Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος"

Κλείτος Βαρουξής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = x e + z dv όπου = [, ] [,] [,] Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο χωρίο = [, ] [,] [,] Η σειρά ολοκλήρωσης δεν έχει σημασία. Επιλέγουμε αυθαίρετα να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς x, έπειτα ως προς και τέλος ως προς z. I = x e + z dx d dz = x e + z dx d dz = x= = x xe + xz d dz = e + 6z d dz = x= = = e + 6z d dz = e + 6z dz = = z= 6 e 6z dz 6z ez z = 6 e z= = + = + Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = z dv όπου το τρισδιάστατο χωρίο στο πρώτο όγδοο των αξόνων που περικλείεται από τον κύλινδρο επίπεδα = x και x =. Το χωρίο ολοκλήρωσης φαίνεται στο σχήμα: + z και τα

2 Το χωρίο είναι z-απλό, επομένως προτιμούμε να κάνουμε πρώτα την ολοκλήρωση ως προς z. Θα πρέπει να προσδιορίσουμε τα όρια του z μεταξύ επιφανειών. Προφανώς το κάτω όριο του z είναι το επίπεδο z = και το άνω όριο βρίσκεται πάνω στον κύλινδρο με εξίσωση + z = την οποία πρέπει να επιλύσουμε ως προς z: z = Επομένως z Έτσι έχουμε z= z I = z dv = z dz da= da ( ) da = R R z= R Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα που προέκυψε. Θέτοντας z= σε όλες τις εξισώσεις του συνόρου του χωρίου παίρνουμε την προβολή τους στο επίπεδο xo. Επομένως η προβολή του στο xo επίπεδο είναι το χωρίο R που παρουσιάζεται στο επόμενο σχήμα: To χωρίο R είναι και x-απλό και -απλό. Επιλέγουμε αυθαίρετα να κάνουμε πρώτα την ολοκλήρωση ως προς x και έπειτα ως προς. Θα πρέπει να προσδιορίσουμε τα όρια του x μεταξύ καμπυλών. Το αριστερό όριο θα είναι η ευθεία x= και το δεξιό όριο η ευθεία x=. Επομένως x Τέλος τα όρια του θα είναι δύο απλά σημεία. Προφανώς όπως φαίνεται από το σχήμα είναι: Άρα x= I = ( ) dx d = dx d = x d = d x= = = = = 8 = Παράδειγμα Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού χωρίου το οποίο βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια z = 5 x, πάνω από το επίπεδο xo και περικλείεται από τον κύλινδρο x + = 9

3 Το χωρίο ολοκλήρωσης φαίνεται στο σχήμα: Η προβολή του στο xo επίπεδο είναι το χωρίο R που είναι κύκλος με ακτίνα. Το χωρίο είναι z-απλό, και το R ακτινικά απλό επομένως προτιμούμε να χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες ή ισοδύναμα θα ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς z και έπειτα θα χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες για να υπολογίσουμε το διπλό ολοκλήρωμα που προκύπτει. Αρχικά θα πρέπει να προσδιορίσουμε τα όρια του z μεταξύ επιφανειών. Προφανώς το κάτω όριο του z είναι το επίπεδο z = και το άνω όριο βρίσκεται πάνω στον ημισφαίριο με εξίσωση z = 5 x, την οποία πρέπει να εκφράσουμε στις πολικές συντεταγμένες. Επομένως z 5 r Έτσι έχουμε 5 r z= 5 r V = dv = dz da= [ z] da = 5 r da z= R R R Θα υπολογίσουμε τώρα το διπλό ολοκλήρωμα σε πολικές συντεταγμένες. Προφανώς τα όρια των r και θ στο χωρίο R είναι αντίστοιχα: r και θ π Έτσι παίρνουμε: π π V = 5 r rdrdθ = dθ 5 r rdr = π 5 r d( 5 r ) = / r= 6 = π (5 ) = π = π κµ.. r r=

4 Παράδειγμα Να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού χωρίου το οποίο βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια x + + z =6, και πάνω από τον κώνο Το χωρίο ολοκλήρωσης φαίνεται στο σχήμα: z = x + Επειδή το χωρίο περικλείεται από σφαίρα και κώνο θα χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες. Θέτουμε x = ρcosθsinϕ = ρsinθsinϕ z = ρcosϕ στις εξισώσεις της σφαίρας cos sin + sin sin + cos = 6 ρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ ϕ ( ) sin cos + sin + cos = 6 ρ ϕ θ θ ρ ϕ ( ) sin + cos = 6 sin + cos = 6 ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρ = 6 ρ = και του κώνου cos = cos sin + sin sin ρ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ϕ ( ) cos = sin cos + sin ρ ϕ ρ ϕ θ θ ρcosϕ = ρ sin ϕ ρcosϕ = ρsinϕ π cosϕ = sinϕ tanϕ = ϕ = Έτσι θα είναι

5 ππ/ π π/ V = dv = ρ sinϕdρdϕdθ = dθ sinϕdϕ ρ dρ = π / ρ 8 = π[ cosϕ].. π κµ = Παράδειγμα 5 Να υπολογισθεί η μάζα του στερεού χωρίου, το οποίο βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια z =, και πάνω από τον κώνο από την συνάρτηση ( ) dxz (,, ) = k x + + z, k Το χωρίο ολοκλήρωσης φαίνεται στο σχήμα: z = x + αν η πυκνότητά του δίνεται z = ρ = cosϕ Θα χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες. Θέτουμε x = ρcosθsinϕ = ρsinθsinϕ z = ρcosϕ στις εξισώσεις του επιπέδου και του κώνου και παίρνουμε αντίστοιχα: ρcosϕ = ρ = cosϕ και π ϕ = (όπως στο προηγούμενο παράδειγμα) Επίσης η συνάρτηση πυκνότητας σε σφαιρικές συντεταγμένες θα γίνει: 5

6 d = k( ρ cos θsin ϕ+ ρ sin θsin ϕ+ ρ cos ϕ) d = k( ρ sin ϕ( cos θ + sin θ) + ρ cos ϕ) d = k( ρ sin ϕ+ ρ cos ϕ) d = kρ ( sin ϕ+ cos ϕ) d = kρ Έτσι θα είναι ππ/ /cosϕ ππ/ /cosϕ Μ= d( x,, z) dv = kρ ρ sinϕdρdϕdθ = k ρ sinϕdρ dϕdθ = ππ/ 5 ρ= /cosϕ ππ/ π π/ ρ tanϕ tanϕ = k sinϕ d d k d d k d d 5 ϕ θ = ϕ θ = θ ϕ 5 cos ϕ 5 = cos ϕ ρ = π/ π/ π/ tanϕ sinϕ = k 5 π dϕ k π dϕ k π cos ϕd(cos ϕ) 5 5 = cos ϕ 5 = = cos ϕ 5 π / = k π = k π = kπ 5 cos ϕ 5 5 6

Σχετικά έγγραφα

x 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5

x 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5 1 Επαναληπτικές Ασκήσεις 19-1-18 Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x.