ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής. ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια. Σήματα και Συστήματα

Transcript

1

2 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ Καθηγητής ΜΑΡΙΑ ΑΔΑΜ Επίκουρη Καθηγήτρια Σήματα και Συστήματα

3 Σήματα και Συστήματα Συγγραφή Νικόλαος Ασημάκης Μαρία Αδάμ Κριτικός αναγνώστης Δημήτριος Βέντζας Συντελεστές έκδοσης Γλωσσική Επιμέλεια: Έλενα Μανιάτη, Νικόλαος Ασημάκης Γραφιστική Επιμέλεια: Ευδοξία Κοκκίνου, Ευμορφία Κρήτου Τεχνική Επεξεργασία: Ευδοξία Κοκκίνου, Ευμορφία Κρήτου ISBN: Copyright ΣΕΑΒ, 5 Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commos Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3 Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 578 Ζωγράφου wwwkalliposgr

4 3 Στη Φραντζέσκα

5 Πίνακας περιεχομένων Πίνακας περιεχομένων 4 Λίστα πινάκων 3 Λίστα σχημάτων 4 Λίστα ηχογραφήσεων 6 Λίστα διαδραστικών προγραμμάτων 7 Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια 9 Πρόλογος Εισαγωγή Κεφάλαιο Σήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου 3 Ταξινόμηση σημάτων 3 Σήματα διακριτού χρόνου 6 Το σήμα διακριτού χρόνου ως ακολουθία 6 Διάρκεια σημάτων διακριτού χρόνου 6 3 Αιτιότητα σημάτων διακριτού χρόνου 7 4 Περιοδικότητα σημάτων διακριτού χρόνου 7 5 Συμμετρία σημάτων διακριτού χρόνου 7 5 Συμμετρία πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου 7 5 Ειδική συμμετρία πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου 8 53 Συμμετρία μιγαδικού σήματος διακριτού χρόνου 8 6 Βασικά σήματα διακριτού χρόνου 8 6 Σήμα μοναδιαίου δείγματος 8 6 Σήμα μοναδιαίου βήματος 9 63 Ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου 3 64 Πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου 3 65 Φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Μοναδιαίο εναλλακτικό σήμα Σήμα μέγιστης παλινδρόμησης Σήμα μοναδιαίας κλίσης 38 7 Ενέργεια και Ισχύς σημάτων διακριτού χρόνου 39 8 Η συχνότητα στα σήματα διακριτού χρόνου 4 9 Σήματα διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον 4 3 Σήματα συνεχούς χρόνου 43 3 Το σήμα συνεχούς χρόνου ως συνάρτηση 43 4

6 3 Διάρκεια σημάτων συνεχούς χρόνου Αιτιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου Περιοδικότητα σημάτων συνεχούς χρόνου Συμμετρία Συμμετρία πραγματικού σήματος συνεχούς χρόνου Συμμετρία μιγαδικού σήματος συνεχούς χρόνου Βασικά σήματα συνεχούς χρόνου Σήμα μοναδιαίου παλμού Μοναδιαίο βηματικό σήμα Ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου Πραγματικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου Φανταστικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου Μιγαδικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου 5 37 Ενέργεια και Ισχύς σημάτων συνεχούς χρόνου 5 38 Η συχνότητα στα σήματα συνεχούς χρόνου 5 39 Σήματα συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον 5 4 Δειγματοληψία 5 4 Μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό 5 4 Περιοδική Δειγματοληψία 5 43 Θεώρημα δειγματοληψίας Ανακατασκευή αναλογικού σήματος από τα δείγματα 55 5 Λυμένες Ασκήσεις 55 6 Ασκήσεις 59 7 Εργαστηριακές Ασκήσεις 6 8 Περίληψη (ηχογραφημένη) 64 Βιβλιογραφία/Αναφορές 65 Κριτήρια αξιολόγησης 66 Κεφάλαιο Πράξεις σημάτων διακριτού και συνεχούς χρόνου 67 Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου 67 Ταξινόμηση πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου 67 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους 67 Πρόσθεση σημάτων 67 Πολλαπλασιασμός σημάτων 68 3 Κλιμάκωση στο πλάτος 69 3 Πράξεις μετασχηματισμού χρόνου 7 3 Μετατόπιση ή ολίσθηση 7 3 Αναδίπλωση ή ανάκλαση 7 33 Κλιμάκωση στον χρόνο 7 5

7 4 Προτεραιότητα πράξεων μετασχηματισμού χρόνου σημάτων διακριτού χρόνου 74 5 Ανάλυση σημάτων διακριτού χρόνου 77 6 Γραμμική συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου 78 6 Ορισμός γραμμικής συνέλιξης 78 6 Γραμμική συνέλιξη σημάτων άπειρης διάρκειας Γραμμική συνέλιξη σημάτων πεπερασμένης διάρκειας Ιδιότητες γραμμικής συνέλιξης 8 7 Συσχέτιση σημάτων διακριτού χρόνου 86 7 Ετεροσυσχέτιση σημάτων διακριτού χρόνου 86 7 Αυτοσυσχέτιση σήματος διακριτού χρόνου 88 8 Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον 89 Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου 9 Ταξινόμηση πράξεων σημάτων συνεχούς χρόνου 9 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους 9 Πρόσθεση σημάτων 9 Πολλαπλασιασμός σημάτων 93 3 Κλιμάκωση στο πλάτος 93 3 Πράξεις μετασχηματισμού χρόνου 93 3 Μετατόπιση ή ολίσθηση 93 3 Αναδίπλωση ή Ανάκλαση Κλιμάκωση στον χρόνο 95 4 Ανάλυση σημάτων συνεχούς χρόνου 97 5 Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου 97 5 Ορισμός συνέλιξης 97 5 Υπολογισμός συνέλιξης Ιδιότητες συνέλιξης 6 Συσχέτιση σημάτων συνεχούς χρόνου 6 Ετεροσυσχέτιση σημάτων συνεχούς χρόνου 6 Αυτοσυσχέτιση σήματος συνεχούς χρόνου 3 Λυμένες ασκήσεις 4 Ασκήσεις 5 5 Εργαστηριακές Ασκήσεις 8 6 Περίληψη (ηχογραφημένη) 4 7 Λογισμικό υπολογισμού πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου 5 Βιβλιογραφία/Αναφορές 6 Κριτήρια αξιολόγησης 7 Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου 8 3 Συστήματα διακριτού χρόνου 8 6

8 3 Ορισμός 8 3 Ιδιότητες συστημάτων διακριτού χρόνου 8 3 Αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης 8 3 Ομογένεια 9 33 Γραμμικότητα 9 34 Χρονική Αμεταβλητότητα 35 Γραμμικότητα και Χρονική Αμεταβλητότητα 36 Αιτιότητα 37 Ευστάθεια 38 Αντιστρεψιμότητα 33 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα LTI Συστήματα 33 Κρουστική απόκριση 33 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σύνδεση συστημάτων παράλληλα 4 34 Γραμμικές εξισώσεις διαφορών 5 34 Αναπαράσταση LTI συστημάτων με γραμμικές εξισώσεις διαφορών 5 34 Συστήματα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης FIR φίλτρα Συστήματα άπειρης κρουστικής απόκρισης IIR φίλτρα Επίλυση εξισώσεων διαφορών για IIR φίλτρα Φίλτρο μέσης τιμής Συστήματα διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον 38 3 Συστήματα συνεχούς χρόνου 38 3 Ορισμός 38 3 Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς χρόνου 39 3 Αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης 39 3 Ομογένεια Γραμμικότητα Χρονική Αμεταβλητότητα Γραμμικότητα και Χρονική Αμεταβλητότητα 4 36 Αιτιότητα 4 37 Ευστάθεια 4 38 Αντιστρεψιμότητα 4 33 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα LTI Συστήματα 4 33 Απόκριση μοναδιαίου παλμού 4 33 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Αναπαράσταση LTI συστημάτων με διαφορικές εξισώσεις Συστήματα συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον 45 7

9 33 Λυμένες Ασκήσεις Ασκήσεις Εργαστηριακές Ασκήσεις 5 36 Περίληψη (ηχογραφημένη) 54 Βιβλιογραφία/Αναφορές 55 Κριτήρια αξιολόγησης 56 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας 57 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου 57 4 Ορισμός μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου 57 4 Ύπαρξη μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου 6 45 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου 6 45 Γραμμικότητα 6 45 Μετατόπιση στον χρόνο Αναδίπλωση Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη Μιγαδική συζυγία Θεώρημα Parseval (αρχή διατήρησης της ενέργειας) Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου Συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου 66 4 Απόκριση συχνότητας 67 4 Ορισμός της απόκρισης συχνότητας 67 4 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω απόκρισης συχνότητας 7 43 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά 7 44 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα 7 45 Επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Φίλτρα επιλογής συχνοτήτων Φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Φίλτρα γραμμικής φάσης 8 43 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον 8 44 Λυμένες Ασκήσεις Ασκήσεις Εργαστηριακές Ασκήσεις Περίληψη (ηχογραφημένη) 9 Βιβλιογραφία/Αναφορές 93 Κριτήρια αξιολόγησης 94 8

10 Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς 95 5 Μετασχηματισμός z 95 5 Ορισμός μετασχηματισμού z 95 5 Περιοχή Σύγκλισης Υπολογισμός μετασχηματισμού z Ζεύγη μετασχηματισμού z Ιδιότητες μετασχηματισμού z 55 Γραμμικότητα 55 Μετατόπιση στον χρόνο 553 Αναδίπλωση 554 Μετατόπιση στη συχνότητα 555 Συνέλιξη 56 Αντίστροφος μετασχηματισμός z 3 57Συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού z 6 58 Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής 7 59 Μονόπλευρος μετασχηματισμός z 8 5 Συνάρτηση μεταφοράς 5 Ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς 5 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω συνάρτησης μεταφοράς 53 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά 3 54 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα 4 55 Επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού z 5 56 Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου 7 57 Ευστάθεια συστημάτων διακριτού χρόνου και μετασχηματισμός z 8 58 Σύστημα ανάδρασης 9 59 Ακολουθία Fiboacci και συνάρτηση μεταφοράς 53 Μετασχηματισμός z σε προγραμματιστικό περιβάλλον 3 54 Λυμένες Ασκήσεις 4 55 Ασκήσεις 7 56 Εργαστηριακές Ασκήσεις 8 57 Περίληψη (ηχογραφημένη) 3 Βιβλιογραφία/Αναφορές 3 Κριτήρια αξιολόγησης 33 Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων 34 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου 34 6 Ορισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου 34 6 Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου 39 9

11 64 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Γραμμικότητα Μετατόπιση στον χρόνο Αναδίπλωση Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη Κλιμάκωση στον χρόνο Παραγώγιση Θεώρημα Parseval (αρχή διατήρησης της ενέργειας) 4 65 Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον 44 6 Απόκρισησυχνοτήτων 45 6 Ορισμός της απόκρισης συχνοτήτων 45 6 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω απόκρισης συχνοτήτων Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Λυμένες Ασκήσεις Ασκήσεις Εργαστηριακές Ασκήσεις Περίληψη (ηχογραφημένη) 57 Βιβλιογραφία/Αναφορές 58 Κριτήρια αξιολόγησης 59 Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς 6 7 Μετασχηματισμός Laplace 6 7 Ορισμός μετασχηματισμού Laplace 6 7 Περιοχή Σύγκλισης 6 73 Ζεύγη μετασχηματισμού Laplace 6 74 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace 6 74 Γραμμικότητα 6 74 Μετατόπιση στον χρόνο Κλιμάκωση στον χρόνο Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη Παραγώγιση Υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής 7

12 79 Μετασχηματισμός Laplace σε προγραμματιστικό περιβάλλον 7 7 Συνάρτηση μεταφοράς 7 7 Ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς 7 7 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω συνάρτησης μεταφοράς 7 73 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ευστάθεια συστημάτων συνεχούς χρόνου Συνάρτηση μεταφοράς σε προγραμματιστικό περιβάλλον Λυμένες Ασκήσεις Ασκήσεις 8 75 Εργαστηριακές Ασκήσεις 8 76 Περίληψη (ηχογραφημένη) 84 Βιβλιογραφία/Αναφορές 85 Κριτήρια αξιολόγησης 86 Κεφάλαιο 8 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier και Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier 87 8 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier 87 8 Ορισμός διακριτού μετασχηματισμού Fourier 87 8 Υπολογισμός διακριτού μετασχηματισμού Fourier Υπολογισμός αντίστροφου διακριτού μετασχηματισμού Fourier Κυκλική συνέλιξη Υπολογισμός κυκλικής συνέλιξης 9 84 Σχέση γραμμικής και κυκλικής συνέλιξης 9 85 Ιδιότητες διακριτού μετασχηματισμού Fourier 9 86 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier σε προγραμματιστικό περιβάλλον 93 8 Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier 94 8 Ορισμός γρήγορου μετασχηματισμού Fourier 94 8 FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο FFT με αποδεκάτιση στη συχνότητα FFT με βάση r 3 85 FFT πρώτων παραγόντων Απόκριση συχνότητας FIR φίλτρων και FFT Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier σε προγραμματιστικό περιβάλλον Λυμένες Ασκήσεις Ασκήσεις 3 85 Εργαστηριακές Ασκήσεις 3 86 Περίληψη (ηχογραφημένη) 36 Βιβλιογραφία/Αναφορές 37 Κριτήρια αξιολόγησης 38

13 Παράρτημα Α Τυπολόγιο 39 Παράρτημα Β Συναρτήσεις 343 Παράρτημα Γ Απαντήσεις/Λύσεις διαδραστικών προγραμμάτων 346 Ευρετήριο 368

14 Λίστα πινάκων Πίνακας Κατηγορίες σημάτων Πίνακας Διάρκεια σημάτων διακριτού χρόνου Πίνακας 3 Συμμετρία σημάτων πεπερασμένης διάρκειας Πίνακας 4 Η συχνότητα στα σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου Πίνακας Μετατόπιση, Αναδίπλωση και Κλιμάκωση στον χρόνο Πίνακας 3 Μερική λύση εξισώσεων διαφορών Πίνακας 4 Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Πίνακας 4 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Πίνακας 43 Τύποι φίλτρων γραμμικής φάσης Πίνακας 5 Ζεύγη μετασχηματισμού z Πίνακας 5 Ιδιότητες του μετασχηματισμού z Πίνακας 6 Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Πίνακας 6 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Πίνακας 7 Ζεύγη μετασχηματισμού Laplace Πίνακας 7 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace Πίνακας 8 Ιδιότητες διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) Πίνακας 8 Αναδιάταξη δεικτών με αντιστροφή bit Πίνακας 83 Πολυπλοκότητα DFT και FFT με αποδεκάτιση στον χρόνο / στη συχνότητα 3

15 Λίστα σχημάτων Σχήμα Σήμα διακριτού χρόνου Σχήμα Σήμα συνεχούς χρόνου Σχήμα 3 Σήμα μοναδιαίου δείγματος Σχήμα 4 Σήμα μοναδιαίου βήματος Σχήμα 5 Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου Σχήμα 6 Μη περιοδικό ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου Σχήμα 7 Πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Σχήμα 8 Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Σχήμα 9 Μη περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Σχήμα Μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Σχήμα Μοναδιαίο εναλλακτικό σήμα Σχήμα Σήμα μέγιστης παλινδρόμησης Σχήμα 3 Σήμα μοναδιαίας κλίσης Σχήμα 4 Μεταβολή φάσης ημιτονοειδούς σήματος συνεχούς χρόνου Σχήμα 5 Μεταβολή συχνότητας ημιτονοειδούς σήματος συνεχούς χρόνου Σχήμα 6 Πραγματικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου Σχήμα Πρόσθεση σημάτων διακριτού χρόνου Σχήμα Πολλαπλασιασμός σημάτων διακριτού χρόνου Σχήμα 3 Κλιμάκωση στο πλάτος σήματος διακριτού χρόνου Σχήμα 4 Μετατόπιση Σχήμα 5 Αναδίπλωση Σχήμα 6 Κλιμάκωση στον χρόνο: διαίρεση συχνότητας Σχήμα 7 Κλιμάκωση στον χρόνο: πολλαπλασιασμός συχνότητας Σχήμα 8 Μετατόπιση και αναδίπλωση Σχήμα 9 Γραμμική συνέλιξη Σχήμα Ταυτοτικό στοιχείο γραμμικής συνέλιξης Σχήμα Αντιμεταθετική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης Σχήμα Προσεταιριστική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης Σχήμα 3 Επιμεριστική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης Σχήμα 4 Αυτοσυσχέτιση Σχήμα 5 Μετατόπιση ή ολίσθηση Σχήμα 6 Αναδίπλωση ή ανάκλαση Σχήμα 7 Κλιμάκωση στον χρόνο: συστολή Σχήμα 8 Κλιμάκωση στον χρόνο: διαστολή Σχήμα 9 Υπολογισμός συνέλιξης σημάτων συνεχούς χρόνου με εμβαδά Σχήμα Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου Σχήμα 3 Σύστημα διακριτού χρόνου Σχήμα 3 Κρουστική απόκριση Σχήμα 33 LTI σύστημα διακριτού χρόνου Σχήμα 34 Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου σε σειρά Σχήμα 35 Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου παράλληλα Σχήμα 36 FIR φίλτρο Σχήμα 37 IIR-AR φίλτρο Σχήμα 38 IIR-ARMA φίλτρο Σχήμα 39 FIR φίλτρο μέσης τιμής Σχήμα 3 Σύστημα συνεχούς χρόνου Σχήμα 3 Απόκριση μοναδιαίου παλμού Σχήμα 3 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Σχήμα 33 Σύνδεση συστημάτων συνεχούς χρόνου σε σειρά Σχήμα 34 Σύνδεση συστημάτων συνεχούς χρόνου παράλληλα Σχήμα 35 Είσοδος και απόκριση LTI συστήματος συνεχούς χρόνου 4

16 Σχήμα 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου Σχήμα 4 Περιοδικότητα μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Σχήμα 43 Μετατόπιση στη συχνότητα Σχήμα 44 Συνέλιξη Σχήμα 45 Απόκριση συχνότητας LTI συστήματος Σχήμα 46 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σχήμα 47 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Σχήμα 48 AllPass φίλτρο Σχήμα 49 LowPass φίλτρο Σχήμα 4 HighPass φίλτρο Σχήμα 4 Bad Pass φίλτρο Σχήμα 4 Bad Stop φίλτρο Σχήμα 43 FIR φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Σχήμα 44 IIR φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Σχήμα 5 Πόλοι και Μηδενικά μετασχηματισμού z Σχήμα 5 Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστήματος Σχήμα 53 Πόλοι και Μηδενικά συνάρτησης μεταφοράς Σχήμα 54 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σχήμα 55 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Σχήμα 56 Σύστημα ανάδρασης Σχήμα 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου ως πραγματική συνάρτηση Σχήμα 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου ως μιγαδική συνάρτηση Σχήμα 63 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σχήμα 64 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Σχήμα 65 Τριγωνικό σήμα συνεχούς χρόνου της άσκησης Σχήμα 66 Ο μετασχηματισμός Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του τριγωνικού σήματος συνεχούς χρόνου Σχήμα 7 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Σχήμα 7 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Σχήμα 73 Απόκριση μοναδιαίου παλμού ευσταθούς LTI συστήματος συνεχούς χρόνου Σχήμα 74 Απόκριση LTI συστήματος συνεχούς χρόνου Σχήμα 8 Η πεταλούδα DIT Σχήμα 8 Διάγραμμα ροής DIT FFT 4 σημείων Σχήμα 83 Η πεταλούδα DIF Σχήμα 84 Διάγραμμα ροής DIF FFT 4 σημείων Σχήμα 85 Κρουστική απόκριση φίλτρου Ha Σχήμα 86 Απόκριση συχνότητας φίλτρου Ha Σχήμα 87 Διάγραμμα ροής DIT FFT 8 σημείων Σχήμα 88 Διάγραμμα ροής DIF FFT 8 σημείων 5

17 Λίστα ηχογραφήσεων Ήχος Περίληψη Κεφαλαίου Ήχος Περίληψη Κεφαλαίου Ήχος 3 Περίληψη Κεφαλαίου 3 Ήχος 4 Περίληψη Κεφαλαίου 4 Ήχος 5 Περίληψη Κεφαλαίου 5 Ήχος 6 Περίληψη Κεφαλαίου 6 Ήχος 7 Περίληψη Κεφαλαίου 7 Ήχος 8 Περίληψη Κεφαλαίου 8 6

18 Λίστα διαδραστικών προγραμμάτων Διαδραστικό πρόγραμμα Συμμετρία πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα Ειδική συμμετρία πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Περιοδικότητα ημιτονοειδούς σήματος διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Κεφάλαιο Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 5 Κεφάλαιο Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα Μετατόπιση σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα Αναδίπλωση σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Κλιμάκωση στον χρόνο σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Γραμμική Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 5 Λογισμικό υπολογισμού πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Κεφάλαιο Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 7 Κεφάλαιο Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 8 Κεφάλαιο Κριτήριο αξιολόγησης 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 9 Κεφάλαιο Κριτήριο αξιολόγησης 4 Διαδραστικό πρόγραμμα 3 FIR φίλτρα Διαδραστικό πρόγραμμα 3 IIR φίλτρα Διαδραστικό πρόγραμμα 33 Κεφάλαιο 3 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 34 Κεφάλαιο 3 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 35 Κεφάλαιο 3 Κριτήριο αξιολόγησης 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Φίλτρα γραμμικής φάσης Διαδραστικό πρόγραμμα 43 Κεφάλαιο 4 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 44 Κεφάλαιο 4 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 5 Μετασχηματισμός z Διαδραστικό πρόγραμμα 5 Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 53 Ευστάθεια LTI συστημάτων διακριτού χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 54 Κεφάλαιο 5 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 55 Κεφάλαιο 5 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 56 Κεφάλαιο 5 Κριτήριο αξιολόγησης 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Κεφάλαιο 6 Κριτήριο αξιολόγησης 7

19 Διαδραστικό πρόγραμμα 63 Κεφάλαιο 6 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 7 Ευστάθεια αιτιατών συστημάτων συνεχούς χρόνου Διαδραστικό πρόγραμμα 7 Κεφάλαιο 7 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 73 Κεφάλαιο 7 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 8 Κυκλική συνέλιξη Διαδραστικό πρόγραμμα 8 Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (FFT) Διαδραστικό πρόγραμμα 83 Κεφάλαιο 8 Κριτήριο αξιολόγησης Διαδραστικό πρόγραμμα 84 Κεφάλαιο 8 Κριτήριο αξιολόγησης 8

20 Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνύμια ADC AR ARMA CTFF DAC DFT DIF DIT DTFF FFT FIR ICTFT IDFF IDTFT IFFT IIR LTI MA ROC Aalog to Digital Coversio Auto Regressive Auto Regressive Movig Average Cotiuous Time Fourier Trasform Digital to Aalog Coversio Discrete Fourier Trasform Decimatio I Frequecy Decimatio I Time Discrete Time Fourier Trasform Fast Fourier Trasform Fiite duratio Impulse Respose Iverse Cotiuous Time Fourier Trasform Iverse Discrete Fourier Trasform Iverse Discrete Time Fourier Trasform Iverse Fast Fourier Trasform Ifiite duratio Impulse Respose Liear Time Ivariat Movig Average Regio Of Covergece 9

21 Πρόλογος Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές και ο βασικός σκοπός του είναι η εξοικείωση και η κατανόηση των βασικών εννοιών των σημάτων και συστημάτων με την βοήθεια των οποίων τα επεξεργαζόμαστε Για το σκοπό αυτό, στο βιβλίο αυτό οι συγγραφείς του έχουν φροντίσει, με πολύ φροντίδα, να βρουν το απαραίτητο υλικό με την μορφή θεωρίας, λυμένων και άλυτων ασκήσεων, βιβλιογραφίας και κριτηρίων αξιολόγησης Επιπλέον, για την απόκτηση της ικανότητας χρήσης και προγραμματισμού σχετικών με την επεξεργασία σημάτων αλγορίθμων στο περιβάλλον του εμπορικού λογισμικού Matlab και του λογισμικού Octave, που είναι ελεύθερος κλώνος ανοικτού κώδικα του λογισμικού Matlab, συμπεριλαμβάνονται εργαστηριακές ασκήσεις οι οποίες έχουν επιλεγεί με τρόπο ώστε να εξασφαλίζεται η εφαρμογή των θεωρητικών γνώσεων από το φοιτητή Η περιήγηση αρχίζει από τις βασικές έννοιες των διακριτού και συνεχούς χρόνου σημάτων και τις πράξεις που μπορούν να oρισθούν μεταξύ αυτών, και ακολουθούν οι ορισμοί των συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου Συνεχίζεται με τους μετασχηματισμούς Fourier σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου και η χρήση τους στον ορισμό της απόκρισης συχνοτήτων των αντίστοιχων συστημάτων Η έννοια, οι ιδιότητες αλλά και η χρησιμότητα της συνάρτησης μεταφοράς των συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου και ο ορισμός της με την βοήθεια των μετασχηματισμών Laplace και z αντίστοιχα αποτελεί το αντικείμενο δύο επομενων κεφαλαίων του βιβλίου Τέλος ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier και ο αποδοτικός υπολογισμός του με τον Ταχύ Μετασχηματισμό Fourier αποτελεί το αντικείμενο του τελευταίου κεφαλαίου του ηλεκτρονικού βιβλίου, κλείνοντας με αυτόν τον τρόπο την περιήγηση Πρέπει (τέλος) να δοθεί ιδιαίτερο βάρος στην πολυμεσικότητα και διαδραστικότητα που διατίθενται στον εκπαιδευόμενο από το συγκεκριμένο βιβλίο Ιδιαίτερη μνεία πρέπει να γίνει στις υπάρχουσες, σε κάθε κεφάλαιο, ηχογραφημένες περιλήψεις που δίνουν τη δυνατότητα στο φοιτητή να μπορεί να ακούει συγκεντρωτικά τις βασικές έννοιες και τις βασικές γνώσεις που θα αποκομίσει από την μελέτη κάθε κεφαλαίου Σε κάθε κεφάλαιο συμπεριλαμβάνονται διαδραστικά προγράμματα τα οποία έχουν επιλεγεί με τρόπο ώστε η αλληλεπίδραση να εξασφαλίζει τη σωστή κι άρτια εκπαίδευση του φοιτητή Επιπλέον, τα κριτήρια αξιολόγησης που υπάρχουν στο τέλος κάθε κεφαλαίου, δίνουν με άμεσο τρόπο στο φοιτητή τη δυνατότητα ελέγχου του επιπέδου των γνώσεων και των δεξιοτήτων που απόκτησε από την μελέτη της συγκεκριμένης ύλης Θεωρώ ότι το παρόν βιβλίο θα είναι πολύ χρήσιμο στους φοιτητές των ελληνικών πανεπιστημίων και τεχνολογικών ιδρυμάτων και θα αποτελέσει ένα από τα βασικά εργαλεία στην προσπάθειά τους για την απόκτηση της γνώσης στα αντικείμενα που θεραπεύονται μέσα στις σελίδες του Εμμανουήλ Ζ Ψαράκης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήμιο Πατρών

22 Εισαγωγή Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές και ο βασικός σκοπός του είναι η απόκτηση βασικών γνώσεων και η κατανόηση βασικών εννοιών στα Σήματα και Συστήματα Στο βιβλίο αυτό διδάσκοντες και φοιτητές θα βρουν το απαραίτητο υλικό για την κατανόηση και εμπέδωση βασικών γνώσεων και εννοιών που σχετίζονται με Σήματα και Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου καθώς και για την απόκτηση της ικανότητας χρήσης και προγραμματισμού αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται στα Σήματα και Συστήματα μέσω Εργαστηριακών Ασκήσεων Η δομή του βιβλίου περιλαμβάνει τα Κεφάλαια: Κεφάλαια Κεφάλαιο Σήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Κεφάλαιο Πράξεις σημάτωνδιακριτού και συνεχούς χρόνου Κεφάλαιο3 Συστήματα διακριτού και συνεχούςχρόνου Κεφάλαιο4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Κεφάλαιο5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplaceκαι Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο 8Διακριτός μετασχηματισμός Fourier και Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier Σε κάθε κεφάλαιο υπάρχει θεωρία, λυμένες ασκήσεις, άλυτες ασκήσεις, εργαστηριακές ασκήσεις, περίληψη, βιβλιογραφία, κριτήρια αξιολόγησης Η δομή του βιβλίου διευκολύνει την κατανομή της ύλης σε Διαλέξεις και Εργαστηριακές Ασκήσεις για ένα ακαδημαϊκό εξάμηνο (3 εβδομάδες) Προτείνεται η παρακάτω κατανομή σε 3 εβδομάδες: Διαλέξεις (ανά εβδομάδα) Διάλεξη Σήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη Σήματα συνεχούς χρόνου Διάλεξη 3 Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου Διάλεξη 4 Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου Διάλεξη 5 Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου Διάλεξη 6 Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου Διάλεξη 7 Συστήματα διακριτού χρόνου Διάλεξη 8 Συστήματα συνεχούς χρόνου Διάλεξη 9 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση Συχνότητας Διάλεξη Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Διάλεξη Μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Διάλεξη Μετασχηματισμός Laplaceκαι Συνάρτηση μεταφοράς Διάλεξη 3 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier και Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση Σήματα διακριτού χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση Σήματα συνεχούς χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση 3 Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση 4 Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση 5 Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση 6 Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση 7 Συστήματα διακριτού χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση 8 Συστήματα συνεχούς χρόνου Εργαστηριακή Άσκηση 9 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός Laplaceκαι Συνάρτηση μεταφοράς Εργαστηριακή Άσκηση 3 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier και Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier

23 Η αντιστοίχιση Κεφάλαιο Διάλεξη Εργαστηριακή Άσκηση είναι: Κεφάλαιο Διαλέξεις, Εργαστηριακές Ασκήσεις, Κεφάλαιο Διαλέξεις 3, 4, 5, 6 Εργαστηριακές Ασκήσεις 3, 4, 5, 6 Κεφάλαιο3 Διαλέξεις 7, 8 Εργαστηριακές Ασκήσεις 7, 8 Κεφάλαιο4 Διάλεξη 9 Εργαστηριακή Άσκηση 9 Κεφάλαιο5 Διάλεξη Εργαστηριακή Άσκηση Κεφάλαιο6 Διάλεξη Εργαστηριακή Άσκηση Κεφάλαιο7 Διάλεξη Εργαστηριακή Άσκηση Κεφάλαιο8 Διάλεξη 3 Εργαστηριακή Άσκηση 3 Στο βιβλίο δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην ανάλυση τεχνικών προγραμματισμού των βασικών εννοιών στα Σήματα και Συστήματα σε προγραμματιστικό περιβάλλον με χρήση λογισμικών, τα οποία έχουν καθιερωθεί στην επιστημονική κοινότητα: του εμπορικού λογισμικού Matlab και του λογισμικού Octave, που είναι ελεύθερος κλώνος ανοικτού κώδικα του λογισμικού Matlab Επίσης, σχεδιάστηκαν εργαστηριακές ασκήσειςγια την απόκτηση της ικανότητας χρήσης και προγραμματισμού αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται στα Σήματα και Συστήματα Η δομή του βιβλίου παρέχει τη δυνατότητα διδασκαλίας σε έξι (6) ροές γνώσεων: Σήματα και Συστήματα (Θεωρία και Εργαστήριο) Σήματα και Συστήματα (Θεωρία) 3 Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου (Θεωρία και Εργαστήριο) 4 Σήματα και Συστήματα διακριτού χρόνου (Θεωρία) 5 Σήματα και Συστήματα συνεχούς χρόνου (Θεωρία και Εργαστήριο) 6 Σήματα και Συστήματα συνεχούς χρόνου (Θεωρία) Η διάκριση των ροών γνώσεων γίνεται με τη βοήθεια έξι (6) αριθμών στην αρχή κάθε παραγράφου Κάθε αριθμός είναι -6 αν η παράγραφος αφορά στην αντίστοιχη ροή γνώσεων ή είναι αν η παράγραφος δεν αφορά στην αντίστοιχη ροή γνώσεων Λόγω του γεγονότος ότι πρόκειται για ηλεκτρονικό βιβλίο, ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στα στοιχεία πολυμεσικότητας και αλληλεπίδρασης/διαδραστικότητας Στα στοιχεία πολυμεσικότητας περιλαμβάνονται οι ηχογραφημένες περιλήψεις στο τέλος κάθε κεφαλαίου, που βοηθούν το φοιτητή να μπορεί να ακούει συγκεντρωτικά τα βασικά σημεία του κεφαλαίουεπίσης, στα στοιχεία διαδραστικότητας περιλαμβάνονται τα κριτήρια αξιολόγησης στο τέλος κάθε κεφαλαίου, για να δώσουν στο φοιτητή τη δυνατότητα ελέγχου των γνώσεων, που αποκτήθηκαν, καθώς και φιλικέςτεχνικές προς το φοιτητήχρήστη,όπως, radiobuttos, drag&drop Τέλος, σχεδιάστηκε ειδικό διαδραστικό λογισμικό υπολογισμού πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου Ευχαριστούμε τον κριτικό αναγνώστη κ Δημήτρη Βέντζα για τις χρήσιμες υποδείξεις του Ευχαριστούμε τις συνεργάτιδες και φίλες κα Ευδοξία Κοκκίνου και κα Ευμορφία Κρήτου για τη συμβολή τους στην ανάπτυξη πολυμεσικού/διαδραστικού υλικού, για την τεχνική υποστήριξη και τη γραφιστική επιμέλεια Ευχαριστούμε τη συνάδελφο και φίλη Δρ Έλενα Μανιάτη, φιλόλογο, για τη λεπτομερή γλωσσική επιμέλεια Ευχαριστούμε την κα Αντιγόνη Παναγιωτίδου για την πολύτιμη βοήθεια στη γραφιστική επιμέλεια των πολυμεσικών και διαδραστικών αντικειμένων Ευχαριστούμε τον κ Ταξιάρχη Αλεξάνδρου, διπλωματούχο της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του ΕΜΠ, για την επιμέλεια του Τυπολόγιου των μετασχηματισμών Ευχαριστούμε την κα Ιωάννα Τζιάλλα, τελειόφοιτη φοιτήτρια της Σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών του ΕΜΠ, η οποία βοήθησε στον προγραμματισμό και στο σχεδιασμό των διαδραστικών στοιχείων, με σκοπό τη σωστή κατανόηση και την εύκολη χρήση από τον αναγνώστη Ευχαριστούμε τον φίλο κ Ιωάννη Βουρβουλάκη για τη συμβολή του στην έγκριση της πρότασης συγγραφής του συγγράμματος, ειδικά με τις ιδέες του στην ανάπτυξη πολυμεσικού/διαδραστικού υλικού Οι συγγραφείς Νικόλαος Ασημάκης, Μαρία Αδάμ

24 Κεφάλαιο Σήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ένας ορισμός της έννοιας του σήματος και παρουσιάζεται η ταξινόμηση των σημάτων Αναλύονται οι βασικές ιδιότητες των σημάτων διακριτού και συνεχούς χρόνου, όπως διάρκεια, αιτιότητα, περιοδικότητα, συμμετρία και παρουσιάζονται τα βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου Αναλύεται η αναπαράσταση των σημάτων σε προγραμματιστικό περιβάλλον Αναλύεται η δειγματοληψία, δηλαδή η διαδικασία μετατροπής ενός σήματος συνεχούς χρόνου σε μία ακολουθία διακριτού χρόνου Προαπαιτούμενηγνώση Συναρτήσεις, ακολουθίες, ολοκληρώματα, σειρές, μιγαδικοί αριθμοί Ταξινόμηση σημάτων Τα σήματα είναι φορείς πληροφοριών σχετικών με τα συστήματα από τα οποία προέρχονται και τα οποία περιγράφουν Για παράδειγμα, η φωνή παράγεται από το φωνητικό σύστημα και μεταφέρει πληροφορίες σχετικές με τον ομιλητή, όπως η χροιά και η ψυχολογική κατάσταση, ενώ το ηλεκτροκαρδιογράφημα παράγεται από την καρδιά και μεταφέρει πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση της καρδιάς Ένα σήμα ορίζεται ως το σύνολο των τιμών που παίρνει μία φυσική ποσότητα Από μαθηματική άποψη, ένα σήμα είναι μία συλλογή μίας ή περισσότερων συναρτήσεων ή ακολουθιών (κανάλια) μίας ή περισσότερων μεταβλητών (διαστάσεις) Στην πλέον απλή περίπτωση, ένα σήμα είναι μία συνάρτηση ή ακολουθία μίας μεταβλητήςη βασική κατηγοριοποίηση των σημάτων γίνεται με κριτήριο τον τύπο της ανεξάρτητης μεταβλητής, η οποία μπορεί να είναι ένα φυσικό μέγεθος, όπως χρόνος ή απόσταση Συνήθως η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο πραγματικός χρόνος, για το λόγο αυτό έχει επικρατήσει να ονομάζεται χρόνος Τα σήματα διακρίνονται σε α) σήματα διακριτού χρόνου (discretetimesigals), όπου ο χρόνος δέχεταισυγκεκριμένες τιμές από το σύνολο των ακεραίων αριθμών και β) σήματα συνεχούςχρόνου(cotiuoustimesigals), όπου ο χρόνοςt είναι συνεχής μεταβλητή με τιμές στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να είναι και αυτή ένα φυσικό μέγεθος και ονομάζεται πλάτος Το πλάτος συμβολίζεται με x ( ) για τα σήματα διακριτού χρόνου ή με xt () για τα σήματα συνεχούς χρόνου Η εξαρτημένη μεταβλητή, δηλαδή το πλάτος, μπορεί επίσης να πάρει τιμές σε ένα συνεχές πεδίο τιμών, ή να πάρει συγκεκριμένες τιμές από ένα διακριτό πεδίο τιμών Έτσι, με κριτήριο τον τύπο της ανεξάρτητης μεταβλητής (χρόνος) και της εξαρτημένης μεταβλητής (πλάτος), προκύπτουν οι παρακάτω τέσσερις κατηγορίες σημάτων, που παρουσιάζονται στον Πίνακα : σήματα διακριτού χρόνου συνεχούς πλάτους, όπως είναι οι ημερήσιοι δείκτες του χρηματιστηρίου σήματα διακριτού χρόνου διακριτού πλάτους ή ψηφιακά σήματα, όπως είναι τα σήματα σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή σήματα συνεχούς χρόνου συνεχούς πλάτους ή αναλογικά σήματα, όπως είναι η θερμοκρασία ως συνάρτηση του χρόνου σήματα συνεχούς χρόνου διακριτού πλάτους, όπως είναι το πλήθος των «φάουλ» μίας ομάδας «μπάσκετ» σε σχέση με τον χρόνο Σήμα Χρόνος Πλάτος Διακριτού χρόνου Διακριτός Συνεχές Διακριτός Διακριτό Συνεχούς χρόνου Συνεχής Συνεχές Συνεχής Διακριτό 3

25 ΠίνακαςΚατηγορίες σημάτων Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Damper, 995, Igle ad Proakis, 3, Ly & Fuerst, 989, Oppeheim, Willsky, Nawab, 3, Proakis & Maolakis, 7, Strum & Kirk, 988 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes,, McClella, Schafer & Yoder, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καλουπτσίδης, 994, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Μουστακίδης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι, από μαθηματική άποψη, μία ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών που παριστάνεται ως ακολουθία x ( ), της οποίας η ανεξάρτητη μεταβλητή έχει πεδίο 3 ορισμού διακριτές ακέραιες τιμές Για παράδειγμα, το σήμα x( ), :, το οποίο φαίνεται στο Σχήμα, είναι ένα πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου Με,,,,, όπου και ακέραιοι με : συμβολίζεται το σύνολο discrete time sigal x()= time Σχήμα Σήμα διακριτού χρόνου Ένα σήμα συνεχούς χρόνου είναι, από μαθηματική άποψη, μία συνάρτηση πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών που παριστάνεται ως συνάρτηση xt (), της οποίας η ανεξάρτητη μεταβλητή t έχει πεδίο ορισμού πραγματικές τιμές από ένα υποσύνολο του πραγματικού άξονα Για παράδειγμα, το σήμα 3 x( t) t t, t,, το οποίο φαίνεται στο Σχήμα, είναι ένα πραγματικό σήμα συνεχούς χρόνου 4

26 8 6 4 x(t)=t 3 -t time t Σχήμα Σήμα συνεχούς χρόνου Όταν τα σήματα είναι συναρτήσεις ή ακολουθίες περισσότερων της μίας μεταβλητών, τότε ονομάζονται πολυδιάστατα σήματα Για παράδειγμα, μία εικόνα είναι ένα δισδιάστατο σήμα x(, ) με ανεξάρτητες μεταβλητές τις συντεταγμένες του επιπέδου και πλάτος τη φωτεινότητα της εικόνας Επίσης, το videoείναι ένα τρισδιάστατο σήμα με ανεξάρτητες μεταβλητές τις συντεταγμένες του χώρου και τον χρόνο και πλάτος τη φωτεινότητα του video Όταν τα σήματα είναι περισσότερες από μία συναρτήσεις ή ακολουθίες, τότε ονομάζονται πολυκαναλικά σήματα και παριστάνονται από μαθηματική άποψη με διανύσματα Για παράδειγμα, μία έγχρωμη εικόνα είναι ένα δισδιάστατο τρικαναλικό σήμα Οι δύο διαστάσεις αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του επιπέδου και τα τρία κανάλια αντιστοιχούν στις τιμές των τριών χρωμάτων Κόκκινο, Πράσινο, Μπλε (RGB: Red, Gree, Blue) Η έγχρωμη εικόνα μπορεί να παρασταθεί με το διάνυσμα: xr (, ) x(, ) xg (, ) x B (, ) Τέλος, όταν οι τιμές που παίρνει ένα σήμα σε κάθε χρονική στιγμή είναι δεδομένες χωρίς αβεβαιότητα, δηλαδή οι συναρτήσεις με τις οποίες παριστάνονται μαθηματικά είναι πλήρως ορισμένες, τότε το σήμα λέγεται αιτιοκρατικό ή νομοτελειακό ή ντετερμινιστικό σήμα Υπάρχουν όμως και τα τυχαίαήστοχαστικά σήματα που δεν μπορούν να καθοριστούν με βεβαιότητα, δηλαδή δεν είναι δυνατή η ακριβής συναρτησιακή περιγραφή τους, οπότε απαιτείται η στατιστική περιγραφή τους Έτσι, ένας θόρυβος ή ένα σήμα που περιγράφει το ύψος των κυμάτων σε μία λίμνη ή ένα σήμα που περιγράφει το ύψος των σταχυών σε ένα χωράφι, δεν είναι δυνατό να περιγραφεί από συνάρτηση, αλλά μπορεί να περιγραφεί με μία τυχαία μεταβλητή με ένα μέσο όρο και μία διασπορά Στο ηλεκτρονικό βιβλίο αυτό θα ασχοληθούμε μόνο με αιτιοκρατικά σήματα 5

27 Σήματα διακριτού χρόνου Το σήμα διακριτού χρόνου ως ακολουθία Ένα σήμα διακριτού χρόνου παριστάνεται μαθηματικά ως μία ακολουθία Η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται χρόνος και συμβολίζεται με Πρόκειται για διακριτή μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε ακέραια τιμή Η εξαρτημένη μεταβλητή ονομάζεται πλάτοςκαι συμβολίζεται με x ( ) Το πλάτος μπορεί να πάρει πραγματικές ή μιγαδικές τιμές Αν το πλάτος είναι πραγματικό, τότε το σήμα είναι πραγματικό σήμα διακριτού χρόνουαν το πλάτος είναι μιγαδικό, τότε το σήμα είναι μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου Το μιγαδικό σήμα διακριτού χρόνου παριστάνεται μαθηματικά ως: j ( ) x( ) a( ) j b( ) r( ) e () όπου - a( ) Re x( ) είναι η πραγματική συνιστώσατου x ( ) - b( ) Im x( ) είναι η φανταστική συνιστώσατου x ( ) - r( ) x( ) a ( ) b ( ) είναι το μέτροτου x ( ) - Im x ( ) b ( ) ( ) arg x( ) arcta arcta είναι η φάσητου Re x( ) x a( ) ( ) Παρατήρηση: j Το συζυγές σήμα του x ( ) είναι το συζυγές μιγαδικό σήμα x ( ) a( ) j b( ) r( ) e όπου * - a( ) Re x ( ) Re x( ) είναι η πραγματική συνιστώσατου x * ( ) * - b( ) Im x ( ) Im x( ) είναι η φανταστική συνιστώσατου x * ( ) * - r( ) x ( ) x( ) a ( ) b ( ) είναι το μέτρο του * - ( ) arg x ( ) arg x( ) είναι η φάση του Διάρκεια σημάτων διακριτού χρόνου Τα σήματα συνεχούς χρόνου διακρίνονται με κριτήριο τη διάρκειά τους σε σήματα πεπερασμένης διάρκειας και σε σήματα άπειρης διάρκειας Ένα σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας, όταν το σήμα υπάρχει σε ένα διάστημα χρόνου, δηλαδή αρχίζει κάποια χρονική στιγμή και τελειώνει κάποια άλλη χρονική στιγμή Αυτό σημαίνει ότι έξω από αυτό τον χρονικό διάστημα το σήμα είναι μηδενικό και ότι το σήμα είναι μία πεπερασμένη ακολουθία Ένα σήμα είναι σήμα άπειρης διάρκειας, όταν είναι μία άπειρη ακολουθία, δεξιάς πλευράς (η διάρκεια του σήματος αρχίζει κάποια χρονική στιγμή και εκτείνεται μέχρι το συν άπειρο), αριστερής πλευράς (η διάρκεια του σήματος εκτείνεται από το πλην άπειρο και τελειώνει κάποια χρονική στιγμή και), ή αμφίπλευρη η διάρκεια του σήματος εκτείνεται από το πλην άπειρο μέχρι το συν άπειρο) Οι κατηγορίες σημάτων με κριτήριο τη διάρκειά τους εμφανίζονται στον Πίνακα Διάρκεια Σήμα Χρόνος Πεπερασμένη πεπερασμένη ακολουθία [ : ] Άπειρη Άπειρη Άπειρη ακολουθία δεξιάς πλευράς ακολουθία αριστερής πλευράς αμφίπλευρη ακολουθία Πίνακας Διάρκεια σημάτωνδιακριτού χρόνου x * ( ) * ( ) x * ( ) 6

28 3 Αιτιότητα σημάτων διακριτού χρόνου Τα σήματα συνεχούς χρόνου διακρίνονται σε αιτιατά σήματα και σε μη αιτιατά ή αναιτιατά σήματα με κριτήριο τον χρόνο έναρξης ή λήξης τους Ένα σήμα είναι αιτιατό, όταν είναι μηδενικό για αρνητικές χρονικές στιγμές: x( ), () Ένα σήμα είναι αναιτιατό ή μη αιτιατό, όταν είναι μηδενικό για θετικές χρονικές στιγμές: x( ), (3) 4 Περιοδικότητα σημάτων διακριτού χρόνου Ένα σήμα διακριτού χρόνου x ( ) λέγεται περιοδικό, όταν για κάθε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N μεγαλύτερος του, δηλαδή N, για τονοποίοισχύει: x( ) x( N), (4) Οσταθερόςαριθμός N λέγεταιπερίοδος Οελάχιστος φυσικός αριθμός για τον οποίο ισχύει η παραπάνω σχέση ονομάζεται θεμελιώδης περίοδοςστην περίπτωση όπου N, το σήμα είναι σταθερό 5 Συμμετρία σημάτων διακριτού χρόνου 5 Συμμετρία πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου Ένα σήμαδιακριτού χρόνου x ( ) λέγεται άρτιο, όταν x( ) x( ), οπότε έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των τεταγμένων Ένα άρτιο σήμα έχει ίσες τιμές σε αντίθετους χρόνους Ένα σήμαδιακριτού χρόνου x ( ) λέγεται περιττό, όταν x( ) x( ), οπότε έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ένα περιττό σήμα έχει αντίθετες τιμές σε αντίθετους χρόνους Παρατήρηση Αν ένα σήμα x ( ) είναι περιττό, τότε x() Πράγματι, για έχουμε x() x( ) x() x() x() (6) (5) Μπορείτε να διερευνήσετε τη συμμετρία πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Συμμετρία πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου Κάθε πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου x ( ) μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άρτιου (eve) σήματος x ( e ) και περιττού (odd) σήματος xo ( ) : x( ) xe( ) xo( ) (7) όπου x ( e ) x ( ) x ( ) (8) x ( o ) x ( ) x ( ) (9) 7

29 5 Ειδική συμμετρία πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου Για τα πραγματικά σήματα διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας με [: N] υπάρχουν τέσσερις ειδικές συμμετρίες που σχετίζονται με το αν ο αριθμός με N είναι άρτιος ή περιττός και με το αν η συμμετρία είναι άρτια ή περιττή Τα τέσσερα είδη ειδικών συμμετριών εμφανίζονται στον Πίνακα 3 N Τοσήμαείναι άρτιο,όταν x( ) x( N ), [: N] και έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα x N Τοσήμαείναι περιττό,όταν x( ) x( N ), [: N] και έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο, Διάρκεια Συμμετρία Κέντρο ή άξονας συμμετρίας Είδος συμμετρίας N άρτιος άρτια N άξονας x I N άρτιος περιττή N σημείο, II N N N περιττός άρτια άξονας x, δεν υπάρχει x III N N N περιττός περιττή σημείο,, δεν υπάρχει x IV Πίνακας3Συμμετρία σημάτων πεπερασμένης διάρκειας Μπορείτε να διερευνήσετε την ειδική συμμετρία πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Ειδική συμμετρία πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου 53 Συμμετρία μιγαδικού σήματος διακριτού χρόνου Ένα σήμαδιακριτού χρόνου λέγεται συζυγές συμμετρικό, όταν * x( ) x ( ), Ένα σήμαδιακριτού χρόνου λέγεται συζυγές αντισυμμετρικό, όταν * x( ) x ( ), Παρατήρηση: x * ( ) συμβολίζει το συζυγές του x ( ) () () 6 Βασικά σήματα διακριτού χρόνου 6 Σήμα μοναδιαίου δείγματος Το σήμα μοναδιαίου δείγματος ή δέλτα του Kroecker, ορίζεται να είναι:, ( ), () και στη γενική μορφή, ( ), (3) 8

30 Για παράδειγμα, θεωρώντας τον οριζόντιο άξονα ως το διακριτό χρόνο, μπορούμε να υπολογίσουμε τα σήματα (), ( 4), ( 4) που έχουν τις τιμές τους στον κάθετο άξονα και παρουσιάζονται στο Σχήμα 3 δ() time δ(-4) time δ(+4) time Σχήμα 3Σήμα μοναδιαίου δείγματος Το σήμα μοναδιαίου δείγματος () αναπαριστά μαθηματικά την εμφάνιση ενός φυσικού γεγονότος μία χρονική στιγμή και έχει ιδιαίτερη αξία στην Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων 6 Σήμα μοναδιαίου βήματος Το σήμα μοναδιαίου βήματος, ορίζεται να είναι:, u ( ), και στη γενική μορφή, u( ), (4) (5) Για παράδειγμα, θεωρώντας τον οριζόντιο άξονα ως το διακριτό χρόνο, μπορούμε να υπολογίσουμε τα σήματα u ( ), u ( 4), u ( 4) που έχουν τις τιμές τους στον κάθετο άξονα και παρουσιάζονται στο Σχήμα 4 9

31 u() time u(-4) time u(+4) time Σχήμα 4Σήμα μοναδιαίου βήματος Παρατηρήσεις Τα σήματα () και u ( ) συνδέονται με τη σχέση: ( ) u( ) u( ) (6) Το σήμα ( ) u( ) u( N) είναι ένας ψηφιακός παλμός πλάτους N χρονικών στιγμών, από τη χρονικήστιγμή έως και τη χρονική στιγμή N Το σήμα μοναδιαίου βήματος γεγονότος από μία χρονική στιγμή και μετά u ( ) αναπαριστά μαθηματικά την εμφάνιση ενός φυσικού 63 Ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου Το ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνουορίζεται να είναι: x( ) Asi( ) (7) όπου A είναι το πλάτος του σήματος, είναι η συχνότητα και είναι η φάση του σήματος Το ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου δεν είναι πάντα περιοδικότο ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό, αν η συχνότητα του σήματος είναι ρητό πολλαπλάσιο του και τότε η θεμελιώδης περίοδος είναι N Πράγματι, για να ισχύει x( ) x( N), πρέπει να ισχύει Asi( ) Asi ( N), που για k Z δίνει k N ή k N Αυτό σημαίνει ότι για να είναι περιοδικό το ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου πρέπει k Για k η θεμελιώδης περίοδος είναι N N (8) 3

32 Το ημιτονοειδές σήμα x( ) si, το οποίο παρουσιάζεται στο Σχήμα 5, έχει συχνότητα, 4 4 που είναι ρητό πολλαπλάσιο του και επομένως το σήμα είναι περιοδικό, με θεμελιώδη περίοδο N si(π*/4+π) time Σχήμα 5Περιοδικό ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου Το ημιτονοειδές σήμα x( ) si, το οποίο παρουσιάζεται στο Σχήμα 6, έχει συχνότητα 4, που δεν είναι ρητό πολλαπλάσιο του Επομένως το σήμα δεν είναι περιοδικό 4 3

33 8 6 4 si(/4+π) time Σχήμα 6Μη περιοδικό ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου Μπορείτε να διερευνήσετε την περιοδικότητα ημιτονοειδούς σήματος διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3Περιοδικότητα ημιτονοειδούς σήματος διακριτού χρόνου Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 64 Πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Το πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου ορίζεται να είναι: x( ) r, r (9) όπου r είναι η βάση του εκθετικού σήματος Όταν r, τότε το σήμα είναι μία φθίνουσα ακολουθία, ενώ όταν r, τότε το σήμα είναι μία αύξουσα ακολουθία Στο Σχήμα 7 παρουσιάζονται τα σήματα x ( ) (8) και x ( ) () 3

34 x()= time 8 x()= time Σχήμα 7Πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Στην περίπτωση όπου r =, τότε το σήμα είναι σταθερό: αν r, τότε x ( ), ενώ αν r, τότε x ( ) 65 Φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Το φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνουορίζεται να είναι: j j( ) x( ) e cos( ) j si( ) r( ) e όπου είναι η συχνότητα του σήματος και - cos( ) Re x( ) είναι η πραγματική συνιστώσατου x ( ) - si( ) Im x( ) είναι η φανταστική συνιστώσατου x ( ) - r( ) x( t) si ( ) cos ( ) είναι το μέτρο του x ( ) Im x ( ) si( ) - ( ) arg x( ) arcta arcta arcta ta( ) είναι η φάσητου Re x( ) cos( ) Παρατήρηση: το φανταστικό εκθετικό σήμα έχει γραμμική φάση (ως προς τον χρόνο ) () Το φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου δεν είναι πάντα περιοδικό Το φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό αν η συχνότητα του σήματος είναι ρητό πολλαπλάσιο του και τότε η θεμελιώδης περίοδος είναι N Πράγματι, για να ισχύει x( ) x( N), πρέπει να ισχύει j j ( N ) e e, δηλαδή jn e cos( N) j si( N) j k N Αυτό σημαίνει ότι για να είναι περιοδικό το x ( ) φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού πρέπει να ισχύει k N, οπότε η θεμελιώδης περίοδος είναι 33

35 N () j /4 Το φανταστικό εκθετικό σήμα x( ) e, που παρουσιάζεται στο Σχήμα 8, έχει συχνότητα, η οποία είναι ρητό πολλαπλάσιο του και επομένως το σήμα είναι περιοδικό με θεμελιώδη 4 περίοδο N 8 real part 5-5 imagiary part time - - time 8 5 magitude 6 4 phase time time Σχήμα 8Περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Το φανταστικό εκθετικό σήμα x( ) j e, που παρουσιάζεται στο Σχήμα 9, έχει συχνότητα, που δεν είναι ρητό πολλαπλάσιο του, επομένως το σήμαδεν είναι περιοδικό 34

36 real part 5-5 imagiary part time - - time 8 5 magitude 6 4 phase time time Σχήμα 9Μη περιοδικό φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι τα φανταστικά εκθετικά σήματα με συχνότητες που απέχουν ίσα, αφού j j ( ) e e είναι 66 Μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου Το μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνουορίζεται να είναι: j j( ) x( ) r e r cos( ) j si( ) r e όπου r είναι η βάση, είναι η συχνότητα του σήματος και - r cos( ) Re x( ) είναι η πραγματική συνιστώσα του x ( ) - r si( ) Im x( ) είναι η φανταστική συνιστώσατου x ( ) - r x() t είναι το μέτρο του x ( ) Im x ( ) r si( ) - ( ) arg x( ) arcta arcta arcta ta( ) είναι η φάσητου Re x( ) r cos( ) Παρατήρηση: το μιγαδικό εκθετικό σήμα έχει γραμμική φάση (ως προς τον χρόνο ) 4 Το σήμα x( ) (9) e j παρουσιάζεται στο Σχήμα () x ( ) 35

37 real part - - imagiary part time -3 - time 3 magitude phase time - - time Σχήμα Μιγαδικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου 67 Μοναδιαίο εναλλακτικό σήμα Το μοναδιαίο εναλλακτικό σήμα ορίζεται να είναι: ( ), ua ( ) (3), Οι τιμές του σήματος εναλλάσσονται ανάμεσα στις τιμές και για τις χρονικές στιγμές,,, Η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή είναι Το μοναδιαίο εναλλακτικό σήμα παρουσιάζεται στο Σχήμα 36

38 8 6 4 x()=(-), >= time 68 Σήμα μέγιστης παλινδρόμησης Σχήμα Μοναδιαίο εναλλακτικό σήμα Το σήμα μέγιστης παλινδρόμησης ορίζεται να είναι: u ( ) ( ) a, (4) Οι τιμές του σήματος εναλλάσσονται ανάμεσα στις τιμές και για όλες τις χρονικές στιγμές Η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή είναι Η σχέση του σήματος μέγιστης παλινδρόμησης και του μοναδιαίου εναλλακτικού σήματος είναι: ua( ) ua( ) u( ) (5) Το σήμα μέγιστης παλινδρόμησης παρουσιάζεται στο Σχήμα 37

39 8 6 4 x()=(-) time 69 Σήμα μοναδιαίας κλίσης Σχήμα Σήμα μέγιστης παλινδρόμησης Το σήμα μοναδιαίας κλίσηςορίζεται να είναι:, ur ( ), Οι τιμές του σήματος είναι ίσες με τις τιμές του χρόνου, για τις χρονικές στιγμές,,, Το σήμα μοναδιαίας κλίσης παρουσιάζεται στο Σχήμα 3 (6) 38

40 8 6 4 x()=,>= time Σχήμα 3Σήμα μοναδιαίας κλίσης 7 Ενέργεια και Ισχύς σημάτων διακριτού χρόνου Η ενέργεια, E, ενός σήματος διακριτού χρόνου ορίζεται ως: * ( ) ( ) ( ) E x x x Βέβαια, αν το σήμα είναι πραγματικό, τότε E x ( ) Παράδειγμα Το σήμα x( ) ( ) 8 ( 5) έχει ενέργεια E x ( ) ( ) 8 ( 5) Ημέσηισχύς, P, ενός σήματος διακριτού χρόνου ορίζεται ως: N N * P lim x( ) x ( ) lim x( ) N N N N N N Βέβαια, αν το σήμα είναι πραγματικό, τότε N P lim x ( ) N N N Παράδειγμα Για το σταθερό σήμα x ( ) ισχύει N N N x ( ) ( N ) 4 4 N N N (7) (8) 39

41 οπότε το σήμα x ( ) έχει ισχύ N P lim x( ) lim ( N ) N N N N N 4 4 Αν το σήμα είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο N, τότε η μέση ισχύς ορίζεται ως: N N * PN x( ) x ( ) x( ) (9) N N Βέβαια, αν το σήμα είναι πραγματικό, τότε N PN x ( ) N Ένα σήμα λέγεται σήμα ενέργειας, αν έχει πεπερασμένη ενέργεια E και μηδενική ισχύ P Ένα σήμα λέγεται σήμα ισχύος, αν έχει πεπερασμένη ισχύ P και άπειρη ενέργεια E Παράδειγμα Το σήμα u ( ) έχει ενέργεια Επίσης E x ( ) u( ) N N N N x ( ) u( ) N N N N οπότε το σήμα u ( ) έχει ισχύ N N N P lim x ( ) lim u( ) lim ( N ) lim N N N N N N N N N N Άρα το σήμα u ( ) είναι σήμα ισχύος 8 Η συχνότητα στα σήματα διακριτού χρόνου Η συχνότητα έχει σχέση με την ημιτονοειδή ακολουθία της μορφής: x( ) Acos( ), (3) όπου A είναι το πλάτος, είναι η κυκλική συχνότητα (σε rad/δείγμα), είναι η φάση (σε rad) και είναι ο διακριτός χρόνος ( ) Η ημιτονοειδής ακολουθία είναι ένα περιοδικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο N (3) μόνον όταν N είναι ρητός αριθμός και τότε ισχύει f, (3) όπου f είναι η συχνότητα (σε κύκλους ανά δείγμα) Τότε, τα παρακάτω σήματα ταυτίζονται: x ( ) A cos( ), k, k,, k k k όπου (33) Επομένως, η περιοχή συχνοτήτων των σημάτων διακριτού χρόνου είναι πεπερασμένη: f (34) 4

42 9 Σήματα διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε εργαστηριακές εφαρμογές σε προγραμματιστικό περιβάλλονμε σκοπό την απόκτηση της ικανότητας χρήσης και προγραμματισμού αλγορίθμων που χρησιμοποιούνται στα Σήματα και Συστήματα με χρήση λογισμικών που έχουν καθιερωθεί στην επιστημονική κοινότητα: του εμπορικού λογισμικού Matlab (The MathWorks Ic, The Studet Editio of MATLAB, Pretice-Hall, 997) και του λογισμικού Octave ( που είναι ελεύθερος κλώνος ανοικτού κώδικα του λογισμικού MatlabΧρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProakis, 3 καιleis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία Ασημάκης, 8 (για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου) και Παρασκευάς, 4(για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου)χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Ένα πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου x ( ) αναπαρίσταται χρησιμοποιώντας δυο διανύσματα: το διάνυσμα του πλάτους και το διάνυσμα χρόνου Το διάνυσμα του πλάτους περιέχει τις τιμές του πλάτους του σήματος και το διάνυσμα του χρόνου περιέχει τις αντίστοιχες τιμές χρόνου Το διάνυσμα χρόνου μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τιμές για την αρχή και το τέλος του διανύσματος (=[:];) ή μεταβλητές για την αρχή και το τέλος του διανύσματος (=; =; =[:];) Το διάνυσμα πλάτους μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τιμές Είναι προφανές ότι για να είναι ένα σήμα σωστά ορισμένο πρέπει το μήκος του διανύσματος πλάτους να είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση legth μπορεί να υπολογιστεί το μήκος των διανυσμάτων Για παράδειγμα, το πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου x( ) ( ), [: ] μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τις εντολές: =:; x=[ 4 6]; Τα μιγαδικά σήματα διακριτού χρόνου έχουν πραγματικό και φανταστικό μέρος και βέβαια μέτρο και φάση Επομένως, μπορούν να παρασταθούν με τρία διανύσματα ίσου μήκους, ένα διάνυσμα για τον χρόνο και δύο διανύσματα για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος Προαιρετικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο διανύσματα ίσου μήκους με το διάνυσμα του χρόνου για το μέτρο και τη φάση Στη συνέχεια δίνονται συναρτήσεις για τα βασικά σήματα διακριτού χρόνου Ο προγραμματισμός των συναρτήσεων ακολουθεί τη λογική των συναρτήσεων κλασικής βιβλιογραφίας (IgleadProakis, 3) Βέβαια, ο προγραμματισμός παρόμοιων συναρτήσεων μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους, που ταιριάζουν στο στυλ προγραμματισμού του προγραμματιστή Η συνάρτηση sigalimp παράγει το σήμα μοναδιαίου δείγματος ( ) fuctio [x,]=sigalimp(,,) % discrete impulse sigal % δ(-) = =[:]; x=[(-)==]; Η συνάρτηση sigalimp έχει εισόδους τις παραμέτρους και που ορίζουν τη διάρκεια [ : ] του σήματος και την παράμετρο που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που εμφανίζεται το μοναδιαίο δείγμα Η συνάρτηση έχει εξόδους το διάνυσμα του χρόνου και το διάνυσμα x του πλάτους Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται ώστε να ισχύει Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος ( ), [ :] απαιτείται η κλήση [x,]=sigalimp(,-,), ενώ για την παραγωγή του σήματος ( ), [,] απαιτείται η κλήση [x,]=sigalimp(,-,) Βέβαια, η συνάρτηση θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί προγραμματιστικά με άλλους τρόπους Ενδεικτικά παρουσιάζεται ένας από αυτούς: =[:]; x=zeros(,legth()); x(-+)=; 4

43 Επίσης, η συνάρτηση θα μπορούσε να εμπλουτιστεί με εντολές ελέγχου της συνθήκης Η συνάρτηση sigalstep παράγει το σήμα μοναδιαίου βήματος u( ) fuctio [x,]=sigalstep(,,) % discrete step sigal % u(-) = =[:]; x=[(-)>=]; Η συνάρτηση sigalstep έχει εισόδους τις παραμέτρους και που ορίζουν τη διάρκεια[ : ] του σήματος και την παράμετρο που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που εμφανίζεται το μοναδιαίοβήμα Η συνάρτηση έχει εξόδους το διάνυσμα του χρόνου και το διάνυσμα x του πλάτους Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται ώστε να ισχύει Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος u( ), [ :] απαιτείται η κλήση [x,]=sigalstep(,-,), ενώ για την παραγωγή του σήματοςu( ), [,] απαιτείται η κλήση [x,]=sigalstep(,-,) Η συνάρτηση sigalsi παράγει το ημιτονοειδές σήμα x( ) Asi( ) fuctio [x,]=sigalsi(a,w,f,,) % discrete siusoidal sigal % x()=a*si(w*+f) = =[:]; x=a*si(w*+f); Η συνάρτηση sigalsi έχει εισόδους τις παραμέτρους και που ορίζουν τη διάρκεια [ : ] του σήματος, την παράμετροaπου αντιστοιχεί στο πλάτος A, την παράμετροwπου αντιστοιχεί στη συχνότητα και την παράμετρο fπου αντιστοιχεί στη φάση του σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους το διάνυσμα του χρόνου και το διάνυσμα x του πλάτους Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται ώστε να ισχύει Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος x( ) 3si( ), [ : ] απαιτείται η κλήση[x,]=sigalsi(3,,pi,-,) Η συνάρτηση sigalrexp παράγει το πραγματικό εκθετικό σήμα x( ) r fuctio[x,]=sigalrexp(r,,) % discrete real exp sigal % r^ = =[:]; x=r^; Η συνάρτηση sigalrexp έχει εισόδους τις παραμέτρους και που ορίζουν τη διάρκεια[ : ] του σήματος και την παράμετρο rπου αντιστοιχεί στη βάση r του εκθετικού σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους το διάνυσμα του χρόνου και το διάνυσμα x του πλάτους Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται ώστε να ισχύει Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος x( ) (4), [:] απαιτείται η κλήση [x,]=sigalrexp(4,,) Παρατήρηση Η τελεία στην τελευταία εντολή αφορά στην πράξη ύψωση σε δύναμη που γίνεται με κάθε τιμή του διανύσματος =[:] j Η συνάρτηση sigaliexp παράγει το φανταστικό εκθετικό σήμα x( ) e cos( ) j si( ) fuctio [rex,imx,mx,fx,]=sigaliexp(w,,) % discrete imagiary exp sigal % exp(jw)=cos(w)+jsi(w) = =[:]; rex=cos(w*); imx=si(w*); mx=^; 4

44 fx=w*; Η συνάρτηση sigaliexp έχει εισόδους τις παραμέτρους και που ορίζουν τη διάρκεια [ : ] του σήματος και την παράμετρο wπου αντιστοιχεί στη συχνότητα του φανταστικούεκθετικού σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους το διάνυσμα του χρόνου και τα διανύσματα rex,imx,mx,fxτου πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του πλάτους και της φάσης, αντίστοιχα Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται ώστε j να ισχύει Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος x( ) e, [ :] απαιτείται η κλήση [x,]=sigaliexp(,-,) Η συνάρτηση sigalcexp παράγει το φανταστικό εκθετικό σήμα j x( ) r e r cos( ) j si( ) fuctio [rex,imx,mx,fx,]=sigalcexp(r,w,,) % discrete complex exp sigal % r^*exp(jw)=(r^)*{cos(w)+jsi(w)} = =[:]; mx=r^; fx=w*; rex=mx*cos(w*); imx=mx*si(w*); Η συνάρτηση sigalcexp έχει εισόδους τις παραμέτρους και που ορίζουν τη διάρκεια[ : ] του σήματος, την παράμετροrπου αντιστοιχεί στη βάση r και την παράμετρο wπου αντιστοιχεί στη συχνότητα του φανταστικούεκθετικού σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους το διάνυσμα του χρόνου και τα διανύσματα rex,imx,mx,fxτου πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του πλάτους και της φάσης, αντίστοιχα Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται ώστε να ισχύει Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος j x( ) (8) e, [ :] απαιτείται η κλήση [x,]=sigalcexp(8,,-,) 3 Σήματα συνεχούς χρόνου Το σήμα συνεχούς χρόνου ως συνάρτηση Ένα σήμα συνεχούς χρόνου παριστάνεται μαθηματικά ως μία συνάρτηση Η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται χρόνος και συμβολίζεται με t Πρόκειται για συνεχή μεταβλητή που δέχεται ως τιμή οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό Η εξαρτημένη μεταβλητή ονομάζεται πλάτοςκαι συμβολίζεται με xt () Το πλάτος μπορεί να πάρει πραγματικές ή μιγαδικές τιμέςαν το πλάτος είναι πραγματικό, τότε το σήμα είναι πραγματικό σήμα συνεχούς χρόνου Αν το πλάτος είναι μιγαδικό, τότε το σήμα είναι μιγαδικό σήμα συνεχούς χρόνου Το μιγαδικό σήμα συνεχούς χρόνου παριστάνεται μαθηματικά ως: j () t x( t) a( t) j b( t) r( t) e (35) όπου - a( t) Re x( t) είναι η πραγματική συνιστώσατου xt () - b( t) Im x( t) είναι η φανταστική συνιστώσατου xt () - r( t) x( t) a ( t) b ( t) είναι το μέτροτου xt () - Im xt ( ) bt () ( t) arg x( t) arcta arcta είναι η φάση του Re x( t) xt a( t) () 3 Διάρκεια σημάτων συνεχούς χρόνου Τα σήματα συνεχούς χρόνου διακρίνονται με κριτήριο τη διάρκειά τους σε σήματα πεπερασμένης διάρκειας και σήματα άπειρης διάρκειας 43

45 Ένα σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας, όταν το σήμα υπάρχει σε ένα διάστημα χρόνου, δηλαδή αρχίζει κάποια χρονική στιγμή και τελειώνει κάποια άλλη χρονική στιγμή Αυτό σημαίνει ότι έξω από αυτό το, t t διάστημα χρόνου το σήμα δεν υπάρχει, δηλαδή είναι μηδενικό: xt (), t t Ένα σήμα συνεχούς χρόνου είναι σήμα άπειρης διάρκειας, όταν τουλάχιστον ένα από τα t t είναι άπειρο 33 Αιτιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου Τα σήματα συνεχούς χρόνου διακρίνονται σε αιτιατά σήματα και σε μη αιτιατά ή αναιτιατά σήματα με κριτήριο τον χρόνο έναρξης ή λήξης τους Ένα σήμα είναι αιτιατό, όταν είναι μηδενικό για αρνητικές χρονικές στιγμές: x( t), t (36) Ένα σήμα είναι αναιτιατό ή μη αιτιατό, όταν είναι μηδενικό για θετικές χρονικές στιγμές: x( t), t (37) 34 Περιοδικότητα σημάτων συνεχούς χρόνου Ένα σήμασυνεχούς χρόνου xt () λέγεταιπεριοδικό, ότανυπάρχειέναςθετικόςαριθμόςt γιατονοποίοισχύει: x( t) x( t T), t (38) ΟσταθερόςαριθμόςT λέγεταιπερίοδος Ηελάχιστη δυνατήπερίοδοςείναιγνωστήως θεμελιώδης περίοδος 35 Συμμετρία, 35 Συμμετρία πραγματικού σήματος συνεχούς χρόνου Ένα σήμασυνεχούς χρόνου xt () λέγεται άρτιο,όταν ισχύει x( t) x( t), t οπότε το σήμα έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των τεταγμένων (39) Ένα σήμασυνεχούς χρόνου xt () λέγεται περιττό,όταν ισχύει x( t) x( t), t (4) οπότε το σήμα έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων: Παρατήρηση Αν ένα σήμα xt () είναι περιττό, τότε x() Πράγματι, για t έχουμε x() x( ) x() x() x() Κάθε πραγματικό σήμα συνεχούς χρόνου xt () μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άρτιου (eve) σήματος x () e t και περιττού (odd) σήματος xo () t : x( t) xe( t) xo( t) (4) όπου x ( e t ) x ( t ) x ( t ) (4) x ( ) ( ) ( ) o t x t x t (43) 35 Συμμετρία μιγαδικού σήματος συνεχούς χρόνου Ένα σήμασυνεχούςχρόνου λέγεται συζυγές συμμετρικό,όταν * x( t) x ( t), t Ένα σήμασυνεχούςχρόνου λέγεται συζυγές αντισυμμετρικό,όταν * x( t) x ( t), t Παρατήρηση: x * () t συμβολίζει το συζυγές του xt () (44) (45) 44

46 36 Βασικά σήματα συνεχούς χρόνου 36 Σήμα μοναδιαίου παλμού Το σήμα μοναδιαίου παλμού ή συνάρτηση δέλτα του Dirac, ορίζεται μέσω ενός γενικευμένου ολοκληρώματος να είναι μία απεικόνιση () t για την οποία ισχύει: f ( t) ( t) dt f () όπου f() t είναι συνεχής συνάρτηση στο t Αν για κάθε πραγματικό αριθμό t ισχύει f( t), τότε η (46) δίνει ( t) dt Στη βιβλιογραφία, για παράδειγμα στο βιβλίο (Hsu, 995, σελ 7),αναφέρεται η σχέση:, t () t, t Ιδιότητες (46) (47) (48) Ιδιότητα f ( t) ( t t ) dt f ( t ) όπου f() t είναι συνεχής συνάρτηση στο t t Απόδειξη Θέτοντας t t r, έχουμε t r t και dt dr, οπότε f ( t) ( t t ) dt f ( r t ) ( r) dr f ( t t ) ( t) dt f ( t t ) f ( t ) t (49) Ιδιότητα f t a t dt f ( ) ( ) () a όπου f() t είναι συνεχής συνάρτηση στο t και a Απόδειξη t ( ) ( ) ( ) ( ) () a a a f t a t dt f t dt f (5) Ιδιότητα 3 ( a t) ( t), a a Απόδειξη Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση Ιδιότητα 4 ( t) ( t) Απόδειξη (5) (5) 45

47 Θέτοντας a στην προηγούμενη ιδιότητα, προκύπτει: ( t) ( t) ( t) Προφανώς, η συνάρτηση () t είναι άρτια 36 Μοναδιαίο βηματικό σήμα Το μοναδιαίο βηματικό σήμα ορίζεται μαθηματικά ως:, t ut (), t Παρατηρήσεις Η συνάρτηση ut () είναι ασυνεχής Τα σήματα () t και ut () συνδέονται με τη σχέση: d u() t () t dt (53) (54) 363 Ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου Το ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνουορίζεται μαθηματικά ως: x( t) Asi( t ) (55) όπου A είναι το πλάτος, είναι η συχνότητα και είναι η φάση Το ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T Πράγματι, για να ισχύει x( t) x( t T), πρέπει να ισχύει Asi( t ) Asi ( t T), δηλαδή t k t T ή k T Αυτό σημαίνει ότι το ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδικό με k περίοδο T και θεμελιώδη περίοδο T (56) Για παράδειγμα, το ημιτονοειδές σήμα x( t) si4 t είναι περιοδικό με περίοδο T 8 4 Επίσης, στο Σχήμα 4 φαίνεται η μεταβολή φάσης για τα ημιτονοειδή σήματα x ( t ) si( t ), t [, ] και x ( t) si t, t [, ] 4 46

48 8 x(t)=si(t) x(t)=si(t+pi/4) time t Σχήμα 4Μεταβολή φάσης ημιτονοειδούς σήματος συνεχούς χρόνου Τέλος, στο Σχήμα 5 φαίνεται η μεταβολή συχνότητας για τα ημιτονοειδή σήματα x ( t ) si( t ), t [, ] και x ( t ) si( t ), t [, ] 47

49 8 x(t)=si(t) x(t)=si(t) time t Σχήμα 5Μεταβολή συχνότητας ημιτονοειδούς σήματος συνεχούς χρόνου 364 Πραγματικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου Το πραγματικόεκθετικό σήμα συνεχούς χρόνουορίζεται μαθηματικά ως: x() t c e t (57) Όταν, τότε το πραγματικό εκθετικό σήμα είναι αύξουσα συνάρτηση (ως προς t ), όταν, τότε το πραγματικό εκθετικό σήμα είναι φθίνουσα συνάρτηση (ως προς t ) και όταν, τότε το πραγματικό εκθετικό σήμα είναι μία σταθερή συνάρτηση Στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται τα σήματα ( ) 8t, [,] 8 x t e t και ( ) t x, [,] t e t 48

50 3 x(t)=exp(8t) time t x(t)=exp(-8t) time t Σχήμα 6Πραγματικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου 365 Φανταστικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου Το φανταστικόεκθετικό σήμα συνεχούς χρόνουορίζεται μαθηματικά ως: j t x() t e Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler j e cos( ) jsi( ) (59) έχουμε jt j() t x( t) e cos( t) j si( t) r( t) e όπου - cos( t) Re x( t) είναι η πραγματική συνιστώσατου xt () - si( t) Im x( t) είναι η φανταστική συνιστώσατου xt () - r( t) x( t) si ( t) cos ( t) είναι το μέτροτου xt () Im xt ( ) si( t) - ( t) arg x( t) arcta arcta arcta ta( t) t είναι η φάση του Re x( t) cos( t) (58) (6) Το φανταστικό εκθετικόσήμα συνεχούς χρόνου είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T Πράγματι, για να ισχύει x( t) x( t T), πρέπει να ισχύει j t j ( t T ) e e, δηλαδή jt e cos( T) j si( T) j ή k T Αυτό σημαίνει ότι το φανταστικό εκθετικό k σήμα είναι περιοδικό με περίοδο T και θεμελιώδη περίοδο xt () 49

51 T (6) 366 Μιγαδικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου Το μιγαδικόεκθετικό σήμα συνεχούς χρόνουορίζεται μαθηματικά ως: x( t) ce c e e c e e c e cos( t ) j si( t ) r( t) e st j ( j ) t t j ( t ) t j ( t ) όπου t - c e cos( t ) Re x( t) είναι η πραγματική συνιστώσατου xt () t - c e si( t ) Im x( t) είναι η φανταστική συνιστώσα του xt () - r( t) x( t) c e t είναι το μέτρο του xt () - ( t) arg x( t) t είναι η φάση του xt () (6) Όταν, τότε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος είναι ημιτονοειδή σήματα (σταθερή ταλάντωση), όταν είναι αυξάνοντα ημιτονοειδή σήματα (αύξουσα ταλάντωση) και όταν είναι φθίνοντα ημιτονοειδή σήματα (φθίνουσα ταλάντωση) Στη βιβλιογραφία (McClella, Schafer, & Yoder, 6) το μιγαδικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου ορίζεται μαθηματικά ως: j( t) x( t) Ae A cos( t ) j si( t ) όπου A είναι το πλάτος, είναι η συχνότητα (σε rad/sec) και είναι η φάση Τότε το μιγαδικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου γράφεται: j jt x() t Ae e όπου j X Ae είναι το μιγαδικό πλάτος, αφού ( X A), που ονομάζεται και φάσορας 37 Ενέργεια και Ισχύς σημάτων συνεχούς χρόνου Η ενέργεια, E, ενός μη περιοδικού σήματος συνεχούς χρόνου ορίζεται ως: * ( ) ( ) ( ) E x t x t dt x t dt Βέβαια, αν το σήμα είναι πραγματικό, τότε E x () t dt Παράδειγμα t Το σήμα x( t) e, t έχει ενέργεια (63) t t t ( ) ( ) ( ) E x t dt x t dt x t dt e dt e dt e Η μέσηισχύς, P, ενός σήματος συνεχούς χρόνου ορίζεται ως: T T * P lim x( t) x ( t) dt lim x( t) dt T T T T T T Βέβαια, αν το σήμα είναι πραγματικό, τότε T P lim x ( t) dt T T T Παράδειγμα (64) 5

52 Για το σήμα xt ( ) 5 ισχύει T T T x ( t) dt 5 dt 5dt 5t 5T 5 ( T ) 5T, T T T οπότε T P lim x ( t) dt lim 5T 5 T T T T T Αν το σήμα είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T, τότε η μέση ισχύς ορίζεται ως: T T * PT x( t) x ( t) dt x( t) dt T T Βέβαια, αν το σήμα είναι πραγματικό, τότε T PT x () t dt T (65) Ένα σήμα λέγεται σήμα ενέργειας, αν έχει πεπερασμένη ενέργεια E και μηδενική ισχύ P Ένα σήμα λέγεται σήμα ισχύος, αν έχει πεπερασμένη ισχύ P και άπειρη ενέργεια E 38 Η συχνότητα στα σήματα συνεχούς χρόνου Η συχνότητα έχει σχέση με την αρμονική ταλάντωση, δηλαδή με την περιοδική κίνηση που περιγράφεται από ημιτονοειδή συνάρτηση της μορφής: x( t) Acos( t ) (66) όπου A είναι το πλάτος, είναι η κυκλική συχνότητα (σε rad/sec), είναι η φάση (σε rad) και t είναι ο συνεχής χρόνος ( t ) Η αρμονική ταλάντωση είναι ένα περιοδικό αναλογικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο T (67) και ισχύει: f (68) όπου f είναι η συχνότητα (σε κύκλους ανά δευτερόλεπτο: Hz) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα το Euler, έχουμε: j( t ) j( t ) x( t) Acos( t ) A e e που σημαίνει ότι η συχνότητα μπορεί να είναι θετική ή αρνητική: (69) Επομένως,η περιοχή συχνοτήτων των σημάτων συνεχούς χρόνου είναι άπειρη: f (7) Στον Πίνακα 4 παρουσιάζεταιη συχνότητα στα σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου Συχνότητα Συνεχής Χρόνος Διακριτός Χρόνος κυκλική συχνότητα συχνότητα f f Πίνακας4Η συχνότητα στα σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου T T Επειδή η περίοδος είναι θετικός αριθμός, γίνεται κατανοητό ότι η περίοδος T των σημάτων συνεχούς χρόνου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός( T ), ενώ η περίοδος N των σημάτων διακριτού χρόνου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του ( N ) 5

53 39 Σήματα συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Ένα πραγματικό σήμα συνεχούς χρόνου xt () αναπαρίσταται χρησιμοποιώντας δυο διανύσματα: το διάνυσμα του πλάτους, που περιέχει τις τιμές του πλάτους του σήματος και το διάνυσμα του χρόνου, που περιέχει τις αντίστοιχες τιμές χρόνου Το διάνυσμα χρόνου μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τιμές για την αρχή, το βήμα χρόνου και το τέλος του διανύσματος Το διάνυσμα πλάτους μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας πράξεις με το διάνυσμα του χρόνουείναι προφανές ότι για να είναι ένα σήμα σωστά ορισμένο πρέπει το μήκος του διανύσματος πλάτους να είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος χρόνου Για παράδειγμα, το σήμα συνεχούς χρόνου x( t) t, t [,] μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τις εντολές: t=::; x=*t+; Τα μιγαδικά σήματα συνεχούς χρόνου έχουν πραγματικό και φανταστικό μέρος και βέβαια μέτρο και φάση Επομένως, μπορούν να παρασταθούν με τρία διανύσματα ίσου μήκους, ένα διάνυσμα για τον χρόνο και δύο διανύσματα για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος Προαιρετικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο διανύσματα ίσου μήκους με το διάνυσμα του χρόνου για το μέτρο και τη φάση 4 Δειγματοληψία Μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό Τα σήματα συνεχούς χρόνου δεν μπορούμε να τα επεξεργαστούμε σε ψηφιακό περιβάλλον, δηλαδή με ψηφιακά μέσα Επομένως, υπάρχει η ανάγκη μετατροπής τους σε ψηφιακά σήματα Έτσι προκύπτει η σχέση των σημάτων συνεχούς χρόνου και των σημάτων διακριτού χρόνου Η μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό (aalog to digital coversio ADC) είναι η διαδικασία μετατροπής ενός αναλογικού σήματος σε ψηφιακό Η μετατροπή ψηφιακού σε αναλογικό (digital to aalog coversio DAC) είναι η διαδικασία μετατροπής ενός ψηφιακού σήματος σε αναλογικό Η μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό (aalog to digital coversio ADC) γίνεται σε τρία στάδια: - περιοδική δειγματοληψία (samplig), όπουένα σήμα συνεχούς χρόνου μετατρέπεται σε μία ακολουθία διακριτού χρόνου, παίρνοντας δείγματα του σήματος συνεχούς χρόνου σε ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου δειγματοληψίας - κβάντιση (quatisatio), όπουη ακολουθία διακριτού χρόνου συνεχούς πλάτους, που προκύπτει από τη δειγματοληψία, μετατρέπεται σε μία ακολουθία διακριτού χρόνου διακριτού πλάτους - κωδικοποίηση (ecodig), όπου το ψηφιακό σήμα, που προκύπτει από την κβάντιση, μετατρέπεται σε μία ακολουθία κωδικών λέξεων, όπου κάθε διακριτή τιμή αντιστοιχεί σε έναν αριθμό bit 4 Περιοδική Δειγματοληψία Η περιοδική δειγματοληψία είναι πολύ σημαντική γιατί συνδέει τον αναλογικό κόσμο με τον ψηφιακό κόσμο Περιοδικήδειγματοληψία (samplig) είναιη διαδικασία μετατροπής ενός σήματος συνεχούς χρόνου x () a t σε μία ακολουθία διακριτού χρόνου x ( ) εξάγοντας και συγκρατώντας τις τιμές του σήματος συνεχούς χρόνου σε ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου δειγματοληψίας, δηλαδή σε διακριτές χρονικές στιγμές: x( ) xa( Ts) (7) Ο ρυθμός δειγματοληψίας (σε δείγματα ανά sec) ή συχνότητα δειγματοληψίας (σεhz)είναι: fs (7) T s Για παράδειγμα, δίνεται το αναλογικό σήμα xa ( t) Acos( t ) Acos( F t ) Θέτοντας T s 5

54 t T s f s έχουμε: x( ) xa ( Ts ) Acos( Ts ) Acos( F Ts ) A cos( ) δηλαδή FTs Άρα T s και F f f s Όμως οπότε fs fs T T s δηλαδή max fs T s Επίσης f οπότε fs F fs T s Ts δηλαδή Fmax fs T s s (73) (74) (75) (76) Αυτό σημαίνει ότι με την περιοδική δειγματοληψία ενός σήματος συνεχούς χρόνου πρέπει να γίνει αντιστοίχιση μίας περιοχής συχνοτήτων απείρου εύρους σε μία περιοχή συχνοτήτων πεπερασμένου εύρους 43 Θεώρημα δειγματοληψίας Η συχνότητα με την οποία λαμβάνονται δείγματα ενός σήματος κατά τη διαδικασία της περιοδικής δειγματοληψίας πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη μεγαλύτερη συχνότητα που περιέχεται στο σήμα f F (77) s max Η συχνότητα F max αναφέρεται ως όριο Nyquist Το Θεώρημα αναφέρεται ως θεώρημα Shao Αν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας, τότε είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήματος από τα δείγματα Για παράδειγμα θεωρούμε την περιοδική δειγματοληψία του ημιτονοειδούς αναλογικού σήματος xa ( t) Acos( t ) Acos( F t ) με ρυθμό δειγματοληψίας fs T s Η δειγματοληψία παράγει το σήμα διακριτού χρόνου 53

55 x( ) xa ( Ts ) Acos( F Ts ) Acos F A cos( f ) fs όπου F f f s Αν F, τότε T T δηλαδή αν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας, τότε υπάρχει ένα-προς-ένα αντιστοίχιση F και f, με αποτέλεσμα να είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήματος από τα δείγματα Αν δεν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας, τότε δεν είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήματος από τα δείγματα, γιατί εμφανίζεται το φαινόμενο της επικάλυψης ή παραποίησης (aliasig) Για παράδειγμα θεωρούμε την περιοδική δειγματοληψία των ημιτονοειδών αναλογικών σημάτων x ( t) A cos( t ) A cos( F t ) όπου για k ισχύει που σημαίνει ότι οι συχνότητες F k είναι εκτός της περιοχής συχνοτήτων f, δηλαδή δεν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας Η περιοδική δειγματοληψία των αναλογικών σημάτων με ρυθμό δειγματοληψίας fs παράγει το σήμα διακριτού χρόνου T όπου F f f s s f a k k F F k f k s s x( ) xa ( Ts ) A cosk Ts A cos Fk Ts A cos ( F k fs ) f s s F F A cos k A cos A cos f fs fs Το σήμα που προκύπτει είναι ίσο με το σήμα x( ) Acos f που προέρχεται από τη δειγματοληψία του ημιτονοειδούς αναλογικού σήματος xa ( t) Acos( t ) Acos( F t ) Άρα υπάρχει άπειρο πλήθος ημιτονοειδών σημάτων συνεχούς χρόνου που αντιστοιχούν στην ίδια ακολουθία διακριτού χρόνου Οι συχνότητες Fk F k f, s k δεν μπορούν να διακριθούν από τη συχνότητα F μετά τη δειγματοληψία και ονομάζονται αντίγραφα (aliases) της συχνότητας F, από όπου προκύπτει και το όνομα του φαινομένου της επικάλυψης ή παραποίησης (aliasig) Το θεώρημα δειγματοληψίας εξασφαλίζει τη δυνατότητα πλήρους ανακατασκευής του αναλογικού σήματος x () a t από τα δείγματα x( ) xa( Ts) Ένα σήμα συνεχούς χρόνου xa () t που δεν έχει συχνότητες μεγαλύτερες της F μπορεί να ανακατασκευαστεί πλήρως από τα δείγματα x( ) x ( T ), αν η συχνότητα max δειγματοληψίας f s ικανοποιεί τη σχέση fs Fmax Παρατηρήσεις: Η ισότητα ισχύει αν το αναλογικό σήμα x () a t δεν περιέχει τη συχνότητα Fmax Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι δεν υπάρχει όφελος να γίνει δειγματοληψία με συχνότητα μεγαλύτερη της συχνότητας του ορίου Nyquist, γιατί η ανακατασκευή του αναλογικού σήματος είναι έτσι κι αλλιώς δυνατή a s 54

56 3 Είναι δυνατή η δειγματοληψία με συχνότητα μικρότερη της συχνότητας του ορίου Nyquist στην ειδική περίπτωση όπου το σήμα πληροφορίας (χρήσιμο σήμα) περιέχει τις συχνότητες [, F '] και ο θόρυβος (άχρηστο σήμα) περιέχει τις συχνότητες [ F', F] Τότε μπορεί να γίνει δειγματοληψία με συχνότητα F F ' fs F ' (όριο Nyquist), γιατί αν και θα παρουσιαστεί το φαινόμενο της επικάλυψης, αλλοίωση θα υποστούν μόνον οι συχνότητες του θορύβου και όχι του σήματος πληροφορίας Βασική υπόθεση είναι το σήμα πληροφορίας (χρήσιμο σήμα)και ο θόρυβος (άχρηστο σήμα) δεν περιέχουν κοινές συχνότητες 44 Ανακατασκευή αναλογικού σήματος από τα δείγματα Αν το αναλογικό σήμα x () a t έχει πεπερασμένο εύρος συχνοτήτων, δηλαδή δεν έχει συχνότητες μεγαλύτερες της F και γίνει δειγματοληψία με συχνότητα δειγματοληψίας f που ικανοποιεί τη σχέση f F, max οπότε από τη δειγματοληψία προκύπτει το σήμα διακριτού χρόνου x( ) xa( Ts), τότε είναι δυνατή η πλήρης ανακατασκευήτου αναλογικού σήματος από τα δείγματα: t xˆ a ( t) x( ) sic (78) Ts όπου si( ) sic() (79) είναι η συνάρτηση δειγματοληψίας (siecardial sic) Η συνάρτηση δειγματοληψίαςυπάρχει στο διάστημα (, ), για αυτό δεν είναι δυνατή η ανακατασκευή σε πραγματικό χρόνο s s max Οπότε η ανακατασκευή του αναλογικού σήματος γίνεται με χρήση της συνάρτησης () : t xˆ a ( t) x( ) Ts όπου συνήθως χρησιμοποιείται α η κλιμακωτή συνάρτηση ( ), β η τριγωνική συνάρτηση ( ), γ η χρονικά περιορισμένη συνάρτηση δειγματοληψίας ( ) sic( ), N N με N θετικό ακέραιο αριθμό (8) (8) (8) (83) 5 Λυμένες Ασκήσεις Σήματα διακριτού χρόνου Το γινόμενο ενός άρτιου σήματος διακριτού χρόνου επί ένα περιττό σήμα διακριτού χρόνου είναι ένα περιττό σήμα διακριτού χρόνου Λύση Έστω ότι: το σήμα x ( ) είναι άρτιο: x( ) x( ) και το σήμα x ( ) είναι περιττό: x( ) x( ) 55

57 Τότε για το γινόμενό τους x( ) x( ) x( ) χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ισότητες μπορούμε να γράψουμε: x( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x( ) που σημαίνει ότι το σήμα x( ) x ( ) x ( ) είναι περιττό Το άθροισμα των τιμών περιττού σήματος διακριτού χρόνουείναι μηδέν Λύση Έστω ότι το σήμα x ( ) είναι περιττό: x( ) x( ) Τότε το άθροισμα των τιμών του είναι: x( ) x( ) x() x( ) x( ) x() x( ) x() Γιατί x(), για κάθε περιττό σήμα όπως αποδείχθηκε στην παράγραφο 35 j /4 3 Να εξετάσετε ως προς τη συμμετρία το σήμα x( ) j e Λύση j /4 x( ) j e j cos j si si j cos Οπότε, x( ) si j cos si j cos και * x ( ) si j cos 4 4 Άρα * x ( ) x( ) si j cos, 4 4 j /4 δηλαδή το σήμα x( ) j e είναι συζυγές αντισυμμετρικό 4Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα x ( ) si si 5 6 Λύση Το σήμα ( ) si x έχει συχνότητα,που είναι ρητό πολλαπλάσιο του και είναι περιοδικό 5 5 με θεμελιώδη περίοδο N Το σήμα x ( ) si έχει συχνότητα,που είναι ρητό πολλαπλάσιο του και είναι 6 6 περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο N Γενικά ισχύει ότι: το άθροισμα δύο περιοδικών σημάτων με θεμελιώδεις περιόδους N και N είναι περιοδικό N N σήμα με θεμελιώδη περίοδο ίση με N (,) ( N, ) N N N = ΜΚΔ(N, N ) = ΕΚΠ(N, N ) Επομένως, το άθροισμα x( ) x ( ) x ( ) είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο 56

58 N N N ( N, ) (,) 6 5 Να διερευνήσετε αν το σήμα () είναι σήμα ενέργειας ή σήμα ισχύος Λύση Το σήμα () έχει ενέργεια Επίσης E ( ) ( ) () ( ) N N ( ) ( ) () ( ) N N οπότε το σήμα () έχει ισχύ N P lim ( ) lim N N N N N Άρα το σήμα () είναι σήμα ενέργειας Σήματα συνεχούς χρόνου Να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα του Eulerγια να εκφράσετε το si( t) και το cos( t) συναρτήσει των e e jt και jt Λύση Από την ταυτότητα του Eulerέχουμε: jt e cos( t) j si( t) και jt e cos( t) j si( t) cos( t) j si( t) Αθροίζοντας κατά μέλη παίρνουμε: jt jt e e cos( t), οπότε j t j t cos( t) e e Αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε: jt jt e e j si( t) οπότε jt jt jt jt si( t) e e j e e j Να εξετάσετε ως προς τη συμμετρία το σήμα συνεχούς χρόνου x( t) si( t) Λύση Το σήμα x( t) si( t) είναι περιττό, γιατί μπορούμε να γράψουμε x( t) si( t) si( t) x( t) 5 tt, 3 Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου xt () tt, Να αναλύσετε το σήμα σε άθροισμα άρτιας και περιττής συνιστώσας Λύση Το σήμα αναλύεται σε άθροισμα άρτιου και περιττού μέρους ως εξής: 57

59 άρτιασυνιστώσα: [ 5 t ( t)] ( 6 t) 3 t, t xe ( t) x( t) x( t) [ t ( 5 ( t)] [ t 5 t] 3t περιττή συνιστώσα: [ 5 t ( t)] [ 5 t t] t, t xo ( t) x( t) x( t) [ t ( 5 ( t)] [ t 5 t] t Άρα x ( ), o t t t 4Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα συνεχούς χρόνου x( t) si(5 t ) Λύση Το σήμα x( t) si(5 t ) έχει συχνότητα 5 και είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο 5 Δειγματοληψία Δίνεται το ημιτονοειδές αναλογικό σήμα xa ( t) 4cos t 4 Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ώστε να τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας Να υπολογίσετε το σήμα διακριτού χρόνου, που προκύπτει από δειγματοληψία με αυτήν την ελάχιστη συχνότητα Λύση Η συχνότητα του ημιτονοειδούς αναλογικού σήματος είναι F Hz Επομένως, η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ώστε να τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας είναι ίση με fs F Hz Τότε, το σήμα διακριτού χρόνου, που προκύπτει από δειγματοληψία με αυτή την ελάχιστη συχνότητα είναι: x( ) xa ( Ts ) 4cos Ts 4cos 4cos ( ) 4 fs 4 4 Δίνεται το ημιτονοειδές αναλογικό σήμα x ( t) 3cos t a από το οποίο λαμβάνονται δείγματα με ρυθμό δειγματοληψίας fs 75Hz α Να εξετάσετε αν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας β Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος διακριτού χρόνου, που προκύπτει από τη δειγματοληψία Λύση α Η συχνότητα του ημιτονοειδούς αναλογικού σήματος είναι F 5Hz Επομένως ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ώστε να τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας είναι f F Hz Αφού όμως λαμβάνονται δείγματα με ρυθμό δειγματοληψίας fs 75Hz, δεν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας β Το σήμα διακριτού χρόνου που προκύπτει από τη δειγματοληψία είναι: x( ) xa ( Ts ) 3cos Ts 3 cos 3 cos fs cos 3 cos 3 cos Οπότε s 58

60 3 και η συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος διακριτού χρόνου που προκύπτει από τη δειγματοληψία είναι f 3 (ή F f fs 75 Hz 5 Hz ) 3 6 Ασκήσεις Σήματα διακριτού χρόνου Να αποδείξετε ότι αν το σήμα χρόνου x ( ) είναι πραγματικό, τότε το σήμα y( ) x( ) x( ) είναι άρτιο Να αποδείξετε ότι αν το σήμα x ( ) είναι περιττό, τότε το σήμα y( ) x ( ) είναι άρτιο j /4 3Να εξετάσετε ως προς τη συμμετρία το σήμα x( ) e 4Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα x( ) a,, a j /6 5Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα x( ) e j /4 6Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα x( ) e si si 3 5 j /4 7Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα x( ) e si si Να διερευνήσετε αν το σταθερό σήμα x( ) c, c είναι σήμα ενέργειας ή σήμα ισχύος 9 Να αποδείξετε ότι η ενέργεια ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών του άρτιου και του περιττού μέρους του σήματος Να υπολογίσετε τη μέση ισχύ του περιοδικού σήματος διακριτού χρόνου x( ) y( mod3), όπου y( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) Σήματα συνεχούς χρόνου Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () είναι άρτιο και περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο, να αποδείξετε ότι Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () είναι περιττό και περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο, να αποδείξετε ότι x( t) dt x( t) dt x( t) dt 59

61 3Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα x( t) si4 t 8 4 Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα xt ( ) 8 t 5Να εξετάσετε ως προς τη συμμετρία το σήμα x( t) si4 t 8 6 Να εξετάσετε ως προς τη συμμετρία το σήμα xt ( ) 8 t 7 Να υπολογίσετε την ενέργεια και τη μέση ισχύ του σήματος συνεχούς χρόνου x( t) e t 8 Να υπολογίσετε τη μέση ισχύ του περιοδικού σήματος συνεχούς χρόνου x( t) 3cos t Δειγματοληψία Δίνεται το ημιτονοειδές αναλογικό σήμα x ( t) 4cos 3 t a Να υπολογίσετε την ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ώστε να τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας Να υπολογίσετε το σήμα διακριτού χρόνου που προκύπτει από δειγματοληψία με αυτήν την ελάχιστη συχνότητα Δίνεται το ημιτονοειδές αναλογικό σήμα x ( t) 6cos t a από το οποίο λαμβάνονται δείγματα με ρυθμό δειγματοληψίας fs 75Hz Να αποδείξετε ότι δεν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας Να υπολογίσετε την πλησιέστερη προς την f s /συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος που δίνει τα ίδια δείγματα με αυτά που λαμβάνονται από τη δειγματοληψία 7 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση Σήματα διακριτού χρόνου Πραγματικό σήμα διακριτού χρόνου Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ), [ 3:3] Να χρησιμοποιήσετε τις συναρτήσεις disp και display για να εμφανίσετε τις τιμές του σήματος Ναμελετήσετετιςσυναρτήσειςfigure, subplot, stem, xlabel, ylabel, axis, title, text, leged, hold Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση stem για να σχεδιάσετε το σήμα Σήμα μοναδιαίου δείγματος (ακολουθία μοναδιαίου δείγματος) Να σχεδιάσετε τα σήματα ( ), ( ), ( ) 3 Σήμα μοναδιαίου βήματος (μοναδιαία βηματική ακολουθία) Να σχεδιάσετε τα σήματα u( ), u( 5), u( ) 4 Πραγματικό εκθετικό σήμα 6

62 Να σχεδιάσετε το σήμα x( ) 5, [,] 5 Φανταστικό εκθετικό σήμα Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτροκαι τη φάσητου σήματος j / x( ) e, [ 5:5] 6 Μιγαδικό εκθετικό σήμα Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτροκαι τη φάσητου σήματος 3j x( ) e, [ 5:5] 7 Ημιτονοειδές σήμα Να σχεδιάσετε το σήμα x( ) 4si, [:5], 8 Να σχεδιάσετε το σήμα μοναδιαίας κλίσης ur ( ), [ :], 9 Περιοδικότητα φανταστικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου α Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτροκαι τη φάσητου σήματος j /6 x( ) e, [ 5:5] Να βρείτε τη θεμελιώδη περίοδο β Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτροκαι τη φάσητου σήματος j x( ) e, [ 5 :5] Να αποδείξετε ότι το σήμα δεν είναι περιοδικό Περιοδικότητα ημιτονοειδούς σήματος διακριτού χρόνου α Να σχεδιάσετε το σήμα x( ) si, [ 5:5] 4 Να βρείτε τη θεμελιώδη περίοδο β Να σχεδιάσετε το σήμα x( ) si, [ 5:5] 4 Να αποδείξετε ότι το σήμα δεν είναι περιοδικό Περιοδικότητα σήματος διακριτού χρόνου Να μελετήσετε τη συνάρτηση seqperiod Η συνάρτηση seqperiod είναι διαθέσιμη σε Matlab,αλλά δεν είναι διαθέσιμη σε Octave Να γράψετε τη συνάρτηση p = sigalperiodic(x,) με εισόδους τον χρόνο και το πλάτος ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου και έξοδο την παράμετρο pπου θα είναι η θεμελιώδης περίοδος αν το σήμα είναι περιοδικό, ή μηδέν αν το σήμα δεν είναι περιοδικό Ανάλυση πραγματικού σήματος σε άθροισμα άρτιου σήματος και περιττού σήματος Να γράψετε τη συνάρτηση [xe,xo,m] = sigaleveodd(x,) με εισόδους το διάνυσμα του χρόνου και το διάνυσμα x του πλάτουςτου σήματος και εξόδους το διάνυσμα m του χρόνου και τα διανύσματα xeκαι xo της άρτιας και του περιττής συνιστώσας του σήματος αντίστοιχα Να μελετήσετε τη συνάρτηση fliplr και να τη χρησιμοποιήσετε Να κάνετε έλεγχο ότι το σήμα είναι πραγματικό χρησιμοποιώντας την εντολή: if ay (imag(x)~=) 6

63 error('x is ot a real sequece') ed Να σχεδιάσετε το σήμα x( ) u( ) u( 3) Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση sigaleveodd για να αναλύσετε το σήμα σε άθροισμα άρτιου σήματοςκαι περιττού σήματος Να σχεδιάσετε τα σήματα 3 Γινόμενο ενός άρτιου σήματος επί ένα περιττό σήμα είναι ένα περιττό σήμα Να σχεδιάσετε το σήμα x( ) 9, [:] Να αναλύσετε το σήμα σε άθροισμα άρτιου σήματος x ( e ) και περιττού σήματος xo ( ) Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε το σήμα y( ) xe( ) xo( ) για να επιβεβαιώσετε ότι το γινόμενο ενός άρτιου σήματος επί ένα περιττό σήμα είναι ένα περιττό σήμα 4 Συμμετρία πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου Να γράψετε τη συνάρτηση s = sigalsymmetric(x,) με εισόδους τον χρόνο και το πλάτος x ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου και έξοδο την παράμετρο sπου θα είναι αν το σήμα είναι άρτιο, αν το σήμα είναι περιττό, ή μηδέν αν το σήμα δεν είναι συμμετρικό 5 Ειδική συμμετρία πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου Να γράψετε τη συνάρτηση s = sigalspecialsymmetric(x,) με εισόδους τον χρόνο και το πλάτος x ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου και έξοδο την παράμετρο sπου θα είναι -4 ανάλογα με το είδος της ειδικής συμμετρίας αν το σήμα είναι συμμετρικό, ή μηδέν αν το σήμα δεν είναι συμμετρικό 6 Περιοδικό συμμετρικό σήμα διακριτού χρόνου Ένα περιοδικό σήμαδιακριτού χρόνου με θεμελιώδη περίοδο N λέγεται άρτιο περιοδικό, όταν x( ) x( N ), Ένα περιοδικό σήμαδιακριτού χρόνου με θεμελιώδη περίοδο N λέγεται περιττό περιοδικό, όταν x( ) x( N ), Να γράψετε τη συνάρτηση [p,s] = sigalspersym(x,) με εισόδους τον χρόνο και το πλάτος x ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου και εξόδους την παράμετρο p, που θα είναι η θεμελιώδης περίοδος, αν το σήμα είναι περιοδικό, ή μηδέν αν το σήμα δεν είναι περιοδικό και την παράμετρο sπου θα είναι αν το σήμα είναι άρτιο περιοδικό ή αν το σήμα είναι περιττό περιοδικό, ή μηδέν αν το σήμα δεν είναι συμμετρικό 7 Μη τήρηση θεωρήματος δειγματοληψίας Να παράγετε και να σχεδιάστε το σήμα συνεχούς χρόνου x ( a t ) cos( t ) Να κάνετε περιοδική δειγματοληψία με ρυθμό δειγματοληψίας fs 3Hz Να αποδείξετε ότι δεν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας Να ανακατασκευάστε το αναλογικό σήμα χρησιμοποιώντας την χρονικά περιορισμένη συνάρτηση δειγματοληψίαςμε N 8 Τήρηση θεωρήματος δειγματοληψίας Να παράγετε και να σχεδιάστε το σήμα συνεχούς χρόνου x ( a t ) cos( t ) Να κάνετε περιοδική δειγματοληψία με ρυθμό δειγματοληψίας fs 3Hz Να αποδείξετε ότι τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας Να ανακατασκευάστε το αναλογικό σήμα χρησιμοποιώντας 6

64 α την κλιμακωτή συνάρτηση β την τριγωνική συνάρτηση γ την χρονικά περιορισμένη συνάρτηση δειγματοληψίαςμε δ την χρονικά περιορισμένη συνάρτηση δειγματοληψίαςμε Εργαστηριακή Άσκηση Σήματα συνεχούς χρόνου Πραγματικό σήμα συνεχούς χρόνου 3 Να παράγετε το σήμα συνεχούς χρόνου x( t) t t t, t [,] Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση plot για να σχεδιάσετε το σήμα Ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου: μεταβολή στο πλάτος Να σχεδιάσετε τα σήματα x ( t) si t, t [,8 ] και x ( t) 4si t, t [,8 ], 4 4 για να διαπιστώσετε τη μεταβολή στοπλάτος 3 Ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου:μεταβολή στη συχνότητα Να σχεδιάσετε τα σήματα x ( t) si t, t [,8 ] και x ( t) si t, t [,8 ], 4 4 για να διαπιστώσετε τη μεταβολή στη συχνότητα 4 Ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου:μεταβολή στη φάση Να σχεδιάσετε τα σήματα x ( t ) si t, t [,4 ] και x ( t) si t, t [,4 ], για να διαπιστώσετε τη μεταβολή στη φάση 5 Πραγματικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου t Να σχεδιάσετε το σήμα x( t) 5, t [,] 6 Φανταστικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου 4jt Να σχεδιάσετε το σήμα x( t) e, t [,] δηλαδή να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση 7 Μιγαδικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου ( j) t Να σχεδιάσετε το σήμα x( t) e, t [,] δηλαδή να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση tt, 8 Να σχεδιάσετε το σήμα ράμπας r( t), t [,], t N N 63

65 8 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου με τον Ήχο Ήχος Περίληψη Κεφαλαίου Σήματα διακριτού χρόνου Tα σήματα διακρίνονται σε σήματα συνεχούς χρόνου και σε σήματα διακριτού χρόνου Ένα σήμα διακριτού χρόνου παριστάνεται μαθηματικά ως μία ακολουθία Η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται χρόνος και συμβολίζεται με Πρόκειται για διακριτή μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε ακέραια τιμή Η εξαρτημένη μεταβλητή ονομάζεται πλάτος και συμβολίζεται με x ( ) Το ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό, αν η συχνότητα του σήματος είναι ρητό πολλαπλάσιο του και τότε η θεμελιώδης περίοδος είναι N Το φανταστικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου είναι περιοδικό, αν η συχνότητα του σήματος είναι ρητό πολλαπλάσιο του και τότε η θεμελιώδης περίοδος είναι N Ένα σήμα λέγεται σήμα ενέργειας αν έχει πεπερασμένη ενέργεια και μηδενική ισχύ Ένα σήμα λέγεται σήμα ισχύος αν έχει πεπερασμένη ισχύ και άπειρη ενέργεια Η περιοχή συχνοτήτων των σημάτων διακριτού χρόνου είναι πεπερασμένη: f Σήματα συνεχούς χρόνου Tα σήματα διακρίνονται σε σήματα συνεχούς χρόνου και σε σήματα διακριτού χρόνου Ένα σήμα συνεχούς χρόνου παριστάνεται μαθηματικά ως μία συνάρτηση Η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται χρόνος και συμβολίζεται με t Πρόκειται για συνεχή μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή Η εξαρτημένη μεταβλητή ονομάζεται πλάτος και συμβολίζεται με xt () Το ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T Το φανταστικό εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνουείναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο T Ένα σήμα λέγεται σήμα ενέργειας αν έχει πεπερασμένη ενέργεια και μηδενική ισχύ Ένα σήμα λέγεται σήμα ισχύος αν έχει πεπερασμένη ισχύ και άπειρη ενέργεια Η περιοχή συχνοτήτων των σημάτων συνεχούς χρόνου είναι άπειρη: f Δειγματοληψία Περιοδική δειγματοληψία (samplig) είναι η διαδικασία μετατροπής ενός σήματος συνεχούς χρόνου σε μία ακολουθία διακριτού χρόνου εξάγοντας και συγκρατώντας τις τιμές του σήματος συνεχούς χρόνου σε ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου δειγματοληψίας Θεώρημα δειγματοληψίας Shao/Nyquist: Η συχνότητα με την οποία λαμβάνονται δείγματα ενός σήματος κατά τη διαδικασία της περιοδικής δειγματοληψίας πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη μεγαλύτερη συχνότητα που περιέχεται στο σήμα Αν τηρείται το Θεώρημα δειγματοληψίας, τότε είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήματος από τα δείγματα, ενώ αν δεν τηρείται, τότε δεν είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήματος από τα δείγματα, γιατί εμφανίζεται το φαινόμενο της επικάλυψης ή παραποίησης (aliasig) 64

66 Βιβλιογραφία/Αναφορές Damper, R I (995) Itroductio to Discrete Time Sigals ad Systems Chapma & Hall Eato, J W, Batema, D, Hauberg, S, Wehbrig R () GNU Octave (3rd ed) Hase J S () GNU Octave Begier's Guide Packt Publishig Hayes, M H () Ψηφιακή Επεξεργασίας Σήματος ΕκδόσειςΤζιόλα Hsu, H (995) Sigals ad Systems McGraw Hill Igle, V K, & Proakis, J G (3) Digital Sigal Processig usig MATLAB Stamford, CT: Thomso Brooks Cole Leis, J W () Digital Sigal Processig usig MATLAB for studets ad researchers J Wiley ad Sos Ly, P A, & Fuerst, W (989) Itroductory Digital Sigal Processig With Computer Applicatios J Wiley ad Sos McClella, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6)Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων ΦιλομάθειαΜετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης OppeheimA V, Willsky, A S, Nawab, S H (3) Sigals & Systems ( d ed), Pearso Proakis, J G, & Maolakis D G (7) Digital Sigal Processig: Priciples, Algorithms ad Applicatios Pretice Hall Strum, R D, & Kirk, D E (988) First Priciples of Discrete Systems ad Digital Sigal Processig Addiso Wesley Publishig Compay The MathWorks Ic (5) Sigal Processig Toolbox User s Guide Ασημάκης, Ν (8) ΨηφιακήΕπεξεργασίαΣημάτων Guteberg Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καλουπτσίδης, Ν (994) Σήματα, Συστήματα και Αλγόριθμοι Δίαυλος Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Μουστακίδης, Γ (4) Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Εκδόσεις Τζιόλα Παρασκευάς, Μ (4) Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με Matlab Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ Φωτόπουλος, Π, & Βελώνη, Α (8) Σήματα και Συστήματα Σύγχρονη Εκδοτική 65

67 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Διαδραστικό πρόγραμμα 4Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 5 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 5Κριτήριο αξιολόγησης 66

68 Κεφάλαιο Πράξεις σημάτων διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι πράξεις σημάτων διακριτού και συνεχούς χρόνου Αναλύονται οι πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και οι πράξεις μετασχηματισμού χρόνου Παρουσιάζεται η γραμμική συνέλιξη των σημάτωνδιακριτού και συνεχούς χρόνου Προαπαιτούμενηγνώση Συναρτήσεις, ακολουθίες, ολοκληρώματα, σειρές Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου Ταξινόμηση πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου Οι πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου διακρίνονται σε πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και σε πράξεις μετασχηματισμού χρόνου Οι πράξεις μετασχηματισμού πλάτους, όπου μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων είναι: Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Κλιμάκωση στο πλάτος Οι πράξεις μετασχηματισμού χρόνου, όπου δεν μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων, αλλά η χρονική διάρκειά τους είναι: Μετατόπιση ή ολίσθηση Αναδίπλωσηή ανάκλαση Κλιμάκωση στον χρόνο Τέλος, μία ιδιαίτερη πράξη των σημάτων διακριτού χρόνου είναι η γραμμική συνέλιξη, όπου μεταβάλλεται τόσο το πλάτος, όσο και ο χρόνος Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Damper, 995, Igle ad Proakis, 3, Ly & Fuerst, 989, Oppeheim, Willsky, Nawab, 3, Proakis & Maolakis, 7, Strum & Kirk, 988 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes,, McClella, Schafer & Yoder, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καλουπτσίδης, 994, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Μουστακίδης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους Πρόσθεση σημάτων Η πρόσθεση δύο σημάτων διακριτού χρόνου x ( ) και x ( ) παράγει ένα νέο σήμα x ( ) με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων που προστίθενται: x( ) x( ) x( ) () Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το άθροισμά τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αν το σήμα x ( ) έχει διάρκεια το διάστημα [ A: T] με A T(όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί) και το σήμα x ( ) έχει διάρκεια το διάστημα[ A : T] με A T (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί), τότε το άθροισμα x( ) x( ) x( ) έχει διάρκεια το διάστημα [ AT : ], όπου [ A: T ] [mi( A, A ) : max( T, T )] Το άθροισμα υπάρχει στην ένωση των διαστημάτων χρόνου των σημάτων 67

69 που αθροίζονται Αν τα διαστήματα χρόνου των σημάτων που αθροίζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το άθροισμα στο διάστημα χρόνου ανάμεσα σε αυτά τα διαστήματα χρόνου είναι μηδέν Παράδειγμα Στο Σχήμα φαίνεται η πρόσθεση των σημάτων: x ( ), [ : 4] και x ( ) [8,9,5,], [ :] x() time x() y()=x()+x() time time Πολλαπλασιασμός σημάτων Σχήμα Πρόσθεση σημάτων διακριτού χρόνου Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων διακριτού χρόνου x ( ) και x ( ) παράγει ένα νέο σήμα x ( ) με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων που πολλαπλασιάζονται: x( ) x( ) x( ) () Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το γινόμενό τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αν το σήμα x ( ) έχει διάρκεια το διάστημα [ A: T] με A T(όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί) και το σήμα x ( ) έχει διάρκεια το διάστημα[ A : T] με A T (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί), τότε το άθροισμα x( ) x( ) x( ) έχει διάρκεια το διάστημα [ AT : ],όπου [ A: T ] [mi( A, A ) : max( T, T )] Το γινόμενο υπάρχει στην τομή των διαστημάτων χρόνου των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Αν τα διαστήματα χρόνου των σημάτων που αθροίζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το γινόμενο είναι μηδέν Παράδειγμα Στο Σχήμα φαίνεται ο πολλαπλασιασμός των σημάτων: x ( ), [ : 4] και x ( ) [8,9,5,], [ :] 68

70 x() time x() y()=x()x() time time Σχήμα Πολλαπλασιασμός σημάτων διακριτού χρόνου Παρατήρηση Ο πολλαπλασιασμός ενός σήματος x ( ) επί το σήμα u ( ), παράγει ένα σήμα xr ( ) x( ) u( ) που αποτελείται από τις τιμές του σήματος x ( ) για κάθε χρονική στιγμή,,, 3 Κλιμάκωση στο πλάτος Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ) παράγει ένα νέο σήμα y () με πλάτος το πλάτος του σήματος x ( ) πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c : y( ) cx( ) (3) Όταν τo σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η κλιμάκωση στο πλάτος του σήματος είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας και μάλιστα έχει την ίδια διάρκεια με το αρχικό σήμα Όταν c, τότε το πλάτος του αρχικού σήματος αυξάνεται κατά απόλυτη τιμή, ενώ όταν c, τότε μειώνεται Όταν c, τότε y( ) x( ), ενώόταν c, τότε y( ) x( ) Παράδειγμα Στο Σχήμα 3 φαίνεται η κλιμάκωση στο πλάτος y( ) x( ) του σήματος x( ), [ : 4] 69

71 x() time y()=x() time 3 Πράξεις μετασχηματισμού χρόνου 3 Μετατόπιση ή ολίσθηση Σχήμα 3 Κλιμάκωση στο πλάτος σήματος διακριτού χρόνου Η μετατόπισηή ολίσθηση ενός σήματος διακριτού χρόνου y( ) x( ) παράγει ένα νέο σήμα με πλάτος το πλάτος του σήματος x ( ) μετατοπισμένο δεξιά ή αριστεράκατά χρονικές στιγμές Αν, τότε η μετατόπιση γίνεται δεξιά και έχουμε καθυστέρηση Αν, τότε η μετατόπιση γίνεται αριστερά και έχουμε πρωτοπορία Αν, τότε το σήμα δεν μετατοπίζεται Παράδειγμα Στο Σχήμα 4 παρουσιάζεται το σήμα x( ) 3, [ :5] και οι μετατοπίσεις x ( ) και x ( 4) x ( ) (4) 7

72 x() 5 y()=x(-) y()=x(+4) time time time Σχήμα 4Μετατόπιση Μπορείτε να διερευνήσετε τη μετατόπιση σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Μετατόπιση σημάτων διακριτού χρόνου 3 Αναδίπλωση ή ανάκλαση Αναδίπλωση ή ανάκλαση (fold) είναι η πράξη όπου παράγεται το συμμετρικό σήμα του σήματος x ( ) ως προς τον άξονα των τεταγμένων, οπότε παρατηρείται το φαινόμενο του «καθρεπτισμού» ως προς τον άξονα των τεταγμένων Κατά την αναδίπλωση, από το αρχικό σήμα x ( ) με πεδίο ορισμού το διάστημα[ : ] με (όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί), παράγεται το σήμα y( ) x( ) (5) με πεδίο ορισμού το διάστημα[ : ] και τιμές, τις συμμετρικές ως προς τον άξονα των τεταγμένων τιμές του αρχικού σήματος x ( ) Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Παράδειγμα Στο Σχήμα 5 παρουσιάζεται το σήμα x( ) 3, [ :5] και η αναδίπλωση x( ) 7

73 x() time y()=x(-) time Σχήμα 5Αναδίπλωση Μπορείτε να διερευνήσετε την αναδίπλωση σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Διαδραστικό πρόγραμμα Αναδίπλωση σημάτων διακριτού χρόνου 33 Κλιμάκωση στον χρόνο Η κλιμάκωση στον χρόνοενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( ) x( c) (6) όπου c είναι c M ή c και M θετικός ακέραιος M Αν c M και M θετικός ακέραιος, τότε το σήμα «συρρικνώνεται» και έχουμε διαίρεση συχνότητας Στη διαίρεση συχνότητας γίνεται δειγματοληψία του σήματος κάθε M χρονικές στιγμές Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Αν c και M θετικός ακέραιος, τότε το σήμα «απλώνεται» και έχουμε πολλαπλασιασμό συχνότητας M Στον πολλαπλασιασμό συχνότητας γίνεται «άπλωμα» του σήματος κάθε M χρονικές στιγμές Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι οι τιμές του σήματος y( ) x είναι μηδέν όταν M M Αν c, τότε το σήμα δεν μεταβάλλεται Παράδειγμα 7

74 Στο Σχήμα 6 φαίνεται η διαίρεση συχνότητας y( ) x( ) του σήματος x( ) 3, [ :5] x() time x() time Σχήμα 6Κλιμάκωση στον χρόνο: διαίρεση συχνότητας Παράδειγμα Στο Σχήμα 7 φαίνεται ο πολλαπλασιασμός συχνότητας y( ) x του σήματος x( ) 3, [ :5] 73

75 x() time x(/) time Σχήμα 7Κλιμάκωση στον χρόνο: πολλαπλασιασμός συχνότητας Μπορείτε να διερευνήσετε την κλιμάκωση στον χρόνο σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3Κλιμάκωση στον χρόνο σημάτων διακριτού χρόνου 4 Προτεραιότητα πράξεων μετασχηματισμού χρόνου σημάτων διακριτού χρόνου Προσοχή χρειάζεται στη σειρά εκτέλεσης των πράξεων μετασχηματισμού χρόνου Η σειρά των πράξεων της μετατόπισης, της αναδίπλωσης και της κλιμάκωσης στον χρόνο οδηγεί σε διαφορετικά αποτελέσματα Επίσης παίζει ρόλο ο τύπος της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) και ο τύπος της κλιμάκωσης στον χρόνο (διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας) Αναδίπλωση και μετατόπιση Υπάρχουν οι παρακάτω τέσσερις περιπτώσεις σειράς εκτέλεσης των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) κατά χρονικές στιγμές, όπου : Καθυστέρηση και Αναδίπλωση x( ) x( ) x( ) έ ί Αναδίπλωση και Καθυστέρηση x( ) x( ) x ( ) x( ) ί έ 3 Πρωτοπορία και Αναδίπλωση x( ) x( ) x( ) ί ί 74

76 4 Αναδίπλωση και Πρωτοπορία x( ) x( ) x ( ) x( ) ί ί Είναι προφανές ότι: Καθυστέρηση και Αναδίπλωση δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Αναδίπλωση και Καθυστέρηση Πρωτοπορία και Αναδίπλωση δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Αναδίπλωση και Πρωτοπορία Καθυστέρηση και Αναδίπλωση οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Αναδίπλωση και Πρωτοπορία Αναδίπλωση και Καθυστέρηση οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Πρωτοπορία και Αναδίπλωση Επομένως, γενικά οι πράξειςαναδίπλωση και Μετατόπιση δεν αντιμετατίθενται Στο Σχήμα 8 παρουσιάζεται το σήμα x( ) 6, [ 5:5] και τα σήματα x( ) και x( ) x() time x(--) time x(-+) time Σχήμα 8Μετατόπιση και αναδίπλωση Αναδίπλωση και Κλιμάκωση στον χρόνο Υπάρχουν οι παρακάτω τέσσερις περιπτώσεις σειράς εκτέλεσης των πράξεων της αναδίπλωσης και της κλιμάκωσης στον χρόνο(διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας): Αναδίπλωση και Διαίρεση συχνότητας x( ) x( ) x ( c ) x( c ) ί ί Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση x( ) x( c ) x c ( ) x( c ) ί ί 3 Αναδίπλωση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας x( ) x( ) x x ί ό c c 4 Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Αναδίπλωση ( ) x( ) x x x ό ί c c c Είναι προφανές ότι: Αναδίπλωση και Διαίρεση συχνότητας οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση 75

77 Αναδίπλωση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα με Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Αναδίπλωση Επομένως, γενικά οι πράξειςαναδίπλωση και Κλιμάκωση στον χρόνοαντιμετατίθενται Μετατόπιση και Κλιμάκωση στον χρόνο Υπάρχουν οι παρακάτω οκτώ περιπτώσεις σειράς εκτέλεσης των πράξεων της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) και της κλιμάκωσης στον χρόνο(διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας): Καθυστέρηση και Διαίρεση συχνότητας x( ) x( ) x ( c ) x( c ) έ Διαίρεση συχνότητας και Καθυστέρηση x( ) x( c ) x c ( x( c c ) ί 3 Πρωτοπορία και Διαίρεση συχνότητας x( ) x( ) x ( c ) x( c ) ί 4 Διαίρεση συχνότητας και Πρωτοπορία x( ) x( c ) x c ( x( c c ) ί 5 Καθυστέρηση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας x( ) x( ) x x έ ό c c 6 Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Καθυστέρηση ( ) x( ) x x x ό έ c c c c 7 Πρωτοπορία και Πολλαπλασιασμός συχνότητας x( ) x( ) x ί ό x c c 8 Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Πρωτοπορία ( ) x( ) x x x ό ί c c c c Επομένως, γενικά οι πράξεις Μετατόπιση και Κλιμάκωση στον χρόνο δεν αντιμετατίθενται Μετατόπιση, Κλιμάκωση στον χρόνοκαι Αναδίπλωση Δίνονται δύο παραδείγματα σειράς εκτέλεσης των πράξεων της μετατόπισης, της κλιμάκωσης στον χρόνο και της αναδίπλωσης: Καθυστέρηση, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση x( ) x( ) x( c ) x( c ) Πρωτοπορία, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση x( ) x( ) x( c ) x( c ) ί έ ί ί έ ί ί ί ί ί Συμπερασματικά, η σειρά των πράξεων της μετατόπισης, της αναδίπλωσης και της κλιμάκωσης στον χρόνο οδηγεί σε διαφορετικά αποτελέσματα Παίζει ρόλο ο τύπος της μετατόπισης (καθυστέρηση ή πρωτοπορία) και ο τύπος της κλιμάκωσης στον χρόνο (διαίρεση συχνότητας ή πολλαπλασιασμός συχνότητας) Στον Πίνακα παρουσιάζεται η σειρά των πράξεων της μετατόπισης, της αναδίπλωση και της κλιμάκωσης στον χρόνο που απαιτείται ανάλογα με το σήμα που πρόκειται να παραχθεί 76

78 Σήμα x () x( ) x( ) x( ) x( c) x c x( ) x( ) x( c ) x c x( c ) x( c ) x c x c x( c ) x( c ) Σειρά πράξεων Καθυστέρηση Πρωτοπορία Αναδίπλωση Διαίρεση συχνότητας Πολλαπλασιασμός συχνότητας Καθυστέρηση και Αναδίπλωση ή Αναδίπλωση και Πρωτοπορία Πρωτοπορία και Αναδίπλωση ή Αναδίπλωση και Καθυστέρηση Αναδίπλωση και Διαίρεση συχνότητας ή Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση Αναδίπλωση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας ή Πολλαπλασιασμός συχνότητας και Αναδίπλωση Καθυστέρηση και Διαίρεση συχνότητας ή Διαίρεση συχνότητας και Καθυστέρηση Πρωτοπορία και Διαίρεση συχνότητας ή Διαίρεση συχνότητας και Πρωτοπορία Καθυστέρηση και Πολλαπλασιασμός συχνότητας Πρωτοπορία και Πολλαπλασιασμός συχνότητας Καθυστέρηση, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση Πρωτοπορία, Διαίρεση συχνότητας και Αναδίπλωση Πίνακας Μετατόπιση, Αναδίπλωση, Κλιμάκωση στον χρόνο 5 Ανάλυση σημάτων διακριτού χρόνου Στο σημείο αυτό δίνεται ο τύπος της ανάλυσης σημάτων διακριτού χρόνου, που είναι πολύ σημαντικός στην Επεξεργασία Σημάτων: x( ) x( k) ( k) (7) k Ο τύπος περιγράφει ένα σήμαδιακριτού χρόνου x ( ) δίνοντας πληροφορία για το πλάτος του σήματος κάθε χρονική στιγμή: τη χρονική στιγμή k το σήμα έχει πλάτος xk ( ) Για παράδειγμα, το σήμα, 3, 3, x ( ) 4, 3,,, 3 μπορεί να γραφτεί 3 x( ) x( k) ( k) ( 3) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) ( 3) k 3 Ο τύπος δίνει πληροφορία για το πλάτος του σήματος κάθε χρονική στιγμή: τη χρονική στιγμή 3το σήμα έχει πλάτος, τη χρονική στιγμή το σήμα έχει πλάτος, τη χρονική στιγμή το σήμα έχει 77

79 πλάτος3, τη χρονική στιγμή το σήμα έχει πλάτος4,τη χρονική στιγμή το σήμα έχει πλάτος3, τη χρονική στιγμή το σήμα έχει πλάτος και τη χρονική στιγμή 3 το σήμα έχει πλάτος 6 Γραμμική συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου 6 Ορισμός γραμμικής συνέλιξης Η γραμμική συνέλιξη (liear covolutio) δύο σημάτων διακριτού χρόνου x ( ) και x ( ) ορίζεται ως ακολούθως: x( ) x ( ) x ( ) x ( k) x ( k) Το σύμβολο της γραμμικής συνέλιξης είναι το 6 Γραμμική συνέλιξη σημάτων άπειρης διάρκειας Όταν τα σήματα είναι άπειρης διάρκειας, τότε η γραμμική συνέλιξη είναι και αυτή ένα σήμα άπειρης διάρκειας Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας στηρίζεται στις σειρές Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( ) x a u ( ) με a και x ( ) u( ) Η γραμμική συνέλιξη x( ) x ( ) x ( ) είναι: Για k k k x( ) a u( k) u( k) a u( k) u( k) a u( k) u( k) k k Επειδή ισχύει uk ( ) όταν k, έχουμε a u( k) u( k) a u( k) k k Επειδή ισχύει u( k) όταν k( k ), έχουμε a u( k) u( k) a u( k) Επομένως, για k k k k x( ) a u( k) u( k) a u( k) u( k) a u( k) a u( k) Για k k x( ) x ( ) x ( ) x ( k) x ( k) a u( k) u( k) k k k k k k x( ) a u( k) u( k) a u( k) u( k) a u( k) u( k) a u( k) u( k) k k Επειδή ισχύει uk ( ) όταν k, έχουμε a u( k) u( k) a u( k) Επειδή ισχύει uk ( ) όταν k και u( k) όταν k, έχουμε k k k k k k Επειδή ισχύει u( k) όταν k, έχουμε a u( k) u( k) a u( k) k k k k k k k k k k k k k k k k k a a u( k) u( k) a a a k k k k k Επομένως, για k k k a a x( ) a u( k) u( k) a u( k) u( k) a u( k) u( k) a a (8) 78

80 Άρα a, x ( ) a, Δηλαδή για κάθε ακέραιο, η συνέλιξη των σημάτων x ( ) και x ( ) είναι: a x( ) u( ) a 63 Γραμμική συνέλιξη σημάτων πεπερασμένης διάρκειας Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η γραμμική συνέλιξη είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας: Αν το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A και το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A : T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A, τότε η γραμμική συνέλιξη x( ) x( ) x( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T ] [ A A : T T ] με μήκος L L L Πράγματι: L T A ( T T ) ( A A ) ( T A ) ( T A ) L L Επομένως η γραμμική συνέλιξη σημάτων πεπερασμένης διάρκειας αρχίζει από το άθροισμα των αρχών των δύο σημάτων και τελειώνει στο άθροισμα των τελών των δύο σημάτων Η γραμμική συνέλιξη δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας υπολογίζεται ακολουθώντας μία από τις παρακάτω μεθοδολογίες: (α) χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης, (β) χρήση πινάκων και (γ) χρήση της διαδικασίας υπολογισμού πολλαπλασιασμού πολυωνύμων (α) Χρήση πράξεων αναδίπλωσης και μετατόπισης Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης, όπως φαίνεται από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) και x ( ) 3 ( ) ( ) ( 3) Το σήμα x ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] και το σήμα x ( ) στον χρονικό διάστημα [:3] Τότε η γραμμική συνέλιξη x( ) x( ) x( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [:5] Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης φαίνεται παρακάτω: k x ( x ( 3 x ( k) 3 x () x ( k) 3 x () x ( k) 3 x () x (3 k) 3 x (3) x (4 k) 3 x (4)

81 x (5 k) 3 x(5) Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης Η διαδικασία του υπολογισμού της γραμμικής συνέλιξης γίνεται σε τέσσερα βήματα: Αναδίπλωση του ενός σήματος Μετατόπιση του αναδιπλωμένου σήματος στο διάστημα χρόνου του άλλου(αμετακίνητου) σήματος Η μετατόπιση γίνεται από τη στιγμή που το αναδιπλωμένο σήμα εισέρχεται στο διάστημα χρόνου του σταθερού σήματος μέχρι τη στιγμή που τοαναδιπλωμένο σήμα εξέρχεται από το διάστημα χρόνου του σταθερού σήματος 3 Πολλαπλασιασμός των τιμών του αμετακίνητου σήματος με τις τιμές του μετατοπισμένου σήματος 4 Πρόσθεση των τιμών Στο Σχήμα 9 παρουσιάζονται τα σήματα x ( ), [:5], x ( ), [ : 4] καθώς και η γραμμική συνέλιξη x( ) x ( ) x ( ) x() time x() time x()=x()*x() time Σχήμα 9Γραμμική συνέλιξη Είναι φανερό ότι η γραμμική συνέλιξη είναι μία πράξη κατά την οποία μεταβάλλεται τόσο το πλάτος όσο και ο χρόνος Μπορείτε να διερευνήσετε την γραμμική συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Διαδραστικό πρόγραμμα 4Γραμμική συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου 8

82 (β) Χρήση πινάκων Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας μπορεί να γίνει με χρήση πινάκων Αν το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A και το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A : T] (όπου A καιt είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος L T A, τότε η γραμμική συνέλιξη x( ) x( ) x( ) είναι σήμα πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A: T ] [ A A : T T ] με μήκος L L L Η γραμμική συνέλιξη μπορεί να εκφραστεί σε μορφή πινάκων: x P x όπου - το διάνυσμα x έχει τις τιμές του σήματος x ( ) και είναι διαστάσεων L - ο πίνακας P έχει τις τιμές του σήματος x ( ) αναδιπλωμένες και μετατοπισμένες και είναι διαστάσεων L L - το διάνυσμα x έχει τις τιμές της συνέλιξης x( ) x( ) x( ) και είναι διαστάσεων L Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) και x ( ) 3 ( ) ( ) ( 3) Το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ : ] με μήκος L 4 Το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [:3] με μήκος L 3 Έτσι η γραμμική συνέλιξη x( ) x( ) x( ) είναι σήμα πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [: 5] με μήκος L 6 4 Από το σήμα x ( ) 5 προκύπτει το διάνυσμα x διαστάσεων Από το σήμα x ( ) 3 προκύπτει ο πίνακας P διαστάσεων Τότε η γραμμική συνέλιξη x( ) x ( ) x ( ) έχει τιμές, τις τιμές του διανύσματος x P x διαστάσεων Παρατήρηση: Ο πίνακας P είναι πίνακας Toeplitz (όλα τα στοιχεία κατά μήκος κάθε διαγωνίου έχουν την ίδια τιμή) και αποτελείται από το σκιασμένο μέρος του πίνακα υπολογισμού της γραμμικής συνέλιξης της προηγούμενης παραγράφου 8

83 (γ) Χρήση διαδικασίας υπολογισμού πολλαπλασιασμού πολυωνύμων Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας μπορεί να γίνει με χρήση της διαδικασίας υπολογισμού πολλαπλασιασμού κατάλληλων πολυωνύμων, με συντελεστές τα πλάτη των σημάτων Οι συντελεστές του γινομένου αντιστοιχούν στο πλάτος της γραμμικής συνέλιξης των σημάτων Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) και x ( ) 3 ( ) ( ) ( 3) Θεωρούνται τα πολυώνυμα: 3 f ( x) 4 5 x 6 x 7 x και g( x) 3 x x που έχουν συντελεστές τις τιμές των σημάτων Τότε ο πολλαπλασιασμός των πολυωνύμων είναι: f ( x) g( x) 4 5x 6x 7x 3 x x 3x 3x 38x x 7x ή g( x) f ( x) 3 x x 4 5x 6x 7x 3x 3x 38x x 7x Είναι φανερό ότι οι συντελεστές του γινομένου των πολυωνύμων είναι οι τιμές της γραμμικής συνέλιξης x( ) x ( ) x ( ) 64 Ιδιότητες γραμμικής συνέλιξης Ταυτοτικό στοιχείο Ταυτοτικό στοιχείο της γραμμικής συνέλιξης είναι το σήμαμοναδιαίουδείγματος () : x( ) ( ) x( ) Απόδειξη Από το ορισμό της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: x( ) ( ) x( k) ( k) k Από τον τύπο της ανάλυσης σημάτων (7) έχουμε: x( ) x( k) ( k) k Άρα: x( ) ( ) x( ) Η γραμμική συνέλιξη οποιουδήποτε σήματος x ( ) με το σήμα μοναδιαίου δείγματος () είναι το ίδιο το σήμα x ( ) Στο Σχήμα παρουσιάζεται το σήμα x( ) 5, [ 5:5] και η συνέλιξη x( ) ( ) x( ) (9) 8

84 x() time δ() 5 x()=x()*δ() time time Σχήμα Ταυτοτικό στοιχείο γραμμικής συνέλιξης Επίσης ισχύει: x( ) ( ) x( ) Απόδειξη Από το ορισμό της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: x( ) ( ) x( k) ( k) k Από τον τύπο της ανάλυσης σημάτων (7) έχουμε: x( ) x( k) ( k) k Άρα x( ) ( ) x( ) () Αντιμεταθετική ιδιότητα Ηαντιμεταθετική ιδιότητατης γραμμικής συνέλιξης είναι: x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) () Απόδειξη Από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης, την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού και την αλλαγή μεταβλητής m k έχουμε: x ( ) x ( ) x ( k) x ( k) x ( k) x ( k) x ( m) x ( m) x ( ) x ( ) k k m Η ισχύς της αντιμεταθετικής ιδιότητας επιβεβαιώνεται από τα παραδείγματα της προηγούμενης παραγράφου Στο Σχήμα παρουσιάζονται τα σήματα x ( ), [:5] και x ( ), [ : 4], καθώς και οι ίσες μεταξύ τους συνελίξεις x ( ) x ( ) και x ( ) x ( ) 83

85 x() time x() x()*x() x()*x() time time time Σχήμα Αντιμεταθετική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης Προσεταιριστική ιδιότητα Ηπροσεταιριστική ιδιότητατης γραμμικής συνέλιξης είναι: x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) () Απόδειξη Θέτουμε z( ) x( ) x3( ) Από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης σε συνδυασμό με την αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: z( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) οπότε για οποιονδήποτε ακέραιο γράφουμε: z( k) x ( ) x ( k ) Επίσης, χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα που ισχύει στους πραγματικούς αριθμούς, μπορούμε να γράψουμε: x ( ) x ( ) x3 ( ) x ( ) z( ) x ( k) z( k) x ( k) x3( ) x( k ) k k Όμοια, θέτοντας k 3 x ( k) x ( ) x ( k ) x ( k) x ( k ) x ( ) k 3 3 k y( ) x ( ) x ( ), από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης έχουμε: y( ) x ( ) x ( ) x ( k) x ( k) k οπότε για οποιονδήποτε ακέραιο γράφουμε: y( k) x ( k) x ( k) x ( k) x ( k ) Από την αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης και την αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα που ισχύει στους πραγματικούς αριθμούς, μπορούμε να γράψουμε: k k k

86 x ( ) x ( ) x ( ) y( ) x ( ) x ( ) y( ) x ( ) y( k) x3 ( ) x ( k) x ( k ) x3( ) x ( k) x( k ) x ( k) x( k ) x3( ) k k k Επομένως x ( ) x ( ) x3 ( ) x ( ) x ( ) x3 ( ) Η προσεταιριστική ιδιότητα έχει μεγάλη σημασία στα Γραμμικά Συστήματα και ιδιαίτερα στα Συστήματα που συνδέονται σε σειρά, όπως θα εξηγηθεί στο επόμενο κεφάλαιο Η προσεταιριστική ιδιότητα μαζί με την αντιμεταθετική ιδιότητα έχουν ως αποτέλεσμα το γεγονός ότι η γραμμική συνέλιξη πολλών σημάτων υπολογίζεται ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία γίνεται η συνέλιξη των σημάτων Στο Σχήμα παρουσιάζονται τα σήματα x ( ), [:5], x ( ), [ : 4] και x 3 ( ) 4, [ :], καθώς και τα ίσα μεταξύ τους σήματα x ( ) [ x ( ) x3 ( )] και [ x ( ) x ( )] x ( ) 3 x() x() x3() s() s() 5-4 time time time 5 s()=[x()*x()]*x3() time 5 s()=x()*[x()*x3()] time Σχήμα Προσεταιριστική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης Επιμεριστική ιδιότητα Ηεπιμεριστική ιδιότητατης γραμμικής συνέλιξης είναι: x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) 3 3 (3) Απόδειξη Από τον ορισμό της γραμμικής συνέλιξης και την επιμεριστική ιδιότητα που ισχύει στους πραγματικούς αριθμούς, έχουμε: 85

87 x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( k) x ( k) x ( k) x ( k) 3 3 k k x ( k) x ( k) x ( k) x ( ) x ( ) x ( ) k 3 3 Η προσεταιριστική ιδιότητα έχει μεγάλη σημασία στα Γραμμικά Συστήματα και ιδιαίτερα στα Συστήματα που συνδέονται παράλληλα, όπως θα εξηγηθεί στο επόμενο κεφάλαιο Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται τα σήματα x ( ), [:5], x ( ), [ : 4] και x 3 ( ) 4, [ :], καθώς και τα ίσα μεταξύ τους σήματα x ( ) [ x ( ) x3( )] και [ x ( ) x ( )] [ x ( ) x ( )] 3 x() x() x3() s() s() 5-4 time time time 5 s()=x()*[x()+x3()] time 5 s()=x()*x()+x()*x3() time Σχήμα 3Επιμεριστική ιδιότητα γραμμικής συνέλιξης 7 Συσχέτιση σημάτων διακριτού χρόνου 7 Ετεροσυσχέτιση σημάτων διακριτού χρόνου Η ετεροσυσχέτιση (crosscorrelatio) δύο πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου x ( ) και y () ορίζεται ως ακολούθως: r ( ) x( k) y( k) x( k) y( k ) xy k k Η ετεροσυσχέτιση σχετίζεται με τη γραμμική συνέλιξη: r ( ) ( ) ( ) xy x y (4) (5) 86

88 Απόδειξη 87 Είναι προφανές ότι η ετεροσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η ετεροσυσχέτιση είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αν το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ Ax : Tx] (όπου Ax καιtx είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος Lx Tx Ax και το σήμα y () είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ Ay: Ty] (όπου Ay καιty είναι ακέραιοι αριθμοί)με μήκος Ly Ty Ay, τότε το σήμα y( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ Ty : Ay] με μήκος L y και η ετεροσυσχέτιση rxy ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ A T : T A ] Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x( ) 4 ( ) 5 ( ) και y( ) ( ) ( 3) 3 ( 4) Το σήμα x ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και το σήμα y () στον χρονικό διάστημα [: 4] Τότε το σήμα y( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα[ 4: ] και η ετεροσυσχέτιση r ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ 5: ] Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης r x( ) y( ) x( k) y ( k) x( k) y( k ) r ( ) k k xk ( ) yk ( ) ( ) φαίνεται παρακάτω: y(5 k) 3 rxy ( 5) y(4 k) 3 rxy ( 4) y(3 k) 3 rxy ( 3) y( k) 3 rxy ( ) Υπολογισμός ετεροσυσχέτισης Το σήμα x ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και το σήμα y () στον χρονικό διάστημα [: 4] Τότε το σήμα x( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα[:] και η ετεροσυσχέτιση r ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [:5] Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης r ( yx ) φαίνεται παρακάτω: k xk ( ) yk ( ) k xy 3 xk ( ) 4 5 ryx () xk ( 3) 4 5 ryx (3) xk ( 4) 4 5 ryx (4) xk ( 5) 4 5 ryx (5) 43 Υπολογισμός ετεροσυσχέτισης xy x y x y yx xy

89 Αξίζει να σημειωθεί ότι ισχύει: r ( ) r ( ) xy yx Απόδειξη r ( ) y( ) x( ( )) y( ) x( ) x( ) y( ) r ( ) yx xy (6) 7 Αυτοσυσχέτιση σήματος διακριτού χρόνου Η αυτοσυσχέτιση (autocorrelatio) ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: r ( ) x( k) x( k) x( k) x( k ) x k Η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με τη γραμμική συνέλιξη: r ( ) x( ) x( ) x Απόδειξη k x( ) x( ) x( k) x ( k) x( k) x( k ) r ( ) k k (7) (8) Είναι προφανές ότι η αυτοσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης Όταν ένα σήμαείναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η αυτοσυσχέτιση είναι και αυτή ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αν το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ Ax : Tx] με μήκος Lx Tx Ax, τότε το σήμα x( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ Tx : Ax] με μήκος Lx και η αυτοσυσχέτιση rx ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ Ax Tx : Tx Ax ] Παράδειγμα Δίνεται το σήμα x( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) Το σήμα x ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] Τότε το σήμα x( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] και η αυτοσυσχέτιση rx ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ 3:3] Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης rx ( ) φαίνεται παρακάτω: k xk ( ) xk ( 3) 4 5 r ( 3) xk ( ) 4 5 r ( ) xk ( ) 4 5 r ( ) xk ( ) 4 5 r () xk ( ) 4 5 r () 4 45 xk ( ) 4 5 r () xk ( 3) 4 5 rx (3) 4 5 Υπολογισμός αυτοσυσχέτισης Αξίζει να σημειωθεί ότι η αυτοσυσχέτιση έχει άρτια συμμετρία: rx( ) rx( ) (9) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τον τύπο (8) και την αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης, μπορούμε να γράψουμε: r ( ) x( ) x ( ) x( ) x( ) x( ) x( ) r ( ) x x x x x x x x x 88

90 rx ( ) Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4 παρουσιάζεται το σήμα x( ), [:5] και η αυτοσυσχέτιση, όπου φαίνεται ότι είναι άρτιο σήμα 5 4 x() time 6 4 rx() time Σχήμα 4Αυτοσυσχέτιση Επίσης, αξίζει να σημειωθεί η αυτοσυσχέτιση ενός πραγματικού σήματος διακριτού χρόνου σχετίζεται με την ενέργεια του σήματος: x () ( ) r E x () Τέλος, ηαυτοσυσχέτισηενός πραγματικού σήματος ισχύος διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: N N rx ( ) lim x( k) x( k) lim x( k) x( k ) () N N N N N N Τότε η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με την μέση ισχύ του πραγματικού σήματος: N rx () P lim x ( ) () N N N 8 Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlab είναι το βιβλίο The MathWorks Ic, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlab είναι τα βιβλία Igle ad Proakis, 3 και Leis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlab είναι τα βιβλία Ασημάκης, 8 (για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου) και Παρασκευάς, 4 (για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου) Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Η συνάρτηση sigaladd παράγει το άθροισμα δύο σημάτων fuctio [y,]=sigaladd(x,,x,) % additio 89

91 % y()=x()+x() =mi(mi(),mi()):max(max(),max()); y=zeros(,legth()); y=y; y(fid((>=mi())&(<=max())==))=x; y(fid((>=mi())&(<=max())==))=x; y=y+y; Η συνάρτηση sigaladdέχει εισόδους τις παραμέτρουςx,, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του πρώτου σήματος και τις παραμέτρουςx,, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του δεύτερου σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του αθροίσματος Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση των παραμέτρων,και, γιατί είναι διανύσματα Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( ) x ( ) x ( ) με x ( ) ( ) ( ) και x ( ) 3 ( ) 4 ( 3) απαιτείται η κλήση x=[ ]; =[ ]; x=[3 4], =[ 3]; [y,]= sigaladd (x,,x,) Η συνάρτηση sigalmult παράγει το γινόμενο δύο σημάτων fuctio[y,]=sigalmult(x,,x,) % multiplicatio % y()=x()x() =mi(mi(),mi()):max(max(),max()); y=zeros(,legth()); y=y; y(fid((>=mi())&(<=max())==))=x; y(fid((>=mi())&(<=max())==))=x; y=y*y; Η συνάρτηση sigalmultέχει εισόδους τις παραμέτρουςx,, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του πρώτου σήματος και τις παραμέτρουςx,, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του δεύτερου σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του γινομένου Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση των παραμέτρων,και, γιατί είναι διανύσματα Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( ) x( ) x( ) με x ( ) ( ) ( ) και x ( ) 3 ( ) 4 ( 3) απαιτείται η κλήση x=[ ]; =[ ]; x=[3 4], =[ 3]; [y,]= sigalmult (x,,x,) Η συνάρτηση sigalshiftυλοποιεί τη μετατόπιση ή ολίσθηση σήματος fuctio[y,]=sigalshift(x,m,) % shift % y()=x(-) =m+; y=x; Η συνάρτηση sigalshift έχει εισόδους τις παραμέτρουςx,m που είναι το πλάτος και ο χρόνος του σήματος και την παράμετρο, που είναι ο χρόνος μετατόπισης Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του μετατοπισμένου σήματος Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της παραμέτρου m, γιατί είναι διάνυσμα Επίσης, ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της παραμέτρου, γιατί αφορά στην κατεύθυνση της μετατόπισης: αν, τότε η μετατόπιση γίνεται δεξιά και έχουμε καθυστέρηση, αν, τότε η μετατόπιση γίνεται αριστερά και έχουμε πρωτοπορία, ενώ αν, τότε το σήμα δεν μετατοπίζεται Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( ) x( 5) με x( ) ( ) ( ) απαιτείται η κλήση x=[ ]; m=[ ]; [y,]= sigalshift (x,m,5), ενώ για την παραγωγή του σήματος y() = x( + 4)με x() = δ() + δ( )απαιτείται η κλήση x=[ ]; m=[ ]; [y,]= sigalshift (x,m,-4) Η συνάρτηση sigalfoldυλοποιεί την αναδίπλωση ή ανάκλαση σήματος fuctio[y,]=sigalfold(x,) 9

92 % fold % y()=x(-) y=fliplr(x); =-fliplr(); Η συνάρτηση sigalfoldέχει εισόδους τις παραμέτρουςx,, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους y και, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του αναδιπλωμένου σήματος Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της παραμέτρου, γιατί είναι διάνυσμακαι γιατί χρησιμοποιείται ως παράμετρος εισόδου για τον χρόνο του σήματος και ως παράμετρος εξόδου για τον χρόνο του αναδιπλωμένου σήματος Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( ) x( ) με x( ) ( ) ( ) 3 ( ) απαιτείται η κλήση x=[ 3]; =[ ]; [y,]= sigalfold (x,) Η συνάρτηση sigalscaldivυλοποιεί τη διαίρεση συχνότητας σήματος fuctio[y]=sigalscaldiv(c,x) % frequecy divisio % x() =:l % y()=x(c) % c> l=legth(x); m=floor(l/c); for i=:m y(i)=x(i*c); ed; Η διαίρεση συχνότητας ενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( ) x( c), όπου c Η συνάρτηση sigalscaldiv έχει εισόδους την παράμετρο x, που είναι το πλάτος του σήματος και την παράμετροc, που αφορά στον τρόπο «συρρίκνωσης» του σήματος και που πρέπει να είναι θετικός ακέραιος αριθμός Η συνάρτηση έχει έξοδο την παράμετρο y που είναι το πλάτος του σήματος που προκύπτει από τη διαίρεση συχνότητας Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της συνάρτησης, γιατί η αφορά σε σήματα πεπερασμένης διάρκειας που αρχίζουν τη χρονική στιγμή Αυτός είναι ο λόγος που η συνάρτηση δενασχολείται με τον χρόνο του σήματος Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( ) x( ) με x( ), [:] απαιτείται η κλήση x=[:]; [y]=sigalscaldiv(,x) Η συνάρτηση sigalscalmulυλοποιεί τον πολλαπλασιασμό συχνότητας σήματος fuctio[y]=sigalscalmul(c,x) % frequecy multiplicatio % x() =:l % y()=x(/c) % c> l=legth(x); m=l*c; for i=:m y(i)=; if mod(i,c)== y(i)=x(i/c); ed; ed; Ο πολλαπλασιασμός συχνότητας ενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( ) x, c όπου c Η συνάρτηση sigalscalmul έχει εισόδους την παράμετρο x, που είναι το πλάτος του σήματος και την Η συνάρτηση sigalscalmul έχει εισόδους την παράμετρο x, που είναι το πλάτος του σήματος και την παράμετροc, που αφορά στον τρόπο «απλώματος» του σήματοςκαι που πρέπει να είναι θετικός ακέραιος αριθμός Η συνάρτηση έχει έξοδο την παράμετρο y, που είναι το πλάτος του σήματος που 9

93 προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό συχνότητας Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση της συνάρτησης γιατί η αφορά σε σήματα πεπερασμένης διάρκειας που αρχίζουν τη χρονική στιγμή Αυτός είναι ο λόγος που η συνάρτηση δενασχολείται με τον χρόνο του σήματος Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος y( ) x με x( ), [,] απαιτείται η κλήση x=[:]; [y]=sigalscalmul(,x) Η συνάρτηση sigalscovυλοποιεί τη γραμμική συνέλιξη δύο σημάτων fuctio [x,x]=sigalcov(x,x,x,x) % liear covolutio % x()=x()*x() yb=x()+x(); ye=x(legth(x))+x(legth(x)); x=[yb:ye]; x=cov(x,x); Η συνάρτηση sigalscovέχει εισόδους τις παραμέτρουςx,x, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του πρώτου σήματος και τις παραμέτρουςx,x, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του δεύτερου σήματος Η συνάρτηση έχει εξόδους τις παραμέτρους x και x, που είναι το πλάτος και ο χρόνος του σήματος της γραμμικής συνέλιξης των δύο σημάτων Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη χρήση των παραμέτρων xκαι x γιατί είναι διανύσματα Αξίζει να σημειωθεί ότι η συνάρτηση χρησιμοποιεί τη συνάρτηση cov, η οποία χρησιμοποιείται για πολλαπλασιασμό πολυωνύμων και υπολογίζει το πλάτος της γραμμικής συνέλιξης, χωρίς να υπολογίζει τον χρόνο ύπαρξή της Έτσι, για παράδειγμα, για την παραγωγή του σήματος x( ) x( ) x( ) με x ( ) ( ) ( ) και x ( ) 3 ( ) 4 ( 3) απαιτείται η κλήση x=[ ]; x=[ ]; x=[3 4], x=[ 3]; [x,x]=sigalcov (x,x,x,x) Να μελετήσετε τη συνάρτηση cov Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου Ταξινόμηση πράξεων σημάτων συνεχούς χρόνου Οι πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου διακρίνονται σε πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και σε πράξεις μετασχηματισμού χρόνου Οι πράξεις μετασχηματισμού πλάτους, όπου μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων είναι: Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Κλιμάκωση στο πλάτος Οι πράξεις μετασχηματισμού χρόνου, όπου δεν μεταβάλλεται το πλάτος των σημάτων, αλλά η χρονική διάρκειά τους είναι: Μετατόπιση ή ολίσθηση Αναδίπλωσηή ανάκλαση Κλιμάκωση στον χρόνο Τέλος, μία ιδιαίτερη πράξη των σημάτων διακριτού χρόνου είναι η συνέλιξη, όπου μεταβάλλεται τόσο το πλάτος, όσο και ο χρόνος Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους Πρόσθεση σημάτων Η πρόσθεση δύο σημάτων συνεχούς χρόνου x () t και x () t παράγει ένα νέο σήμα xt () με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων, που προστίθενται: x( t) x ( t) x ( t) (3) 9

94 Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το άθροισμά τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Το άθροισμα υπάρχει στην ένωση των διαστημάτων χρόνου των σημάτων που αθροίζονται Αν τα διαστήματα του χρόνου των σημάτων που αθροίζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το άθροισμα στο διάστημα του χρόνου ανάμεσα σε αυτά τα διαστήματα χρόνου είναι μηδέν Πολλαπλασιασμός σημάτων Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων συνεχούς χρόνου x () t και x () t παράγει ένα νέο σήμα xt () με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων, που πολλαπλασιάζονται: x( t) x( t) x( t) (4) Όταν τα σήματα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε το γινόμενό τους είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Το γινόμενο υπάρχει στην τομή των διαστημάτων χρόνου των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Αν τα διαστήματα του χρόνου των σημάτων που πολλαπλασιάζονται είναι ξένα μεταξύ τους, τότε το γινόμενο είναι μηδέν 3 Κλιμάκωση στο πλάτος Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος συνεχούς χρόνου xt () παράγει ένα νέο σήμα yt () με πλάτος το πλάτος του σήματος xt () πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c : y( t) c x( t) (5) Όταν τo σήμα είναι πεπερασμένης διάρκειας, τότε η κλιμάκωση στο πλάτος του σήματος είναι και αυτό ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας και μάλιστα έχει την ίδια διάρκεια με το αρχικό σήμα 3 Πράξεις μετασχηματισμού χρόνου 3 Μετατόπιση ή ολίσθηση Η μετατόπιση ή ολίσθηση ενός σήματος συνεχούς χρόνου xt () παράγει ένα νέο σήμα y( t) x( t t ) με πλάτος το πλάτος του σήματος xt () μετατοπισμένο δεξιά ή αριστερά κατά t Στο Σχήμα 5 παρουσιάζεται το σήμα x( t) t, t [,] και οι μετατοπίσεις xt ( ) και xt ( ) (6) 93

95 x(t) time t x(t-) time t x(t+) time t Σχήμα 5Μετατόπιση ή ολίσθηση 3 Αναδίπλωση ή Ανάκλαση Η αναδίπλωση ή ανάκλαση ενός σήματος συνεχούς χρόνου xt () παράγει το συμμετρικό σήμα του σήματος xt () ως προς τον άξονα των τεταγμένων y( t) x( t) (7) Η πράξη της αναδίπλωσης έχει ως αποτέλεσμα την εναλλαγή μεταξύ «μέλλοντος» και «παρελθόντος» του σήματος, δηλαδή παρατηρείται το φαινόμενο του «καθρεπτισμού» ως προς τον άξονα των τεταγμένων Αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του σήματος τη χρονική στιγμή t, αν υπάρχει, παραμένει η ίδια Στο Σχήμα 6 παρουσιάζεται το σήμα x( t) t, t [,] και η αναδίπλωση x( t) 94

96 5 x(t) time t 5 x(-t) time t Σχήμα 6Αναδίπλωση ή ανάκλαση 33 Κλιμάκωση στον χρόνο Η κλιμάκωση στον χρόνο ενός σήματος συνεχούς χρόνου xt () παράγει ένα νέο σήμα y( t) x( c t) (8) όπου c είναι θετικός πραγματικός αριθμός Αν c, τότε το σήμα xt () «συρρικνώνεται» ή «συστέλλεται», ενώ αν c, τότε το σήμα xt () «απλώνεται» ή «διαστέλλεται» Στο Σχήμα 7 φαίνεται η συστολή y( t) x( t) του σήματος x( t) t, t [,] 95

97 5 x(t) time t 5 x(t) time t Σχήμα 7Κλιμάκωση στον χρόνο: συστολή t Στο Σχήμα 8 φαίνεται η διαστολή y() t x του σήματος x( t) t, t [,] 5 x(t) time t 5 x(t/) time t Σχήμα 8Κλιμάκωση στον χρόνο: διαστολή 96

98 4 Ανάλυση σημάτων συνεχούς χρόνου Στο σημείο αυτό δίνεται ο τύπος της ανάλυσης σημάτων συνεχούς χρόνου, που είναι πολύ σημαντικός στην Επεξεργασία Σημάτων: x( t) x( k) ( t k) Ο τύπος αποτελεί προσέγγιση του σήματος συνεχούς χρόνου xt () με το κλιμακωτό σήμα xt () Όταν, τότε και k x( t) lim x( t) lim x( k) ( t k) x( t) x( ) ( t ) d Ο τύπος περιγράφει ένα σήμα συναρτήσει της συνάρτησης δέλτα 5 Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου (9) (3) 5 Ορισμός συνέλιξης Η συνέλιξη (covolutio) δύο σημάτων συνεχούς χρόνου x () t και x () t ορίζεται ως ακολούθως: x( t) x ( t) x ( t) x ( ) x ( t ) d (3) 5 Υπολογισμός συνέλιξης Η διαδικασία του υπολογισμού της συνέλιξης γίνεται σε τέσσερα βήματα: Αναδίπλωση του σήματος x () t Μετατόπισητου αναδιπλωμένου σήματος 3 Πολλαπλασιασμός του «αμετακίνητου» σήματος x () t με το μετατοπισμένο σήμα 4 Ολοκλήρωσητου γινομένου (υπολογισμός του εμβαδού που δημιουργείται από την γραφική παράσταση του γινομένου και του άξονα του χρόνου) Παράδειγμα Δίνονται τα σήματασυνεχούς χρόνου x ( t ), t [,4] και x ( t) t, t [,] Να υπολογίσετε την συνέλιξη x( t) x ( t) x ( t) Για t έχουμε x( t) x( t) x( t) Για t έχουμε Για x( t) x ( t) x ( t) x ( ) x ( t ) d ( t ) d ( t ) d t 4 t t t t ( t) ( t) t 4 t t έχουμε t 97

99 x( t) x ( t) x ( t) x ( ) x ( t ) d ( t ) d ( t ) d Για t t 4t 6 t Για t 6 έχουμε x( t) x( t) x( t) Στο Σχήμα 9 φαίνεται ο υπολογισμός της συνέλιξης με τα εμβαδά που δημιουργούνται από την γραφική παράσταση του γινομένου και του άξονα του χρόνου) t t t ( t ) ( t) ( t) t ( t) ( t ) t t t 4t 4 ( t) t ( t) t ( t) 4t 4 ( t) 8 4t 4t 4 4 έχουμε t 4 4 x( t) x ( t) x ( t) x ( ) x ( t ) d ( t ) d ( t ) d t t t ( t ) ( t) ( t) 4 ( t) ( t ) t t ( t) 4 ( t) t ( t) 4 t 4t 4 6 t 4t 4 t 4t ( t) 6 ( t) t ( t) (6 t) t 6 t 4 t 4 t t t 36 98

100 Σχήμα 9Υπολογισμός συνέλιξης σημάτων συνεχούς χρόνου με εμβαδά Τα εμβαδά είναι: Για t E t 4 ( t) t (4 4 t) t (8 t) 4t t Για t 4 99

101 E 4 t ( t ) 4 ( t t ) 4 Για 4t 6 έχουμε E3 (6 t) 4 ( t ) (6 t) (6 t) t t 36 και βέβαια υπάρχει απόλυτη συμφωνία με τον υπολογισμό του ολοκληρώματος της συνέλιξης Στο Σχήμα παρουσιάζονται τα σήματα συνεχούς χρόνου x ( t ), t [,4] και x ( t) t, t [,] και η συνέλιξη x( t) x ( t) x ( t) x(t) x(t) x(t)=x(t)*x(t) time t time t time t 53 Ιδιότητες συνέλιξης Σχήμα Συνέλιξη σημάτων συνεχούς χρόνου Ταυτοτικό στοιχείο Ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης είναι το σήμαμοναδιαίου παλμού () t : x( t) ( t) x( t) (3) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέλιξηςκαι χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 4 (5), εφόσον το σήμα xt () είναι συνεχές στο t, έχουμε: x( t) ( t) x( ) ( t ) d x( ) ( ( t)) d x( ) ( t) d x( t) Αντιμεταθετική ιδιότητα Ηαντιμεταθετική ιδιότητατης συνέλιξης είναι: x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) Απόδειξη (33)

102 Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέλιξης, κάνοντας αλλαγή μεταβλητής μέσω της αντικατάστασης t και από τη γνωστή ιδιότητα των ολοκληρωμάτων b a a f ( t) d f ( t) dt, έχουμε: b x ( t) x ( t) x ( ) x ( t ) d x ( t ) x ( ) d x ( ) x ( t ) d x ( ) x ( t ) d x ( t) x ( t) Προσεταιριστική ιδιότητα Ηπροσεταιριστικήιδιότητατης συνέλιξης είναι: x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) 3 3 Απόδειξη Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση Επιμεριστική ιδιότητα Ηεπιμεριστικήιδιότητατης συνέλιξης είναι: x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) 3 3 Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνέλιξης και την ιδιότητα των ολοκληρωμάτων f ( t) dt g( t) dt f ( t) g( t) dt, έχουμε: x ( t) x ( t) x ( t) x ( t) x ( ) x ( t ) d x ( ) x ( t ) d 3 3 x ( ) x ( t ) x ( ) x ( t ) d 3 x ( ) x ( t ) x ( t ) d x ( t) x ( t) x ( t) 3 3 (34) (35) 6 Συσχέτιση σημάτων συνεχούς χρόνου 6 Ετεροσυσχέτιση σημάτων συνεχούς χρόνου Η ετεροσυσχέτιση (crosscorrelatio) δύο πραγματικών σημάτων xt () και yt () συνεχούς χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: r ( t) x( ) y( t) d x( t) y( ) d xy Η ετεροσυσχέτιση σχετίζεται με τη συνέλιξη: r ( ) ( ) ( ) xy t x t y t Απόδειξη x( t) y( t) x( ) y ( t ) d x( ) y( t) d r ( t) Είναι προφανές ότι η ετεροσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης xy (36) (37)

103 Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αξίζει να σημειωθεί ότι ισχύει: r ( t) r ( t) (38) xy yx Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τη σχέση (37) που συνδέει την ετεροσυσχέτιση με τη συνέλιξη και την αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης (33), μπορούμε να γράψουμε: r ( t) y( t) x( ( t)) y( t) x( t) x( t) y( t) r ( t) yx 6 Αυτοσυσχέτιση σήματος συνεχούς χρόνου Η αυτοσυσχέτιση (autocorrelatio) ενός πραγματικού σήματος συνεχούς χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: r ( t) x( ) x( t) d x( t) x( ) d x Η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με τη συνέλιξη: r ( t) x( t) x( t) x Απόδειξη (39) (4) Είναι προφανές ότι η αυτοσυσχέτιση μπορεί να υπολογιστεί μέσω της γραμμικής συνέλιξης Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης μπορεί να γίνει με χρήση των πράξεων της αναδίπλωσης και της μετατόπισης Στην πραγματικότητα δεν απαιτείται η αναδίπλωση του μετατοπιζόμενου σήματος, γιατί πρέπει να αναδιπλωθεί δύο φορές, γεγονός που σημαίνει ότι επανέρχεται στην αρχική του κατάσταση Αξίζει να σημειωθεί ότι η αυτοσυσχέτιση έχει άρτια συμμετρία: r ( t) r ( t) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας τη (39) έχουμε: x( t) x( t) x( ) x ( t ) d x( ) x( t) d r ( t) x x r ( t) x( ) x( ( t)) d x( ) x( t) d r ( t) x (4) Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι η αυτοσυσχέτιση ενός πραγματικού σήματος συνεχούς χρόνου σχετίζεται με την ενέργεια του σήματος: x () ( ) r E x t dt Τέλος, ηαυτοσυσχέτισηενός πραγματικού σήματος ισχύος συνεχούς χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: T T rx ( t) lim x( ) x( t) d lim x( t) x( ) d (43) T T T T T T Τότε η αυτοσυσχέτιση σχετίζεται με την μέση ισχύ του σήματος: T rx () P lim x ( t) dt (44) T T T x xy x (4) 3 Λυμένες ασκήσεις Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου

104 Να βρείτε τη συνθήκη (που αφορά στον χρόνο) που πρέπει να ικανοποιείται, ώστε ένα σήμα διακριτού χρόνου x ( ) να έχει το ίδιο πεδίο ορισμού με το σήμα x( ) Λύση Αν το αρχικό σήμα x ( ) έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ : ], τότε το σήμα x( ) έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [ : ] Για να έχουν τα δύο σήματα το ίδιο πεδίο ορισμού πρέπει να ισχύει ή, το οποίο σημαίνει ότι το είναι το κέντρο συμμετρίας του διαστήματος [ : ] Δίνονται τα σήματα διακριτού χρόνου x ( ) 5 ( ) ( ) x ( ) 4 ( ) ( ) Να υπολογίσετε τις πράξεις α x ( ) 3 x ( 3) β 3 x x( ) Λύση α x ( ) 3 x ( 3) β 3 x x( ) x () x ( ) x 3 x x ( ) x ( ) x () x ( ) x ( ) x ( 3) 3 x ( 3) x ( ) 3 x ( 3) 3 x x( ) Δίνονται τα σήματαδιακριτού χρόνου x ( ) ( ) ( ) 3 ( ) x ( ) ( ) 6 ( ) Να υπολογίσετε τη γραμμική συνέλιξη x( ) x( ) x( ) Λύση Το σήμα x ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και το σήμα x ( ) στον χρονικό διάστημα [:] Τότε η γραμμική συνέλιξη υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] 3

105 Ο υπολογισμός της γραμμικής συνέλιξης φαίνεται παρακάτω: k x ( 3 x ( 6 x ( 6 x ( 6 x( ) 3 x ( 6 x( ) x (3 k) 6 x () 6 3 x (4 6 x() 63 3 x (5 k) 6 x () Δίνονται τα σήματα διακριτού χρόνου x( ) ( ) 4 ( ) 6 ( ) y( ) ( ) 3 ( ) Να υπολογίσετε την ετεροσυσχέτιση r ( ) Λύση Το σήμα x ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [: ] και το σήμα x ( ) στον χρονικό διάστημα [:] Τότε το σήμα x ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ :] και η ετεροσυσχέτιση r ( ) υπάρχει στον χρονικό διάστημα [ : ] Ο υπολογισμός της ετεροσυσχέτισης k xk ( ) yk ( ) xy rxy ( ) φαίνεται παρακάτω: yk ( ) 3 rxy ( ) yk ( ) 3 rxy () yk ( ) 3 rxy () 4 36 yk ( ) 3 rxy () xy 5 Δίνεται το σήμα αυτοσυσχέτισης r ( ) ( ) 5 ( ) ( ) x Να βρείτε το σήμα πεπερασμένης διάρκειας x ( ) από το οποίο προήλθε,αν γνωρίζετε ότι το σήμα αρχίζει τη χρονική στιγμή Λύση Αρχικά παρατηρούμε ότι το σήμα x ( ) μπορεί να είναι σήμα αυτοσυσχέτισης αφού είναι άρτιο σήμα Το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [: ] Τότε το σήμα x( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα[ :] και η αυτοσυσχέτιση rx ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ : ] Όμως, από την εξίσωση του σήματος αυτοσυσχέτισης είναι προφανές ότι το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [ :] Επομένως πρέπει να ισχύει Άρα το σήμα x ( ) είναι πεπερασμένης διάρκειας στον χρονικό διάστημα [:], με τιμές x () και x() που πρέπει να υπολογιστούν Ο υπολογισμός της αυτοσυσχέτισης rx ( ) φαίνεται παρακάτω: 4

106 k - xk ( ) x () x() Επομένως, πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: x() x() x () x () 5 ή x() x() x() x() x() x() 4 4 x () 5 x () 5 x () 4 x () 4 ήx () x () δηλαδή x() x() x() x() ή ή ή x() x() x() x() Άρα το ζητούμενο σήμα είναι ένα από τα: x ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) 3 x ( ) ( ) ( ) 4 Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου 4t 4, t xt () 4 t, t 4 Να υπολογίσετε το σήμα y( t) x( t) Λύση 4( t) 4, t 4t 4, t y( t) x( t) 4 ( t), t 4 4 t, 4 t Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου x( t) t, t Να υπολογίσετε το σήμα y( t) x( t 4) Λύση y( t) x( t 4) t 4 t 4, 5 t 3 4 Ασκήσεις Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου Δίνονται τα σήματα διακριτού χρόνου x ( ) 3 ( ) 5 ( ) 7 ( ) x ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 ( ) Να υπολογίσετε τις πράξεις xk ( ) x () x () r ( ) x() x() x() xk ( ) x () x () r () x() x() x() x() 5 xk ( ) x () x () r () x() x() x() x x x 5

107 α x ( ) x ( ) β x ( ) x ( ) γ 3 x ( ) 5 x ( ) δ x ( 5) ε x ( 3) στ x ( ) ζ x ( 3) x ( ) η x ( ) θ x Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου x( ) 3 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 7 ( ) 3 ( 3) 8 ( 4) ( 5) Να υπολογίσετε τις πράξεις α x( 3) β x( 3) γ 3 x( 3 ) δ x ε x ( 3) στ x(3) ζ x(3) η x θ x 3 Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου x( ) (3 ) [ u( ) u( 8)] Να υπολογίσετε τις πράξεις α x( ) β x( ) γ 4 x( ) δ x(5 ) 4 Να υπολογίσετε τις παρακάτω γραμμικές συνελίξεις α 5 ( ) 4 ( ) β [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] γ [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] δ [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ε [ ( ) ( )] [ u( ) u( )] 5 Δίνονται τα σήματα x ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) 6

108 Να υπολογίσετε την ετεροσυσχέτιση r ( ) και την ετεροσυσχέτιση r ( ) 6 Να υπολογιστεί η τιμή της παραμέτρου a έτσι ώστε το σήμα r ( ) ( a ) ( ) 4 ( ) ( a ) ( ) xy να είναι σήμα αυτοσυσχέτισης 7 Να υπολογιστεί σήμα x ( ) που έχει αυτοσυσχέτιση r ( ) 3 ( ) 8 Να υπολογίσετε τις γραμμικές συνελίξεις σημάτων άπειρης διάρκειας: α u( ) u( ) β u( ) u( ) 9 Να αποδείξετε ότι η αυτοσυσχέτιση του σήματος x( ) a u( ), a είναι rx ( ) a a Δίνεται το σήμα αυτοσυσχέτισης r ( ) ( ) ( ) ( ) x Να βρείτε το σήμα πεπερασμένης διάρκειας Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου 4 ( t), t xt () 4 t, t 4 Να υπολογίσετε τα σήματα y ( t) x( t) και () t y t x Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου 4 ( t), t xt () 4 t, t 4 Να υπολογίσετε τoσήμα y( t) x(t ) 3 Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου 5 tt, xt () t, από το οποίο προήλθε Να γράψετε το σήμα ως άθροισμα άρτιου και περιττού σήματος 4 Δίνονται τα σήματασυνεχούς χρόνου x ( t), t 4 x ( t) 3 t, t 3 Να υπολογίσετε την συνέλιξη xy x ( ) x( t) x ( t) x ( t) x yx 7

109 5 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση 3 Πράξεις σημάτωνδιακριτού χρόνου Πρόσθεση σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα παρακάτω σήματα διακριτού χρόνου: α x ( ) ( ) ( ) ( 3) β x ( ) u ( ) u ( ) u ( 3) γ x ( ) u( ) u ( ), [ :] δ Πρόσθεση περιοδικών σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου: x ( ) si 4 x ( ) cos 3 Να υπολογίσετε τις θεμελιώδεις περιόδους των δύο σημάτων Να παράγετε και να σχεδιάσετε το άθροισμα x( ) x( ) x( ) Να υπολογίσετε τη θεμελιώδη περίοδο του αθροίσματος και να επιβεβαιώσετε ότι το άθροισμα περιοδικών σημάτων είναι περιοδικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο ίση με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των θεμελιωδών περιόδων των σημάτων που προστίθενται 3 Πολλαπλασιασμός σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα παρακάτω σήματα διακριτού χρόνου: α x ( ) ( ) u ( ) β γ δ 3 x e e 4 Πολλαπλασιασμόςπεριοδικών σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου: α x ( ) si 4 β x ( ) cos 3 Να υπολογίσετε τις θεμελιώδεις περιόδους των δύο σημάτων Να παράγετε και να σχεδιάσετε το γινόμενο x( ) x( ) x( ) Να εξετάσετε ως προς την περιοδικότητα το σήμα x ( ) 5 Κλιμάκωση στο πλάτος σήματος διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: x ( ) 4 x ( ) r ( ) j/ j/4, [:] 4 x e e ( ) j/ j/4, [:] x ( ) ( ) [ u ( ) u ( )] 3 x ( ) [si( ) cos( ) ] [ u ( ) u ( )] 4 x ( ) 3, [:] 6 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους σημάτων διακριτού χρόνου 8

110 Να παράγετε και να σχεδιάσετε το σήμα διακριτού χρόνου: x( ) 5 [() (3) ] u( ) u( ) 7 Μετατόπιση ή ολίσθηση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: x( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) 5 ( ) 8 ( ) x ( ) x( 4) x ( ) x( 6) 8 Αναδίπλωση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: x( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) 5 ( ) 8 ( ) y( ) x( ) 9 Κλιμάκωση στον χρόνο Να μελετήσετε τις συναρτήσεις sigalscalmulκαιsigalscaldiv Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: x( ) ( ) 4 ( ) 6 ( 3) 4 ( 4) ( 5) x ( ) x(3 ) ( ) x x 3 Κλιμάκωση στον χρόνο γενίκευση Να μελετήσετε τις συναρτήσειςsigalscalmulκαιsigalscaldivπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν για σήματα πεπερασμένης διάρκειας που αρχίζουν τη χρονική στιγμή Να γράψετε γενικευμένες συναρτήσεις για κλιμάκωση στον χρόνο που να μην έχουν αυτόν τον περιορισμό Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί διαχωρίζοντας το σήμα σε τρία τμήματα: ένα τμήμα που αντιστοιχεί σε αρνητικό χρόνο, ένα τμήμα που αντιστοιχεί σε χρόνο ίσο με μηδέν και ένα τμήμα που αντιστοιχεί σε θετικό χρόνο Η κλιμάκωση στον χρόνο για το τμήμα που αντιστοιχεί σε θετικό χρόνο μπορεί να υλοποιηθεί με χρήση των παραπάνω συναρτήσεων Η κλιμάκωση στον χρόνο του τμήματος που αντιστοιχεί σε χρόνο ίσο με μηδέν είναι ίση με το ίδιο αυτό το τμήμα Η κλιμάκωση στον χρόνο για το τμήμα που αντιστοιχεί σε αρνητικό χρόνο μπορεί να υλοποιηθεί με αναδίπλωση του τμήματος που αντιστοιχεί σε αρνητικό χρόνο, κλιμάκωση στον χρόνο του νέου σήματος (με χρήση των παραπάνω συναρτήσεων) και πάλι αναδίπλωση Η κλιμάκωση στον χρόνο του αρχικού σήματος προκύπτει από τη συνένωση των κλιμακώσεων στον χρόνο των τριών τμημάτων Τετραγωνικό σήμα Το τετραγωνικό σήμα διακριτού χρόνου έχει τη μορφή u u ( ) Να παράγετε το τετραγωνικό σήμα u( 4) u( 5) Τριγωνικό σήμα Το τριγωνικό σήμα μπορεί να παραχθεί χρησιμοποιώντας το σήμα () ή χρησιμοποιώντας το σήμα u ( ) Για παράδειγμα, το τριγωνικό σήμα διακριτού χρόνου,, x ( ) 3,,, μπορεί να γραφτεί συναρτήσει του σήματος() ως x( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 9

111 ή συναρτήσει του σήματος u ( ) ως x( ) u( ) u( ) u( ) u( ) u( ) u( 3) Να παράγετε και να σχεδιάσετε το τριγωνικό σήμα x ( ) χρησιμοποιώντας το σήμα () καιτο σήμα u ( ) 3 Μετατόπιση και αντιστροφή Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα διακριτού χρόνου: x( ) 6, [ 5:5] x ( ) x(3 ) x ( ) x( 3 ) 4 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και χρόνου σημάτων διακριτού χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τασήματα διακριτού χρόνου: 3, [ 5: ] x ( ) 3, [:5] y( ) 4 x( ) 3 x( 5) Εργαστηριακή Άσκηση 4 Συνέλιξη σημάτων διακριτού χρόνου Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης Να μελετήσετε τη συνάρτηση cov και τη συνάρτηση sigalcov Να παράγετε τα σήματα x ( ), [ :] και x ( ) 5, [ : ] Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της γραμμικής συνέλιξης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση cov Να παράγετε και να σχεδιάσετε το σήμα x( ) x ( ) x ( ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση sigalcov Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης με χρήση πίνακα Να παράγετε τα σήματα x ( ) 6, [:3] και x ( ), [:3] 7 Να παράγετε το διάνυσμα x 8 διαστάσεων 3 9 Να παράγετε τον πίνακα Toeplitz P 3 διαστάσεων Να υπολογίσετε το διάνυσμα x P x 3 8 διαστάσεων Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της γραμμικής συνέλιξης x( ) x( ) x( ) χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακαtoeplitz 3 Ταυτοτικό στοιχείο Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) [ u( ) u( )]

112 Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα x ( ) και x( ) ( ) Τι παρατηρείτε; 4 Αντιμεταθετική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου x ( ), [ :] και x ( ), [ : ] Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα x( ) x( ) και x( ) x( ) Τι παρατηρείτε; 5 Προσεταιριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου x ( ), [ :] και x ( ), [ : ] και x ( ) 3, [:3] 3 3 Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα x ( ) [ x ( ) x ( )] και [ x ( ) x ( )] x3( ) Τι παρατηρείτε; 6 Επιμεριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου x ( ), [ :] και x ( ), [ : ] και x ( ) 3, [:3] 3 3 Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα x ( ) [ x ( ) x ( )] και [ x ( ) x ( )] [ x ( ) x3( )] Τι παρατηρείτε; 7 Ετεροσυσχέτιση (crosscorrelatio) Να μελετήσετε τη συνάρτηση xcorr και τη συνάρτηση sigalcov Να παράγετε τα σήματα διακριτού χρόνου x( ), [:] και y( ), [: ] Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της ετεροσυσχέτισης r xy () χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση xcorr Να παράγετε και να σχεδιάσετε την ετεροσυσχέτιση ( ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση sigalcov Τι παρατηρείτε; 8 Αυτοσυσχέτιση (autocorrelatio) Να μελετήσετε τη συνάρτηση xcorr και τη συνάρτηση sigalcov Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ), [:] Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της αυτοσυσχέτισης rx ( ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση xcorr Να παράγετε και να σχεδιάσετε την αυτοσυσχέτισης rx ( ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση sigalcov Τι παρατηρείτε; 9 Αυτοσυσχέτιση πραγματικού εκθετικού σήματος Η αυτοσυσχέτιση του σήματος x( ) a u( ), a είναι rx ( ) a a Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ), [: ] 3 Να παράγετε και να εμφανίσετε τις τιμές της αυτοσυσχέτισης rx ( ) χρησιμοποιώντας τον παραπάνω θεωρητικό τύπο Να παράγετε και να σχεδιάσετε την αυτοσυσχέτισης rx ( ) χρησιμοποιώντας συνέλιξη Τι παρατηρείτε; Εργαστηριακή Άσκηση 5 Πράξεις σημάτωνσυνεχούς χρόνου Πρόσθεση σημάτων συνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα συνεχούς χρόνου: rxy

113 α x ( t) 5 5, t [,] β x ( t) cost si t, t [,4 ] Πολλαπλασιασμός σημάτων συνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: α x ( ) 5 cos( t), t [,], όπου rt () είναι το σήμα ράμπας β t t 3 Κλιμάκωση στο πλάτος σήματοςσυνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: x ( t) x ( t) t x e e ( ) j/ j/4, [,] t x ( t) 5, t [,] 4 Μετατόπιση ή ολίσθηση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t x( t) 5, t [,] x ( t) x( t ) x ( t) x( t ) 5 Αναδίπλωση Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t x( t) 5, t [,] y( t) x( t) 6 Κλιμάκωση στον χρόνο Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t x( t) 5, t [,] x ( t) x( t) () t x t x 7 Μετατόπιση και αντιστροφή Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματασυνεχούς χρόνου: t x( t) 5, t [,] x ( t) x( t) x ( t) x( t) 8 Πράξεις μετασχηματισμού πλάτους και χρόνου σημάτων συνεχούς χρόνου Να παράγετε και να σχεδιάσετε τασήματασυνεχούς χρόνου: t x( t) e, t [,] y( t) x( t ) 3 x( t 3) Εργαστηριακή Άσκηση 6 Συνέλιξη σημάτων συνεχούςχρόνου Υπολογισμός γραμμικής συνέλιξης

114 Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου x ( t) cos t, t [,] και x ( t) si t, t [,] 4 Να παράγετε και να σχεδιάσετε το σήμα x( t) x ( t) x ( t) Αντιμεταθετική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου x ( t) 4, t [,] και x ( t) 6, t [,] Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα x( t) x( t) και Τι παρατηρείτε; 3 Προσεταιριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου x ( t) 4, t [,], x ( t) 5, t [,] και t x ( t) 6, t [,] 3 Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα x ( t) [ x( t) x3( t)] και [ x ( t) x ( t)] x3 ( t) Τι παρατηρείτε; 4 Επιμεριστική ιδιότητα Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου x ( t) 4, t [,], x ( t) 5, t [,] και t x ( t) 6, t [,] 3 t t Να παράγετε και να σχεδιάσετε τα σήματα x ( t) [ x ( t) x3 ( t)] και [ x ( t) x ( t)] [ x ( t) x3( t)] Τι παρατηρείτε; 5 Ετεροσυσχέτιση (crosscorrelatio) Να παράγετε τα σήματα συνεχούς χρόνου x ( t) cos t, t [,] και x ( t) si t, t [,] Να παράγετε και να σχεδιάσετε την ετεροσυσχέτιση r () t και την ετεροσυσχέτιση r () t 6 Αυτοσυσχέτιση (autocorrelatio) 4 ( t), t Να παράγετε το σήμα συνεχούς χρόνου xt () 4 t, t 4 Να παράγετε και να σχεδιάσετε την αυτοσυσχέτιση r () t x t x xy ( ) x ( t) t t t t yx 3

115 6 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου με τον Ήχο Ήχος Περίληψη Κεφαλαίου Πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου Η πρόσθεση δύο σημάτων διακριτού χρόνου x ( ) και x ( ) παράγει ένα νέο σήμα x ( ) με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων που προστίθενται Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων διακριτού χρόνου x ( ) και x ( ) παράγει ένα νέο σήμα x ( ) με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( ) cx( ) με πλάτος το πλάτος του σήματος x ( ) πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c Η μετατόπιση ή ολίσθηση ενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( ) x( ) με πλάτος το πλάτος του σήματος x ( ) μετατοπισμένο δεξιά ή αριστεράκατά χρονικές στιγμές Αν, τότε η μετατόπιση γίνεται δεξιά και έχουμε καθυστέρηση Αν, τότε η μετατόπιση γίνεται αριστερά και έχουμε πρωτοπορία Αν, τότε το σήμα δεν μετατοπίζεται Αναδίπλωση ή ανάκλαση (fold) είναι η πράξη όπου παράγεται το συμμετρικό σήμα του σήματος x ( ) ως προς τον άξονα των τεταγμένων Η κλιμάκωση στον χρόνοενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ) παράγει ένα νέο σήμα y( ) x( c) Αν c M, όπου M θετικός ακέραιος, τότε το σήμα «συρρικνώνεται» και έχουμε διαίρεση συχνότητας Αν c, όπου M θετικός ακέραιος,τότε το σήμα «απλώνεται» και έχουμε πολλαπλασιασμό συχνότητας Αν M c, τότε το σήμα δεν μεταβάλλεται Οι πράξεις Αναδίπλωση και Μετατόπιση δεν αντιμετατίθενται Οι πράξεις Αναδίπλωση και Κλιμάκωση στον χρόνο αντιμετατίθενται Οι πράξεις Μετατόπιση και Κλιμάκωση στον χρόνο δεν αντιμετατίθενται Η γραμμική συνέλιξη σημάτων πεπερασμένης διάρκειας αρχίζει από το άθροισμα των αρχών των δύο σημάτων και τελειώνει στο άθροισμα των τελών των δύο σημάτων Η αυτοσυσχέτιση έχει άρτια συμμετρία Πράξεις σημάτων συνεχούς χρόνου Η πρόσθεση δύο σημάτων συνεχούς χρόνου x () t και x () t παράγει ένα νέο σήμα xt () με πλάτος το άθροισμα των πλατών των σημάτων που προστίθενται Ο πολλαπλασιασμός δύο σημάτων διακριτού χρόνου x () t και x () t παράγει ένα νέο σήμα xt () με πλάτος το γινόμενο των πλατών των σημάτων που πολλαπλασιάζονται Η κλιμάκωση στο πλάτοςενός σήματος διακριτού χρόνου xt () παράγει ένα νέο σήμα y( t) c x( t) με πλάτος το πλάτος του σήματος xt () πολλαπλασιασμένο επί έναν πραγματικό συντελεστή c Η μετατόπιση ή ολίσθηση ενός σήματος συνεχούς χρόνου xt () παράγει ένα νέο σήμα y( t) x( t t) με πλάτος το πλάτος του σήματος xt () μετατοπισμένο δεξιά ή αριστερά κατά t Η αναδίπλωση ή ανάκλαση ενός σήματος συνεχούς χρόνου xt () παράγει το συμμετρικό σήμα του σήματος xt () ως προς τον άξονα των τεταγμένων y( t) x( t) 4

116 Η κλιμάκωση στον χρόνο ενός σήματος συνεχούς χρόνου xt () παράγει ένα νέο σήμα y( t) x( c t) όπου c είναι ένας θετικός πραγματικός συντελεστήςαν c, τότε το σήμα xt () «συρρικνώνεται» ή «συστέλλεται», ενώ αν c, τότε το σήμα xt ()«απλώνεται» ή «διαστέλλεται» 7 Λογισμικό υπολογισμού πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου Μπορείτε να διερευνήσετε τις πράξεις σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 5 Διαδραστικό πρόγραμμα 5Λογισμικό υπολογισμού πράξεων σημάτων διακριτού χρόνου 5

117 Βιβλιογραφία/Αναφορές Damper, R I (995) Itroductio to Discrete Time Sigals ad Systems Chapma & Hall Eato, J W, Batema, D, Hauberg, S, Wehbrig R () GNU Octave (3rd ed) Hase J S () GNU Octave Begier's Guide Packt Publishig Hayes, M H () Ψηφιακή Επεξεργασίας Σήματος ΕκδόσειςΤζιόλα Igle, V K, & Proakis, J G (3) Digital Sigal Processig usig MATLAB Stamford, CT: Thomso Brooks Cole Leis, J W () Digital Sigal Processig usig MATLAB for studets ad researchers J Wiley ad Sos Ly, P A, & Fuerst, W (989) Itroductory Digital Sigal Processig With Computer Applicatios J Wiley ad Sos McClella, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης OppeheimA V, Willsky, A S, Nawab, S H (3) Sigals & Systems ( d ed), Pearso Proakis, J G, & Maolakis D G (7) Digital Sigal Processig: Priciples, Algorithms ad Applicatios Pretice Hall Strum, R D, & Kirk, D E (988) First Priciples of Discrete Systems ad Digital Sigal Processig Addiso Wesley Publishig Compay The MathWorks Ic (5) Sigal Processig Toolbox User s Guide Ασημάκης, Ν (8) Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Guteberg Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καλουπτσίδης, Ν (994) Σήματα, Συστήματα και Αλγόριθμοι Δίαυλος Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Μουστακίδης, Γ (4) Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Εκδόσεις Τζιόλα Παρασκευάς, Μ (4) Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με Matlab Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ Φωτόπουλος, Π, & Βελώνη, Α (8) Σήματα και Συστήματα Σύγχρονη Εκδοτική 6

118 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Διαδραστικό πρόγραμμα 6Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 7 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 7Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης 3 με το Διαδραστικό πρόγραμμα 8 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 8Κριτήριο αξιολόγησης 3 Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης 4 με το Διαδραστικό πρόγραμμα 9 Διαδραστικό πρόγραμμα 9Κριτήριο αξιολόγησης 4 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 7

119 Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ένας ορισμός της έννοιας του συστήματος διακριτού και συνεχούςχρόνου Αναλύονται οι βασικές ιδιότητες των συστημάτων διακριτού χρόνου: αρχή της επαλληλίας, ομογένεια, γραμμικότητα, χρονική αμεταβλητότητα, γραμμικότητα και χρονική αμεταβλητότητα, αιτιότητα, ευστάθεια, αντιστρεψιμότητα Παρουσιάζονται τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα διακριτού χρόνουκαι αναλύεται η έννοια της κρουστικής απόκρισης Αναλύεται η έννοια των συστημάτων πεπερασμένης και άπειρης κρουστικής απόκρισης και παρουσιάζεται η αναπαράστασή τους με χρήση εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές Παρουσιάζονται τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα συνεχούς χρόνου και η έννοια της απόκρισης μοναδιαίου παλμού Παρουσιάζεται η αναπαράσταση των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων συνεχούς χρόνου με χρήση διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές Προαπαιτούμενη γνώση Συνέλιξη, εξισώσεις διαφορών, διαφορικές εξισώσεις 3 Συστήματα διακριτού χρόνου Ορισμός Ένα σύστημα διακριτού χρόνου (φίλτρο) είναι ένας μετασχηματισμός (trasform) του σήματος εισόδου σε ένα σήμα εξόδου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3 Το σύστημα διακριτού χρόνου έχει είσοδο ένα σήμα διακριτού χρόνου ( ) και έξοδο ένα άλλο σήμα διακριτού χρόνου y( ) T x( ) όπου ο μετασχηματισμόςσυμβολίζεται με x T Η έξοδος του συστήματος ονομάζεται απόκριση του συστήματος Σχήμα 3 Σύστημα διακριτού χρόνου Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Damper, 995, Igle ad Proakis, 3, Ly & Fuerst, 989, Oppeheim, Willsky, Nawab, 3, Proakis & Maolakis, 7, Strum & Kirk, 988 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes,, McClella, Schafer & Yoder, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καλουπτσίδης, 994, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Μουστακίδης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 3 Ιδιότητες συστημάτων διακριτού χρόνου 3 Αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης Η αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης εκφράζεται με τον τύπο: N N T xi( ) T xi( ) (3) i i Η σημασία της αρχής της επαλληλίας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το άθροισμα επιμέρους εισόδων, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το άθροισμα των επί μέρους αποκρίσεων Σε ένα 8

120 σύστημα που υπακούει στην αρχή της επαλληλίας, η συνολική επίδραση στο σύστημα λόγω επί μέρους εισόδων που αθροίζονται είναι ίση με το άθροισμα των επιδράσεων στο σύστημα των επί μέρους εισόδων Για παράδειγμα, στο σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) ισχύει η αρχή της επαλληλίας Πράγματι, αν στο σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) τεθούν τα σήματα x ( ) και x ( ) ως είσοδοι, τότε το σύστημα παράγει τις εξόδους y ( ) T x ( ) x ( ) x ( ) και y ( ) T x ( ) x ( ) x ( ) Αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το άθροισμα των δύο εισόδων x( ) x ( ) x ( ), τότε το σύστημα παράγει την έξοδο Επομένως, η έξοδος είναι το άθροισμα των επί μέρους εξόδων, οπότε ισχύει η αρχή της επαλληλίας 3 Ομογένεια Η ομογένεια εκφράζεται με τον τύπο: T c x( ) ct x( ) όπου c είναι πραγματικός αριθμός Η σημασία της ομογένειας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα πολλαπλάσιο ενός αρχικού σήματος, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το ίδιο πολλαπλάσιο της απόκρισης του συστήματος στην είσοδο του αρχικού σήματος Για παράδειγμα, το σύστημα x ( ) y( ) T x( ) x ( ) είναι ομογενές Πράγματι, αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) ως είσοδος, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y( ) T x( ) Αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) c x( ) ως είσοδος, δηλαδή ένα πολλαπλάσιο της αρχικής εισόδου, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y ( ) T x ( ) Τότε, η έξοδος γράφεται: Επομένως, η έξοδος είναι το ίδιο πολλαπλάσιο της αρχικής εξόδου, οπότε το σύστημα είναι ομογενές 33 Γραμμικότητα Η γραμμικότητα εκφράζεται με τον τύπο: N N T ci xi ( ) ci T xi ( ) (33) i i για οποιεσδήποτε σταθερές ci, i,,, N Αν ένα σύστημα υπακούει στην αρχή της επαλληλίας και είναι ομογενές, τότε το σύστημα είναι γραμμικό (liear) Αυτό σημαίνει ότι σε ένα γραμμικό σύστημα, αν η είσοδος ενός συστήματος είναι ογραμμικός συνδυασμός σημάτων, τότε η έξοδος του συστήματος είναι ίση με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό τωναποκρίσεων του συστήματος στις εισόδους Για παράδειγμα, το σύστημα y( ) T x( ) x( ) si( ) είναι γραμμικό Τότε, η έξοδος γράφεται: x ( ) x ( ) x ( ) x( ) T x T x y y y( ) T x( ) T x ( ) x ( ) y( ) T x( ) T x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c x( ) x ( ) c x ( ) x ( ) y( ) T x( ) c c T x( ) c y( ) x ( ) c x( ) c x( ) x( ) (3) 9

121 Πράγματι, αν στο σύστημα τεθούν τα σήματα x ( ) και x ( ) ως είσοδοι, τότε το σύστημα παράγει τις εξόδους y ( ) και y ( ) Αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το σήμα x( ) c x ( ) c x( ), τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y () Τότε, η έξοδος γράφεται: y( ) T x( ) x( ) si( ) c x ( ) c x ( ) si( ) Επομένως, το σύστημα είναι γραμμικό c x ( ) si( ) c x ( ) si( ) c T x ( ) c T x ( ) c y ( ) c y ( ) 34 Χρονική Αμεταβλητότητα Η χρονική αμεταβλητότητα εκφράζεται με τον τύπο: y( ) T x( ) y( ) T x( (34) Η σημασία της χρονικής αμεταβλητότητα είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα σήμα μετατοπισμένο στον χρόνο (καθυστέρηση ή πρωτοπορία), τότε το σύστημα παράγει μία νέα απόκριση, που είναι η απόκριση του συστήματος στο αρχικό (μη μετατοπισμένο σήμα), το ίδιο μετατοπισμένη στον χρόνο Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (time ivariat) Για παράδειγμα, το σύστημα y( ) T x( ) x ( ) είναι χρονικά αμετάβλητο Πράγματι, αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) ως είσοδος, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο μετατοπισμένη κατά χρονικές στιγμές, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y ( ) T x ( ) Τότε, η έξοδος γράφεται: y( ) T x( ) Αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) x( ) ως είσοδος, δηλαδή η αρχική είσοδος Επομένως, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο Σε ένα χρονικά αμετάβλητο σύστημα, η επίδραση στο σύστημα λόγω κάποιας εισόδου είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο επίδρασης, δηλαδή το σύστημα έχει την ίδια συμπεριφορά στον χρόνο 35 Γραμμικότητα και Χρονική Αμεταβλητότητα Ένα σύστημα που συνδυάζει την ιδιότητα της γραμμικότητα ς και της χρονικής αμεταβλητότητας ονομάζεται γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (Liear Time Ivariat LTI) σύστημα 36 Αιτιότητα Η αιτιότητα εκφράζεται με τον τύπο: y( ) f x( ) y ( ) T x ( ) x ( ) x( ) T x( ) y( ) που σημαίνει ότι η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από εισόδους της ίδιας χρονικής στιγμής ή προηγούμενων χρονικών στιγμών Όταν δεν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι μη αιτιατό ή αναιτιατό Για παράδειγμα, το σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) είναι αιτιατό, γιατί η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται την είσοδο της ίδιας χρονικής στιγμής και της προηγούμενης χρονικής στιγμής Αντίθετα, το σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) είναι αναιτιατό,γιατί η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την είσοδο της ίδιας χρονικής στιγμής και της επόμενης χρονικής στιγμής 37 Ευστάθεια Η ευστάθεια ενός συστήματος δίνει πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο που ανταποκρίνεται η απόκριση του συστήματος σε μία διαταραχή πεπερασμένου πλάτους Ένα σύστημα είναι ευσταθές (stable), όταν κάθε φραγμένη είσοδος παράγει επίσης φραγμένη έξοδο Η ευστάθεια (stability) εκφράζεται με τον τύπο: (35)

122 x( ) L y( ) L (36) (όπου L και L θετικοί αριθμοί), που σημαίνει ότι όταν η είσοδος είναι φραγμένη, τότε και η έξοδος είναι φραγμένη Όταν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι ευσταθές (stable), ενώ όταν δεν συμβαίνει, τότε το σύστημα είναι ασταθές Αυτού του είδους η ευστάθεια ονομάζεται BIBOευστάθεια (BoudedIputBoudedOutput) Για παράδειγμα, αν ένασύστημα έχει είσοδο x( ) u( ) και απόκριση y( ) a u( ), a, τότε το σύστημα είναι ευσταθές Πράγματι, για κάθε ακέραιο αριθμό, έχουμε x( ) u( ), οπότε το σήμα εισόδου είναι φραγμένο Επίσης, για την απόκριση έχουμε: είναι φραγμένο x x y 38 Αντιστρεψιμότητα Η αντιστρεψιμότητα εκφράζεται με τον τύπο: x ( ) x ( ) y ( ) T x ( ) y ( ) T x ( ) y y( ) a u( ) a u( ) a u( ), οπότε το σήμα εξόδου Ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο, όταν η είσοδος μπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο με μοναδικό τρόπο Το αντιστρέψιμο σύστημα παράγει διαφορετικές εξόδους για διαφορετικές εισόδους Αν ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο (δηλαδή υπάρχει το αντίστροφο σύστημα) και συνδέσουμε σε σειρά το σύστημα και το αντίστροφο σύστημα, τότε η είσοδος του συστήματος είναι ίση με την έξοδο του αντίστροφου συστήματος 33 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα LTI Συστήματα (37) 33 Κρουστική απόκριση Κρουστική απόκριση(impulse respose), h ( ), ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται η έξοδος (απόκριση) y( ) h( ) του συστήματος στην κρουστική είσοδο x( ) ( ), όπως φαίνεται στο Σχήμα 3Η κρουστική απόκριση ενός LTIσυστήματος εκφράζει τη συμπεριφορά του συστήματος όταν στην είσοδο συμβεί ένα μεμονωμένο ξαφνικό γεγονός (κρουστική είσοδος) Σχήμα 3Κρουστική απόκριση Από το Σχήμα 3 είναι φανερό ότι θεωρώντας το σήμα μοναδιαίου δείγματος () ως κρουστική είσοδο του LTIσυστήματος, δηλαδή x( ) ( ), τότε η απόκριση y () του συστήματος είναι ίση με την κρουστική απόκριση του συστήματος, δηλαδή y( ) h( ) και ταυτίζεται με τη γραμμική συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση, δηλαδή ισχύει: y( ) h( ) h( ) ( ) (38) ως άμεση συνέπεια της ιδιότητας του ταυτοτικού στοιχείου της γραμμικής συνέλιξης του προηγούμενου κεφαλαίου Παρατηρήσεις

123 Είναι φανερό ότι για την κρουστική απόκριση ισχύει η σχέση: h( ) h( ) ( ) (39) Επειδή το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, ισχύει η σχέση: y( ) h( ) x( ) (3) Γενικεύοντας, σε ένα γραμμικό αμετάβλητο κατά τη μετατόπισησύστημα(liear Time Ivariat LTI) με γνωστή κρουστική απόκριση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 33, η είσοδος x ( ) και η έξοδος (απόκριση) y () συνδέονται με τη σχέση: y( ) h( ) x( ) (3) δηλαδή η απόκριση y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h ( ) με την είσοδο x ( ) Σχήμα 33LTI σύστημα διακριτού χρόνου Απόδειξη Σύμφωνα με τον τύπο της ανάλυσης σημάτων διακριτού χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, η είσοδος του LTIσυστήματος γράφεται: x( ) x( k) ( k) k και τότε η έξοδος (απόκριση) του LTIσυστήματος, που είναι y( ) T x( ) T x( k) ( k) T x( k) ( k) k k, γράφεται: επειδή - το LTIσύστημα είναι γραμμικό, οπότε ισχύει η αρχή της επαλληλίας, με αποτέλεσμα ο μετασχηματισμός να μπορεί να αναλυθεί όπως στην (3), - το LTIσύστημα είναι γραμμικό, οπότε είναι ομογενές, με αποτέλεσμα οι συντελεστές xk ( ) να συμπεριφέρονται όπως ο συντελεστής c στην (3) που δεν εξαρτώνται από τον χρόνο, επομένως μπορούν να τεθούν εκτός του μετασχηματισμού, - το LTIσύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, οπότε από την (34) αυτό σημαίνει ότι y( ) h( ) T x( ) T ( ) y( k) h( k) T x( k) T ( k), - ισχύει ο ορισμός της γραμμικής συνέλιξης σημάτων διακριτού χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, - ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης Επομένως, η σημασία της κρουστικής απόκρισης είναι τεράστια: Αν η κρουστική απόκριση είναι γνωστή, τότε για κάθε είσοδο στο LTIσύστημα είναι δυνατή η γνώση της εξόδου (με συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης και της εισόδου) Άρα η κρουστική απόκριση χαρακτηρίζει τη συμπεριφορά του συστήματος και για το λόγο αυτό η γνώση της αρκεί για την περιγραφή του LTIσυστήματος y( ) T x( ) x( k) T ( k) x( k) h( k) x( ) h( ) h( ) x( ) k k Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα είναι αιτιατό, όταν

124 h( ), δηλαδή όταν η κρουστική απόκριση είναι ένα σήμα που αρχίζει τη χρονική στιγμή (3) είναι Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ευσταθές ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα h( ) L (33) (όπου L θετικός αριθμός, που σημαίνει ότι το άθροισμα των πλατών της κρουστικής απόκρισης είναι φραγμένο Για παράδειγμα, το γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα με κρουστική απόκριση h( ) a u( ), a είναι ευσταθές Πράγματι, h( ) a u( ) h( ) a u( ) a u( ) επειδή a a u( ) a u( ) a a a a 33 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ), όπως φαίνεται στο Σχήμα 34 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) και έξοδο w ( ) Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος w ( ) και έξοδο y () Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h( ) h( ) h( ) (34) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα σε σειρά ισχύει: y( ) h ( ) w( ) w( ) h ( ) x( ) οπότε y( ) h ( ) w( ) h ( ) h ( ) x( ) h ( ) h ( ) x( ) επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (3) για την έξοδο έχουμε: y( ) h( ) x( ) Επομένως, επειδήισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης, έχουμε: h( ) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) Σχήμα 34Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου σε σειρά 3

125 Γενικεύοντας, αν συνδεθούν σε σειρά N συστήματα διακριτού χρόνου, όπου N ακέραιος με N, τότε η συνολική κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( ) h( ) hn ( ), δηλαδή η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των κρουστικών αποκρίσεωντων επί μέρους συστημάτων 333 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ), όπως φαίνεται στο Σχήμα 35 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) και έξοδο w ( ) Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο x ( ) και έξοδο v ( ) Οι έξοδοι w ( ) και v ( ) των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν την συνολική έξοδο y () Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h( ) h( ) h( ) (35) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: v( ) h ( ) x( ) w( ) h ( ) x( ) οπότε y( ) v( ) w( ) h ( ) x( ) h ( ) x( ) h ( ) h ( ) x( ) επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (3) για την έξοδο έχουμε: y( ) h( ) x( ) Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις, καταλήγουμε: h( ) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) Σχήμα 35Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου παράλληλα Γενικεύοντας, αν συνδεθούν παράλληλα N συστήματα διακριτού χρόνου, όπου N ακέραιος με N, τότε η συνολική κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( ) h( ) hn ( ), δηλαδή η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των κρουστικών αποκρίσεωντων επί μέρους συστημάτων 4

126 34 Γραμμικές εξισώσεις διαφορών 34 Αναπαράσταση LTI συστημάτων με γραμμικές εξισώσεις διαφορών Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητοσύστημα περιγράφεται από μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( k) a y( k) (36) k k k και αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( N) και αρχικές συνθήκες εισόδου x( ), x( ),, x( M) Οι σταθεροί (ανεξάρτητοι του χρόνου) συντελεστές είναι: ak, k,, N και bk, k,,, M Η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές είναι ένας ανοικτός τύπος υπολογισμού της απόκρισης του συστήματος, δεδομένων βέβαια των σταθερών συντελεστών Επομένως συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου Όταν το σύστημα είναι αιτιατό, τότε οι αρχικές συνθήκες εισόδου είναι μηδενικές Στην περίπτωση αυτή, για να υπολογιστεί η έξοδος y() απαιτούνται μόνον οι αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( N) Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) 3 x( ) 4 y( ) 5 y( ) Η εξίσωση διαφορών γράφεται y( ) x( ) 3 x( ) 4 y( ) 5 y( ) οπότε είναι προφανές ότι M, N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b, b 3, a 4, a 5 Είναι φανερό ότι η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου, γιατί για να υπολογιστεί η έξοδος σε μία χρονική στιγμή πρέπει να έχει υπολογιστεί η έξοδος τις δύο προηγούμενες χρονικές στιγμές Στη βιβλιογραφία, για παράδειγμα στο βιβλίο (Φωτόπουλος & Βελώνη, 8), η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές εμφανίζεται και στη μορφή: N M a y( k) b x( k) (37) k k k k N k Θεωρώντας ότι a, διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή a και προκύπτει μορφή αντίστοιχη της εξίσωσης διαφορών (36) Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTIσύστημα: 4 y( ) 3 x( ) x( ) 4 y( ) 5 y( ) Διαιρώντας με το συντελεστή του y () η εξίσωση διαφορών γράφεται 3 5 y( ) x( ) x( ) 4 y ( ) y( ) 4 οπότε είναι προφανές ότι M, N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: 3 5 b, b, b, a, a 4 4 Τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (LTI) συστήματα (φίλτρα) διακρίνονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τη διάρκεια της κρουστικής τους απόκρισης: τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Fiiteduratio Impulse Respose FIR) τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης (Ifiiteduratio Impulse Respose IIR) 34 Συστήματα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης FIR φίλτρα Τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης(fiiteduratio ImpulseRespose FIR) περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( k) k k και ονομάζονται φίλτρα κινητού μέσου όρου (MovigAverage MA) τάξης M (38) 5

127 Η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός FIRφίλτρου εξαρτάται από εισόδους του συστήματος την ίδια και προηγούμενες χρονικές στιγμές Είναι φανερό ότι η εξίσωση διαφορών των FIR φίλτρων αποτελεί ειδική περίπτωση της (γενικής) γραμμικής εξίσωσης διαφορών της προηγούμενης παραγράφου, όπου λείπει το δεύτερο άθροισμα σχέση: Η κρουστική απόκριση M h( ) b ( k) k k h ( ) (39) ενός φίλτρου πεπερασμένης κρουστικής απόκρισηςδίνεται από τη Είναι φανερό ότι η κρουστική απόκριση είναι ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αξίζει να σημειωθεί ότι οι συντελεστές της εξίσωσης διαφορών που περιγράφει ένα FIRφίλτρο είναι ίδιοι με τους συντελεστές της κρουστικής απόκρισης του FIRφίλτρου Μπορείτε να διερευνήσετε τα FIRφίλτρα με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3 FIRφίλτρa Η κρουστική απόκριση ενός FIRφίλτρου είναι ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Όταν η είσοδος στο φίλτρο είναι άπειρης διάρκειας, τότε και η απόκριση του φίλτρου είναι άπειρης διάρκειας Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) 8 x( ) 3 x( ) x( 3), που περιγράφει ένα FIRφίλτρο με M 3 και σταθερούς συντελεστές: b 8, b 3, b, b 3 Παράδειγμα Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: FIR MA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει έναfirφίλτρο y( ) x( ) x( ) Το φίλτρο είναι τάξης M και οι συντελεστές είναι: b, b, b Στο Σχήμα 36 παρουσιάζονται: - η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - η απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 6

128 h() h() impulse respose time s() 5 s() step respose time y() y() respose to x()=u() time Σχήμα 36FIRφίλτρο 343 Συστήματα άπειρης κρουστικής απόκρισης IIR φίλτρα Τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης(ifiiteduratioimpulserespose IIR)περιγράφονται από τη γενική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( k) a y( k) k k k N k (3) καιονομάζονταιαυτοπαλινδρομούμενα φίλτρακινητού μέσου όρου (AutoRegressiveMovigAverage ARMA) τάξης ( NM, ) Στην ειδική περίπτωση όπου M και b, τα IIRφίλτρα περιγράφονται από την (ειδική) εξίσωση διαφορών: y( ) x( ) a y( k) N k k (3) και ονομάζονται αυτοπαλινδρομούμενα φίλτρα (AutoRegressive AR) τάξης N Η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός IIRφίλτρου εξαρτάται από τις εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμές, όταν πρόκειται για ARφίλτρα, ή τόσο από εισόδους του συστήματος την ίδια και προηγούμενες χρονικές στιγμές όσο και από τις εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμές, όταν πρόκειται για ARMAφίλτραΠάντως και στις δύο περιπτώσεις, η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός IIR φίλτρου εξαρτάται από εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμέςεπίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι η εξίσωση διαφορών παρέχει τη δυνατότητα να περιγραφεί ένα σύστημα με κρουστική απόκριση άπειρης διάρκειας χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο πλήθος συντελεστών Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) 8 y( ) 3 y( ), που περιγράφει ένα IIRφίλτρο με N και σταθερούς συντελεστές: 7

129 a 8, a 3 Πρόκειται για AR φίλτροτάξης N, όπου η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από τις εξόδους τις δύο προηγούμενες χρονικές στιγμές Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) x( ) 8 y( ) 3 y( ) y( 3), που περιγράφει ένα IIRφίλτρο με M, N 3 και σταθερούς συντελεστές: b, b, a 8, a 3, a3 Πρόκειται για ARΜΑ φίλτροτάξης ( NM, ) (3,), όπου η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται τόσο από τις εισόδους την ίδια και την προηγούμενη χρονική στιγμή, όσο και από τις από τις εξόδους τις τρεις προηγούμενες χρονικές στιγμές σχέση: Η κρουστική απόκριση M h ( ) h( ) b ( k) a h( k) (3) k k k Θεωρώντας ότι h( ),, έχουμε: για M h() b h() a h() b ενός φίλτρου άπειρης κρουστικής απόκρισηςυπολογίζεται από τη h( M ) a h( M ) an h() bm από όπου υπολογίζονται οι πρώτες M τιμές της κρουστικής απόκρισης h ( ) : h() b h() b a h() h( M ) bm a h( M ) an h() Για M, έχουμε: N h( ) a h( k) k k N Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) b x( ) b x( ) a y( ) Τότε, η κρουστική απόκριση h ( ) ικανοποιεί τη σχέση: h( ) b ( ) b ( ) a h( ), Επομένως για έχουμε h() b για έχουμε h() b a h() για έχουμε h( ) a h( ) Έτσι k 8

130 h() b h(3) a h() a a b a b a b a b κοκ, οπότε καταλήγουμε στις σχέσεις h() b Άρα h() b a h() b a b() h() a h() a b a b a b a b 3 h( ) a b a b, h( ) a b u( ) a b u( ) Μπορείτε να διερευνήσετε τα IIR φίλτρα με N και M με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3IIRφίλτρa Η κρουστική απόκριση ενός IIRφίλτρου είναι ένα σήμα άπειρης διάρκειας Όταν η είσοδος στο φίλτρο είναι άπειρης διάρκειας, τότε και η απόκριση του φίλτρου είναι άπειρης διάρκειας Παράδειγμα Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: IIR AR Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) x( ) y( ) Το φίλτρο είναι τάξης a N με συντελεστή Στο Σχήμα 37 παρουσιάζονται: - η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - η απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 9

131 h() 5 h() impulse respose s() time s() impulse respose time y() y() respose to x()=u() time Σχήμα 37IIR-ARφίλτρο Παράδειγμα Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: IIR ARMA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) x( ) x( ) y( ) Το φίλτρο είναι τάξης ( NM, ) (,) με συντελεστή: a Στο Σχήμα 38 παρουσιάζονται: - η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - η απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 3

132 h() h() impulse respose time s() 5 s() step respose time y() y() respose to x()=u() time Σχήμα 38IIR-ARMAφίλτρο 344 Επίλυση εξισώσεων διαφορών για IIR φίλτρα Κάθε IIR φίλτρο περιγράφεται από τη γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) a y( k) N k k όταν πρόκειται για ARφίλτρο ή από τη γενικότερηγραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές M y( ) b x( k) a y( k) k k k N k όταν πρόκειται για ARMAφίλτρο Η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου, γιατί για να υπολογιστεί η έξοδος σε μία χρονική στιγμή πρέπει να έχει υπολογιστεί η έξοδος σε προηγούμενες χρονικές στιγμές Έτσι, η μορφή αυτή των IIRφίλτρων είναι ανοιχτή μορφή, γιατί η έξοδος υπολογίζεται επαναληπτικά Το γεγονός η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός IIRφίλτρου εξαρτάται από εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμές οδηγεί στην αναγκαιότητα να υπάρχουν αρχικές συνθήκες Το πλήθος των αρχικών συνθηκών είναι ίσο με την τιμή του N, δηλαδή της τάξης N του IIR-ARφίλτρου ή του μέρους N της τάξης ( NM, ) του IIR-ARMAφίλτρου Έτσι, οι απαιτούμενες N αρχικές συνθήκες είναι: y( ), y( ),, y( N) Για παράδειγμα, δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) y( ) που περιγράφει ένα IIR-ARφίλτρο Είναι προφανές ότι: για να υπολογιστεί η έξοδος y () απαιτείται η γνώση της προηγούμενης εξόδου y( ), 3

133 για να υπολογιστεί η έξοδος y () απαιτείται η γνώση της προηγούμενης εξόδου y(), για να υπολογιστεί η έξοδος y () απαιτείται η γνώση της προηγούμενης εξόδου y() κοκ Αν λοιπόν το φίλτρο «δουλεύει» για τις χρονικές στιγμές, τότε η έξοδος y( ) δεν είναι διαθέσιμη Επομένως, χρειάζεται μία αρχική συνθήκη, η τιμή y( ), για να «δουλέψει» το φίλτρο, δηλαδή για να αρχίσει να παράγει εξόδους Επίλυση των εξισώσεων διαφορών για IIRφίλτρα ονομάζεται ο υπολογισμός κλειστής μορφής των IIRφίλτρων, δηλαδή η εύρεση μη επαναληπτικών τύπων για τον υπολογισμό της εξόδου του φίλτρου, οπότε η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή υπολογίζεται απ ευθείας γνωρίζοντας μόνο τον χρόνο, χωρίς να απαιτείται η γνώση προηγούμενων εξόδων Μέθοδος επίλυσης των εξισώσεων διαφορών για IIR φίλτρα Η μέθοδος επίλυσης των εξισώσεων διαφορών για IIR φίλτρα προϋποθέτει τη γνώση της εξίσωσης διαφορών M y( ) b x( k) a y( k) k k k με τις αρχικές συνθήκες y( ), y( ),, y( N) Η γενικήλύση της εξίσωσης διαφορών, δηλαδή η κλειστή μορφή της εξόδου, δίνεται από τη σχέση: y( ) y ( ) y ( ) p και είναι ίση με το άθροισμα της μερικής λύσης y ( p ) της ομογενούς λύσης yh ( ) (33) Η μερική λύση (partial solutio) y ( p ) αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για δεδομένη είσοδο και με μηδενικές αρχικές συνθήκες Στον Πίνακα 3 δίνεται η μερική λύση όταν είναι δεδομένη η είσοδος Όταν η είσοδος αποτελείται από άθροισμα τέτοιων εισόδων, τότε η μερική λύση αποτελείται από άθροισμα τέτοιων μερικών λύσεων Είσοδος h N k Μερική λύση c c c ( ) cu( ) c c c c c a c a ccos( ) c si( ) c cos( ) c a cos( ) c a si( ) c a cos( ) Πίνακας3Μερική λύση εξισώσεων διαφορών Παρατήρηση Όταν η είσοδος στο φίλτρο είναι η κρουστική συνάρτηση (), τότε η μερική λύση είναι y ( ) Ηομογενής λύση (homogeoussolutio) y ( h ) αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο και με δεδομένες αρχικές συνθήκες Στην περίπτωση αυτή, δηλαδή όταν x ( ), η εξίσωση διαφορών γράφεται: N y( ) a y( k) k k και ονομάζεται ομογενής εξίσωση διαφορών Ηομογενήςλύση έχει τη μορφή h (34) 3

134 y ( ) z h Η αντικατάσταση της ομογενούς λύσης στην ομογενή εξίσωση διαφορών δίνει: N k N N N k N N k z a z z z a z a z a (35) που οδηγεί στην χαρακτηριστικήεξίσωση N N z a z an z an (36) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι βαθμού N, όπως το αντίστοιχο χαρακτηριστικό πολυώνυμο ( ) N N f z z a z an z an και έχει N ρίζες zk, k,,, N Η μορφή της ομογενούς λύσης εξαρτάται από το είδος των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης Συγκεκριμένα, - αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει απλές(διακεκριμένες) ρίζες, τότε η ομογενής λύση δίνεται από τον τύπο: N h k k k y ( ) A z, (37) με προσδιοριστέους συντελεστές Ak, k,,, N - αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει κάποια πολλαπλή ρίζα, έστω z με πολλαπλότητα m, τότε η ομογενής λύση δίνεται από τον τύπο: N m h( ) m k k km y A A A z A z (38) με προσδιοριστέους συντελεστές Ak, k,,, N Στις λύσεις (37) και (38) ο υπολογισμός (προσδιορισμός) των συντελεστών γίνεται λύνοντας ένα σύστημα N εξισώσεων με N αγνώστους (τους συντελεστές Ak, k,,, N ) Οι N εξισώσεις του συστήματος προκύπτουν από την εξίσωση της αρχικής εξίσωσης διαφορών με τη γενική λύση, αντικαθιστώντας σε αυτή την ισότητα τις αρχικές συνθήκες για,,, N Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη: y( ) Πρόκειται για IIR-ARφίλτρο τάξης N Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) p h Επειδή η είσοδος είναι x( ) ( ), σύμφωνα με τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( p ) Ηομογενήςλύση έχει τη μορφή y ( ) z h Η αντικατάσταση της ομογενούς λύσης στην ομογενή εξίσωση διαφορών y( ) y( ) δίνει: z z z z που οδηγεί στην χαρακτηριστική εξίσωση z Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f ( z) z είναι πρώτου βαθμού και έχει μία ρίζα z, οπότε η ομογενής λύση γράφεται: 33

135 y ( ) A z A h Έτσι, η γενική λύση της εξίσωσης διαφορών δίνεται από τον τύπο: y( ) y ( ) y ( ) A A p Για, από την αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε: y() x() y( ) () και από τη γενική λύση έχουμε: y() A A A Επομένως ο συντελεστής είναι A Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται y ( ), που έχει νόημα για Δηλαδή η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι h( ) u( ) Αξίζει να σημειωθεί ότι η ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου εμφανίζεται στη λύση Αν η αρχική συνθήκη μεταβληθεί σε y( ), τότε για, από την αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε: y() x() y( ) () 4 5 και από τον κλειστό τύπο της λύσης έχουμε: y() A A A Επομένως ο συντελεστής είναι A 5 Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορών γίνεται y ( ) 5, που έχει νόημα για Δηλαδή η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι h( ) 5 u( ) Αξίζει να σημειωθεί ότι η μεταβολή στην αρχική συνθήκη, δεν προκαλεί μεταβολή στη μορφή της λύσης (παραμένει εκθετική), αλλά προκαλεί μεταβολή μόνο στο πλάτος Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών y( ) x( ) y( ) 9 με αρχικές συνθήκες: y( ), y( ) Πρόκειται για IIR-ARφίλτρο τάξης N Να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) p Από τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( ) p c γιατί η είσοδος είναι σταθερή: x( ) u( ) Αντικαθιστώντας τη μερική λύση στην εξίσωσης διαφορών έχουμε: 9 y ( ) x( ) y ( ) c c c p δηλαδή, η μερική λύση είναι: y ( ) p 9 8 Ηομογενήςλύση έχει τη μορφή y ( ) z h h h z 9 p

136 Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: z 9 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο z, z 3 3, οπότε η ομογενής λύση γράφεται Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται: είναι δεύτερου βαθμού και έχει διακεκριμένες ρίζες Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() y( ) u() A A A A y () A 8 3 A 3 A 8 A Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() y( ) u() A 3 A 3 A 3 A 3 8 y () A 8 3 A 3 A 8 3 A 3 Έτσι προκύπτει το σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, τους συντελεστές A, A : A A 8 A 3 A 3 8 με λύση: A 4 A 8 Συνεπώς έχουμε: 9 y ( ),που έχει νόημα για Άρα, η γενική λύση είναι: Αξίζει να σημειωθεί ότι ρίζες f () z z 3 3 y ( ) A z A z A A h y( ) A A y( ) u( ) Παράδειγμα 3 Δίνεται η εξίσωση διαφορών 3 y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) z 4 8, z του χαρακτηριστικού πολυωνύμου εμφανίζονται στη λύση με αρχικές συνθήκες: y( ), y( ) Πρόκειται για IIR-ARMAφίλτρο τάξης ( NM, ) (,) Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) p h Επειδή η είσοδος είναι x( ) ( ), σύμφωνα με τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( p ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: 3 z z

137 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f () z z z z, z 4, οπότε η ομογενής λύση γράφεται: y ( ) A z A z A A h Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται: είναι δεύτερου βαθμού και έχει δύο διακεκριμένες ρίζες Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: 3 3 y () x() x( ) y( ) y( ) () ( ) A A y() A A 4 A A Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y () x() x() y() y( ) () () A A 4 4 y() A A 4 A A 4 Έτσι προκύπτει το σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, τους συντελεστές A, A : A A A A 4 4 με λύση: A A 3 Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται: 4 y( ) A A y ( ) 3, που έχει νόημαγια 4 Άρα η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι h( ) 3 u( ) 4 Παράδειγμα 4 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) c y( ) με y( ), που περιγράφει ένα IIR-ARφίλτρο με N και σταθερό συντελεστή: a() c Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι η έξοδος y( ) h( ) του φίλτρου για είσοδο x( ) ( ) και υπολογίζεται ως εξής: y() ( ) c y( ) c y() () c y() c c y() () c y() c ( c) c y(3) (3) c y() c c c y( ) ( ) c ( c) 3 Επομένως, έχουμε: y( ) ( c), Άρα, η κρουστική απόκριση είναι: h( ) ( c) u( ) 36

138 Είναι προφανές ότι η κρουστική απόκριση είναι άπειρης διάρκειας 345 Φίλτρο μέσης τιμής Η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές M ym ( ) x( k) (39) M k περιγράφει ένα FIRφίλτρο τάξης M με ίσους συντελεστές b b bm M Το φίλτρο αυτό παράγει στην έξοδο το μέσο όρο των M προηγούμενων εισόδων και ονομάζεται φίλτρο μέσης τιμής τάξης M Τα φίλτρα μέσης τιμής είναι χρήσιμα στην Επεξεργασία Σημάτων Εφαρμογή Απομάκρυνση ημιτονοειδούς θορύβου Τα φίλτρα μέσης τιμής μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απομάκρυνση ανεπιθύμητου ημιτονοειδούς θορύβου Για παράδειγμα, αν ένα σήμα αποτελείται από ένα χρήσιμο περίπου σταθερό τμήμα x ( ) και από έναν ανεπιθύμητο ημιτονοειδή θόρυβο x ( ) cos, τότε το συνολικό σήμα είναι: 4 4 x( ) cos 4 4 Αν το σήμα x ( ) είναι είσοδος σε ένα φίλτρο μέσης τιμής τάξης M, τότε η έξοδος του φίλτρου υπολογίζει στην έξοδο το μέσο όρο των M προηγούμενων εισόδων και έτσι απαλείφει τον ανεπιθύμητο θόρυβο, αφού η έξοδος του φίλτρου μέσης τιμής προσεγγίζει τον χρήσιμο σήμα Στο Σχήμα 39 παρουσιάζεται η είσοδος x ( ) του φίλτρου μέσης τιμής και οι έξοδοι y ( ) του φίλτρου μέσης τιμής τάξης M και y ( ) 3 7 του φίλτρου μέσης τιμής τάξης M 6 Είναι φανερό ότι όσο η τάξη του φίλτρου αυξάνει, τόσο καλύτερα γίνεται η απομάκρυνση του θορύβου Το τίμημα είναι ότι το φίλτρο αργεί να παράγει αποτέλεσμα, γιατί όσο η τάξη του φίλτρου αυξάνει, τόσο η παραγωγή αποτελέσματος αργεί, επειδή ο υπολογισμός της εξόδου απαιτεί προηγούμενες εισόδους Αυτό αντιμετωπίζεται με τον υπολογισμό του μέσου όρου των διαθέσιμων εισόδων, μέχρι να είναι όλες (και οι M ) διαθέσιμες 37

139 x() time y() M=3 y() M= time time Σχήμα 39FIRφίλτρο μέσης τιμής 35 Συστήματα διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProakis, 3 καιleis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία Ασημάκης, 8 (για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου) και Παρασκευάς, 4(για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου)χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Η συνάρτηση [y]=filter(b,a,x) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματοςδιακριτού χρόνου Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b καιaτης εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει το LTIσύστημα και την είσοδο x του συστήματος Η συνάρτηση έχει έξοδο την έξοδο y του συστήματος Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος y( ) x( ) 3 x( ) 4 y( ) δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) απαιτείται η παραγωγή της εισόδου dκαι στη συνέχεια απαιτείται η κλήση b=[, 3]; a=[,, 4]; [y]=filter(b,a,d) 3 Συστήματα συνεχούς χρόνου Ορισμός Ένα σύστημα συνεχούς χρόνου (φίλτρο) είναι ένας μετασχηματισμός (trasform)του σήματος εισόδου σε ένα σήμα εξόδου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3 Το σύστημα συνεχούς χρόνου έχει είσοδο ένα σήμα 38

140 συνεχούς χρόνου () και έξοδο ένα άλλο σήμα συνεχούς χρόνου y( t) T x( t), όπου ο μετασχηματισμόςσυμβολίζεται με xt T Η έξοδος του συστήματος ονομάζεται απόκριση του συστήματος Σχήμα 3Σύστημα συνεχούς χρόνου Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καλουπτσίδης, 994, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Μουστακίδης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 3 Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς χρόνου 3 Αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης Η αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης εκφράζεται με τον τύπο: N N T xi( t) T xi( t) (33) i i Η σημασία της αρχής της επαλληλίας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το άθροισμα επιμέρους εισόδων, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το άθροισμα των επί μέρους αποκρίσεων Σε ένα σύστημα που υπακούει στην αρχή της επαλληλίας, η συνολική επίδραση στο σύστημα λόγω επί μέρους εισόδων που αθροίζονται είναι ίση με το άθροισμα των επιδράσεων στο σύστημα των επί μέρους εισόδων 3 Ομογένεια Η ομογένεια εκφράζεται με τον τύπο: T c x( t) ct x( t) (33) όπου c είναι πραγματικός αριθμός Η σημασία της ομογένειας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα πολλαπλάσιο ενός αρχικού σήματος, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το ίδιο πολλαπλάσιο της απόκρισης του συστήματος στην είσοδο του αρχικού σήματος 33 Γραμμικότητα Η γραμμικότητα εκφράζεται με τον τύπο: N N T ci xi ( t) ci T xi ( t) (33) i i για οποιεσδήποτε σταθερές ci, i,,, N Αν ένα σύστημα υπακούει στην αρχή της επαλληλίας και είναι ομογενές, τότε το σύστημα είναι γραμμικό (liear) Αυτό σημαίνει ότι σε ένα γραμμικό σύστημα, αν η είσοδος ενός συστήματος είναι ογραμμικός συνδυασμός σημάτων, τότε η έξοδος του συστήματος είναι ίση με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό τωναποκρίσεων του συστήματος στις εισόδους 34 Χρονική Αμεταβλητότητα Η χρονική αμεταβλητότητα εκφράζεται με τον τύπο: 39

141 y( t) T x( t) y( t t ) T x( t t (333) Η σημασία της χρονικής αμεταβλητότητα είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα σήμα μετατοπισμένο στον χρόνο (καθυστέρηση ή πρωτοπορία), τότε το σύστημα παράγει μία νέα απόκριση, που είναι η απόκριση του συστήματος στο αρχικό (μη μετατοπισμένο σήμα), το ίδιο μετατοπισμένη στον χρόνο Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (time ivariat) 35 Γραμμικότητα και Χρονική Αμεταβλητότητα Ένα σύστημα που συνδυάζει την ιδιότητα της γραμμικότητα ς και της χρονικής αμεταβλητότητας ονομάζεται γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (Liear Time Ivariat LTI) σύστημα 36 Αιτιότητα Η αιτιότητα εκφράζεται με τον τύπο: y( t t ) f x( t t ) (334) που σημαίνει ότι η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από εισόδους της ίδιας χρονικής στιγμής ή προηγούμενων χρονικών στιγμών Επομένως, οι μεταβολές στην έξοδο του συστήματος, ποτέ δεν προηγούνται των μεταβολών στην είσοδο του συστήματος, δηλαδή η είσοδος αποτελεί την αιτία των μεταβολών στην έξοδο Όταν δεν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι μη αιτιατό ή αναιτιατό 37 Ευστάθεια Η ευστάθεια ενός συστήματος δίνει πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο που ανταποκρίνεται η απόκριση του συστήματος σε μία διαταραχή πεπερασμένου πλάτους Ένα σύστημα είναι ευσταθές (stable), όταν κάθε φραγμένη είσοδος παράγει επίσης φραγμένη έξοδο Η ευστάθεια (stability) εκφράζεται με τον τύπο: x( t) L y( t) L (335) x (όπου L και L θετικοί αριθμοί), που σημαίνει ότι όταν η είσοδος είναι φραγμένη, τότε και η έξοδος είναι x y φραγμένη Όταν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι ευσταθές (stable), ενώ όταν δεν συμβαίνει, τότε το σύστημα είναι ασταθές Αυτού του είδους η ευστάθεια ονομάζεται BIBOευστάθεια (BoudedIputBoudedOutput) 38 Αντιστρεψιμότητα Η αντιστρεψιμότητα εκφράζεται με τον τύπο: x ( t) x ( t) y ( t) T x ( t) y ( t) T x ( t) y (336) Ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο, όταν η είσοδος μπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο με μοναδικό τρόπο Το αντιστρέψιμο σύστημα παράγει διαφορετικές εξόδους για διαφορετικές εισόδους Αν ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο (δηλαδή υπάρχει το αντίστροφο σύστημα) και συνδέσουμε σε σειρά το σύστημα και το αντίστροφο σύστημα, τότε η είσοδος του συστήματος είναι ίση με την έξοδο του αντίστροφου συστήματος 33 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα LTI Συστήματα 33 Απόκριση μοναδιαίου παλμού Απόκριση μοναδιαίου παλμού, ht (),ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται η έξοδος (απόκριση) y( t) h( t) του συστήματος στην είσοδο μοναδιαίου παλμού x( t) ( t), όπως φαίνεται στο Σχήμα 3Η απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTIσυστήματος εκφράζει τη συμπεριφορά του συστήματος όταν στην είσοδο συμβεί ένα μεμονωμένο ξαφνικό γεγονός (μοναδιαίος παλμός) 4

142 Σχήμα 3Απόκριση μοναδιαίου παλμού Από το Σχήμα 3 είναι φανερό ότι θεωρώντας το σήμα μοναδιαίου παλμού () t, ως είσοδο του LTIσυστήματος, δηλαδή x( t) ( t), τότε η απόκριση yt () του συστήματος είναι ίση με την απόκριση μοναδιαίου παλμού του συστήματος, δηλαδή y( t) h( t) και ταυτίζεται με τη συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση, δηλαδή ισχύει: y( t) h( t) h( t) ( t) (337) ως άμεση συνέπεια της ιδιότητας του ταυτοτικού στοιχείου της γραμμικής συνέλιξης του προηγούμενου κεφαλαίου Γενικεύοντας, σε ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα (LiearTimeIvariat LTI) με γνωστή απόκριση μοναδιαίου παλμού, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3, η είσοδος xt () και η έξοδος (απόκριση) yt () συνδέονται με τη σχέση: y( t) h( t) x( t) (338) δηλαδή η απόκριση y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h ( ) με την είσοδο x ( ) Σχήμα 3LTIσύστημα συνεχούς χρόνου Απόδειξη Σύμφωνα με τον τύπο της ανάλυσης σημάτων συνεχούς χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, η είσοδος του LTIσυστήματος προσεγγίζεται με το κλιμακωτό σήμα: x( t) x( k) ( t k) k και τότε η έξοδος (απόκριση) του LTIσυστήματος είναι: y( t) T x( t) Η έξοδος γράφεται: y( t) T x( t) T x( k) ( t k) T x( k) ( t k) k k επειδή - το LTIσύστημα είναι γραμμικό οπότε ισχύει η αρχή της επαλληλίας, με αποτέλεσμα ο μετασχηματισμός και το άθροισμα να μπορούν να αντιμετατεθούν - το LTIσύστημα είναι γραμμικό οπότε είναι ομογενές, με αποτέλεσμα οι συντελεστές xk ( ) που δεν εξαρτώνται από τον χρόνο t να μπορούν πολλαπλασιαστούν με τον μετασχηματισμό - το LTIσύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, γεγονός που σημαίνει ότι y( t k) T x( t k), οπότε και h( t k) T ( t k ) για είσοδο ( tk) x( k) T ( t k) x( k) h( t k) k k 4

143 Όταν, τότε ( t) ( t), x( t) x( t), y( t) y( t), h( t) h( t) Οπότε y( t) lim y( t) lim x( k) h( t k) Όταν, τότε d, k και το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα: Άρα k y( t) lim x( k) h( t k) x( ) h( t ) d k y( t) x( ) h( t ) d x( t) h( t) h( t) x( t) γιατί - ισχύει ο ορισμός της συνέλιξης σημάτων συνεχούς χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, - ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης (339) Επομένως, η σημασία της απόκρισης μοναδιαίου παλμούείναι τεράστια: Αν η απόκριση μοναδιαίου παλμού είναι γνωστή, τότε για κάθε είσοδο στο LTIσύστημα είναι δυνατή η γνώση της εξόδου (με συνέλιξη της απόκρισης μοναδιαίου παλμούκαι της εισόδου) Άρα η απόκριση μοναδιαίου παλμούχαρακτηρίζει τη συμπεριφορά του συστήματος και για το λόγο αυτό η γνώση της αρκεί για την περιγραφή του LTIσυστήματος Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα είναι αιτιατό, όταν h( t), t δηλαδή όταν η απόκριση μοναδιαίου παλμούείναι ένα σήμα που αρχίζει τη χρονική στιγμή t (34) είναι h() t dt (όπου L Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ευσταθές ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα L θετικός αριθμός), που σημαίνει ηαπόκριση μοναδιαίου παλμούείναι απολύτως ολοκληρώσιμη (34) 33 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Αν ένα LTI σύστημα με απόκριση μοναδιαίου παλμού h () t συνδεθεί σε σειρά με ένα LTI σύστημα με απόκριση μοναδιαίου παλμού h () t, όπως φαίνεται στο Σχήμα 33, δηλαδή αν y( t) h ( t) w( t) w( t) h ( t) x( t) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο xt (), έξοδο yt () και απόκρισημοναδιαίου παλμού: h( t) h( t) h( t) Απόδειξη Από τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα σε σειρά ισχύει: y( t) h ( t) w( t) h ( t) h ( t) x( t) h ( t) h ( t) x( t) (34) επειδή η προσεταιριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (338) για την έξοδο έχουμε: y( t) h( t) x( t) Επομένως, επειδήισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης, έχουμε: h( t) h ( t) h ( t) h ( t) h ( t) 4

144 Σχήμα 33Σύνδεση συστημάτων συνεχούς χρόνου σε σειρά Γενικεύοντας, αν συνδεθούν σε σειρά N συστήματα συνεχούς χρόνου, όπου N ακέραιος με N, τότε η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού είναι: h( t) h( t) h( t) hn ( t), δηλαδή η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων 333 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Αν ένα LTI σύστημα με απόκριση μοναδιαίου παλμού απόκριση μοναδιαίου παλμού y( t) v( t) w( t) με v( t) h ( t) x( t) h () t h () t, όπως φαίνεται στο Σχήμα 34, δηλαδή αν συνδεθεί παράλληλα με ένα LTI σύστημα με w( t) h ( t) x( t) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο xt (), έξοδο yt () και απόκρισημοναδιαίου παλμού: h( t) h( t) h( t) (343) Απόδειξη Από τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: y( t) v( t) w( t) h ( t) x( t) h ( t) x( t) h ( t) h ( t) x( t) επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (338) για την έξοδο έχουμε: y( t) h( t) x( t) Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις καταλήγουμε: h( t) h ( t) h ( t) h ( t) h ( t) 43

145 Σχήμα 34Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου παράλληλα Γενικεύοντας, αν συνδεθούν παράλληλα N συστήματα συνεχούς χρόνου, όπου N ακέραιος με N, τότε η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού είναι: h( t) h( t) h( t) hn ( t), δηλαδή η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων 34 Αναπαράσταση LTI συστημάτων με διαφορικές εξισώσεις Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητοσύστημα περιγράφεται με μία διαφορική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές: M k N k d x( t) d y( t) b ak k dt k k k dt k και αρχικές συνθήκες ( k y ) (), k,,, N ( k όπου y ) () t συμβολίζει την k τάξης παράγωγο του σήματος συνεχούς χρόνου yt () (344) Οι σταθεροί (ανεξάρτητοι του χρόνου) συντελεστές είναι: ak, k,, N και bk, k,,, M Για παράδειγμα, η διαφορική εξίσωση y'( t) y( t) x( t) Περιγράφει ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου Αν η είσοδος είναι x( t) u( t), τότε η έξοδος είναι y( t) e t Στο Σχήμα 35 παρουσιάζεται η είσοδος και η απόκριση του LTIσυστήματος συνεχούς χρόνου 44

146 5 x(t) time t 5 y(t) time t Σχήμα 35Είσοδος και απόκριση LTI συστήματος συνεχούς χρόνου 35 Συστήματα συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Η συνάρτηση [y]=lsim(b,a,x,t) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματοςσυνεχούς χρόνου Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b καιaτης διαφορικήςεξίσωσης με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει το LTIσύστημα, την είσοδο x του συστήματος και τον χρόνο t Η συνάρτηση έχει έξοδο την έξοδο y του συστήματος Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος y'( t) y( t) x( t) για είσοδο x( t) u( t) απαιτείται η παραγωγή της εισόδου dκαι στη συνέχεια απαιτείται η κλήση b=[]; a=[, /]; t=[::]; x=oes(,legth(t)); [y]=lsim(b,a,x,t) Παρατήρηση Για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιείται η συνάρτηση dsolve Η συνάρτηση dsolveμπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματοςσυνεχούς χρόνου, που περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση Για παράδειγμα, η απόκριση που υπολογίστηκε με τη συνάρτηση lsim μπορεί να υπολογιστεί με χρήση της συνάρτησης dsolve με την κλήση dsolve('dy=-5*y+','y()=') Η απόκριση είναι: - /exp(t/) Η συνάρτηση dsolve είναι διαθέσιμη σε Matlab και σε Octave (symbolic package) 45

147 33 Λυμένες Ασκήσεις Συστήματα διακριτού χρόνου Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα(lti)συστήματα με κρουστική απόκριση α h( ) u( ) 8 β h( ) u( ) Λύση α Το LTIσύστημα είναι ευσταθές γιατί h( ) u( ) h( ) u( ) u( ) β Το LTIσύστημα είναι ασταθές γιατί Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) Το σύστημα που προκύπτει συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) 3 Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση του συνολικού συστήματος Λύση Η κρουστική απόκριση του συστήματος που προκύπτει από σύνδεση συστημάτων σε σειρά είναι η συνέλιξη των επί μέρους κρουστικών αποκρίσεων Έτσι, η κρουστική απόκριση του συστήματος που προκύπτει από σύνδεση σε σειρά είναι: h( ) h ( ) h ( ) Η κρουστική απόκριση του συστήματος που προκύπτει από παράλληλη σύνδεση συστημάτων είναι το άθροισμα των επί μέρους κρουστικών αποκρίσεων Έτσι, η κρουστική απόκριση του συνολικού συστήματος είναι: h( ) h ( ) h ( ) Οπότε: h( ) [ h ( ) h ( )] h ( ) h( ) u( ) h( ) u( ) u( ) u( ) u( ) u( ) u( ) 3 Δίνεται ότι ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα έχει βηματική απόκριση s( ) u( ) 3 Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) Λύση Η είσοδος x ( ) και η έξοδος y () κάθε LTIσυστήματος με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέονται με τη σχέση y( ) h( ) x( ) Η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου είναι η έξοδος για είσοδο x( ) ( ) Επομένως, έχουμε: h( ) h( ) ( ) Η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου είναι η έξοδος για είσοδο x( ) u( ) Επομένως, έχουμε: s( ) h( ) u( ) Επειδή το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (αφού είναι LTI), έχουμε: s( ) h( ) u( ) Επίσης ισχύει: ( ) u( ) u( ), όπως είδαμε στο κεφάλαιο 46

148 Άρα h( ) h( ) ( ) h( ) [ u( ) u( )] h( ) u( ) h( ) u( ) s( ) s( ) Επομένως 4 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) x( ) Να υπολογίσετε α την κρουστική απόκριση h ( ) για είσοδο x( ) ( ) β την απόκριση y () για είσοδο x( ) u( ) Λύση α Πρόκειται για FIRφίλτρο με M και σταθερούς συντελεστές: b, b Είναι γνωστό ότι η κρουστική απόκριση ενός φίλτρου πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης τη σχέση: οπότεη κρουστική απόκριση είναι: β Η απόκριση y () για είσοδο x( ) u( ) είναι: y( ) h( ) x( ) [ ( ) ( )] x( ) ( ) x( ) ( ) x( ) x( ) x( ) επειδή ισχύει x( ) ( ) x( ), όπως είδαμε στο κεφάλαιο Οπότε y( ) h( ) x( ) x( ) x( ) u( ) ( ) u( ) 5 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) με αρχικές συνθήκες: y( ), y( ) Να υπολογίσετε την απόκριση Λύση Πρόκειται για IIR-ARMAφίλτρο τάξης για είσοδο Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) Επειδή η είσοδος είναι Τότε Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: z z h( ) s( ) s( ) u( ) ( ) u( ) M h( ) b ( k) k k h( ) ( ) ( ) 3 3 και σταθερούς συντελεστές: x( ) u( ), από τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f () z z z είναι δεύτερου βαθμού και μία διπλή ρίζα z z h ( ) u( ) u( ) u( ) [ u( ) u( )] u( ) ( ) u( ) 4 4 b, b, a, a 4 4 p y ( ) c p 4 h y () 4 x( ) u( ) ( NM, ) (,) c c c c δηλαδή c, επομένως y ( ) p 4 4 δίνεται από 47

149 Τότε η ομογενής λύση γράφεται Έτσι, η λύση δίνεται από τον τύπο: Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() x( ) y( ) y( ) u() y() A A A Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() x() y() y( ) u() 4 4 u() y() A A A A Οπότε A A A δηλαδή A A και y( ) A A, που έχει νόημα για Άρα η λύση γίνεται 6 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) c y( ) Να υπολογίσετε το συντελεστή c και την αρχική συνθήκη y( ), ώστε η κρουστική απόκριση να είναι Λύση Hκρουστική απόκριση h ( ) είναι η έξοδος για είσοδο x( ) ( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) Επειδή η είσοδος είναι x( ) ( ), από τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( p ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: zc Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f () z z c είναι πρώτου βαθμού και μία ρίζα z c Τότε η ομογενής λύση γράφεται yh( ) A z Ac Έτσι, η λύση δίνεται από τον τύπο: h( ) y( ) y ( ) y ( ) Ac Ac Αλλά είναι δεδομένο ότι Οπότε y ( ) A A z A A h y( ) y ( ) y ( ) A A A A p h y( ) u( ) h( ) 3 u( ) p h( ) 3 u( ) p h h 48

150 A 3 και c Για από την αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε: h() x() c y( ) () y( ) y( ) και από τον τύπο της λύσης έχουμε: h() 3 u() 3 Οπότε y( ) 3 y( ) y( ) 4 Επομένως η αρχική συνθήκη είναι y( ) 4 Συστήματα συνεχούς χρόνου Το σύστημα πλήρους ανόρθωσης είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο y( t) T x( t) x( t) Να εξετάσετε αν το σύστημα πλήρους ανόρθωσης είναι γραμμικόσύστημα Λύση Για οποιεσδήποτε σταθερές και c έχουμε: και c T x ( t) c T x ( t) c x ( t) c x ( t) Επομένως T c x ( t) c x ( t) c T x ( t) c T x ( t) Άρα τοσύστημα πλήρους ανόρθωσης δεν είναι γραμμικόσύστημα Το σύστημα μέσης τιμής είναι τοlti σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο και έξοδο y( t) T x( t) x( ) d Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού του συστήματος T ht () μέσης τιμής Λύση Η απόκριση μοναδιαίου παλμού x( t) ( t) Τότε 34 Ασκήσεις c T c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) t t tt t ht () du( ) y( t) ( ) d d u( t) u( t T) T T d T tt tt του συστήματος μέσης τιμής είναι η έξοδος του συστήματος για είσοδο Συστήματα διακριτού χρόνου Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα με κρουστική απόκριση: h( ) u( ) u( ) Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) x( ) Να υπολογίσετε α την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) β την απόκριση y () για είσοδο x( ) u( ) xt () 49

151 3 Δίνεται η εξίσωση διαφορών 5 y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη είναι: y( ) α Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) β Να υπολογίσετε τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) 4 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) c y( ) Να υπολογίσετε το συντελεστή c και την αρχική συνθήκη y( ), ώστε η κρουστική απόκριση να είναι 5 h( ) 4 u( ) 6 Συστήματα συνεχούς χρόνου Να εξετάσετε ως προς τη γραμμικότητα το σύστημα συνεχούς χρόνου,που έχει είσοδο xt () και έξοδο y( t) T x( t) x ( t) 6 Ο ολοκληρωτής είναι το LTIσύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο () και έξοδο y( t) T x( t) x( ) d Να εξετάσετε αν oολοκληρωτής είναι LTIσύστημα 3 Ο διαμορφωτής είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο y( t) T x( t) x( t) cos( t) Να εξετάσετε αν oολοκληρωτής είναι LTIσύστημα 4 Το σύστημα μέσης τιμής είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο yt ( t) T x( t) x( ) d Να εξετάσετε αν το σύστημα μέσης τιμής είναι LTIσύστημα T 5 Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το LTIσύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση μοναδιαίου παλμού t h( t) e u( t) 6Ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου έχει απόκριση μοναδιαίου παλμού την απόκριση yt () του συστήματος για είσοδο x( t) cos( t), t 35 Εργαστηριακές Ασκήσεις t tt 5 xt h( t) u( t) u( t ) Να υπολογίσετε Εργαστηριακή Άσκηση 7 LTIσυστήματαδιακριτού χρόνου Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: FIR - MA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναfirφίλτρο: y( ) x( ) x( ) x( ) Να βρεθεί η τάξη του φίλτρου και οι συντελεστές Να μελετήσετε τη συνάρτηση filter Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) t

152 - τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) Φίλτρο άπειρης κρουστικής απόκρισης: IIR AR Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiir-arφίλτρο: y( ) x( ) y( ) y( ) Να βρεθεί η τάξη του φίλτρου και οι συντελεστές Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 3 Φίλτρο άπειρης κρουστικής απόκρισης: IIR ARMA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiir-arφίλτρο: y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) Να βρεθεί η τάξη του φίλτρου και οι συντελεστές Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 4 Γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) φίλτρο: συνέλιξη Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναltiφίλτρο: y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) Να υπολογίσετεκαι να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) - τη συνέλιξη y( ) h( ) x( ) Τι παρατηρείτε; 5 Σύνδεση φίλτρων σε σειρά Δίνονται οι εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφουν δύο LTIφίλτρα συνδεδεμένα σε σειρά: y( ) w( ) y( ) w( ) x( ) w( ) 3 Το συνολικό φίλτρο έχει είσοδο x ( ) και έξοδο y () Nα υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του πρώτου φίλτρου - την κρουστική απόκριση h ( ) του δεύτερου φίλτρου - τηβηματική απόκριση s ( ) του συνολικού φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - τη συνέλιξη y( ) [ h( ) h( )] u( ) Τι παρατηρείτε; 6 Σύνδεση φίλτρων παράλληλα Δίνονται οι εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφουν δύο LTIφίλτρα συνδεδεμένα παράλληλα: v( ) x( ) v( ) 5

153 w( ) x( ) w( ) 3 Το συνολικό φίλτρο έχει είσοδο x ( ) και έξοδο y( ) v( ) w( ) Nα υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του πρώτου φίλτρου - την κρουστική απόκριση h ( ) του δεύτερου φίλτρου - τηβηματική απόκριση s ( ) του συνολικού φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - τη συνέλιξη y( ) [ h( ) h( )] u( ) Τι παρατηρείτε; 7 Γραμμικό χρονικά αμετάβλητο φίλτρο (LTI): μετατόπιση Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) x( ) x( ) 3 y( ) 4 y( ) Nα υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρουγια είσοδο x( ) u( ) Τι παρατηρείτε; 8 Φίλτρο μέσηςτιμής Να παράγετετοσήμα x( ) 4 si( ) 3 που αποτελείται από το χρήσιμο τμήμα 4 και τον ανεπιθύμητο ημιτονοειδή θόρυβο si( ) 3 Να θεωρήσετε το φίλτρο μέσης τιμής τάξης M που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M ym ( ) x( k) M k Να βάλετε είσοδο το σήμα x ( ) σε ένα φίλτρο μέσης τιμής τάξης M με σκοπό να απομακρύνετε το θόρυβο Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τις εξόδους y ( ) και y ( ) 3 7 των φίλτρων μέσης τιμής τάξης M 4 και M 8, αντίστοιχα Πώς επιδρά η τάξη του φίλτρου M στη μορφή της εξόδου; Εργαστηριακή Άσκηση 8 LTIσυστήματασυνεχούς χρόνου Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Να μελετήσετε τη συνάρτηση dsolve Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση dsolve να επιλύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: y'( t) y( t) si( t), y( ) y'''( t) y'( t) si( t), y(), y'(), y''() Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση pretty να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Η συνάρτηση pretty είναι διαθέσιμη σε Matlab και σε Octave (symbolic package) LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'( t) 5 y( t) 3 x( t) Να μελετήσετε τη συνάρτηση lsim Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x( t) u( t) 3 LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου 5

154 Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'( t) 4 y( t) x( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε - την απόκριση μοναδιαίου παλμού ht () του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( t) ( t) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( t) u( t ) 4 LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y''( t) 5 y( t) x'( t) x( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x( t) u( t ) 5 Σύστημα μέσης τιμής t Το σύστημα μέσης τιμής είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο yt ( t) x( ) d T Να υπολογίσετε την απόκριση y () t 5 του συστήματος για είσοδο x( t) u( t ) tt 53

155 36 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 3 με τον Ήχο 3 Ήχος 3Περίληψη Κεφαλαίου 3 Συστήματα διακριτού χρόνου Η κρουστική απόκριση (impulserespose) h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι η έξοδος (απόκριση) του συστήματος στην κρουστική είσοδο () Η απόκριση y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη γραμμική συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h ( ) με την είσοδο x ( ) Η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των κρουστικών αποκρίσεων των επί μέρους συστημάτων Η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των κρουστικών αποκρίσεων των επί μέρους συστημάτων Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται με μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές Τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (LTI) συστήματα (φίλτρα) διακρίνονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τη διάρκεια της κρουστικής τους απόκρισης: - τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Fiiteduratio Impulse Respose FIR) - τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης (Ifiiteduratio Impulse Respose IIR) Συστήματα συνεχούς χρόνου Η απόκριση μοναδιαίου παλμού ht () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι η έξοδος (απόκριση) του συστήματος στην είσοδο μοναδιαίου παλμού () t Η απόκριση yt () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη συνέλιξη της απόκρισης μοναδιαίου παλμού ht () με την είσοδο xt () Η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων Η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται με μία διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές 54

156 Βιβλιογραφία/Αναφορές Damper, R I (995) Itroductio to Discrete Time Sigals ad Systems Chapma & Hall Eato, J W, Batema, D, Hauberg, S, Wehbrig R () GNU Octave (3rd ed) Hase J S () GNU Octave Begier's Guide Packt Publishig Hayes, M H () Ψηφιακή Επεξεργασίας Σήματος ΕκδόσειςΤζιόλα Igle, V K, & Proakis, J G (3) Digital Sigal Processig usig MATLAB Stamford, CT: Thomso Brooks Cole Leis, J W () Digital Sigal Processig usig MATLAB for studets ad researchers J Wiley ad Sos Ly, P A, & Fuerst, W (989) Itroductory Digital Sigal Processig With Computer Applicatios J Wiley ad Sos McClella, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης OppeheimA V, Willsky, A S, Nawab, S H (3) Sigals & Systems ( d ed), Pearso Proakis, J G, & Maolakis D G (7) Digital Sigal Processig: Priciples, Algorithms ad Applicatios Pretice Hall Strum, R D, & Kirk, D E (988) First Priciples of Discrete Systems ad Digital Sigal Processig Addiso Wesley Publishig Compay The MathWorks Ic (5) Sigal Processig Toolbox User s Guide Ασημάκης, Ν (8) Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Guteberg Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καλουπτσίδης, Ν (994) Σήματα, Συστήματα και Αλγόριθμοι Δίαυλος Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Μουστακίδης, Γ (4) Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων Εκδόσεις Τζιόλα Παρασκευάς, Μ (4) Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με Matlab Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ Φωτόπουλος, Π, & Βελώνη, Α (8) Σήματα και Συστήματα Σύγχρονη Εκδοτική 55

157 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 33 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 33Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 34 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 34Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης 3 με το Διαδραστικό πρόγραμμα 35 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 35Κριτήριο αξιολόγησης 3 56

158 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της απόκρισης συχνότητας και αναλύεται η περιγραφή των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων (LiearTimeIvariat LTI) συστημάτων μέσω της απόκρισης συχνότητας Παρουσιάζονται τα φίλτρα επιλογής συχνοτήτωνκαι τα φίλτρα γραμμικής φάσης Προαπαιτούμενη γνώση Σειρές, εξισώσεις διαφορών Κεφάλαιο, Κεφάλαιο,Κεφάλαιο 3 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου Ορισμός μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Ομετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DiscreteTimeFourierTrasform DTFT) είναιένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας j Ομετασχηματισμός(trasform) Fourierδιακριτούχρόνου X e μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου x ( ), αν υπάρχει (η ύπαρξη του μετασχηματισμού αναλύεται στη επόμενη παράγραφο), είναι η αναπαράσταση της j ακολουθίας συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών ακολουθιών της μορφής e, όπου είναι η κυκλική συχνότητα Ο ευθύς(direct) μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DiscreteTimeFourierTrasform DTFT) μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: j ( ) X e x e j και, αν υπάρχει, είναι μοναδικός (uique) Οαντίστροφος(iverse) μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (Iverse Discrete Time Fourier Trasform IDTFT) ορίζεται ως ακολούθως: j j x( ) X e e d (4) και, αν υπάρχει, είναι μοναδικός (uique) Ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου αποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: DTFT j x( ) X e Από την (4) και την (4) είναι φανερό ότι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι γραμμικός μετασχηματισμός, επειδή και η σειρά και το ολοκλήρωμα με βάση τα οποία ορίζεται ο μετασχηματισμός είναι τελεστές που πληρούν την ιδιότητα της γραμμικότητας Επίσης, είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική συνάρτηση: j j j ( ) j j R I X e X e j X e X e e όπου - X j e j ReX e j είναι η πραγματική συνιστώσατου R (4) (43) 57

159 I X j e j R I Xe R j X e j j - X e Im X e είναι η φανταστική συνιστώσατου - j j j X e X e X e είναι το μέτροτου j j Im X e XI e j - ( ) arg Xe arcta arcta είναι η φάσητου j j Re X e X e Για το μέτρο ισχύει: j j j j * j R I X e X e X e X e X e Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι περιοδικός με περίοδο π, δηλαδή ισχύει η ακόλουθη σχέση: X e j X e j( ) (44) Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes,, McClella, Schafer & Yoder, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3 4 Ύπαρξη μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Ο μετασχηματισμόςfourierδιακριτούχρόνου μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου των πλατών της ακολουθίας και διατυπώνεται ως ακολούθως: x( ) L 58 σχετίζεται με το μέτρο όπου L ένας θετικόςαριθμός Από την (45) συμπεραίνουμε ότι το άπειρο άθροισμα των πλατών της ακολουθίας δεν είναι άπειρο, αλλά είναι πεπερασμένο, που σημαίνει ότι η ακολουθία είναι «παρατηρήσιμη», αφού οι τιμές της δεν απειρίζονται Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου του σήματος x( ) u( ) υπάρχει, επειδή 8 μπορούμε να γράψουμε: x( ) u( ) u( ) u( ) u( ) Αντίθετα, ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου του σήματος x( ) 8 u( ) δεν υπάρχει, επειδή x( ) 8 u( ) 8 u( ) 8 u( ) 8 u( ) Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Για να γίνει υπολογισμός του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου ενός σήματος, αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου, επαληθεύοντας την (45) και στην περίπτωση που υπάρχει, τότε υπολογίζεται ο τύπος του μετασχηματισμού χρησιμοποιώντας αθροίσματα Παράδειγμα x( ) a u( ), a Αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου x( ) a u( ) a u( ) a u( ) a u( ) a a a a επειδή a Επομένως ικανοποιείται η (45), άρα υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου του σήματος x ( ) (45)

160 Στη συνέχεια γίνεται ο υπολογισμός: j j j j j X e x( ) e a u( ) e a u( ) e a u( ) e j j j j a e a e a e a e j a e επειδή από a και από τις ιδιότητες του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού μπορούμε να γράψουμε: j j a e a e a cos( ) j si( ) a cos ( ) si ( ) a a a Άρα j Xe j a e Είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική 4 συνάρτηση Για παράδειγμα, θέτοντας a στο προηγούμενο παράδειγμα, ο μετασχηματισμός Fourier 5 4 j διακριτού χρόνου του σήματος x( ) u( ) είναι Xe Στο Σχήμα 4 φαίνεται η j e πραγματική συνιστώσα, η φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου του σήματος 6 4 real part 4 imagiary part frequecy i pi uits frequecy i pi uits 6 magitude 4 phase frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 4Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι περιοδικός με περίοδο π Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4 φαίνεται η πραγματική συνιστώσα, η φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του 4 j /4 μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου του σήματος x( ) e u( ), όπου είναι φανερή η 5 περιοδικότητα 59

161 8 5 real part 6 4 imagiary part - - frequecy i pi uits frequecy i pi uits magitude 4 phase frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 4Περιοδικότητα μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου 44 Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Στον Πίνακα 4 παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί Fourierδιακριτού χρόνου (DTFT) Ακολουθία Μετασχηματισμός Fourier διακριτούχρόνου διακριτού χρόνου (DTFT) ( ) ( ) j Πίνακας 4Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) 45 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου 6 e ( ) ( ) j e a u( ), a j ae a u( ), a j ae ( ) a u( ), a j ae si( ) j [ ( ) ( )] cos( ) [ ( ) ( )]

162 Οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου είναι: 45 Γραμμικότητα DTFT j Αν x ( ) X e DTFT j και x ( ) X e, τότε DTFT j ( ) ( ) j c x c x c X e c X e για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Απόδειξη Αν y( ) c x ( ) c x ( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου στην (4) έχουμε: Y e y( ) e c x ( ) c x ( ) e c x ( ) e c x ( ) e j j j j j j j j j c x ( ) e c x ( ) e c x ( ) e c x ( ) e 45 Μετατόπιση στον χρόνο DTFT j Αν x( ) X e, τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου στην (4) έχουμε: Θέτοντας m, έχουμε: ( ( ) ) ( ) j m j j j jm ( ) j j Y e x e x m e e x m e e X e 453 Αναδίπλωση DTFT j Αν x( ) X e, τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου στην (4) έχουμε: Θέτοντας m, έχουμε: j c X e j c X e DTFT j j x( ) e X e Y e y( ) e x( ) e j j j m m DTFT j x( ) X e ( ) ( ) Y e y e x e j j j j j j ( m) j( ) m j ( ) ( ) ( ) Y e x e x m e x m e X e m m (46) (47) (48) 454 Μετατόπιση στη συχνότητα DTFT j Αν x( ) X e, τότε e x( ) X e j DTFT j( ) Απόδειξη (49) 6

163 j Αν y( ) e x( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου στην (4) έχουμε: Θέτοντας, έχουμε: ( ) j j j j j Y e x( ) e x( ) e X e X e ( ) Παράδειγμα j /8 Δίνονται τα σήματα x( ) cos και y( ) e x( ) με μετασχηματισμούς Fourier διακριτού χρόνου 4 j και Y e Στο Σχήμα 43 φαίνεται το μέτρο και τη φάση των μετασχηματισμών Fourier διακριτού χρόνου j Xe j και Ye j j 8 Είναι φανερό ότι ισχύει η ιδιότητα της μετατόπισης στη συχνότητα: Y e X e j j j ( ) ( ) ( ) ( ) Y e y e e x e e x x e j j j j( ) j Xe 6 magitude 4 phase frequecy i pi uits frequecy i pi uits 6 magitude 4 phase frequecy i pi uits Σχήμα 43Μετατόπιση στη συχνότητα frequecy i pi uits 455 Συνέλιξη DTFT j Αν x ( ) X e DTFT j και x ( ) X e, τότε DTFT j j x ( ) x ( ) X e X e (4) Απόδειξη Αν y( ) x( ) x( ), τότεαπό τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου στην (4) έχουμε: 6

164 Y e y( ) e x ( ) x( ) e x ( m) x( m) e m Θέτοντας m k και αλλάζοντας τη σειρά των αθροισμάτων, έχουμε: j j j Y e x ( m) x( m) e x ( m) x( m) e m m j j j j j ( mk ) jm jk j j x ( m) x ( k) e x ( m) e x( k) e X e X e m k m k Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα ( ) cos x και x ( ) cos με μετασχηματισμούς Fourier διακριτού 4 j j χρόνου και X e X e j Η συνέλιξη των σημάτων x( ) x ( ) x ( ) έχει μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου Στο Σχήμα 44 φαίνεται το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμών Fourier διακριτού χρόνου j j j X e j Xe j j του γινομένου X e X e Είναι φανερό ότι ισχύει η ιδιότητα της συνέλιξης: X e X e X e και magitude 4 phase frequecy i pi uits frequecy i pi uits magitude 4 phase frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 44Συνέλιξη 456 Μιγαδική συζυγία DTFT j Αν x( ) X e, τότε * DTFT * j x ( ) X e (4) 63

165 Απόδειξη * Αν y( ) x ( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourierδιακριτού χρόνου στην (4) έχουμε: * Y e y( ) e x ( ) e j j j Παίρνοντας το συζυγές σήμα στην παραπάνω ισότητα μπορούμε να γράψουμε * * * ( ) Y e x ( ) e x ( ) e x( ) e x( ) e X e από όπου το συζυγές σήμα του δίνει: j j j j j j * * j j j * j Y e X e Y e X e δηλαδή * DTFT * j x ( ) X e * 457 Θεώρημα Parseval (αρχή διατήρησης της ενέργειας) DTFT j Αν x( ) X e, τότε j x( ) X e d (4) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας την (44) και τους ορισμούς του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου ευθύ και αντίστροφο στην (4) και (4) μπορούμε να γράψουμε j j * j j * j X e d X e X e d x( ) e X e d * j j x X e e d ( ) * ( ) x ( ) j j x( ) X e e d j j x( ) X e e d x x ( ) Στον Πίνακα 4 παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Ιδιότητα Μετασχηματισμού Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) Γραμμικότητα Μετατόπιση στον χρόνο Αναδίπλωση Ακολουθία Διακριτού χρόνου Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT) j x () X e x () j X e x ( ) j X e ( ) ( ) j j c X e c X e x( ) j j e X e j x( ) X e c x c x 64

166 Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη Μιγαδική Συζυγία Θεώρημα Parseval (Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας) j e j( x( ) ) X e j j X e X e x * ( ) X * e j x ( ) x ( ) j x( ) X e d Πίνακας 4Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Μπορείτε να διερευνήσετε τον μετασχηματισμό Fourier(DTFT) διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Διαδραστικό πρόγραμμα 4Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 46 Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου Αν και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (Iverse Discrete Time Fourier Trasform IDTFT) ορίζεται μέσω ολοκληρώματος στην (4), ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου, στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού που παρουσιάζονται στον Πίνακα 4, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Παράδειγμα Να υπολογιστεί το σήμα x ( ) που έχειμετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου: j 4 Xe j j e e 3 Έχουμε: j 4 X e 4 j j j j e 3 e e 3 e Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων: j A B Xe 4 j j j j e e e e 3 3 Η ανάλυση σε απλά κλάσματα μπορεί να γίνει κάνοντας πράξεις: A B 4 j j j j e e e e 3 3 j j 4 A 3e B e j j j j e 3 e e 3 e 3 3 j j j A e B e 4 A B A B e 4 Επομένως, καταλήγουμε σε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους: AB4 A B 3 με λύση 65

167 A B 8 Άρα X e Έτσι, ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου γράφεται: j Xe 8 j j e e Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: 47 Συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Ο υπολογισμός της συνέλιξης μέσω μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού (βλέπε Πίνακα 4) και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Η διαδικασία υπολογισμού της συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου μέσω μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου είναι η ακόλουθη: Δεδομένων δύο σημάτων x ( ) και x ( ), υπολογίζουμε τους j j μετασχηματισμούς Fourier διακριτού χρόνου και X e (στην περίπτωση που υπάρχουν) Στη συνέχεια υπολογίζουμε το γινόμενο j j j j X e X e X e, αφού γνωρίζουμε ότι X e είναι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου της συνέλιξης x( ) x( ) x( ) (ιδιότητα συνέλιξης του μετασχηματισμού) Στη συνέχεια, το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων κάνοντας πράξεις (όπως στην προηγούμενη παράγραφο) Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, υπολογίζουμε τον j αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου της X e, που είναι η ζητούμενη συνέλιξη Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα x ( ) u( ) 4 Να υπολογιστεί η συνέλιξη x( ) x( ) x( ) μέσω του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Αρχικά, χρησιμοποιώντας την (45), γίνεται έλεγχος της ύπαρξης των μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου: και j 8 j j e 3e 3 j X e u( ) 8 u( ) 3 x ( ) u( ) 3 X e 3 x ( ) u( ) u( ) x ( ) u( ) u( ) Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 4 υπολογίζονται οι (ευθείς) μετασχηματισμοί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού: 66

168 X X Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων κάνοντας πράξεις: j A B Xe j j j j e e e e Άρα e j 3 e e j 4 e j j Μετά υπολογίζεται το γινόμενο X e X e X e j j j X e j j j 3e 4e j j 3e 4e που γράφεται: j X e 4 3 j j 3e 4e Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε τη ζητούμενη συνέλιξη, που είναι: x( ) 4 u( ) 3 u( ) Απόκριση συχνότητας Ορισμός της απόκρισης συχνότητας Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) και είσοδο x ( ) παράγει στην έξοδο την απόκριση: y( ) h( ) x( ) (43) όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο Ιδιοσυνάρτηση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου(lti)συστήματος είναι ένα σήμα x ( ), το οποίο αν τεθεί ως είσοδος στο σύστημα, παράγει έξοδο y( ) x( ), που είναι η είσοδος που έχει μεταβληθεί μόνο κατά πλάτος, δηλαδή η έξοδος είναι η είσοδος πολλαπλασιασμένη επί ένα συντελεστή, που ονομάζεται ιδιοτιμή j Σήματα της μορφής x( ) e είναι ιδιοσυναρτήσεις των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων(lti)συστημάτων Πράγματι, αν h ( ) είναι η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος, τότε η απόκριση είναι: j( k) jk j j j y( ) h( ) x( ) h( k) x( k) h( k) e h( k) e e H e e x( ) k k k όπου ο συντελεστής j ( ) H e h k e k δεν εξαρτάται από το jk 67

169 Άρα η έξοδος y( ) x( ) είναι η είσοδος x ( ) πολλαπλασιασμένη επί τον συντελεστή και επομένως το σήμα x( ) j e είναι ιδιοσυνάρτηση του LTIσυστήματος Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου (DTFT), είναι τώρα φανερό ότι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) της κρουστικής απόκρισης h ( ) είναι η συνάρτηση j He Συνδυάζοντας τη συνθήκη ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) στην (45) με την ικανή και αναγκαία συνθήκη της ευστάθειας του γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) j συστήματος στην (33) συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση H e πάντα υπάρχει j Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) He της κρουστικής απόκρισης h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται απόκριση συχνότητας(frequecyrespose): j ( ) H e h e j (44) Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου, είναι προφανές ότι ο j μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) X e της εισόδου x ( ) και ο μετασχηματισμός Fourier j διακριτού χρόνου (DTFT) Y e της εξόδου y( ) h( ) x( ) του LTI συστήματος συνδέονται με τη σχέση: Y e H e X e j j j όπως φαίνεται στο Σχήμα 45 (45) Σχήμα 45Απόκριση συχνότητας LTI συστήματος Έτσι, στα LTI συστήματα, η συνέλιξη στον χρόνο γίνεται πολλαπλασιασμός στη συχνότητα Είναι προφανές, από τον ορισμό στην (4), ότι η απόκριση συχνότητας είναι μιγαδική συνάρτηση: j j j ( ) j j R I H e H e j H e H e e όπου - H j e j Re H e j είναι η πραγματική συνιστώσατης απόκριση συχνότητας R I R I R j j j - H e Im H e j είναι η φανταστική συνιστώσατης απόκριση συχνότητας H e - j j j j H e H e H e είναι το μέτροτης απόκριση συχνότητας H e 68 (46) j j Im H e HI e j - ( ) arg He arcta arcta είναι η φάσητης απόκριση συχνότητας j j Re H e H e H e Για το μέτρο ισχύει j j j j * j R I H e H e H e H e H e Η απόκριση συχνότητας είναι συμμετρική j * j H e H e

170 j R j j I j j j H e H e H e R H e H e I H e άρτια συμμετρία περιττή συμμετρία άρτια συμμετρία ( ) ( ) περιττή συμμετρία Η απόκριση συχνότητας είναι περιοδική με θεμελιώδη περίοδο π H e j H e j( ) (47) Αυτή η ιδιότητα της απόκρισης συχνότητας είναι εξαιρετικά σημαντική, γιατί αρκεί μία περίοδος της απόκρισης συχνότητας για να περιγράψει ένα LTIσύστημαΚαι μάλιστα αυτό γίνεται τόσο στην περίπτωση συστημάτων πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης, όσο και στην περίπτωση συστημάτων άπειρης κρουστικής απόκρισης Παράδειγμα Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) 5 ( ) 8 ( ) Τότε η απόκριση συχνότητας είναι: ( ) ( ) 5 ( ) 8 ( ) H e h e e j j j e 5 e 8 e 5 e 8 e Παράδειγμα Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) ( ) Τότε η απόκριση συχνότητας είναι: Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler, έχουμε j j H e e cos( ) j si( ) από όπου είναι φανερό ότι j j - η πραγματική συνιστώσα είναι Re H e HR e cos( ) - η φανταστική συνιστώσα είναι - το μέτρο είναι j j Im H e HI e j si( ) - η φάση είναι ( ) arg H e a ta arcta arcta j j Re H e H e cos( ) Για τον υπολογισμό του μέτρου έχουμε Άρα το μέτρο είναι j j j j j H e h( ) e ( ) ( ) e e e e j j j j j j j j cos( ) si( ) cos( ) si( ) j j I Im H e H e si( ) j j j R I cos( ) si( ) R H e H e H e j j j j * j R I H e H e H e H e H e cos( ) j si( ) cos( ) j si( ) j cos( ) si( ) 4cos( ) 4cos ( ) 4si ( ) 5 4 cos( ) j j j R I H e H e H e cos( ) si( ) 5 4 cos( ) 69

171 4 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω απόκρισης συχνότητας Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται με μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) b x( k) a y( k) (48) Στο κεφάλαιο 3 είδαμε ότι η κρουστική απόκριση h ( ) αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο του χρόνου Τώρα θα δούμε ότι η απόκριση συχνότητας αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) της κρουστικής απόκρισης h ( ) είναι η j απόκριση συχνότητας H e Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε Οπότε N M Y e ak e X e bk e k k Όμως, γνωρίζουμε ότι: j j j Y e H e X e οπότε Άρα M k k k N M N j jk j jk j k k Y e b e X e a e Y e k k M k N j j jk j jk k k k Y e X e b e Y e a e N k k M j j jk j jk k k k Y e Y e a e X e b e j jk j jk H e H e j j Y e X e Y e X e j j j j M b k k N k e a k jk e jk (49) Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας εξαρτάται από τους συντελεστές του LTIσυστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης διαφορών αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνότητας Έτσι, η απόκριση συχνότητας αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) x( ) y( ) 3 y( ) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε 7

172 j j j j j j j j 3 j j j j j Y e e 3 e X e e Y e X e e X e e Y e e Y e Άρα H e j j Y e j e j j X e e 3 e j Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) 3 x( ) x( ) 5 y( ) 4 y( ) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας Από την εξίσωση διαφορών προκύπτει ότι πρόκειται για IIRφίλτρο με M και N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b, b 3, b, a 5, a 4 Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η απόκριση συχνότητας είναι: j j j 3e e He j j 5 e 4 e Παράδειγμα 3 Δίνεται η απόκριση συχνότητας j j 45e He 3 j j j e 3 e 6 e Να βρεθεί η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει το LTIσύστημα Από την απόκριση συχνότητας προκύπτει ότι πρόκειται για IIRφίλτρο με M και N 3 και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b 4, b, b 5, a, a 3, a3 6 Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η εξίσωση διαφορών είναι: y( ) 4 x( ) 5 x( ) y( ) 3 y( ) 6 y( 3) 43 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H e j w y συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με απόκριση j συχνότητας H e j, όπως φαίνεται στο Σχήμα 46 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο ( ) με DTFT X e j και έξοδο ( ) με DTFT W e Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος j με DTFTW e j και έξοδο () με DTFT Y e Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H e j H e j H e j (4) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y e j H e j W e j j j j W e H e X e οπότε Y e H e W e H e H e X e H e H e X e επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: j Y e j H e j X e j j j j j j j j j 7 x, w ( )

173 Επομένως : H e H e H e H e H e j j j j j Σχήμα 46Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων 44 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με απόκριση j συχνότητας H e j, όπως φαίνεται στο Σχήμα 47 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο ( ) με DTFT X e j και έξοδο ( ) με DTFT W e j Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο ( ) με DTFT X e και έξοδο v ( ) με j DTFT V e Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν την συνολική έξοδο y () με DTFT j Y e Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνότητας H e j H e j H e j (4) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα παράλληλα, ισχύει: V e j H e j X e j οπότε w j j j W e H e X e επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: j j j Y e H e X e Επομένως : H e H e H e H e H e e j x x j j j j j j j j j j Y e V e W e H e X e H e X e H e H e X e j j j j j Σχήμα 47Σύνδεση συστημάτων παράλληλα 7

174 Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων 45 Επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Η επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών y( ) x( ) x( ) y( ) 3 Να υπολογίσετε τηνκρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) Η απόκριση συχνότητας είναι j j e j H e e j j j 3 e 3 e 3 e Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού, έχουμε: DTFT u ( ) j 3 3 e Από την ιδιότητα της μετατόπισης του μετασχηματισμού, έχουμε: DTFT j u( ) e j 3 3 e Επομένως, από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: h( ) u( ) u( ) Φίλτρα επιλογής συχνοτήτων Ολοπερατάφίλτρα (AllPass) Iδανικόολοπερατόφίλτρο(All Pass)ονομάζεται το φίλτρο μετο μέτρο της απόκρισης συχνότητας σταθερό και ίσο με τη μονάδα, δηλαδή: j H e όπως φαίνεται στο Σχήμα 48 (4) 73

175 magitude H magitude X magitude Y frequecy i pi uits frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 48AllPass φίλτρο Η απόκριση συχνότητας του ιδεατού ολοπερατού φίλτρου είναι: j j e a H e, a, a j ae οπότε για το μέτρο της μπορούμε να γράψουμε: j j j j j j * j e a e a e a e a e a H e H e H e j j j j a e a e a e a e a e Η κρουστική απόκριση του ιδεατού ολοπερατού φίλτρου είναι: ( ) ( ) h a a a u( ) (44) Απόδειξη j j e a j H e e a j j j a e a e a e Παίρνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Fourierδιακριτού χρόνου, έχουμε: h( ) a u( ) a a u( ) Αλλά ( ) u( ) u( ) οπότε h( ) a u( ) a a u( ) a u( ) a a ( ) u( ) a a a a a u a a a u ( ) ( ) ( ) ( ) (43) Ιδανικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων ονομάζονται τα φίλτρα με κατά τμήματα σταθερό μέτρο της απόκρισης συχνότηταςκαι διακρίνονται σε τέσσερις κατηγορίες: 74

176 χαμηλοπερατάήβαθυπερατά φίλτρα (Low Pass) υψηπερατά φίλτρα (High Pass) ζωνοπερατά φίλτρα (Bad Pass) ζωνοφρακτικά φίλτρα ή φίλτρα απόρριψης ζώνης (Bad Stop) Χαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (Low Pass) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου είναι: j H e,,, (45) Για παράδειγμα, στο Σχήμα 49 φαίνεται η λειτουργία του χαμηλοπερατού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η j απόκριση συχνότητας He του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου με c, ο μετασχηματισμόςfourier j διακριτού χρόνου Xe της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο μετασχηματισμόςfourier διακριτού j χρόνου Y e j j της εξόδου () του φίλτρουστο Σχήμα 49 φαίνεται το μέτρο των, X e και για, j Y e c c c y He magitude H magitude X magitude Y frequecy i pi uits frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 49Low Pass φίλτρο Υψηπερατόφίλτρο (High Pass) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου είναι: j H e,,, c c c (46) Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4 φαίνεται η λειτουργία του υψηπερατού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η j απόκριση συχνότητας He του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου με c, ο 75

177 j μετασχηματισμόςfourierδιακριτού χρόνου Xe της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο j μετασχηματισμόςfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου y () του φίλτρουστο Σχήμα 4 φαίνεται το He Xe j j j μέτρο των, και για, Y e magitude H magitude X magitude Y frequecy i pi uits frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 4High Pass φίλτρο Ζωνοπερατόφίλτρο (Bad Pass) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου είναι: j H e,,,, (47) Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4 φαίνεται η λειτουργία του ζωνοπερατού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η j 3 απόκριση συχνότητας He του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου με και, ο 4 4 j μετασχηματισμόςfourier διακριτού χρόνου Xe της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο j μετασχηματισμόςfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου y () του φίλτρουστο Σχήμα 4 φαίνεται το He Xe Y e j j j μέτρο των, και για, 76

178 magitude H magitude X magitude Y frequecy i pi uits frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 4Bad Pass φίλτρο Ζωνοφρακτικόφίλτροήφίλτροαπόρριψηςζώνης (Bad Stop) Η απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου είναι: j H e,,,, (48) Για παράδειγμα, στο Σχήμα 4 φαίνεται η λειτουργία του ζωνοφρακτικού φίλτρου, αφού παρουσιάζεται η j 3 απόκριση συχνότητας He του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου με και, ο 4 4 j μετασχηματισμόςfourier διακριτού χρόνου Xe της εισόδου x( ) u( ) του φίλτρουκαι ο j μετασχηματισμόςfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου y () του φίλτρουστο Σχήμα 4 φαίνεται το He Xe j j j μέτρο των, και για, Y e 77

179 magitude H magitude X magitude Y frequecy i pi uits frequecy i pi uits frequecy i pi uits Σχήμα 4Bad Stop φίλτρο 47 Φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Ένα φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας (otchfilter) αποκόπτει μία συγκεκριμένη συχνότηταθεωρούμε ότι η συχνότητα, που πρέπει να απορριφθεί, είναι μία συγκεκριμένη συχνότητα c Η τεχνική σχεδίασης FIRφίλτρουαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας είναι η επιλογή FIRφίλτρου τάξης M με απόκριση συχνότητας της μορφής: j j j H e b b e b e Η απόκριση συχνότητας θέλουμε να γίνεται μηδέν στη συχνότητα, οπότε επιλέγονται οι συντελεστές του j c φίλτρου, έτσι ώστεη απόκριση συχνότητας να γίνεται ίση με μηδέν στα συζυγή σημεία και j c Τότε j c j c j c j c H e B e e e e B e e e e j j j j j Επομένως, H e B cos( ) e e j j j c (49) Για παράδειγμα, αν πρέπει να απορριφθεί η συγκεκριμένη συχνότητα c, επιλέγοντας B, 4 σχεδιάζεται το FIRφίλτροαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας με απόκριση συχνότητας j j j H e e e Στο Σχήμα 43 φαίνεται το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του FIRφίλτρουαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Παρατηρούμε ότι πράγματι το φίλτρο αποκόπτει τη συχνότητα c, αλλά ταυτόχρονα 4 αποδυναμώνονται και οι συχνότητες στην περιοχή της συχνότητας c 4 c e e 78

180 H magitude frequecy i pi uits Σχήμα 43FIR φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Η τεχνική σχεδίασης IIRφίλτρουαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας είναι η επιλογή IIRφίλτρου τάξης ( NM, ) (,) με απόκριση συχνότητας της μορφής j j j b b e b e He j j a e a e Οι συντελεστές του φίλτρου επιλέγονται, έτσι ώστεο αριθμητής να μηδενίζεται στα συζυγή σημεία j c e j c και e j c και ο παρονομαστής να μηδενίζεται στα συζυγή σημεία ce j c και ce, όπου c Τότε H e j Επομένως, H e j j B cos( c ) e e j B c cos( ) e c e B j cos( ) e e c j j j j c cos( ) e c e c c j (43) Για παράδειγμα, αν πρέπει να απορριφθεί η συγκεκριμένη συχνότητα c, επιλέγοντας 4 B και c 98, σχεδιάζεται το IIRφίλτροαποκοπής ή απόρριψης συχνότητας με απόκριση συχνότητας H e j j j e e j 98 e 98 e j 79

181 Στο Σχήμα 44 φαίνεται το μέτρο της απόκρισης συχνότητας του IIR φίλτρου αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας Παρατηρούμε ότι πράγματι το φίλτρο αποκόπτει τη συχνότητα c και 4 ελαττώνεται το εύρος των συχνοτήτων στην περιοχή της συχνότητας c που επηρεάζονται Μάλιστα, 4 όσο η παράμετρος c πλησιάζει την τιμή, τόσο περισσότερο ελαττώνεται μικραίνει το εύρος των συχνοτήτων στην περιοχή της συχνότητας c, που επηρεάζονται 4 4 H magitude frequecy i pi uits Σχήμα 44IIR φίλτρο αποκοπής ή απόρριψης συχνότητας 48 Φίλτρα γραμμικής φάσης Τα φίλτρα γραμμικής φάσης είναι αυτά που έχουν γραμμική φάση Τα φίλτρα γραμμικής φάσης έχουν απόκριση συχνότητας της μορφής j j jc, H e H e e c οπότε η φάση είναι γραμμική: arg j H e ( ) c (43) (43) και η καθυστέρηση ομάδας είναι σταθερή d ( ) ( ) c (433) d Τα FIRφίλτρα μπορεί να έχουν γραμμική φάση τύπου I, τύπου II, τύπου III, τύπου IVκαι έχουν κρουστική απόκριση h( ), [: N] μήκους N Ο τύπος της γραμμικής φάσης εξαρτάται από το αν ο αριθμός N είναι άρτιος ή περιττός και από το αν η κρουστική συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, όπως φαίνεται στον Πίνακα 43 Τα IIR φίλτρα δεν έχουν γραμμική φάση 8

182 Πίνακας 43 Τύποι φίλτρων γραμμικής φάσης Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου I Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] Ο αριθμός N Συμμετρία h () Τύπος άρτιος άρτια Τύπου I περιττός άρτια Τύπου II άρτιος περιττή Τύπου III περιττός περιττή Τύπου IV N είναι άρτιος και η κρουστική απόκριση είναι άρτια συνάρτηση με άξονα συμμετρίας στο Η απόκριση συχνότητας είναι: j H e N / jn/ e ak k k cos( ) με συντελεστές N N ak h k, k,,, N a h 8 (434) (435) (436) (437) Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου II Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] (438) Ο αριθμός N είναι περιττός και η κρουστική απόκριση είναι άρτια συνάρτηση με άξονα συμμετρίας στο N Η απόκριση συχνότητας είναι: ( N )/ j jn/ H e e bk cos k (439) k με συντελεστές N N bk h k, k,,, (44) Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου III Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] (44) Ο αριθμός N είναι άρτιος και η κρουστική απόκριση είναι περιττή συνάρτηση με κέντρο συμμετρίας το N, Η απόκριση συχνότητας είναι: N / j jn/ H e j e ck si k (44) k με συντελεστές N N ck h k, k,,, (443) Φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου IV N

183 Η κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( N ), [: N] (444) Ο αριθμός N είναι περιττός και η κρουστική απόκριση είναι περιττή συνάρτηση με κέντρο συμμετρίας το N, Η απόκριση συχνότητας είναι: ( N )/ j jn/ H e j e dk si k (445) k με συντελεστές N N dk h k, k,,, (446) Παρατήρηση Για τα φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου I και τύπου III ισχύει: j He Για τα φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου II και τύπου IV ισχύει: j H e (447) (448) Μπορείτε να διερευνήσετε τα φίλτρα γραμμικής φάσηςμε το Διαδραστικό πρόγραμμα 4 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 4Φίλτρα γραμμικής φάσης 43 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProakis, 3 καιleis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Ασημάκης, 8Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Όταν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT), τότε είναι δυνατό να υπολογιστεί το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) είναι συνάρτησητης μεταβλητής Πρώτα δηλώνεται το πεδίο τιμών της μεταβλητής Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ώστε το πεδίο τιμών της μεταβλητής να είναι διάνυσμα Χρήσιμο είναι το πεδίο τιμών της μεταβλητής να περιλαμβάνει τουλάχιστον μία περίοδο (συνήθως δίνονται πεδία τιμών, ή, ) Μετά δίνεται ο τύπος υπολογισμού του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Προσοχή στη χρήση της τελείας στους τελεστές των πράξεων, ώστε οι πράξεις να γίνονται με κάθε τιμή του διανύσματος, που αντιστοιχεί στη μεταβλητή Χρήσιμο είναι να υπολογίζεται το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου (DTFT) Για τον υπολογισμό του πραγματικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση realγια τον υπολογισμό του φανταστικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση imagγια τον υπολογισμό του μέτρου χρησιμοποιείται η συνάρτηση absγια τον υπολογισμό της φάσης χρησιμοποιείται η συνάρτηση agleείναι δυνατή η ταυτόχρονη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου (DTFT) σε ένα Σχήμα με τη χρήση της συνάρτησης subplot 8

184 Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) έχει μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνου (DTFT) j Xe j e Για τον υπολογισμό του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου (DTFT) και τη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου (DTFT) απαιτείται η κλήση w=[::]; X= / (-5*exp(-j*w)); realx=real(x); imagx=imag(x); absx=abs(x); aglex=agle(x); figure(); subplot(,,); plot(w,realx); subplot(,,); plot(w,imagx); subplot(,,3); plot(w,absx); subplot(,,4); plot(w,aglex); Επίσης, συνηθίζεται η σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου (DTFT) σε μονάδες Σε αυτήν την περίπτωση απαιτείται η κλήση (τροποποίηση της παραπάνω κλήσης) w=[::]*(4*pi)/; X= / (-5*exp(-j*w)); realx=real(x); imagx=imag(x); absx=abs(x); aglex=agle(x); p=w/pi; figure(); subplot(,,); plot(p,realx); subplot(,,); plot(p,imagx); subplot(,,3); plot(p,absx); subplot(,,4); plot(p,aglex); 44 Λυμένες Ασκήσεις Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου του σήματος x( ) u( 3) Λύση Αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου 4 x( ) u( 3) u( 3) u( 3) u( 3) Επομένως υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου του σήματος 83

185 Στη συνέχεια γίνεται ο υπολογισμός 4 j j j j j X e x( ) e u( 3) e u( 3) e u( 3) e 3 4 j j j j e e e e Θέτοντας j a e έχουμε j 3 3 e a a a a a 3 3 a a a a a a 3 a a a a a a a 3 j 3 e a 3 a επειδή j j a e e cos( ) j si( ) cos ( ) si ( ) Άρα j j a X e e a e e Μία άλλη λύση είναι να χρησιμοποιηθούν οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Το σήμα x ( ) γράφεται: x( ) u( 3) u( 3) 8 u( 3) 8 y( 3) όπου θέσαμε y( ) u( ) Από τα ζεύγη των μετασχηματισμών Fourier διακριτού χρόνου γνωρίζουμε ότι: 3 j j DTFT j y( ) u( ) Y e j e Επίσης, από την ιδιότητα της μετατόπισης του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου γνωρίζουμε ότι: 3 3 j DTFT 3 j j e y( 3) u( 3) e Y e j e και από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου γνωρίζουμε ότι: 3 j DTFT j e x( ) 8 y( 3) X e 8 j e Άρα 3 j j 8e Xe j e Να υπολογίσετε την έξοδο y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος με κρουστική απόκριση 84

186 h( ) a u( ), a και είσοδο x( ) b u( ), b Λύση Αρχικά γίνεται έλεγχος της ύπαρξης των μετασχηματισμών Fourier διακριτού χρόνου h( ) a u( ) a u( ) a u( ) a a a a και x( ) b u( ) b u( ) b u( ) b b b b Στη συνέχεια υπολογίζονται οι (ευθείς) μετασχηματισμοί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού: j He j a e j Xe j be Μετά υπολογίζεται το γινόμενο j j j Y e H e X e j j a e b e Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων κάνοντας πράξεις: j A B Ye j j j j a e be a e be Τότε a A a b b B a b όπου a b Άρα j a b Ye j j a b a e a b b e Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: a b y( ) a u( ) b u( ) a b a b Στην περίπτωση όπου a b έχουμε j Ye j ae και χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) καταλήγουμε: y( ) ( ) a u( ) 3 Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) ( ) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας Λύση Η απόκριση συχνότητας είναι: 85

187 όπου - η πραγματική συνιστώσαείναι j j - η φανταστική συνιστώσα είναι Im H e H I e si( ) - το μέτροείναι j j Im H e HI e j si( ) - η φάση είναι ( ) arg He arcta arcta arcta j j Re H e H e cos( ) 4 Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) a( ), a Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας Λύση Η απόκριση συχνότητας είναι: Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Euler, έχουμε j j H e a e a cos( ) j si( ) όπου - η πραγματική συνιστώσα είναι - η φανταστική συνιστώσαείναι - το μέτρο είναι j j Im H e HI e j a si( ) - η φάση είναι ( ) arg He arcta arcta arcta j j Re H e H e a cos( ) 45 Ασκήσεις Να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourier διακριτού χρόνου των σημάτων α x( ) u( ) β γ δ H e h e e e e e j j j j j j ( ) ( ) ( ) j j cos( ) si( ) cos( ) si( ) j j R Re H e H e cos( ) j j R I j H e H e H e cos( ) si( ) cos( ) cos( ) H e h( ) e ( ) a ( ) e e a e a e j j j j j j a cos( ) j si( ) a cos( ) j a si( ) x( ) a u( ), a x( ) u( ) 4 x( ) u( ) 4 Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) ( ) 3 ( 3) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας j R j j I j Re H e H e a cos( ) Im H e H e a si( ) j j j R I R 86 R H e H e H e a cos( ) a si( ) a cos( ) a

188 3 Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) 3 ( ) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνότητας 4 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) x( ) x( ) x( 3) 5 y( ) 4 y( 3) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας 5 Δίνεται η απόκριση συχνότητας ενός LTIσυστήματος: j 4 j j 3e 5e He 3 5 j j e 4 e Να υπολογιστεί η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει τοσύστημα 6 Να δείξετε ότι τα φίλτρα μέσης τιμής είναι φίλτρα γραμμικής φάσης τύπου I ή τύπου II 46 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση 9 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου Δίνεται το σήμα x( ) u( ) 3 με μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου j Xe j e 3 Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του j μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου X e του σήματος x ( ) για [, ] Περιοδικότητα μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Δίνεται το σήμα j /8 x( ) e u( ) 3 Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση του j μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου X e του σήματος x ( ) για [, ] Να επιβεβαιώσετε ότι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι περιοδικός με θεμελιώδη περίοδο 3 Γραμμικότητα Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε δύο σήματα διακριτού χρόνου και x ( για [:] Στη συνέχεια, να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) x ( ) 3 x ( ) 87

189 j j Να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourier διακριτού χρόνου και X e για [, ] και j j j να υπολογίσετε την ποσότητα Y e X e 3 X e j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου X e για [, ] Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς X e αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το 4 Μετατόπιση στον χρόνο Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μετατόπισης στον χρόνο του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [:] j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνου X e για [, ] Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) x( ) j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνουy e για [, ] Στη συνέχεια, να υπολογίσετε την ποσότητα Z e j e j X e j Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς Z e αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το 5 Αντιστροφή στον χρόνο Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της αντιστροφής στον χρόνο του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [:] j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνου X e για [, ] Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) x( ) j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνουy e για [, ] j j Στη συνέχεια, να υπολογίσετε την ποσότητα Z e X e Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς Z e αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το 6 Μετατόπιση στη συχνότητα Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μετατόπισης στη συχνότητα του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [:] j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνου X e για [, ] j /4 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) e x( ) j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνουy e για [, ] 4 Στη συνέχεια, να υπολογίσετε X e j Να σχεδιάσετε το μέτρο και τη φάση των μετασχηματισμών Fourier διακριτού χρόνου Y e και X e j( ) 4 7 Συνέλιξη στον χρόνο j( ) j 4 και να διαπιστώσετε ότι Y e X e 5 j( ) 5 5 X e j j Y e j j Y e j j Y e 88

190 Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της συνέλιξης στον χρόνο του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε δύο σήματα διακριτού χρόνου και x ( για [:] j j Να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourier διακριτού χρόνου και X e για [, ] και να υπολογίσετε την ποσότητα X e j X e j X e j j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνου X e για [, ] Στη συνέχεια, να παράγετε τη συνέλιξη y( ) x ( ) x ( ) και να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier j διακριτού χρόνου Y e για [, ] j j Να σχεδιάσετε το μέτρο και τη φάση των μετασχηματισμών Fourier διακριτού χρόνου και Y e και να διαπιστώσετε ότι είναι ίσοι 8 Μιγαδική συζυγία Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μιγαδικής συζυγίας του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση radνα παράγετε το σήματα διακριτού χρόνου x ( ) για [: ] j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνου X e για [, ] * Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση coj να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου y( ) x ( ) που είναι το συζυγές σήμα του x ( ) j Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόfourier διακριτού χρόνουy e για [, ] j * j Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση coj ναυπολογίσετε την ποσότητα Z e X e Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του πλάτους της διαφοράς Z e αποτέλεσμαενδεικτικά, το αποτέλεσμα είναι της τάξης του και να εμφανίσετε το 9 Χαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (LowPass) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου (LowPass) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού χαμηλοπερατού φίλτρου: j H e,,, με c Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) 4 u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου j X e j της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου y () του φίλτρου για, Υψηπερατό φίλτρο (HighPass) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου (LowPass) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού υψηπερατού φίλτρου: j H e,,, με c 4 c c c 5 X e Xe j j Y e j He x c c c 89

191 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) 4 u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου j X e j της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου y () του φίλτρου για, Ζωνοπερατό φίλτρο (BadPass) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου (BadPass) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοπερατού φίλτρου: j H e,,,, με και 3 3 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) 4 u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου j X e j της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου y () του φίλτρου για, Ζωνοφρακτικό φίλτρο ή φίλτρο απόρριψης ζώνης (BadStop) Να γράψετε πρόγραμμα για τον έλεγχο της λειτουργίας του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου (BadStop) Να παράγετε την απόκριση συχνότητας του ιδανικού ζωνοφρακτικού φίλτρου: j H e,,,, με και 3 3 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) 4 u( ) για [:] 3 Να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας, του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου j X e j της εισόδου ( ) και του μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου y () του φίλτρου για, 3 Απόκριση συχνότητας LTIσυστήματος FIRφίλτρου Δίνεται η κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος h( ) ( ) 3 ( ) Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας j του φίλτρου για, 4 Απόκριση συχνότητας LTIσυστήματος IIRφίλτρου Δίνεται η εξίσωση διαφορών ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος y( ) x( ) x( ) y( ) 3 Να παράγετε το σήμα διακριτού χρόνου x( ) u( ) για [:] 3 j He x j He x H e j He x 9

192 Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας j του φίλτρου για, H e Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση του j μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου X e της εισόδου ( ) του φίλτρου για, Να σχεδιάσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση του j μετασχηματισμούfourier διακριτού χρόνου Y e της εξόδου () του φίλτρου για, 5 Απόκριση συχνότητας συνδεδεμένων LTIσυστημάτων Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) u( ) συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) u( ) Το σύστημα που προκύπτει συνδέεται παράλληλα με ένα LTI 3 σύστημα με κρουστική απόκριση h3 ( ) u( ) 4 Να αποδείξετε θεωρητικά ότι η απόκριση συχνότητας του συνολικού φίλτρου είναι: j j H e H e H e j H e j, 3 H e H e 3 j j j όπου,, H e είναι οι επί μέρους κρουστικές αποκρίσεις Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση του συνολικού συστήματος Να σχεδιάσετε την πραγματική συνιστώσα, τη φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας του συνολικού φίλτρου 6IIRχαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (LowPass) Ένα χαμηλοπερατό ή βαθυπερατό φίλτρο (LowPass) μπορεί να υλοποιηθεί με ένα IIRφίλτρο τάξης ( NM, ) (,) με απόκριση συχνότητας της μορφής: H e j cos( ) e e j j j j c cos( ) e c e Οι συντελεστές του φίλτρου επιλέγονται, έτσι ώστεο αριθμητής να μηδενίζεται στα δύο συζυγή σημεία j που βρίσκονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο και ο παρονομαστής να μηδενίζεται στα δύο συζυγή σημεία j ce με c, που βρίσκονται μέσα στο μοναδιαίο κύκλο j Για /, /4 και 8, να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας H e για, Ποιοι είναι οι συντελεστές του IIRφίλτρου που υλοποιεί το LowPass φίλτρο; 7 IIRζωνοπερατό φίλτρο (BadPass) Ένα ζωνοπερατό φίλτρο (BadPass) μπορεί να υλοποιηθεί με ένα IIRφίλτρο τάξης ( NM, ) (,) με απόκριση συχνότητας της μορφής j j e He j j c cos( ) e c e Οι συντελεστές του φίλτρου επιλέγονται, έτσι ώστεο αριθμητής να μηδενίζεται στα δύο σημεία και - και ο j παρονομαστής να μηδενίζεται στα συζυγή σημεία ce με c, που βρίσκονται μέσα στο μοναδιαίο κύκλο j Για / και 8, να σχεδιάσετε το μέτροτης απόκρισης συχνότητας για, Ποιοι είναι οι συντελεστές του IIRφίλτρου που υλοποιεί το BadPass φίλτρο; x y c c H e e 9

193 47 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 4 με τον Ήχο 4 Ήχος 4Περίληψη Κεφαλαίου 4 Μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου και Απόκριση συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DiscreteTimeFourierTrasform DTFT) είναι ένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourier j διακριτού χρόνου X e ενός σήματος διακριτού χρόνου x ( ), αν υπάρχει, είναι η αναπαράσταση του σήματος συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών σημάτων της μορφής j, όπου είναι η κυκλική συχνότητα j Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) H e της κρουστικής απόκρισης h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται απόκριση συχνότητας (frequecyrespose) Η απόκριση συχνότητας είναι περιοδική με θεμελιώδη περίοδο Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων Η συνολική απόκριση συχνότητας ενός LTI συστήματος που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνότητας των επί μέρους συστημάτων Η απόκριση συχνότητας εξαρτάται από τους συντελεστές του LTI συστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης διαφορών αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνότητας Έτσι, η απόκριση συχνότητας αρκεί για να περιγράψει ένα LTI σύστημα στο πεδίο της συχνότητας Τα φίλτρα με κατά τμήματα σταθερόμέτρο της απόκρισης συχνότητας ονομάζονται φίλτρα επιλογής συχνοτήτων και διακρίνονται σε τέσσερις κατηγορίες: χαμηλοπερατά ή βαθυπερατά φίλτρα (Low Pass), υψηπερατά φίλτρα (High Pass), ζωνοπερατά φίλτρα (Bad Pass), ζωνοφρακτικά φίλτρα ή φίλτρα απόρριψης ζώνης (Bad Stop) Τα φίλτρα γραμμικής φάσης είναι FIR φίλτρα με γραμμική φάση και διακρίνονται σε τύπου I, II, III και IV e 9

194 Βιβλιογραφία/Αναφορές Eato, J W, Batema, D, Hauberg, S, Wehbrig R () GNU Octave (3rd ed) Hase J S () GNU Octave Begier's Guide Packt Publishig Hayes, M H () Ψηφιακή Επεξεργασίας Σήματος ΕκδόσειςΤζιόλα Igle, V K, & Proakis, J G (3) Digital Sigal Processig usig MATLAB Stamford, CT: Thomso Brooks Cole Leis, J W () Digital Sigal Processig usig MATLAB for studets ad researchers J Wiley ad Sos McClella, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης TheMathWorksIc (5)Sigal Processig Toolbox User s Guide Ασημάκης, Ν (8) Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Guteberg Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ 93

195 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 43 Διαδραστικό πρόγραμμα 43Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 44 Διαδραστικό πρόγραμμα 44Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 94

196 Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού z και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς και αναλύεται η περιγραφή των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων (LiearTimeIvariat LTI) συστημάτων μέσω της συνάρτησης μεταφοράς Παρουσιάζεται η σχέση της ακολουθίας Fiboacci με τη συνάρτηση μεταφοράς Προαπαιτούμενη γνώση Σειρές, εξισώσεις διαφορών Κεφάλαιο, Κεφάλαιο, Κεφάλαιο 3 5 Μετασχηματισμός z Ορισμός μετασχηματισμού z Ο ευθύςαμφίπλευροςμετασχηματισμός z (bilateral z trasform) μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου ορίζεται ως ακολούθως: X ( z) x( ) z όπου η μιγαδική μεταβλητή z ονομάζεται μιγαδική συχνότητα και μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση πολικών j συντεταγμένων, ως z r e, όπου r είναι το μέτρο του z και είναι η γωνία του z Ο μετασχηματισμός zμίας ακολουθίας διακριτού χρόνου είναι, σύμφωνα με τον ορισμό, ένα άθροισμα απείρων όρων, το οποίο μπορεί να συγκλίνει σε έναν πραγματικό αριθμό για κάποιες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής z και μπορεί να μην συγκλίνει για κάποιες άλλες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής z Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής z για τις οποίες λέμε ότι υπάρχει ο μετασχηματισμός z, δηλαδή για τις οποίες το άθροισμα του μετασχηματισμού zσυγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (Regio Of Covergece ROC) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός z ορίζεται ως συνάρτηση του ακόλουθου επικαμπύλιου ολοκληρώματος: x( ) X ( z) z dz (5) j C όπου C είναι μία αριστερόστροφη κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων και εντός της Περιοχής Σύγκλισης O ευθύς μετασχηματισμός zείναι μοναδικός (uique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Επίσης, ο αντίστροφος μετασχηματισμός zείναι μοναδικός (uique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Αν λοιπόν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης, τότε ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός zαποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: z x( ) X ( z) Σχέση μετασχηματισμού z και μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου j Αντικαθιστώντας z r e στον ορισμό (5), προκύπτει j j j X ( r e ) x( ) r e x( ) r e που σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός z είναι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου της ακολουθίας x( ) r j στο σημείο z r e δηλαδή j X () z j X e (53) z r e x ( ) (5) 95

197 και ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) αποτελεί ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού X() z Παρατήρηση Η σχέση z ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο (Uit Circle) στο μιγαδικό επίπεδο Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes,, McClella, Schafer & Yoder, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3 5 Περιοχή Σύγκλισης Ο μετασχηματισμός z μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου πρέπει να συνοδεύεται από την Περιοχή Σύγκλισης, δηλαδή από την περιοχή του μιγαδικού επιπέδου, για την οποία υπάρχει ο μετασχηματισμός z Ιδιότητες της Περιοχής Σύγκλισης - Αν το σήμα x ( ) είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς, δηλαδή x( ),, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής z a Παρατήρηση: Αν, τότε το σήμα x ( ) είναι αιτιατό Οπότε τα αιτιατά σήματα έχουν μετασχηματισμό zμε Περιοχή Σύγκλισης την εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου - Αν το σήμα x ( ) είναι ακολουθία αριστερής πλευράς, δηλαδή x( ),, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι η εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής z b Παρατήρηση: Αν, τότε το σήμα x ( ) είναι αναιτιατό Οπότε τα αναιτιατά σήματα έχουν μετασχηματισμό zμε Περιοχή Σύγκλισης την εσωτερική επιφάνεια ενός κύκλου - Αν το σήμα x ( ) είναι αμφίπλευρη ακολουθία, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι δακτυλιοειδής επιφάνεια της μορφής a z b, όπου μπορεί να είναι a ή b - Αν το σήμα ( ) είναι ακολουθία πεπερασμένης διάρκειας, δηλαδή x( ), :, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, εκτός ίσως από τα σημεία z ή z Αν, τότε το σημείο z δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης Αν, τότε το σημείο z δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης Πόλοι και Μηδενικά Αν ο μετασχηματισμός zμίας ακολουθίας είναι ρητή συνάρτηση του z της μορφής: Bz () X() z Az () τότε οι ρίζες του αριθμητή Bz () καλούνται μηδενικά (zeros) της X() z και οι ρίζες του παρονομαστή Az () καλούνται πόλοι (poles) της X() z Προφανώς, στην περίπτωση αυτή, η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός z: 9 X ( z), z 9 z Ο μετασχηματισμός z γράφεται: B( z) z X() z 9 9 A( z) z z 9 Επομένως, υπάρχει ένα μηδενικό στο σημείο z και ένας πόλος στο σημείο z j X e x 96

198 Στο Σχήμα 5 φαίνεται το διάγραμμα πόλων-μηδενικών του μετασχηματισμού z στο μιγαδικό επίπεδο, όπου τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο «ο» και οι πόλοι με το σύμβολο Imagiary Part Σχήμα 5Πόλοι και Μηδενικά μετασχηματισμού z Παρατήρηση: Συνήθως ο μετασχηματισμός zπαρουσιάζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής Αν παρουσιαστεί ως συνάρτηση της μεταβλητής z, τότε μπορεί να μετατραπεί σε συνάρτηση της μεταβλητής z διαιρώντας αριθμητή και παρονομαστή με την μεγαλύτερη δύναμη, που υπάρχει σε αυτούς Παράδειγμα z 3 X ( z), z z ( z ) ( z ) 53 Υπολογισμός μετασχηματισμού z Σήματα πεπερασμένης διάρκειας Ο μετασχηματισμός zτων σημάτων πεπερασμένης διάρκειας υπολογίζεται με χρήση του ορισμού Παράδειγμα Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου πεπερασμένης διάρκειας: x( ) ( ) 4 ( ) ( 3) Ο μετασχηματισμός z είναι 3 X ( z) 4z z με Περιοχή Σύγκλισης ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από το σημείο z Σήματα άπειρης διάρκειας Real Part Ομετασχηματισμός z γράφεται: z 3 z z ( ) z z z X z z ( z ) ( z ) z 3z z z 3z z 3z z 3 z z

199 Ο μετασχηματισμός zτων σημάτων πεπερασμένης διάρκειας υπολογίζεται με χρήση αθροισμάτων και απαιτεί τον καθορισμό της Περιοχής Σύγκλισης Παράδειγμα Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας: x( ) a u( ) Ο μετασχηματισμός z είναι αν az ή z a, δηλαδή η Περιοχή Σύγκλισης είναι: z a Επίσης, δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας: x( ) a u( ) Ο μετασχηματισμός z είναι αν a z ή z a, δηλαδή η Περιοχή Σύγκλισης είναι: z a Παρατηρούμε ότι τόσο το σήμα x( ) a u( ), όσο και το σήμα x( ) a u( ) έχουν την ίδια συνάρτηση ως μετασχηματισμό z, αλλά έχουν διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Μάλιστα, οι Περιοχές Σύγκλισης είναι συμπληρωματικές, αφού η ένωσή τους είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο χωρίς τα σημεία του κύκλου z a Αυτό συμβαίνει γιατί ο μετασχηματισμός zέχει έναν πόλο, τον πόλο z a, αφού γράφεται: z X() z a z z a Το σήμα x( ) a u( ) είναι αιτιατό (ακολουθία δεξιάς πλευράς) και το σήμα x( ) a u( ) είναι αναιτιατό (ακολουθία αριστερής πλευράς) Εδώ αξίζει να παρατηρήσουμε ότι διαφορετικά σήματα μπορούν να έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό z, αλλά με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Συγκεκριμένα, αν ο μετασχηματισμός zέχει δύο πόλους, τότε υπάρχουν τρία σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό z, με διαφορετικές Περιοχές Σύγκλισης Το ένα είναι ακολουθία δεξιάς πλευράς, το άλλο ακολουθία αριστερής πλευράς και το τρίτο είναι αμφίπλευρη ακολουθία Γενικεύοντας, αν ο μετασχηματισμός zέχει N πόλους, τότε υπάρχουν N σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό z Παράδειγμα X ( z) x( ) z a u( ) z a u( ) z a u( ) z a z a z a z a z 98 a z X ( z) x( ) z a u( ) z a u( ) z a u( ) z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a z a a a z z a z a z az a z a a z a z z z

200 Ο μετασχηματισμός z 5 z X() z z z z z έχει δύο πόλους: z και z Οπότε υπάρχουν τρεις πιθανές Περιοχές Σύγκλισης: (α) Στην περίπτωση αυτή έχουμε Άρα z οπότε και z που είναι αιτιατό σήμα (ακολουθία δεξιάς πλευράς σήμα) (β) z Στην περίπτωση αυτή έχουμε Άρα που είναι αμφίπλευρη ακολουθία (γ) z Στην περίπτωση αυτή έχουμε Άρα z z και z z και z που είναι αναιτιατό σήμα (ακολουθία αριστερής πλευράς) 54 Ζεύγη μετασχηματισμού z x( ) u( ) u( ) x( ) u( ) u( ) x( ) u( ) u( ) Στον Πίνακα 5 παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί z Ακολουθία διακριτούχρόνου Μετασχηματισμός z Περιοχή Σύγκλισης ( ) z z ( ) z εκτός z, ή z, a u( ) az a u( ) az a u( ) a u( ) ( ) a u( ) si( ) u( ) cos( ) u( ) a z az a z az a az si cos z z cos z z cos z z z a z a z a z a z a z z 99

201 a si( ) u( ) a cos( ) u( ) asi acos z a z z acos z acos z a z z z a a Πίνακας 5 Ζεύγη μετασχηματισμού z 55 Ιδιότητες μετασχηματισμού z 55 Γραμμικότητα Αν x ( ) z X z, ROC και x ( ) z X z, ROC, τότε c x ( ) c x ( ) c X z c X z, ROC έ ROC ROC z για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Παρατήρηση: Η λέξη «περιέχει» χρησιμοποιείται γιατί, στην περίπτωση όπου ο γραμμικός συνδυασμός είναι τέτοιος, που κάποια μηδενικά εξουδετερώνουν κάποιους πόλους, τότε η Περιοχή Σύγκλισης του γραμμικού συνδυασμού είναι μεγαλύτερη από την τομή των επί μέρους Περιοχών Σύγκλισης (Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β, 3) (54) Απόδειξη Αν y( ) c x ( ) c x ( ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού zστην (5) έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y z y z c x c x z c x z c x z c x ( ) z c x ( ) z c x ( ) z c x ( ) z 55 Μετατόπιση στον χρόνο Αν x( ) z X z, ROC, τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε c X z c X z x( ) z X z, ROC ό z, ήz, z Θέτοντας m, έχουμε: Y z y( ) z x( ) z ( m ) m Y z x( ) z x( m) z z x( m) z z X z m m (55) Παράδειγμα Αν x( ) u( ) X z, z τότε z z z z z y( ) x( ) u( ) Y( z) z X z, z

202 553 Αναδίπλωση z Αν x( ) X z, ROC D z D Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε Θέτοντας m, έχουμε: D D x( ) z X z,/ ROC z ( ) ( ) Y z y z x z, τότε ( ) ( ) ( ) m ( ) m Y z x z x m z x m z X z m m (56) 554 Μετατόπιση στη συχνότητα z Αν x( ) X z, ROC D z D (56) Απόδειξη Αν y( ) a x( ) τότε Θέτοντας a, τότε a x( ) z X a z, a ROC a D z a D ( ) ( ) Y z y z a x z z, έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) Y z a x z a x a a x a x( ) X X a z 555 Συνέλιξη Αν x ( ) z X z, ROC και x ( ) z X z, ROC, τότε z x ( ) x ( ) X z X z, ROC έ ROC ROC Απόδειξη Αν y( ) x ( ) x ( ), τότε Y z y( ) z x ( ) x( ) z x ( m) x( m) z m Θέτοντας m k και αλλάζοντας τη σειρά των αθροισμάτων, έχουμε: Y z x ( m) x ( m) z x ( m) x( m) z m m ( mk ) m k x ( m) x ( k) z x ( m) z x( k) z X z X z m k (58)

203 Στον Πίνακα 5 παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού z Ιδιότητα Μετασχηματισμού z Γραμμικότητα Μετατόπιση στον χρόνο Αναδίπλωση Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη στον χρόνο Ακολουθία διακριτού χρόνου x () x () x ( ) c x ( ) c x ( ) x () x () Μετασχηματισμός z c X z c X z x( ) x( ) a Περιοχή Σύγκλισης X z ROC D z D X z ROC X z ROC έ ROC ROC z x( ) X a z ROC ό z, ή z, X z X z z D D a D z a D X z X z έ ROC ROC Πίνακας 5 Ιδιότητες του μετασχηματισμού z Ο μετασχηματισμός z μπορεί να υπολογιστεί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού zκαι των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού z Παράδειγμα Δίνεται το σήμα διακριτού χρόνου άπειρης διάρκειας: x( ) ( ) a u( ) Το σήμα γράφεται: x( ) a a u( ) a u( ) Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού z γνωρίζουμε ότι: z a z x( ) a u( ) Xz, z a az z x( ) a u( ) X z, z a az Από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού z έχουμε ότι ο μετασχηματισμός του x( ) a a u( ) a u( ) είναι: a z X z a Xz X z a, z a a z az Άρα a z a z a a z a X z a a z az a z a z a z Μπορείτε να διερευνήσετε τον μετασχηματισμό zμε το Διαδραστικό πρόγραμμα 5 Διαδραστικό πρόγραμμα 5Μετασχηματισμός z

204 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 56 Αντίστροφος μετασχηματισμός z Ο αντίστροφος μετασχηματισμός z ορίζεται μέσω επικαμπύλιου ολοκληρώματος, όπως στην (5) Στην παράγραφο αυτή θα αναλυθεί μία μεθοδολογία υπολογισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού z, χωρίς τη χρήση ολοκληρώματος Αντίστροφος μετασχηματισμός πολυωνύμου Ο αντίστροφος μετασχηματισμός z μπορεί να γίνει με βάση τον ορισμό του μετασχηματισμού z Τα σήματα που προκύπτουν είναι σήματα πεπερασμένης διάρκειας Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός z 3 X z 3 4z 5z γράφεται με βάση τον ορισμό: Ο αντίστροφος μετασχηματισμός z είναι x( ) 4 ( ) 3 ( ) 5 ( 3) και βέβαια πρόκειται για σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αντίστροφος μετασχηματισμός ρητής συνάρτησης Ο αντίστροφος μετασχηματισμός z μπορεί να γίνει με τη μέθοδο της ανάλυσης της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα απλών κλασμάτων Αν X() z είναι ρητή συνάρτηση του z με απλούς πόλους pk, k,,, N τότε για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού z χρησιμοποιείται η μέθοδος ανάλυσης της X() z σε άθροισμα απλών κλασμάτων: (α) αν N M, δηλαδή ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από το βαθμό του παρονομαστή, τότε N Ak X() z (5) p z με συντελεστές Ak pk z X ( z) (59) (5) (β) αν N M, δηλαδή ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος ή μεγαλύτερος από το βαθμό του παρονομαστή, τότε X ( z) X( z) X ( z) (5) όπου N Ak X() z (53) p z με συντελεστές Ak pk z X ( z) και 3 ( ) X z x z z z z z z z Bz ( ) X( z) Az ( ) k k MN M k N k X ( z) C z k k k k b( k) z a( k) z k k k z pk z pk (54) (55) 3

205 με συντελεστές C k που υπολογίζονται εκτελώντας τη διαίρεση Bz ( ) Az ( ) από όπου προκύπτει το πολυώνυμο X ( z) βαθμού M N Ο αντίστροφος μετασχηματισμός επιτυγχάνεται υπολογίζοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς z σε κάθε όρο του αθροίσματος χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού z και τελικά χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού z Στην περίπτωση που υπάρχει πόλος με πολλαπλότητα, οι τύποι αλλάζουν Για παράδειγμα, αν η έναν διπλό πόλο p, τότε η ανάλυση σε απλά κλάσματα είναι η ακόλουθη: A A X() z pz pz X() z έχει (56) με συντελεστές d A p p z X ( z) dz A p z X ( z) z p z p (57) (58) Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός z X z, z 3z z και θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό z, δηλαδή το σήμα x ( ) από το οποίο προέκυψε Η συνάρτηση X z είναι ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό του παρονομαστή N M και γράφεται Xz 3z z z z z z Επομένως η συνάρτηση X z έχει δύο απλούς πόλους: p και p Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδος ανάλυσης της Xz σε άθροισμα απλών κλασμάτων, προκύπτει A A Xz z z z z όπου A z X ( z) z z z A z X ( z) z z z Άρα Xz z z Τέλος, χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού z και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού z, προκύπτει ο αντίστροφος μετασχηματισμός z: x( ) ( ) u( ) ( ) u( ) 4

206 Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός z 4 z X z, z 4 z και θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό z, δηλαδή το σήμα προέκυψε Η συνάρτηση από το οποίο είναι ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό του παρονομαστή N M και έχει έναν διπλό πόλο p Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδος ανάλυσης της Άρα που γράφεται: X z 8 4 z σε άθροισμα απλών κλασμάτων, προκύπτει: Τέλος, χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού z και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού z, προκύπτει ο αντίστροφος μετασχηματισμός z: Παράδειγμα 3 Δίνεται ο μετασχηματισμός z 7 4 z z X z, z 3 z z και θέλουμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό z, δηλαδή το σήμα x ( ) από το οποίο προέκυψε Η συνάρτηση X(z) είναι ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή ίσο με το βαθμό του παρονομαστή N M Οπότε μετά τη διαίρεση των πολυωνύμων, η συνάρτηση X z γράφεται: Τότε X z X z X z με X z 4 Xz z A A z z 4z Xz όπου A d z X ( z) z z d z dz z dz z 4 4 A z X ( z) z 4 4 z z 4 4 X z z 4 z z x( ) u( ) 8 ( ) u( ) X z X X 4 z z z z 8z z 4z 4 z z z 4z z 4 4 x ( ) 5

207 Η συνάρτηση X z έχει δύο απλούς πόλους: p και p Τότε, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ανάλυσης της X Άρα 6 σε άθροισμα απλών κλασμάτων, προκύπτει: Τέλος, χρησιμοποιώντας τα ζεύγη του μετασχηματισμού z και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού z, προκύπτει ο αντίστροφος μετασχηματισμός z: 57Συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού z Ο υπολογισμός της συνέλιξης μέσω μετασχηματισμού z, στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Η διαδικασία υπολογισμού της συνέλιξης δύο σημάτων διακριτού χρόνου μέσω μετασχηματισμού z είναι η ακόλουθη: Δεδομένων δύο σημάτων x ( ) και x ( ), υπολογίζουμε τους μετασχηματισμούς z, και Στη συνέχεια υπολογίζουμε το γινόμενο X z X z X z, αφού γνωρίζουμε ότι X z είναι ο μετασχηματισμός z της συνέλιξης x( ) x( ) x( ) (ιδιότητα συνέλιξης του μετασχηματισμού z) Στη συνέχεια, το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων (όπως στην προηγούμενη παράγραφο) Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό zτης X z, που είναι η ζητούμενη συνέλιξη Παράδειγμα Δίνονται τα σήματα Να υπολογιστεί η συνέλιξη x( ) x( ) x( ) μέσω του μετασχηματισμού z Αρχικά υπολογίζονται οι (ευθείς) μετασχηματισμοί με χρήση των ζευγών του μετασχηματισμού και των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού: Το σήμα 4 z z 4z z 4z z A A όπου A z X ( z) z 3 4 z 4 z z z A z X ( z) 4 4 z 4 z z 4 3 z z X z 4 4 x( ) 3 u( ) u( ) ( ) έχει μετασχηματισμό z X z Το σήμα s( ) u( ) έχει μετασχηματισμό z S z, z z Οπότε με χρήση της ιδιότητας αντιστροφής στον χρόνο το σήμα y( ) s( ) u( ) έχει μετασχηματισμό z 4 X z X z x ( ) u( ) x ( ) 3 ( ) u x ( ) u( ) X z z, z

208 Y z S z, z z Τότε, με χρήση της ιδιότητας μετατόπισης στη συχνότητα Μετά υπολογίζεται το γινόμενο X z X z X z, 3 3 z z z z z οπότε 3z X z Xz X z, z 3 z 3 z Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων: 3z A A Xz z 3 z z 3 z με συντελεστές 3z 6 A z X ( z) z 3z 5 3z 6 A 3 z X ( z) z 3 z 5 z3 δηλαδή 6 6 3z 5 5 Xz z 3 z z 3 z Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: 58 Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής Θεώρημα αρχικής τιμής Αν x( ),, τότε η αρχική τιμή του σήματος x ( ) είναι x() lim X z (59) Απόδειξη 3 z 3 Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός zενός αιτιατού σήματος 5 X z, z 3 35z Τότε η αρχική τιμή του σήματος το σήμα x ( ) 3 y ( ) 3 u ( ) έχει μετασχηματισμό z X z S 3 z, z 3 z z x( ) u( ) 3 u( ) X z x( ) z x( ) z x() z x( ) z z x() x( ) z x() x( ) z x x z x z x x () () () () () z x ( ) είναι: x ( ) z 7

209 x() lim X z lim z z 3 5 z 3 Θεώρημα τελικής τιμής Αν x( ),, τότε η τελική τιμή του σήματος x ( ) είναι x() lim X z (5) Απόδειξη X z x( ) z x( ) z x() z x( ) z x( ) z x() z x( ) z x() x( ) z x( ) z x() x() x() z Παράδειγμα Δίνεται ο μετασχηματισμός zενός αναιτιατού σήματος 3z 5 X z, z 4 45z Τότε η τελική τιμή του σήματος x ( ) είναι: 59 Μονόπλευρος μετασχηματισμός z Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z (oe-sided z trasform) μίας ακολουθίας διακριτού χρόνου ορίζεται ως: (5) Πρόκειται για το ίδιο άθροισμα με αυτό του ορισμού του αμφίπλευρου μετασχηματισμού z, με τη διαφορά ότι το άθροισμα υπολογίζεται μόνο για τις μη αρνητικές τιμές της μεταβλητής, δηλαδή για Επομένως, ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z (oe-sidedz trasform) μίας ακολουθίας x ( ) είναι ίσος με τον μετασχηματισμό z της ακολουθίας x( ) u( ) Προφανώς η Περιοχή Σύγκλισης του μονόπλευρου μετασχηματισμού z μίας ακολουθίας είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής z > a Για τα ζεύγη του μονόπλευρου μετασχηματισμού zχρησιμοποιείται ο συμβολισμός: x ( ) x() lim X z lim lim lim z z 4 5 z z z 4 5 z z 4z 5 5 X ( z) x( ) z z x( ) X ( z) 3 z z 3 z z 3 3 z x ( ) Ιδιότητα μετατόπισης στον χρόνο του μονόπλευρου μετασχηματισμού z Οι περισσότερες ιδιότητες του μονόπλευρου μετασχηματισμού z είναι ίδιες με αυτές του αμφίπλευρου μετασχηματισμού z Μία ιδιότητα, όπου υπάρχει διαφορά, είναι η ιδιότητα της μετατόπισης στον χρόνο Μετατόπιση ή ολίσθηση προς τα δεξιά Αν z x( ) X ( z), τότε ( z ), ( ) i x z X z z x i z Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε ( ) ( ) ( ) Y z y z x z i (5) 8

210 Θέτοντας Παράδειγμα Το σήμα έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό z X ( z), z z Τότε το σήμα Μετατόπιση ή ολίσθηση προς τα αριστερά Αν z x( ) X ( z), τότε Απόδειξη Αν y( ) x( ), τότε Θέτοντας m Παράδειγμα Το σήμα m ( m) m ( ) ( ) ( ) ( ) m m Y z x z x m z z x m z z x( m) z x( m) z m m m m m z x( m) z z x( m) z m m i z x( i) z z X ( z) i x( ) u( ), x( ) y( ) x( ) u( ) έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό z z Y z z X z x z z ( ) ( ) ( ), z z m z ( ), ( ) i x z X z z x i z ( ) ( ) ( ) Y z y z x z ( m) m ( ) ( ) ( ) ( ) m m Y z x z x m z z x m z z x( m) z x( m) z m m m m m m z x( m) z z x( m) z m m i z X ( z) z x( i) z x( ) u( ) i i (53) 9

211 με x() u() έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό z X ( z), z z Τότε το σήμα y( ) x( ) u( ) έχει μονόπλευρο μετασχηματισμό z zz Y ( z) z X ( z) z x() z z, z z z z z Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός z χρησιμοποιείται για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες 5 Συνάρτηση μεταφοράς Ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) και είσοδο x ( ) παράγει στην έξοδο την απόκριση: y( ) h( ) x( ) (54) όπως φαίνεται στο Σχήμα 5 Ο μετασχηματισμός z, H z, της κρουστικής απόκρισης h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματοςονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς(trasferfuctio): ( ) H z h z Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού z, είναι προφανές ότι, συμβολίζοντας με Xz (55) μετασχηματισμό z της εισόδου x ( ) και με Y z τον μετασχηματισμό z της εξόδου y( ) h( ) x( ) του LTI συστήματος, οι μετασχηματισμοί zτης εισόδου και της εξόδου συνδέονται με τη σχέση: Y z H zx z (56) όπως φαίνεται στο Σχήμα 5 τον Σχήμα 5Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστήματος Έτσι, στα LTI συστήματα, η συνέλιξη στον χρόνο γίνεται πολλαπλασιασμός στη μιγαδική συχνότητα 5 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω συνάρτησης μεταφοράς Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές:

212 y( ) b x( k) a y( k) Στο Κεφάλαιο 3 είδαμε ότι η κρουστική απόκριση του χρόνου Τώρα θα δούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς (57) αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός z της κρουστικής απόκρισης h ( ) είναι η συνάρτηση μεταφοράς Hz Παίρνοντας τον μετασχηματισμό z και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών (58), έχουμε οπότε N M k Y z ak z X zbk z k k Όμως, γνωρίζουμε ότι: Y z H zx z οπότε Yz H z X z Άρα (58) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς εξαρτάται από τους συντελεστές του LTIσυστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης διαφορών αρκούν για να ορίσουν τη συνάρτηση μεταφοράς Έτσι, η συνάρτηση μεταφοράς αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα στο πεδίο της συχνότητας Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI σύστημα: y( ) x( ) 3 x( ) 4 y( ) 5 y( ) Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς Παίρνοντας τον μετασχηματισμό z και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε Y z X z 3 z X z 4 z Y z 5 z Y z Άρα M k k k M N k k Y z b z X z a z Y z k k k M N k k Y z X z b z Y z a z k k k N k k k k k k N k M k Y z Y z a z X z b z H z Y z X z M b k k N k z a k k z k k k h ( ) H z Y z z z X z z Y z 3z X z 4z 5z Hz Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI σύστημα: y( ) x( ) x( ) x( ) 5 y( ) 4 y( ) Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς

213 Από την εξίσωση διαφορών προκύπτει ότι πρόκειται για IIR φίλτρο με M και N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b, b, b, a 5, a 4 Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: z z Hz 5z 4z Παράδειγμα 3 Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς 3 6z Hz z 5z Να βρεθεί η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει το LTI σύστημα Από την εξίσωση διαφορών προκύπτει ότι πρόκειται για IIR φίλτρο με M και N και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b 3, b, b 6, a, a 5 Επομένως, χρησιμοποιώντας τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου, η εξίσωση διαφορών είναι: y( ) 3 x( ) 6 x( ) y( ) 5 y( ) Επίσης, είναι φανερό ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι ρητή συνάρτηση της μεταβλητής z, οπότε έχει μηδενικά και πόλους Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς: 3 z 6 z H z 3 z z Ο μετασχηματισμός z γράφεται: z 6 z z z z 6 4 z 4 Hz 3 3 z z z z z z 3 Επομένως υπάρχουν δύο μηδενικά στα σημεία z και z και δύο πόλοι στα σημεία z 4 4 και z Στο Σχήμα 53 φαίνεται το διάγραμμα πόλων-μηδενικών της συνάρτησης μεταφοράς, όπου τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο «ο» και οι πόλοι με το σύμβολο

214 8 6 4 Imagiary Part Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς Real Part Σχήμα 53Πόλοι και Μηδενικά συνάρτησης μεταφοράς H z συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H z, όπως φαίνεται στο Σχήμα 54 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό z X z και έξοδο w ( ) με μετασχηματισμό z W z Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος και έξοδο y () με μετασχηματισμό z Y z Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H z, που εξαρτάται από τις συναρτήσεις μεταφοράς των συστημάτων και δίνεται από τη σχέση: H z H z H z Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y z H z W z W z H z X z οπότε Y z H z W z H z H z X z H z H z X z επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: Y z H zx z Επομένως, H z H z H z H z H z (59) 3

215 Σχήμα 54Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων 54 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H z Xz w ( ) Xz v ( ) H z συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς, όπως φαίνεται στο Σχήμα 55 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό z και έξοδο με μετασχηματισμό z W z Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό z και έξοδο μεμετασχηματισμό z V z Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν την συνολική έξοδο y () με μετασχηματισμό z Y z Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H z, που εξαρτάται από τις συναρτήσεις μεταφοράς των συστημάτων και δίνεται από τη σχέση: H z H z H z Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα παράλληλα, ισχύει: V z H z X z W z H z X z οπότε Y z V z W z H z X z H z X z H z H z X z επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: Y z H zx z Επομένως : H z H z H z H z H z (53) Σχήμα 55Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων 4

216 55 Επίλυση εξισώσεων διαφορών μέσω μετασχηματισμού z Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( k) a y( k) k k k (53) και αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( N) και αρχικές συνθήκες εισόδου x( ), x( ),, x( M) Η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές είναι ένας ανοικτός τύπος υπολογισμού της απόκρισης του συστήματος, δεδομένων βέβαια των σταθερών συντελεστών Επομένως συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου Για να υπολογιστεί η έξοδος y() απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( N) και οι αρχικές συνθήκες εισόδου x( ), x( ),, x( M) Η επίλυση των εξισώσεων διαφορών μπορεί να γίνει μέσω του μετασχηματισμού z Μάλιστα η ύπαρξη αρχικών συνθηκών υπαγορεύει τη χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού z Παίρνοντας μονόπλευρο μετασχηματισμό z και στα δύο μέλη της εξίσωσης διαφορών, έχουμε: M k N k k k i k k i Y z bk z X z z x( i) z ak z Y z z y( i) z k i k i N N ki ai z y( k) k i Hy z N k ak z k προκύπτει: Y z H z X z H z H z N k N N k M M k k k i k k i k k ( ) k k ( ) k k i k k i Y z a z Y z a z y i z b z X z b z x i z N k Y ( z) ak z ak z k N k M M k k i k k i y( i) z X ( z) bk z bk z x( i) z k i k k i N N N M M M k k i k k i Y z ak z ai z y( k) X z bk z bi z x( k) k k i k k i M M M N N k k i k i bk z bi z x( k) ai z y( k) k k i k i Y z X z N N N k k k ak z ak z ak z k k k Θέτοντας: M k H z H x z M N b k k k i z a k k z k M ki bi z x( k) N k ak z k x y (53) (533) (534) (535) Ο πρώτος όρος εξαρτάται από τη συνάρτηση μεταφοράς, που αποτυπώνει τη συμπεριφορά του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες εισόδου και εξόδου 5

217 Ο δεύτερος όρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εισόδου Αν το σύστημα είναι αιτιατό, τότε οι αρχικές συνθήκες εισόδου είναι μηδενικές και ο όρος αυτός μηδενίζεται Ο τρίτος όρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εξόδου και αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο Παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό zπροκύπτει η απόκριση του συστήματος Παράδειγμα Δίνεται ένα αιτιατό σύστημα με γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη y( ) 4 Υπολογισμός κρουστικής απόκρισης Η κρουστική απόκριση h ( ) είναι η έξοδος του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό z έχουμε: X z γιατί x( ) ( ) Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: Y z X z z Y z Y z z X z Άρα η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Yz H z, z X z z και η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι: h( ) u( ) Υπολογισμός της βηματικής απόκρισης Η βηματική απόκριση είναι η απόκριση του φίλτρου s ( ) στην είσοδο x( ) u( ) Χρησιμοποιώντας το μονόπλευρο μετασχηματισμό z έχουμε: X z, z z γιατί x( ) u( ) Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: ( ) Y z X z z Y z y Y z z y( ) X z που αναλύεται σε: 7 Y z 8 z z Οπότε η βηματική απόκριση του φίλτρου είναι: Αξίζει να παρατηρήσετε ότι: z Y z z 4 z 8 z z Επομένως: 9 8 8z Y z, z z z s( ) u( ) u( ) 6

218 Y z z Y z 4 4 z z z z Θέτοντας: H z Hy z 4 z z προκύπτει: Y z H z X z H z Ο πρώτος όρος εξαρτάται από την συνάρτηση μεταφοράς που αποτυπώνει την συμπεριφορά του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες εισόδου και εξόδου Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό, δεν υπάρχει ο όρος που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εισόδου Ο δεύτερος όρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εξόδου και αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο Έχουμε: Y z z z z 4 z z 8 z Οπότε η απόκριση είναι: ( ) y u( ) u( ) u( ) 8 που βέβαια είναι ίση με τη βηματική απόκριση s ( ) που υπολογίστηκε προηγουμένως Ο πρώτος όρος της απόκρισης αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες εισόδου και εξόδου (zerostaterespose) και ο δεύτερος όρος της απόκρισης αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο (zeroiputrespose) Πράγματι, για x ( ), έχουμε y( ) y( ), οπότε που αντιστοιχεί στον όρο y Y z ( ) ( ) z Y z y Y z z y Y z z 4 8 Y z 8 z της απόκρισης 56 Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου u ( ) 8 Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου και μετασχηματισμός z Ευσταθές σήμα Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι του μετασχηματισμού zβρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου Αν το σήμα είναι πραγματικό και ο πόλος p είναι θετικός, δηλαδή p, τότε το σήμα είναι φθίνουσα συνάρτηση, ενώ αν ο πόλος είναι αρνητικός, δηλαδή p, τότε το σήμα είναι απόλυτα φθίνουσα συνάρτηση Αν οι πόλοι είναι μιγαδικοί (υπάρχουν σε ζεύγη συζυγών μιγαδικών), * δηλαδή p p,τότε το σήμα είναι φθίνον ημιτονοειδές σήμα (φθίνουσα ταλάντωση) Ασταθές σήμα Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι ασταθές, όταν ένας τουλάχιστον πόλος του μετασχηματισμού zβρίσκεται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Αν το σήμα είναι πραγματικό και ο πόλος p είναι θετικός, δηλαδή p, τότε το σήμα είναι αύξουσα συνάρτηση, ενώ αν ο πόλος είναι αρνητικός, δηλαδή p, τότε το 7

219 σήμα είναι απόλυτα αύξουσα συνάρτηση Αν οι πόλοι είναι μιγαδικοί (υπάρχουν σε ζεύγη συζυγών * μιγαδικών), δηλαδή p p,τότε το σήμα είναι αύξον ημιτονοειδές σήμα (αύξουσα ταλάντωση) Οριακά ευσταθές σήμα Ένα σήμα διακριτού χρόνου είναι οριακά ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι του μετασχηματισμού zβρίσκονται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο ή εντός του μοναδιαίου κύκλου και ένας τουλάχιστον πόλος του μετασχηματισμού zβρίσκεται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο Αν το σήμα είναι πραγματικό και ο πόλος p είναι θετικός, δηλαδή p, τότε το σήμα είναι σταθερό (ίσο με ), ενώ αν ο πόλος είναι αρνητικός, δηλαδή p, τότε το σήμα παλινδρομεί ανάμεσα στις τιμές και Αν οι πόλοι είναι μιγαδικοί (υπάρχουν σε ζεύγη συζυγών μιγαδικών), δηλαδή p p *,τότε το σήμα είναι ημιτονοειδές 5 Μπορείτε να διερευνήσετε την ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 5Ευστάθεια σημάτων διακριτού χρόνου 57 Ευστάθεια συστημάτων διακριτού χρόνου και μετασχηματισμός z Ευσταθές σύστημα Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 3, ένα LTI σύστημα είναι ευσταθές, όταν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τη σχέση: (536) Αυτή η σχέση αφορά στο πεδίο του χρόνου Στο πεδίο των συχνοτήτων, ένα LTI σύστημα είναι ευσταθές, όταν ο μοναδιαίος κύκλος ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Αιτιατό σύστημα Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 3, ένα LTI σύστημα είναι αιτιατό, όταν η κρουστική απόκριση ικανοποιεί τη σχέση: h( ), (537) Αυτή η σχέση αφορά στο πεδίο του χρόνου Στο πεδίο των συχνοτήτων, ένα LTI σύστημα είναι αιτιατό, όταν η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή είναι της μορφής z a Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πόλοι ανήκουν σε περιοχή της μορφής h( ) L z a, αφού οι πόλοι δεν ανήκουν στην Περιοχή Σύγκλισης Πραγματοποιήσιμο σύστημα Ένα LTI σύστημα είναι πραγματοποιήσιμο,όταν είναι ευσταθές και αιτιατό Αυτό σημαίνει ότι ο μοναδιαίος κύκλος ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος και ταυτόχρονα ότι όλοι οι πόλοι ανήκουν σε περιοχή μορφής z a Άρα, a, που σημαίνει ότι όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου Παράδειγμα Το LTIσύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 8

220 c, z H z 8 z έχει έναν πόλο στο σημείο c z H z 8 c z z 8 8 z 8 αφού η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: Υπάρχουν δύο πιθανές Περιοχές Σύγκλισης, η Περιοχή Σύγκλισης z και η Περιοχή Σύγκλισης z 8 8 Το σύστημα είναι αιτιατό, αν η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου, δηλαδή, αν η Περιοχή Σύγκλισης είναι της μορφής z > a Επομένως, αφού η συνάρτηση μεταφοράς έχει Περιοχή Σύγκλισης z 8, τότε το σύστημα είναι αιτιατό Επιπλέον, για να είναι το σύστημα ευσταθές, πρέπει ο μοναδιαίος κύκλος να ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Αυτό συμβαίνει, αφού η Περιοχή Σύγκλισης είναι z 8 Επομένως, το σύστημα είναι πραγματοποιήσιμο Αξίζει να σημειωθεί ότι ο πόλος z 8 βρίσκεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου Ευστάθεια αιτιατών LTIσυστημάτων διακριτού χρόνου και συνάρτηση μεταφοράς Ευσταθές αιτιατό LTIσύστημα Ένα αιτιατό LTIσύστημα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου Ασταθές αιτιατό LTIσύστημα Ένα αιτιατό LTIσύστημα διακριτού χρόνου είναι ασταθές, όταν ένας τουλάχιστον πόλος της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκεται εκτός του μοναδιαίου κύκλου Οριακά ευσταθές αιτιατό LTIσύστημα Ένα αιτιατό LTIσύστημα διακριτού χρόνου είναι οριακά ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκονται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο ή εντός του μοναδιαίου κύκλου και ένας τουλάχιστον πόλος της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος βρίσκεται πάνωστο μοναδιαίο κύκλο Μπορείτε να διερευνήσετε την ευστάθεια LTIσυστημάτων διακριτού χρόνου σε σχέση με τον μετασχηματισμό z (συνάρτηση μεταφοράς) με το Διαδραστικό πρόγραμμα 53 Διαδραστικό πρόγραμμα 53Ευστάθεια LTI συστημάτων διακριτού χρόνου 58 Σύστημα ανάδρασης Στο Σχήμα 56 φαίνεται ένα τυπικό σύστημα ανάδρασης Το σύστημα έχει είσοδο με μετασχηματισμό z X z και έξοδο με μετασχηματισμό z Y z ευθέως κλάδου με συνάρτηση μεταφοράς μεταφοράς G z Το σύστημα αποτελείται από δύο LTIσυστήματα Το σύστημα του Hz και το σύστημα κλάδου ανάδρασης με συνάρτηση 9

221 Σχήμα 56Σύστημα ανάδρασης Από το Σχήμα είναι φανερό ότι: Y z H z Y z H z X z GzY z Y z H zgz H z X z X z H z G z Το συνολικό σύστημα ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς Yz Qz X z Άρα Q z H z H z G z (538) Μία εφαρμογή των συστημάτων ανάδρασης είναι η χρήση τους, ώστε να σταθεροποιηθούν ασταθή συστήματα Παράδειγμα Δίνεται ένα LTIσύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 9, z H z 9 5 z 5 9 Το σύστημα είναι αιτιατό, γιατί η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς είναι z 5 Όμως ο μοναδιαίος κύκλος δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος, οπότε το σύστημα είναι ασταθές Ο λόγος που γίνεται αυτό είναι ότι η συνάρτηση μεταφοράς έχει έναν πόλο 9 p στο εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, αφού p 9 5 Θεωρούμε τώρα ένα αιτιατό σύστημα ανάδρασης, όπου το σύστημα του ευθέως κλάδου έχει συνάρτηση μεταφοράς Hz και το σύστημα κλάδου ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς Gz C Τότε, το συνολικό σύστημα ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς: Hz Qz H z G z οπότε H z 5 z 5 z 5 z Q z H z G z C 5z C C 5z ( C) 5 z z 5 z 5 z 5 z Η συνάρτηση μεταφοράς του συνολικού συστήματος ανάδρασης έχει έναν πόλο p' C Επειδή το σύστημα ανάδρασης είναι αιτιατό, η Περιοχή Σύγκλισης είναι:

222 5 z p' C Για να είναι το σύστημα ανάδρασης ευσταθές, πρέπει όταν ο μοναδιαίος κύκλος να ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Επομένως, πρέπει: 9 5 p' C Άρα, πρέπει: C 4 5 Αξίζει να σημειωθεί ότι ο πόλος p' του συστήματος ανάδρασης είναι μία συνάρτηση της παραμέτρου C 5 9 Όταν C τείνει στο μηδέν, τότε lim p' lim p 5, που σημαίνει ότι ο πόλος τείνει στον πόλο της C C C συνάρτησης μεταφοράς του ευθέως κλάδου Όταν C τείνει στο άπειρο, τότε Επίσης, η συνάρτηση 9 9 Hz lim p' lim, που σημαίνει ότι ο πόλος τείνει στο μηδέν C C 5 p' C είναι μία φθίνουσα συνάρτηση ως προς την παράμετρο C Οπότε όσο C αυξάνει, τόσο η τιμή του πόλου p ' ελαττώνεται Αυτό σημαίνει ότι, όσο αυξάνει η τιμή του C, τόσο ο πόλος «σπρώχνεται» προς το εσωτερικό 4 του μοναδιαίου κύκλου Μάλιστα, ο πόλος μπαίνει στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, όταν C 59 Ακολουθία Fiboacci και συνάρτηση μεταφοράς Η ακολουθία Fiboacci,,,,3,5,8,3,, είναι μία πολύ γνωστή ακολουθία αριθμών, όπου κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων: x( ) x( ) x( ) (539) με αρχικές συνθήκες x(), x() Γίνεται η αντιστοίχιση της ακολουθίας Fiboacciμε την παρακάτω γραμμική εξίσωση διαφορών που περιγράφει ένα LTIσύστημα: x( ) x( ) x( ) ( ) (54) Πράγματι, για x() x() x( ) () x( ) x( ) για x() x( ) x( ) ( ) x( ) x( ) οπότε εξασφαλίζονται μηδενικές αρχικές συνθήκες Παίρνοντας μετασχηματισμό zστην εξίσωση διαφορών προκύπτει: X z z X z z X z z X z z z z Άρα η συνάρτηση μεταφοράς είναι: z Xz z z Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: z z Xz 5 5 z z z z 5 5 και έχει δύο πόλους: και C p p 5

223 Στη συνέχεια το γινόμενο αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων: z A A Xz z z z z με συντελεστές 5 z A z X z 5 5 z 5 z 5 z 5 z A z X z 5 5 z 5 z 5 z δηλαδή Xz z 5 z (54) Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό (από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, έχουμε: 5 5 x u( ) u( ) (54) 5 5 Η ακολουθία Fiboacci έχει την παρακάτω ιδιότητα: Ιδιότητα x ( ) 5 lim r (543) x ( ) Απόδειξη Έστω ότι υπάρχει το όριο x ( ) lim r x ( ) Τότε, r, αφού η ακολουθία Fiboacciαποτελείται από θετικούς αριθμούς, οπότε και το όριο είναι θετικός αριθμός ως πηλίκο θετικών αριθμών Για τους ίδιους λόγους έχουμε: lim x ( ) r x ( ) Αλλά x( ) x( ) x( ) x( ) lim lim lim x( ) x( ) x( ) r Επομένως: r r Τότε r r που έχει δύο λύσεις 5 5 και r r 5 Αλλά r και Οπότε το όριο είναι: 5 r 5 r

224 Παρατήρηση 5 Το όριο της ιδιότητας συνδέεται με τον αριθμό a , που είναι γνωστός με το όνομα χρυσή τομή Η σχέση που συνδέει την οριακή τιμή της (543) με τη χρυσή τομή είναι: a (544) r Πράγματι, 5 a r 5 53 Μετασχηματισμός z σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProakis, 3 και Leis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Ασημάκης, 8 Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Η συνάρτηση zplae(b,a) υπολογίζει τους πόλους και τα μηδενικά μίας ρητής συνάρτησης και σχεδιάζει το διάγραμμα πόλων-μηδενικών Τα μηδενικά συμβολίζονται με το σύμβολο «ο» και οι πόλοι με το σύμβολο Σε περίπτωση πολλαπλότητας πόλων ή μηδενικών, η πολλαπλότητα εμφανίζεται ως εκθέτης Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές του αριθμητή b και τους συντελεστές a του παρονομαστή και σχεδιάζει το σχεδιάζει το διάγραμμα πόλων-μηδενικών Για παράδειγμα, για τη σχεδίαση του διαγράμματος πόλων-μηδενικών της συνάρτησης μεταφοράς H z z 7 5 απαιτείται η κλήση b=[]; a=[,-4]; zplae(b,a); Η συνάρτηση [R,P,K]=residuez(b,a) χρησιμοποιείται για την υλοποίηση του αντίστροφου μετασχηματισμού z Η συνάρτηση υλοποιεί την ανάλυση μίας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα απλών κλασμάτων Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b του αριθμητή και τους συντελεστές a του παρονομαστή και εξόδους τους πόλους P, τους συντελεστές Rτων κλασμάτων και τους συντελεστές Kτου πολυωνύμου, που προκύπτει από τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή (όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος ή μεγαλύτερος από το βαθμό του παρονομαστή) Για παράδειγμα, η ανάλυση σε απλά κλάσματα της συνάρτησης μεταφοράς z Hz 3z απαιτεί την κλήση b=[,]; a=[,3]; [R,P,K]=residuez(b,a); Τότε, η συνάρτηση επιστρέφει R=3333 P=-3 K=6667 που σημαίνει Hz 3 3 3z Η συνάρτηση [H,W]=freqz(b,a) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό και τη σχεδίαση της απόκρισης συχνότητας ενός LTI συστήματος διακριτού χρόνου Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b και aτης ρητής απόκρισης συχνότητας, που περιγράφει το LTIσύστημα και εξόδους το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνότητας 3

225 Η συνάρτηση filticχρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματος, όταν δίνονται αρχικές συνθήκες Η συνάρτηση filticδημιουργεί αρχικές συνθήκες για τη συνάρτηση filter Η συνάρτηση xic=filtic(b,a,y) έχει εισόδους τους συντελεστές b και aτης εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει το LTIσύστημα και τις αρχικές συνθήκες Y Η έξοδος της συνάρτησης χρησιμοποιείται ως είσοδος στη συνάρτηση filter Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η βηματική απόκριση του LTIσυστήματος y( ) x( ) y( ) 3 y( ) με αρχικές συνθήκες y( ), y( ) 5 δηλαδή, η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) απαιτείται η παραγωγή της εισόδου uκαι στη συνέχεια απαιτείται η κλήση b=[]; a=[, -, -3]; Y=[5,]; xic=filtic(b,a,y); y=filter(b,a,u,xic); 54 Λυμένες Ασκήσεις Δίνεται ο μετασχηματισμός zενός αιτιατού σήματος 8 Xz 3 z 5z Να υπολογίσετε την τιμή x() Λύση Εφαρμόζουμε το θεώρημα της αρχικής τιμής 8 8 x() lim X z lim z z 3 5 z z 3 Δίνεται ο μετασχηματισμός zενός αναιτιατού σήματος 3 4 z 3z 4z Xz 4 z 5z 9z Να υπολογίσετε την τιμή x() Λύση Εφαρμόζουμε το θεώρημα της τελικής τιμής z 3z 4z z z 3z 4z z 3z 4 4 x() lim X z lim lim lim z z z 5z 9z z z z 5z 9z z z 5z 9 9 x ( ) x ( ) 3 Ένα LTI σύστημα έχει είσοδο και έξοδο x( ) u( ) u( ) 3 y( ) 6 u( ) 6 u( ) 4 Να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς Λύση Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού z και από το γεγονός ότι η είσοδος ότι ο μετασχηματισμός zτης εισόδου είναι: X z, ROC X z z z z z Από τα ζεύγη του μετασχηματισμού z και από το γεγονός ότι η έξοδος ότι ο μετασχηματισμός zτης εξόδου είναι: 3 3 Y z 6 6, ROC Y z z z z z 4 x ( ) y () είναι αιτιατό σήμα, γνωρίζουμε είναι αιτιατό σήμα, γνωρίζουμε 4

226 Επομένως, 3 z X z z z z z Τότε, από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού z έχουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Yz z Hz X z z (α) Στην περίπτωση αυτή (β) Y z 3 3 ROC ROC z z και ROCY z Στην περίπτωση αυτή 3 3 ROC ROC z z z και ROC z, οπότε z z 4z z 4z 3 4 όπου η Περιοχή Σύγκλισης του μετασχηματισμού zτης εξόδου ROC Y περιέχει την τομή της Περιοχής Σύγκλισης του μετασχηματισμού zτης εισόδου ROC X και της Περιοχής Σύγκλισης του μετασχηματισμού zτης συνάρτησης μεταφοράς ROC H 3 Η συνάρτηση μεταφοράς έχει έναν πόλο z 4, οπότε υπάρχουν δύο πιθανές Περιοχές Σύγκλισης: ROCH ROCH z z ROC ROC ROC X H Y Άρα η Περιοχή Σύγκλισης είναι: ROCH z που σημαίνει ότι το σύστημα είναι αιτιατό 4 Δίνεται η γραμμική εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές: 3 y( ) x( ) y( ) y( ) με αρχικές συνθήκες y( ), y( ) 4 α Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση του φίλτρου β Να υπολογίσετε την απόκριση του φίλτρου στην είσοδο Λύση α Η κρουστική απόκριση h ( ) είναι η έξοδος του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό z έχουμε: X z γιατί x( ) ( ) Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: 3 3 Y z X z z Y z z Y z Y z z z X z Άρα, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Yz H z, z 3 X z z z z z z z και η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι: X 4 β Χρησιμοποιώντας το μονόπλευρο μετασχηματισμό z έχουμε: X z, z 4 z X H H 4 Y h( ) u( ) u( ) 4 5 x( ) u( ) 4 4

227 γιατί x( ) u( ) 4 Από την εξίσωση διαφορών έχουμε: 3 Y z X z z Y z y( ) z Y z z y( ) y( ) που αναλύεται σε: 9 4z z Y z z z z 3 z z 3 z Οπότε και η απόκριση y () του φίλτρου στην είσοδο x( ) u( ) είναι: 5 Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) ενός LTIσυστήματος με είσοδο x( ) u( ) και έξοδο y( ) u( ) 3 3 Y z z z X z y( ) z y( ) y( ) Y z z z 4 z 4 6 z 5 z z 4 z 4 z Y z z z z Λύση Ο μετασχηματισμός zτης εισόδου είναι: X z, z z Ο μετασχηματισμός zτης εξόδου είναι: Y z, z 3 z Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού z, προκύπτει ότι το σήμα y( ) h( ) x( ) έχει μετασχηματισμό z Y z H zx z με Περιοχή Σύγκλισης Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Yz z H z, z X z z Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: z H z z z z z z Επομένως: z z 4 z z Y z, z 3 z z 4 z z z 4 z 4 y( ) u( ) u( ) u( ) z z 3 z z 4 4 6

228 Τέλος, χρησιμοποιώντας αντίστροφο μετασχηματισμό z(από τα ζεύγη του μετασχηματισμού) και τις ιδιότητες της γραμμικότητας και της μετατόπισης του μετασχηματισμού z, υπολογίζεται η κρουστική απόκριση του συστήματος: h( ) u( ) u( ) Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το αιτιατό LTIσύστημα, που περιγράφεται από τη γραμμική εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) 7 y( ) y( ) Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του LTIσυστήματος είναι: Hz 7z z 3z 4z με πόλους p και p 4 3 Επειδή δίνεται ότι το σύστημα είναι αιτιατό, η Περιοχή Σύγκλισης είναι: z 4 Προφανώς, ο μοναδιαίος κύκλος δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Άρα το σύστημα είναι ασταθές 55 Ασκήσεις Γραμμική συνέλιξη μέσω μετασχηματισμού z Να υπολογίσετε τη γραμμική συνέλιξη x( ) a u( ) u( ), a μέσω μετασχηματισμού z Αντίστροφος μετασχηματισμός z Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμός z της συνάρτησης μεταφοράς z H z, z z z z 3 Επίλυση γραμμικής εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες με χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού z Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) 3 y( ) με αρχική συνθήκη y( ) Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) u( ) 4 Επίλυση γραμμικής εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες με χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού z Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) 4 με αρχικές συνθήκες y( ), y( ) Να υπολογίσετε την απόκριση y () του συστήματος όταν η είσοδος είναι x( ) ( ) 5 Δίνεται ένα LTIσύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 7

229 H z, z z Να δείξετε ότι το σύστημα δεν είναι ευσταθές Να θεωρήσετε σύστημα ανάδρασης, όπου το σύστημα του ευθέως κλάδου έχει συνάρτηση μεταφοράς και το σύστημα κλάδου ανάδρασης έχει συνάρτηση μεταφοράς παραμέτρου C, ώστε το σύστημα ανάδρασης να είναι ευσταθές 56 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Μετασχηματισμός z σήματος πεπερασμένης διάρκειας Να μελετήσετε τη συνάρτηση filter Δίνεται το σήμα πεπερασμένης διάρκειας x( ) ( ) 8 ( ) 9 ( 3) Να υπολογίσετε θεωρητικά τον μετασχηματισμό z του σήματος: X z 8z 9z 3 Να παράγετε το σήμα x ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να παράγετε το σήμα μετασχηματισμό z της X z Να σχεδιάστε τα σήματα x ( ) και y () και να επιβεβαιώσετε ότι x( ) y( ) Μετασχηματισμός z εκθετικού σήματος Δίνεται το σήμα διάρκειας x( ) u( ) 3 Να υπολογίσετε θεωρητικά τον μετασχηματισμό z του σήματος: Xz z 3 Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να παράγετε το σήμα μετασχηματισμό z της X z Να σχεδιάστε τα σήματα x ( ) και y () και να επιβεβαιώσετε ότι x( ) y( ) 3 Ιδιότητα συνέλιξης του μετασχηματισμού z Δίνονται τα σήματα: x ( ) ( ) ( ) 3 ( ) x ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( 3) Να υπολογίσετε θεωρητικά τους μετασχηματισμούς z των σημάτων x ( ) και x ( ) : Να βρείτε τις τιμές της, δηλαδή τον αντίστροφο, δηλαδή τον αντίστροφο X z z 3z 3 X z 3z 4z 5z Να υπολογίσετε θεωρητικά τον μετασχηματισμό z της συνέλιξης των σημάτων x( ) x ( ) x ( ) : X z z z z z z Να παράγετε τα σήματα x ( ) και x ( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση cov να παράγετε το σήμα x ( ) και να διαπιστώσετε ότι είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός zτης X z C Hz Να μελετήσετε τη συνάρτησηdecov Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση decov με εισόδους τα σήματα x ( ) και x ( ) και να παράγετε το σήμα y () Να διαπιστώσετε ότι y( ) x ( ) G z y () y () 8

230 4 Διάγραμμα πόλων-μηδενικών μετασχηματισμού z Δίνεται ο μετασχηματισμός z 5 Xz 4 z z 3 5 Να υπολογίσετε θεωρητικά τα μηδενικά και τους πόλους του μετασχηματισμού z: Να μελετήσετε τη συνάρτηση zplae Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση zplaeνα σχεδιάσετε το διάγραμμα πόλων-μηδενικών 5 Μετατόπιση στον χρόνο Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση της ιδιότητας της μετατόπισης στον χρόνο του μετασχηματισμού z Ένα σήμα διακριτού χρόνου x ( ) έχει μετασχηματισμό z: X z 3 z 4 Στη συνέχεια, να υπολογίσετε την ποσότητα Y z z X z Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να παράγετε το σήμα, δηλαδή τον αντίστροφο μετασχηματισμό z της X z και το σήμα y (), δηλαδή τον αντίστροφο μετασχηματισμό z της Y z Να σχεδιάσετε τα σήματα και να επιβεβαιώσετε ότι y( ) x( ) 6 Αντίστροφος μετασχηματισμός z: N M και απλοί πόλοι Δίνεται ο μετασχηματισμός z z X z, z 3 4z 8z Να υπολογίσετε θεωρητικά τον αντίστροφο μετασχηματισμό z: Να μελετήσετε τη συνάρτηση residuez Να γράψετε πρόγραμμα για την επιβεβαίωση του παραπάνω αποτελέσματος Να αναλύσετε την Xz σε άθροισμα απλών κλασμάτων τη χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residuez με κλήση: b=[,]; a=[,-75,5]; [R,p,C]=residuez(b,a); και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Στη συνέχεια, να παράγετε το σήμα x ( ) Να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση residuez και τη συνάρτηση filter για να παράγετε το σήμα y () δηλαδή τον αντίστροφο μετασχηματισμό z της X z Να σχεδιάστε τα σήματα x ( ) και y () και να επιβεβαιώσετε ότι x( ) y( ) 7 Αντίστροφος μετασχηματισμός z: N M και πολλαπλός πόλος Δίνεται ο μετασχηματισμός z 4 X z, z z z Να αναλύσετε την 4 x( ) 4 u( ) 4 u( ) 5 5 Xz εμφανίσετε τα αποτελέσματα x ( ) σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residuez και να 8 Αντίστροφος μετασχηματισμός z: Δίνεται ο μετασχηματισμός z z X z, z z z N M 9

231 Να αναλύσετε την εμφανίσετε τα αποτελέσματα σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residuez και να 9 Αντίστροφος μετασχηματισμός z: N M Δίνεται ο μετασχηματισμός z 3 z z X z, z z z Να αναλύσετε την Xz σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residuez και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Επίλυση γραμμικής εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες με χρήση του μονόπλευρου μετασχηματισμού z Να μελετήσετε τις συναρτήσεις filterκαι filtic Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη y( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filterνα υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις filterκαι filtic να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) u( ) Γραμμικό αμετάβλητο κατά τη μετατόπιση (LTI) φίλτρο και μονόπλευρος μετασχηματισμός z Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) 3 y( ) 4 y( ) με αρχικές συνθήκες y( ), y( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filterνα υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις filterκαι filtic να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε την απόκριση του φίλτρου 4 y () Xz στην είσοδο x( ) u( ) Γραμμικό αμετάβλητο κατά τη μετατόπιση (LTI) φίλτρο Δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) y( ) 8 με αρχική συνθήκη y( ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση zplaeνα σχεδιάσετε το διάγραμμα πόλων-μηδενικών Το φίλτρο είναι ευσταθές ή ασταθές; Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filterνα υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) ( ) και μηδενικές αρχικές συνθήκες Χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις filterκαι filtic να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ), δηλαδή την έξοδο του φίλτρου με είσοδο x( ) u( ) 3

232 57 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 5 με τον Ήχο 5 Ήχος 5Περίληψη Κεφαλαίου 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής z για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός z, δηλαδή για τις οποίες το άθροισμα του μετασχηματισμού z συγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (Regio Of Covergece ROC) Αν μετασχηματισμός z μίας ακολουθίας είναι ρητή συνάρτηση του z, τότε οι ρίζες του αριθμητή καλούνται μηδενικά (zeros) και οι ρίζες του παρονομαστή καλούνται πόλοι (poles) Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Ο μετασχηματισμός z της κρουστικής απόκρισης ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματοςονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς (trasferfuctio) Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά είναι το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα είναι το άθροισμα των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Ένα LTI σύστημα είναι ευσταθές, όταν ο μοναδιαίος κύκλος ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος Ένα LTI σύστημα είναι αιτιατό, όταν η Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος είναι η εξωτερική επιφάνεια ενός κύκλου Ένα LTI σύστημα είναι πραγματοποιήσιμο, όταν είναι ευσταθές και αιτιατό Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι πόλοι της συνάρτηση μεταφοράς βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου Η σχέση z ορίζει το Μοναδιαίο Κύκλο (Uit Circle) στο μιγαδικό επίπεδο 3

233 Βιβλιογραφία/Αναφορές Eato, J W, Batema, D, Hauberg, S, Wehbrig R () GNU Octave (3rd ed) Hase J S () GNU Octave Begier's Guide Packt Publishig Hayes, M H () Ψηφιακή Επεξεργασίας Σήματος ΕκδόσειςΤζιόλα Igle, V K, & Proakis, J G (3) Digital Sigal Processig usig MATLAB Stamford, CT: Thomso Brooks Cole Leis, J W () Digital Sigal Processig usig MATLAB for studets ad researchers J Wiley ad Sos McClella, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης TheMathWorksIc (5)Sigal Processig Toolbox User s Guide Ασημάκης, Ν (8) Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Guteberg Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ 3

234 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 54 Διαδραστικό πρόγραμμα 54Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 55 Διαδραστικό πρόγραμμα 55Κριτήριο αξιολόγησης Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης 3 με το Διαδραστικό πρόγραμμα 56 Διαδραστικό πρόγραμμα 56Κριτήριο αξιολόγησης 3 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 33

235 Κεφάλαιο 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της απόκρισης συχνοτήτων και αναλύεται η περιγραφή των χρονικά αμετάβλητων (LiearTimeIvariat LTI) συστημάτων μέσω της απόκρισης συχνοτήτων Προαπαιτούμενη γνώση Ολοκληρώματα, Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο, Κεφάλαιο, Κεφάλαιο 3 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Ορισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CotiuousTimeFourierTrasform CTFT) είναι ένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούςχρόνου X μίας συνάρτησης xt, αν υπάρχει, είναι η αναπαράσταση της συνάρτησης j t συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων της μορφής e, όπου είναι η συχνότητα Ο ευθύς (direct) μετασχηματισμός ενός σήματος από το πεδίο του χρόνου xt στο πεδίο της συχνότητας X ορίζεται από ένα γενικευμένο ως ολοκλήρωμα Ο αντίστροφος μετασχηματισμός (iversetrasform) από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου ορίζεται επίσης ως ολοκλήρωμα Ο ευθύς μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CotiuousTime Fourier Trasform CTFT) μίας συνάρτησης ορίζεται από το ακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: jt X x t e dt () Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου (IverseCotiuousTimeFourierTrasform ICTFT) ορίζεται από το ακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: jt xt X ( ) e d (6) Ύπαρξη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Τα ολοκληρώματα του ευθέως και του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου δεν υπάρχουν πάντα Επίσης είναι δυνατόν να υπάρχει μόνο το ένα από τα δύο Ο ευθύς μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου μίας συνάρτησης πραγματικός αριθμός x() t dt L L, τέτοιος ώστε να ισχύει: (6) υπάρχει, όταν υπάρχει Αν υπάρχουν ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου, αποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: CTFT x() t X Είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου είναι μιγαδική συνάρτηση: j ( ) X ( ) X ( ) j X ( ) X ( ) e (64) R I xt (63) 34

236 όπου - X ReX είναι η πραγματική συνιστώσα του X X R I X R X R - X Im X είναι η φανταστική συνιστώσα του I - X X X είναι το μέτρο του Im X X I - ( ) arg X arcta arcta είναι η φάση του Re X X xt X R XR XR X I XI XI X X X Αν η συνάρτηση - είναι άρτια συνάρτηση: - είναι περιττή συνάρτηση: - είναι άρτια συνάρτηση: είναι ένα πραγματικό σήμα συνεχούς χρόνου, τότε - είναι περιττή συνάρτηση: Επίσης, ισχύει * X X Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία McClella, Schafer & Yoder, 6, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 6 Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Ο υπολογισμός του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου μίας συνάρτησης ολοκλήρωμα του ορισμού του xt () γίνεται από το Παράδειγμα Για κάθε θετικό αριθμό T ορίζεται το σήμα συνεχούς χρόνου: T, t x(t) T, t Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου με εφαρμογή της (63): T / T / T T xt dt dt t T T / T / Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου 35

237 X ( ) T / jt jt jt x t e dt e dt e j T / cost j sit cost j si t j T T T T T T j T T T T cos jsi cos jsi j T T T T cos si cos si j j j T T T T cos jsi cos jsi j T T j si si j Στο Σχήμα 6 παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου, t συνεχούς χρόνου xt (), t si X του σήματος 5 X(ω) frequecy ω Σχήμα 6Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου ως πραγματική συνάρτηση Παράδειγμα Για κάθε θετικό αριθμό a ορίζεται το σήμα συνεχούς χρόνου: at x() t e ut Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου με εφαρμογή της (63): 36

238 at at x t dt e u t dt dt e dt at e e e a a a a Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου a jt jt at jt at jt X ( ) x t e dt e u t e dt e e dt e dt a jt e e e a j a j a j a j Στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται η πραγματική συνιστώσα, η φανταστική συνιστώσα, το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου X του σήματος συνεχούς χρόνου j x t e t u t 5 real part 5 imagiary part - - frequecy ω frequecy ω magitude 5 phase frequecy ω frequecy ω Σχήμα 6Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου ως μιγαδική συνάρτηση Παράδειγμα 3 x( t) ( t) Χρησιμοποιώντας την (47): ( t) dt, το σήμα μοναδιαίου παλμού x( t) ( t) επαληθεύει την (63), δηλαδή, x( t) dt ( t) dt 37

239 Άρα, το σήμα έχει μετασχηματισμό Fourierσυνεχούς χρόνου, που υπολογίζεται από τον ορισμό j t (6) και την ιδιότητα του μοναδιαίου παλμού στην (46): f ( t) ( t) dt f (), με f () t e, οπότε j t e ( t) dt f ( t) ( t) dt f () e Συνεπώς, εφαρμόζοντας την (6) και το παραπάνω αποτέλεσμα, έχουμε: Άρα, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου του παλμού x( t) ( t) Επομένως, από τον ορισμό (6) έχουμε: j t j t t e d e d Αντιμεταθέτοντας t και, παίρνουμε: jt e dt δηλαδή x( t) ( t) dt Παράδειγμα 4 xt Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου με την εφαρμογή της (63) : είναι το σήμα μοναδιαίου Παρατηρούμε ότι δεν ισχύει το κριτήριο ύπαρξης του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Αυτό συμβαίνει γιατί το σήμα xt είναι σήμα ισχύος Τα σήματα ισχύος δεν έχουν πάντα μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου Στο σημείο αυτό, αξίζει να σημειωθεί ότι τα σήματα ενέργειας έχουν πάντα μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος υπάρχει και μπορεί να υπολογιστεί, jt εφαρμόζοντας την (6), χρησιμοποιώντας την ισότητα e dt από το παραπάνω Παράδειγμα 3 και την ιδιότητα 4 της αρτιότητας του μοναδιαίου παλμού, από την (5), ως ακολούθως: ( ) ( ) j t j t j X x t e dt e dt e t dt e j t dt Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος αυτός με χρήση ορίων: jt jt jt ( ) ( ) ( ) X x t e dt t e dt e t dt e jt dt t x t dt xt X xt, είναι 38

240 X ( ) t' t' t' t' t ' jt jt jt jt x t e dt e dt e dt lim e dt t ' t ' lim cos t jsi t dt lim cos t jsi t dt t' t' t' t' lim cost dt j lim si tdt lim si t j li m cost t ' t ' t ' t ' t' t' limsit si t j limcos t cost t' t' limsit si t j limcos t cost t ' t ' si t limsi t j lim lim t ' t ' t ' si t Παρατήρηση: Το τελευταίο όριο προκύπτει θέτοντας t και t στη σχέση lim t, που a t αναφέρεται στο βιβλίο (Papoulis, 985, σελ ) t t t t 63 Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Στον Πίνακα 6 παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Συνάρτηση Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου συνεχούς χρόνου (CTFT) xt () X ( ω) ( ) δ( tt ) j t Πίνακας 6 Ζεύγη μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) e e ω a a ω at e at u() t a j at t e u() t ( a jω) si( t) j [ ( ) ( )] cos( t) [ ( ) ( )] 64 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου είναι: 64 Γραμμικότητα CTFT CTFT Αν x () t X και x () t X, τότε CTFT ( ) ( ) c x t c x t c X c X (65) 39

241 για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Απόδειξη Αν y( t) c x ( t) c x ( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: 64 Μετατόπιση στον χρόνο Αν, τότε Απόδειξη Αν y( t) x( t t ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: Θέτοντας tt, έχουμε: jt j ( ) ( ) ( t ) jt j jt Y x t t e dt x e d e x( ) e d e X 643 Αναδίπλωση Αν, τότε Απόδειξη Αν y( t) x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: Θέτοντας t, έχουμε: jt j j j Y x( t) e dt x( ) e ( d ) x( ) e d x( ) e d X ( ) 644 Μετατόπιση στη συχνότητα Αν jt jt jt jt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y y t e dt c x t c x t e dt c x t e c x t e dt CTFT X ω x t CTFT jt x t t e X ω j t, τότε jt jt c x ( t) e dt c x ( t) e dt jt Y y( t) e dt x( t t ) e dt x jt jt ( ) ( ) c x t e dt c x t e dt c X c X CTFT X ω x t CTFT t Xω jt Y y t e dt x t e dt jt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CTFT X ω x t CTFT jt e x t X ω Απόδειξη jt Αν y( t) e x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: j t j t j t j( ) t Y y t e dt e x t e dt x t e dt x t e dt jt jt ( ) ( ) ( ) ( ) (66) (67) (68) 4

242 Θέτοντας, έχουμε: j ( ( ) ) t jt Y x t e dt x( t) e dt X X ( ) 645 Συνέλιξη Αν x t X και x t X, τότε Απόδειξη Αν y( t) x( t) x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: Y y( t) e jt dt xt x( t) e jt dt x( ) x( t ) d e jt dt Θέτοντας t t θεωρώντας μεταβλητή, αλλάζοντας τη σειρά των ολοκληρωμάτων και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της μετατόπισης στον χρόνο από την (66), έχουμε: jt jt Y x ( ) x ( t ) d e dt x ( t t ) x( t )( dt ) e dt 646 Κλιμάκωση στον χρόνο Αν CTFT ω, τότε CTFT ω CTFT t ω ω x t x X X jt x( t t ) x( t ) dt e dt jt x( t ) x( t t ) dt e dt x( t ) x( t t ) e jt jt x( t ) e X( ) dt jt X ( ) x ( t ) e dt X ( ) X ( ) CTFT X ω x t dtdt CTFT xa t X (6) a a Απόδειξη Αν yt () xat, τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου στην (6) έχουμε: jt Y y t e dt e dt jt () xa t Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: j t j t j( / ) Y y() t e dt xa t e dt x e d X a a a Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: (69) 4

243 jt Y y t e dt x a t e dt jt () j( / ) x e d a j( / ) x e d a j( / ) t x t e dt a X a a Παρατηρήσεις: α Αν μία συνάρτηση διασταλεί στο πεδίο του χρόνου, τότε συστέλλεται στο πεδίο των συχνοτήτων και αντίστροφα β Αν, τότε x t X ω, δηλαδή, η (67) είναι ειδική περίπτωση της (6) 647 Παραγώγιση Αν a CTFT X ω x t, τότε CTFT k d x t CTFT k j X, για κάθε φυσικό αριθμό k k (6) dt Απόδειξη Η απόδειξη στηρίζεται στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής και στην κατά παράγοντες ιδιότητα των ολοκληρωμάτων dxt Θεωρούμε ότι k και y() t Οπότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου dt στην (6) έχουμε: ( ) j dx t t j t Y y t e dt e dt x( t) e j t j x( t) e j t dt dt e t Επειδή lim xt ( ), και η εκθετική j t j t είναι φραγμένη συνάρτηση, προκύπτει lim xt ( ) e Επομένως, από την παραπάνω σχέση έχουμε: dxt jt jt Y e dt j x() t e dt j X dt k d x t CTFT kˆ Συνεπώς, για k η (6) ισχύει Θεωρούμε ότι για κάποιο τυχαίο ˆk ισχύει j X και kˆ dt επαναλαμβάνοντας ακριβώς την ίδια διαδικασία αποδεικνύεται ότι η (6) ισχύει και για kˆ, η ολοκλήρωση της απόδειξης αφήνεται ως άσκηση Άρα, η (6) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό k ˆ t 648 Θεώρημα Parseval (αρχή διατήρησης της ενέργειας) Αν CTFT X ω x t Απόδειξη, τότε dt X xt d (6) 4

244 Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου ευθύ και αντίστροφο στην (6) και (6) και αλλάζοντας τη σειρά των ολοκληρωμάτων μπορούμε να γράψουμε * jt * X d X X d x() t e dt X d * jt x() t X e d dt jt x() t X e d dt * x( t) x( t) dt * x( t) x ( t) dt x t dt * Στον Πίνακα 6 παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Ιδιότητα μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Γραμμικότητα Μετατόπισηστον χρόνο Αναδίπλωση Μετατόπισηστησυχνότητα Συνέλιξη στον χρόνο Κλιμάκωση στον χρόνο Παραγώγιση Θεώρημα Parseval (Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας) Συνάρτηση συνεχούς χρόνου () Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) X xt ( ) xt () X ( ) x () X ( x () X ( c X c X xt t j e t X ω xt X ω j t e xt X ω x t x X ω X ω c x ( t) c x ( t) t xa t k d x t dt k dt X xt X a a k j X d Πίνακας 6 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Μπορείτε να διερευνήσετε τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) με το Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) 43

245 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 65 Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (Iverse Cotiuous Time Fourier Trasform ICTFT) ορίζεται από ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα Για να αποφευχθεί η χρήση του ολοκληρώματος στον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου, ο υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου, στηρίζεται τόσο στα ζεύγη του μετασχηματισμού, όσο και στις ιδιότητες του μετασχηματισμού Παράδειγμα X cos jsi( ) Από την ταυτότητα του Euler έχουμε: j X cos jsi cos jsi e Άρα από τα ζεύγη του μετασχηματισμού προκύπτει: x t t Παράδειγμα 3 j X j Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου γράφεται X j j Άρα από τα ζεύγη του μετασχηματισμού και από την ιδιότητα της γραμμικότητας προκύπτει: t t x t e u t t e u() t 66 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProakis, 3 και Leis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία για σήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Παρασκευάς, 4 Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Η συνάρτηση [F]=fourier(f) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ευθέως μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τη συνάρτηση fκαι παράγει στην έξοδο τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνουf Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του t μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) του σήματος xt e απαιτείται η κλήση: syms t; fourier(exp(-t^)+si(t)); Το αποτέλεσμα είναι: pi^(/)/exp(w^/4) - pi*(dirac(w - ) - dirac(w + ))*i Η συνάρτηση [f]=ifourier(f) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνουfκαι παράγει στην έξοδο τη συνάρτηση f Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) του σήματος xt cos t απαιτείται η κλήση: syms x t; X=fourier(cos(t)); και για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) απαιτείται η κλήση: x=ifourier(x,t); 44

246 Το αποτέλεσμα είναι: /(*exp(t*i)) + exp(t*i)/ που σημαίνει jt e jt jt jt jt e e e e cos( t) jt e Παρατήρηση: Οι συναρτήσεις syms, fourier και ifourier είναι διαθέσιμες σε Matlab και σε Octave (symbolic package) Όταν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου (CTFT), τότε είναι δυνατό να υπολογιστεί το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση Ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου (CTFT) είναι συνάρτηση του ω Πρώτα δηλώνεται το πεδίο τιμών της μεταβλητής ω Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζεται ώστε το πεδίο τιμών της μεταβλητής ω να είναι διάνυσμα Μετά δίνεται ο τύπος υπολογισμού του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου Προσοχή στη χρήση της τελείας στους τελεστές των πράξεων, ώστε οι πράξεις να γίνονται με κάθε τιμή του διανύσματος που αντιστοιχεί στη μεταβλητή ω Χρήσιμο είναι να υπολογίζεται το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και η φάση του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου (CTFT) Για τον υπολογισμό του πραγματικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση real Για τον υπολογισμό του φανταστικού μέρους χρησιμοποιείται η συνάρτηση imag Για τον υπολογισμό του μέτρου χρησιμοποιείται η συνάρτηση abs Για τον υπολογισμό της φάσης χρησιμοποιείται η συνάρτηση agle Είναι δυνατή η ταυτόχρονη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου (CTFT) σε ένα Σχήμα με τη χρήση της συνάρτησης subplot Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι το σήμα διακριτού χρόνου xt e t u() t έχει μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου (CTFT) X j Για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου (CTFT) και τη σχεδίαση του πραγματικού μέρους, του φανταστικού μέρους, του μέτρου και της φάσης του μετασχηματισμού Fourierσυνεχούς χρόνου (CTFT) απαιτείται η κλήση w=[-::]; X= / (+j*w); realx=real(x); imagx=imag(x); absx=abs(x); aglex=agle(x); figure(); subplot(,,); plot(w,realx); subplot(,,); plot(w,imagx); subplot(,,3); plot(w,absx); subplot(,,4); plot(w,aglex); 6 Απόκρισησυχνοτήτων Ορισμός της απόκρισης συχνοτήτων Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) H της απόκρισης μοναδιαίου παλμού ht ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται απόκριση συχνοτήτων: jt H h t e dt () (63) Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου, είναι προφανές ότι ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) X της εισόδου xt και ο μετασχηματισμός Fourier 45

247 συνεχούς χρόνου (CTFT) της εξόδου y t h t x t του LTI συστήματος συνδέονται με τη σχέση: Y H X Είναι προφανές, από τον ορισμό, ότι η απόκριση συχνοτήτων είναι μιγαδική συνάρτηση και γράφεται: j H H jh H e ( ) Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου έχουμε είσοδο το φανταστικό εκθετικό σήμα με συχνότητα, τότε η έξοδος είναι επίσης φανταστικό εκθετικό σήμα με την ίδια συχνότητα: jt y t H e H x() t δηλαδή το LTI σύστημα διατηρεί τη συχνότητα του σήματος εισόδου Απόδειξη Παράδειγμα Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j jt Αν στο σύστημα τεθεί είσοδος x t e με συχνότητα, τότε η έξοδος του συστήματος είναι jt y t H x t 3j e, που έχει την ίδια συχνότητα με τη συχνότητα του σήματος εισόδου Γενικά, ένα LTI σύστημα μεταβάλλει το μέτρο και τη φάση του σήματος εισόδου, όχι όμως τη συχνότητα του σήματος εισόδου Επομένως, λόγω της ιδιότητας της γραμμικότητας των LTI συστημάτων, αν στην είσοδο ενός LTI συστήματος τεθεί ένα σήμα, που αποτελείται από άθροισμα σημάτων απλών συχνοτήτων, τότε και η έξοδος του LTI συστήματος αποτελείται από άθροισμα σημάτων με ίδιες συχνότητες και με διαφορετικό πλάτος και φάση Έτσι δικαιολογείται η ονομασία «απόκριση συχνοτήτων» 6 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω απόκρισης συχνοτήτων Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές: (64) Παίρνοντας μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) και στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης και αξιοποιώντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας και παραγώγισης του μετασχηματισμού, έχουμε: Οπότε R j t e x t I Y () j t y t h t x t h x t d h e d M jt j jt j jt h e e d e h e d e H k N k d x( t) d y( t) b a k k k k k dt k dt 3 M N M N k k k k b k ( j) X ( ) a k ( j) Y( ) X ( ) b k ( j) Y( ) a k ( j) k k k k Αλλά Y H X H M k N k k b ( j) k k a ( j) k (65) 46

248 Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνοτήτων εξαρτάται από τους συντελεστές του LTIσυστήματος συνεχούς χρόνου Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνοτήτων Έτσι, η απόκριση συχνοτήτων αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου Επίλυση διαφορικής εξίσωσης με μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Παράδειγμα Σε ένα RLC κύκλωμα υπάρχει μία αντίσταση R, ένα πηνίο L και ένας πυκνωτής C σε σειρά Το κύκλωμα έχει τάση vt () και ρεύμα it () Τότε το κύκλωμα περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: di( t) t v( t) R i( t) L i( t ) dt dt C Παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση: dv( t) R di( t) L d i( t) i () t dt dt dt C Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ( j ) V ( ) R ( j ) I( ) L ( j ) I( ) I( ) R ( j ) L ( j ) I( ) C C Επομένως, η απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος είναι: I( ) j H ( ) V ( ) R ( j) L ( j) R j L C j C 63 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H, όπως φαίνεται στο Σχήμα 63 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με CTFT X και έξοδο w ( ) με CTFT W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο w ( ) του πρώτου συστήματος με CTFT W και έξοδο y () με CTFT Y Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H H H (66) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y H W W H X οπότε Y H W H H X [ H H ] X επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως, H H H H H 47

249 Σχήμα 63Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική απόκριση συχνοτήτωνενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνοτήτωντων επί μέρους συστημάτων 64 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H, όπως φαίνεται στο Σχήμα 64 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με CTFT X και έξοδο w ( ) με CTFT W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με CTFT X και έξοδο v ( ) με CTFT V Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν τη συνολική έξοδο y () με CTFT Y Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με απόκριση συχνοτήτων H H H (67) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: V H X W H X οπότε Y V W H X H X H H X, επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως, H H H H H 48

250 Σχήμα 64Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Η συνολική απόκριση συχνοτήτωνενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνοτήτωντων επί μέρους συστημάτων 63 Λυμένες Ασκήσεις Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του σήματος συνεχούς χρόνου: t, t xt (), t Λύση Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου: x( t) dt t dt ( t) dt ( t) dt t t t t ( ) Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Παρατήρηση Στο Σχήμα 65 φαίνεται το τριγωνικό σήμα x( t) t, t Αξίζει να σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα x() t dt είναι το εμβαδόν του τριγώνου, που σχηματίζεται από το σήμα και τον άξονα του χρόνου Το εμβαδόν είναι προφανώς ίσο με 49

251 x(t) time t Σχήμα 65Τριγωνικό σήμα συνεχούς χρόνου j t j t j t j t X x( t) e dt t e dt ( t) e dt ( t) e dt jt jt jt jt jt jt jt jt e dt t e dt e dt t e dt e dt e dt t e dt t e dt jt jt e dt t e dt t e jt dt Έχουμε: jt jt j j j j e dt e e e e e j j j j cos jsi cos jsi j cos jsi cos jsi jsi si j j Επίσης, έχουμε: ' jt jt jt jt jt jt t e dt t e dt t e t' e dt t e e dt j j j j j t e e dt t e e t e e j j j j j j jt jt jt jt jt jt 5

252 Οπότε jt jt jt j j t e dt t e e e e j j (cos j si ) (cos j si ) j cos si cos j si j και jt jt jt j j t e dt t e e e e j j cos jsi cos jsi j cos jsi cos jsi j cos si cos j si j Άρα jt jt jt X e dt t e dt t e dt si cos si cos j si j cos si cos j si j si si cos si si cos cos cos Επομένως, X cos Παρατηρήσεις α X Πράγματι: cos cos cos δηλαδή cos Επειδή, έχουμε: X cos β X, όταν k, kz Πράγματι: 5

253 X cos cos cos Η τελευταία τριγωνομετρική εξίσωση έχει λύση k, kz γ X Πράγματι: cos cos ' X lim X lim cos lim lim ' lim ( si si si si ' cos lim lim lim lim lim ' cos cos Στο Σχήμα 66 φαίνεται ο μετασχηματισμός Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του τριγωνικού σήματος συνεχούς χρόνου x( t) t, t Είναι φανερό ότι ισχύουν οι παραπάνω παρατηρήσεις X(ω) frequecy ω Σχήμα 66Ο μετασχηματισμός Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του τριγωνικού σήματος συνεχούς χρόνου Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του σήματος συνεχούς χρόνου: c, t xt () c, t 5

254 Έλεγχος ύπαρξης μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου: c/ c/ c c x( t) dt dt t c c/ c/ Άρα, υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου c/ jt jt jt c/ jc/ jc/ X x() t e dt e dt e e e j c/ j c c si( c / ) j si si c j c/ 3 Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt ( ) έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) X ( ) και το σήμα συνεχούς χρόνου yt ( ) έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) Y( ), να αποδείξετε την εξίσωση του Parseval: j( t ) 4 Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H τεθεί είσοδος xt ce, τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) Λύση 5 Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'' t 5 yt x' t x( t) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων Λύση Παίρνοντας μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: j Y 5Y j X X j 5Y j X Αλλά Y H X οπότε c/ c c c c j j jc/ jc/ e e cos j si cos j si c c c c cos j si cos j si j c c c c cos j si cos j si j ( ) ( ) x t Y dt y t X dt Λύση ( ) ( ) j t jt x t Y dt x t y t e dt y t x( t) e dt y( t) X dt y t h t x t h x t d h j( ( t ) ) c e d h j( t ) j c e e d * j( t ) c e h j e d j( t ) c e H 53

255 H j j j Σε ένα RC κύκλωμα υπάρχει μία αντίσταση R και ένας πυκνωτής C σε σειρά Η τάση εισόδου του κυκλώματος είναι vi() t και η τάση εξόδου του κυκλώματος στα άκρα του πυκνωτή είναι vout() t Να βρείτε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει το κύκλωμα Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού του κυκλώματος Λύση vi( t) Ri( t) vout ( t) όπου it () είναι το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα Επίσης, t vout( t) i( t ) dt C οπότε dvout() t C i() t dt Άρα, παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση: dvout() t R C vout( t) vi( t) dt Παίρνοντας μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: RC ( j) Vout ( ) Vout ( ) Vi( ) ή RC ( j) Vout ( ) Vi( ) Επομένως, η απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος είναι: Vout( ) H( ) Vi( ) R C ( j) Η απόκριση συχνοτήτων του κυκλώματος γράφεται: (/ RC ) H( ) R C ( j) ( j) (/ R C) R C (/ R C) j Επομένως, η απόκριση μοναδιαίου παλμού του κυκλώματος είναι: t / RC h( t) e u( t) RC 64 Ασκήσεις Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) X ( ), τότε να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του σήματος συνεχούς χρόνου x( t) Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) X ( ), τότε να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του σήματος συνεχούς χρόνου: y t x t t ( ) cos(4 ) 3 Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του σήματος συνεχούς χρόνου: 54

256 t, t c xt () c, t c 4 Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) X ( ) και το σήμα συνεχούς χρόνου yt ( ) έχει μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) Y( ), τότε να αποδείξετε ότι: xt y( t) dt X ty ( t) dt 5 Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) του σήματος συνεχούς χρόνου: ct e, t xt () ct e, t με c 6 Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H τεθεί είσοδος x t A cos( t ), τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) 7 Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'' t yt x' t x( t) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων Να υπολογίσετε το πραγματικό μέρος, το φανταστικό μέρος, το μέτρο και τη φάση της απόκρισης συχνοτήτων 8 Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y' t yt x ' t x( t) Να υπολογίσετε την απόκριση συχνοτήτων Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού 65 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Υπολογισμός μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Να μελετήσετε τη συνάρτηση fourier Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fourier να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Fourier συνεχούς χρόνου των σημάτων x ( t) exp( t ) x ( t) exp( ( t) ) x 3 ( t ) exp( ( t ) ) x 4 ( t ) exp( ( t ) ) και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου Να μελετήσετε τη συνάρτηση ifourier Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση fourier να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος x( t) cos( t) 55

257 Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ifourier να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου του σήματος Να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 3 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου: πραγματική συνάρτηση Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου:, t 4 xt (), t 4 Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) X ( ) 4 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου: μιγαδική συνάρτηση Δίνεται το σήμα συνεχούς χρόνου: t x t e u() t 4 Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τον μετασχηματισμό Fourier Συνεχούς Χρόνου (CTFT) X ( ) 5 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων τεθεί είσοδος x t j t c e, τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j jt Αν στο σύστημα τεθεί είσοδος x t e με συχνότητα, τότε η έξοδος του συστήματος είναι ( ) ( 6 ) y t H x t j e Να σχεδιάσετε την απόκριση συχνοτήτων H j Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου, που έχει την ίδια συχνότητα με τη συχνότητα του σήματος εισόδου 6 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου j ( t ) Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H τεθεί είσοδος xt c e, τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) jt Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j j( t ) Η είσοδος είναι x t 4e Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου 3 H LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Αν σε ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων 3 x t A cos( t ), τότε η έξοδος του συστήματος είναι y t H( ) x( t) Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j Η είσοδος είναι xt cos( t ) Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου H τεθεί είσοδος 8 LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση συχνοτήτων H j j ( t ) Η είσοδος είναι xt cos3 t 4e 4 Να σχεδιάσετε τα σήματα εισόδου και εξόδου 3 56

258 66 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 6 με τον Ήχο 6 Ήχος 6Περίληψη Κεφαλαίου 6 Μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου και Απόκριση συχνοτήτων Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CotiuousTimeFourierTrasform CTFT) είναι ένας μετασχηματισμός, που συνδέει το πεδίο του χρόνου με το πεδίο της συχνότητας Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου X μίας συνάρτησης xt (), αν υπάρχει, είναι η αναπαράσταση της συνάρτησης j t συναρτήσει μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων της μορφής e, όπου είναι η συχνότητα Ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) της απόκρισης μοναδιαίου παλμού ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται απόκριση συχνοτήτων Η απόκριση συχνοτήτων εξαρτάται από τους συντελεστές του LTI συστήματος συνεχούς χρόνου Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης αρκούν για να ορίσουν την απόκριση συχνοτήτων Έτσι, η απόκριση συχνοτήτων αρκεί για να περιγράψει ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου Η συνολική απόκριση συχνοτήτων ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των αποκρίσεων συχνοτήτων των επί μέρους συστημάτων Η συνολική απόκριση συχνοτήτων ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων συχνοτήτων των επί μέρους συστημάτων 57

259 Βιβλιογραφία/Αναφορές Eato, J W, Batema, D, Hauberg, S, Wehbrig R () GNU Octave (3rd ed) Hase J S () GNU Octave Begier's Guide Packt Publishig Igle, V K, & Proakis, J G (3) Digital Sigal Processig usig MATLAB Stamford, CT: Thomso Brooks Cole Leis, J W () Digital Sigal Processig usig MATLAB for studets ad researchers J Wiley ad Sos McClella, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης PapoulisA (985) SigalAalysis McGraw Hill The MathWorks Ic (5) Sigal Processig Toolbox User s Guide Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Παρασκευάς, Μ (4) Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με Matlab Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ Φωτόπουλος, Π, & Βελώνη, Α (8) Σήματα και Συστήματα Σύγχρονη Εκδοτική 58

260 Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 6 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 6Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 63 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 63Κριτήριο αξιολόγησης 59

261 Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού Laplace και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς και αναλύεται η περιγραφή των χρονικά αμετάβλητων (LiearTimeIvariat LTI) συστημάτων μέσω της συνάρτησης μεταφοράς Προαπαιτούμενη γνώση Ολοκληρώματα, Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο, Κεφάλαιο,Κεφάλαιο 3 7 Μετασχηματισμός Laplace Ορισμός μετασχηματισμού Laplace Ο ευθύςαμφίπλευροςμετασχηματισμός Laplace (Laplacetrasform) μίας συνάρτησης ακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: st X s x t e dt () ορίζεται από το και είναι μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s j Ο μετασχηματισμός Laplaceμίας συνάρτησης είναι, σύμφωνα με τον ορισμό, ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα, το οποίο μπορεί να συγκλίνει για κάποιες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής s και μπορεί να μην συγκλίνει για κάποιες άλλες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής s Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής s για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace, δηλαδή για τις οποίες το ολοκλήρωμα του μετασχηματισμού Laplaceσυγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης(ΠΣ) (Regio Of Covergece ROC) Οαντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από τοακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: st xt X () s e ds (7) O ευθύς μετασχηματισμός Laplaceείναι μοναδικός (uique), αν είναι γνωστή η Περιοχή ΣύγκλισηςΕπίσης, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplaceείναι μοναδικός (uique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Αν λοιπόν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης, τότε ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplaceαποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: L x() t X s Σχέση μετασχηματισμού Laplace και μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Αντικαθιστώντας s j στον ορισμό, προκύπτει j t t j t X s j x t e dt x t e e dt που σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός Laplaceείναι ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου της t συνάρτησης x() t e στο σημείο s j δηλαδή X ( s) X ( ) (73) sj xt () (7) 6

262 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλίαmcclella, Schafer & Yoder, 6, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 7 Περιοχή Σύγκλισης Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής s για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace, δηλαδή για αυτές που το ολοκλήρωμα του μετασχηματισμού Laplaceσυγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης(ΠΣ) (Regio Of Covergece ROC)και είναι της μορφής: Res Πόλοι και Μηδενικά Αν ο μετασχηματισμός Laplaceμίας συνάρτησης είναι ρητή συνάρτηση του s: Bs Xs As τότε οι ρίζες του αριθμητή καλούνται μηδενικά(zeros) της X s και οι ρίζες του παρονομαστή καλούνται πόλοι(poles) της X s Προφανώς, στην περίπτωση αυτή, η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Σχέση πόλων μετασχηματισμού Laplace με μορφή συνάρτησης Απλός πραγματικός πόλος Αν ο πόλος είναι αρνητικός, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα εκθετική Αν ο πόλος είναι θετικός, τότε η συνάρτηση είναι αύξουσα εκθετική Απλός φανταστικός πόλος Αν ο πόλος έχει αρνητικό φανταστικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή θετική Αν ο πόλος έχει θετικό φανταστικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή αρνητική Συζυγείς μιγαδικοί πόλοι Αν οι πόλοι έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα ημιτονοειδής συνάρτηση (φθίνουσα ταλάντωση) Αν οι πόλοι έχουν θετικό πραγματικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι αύξουσα ημιτονοειδής συνάρτηση (αύξουσα ταλάντωση) Συζυγείς φανταστικοί πόλοι Αν οι πόλοι είναι συζυγείς φανταστικοί, τότε η συνάρτηση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση 73 Ζεύγη μετασχηματισμού Laplace Στον Πίνακα 7 παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί Laplace Συνάρτηση Μετασχηματισμός συνεχούς χρόνου Laplace xt () Xs () e Περιοχή Σύγκλισης δ() t Re( s) ut () u( t) at u() t at e u( t) s s s a s a at! e t u() t ( s a) Re( s) Re( s) Re( s) Re( a) Re( s) Re( a) Re( s) Re( a) 6

263 at! e t u( t) ( s a) s cos( t) u( t) s si( t) u( t) e t u t s s a at cos( ) ( ) ( sa) at e si( t) u( t) ( sa) Re( s) Re( a) Re( s) Re( s) Re( s) Re( a) Re( s) Re( a) Πίνακας 7Ζεύγη μετασχηματισμού Laplace 74 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace 74 Γραμμικότητα Αν x t X s, ROC και x t X s, ROC τότε για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Γενικά, η Περιοχή Σύγκλισης είναι η τομή των επί μέρους Περιοχών Σύγκλισης, αλλά μπορεί να είναι μεγαλύτερη όταν υπάρχουν μηδενικά του ενός επί μέρους μετασχηματισμού που ακυρώνουν τους πόλους του άλλου Απόδειξη Αν y( t) c x ( t) c x ( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Laplace στην (7) έχουμε: 74 Μετατόπιση στον χρόνο Αν x t X s ROC τότε L (75) Απόδειξη Αν y( t) x( t t ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Laplace στην (7) έχουμε: Θέτοντας tt, έχουμε: L L c x t c x t c X s c X s, ROC έ ROC ROC st st st st ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y s y t e dt c x t c x t e dt c x t e c x t e dt L L, st x t t e X s ROC, st st st Y s y( t) e dt x( t t ) e dt st c x ( t) e dt c x ( t) e dt st st ( ) ( ) c x t e dt c x t e dt c X s c X s st s( t ) st s st Y s x( t t ) e dt x( ) e d e x( ) e d e X s (74) 6

264 743 Κλιμάκωση στον χρόνο L Αν x t X s, ROC ( Re( s) ) τότε L s xa t X, ROC ( Re( s) ) (76) a a a a Απόδειξη Αν y( t) x( at), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Laplace στην (7) έχουμε: st Y s y t e dt t e dt st ( ) x( a ) Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: st st ( s/ a) s Y s y() t e dt x( a t) e dt x( ) e d X a a a Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: st st Y s y( t) e dt x( a t) e dt ( sa / ) x( ) e d a ( sa / ) x( ) e d a ( s/ ) x e d X s a a a 744 Μετατόπιση στη συχνότητα Αν x t X s, ROC ( Re( s) ) τότε L L st e xt X s s ROC Re s Re s Re s Απόδειξη st Αν y( t) e x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Laplace στην (7) έχουμε: Θέτοντας s s s, έχουμε:, ( ( ) ( ) ( )) s t s t st ( s s ) t Y s y t e dt e x t e dt x t e dt x t e dt st st ( ) ( ) ( ) ( ) ( ss ( ) ) t st Y s x t e dt x( t) e dt X s X ( s s ) (77) 745 Συνέλιξη Αν x t X s, ROC και x t X s, ROC τότε L L L x t x t X s X s, ROC έ ROC ROC Απόδειξη Αν y( t) x ( t) x ( t), τότεαπό τον ορισμό του μετασχηματισμού Laplace στην (7) έχουμε: (78) 63

265 st st st Y s y( t) e dt x t x ( t) e dt x ( ) x( t ) d e dt Θέτοντας t t, θεωρώντας μεταβλητή, αλλάζοντας τη σειρά των ολοκληρωμάτων και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της μετατόπισης στον χρόνο από την (75), έχουμε: st st Y s x ( ) x ( t ) d e dt x ( t t ) x( t )( dt ) e dt st x( t t ) x( t ) dt e dt st x( t ) x( t t ) dt e dt st x( t ) x( t t ) e dtdt st x( t ) e X( s) dt st X ( s) x ( t ) e dt X ( s) X ( s) 746 Παραγώγιση L, Αν x X s ROC τότε k d x() t L k s X s, έ ROC, για κάθε φυσικό αριθμό k (79) k dt Η Περιοχή Σύγκλισης μπορεί να είναι μεγαλύτερη από R, αν X s έχει πόλο στο s, ο οποίος k ακυρώνεται με τον πολλαπλασιασμό επί s Απόδειξη Η απόδειξη στηρίζεται στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής και στην κατά παράγοντες ιδιότητα των ολοκληρωμάτων dxt Θεωρούμε ότι k και y() t Οπότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού Laplace στην (7) dt έχουμε: dxt ( ) st Y s y t e dt e st dt x( t) e st s xt ( ) e st dt dt st Επειδή lim xt ( ), προκύπτει lim xt ( ) e Επομένως, από την παραπάνω σχέση έχουμε: t t dx t st st Y s e dt s x() t e dt s X s dt Συνεπώς, για k η (79) ισχύει Θεωρούμε ότι για κάποιο τυχαίο ˆk ισχύει k d x() t L kˆ s X s kˆ dt και επαναλαμβάνοντας ακριβώς την ίδια διαδικασία αποδεικνύεται ότι η (79) ισχύει και για kˆ, η ολοκλήρωση της απόδειξης αφήνεται ως άσκηση Άρα, η (79)ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό k ˆ 64

266 Στον Πίνακα 7 παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητα μετασχηματισμού Laplace Γραμμικότητα Μετατόπιση στον χρόνο Κλιμάκωση στον χρόνο Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη στον χρόνο Παραγώγιση Συνάρτηση Μετασχηματισμός συνεχούς χρόνου Laplace xt () Xs () xt () () Περιοχή Σύγκλισης Xs ROC Re() s ( ) x () t X () s ROC x () t X () s ROC c x t c x () t c X s c X () s έ ROC ROC x t t x a t st e e st X s s X a a xt X s s x t X s X s x t () k d x() t k dt ROC ROC a a ( Re( s) ) ROC Re s Re s Re s ( ( ) ( ) ( )) έ ROC ROC k s X () s έ ROC Πίνακας 7Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace 75 Υπολογισμός μετασχηματισμού Laplace Ο υπολογισμός του μετασχηματισμούlaplace μίας συνάρτησης ολοκλήρωμα του ορισμού του xt γίνεται από το γενικευμένο Παράδειγμα ct x t e u t cc, d Στην πραγματικότητα, κατά τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, χρησιμοποιείται το όριο: ( ) ( ) cs t cs t cst cs e dt lim e dt lim e lime c s c s c s c s που υπάρχει αν st ct st ct st ct st X s x t e t e u t e dt e e dt e e dt ( cs) t e dt e c s c cst s s c Έτσι καθορίζεται η Περιοχή Σύγκλισης από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re c Αξίζει να αναφερθεί ότι αν Re c ενώ αν Re c s Re c X X ( s) X ( s) s j s j c j Re s Re c, που είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά, τότε υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT), τότε δεν υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Παράδειγμα 65

267 x( t) u( t) st st st X s x t e dt u t e dt e dt με Περιοχή Σύγκλισης Re s Παράδειγμα 3 at e, t, a R xt () bt e, t, br st st e e e e s s s s s st at st bt st ( as) t ( bs) t X s x t e dt e e dt e e dt e dt e dt as t bst e e a s b s a s b s s a s b όπου Re s a και Re s b, δηλαδή η Περιοχή Σύγκλισης είναι: b Re s a Ο υπολογισμός του μετασχηματισμούlaplace μίας συνάρτησης ιδιότητες του μετασχηματισμού xt γίνεται χρησιμοποιώντας τα ζεύγη και τις Παράδειγμα 4 t t x t e u t e u t Η συνάρτηση γράφεται xt xt xt με 4t x t e u t x t e t u t x ( 3 t ) όπου t x3 t e u() t Από τα ζεύγη του μετασχηματισμούlaplace έχουμε: L 4t x( t) e ut Xs, Res 4 s 4 L t x3( t) e ut X 3s, Res s Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμούlaplace έχουμε: L x( t) X ( s) οπότε L t x ( t) e ut X s X 3 s, Res s Τέλος από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμούlaplace έχουμε: L xt x t x t X s X s X s, 4 Res s 4 s Παράδειγμα Τα σήματα x t at e u t και x t at e u t έχουν τον ίδιομετασχηματισμόlaplace με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης 66

268 Πράγματι, από τα ζεύγη του μετασχηματισμού Laplace έχουμε: L at x( t) e utxs, Res a s a at Το σήμα x t e ut γράφεται: x t x ( t) 3 όπου at x3 t e ut Τότε, από τα ζεύγη του μετασχηματισμούlaplace έχουμε: L at x3( t) e utx 3s, Res a s a και από τις ιδιότητες του μετασχηματισμούlaplace έχουμε: x( t) X ( s) οπότε L at x t e u t x 3 t X s X 3 s, Res a s a s a Παρατηρούμε ότι τα δύο σήματα έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό Laplace, αλλά με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Γενικεύοντας, ο μετασχηματισμός Laplaceείναι μοναδικός (uique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Επίσης, διαφορετικά σήματα μπορούν να έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό Laplace, αλλά με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Αν ο μετασχηματισμός Laplaceέχει δύο πόλους, τότε υπάρχουν τρία σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό Laplace, με διαφορετικές Περιοχές Σύγκλισης Αν ο μετασχηματισμός Laplaceέχει Νπόλους, τότε υπάρχουνν+ Περιοχές Σύγκλισης και Ν+ σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό Laplace 76 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Αν η X s είναι ρητή συνάρτηση του (7) με πόλους pk, k,,, N, τότε για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace χρησιμοποιείται η μέθοδος ανάπτυξης της X() s σε άθροισμα μερικών κλασμάτων (α) Αν N M - με απλούς πόλους (δηλαδή δεν επαναλαμβάνονται), τότε: N Ck X() s (7) s p με συντελεστές C lim[( s p ) X ( s)] k οπότε L X() s Bs () A(s) k s p N M k N k k k b k a k s k s k pk t x( t) C e u( t) (73) k k (7) Παρατήρηση: αν υπάρχουν μιγαδικοί πόλοι, τότε οι πόλοι υπάρχουν ανά δύο σε συζυγία και οι συντελεστές είναι επίσης συζυγείς - αν υπάρχει πολλαπλός πόλος p με πολλαπλότητα R, τότε: s 67

269 X() s C R N k k k k ( s p) k Rs pk με συντελεστές C lim[( s p ) X ( s)], k R,, N k s p (75) (74) Rk d R Ck lim [( s p) X ( s)], k,, R (76) s p Rk ( R k)! ds οπότε R R N t pt pk t x( t) Ck e u( t) Ck e u( t) (77) ( R )! Bs () (β) Αν N M, τότε εκτελείται η διαίρεση και As () () s X ( s) ( s), As () k όπου () s είναι πολυώνυμο M N βαθμού Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace επιτυγχάνεται υπολογίζοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς Laplace σε κάθε όρο του παραπάνω αθροίσματος Παράδειγμα C C X() s ( s ) ( s ) s s Παράδειγμα s C C C3 X() s ( s ) ( s ) s ( s ) s X() s s ( s ) s Άρα, t t t x( t) ( e t e e ) u( t) C k kr C s X s s C lim[( s ) X ( s)] lim( ) s s s X() s s s Άρα, t t x( t) ( e e ) u( t) lim[( ) ( )] lim( ) s s d s C lim( ( )) s ds s s C lim[( s ) X ( s)] lim( ) s s s s C3 lim[( s ) X ( s)] lim( ) s s ( s ) 68

270 Παράδειγμα s 3s s 3s 4s 4s C C X ( s) ( s ) ( s ) ( s ) s ( s 4) s 4s s 4 s s( s 4) s s 4 4s 4s lim lim( ) 3 ( 4) 4 C s s s s s s 4s 4s C lim ( s 4) lim( ) s4 s( s 4) s4 s 3 X ( s) ( s ) s s 4 Άρα, d 4t x( t) ( t) ( t) (3 e ) u( t) dt 77 Μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplaceενός σήματος συνεχούς χρόνου γενικευμένο ολοκλήρωμα: st X s x t e dt και υπάρχει όταν xt () είναι εκθετικής τάξης, δηλαδή αν υπάρχουν αριθμοί a, M, t και ισχύει: ορίζεται από το ακόλουθο (79) (78) Αν ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplaceμίας συνάρτησης είναι ρητή συνάρτηση του s, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι η περιοχή δεξιά του πόλου με το μεγαλύτερο πραγματικό μέρος (μέχρι το συν άπειρο) Για τα ζεύγη του μονόπλευρου μετασχηματισμού Laplaceχρησιμοποιείται ο συμβολισμός: Ιδιότητα παραγώγισης του μονόπλευρου μετασχηματισμού Laplace Αν at e x( t) M, t t L x t X s L x t X s τότε k ( ) L k i d x t k i dx( ) s X s k s i (7) dt i dt Απόδειξη Η απόδειξη γίνεται όπως και στη γενικότερη περίπτωση της παραγώγισης του μετασχηματισμού στην απόδειξη του (79) της παραγράφου 746, δηλαδή, στηρίζεται στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής και στην κατά παράγοντες ιδιότητα των ολοκληρωμάτων dxt Θεωρούμε ότι k και y() t Οπότε από τον ορισμό τουμονόπλευρου μετασχηματισμού Laplace dt st στην (78) και από την οριακή τιμή lim xt ( ) e, έχουμε: t st dx t st st st Y s y te dt e dt x( t) e s x() t e dt x() s X s dt xt () 69

271 Συνεπώς, για k η (7) ισχύει Θεωρούμε ότι για κάποιο τυχαίο ˆk ισχύει ˆ ˆ k () L k i d x t kˆ i dx() s X s kˆ s i dt i dt και επαναλαμβάνοντας ακριβώς την ίδια διαδικασία αποδεικνύεται ότι η (79) ισχύει και για kˆ, η ολοκλήρωση της απόδειξης αφήνεται ως άσκηση Άρα, η (7) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό k Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace δίνει τη δυνατότητα επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με αρχικές συνθήκες 78 Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής Θεώρημα αρχικής τιμής lim[ x( t)] lim[ s X s ] t s (7) Παράδειγμα x t cos t u t (3 ) ( ) s X s s 3 lim[ ] lim[ ] lim s lim s x t s X s s t s s s 3 s s 3 Θεώρημα τελικής τιμής lim[ x( t)] lim[ s X s ] t s (7) Παράδειγμα t x t e u t ( ) ( ) X s s s s ( s ) lim[ xt] lim[ s X s] lim s lim s ( s ) s t s s s 79 Μετασχηματισμός Laplace σε προγραμματιστικό περιβάλλον Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorksIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProakis, 3 καιleis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Παρασκευάς, 4 Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Η συνάρτηση [L]=laplace(f) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ευθέως μετασχηματισμού Laplace Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τη συνάρτηση fκαι παράγει στην έξοδο τον μετασχηματισμόlaplacel Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Laplace του σήματος t 3 xt e t απαιτείται η κλήση: syms t; laplace(exp(*t)+t^3); Η συνάρτηση syms είναι διαθέσιμη σε Matlab και σε Octave (symbolic package) Το αποτέλεσμα είναι: /(s - ) + 6/s^4 7

272 Η συνάρτηση [f]=ilaplace (L) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τον μετασχηματισμόlaplacel και παράγει στην έξοδο τη συνάρτηση f Για παράδειγμα,για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Laplace του σήματος xt cos t 3t απαιτείται η κλήση: syms x t; X= laplace(cos(t)+3*t^); και για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace συνεχούς χρόνου (CTFT) απαιτείται η κλήση: x= ilaplace (X,t); Το αποτέλεσμα είναι: cos(t) + 3*t^ Παρατήρηση: Οι συναρτήσεις syms, laplace και ilaplace είναι διαθέσιμες σε Matlab και σε Octave (symbolicpackage) Η συνάρτηση [R,P,K]=residue(b,a) χρησιμοποιείται για την υλοποίηση του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace Η συνάρτηση υλοποιεί την ανάλυση μίας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα απλών κλασμάτων Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b του αριθμητή καιτους συντελεστές a του παρονομαστή και εξόδους τους πόλουςp, τους συντελεστές Rτων κλασμάτων και τους συντελεστές Kτου πολυωνύμου, που προκύπτει από τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή (όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος ή μεγαλύτερος από το βαθμό του παρονομαστή) Για παράδειγμα, η ανάλυση σε απλά κλάσματα της συνάρτησης μεταφοράς Hs s 7s απαιτεί την κλήση b=[]; a=[,-7,]; [R,P,K]=residue(b,a); Τότε, η συνάρτηση επιστρέφει R=[ -] P=[4 3] K=[] που σημαίνει H s s 4 s 3 7 Συνάρτηση μεταφοράς Ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς Ο μετασχηματισμός Laplace H s της απόκρισηςμοναδιαίου παλμού h t ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς: st H () s h t e dt (73) Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού Laplace, είναι προφανές ότι ο μετασχηματισμός Laplace X() s της εισόδου x t και ο μετασχηματισμός Laplace Y s της εξόδου yt ht xt () του LTI συστήματος συνδέονται με τη σχέση: Y s H s X s (74) 7

273 Αν σε ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου έχουμε είσοδο το μιγαδικό εκθετικό σήμα έξοδος είναι: at y t H a e H a x t () at e, x t ac, τότε η Απόδειξη * at y t h t x t h x t d h e d at a at a at Ha h e e d e h e d e 7 Περιγραφή LTI συστημάτων μέσω συνάρτησης μεταφοράς Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές: M k N k d x( t) d y( t) b ak k dt k k k dt k (75) Παίρνοντας μετασχηματισμό Laplace στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης και αξιοποιώντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας και παραγώγισης του μετασχηματισμού, έχουμε: M N M N k k k k b k s X ( s) a k s Y( s) X ( s) b k s Y( s) a k s k k k k Αλλά Y s H s X s οπότε H M k s N k b a k k s k s k (76) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς εξαρτάται από τους συντελεστές του LTIσυστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης αρκούν για να ορίσουν τη συνάρτηση μεταφοράς Έτσι, η συνάρτηση μεταφοράς αρκεί για να περιγράψει ένα LTIσύστημα Επίλυση διαφορικής εξίσωσης με μετασχηματισμό Laplace Παράδειγμα Υπολογισμός απόκρισης μοναδιαίου παλμού του LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: d y( t) dy( t) 5 4 y( t) x( t) dt dt 7

274 d y t ( ) dy( t) 5 4 y( t) x( t) ( t) dt dt ( ) 5 ( ) 4 ( ) s Y s sy s Y s ( s 5s 4) Y( s) Ys () s 5s4 Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Hs () s 5s4 C C H() s s 5s 4 ( s ) ( s 4) s s 4 C lim(( s ) H ( s)) lim( ) s s s 4 3 C lim(( s 4) H ( s)) lim( ) s4 s4 s 3 Άρα η απόκριση μοναδιαίου παλμού του LTIσυστήματος είναι: t 4t h( t) e e u( t) 3 3 Παράδειγμα 3 d y( t) dy( t) si( t), y(), y '(), y ''() 3 dt dt 3 [ s Y ( s) s y() s y '() y ''()] [ s Y ( s) y()] s 3 s Y ( s) s s Y ( s) s 3 s s 3 3 s Y() s ( s ) ( s ) 4 s 4 s s 3 t 3 t y( t) e e cos( t) () 4 4 ut 73 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H s συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H s, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό Laplace Xs και έξοδο w ( ) με μετασχηματισμό Laplace Ws Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος και έξοδο y () με μετασχηματισμό Laplace Ys Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: H s Hs Hs (77) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y s H sw s W s H sx s οπότε Y s H sw s H s H s X s [ H s H s] X s 73

275 επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: Y s H sx s Επομένως, H s H s H s H s H s Σχήμα 7Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενοτων συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων 74 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H s συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H s,όπως φαίνεται στο Σχήμα 7 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό Laplace Xs και έξοδο w ( ) μεμετασχηματισμό Laplace Ws Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο x ( ) με μετασχηματισμό Laplace Xs και έξοδο v ( ) μεμετασχηματισμό Laplace Vs Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν τη συνολική έξοδο y () μεμετασχηματισμό Laplace Ys Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: H s Hs Hs (78) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: V s H sx s W s H sx s οπότε Y s V s W s H s X s H s X s H s H s X s, επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: Y s H sx s Επομένως: H s H s H s H s H s 74

276 Σχήμα 7Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα,είναι το άθροισματων συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων 75 Ευστάθεια συστημάτων συνεχούς χρόνου Αιτιότητα συστημάτων συνεχούς χρόνου Ένα αιτιατό LTIσύστημα συνεχούς χρόνου έχει Περιοχή Σύγκλισης το μέγιστο δυνατό ημιεπίπεδο, που δεν περιλαμβάνει τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ευστάθεια συστημάτων συνεχούς χρόνου και μετασχηματισμός Laplace Ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου είναι ευσταθές, αν ο φανταστικός άξονας ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς Ευστάθεια αιτιατών συστημάτων συνεχούς χρόνου και μετασχηματισμός Laplace Ευσταθές σύστημα Ένα αιτιατόltiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοιτης συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στοαριστερό ημιεπίπεδοκαι έχουν οποιαδήποτε πολλαπλότητα Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος Ασταθές σύστημα Ένα αιτιατόltiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι ασταθές, όταν όλοι οι πόλοιτης συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στοδεξιό ημιεπίπεδοκαι έχουν οποιαδήποτε πολλαπλότητα Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού απειρίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος Οριακά ευσταθές σύστημα Ένα αιτιατόltiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι οριακά ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοιτης συνάρτησης μεταφοράς είναι απλοίκαι φανταστικοί Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού γίνεται σταθερή ή ημιτονοειδής όσο αυξάνει ο χρόνος Παράδειγμα Στο Σχήμα 73 φαίνεται η απόκριση μοναδιαίου παλμού του ευσταθούς LTI συστήματος συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: H s 3 s 4s 6s 4 75

277 Οι τρεις πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι, j και j και βρίσκονται όλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο Έτσι, η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος 4 8 h(t) time t Σχήμα 73Απόκριση μοναδιαίου παλμού ευσταθούς LTI συστήματος συνεχούς χρόνου Παράδειγμα Ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου έχει συνάρτηση μεταφοράς: H s ( s) ( s ) Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: H s ( s) ( s ) 3 s 3 s Υπάρχουν τρεις δυνατές Περιοχές Σύγκλισης: α Res Το σύστημα είναι αιτιατό με απόκριση μοναδιαίου παλμού t t ht e e u() t 3 3 και δεν είναι ευσταθές επειδή h t τείνει στο άπειρο όταν t τείνει στο άπειρο β Re s Το σύστημα δεν είναι αιτιατό με απόκριση μοναδιαίου παλμού t t ht e ut e u( t) 3 3 και είναι ευσταθές επειδή ο φανταστικός άξονας ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτηση μεταφοράς γ Re s Το σύστημα δεν είναι αιτιατό με απόκριση μοναδιαίου παλμού 76

278 t t ht e ut e u( t) 3 3 και δεν είναι ευσταθές επειδή ο φανταστικός άξονας δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτηση μεταφοράς Μπορείτε να διερευνήσετε την ευστάθεια αιτιατών συστημάτων συνεχούς χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 7 Διαδραστικό πρόγραμμα 7Ευστάθεια αιτιατών συστημάτων συνεχούς χρόνου Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 76 Συνάρτηση μεταφοράς σε προγραμματιστικό περιβάλλον Η συνάρτηση [sys]=tf(b,a) χρησιμοποιείται για την παραγωγή της συνάρτησης μεταφοράς Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b του αριθμητή και τους συντελεστές a του παρονομαστή και στην έξοδο παράγει τη συνάρτηση μεταφοράςγιαπαράδειγμα, η δημιουργία της συνάρτησης μεταφοράς H s απαιτεί την κλήση s 7s b=[]; a=[,-7,];tf(b,a); Τότε η συνάρτηση επιστρέφει Trasferfuctio: s^ - 7 s + πουσημαίνει H s s 7s Η συνάρτηση tfχρησιμοποιείται μαζί με τη συνάρτηση lsimγια τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματοςσυνεχούς χρόνου Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η απόκριση του LTIσυστήματοςσυνεχούς χρόνου: y'' t 5yt x' t x( t) για είσοδο xt sit απαιτείται η παραγωγή της εισόδου t = [::]; x = si(t); καιηκλήση b=[ ]; a=[,, 5]; sys=tf(b,a); lsim(sys,x,t) Στο Σχήμα 74 παρουσιάζεται η είσοδος και η έξοδος (απόκριση) του LTI συστήματος συνεχούς χρόνου 77

279 8 x(t) y(t) time t Σχήμα 74Απόκριση LTI συστήματος συνεχούς χρόνου 73 Λυμένες Ασκήσεις Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace: s 5 X() s s ( s s 6) Λύση X() s 3 s5 s5 C C C3 s ( s s 6) s ( s ( 5 j)) ( s ( 5 j)) s s ( 5 j) s ( 5 j) s 5 5 C lim( s X ( s) lim( ) s s s s6 6 s5 4 5 j C lim [( s ( 5 j) X ( s)] lim ( ) s5 j s5 j s ( s ( 5 j)) 5 j C lim s5 4 5 j [( s ( 5 j) X ( s)] lim ( ) C s ( s ( 5 j)) 5 j s5j s5j j 4 5 j X() s 6 s 5 j s ( 5 j) 5 j s ( 5 j) Οπότε, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace είναι: j ( 5 j) t 4 5 j ( 5 j) t x( t) e e u( t) 6 5 j 5 j * Η ανάλυση της συνάρτησης Xs μεταφοράς μπορεί εναλλακτικά να γίνει ως εξής: 78

280 X s s 5 s s s ( 6) 5 5s 6 6 s 6 ( s) s 6 s 6 ( s ) 5 6 ( s ) s 5 6 s 6 ( s ) ( s ) 5 Κάνοντας πράξεις μπορεί να δειχθεί ότι αυτή η μορφή τηςσυνάρτησης Xs είναι ίση με την προηγούμενη Τότε, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplaceυπολογίζεται με τη χρήση των ζευγών του Πίνακα 7, ως εξής: 5 5 t t xt ut e cos(5t ) ut e si(5 t) ut Να δείξετε ότι αυτή η μορφή του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace είναι ίση με την προηγούμενη (να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα τουeuler) Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση: d y( t) dy( t) 4 3 y( t) u( t) u( t ), y(), y'() dt dt Λύση d y( t) dy( t) 4 3 y( t) u( t) u( t ), y(), y '() dt dt s [ s Y ( s) sy() y'()] 4[ s ( s) y()] 3 Y( s) e s s s s Y ( s) 4 s ( s) 3 Y( s) e s s s e ( s 4s 3) Y( s) s s e s Y() s e s ( s 4s 3) s ( s 4s 3) s ( s 4s 3) Όμως C C C s s s s s s s s s 3 ( 4 3) ( ) ( 3) 3 C s s s s s s s s C lim( ) lim( ) ( ) ( 3) ( ) ( 3) 3 lim(( s) ) lim( ) s s ( s ) ( s 3) s s ( s 3) C3 lim(( s 3) ) lim( ) s3 s( s ) ( s 3) s3 s ( s ) 6 s ( s 4s 3) s ( s ) ( s 3) 3 s s 6 s 3 Οπότε 79

281 t 3t t 3( t) y( t) e e u( t) e e u( t ) Να εξετάσετε ως προς την αιτιότητα το σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: H s ( s )( s j) Λύση Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι s, s j Επομένως υπάρχουν τρεις δυνατές Περιοχές Σύγκλισης: α Re s β Re s γ Re s Η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ο s πόλος αυτός είναι ο πόλος Άρα, το σύστημα είναι αιτιατό, όταν η Περιοχή Σύγκλισης είναι Re s 4 Δίνεται το αιτιατό LTIσύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: Hs 3 s 5s 9s 5 α Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το σύστημα β Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού Λύση α Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι s, s j, s3 j Όλοι οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο Άρα, το σύστημα είναι ευσταθές β Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται j j H s 3 s 5s 9s 5 ( s ) ( s 4s 5) s 4 s j 4 s j Αφού το σύστημα είναι αιτιατό, η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ο πόλος αυτός είναι ο πόλος s Άρα, η Περιοχή Σύγκλισης είναι Re s Επομένως, το σύστημα έχει απόκριση μοναδιαίου παλμού: t j ( j) t j ( j) t ht e ut e u( t) e u( t) 4 4 Αξίζει να σημειωθεί ότι η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται, όσο αυξάνει ο χρόνος Η ανάλυση της συνάρτησης μεταφοράς μπορεί εναλλακτικά να γίνει ως εξής: 8

282 s 5s 9s 5 ( s ) ( s 4s 5) 3 H s 3 s s ( s ) s 3 s ( s ) ( s ) s s ( s ) ( s ) s s ( s ) ( s ) Κάνοντας πράξεις μπορεί να δειχθεί ότι αυτή η μορφή τηςσυνάρτησης μεταφοράς είναι ίση με την προηγούμενη Τότε, η απόκριση μοναδιαίου παλμού υπολογίζεται με τη χρήση των ζευγών του Πίνακα 7, ως εξής: t t t h t e u t e cos( t) u t e si( t) ut Να δείξετε ότι αυτή η μορφή τηςαπόκρισης μοναδιαίου παλμού είναι ίση με την προηγούμενη (να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα τουeuler) 74 Ασκήσεις Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Laplace X () s, τότε να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόlaplace του σήματος συνεχούς χρόνου x( t) Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό Laplace X () s, τότε να υπολογίσετε τον t t μετασχηματισμόlaplace του σήματος συνεχούς χρόνου yt e u( t) 3 Να υπολογίσετε το αιτιατό σήμα με μετασχηματισμό Laplace: s 6 X s s 9s 4 Να υπολογίσετε το αιτιατό σήμα με μετασχηματισμό Laplace: s X s s 9 5 Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace: X s s j ( s ) 6 Να υπολογίσετε την έξοδο yt () ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς H s και είσοδο ( j ) t x t e s 3 7Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y''' t y' t x' t x( t) Να υπολογίσετε την συνάρτηση μεταφοράς 3 8

283 8Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y' t yt x ' t x( t) Να υπολογίσετε την συνάρτηση μεταφοράς Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού 9 Να εξετάσετε ως προς την αιτιότητα το σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: H s ( s ) ( s j) Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το αιτιατό σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: X s 3 s 5s 74s 75 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς Υπολογισμός Μετασχηματισμού Laplace Να μελετήσετε τη συνάρτηση laplace Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση laplace να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς Laplace των σημάτων συνεχούς χρόνου x () t t x ( t) t x ( t) exp( t) 3 x ( t) exp( t) 4 x ( t) cos( t) 5 x ( t) 3t cos( t) 6 Να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Να μελετήσετε τη συνάρτηση ilaplace Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση laplace να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόlaplace του σήματος συνεχούς χρόνου: x( t) 3t si( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ilaplace να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace του σήματος που βρήκατε Να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: N M και απλοί πόλοι Δίνεται ο μετασχηματισμός Laplace: H s s 7s Να μελετήσετε τη συνάρτηση residue Να αναλύσετε την X s σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 4 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: N M και πολλαπλός πόλος Δίνεται ο μετασχηματισμός Laplace: 8

284 ( s ) ( s ) X s Να αναλύσετε την X s εμφανίσετε τα αποτελέσματα σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue και να 5 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: N M Δίνεται ο μετασχηματισμός Laplace: X s s s s Να αναλύσετε την X s σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 6 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: N M Δίνεται ο μετασχηματισμός Laplace: 3 s 5s 4 X s s Να αναλύσετε την σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue και να X s εμφανίσετε τα αποτελέσματα 7 Συνάρτηση μεταφοράςκαι ευστάθεια Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: 4 s s 3 X s 3 s Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue να υπολογίσετε τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Είναι το LTI σύστημα ευσταθές; 8 Συνάρτηση μεταφοράςκαι ευστάθεια Δίνεται ένα LTI σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: 4 s s 3 X s 3 s Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση residue να υπολογίσετε τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Είναι το LTI σύστημα ευσταθές; 9 LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'' t 5 y t x' t x( t) Να μελετήσετε τη συνάρτηση tf Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση tf να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x t t si( ) LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y''' t y' t y t x'' t x( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση tf να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x t t cos( ) 83

285 76 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 7 με τον Ήχο 7 Ήχος 7Περίληψη Κεφαλαίου 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής s για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός Laplace, δηλαδή για τις οποίες το ολοκλήρωμα του μετασχηματισμού Laplace συγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (RegioOfCovergece ROC) Αν μετασχηματισμός Laplace μίας συνάρτησης είναι ρητή συνάρτηση του s, τότε οι ρίζες του αριθμητή καλούνται μηδενικά (zeros) και οι ρίζες του παρονομαστή καλούνται πόλοι (poles) Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Ο μετασχηματισμός Laplaceτης απόκρισης μοναδιαίου παλμού ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός LTI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Ένα αιτιατό LTIσύστημα συνεχούς χρόνου έχει Περιοχή Σύγκλισης το μέγιστο δυνατό ημιεπίπεδο, που δεν περιλαμβάνει τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου είναι ευσταθές, αν ο φανταστικός άξονας ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς Ένα αιτιατόltiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι ευσταθές,όταν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο και έχουν οποιαδήποτε πολλαπλότητα Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος 84