ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού ηλεκτρικών πεδίων)

2 Αριθμητικές μέθοδοι Διαφορικές μέθοδοι Διαδοχικές επαναλήψεις Πεπερασμένα στοιχεία Ολοκληρωτικές μέθοδοι Ισοδύναμα φορτία Επιφανειακά τμήματα Υβριδική μέθοδος (πεπερασμένα στοιχεία και ισοδύναμα φορτία)

3 Μέθοδος των Ισοδυνάμων Φορτίων () Γενικές αρχές Το επιφανειακά φορτία των ηλεκτροδίων αντικαθίστανται από έναν αριθμό διακεκριμένων ιδεατών φορτίων στο εσωτερικό των ηλεκτροδίων. Τα ιδεατά φορτία μπορούν να είναι: σημειακά, γραμμικά ή δακτυλιοειδή. Οριακές συνθήκες στην επιφάνεια των ηλεκτροδίων.

4 Μέθοδος των Ισοδυνάμων Φορτίων () Πλεονεκτήματα Το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να εκτείνεται μέχρι το άπειρο Για κάθε επιφάνεια ηλεκτροδίου βρίσκεται η κατάλληλη διάταξη ισοδύναμων φορτίων Η πεδιακή ένταση υπολογίζεται επακριβώς Εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε διάταξη ηλεκτροδίων Εφαρμόζεται και σε ηλεκτρόδια που είναι σε ελεύθερο δυναμικό Εφαρμόζεται και όταν υπάρχουν δύο διηλεκτρικά Απαιτεί λίγο χρόνο και λίγη μνήμη στο ΗΥ

5 Σύστημα εξισώσεων () n+ p+ q ik k h k= n+ p+ q n+ p+ q k= ik k x k= ik k x n+ p+ q k= p Q = U n εξισώσεις p Q = U ή p Q U = p εξισώσεις p ik Q = k Kαθορίζει την έναντι του γειωμένου ηλεκτροδίου διαφορά δυναμικού του επιφανειακού σημείου i(u i ) που οφείλεται στην ύπαρξη μόνο του φορτίου Q k q εξισώσεις Eξαρτώνται μόνο από την γεωμετρία του συστήματος. n+ p k= n+ Q k =

6 Σύστημα εξισώσεων () Σύστημα εξισώσεων για διατάξεις τριών ηλεκτροδίων Q h = φορτία στο ηλεκτρόδιο υψηλής τάσης (...n) Q f = φορτία στο ηλεκτρόδιο ελεύθερου δυναμικού (n+...n+p) Q e = φορτία στο γειωμένο ηλεκτρόδιο (n+p+ n+p+q) U x = ελεύθερο δυναμικό

7 Σημειακό φορτίο pik = 4 πε r + ( d z) r + ( d + z) για r = p ik = 4πε d z d + z

8 Γραμμικό φορτίο c z+ r + ( c z) c + z+ r + ( c + z) pik = ln ln 4 πε b z+ r + ( b z) b+ z+ r + ( b+ z) για r = p ik c z c + z = ln ln 4πε b z b+ z

9 Δακτυλιοειδές φορτίο Κ( κ) Κ( κ) pik = 4 πε π ( r + e) + ( d z) ( r + e) + ( d + z) όπου Κ( κ ) πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα ου είδους modulus κ (i=,) i π/ dψ 4er K( κi ) = και κ = ( r + e) + ( d z) -κi sin ψ για r=: κ = κ =, Κ()= π / p ik / = 4 πε e + ( d z) e + ( d + z) i

10 Υπολογισμός πεδιακής έντασης f Q = E ik k i για σύστημα συντεταγμάνων (, rz) ( ) ( ) f Q = ( E ) ik r k i r f Q = ( E ) ik z k i z N ( ) E = f Q r ik r k k = N ( ) E = f Q z ik z k k = E = E + E r z

11 Σημειακό φορτίο Q z d z+ d Er ( = ) = 4πε z d z+ d 3 3 z d z+ d E = Q U z d z + d max 3 3 f f ikr ikz r r = 4 πε ( r + ( z d) ) ( r + ( z+ d) ) 3 3 z d z+ d = 4 πε ( r + ( z d) ) ( r + ( z+ d) ) Q Q = 4πεU 3 3 Φ= Q U r + ( d z ) r + ( d + z ) Φ ( r = ) = Q U d z z + d

12 Γραμμικό φορτίο f ikr c z b z b+ z c+ z = + 4 πε r r + ( c z) r r + ( b z) r r + ( b+ z) r r + ( c + z) fikz = 4 + πε r + ( c z ) r + ( b z ) r + ( b+ z ) r + ( c+ z ) Q Q = 4πεU QU c z+ r + ( c z) c+ z+ r + ( c+ z) Φ= ln ln b z+ r + ( b z) b+ z+ r + ( b+ z) για r = max Q Er ( = ) = + 4 πε c z b z c z b z + + QU c z c + z Φ ( r = ) = ln ln b z b+ z E QU = + c z b z c + z b+ z

13 Δακτυλιοειδές φορτίο () ( ) ( ) ( ) ( ) e r + z d Ε κ r e + z d Κ( κ) f ikr = 4πε π r ( + ) + ( ) r e z d ( r e) + ( z d) + ( + ) Ε( ) e r z d κ ( ) + ( + ) r e z d Κ( κ) ( + ) + ( + ) r e z d ( r e) + ( z+ d) Κ ( κ ) i ( ) π π i i Ε κ = κ sin ψdψ κ i = = dψ κ sin ψ 4er ( r + e) + ( d + z) ( d z) Ε( κ) f ikz = 4πε π + ( r + e) + ( z d) ( r e) + ( z d) ( d + z) Ε( κ ) + ( r + e) + ( z+ d) ( r e) + ( z+ d)

14 Δακτυλιοειδές φορτίο () Q ( d z) ( d + z) Ε ( r = ) = 4πε + ( ) e d z e + ( d + z) 3 3 ( d z) d + z Ε = QU e + ( d z) e + d + z ( ) max 3 3 ( ) Για r=: κ = κ =, Κ()= π / Κ( κ) Κ( κ) Φ= QU π ( r + e) + ( d z) ( r + e) + ( d + z) Φ ( r = ) = QU e + d z e + d + z ( ) ( )

15 Διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών < α < 9 ο ο ο 9 < α < 8 Σχηματική αναπαράσταση για την επίδειξη του φαινομένου, που εμφανίζεται στις θέσεις τομής της επιφάνειας του ηλεκτροδίου με τη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών. Η γωνία μετριέται στο μονωτικό με τη μικρότερη διηλεκτρική σταθερά.

16 Μέθοδος των διαδοχικών επαναλήψεων Διαφορική μέθοδος Προϋπόθεση: Το ηλεκτρικό πεδίο είναι χωρικά πεπερασμένο Υπολογισμός δισδιάστατων ηλεκτρικών πεδίων τρισδιάστατων ηλεκτρικών πεδίων Η μέθοδος είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική σε περιπτώσεις ηλεκτρικών πεδίων συμμετρικών εκ περιστροφής

17 Μέθοδος των διαδοχικών επαναλήψεων - Υπολογισμός δισδιάστατων ηλεκτρικών πεδίων Οι ισοδυναμικές επιφάνειες είναι «κυλινδρικές» Για τη μέθοδο των διαδοχικών επαναλήψεων χρησιμοποιείται το ανάπτυγμα Taylor του δυναμικού Φ(x,y), του τυχαίου σημείου συντεταγμένων, περίτοδυναμικόφ(x,y ) ήφ Φ ( x, y) = Φ + ( ) (, ) ( ) (, )! x x Φ x x y + y y Φ y x y + [( x x ) Φ xx ( x, y ) + ( x x )( y y ) Φxy ( x, y )! +( y y ) Φ ( x, y )] +... yy

18 Εφαρμογή της μεθόδου Δίδονται : Φ...Φ 4 ήφ 5...Φ 8 ήφ...φ 8 Ζητείται : Φ 4 Φ = Φ 4 ι= 8 Φ = Φ 4 ι= 5 ι ι τύπος του τετραγώνου τύπος της διαγωνίου ( h xx ) Φ =Φ + hφ x + + Φ + + Φ =Φ + + hφ y Φ Φ 3 =Φ hφ x + + ( h Φ xx + + ) Φ 4 =Φ + hφ y + ( + + h Φyy) Φ +Φ = xx yy ( h yy ) Φ = ( Φ + Φ +Φ3 ) συμμετρία ως προς τον άξονα των x 4 Φ = ( Φ +Φ4 ) συμμετρία ως προς τη διαγώνιο Φ = Φ i + Φi τύπος των 8 σημείων 5 i= i= 5

19 Τριγωνικά ή εξαγωνικά πλέγματα Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τριγωνικά ή εξαγωνικά πλέγματα Φ = 6 Φ 6 i = Φ = 3 Φ 3 i =

20 Όριο περιοχής s = s = s3 = 3 s4 = 4 h h h h Φ = Φ Φ Φ Φ s+ s3 s s3 s + s4 s s4 + ss s s 3 4 Φ = όταν s = s = s = s = τύπος του τετραγώνου 3 4 Φ Φ +Φ 3 + +Φ4 s+ s s + s + s s

21 Υπολογισμός πεδίων εκτεινομένων σε δύο διηλεκτρικά ε Φ = Φ +Φ 3 + ( Φ + Φ 4 ) τύπος του τετραγώνου 4 ε + ε ε ε Φ = Φ 5 +Φ 6 + ( Φ 7 +Φ8) τύπος της διαγωνίου ε + ε ε

22 Υπολογισμός δυναμικού σε ενδιάμεσα σημεία του πλέγματος Προϋπόθεση είναι η γνώση των δυναμικών στους κόμβους του αρχικού πλέγματος Στα σημεία το δυναμικό είναι γνωστό Υπολογίζονται τα δυναμικά στα σημεία Υπολογίζονται τα δυναμικά στα σημεία Επιτυγχάνεται μεγαλύτερη ακρίβεια του αποτελέσματος όσο μικρότερες είναι οι διαστάσεις του αρχικού πλέγματος

23 Μείωση διαστάσεων πλέγματος Μέθοδος Richardson To δυναμικό ενός κόμβου αυξάνει με το τετράγωνο των διαστάσεων του πλέγματος Είναι γνωστό το δυναμικό ενός σημείου για διαστάσεις πλέγματος h, h Υπολογίζεται το δυναμικό στο ίδιο για μηδενική διάσταση πλέγματος (h=) h Φ = Φ + ( Φ Φ ) h= h h Για h =h =h Φ = (4 Φ Φ h= h/ h ) 3

24 Εφαρμογή 45 o α a b c d e f α α α α % %

25 Εφαρμογή της μεθόδου των διαδοχικών επαναλήψεων όταν υπάρχει χωρικό φορτίο Έστω χωρική πυκνότητα φορτίου ρ(x,y) Το δυναμικό υπολογίζεται από την εξίσωση Poisson ΔΦ = ρ( xy, ) ε τότε ο τύπος του τετραγώνου γίνεται 4 h ρ( x, y) i i = 4 4 Φ = Φ + ε

26 Μεθοδολογία υπολογισμού δισδιάστατου πεδίου Η επιφάνεια μεταξύ των ηλεκτροδίων καλύπτεται με πλέγμα σταθερών διαστάσεων Για τους κόμβους του πλέγματος που βρίσκονται πάνω στο περίγραμμα των ηλεκτροδίων επιλέγεται τιμή δυναμικού ίση με αυτή του ηλεκτροδίου. Για τους υπόλοιπους κόμβους αντιστοιχίζονται αυθαίρετες τιμές* Βάσει των τύπων διορθώνουμε τα δυναμικά των κόμβων Ξεκινώντας από τα νέα δυναμικά επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχριναεπιτευχθείηαπαιτούμενηακρίβεια Αφού υπολογιστούν τα δυναμικά μπορούν να χαραχθούν οι ισοδυναμικές καμπύλες Υπολογισμός πεδιακής έντασης * Οι αρχικές τιμές καλό θα ήταν να έχουν προεκτιμηθεί βάσει της γεωμετρίας του συστήματος

27 Μέθοδος των διαδοχικών επαναλήψεων - Υπολογισμός τρισδιάστατων ηλεκτρικών πεδίων () Ο χώρος στον οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε το δυναμικό καλύπτεται από κύβους ακμής h To δυναμικό Φ υπολογίζεται από τον τύπο: Φ = 6 i = Φ i τύπος του κύβου

28 Μέθοδος των διαδοχικών επαναλήψεων - Υπολογισμός τρισδιάστατων ηλεκτρικών πεδίων () Οι εύρεση των δυναμικών των κόμβων απαιτεί μεγάλο υπολογιστικό χρόνο, διότι γίνονται προσεγγίσεις κατά μήκος και των 3 αξόνων Φ Φ Φ Φ = r r r r ψ z Απλούστερες οι υπολογιστικές διαδικασίες όταν το προς υπολογισμό ηλεκτρικό πεδίο είναι συμμετρικό εκ περιστροφής Φ Φ Φ + + = r r r z Φ ( r, z) =Φ + [( r r) Φ r( r, z) + ( z z) Φ z( r, z) ] +! [( r r ) Φ rr ( r, z ) + ( r r )( z z ) Φ rz ( r, z )! +( z z ) Φ ( r, z )] +... zz

29 Μέθοδος των διαδοχικών επαναλήψεων - Υπολογισμός τρισδιάστατων ηλεκτρικών πεδίων (3) Φ =Φ + + hφ Φ z Φ =Φ + hφ + + Φ + + r Φ =Φ + hφ Φ 3 z Φ =Φ hφ + + Φ r Φ Φ Φ + + = r r r z ( h zz) ( h rr ) ( h zz) ( h rr ) 4 Φ Φ4 Φ = Φ ι + για s τύπος του τετραγώνου 4ι= 8s Φ +Φ Φ Φ Φ = Φ s ι + για s τύπος της διαγωνίου 4ι= 5 8

30 Όριο περιοχής () s = s = s3 = 3 s4 = 4 h h h h Φ = s Φ Φ Φ Φ ( s+ s4) + ( s+ s) s+ s3 s s3 s + s4 s s4 s s+ s4 s + ss s s 3 4

31 Όριο περιοχής () -Εφαρμογή Φ, Φ, Φ γνωστά Φ = 6 Φ + 4Φ +Φ Φ, Φ, Φ γνωστά Φ = 4 Φ +Φ +Φ ( ) 3 3 ( ) Φ = Φ Φ Φ s+ s3 s s3 s + ss s 3

32 Παρατηρήσεις Κατά την εφαρμογή της μεθόδου των διαδοχικών επαναλήψεων τα υπολογιζόμενα δυναμικά των κόμβων εξαρτώνται από το μέγεθος του πλέγματος Όσο πιο μικρές είναι οι διαστάσεις του πλέγματος τόσο πιο ακριβής είναι ο υπολογισμός του δυναμικού, αλλά και πιο χρονοβόρα η υπολογιστική διαδικασία

33 Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) Παρόμοια με τη μέθοδο των διαδοχικών επαναλήψεων Η επιφάνεια, ή, αντίστοιχα ο όγκος, στην/ον οποία/ον εκτείνεται το πεδίο καλύπτεται με πεπερασμένα τρίγωνα ή, αντίστοιχα, τετράεδρα στοιχεία. Οι κρίσιμες περιοχές καλύπτονται με πεπερασμένα στοιχεία μικρότερων διαστάσεων

34 Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) Για την επίλυση τρισδιάστατων προβλημάτων τα πεπερασμένα στοιχεία που χρησιμοποιούνται είναι τετράεδρα. Χρησιμοποιείται η εξίσωση Poisson και πρέπει να ικανοποιούνται οι οριακές (δεδομένες συνθήκες) και η συνάρτηση του χωρητικού φορτίου. Συνάρτηση ελαχιστοποίησης Προς διευκόλυνση των υπολογισμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν και εξάεδρα.

35 Παράδειγμα

36 Μειονεκτήματα διαφορικών μεθόδων Ακατάλληλες για μη κλειστά πεδία Δεν δίνουν αναλυτική έκφραση των δυναμικών και των εντάσεων

37 Υβριδική μέθοδος Συνδυασμός των μεθόδων των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) και των ισοδυνάμων φορτίων (CSM). Υπάρχουν δύο παραλλαγές: Ευθεία μέθοδος Μέθοδος διαδοχικών διορθώσεων Ο χώρος χωρίζεται σε περιοχές: Περιοχή C: Εφαρμόζεται η μέθοδος των ισοδυνάμων φορτίων. Περιοχή F: Εφαρμόζεται η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων. Το δυναμικό Φ και η ένταση του πεδίου Ε δεν θα πρέπει να παρουσιάζουν ασυνέχειες στο σύνορο των δύο περιοχών.

38 Ευθεία μέθοδος () Παράδειγμα: Σφαίρα Γειωμένη πλάκα

39 Ευθεία μέθοδος () Ζητούνται: (n C + n B ) φορτία κατά μέτρο (n Β + n F ) δυναμικά Εξισώσεις: n C εξισώσεις γιατί Φ ηλεκτροδίου = γνωστό n F εξισώσεις για τα δυναμικά των κόμβων βάσει της συνθήκης ελαχιστοποίησης της αποθηκευμένης ενέργειας στην περιοχή F n Β εξισώσεις λόγω των συνθηκών συνέχειας του δυναμικού Φ και της έντασης του πεδίου Ε στα n Β συνοριακά σημεία

40 Ευθεία μέθοδος (3) Μπορούν να υπολογιστούν ηλεκτρικά πεδία, στα οποία εμφανίζεται χωρητική και ωμική κατανομή δυναμικού, δηλ. ηλεκτρικά πεδία που εκτείνονται σε αγώγιμες ή ημιαγώγιμες περιοχές. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν μιγαδικά φορτία, δυναμικά και πεδιακές εντάσεις Οι αγώγιμες ζώνες θα περιοχές θα πρέπει να εντάσσονται στην περιοχή F. Τότε οι ηλεκτρικές ιδιότητες περιγράφονται από την: k ε=εε j r ω

41 Μέθοδος των διαδοχικών διορθώσεων Η μέθοδος είναι κατάλληλη για τις περιπτώσεις υπολογισμού πεδίων, στα οποία η αλληλεπίδραση των περιοχών F και C είναι μικρή. ο Βήμα: Εφαρμόζεται η μέθοδος των ισοδυνάμων φορτίων (CSM) και στις δύο περιοχές. ο Βήμα: Υπολογίζονται το δυναμικό Φ και η ένταση του πεδίου Ε στην περιοχή F μέσω της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Αρχική συνθήκη: Φ ορίου που υπολογίστηκε με CSM. Έλεγχος απόκλισης των Ε Ν,CSM και Ε Ν,FEM. 3 ο Βήμα: Το πεδίο υπολογίζεται μόνο στην περιοχή C με τη μέθοδο των ισοδυνάμων φορτίων. Αρχική συνθήκη: Ε Ν,FEM που υπολογίστηκε στο προηγούμενο βήμα. Πραγματοποιείται διαδοχική εφαρμογή των μεθόδων CSM και FEM μέχρι ικανοποιήσεως της συνθήκης: E E N,CSM N,FEM α% E N,FEM

42 Πλεονεκτήματα υβριδικής μεθόδου Μπορούν να υπολογιστούν πεδία μέχρι το άπειρο Εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε αριθμό διηλεκτρικών Εφαρμόζεται σε μη τέλεια μονωτικά υλικά Απαιτείται λίγος υπολογιστικός χρόνος