Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Transcript

1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ : Βλέπε Εργασία του 5 (Ομάδα Α, Άσκηση ) ΑΣΚΗΣΗ Παρουσιάστε την μαθηματική διατύπωση ενός προβλήματος ιδιοτιμών. Στη συνέχεια προτείνετε ένα αριθμητικό σχήμα επίλυσης και εφαρμόστε το προτεινόμενο σχήμα σε πολύ απλό πλέγμα και σε πυκνό πλέγμα. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα με τα αντίστοιχα αναλυτικά. Τέλος, περιγράψτε τη φυσική σημασία του προβλήματος. Βοήθημα: Αντίστοιχη άσκηση επιλύεται στις Απαντήσεις της Εργασίας του 8 (Άσκηση 3). Σημείωση: Τα πρόβλημα ιδιοτιμών που επιλύεται δεν πρέπει να ταυτίζεται με αυτό του βοηθήματος. Επιλύεται το ακόλουθο πρόβλημα ιδιοτιμών: d, k dx (α) d () (β) dx Λύση x Μας ενδιαφέρουν οι διάφορες τιμές του k για τις οποίες η λύση της () δεν είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Η γενική λύση της Εξ. (α) έχει τη μορφή: sin cos x kx kx () όπου Α και Β αυθαίρετες σταθερές. Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες στην () παίρνουμε: () και '( ) kcos( k ) Επειδή επιθυμούμε η λύση της () να μην είναι εκ ταυτότητος μηδέν, θα πρέπει αναγκαστικά και

2 cos( k) k ( n ) k n, n,,... Επομένως οι ιδιοτιμές του προβλήματος είναι k ( n ), n,,... (3α) ενώ οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από τις εκφράσεις x sin kx (3β) Οι εξισώσεις (3) αποτελούν την αναλυτική λύση του προβλήματος. Για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος εφαρμόζουμε τη μέθοδο d πεπερασμένων διαφορών και προσεγγίζουμε τη δεύτερη παράγωγο με έκφραση dx κεντρώων πεπερασμένων διαφορών: i i i k i h i k i i, i,..., N (4) h h h με h N Οριακές συνθήκες: (5) N N N N, (6) h Η Εξ. (6) έχει προκύψει εφαρμόζοντας σχήμα κεντρώων διαφορών στον κόμβο N για την οριακή συνθήκη '( ), όπου N είναι ένας φανταστικός κόμβος. Ειδικά για τον κόμβο N η εξ. (4) γίνεται N k N N, h h h και λόγω της (6) ξαναγράφεται στη μορφή N k N h h (7) Επιλέγουμε αρχικά ένα αραιό πλέγμα N 3 κόμβων ( i,,3), με h /. Εφαρμόζοντας την (4) για i και την (7) για i N 3 προκύπτει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τα, 3: 8 4 k 3 k 3 k 3 h h h h h 8 4 k 3 k 3 h h

3 Θέτοντας k το σύστημα μπορεί να γραφεί υπό μορφή πινάκων ως εξής: Για να έχει το σύστημα μη μηδενική λύση θα πρέπει να ισχύει Det()=. Θέτοντας, 6 3 λοιπόν, Det()= παίρνουμε την εξίσωση 4, την οποία επιλύουμε ως προς παίρνοντας τις αριθμητικές ιδιοτιμές του αρχικού προβλήματος:.374, Εναλλακτικά, φέρνουμε το σύστημα: στη μορφή: I 8 4 παίρνοντας:. Έτσι ο υπολογισμός των αριθμητικών ιδιοτιμών , του αρχικού προβλήματος επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του πίνακα Β. Οι αναλυτικές τιμές των ιδιοτιμών είναι ( ).5 και. ( ).5 Τα σχετικά σφάλματα είναι για την 5.35% και για την 38.5%. Παρατηρούμε ότι για την πρώτη ιδιοτιμή έχουμε ικανοποιητική ακρίβεια, ενώ για την δεύτερη το σφάλμα είναι αρκετά μεγάλο. Συνεχίζουμε με ένα πιο πυκνό πλέγμα N κόμβων με h /. Εφαρμόζοντας την (4) για i,.., έχουμε i k i i Ειδικά για τον κόμβο i η εξ. (4) δίνει: k 3, ενώ για τον κόμβο i η εξ. (7) δίνει: k Δημιουργείται ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τα i, i,..., της μορφής, όπου είναι ο ακόλουθος πίνακας (έχουμε θέσει k ): 3

4 π λ π π π λ π π π λ π π π λ π π π λ π π π λ π π π λ π π π λ π π π λ π π π λ Εναλλακτικά, φέρνουμε το σύστημα: πίνακας είναι ο ακόλουθος: στη μορφή: I π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π, όπου ο Για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών του πίνακα χρησιμοποιούμε το Mathematica. n=; h=π/n t=table[,{n},{n}]; Do[t[[i,i+]]=N[-/h],{i,,n-}] Do[t[[i,i]]=N[/h],{i,n}] Do[t[[i,i-]]=N[-/h],{i,,n-}] t[[n,n-]]=n[-/h] sol=sort[eigenvalues[t]] {.49486,.867,5.9356,.645,7.94,3.4343,9.464,34.593,38.398,4.79} pn_ : N n real Tablepi, i,,n {.5,.5,6.5,.5,.5,3.5,4.5,56.5,7.5,9.5} real sol error real {.5448,.8369,5.3588, ,5.584,.534,3.67,38.59,46.96, } 4

5 Επομένως, πινακοποιώντας τα αποτελέσματα έχουμε: Αριθμός Αριθμητική Πραγματική Σχετικό Σφάλμα % Ιδιοτιμής Τιμή Τιμή Παρατηρώντας το σφάλμα βλέπουμε ότι η αριθμητική μέθοδος επίλυσης του προβλήματος ιδιοτιμών δίνει ακριβή αποτελέσματα μόνο για τις πρώτες (στη σειρά) ιδιοτιμές. Αυτό οφείλεται στον σχετικά μικρό αριθμό κόμβων. ΑΣΚΗΣΗ 3 Να προσδιορισθεί και να αιτιολογηθεί ο μαθηματικός χαρακτήρας των εξισώσεων του πίνακα (ελλειπτική, παραβολική, υπερβολική εξίσωση). Επίσης, με βάση τη σχετική βιβλιογραφία, αναφέρετε το φυσικό πρόβλημα που περιγράφει η κάθε εξίσωση (αυτό το σκέλος της άσκησης είναι προαιρετικό). Λύση Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις ης τάξης με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές γράφονται στη μορφή: f f f... xx xy yy Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα 4 και αν Δ> η εξίσωση χαρακτηρίζεται ως υπερβολική, αν Δ= η εξίσωση χαρακτηρίζεται ως παραβολική, αν Δ< η εξίσωση χαρακτηρίζεται ως ελλειπτική ) utt c uxx hu c uxx uxy utt hu ( c ) c => υπερβολική a ) utz a Trr Tr at rr T rz T zz Tr utz r r a => παραβολική 3) u u b u u u b Ha Ha y z y y yz z y => ελλειπτική b b u y z y Ha => ελλειπτική 5

6 4 4) u u f Αν θέσουμε u ( x, y) τότε δημιουργείται το σύστημα: u f Πρόκειται για εξισώσεις Poisson οι οποίες είναι ελλειπτικές: f xx yy f xx xy yy f => ελλειπτική 5) 6) tu xxuxxu xxu xyu ttuxxutu => παραβολική tuuxu xxu xxu xtu ttutuuxu => παραβολική 7) uxx uyy k u uxx uxy uyy k u => ελλειπτική utt hut c uxx c uxx uxt utt hut 8) c ( ) c => υπερβολική 9) f f F f t c x c m Πρόκειται για την εξίσωση oltzmann και περιγράφει τις τροχιές των σωματιδίων υπό την επίδραση εξωτερικής δύναμης, χωρίς ενδομοριακές συγκρούσεις. Θέτοντας F η εξίσωση είναι αντίστοιχη με την εξίσωση κύματος ης τάξης. Επομένως πρόκειται για υπερβολική εξίσωση, αφού και για F δεν αλλάζει ο τύπος της εξίσωσης. 6