Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Transcript

1 Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα όρια 74 Κυλινδρικές συντεταγμένες 59

2 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις Οι πλέον συνηθισμένες ελλειπτικές εξισώσεις με πλήθος εφαρμογών σε πολλά επιστημονικά και τεχνολογικά πεδία είναι οι εξισώσεις Laplace u 0 και Poison u f όπου ο Λαπλασιανός τελεστής (σε καρτεσιανό σύστημα xx yy zz συντεταγμένων), u u x, y, z η άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή και f f x, y, z μία γνωστή συνάρτηση Άλλες ελλειπτικές εξισώσεις που είναι αντιπροσωπευτικές και συναντώνται αρκετά συχνά είναι η εξίσωση Helmholtz uku 0 και η διαρμονική εξίσωση 4 u u f Οι ελλειπτικές εξισώσεις περιγράφουν προβλήματα οριακών τιμών, δηλαδή φαινόμενα ισορροπίας σε μόνιμα (όχι χρονικά μεταβαλλόμενα) προβλήματα όπως βαρυτικά πεδία, ηλεκτροστατικά πεδία, μόνιμη θερμική αγωγή, ιδανική ή πλήρως ανεπτυγμένη συνεκτική ροή, ελαστικότητα, κτλ 60

3 Οι ελλειπτικές εξισώσεις ορίζονται σε κλειστά πεδία ορισμού με την εξαρτημένη μεταβλητή να ορίζεται με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Newmann ή μικτές (Robin) στο κλειστό όριο του πεδίου ορισμού Όταν οι εξισώσεις και οι οριακές συνθήκες είναι διαχωρίσιμες τότε επιλύονται με τη απλή μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών, ενώ όταν είναι μη διαχωρίσιμες επιλύονται με αναπτύγματα Fourier ή μέσω της επίλυσης του σχετιζόμενου (συγγενούς) προβλήματος χαρακτηριστικών τιμών Σε πολλές περιπτώσεις η αναλυτική επίλυση των ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι ιδιαίτερα επίπονη ή ακόμη και αδύνατη Στις περιπτώσεις αυτές οι εξισώσεις επιλύονται αριθμητικά Η πλέον διαδεδομένη υπολογιστική μέθοδος επίλυσης είναι η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών Η μέθοδος έχει διατυπωθεί με λεπτομέρεια στην αριθμητική επίλυση προβλημάτων δύο οριακών τιμών, επίσης ελλειπτικού χαρακτήρα, που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Τώρα η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών επεκτείνεται και εφαρμόζεται στην επίλυση ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων 61

4 Το σημαντικό πλεονέκτημα των υπολογιστικών μεθόδων σε σχέση με τις αναλυτικές εστιάζεται στο γεγονός ότι οι υπολογιστικές μέθοδοι δύνανται να εφαρμοσθούν και να επιλύσουν μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Αντίθετα οι αναλυτικές μέθοδοι επικεντρώνονται, με ελάχιστες εξαιρέσεις, στην επίλυση γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων και σε κάθε περίπτωση η αναλυτική επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων αποτελεί ένα ιδιαίτερα δύσκολο πεδίο που απαιτεί εξειδικευμένες μαθηματικές τεχνικές Βεβαίως στο παρόν κεφάλαιο θα επικεντρωθούμε στην υπολογιστική επίλυση γραμμικών εξισώσεων Έχοντας στη διάθεσή μας την αναλυτική και υπολογιστική λύση του ιδίου προβλήματος μπορούμε να συγκρίνουμε τα υπολογιστικά προσεγγιστικά αποτελέσματα με τα αντίστοιχα αναλυτικά και να αξιολογήσουμε και να πιστοποιήσουμε την αριθμητική μεθοδολογία Θα πρέπει όμως να είναι σαφές ότι οι προτεινόμενες υπολογιστικές προσεγγίσεις μπορούν με μικρές τροποποιήσεις να εφαρμοσθούν και σε μη γραμμικές εξισώσεις 6

5 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων Όπως και στη περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, έτσι και τώρα η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών περιλαμβάνει τα εξής 3 βήματα: a) διακριτοποίηση του πεδίου ορισμού του προβλήματος και την αντικατάστασή του με το υπολογιστικό πλέγμα b) διακριτοποίηση της μερικής διαφορικής εξίσωσης και των οριακών συνθηκών στους κόμβους του πλέγματος και την διατύπωση του αλγεβρικού συστήματος εξισώσεων πεπερασμένων διαφορων c) επίλυση του αλγεβρικού συστήματος που διαμορφώνεται από τις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών 63

6 u u Εξετάζεται σαν παράδειγμα η πρότυπη εξίσωση Poisson 1 (*) στο x y συνεχές πεδίου ορισμού : 0 x 1, 0 y A και u 0 στο όριο του πεδίου ορισμού Όλες οι ποσότητες είναι σε αδιάστατη μορφή y Κόμβος (i,j) y=a u=0 u 1 y=0 x=0 x=1 Πεδίο ορισμού και οριακές συνθήκες y J y J-1 y J- y j+1 y j y j-1 y y 1 y 0 x 0 x 1 x x i-1 x i x i+1 x I- x I-1 x I x Υπολογιστικό πλέγμα και κόμβοι πλέγματος 64

7 Το 1 ο βήμα εφαρμογής της μεθόδου περιλαμβάνει την επιλογή του υπολογιστικού πλέγματος Διαιρούμε τις αποστάσεις 0 x 1 και 0 y A κατά μήκος των αξόνων x και y σε I και J ίσα τμήματα αντίστοιχα Το μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων κατά μήκος των αξόνων x και y έχουν μήκος x 1/ I και y A/ J Τα σημεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε διαστήματος προσδιορίζονται από τις σχέσεις xi x0 i x, i 0,1,, I και yj y0 j y, j 0,1,, J Από τα σημεία x i και y j φέρνουμε παραλλήλους προς τους άξονες x και y αντίστοιχα, με αποτέλεσμα το συνεχές πεδίο ορισμού να αντικατασταθεί από το υπολογιστικό πλέγμα που απαρτίζεται από I J ίσα ορθογώνια, οι κορυφές των οποίων ονομάζονται κόμβοι και αποτελούν τα δομικά στοιχεία του πλέγματος Ο κάθε κόμβος i, j του πλέγματος προσδιορίζεται από το ζεύγος σημείων xi, y j, για i 0,1,, I και j 0,1,, J I 1 J 1 κόμβους Συνολικά έχουμε 59

8 Αντίστοιχα, οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος u x, y u x ix, y iy u, i 0,1,, I, ορίζονται από τις σχέσεις j 0,1,, J i j 0 0 i, j Οι άγνωστες τιμές u i, j θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος Οι κόμβοι που βρίσκονται εντός του ονομάζονται εσωτερικοί κόμβοι ή για λόγους συντομίας απλώς κόμβοι, ενώ οι κόμβοι που βρίσκονται στο ονομάζονται οριακοί κόμβοι Όταν το υπολογιστικό πλέγμα αποτελείται από μικρό αριθμό κόμβων τότε χαρακτηρίζεται σαν αραιό πλέγμα (coarse grid), ενώ στην αντίθετη περίπτωση, όταν δηλαδή x 1 και y A, τότε χαρακτηρίζεται σαν πυκνό πλέγμα (fine grid) 60

9 Το ο βήμα περιλαμβάνει την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών σε κάθε εσωτερικό κόμβο του πλέγματος Προσεγγίζουμε την μερική διαφορική εξίσωση στον τυχαίο κόμβο i, j του πλέγματος και γράφουμε u x u y i, j i, j 1, i 1,, I 1, j 1,, J 1 Στη συνέχεια, επιλέγουμε να προσεγγίσουμε τις δεύτερες παραγώγους με κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ης τάξης, κάτι που αποτελεί πάγια τακτική στη περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων Επομένως η ΜΔΕ γράφεται στη διακριτοποιημένη μορφή ui 1, jui, jui1, j ui, j1 ui, jui, j1 1, i 1,, I 1, j 1,, J 1 (**) x y Η αλγεβρική εξίσωση (**) ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών πέντε σημείων, αφού η κάθε μία από τις εξισώσεις αυτές εμπλέκει την ποσότητα u σε πέντε κόμβους (στον κόμβο i, j και στους τέσσερις γειτονικούς i 1, j και i, j 1) 61

10 Η ακρίβεια του σχήματος είναι ης τάξης, δηλαδή το σφάλμα είναι Ox y, Εφαρμόζοντας την (**) σε κάθε εσωτερικό κόμβο του πλέγματος σχηματίζεται ένα αλγεβρικό σύστημα με I 1 J 1 εξισώσεις Ο αριθμός των αγνώστων είναι ο ίδιος, αφού στο συγκεκριμένο παράδειγμα οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet και επομένως οι τιμές του u στους οριακούς κόμβους είναι γνωστές Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Newmann ή μικτές τότε η διαδικασία της διακριτοποίησης συνεχίζεται με την διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στους οριακούς κόμβους του πλέγματος Στην ειδική περίπτωση που το υπολογιστικό πλέγμα επιλέγεται έτσι ώστε xy h, η εξίσωση (**) γράφεται στην απλούστερη μορφή 4u i, j u i 1, j u i 1, j u i, j 1 u i, j 1 h 6

11 Το 3 ο βήμα της μεθόδου είναι η επίλυση του συστήματος (**) με άμεσες ή επαναληπτικές τεχνικές και ο υπολογισμός των u i, jγια i 1,, I 1 και j 1,, J 1 Εάν η ακρίβεια των αποτελεσμάτων είναι μείζονος σημασίας τότε βελτιώνουμε την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος χρησιμοποιώντας εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με ακρίβεια ανώτερη της ης τάξης Βεβαίως, στη περίπτωση αυτή κάθε εξίσωση i, j εμπλέκει την ποσότητα u στον κεντρικό κόμβο i, j και σε περισσότερους από τέσσερις γειτονικούς κόμβους Τυπικό παράδειγμα είναι το σχήμα εννέα σημείων Για xy h η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών εννέα σημείων που προσεγγίζει την (*) γράφεται στη μορφή: u u u u 4 u u u u 0u h i1, j1 i1, j1 i1, j1 i1, j1 i, j1 i1, j i1, j i, j1 i, j Το σχήμα εννέα σημείων είναι ακριβείας 4 ης τάξης πέντε και εννέα σημείων είναι τα πλέον συνηθισμένα O x, y 4 4 Τα σχήματα των 63

12 Η επέκταση της συγκεκριμένης μεθοδολογίας σε τρεις διαστάσεις μπορεί να γίνει χωρίς δυσκολία Βεβαίως αυξάνει ο αριθμός των κόμβων ανά εξίσωση Οι εκφράσεις των πέντε και εννέα σημείων ανάγονται σε εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών επτά και είκοσι επτά σημείων αντίστοιχα Σημειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας με συνέπεια τους κανόνες και τις διαδικασίες που θεσπίσαμε στην επίλυση της εξίσωσης Poisson (*), μπορούμε να επιλύσουμε με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών έναν μεγάλο αριθμό ελλειπτικών εξισώσεων 64

13 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα όρια Οι οριακές συνθήκες που συνοδεύουν τις μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι τύπου Dirichlet ή τύπου Neumann ή μικτού τύπου Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στα όρια είναι γνωστές και η επίλυση του προβλήματος γίνεται μόνο για τους εσωτερικούς κόμβους Όταν όμως είναι τύπου Neumann ή μικτού τύπου τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στα όρια είναι άγνωστες και αποτελούν πλέον τμήμα της υπολογιστικής λύσης Στις περιπτώσεις αυτές είναι αναγκαίο, εφαρμόζοντας εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών, οι αναλυτικές οριακές συνθήκες να αντικατασταθούν με εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών που λύνονται μαζί με τις υπόλοιπες εξισώσεις Πρόκειται για μια διαδικασία που ανάλογα με το πρόβλημα και την ζητούμενη ακρίβεια, απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή ώστε να μην αλλοιώνεται η ακρίβεια όλου του αριθμητικού σχήματος 65

14 Έστω ότι ζητείται η λύση της εξίσωσης Laplace, u 0, στο πεδίο ορισμού 0 xy, 1 με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet στα όρια y 0, y 1 και x 1, ενώ στο όριο x 0 η οριακή συνθήκη είναι μικτού τύπου u/ xu, όπου οι ποσότητες και είναι γνωστές j+1 Υπάρχουν δύο βασικές μεθοδολογίες διατύπωσης εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στα όρια του προβλήματος ώστε ο τελικός αριθμός των αγνώστων να ισούται με τον αριθμό των αλγεβρικών εξισώσεων j j-1 x=0 (i=0) x=δx (i=1) x=δx (i=) Διακριτοποίηση στο όριο x 0 66

15 Η απλούστερη μεθοδολογία είναι η αντικατάσταση της οριακής συνθήκης με μια εξίσωση πεπερασμένων διαφορών Για παράδειγμα εφαρμόζοντας μια πρόδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 1 ης τάξης προκύπτει για τον τυχαίο οριακό κόμβο 0, j η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών u1, j u0, j xu0, j x O x Εναλλακτικά, προσεγγίζοντας τη πρώτη παράγωγο με μια πρόδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης βρίσκουμε u, j 4u1, j 3u0, j xu0, j x O x Οι εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών των οριακών κόμβων κλείνουν το αλγεβρικό σύστημα των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών δηλαδή ο αριθμός των εξισώσεων ισούται με τον αριθμό των αγνώστων 60

16 Μια δεύτερη βελτιωμένη μεθοδολογία είναι αυτή που βασίζεται όχι μόνο στην οριακή συνθήκη αλλά και στη διαφορική εξίσωση Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η συμβατότητα των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών μεταξύ εσωτερικών και οριακών κόμβων όχι μόνο ως προς την ακρίβεια αλλά και ως προς την δομή των εξισώσεων Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor u x u 1, j 0, j 0, j x x 0, j u u x O x 3 u u 1, j 0, j x x x u u x Ox 0, j 0, j Αντικαθιστώντας την πρώτη παράγωγο από την οριακή συνθήκη προκύπτει u x u1, j x u0, j bx O x x 0, j 1 61

17 Στη συνέχεια προσεγγίζεται η εξίσωση Laplace με εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών στους οριακούς κόμβους 0, j, j 1,, J 1 Η δεύτερη παράγωγος u xx αντικαθίσταται με την παραπάνω σχέση και προκύπτουν οι εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών για τους οριακούς κόμβους: x u u u u x1u bx 0, j 1,, J 1 y 0, j1 0, j 0, j1 1, j 0, j Η μεθοδολογία αυτή θα οδηγήσει σε καλύτερα αποτελέσματα αλλά η ακρίβεια παραμένει 1 ης τάξης Εάν συμπεριλάβουμε στο ανάπτυγμα Taylor όρους 3 ης τάξης τότε η ακρίβεια των εκφράσεων πεπερασμένων διαφορών για τη δεύτερη παράγωγο θα είναι ης τάξης και συμβατή με την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος Από τα παραπάνω παραδείγματα φαίνεται ότι η διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στα όρια του προβλήματος είναι μια διαδικασία σύνθετη και επίπονη αλλά τελείως απαραίτητη ώστε να εξασφαλίζεται η αξιοπιστία του αριθμητικού σχήματος 6

18 Στο σημείο αυτό θα αναφερθούμε συνοπτικά στη περίπτωση των μη κανονικών ορίων Όταν η γεωμετρία του προβλήματος είναι απλή τότε είναι σχετικά απλό να επιλέξουμε το υπολογιστικό πλέγμα με τρόπο ώστε οι οριακοί κόμβοι του πλέγματος να ευρίσκονται πάνω στο φυσικό όριο του προβλήματος Όμως πολλές φορές αυτό δεν είναι εφικτό όπως όταν έχουμε καμπυλόγραμμα φυσικά όρια και χρησιμοποιούμε ορθογώνια πλέγματα Στην περίπτωση αυτή αναφερόμεθα στα όρια του προβλήματος σαν μη κανονικά όρια Το αντικείμενο της ορθολογικής προσαρμογής του πλέγματος στα φυσικά όρια του προβλήματος αποτελεί σύγχρονο πεδίο έρευνας που αντιμετωπίζεται με την εφαρμογή σύνθετων μαθηματικών και υπολογιστικών εργαλείων Στη παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μία πολύ απλή μεθοδολογία που μπορεί να καλύψει μερικώς το συγκεκριμένο πρόβλημα Έστω ότι ζητείται η υπολογιστική λύση της εξίσωσης Laplace σε ένα χωρίο που περικλείεται από ένα καμπυλόγραμμο όριο με οριακές συνθήκες Dirichlet Το υπολογιστικό πλέγμα είναι ορθογώνιο 63

19 Παρατηρούμε ότι πάνω στο φυσικό όριο του προβλήματος δεν έχουμε κόμβους Στην συγκεκριμένη περίπτωση αυτό δεν αποτελεί ιδιαίτερο πρόβλημα αφού οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet Όμως, παρατηρούμε επίσης ότι υπάρχουν εσωτερικοί κόμβοι, όπως ο κόμβος 1 που δεν ισαπέχει από τα γειτονικά του σημεία Η διατύπωση των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για κόμβους όπως ο κόμβος 1 θα γίνει με μία μεθοδολογία ελαφρώς τροποποιημένη σε σχέση με την γενικευμένη μεθοδολογία για τους υπόλοιπους εσωτερικούς κόμβους 3 ah h 1 Καμπυλόγραμμο όριο και ορθογώνιο υπολογιστικό πλέγμα A h bh B 59

20 Θεωρούμε xy h και ορίζουμε τις αποστάσεις ανάμεσα στον κόμβο 1 και στους κόμβους Α και Β με h και h αντίστοιχα, όπου, 1 Εφαρμόζοντας αναπτύγματα Taylor και διατηρώντας όρους μέχρι και ης έχουμε ότι h 3 h 3 ua u1 huy uyy Oh! u3 u1huy uyy Oh! τάξης h 3 ub u1 hux uxx Oh! h 3 u3 u1hux uxx Oh! Συνδυάζοντας τα αναπτύγματα καταλήγουμε στην εξής προσέγγιση της εξίσωσης Laplace στον κόμβο 1: u u u u3 ua u u B 1 x y h Oh 60

21 Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όλους τους κόμβους του πλέγματος που είναι αντίστοιχοι του κόμβου 1 και γειτνιάζουν με το φυσικό όριο Βεβαίως θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η ακρίβεια είναι 1 ης τάξης Η αντίστοιχη επεξεργασία όταν εμπλέκονται οριακές συνθήκες Newmann ή μικτές είναι αρκετά πιο πολύπλοκη 61

22 74 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες Παρουσιάζονται οι βασικές τροποποιήσεις στη μεθοδολογία ώστε η μέθοδος να επεκταθεί αρχικά σε κυλινδρικές και στη συνέχεια σε σφαιρικές συντεταγμένες Έστω ότι ζητείται η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u 1u 1 u u r r r r z 0 στο πεδίο ορισμού : 0 r R, 0, 0 z L, με οριακές συνθήκες τύπου u r,,0 u r,, L u u R,, z u u R,0, z u R,, z u Dirichlet 0, 1 και 6

23 Το πλέγμα είναι τρισδιάστατο και ο κάθε κόμβος i, j, k του πλέγματος προσδιορίζεται από τη τριάδα σημείων ri, j, zk, για i 0,1,, I, j 0,1,, J και k 0,1,, K Συνολικά έχουμε I 1 J 1 K 1 κόμβους Αντίστοιχα οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις,, u r,, z u ir, j, kz ui j k u 1 u 0 u u 0 i+1,j+1,k+1 i,j+1,k+1 Πεδίο ορισμού και υπολογιστικό πλέγμα i+1,j+1,k i,j+1,k i,j,k i+1,j,k i,j,k+1 i+1,j,k+1 59

24 Η ΜΔΕ διακριτοποιείται στον τυχαίο κόμβο του πλέγματος i, j, k : u 1 u 1 u u 0, r r r r z i,j,k i i,j,k i i,j,k i,j,k Εφαρμόζοντας κεντρώες σχέσεις πεπερασμένων διαφορών και παρατηρώντας ότι i r προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ri ui 1, jk, ui, jk, ui 1, jk, 1 ui 1, jk, ui 1, jk, 1 ui, j1, kui, jk, ui, j1, k ui, jk, 1 ui, jk, ui, jk, 1 r ir r ir z για i 1,,, I 1, j 1,,, J 1 και k 1,,, K 1 Παρατηρούμε ότι σε κάθε εξίσωση πεπερασμένων διαφορών έχουμε επτά μη μηδενικούς όρους Το αλγεβρικό σύστημα επιλύεται με μία επαναληπτική μέθοδο και προκύπτουν οι άγνωστες ποσότητες u i, j, kστους εσωτερικούς κόμβους 0 60

25 Η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών σε κυλινδρικές συντεταγμένες απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή όταν κρίνεται αναγκαία η διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για τους κόμβους που βρίσκονται στον άξονα r 0 Σημειώνεται ότι ο Λαπλασιανός τελεστής δεν ορίζεται για r 0 Θα εξετάσουμε το θέμα αυτό στην ειδική περίπτωση της αξονοσυμμετρικής συμμετρίας Έστω ότι ζητείται η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u 1 u u r r r z 0 στο πεδίο ορισμού 0 r R, 0 z L, με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet u r,0 u r, L 0 u R, z u στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου και τη, 0 συνθήκη συμμετρίας u r r 0 0 στο άξονα συμμετρίας 61

26 z=l z=l 0 r=0 r=r u r =0 u o z=0 z=0 r=0 0 r=r Σχήμα 46: Αξονοσυμμετρικό υπολογιστικό πλέγμα Θεωρώντας r z η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών γράφεται στη μορφή ui1, k1 ui1, k4uik, uik, 1 uik, 1 0 i i Ισχύει για τους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος i 1,,, I 1 και k 1,,, K 1 6

27 Δεν ισχύει για τους κόμβους που βρίσκονται στον άξονα του κυλίνδρου και το αλγεβρικό σύστημα έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις Το πρόβλημα παρακάμπτεται εφαρμόζοντας τη συμμετρική οριακή συνθήκη στο r 0: u r r 0 u u 0 u u 1, k 0, k 1, k 0, k, k 1,,, K 1 Όμως οι παραπάνω σχέσεις είναι 1 ης τάξης και αλλοιώνεται η ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος που είναι ης τάξης Η ανακολουθία αυτή διορθώνεται ως εξής: Παρατηρούμε ότι καθώς το r 0 και ο αριθμητής του ιδιόμορφου όρου της ΜΔΕ επίσης τείνει στο μηδέν Κανόνας Ηospital: lim r 0 u r r u r 63

28 Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στην εξίσωση (465) προκύπτει στο r 0 η αναλυτική ΜΔΕ εξίσωση u u 0 rr zz Εφαρμόζοντας κεντρώες πεπερασμένες διαφορές σε συνδυασμό με τη συμμετρία της λύσης ως προς τον άξονα του κυλίνδρου προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ( r z) u, k u1, k u1, k1 u1, k u1, k 0, k 1,,, K 1 Οι εξισώσεις είναι ης τάξης και είναι συμβατές ως προς την ακρίβεια και ως προς την δομή με τις εξισώσεις των υπολοίπων εσωτερικών κόμβων Η επίλυση ελλειπτικών εξισώσεων σε σφαιρικές συντεταγμένες ακολουθεί τους ίδιους ακριβώς κανόνες όπως στις κυλινδρικές συντεταγμένες 64