Μ Ε Ρ Ο Σ B. Στατιστική Συμπερασματολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μ Ε Ρ Ο Σ B. Στατιστική Συμπερασματολογία"

Transcript

1 Μ Ε Ρ Ο Σ B Στατιστική Συμπερασματολογία

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ EKTIMHTIKH: ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗΣ Σε πολλές περιπτώσεις στην στατιστική, συναντώνται προβλήματα για τα οποία απαιτείται να εκτιμηθεί μία παράμετρος του υπό μελέτη πληθυσμού. Η μέθοδος που ακολουθεί στις περιπτώσεις αυτές κανείς από διαίσθηση είναι να χρησιμοποιεί την τιμή μιας αντίστοιχης ποσότητας από ένα τυχαίο δείγμα ως εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου του πληθυσμού. Παραδείγματα όπου η εκτίμηση των παραμέτρων του πληθυσμού είναι απαραίτητη είναι, μεταξύ άλλων τα εξής:. Μια εταιρεία έρευνας αγοράς ενδιαφέρεται να εκτιμήσει την μέση μετακίνηση προτίμησης των καταναλωτών που προέρχεται από μια διαφημιστική καμπάνια στην τηλεόραση και υπολογίζεται μέσω μιας δειγματοληπτικής έρευνας.. Μια αποθήκη χονδρικής πώλησης, προκειμένου να καθορίσει μια πολιτική για το απόθεμα που θα διατηρεί, χρειάζεται να εκτιμήσει το επίπεδο ζήτησης για προϊόντα τα οποία διακινεί, με βάση ένα δείγμα, για κάποια χρονική περίοδο. Η περιοχή της στατιστικής που ασχολείται με το πρόβλημα αυτό λέγεται εκτιμητική. Ένα από τα προβλήματα που απασχολούν την περιοχή αυτή είναι ο καθορισμός κριτηρίων με βάση τα οποία ο ερευνητής θα αποφασίζει πόσο καλή είναι η εκτιμήτρια μιας παραμέτρου του υπό μελέτη πληθυσμού. Άλλο πρόβλημα είναι ο καθορισμός των κριτηρίων εκείνων βάσει των οποίων ο ερευνητής θα αποφασίζει αν μια εκτιμήτρια είναι η καλύτερη δυνατή από αυτές που έχει στην διάθεσή του. Πρωταρχικό, βέβαια, πρόβλημα είναι η ανεύρεση μεθόδων καθορισμού εκτιμητριών παραμέτρων. Η μεθοδολογία που θα αναπτύξουμε στηρίζεται σε δείγματα που έχουν ληφθεί με τυχαίο τρόπο (τυχαία δείγματα). Αν ένα δείγμα δεν είναι τυχαίο, κανένα ακριβές συμπέρασμα δεν είναι δυνατόν 47

3 να προέλθει από το δείγμα αυτό όσον αφορά τον πληθυσμό. Είναι ενδεχόμενο βέβαια να εξαχθούν κάποια συμπεράσματα σε μερικές περιπτώσεις τα οποία όμως είναι τετριμμένα. Το πρόβλημα, στην απλούστερη μορφή του, είναι να εκτιμηθεί η τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού από πληροφορίες που παρέχονται από ένα τυχαίο δείγμα. Η απλούστερη περίπτωση είναι εκείνη που δίνει μια μόνο τιμή ως εκτίμηση της παραμέτρου που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για σημειακή εκτίμηση. ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ Ας διευκρινίσουμε κάπως περισσότερο τι εννοούμε με τον όρο εκτιμητική. Υποθέτουμε κατ αρχήν ότι ο πληθυσμός τον οποίο θέλουμε να μελετήσουμε έχει μορφή που είναι πλήρως καθορισμένη εκτός από την τιμή κάποιας παραμέτρου θ (ή κάποιων παραμέτρων θ,,,,k). Στην συνέχεια, θεωρούμε τις παρατηρήσεις,,..., ενός τυχαίου δείγματος. Εκείνο που θέλουμε, χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις αυτές, είναι να καθορίσουμε ένα αριθμό ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως η τιμή της συγκεκριμένης παραμέτρου θ. (Όταν μιλάμε για ένα διάστημα τιμών της παραμέτρου, η αντίστοιχη στατιστική μεθοδολογία οδηγεί στα ονομαζόμενα διαστήματα εμπιστοσύνης, τα οποία θα εξετάσουμε αργότερα). Είναι προφανές ότι οι παρατηρήσεις είναι αυτές καθεαυτές τυχαίες μεταβλητές (δοθέντος ότι ένα άλλο τυχαίο δείγμα θα οδηγήσει, πιθανότατα, σε διαφορετικές παρατηρήσεις). Επομένως, και οποιαδήποτε συνάρτηση των παρατηρήσεων του δείγματος θα είναι κι αυτή μια τυχαία μεταβλητή. Ορισμός: Μια συνάρτηση των παρατηρήσεων ενός δείγματος που εξαρτάται μόνο από τις παρατηρήσεις λέγεται στατιστική συνάρτηση (statstc). Εάν χρησιμοποιήσουμε μια στατιστική συνάρτηση για να εκτιμήσουμε μια παράμετρο θ, είναι ενδεχόμενο, σε κάποιες περιπτώσεις, η εκτίμηση αυτή να διαφέρει σημαντικά από την πραγματική τιμή της παραμέτρου θ. Ενδέχεται, επομένως, να μην είναι δυνατόν να καταλήξουμε σε κάποια μέθοδο εκτίμησης η οποία 48

4 να εγγυάται την πλησιέστερη εκτίμηση του θ σε κάθε δυνατή περίπτωση και για κάθε τυχαίο δείγμα. Θα πρέπει επομένως, να περιορισθούμε στον καθορισμό ενός κανόνα που θα δίνει καλά αποτελέσματα μακροπρόθεσμα ή κατά μέσο όρο ή που θα έχει υψηλή πιθανότητα επιτυχίας. Όλες οι φράσεις που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως εκφράζουν το βασικό γεγονός ότι οποιαδήποτε μέθοδο εκτίμησης χρησιμοποιήσουμε θα πρέπει να οδηγεί στην δημιουργία κατανομών εκτιμητριών. Οι μέθοδοι αυτές, έτσι, θα αξιολογούνται ανάλογα με τις ιδιότητες των κατανομών αυτών. Πριν προχωρήσουμε στην ανάπτυξη της θεωρίας αυτής, είναι απαραίτητο να διευκρινίσουμε την διαφορά ανάμεσα στην μεθοδολογία ή τους κανόνες εκτίμησης που θα χρησιμοποιήσουμε την οποία θα ονομάζουμε εκτιμήτρια (ή εκτιμητή) (estmator) και την τιμή που η εκτιμήτρια παίρνει σε κάποια συγκεκριμένη περίπτωση την οποία θα ονομάζουμε εκτίμηση (estmate). Η διαφορά μεταξύ των δύο εννοιών είναι η ίδια που υπάρχει μεταξύ μιας συνάρτησης f(), η οποία θεωρείται ορισμένη για μια σειρά τιμών της μεταβλητής και της συγκεκριμένης τιμής που η συνάρτηση αυτή παίρνει, έστω f(α) για κάποια καθορισμενη τιμή του που είναι ίση με το α. Το πρόβλημά μας δεν είναι να βρούμε εκτιμήσεις, αλλά να βρούμε εκτιμήτριες. Για τον λόγο αυτό, δεν απορρίπτουμε μια εκτιμήτρια διότι σε κάποια συγκεκριμένη περίπτωση έδωσε ένα άσχημο αποτέλεσμα (με την έννοια ότι η εκτίμηση διαφέρει σημαντικά από την πραγματική τιμή). Απορρίπτουμε μία εκτιμήτρια μόνο εάν δίνει άσχημα αποτελέσματα μακροπρόθεσμα, αν, δηλαδή, η κατανομή όλων των πιθανών τιμών της εκτιμήτριας αποκλίνει σημαντικά από την πραγματική τιμή της παραμέτρου θ. Η αξία μιας εκτιμήτριας αξιολογείται από την κατανομή των εκτιμήσεων τις οποίες παράγει, δηλαδή, με άλλα λόγια, από τις ιδιότητες της δειγματικής της κατανομής. Ορισμός: Εκτιμήτρια (estmator) είναι μια τυχαία μεταβλητή που χρησιμοποιείται για να εκτιμήσει ένα χαρακτηριστικό του πληθυσμού 49

5 (π.χ. μια παράμετρο). Η αριθμητική τιμή που η εκτιμήτρια παίρνει για κάποιο συγκεκριμένο δείγμα ονομάζεται εκτίμηση (estmate). Σε πολλές περιπτώσεις, διαισθητικά, χρησιμοποιούμε ως εκτιμήτρια της παραμέτρου ενός πληθυσμού την αντίστοιχη συνάρτηση του δείγματος. Για παράδειγμα, ως εκτιμήτρια της μέσης τιμής μ ενός πληθυσμού χρησιμοποιούμε συνήθως τον δειγματικό μέσο. (Δηλαδή ο δειγματικός μέσος θεωρείται ως μια εκτιμήτρια της μέσης τιμής του πληθυσμού). (Η μέθοδος αυτή προσδιορισμού μιας εκτιμήτριας λέγεται μέθοδος των ροπών και θα εξετασθεί αργότερα.) Παράδειγμα: Έστω ότι μια εταιρεία θέλει να εκτιμήσει τον μέσο χρόνο μ υπηρεσίας στην εταιρεία του συνόλου των 3580 εργαζομένων στην εταιρεία προκειμένου να καθορίσει την στάση της στις επόμενες διαπραγματεύσεις για υπογραφή συλλογικής σύμβασης εργασίας. Ένας τρόπος για να εκτιμηθεί η άγνωστη παράμετρος μ είναι να χρησιμοποιηθεί ένα τυχαίο δείγμα από εργαζόμενους στην εταιρεία. Ένας προφανής τρόπος για εκτίμηση του μ είναι να χρησιμοποιηθεί ο δειγματικός μέσος. Έστω ότι το γραφείο προσωπικού της εταιρείας, χρησιμοποιώντας ένα απλό τυχαίο δείγμα 50 εργαζομένων και καθορίζοντας τον χρόνο προϋπηρεσίας στην εταιρεία καθενός από αυτούς, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο μέσος χρόνος προϋπηρεσίας των εργαζομένων στο δείγμα είναι 6.3 χρόνια. Το είναι η εκτιμήτρια του μ ενώ το 6.3 είναι η εκτίμηση του μ που προκύπτει από το συγκεκριμένο δείγμα. Σε πολλές περιπτώσεις η ακρίβεια των εκτιμητριών αυξάνεται όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος από το οποίο έχουν προέλθει. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ακρίβεια της εκτιμήτριας αυξάνει με το. Η έννοια της διατύπωσης αυτής είναι ότι, όσο αυξάνει το, η διασπορά της κατανομής της εκτιμήτριας ελαττώνεται, ενώ η μέση τιμή της ή ταυτίζεται ή πλησιάζει πάρα πολύ στην πραγματική τιμή της υπό εκτίμηση παραμέτρου. (Παράδειγμα είναι ο δειγματικός μέσος ως εκτιμήτρια του μέσου ενός πληθυσμού μ). 50

6 Η κατάσταση αυτή ισχύει για τις παραμέτρους των περισσοτέρων από τους πληθυσμούς με τους οποίους θα ασχοληθούμε. Υπάρχουν όμως και εξαιρέσεις όπως π.χ. πληθυσμοί που ακολουθούν την κατανομή Cauchy. Τα χαρακτηριστικά των σημειακών εκτιμητριών μπορούν να συνοψισθούν στα εξής:. Υπάρχει κάποιο άγνωστο χαρακτηριστικό του πληθυσμού, ή μια παράμετρος, την οποία συμβολίζουμε με θ, η οποία θα πρέπει να εκτιμηθεί.. Για να βρούμε μια σημειακή εκτίμηση του θ, παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα από παρατηρήσεις,,..., από τον πληθυσμό. Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε μια στατιστική συνάρτηση θˆ, η οποία είναι συνάρτηση των παρατηρήσεων του δείγματος, έστω θˆ h (Χ, Χ,..., Χ ), για να εκτιμήσουμε το θ. 3. Πριν να γίνει η επιλογή του δείγματος, τα Χ, Χ,..., Χ είναι τυχαίες μεταβλητές. Επομένως, το θˆ είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή. Η κατανομή πιθανότητος του θˆ είναι αυτή που ονομάζουμε δειγματική κατανομή του θˆ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΑΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ Μια ιδιότητα η οποία είναι ιδιαίτερα επιθυμητή για μια εκτιμήτρια είναι αυτή της αυξανόμενης ακρίβειας. Αυτό γιατί εάν η διασπορά της δειγματικής κατανομής μιας εκτιμήτριας ελαττώνεται όσο αυξάνει το, είναι απαραίτητο η κεντρική τιμή της να προσεγγίζει την εκτιμώμενη παράμετρο. Διαφορετικά, η εκτιμήτρια θα έχει τιμές που θα διαφέρουν συστηματικά από την τιμή της παραμέτρου. Συνέπεια (cosstecy) Ορισμός: Μια εκτιμήτρια (μια στατιστική συνάρτηση) θˆ είναι μια συνεπής εκτιμήτρια μιας παραμέτρου θ του πληθυσμού (cosstet estmator) αν για μια οποιαδήποτε πολύ μικρή θετική τιμή ε: lm P( θˆ θ < ε) 5

7 O ορισμός αυτός δηλώνει ότι με πιθανότητα (δηλαδή τελικά ή σχεδόν με βεβαιότητα (almost surely)), μια συνεπής εκτιμήτρια της παραμέτρου θα δώσει μια εκτίμηση πάρα πολύ κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου (με απόκλιση ± ε) όταν το είναι μεγάλο. Αυτό εναλλακτικά σημαίνει ότι, για μια καθορισμένη ποσότητα ε οσοδήποτε μικρή, μπορούμε να βρούμε ένα δείγμα τόσο μεγάλο, ώστε για όλα τα δείγματα με μεγαλύτερο μέγεθος από αυτό, η πιθανότητα ότι η εκτιμήτρια θˆ διαφέρει από την πραγματική τιμή της παραμέτρου περισσότερο από την ποσότητα ε είναι πολύ κοντά στο 0. Στην θεωρία πιθανοτήτων λέμε ότι η εκτιμήτρια θˆ συγκλίνει κατά πιθανότητα (cοverges probablty) στο θ. Αυτό σημαίνει ότι μια εκτιμήτρια θˆ είναι συνεπής εκτιμήτρια μιας παραμέτρου θ αν συγκλίνει κατά πιθανότητα στο θ. Σημείωση: Ο αρχικός ορισμός της συνέπειας δόθηκε από τον Fsher το 9, ο οποίος όρισε ως συνεπή την εκτιμήτρια εκείνη που, αν η τιμή της υπολογισθεί από ολόκληρο τον πληθυσμό θεωρούμενο ως δείγμα, η τιμή αυτή θα ισούται με την τιμή της υπό εκτίμηση παραμέτρου. Παράδειγμα: Ο δειγματικός μέσος είναι μια συνεπής εκτιμήτρια της μέσης τιμής ενός πληθυσμού. Αμεροληψία (ubasedess) Αν θεωρήσουμε την δειγματική κατανομή μιας εκτιμήτριας θˆ μιας παραμέτρου θ, από τα προηγούμενα γίνεται αντιληπτό ότι, αν η εκτιμήτρια είναι συνεπής, η κατανομή της, για μεγάλα δείγματα, θα έχει μια κεντρική τιμή στην περιοχή της υπό εκτίμηση παραμέτρου που θα πλησιάζει πολύ την πραγματική τιμή της. Είναι λογικό στην περίπτωση αυτή να διαλέξουμε από την κλάση των συνεπών εκτιμητριών εκείνη της οποίας η κεντρική τιμή θα ισούται ακριβώς με την υπό εκτίμηση παράμετρο θ όχι μόνο για μεγάλα δείγματα ( ), αλλά για όλα τα δείγματα. 5

8 Ορισμός: Μια εκτιμήτρια θˆ θα λέγεται αμερόληπτη (ubased) αν ο μέσος της δειγματικής της κατανομής ισούται με την υπό εκτίμηση παράμετρο θ του πληθυσμού. Αν δηλαδή: E ( θˆ ) θ Σημείωση: Αν μια εκτιμήτρια θˆ δεν είναι αμερόληπτη θα λέμε ότι είναι μεροληπτική (based) και η ποσότητα μεροληπτικότητάς της (bas) θα είναι: bas Ε (θˆ ) - θ Σημείωση: Ο λόγος που επιλέγουμε την μέση τιμή ως κριτήριο μεροληπτικότητας ή αμεροληψίας είναι καθαρά λόγος ευκολίας. Θα ήταν εξίσου δυνατό να είχε επιλεγεί για τον ορισμό της αμερόληπτης εκτιμήτριας η διάμεσος ή η επικρατούσα τιμή. Η μέση τιμή όμως χρησιμοποιείται κυρίως λόγω της ευκολίας στις μαθηματικές πράξεις. Παράδειγμα: Ο δειγματικός μέσος Χ + Χ Χ Χ είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του μέσου ενός πληθυσμού, διότι E( ) μ E() μ Αντίθετα, η δειγματική διασπορά Χ Σ(Χ Χ) S δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς σ ενός πληθυσμού, διότι Ε(S ) σ σ Επομένως, αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ είναι η στατιστική συνάρτηση S ( ) ( ) 53

9 Αυτός είναι και ο λόγος που οι περισσότεροι συγγραφείς στην Στατιστική ορίζουν την διασπορά του δείγματος την στατιστική συνάρτηση * Σ(Χ Χ) S (την αμερόληπτη δηλαδή εκτιμήτρια S * του σ και όχι το S όπως ορίσθηκε παραπάνω). Σημείωση: Από την προηγούμενη συζήτηση προκύπτει ότι συνεπείς εκτιμήτριες δεν είναι υποχρεωτικά και αμερόληπτες εκτιμήτριες. Υπάρχουν επίσης και αμερόληπτες εκτιμήτριες οι οποίες δεν είναι συνεπείς. Καμιά από τις δύο αυτές ιδιότητες δεν συνεπάγεται υποχρεωτικά την άλλη. Παρ όλα αυτά, μια συνεπής εκτιμήτρια της οποίας η ασυμπτωτική κατανομή έχει πεπερασμένη μέση τιμή είναι και ασυμπτωτικά αμερόληπτη. Υπάρχουν επίσης και περιπτώσεις στις οποίες δεν υφίσταται αμερόληπτη εκτιμήτρια μιας παραμέτρου. Αποτελεσματικότητα (effcecy) Αν δύο εκτιμήτριες έχουν μικρή ή καθόλου μεροληπτικότητα είναι φυσικό να προτιμήσει κανείς μεταξύ τους την εκτιμήτρια εκείνη που έχει την μικρότερη διασπορά για το συγκεκριμένο μέγεθος δείγματος (διότι τα ενδεχόμενα αποτελέσματα που θα δίνει θα τείνουν να βρίσκονται πλησιέστερα προς την παράμετρο του πληθυσμού που θέλουμε να εκτιμήσουμε). Η παρατήρηση αυτή οδηγεί στον ορισμό της σχετικής αποτελεσματικότητας (relatve effcecy). Ορισμός: Εάν δύο εκτιμήτριες θˆ και θˆ που προέρχονται από δείγματα του αυτού μεγέθους είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες της παραμέτρου θ, θα λέμε ότι η μία από αυτές έχει μεγαλύτερη σχετική αποτελεσματικότητα (relatve effcecy) αν έχει μικρότερη διακύμανση. Αν δηλαδή V( θˆ ) < V( θˆ ) και Ε( θˆ ) Ε ( θˆ ) θ 54

10 θα λέμε ότι η εκτιμήτρια θˆ είναι σχετικά πιο αποτελεσματική από την εκτιμήτρια θˆ στην εκτίμηση του θ. Παράδειγμα: Έστω ότι μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε τον μέσο χρόνο που ένα νέο προϊόν είναι δυνατόν να διατηρηθεί πριν χρησιμοποιηθεί από τον καταναλωτή. Από προηγούμενες εμπειρίες, είναι δυνατόν να υποθέσουμε ότι η κατανομή του χρόνου που προϊόντα, εν γένει, διατηρούνται πριν την κατανάλωσή τους είναι κανονική. Το ερώτημα είναι αν θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον μέσο χρόνο που διατηρούνται τα προϊόντα της συγκεκριμένης κατηγορίας ενός τυχαίου δείγματος από τέτοια προϊόντα ως εκτιμήτρια του μ ή, εναλλακτικά, αν είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε την διάμεσο του δείγματος. Είναι γνωστό ότι, για τυχαία δειγματοληψία από ένα κανονικό πληθυσμό, τόσο το όσο και η διάμεσος είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες του μ. Επίσης, από την στατιστική θεωρία προκύπτει ότι για δοθέν δείγμα μεγέθους σ σ V() και V(Διαμέσου).57( ) Επομένως το είναι μία σχετικά πιο αποτελεσματική εκτιμήτρια από ότι η διάμεσος για την εκτίμηση του μέσου. Κάτω φράγμα των Cramér-Rao: Έχει αποδειχθεί ότι, κάτω από αρκετά γενικές συνθήκες, υπάρχει ένα κατώτερο φράγμα για την διακύμανση μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας (ένα φράγμα δηλαδή από το οποίο η διασπορά μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας δεν μπορεί να πάρει μικρότερη τιμή). Η ανισότητα από την οποία προκύπτει ο προσδιορισμός του ορίου αυτού, όσον αφορά την διακύμανση μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας, είναι γνωστή ως ανισότητα των Cramér- Rao (από τα ονόματα των δύο επιστημόνων οι οποίοι και το ανακάλυψαν το 946 και το 948, αντίστοιχα). Συγκεκριμένα, μπορεί να αποδειχθεί ότι αν Χ, Χ,, Χ είναι ανεξάρτητες παρατηρήσεις πάνω σε μια μεταβλητή Χ με συνάρτηση πιθανότητας (ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στην συνεχή περίπτωση) P (;θ) και 55

11 θˆ θ( ˆ θ, τότε,,..., ) είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου V( θ) ˆ E l P θ,,..., (,,... ; θ) E l P ( ; θ) E l P (; θ) θ θ Το όριο αυτό ονομάζεται πολλές φορές όριο ελάχιστης διακύμανσης (mmum varace boud) της εκτιμήτριας του θ ή κάτω φράγμα των Cramér-Rao. Η ποσότητα E l P,,..., (,,... ; θ) θ ονομάστηκε από τον Fsher ποσότητα πληροφορίας (amout of formato) σχετικά με την παράμετρο θ, η οποία περιέχεται στις παρατηρήσεις Χ, Χ,, Χ και συχνά συμβολίζεται με Ι θ. Για την ποσότητα αυτή, στην βιβλιογραφία, έχει επικρατήσει ο όρος πληροφορία του Fsher (Fsher s formato). Είναι προφανές ότι η ποσότητα πληροφορίας που περιέχεται σε μια μοναδική παρατήρηση Χ, είναι θ E l P (; θ) θ Επομένως, η ανισότητα των Cramér-Rao γράφεται V(θ) ˆ I ( θ θ ) Ορισμός: Μια εκτιμήτρια της οποίας η διασπορά επιτυγχάνει αυτό το κατώτερο όριο για όλα τα θ ονομάζεται αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιστης διασποράς (mmum varace ubased estmator). Οι περιπτώσεις ύπαρξης τέτοιων εκτιμητριών είναι ελάχιστες και αφορούν κατανομές για τις οποίες η lp (; θ) έχει την μορφή ~ θ ~ 56

12 α(θ)[θ() ˆ θ], όπου τότε α(θ)ι θ, όπως στην περίπτωση ~ ανεξάρτητων δοκιμών Beroull, όπου και, επομένως, ~ P (;θ) θ ( θ) θ ( θ) ~ ~ θ (θ() θ) θ( θ) lp (;θ) ˆ θ ~ ~ θ ~ με θ( ˆ ) (το ποσοστό επιτυχιών στις δοκιμές). Η παραπάνω συνθήκη έχει παρ όλα αυτά πολλές πρακτικές εφαρμογές, γιατί, στην περίπτωση μεγάλων δειγμάτων, ικανοποιείται κατά προσέγγιση και, επομένως, μπορούμε να έχουμε εκτιμήτριες που είναι περίπου ή σχεδόν αμερόληπτες με διασπορές σχεδόν ίσες με το φράγμα των Cramér-Rao. Η σύγκριση της διασποράς μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας θˆ με την ποσότητα I θ, δηλαδή με μια ποσότητα που δεν μπορεί να βελτιωθεί περισσότερο, οδηγεί στην έννοια της αποτελεσματικότητας της εκτιμήτριας θˆ. Ορισμός: Ορίζουμε ως αποτελεσματικότητα (effcecy) μιας αμερόληπτης εκτιμήτριας θˆ μιας πραγματικής παραμέτρου θ και συμβολίζουμε με eff(θˆ ) τον λόγο Iθ eff(θ) ˆ V(θ) ˆ Εάν η τιμή της eff(θˆ ) είναι πολύ κοντά στην μονάδα, αυτό συνηγορεί υπέρ της επιλογής της θˆ ως εκτιμήτριας. Σημείωση: Ο υπολογισμός της ποσότητας Ι θ γίνεται ευκολότερος αν χρησιμοποιηθεί η σχέση E θ l P ~ (;θ) ~ E θ l P ~ (;θ), όπου (,,..., ) ~ ~ 57

13 Επάρκεια (suffcecy) Το γενικό πρόβλημα της στατιστικής ανάλυσης είναι, ως γνωστόν η περιγραφή ενός πληθυσμού που εκφράζεται με μια τυχαία μεταβλητή Χ και ο προσδιορισμός της οικογένειας όλων των πιθανών κατανομών της τυχαίας μεταβλητής Χ. Εκείνο που ενδιαφέρει είναι η επιλογή της πιο κατάλληλης κατανομής από την οικογένεια αυτή των κατανομών για να περιγράψει καλύτερα τον υπό μελέτη πληθυσμό. Η επιλογή αυτή είναι ισοδύναμη με την επιλογή (εκτίμηση) μιας, ή περισσοτέρων, παραμέτρων του υπό μελέτη πληθυσμού. Πολλές φορές συμβαίνει να παρατηρείται το φαινόμενο ότι ένα μέρος από τα δεδομένα που περιλαμβάνονται σε ένα τυχαίο δείγμα δεν προσφέρει (δεν περιέχει) καμιά πληροφορία για την άγνωστη κατανομή (για την άγνωστη παράμετρο που θέλουμε να εκτιμήσουμε). Είναι δε δυνατόν όλες οι πληροφορίες για την υπό μελέτη κατανομή (παράμετρο) να περιέχονται σε μια συνάρτηση Τ παρατηρήσεων του δείγματος. Στην περίπτωση αυτή το δέιγμα μπορεί να αντικατασταθεί από την συνάρτηση Τ χωρίς απώλεια οποιασδήποτε πληροφορίας. Ορισμός: Μια στατιστική συνάρτηση Τ ονομάζεται επαρκής (suffcet) για την παράμετρο θ ενός πληθυσμού (ή, ισοδύναμα, για τον πληθυσμό που εκφράζει η τυχαία μεταβλητή Χ, ή ισοδύναμα, για την οικογένεια όλων των δυνατών κατανομών της Χ όσον αφορά το θ) αν η στατιστική αυτή συνάρτηση Τ περιέχει όλες τις πληροφορίες στο δείγμα γύρω από την παράμετρο θ (ή, ισοδύναμα, αν η δεσμευμένη κατανομή του Χ δοθέντος (Τt) είναι ανεξάρτητη από το θ για όλα τα t). Για να αντιληφθούμε καλύτερα την έννοια της επάρκειας, ας υποθέσουμε ότι ένας ερευνητής αναφέρει την τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ, αλλά όταν του ζητηθούν τα πλήρη δεδομένα του δείγματος παραδέχεται ότι δεν τα έχει κρατήσει. Σε μια προσπάθεια ανάκτησης των απωλεσθέντων δεδομένων, ο ερευνητής είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσει ένα τυχαίο μηχανισμό (όπως, για παράδειγμα, ένα πίνακα τυχαίων αριθμών) για να 58

14 κατασκευάσει μία τυχαία ποσότητα Χ σύμφωνα με την δεσμευμένη κατανομή του Χ δοθέντος (Τt). (Αυτό βέβαια δεν είναι δυνατόν εάν η δεσμευμένη αυτή κατανομή εξαρτάται από την άγνωστη παράμετρο θ). Λόγω της ιδιότητας της Τ, η κατανομή της Χ είναι η ίδια με την κατανομή της Χ ανεξάρτητα από την τιμή της παραμέτρου θ. Επομένως, από την γνώση της στατιστικής συνάρτησης Τ και μόνο είναι δυνατόν να κατασκευασθεί μια ποσότητα Χ, η οποία ισοδυναμεί με την αρχική Χ. Οι ποσότητες Χ και Χ, δοθέντος ότι έχουν την ίδια κατανομή για όλα τα θ, δίνουν ακριβώς τις ίδιες πληροφορίες για την παράμετρο θ. Με τον τρόπο αυτό είναι προφανές ότι μια επαρκής στατιστική συνάρτηση (μια επαρκής εκτιμήτρια) επιτυγχάνει μια απλοποίηση (ένα περιορισμό ή μία συρρίκνωση) των δεδομένων του δείγματος χωρίς την απώλεια οποιασδήποτε πληροφορίας που το δείγμα παρέχει. Η ιδιότητα αυτή βέβαια ισχύει εφόσον περιοριζόμαστε στην ίδια οικογένεια κατανομών, τα μέλη της οποίας διαφοροποιούνται μόνο από την τιμή της υπό εκτίμηση παραμέτρου. Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε τον αριθμό των ατυχημάτων σε ένα συγκεκριμένο σημείο της εθνικής οδού. Είναι γνωστό ότι, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, είναι δυνατόν να υποθέσουμε ότι ο αριθμός των ατυχημάτων στην μονάδα του χρόνου ακολουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο λ. (Το λ εκφράζει τον μέσο αριθμό των ατυχημάτων στην μονάδα του χρόνου). Αν θεωρήσουμε ως μονάδα χρόνου την μία ημέρα ας υποθέσουμε ότι σε δύο ημέρες που έχουν επιλεγεί τυχαία παρατηρήθηκαν Χ και Χ ατυχήματα αντίστοιχα στο συγκεκριμένο αυτό σημείο της εθνικής οδού. Σε κάποιο ερευνητή που ενδιαφέρεται να μελετήσει τα ατυχήματα στο σημείο αυτό της εθνικής οδού δίνεται από την αστυνομία η πληροφορία ότι ο συνολικός αριθμός των ατυχημάτων τις δύο αυτές ημέρες ήταν 0, ( + 0). Είναι δυνατόν, με βάση την πληροφορία αυτή, να εκτιμήσουμε την τιμή της παραμέτρου λ; (με άλλα λόγια να καθορίσουμε την 59

15 κατανομή του αριθμού των ατυχημάτων στο συγκεκριμένο σημείο της εθνικής οδού;) Λύση: Είναι προφανές ότι η στατιστική συνάρτηση του δείγματος T + αποτελεί ένα περιορισμό του αρχικού δείγματος που είναι το ζευγάρι (Χ, Χ ). Η Τ αποτελεί πράγματι μια στατιστική συνάρτηση που προέρχεται από το τυχαίο δείγμα Χ, Χ και αποτελεί επίσης ένα περιορισμό του τυχαίου αυτού δείγματος (αφού γνώση των Χ, Χ συνεπάγεται την Τ, ενώ αντίστροφα γνώση της Τ δεν συνεπάγεται γνώση των Χ, Χ ). Θα αποδείξουμε ότι η Τ Χ + Χ αποτελεί μια επαρκή στατιστική συνάρτηση για την παράμετρο λ (ή ισοδύναμα για την κατανομή του αριθμού των ατυχημάτων στο συγκεκριμένο σημείο). Η δεσμευμένη κατανομή των Χ και Χ δοθέντος ότι Τ0 δίδεται από την σχέση: Ρ(Χ,Χ T Χ + Χ Ρ(Χ 0),Χ,T 0) Ρ(T 0) Δοθέντος ότι, όπως έχουμε υποθέσει, ο αριθμός των ατυχημάτων στο σημείο που μας ενδιαφέρει ακολουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο λ και δεδομένου ότι Χ και Χ είναι ανεξάρτητες μεταβλητές (αφού το δείγμα είναι τυχαίο), έχουμε ότι και οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Χ ακολουθούν κατανομές Posso με την ίδια παράμετρο του λ (αφού από τον ορισμό της κατανομής Posso το λ εκφράζει τον μέσο αριθμό των ατυχημάτων ανά ημέρα). Είναι προφανές ότι P (,, T0) P (, ) και λόγω της ανεξαρτησίας των Χ και Χ η παράσταση αυτή ισούται με: Ρ(Χ )Ρ(Χ ) e λ λ! e λ λ! 60

16 e (λ+ λ) λ λ!! e λ λ ( +! )! Εξάλλου: 0 λ (λ) Ρ(T 0) Ρ(Χ + Χ 0) e 0! Έτσι, τελικά, η δεσμευμένη κατανομή Χ και Χ δοθέντος Τ είναι: 0 λ λ e!! Ρ(Χ, Χ T 0) 0 λ (λ) e 0!!(0 0!!! ( 0! 0 ( ) )! ( ) ) Είναι προφανές ότι η δεσμευμένη αυτή κατανομή είναι μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους 0 και p /, ανεξάρτητη από το λ. Επομένως, πράγματι η στατιστική συνάρτηση Τ Χ +Χ είναι μία επαρκής συνάρτηση για την παράμετρο λ του πληθυσμού. Η διωνυμική μορφή κατανομής στην οποία καταλήξαμε για την δεσμευμένη κατανομή των Χ και Χ δοθέντος του Τ επιβεβαιώνει την προηγούμενη παρατήρησή μας ότι, αν και η επαρκής στατιστική συνάρτηση είναι μια μείωση των παρατηρήσεων του δείγματος, παρ όλα αυτά και επειδή ακριβώς είναι επαρκής, μας δίνει την δυνατότητα να ανακτήσουμε τις χαμένες πληροφορίες από το δείγμα. Πράγματι, στο συγκεκριμένο πρόβλημα δοθέντος ότι Χ +Χ 0 (ότι δηλαδή το άθροισμα του αριθμού των ατυχημάτων για τις δύο μέρες είναι 0), μπορούμε να παράγουμε το ζεύγος (Χ, Χ ), δηλαδή να ανακτήσουμε τις πληροφορίες και το δείγμα, προσομοιώνοντας μια διωνυμική κατανομή. (Η προσομοίωση αυτή μπορεί να γίνει π.χ. με το στρίψιμο ενός αμερόληπτου νομίσματος δέκα φορές, οπότε Χ θα είναι ο αριθμός των φορών που το αποτέλεσμα ήταν γράμματα και 0 6

17 Χ 0-Χ θα είναι ο αριθμός των φορών που το αποτέλεσμα ήταν κορώνα). Σημείωση: Για την κατανομή Posso μπορεί να αποδειχθεί γενικότερα ότι, δοθέντος ενός τυχαίου δείγματος (Χ, Χ,..., Χ ) από μια κατανομή Posso, η στατιστική συνάρτηση Τ(Χ, Χ,..., Χ ) Χ +Χ +...+Χ είναι επαρκής για την παράμετρο λ της κατανομής Posso ή, ισοδύναμα, για την οικογένεια των κατανομών Posso με παράμετρο λ. Εύκολα αποδεικνύεται ότι στην γενική αυτή περίπτωση η δεσμευμένη κατανομή των Χ, Χ,..., Χ δοθέντος ΤΧ +Χ +...+Χ είναι η πολυωνυμική κατανομή με παραμέτρους p p...p /. Προφανώς, η κοινή αυτή τιμή των παραμέτρων είναι ανεξάρτητη του λ. Σημείωση: Το γεγονός ότι το άθροισμα των παρατηρήσεων του δείγματος είναι μια επαρκής συνάρτηση για την παράμετρο λ της Posso εξηγείται εύκολα από το γεγονός ότι ως εκτιμήτρια του λ μπορεί να θεωρηθεί ο δειγματικός μέσος Χ Χ... Χ λˆ Από αυτό φαίνεται ότι η γνώση του αθροίσματος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι επαρκής για την εκτίμηση της παραμέτρου λ χωρίς να απαιτείται γνώση των μεμονωμένων παρατηρήσεων του δείγματος. Το θεώρημα των Rao-Blackwell: Η έννοια της επάρκειας συνδέεται με το πρόβλημα της ύπαρξης αμερόληπτων εκτιμητριών ελάχιστης διασποράς. Συγκεκριμένα, αν έχουμε μια αμερόληπτη εκτιμήτρια ~ θ μιας παραμέτρου θ και μια επαρκή στατιστική συνάρτηση Τ για την παράμετρο θ, τότε η αναζήτηση μιας καλύτερης (με την έννοια της μικρότερης διασποράς) αμερόληπτης εκτιμήτριας θˆ μπορεί να περιορισθεί μεταξύ συναρτήσεων της Τ που έχουν την μορφή θˆ θˆ (Τ)Ε( ~ θ Τ). Το αποτέλεσμα αυτό αποδείχθηκε από τον Rao το 945 και τον Blackwell το 947 και είναι γνωστό ως θεώρημα Rao- Blackwell. 6

18 Θεώρημα: (Rao-Blackwell): Έστω ότι ~ θ είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια μιας πραγματικής παραμέτρου θ. Τότε, αν Τ είναι μια επαρκής στατιστική συνάρτηση για την παράμετρο θ, η εκτιμήτρια θ ˆ ~ θ(t) ˆ E(θ T) είναι επίσης μια αμερόληπτη εκτιμήτρια της παραμέτρου θ με διασπορά που δεν υπερβαίνει την διασπορά της ~ θ, δηλαδή V(θˆ ) V( ~ θ ). Αν η θ ˆ θ ˆ (T) είναι η μοναδική συνάρτηση της Τ που είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ, τότε η θˆ (Τ) είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιστης διασποράς (mmum varace ubased estmator) της παραμέτρου θ. Αυτό μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ως εξής: Αν υπάρχει μια άλλη αμερόληπτη εκτιμήτρια του θ, έστω θˆ, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα Rao-Blackwell, η θˆ Ε( θˆ Τ) είναι επίσης αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ με διασπορά V( θˆ ) μικρότερη ή ίση της διασποράς V( θˆ ) της θˆ. Είναι προφανές ότι η θˆ Ε( θˆ Τ) είναι συνάρτηση της Τ. Τότε όμως, αφού η θˆ θˆ (Τ) είναι η μοναδική συνάρτηση της Τ που είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ, ισχύει αναγκαστικά ότι θˆ Ε( θˆ Τ) θˆ. Επομένως, V(θˆ )V( θˆ ) V( θˆ ). Άρα, η θˆ έχει διασπορά μικρότερη από την διασπορά οποιασδήποτε άλλης αμερόληπτης εκτιμήτριας. Είναι, επομένως, αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιστης διασποράς. Το ερώτημα που προκύπτει είναι πώς μπορούμε να διαπιστώσουμε αν για μια επαρκή στατιστική συνάρτηση Τ υπάρχει μία και μόνο μία συνάρτησή της, θˆ (Τ) που είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της θ. Μερικές φορές αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε χρησιμοποιώντας την έννοια της πληρότητας της κατανομής της Τ (ή της οικογένειας κατανομών στην οποία ανήκει η κατανομή της Τ). Η πλευρά αυτή του θέματος δεν αναπτύσσεται εδώ γιατί είναι πέρα από τους σκοπούς αυτού του βιβλίου. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει περισσότερες πληροφορίες σε εγχειρίδια 63

19 Θεωρητικής Στατιστικής (βλέπε, π.χ. Ε. Ξεκαλάκη (993): Εισαγωγή στην Θεωρητική Στατιστική). ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΗΜΕΙΑΚΗΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ Στην προηγούμενη ενότητα εξετάσαμε επιθυμητές ιδιότητες σημειακών εκτιμητριών. Δεν μιλήσαμε όμως για τρόπους εύρεσης σημειακών εκτιμητριών. Υπάρχει μια σειρά μεθόδων που χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό σημειακών εκτιμητριών. Οι κυριότερες από τις μεθόδους αυτές είναι: α) Μέθοδος των ροπών (method of momets) β) Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares) γ) Μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας (method of mamum lkelhood) δ) Mma μέθοδος. Καθεμιά από τις παραπάνω μεθόδους οδηγεί σε εκτιμήτριες που έχουν κάποιες επιθυμητές ιδιότητες. Σε πολλές περιπτώσεις, οι εκτιμήτριες που προκύπτουν από την εφαρμογή της μιάς μεθόδου συμπίπτουν με τις εκτιμήτριες που προκύπτουν από την εφαρμογή μιας άλλης μεθόδου. Στη συνέχεια, θα αναφερθούμε περιληπτικά στην μέθοδο των ροπών και την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και θα μελετήσουμε αναλυτικά την μέθοδο μεγίστης πιθανοφάνειας. Δεν θα αναφερθούμε στην μέθοδο mma γιατί αυτή αναφέρεται σε μια άλλη προσέγγιση της Στατιστικής (Στατιστική Θεωρία κατά Bayes), η οποία θα μελετηθεί χωριστά. Μέθοδος των Ροπών Όπως είδαμε στο πρώτο μέρος, και γνωρίζουμε από τις πιθανότητες (βλέπε, για παράδειγμα, Ε. Ξεκαλάκη και Ι. Πανάρετος Πιθανότητες και Στοιχεία Στοχαστικών Ανελίξεων, Κεφάλαιο 5), ως ροπή r τάξης μιας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται η συνάρτηση μ r Ε(Χ r ) με την προϋπόθεση βέβαια ότι η μέση αυτή τιμή υπάρχει. 64

20 Είναι προφανές ότι, για ένα τυχαίο δείγμα Χ, Χ,..., Χ από ένα πληθυσμό Χ, μπορούμε να ορίσουμε αντίστοιχα την ροπή r τάξης του δείγματος ως m r Η μέθοδος των ροπών, η οποία είναι και η παλαιότερη από τις γνωστές μεθόδους, συνίσταται στην εξίσωση μερικών από τις πρώτες ροπές του πληθυσμού με τις τιμές των αντιστοίχων ροπών ενός τυχαίου δείγματος. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, θεωρούμε τόσες ροπές (τόσες εξισώσεις) όσος είναι και ο αριθμός των παραμέτρων που θέλουμε να εκτιμήσουμε. Με την εξίσωση των ροπών του πληθυσμού με τις αντίστοιχες ροπές του δείγματος θα έχουμε ένα σύστημα k εξισώσεων με k αγνώστους (όπου k είναι ο αριθμός των παραμέτρων που θέλουμε να εκτιμήσουμε). Θα έχουμε δηλαδή, μ r m r, r,,..., k Η λύση του συστήματος αυτού των εξισώσεων ως προς τις άγνωστες παραμέτρους θα δώσει τις εκτιμήτριες της μεθόδου των ροπών. Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους μ και σ της κανονικής κατανομής με τη μέθοδο των ροπών. Έχουμε ότι μ Ε(Χ) μ και μ Ε(Χ ) Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ, Χ,..., Χ. Οι αντίστοιχες δειγματικές ροπές θα είναι Σ Χ Σ Χ m Χ και m Επομένως, θεωρούμε την εξίσωση μ Χ και, επειδή σ Ε(Χ )-[Ε(Χ)] μ -μ, την εξίσωση Σ Χ μ + σ r Χ 65

21 Λύνοντας το σύστημα των δύο αυτών εξισώσεων ως προς μ και σ έχουμε μ ˆ Χ και σˆ Χ μˆ Χ Χ ( Χ Χ ) ( Χ + Χ Χ ) (Χ Χ) Δηλαδή τελικά, μ ˆ Χ, σˆ (Χ Χ) Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (Least Squares Method) Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων βασίζεται, όπως προκύπτει και από το όνομά της, στον καθορισμό εκτιμητριών με ελαχιστοποίηση κάποιου αθροίσματος τετραγώνων. Για παράδειγμα, όταν μας ενδιαφέρει η εκτίμηση της μέσης τιμής μ ενός πληθυσμού με βάση ένα τυχαίο δείγμα Χ, Χ,..., Χ, επιλέγουμε ως σημειακή εκτιμήτρια την τιμή μˆ h(,,... ) του μ που για το δοθέν δείγμα ελαχιστοποιεί την παράσταση 66

22 Q (Χ μ) Στην συγκεκριμένη περίπτωση, είναι προφανές ότι η εκτιμήτρια ελαχίστων τετραγώνων του μ είναι μ ˆ Χ Γενικότερα, η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιείται, κυρίως, όταν θέλουμε να εκτιμήσουμε μία παράμετρο θ (ή ένα διάνυσμα παραμέτρων) με βάση ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα τυχαίο δείγμα Χ, Χ,..., Χ, οι οποίες συνδέονται με την υπό εκτίμηση παράμετρο θ μέσω των μέσων τιμών Ε(Χ ) f(θ) Στις περιπτώσεις αυτές επιλέγουμε ως εκτιμήτρια θˆ της παραμέτρου θ εκείνη που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων μεταξύ των τιμών Χ και των αντιστοίχων εκτιμωμένων τιμών. Δηλαδή, αυτή που ελαχιστοποιεί την παράσταση: S [Χ Ε(Χ )] [Χ f(θ)] Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιείται κυρίως, για την εκτίμηση των παραμέτρων της ανάλυσης παλινδρόμησης. Μέθοδος Μέγιστης Πιθανοφάνειας Έστω ότι το μοντέλο πιθανότητας (probablty model) για κάποιο τυχαίο πείραμα αναφέρεται σε κάποια (περιέχει κάποια) παράμετρο θ. Στην συνέχεια, το πείραμα εκτελείται και παρατηρείται ότι έχει συμβεί κάποιο ενδεχόμενο (evet) Ε. (Αυτό σημαίνει ότι έχουν συγκεντρωθεί κάποια δεδομένα). Αυτό που ενδιαφέρει είναι, με την χρήση των δεδομένων αυτών, να εκτιμηθεί η τιμή της παραμέτρου θ. Με χρησιμοποίηση του συγκεκριμένου πιθανοθεωρητικού μοντέλου (που έχουμε υποθέσει ότι ισχύει) και με τους νόμους των 67

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Y Y ... y nx1. nx1

Y Y ... y nx1. nx1 6 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΙΚΑΚΩΝ Η χρησιμοποίηση και ο συμβολισμός πινάκων απλοποιεί σημαντικά τα αποτελέσματα της γραμμικής παλινδρόμησης, ιδίως στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Γενικά,

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling)

2. ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Random Sampling) . ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Simple Radom Samplig) Η στοιχειωδέστερη μορφή δειγματοληψίας κατά πιθανότητα είναι η απλή τυχαία δειγματοληψία. Το σχήμα αυτό χρησιμοποιείται ευρύτατα, κυρίως λόγω της απλότητάς

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 2016 ΘΕΜΑΤΑ - ΛΥΣΕΙΣ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΛΥΣΕΩΝ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR Έκδοση 2η IE Τις λύσεις των θεμάτων επιμελήθηκαν τα μέλη της ask4math 1. Ανδριοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

x π 1 i n Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η

x π 1 i n Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η Η Στατιστική συμπερασματολογία (statstcal ferece είναι η επιστήμη που σκοπό έχει την εξαγωγή συμπερασμάτων για τις παραμέτρους ενός πληθυσμού, δηλαδή την εκτίμηση των παραμέτρων του, μελετώντας δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION)

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) 4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης (stepwise regression) είναι μιά άλλη μέθοδος επιλογής ενός "καλού" υποσυνόλου ανεξαρτήτων μεταβλητών.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Έχουμε κατασκευάσει 4 δοκίμια. Να βρεθεί προσεγγιστικά ο αριθμός των δοκιμίων που περιέχονται μεταξύ των σημείων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος =================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα