Ανάλυση διατάξεων συντονιζόμενων μεταϋλικών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανάλυση διατάξεων συντονιζόμενων μεταϋλικών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Γεωργίου Ν. Χρηστίδη Επιβλέπων: Τραϊανός Β.Γιούλτσης Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 2013

2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ανάλυση διατάξεων συντονιζόμενων μεταϋλικών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Γεωργίου Ν. Χρηστίδη Εξεταστική Επιτροπή Αναπληρωτής Καθηγητής Τ.Γιούλτσης, Επιβλέπων Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Κριεζής Επίκουρος Καθηγητής Ν.Κανταρτζής

3

4 Περίληψη Τα τελευταία 10 χρόνια το αντικείμενο των μεταϋλικών αντιμετωπίσθηκε από την επιστημονική κοινότητα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Καταλυτικό ρόλο σε αυτό, αποτέλεσε η εξέλιξη των τεχνικών κατασκευής, η οποία έδωσε την δυνατότητα υλοποίησης τέτοιων διατάξεων οι οποίες μέχρι πρότινος φάνταζαν αδύνατες. Τα μεταϋλικά, κερδίζουν το ενδιαφέρον των επιστημόνων, εξαιτίας της δυνατότητάς τους να κατασκευαστούν σύμφωνα με τις απαιτήσεις χρήσης τους, τόσο σε συχνοτικό εύρος όσο και σε επιθυμητά χαρακτηριστικά. Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε δύο διατάξεις μεταϋλικών στις οπτικές συχνότητες και συγκεκριμένα την δυνατότητα τους να εμφανίσουν αρνητικές τιμές του δείκτη διάθλασης σε ένα ορισμένο εύρος συχνότητων. Αυτό επιτυγχάνεται μεταβάλλοντας κατάλληλα τα χαρακτηριστικά της δομής καθώς και του υγρού κρυστάλλου που αποτελεί βασικό υλικό της διάταξης. Η μελέτη γίνεται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και συγκεκριμένα χρησιμοποιούνται απλά τριγωνικά στοιχεία. Αναλυτικά, στο κεφάλαιο 1 γίνεται μια σύντομη αναφορά στα ίδια τα μεταϋλικά και στο τι τα κάνει να ξεχωρίζουν από τα συνηθισμένα υλικά που εμφανίζονται στην φύση. Στην συνέχεια (Κεφάλαιο 2) επαναλαμβάνεται η γνωστή θεωρία ηλεκτρομαγνητισμού του Maxwell, πάνω στην οποία θα στηριχθεί η ανάλυση της δομής, και προσδιορίζονται ορισμένες από τις ιδιαίτερες ιδιότητες των υλικών αυτών καθώς και τα γενικά χαρακτηριστικά των υγρών κρυστάλλων (Κεφάλαιο 3). Ακολουθεί μια εκτενής αναφορά στην μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (Κεφάλαιο 4), η οποία και αποτελεί το βασικό εργαλείο ανάλυσης στην παρούσα εργασία, ενώ στην συνέχεια παρουσιάζονται όλες οι τεχνικές και προσεγγίσεις οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην ανάλυση αυτή (Κεφάλαιο 5). Η εργασία ολοκληρώνεται (Κεφάλαιο 6) με την παρουσιάση των αποτελεσμάτων της μελέτης και την σύγκρισή τους με τα θεωρητικά δεδομένα ενώ παρατίθενται και τα λογικά συμπεράσματα που προκύπτουν. i

5

6 Πρόλογος Η διπλωματική αυτή εργασία αποτελεί το τελευταίο στάδιο των σπουδών μου στο τμήμα των Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Κατά τη διάρκεια της φοίτησής μου, μου δόθηκε η δυνατότητα όχι μόνο να αποκτήσω τις απαραίτητες γνώσεις για την επαγγελματική μου καριέρα αλλά και η ευκαιρία να γνωρίσω πλήθος ανθρώπων οι οποίοι και συνέβαλαν στη διαμόρφωση της προσωπικότητάς μου. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κύριο Τραϊανό Γιούλτση τόσο για την καθοδήγησή του, κατά την επίβλεψη της διπλωματικής μου εργασίας, όσο και για την διδασκαλία των μαθημάτων του. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους κυρίους Εμμανουήλ Κριεζή και Γιώργο Καραγιαννίδη για το ευρύ φάσμα γνώσεων που μου παρείχαν και την συνδρομή τους στην μελλοντική μου σταδιοδρομία. Ιδιαίτερη αναφορά θα ήθελα να κάνω και στην υποψήφια διδάκτορα Δήμητρα Κετζάκη η οποία βοήθησε στη διεκπεραίωση αυτής της διπλωματικής με συμβουλές, προτάσεις και διορθώσεις. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου και τους φίλους μου για την αμέριστη συμπαράσταση, κατανόηση και αρωγή που μου προσέφεραν όλα αυτά τα χρόνια. Θεσσαλονίκη, Απρίλιος 2013 Γιώργος Χρηστίδης iii

7

8 Περιεχόμενα Περίληψη Πρόλογος Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων 1 Εισαγωγή Εισαγωγή Μοντέλο διασποράς για την διηλεκτρική επιδεκτικότητα Κατηγοριοποίηση των υλικών με βάση τα ε και μ Εφαρμογές των μεταϋλικών Βασική θεωρία ανάλυσης ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Εισαγωγή Εξίσωση Newton και ηλεκτρική αγωγιμότητα Εξισώσεις Maxwell Κυματική εξίσωση και οριακές συνθήκες Διάθλαση σε διαχωριστική επιφάνεια: Νόμος Snell και κύκλος Ewald Ενεργός διηλεκτρική σταθερά παρουσία ρεύματος Φασική ταχύτητα και ταχύτητα ομάδας Βαθμωτή διηλεκτρική επιδεκτικότητα και μαγνητική διαπερατότητα Αρνητική διάθλαση Μεταϋλικά και ομογενοποίηση... 23

9 3 Νηματικοί υγροί κρύσταλλοι Εισαγωγή Ηλεκτρο-οπτικές (electro-optic) ιδιότητες των νηματικών υγρών κρυστάλλων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Εισαγωγή Τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία-συντεταγμένες Simplex Τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία πρώτης τάξης Διατύπωση σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residuals) ή διατύπωση Galerkin Οριακές συνθήκες Διακριτοποίηση (discretization) της διατύπωσης Galerkin Στοιχειακοί πίνακες Συνάθροιση (assembly) των στοιχειακών πινάκων Εφαρμογή της διατύπωσης Galerkin σχηματισμός του γραμμικού συστήματος Απορροφητικές συνθήκες και ανάκτηση παραμέτρων Εισαγωγή Απορροφητικές συνθήκες Υπολογισμός συντελεστή ανάκλασης και μετάδοσης Βασική μέθοδος ανάκτησης παραμέτρων Μέθοδος ανάστροφων παραμέτρων... 63

10 6 Διατάξεις μεταϋλικών στις οπτικές συχνότητες Εισαγωγή Διάταξη μεταϋλικού με τον υγρό κρύσταλλο στο εσωτερικό Εισαγωγή Θεωρητική ανάλυση Προσομοίωση Συμπεράσματα Διάταξη μεταϋλικού με τον υγρό κρύσταλλο στο εξωτερικό Εισαγωγή Θεωρητική ανάλυση Προσομοίωση Συμπεράσματα Βιβλιογραφία 102

11

12 Κατάλογος Σχημάτων 1.1 Γραφική απεικόνιση της εξίσωσης Lorentz για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του ε Κατηγορίες υλικών με βάση το πρόσημο των ηλεκτρομαγνητικών παραμέτρων Ο τέλειος φακός του Pendry για πλάκα με δείκτη διάθλασης Απεικόνιση εφαρμογής του αόρατου μανδύα για μικροκυματικές συχνότητες Ανάκλαση και διάθλαση στην διαχωριστική επιφάνεια μέσου Αρνητική διάθλαση για πρόσπτωση από διπλο-θετικό υλικό (DPS) Το φαινόμενο της θετικής (αριστερό) και αρνητικής (δεξιό) διάθλασης Μεταβολή του ε συναρτήσει της συχνότητας για το 4-methoxy-4 -n-butylazoxybenzene και για ισοτροπικό ε Τυχαία διάταξη μορίων υγρού κρυστάλλου για μηδενικό εξωτερικό πεδίο Διαμέριση χωρίου σε τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία Γραφική απεικόνιση συντεταγμένων simplex για τριγωνικά στοιχεία Ισοσταθμικές συντεταγμένες simplex για τον κόμβο (α) Συνάρτηση βάσης για τον κόμβο 1 του στοιχείου (β) γραμμική προσέγγιση της βαθμωτής άγνωστης συνάρτησης Συνολική συνάρτηση βάσης για τον κόμβο Τοπική και ολική αρίθμηση ενός τριγωνικού στοιχείου Γραφική απεικόνιση δύο συνδεδεμένων στοιχείων (τοπική αρίθμηση στο στοιχείο) και ολική αρίθμηση των κόμβων Γραφική απεικόνιση περισσότερων διασυνδεδεμένων στοιχείων (τριγώνων) Προσπίπτον κύμα στην διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων υπό γωνία θ Κυματοδηγός παράλληλων πλακών με τυχαίο υλικό τοποθετημένο στο εσωτερικό του... 57

13 5.3 Προσπίπτον, ανακλώμενο και διαθλώμενο κύμα σε διηλεκτρική πλάκα (α) Πρόσπτωση σε απλή διηλεκτρική πλάκα (β) Πρόσπτωση σε ανομοιογενή διηλεκτρική μη συμμετρική πλάκα (γ) Πρόσπτωση σε ανομοιογενή συμμετρική διηλεκτρική πλάκα Διάταξη μεταϋλικού με τον υγρό κρύσταλλο στο εσωτερικό και ασυμμετρία ως προς τα εξωτερικά περιβάλλοντα στρώματα Γραφική απεικόνιση των πεπερασμένων τριγωνικών στοιχείων για την μεταϋλική διάταξη Τριγωνικό στοιχείο εφάπτεται σε θύρα της διάταξης του μεταϋλικού Θύρες διέγερσης της διάταξης και οριακές περιοδικές συνθήκες Γραφική απεικόνιση των στρωμάτων του μεταϋλικού με την χρήση ABCD παραμέτρων Τυχαία προσανατολισμένος κατευθυντήρας υγρού κρυστάλλου Γραφική απεικόνιση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους του δείκτη διάθλασης, για 1μm<λ<1.5μm, συναρτήσει της γωνίας γ του κατευθυντήρα του κρυστάλλου Αντίστοιχα αποτελέσματα της αναφοράς [9] Μεταβολή του δείκτη διάθλασης, για λ=1.15μm, λ=1.20μm, λ=1.25μm, συναρτήσει της γωνίας γ του κατευθυντήρα Αντίστοιχα αποτελέσματα της αναφοράς [9] για τα ίδια μήκη κύματος Γραφική απεικόνιση του δείκτη διάθλασης για την περιοχή μηκών κύματος midinfrared για διάφορες τιμές της γωνίας γ Αποτελέσματα της αναφοράς [9] για το ίδιο εύρος μηκών κύματος Μεταύλική διάταξη με τον υγρό κρύσταλλο στο εξωτερικό Γραφική απεικόνιση του n για την περιοχή μηκών κύματος 1.2μm έως 1.7μm (πραγματικό μέρος)... 92

14 6.15 Γραφική απεικόνιση του n για την περιοχή μηκών κύματος 1.2μm έως 1.7μm (φανταστικό μέρος) Πραγματικό και φανταστικό μέρος του n για τα ίδια μήκη κύματος σύμφωνα με τα αποτελέσματα της προσομοίωσης της αναφοράς [8] Φανταστικό μέρος του ε για τα μήκη κύματος 1.2μm-1.7μm της διάταξης Πραγματικό μέρος του ε για τα μήκη κύματος 1.2μm-1.7μm της διάταξης Πραγματικό μέρος του μ για τα μήκη κύματος 1.2μm-1.7μm της διάταξης Φανταστικό μέρος του μ για τα μήκη κύματος 1.2μm-1.7μm της διάταξης Πραγματικό και φανταστικό μέρος του ε σύμφωνα με την αναφορά [8] Πραγματικό και φανταστικό μέρος του μ σύμφωνα με την αναφορά [8] Μεταβολή ενός συγκεκριμένου μήκους κύματος (λ=1.45μm) συναρτήσει της τιμής του ε LC του υγρού κρυστάλλου Αντίστοιχη μεταβολή σύμφωνα με την αναφορά [8] Μεταβολή του n για την mid infrared περιοχή της εν λόγο διάταξης (φανταστικό μέρος) Πραγματικό μέρος του n για την mid-infrared περιοχή του μεταϋλικού Αποτελέσματα της αναφοράς [8] για την ίδια περιοχή μηκών κύματος Μεταβολή του δείκτη διάθλασης(πραγματικό και φανταστικό μέρος) συναρτήσει του ε LC, για λ=4.5μm και λ=4.8μm Μεταβολή του n, για τα ίδια μήκη κύματος, σύμφωνα με την αναφορά [8]

15

16 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Εισαγωγή Ο όρος μεταϋλικό χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Smith (2000) για να περιγράψει υλικά τα οποία εμφανίζουν ιδιότητες, που δεν εμφανίζονται αυτούσιες στη φύση. Η λέξη είναι σύνθετη και αναφέρεται σε τεχνητά υλικά, τα οποία συνθέτουν δομές, των οποίων τα χαρακτηριστικά καθορίζονται όχι από τα ίδια τα υλικά αλλά συνολικά από τον τρόπο διάταξης τους. Οι δομές αυτές κατασκευάζονται έτσι ώστε να εμφανίζουν σε επιθυμητά μήκη κύματος μοναδικές ιδιότητες και ανοίγουν το δρόμο για νέες και ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Η μικρή τους δομή σε σχέση με το μήκος κύματος τις καθιστά αόρατες στο πεδίο διέγερσης και κρύβει τα δομικά τους χαρακτηριστικά με αποτέλεσμα οι δομές αυτές να μπορούν να περιγραφούν με συστηματικό τρόπο σαν ομογενή υλικά τα οποία εμφανίζουν ενεργές τιμές ηλεκτρομαγνητικών παραμέτρων όπως η διηλεκτρική επιδεκτικότητα ε και η μαγνητική διαπερατότητα μ. Αν και η σύλληψη της ιδέας των μεταϋλικών τοποθετείται στο 1968 από τον Victor Veselago, η πρώτη τους πρακτική υλοποίηση έπρεπε να περιμένει περίπου 30 χρόνια καθώς δεν υπήρχαν οι κατάλληλες τεχνικές για την κατασκευή τέτοιων διατάξεων. Τι κάνει όμως τα μεταϋλικά να ξεχωρίζουν και να εμφανίζουν τις εξωτικές τους ιδιότητες; Τα μεταϋλικά εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από συντονισμούς για να εμφανίσουν τις ιδιότητες τους, ενώ σημαντικός παράγοντας είναι επίσης και οι διαστάσεις της διάταξης που χρησιμοποιείται στον υπολογισμό των ηλεκτρομαγνητικών παραμέτρων για δεδομένο εύρος συχνοτήτων. Με την κατάλληλη διέγερση των διατάξεων αυτών και ενισχύοντας τους συντονισμούς που εμφανίζονται είναι δυνατόν να πετύχει κανείς αρνητικές τιμές της επιδεκτικότητας εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα και αρνητικές τιμές για την διαπερατότητα. Κάτι τέτοιο μπορεί αρχικά να φαίνεται παράλογο και να μην συνάδει με την κλασσική θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού έτσι όπως αυτή διατυπώθηκε από τον James Maxwell στην αρχή του 20 ου αιώνα. Παρόλα αυτά η εμφάνιση των ιδιοτήτων αυτών κάθε άλλο παρά παραβιάζει τις αρχές του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου όπως θα δούμε στην συνέχεια όταν και θα εξετάσουμε αναλυτικά τις γενικές σχέσεις που ισχύουν για τέτοια υλικά. 1

17 Κεφάλαιο 1 ο 1.2 Μοντέλο διασποράς για την διηλεκτρική επιδέκτικοτητα Έχουμε ήδη αναφέρει πως μία από τις σημαντικότερες ιδιότητες των μεταϋλικών είναι η ταυτόχρονη εμφάνιση αρνητικής τιμής τόσο για το ε όσο και για το μ, για ορισμένα μήκη κύματος σε συχνότητες λίγο μεγαλύτερες από τον συντονισμό. Στο σημείο αυτό κρίνεται σημαντικό να αναφερθούμε στο μοντέλο διασποράς του Lorentz το οποίο και πληρείται από μια μεγάλη κατηγορία μεταϋλικών. Η διασπορά που εμφανίζει ένα οποιοδήποτε μέσο συναρτήσει της συχνότητας οφείλεται στην πολωσιμότητα των βασικών της μονάδων και συγκεκριμένα των ατόμων και μορίων. Η πλήρης μελέτη του φαινομένου απαιτεί προφανώς μια κβαντομηχανική μελέτη της δομής. Παρόλα αυτά θεωρείται χρήσιμο να δώσουμε μια απλοποιημένη ερμηνεία του φαινομένου αυτού χρησιμοποιώντας μερικές βασικές ιδιότητες των ατόμων των δομών αυτών. Να σημειώσουμε πως το εν λόγω μοντέλο χαρακτηρίζεται από χαμηλές απώλειες. Θα ξεκινήσουμε απο την διαπίστωση πως ένα εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο έχει ως αποτέλεσμα των διαχωρισμό των φορτισμένων σωματιδίων του ατόμου και συγκεκριμένα του θετικού πυρήνα και των αρνητικά φορτισμένων ηλεκτρονίων. Δημιουργείται έτσι ένα δίπολο, του οποίου τα ηλεκτρόνια δέχονται δυνάμεις Lorentz που δίνονται από την σχέση: F e( E v B), (1.2.1) όπου με v συμβολίζεται η ταχύτητα των ηλεκτρονίων. Θεωρούμε αμελητέα την επίδραση του μαγνητικού πεδίου καθώς ισχύει προσεγγιστικά B 1 E c. Επίσης τα ηλεκτρόνια θεωρούνται πως διατηρούνται στην θέση ισορροπίας τους με την ύπαρξη μιας ελαστικής δύναμης επαναφοράς. Αν m είναι η μάζα του ηλεκτρονίου, τότε η εξίσωση της κίνησης καταλήγει στην μορφή: 2 mr m r m r eeo i t exp( ) (1.2.2) 2

18 Κεφάλαιο 1 ο όπου με r συμβολίζεται το διάνυσμα απόστασης, είναι η γωνιακή συχνότητα συντονισμού και ω η γωνιακή συχνότητα του προσπίπτοντος κύματος. Ο όρος m r αποτελεί έναν παράγοντα απόρριψης των ηλεκτρονίων εξαιτίας ανελαστικών διαδικασιών. Λύνοντας την παραπάνω διαφορική εξίσωση προκύπτει η ακόλουθη σχέση που περιγράφει την μετατόπιση του ηλεκτρονίου: r o eeo / m. ( i ) 2 (1.2.3) Δεδομένου οτι η διπολική ροπή του ηλεκτρονίου δίνεται από την σχέση p συνολική πολωσιμότητα της διάταξης δίνεται από την σχέση: όπου 2 2 Ne E / m P Np ee ( i ) er, η, (1.2.4) e η σχετική διηλεκτρική επιδεκτικότητα του υλικού. Καταλήγουμε λοιπόν στην ακόλουθη σχέση για την επιδεκτικότητα συναρτήσει της e : 2 e / m ( ) 1 e( ) 1. (1.2.5) ( i ) 2 Η γραφική απεικόνιση της εξίσωσης του Lorentz για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του ε(ω), συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας, δίνεται στο επόμενο σχήμα. 3

19 Κεφάλαιο 1 ο 1.1 Γραφική απεικόνιση της εξίσωσης Lorentz για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του ε. Αξίζει να αναφέρουμε πως η παραπάνω ανάλυση αναφέρεται σε ένα αραιό αέριο το οποίο αποτελείται από πολώσιμα υλικά. Σε περίπτωση που αναφερόμαστε σε κάποιο συμπαγές και πυκνό υλικό πρέπει να συνυπολογίσουμε και τα πεδία που διεγείρονται εξαιτίας των μικρών αποστάσεων των πολωμένων διπόλων και τα οποία επηρεάζουν την συνολική πολωσιμότητα του υλικού. Προφανώς, η μελέτη αυτών των πεδίων που ονομάζονται τοπικά πεδία είναι ιδαίτερα επίπονη εξαιτίας της πολυπλοκότητας της μορφής τους. Τονίζεται επίσης πως το πραγματικό μέρος του ε, κοντά στο σημείο συντονισμού, εναρμονίζεται με τις σχέσεις των Kramers-Kronig όπως φαίνεται παρακάτω. 1.3 Κατηγοριοποίηση των υλικών με βάση τα ε και μ Κρίνεται σκόπιμο στο σημείο αυτό να κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην κατηγοριοποίηση των μεταϋλικών με βάση τις ηλεκτρομαγνητικές τους σταθερές. Η αναγκαιότητα αυτή προκύπτει αφενός από το γεγονός της συσχέτισης των υλικών αυτών με τα συνηθισμένα υλικά που χρησιμοποιούμε στον ηλεκτρομαγνητισμό και την οπτική και αφετέρου εξαιτίας των πολλών εναλλακτικών ονομάτων που έχουν προταθεί για τα υλικά αυτά με βάση τις ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά τους. 4

20 Κεφάλαιο 1 ο Αρχικά τα υλικά αυτά χαρακτηρίστηκαν από τοv Victor Veselago σαν αριστερόστροφα (LHM left-handed media) εξαιτίας του γεγονότος πως τα διανύσματα Ε, Η και k σχηματίζουν ένα αριστερόστροφο σύστημα. Ένα επίσης συνηθισμένο όνομα που χρησιμοποιείται για τα υλικά αυτά είναι τα υλικά αρνητικού δείκτη διάθλασης (NRM negative refractive media). Η ονομασία αυτή προέρχεται από το γεγονός πως τα υλικά αυτά εμφανίζουν για δεδομένο εύρος συχνοτήτων ταυτόχρονα αρνητικές τιμές τόσο για το ε όσο και για το μ. Επίσης ο δείκτης διάθλασης των υλικών αυτών δίνεται πλέον από την σχέση: n. (1.3.1) Η ονομασία αυτή είναι σύμφωνη και με την ονομασία των κλασσικών υλικών που συναντάει κανείς στην φύση και στα οποία συχνά αναφερόμαστε με τον όρο DPS (double positive). Στο επόμενο σχήμα δίνεται η κατηγοριοποίηση των υλικών με βάση τις τιμές των ε και μ. 1.2 Κατηγορίες υλικών με βάση το πρόσημο των ηλεκτρομαγνητικών παραμέτρων. 5

21 Κεφάλαιο 1 ο Τα υλικά αυτά, που όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήμα κατατάσσονται στο 3 ο τεταρτημόριο, παρουσιάζουν ορισμένες πρωτότυπες ιδιότητες μερικές από τις οποίες είναι: Αρνητική διάθλαση. Με βάση τις θεμελιώδεις εξισώσεις του Maxwell, η αναμενόμενη τιμή του δείκτη διάθλασης είναι θετική και είναι μια ποσότητα που στην οπτική χαρακτηρίζει το οπτικό πάχος του υλικού που παρεμβάλλεται στην διάδοση του κύματος. Για διατάξεις μεταϋλικών η τιμή του n είναι μικρότερη της μονάδος. Το κυματικό διάνυσμα k είναι αντίρροπο του διανύσματος του Poynting, το οποίο και περιγράφει την διεύθυνση διάδοσης της ενέργειας. Στα συνηθισμένα υλικά τα δύο αυτά διανύσματα είναι ομόρροπα. 1.4 Εφαρμογές των μεταϋλικών Στην παράγραφο αυτή δίνονται κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμογών μεταϋλικών. Αν και το θεωρητικό υπόβαθρο της μελέτης αυτών των υλικών έχει θεμελιωθεί εδώ και περίπου 40 χρόνια, οι εφαρμογές τους άρχισαν να εμφανίζονται μόλις στις αρχές του 21 ου αιώνα. Ορισμένες από τις πιο χαρακτηριστικές είναι: Ο τέλειος φακός Ο αόρατος μανδύας (cloaking) Ο τέλειος φακός Η ιδέα του τέλειου φακού προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Victor Veselago (1968) ενώ ο πρώτος που επιχείρησε την υλοποίησή του ήταν ο John Pendry (2000). Ο τέλειος φακός είναι στην ουσία μια διηλεκτρική πλάκα η οποία έχει δείκτη διάθλασης n 1. Όπως είναι ήδη γνωστό από την οπτική οποιοσδήποτε εμπορικός φακός παρουσιάζει κάποιους περιορισμούς όσον αφορά την αναλυτικότητά του. Οι περιορισμοί αυτοί προέρχονται τόσο από την κατασκευαστική μέθοδο που χρησιμοποιείται για τον φακό όσο και από τα όρια περίθλασης. Το διαθέσιμο οπτικό εύρος του τέλειου φακού είναι, θεωρητικά τουλάχιστον, απεριόριστο και δύναται να απεικονίσει άπειρη πληροφορία. 6

22 Κεφάλαιο 1 ο Το είδωλο ενός σημείου σχηματίζεται τόσο μέσα στον ίδιο το φακό όσο και στην απέναντι πλευρά από την πηγή. Μία επιπλέον συνθήκη που πρέπει να τηρείται έχει να κάνει με τις αποστάσεις των ειδώλων τόσο μεταξύ τους όσο και από την πηγή. Πιο συγκεκριμένα πρέπει να ισχύει: d d1 d. (1.4.1) 2 Οι αποστάσεις αυτές σημειώνονται στο παρακάτω σχήμα στο οποίο απεικόνιζονται τα είδωλα μιας σημειακής πηγής έτσι όπως αυτά προκύπτουν για την περίπτωση ενός μεταϋλικού με n 1. Αξίζει να σημειώσουμε πως οι πρακτικές εφαρμογές των τέλειων φακών αδυνατούν να δώσουν την θεωρητική άπειρη αναλυτικότητα γεγονός που οφείλεται στην αδυναμία καθαρού δείκτη διάθλασης ίσου με -1 καθώς και στα τμήματα του μεταϋλικού που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή ενός τέτοιου φακού. Παρόλα αυτά η αναλυτικότητα μπορεί να αυξηθεί σε αρκετά μικρά μήκη κύματος οδηγώντας έτσι σε εφαρμογές που είναι γνωστές ως super-lenses (υπερ-φακοί). 1.3 Ο τέλειος φακός του Pendry για πλάκα με δείκτη διάθλασης -1. 7

23 Κεφάλαιο 1 ο Ο αόρατος μανδύας (cloaking) Η δυνατότητα να γίνει ένα αντικείμενο αόρατο, ακόμα και για ένα ορισμένο εύρος του φάσματος, ανέκαθεν αντιμετωπιζόταν από την επιστημονική κοινότητα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Για την υλοποίηση μιας τέτοιας εφαρμογής εφαρμόστηκαν δύο προσεγγίσεις. Στην μία από αυτές, η λήψη και η προβολή εικόνων περιμετρικά του αντικειμένου μπορούσε να το καταστήσει θεωρητικά αόρατο αλλά μια τέτοια μέθοδος ήταν ιδιαίτερα επίπονη καθώς απαιτούσε τον διαρκή επαναπροσδιορισμό του περιβάλλοντος χώρου και αδυνατούσε επίσης να προσαρμοστεί σε ταχείες μεταβολές του. Η δεύτερη προσέγγιση, στην οποία μπορούν να συμβάλλουν τα μεταϋλικά, στοχεύει στο να καταστήσει το αντικείμενο αόρατο εμποδίζοντας την διάχυση του φωτός που πέφτει πάνω στο αντικείμενο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί προσαρμόζοντας τα χαρακτηριστικά του αντικειμένου που μας ενδιαφέρει ανάλογα με το αν θέλουμε να το καταστήσουμε αόρατο σε κάποιο μικροκυματικό ή υπέρυθρο ραντάρ ή να το διαμορφώσουμε έτσι ώστε να μην αλληλεπιδρά με την προσπίπτουσα ακτινοβολία καθιστώντας το αόρατο σε κάποιον παρατηρητή που βρίσκεται κάποια απόσταση από το αντικείμενο. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον θα είχε το cloaking και σε περιπτώσεις ηλεκτρομαγνητικής συμβατότητας έτσι ώστε να περιορίζονται οι παρεμβολές με γειτονικά αντικείμενα. 1.4 Απεικόνιση εφαρμογής του αόρατου μανδύα για μικροκυματικές συχνότητες. 8

24 9 Κεφάλαιο 1 ο

25 Κεφάλαιο 2 ο Βασική θεωρία ανάλυσης ηλεκτρομαγνητικού πεδίου 2.1 Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται οι νόμοι του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (Maxwell) στην γενική τους μορφή ώστε να γίνουν φανερές οι διαφοροποιήσεις που παρατηρούνται στην περίπτωση των διατάξεων μεταϋλικών. Ιδιαίτερη αναφορά θα γίνει σε φαινόμενα τα οποία είναι χαρακτηριστικά για τα μεταϋλικά και διαφέρουν από τους συνηθισμένους νόμους για τα συνηθισμένα υλικά. Η ανάλυση αυτή είναι καθοριστικής σημασίας καθώς σε αυτήν θα βασιστούμε για να δημιουργήσουμε το απαραίτητο υπόβαθρο για την δημιουργία αλγορίθμου για την προσομοίωση των διατάξεων των μεταϋλικών και για τον ποιοτικό έλεγχο των αποτελεσμάτων της. 2.2 Εξίσωση Newton και ηλεκτρική αγωγιμότητα Η εξίσωση της κίνησης ενός ηλεκτρονίου, με φορτίο q, το οποιο κινείται με ταχύτητα v μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, συναρτήσει του χρόνου, δίνεται κατά τα γνωστά από την σχέση: du u m( ) ee (2.2.1) dt όπου με m συμβολίζεται η μάζα του ηλεκτρονίου, με E το ηλεκτρικό πεδίο και με τ ο χρόνος. Θεωρώντας αρμονική μεταβολή με το χρόνο σχέση για την ταχύτητα κίνησης του ηλεκτρονίου: j t e καταλήγουμε στην εξής u e E m 1 j (2.2.2) 10

26 Κεφάλαιο 2 ο Σημειώνεται πως ο παράγοντας mu προστεθεί στην σχέση. αντιστοιχεί σε έναν παράγοντα απόρριψης που έχει Η πυκνότητα ρεύματος θα δίνεται κατά τα γνωστά από την σχέση: με και 1 j είναι μιγαδικό μέγεθος. 2 Ne E J Neu m 1 j 2 Ne m (2.2.3). Με συμβολίζεται η ηλεκτρική αγωγιμότητα η οποία 2.3 Εξισώσεις Maxwell Οι εξισώσεις του Maxwell είναι το βασικό εργαλείο το οποίο και χρησιμοποιούμε για να κατανοήσουμε όλα τα ηλεκτρομαγνητικά και οπτικά φαινόμενα που απαντώνται στην φύση. Στην διαφορική τους μορφή οι εξισώσεις είναι οι επόμενες: D B 0 B E t D B J t (2.3.1) όπου με E και Η συμβολίζουμε αντίστοιχα το ηλεκτρικό και το μαγνητικό μακροσκοπικό πεδίο, με D την διηλεκτρική μετατόπιση και με Β την μαγνητική επαγωγή. Με την ίδια λογική με ρ συμβολίζεται το μακροσκοπικό πλεγματικό φορτίο και με J η πυκνότητα του ρεύματος. Στα περισσότερα υλικά, η χρονική μεταβολή της διηλεκτρικής μετατόπισης είναι ευθέως ανάλογη με το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο και είναι συνάρτηση του μέσου μέσα στο 11

27 Κεφάλαιο 2 ο οποίο γίνεται η διάδοση. Εξαιτίας της μάζας των ηλεκτρονίων στο μέσο ωστόσο υπάρχει μια αδράνεια στην απόκριση της μετατόπισης. Το D δηλαδή δεν μεταβάλλεται ταυτόχρονα με το Ε αλλά συναρτήσει της προϋπάρχουσας κατάστασης η οποία και διέγειρε το μέσο. Μια γενική εξίσωση λοιπόν μεταξύ του D και του Ε είναι η επόμενη: t D( r, t) ( r; t, t) E( r, t) dt (2.3.2) όπου η φ(r;t,t ) ονομάζεται τοπική συνάρτηση απόκρισης. Για σχετικά στατικές διαδικασίες ισχύει φ(r;t,t )=φ(r;t-t ), η εξάρτηση δηλαδή είναι ανάλογη των σχετικών χρονικών διαστημάτων και η παραπάνω σχέση καταλήγει σε συνέλιξη. Στο πεδίο της συχνότητας οι αντίστοιχες σχέσεις για το ηλεκτρικό πεδίο και την διηλεκτρική μετατόπιση περιγράφονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: it E( r, t) ( r, ) e d it D( r, t) D( r, ) e d (2.3.3) Εισάγωντας τις δύο παραπάνω σχέσεις στην αρχική εξίσωση και χρησιμοποιώντας το θεώρημα της συνέλιξης των μετασχηματισμών Fourier προκύπτει η ακόλουθη σχέση που συσχετίζει τη διηλεκτρική μετατόπιση με το ηλεκτρικό πεδίο στο πεδίο της συχνότητας: με το ε(r,ω) να δίνεται από την σχέση: D( r, ) ( r, ) E( r, ) (2.3.4) 1 ( r, ) ( r; ) e i d. (2.3.5) 12

28 Κεφάλαιο 2 ο Η σχέση αυτή καθιστά προφανές το γεγονός πως η επιδεκτικότητα μεταβάλλεται με την συχνότητα. Η μεταβολή αυτή οφείλεται στο γεγονός πως σε ένα συνηθισμένο μέσο, τα δίπολα που υπάρχουν σε αυτό (εξαιτίας της μάζας των ηλεκτρονίων), εμφανίζουν αδράνεια στο εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Υπάρχει δηλαδή μια πολωσιμότητα στο μέσο η οποία και δεν ανταποκρίνεται ακαριαία στην μεταβολή του εξωτερικά εφαρμοζόμενου πεδίου αλλά εξαρτάται από τις προηγούμενες καταστάσεις του υλικού. Σε πολύ υψηλές συχνότητες, περιοχή ακτίνων Χ και Γ, το υλικό δεν μπορεί καν να ανταποκριθεί στην μεταβολή του πεδίου και κατά συνέπεια το μέσο παρουσιάζεται διαφανές καταλήγοντας στην συνθήκη: lim ( ) 1. (2.3.6) Η έκφραση της τοπικής συνάρτησης απόκρισης μπορεί να υπολογιστεί με αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier και οδηγεί στην διατύπωση δύο σχέσεων ανάμεσα στο πραγματικό και το φανταστικό μέρος της επιδεκτικότητας του υλικού. Οι σχέσεις αυτές είναι γνωστές σαν σχέσεις των Kramers-Kronig και είναι: 1 Im( ( )) Re( ( )) 1 PV d 1 Re( ( )) 1 Im( ( )) PV d (2.3.7) όπου ως PV ορίζεται η κύρια τιμή κατά Cauchy. Παρόμοιες σχέσεις μπορούν να προκύψουν και για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της μαγνητικής διαπερατότητας. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα πως εκτός από την εξάρτηση από την συχνότητα που εμφανίζουν τα ε και μ είναι και μιγαδικά μεγέθη. Τα φανταστικά μέρη των ε και μ σχετίζονται με την απορρόφηση ακτινοβολίας στο μέσο, με την συνολική απορροφούμενη ενέργεια να δίνεται από την σχέση (Landau 1984): d d r [Im( ( )) ( r, ) Im( ( )) H( r, ) ] V. (2.3.8) 2 13

29 Κεφάλαιο 2 ο Για παράδειγμα θεωρούμε ένα επίπεδο αρμονικό κύμα το οποίο κατευθύνεται προς τα θετικά z σε ένα μέσο το οποίο έχει μαγνητική διαπερατότητα μ=1 και Im(ε)>0. Είναι προφανές πως το κύμα αυτό είναι εκθετικά αποσβεννύμενο κατά την διεύθυνση διάδοσης κάτι το οποίο υπονοεί πως Im(k)>0. Οι παραπάνω σχέσεις μας παρέχουν την δυνατότητα να μετρήσουμε πειραματικά τα φανταστικά μέρη των ε και μ, μετρώντας το ποσοστό απορρόφησης του προσπίπτοντος κύματος σε ένα δεδομένο εύρος συχνοτήτων και υπολογίζοντας στην συνέχεια τα πραγματικά μέρη από τις παραπάνω σχέσεις. Σημειώνουμε πως ενώ στα συνηθισμένα οπτικά μέσα οι παραπάνω συνθήκες ισχύουν ακόμα και σε αποστάσεις της τάξης των ατομικών δομών, ακόμα και για πολύ μεγάλες συχνότητες, στα μεταϋλικά, στα οποία το μήκος κύματος είναι μερικές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από την περιοδικότητα των δομών, η εφαρμογή τους πρέπει να γίνεται με προσοχή καθώς μπορεί να μην ισχύει η αρχή της ομογένειας την οποία και θα δούμε στην συνέχεια. 2.4 Κυματική εξίσωση και οριακές συνθήκες Η εξίσωση που θα χρησιμοποιήσουμε συχνά για να περιγράψουμε ένα κύμα προέρχεται από τις γενικές εξισώσεις του Maxwell και έχει την μορφή: 2 2 k E E 0 (2.4.1) όπου k ο κυματικός αριθμός. 2 2 Θεωρώντας αρμονική μεταβολή ως προς τον χρόνο και τον χώρο έχουμε την εξής λύση για την παραπάνω κυματική εξίσωση: E jkr Eoe, (2.4.2) με το k να συμβολίζει τον κυματικό αριθμό ο οποίος και δείχνει την διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Το μέτρο του k, k, ισούται με τον κυματικό αριθμό και η μορφή του, για διάδοση σε τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, είναι: 14

30 Κεφάλαιο 2 ο Το διάνυσμα k δίνεται επίσης και από την σχέση: k kxx ky y kzz. (2.4.3) k ja, (2.4.4) με το β να αντιπροσωπεύει την σταθερά διάδοσης του κύματος στο μέσο και το α να συμβολίζει την σταθερά απωλειών κατά την διάδοση του κύματος. Αν θεωρήσουμε πως η διεύθυνση διάδοσης του κύματος είναι κατά τα θετικά z τότε η έκφραση του ηλεκτρικού πεδίου αποκτά την μορφή: az j z E Eoe e. (2.4.5) Σε αρκετές περιπτώσεις η σταθερά απωλειών θεωρείται ίση με το μηδέν αλλά αυτό εξαρτάται κυρίως από την φύση του μέσου καθώς και το εύρος συχνοτήτων που μελετάμε. Το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προκύψει από την έκφραση του ηλεκτρικού μέσα από τις γνωστές σχέσεις του Maxwell και γι αυτό δεν θα αναφερθούμε άλλο σε αυτό. Όταν το κύμα διασχίζει την διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων τότε θα πρέπει να ισχύουν οι γνωστές συνθήκες της ισότητας των εφαπτωμενικών(t) και κάθετων συνιστωσών(n): H E H 1t 2t E 1t 2t E E 1 1n 2 2n H H 1 1n 2 2n. (2.4.6) 15

31 Κεφάλαιο 2 ο 2.5 Διάθλαση σε διαχωριστική επιφάνεια: Νόμος Snell και κύκλος Ewald Στην συνέχεια θα αναφερθούμε στον κλασσικό νόμο της ανάκλασης κύματος στην διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων (Snell). Έστω λοιπόν κύμα το οποίο προσπίπτει από το μέσο 1 με δείκτη διάθλασης n 1 σε μέσο 2 με δείκτη διάθλασης n 2. Η διαχωριστική επιφάνεια λαμβάνεται στο επίπεδο z=0. Για την εφαπτομενική συνιστώσα του προσπίπτοντος κύματος θα πρέπει να ισχύει η εξής σχέση στην διαχωριστική επιφάνεια: k k k sin k sin sin sin. (2.5.1) 1x 2x Η συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας μπορεί να διατυπωθεί και με τον κύκλο του Ewald. Ο κυματικός αριθμός σε ένα μέσο θεωρείται σταθερός για δεδομένη συχνότητα επομένως το διάνυσμα του κυματικού αριθμού θα έχει αρχή το κέντρο κύκλου και πέρας κατάλληλο σημείο πάνω στον κύκλο (για καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων). Γνωρίζοντας τον κυματικό αριθμό στα δύο μέσα καθώς και το διάνυσμα αυτού σε ένα από τα δύο, είναι εύκολο να υπολογιστεί το διάνυσμα και στο άλλο μέσο θεωρώντας την συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας k x και γνωρίζοντας την ορθή φορά της διάδοσης ως προς z. Αν ο δείκτης διάθλασης του μέσου 2 είναι μεγαλύτερος από αυτόν του 1 τότε υπάρχουν γωνίες πρόσπτωσης για τις οποίες δεν εμφανίζεται διαθλώμενο κύμα. Αξίζει να σημειώσουμε πως στην απόδειξη του νόμου του Snell μπορούμε να καταλήξουμε και από την αρχή του ελαχίστου του Fermat. Στην συνέχεια παρατίθεται και ένα σχήμα το οποίο δείχνει την πρόσπτωση στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. 16

32 Κεφάλαιο 2 ο 2.1 Ανάκλαση και διάθλαση στην διαχωριστική επιφάνεια μέσου. 2.6 Ενεργός διηλεκτρική σταθερά παρουσία ρεύματος Ο νόμος του Ampere σε διαφορική μορφή δίνεται από την σχέση: Άρα τo ε eff ορίζεται μέσω της σχέσης: H J je ( j ) E eff E (2.6.1) eff 1, (2.6.2) j 1 j όπου χρησιμοποιήσαμε και τις σχέσεις στις οποίες είχαμε καταλήξει στην προηγούμενη ενότητα. Στην περίπτωση διηλεκτρικού με απώλειες ισχύει ωτ<<1 και η παραπάνω σχέση καταλήγει στην μορφή: 17

33 Κεφάλαιο 2 ο. (2.6.3) eff j Η περίπτωση πλάσματος ισχύει για ωτ>>1 οπότε η ενεργός διηλεκτρική σταθερά αποκτά την μορφή: eff 2 p (1 ), (2.6.4) 2 όπου με ω p συμβολίσαμε την γωνιακή συχνότητα πλάσματος η οποία και ορίζεται με βάση την σχέση: p 2 Ne m. (2.6.5) Το πλάσμα έχει διηλεκτρική σταθερά αρνητική για ω<ω p, μηδενική για ω=ω p και θετική τιμή για ω>ω p. Η κυματική εξίσωση συνεχίζει να ισχύει και σε αυτή την περίπτωση και η μόνη αλλαγή που πρέπει να γίνει είναι η αντικατάσταση του ε με το ε eff. 2.7 Φασική ταχύτητα και ταχύτητα ομάδας Μία από τις σημαντικότερες παραμέτρους στον υπολογισμό του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι ο καθορισμός της τιμής και διεύθυνσης τόσο της φασικής ταχύτητας όσο και της ταχύτητας ομάδας. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το κύμα έχει μεγάλη σημασία καθώς μας βοηθάει να προσδιορίσουμε την ταχύτητα με την οποία διαδίδεται η πληροφορία σε ένα μέσο. Θα ξεκινήσουμε από την φασική ταχύτητα καθώς ο ορισμός της είναι πιο άμεσα υπολογίσιμος. Θεωρώντας λοιπόν ένα μονοχρωματικό κύμα το οποίο διαδίδεται σε ένα μέσο γράφουμε την εξίσωση του ηλεκτρικού του πεδίου, θεωρήσαμε αρμονική μεταβολή ως προς τον χρόνο και το χώρο, E E cos( kz t). (2.7.1) o 18

34 Κεφάλαιο 2 ο Το κύμα οδεύει κατά τα θετικά z και το πλάτος του είναι ίσο με E o.τα σημεία σταθερής φάσης προκύπτουν εξισώνοντας το όρισμα του συνημιτόνου με μια σταθερή ποσότητα και παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο. Η φασική ταχύτητα δίνεται τότε από την σχέση: u p dz dt k. (2.7.2) Στην περίπτωση που η διάδοση γίνεται στο κενό τότε ο κυματικός αριθμός θα είναι ίσος με k=ω/c και η φασική ταχύτητα θα είναι ίση με την ταχύτητα του φωτός. Η φασική ταχύτητα ανάλογα με την φύση του υλικού μπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός σε τιμή. Κάτι τέτοιο δεν αποτελεί παραβίαση της αρχής της σχετικότητας καθώς η φασική ταχύτητα δεν σχετίζεται με την μετάδοση κάποιου μεγέθους, π.χ ενέργειας, και άρα στερείται φυσικής σημασίας. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα ομάδας θα ξεκινήσουμε από την υπόθεση πως οποιοδήποτε σήμα, ανεξαρτήτως πόσο στενό φάσμα έχει, είναι αδύνατο να περιγραφεί από μια συνάρτηση δέλτα Dirac. Κατά συνέπεια κάθε διαδιδόμενο σήμα πρέπει να θεωρηθεί σαν ένας φάκελος με φασματικό εύρος Δω. Η πιο απλή μορφή σήματος, την οποία και θα εξετάσουμε στην ανάλυση μας, αποτελείται από δύο συχνότητες οι οποίες και διαφέρουν κατά μια μικρή φασική γωνία Δω<<ω. Για ένα τέτοιο σήμα η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου θα έχει την ακόλουθη μορφή: Ey 2cos( kz t)cos( kz t). (2.7.3) Η ταχύτητα ομάδας θα υπολογιστεί από τον πρώτο όρο του συνημιτόνου θέτοντας τον με κάτι σταθερό. Προκύπτει έτσι η σχέση: u g dz dt k. (2.7.4) 19

35 Κεφάλαιο 2 ο Η σχέση αυτή καθώς το Δω 0 αποκτά την μορφή: u g 1 k /. (2.7.5) Οι δύο ταχύτητες συνδέονται μέσω της σχέσης: ( ), (2.7.6) u u u g p p η οποία δηλώνει πως όταν δεν υπάρχει διασπορά συναρτήσει της συχνότητας ισχύει u g =u p. Στην περίπτωση ομαλής (θετικής) διασποράς τότε u g <u p με την ταχύτητα ομάδας να είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός και να ταυτίζεται με την ταχύτητα με την οποία μεταφέρεται η πληροφορία/ενέργεια. Στην περίπτωση που έχουμε ανώμαλη (αρνητική) διασπορά τότε ισχύει u g >u p και η ταχύτητα ομάδας χάνει την φυσική της έννοια. Τότε η ταχύτητα πληροφορίας πρέπει να βρεθεί από την ηλεκτρομαγνητική ροή ενέργειας. 2.8 Βαθμωτή διηλεκτρική επιδεκτικότητα και μαγνητική διαπερατότητα Μέχρι το σημείο αυτό έχουμε δεχθεί σιωπηρά πως τα ε και μ είναι βαθμωτά μεγέθη. Μια τέτοια υπόθεση, με βάση τις καταστατικές εξισώσεις του Maxwell, οδηγεί στο συμπέρασμα πως τα διανύσματα Β και Η καθώς και τα D και Ε είναι αντίστοιχα ομόρροπα. Κάτι τέτοιο όμως παύει να ισχύει στην περίπτωση που έχουμε ανισοτροπικά υλικά όπως για παράδειγμα κρυστάλλους. Στην περίπτωση αυτή η διηλεκτρική επιδεκτικότητα και η μαγνητική διαπερατότητα δίνεται από τους τανυστές 2 ης τάξης: 20

36 Κεφάλαιο 2 ο xx xy xz r yx yy yz zx zy zz και (2.8.1) xx xy xz r yx yy yz. (2.8.2) zx zy zz 2.9 Αρνητική διάθλαση Στην ενότητα αυτή θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αρνητική διάθλαση, ένα φαινόμενο το οποίο συμβαίνει όταν το προσπίπτον κύμα πέφτει πάνω σε ένα NRM υλικό. Έστω λοιπόν κύμα το οποίο οδεύει σε ένα DPS υλικό και προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια με γωνία θ i. Όπως γνωρίζουμε από την οπτική θα ισχύει ο νόμος του Snell, στον οποίο αναφερθήκαμε και παραπάνω. Άρα θα έχουμε για την γωνία ανάκλασης: ενώ για την διαθλώμενη γωνία θα ισχύει: t, (2.9.1) r i n. (2.9.2) 1 1 sgn( n2 )sin ( sin( i)) n2 Αν το δεύτερο μέσο έχει αρνητικό δείκτη διάθλασης τότε σύμφωνα με τον νόμο του Snell η γωνία διάθλασης θα είναι αρνητική γεγονός το οποίο δηλώνει πως το διαθλώμενο κύμα βρίσκεται στην ίδια πλευρά με το προσπίπτον, ως προς το επίπεδο το κάθετο στην διαχωριστική επιφάνεια. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια τέτοια περίπτωση: 21

37 Κεφάλαιο 2 ο 2.2 Αρνητική διάθλαση για πρόσπτωση από διπλο-θετικό υλικό (DPS). Τα διανύσματα διάδοσης του κύματος στα δύο μέσα θα δίνονται τότε από τις σχέσεις: k k (sin xˆ cos zˆ ) i 1 i o i o k k (sin xˆ cos zˆ ) r 1 i o i o k k (sin xˆ cos zˆ ) t 2 t o t o 2.3 Το φαινόμενο της θετικής (αριστερό) και αρνητικής (δεξιό) διάθλασης. 22

38 Κεφάλαιο 2 ο 2.10 Μεταϋλικά και ομογενοποίηση Κλείνοντας αυτήν την ενότητα θα κάνουμε και μια σύντομη αναφορά στην ομογενοποίηση και συγκεκριμένα θα δούμε ποιες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται έτσι ώστε μια δομή μεταϋλικού να μπορεί να περιγραφεί με βάση την επιδεκτικότητα ε και την διαπερατότητα μ όπως ένα συνηθισμένο ομογενές υλικό. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει κάθε δομή μεταϋλικού, η οποία θα μελετηθεί στα επόμενα κεφάλαια θεωρείται αρκετά μεγάλη, σε μοριακό επίπεδο, έτσι ώστε να μπορεί να χαρακτηριστεί από μια ενεργό τιμή επιδεκτικότητας και διαπερατότητας, ανάλογα με την συχνότητα, και ταυτόχρονα αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερη από το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου. Έτσι το πεδίο δεν είναι σε θέση να διακρίνει τα εσωτερικά χαρακτηριστικά της δομής και την αντιμετωπίζει σαν ένα ομογενές υλικό. Για να ισχύει λοιπόν μια τέτοια υπόθεση θα πρέπει η δομή του μεταϋλικού να είναι της τάξης λ/10 ή και ακόμα μικρότερη, ιδανικά μικρότερη από λ/20. Κάτι τέτοιο όμως στην περίπτωση μας δεν ισχύει. Οι υπό μελέτη διατάξεις οι οποίες και θα παρουσιαστούν στο κεφάλαιο 6 μελετώνται σε μήκη κύματος στην περιοχή των 1000nm-1500nm όταν οι αντίστοιχες διαστάσεις τους είναι της τάξης των nm ή και περισσότερο. Επομένως στην περίπτωση μας η περιοδικότητα θα πρέπει να επιλεγεί κατάλληλα, όπως και γίνεται, για να γίνει σωστά η ανάκτηση των παραμέτρων. Η περιοδικότητα αυτή θα πρέπει να εξασφαλίσει οτι δεν θα υπάρξει διέγερση ρυθμών ανώτερης τάξης. Μια τέτοια διέγερση θα είχε ως αποτέλεσμα να πρέπει να ληφθούν περισσότερες παράμετροι για την σωστή ανάκτηση της επιδεκτικότητας και της διαπερατότητας, κάτι που θα καθιστούσε την προσομοίωση εξαιρετικά επίπονη. Στην παρούσα ανάλυση, η περίοδος επιλέγεται έτσι ώστε ρυθμοί ανώτερης τάξης να αποσβέννυνται ταχύτατα και άρα η όλη μελέτη μας θα γίνει θεωρώντας έναν κυρίαρχο ρυθμό. 23

39 24 Κεφάλαιο 2 ο

40 Κεφάλαιο 3 Νηματικοί υγροί κρύσταλλοι 3.1 Εισαγωγή Οι υγροί κρύσταλλοι αποτελούν μια ιδιαίτερη μορφή κρυστάλλων που προσπαθούν να ενσωματώσουν τα χαρακτηριστικά τόσο της κρυσταλλικής δομής, που χαρακτηρίζεται από μόρια σταθερά ως προς την θέση τους, όσο και των υγρών για τα οποία παρατηρείται διάχυση των μορίων στο χώρο και άρα ισοτροπία ως προς τις ιδιότητες τους. Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στους νηματικούς υγρούς κρυστάλλους. Αν και η πλήρης μελέτη τους είναι έξω από το αντικείμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας αποτελούν σημαντικό κομμάτι των διατάξεων μεταϋλικών που θα εξετάσουμε στην συνέχεια, οπότε είναι σημαντικό να αναφερθούμε σε κάποια από τα χαρακτηριστικά τους τα οποία και θα χρησιμοποιήσουμε στην προσομοίωσή μας. 3.2 Ηλεκτρο-οπτικές (electro-optic) ιδιότητες των νηματικών υγρών κρυστάλλων Οι νηματικοί υγροί κρύσταλλοι αποτελούν τον πιο συνηθισμένο τύπο υγρών κρυστάλλων ο οποίος και χρησιμοποιείται σε ηλεκτρο-οπτικές διατάξεις. Οι υγροί κρύσταλλοι αυτού του τύπου έχουν μελετηθεί διεξοδικά κυρίως γιατί εμφανίζουν εξαιρετικά χαρακτηριστικά και είναι από τα καλύτερα παραδείγματα της διττής φύσης αυτών των υλικών. Δηλαδή της ρευστότητας και της κρυσταλλικής δομής που παρουσιάζουν οι υγροί κρύσταλλοι γενικότερα. Οι διηλεκτρικές σταθερές και οι δείκτες διάθλασης των υγρών κρυστάλλων είναι φυσικές παράμετροι οι οποίες εκφράζουν την συμπεριφορά των διατάξεων αυτών όταν διεγείρονται από εξωτερικά εφαρμοζόμενα ηλεκτρικά ή μαγνητικά πεδία. Εξαιτίας των ενεργειακών επιπέδων των νηματικών μορίων, οι αποκρίσεις των υγρών κρυστάλλων στα εφαρμοζόμενα εξωτερικά πεδία εμφανίζουν μεγάλη εξάρτηση από την διεύθυνση καθώς και την συχνότητα του πεδίου διέγερσης. Για το λόγο αυτό η ανάλυση των νηματικών υγρών κρυστάλλων, σχετικά με την διηλεκτρική επιδεκτικότητα, θα διαχωριστεί σε δύο διαφορετικά εύρη συχνοτήτων: 25

41 Κεφάλαιο 3 ο dc και χαμηλές συχνότητες Οπτικές συχνότητες. Η μετάβαση από το ένα εύρος στο άλλο εξαρτάται απο διηλεκτρικές διαδικασίες χαλάρωσης καθώς και την δυναμική σταθερά χρόνου. Συγεκριμένα οι περισσότεροι νηματικοί υγροί κρύσταλλοι έχουν σταθερά Debye της τάξης των Hz. DC-χαμηλές συχνότητες και οπτικές συχνότητες Η διηλεκτρική σταθερά ε ορίζεται από την σχέση του Maxwell: D E, (3.2.1) όπου με D συμβολίζεται η διηλεκτρική μετατόπιση, με Ε το ηλεκτρικό πεδίο και με ε ένας τανυστής της διηλεκτρικής διαπερατότητας. Για ένα πολυαξονικό νηματικό υγρό κρύσταλλo ο τανυστής αυτός θα έχει την μορφή: (3.2.2) Ο συνδυασμός των δύο παραπάνω εξισώσεων μας δίνει για τους κύριους άξονες: D E D E. (3.2.3) Συνηθισμένες τιμές για τα και είναι της τάξης των 5ε ο με το ε ο να είναι η διηλεκτρική επιδεκτικότητα του κενού χώρου. Κατά αντιστοιχία οι ηλεκτρικές αγωγιμότητες κατά τους κύριους δύο άξονες του νηματικού υγρού κρυστάλλου θα δίνονται από τις σχέσεις: 26

42 Κεφάλαιο 3 ο J J E E, (3.2.4) όπου με J συμβολίζουμε το ρεύμα που ρέει παράλληλα στο επίπεδο του άξονα διεύθυνσης του υγρού κρυστάλλου και J το ρεύμα το οποίο είναι κάθετο στον άξονα διεύθυνσης. Οι περισσότεροι νηματικοί υγροί κρύσταλλοι έχουν θετική διηλεκτρική ανισοτροπία ( > ), όπου η ανισοτροπία Δε ορίζεται ως η διαφορά των δύο τακτικών διηλεκτρικών επιδεκτικοτήτων. Παρόλα αυτά υπάρχουν και ορισμένοι οι οποίοι εμφανίζουν αρνητική ανισοτροπία ( < ). Καθοριστικός παράγοντας για την ανισοτροπία που θα εμφανίζει ο υγρός κρύσταλλος είναι η δομή στο μοριακό επίπεδο του κρυστάλλου καθώς και η μορφή που αυτός θα έχει. Η διασπορά των διηλεκτρικών επιδεκτικοτήτων και, συναρτήσει της συχνότητας, είναι διαφορετική τόσο για τις συνιστώσες μεταξύ τους όσο και για διαφορετικά είδη νηματικών υγρών κρυστάλλων. Για συχνότητες μεγαλύτερες του 1GHz και κυρίως για την οπτική περιοχή συχνοτήτων ισχύει >. Ενώ το ακριβώς αντίθετο ισχύει για συχνότητες μικρότερες του 1GH z. Στην συνέχεια παραθέτουμε ένα σχήμα το οποίο παρουσιάζει την εξάρτηση του νηματικού υγρού κρυστάλλου συναρτήσει της συχνότητας για το 4-methoxy-4 -n-butylazoxy-benzene καθώς και την περίπτωση του ισοτροπικού ε για το ίδιο εύρος συχνοτήτων. 27

43 Κεφάλαιο 3 ο 3.1 Μεταβολή του ε συναρτήσει της συχνότητας για το 4-methoxy-4 -n-butylazoxy-benzene και για ισοτροπικό ε. Η σχετική μαγνητική διαπερατότητα ενός υλικού ορίζεται από την σχέση που συνδέει την μαγνήτιση M, με την μαγνητική επαγωγή B καθώς και το μαγνητικό πεδίο H το οποίο εφαρμόζεται, ισχύει δηλαδή: B M H H B (1 ) H. m (3.2.5) Η σχετική μαγνητική διαπερατότητα είναι και αυτή τανυστής και έχει όμοια μορφή με την σχετική διηλεκτρική επιδεκτικότητα. Για ένα πολυαξονικό νηματικό υγρό κρύσταλλο έχει την μορφή: m m 0 0 m 0 0. m 0 0 (3.2.6) 28

44 Κεφάλαιο 3 ο Οι νηματικοί υγροί κρύσταλλοι, όπως και οι περισσότεροι υγροί κρύσταλλοι είναι ως επί το πλείστον διαμαγνητικά υλικά. Για το λόγο αυτό και στην παρούσα μελέτη θα θεωρήσουμε από εδώ και πέρα ότι η μαγνητική τους διαπερατότητα θα είναι ίση με την μαγνητική διαπερατότητα του κένου μ ο. Αυτό έχει ως συνέπεια οι μαγνητικές αλληλεπιδράσεις με τις διατάξεις των υγρών κρυστάλλων να είναι ασθενείς και για τον λόγο αυτό συχνά επιλέγονται μαγνητικές μετρήσεις για την μελέτη τέτοιων διατάξεων. Στην συνέχεια παρουσιάζουμε και μια διάταξη νηματικού υγρού κρυστάλλου για να δώσουμε ένα παράδειγμα μιας τέτοιας δομής. 3.2 Τυχαία διάταξη μορίων υγρού κρυστάλλου για μηδενικό εξωτερικό πεδίο. 29

45 30 Κεφάλαιο 3 ο

46 Κεφάλαιο 4 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων 4.1 Εισαγωγή Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιείται όταν ζητείται η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης σε ένα χωρίο Ω. Αρχικά το χωρίο διαμερίζεται σε απλά πεπερασμένα στοιχεία συγκεκριμένου γεωμετρικού σχήματος και στην συνέχεια εφαρμόζονται οι κατάλληλες οριακές συνθήκες. Οι άγνωστοι του προβλήματος, βαθμοί ελευθερίας (degrees of freedom), επιλέγονται στις περισσότερες περιπτώσεις να συμπίπτουν με τους κόμβους του πλέγματος που δημιουργείται κατά την διακριτοποίηση του χωρίου. Οι άγνωστοι αυτοί είναι στην ουσία οι τιμές του μεγέθους ο υπολογισμός του οποίου ζητείται όπως για παράδειγμα κάποιο δυναμικό ή πεδίο. Στην συνέχεια, και με βάση τους βαθμούς ελευθερίας που επιλέχθηκαν, κατασκευάζεται η προσεγγιστική έκφραση για το άγνωστο μέγεθος. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η προσεγγιστική έκφραση είναι κάποια πολυωνυμική εξίσωση χαμηλής τάξης η οποία όμως δεν είναι δυνατόν να εισαχθεί άμεσα στην διαφορική εξίσωση. Για το λόγο αυτό το πρόβλημα επαναδιατυπώνεται με τη βοήθεια μιας ολοκληρωτικής διατύπωσης. Οι δύο γενικές κατευθύνσεις για την επαναδιατύπωση αυτή είναι: Εύρεση μιας συναρτησιακής (functional), της οποίας η ελαχιστοποίηση θα οδηγήσει στην διαφορική που μελετάμε (η μέθοδος αυτή απαιτεί στοιχεία από τον λογισμό μεταβολών). Απευθείας χρήση της διαφορικής εξίσωσης με την διατύπωσή της μέσω σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residuals). Οι δύο κατευθύνσεις είναι ισοδύναμες όμως η δεύτερη είναι ευκολότερη στο χειρισμό και γι αυτό και θα την χρησιμοποιήσουμε και στην δικιά μας περίπτωση. Στο τελευταίο βήμα της διατύπωση του προβλήματος, όπως αυτό ορίστηκε με την επιλογή των αγνώστων και την δημιουργία του πλέγματος, εισάγεται η προσεγγιστική με έναν από τους δύο τρόπους που αναφέραμε γεγονός το οποίο και οδηγεί σε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των αγνώστων του μαθηματικού προβλήματος. Στην συνέχεια παραθέτουμε ένα χωρίο το οποίο έχει διαχωριστεί σε τριγωνικά στοιχεία σαν ένα παράδειγμα διαμερισμού. 31

47 Κεφάλαιο 4 ο 4.1 Διαμέριση χωρίου σε τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία. 4.2 Τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία-συντεταγμένες Simplex Το απλούστερο τριγωνομετρικό σχήμα το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον διαμερισμό του χωρίου είναι το τριγωνικό στοιχείο ή σχήμα simplex στις δύο διαστάσεις. 4.2 Γραφική απεικόνιση συντεταγμένων simplex για τριγωνικά στοιχεία. 32

48 Κεφάλαιο 4 ο Αν και χρησιμοποιούνται και άλλοι τύποι στοιχείων, όπως τετραεδρικά και εξαεδρικά, τα simplex στοιχεία είναι τα καλύτερα για την διακριτοποίηση μιας γεωμετρίας η οποία είναι αυθαίρετα ορισμένη. Επιπλέον η περιγραφή των μεγεθών παύει να γίνεται με βάση τις καρτεσιανές του συντεταγμένες x και y και γίνεται βάση συμμετρικών, ως προς τους κόμβους, συνιστωσών τις οποίες και θα ορίσουμε αμέσως τώρα. Οι συντεταγμένες simplex, τις οποίες για τριγωνικά στοιχεία θα συμβολίσουμε με ζ 1,ζ 2,ζ 3, ενός σημείου P(x,y) ορίζονται ως εξής: h 1 1, (4.2.1) H1 όπου h 1 oρίζεται η απόσταση του σημείου από την πλευρά που ενώνει τις κορυφές 2 και 3 του τριγωνικού στοιχείου και H 1 το ύψος του τριγώνου από την κορυφή 1. Με την ίδια ακριβώς λογική ορίζονται και οι αντίστοιχες συντεταγμένες ζ 2 και ζ 3. Η ιδιότητα που έχουν αυτές οι νέες συντεταγμένες είναι: ζ 1 = 1 στον κόμβο 1 και ζ 1 = 0 στους άλλους κόμβους. (4.2.2) Η μεταβολή της συντεταγμένης ζ 1 είναι γραμμική μέσα στο κάθε στοιχείο και οι αντίστοιχες ισοσταθμικές της είναι παράλληλες προς την ευθεία που ενώνει τις άλλες δύο πλευρές. Εξ ορισμού οι συντεταγμένες simplex μαζί με το γεγονός πως ισχύει P12 P23 P οδηγούν στην απλή σχέση πως για κάθε σημείο του στοιχείου ισχύει: (4.2.3) 33

49 Κεφάλαιο 4 ο 4.3 Ισοσταθμικές συντεταγμένες simplex για τον κόμβο 1. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες (x,y) μπορούν άμεσα να συσχετισθούν με τις ζ 1,ζ 2,ζ 3. Οι σχέσεις που τις συνδέουν είναι: h h(23) 2( P23) x y, (4.2.4) H1 H123 2(123) 1 x1 y1 2A 2A 2A 1 1 x x y y x y x y x y y y x x x x y 2 2 y 3 3 όπου με Α συμβολίζεται το προσημασμένο εμβαδόν του στοιχείου. Στο σημείο αυτό ορίζουμε τις παρακάτω σταθερές: x y x y a1 2A y2 y3 b1 2A x3 x2 c1 2A (4.2.5) οπότε καταλήγουμε στην εξής σχέση για την simplex συντεταγμένη ζ 1 : 34

50 Κεφάλαιο 4 ο b x c y. (4.2.6) Η σχέση αυτή, η οποία ορίζεται με τον ίδιο τρόπο και για τις άλλες δύο simplex μεταβλητές είναι γραμμική και μοναδική για κάθε τριγωνικό στοιχείο. Ο προσδιορισμός αυτών των νέων συντεταγμένων γίνεται με βάση τις καρτεσιανές συντεταγμένες των κόμβων του στοιχείου. Με βάση λοιπόν τον ορισμό των simplex συντεταγμένων είναι δυνατόν να εκφραστούν όλα τα υπόλοιπα μεγέθη που μας ενδιαφέρουν συναρτήσει των νέων συντεταγμένων. Μια ποσότητα που υπολογίζεται άμεσα από τις simplex μεταβλητές και η χρησιμότητά της θα φανεί στην συνέχεια είναι η κλίση (grad) των μεταβλητών αυτών που έχει την απλή μορφή: b xˆ c yˆ. (4.2.7) i i i Σημειώνουμε στο σημείο αυτό πως το παραπάνω διάνυσμα εμφανίζεται σε κάθε διατύπωση FEM. 4.3 Τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία πρώτης τάξης Στην συνέχεια πρέπει να καθορίσουμε την προσέγγιση του αγνώστου μεγέθους με βάση τα στοιχεία τα οποία δημιουργήσαμε. Αν θεωρήσουμε πως το μέγεθος που αναζητούμε είναι μια βαθμωτή συνάρτηση και επιλέξουμε σαν βαθμούς ελευθερίας τις τιμές του μεγέθους αυτού στους κόμβους του στοιχείου, τότε είναι λογικό να υποθέσουμε πως στο εσωτερικό κάθε στοιχείου θα ισχύει: N N N, (4.3.1) με Ν 1,Ν 2,Ν 3 τις συναρτήσεις βάσης που πρέπει να προσδιορίσουμε. Για το άγνωστο αυτό μέγεθος προφανώς και θα ισχύει η εξής σχέσης σε κάθε κόμβο του στοιχείου: ύ N 1 N N 0. (1) 1 1 (1) 1 (2) 1 (3) Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα πως: 35

51 Κεφάλαιο 4 ο N i, i 1, 2,3. (4.3.2) i Οι συναρτήσεις αυτές στο εσωτερικό των τριγωνικών simplex στοιχείων έχουν την μορφή που δίνεται στα επόμενα σχήματα. 4.4 (α) Συνάρτηση βάσης για τον κόμβο 1 του στοιχείου (β) γραμμική προσέγγιση της βαθμωτής άγνωστης συνάρτησης. Η συνάρτηση δίνεται προφανώς από το ανάπτυγμα: 3 N (4.3.3) και είναι στην ουσία μια γραμμική προσέγγιση της τιμής της συνάρτησης στο εσωτερικό του κάθε στοιχείου. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονίσουμε πως η συνάρτηση βάσης N 1 έχει αυτήν την μορφή μόνο για το στοιχείο το οποίο εξετάσαμε. Για την συνολική διάταξη λοιπόν, είναι αναγκαίο να γίνει συνάθροιση (assembly) όλων των συνεισφορών όλων των στοιχείων στα οποία ανήκει ο κόμβος. Η αναμενόμενη μορφή που αποκτάει η συνάρτηση βάσης μετά από μια τέτοια διαδικασία είναι πυραμιδοειδής και δίνεται στο επόμενο σχήμα. i1 i i 36

52 Κεφάλαιο 4 ο 4.5 Συνολική συνάρτηση βάσης για τον κόμβο 1. Αξίζει να αναφέρουμε πως είναι δυνατόν να υπάρξουν και τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία ανώτερης τάξης αυξάνοντας τους βαθμούς ελευθερίας. Αυτό γίνεται επιλέγοντας επιπλέον αγνώστους στο στοιχείο, για παράδειγμα στα μέσα των πλευρών, και μεταβάλλοντας κατάλληλα τις συναρτήσεις βάσης. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκαν τα τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία πρώτης τάξης και επομένως θα επικεντρωθούμε σε αυτά. 4.4 Διατύπωση σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residuals) ή διατύπωση Galerkin Οι εκφράσεις στις οποίες καταλήξαμε στην προηγούμενη ενότητα δεν μπορούν να εισαχθούν απευθείας στην διαφορική εξίσωση του προβλήματος που μας ενδιαφέρει καθώς δεν είναι παραγωγίσιμες στα όρια (ακμές) μεταξύ δύο στοιχείων. Χρειάζεται επομένως να προχωρήσουμε σε μια πιο χαλαρή διατύπωση (formulation) της διαφορικής εξίσωσης έτσι ώστε να ικανοποιείται κατά μέσο τρόπο στο υπό μελέτη χωρίο. Η μέθοδος των σταθμισμένων υπολοίπων, ή αλλιώς μέθοδος Galerkin, με την οποία θα δουλέψουμε μπορεί να εφαρμοστεί κατευθείαν στην διαφορική εξίσωση. 37