισαγωγή...7. Το ύστημα Γη ελήνη...9. Παραδοχές...9. υστήματα υντεταγμένων...9.α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...9.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων....γ Βαθμοί Ελευθερίας....δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων Εξισώσεις Κίνησης...4.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες...4.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων...5.3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Ποιοτική Ανάλυση Το Ολοκλήρωμα Jacobi Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας ημεία Ισορροπίας Η Τομή Poincare α Τι Είναι Η Τομή Poincare β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη Περιοδικές Τροχιές Υψηλών Ενεργειών α Τρόπος Εύρεσης Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής β Αποτελέσματα Τροχιές Από Την Γη τη ελήνη Προσέγγιση τη ελήνη Η Μεταβατική Ταχύτητα Παραδείγματα Προσεγγίσεων...56 Παράρτημα...63 Παράρτημα...65 Παράρτημα Βιβλιογραφία...73

6 6

7 . Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό, βασικός παράγοντας που καθορίζει τη δυσκολία στη μελέτη ενός συστήματος αλληλεπιδρώντων σωμάτων, είναι ο αριθμός των σωμάτων που το συνιστούν. Μέχρι σήμερα, αναλυτική λύση έχει βρεθεί για το πρόβλημα δύο αλληλεπιδρώντων, με αμοιβαίες βαρυντικές δυνάμεις, σωμάτων που είναι και το απλούστερο ενώ το πρόβλημα των τριών σωμάτων, που εδώ και αιώνες κεντρίζει το ενδιαφέρoν μεγάλων μαθηματικών και φυσικών, έχει λυθεί μόνον αριθμητικά. Το θέμα της εργασίας αυτής είναι μία απλοποιημένη μορφή του προβλήματος των τριών σωμάτων, που στη διεθνή βιβλιογραφία είναι γνωστό ως Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων. Γίνεται δε εφαρμογή του προβλήματος στο σύστημα Γη ελήνη. την απλουστευμένη αυτή περίπτωση το τρίτο σώμα, η κίνηση του οποίου μελετάται, θεωρείται ότι έχει αμελητέα μάζα σε σχέση με αυτή των άλλων δύο έτσι, ενώ κινείται στο πεδίο τους δεν επηρεάζει την κίνησή τους. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη μελέτη του συστήματος, τα δύο σώματα θα έχουν καθορισμένες τροχιές (που υπαγορεύονται από την μεταξύ τους αλληλεπίδραση), ενώ η κίνηση του τρίτου θα δίνεται από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης του r r r δεύτερου νόμου του Νεύτωνα m γ = F + F (όπου F r και F r οι δυνάμεις που δέχεται το 3 ο σώμα από το ο και το ο αντίστοιχα). Παρά όμως την εισαγωγή της παραδοχής αυτής και αρκετών άλλων που καθιστούν το πρόβλημα αρκετά απλό, η λύση των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης του τρίτου σώματος συνεχίζει να δίνεται αριθμητικά. ε πολλές περιπτώσεις παρουσιάζεται ευαίσθητη εξάρτηση της εξέλιξης των τροχιών από τις αρχικές συνθήκες και εμφανίζεται χάος. Όλα αυτά θα αναπτυχθούν στο κεφάλαιο 3 όπου και γίνεται η ποιοτική μελέτη του προβλήματος για το σύστημα Γης ελήνης. Προηγουμένως όμως, στο κεφάλαιο γίνεται λεπτομερής περιγραφή του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο πεδίο Γης ελήνης ορίζονται το αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή του, όπως και οι μετασχηματισμοί από το ένα σύστημα στο άλλο. Τέλος δίνονται και οι εξισώσεις της κίνησης σύμφωνα με τις οποίες εξελίσσονται οι τροχιές του τρίτου σώματος. Η εισαγωγή στο κεφάλαιο 3 γίνεται με τον ορισμό του ολοκληρώματος Jacobi και την περιγραφή της χρησιμότητάς του στη μελέτη του προβλήματος. Κάνοντας χρήση του ολοκληρώματος αυτού κατασκευάζονται οι ισοδυναμικές καμπύλες του συστήματος για αντιπροσωπευτικές ενέργειες και με τη βοήθεια αυτών βρίσκονται οι περιοχές στις οποίες μπορεί να κινείται το σώμα. τη συνέχεια γίνεται μελέτη των σημείων ισορροπίας, τα οποία έχουν καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση των ισοδυναμικών καμπύλων στις διάφορες ενεργειακές περιοχές. την παράγραφο 3.4 ορίζεται η τομή Poincare έτσι όπως χρησιμοποιείται για την επεξεργασία του προβλήματος και για

8 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χαρακτηριστικές ενέργειες κατασκευάζονται οι τομές Poincare του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο σύστημα Γη ελήνη. Παράλληλα, γίνεται ποιοτική μελέτη των τομών περιγράφεται, δηλαδή, το είδος των τροχιών που αναμένεται στις αντίστοιχες ενέργειες, σε συνάρτηση με τις αρχικές τους συνθήκες. Τέλος, η παράγραφος 3.5 αφιερώνεται σε μία οικογένεια περιοδικών τροχιών που βρέθηκε κατά την κατασκευή των τομών Poincare για υψηλές ενέργειες. το κεφάλαιο 4 γίνεται λεπτομερής ανάλυση τροχιών με αντιπροσωπευτικές ενέργειες. Οι τροχιές αυτές εκκινούν από την γειτονιά της Γης και η πλειοψηφία τους πλησιάζει σε πολύ μικρές αποστάσεις από τη ελήνη έμφαση δίνεται στους χρόνους που το σώμα προσεγγίζει τη ελήνη από τη στιγμή που θα ξεκινήσει την τροχιά του και στην ελάχιστη απόσταση που θα επιτύχει κατά την προσέγγιση. Παρατίθενται δε σχήματα με απεικονίσεις των τροχιών και στα δύο συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία του προβλήματος. Τέλος, οι προσεγγίσεις στη ελήνη αποτελούν αντικείμενο του 5 ου κεφαλαίου. τόχος της ανάλυσης που γίνεται είναι να τεθεί το τρίτο σώμα σε περιστροφική τροχιά γύρω από τη ελήνη τη στιγμή που θα απαιτείται η ελάχιστη δυνατή μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητάς του. Δίνονται σχήματα με την τροχιά του σώματος πριν και μετά την μεταβολή της ταχύτητάς του, όπως και αναλυτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα της επεξεργασίας για κάθε χρονική στιγμή της προσέγγισης. 8

9 . Το ύστημα Γη ελήνη. Παραδοχές Από το σημείο αυτό και έπειτα, όλη η ανάλυση που ακολουθεί αφορά την κίνηση σώματος στο πεδίο του συστήματος Γης ελήνης. Για τη μελέτη του συστήματος αυτού, εισάγονται δύο παραδοχές. Θα θεωρηθεί, λοιπόν, ότι το σύστημα είναι απομονωμένο. Αυτό σημαίνει ότι δεν λαμβάνονται υπόψη οι αλληλεπιδράσεις, των τριών σωμάτων, με το υπόλοιπο ηλιακό σύστημα (ήλιος και πλανήτες), όπως επίσης αγνοούνται και οι σαφώς ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις με τους γειτονικούς γαλαξίες. Η δεύτερη παραδοχή αφορά την κίνηση της ελήνης γύρω από τη Γη. Ενώ λοιπόν είναι γνωστό ότι η κίνηση αυτή είναι σχεδόν ελλειπτική, για τη λύση του προβλήματος θεωρείται ότι Γη και ελήνη περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους σε κυκλικές τροχιές και με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.. υστήματα υντεταγμένων Βασικό ρόλο, στη διευκόλυνση της επεξεργασίας και της κατανόησης ενός φυσικού προβλήματος, έχει η επιλογή του κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Θεωρώντας το σύστημα των σωμάτων απομονωμένο, αδρανειακό σύστημα αναφοράς θα θεωρείται το ακίνητο ως προς το κέντρο μάζας των σωμάτων. Το δε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς θα έχει κέντρο το κέντρο μάζας των σωμάτων και άξονα τετμημένων, τον περιστρεφόμενο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, άξονα που συνδέει τη Γη και τη ελήνη..α Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων ε αυτό το σύστημα συντεταγμένων η Γη και η ελήνη κινούνται και επομένως η απεικόνιση της τροχιάς του τρίτου σώματος δεν βοηθάει στην κατανόηση της σχετικής του θέσης με τα δύο άλλα. Παρά το γεγονός αυτό όμως, επειδή η Γη κινείται πολύ κοντά στο κέντρο βάρους, οι ταχύτητες του τρίτου σώματος, ως προς το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, είναι πολύ κοντά σε αυτές που θα μετρούσε ένας παρατηρητής της επιφάνεια της Γης (που όμως δεν ακολουθεί την ιδιοπεριστροφή της). το σχήμα.α φαίνεται η τροχιά ενός σώματος έτσι όπως αυτή αναπαρίσταται στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων. Η μπλε χρώματος

10 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη κουκκίδα κοντά στην αρχή των αξόνων δείχνει τη θέση της Γης, ενώ η μαύρη κουκκίδα τη θέση της ελήνης. χήμα. t = 5.d t =.34d α.β t =.6d γ το χρονικό διάστημα για το οποίο έχει σχεδιαστεί η τροχιά το σώμα περνά σε πολύ μικρή απόσταση από τη ελήνη. Αυτό όμως δε γίνεται αντιληπτό γιατί συνέβη σε μία χρονική στιγμή που η ελήνη δεν ήταν στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Πιο συγκεκριμένα, η τροχιά που έχει σχεδιαστεί είναι διάρκειας 5. ημερών, ενώ το σώμα είχε ελάχιστη απόσταση από την ελήνη. 34 ημέρες περίπου από την εκκίνηση της τροχιάς του. Προφανώς, σε μία απεικόνιση της τροχιάς από την στιγμή της εκκίνησης μέχρι και. 34 ημέρες μετά, η κουκκίδα της ελήνης θα είναι πολύ κοντά στην γραμμή της τροχιάς (σχήμα.β) αλλά μόνο με την συγκεκριμένη απεικόνιση φαίνεται ότι το σώμα πέρασε κοντά από τη ελήνη. Παρερμηνεία της τροχιάς μπορεί επίσης να γίνει και σε μία περίπτωση σαν αυτή του σχήματος.γ, στο οποίο η τροχιά του σώματος τέμνει τη ελήνη και κάποιος μπορεί να θεωρήσει ότι το σώμα προσκρούει σε αυτή. Τη χρονική στιγμή όμως που απεικονίζεται στο σχήμα (. 6 ημέρες μετά την εκκίνηση του σώματος), η ελήνη βρίσκεται σε μία θέση από την οποία έχει ήδη περάσει το σώμα και επομένως δε συμβαίνει σύγκρουση. 0

11 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη.β Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Όλες αυτές οι δυσκολίες στην κατανόηση μιας τροχιάς μπορούν να ξεπεραστούν με την προβολή της στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτό το σύστημα συντεταγμένων «ακολουθεί» την περιστροφική με σταθερή γωνιακή ταχύτητα κίνηση της Γης και της ελήνης γύρω από το κέντρο μάζας τους με αποτέλεσμα οι περιστρεφόμενες συντεταγμένες τους να παραμένουν πάντα σταθερές. Αυτό βοηθάει κυρίως στην άμεση εποπτεία των αποστάσεων από τις οποίες έχει διέλθει το σώμα σε σχέση με τη ελήνη. Όσον αφορά τις αποστάσεις από την Γη, και αυτές γίνονται άμεσα αντιληπτές, αλλά η διαφορά από το αδρανειακό σύστημα δεν είναι τόσο μεγάλη, αφού και εκεί η Γη παραμένει πολύ κοντά στο κέντρο μάζας και επομένως είναι σχεδόν ακίνητη. το σχήμα. φαίνεται η τροχιά του σχήματος. όπως αυτή αναπαρίσταται στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. χήμα. t = 5.d Παρά το γεγονός ότι έχει σχεδιαστεί η εξέλιξη της τροχιάς μέχρι και 5. ημέρες μετά την εκκίνησή της, φαίνεται ότι το σώμα, μέσα στο χρονικό διάστημα αυτό, πλησίασε κάποια στιγμή αρκετά κοντά στη ελήνη. Όσο μεγάλο και να είναι, λοιπόν, το διάστημα για το οποίο σχεδιάζεται μία τροχιά στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων, δεν χάνεται η πληροφορία μιας ενδεχόμενης προσέγγισης στη ελήνη που συνέβη εντός του διαστήματος αυτού.

12 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη.γ Βαθμοί Ελευθερίας Πέρα από την εποπτική διευκόλυνση που προσφέρει το περιστροφικό σύστημα συντεταγμένων, ο λόγος για τον οποίο ορίζεται είναι για να μειώσει τις παραμέτρους του συστήματος των τριών σωμάτων. χήμα.3 Αρχικά, στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων (βλ. σχήμα.3) χρειάζονται τρία ζεύγη συντεταγμένων για την πλήρη περιγραφή του συστήματος το ( ξ, η Γ Γ ) για τη Γη, το ( ξ, η ) για τη ελήνη και το ( ξ, η ) για το τρίτο σώμα. Η Γη και η ελήνη όμως, περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, και επομένως εισάγονται δύο σκληρόνομοι δεσμοί που περιγράφονται από τις εξισώσεις ξ η Γ Γ = r Γ = r Γ cosωt sinωt ή ξ η = r = r cosωt sinωt (.) και οι παράμετροι του συστήματος μειώνονται σε τέσσερις. Ένας ακόμη δεσμός είναι αυτός που περιγράφεται στην δεύτερη παραδοχή της παραγράφου., ο ω = σταθ. Τέλος, η απόσταση Γης ελήνης είναι γνωστή (τέταρτος δεσμός) επομένως, ένα από τα δύο ζεύγη εξισώσεων (.) μαζί με τις εξισώσεις m m Γ Γ ξ η Γ Γ + m + m ξ η = = ( m Γ + m ) ξ Κ ( m Γ + m ) ηκ (.) θα δίνει τις συντεταγμένες της Γης και της ελήνης. Δηλαδή, οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος μειώνονται στους δύο και αυτό που απομένει είναι η επιλογή των γενικευμένων συντεταγμένων που θα ξ, η για το περιγράφουν τη θέση του τρίτου σώματος. Αυτές θα είναι οι ( ) αδρανειακό ή οι ( x, y) για το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Η

13 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη διαφορά είναι ότι στην περίπτωση του αδρανειακού συστήματος συντεταγμένων, πέρα της θέσης του τρίτου σώματος θα πρέπει να δίνονται και οι θέσεις της Γης και της ελήνης οι οποίες, παρόλο που είναι γνωστές, θα μεταβάλλονται αντίθετα, στο περιστρεφόμενο σύστημα θα παραμένουν σταθερές: x y Γ Γ = r Γ = 0 και x y = r = 0 όπως φαίνεται και στο σχήμα.4. χήμα.4.δ Μετασχηματισμοί υντεταγμένων Πριν γίνει η περιγραφή των εξισώσεων κίνησης στα δύο συστήματα συντεταγμένων, κρίνεται χρήσιμο να δοθούν οι μετασχηματισμοί θέσης και ταχύτητας από το ένα σύστημα στο άλλο για να υπάρχει η δυνατότητα να λύνεται και να σχεδιάζεται η ίδια τροχιά και στις δύο περιπτώσεις. Από το σχήμα.3 προκύπτει ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων θέσης για τη μετάβαση από το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων στο αδρανειακό: ξ = cosωt x sinωt y η = sinωt x + cosωt y (.3) Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς το χρόνο, και λαμβάνοντας υπόψη ότι ω = σταθ, προκύπτει ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: ξ& = η& = ( x& y ω) cosωt ( y& + x ω) sinωt ( y& + x ω) cosωt ( y ω x& ) sinωt (.4) 3

14 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη Από το σχήμα.3 προκύπτει και ο αντίστροφος του μετασχηματισμού που περιγράφεται από τις σχέσεις (.3), αυτός δηλαδή που χρησιμοποιείται για την μετάπτωση από το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων στο περιστρεφόμενο: x = cosωt ξ + sinωt η y = sinωt ξ + cosωt η Με την παραγώγιση των σχέσεων (.5) και για αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων: x& = y& = ( ξ& + η ω) cosωt ( ξ ω η& ) sinωt ( η& ξ ω) cosωt ( ξ& + η ω) sinωt (.5) θ & = ω = σταθ, προκύπτει ο (.6) Όπως, όμως θα αναφερθεί και στην παράγραφο.3α για τις κανονικοποιημένες συντεταγμένες, στη λύση και την επεξεργασία του προβλήματος θα θεωρηθούν κατάλληλες μονάδες ώστε να είναι ω = και επομένως τα ζεύγη εξισώσεων (.4) και (.6) γίνονται αντίστοιχα ξ& = η& = ( x& y) cost ( y& + x) sint ( y& + x) cost ( y x& ) sint (.7) και x& = y& = ( ξ& + η) cost ( ξ η& ) sint ( η& ξ) cost ( ξ& + η) sint (.8).3 Εξισώσεις Κίνησης.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες ε αυτό το σημείο γίνεται μία σύντομη περιγραφή του συστήματος Γης ελήνης με αριθμούς. ήμερα, είναι γνωστό ότι η διάμετρος της Γης είναι km, ενώ η μάζα της είναι g. Για τη ελήνη είναι γνωστό ότι 5 έχει διάμετρο 3476 km και μάζα g ( 0.03 M Γ ) η τροχιά της γύρω από τη Γη γίνεται σε ακτίνα km και έχει περίοδο 7.3d. Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζουν μεταξύ τους διαφορές πολλών τάξεων μεγέθους και επομένως εάν εισαχθούν σαν δεδομένα για τις ίδιες εξισώσεις σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, θα φέρουν αποτελέσματα με αρκετά σημαντικά 4

15 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη σφάλματα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούνται κανονικοποιημένες μονάδες μήκους, μάζας και χρόνου στις εξισώσεις κίνησης. Κανονικοποιημένη μονάδα μήκους ορίζεται ως η απόσταση Γης ελήνης ( km ). Όσον αφορά τις μάζες, κανονικοποιημένη μονάδα ορίζεται το άθροισμα των μαζών της Γης και της ελήνης. μ + μ (.9) Γ = Τέλος, για τον ορισμό της κανονικοποιημένης μονάδας χρόνου, θεωρείται ότι για την παγκόσμια σταθερά έλξης ισχύει G = (.0) και επομένως η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος Γης ελήνης γύρω από το κέντρο βάρους ισούται με τη μονάδα θ & = ω =. Αυτό έχει σαν άμεση συνέπεια την αντιστοίχηση της περιόδου περιστροφής της ελήνης 7.3d σε τόξο π. Τελικά, η κανονικοποιημένη μονάδα χρόνου προκύπτει να είναι 4.348d.3β Εξισώσεις Κίνησης το Αδρανειακό ύστημα υντεταγμένων Ξεκινώντας από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση του τρίτου σώματος στο πεδίο της Γης και της ελήνης, θα είναι: r r r m γ = F + F (.) Όπου F r η δύναμη που δέχεται από τη Γη και F r η δύναμη που δέχεται από τη ελήνη. Δηλαδή, r m m ) m m v F = και (.) Γ Γ G r = G r 3 r r r F m m ) m m r = G r = G (.3) r 3 r r Όπου r ) ) = και (.4) r = (.5) Τελικά ( ξ ξ Γ ) i + ( η ηγ ) j ) ) ( ξ ξ ) i + ( η η ) j 5

16 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη r m v m r (.6) r r Γ (.) γ = G r G r 3 3 Για τις κανονικοποιημένες μάζες της Γης και της ελήνης μ μ Γ και μ θα ισχύει: m m = = (.7) m + m m = Γ Γ ( ) και επομένως ( ) μ = μ Γ = (.8) Αναλύοντας την (.6) στις συνιστώσες της, λαμβάνοντας υπόψη την (.0) και εισάγοντας τις μάζες μ Γ και μ, προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης του τρίτου σώματος στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων: & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = μ Γ + μ 3 3 r r & ξ Γ ξ ξ ξ ξ = (.9) 3 3 r r ηγ η η η & η& = μ Γ + μ 3 3 r r ηγ η η η & η = (.0) 3 3 r r Όπου, τα ( ξ, ) και (, ) η Γ Γ ξ η δεν είναι σταθερά, αλλά δίνονται από την λύση του συστήματος των σχέσεων (.), (.) και με αντικατάσταση των κανονικοποιημένων μαζών από τις (.7) και (.8): ξ Γ η Γ ξ η = cost (.) = sint (.) = cost (.3) = sint (.4).3γ Εξισώσεις Κίνησης το Περιστρεφόμενο ύστημα υντεταγμένων Μετασχηματίζοντας τις σχέσεις (.9) και (.0) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. x + μ x μ Γ & x = μ Γ + μ + y + x 3 3 R R & (.5) 6

17 Κεφάλαιο : Το ύστημα Γη ελήνη μ μ Γ & y = + y x + y 3 3 R R & (.6) Όπου τώρα τα R και R δίνονται από τις σχέσεις R R = = ( x x ) + ( y y ) Γ ( x x ) + ( y y ) Γ και (.7) Οι δε συντεταγμένες της Γης και της ελήνη στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων θα είναι σταθερές και ίσες με ( x Γ, y Γ ) ( ,0) ( x, y ) ( ,0) = (.8) = (.9) 7

18 8 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη

19 3. Ποιοτική Ανάλυση 3. Το Ολοκλήρωμα Jacobi Έχοντας περιγράψει τις εξισώσεις κίνησης του προβλήματος, επόμενος στόχος είναι να βρεθούν τα όρια της κίνησης για διάφορες ενέργειες αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του ολοκληρώματος Jacobi. Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του τρίτου σώματος που δίνονται από τις διαφορικές εξισώσεις (.5) και (.6), μπορούν να γραφούν και σαν μερικές παράγωγοι μίας βαθμωτής συνάρτησης U: U & x y& = x (3.) U & y + x& = y (3.) Όπου η U δίνεται από τη σχέση ( x + y ) μ μ U + Γ = + (3.3) R R Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (3.) επί x& και τη σχέση (3.) επί y& και προσθέτοντας, προκύπτει η σχέση U U du x & && x + y& && y = x& + y& = (3.4) x y dt η οποία μετά από ολοκλήρωση γίνεται x& + y& = U C (3.5) όπου C η σταθερά ολοκλήρωσης. Η (3.5) μέσω της (3.3) δίνει C μ μ ( x& + y& ) Γ = x + y + + R R (3.6) την προσπάθεια να έρθει ο όρος με τις γενικευμένες ταχύτητες σε μία μορφή που να μοιάζει με κινητική ενέργεια, πολλαπλασιάζεται η σταθερά C επί :

20 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη μ Γ μ ( x + y & ) + ( x + y ) C J C = & = R R (3.7) Η παράσταση αυτή έχει σταθερή τιμή κατά μήκος μιας τροχιάς και ονομάζεται ολοκλήρωμα Jacobi. Το ολοκλήρωμα αυτό, όπως είναι γραμμένο στη σχέση (3.7) έχει τη μορφή C J = T + V, όπου V το υποθετικό δυναμικό, ( x y ) μ μ = + R R (3.8) Γ V + επομένως, μπορεί να αποκαλείται και ολοκλήρωμα ενέργειας. 3. Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας Όπως στις μονοδιάστατες κινήσεις χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της ενέργειας για να βρεθούν τα όρια της κίνησης, έτσι και εδώ θα χρησιμοποιηθεί η σχέση (3.7): μ μ & J R R (3.9) Γ ( 3.7) ( x + y& ) = C ( x + y ) 0 Η σχέση αυτή ορίζει τις επιτρεπτές περιοχές κίνησης. Θεωρώντας την ισότητα με το μηδέν και δίνοντας στη σταθερά C J διάφορες τιμές, προκύπτουν καμπύλες που δείχνουν τις περιοχές στις οποίες μπορεί να κινηθεί το τρίτο σώμα με την ανάλογη ενέργεια. Οι καμπύλες αυτές ονομάζονται ισοδυναμικές καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. το σχήμα 3. φαίνεται η ισοδυναμική καμπύλη για C J = και μία τροχιά με αντίστοιχη ενέργεια η οποία περιορίζεται από τα όρια που θέτει η καμπύλη. Γίνεται δε σαφές ότι το τρίτο σώμα δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ αρκετά κοντά στη ελήνη ώστε να επηρεάζεται κατά κύριο λόγο από το πεδίο της. Η χρησιμότητα των ισοδυναμικών καμπύλων είναι προφανής και γι αυτό στο σχήμα 3. δίνονται οι διάφορες μορφές που παίρνουν με τη μεταβολή του C J. το σχήμα 3.α έχει σχεδιαστεί η ισοδυναμική καμπύλη του σχήματος 3. που είναι αντιπροσωπευτική μορφή για χαμηλές ενέργειες. Η αμέσως επόμενη, ενεργειακά, οικογένεια ισοδυναμικών καμπύλων έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 3.β αυτές οι ενέργειες είναι οι χαμηλότερες για τις οποίες υπάρχει η δυνατότητα μετάβασης από τη Γη στη ελήνη, αλλά δεν είναι αρκετές για τη διαφυγή από το σύστημα Γης ελήνης. το επόμενο ενεργειακό στάδιο οι ισοδυναμικές καμπύλες παίρνουν τη μορφή του σχήματος 3.γ και το τρίτο σώμα έχει τη δυνατότητα να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη, αλλά και να διαφύγει από το πεδίο τους μόνον όμως από την 0

21 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα 3. C J = πλευρά της ελήνης. Τέλος, στην ενεργειακή κατάσταση που περιγράφεται από τις καμπύλες του σχήματος 3.δ το σώμα έχει τη δυνατότητα να διαφύγει από το πεδίο Γης ελήνης και από την πλευρά της Γης όπως φαίνεται και από το σχήμα, όμως, υπάρχουν δύο περιοχές στις οποίες το σώμα δεν μπορεί να κινηθεί. Προφανώς οι περιοχές αυτές όσο αυξάνεται η ενέργεια μικραίνουν και όταν η σταθερά C J πάρει την τιμή C J = εξαφανίζονται από την ενέργεια που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή της σταθεράς Jacobi και για υψηλότερες ενέργειες, το σώμα μπορεί να κινείται οπουδήποτε στο χώρο. Οι τιμές C J = , C J = και C J = είναι αυτές στις οποίες γίνεται η αλλαγή της μορφής των ισοδυναμικών καμπύλων και τα αντίστοιχα σχέδια φαίνονται στο σχήμα 3.3. Τα σημεία που τονίζονται με πράσινο χρώμα (στο ίδιο σχήμα) είναι αυτά στα οποία ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες κατά την αλλαγή της μορφής τους και αποτελούν τα σημεία ισορροπίας της κίνησης για τα οποία γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Για να υπάρχει εποπτεία της συνεχής μεταβολής των ισοδυναμικών καμπύλων συναρτήσει του C, κατασκευάζεται το τρισδιάστατο σχήμα 3.4. J

22 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα 3. C J = C J = α 3.β C J =.56 C J = γ 3. δ Το δεύτερο μέλος της σχέσης (3.9) πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση επιτρέπεται εκεί που τα επίπεδα σταθερής C J έχουν μεγαλύτερη τιμή από αυτή της γραφικής παράστασης του σχήματος 3.4. την ουσία, η τομή ενός επιπέδου σταθερής C J με τη γραφική παράσταση δίνει μία ισοδυναμική καμπύλη που θα έχει μία από τις μορφές που παρατέθηκαν στο σχήμα 3..

23 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση χήμα χήμα 3.4 3

24 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.3 ημεία Ισορροπίας Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης σε ένα πεδίο είναι τα σημεία ισορροπίας. Η θέση των σημείων αυτών για το υπό μελέτη πρόβλημα φαίνεται στο σχήμα 3.3 με πράσινες τονισμένες τελείες, ενώ η ονομασία τους προκύπτει από τη σειρά με την οποία ανοίγουν σε αυτά οι ισοδυναμικές καμπύλες. Έτσι, καθώς αυξάνεται η ενέργεια του τρίτου σώματος, οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν όταν C J = στο σημείο L που βρίσκεται μεταξύ Γης ελήνης αυτή είναι η χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση για την οποία το σώμα μπορεί να μεταβεί από τη Γη στη ελήνη. Το L σημείο ισορροπίας βρίσκεται πάνω στον άξονα Γης ελήνης και από την εξωτερική πλευρά της ελήνης στο σημείο αυτό ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες όταν C J = Για C J = οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν στο σημείο L3 που βρίσκεται πάνω στον άξονα των ξ και από την εξωτερική πλευρά της Γης. Τα σημεία L4 και L5 είναι αυτά στα οποία εξαφανίζονται οι απαγορευμένες περιοχές του σχήματος 3.δ όταν C J = Οι θέσεις των σημείων ισορροπίας, όπως φαίνεται και από το σχήμα 3.3, είναι σταθερές στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων ακολουθούν, δηλαδή, την περιστροφή της ελήνης γύρω από τη Γη. Προκύπτουν δε από το μηδενισμό των μερικών παραγώγων της συνάρτησης υποθετικού δυναμικού (βλ. σχέση (3.8)), λύνοντας, δηλαδή, το σύστημα εξισώσεων V = 0 x V = 0 y (3.0α) (3.0β) Οι συντεταγμένες των πέντε σημείων ισορροπίας με ακρίβεια μέχρι και 6 ου δεκαδικού * στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων είναι οι ακόλουθες: Για το L ( x, y ) ( ,0) Για το L ( x, y ) (.5568,0) Για το L3 ( x 3, y3 ) (.00506,0) Για το L4 ( x 4, y 4 ) ( , ) Για το L5 (, y ) ( , ) = (3.α) = (3.β) = (3.γ) = (3.δ) 5 = (3.ε) x 5 Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι θέσεις των L4 και L5 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα των ξ, και είναι τέτοιες ώστε να σχηματίζονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα με τη Γη και τη ελήνη. Είναι επίσης οι θέσεις που φιλοξενούν τα ευσταθή σημεία ισορροπίας του συστήματος τα υπόλοιπα L, L και L3 σημεία ισορροπίας είναι ασταθή. * Ο τρόπος εύρεσης των σ.ι. αλλά και μεγαλύτερη ακρίβεια δίνονται στο παράρτημα 4

25 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση Μία απλή μελέτη της ευστάθειας μπορεί να γίνει αφήνοντας το τρίτο σώμα σε περιοχές κοντά στις θέσεις ισορροπίας με μηδενική ταχύτητα και καταγράφοντας την τροχιά του. Για τα ευσταθή L4 και L5, ακόμα και για αρκετά μεγάλες αποστάσεις από την ακριβή θέση ισορροπίας το σώμα θα κινείται στην ίδια περιοχή όπως και στο σχήμα 3.5. την περίπτωση αυτή, το τρίτο σώμα έχει τοποθετηθεί σε απόσταση km από το L4 με μηδενική ταχύτητα ακόμα και 7 μέρες μετά (τόσος είναι ο χρόνος της τροχιάς του σχήματος) κινείται στην ίδια περιοχή. Αντίθετα, για τα ασταθή L, L και L3 με όσο μεγαλύτερη ακρίβεια τοποθετηθεί το σώμα στη θέση ισορροπίας, για τόσο μεγαλύτερο διάστημα θα παραμείνει σε εκείνη την περιοχή. το σχήμα 3.6 φαίνεται η τροχιά ενός σώματος που τοποθετήθηκε σε απόσταση 8.34 m από το L με μηδενική σχετική ταχύτητα. Για τις πρώτες 6. μέρες το σώμα παραμένει σε πολύ μικρές αποστάσεις από το L (σχήμα 3.6α). Μέσα στις 43.5 πρώτες μέρες διαγράφει την τροχιά του σχήματος 3.6β, ενώ στις 87 πρώτες μέρες έχει ξεφύγει τελείως από την περιοχή που αρχικά τοποθετήθηκε διαγράφοντας την τροχιά του σχήματος 3.6γ. Εάν το σώμα είχε τοποθετηθεί σε απόσταση 39 m από το L, μετατοπισμένο κατά την ίδια διεύθυνση, θα είχε αρχίσει να διαφεύγει από την περιοχή αυτή ήδη μετά τις πρώτες.7 μέρες. 5

26 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη χήμα χήμα α β γ

27 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση 3.4 Η Τομή Poincare 3.4α Τι Είναι Η Τομή Poincare Έχοντας ολοκληρώσει την έρευνα γύρω από τη δυναμική του τρίτου σώματος στο πεδίο Γης ελήνης, από το σημείο αυτό και έπειτα βασικό θέμα είναι η περιγραφή τροχιών. την περίπτωση που δεν ενδιαφέρει τόσο η παρακολούθηση της τροχιάς κάθε χρονική στιγμή όσο η ποιοτική της μελέτη, ένας τρόπος απεικόνισης είναι οι τομές Poincare για τις οποίες γίνεται λόγος σε αυτή την παράγραφο. Θεωρώντας κινήσεις που αντιστοιχούν σε μία σταθερή τιμή του ολοκληρώματος Jacobi κινήσεις δηλαδή, σταθερής ενέργειας και επιλέγοντας επιπλέον την συνθήκη y = 0, κατασκευάζεται μία διδιάστατη επιφάνεια που ονομάζεται επιφάνεια τομής. Από την σχέση (3.7) φαίνεται ότι κάθε σημείο της επιφάνειας αυτής προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του συστήματος, αφού τα x, x& προσδιορίζονται σαν συντεταγμένες του σημείου, το C είναι σταθερό και y = 0. Τέλος, θα είναι: J μ Γ μ ( 3.7) y& = C ( x + y ) y& = ± C J J μ + R R Γ μ + R R + x x& x& και η αβεβαιότητα στο πρόσημο του y&, μπορεί να ξεπεραστεί κατασκευάζοντας την επιφάνεια τομής με σημεία για τα οποία είναι π.χ. y & < 0. Η επιφάνεια τομής ονομάζεται και τομή Poincare και βοηθάει πολύ στον ποιοτικό διαχωρισμό των τροχιών σε τρεις βασικές κατηγορίες για τις οποίες γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Μία ακόμα αρκετά σημαντική προσφορά των τομών Poincare είναι ότι βοηθούν στην εκτίμηση των αποστάσεων από τις οποίες διέρχεται το τρίτο σώμα σε σχέση με τη Γη και τη ελήνη. Αυτό, τις καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμες για τη μελέτη των τροχιών που γίνεται στο επόμενο κεφάλαιο καθώς ενδιαφέρουν κυρίως τροχιές που περνούν κοντά από τη Γη αλλά και τη ελήνη. 3.4β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών Όπως έγινε σαφές στην παράγραφο 3.4α, κάθε σημείο της τομής Poincare καθορίζει πλήρως το σύστημα και επομένως αντιστοιχεί σε μία και μόνο τροχιά του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή ενέργειας (δηλαδή για κάθε τιμή του ολοκληρώματος Jacobi) μπορεί να κατασκευαστεί μία επιφάνεια 7

28 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη τομής με πλήθος αντιπροσωπευτικών τροχιών η οποία παρέχει πλήρη εποπτεία της δυναμικής του συστήματος. Για να γίνεται όμως αντιληπτή η συμπεριφορά μιας τροχιάς από την απεικόνισή της στην τομή Poincare, στο σημείο αυτό παρατίθενται τα χαρακτηριστικά των τριών βασικών κατηγοριών τροχιών όπως αυτά παρουσιάζονται στις επιφάνειες τομής. Έτσι, μία τροχιά που στην τομή Poincare απεικονίζεται ως ένας πεπερασμένος αριθμός k για παράδειγμα σημείων θα είναι περιοδική, με περίοδο k. Μία τροχιά που στην τομή Poincare αποτελείται από άπειρα σημεία τα οποία για t σχηματίζουν κλειστή καμπύλη, θα αποκαλείται ημιπεριοδική τροχιά η δε κλειστή καμπύλη ονομάζεται αναλλοίωτος κύκλος. Τέλος, τροχιές που απεικονίζονται με άτακτα διασκορπισμένα σημεία, ονομάζονται χαοτικές τροχιές. Οι τροχιές αυτού του είδους έχουν απρόβλεπτη συμπεριφορά με το πέρασμα του χρόνου και εμφανίζουν εξαιρετική ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Τ χήμα 3.7 Τ Τ3 Τ Τ3 Τ Τ Το σχήμα 3.7 δείχνει την τομή Poincare του συστήματος για 6 C J. =, ενώ οι δείκτες που έχουν τοποθετηθεί υποδεικνύουν τη θέση των σημείων που απεικονίζουν τις τροχιές τ, τ και τ3. ύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η τ τροχιά είναι περιοδική, η τ ημιπεριοδική και 8

29 Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση η τ3 χαοτική. Για τις τρεις αυτές τροχιές κατασκευάζεται το σχήμα 3.8 στο οποίο φαίνεται η 30 ημερών εξέλιξή τους στο αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Τροχιά Αδρανειακό χήμα 3.8 ύστημα υντεταγμένων Περιστρεφόμενο Τ Τ Τ

30 Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών ωμάτων το ύστημα Γη ελήνη 3.4γ Οι Τομές Poincare το ύστημα Γη ελήνη Όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 3., η περιοχή κίνησης αλλά και το είδος των τροχιών του τρίτου σώματος εξαρτώνται από την ενέργειά του. Για αυτό τον λόγο, εξετάζονται παρακάτω οι τομές Poincare για τις χαρακτηριστικές περιοχές τιμών του ολοκληρώματος C J. τα διαγράμματα αυτά, η Γη βρίσκεται στην θέση x 0, ενώ η ελήνη στην x η μιλλιμετρέ περιοχή είναι αυτή στην οποία δεν έχει την δυνατότητα να εισέλθει το σώμα λόγω της ενέργειάς του. Επίσης υπενθυμίζεται ότι στις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιούνται παρακάτω, η y& συνιστώσα είναι αρνητική. Αρχικά παρατίθεται στο σχήμα 3.9 η τομή Poincare για C J =. 9. Η ενέργεια αυτή είναι αρκετά χαμηλή και πρακτικά δεν υπάρχουν χαοτικές τροχιές. χήμα 3.9 C J =.9 Παρατηρώντας την επιφάνεια τομής εύκολα μπορεί κανείς να χωρίσει τις τροχιές σε τέσσερις κατηγορίες, με βάση την περιοχή στην οποία εμφανίζονται τα σημεία που την απεικονίζουν. Έτσι προκύπτουν οι τροχιές που δίνουν σημεία αριστερά της Γης, στις οποίες το τρίτο σώμα κινείται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής της ελήνης και οι οποίες αποκαλούνται direct (σχήμα 3.0α). Αντίστροφα τώρα, στις τροχιές που δίνουν σημεία δεξιά 30

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο)

Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κινηματική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουμε τη διανυσματική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης με περισσότερες λεπτομέρειες. Σαν ειδικές περιπτώσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Και τα στερεά συγκρούονται

Και τα στερεά συγκρούονται Και τα στερεά συγκρούονται Εξετάζοντας την ελαστική κρούση υλικών σημείων, ουσιαστικά εξετάζουμε την κρούση μεταξύ δύο στερεών σωμάτων, δύο μικρών σφαιρών, τα οποία εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τι

Διαβάστε περισσότερα

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o

. Πρόκειται για ένα σημαντικό βήμα, καθώς η παράμετρος χρόνος υποχρεωτικά μεταβάλλεται σε κάθε είδους κίνηση. Η επιλογή της χρονικής στιγμής t o Στις ασκήσεις Κινητικής υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να δουλέψουμε. Ένας από αυτούς είναι με τη σωστή χρήση των εξισώσεων θέσης (κίνησης) και ταχύτητας των σωμάτων που περιγράφονται. Τα βήματα που ακολουθούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015 ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσματικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναμική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ «Μπορούμε να παρομοιάσουμε τις έννοιες που δεν έχουν καμιά θεμελίωση στη φύση, με τα δάση εκείνα του Βορρά όπου τα δένδρα δεν έχουν καθόλου ρίζες. Αρκεί ένα φύσημα του αγέρα, ένα ασήμαντο γεγονός για να

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα

Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα Φυσική έννοια Φυσική έννοια Φαινόμενα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα Ένα τρένο που ταξιδεύει αλλάζει διαρκώς θέση, το ίδιο ένα αυτοκίνητο και ένα πλοίο ή αεροπλάνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση: t Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M2. Κίνηση σε μία διάσταση

Κεφάλαιο M2. Κίνηση σε μία διάσταση Κεφάλαιο M2 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου}

Κεφάλαιο 8. Βαρυτικη Δυναμικη Ενεργεια { Εκφραση του Βαρυτικού Δυναμικού, Ταχύτητα Διαφυγής, Τροχιές και Ενέργεια Δορυφόρου} Κεφάλαιο 8 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Νομος της Βαρυτητας {Διανυσματική Εκφραση, Βαρύτητα στη Γη και σε Πλανήτες} Νομοι του Kepler {Πεδίο Κεντρικών Δυνάμεων, Αρχή Διατήρησης Στροφορμής, Κίνηση Πλανητών και Νόμοι του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 5//08 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών.

A2. Θεωρήστε ότι d << r. Να δώσετε μια προσεγγιστική έκφραση για τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει του q,d, r και των θεμελιωδών σταθερών. Γ Λυκείου 26 Απριλίου 2014 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Η επεξεργασία των θεμάτων θα γίνει γραπτώς σε χαρτί Α4 ή σε τετράδιο που θα σας δοθεί (το οποίο θα παραδώσετε στο τέλος της εξέτασης). Εκεί θα σχεδιάσετε και όσα

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 08 Δυναμική περιστροφικής κίνησης Ροπή Ροπή Αδρανείας ΦΥΣ102 1 Περιστροφική κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας

5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας 5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας Ομαλή κυκλική κίνηση Κίνηση σωματίου σε κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Επιτάχυνση

Διαβάστε περισσότερα

1. Υλικό σημείο 2. Τροχιά διάνυσμα θέσης 3. Η μετατόπιση 4. ιάγραμμα θέσης χρόνου 5. Η ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση. 24-Σεπ-14.

1. Υλικό σημείο 2. Τροχιά διάνυσμα θέσης 3. Η μετατόπιση 4. ιάγραμμα θέσης χρόνου 5. Η ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση. 24-Σεπ-14. Γενική Φυσική Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) Καστοριά, Σεπτέμβριος 14 Εισαγωγή στην (ευθύγραμμη) κίνηση 1. Υλικό σημείο 2. Τροχιά διάνυσμα θέσης 3. 4. 5. στην ευθύγραμμη κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Παράδοση 9--9 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση 1 A) Δυο τραίνα ταξιδεύουν στην ίδια σιδηροτροχιά το ένα πίσω από το άλλο. Το πρώτο τραίνο κινείται με ταχύτητα 1 m s. Το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μονοτονία Συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα», «Σχήμα», «Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα 6-1-011 Βαρύτητα Κεφ. 1 1 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667*10 6.67 11 N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά 6-1-011

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία 1 =2μC και 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΟΥΣΕΙΣ. γ) Δ 64 J δ) 64%]

ΚΡΟΥΣΕΙΣ. γ) Δ 64 J δ) 64%] 1. Μικρή σφαίρα Σ1, μάζας 2 kg που κινείται πάνω σε λείο επίπεδο με ταχύτητα 10 m/s συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας 8 kg. Να υπολογίσετε: α) τις ταχύτητες των σωμάτων μετά

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

1. Κίνηση Υλικού Σημείου 1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Tο γιο-γιο του σχήματος έχει ακτίνα R και αρχικά είναι ακίνητο. Την t=0 αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Στροφορμή

Κεφάλαιο 11 Στροφορμή Κεφάλαιο 11 Στροφορμή Περιεχόμενα Κεφαλαίου 11 Στροφορμή Περιστροφή Αντικειμένων πέριξ σταθερού άξονα Το Εξωτερικό γινόμενο-η ροπή ως διάνυσμα Στροφορμή Σωματιδίου Στροφορμή και Ροπή για Σύστημα Σωματιδίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ. Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση N B P Y T ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ 9 5 Ταυτόχρονη διατήρηση της ορμής και της στροφορμής σε κρούση - y y h + O x Ω + O V x υ a Σχήμα : Το σύστημα με τους δύο παρατηρητές του φαινομένου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ. υ = σταθερη (1) - Με διάγραμμα : Πρότυπο Πρότυπα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Η Φυσική για να ερμηνεύσει τα φαινόμενα, δημιουργεί τα πρότυπα ή μοντέλα. Τα πρότυπα αποτελούνται από ένα πλέγμα

Διαβάστε περισσότερα

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου

Το διαστημόπλοιο. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Το διαστημόπλοιο Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δυναμική σε μία διάσταση - Δυναμική στο επίπεδο) Τάξη: Α Λυκείου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διατήρηση Ορμής Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός htt://hyiccore.wordre.co/ Βασικές Έννοιες Μέχρι τώρα έχουμε ασχοληθεί με την μελέτη ενός σώματος και μόνο. Πλέον

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών

Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών Μέθοδος Hohmann αλλαγής τροχιάς δορυφόρου και σχεδιασμός διαπλανητικών τροχιών Διονύσης Στεφανάτος Ειδικός Επιστήμονας, Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων 1. Εισαγωγή Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζουμε μια απλή

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις . Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις Εξετάζοντας την αιώρα παρατηρούμε ότι στα ανώτατα σημεία η ενέργεια μοιάζει να έχει αποθηκευτεί υπό κάποια άλλη μορφή, που συνδέεται με το ύψος της πάνω από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Λυκείου Διαγώνισμα Κινηματική. Θέμα 1 ο. Φυσική Α Λυκείου: Διαγώνισμα Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

Φυσική Α Λυκείου Διαγώνισμα Κινηματική. Θέμα 1 ο. Φυσική Α Λυκείου: Διαγώνισμα Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Φυσική Α Λυκείου Διαγώνισμα Κινηματική. Θέμα 1 ο 1.1. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως ευθύγραμμη ομαλή όταν: α) Η τροχιά είναι ευθεία. β) Η ταχύτητα έχει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 17-18 Ν. Βλαχάκης 1. Εστω πεδίο δύναμης F = g () cos y ˆ + λ g() sin y ŷ, όπου λ = σταθερά και g() = 1 e π/ B C (σε κατάλληλες μονάδες). (α) Υπολογίστε πόση ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης

( ) ( r) V r. ( ) + l 2. Τι είδαμε: m!! r = l 2. 2mr 2. 2mr 2 + V r. q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ΦΥΣ 2 - Διαλ.4 Τι είδαμε: q Ξεκινήσαμε την συζήτηση για το θέμα κεντρικής δύναμης ü Ανάγαμε το πρόβλημα 2 σωμάτων σε πρόβλημα κεντρικής δύναμης ü διατήρηση ορμής CM μετατρέπει το πρόβλημα από 6 DoF σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Ενέργεια συστήματος

Κεφάλαιο 5. Ενέργεια συστήματος Κεφάλαιο 5 Ενέργεια συστήματος Εισαγωγή στην ενέργεια Οι νόμοι του Νεύτωνα και οι αντίστοιχες αρχές μας επιτρέπουν να λύνουμε μια ποικιλία προβλημάτων. Ωστόσο, μερικά προβλήματα, που θεωρητικά μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

) z ) r 3. sin cos θ,

) z ) r 3. sin cos θ, Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο 1) Σημειακή μάζα 0.4 kg εκτοξεύεται με ταχύτητα 17 m/s στο t = 0 από την αρχή των αξόνων με γωνία 72 0 ως προς τον άξονα x ο οποίος είναι παράλληλος με το έδαφος. Εάν στη μάζα ασκείται μόνο το βάρος της

Διαβάστε περισσότερα

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται

F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται 6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ

ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΑΣΚΗΣΗ-1: ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΠΕΔΙΑ Ημερομηνία:. ΤΜΗΜΑ:.. ΟΜΑΔΑ:. Ονομ/νυμο: Α.Μ. Συνεργάτες Ονομ/νυμο: Α.Μ. Ονομ/νυμο: Α.Μ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ (καθένας με δικά του λόγια, σε όλες τις γραμμές) ΒΑΘΜΟΣ#1: ΥΠΟΓΡΑΦΗ:

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

[50m/s, 2m/s, 1%, -10kgm/s, 1000N]

[50m/s, 2m/s, 1%, -10kgm/s, 1000N] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο - ΜΕΡΟΣ Α : ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΡΟΥΣΕΙΣ 1. Σώμα ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα μέτρου και το με ταχύτητα, διαπερνά το σώμα χάνοντας % της κινητικής του

Διαβάστε περισσότερα