Διήθηση. σε τυχαία γραφήματα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διήθηση. σε τυχαία γραφήματα"

Μέλαινα Αλεξάνδρου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Διήθηση σε τυχαία γραφήματα

2 Διήθηση Ουσιαστικά η μελέτη γραφημάτων όταν αφαιρούμε ακμές (ή κορυφές). Συνήθως μας ενδιαφέρει η μελέτη της μεγαλύτερης συνιστώσας μέγεθος και ιδιότητες Πολλά φυσικά φαινόμενα Μπορεί το νερό να φτάσει στο κέντρο ενός σπογγώδη αντικειμένου; Επιδημίες Πόσοι θα μολυνθούν από κάποιον αρχικό φορέα;

3 Επιδημίες: Μοντέλο SIR Καταστάσεις Susceptible: Δεν έχει εκτεθεί στην ασθένεια Infected: Έχει την ασθένεια και μπορεί να την μεταδώσει Recovered: Είχαν την ασθένεια και τώρα έχουν ανοσία. Θεωρούμε ότι κάποιος που έχει την ασθένεια έχει πιθανότητα p να την μεταδώσει στους γείτονές του. Ουσιαστικά το ίδιο με το να ξεκινήσουμε με πλήρες γράφημα και να αφαιρέσουμε ακμές με πιθανότητα 1-p Μας ενδιαφέρουν κατωφλικά φαινόμενα όπου για p>c μολύνεται το μεγαλύτερο κομμάτι του γραφήματος ενώ για p<c μόνο ένα μικρό.

4 Το άπειρο δυαδικό δέντρο Θα δείξουμε ότι για p>1/2 τότε με θετική πιθανότητα η ρίζα ανήκει σε μια άπειρη συνιστώσα. Για p<1/2 η πιθανότητα να συμβαίνει αυτό > 0 Μέσος αριθμός μολυσμένων κορυφών Στο 1ο επίπεδο 2p Στο 2ο 4p 2 Στο k-ο επίπεδο (2p) k

5 Αν p<1/2 Πιθανότητα να έχουμε ασθενή στο k-ο επίπεδο Pr[X k 1] E[X k ] = (2p) k > 0 άρα αν p<1/2 σχεδόν σίγουρα δεν έχουμε μεγάλο μολυσμένο κομμάτι του δέντρου

6 Αν p>1/2 θ p η πιθανότητα η ρίζα να ανήκει σε ένα μολυσμένο άπειρο δέντρο. F 0 η πιθανότητα να υπάρχει η ακμή από τη ρίζα στο αριστερό παιδί ΚΑΙ αυτό να είναι ρίζα ενός μολυσμένου άπειρου δέντρου. F 1 το αντίστοιχο για το δεξί παιδί. θ p =Pr[F 0 OR F 1 ]=Pr[F 0 ]+Pr[F 1 ]-Pr[F 0 AND F 1 ] θ p =Pr[F 0 ]+Pr[F 1 ]-Pr[F 0 ]Pr[F 1 ] < Ανεξάρτητα θ p =pθ p +pθ p -pθ p pθ p =2pθ p -p 2 θ 2 p

7 Πεπερασμένο δυαδικό δέντρο θp,k η πιθανότητα η ρίζα να συνδέεται (μολυσμένο μονοπάτι) σε κάποια κορυφή βάθους k θp,0=1 Όπως προηγούμενα θp,k=2pθp,k-1-p 2 θ 2 p,k-1 Όσο το k μεγαλώνει περιμένουμε η λύση της αναδρομής να τείνει στο q=(2p-1)/p 2 Θα δείξουμε επαγωγικά ότι θp,k q

8 Πεπερασμένο δυαδικό δέντρο f(x)=2px-(px) 2 θ p,k =f(θ p,k ) 1=θ p,0 q Θα δείξουμε ότι f(x) q για q x 1 f (x)=2p-2p 2 x=2p(1-px)>0 f(q)=q > f(x) q Με λίγη προσπάθεια ακόμα μπορεί να δείξει κανείς ότι το όριο τείνει στο q

9 Αριθμός απογόνων σε άπειρο k-αδικό δέντρο Κάθε κορυφή έχει ακριβώς k απογόνους, ο καθένας επιβιώνει με πιθανότητα p=c/k Bethe Lattice Μπορούμε δείξουμε ότι για c<1 είναι πολύ απίθανο ο οργανισμός να έχει πολλούς απογόνους. Για c>1 αν ο οργανισμός αποκτήσει αρκετούς απογόνους τότε πολύ πιθανά είναι άπειροι. Όπως και προηγούμενα αυτό συμβαίνει με θετική πιθανότητα.

10 Διάδοση σε πλέγμα Η κατωφλική πιθανότητα για μόλυνση σε δισδιάστατο πλέγμα είναι 1/2. Εμείς θα δείξουμε ότι είναι μεταξύ 1/3 και 2/3.

11 Αν p<1/3 Έστω η κορυφή πηγή στο (0,0). Θα φράξουμε την πιθανότητα η πηγή να ανήκει σε συνιστώσα άπειρου μεγέθους. Αν ανήκε, θα ανήκε και σε ένα μονοπάτι άπειρου μήκους. Αν ανήκε, θα ανήκε και σε μονοπάτι οποιουδήποτε πεπερασμένου μήκους. Έστω P ένα απλό μονοπάτι μήκους n. Η πιθανότητα όλες οι ακμές του μονοπατιού να υπάρχουν στο γράφημα είναι p n. Πόσα απλά μονοπάτια μήκους n υπάρχουν; Το πολύ 4 επιλογές για την πρώτη ακμή. Το πολύ 3 επιλογές για κάθε επόμενη 4 3 n-1 Μέσος αριθμός μονοπατιών μήκους n που υπάρχουν στο γράφημα 4 3 n-1 p n =4p (3p) n-1 τείνει στο 0 για p<1/3 και μεγάλα n

12 Αν p>2/3 Θα θεωρήσουμε ένα συμπληρωματικό γράφημα

13 Συμπληρωματικό γράφημα Η πηγή ανήκει σε μια άπειρη συνιστώσα αν και μόνο αν δεν υπάρχει κύκλος που να περικυκλώνει την πηγή στο συμπληρωματικό γράφημα. Έστω q=1-p. Ένας κύκλος μήκους n υπάρχει στο συμπληρωματικό γράφημα με πιθανότητα q n. Πόσοι κύκλοι μπορεί να υπάρχουν;

14 Μέσος αριθμών κύκλων Ψάχνουμε ένα άνω φράγμα για τους (απλούς) κύκλους μήκους n που περικυκλώνουν την πηγή. Ας ορίσουμε ως αρχική κορυφή του κύκλου αυτή που βρίσκεται 1/2 δεξιά της πηγής και πιο ψηλά στο γράφημα > πάντα ορίζεται και έχουμε το πολύ n πιθανές τέτοιες κορυφές. Από την αρχική κορυφή έχουμε το πολύ 3 επιλογές κάθε φορά για να συνεχίσουμε τον κύκλο. Συνολικά ο μέσος αριθμός των κύκλων είναι το πολύ q n n3 n-1 Η 1X πιθανότητα να υπάρχει κύκλος n φράσσεται από 1 που τείνει στο 0 για μεγάλα n και q<1/3 3 j=n j(3q) j

15 Μικροί κύκλοι Με πιθανότητα που τείνει στο 1 δεν υπάρχουν κύκλοι n (για μεγάλο n). Πρέπει να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν και μικροί κύκλοι <n Ας κοιτάξουμε την πιθανότητα να υπάρχουν όλες οι ακμές στο αρχικό γράφημα στο κουτί από (-n,-n)x(n,n) p^(4n 2 ) Συνολικά η πιθανότητα να υπάρχει κύκλος είναι αυστηρά θετική και φράσσεται με κατάλληλη επιλογή του n συναρτήσει του q.

Σχετικά έγγραφα

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας