Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής. Μελέτη Εξάπλωσης Ιών Σε Δίκτυα. Διπλωματική Εργασία

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μελέτη Εξάπλωσης Ιών Σε Δίκτυα Διπλωματική Εργασία Ράπτη Αγγελική ΕΤΥ: 917 Επιβλέπων: Αθανάσιος Τσακαλίδης, Καθηγητής ΤΜΗΥΠ 22 Δεκεμβρίου 2014

2 2

3 Περιεχόμενα 0.1 Ευχαριστίες Περίληψη 7 2 Abstract 9 3 Εισαγωγή Το πρόβλημα Δόμηση Διπλωματικής Επιδημιολογικά Μοντέλα Μοντέλο SIR Μοντέλο SIS Μοντέλα SEIR, SEIS Προηγούμενα Αποτελέσματα Μοντέλο Διακριτού Χρόνου Threshold conditions for arbitrary cascade models on arbitrary networks Μοντέλο Συνεχούς Χρόνου Winner Takes All Interacting Viruses in Networks: Can Both Survive? Μοντέλο & Πειραματικά Αποτελέσματα Μοντελοποίηση Προβλήματος Διατύπωση Προβλήματος Ανάλυση - Αποδείξεις Δομή Απόδειξης Κλίκα Αυθαίρετο Γράφημα Πειραματικά Αποτελέσματα Προσομοίωση Αποτελέσματα Προσομοιώσεων Συμπεράσματα Ανοικτά Θέματα & Επεκτάσεις

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Appendix Απόδειξη Θετικής Διακρίνουσας για το Σημείο Ισορροπίας I A, I B 0 Στην Περίπτωση της Κλίκας

5 0.1. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους βοήθησαν με κάποιο τρόπο στην εκπόνηση αυτής της διπλωματικής εργασίας. Κατα κύριο λόγο, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ.αθανάσιο Τσακαλίδη, για τη βοήθειά του και τις πολύτιμες συμβουλές και παρατηρήσεις κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωματικής εργασίας αλλά και καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον συνεπιβλέποντα καθηγητή μου, Κωνσταντίνο Τσίχλα, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Πληροφορικής του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης για την αμέριστη υπομονή και καθοδήγηση σε όλη την πορεία μέχρι τη συγγραφή της παρούσας εργασίας, το μαθηματικό μέρος αλλά και την πειραματική διαδικασία. Τον ευχαριστώ πάρα πολύ για όσα έμαθα και συνεχίζω να μαθαίνω δίπλα του και ελπίζω αυτό το ταξίδι να είναι το ίδιο συναρπαστικό και στη συνέχεια. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επίσης συνεπιβλέποντα καθηγητή μου, Γιάννη Τζήμα, Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Μηχανικών Πληροφορικής του ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας, για το λάθος που ήταν η αιτία να αρχίσει αυτή η διπλωματική και μια υπέροχη συνεργασία μαζί του. Τον ευχαριστώ για όλες τις συμβουλές, την υπομονή και την επιμονή του κατά τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της εργασίας. Επιπλέον, θέλω να ευχαριστήσω τον επίσης συνεπιβλέποντα καθηγητή μου, Σπύρο Σιούτα, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Πληροφορικής του Ιονίου Πανεπιστημίου, για την καθοδήγηση, την έμπνευση και τον ενθουσιασμό τις στιγμές που αυτή η εργασία δεν είχε πάρει ακόμα τελική μορφή. Σας ευχαριστώ και πάλι όλους για την έμπνευση και την καθοδήγηση όλο αυτό το διάστημα, την οικογένειά μου, τους φίλους μου και τα καλύτερα έρχονται! Υ.Γ Η Εικόνα του εξωφύλλου είναι από την εργασία [14] Πάτρα, 3 Νοεμβρίου 2014

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

7 Κεφάλαιο 1 Περίληψη Η έννοια των δικτύων εμφανίζεται πολύ συχνά με διάφορες μορφές. Δίκτυο μπορούμε να θεωρήσουμε ένα σύνολο υπολογιστών που συνδέονται μεταξύ τους υπακούοντας σε κάποιο πρωτόκολλο επικοινωνίας αλλά και μια ομάδα ανθρώπων που συνδέονται μέσω κάποιας κοινωνικής σχέσης, ενός εργασιακού χώρου αλλά και ως χρήστες ενός forum ή μίας πλατφόρμας κοινωνικής δικτύωσης. Σε οποιαδήποτε περίπτωση, ένα δίκτυο μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή ενός γράφηματος, όπου οι κόμβοι αναπαριστούν τα άτομα/υπολογιστές και οι ακμές τη μεταξύ τους σχέση ανάλογα με το πρόβλημα. Στα πλαίσια ενός τέτοιου δικτύου μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά των κόμβων στην περίπτωση που συμβεί ένα γεγονός που αλλάζει την κατάστασή τους. Στην περίπτωση που αναφερόμαστε σε μία κοινωνική ομάδα ή μία πόλη, αυτό το φαινόμενο μπορεί να είναι το ξέσπασμα μίας επιδημίας που εξαπλώνεται στο δίκτυο αλλά και μίας είδησης/φήμης, όπου ενημερώνεται το δίκτυο. Στην πρώτη περίπτωση, μας ενδιαφέρει να περιορίσουμε την επιδημία, αλλάζοντας τοπολογικά το δίκτυο ενώ στη δεύτερη περίπτωση, είναι επιθυμητό να διευκολύνουμε την εξάπλωση της είδησης, έτσι ώστε να ενημερωθούν όσο το δυνατόν, περισσότεροι κόμβοι(χρήστες). Η συμπεριφορά του δικτύου σε ένα τέτοιο φαινόμενο, μπορεί να προσομοιωθεί από ένα δυναμικό σύστημα. Με τον όρο δυναμικό σύστημα αναφερόμαστε σε ένα σύστημα που έχει ένα σύνολο καταστάσεων, όπου κάθε κατάσταση, προκύπτει σε συνάρτηση με την προηγούμενη. Παραδείγματα εφαρμογής ενός δυναμικού συστήματος σε δίκτυο, εμφανίζονται σε διάφορους τομείς όπως στην οικολογία, τη διάχυση πληροφορίας, το viral marketing, την επιδημιολογία. Τα δυναμικά συστήματα που προσομοιώνουν τη συμπεριφορά του δικτύου σε τέτοια φαινόμενα, χρησιμοποιούν επιδημιολογικά μοντέλα για να περιγράψουν τις δυνατές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να περιέλθει ένας κόμβος. Στη συγκεκριμένη εργασία, χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο SIS (Susceptible-Infected- Susceptible) [8].Το μοντέλο SIS δηλώνει ότι ένας κόμβος μπορεί να είναι είτε επιρρεπής στο να ασθενήσει (susceptible) είτε ασθενής (infected). Αυτό σημαίνει πως ένας κόμβος δεν θεραπεύεται ποτέ πλήρως αλλά υπάρχει πιθανότητα να ασθενήσει πάλι. Με βάση τη βιβλιογραφία, σε ένα τέτοιο δυναμικό σύστημα, αναζητούμε κάποια σημεία (fixed points) στα οποία το σύστημα θα ισορροπεί. Υπάρχουν σημεία 7

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΕΡΙΛΗΨΗ τα οποία είναι σημεία ισορροπίας αλλά δεν είναι σταθερά. Σε αυτά τα σημεία, το σύστημα μπορεί στιγμιαία να ισορροπήσει αλλά ξεφεύγει πολύ εύκολα από αυτό. Αναζητούμε συνεπώς, σταθερά σημεία ισορροπίας, τα λεγόμενα stable fixed points. Έχει αποδειχτεί [6] ότι μπορούμε σε αυτά στα σημεία να καθορίσουμε τις απαραίτητες συνθήκες για να είναι σταθερά, περιορίζοντας τη μέγιστη ιδιοτιμή του μητρώου γειτνίασης που περιγράφει το δίκτυο. Ορίζονται δηλαδή κατώφλια (thresholds) κατά περίπτωση, που περιορίζουν την μέγιστη ιδιοτιμή του δικτύου με τέτοιο τρόπο ώστε το σύστημα, να βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Στην περίπτωση που αναφερόμαστε στο φαινόμενο της επιδημίας, στόχος είναι στο αντίστοιχο σημείο ισορροπίας η μέγιστη ιδιοτιμή να είναι κάτω του κατωφλίου, έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε τον περιορισμό εξάπλωσης της επιδημίας στο δίκτυο. Στην περίπτωση που αναφερόμαστε σε μία είδηση ή ένα ανταγωνιστικό προϊόν, η μέγιστη ιδιοτιμή θέλουμε να είναι άνω του αντίστοιχου κατωφλίου έτσι ώστε να έχουμε εξάπλωση στο δίκτυο. Επομένως ανάλογα με την περίπτωση, αντιμετωπίζουμε διαφορετικά τα κατώφλια που υπολογίζονται για το αντίστοιχο σημείο ισορροπίας. Στα πλαίσια της μεταπτυχιακής εργασίας, χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο SIS για να περιγράψουμε το φαινόμενο όπου ένας ιός εξαπλώνεται σε ένα δίκτυο όπου οι κόμβοι του δικτύου, έχουν διαφορετική ευαισθησία απέναντί του. Πραγματοποιήσαμε μαθηματική περιγραφή του μοντέλου, ορίζοντας τα απαραίτητα κατώφλια έτσι ώστε το σύστημα να ισορροπεί ανάλογα με το σημείο ισορροπίας αλλά και το είδος του γραφήματος. Επίσης, πραγματοποιήσαμε προσομοίωση του μοντέλου σε συνθετικά γραφήματα (κλίκα, αυθαίρετο γράφημα κ.α), επαληθεύοντας τη συμπεριφορά που υποδεικνύει το μαθηματικό μοντέλο.

9 Κεφάλαιο 2 Abstract Which is the appropriate answer about the definition of a network? One could answer that a group of people who share a relationship (colleagues, students etc) could be referred to, as a network. Another possible definition, is a computer network. Consequently, it is obvious that the idea of a network can be found in various ways in our daily life. In the same terms, suppose we have one competing idea/product or a virus that propagates over a multiple profile social (or other) network. Can we predict what proportion of the network will actually get infected (e.g., spread the idea or buy the competing product), when the nodes of the network appear to have different sensitivity based on their profile? For example, if there are two profiles A, B in a network and the nodes of profile A and profile B are susceptible to a highly spreading virus with probabilities β A and β B respectively, what percentage of both profiles will actually get infected from the virus in the end? The behavior of such a network, can be simulated using dynamical systems theory. We consider a dynamical system as a system with a set of possible states where each future state, is computed based on the previous state. Dynamical System Applications, can be found in many fields such as viral marketing, ecology, information diffusion and virus propagation. In order to simulate the rumor or virus which is spreading across the network, one has to use virus propagation models. The selection of the appropriate model, depends on the special attributes and characteristics of the spreading rumor/virus and it should cover all the possible states in which a node in the network can be (sick, healthy,susceptible, informed, not informed etc). According to Dynamical Systems Theory, we are looking for possible fixed points where the system is in equilibrium. In particular, we would require each fixed point to be a stable attractor and not lead the system far away from the equilibrium point due to opposing forces (stable fixed points). It has been proven that limiting the leading eigenvalue of the adjacency matrix of the graph, is the only condition required, in order for the system to be in equilibrium state, in the corresponding fixed point. In this paper, we assume an SIS propagation model [8] which is applied on a heterogeneous network. That is, we assume that there is no fair game using the terminology of [14, 3]. In the SIS model, each node can be either in a susceptible 9

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ABSTRACT (S) state or in the infected state (I) and as result there is no permanent immunity and every node can get infected multiple times.since this is the first theoretical treatment of heterogeneous environments for virus propagation, we choose to work in the simple model of SIS and not in other models. Suppose that we are given a social network and a rumor that spreads over it, where the nodes of the network represent people with high/low sensitivity to the rumor and the links represent the association of the nodes, how will the rumor propagate over the network? That is, can we determine whether all members of the network will reproduce the rumor to their neighbors and infect them or the rumor will spread in a small group in the network and die out quickly? Similarly, which is the tipping point where such a rumor or infectious virus will take off? It would be very helpful if we could find the specific point when the virus spreads all over the network and an epidemic occurs. Finally, what is the case when the nodes have different endurance/sensitivity to the virus and have temporary or permanent immunity? Our basic assumption and innovation when compared to all previous approaches is that there is no fair-play and nodes have different profile against the virus. That is, the network is heterogenous with respect to the virus, which means that nodes have different sensitivity to it. This is one of our main contributions in comparison with previous results where all nodes appear to have the same behavior towards the virus and the same model parameters. The propagation model which is followed, resembles the SIS (no immunity like flu) model where nodes are either susceptible or infected but with modifications. All nodes can get infected from one another, despite the difference of their profiles. We prove and present the tipping point where the virus is about to spread all over the network or the rumor infect every member of the network and result in a viral phenomenon. Our main contribution, is that we provide answers for the questions above, for special topologies such as the clique as well as arbitrary graphs of high or low connectivity. In particular, to the best of our knowledge, we are the first to provide theoretical and experimental findings on the propagation of a virus over a heterogenous network. We prove that in the case of two profiles, if one profile has high sensitivity to the virus and the other one has low sensitivity, actually nodes from both profiles will get infected proportionally in the case where the network is a clique. For arbitrary networks, we prove necessary conditions for the virus to die out allowing for multiple profiles (not just two), while at the same time we give directions to prove other interesting cases. The problem has many applications in the field of viral marketing, medicine, ecology and other.

11 Κεφάλαιο 3 Εισαγωγή Ας υποθέσουμε ότι διαθέτουμε ένα ανταγωνιστικό προϊόν/ιδέα ή ένα ιό που εξαπλώνεται σε ένα δίκτυο (κοινωνικό ή μη) όπου τα μέλη ανήκουν σε διαφορετικά προφίλ. Μπορούμε να προβλέψουμε τι ποσοστό του δικτύου θα μολυνθεί (θα διαδώσει την ιδέα ή θα αγοράσει το προϊόν) όταν οι κόμβοι του δικτύου παρουσιάζουν διαφορετική ευαισθησία με βάση το προφίλ που ανήκουν; Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι σε ένα δίκτυο τα διαθέσιμα προφίλ είναι τα A και B και ότι οι κόμβοι των προφίλ A και B είναι επιρρεπείς στη μόλυνση από ένα ισχυρό ιό με πιθανότητες β A και β B, τι ποσοστό κόμβων από τα δύο προφίλ τελικά θα μολυνθεί; Υποθέτουμε ότι οι κόμβοι του ενός προφίλ μπορούν να μολύνουν τους κόμβους του άλλου προφίλ και αποδεικνύουμε (υπό ρεαλιστικές συνθήκες) ότι εκτός από το αδύναμο προφίλ (μεγάλη ευαισθησία), θα μολυνθεί και κάποιο ποσοστό κόμβων από το δυνατό προφίλ. Επιπλέον, εκτός από τη θεωρητική ανάλυση του μοντέλου, παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα για συγκεκριμένες τοπολογίες όπως η κλίκα αλλά και αυθαίρετα γραφήματα καθώς και πειραματικές προσομοιώσεις σε συνθετικά σύνολα δεδομένων. 3.1 Το πρόβλημα Ας υποθέσουμε ότι λανσάρεται στην αγορά ένα νέο παιχνίδι για την κονσόλα PS4. Οι οπαδοί του PS4 θα αρχίσουν να γράφουν tweets στο κοινωνικό δίκτυο Twitter για το καινούριο παιχνίδι και οι φίλοι τους (followers) εφόσον είναι και αυτοί λάτρεις της κονσόλας θα επαναδημοσιεύσουν (retweet) τα σχόλια στους δικούς τους φίλους κοκ. Αντίθετα, όσοι δεν ενδιαφέρονται για την κονσόλα και τα αντίστοιχα προϊόντα, θα παραμείνουν ουδέτεροι απέναντι στο γεγονός. Παράλληλα, οι οπαδοί ανταγωνιστικής κονσόλας (XBOX One) θα παραμείνουν αδιάφοροι απέναντι στο προϊόν αν όχι εχθρικοί και δε θα επαναδημοσιεύσουν τα αντίστοιχα σχόλια. Είναι αναμενόμενο, μία τέτοια είδηση να έχει μεγαλύτερη διάδοση ανάμεσα στους λάτρεις της αντίστοιχης κονσόλας σε σχέση με άλλες ομάδες του κοινωνικού δικτύου. Το απλό παράδειγμα που περιγράψαμε, παρουσιάζει ένα πολύ βασικό χαρακτηριστικό στην διάδοση φήμης/είδησης σε ένα κοινωνικό δίκτυο: δεν διαθέτουν όλα τα μέλη του δικτύου την ίδια έλξη /ενδιαφέρον απέναντι στην είδηση. Αυτό 11

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ισχύει για την πλειοψηφία των περιπτώσεων όπου πραγματοποιείται διάδοση κάποιας φήμης σε σχέση με συγκεκριμένους περιορισμούς που ισχύουν για τους κόμβους του δικτύου. Στην παρούσα διπλωματική κάνουμε μία πρώτη προσπάθεια να ενσωματώσουμε την ευαισθησία/ανοχή των μελών ενός δικτύου σε σχέση με μία ιδέα που διαδίδεται. Έστω ότι μας δίνεται ένα κοινωνικό δίκτυο και μία είδηση που διαδίδεται σε αυτό, όπου οι κόμβοι του δικτύου αναπαριστούν άτομα με υψηλή/χαμηλή ευαισθησία απέναντι στην είδηση και οι ακμές του δικτύου αναπαριστούν τη σχέση των κόμβων. Πώς θα διαδοθεί η είδηση στο δίκτυο; Θα αναπαράγουν όλα τα μέλη την είδηση στους γείτονές τους και θα τους μολύνουν ή η είδηση θα διαδοθεί σε ένα μικρό τμήμα του δικτύου και τελικά θα εξαλειφθεί; Επιπλέον, ποιο είναι το κομβικό σημείο όπου μετά από αυτό η είδηση θα καταλάβει όλο το δίκτυο; Μπορούμε να υπολογίσουμε αυτό το σημείο; Εκτός αυτού, τι συμβαίνει στην περίπτωση που τα μέλη του δικτύου έχουν διαφορετική αντοχή/ευαισθησια απέναντι στην είδηση/ιό που εξαπλώνεται ή έχουν προσωρινή ή μόνιμη ανοσία απέναντί του; Η βασική μας υπόθεση σε σχέση με προηγούμενα αποτελέσματα είναι ότι δεν έχουμε fair-play και οι κόμβοι έχουν διαφορετικό προφίλ απέναντι στον ιό. Με τον όρο fair-play, εννοούμε ότι οι κόμβοι έχουν διαφορετική πιθανότητα μόλυνσης και ίασης απέναντι στον ιό και άρα το δίκτυο παρουσιάζει ετερογένεια σε σχέση με τον ιό. Αυτή είναι και η βασική μας συνεισφορά σε σχέση με προηγούμενα αποτελέσματα όπου όλοι οι κόμβοι παρουσιάζουν την ίδια συμπεριφορά απέναντι στον ιό και έχουν τις ίδιες παραμέτρους στο μοντέλο που χρησιμοποιείται. Το μοντέλο διάδοσης που χρησιμοποιήσαμε, θυμίζει το μοντέλο SIS που παρουσιάστηκε αναλυτικά σε προηγούμενο κεφάλαιο (δεν υπάρχει μόνιμη ανοσία). Στο μοντέλο αυτό, οι κόμβοι είτε είναι υγιείς είτε ασθενείς με κάποιες τροποποιήσεις. Όλοι οι κόμβοι μπορούν να μολύνουν ο ένας τον άλλο, ανεξάρτητα από το διαφορετικό τους προφίλ. Επίσης, αποδεικνύουμε και παρουσιάζουμε τα κρίσιμα σημεία όπου η είδηση θα διαδοθεί ή ο ιός θα εξαπλωθεί σε ένα ολόκληρο δίκτυο οδηγώντας σε επιδημία ή αντίστοιχο φαινόμενο (viral phenomenon). Η βασική μας συνεισφορά είναι ότι δίνουμε απαντήσεις στις ερωτήσεις που προηγήθηκαν για συγκεκριμένες τοπολογίες όπως η κλίκα αλλά και για αυθαίρετα γραφήματα μικρής ή μεγάλης συνεκτικότητας. Συγκεκριμένα, στην περίπτωση που έχουμε δύο προφίλ, αποδεικνύουμε ότι αν το ένα προφίλ έχει μεγάλη ευαισθησία απέναντι στον ιό ενώ το άλλο έχει μικρή ευαισθησία, θα μολυνθούν αναλογικά κόμβοι και από τα δύο προφίλ, στην περίπτωση που το δίκτυο είναι κλίκα. Για τα αυθαίρετα δίκτυα, αποδεικνύουμε τις απαραίτητες συνθήκες που πρέπει να πληρούνται ώστε ο ιός να εξαλειφθεί σε περίπτωση που έχουμε πολλά προφίλ και δίνουμε κατευθύνσεις για άλλες περιπτώσεις.τα βασικά αποτελέσματα φαίνονται στον πίνακα 3.1 Το πρόβλημα βρίσκει πολλές εφαρμογές στο χώρο του viral marketing, της ιατρικής,της οικολογίας κ.α.

13 3.2. ΔΟΜΗΣΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ 13 Πίνακας 3.1: Αποτελέσματα για την κλίκα και το αυθαίρετο γράφημα. Η μέγιστη ιδιοτιμή ενός τετραγωνικού πίνακα αναπαρίσταται με ρ. Fixed Point Condition Clique I A, I B 0 N δ Aβ B +δ B β A δ A δ B < 1 I A, I B = cn, c ( 1, 1) β 2 A = δ A, β 2N(1 c) B = I A = (1 c)n, I B = cn, c (0, 1) β A = δ A (1 c) N, β c B = δ B c N 1 c Arbitrary Graph p = ˆ0 ρ(b A ) < 0 δ B 2N(1 c) 3.2 Δόμηση Διπλωματικής Η διπλωματική δομείται ως εξής: Αρχικά, κάνουμε μία παρουσίαση των επιδημιολογικών μοντέλων με βάση τη βιβλιογραφία στο Κεφάλαιο 4. Ακολουθεί μία επισκόπηση σχετικών εργασιών στο Κεφάλαιο 5 καθώς και μία λεπτομερή παρουσίαση του μοντέλου στο Κεφάλαιο 6 καθώς και την ανάλυση για κάθε σταθερό σημείο και τις σχετικές μαθηματικές αποδείξεις στην Ενότητα 6.3. Στη συνέχεια, στην Ενότητα 6.4, επιβεβαιώνουμε πειραματικά τα αποτελέσματα, πραγματοποιώντας πειράματα σε συνθετικά γραφήματα. Τέλος, αξιολογούμε τα αποτελέσματα και παρουσιάζουμε πιθανές προσεγγίσεις και δυνατές επεκτάσεις στην Ενότητα 6.8

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

15 Κεφάλαιο 4 Επιδημιολογικά Μοντέλα Περιεχόμενα 4.1 Μοντέλο SIR Μοντέλο SIS Μοντέλα SEIR, SEIS Για τη μοντελοποίηση της εξέλιξης μίας επιδημίας σε ένα πληθυσμό, ιδανικά θα θέλαμε να μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε τον πληθυσμό χρησιμοποιώντας κάποια χαρακτηριστικά που σχετίζονται μόνο με τη μόλυνση που εξαπλώνεται. Χαρακτηριστικό παράδειγμα, αποτελούν οι παιδικές ασθένειες (ιλαρά, ανεμοβλογιά) όπου μπορούμε να χωρίσουμε τα άτομα σε υγιή αλλά επιρρεπή στο να ασθενήσουν (susceptible), άρρωστα (infected) και υγιή που είχαν ασθενήσει στο παρελθόν (immune) και έχουν αποκτήσει ανοσία απέναντι στην ασθένεια. Τα συχνά κρούσματα ασθενειών, έστρεψαν το ενδιαφέρον των ερευνητών στις μολυσματικές ασθένειες και τον τρόπο που θα μπορούσαν να μοντελοποιηθούν, χρησιμοποιώντας μαθηματικά μοντέλα. Τα μαθηματικά μοντέλα, αποτελούν πολύτιμο εργαλείο στην ανάλυση της εξάπλωσης και του ελέγχου των μολυσματικών ασθενειών. Η διαδικασία κατασκευής ενός μοντέλου, περιλαμβάνει τον καθορισμό των βασικών υποθέσεων, των μεταβλητών αλλά και των παραμέτρων. Επιπλέον, τα μοντέλα παρέχουν σημασιολογικά αποτελέσματα όπως κατώφλια, αριθμούς αναπαραγωγής καθώς και σε συνδυασμό με τις υπολογιστικές προσομοιώσεις, αποτελούν χρήσιμα πειραματικά εργαλεία για τον έλεγχο πιθανών σεναρίων, προβλημάτων, τον καθορισμό της ευαισθησίας των παραμέτρων ανάλογα με την μεταβολή της τιμής τους κ.α. Η κατανόηση των χαρακτηριστικών μετάδοσης που διαθέτουν οι μολυσματικές ασθένειες σε περιοχές, χώρες, κοινωνικές ομάδες, μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερη προσέγγιση του φαινομένου και κατά συνέπεια, μείωση της εξάπλωσής τους. Ξεκινώντας το 1926 οι Kermack and McKendrick δημοσίευσαν εργασίες πάνω σε επιδημιολογικά μοντέλα και παρουσίασαν το επιδημιολογικό κατώφλι όπου το πλήθος των ατόμων που έχουν την τάση να ασθενήσουν, πρέπει να ξεπερνά κάποια κρίσιμη τιμή ώστε να ξεσπάσει κάποια επιδημία. Σύνολα με ονόματα όπως M, S, E, I, R χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση των επιδημιολογικών κλάσεων. Για παράδειγμα, αν μία μητέρα έχει μολυνθεί τότε κάποια αντισώματα IgG μεταφέρονται μέσω του πλακούντα στο νεογέννητο, το οποίο διαθέτει παθητική ανοσία στη μόλυνση. Αυτά τα άτομα, κατα- 15

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σχήμα 4.1: Διάγραμμα καταστάσεων για το μοντέλο SIR. Η παράμετρος λ συμβολίζει τη συχνότητα κρουσμάτων μόλυνσης και η παράμετρος r συμβολίζει το ποσοστό των ασθενών που θεραπεύονται ανά χρονική στιγμή τάσσονται στην κλάση Μ (Mother Passive Immunity). Όταν τα αντισώματα από τη μητέρα εξαφανιστούν, τα άτομα αυτά κατατάσσονται στην κλάση S (Susceptible) όπου είναι όλοι όσοι μπορούν να μολυνθούν αλλά προσωρινά είναι υγιείς. Όταν υπάρξει επαφή ενός ατόμου από την κλάση S με κάποιο άτομο που είναι μολυσματικό (ασθενής που μπορεί να μεταδώσει την ασθένεια), το πρώτο άτομο μεταβαίνει στην κλάση Ε(Exposed) το οποίο σημαίνει ότι έχει μολυνθεί αλλά δεν μπορεί προσωρινά να μεταδώσει την ασθένεια. Αφού περάσει το πρώτο διάστημα της έκθεσης, το άτομο μεταβαίνει στην κλάση I (Infective) όπου μπορεί να μεταδώσει την ασθένεια σε άτομα της κλάσης S. Ανάλογα με την ασθένεια, μετά το πέρας της περιόδου που το άτομο είναι ασθενής, μεταβαίνει στην κλάση R(Removed with immunity) όπου κατατάσσονται όλοι όσοι έχουν μόνιμη ανοσία απέναντι στην ασθένεια. Η επιλογή των συνόλων που χρησιμοποιούνται σε κάθε μοντέλο, εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της ασθένειας που θα μοντελοποιηθεί καθώς και το σκοπό του μοντέλου. Στις ενότητες που ακολουθούν, αναλύουμε κάποια βασικά μοντέλα, τα χαρακτηριστικά τους καθώς και εφαρμογές. 4.1 Μοντέλο SIR Το μοντέλο SIR (Σχήμα 4.1) παρουσιάστηκε το 1927 από τους Kermack και McKendrick. Στο μοντέλο αυτό, θεώρησαν σταθερό πληθυσμό που αποτελείται από τρία σύνολα: επιρρεπείς στην ασθένεια (susceptible) S(t), ασθενείς (infected) I(t), υγιείς (removed) R(t). Τα σύνολα αυτά, συνιστούν τις τρεις βασικές κλάσεις, στις οποίες μπορεί να κατατάσσεται κάποιο άτομο ανάλογα με τις συνθήκες. Συγκεκριμένα: 1.S(t): Η κλάση στην οποία εντάσσονται τα άτομα που δεν έχουν ακόμα ασθενήσει (τη χρονική στιγμή t) και είναι επιρρεπή στην ασθένεια. 2.I(t): Η κλάση στην οποία εντάσσονται τα άτομα τα οποία έχουν μολυνθεί από τον ιό και μπορούν να μεταδώσουν τον ιό, στα άτομα που δεν έχουν νοσήσει. 3.R(t): Η κλάση στην οποία εντάσσονται τα άτομα τα οποία έχουν αποκτήσει ανοσία απέναντι στην ασθένεια (άτομα που είχαν μολυνθεί από την ασθένεια

17 4.2. ΜΟΝΤΕΛΟ SIS 17 Σχήμα 4.2: Διάγραμμα καταστάσεων για το μοντέλο SIS. Η παράμετρος λ συμβολίζει τη συχνότητα κρουσμάτων μόλυνσης και η παράμετρος r, συμβολίζει το ποσοστό των ασθενών που θεραπεύονται ανά χρονική στιγμή και θεραπεύτηκαν ή πέθαναν). Σε οποιαδήποτε περίπτωση, τα άτομα αυτής της κλάσης δεν μπορούν να ασθενήσουν πάλι αλλά και να μεταδώσουν την ασθένεια. Όταν ο πληθυσμός N = S(t) + I(t) + R(t) είναι σταθερός, τότε ο ρυθμός μεταβολής των συνόλων που περιγράψαμε, υπολογίζεται από τις παρακάτω εξισώσεις: ds dt = βsi (4.1) di dt = βsi γi (4.2) dr dt = γi (4.3) όπου το γ αναπαριστά το μέσο ρυθμό ιάσεων/θανάτων. Για την διατύπωση των προηγούμενων σχέσεων, έχουν γίνει αρκετές υποθέσεις. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, θεωρούμε σταθερό τον πληθυσμό στον οποίο εξαπλώνεται η ασθένεια. Στην πραγματικότητα ο πληθυσμός δεν είναι σταθερός καθώς υπάρχουν θάνατοι και γεννήσεις. Σε αυτή την περίπτωση το μοντέλο αλλάζει μορφή και οι εξισώσεις που περιγράφουν τους ρυθμούς μεταβολής των συνόλων S, I, R είναι διαφορετικές. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι όλα τα άτομα έχουν την ίδια πιθανότητα β να ασθενήσουν ενώ στην πραγματικότητα αυτό δεν ισχύει. Ένα άτομο που έχει μολυνθεί, μπορεί να μεταδώσει την ασθένεια σε β άτομα την ίδια χρονική στιγμή. Το ποσοστό των επαφών ενός ασθενή με κάποιον υγιή, είναι S/N. Συνεπώς κάθε ασθενής μπορεί να προκαλέσει βn(s/n) = βs μολύνσεις κάθε χρονική στιγμή. Τέλος για τη δεύτερη και τρίτη σχέση που αφορά το ρυθμό μεταβολής της κλάσης Ι και το ρυθμό μεταβολής της κλάσης R, η βασική υπόθεση είναι ότι το πλήθος των ατόμων που φεύγουν από την κλάση S, εισέρχονται στην κλάση Ι.

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 4.2 Μοντέλο SIS Μία παραλλαγή του μοντέλου SIR, αποτελεί το μοντέλο SIS (Σχήμα 4.2), όπου λόγω της απουσίας της κλάσης R, δεν υφίσταται η έννοια της μόνιμης ανοσίας απέναντι στον ιό. Σε αυτή την περίπτωση, θεωρούμε ότι τα άτομα θα ανήκουν είτε στην κλάση S είτε στην κλάση I και η μετάβαση από την μία κλάση στην άλλη, είναι αμοιβαία. Το απλούστερο μοντέλο SIS για σταθερό πληθυσμό Ν, περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: ds dt = βsi + αi (4.4) di = βsi αi (4.5) dt Το σύστημα εξισώσεων που παρουσιάσαμε θυμίζει σε μεγάλο βαθμό το αντίστοιχο του μοντέλου SIR. Ισχύουν οι ίδιες υποθέσεις που τηρούνται στη διατύπωση του SIR. Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι ο πληθυσμός παραμένει σταθερός και όλα τα άτομα έχουν την ίδια πιθανότητα β να ασθενήσουν ενώ στην πραγματικότητα αυτό δεν ισχύει. Ένα άτομο που έχει μολυνθεί, μπορεί να μεταδώσει την ασθένεια σε β άτομα την ίδια χρονική στιγμή. Το ποσοστό των επαφών ενός ασθενή με κάποιον υγιή, είναι S/N. Συνεπώς κάθε ασθενής μπορεί να προκαλέσει βn(s/n) = βs μολύνσεις κάθε χρονική στιγμή. Επομένως, συνολικά όλα τα άτομα της κλάσης I μπορούν να προκαλέσουν βsi μολύνσεις κάθε χρονική στιγμή. Αντίστοιχα, ο όρος α είναι το ποσοστό των ασθενών που θεραπεύονται και μεταβαίνουν στην κατάσταση S κάθε χρονική στιγμή. 4.3 Μοντέλα SEIR, SEIS Παραλλαγές του μοντέλου SIR, με περισσότερες καταστάσεις, αποτελούν τα μοντέλα SEIS και SEIR. Στο μοντέλο SEIS (Σχήμα 4.3), η επιπρόσθετη κλάση Ε (exposed), αφορά τα άτομα τα οποία έχουν εκτεθεί στον ιό, έχουν ασθενήσει αλλά για κάποιο χρονικό διάστημα δεν μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια. Μετά το πέρας αυτού του διαστήματος, τα άτομα μεταβαίνουν στην κατάσταση Ι όπου είναι ασθενείς και μπορούν να μολύνουν κάποιον.επιπλέον, δεν τίθεται θέμα ανοσίας σε αυτό το μοντέλο καθώς η μετάβαση από την κατάσταση Ι, είναι μόνο προς την κατάσταση S. Οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το μοντέλο, παρουσιάζονται παρακάτω: ds dt = B βsi µs + γi (4.6) de dt = βsi (ϵ + µ)e (4.7)

19 4.3. ΜΟΝΤΕΛΑ SEIR, SEIS 19 Σχήμα 4.3: Διάγραμμα καταστάσεων για το μοντέλο SΕIS. Η παράμετρος λ συμβολίζει τη συχνότητα κρουσμάτων μόλυνσης,η παράμετρος e το ποσοστό των ατόμων που έχουν εκτεθεί,είναι στην κλάση Ε και μεταβαίνουν στην κλάση Ι και η παράμετρος r, συμβολίζει το ποσοστό των ασθενών που θεραπεύονται ανά χρονική στιγμή. di dt = εe (γ + µ)i (4.8) όπου με B συμβολίζεται ο μέσος ρυθμός γεννήσεων και με µ ο μέσος ρυθμός θανάτων. Αντίστοιχα, στο μοντέλο SEIR (Σχήμα 4.4), παρατηρείται παρόμοια συμπεριφορά με το μοντέλο SIR, με τη διαφοροποίηση ότι υπάρχει ενδιάμεση κατάσταση ανάμεσα στις καταστάσεις S και I, η Ε (exposed)που αφορά τα άτομα τα οποία έχουν εκτεθεί στον ιό, έχουν ασθενήσει αλλά για κάποιο χρονικό διάστημα δεν μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια. Σε αυτήν την παραλλαγή μοντέλου, παρατηρείται μόνιμη ανοσία, λόγω της παρουσίας της κατάστασης R. Οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το μοντέλο, παρουσιάζονται παρακάτω: ds dt = B βsi µs (4.9) de dt = βsi (ε + µ)e (4.10) di dt = εe (γ + µ)i (4.11) dr dt = γi µr (4.12) όπου με B συμβολίζεται ο μέσος ρυθμός γεννήσεων, με µ ο μέσος ρυθμός θανάτων, με ε τη συχνότητα έκθεσης και με γ ο μέσος ρυθμός ιάσεων/θανάτων.

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Σχήμα 4.4: Διάγραμμα καταστάσεων για το μοντέλο SΕIR. Η παράμετρος λ συμβολίζει τη συχνότητα κρουσμάτων μόλυνσης,η παράμετρος e το ποσοστό των ατόμων που έχουν εκτεθεί και είναι στην κλάση Ε και μεταβαίνουν στην κλάση Ι και η παράμετρος r συμβολίζει το ποσοστό των ασθενών που θεραπεύονται ανά χρονική στιγμή.

21 Κεφάλαιο 5 Προηγούμενα Αποτελέσματα Περιεχόμενα 5.1 Μοντέλο Διακριτού Χρόνου Threshold conditions for arbitrary cascade models on arbitrary networks Μοντέλο Συνεχούς Χρόνου Winner Takes All Interacting Viruses in Networks: Can Both Survive?. 30 Σε αυτή την ενότητα, παρουσιάζουμε προηγούμενες εργασίες στον τομέα της επιδημιολογίας και της διάδοσης πληροφορίας. Όπως αναφέραμε και σε προηγούμενο κεφάλαιο, κάποια από τα διαθέσιμα επιδημιολογικά μοντέλα είναι τα SIS,SIR, SIRS κ.α. Μία έρευνα για τα διαθέσιμα μοντέλα είναι διαθέσιμη στην εργασία [8]. Ένα από τα βασικά σημεία μελέτης είναι το λεγόμενο κατώφλι (epidemic threshold) το οποίο έχει καθοριστικό ρόλο στην εξάπλωση της επιδημίας. Παρέχει τις συνθήκες και τις απαραίτητες παραμέτρους που χρειάζεται ένας ιός έτσι ώστε όταν φτάσει σε κάποιο όριο και το ξεπεράσει, η κατάσταση να οδηγήσει σε επιδημία. Προηγούμενες εργασίες σε μοντέλα διάδοσης ιών (virus propagation models), αφορούν ομογενή μοντέλα όπου κάθε μέλος της ομάδας έχει ίση επαφή με τα υπόλοιπα μέλη του πληθυσμού [12, 1, 2]. Πολλές ερευνητικές εργασίες [11, 13], εστιάζουν σε γραφήματα συγκεκριμένου τύπου όπως τυχαία γραφήματα, powerlaw γραφήματα κ.α. Παρ όλα αυτά, οι συγγραφείς στην εργασία [6] απέδειξαν ότι για αυθαίρετες τοπολογίες, για το μοντέλο SIS, το επιδημιολογικό κατώφλι εξαρτάται από την κύρια ιδιοτιμή του πίνακα γειτνίασης του γραφήματος. Η πλειοψηφία των μοντέλων, μελετούν την εξάπλωση κάποιας συγκεκριμένης επιδημίας σε κάποιο δίκτυο ενώ πιο πρόσφατες εργασίες [14], ασχολούνται με μοντέλα όπου έχουμε περισσότερους από έναν ιό. Όλες οι εργασίες αυτές, απαιτούν το δίκτυο να τηρει το fair-play που αναφέραμε νωρίτερα και ότι όλοι οι κόμβοι έχουν την ίδια συμπεριφορά απέναντι στους ιούς. Στην εργασία [14] χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο SI 1 I 2 S όπου έχουμε δύο ανταγωνιστικούς ιούς που μολύνουν κόμβους σε αυθαίρετες τοπολογίες όπου οι κόμβοι έχουν αμοιβαία ανοσία. Αυτό σημαίνει ότι οι κόμβοι που μολύνονται από έναν ιό δε μπορούν να μολυνθούν από έναν άλλο ιό. Απέδειξαν ότι ανεξαρτήτως τοπολογίας, ο δυνατότερος ιός (άνω 21

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ του κατωφλίου) επιβιώνει και εξουδετερώνει τον αδύναμο ιό ( winner takes all ). Σε επόμενη εργασία, η συνθήκη για αμοιβαία ανοσία αφαιρείται και εστιάζουμε στις συνθήκες όπου οι κόμβοι ασθενούν και από τους δύο ιούς [3]. Σε όλες τις περιπτώσεις, το μοντέλο που χρησιμοποιείται, θυμίζει το SIS ενώ στην εργασία [15], οι συγγραφείς παρουσιάζουν ένα γενικευμένο μοντέλο που περιλαμβάνει την πλειοψηφία των γνωστών μοντέλων με κατάλληλη παραμετροποίηση σε διακριτό χρόνο. Όλα τα προηγούμενα μοντέλα, εφαρμόζονται σε απλά δίκτυα ενώ στην εργασία [16], χρησιμοποιείται σύνθετο δίκτυο όπου εξαπλώνονται δύο ανταγωνιστικοί ιοί και εικάζεται ότι ο δυνατότερος θα εξουδετερώσει τον πιο αδύναμο. Όπως στις προηγούμενες εργασίες και εδώ το πρόβλημα μοντελοποιείται χρησιμοποιώντας ένα μη γραμμικό δυναμικό σύστημα. Σχετικές εργασίες εντοπίζονται και στον τομέα της διάδοσης πληροφορίας (information diffusion). Σε αυτόν τον τομέα, ο όρος ιός, περιλαμβάνει εκτός από τους βιολογικούς ιούς, ιούς με κοινωνικό, οικονομικό και αγοραστικό περιεχόμενο όπως φήμες, ανταγωνιστικά προϊόντα memes κ.α. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, οι ερευνητικές εργασίες να εστιάζουν στο viral marketing, στη μαζική διάχσυη πληοροφορίας αλλά και την δείσδυση στην αγορά ενός ανταγωνιστικού προϊόντος (competing product penetration)[5]. Με τον όρο διάχυση πληροφορίας εννοούμε το φαινόμενο που παρουσιάζεται όταν ανεξαρτήτως πληροφοριών που διαθέτει κάποιος και προσωπικών αντιρρήσεων, πραγματοποιεί τις ίδιες ενέργειες με άλλα άτομα (information cascade). Τα μοντέλα που αφορούν τη διάχυση πληροφορίας χωρίζονται σε δύο κλάσεις, τις Independent Cascade [10] και Linear Threshold [7]. Η οικολογία αποτελεί άλλο ένα τομέα όπου βρίσκουν εφαρμογή μοντέλα όπως αυτά που περιγράψαμε. Εδώ, η αρχή του ανταγωνιστικού αποκλεισμού (principle of competitive exclusion) όπου δύο ανταγωνιστικά είδη δεν μπορούν να συνυπάρξουν ειρηνικά θυμίζει το winner takes all φαινόμενο που αναφέραμε νωρίτερα. Αυτή η αρχή έχει μελετηθεί εκτενώς χρησιμοποιώντας μοντέλα όπως τα SIS, SIRS, Lotka-Volterra χωρίς όμως να έχει προκύψει κάποια αναλυτική λύση. 5.1 Μοντέλο Διακριτού Χρόνου Threshold conditions for arbitrary cascade models on arbitrary networks Στην εργασία [15], οι συγγραφείς δίνουν απάντηση στο εξής ερώτημα: Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν έτσι ώστε η εξάπλωση ενός ιού να οδηγήσει σε επιδημία; Ποιο είναι το αντίστοιχο κατώφλι; Συγκεκριμένα, δίνουν απάντηση στο ερώτημα, χρησιμοποιώντας ένα γενικευμένο μοντέλο διακριτού χρόνου που υπερκαλύπτει τα γνωστά επιδημιολογικά μοντέλα και αποδεικνύουν ότι η απάντηση έγκειται στη μέγιστη ιδιοτιμή του μητρώου γειτνίασης του γραφήματος. Σε αυτή

23 5.1. ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 23 Σχήμα 5.1: Αποτελέσματα κατωφλίων για τα επιμέρους μοντέλα του S I 2 V [15] την υποενότητα, περιγράφουμε αναλυτικά την προσέγγιση που ακολούθησαν. Η συγκεκριμένη εργασία, αποτελεί την πρώτη προσπάθεια για ενοποίηση των παρατηρήσεων που κατά καιρούς έχουν προκύψει από την εξάπλωση ιών σε διαφορετικές τοπολογίες. Το βασικό αποτέλεσμα που παρουσιάζεται, είναι ότι ανεξαρτήτως επιδημιολογικού μοντέλου, η συνεισφορά του δικτύου στην εξάπλωση του ιού, αντιπροσωπεύεται από μία παράμετρο: τη μέγιστη ιδιοτιμή του μητρώου γειτνίασης που αναπαριστά το δίκτυο. Το μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε στη συγκεκριμένη περίπτωση, αποτελεί ένα γενικευμένο μοντέλο που υπερκαλύπτει την πλειοψηφία των επιδημιολογικών μοντέλων που περιγράψαμε στην προηγούμενη ενότητα και οι συγγραφείς το ονομάζουν S I 2 V. Το γενικευμένο μοντέλο, παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.2. Οι καφέ κόμβοι, συμβολίζουν τα επιδημιολογικά μοντέλα με βάση τη βιβλιογραφία ενώ με μπλε συμβολίζονται τα γενικευμένα μοντέλα που θεώρησαν οι συγγραφείς. Αρχικά, παρουσιάζουμε τις δυνατές καταστάσεις στις οποίες μπορούν να περιέλθουν οι κόμβοι. Όπως αναφέραμε και σε προηγούμενη ενότητα, τα επιδημιολογικά μοντέλα, περιλαμβάνουν καταστάσεις που περιλαμβάνονται σε μία από τις παρακάτω κλάσεις: Susceptible: Οι κόμβοι σε μία κατάσταση αυτής της κλάσης, μπορούν να μολυνθούν από οποιονδήποτε γειτονικό κόμβο που είναι μολυσματικός. Infected: Οι κόμβοι σε αυτή την κλάση, θεωρούνται μολυσματικοί με την έννοια ότι μπορούν να μεταφέρουν τη μόλυνση σε κάποιον γειτονικό κόμβο με μία πιθανότητα μετάδοσης. Φυσικά, η πιθανότητα μετάδοσης μπορεί να είναι 0, το οποίο συνεπάγεται ότι ο κόμβος έχει εκτεθεί στον ιό και μπορεί να το μεταφέρει αλλά δεν έχει ο ίδιος μολυνθεί. Vigilant/vaccinated: Οι κόμβοι που βρίσκονται σε κατάσταση αυτής της κλάσης (πχ κατάσταση R στο μοντέλο SIR), δε μπορούν να μολυνθούν ούτε να μεταδώσουν κάποιον ιό. Χρησιμοποιώντας καταστάσεις από τις κλάσεις που περιγράψαμε προηγουμένως, το γενικευμένο μοντέλο περιλαμβάνει αυθαίρετο αριθμό από καταστάσεις

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 5.2: Γενικευμένο επιδημιολογικό μοντέλο S I 2 V [15]

25 5.1. ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 25 Σχήμα 5.3: Διάγραμμα καταστάσεων & μεταβάσεις στο επιδημιολογικό μοντέλο S I 2 V [15] της κλάσης Susceptible (S ), 2 καταστάσεις από την κλάση Infected (I 2 ) και αυθαίρετο αριθμό από καταστάσεις της κλάσης Vigilant (V ). Οι μεταβάσεις που επιτρέπονται ανάμεσα στις κλάσεις καταστάσεων, φαίνονται στην Εικόνα 5.3. Οι συγγραφείς, έχουν κάνει δύο βασικές υποθέσεις: 1. Μόλυνση από γειτονικούς κόμβους: Ο μόνος δυνατός τρόπος να μολυνθεί κάποιος κόμβος, είναι μέσω κάποιου γείτονα. Δεν υπάρχει κάποια ενδογενής μετάβαση από την κλάση Susceptible στην κλάση Infected παρά μόνο λόγω εξωγενών παραγόντων. 2. Αρχική κατάσταση στην κλάση Infected : Για το μικρό αριθμό μοντέλων που διαθέτουν περισσότερες από μία κατάσταση στην κλάση Infected, ισχύει ότι οποιαδήποτε εξωγενής μετάβαση, μεταφράζεται σε μετάβαση από την κλάση Susceptible στην κλάση Infected. Λαμβάνοντας υπ όψιν τις προηγούμενες υποθέσεις, οι συγγραφείς προσέγγισαν το γενικευμένο μοντέλο, χρησιμοποιώντας ένα μη γραμμικό δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου που μοντελοποιεί την μετάβαση των κόμβων ανάμεσα στις καταστάσεις όπου η κατάσταση των κόμβων κάθε χρονική στιγμή, αναπαρίσταται σαν ένα διάνυσμα P t. Για παράδειγμα, για ένα μοντέλο m καταστάσεων σε ένα δίκτυο N κόμβων, το διάνυσμα P t R m Nx1 θα είναι: P t =[P S1,1,t, P S1,2,t,..., P S1,N,t, P S2,1,t,..., P Sm,N,t] T όπου P Sj,1,t είναι η πιθανότητα ο κόμβος j να είναι στην κατάσταση S j τη χρονική στιγμή t. Αντίστοιχα το μη γραμμικό δυναμικό σύστημα που μοντελοποιεί τις μεταβολές στις τιμές του διανύσματος P t είναι της μορφής P t+1 =g(p t ) όπου g είναι μία μη γραμμική συνάρτηση που χρησιμοποιεί ως όρισμα το διάνυσμα P t. Το βασικό θεώρημα το οποίο απέδειξαν, περιγράφεται παρακάτω:

26 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Θεώρημα 1. Για επιδημιολογικά μοντέλα που ικανοποιούν τις αρχικές υποθέσεις και για οποιοδήποτε αυθαίρετο και μη-κατευθυνόμενο γράφημα με μητρώο γειτνίασης A και μέγιστη ιδιοτιμή λ 1,η ικανή συνθήκη για να είναι το σύστημα ευσταθές, είναι: s < 1 (5.1) όπου s είναι η δύναμη και είναι ίση: s = λ 1 C V P M (5.2) και C V P M είναι μία σταθερά που εξαρτάται από το επιδημιολογικό μοντέλο που χρησιμοποιείται σε κάθε περίπτωση. Το κρίσιμο σημείο είναι στην περίπτωση που ισχύει s = 1. Αυτό το σημείο αποτελεί το λεγόμενο επιδημιολογικό κατώφλι(epidemic threshold). Όταν η δύναμη του ιού είναι μικρότερη από 1, ο ιός εξουδετερώνεται ταχύτατα σε σύγκριση με την περίπτωση που η δύναμή του βρίσκεται άνω του κατωφλίου (ανάλογα πάντα με το επιδημιολογικό μοντέλο). Τα αποτελέσματα που προκύπτουν για τα επιμέρους μοντέλα, συνοψίζονται στην Εικόνα 5.1 και τα πειράματα που επαληθεύουν τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στην Εικόνα 5.4.

27 5.1. ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 27 Σχήμα 5.4: Πειραματικά αποτελέσματα για τα επιμέρους μοντέλα του S I 2 V [15]

28 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 5.5: Διάγραμμα καταστάσεων του μοντέλου SI 1 I 2 S [14] 5.2 Μοντέλο Συνεχούς Χρόνου Winner Takes All Στο μοντέλο συνεχούς χρόνου, ιδιαίτερο ενδιαφέρον, παρουσιάζει η εργασία [14]. Στη συγκεκριμένη εργασία, οι συγγραφείς προσπαθούν να μοντελοποιήσουν το φαινόμενο δύο ανταγωνιστικών προϊόντων/ιών που εξαπλώνονται στο ίδιο δίκτυο. Το ερώτημα που προκύπτει είναι ποιος από τους δύο θα νικήσει (θα καταλάβει το μεγαλύτερο μέρος του δικτύου). Οι συγγραφείς απαντούν στο ερώτημα αποδεικνύοντας ότι υπό ρεαλιστικές συνθήκες ο δυνατότερος ιός από τους δύο, εξουδετερώνει τον άλλο και καταλαμβάνει όλο το δίκτυο, ανεξάρτητα από την τοπολογία του δικτύου. Το μοντέλο που χρησιμοποίησαν είναι το SI 1 I 2 S που θυμίζει το γνωστό επιδημιολογικό μοντέλο SIS με την διαφοροποίηση ότι οι κόμβοι όταν μολυνθούν από τον ιό 1, μεταβαίνουν στην κατάσταση I 1 ενώ αντίστοιχα όταν μολυνθούν από τον ιό 2, μεταβαίνουν στην κατάσταση I 2 (Εικόνα 5.5). Οι συγγραφείς, έχουν κάνει τρεις βασικές υποθέσεις: 1.Αμοιβαία ανοσία (mutual immunity): Ένας κόμβος που έχει μολυνθεί από τον ένα ιό, δεν μπορεί να μολυνθεί από τον άλλο. Δηλαδή, ένας κόμβος δεν μπορεί να είναι την ίδια χρονική περίοδο ασθενής και από τους 2 ιούς. 2.Συνεκτικότητα: Το γράφημα είναι συνεκτικό με την έννοια ότι υπάρχει μονοπάτι από κάθε κόμβο προς όλους τους υπόλοιπους κόμβους του δικτύου. 3.Fair-play:Το δίκτυο είναι fair-play με την έννοια ότι όλοι οι κόμβοι έχουν την ίδια συμπεριφορά απέναντι στους δύο ανταγωνιστικούς ιούς. Αυτό πρακτικά συνεπάγεται ότι όλοι οι κόμβοι έχουν την ίδια πιθανότητα β 1 να μολυνθούν από τον ιό 1 και αντίστοιχα, έχουν την ίδια πιθανότητα β 2 να μολυνθούν από τον ιό 2 και το ίδιο ισχύει για τις πιθανότητες ίασης. Με βάση τις προηγούμενες υποθέσεις, κατασκεύασαν ένα δυναμικό σύστημα που μοντελοποιεί τη διαδικασία μόλυνσης του δικτύου και παρουσίασαν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές στην περίπτωση της κλίκας, του γραφήματος barbell αλλά και αυθαίρετων γραφημάτων.

29 5.2. ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ 29 Σχήμα 5.6: Πειράματα στο δίκτυο AS-OREGON για τα 3 σημεία ισορροπίας (# μολυσμένων κόμβων vs χρόνος,# μολυσμένων κόμβων ιού 1 vs # μολυσμένων κόμβων ιού 2 ) [14] Επιπλέον, απέδειξαν ότι τα διαθέσιμα σημεία ισορροπίας, ανεξαρτήτως τοπολογίας, είναι 3: 1. BELOW:Οι ιοί έχουν δύναμη χαμηλότερη από το κατώφλι, β 1 /δ 1 < 1, β 2 /δ 2 < MIXED:Ο ένας ιός έχει δύναμη άνω του κατωφλίου και ο άλλος χαμηλότερη από το κατώφλι, β 1 /δ 1 > 1, β 2 /δ 2 < 1. ABOVE:Οι ιοί έχουν δύναμη άνω του κατωφλίου,β 1 /δ 1 > 1, β 2 /δ 2 > 1. Φυσικά, για κάθε διαφορετικό σενάριο, ένα από τα διαθέσιμα σημεία ισορροπίας θα είναι σταθερό. Χρησιμοποιώντας, τα σημεία αυτά, κατέληξαν στο παρακάτω συμπέρασμα: Δοθέντος ενός αυθαίρετου συνεκτικού γραφήματος με μητρώο γειτνίασης και τις παραμέτρους του μοντέλου SI 1 I 2 S (β 1, δ 1, β 2, δ 2 ), τότε ο ιός 1 θα κυριαρχήσει στο δίκτυο και ο ιός 2 θα εξουδετερωθεί στο σημείο ισορροπίας, αν ο ιός 1 έχει δύναμη άνω του κατωφλίου (σ 1 > 1) και η δύναμη του ιού 1 είναι μεγαλύτερη από τη δύναμη του ιού 2 (σ 1 > σ 2 ). Τέλος, για καθένα από τα σημεία ισορροπίας, πραγματοποίησαν πειράματα με συνθετικά αλλά και πραγματικά δεδομένα (Εικόνα 5.6 ), επαληθεύοντας το αποτέλεσμα στο οποίο κατέληξαν, ο δυνατότερος ιός (με δύναμη μεγαλύτερη από το κατώφλι), κυριαρχεί στο δίκτυο (winner takes all).

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 5.7: Διάγραμμα καταστάσεων ενός κόμβου στο μοντέλο μερικού ανταγωνισμού SI 1 2 S [3] Interacting Viruses in Networks: Can Both Survive? Στην εργασία [3], παρουσιάζεται μία εναλλακτική προσέγγιση του προβλήματος. Συγκεκριμένα, εξετάζεται η περίπτωση όπου δύο ανταγωνιστικοί ιοί εξαπλώνονται στο δίκτυο και αν υπάρχουν συνθήκες στις οποίες μπορούν να συνυπάρξουν. Στην περίπτωση του πλήρους ανταγωνισμού, γνωρίζουμε ότι ο δυνατότερος ιός εξουδετερώνει τον αδύναμο και εξαπλώνεται σε όλο το δίκτυο (winner takes all), όπως είδαμε στην Ενότητα Στην περίπτωση που δεν υπάρχει ανταγωνισμός, οι δύο ιοί συνυπάρχουν στο δίκτυο, αγνοώντας ο ένας τον άλλο. Οι συγγραφείς εξετάζουν κατά πόσο υπάρχει ενδιάμεση κατάσταση όπου ενώ υπάρχει ανταγωνισμός, οι ιοί συνυπάρχουν στο δίκτυο. Το μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε είναι το SI 1 2 S το οποίο θυμίζει το γνωστο επιδημιολογικό μοντέλο SIS που είδαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο. Κάθε κόμβος του γραφήματος, μπορεί να είναι σε μία από τις τέσσερις διαθέσιμες καταστάσεις: susceptible (υγιής) - I 1 (μολυσμένος από τον ιό 1) - I 2 (μολυσμένος από τον ιό 2) - I 1,2 (μολυσμένος από τον ιό 1 και από τον ιό 2). Το διάγραμμα μετάβασης ανάμεσα στις διαθέσιμες καταστάσεις, παρουσιάζεται στην εικόνα 5.7. Σε αυτό το μοντέλο, εκτός από τις βασικές παραμέτρους μόλυνσης και ίασης, παρουσιάζεται μία επιπλέον παράμετρος, ο παράγοντας αλληλεπίδρασης των ιών, ϵ. Ένας κόμβος που έχει μολυνθεί από τον ένα ιό, μπορεί να είναι λιγότερο ή περισσότερο επιρρεπής στο να μολυνθεί από τον άλλο ιό, όπως αυτό καθορίζεται από τον παράγοντα ϵ. Δηλαδή, ο ρυθμός μόλυνσης ενός ιού όταν ο κόμβος είναι ήδη

31 5.2. ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ 31 Σχήμα 5.8: Πειράματα σε κλίκα 1000 κόμβων όπου στο διάγραμμα (a), παρουσιάζονται οι πληθυσμοί κ 1, κ 2, i 12 = I 12 για κάθε τιμή του ϵ ενώ στο διάγραμμα (b) N παρουσιάζεται η εξάπλωση των δύο ιών με την πάροδο του χρόνου για ϵ > ϵ critical [3] ασθενής από ένα ιό είναι ϵβ 1 ή ϵβ 2 αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, όταν ένας κόμβος έχει μολυνθεί από τον ιό 1, όλοι γειτονικοί κόμβοι που έχουν μολυνθεί από τον ιό 2, έχουν πιθανότητα μετάδοσης ϵβ 2 και το αντίστοιχο ισχύει για τους γειτονικούς κόμβους που έχουν μολυνθεί από τον ιό 1, όταν ο κόμβος έχει μολυνθεί από τον ιό 2. Η τιμή του παράγοντα ϵ μπορεί να περιγράψει πολλές διαφορετικές αλληλεπιδράσεις. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που ϵ = 0, αυτό υποδηλώνει ότι υπάρχει αμοιβαία ανοσία και όταν ένας κόμβος μολυνθεί από τον ένα ιό, δε μπορεί να μολυνθεί από τον άλλο. Αντίθετα όταν ισχύει 0 < ϵ 1, αυτό υποδηλώνει αλληλεπίδραση μεταξύ των ιών σε κάποιο βαθμό. Τέλος, επίσης σε αυτή την εργασία, βασική υπόθεση είναι ότι ισχύει το fairplay και οι όλοι οι κόμβοι του δικτύου, έχουν την ίδια συμπεριφορά (όπως ορίζεται από το διάγραμμα καταστάσεων - Εικόνα 5.7 ) και παραμέτρους απέναντι σε καθένα από τους ιούς που εξαπλώνονται στο δίκτυο. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο που περιγράψαμε, οι συγγραφείς απέδειξαν ότι: Δοθέντος ενός πλήρως συνεκτικού γραφήματος (κλίκα) G, με παραμέτρους σ 1 σ 2 του μοντέλου SI 1 2 S, υπάρχει σημείο ισορροπίας όπου κ 1, κ 2 > 0, αν ϵ > ϵ critical, όπου: ϵ critical = { σ1 σ 2 σ 2 (σ 1 1) αν σ 1 + σ 2 2 2(1+ 1 σ 1 σ 2 ) σ 1 σ 2 αν σ 1 + σ 2 < 2 (5.3) όπου κ 1 = (I 1+I 12 ) N και κ 2 = (I 2+I 12 ) N Επιπλέον, πραγματοποίησαν πειράματα σε συνθετικά και πραγματικά δίκτυα, επαληθεύοντας ότι όταν τηρείται η συνθήκη για τον παράγοντα ϵ, μπορεί να υπάρξει συνύπαρξη των ιών στο δίκτυο, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.8.