ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ Σε πολλά προβλήματα, ενδιαφερόμαστε για περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται (για παράδειγμα εισόδημα με κατανάλωση, τιμή, ποιότητα και αντοχή ενός υλικού κ.λ.π.). Προβλήματα της μορφής αυτής οδηγούν στην μελέτη της σχέσης ανάμεσα σε διαφορετικές τυχαίες μεταβλητές, και τον ορισμό της από κοινού συνάρτησης κατανομής. (Για ευκολία θα δίνουμε τους ορισμούς και τις έννοιες στις δύο διαστάσεις και θα εξηγούμε πως οι έννοιες αυτές γενικεύονται στις n διαστάσεις). Ορισμός: Έστω Χ και Y δύο τυχαίες μεταβλητές. Ως από κοινού συνάρτηση πιθανότητας (joint probability distribution) (ή αντίστοιχα από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας) (joint probability density function) των Χ και Y ορίζουμε την συνάρτηση P:RxR R έτσι ώστε p xy P(x,y) P(X=x, Y=y) αν X,Y είναι διακριτές ή αντίστοιχα τη συνάρτηση f:rxr R έτσι ώστε f(x,y)dxdy = P(x<X<x+dx, y<y<y+dy) αν X,Y είναι συνεχείς. Οι παραπάνω συναρτήσεις ικανοποιούν τις σχέσεις: 1) P xy 0, f(x,y) 0, τελικά για όλα τα (x,y). 2) P(x,y) = 1 αν X,Y διακριτές + x + y f(x,y)dxdy = 1 αν X,Y είναι συνεχείς. Ορισμός: Ως από κοινού συνάρτηση κατανομής (joint probability function) των τυχαίων μεταβλητών Χ και Y ορίζουμε την συνάρτηση 86

2 F : RxR R :F(x,y) = P(X x, Y y), - < x,y < Παρατήρηση: Οι προηγούμενοι ορισμοί επεκτείνονται και στην περίπτωση n μεταβλητών X 1, X 2,..., X n δηλαδή στην περίπτωση του n-διάστατου τυχαίου διανύσματος ~ X (X 1, X 2,, X n ). Η κατανομή του X προκύπτει από την από κοινού κατανομή των Χ και Y ως εξής: F Χ (a) = P(X a) = P(X a, Y< ) = P( lim b ({X a, Y b}) = lim b P(X a, Y b) = lim b F(a,b) = F(a, ) Ομοίως F Υ (b) = P(Y b) = lim a F(a,b) = F(,b) Ορισμός: Οι συναρτήσεις κατανομής F Χ (x), F Υ (y) λέγονται περιθώριες συναρτήσεις κατανομής (marginal distribution functions) των Χ και Y, αντίστοιχα. Αν Χ και Y είναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές οι περιθώριες κατανομές πιθανότητας των Χ και Y υπολογίζονται ως εξής: P X (x) = P(X=x) = P(x,y) y P Y (y) = P(Y=y) = P(x,y) x Αν Χ και Y είναι συνεχείς οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας δίνονται από τους εξής τύπους: + f X (x) = f(x,y)dy και + f Y (y) = f(x,y)dx 87

3 Παράδειγμα: Στρίβουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα τρεις φορές. Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές Χ και Y ως εξής: 0 X = 1 αν αν έχουμε έχουμε Κ στην πρώτη δοκιμή Γ στην πρώτη δοκιμή x=0,1, y=0,1,2,3. Υ = ο αριθμός των Κ στις τρεις δοκιμές Για τις κατανομές πιθανότητας των Χ και Y έχουμε αντίστοιχα: x 0 1 P X (x) 1/2 1/2 y P Y (y) 1/8 3/8 3/8 1/8 Επίσης, {X=0} = {KKK, KKΓ, KΓK, KΓΓ} {X=1} = {ΓKK, ΓKΓ, ΓΓK, ΓKK} Η από κοινού συνάρτηση πιθανότηταs P(x,y) μπορεί να δοθεί με την μορφή του παρακάτω πίνακα. Y P X (x) x 0 0 1/8 2/8 1/8 1/2 1 1/8 2/8 1/8 0 1/2 P Y (y) 1/8 3/8 3/8 1/8 1 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισμός: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Y θα λέγονται ανεξάρτητες (independent) αν για κάθε ζεύγος συνόλων Α και Β πραγματικών αριθμών (ακριβέστερα συνόλων Borel Α και Β της πραγματικής ευθείας) P{X A, Y B} = P{X A} P(Y B} 88

4 Με άλλα λόγια, οι Χ και Y είναι ανεξάρτητες αν για όλα τα Α και Β τα ενδεχόμενα Ε Α = {X A} και E Β = {Y B} είναι ανεξάρτητα. (Βλέπε και ορισμό της ανεξαρτησίας ενδεχομένων στο κεφάλαιο 1). Είναι εύκολο να αποδειχθεί, χρησιμοποιώντας τα τρία αξιώματα των πιθανοτήτων, ότι ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με τη σχέση F(x,y) = F Χ (x)f Υ (y) για κάθε (x,y) Στην περίπτωση της συνεχούς διμεταβλητής κατανομής η σχέση ανεξαρτησίας είναι ισοδύναμη με τη σχέση: f(x,y) = f Χ (x)f Υ (y) για κάθε (x,y) Αν οι Χ και Y δεν είναι ανεξάρτητες, λέγονται εξαρτημένες (dependent). Παράδειγμα: Στο παράδειγμα του στριψίματος αμερόληπτου νομίσματος τρεις φορές, οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι εξαρτημένες. Αυτό γιατί P(1,1) = Παράδειγμα: Έστω ότι Είναι P(x, y) PX (1)PY (1) = = xy =, x=1, 2, 3 y=1, x 2 PX (x) = y = 30 P y= y (y) = 30 Y = x= 1 x y, x=1, 2, 3 2 y, y=1, 2 5 Επομένως, Ρ(x, y)=p X (x)p Y (y) για κάθε (x, y) δηλαδή οι Χ, Υ είναι ανεξάρτητες 89

5 Παράδειγμα: Έστω ότι 2(x + 4y)/5 f(x, y) = 0 Έχουμε 2 1 f X (x) = (x + 4y)dy = 5 0 f Y (y)=(1+8y)/5, Επομένως, 90 αν 0 x, y 1 διαφορετικά 2(x + 2), 0 x y 1 υπάρχει (x, y) [0,1]x[0,1] τέτοιο ώστε: f(x,y) f X (x)f Y (y) και συνεπώς οι Χ και Υ εξαρτημένες. ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο κεφάλαιο 3 ορίσαμε σαν δεσμευμένη πιθανότητα δύο ενδεχομένων Α και Β με P(B)>0 την πιθανότητα P(A B) P(A B) = P(B) Γενικεύοντας την έννοια αυτή σε τυχαίες μεταβλητές μπορούμε να ορίσουμε την δεσμευμένη κατανομή πιθανότητας και την δεσμευμένη πυκνότητα πιθανότητα ως εξής: Ορισμός: Αν Χ και Y είναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές ορίζουμε ως δεσμευμένη (conditional) συνάρτηση πιθανότητας του Χ δοθέντος ότι Y=y τη συνάρτηση P(X = x, Y = y) P(x, y) PX Y (x y) = P(X = x Y = y) = = P(Y = y) PY (y) για κάθε y: P (y)>0. Ομοίως η δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής του Χ δοθέντος ότι Y=y ορίζεται για κάθε y:p Υ (y)>0 ως εξής: F Χ Y (x y) = P(X x Y=y) = PX a x Παράδειγμα: Στο παράδειγμα της σελίδας 88 Y(x y)

6 P(Y= 2,X = 1) 1/8 P(Y = 2 X = 1) = = = P(X= 1) 1/2 Ορισμός: Αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x,y), τότε η δεσμευμένη πυκνότητα πιθανότητας του Χ δοθέντος ότι Y=y, ορισμένη για όλα τα y για τα οποία f Υ (y)>0, δίνεται από τη σχέση 1 4 f X Y (x y) = f(x, y) f (y) Y = lim Δx 0 Δy 0 P{x X x + Δx, y Y y + Δy} ΔxP{y Y y + Δy} Παρατήρηση: H f X Y (x y) όπως ορίσθηκε παραπάνω, είναι η πιθανότητα να βρισκόμαστε στο ορθογώνιο I δοθέντος ότι είμαστε στην λωρίδα από y έως y + Δy. Y y+δy y I x x+δx Χ Η f X Y (x y) είναι πράγματι μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας διότι + + f(x, y)dx f Y (y) f X Y (x y)dx = = = 1 f (y) f (y) Σημείωση: Η χρήση της δεσμευμένης πιθανότητας μας επιτρέπει να ορίσουμε πιθανότητες ενδεχομένων που αναφέρονται σε μία τυχαία μεταβλητή όταν ξέρουμε την τιμή μίας άλλης μεταβλητής. Δηλαδή αν (Χ,Υ) είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή, τότε για κάθε σύνολο Α Y Y 91

7 P(X A Y = y) = f X Y (x y)dx A Ειδικότερα, αν Α = (-, α] μπορούμε να ορίσουμε την δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής του Χ δοθέντος ότι Y = y ως F a X Y (a y) = P(X a Y = y) = f X Y (x 92 y)dx Σημείωση: Είναι ενδιαφέρον να παρατηρηθεί ότι, με τις έννοιες που αναπτύχθηκαν, κατορθώσαμε να καταλήξουμε σε εκφράσεις για δεσμευμένες πιθανότητες της μορφής P(X A Y = y), παρά το γεγονός ότι το ενδεχόμενο πάνω στο οποίο γίνεται η δέσμευση (δηλαδή το ενδεχόμενο {Υ = y}), έχει πιθανότητα 0. Παράδειγμα: Έστω ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των Χ και Υ δίνεται από τον τύπο: x y y e e 0 < x <, 0 < y < y f(x, y) = 0 διαφορετικά Να βρεθεί η P( X > 1 Y=y). Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την δεσμευμένη πυκνότητα x y y f(x, y) e e /y 1 x y f X Y (x y) = = = e f y x y y (y) e (1 y) e dx y 0 Επομένως, 1 x y x y 1/y P(X > 1/Y = y) = e dx = e 1 = e 1 y Παρατήρηση: Από τα προηγούμενα γίνεται φανερό ότι γενικά για δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ η δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής της Χ δοθέντος ότι Υ Β, όπου P(Υ Β) > 0, ορίζεται ως F X Y (x P(X x,y B) Y B) = P(Y B) Μέση Τιμή και Διασπορά Αθροισμάτων

8 Τυχαίων Μεταβλητών Πρόταση: Έστω Χ 1, X 2,..., X n τυχαίες μεταβλητές με Ε(X i )<, i=1,2,...,n. Τότε Ε(X 1 +X X n ) = E(X 1 )+E(X 2 )+...+E(X n ) Πρόταση: Έστω X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με E(X i )<, i=1,2,...,n. Τότε i) E(X 1 X 2... X n ) = E(X 1 )E(X 2 )...E(X n ) ii) Δ(X 1 +X X n ) = Δ(X 1 )+Δ(X 2 )+...+Δ(X n ) Σημείωση: Για την δεύτερη πρόταση απαιτείται ανεξαρτησία των τυχαίων μεταβλητών, κάτι που δεν είναι απαραίτητο στην πρώτη. Παράδειγμα: Σε μια δεξίωση έχουν συγκεντρωθεί Ν ζευγάρια. Οι γυναίκες χωρίζονται από τους άνδρες και κάθε άνδρας διαλέγει στην τύχη μια γυναίκα για να χορέψει. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός των ανδρών που χορεύουν με τις γυναίκες τους. Λύση: Έστω Χ ο αριθμός των ταιριασμάτων. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Χ i, i=1,2,...,n ως εξής: X i 1 = 0 αν ο i άνδρας χορεύει με διαφορετικά την γυναίκα του Τότε Χ=X 1 +X X n Αλλά, για κάθε i Ε(X i ) = P(X i =0) 0 + P(X i =1) 1 = 1/N και επομένως E(X) = E N N X i = i= 1 E(X i ) =(1/N)N = 1 i= 1 Δηλαδή, κατά μέσο όρο, μόνο ένας από τους άνδρες θα χορεύει με την γυναίκα του. 93

9 Σημείωση: Οι τυχαίες μεταβλητές X 1, X 2,..., X n είναι εξαρτημένες και επομένως η Δ(Χ) δεν μπορεί να υπολογισθεί με την μέθοδο της προηγούμενης πρότασης. Παράδειγμα: Έστω ότι σε ένα κουτί έχουμε 2Ν κάρτες από τις οποίες 2 είναι σημειωμένες με τον αριθμό 1, δύο με τον αριθμό 2, δύο με τον αριθμό 3 κ.ο.κ. και δύο με τον αριθμό Ν. Παίρνουμε στην τύχη κ κάρτες από το κουτί. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός ζευγαριών που έχουν μείνει στο κουτί. (Το πρόβλημα αυτό τέθηκε και λύθηκε τον 18ο αιώνα από τον Daniel Bernoulli ως ένα πιθανό στοχαστικό μοντέλο για τον καθορισμό του αριθμού των γάμων όπου ο άνδρας και η γυναίκα βρίσκονται στη ζωή, όταν έχουν σημειωθεί κ θάνατοι ανάμεσα σε Ν παντρεμένα ζευγάρια). Λύση: Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές Είναι X i 1 αν το i ζευγάρι παραμένει άθικτο, i = 1,2,...N = 0 διαφορετικά 2N 2 E(X i ) = P(X i =1) = κ 2N κ = (2N 2)! κ! (2N 2 κ)! (2N)! κ! (2N κ)! = (2N κ)(2n (2N)(2N κ 1) 1) Επομένως ο αναμενόμενος αριθμός ζευγαριών στις κάρτες που έχουν μείνει στο κουτί είναι: E(X 1 +X X n ) = E(X 1 )+E(X 2 )+...+E(X n ) 94

10 = (2N κ)(2n κ 2(2N 1) 1) Παράδειγμα: Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι 300 φορές. Να εκτιμηθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου να εμφανισθεί 1 ή 2 λιγότερες από 70 φορές. Λύση: Έστω Χ ο αριθμός των 1 και 2 στις 300 δοκιμές. Θέλουμε μια εκτίμηση για την πιθανότητα του ενδεχομένου {X<70}. Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές 1 αν στην i δοκιμή το αποτέλεσμα είναι 1ή 2, i = 1,2,...n X i = 0 διαφορετικά Για την κατανομή πιθανότητας του Χ i έχουμε Επομένως και x i 0 1 P(x i ) 2/3 1/3 Ε(Χ i ) = 1/3 και Δ(Χ i ) = 2/9 Ε(X) = E X i = i= 1 Ε(X i ) = 100 i= 1 Επίσης, επειδή οι τυχαίες μεταβλητές Χ i είναι ανεξάρτητες Προφανώς Δ(X) = Δ (X i ) = i= 1 Δ(X i ) = 600/9 i= 1 {X<70} {X>130} = { X-100 > 30} Συνεπώς, P{X<70} P( X-100 > 30) 95

11 Από το θεώρημα του Chebyshev όμως P( X-100 > 30) Δ( Χ) 30 2 Συνεπώς, P(X<70) Δ( Χ) 30 2 Δηλαδή, τελικά P(X<70) 600 / 9 2 = Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Chebyshev, η πιθανότητα να έχουμε λιγότερα από 70 1 ή 2 σε 300 ριξίματα ενός αμερόληπτου ζαριού είναι το πολύ 2/27. Θα δούμε αργότερα πως η πιθανότητα αυτή μπορεί να καθοριστεί ακριβώς ή με προσέγγιση. ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Από την μέχρι τώρα μελέτη των πολυμεταβλητών κατανομών, γίνεται φανερό ότι οι τυχαίες μεταβλητές που υπεισέρχονται σ αυτές είναι ή εξαρτημένες ή ανεξάρτητες. Στην ενότητα αυτή, σκοπός μας είναι να ορίσουμε και να μελετήσουμε κάποιο μέτρο που να εκφράζει το βαθμό κάποιας μορφής εξάρτησης δύο τυχαίων μεταβλητών. Θα ασχοληθούμε με ένα ειδικό τρόπο εξάρτησης, την γραμμική εξάρτηση. Ορισμός: Έστω Χ και Y δύο τυχαίες μεταβλητές με μέσες τιμές μ Χ και μ Υ αντίστοιχα. Ορίζουμε ως συνδιακύμανση ή συνδιασπορά (covariance) των Χ και Y, και συμβολίζουμε με Cov(X,Y) την ποσότητα Cov(X,Y) = E[(X-μ Χ )(Y-μ Υ )] Όπως φαίνεται και από την ονομασία της, η συνδιακύμανση είναι ένα μέτρο του τρόπου με τον οποίο οι δύο τυχαίες μεταβλητές μεταβάλλονται από κοινού. Παράδειγμα: (Συνέχεια του παραδείγματος του στριψίματος δύο νομισμάτων). Για το παράδειγμα αυτό βρίσκουμε εύκολα ότι 96

12 μ Χ = E(X) = ΣxP Χ (x) = 1/2 μ Υ = E(Y) = ΣyP Υ (y) = 3/2 Επομένως, η συνδιακύμανση των Χ και Y είναι Cov(X,Y) = E[(X-μ Χ )(Y-μ Υ )]= P(x,y)(x-1/2)(y-3/2) = -1/4 Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσει κανείς ότι το αποτέλεσμα αυτό αναμενόταν μια και, από τον ορισμό των Χ και Y μια μεγάλη τιμή της Χ συνεπάγεται μια μικρή τιμή για το Y και επομένως υπάρχει αρνητική εξάρτηση. x y Πρόταση: Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y). Σημείωση: Η παραπάνω ιδιότητα χρησιμοποιείται τις περισσότερες φορές αντί του ορισμού για τον υπολογισμό της συνδιακύμανσης. Πόρισμα: Αν Χ,Y είναι ανεξάρτητες, τότε Cov(X,Y)=0. Πρόταση: Cov(X+Y,Z) = Cov(X,Z)+Cov(Y,Z). Πρόταση: Για τις τυχαίες μεταβλητές Χ και Y, ισχύει ότι Δ(X ± Y) = Δ(X) + Δ(Y) ± 2Cov (X,Y) Η προηγούμενη προτάση επεκτείνεται στην περίπτωση n τυχαίων μεταβλητών, ως εξής: Πρόταση: Για τις τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2,, Χ n, ισχύει ότι n n Δ Xi = Δ(X i ) + 2 Cov(X i,x j) i= 1 i= 1 i< j Ως άμεση συνέπεια των δύο προηγούμενων προτάσεων, προκύπτει το εξής πόρισμα: Πόρισμα: Αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες τότε Δ (Χ+Υ) = Δ(Χ) + Δ(Υ) 97

13 Γενικότερα, αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2,, Χ n είναι ανεξάρτητες κατά ζεύγη, τότε n n Δ X i = Δ(Χ i ) i= 1 i= 1 Παρατήρηση: Οι δύο προηγούμενες προτάσεις χρησιμεύουν για τον υπολογισμό της διασποράς του αθροίσματος δύο ή περισσοτέρων τυχαίων μεταβλητών, όταν αυτές είναι εξαρτημένες. Παράδειγμα: Να υπολογισθεί η διασπορά του αριθμού των ταιριασμάτων στο σχετικό παράδειγμα. Λύση: Είχαμε δει ότι Χ = Χ 1 + Χ 2 + Χ n 1 αν ο i άνδρας χορεύει με την γυναίκα του, i = 1,2,,...N όπου X = 0 διαφορετικά Επομένως, Δ(Χ) = Ν Δ(Χ ) + 2 i i= 1 i< j Cov(X X Επειδή P(X i = 1) = 1/N. Έχουμε ότι 2 2 E(X i ) = 1 N και Ε(Χ ι ) = 1 Ν και N 1 Δ(Χ i ) = E(Xi ) { E(X i )} = = 2 2 N N N Επίσης, Cov(Xi X j) = E(XiX j) E(X i )E(X j) Αλλά 1 αν και ο i και ο jάνδρας χορεύουνμε τις γυναίκες τους X i X j = 0 διαφορετικά Και έτσι i j ) 98

14 1 1 E(X ix j) = ijp(i, j) = P(X i = 1, X j = 1) i= 0 j= = P(X i = 1 X j = 1)P(X j = 1) = N 1 N Επομένως Cov(Xi,X j) = = 2 2 N(N 1) N N (N 1) και τελικά N -1 N 1 Δ(X) = N 2 N (N 1) N 1 1 = + = 1 N N Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι ο μέσος και η διασπορά της κατανομής του Χ συμπίπτουν. Θα έχουμε την ευκαιρία να δώσουμε μία θεωρητική εξήγηση του αποτελέσματος αυτού σε ένα από τα επόμενα κεφάλαια. Η συνδιακύμανση δύο τυχαίων μεταβλητών, ως μέτρο εξάρτησης, έχει ένα μεγάλο μειονέκτημα. Μεταβάλλεται αν μεταβληθούν οι μονάδες μέτρησης των τυχαίων μεταβλητών. Έστω για παράδειγμα, Χ 1 και Υ 1 δύο τυχαίες μεταβλητές. Θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητές Χ 2 =2Χ 1 και Υ 2 =2Υ 1. Είναι Ε(Χ 2 )=2Ε(Χ 1 ), Ε(Υ 2 )=2Ε(Υ 1 ) και Ε(Χ 2 Υ 2 )=4Ε(Χ 1 Υ 1 ) Επομένως Cov(X 2, Y 2 ) = E(X 2, Y 2 )-E(X 2 )E(Y 2 ) = 4E(X 1 Y 1 )-4E(X 1 )E(Y 1 ) = 4Cov(X 1, Y 1 ) Ενώ, δηλαδή τα ζευγάρια Χ 1, Υ 1 και Χ 2, Υ 2 συμπεριφέρονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, το δεύτερο ζευγάρι έχει συνδιακύμανση τέσσερις φορές μεγαλύτερη από το πρώτο. 99

15 Εκτός από το μειονέκτημα αυτό, η συνδιακύμανση είναι μια μη φραγμένη συνάρτηση. Για τους λόγους αυτούς, είναι επιθυμητό να ορισθεί ένα άλλο μέτρο εξάρτησης δύο τυχαίων μεταβλητών που σαν συνάρτηση των τυχαίων μεταβλητών να είναι φραγμένη και να μην επηρεάζεται από πιθανές μεταβολές των μονάδων μέτρησης των μεταβλητών. Οι σκέψεις αυτές οδηγούν στον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω Χ,Y δύο τυχαίες μεταβλητές με μέσες τιμές μ Χ, μ Υ και τυπικές αποκλίσεις σ Χ και σ Υ αντίστοιχα. Έστω X, Y οι αντίστοιχες τυποποιημένες τυχαίες μεταβλητές. Αν σ Χ, σ Υ 0 ορίζουμε ως συντελεστή συσχέτισης (correlation coefficient) των X, Y και συμβολίζουμε με ρ(x,y) ή με ρ Χ,Υ τη συνδιακύμανση των X και Y. Δηλαδή ρ Χ,Υ ρ(x,y) = Cov(X,Y ) Αν είτε σ Χ =0 είτε σ Υ =0 ορίζουμε ρ(x,y)=0. Αν ρ(x,y)=0 οι τυχαίες μεταβλητές λέγονται ασυσχέτιστες (uncorrelated). Cov(X, Y) Πρόταση: ρ (Χ,Υ) = σ σ X Y Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται συνήθως, αντί του ορισμού, για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης δύο τυχαίων μεταβλητών. Παράδειγμα: (συνέχεια του παραδείγματος του στριψίματος δύο νομισμάτων). Για το παράδειγμα αυτό έχουμε ότι E(X 2 ) = 1/2 και E(Y 2 ) = 3 και Δ(X) = 1/4, Δ(Y) = 3/4 Έχουμε ήδη υπολογίσει ότι Cov(X,Y) = -(1/4) και επομένως, χρησιμοποιώντας την προηγούμενη πρόταση ρ(x,y) =

16 Οι επόμενες δύο προτάσεις επιβεβαιώνουν ότι τα μειονεκτήματα της συνδιακύμανσης παύουν να υφίστανται με την χρησιμοποίηση του συντελεστή συσχέτισης. Πρόταση: Αν X 1 και Χ 2 είναι τυχαίες μεταβλητές και Y 1 = α 1 X 1 + β 1 και Y 2 = α 2 X 2 +β 2 όπου α 1,α 2,β 1,β 2 σταθερές, τότε ρ(y 1,Y 2 ) = ρ(x 1,Χ 2 ) (δηλαδή η αλλαγή συντεταγμένων δεν επηρεάζει τον συντελεστή συσχέτισης). Πρόταση: ρ(x,y) 1. (Δηλαδή το ρ(x,y) είναι μια φραγμένη συνάρτηση). Τα αποτελέσματα που ακολουθούν σχετίζονται με το γεγονός ότι ο συντελεστής συσχέτισης μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν μέτρο του βαθμού της γραμμικής εξάρτησης δύο τυχαίων μεταβλητών. Πρόταση: Έστω Χ και Y δύο τυχαίες μεταβλητές γραμμικά εξαρτημένες, δηλαδή Y=αX+β με α και β σταθερές και α 0. Τότε ρ(x,y) = 1 αν α > 0 1 αν α < 0. Η πρόταση που ακολουθεί είναι το αντίστροφο της προηγούμενης. Πρόταση: Αν ρ(χ, Υ) = 1 υπάρχουν σταθερές α 0 και β τέτοιες ώστε να Υ = αχ+β εκτός, πιθανόν, για κάποιο σύνολο τιμών με πιθανότητα μηδέν. Οι προηγούμενες προτάσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι τιμές του ρ(x,y) που πλησιάζουν το 1 δίνουν μια ένδειξη για θετική γραμμική εξάρτηση (α>0) των Χ και Y ενώ τιμές του ρ(x,y) που πλησιάζουν το -1 αποτελούν ένδειξη για αρνητική γραμμική εξάρτηση μεταξύ των Χ και Y (α<0). Αντίθετα, τιμές του ρ(x,y) που διαφέρουν πολύ από το μηδέν οδηγούν στο 101

17 συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει γραμμική σχέση των Χ και Y (χωρίς αυτό να αποκλείει εξάρτηση κάποιας άλλης μορφής). Παρατήρηση: Στο σημείο αυτό, θα πρέπει να τονισθεί ότι ο συντελεστής συσχέτισης θα πρέπει να χρησιμοποιείται ως ένδειξη γραμμικής εξάρτησης μόνο και όχι ως ένδειξη οποιασδήποτε μορφής εξάρτησης. Αυτό, γιατί από την προηγούμενη συζήτηση προκύπτει ότι η έννοια της ανεξαρτησίας δύο τυχαίων μεταβλητών, συνεπάγεται και την έλλειψη συσχέτισης των μεταβλητών αυτών. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει πάντα. Αν δηλαδή, δύο τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες, αυτό δεν συνεπάγεται ότι είναι ανεξάρτητες. Το παράδειγμα που ακολουθεί επιβεβαιώνει το γεγονός αυτό. Παράδειγμα: Θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητές Χ και Y που ορίζονται ως εξής: P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 1) = 1/3 Υ = 0 αν X 0 1 αν X = 0 Προφανώς οι Χ και Y είναι εξαρτημένες. Από τον ορισμό των Χ και Y έχουμε ότι XY=0 και επομένως E(XY)=0 Ομοίως E(X)=0. Συνεπώς Cov(X,Y)=0. Άρα οι Χ και Y είναι ασυσχέτιστες. Δειγματική Συνδιακύμανση και Συσχέτιση Η πρώτη προσπάθεια για την μελέτη της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών έγινε από τον Sir Francies Galton (Αγγλία, ). Τον Galton απασχόλησε το πρόβλημα του βαθμού στον οποίο τα παιδιά μοιάζουν στους γονείς τους. Οι Στατιστικοί της Βικτωριανής Αγγλίας είχαν γοητευθεί από την ιδέα να ποσοτικοποιήσουν την επίδραση της κληρονομικότητας και συνέλεξαν μεγάλους όγκους δεδομένων για την διερεύνηση αυτή. Ο μαθητής του Galton, Karl Pearson ( ) στην προσπάθεια αυτή μέτρησε το ύψος 1078 πατέρων και το ύψος των γιών τους μετά την ενηλικίωση. 102

18 Η σχέση των δύο μεταβλητών, ύψος πατέρα και ύψος γιού, απεικονίζεται στο διάγραμμα σημείων που ακολουθεί. Διάγραμμα σημείων του ύψους 1078 πατέρων και υιών Ύψος γιου (σε ίντσες) Ύψος πατέρα (σε ίντσες) Η διχοτόμος της γωνίας (η ευθεία y = x) δείχνει οικογένειες, στις οποίες το ύψος πατέρα και γιού είναι το ίδιο. Οικογένειες, στις οποίες το ύψος του πατέρα είναι 72 ίντσες, εμφανίζονται στην κατακόρυφη λωρίδα. Ο Δειγματικός Συντελεστής Συσχέτισης Ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε να εξετάσουμε την συσχέτιση μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών. Ο απλούστερος τρόπος είναι να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα σημείων για ένα τυχαίο δείγμα τιμών των δύο μεταβλητών. Το γράφημα είναι ένα διάγραμμα (νέφος) σημείων που έχει την μορφή αμερικάνικης ποδοσφαιρικής μπάλας. Πώς θα μπορούσε να συνοψισθεί αριθμητικά το γράφημα αυτό; (Είναι 103

19 προφανές ότι ένα τέτοιο αριθμητικό μέτρο θα αποτελούσε και εκτίμηση του αντίστοιχου μέτρου του πληθυσμού). Το πρώτο βήμα θα ήταν να σημειώσουμε ένα σημείο που δείχνει τον μέσο των x-τιμών και τον μέσο των y-τιμών (βλέπε σχήμα α). Αυτό είναι το σημείο των μέσων, το οποίο προσδιορίζει το κέντρο του διαγράμματος σημείων. Το επόμενο βήμα θα ήταν να μετρήσουμε το άπλωμα του διαγράμματος από την μία πλευρά ως την άλλη. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση των x- τιμών - την οριζόντια τυπική απόκλιση. Τα περισσότερα σημεία θα βρίσκονται μεταξύ 2 οριζόντιων τυπικών αποκλίσεων προς κάθε μία πλευρά του σημείου που αντιστοιχεί στον μέσο (σχήμα β). Με τον ίδιο τρόπο, η τυπική απόκλιση των y-τιμών - η κάθετη τυπική απόκλιση - θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να μετρήσουμε το άπλωμα του διαγράμματος (νέφους) από πάνω προς τα κάτω. Τα περισσότερα σημεία θα βρίσκονται μεταξύ των 2 κάθετων τυπικών αποκλίσεων πάνω ή κάτω από το σημείο που αντιστοιχεί στον μέσο (σχήμα γ). 104

20 Σύνοψη ενός διαγράμματος σημείων (α) Το σημείο των μέσων (β) Η οριζόντια τυπ.απ. (γ) Η κάθετη τυπ.απ. 2s y 2s y 2s x 2s x Μέχρι τώρα, η περίληψη των στατιστικών συναρτήσεων που γνωρίζουμε είναι ο μέσος των x-τιμών και η τυπική απόκλιση των x-τιμών. ο μέσος των y-τιμών και η τυπική απόκλιση των y-τιμών. Αυτές οι στατιστικές συναρτήσεις μας δείχνουν το κέντρο του νέφους και πόσο απλωμένο είναι τόσο οριζοντίως όσο και καθέτως. Παρόλα αυτά υπάρχει και κάτι ακόμη που λείπει - η ένταση της συσχέτισης μεταξύ των δύο μεταβλητών. Ας δούμε το διάγραμμα σημείων του παρακάτω σχήματος. Σύνοψη ενός διαγράμματος σημείων. Ο συντελεστής συσχέτισης μετρά την συγκέντρωση γύρω από μία ευθεία γραμμή (α) Συσχέτιση κοντά στο 1 (β) Συσχέτιση κοντά στο 0 σημαίνει ισχυρή συγκέντρωση σημαίνει χαλαρή συγκέντρωση Και τα δύο αυτά νέφη σημείων έχουν το ίδιο κέντρο και επιδεικνύουν το ίδιο άπλωμα οριζόντια και κατακόρυφα. Παρ όλα αυτά, τα σημεία στο πρώτο νέφος, συγκεντρώνονται σφιχτά γύρω από μία γραμμή. Διαφαίνεται, δηλαδή, μια ισχυρή γραμμική συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Στο δεύτερο νέφος, το 105

21 άπλωμα είναι περισσότερο χαλαρό. Η ισχύς της συσχέτισης είναι διαφορετική στα δύο διαγράμματα. Προκειμένου να μετρηθεί η δειγματική συσχέτιση, χρειάζεται μία ακόμα στατιστική συνάρτηση αυτή, που ονομάζουμε δειγματικό συντελεστή συσχέτισης (sample correlation coefficient). Ο συντελεστής αυτός συνήθως συμβολίζεται με r. Για ένα δείγμα από ζεύγη σημείων που αναφέρονται σε δύο μεταβλητές, έχουμε ότι Ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης είναι ένα μέτρο γραμμικής σχέσης ή απλώματος δειγματικών παρατηρήσεων γύρω από μία γραμμή. Η συσχέτιση μεταξύ δύο μεταβλητών μπορεί να συνοψισθεί με τον μέσο των τιμών του δείγματος για την μεταβλητή Χ και την τυπική απόκλιση των x-τιμών τον μέσο των τιμών του δείγματος για την μεταβλητή Υ και την τυπική απόκλιση των y-τιμών τον δειγματικό συντελεστή συσχέτισης r. Στην συνέχεια, παρουσιάζονται κάποια γραφήματα που δίνουν μια εικόνα για διάφορες περιπτώσεις δειγματικού συντελεστή συσχέτισης δύο μεταβλητών. Για παράδειγμα, μελέτες έχουν δείξει ότι ο συντελεστής συσχέτισης του ύψους ομοίων διδύμων παιδιών είναι περίπου 0.95 (βλέπε H.N. Newman, F.N. Freeman, and K.J. Holzinger (1937), Twins: Study of Heredity and Environment. University of Chicago Press). Στο τελευταίο από τα γραφήματα που ακολουθούν, μπορεί κανείς να δει πώς εμφανίζονται σημεία που αντιστοιχούν σε συντελεστή συσχέτισης Ένα άλλο παράδειγμα αποτελεί ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ εισοδήματος και επιπέδου εκπαίδευσης. Σε μια μελέτη στις Ηνωμένες Πολιτείες το 1993, βρέθηκε ότι για άντρες ηλικίας ετών, ο συντελεστής συσχέτισης εισοδήματος και εκπαίδευσης είναι μόνο 0.15, ενώ αυξάνεται και φθάνει το 0.45 για άντρες ηλικίας ετών. 106

22 Σχήμα: Ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης - 6 ζευγών θετικά συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών. Τα διαγράμματα διαβαθμίζονται έτσι ώστε ο μέσος να ισούται με 3 και η τυπική απόκλιση με 1, οριζοντίως και καθέτως. Υπάρχουν 50 δειγματικά σημεία σε κάθε διάγραμμα. Η συγκέντρωση έχει μετρηθεί με τον δειγματικό συντελεστή συσχέτισης. Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Σημείωση: Θα πρέπει να είναι κανείς προσεκτικός στην ερμηνεία του δειγματικού συντελεστή συσχέτισης. Αν r = 0.80, δεν σημαίνει ότι το 107

23 80% των σημείων βρίσκονται πολύ κοντά σε μια γραμμή, ούτε σημαίνει ότι υπάρχει διπλάσια γραμμική συσχέτιση από αυτή της περίπτωσης σημείων που έχουν r = Η αρνητική συσχέτιση δηλώνεται με αρνητικό πρόσημο στον συντελεστή συσχέτισης. Στα διαγράμματα που ακολουθούν εμφανίζονται σημεία που έχουν αρνητική συσχέτιση. Σχήμα: Ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης - 6 ζευγών αρνητικά συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών. Τα διαγράμματα διαβαθμίζονται έτσι ώστε ο μέσος να ισούται με 3 και η τυπική απόκλιση με 1, οριζοντίως και καθέτως. Υπάρχουν 50 δειγματικά σημεία σε κάθε διάγραμμα. Η συγκέντρωση έχει μετρηθεί με τον δειγματικό συντελεστή συσχέτισης. Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ

24 Συντ. Συσχ Συντ. Συσχ Ένας συντελεστής συσχέτισης παρουσιάζει τον ίδιο βαθμό απλώματος όπως ένας συντελεστής Το αρνητικό σημείο αναφέρεται σε άπλωμα γύρω από μία γραμμή με κλίση προς τα κάτω. Αρνητικός συντελεστής αναφέρεται σε γραμμή με κλίση προς τα πάνω. Για παράδειγμα, στην μελέτη που προαναφέρθηκε, προέκυψε ότι γυναίκες ηλικίας ετών στις Ηνωμένες Πολιτείες το 1993 είχαν συντελεστή συσχέτισης μεταξύ εκπαίδευσης και αριθμού παιδιών που αντιστοιχεί σε μη ισχυρή αρνητική συσχέτιση. Ένας τέλειος συντελεστής 1 υποδηλώνει ότι όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια γραμμή με ανοδική κλίση. Ένας τέλειος αρνητικός συντελεστής -1 αποτελεί ένδειξη ότι όλα τα σημεία βρίσκονται σε μια γραμμή με κλίση προς τα κάτω. Υπολογισμός του Δειγματικού Συντελεστή Συσχέτισης Ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης είναι ο μέσος των γινομένων των τυποποιημένων δειγματικών τιμών των ζευγών x και y των μεταβλητών Χ και Υ. Ο μαθηματικός τύπος που δίνει τον δειγματικό συντελεστή συσχέτισης είναι Cov(x, y) r = s x s y 109

25 i (x i x)(y s xs y Ο τύπος αυτός αποτελεί το δειγματικό ανάλογο του αντίστοιχου τύπου που ήδη είδαμε για τον συντελεστή συσχέτισης του πληθυσμού. Όπως έχει αναφερθεί, ο λόγος που χρησιμοποιούμε τις τυποποιημένες τιμές των Χ και Υ είναι για να αποφύγουμε τις δυσκολίες που προκαλούνται, όταν τα μεγέθη την σχέση των οποίων θέλουμε να προσδιορίσουμε μετρώνται σε διαφορετικές κλίμακες. (Όπως είναι γνωστό, ο τρόπος για να αποφεύγεται το πρόβλημα αυτό είναι η τυποποίηση των τιμών. Η τυποποιημένη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής (που προκύπτει αν από την τιμή αφαιρέσουμε την μέση τιμή των παρατηρήσεων και την διαφορά την διαιρέσουμε με την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων) δείχνει, για κάθε τιμή, πόσες φορές η τιμή αυτή είναι πάνω ή κάτω από την μέση τιμή σε σχέση με την τυπική απόκλιση). Η διαδικασία, δηλαδή, για τον υπολογισμό του δειγματικού συντελεστή συσχέτισης είναι ο μετασχηματισμός των τιμών κάθε μεταβλητής στις αντίστοιχες τυποποιημένες τιμές τους και στην συνέχεια ο υπολογισμός του μέσου των γινομένων των τυποποιημένων αυτών τιμών. 110 i y) Αριθμητικό παράδειγμα: Να υπολογισθεί ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης r για τα δεδομένα που ακολουθούν. x y Παρατήρηση: Η πρώτη γραμμή του παραπάνω πίνακα αποτυπώνει δύο μετρήσεις του ιδίου αντικειμένου στην συγκεκριμένη μελέτη. Οι δύο αριθμοί είναι οι x και y συντεταγμένες του αντιστοίχου σημείου στο διάγραμμα (νέφος) σημείων. Το ίδιο συμβαίνει και με τις

26 υπόλοιπες γραμμές. Εχει σημασία να χρησιμοποιηθούν οι αριθμοί του πίνακα ως ζεύγη. Ο συντελεστής συσχέτισης ορίζεται μόνο όταν έχουμε δύο μεταβλητές οι οποίες μετρώνται για κάθε αντικείμενο της μελέτης. Βήμα 1: Μετατρέπουμε τις τιμές της μεταβλητής Χ σε τυποποιημένες τιμές. Για να γίνει αυτό χρειαζόμαστε τον μέσο x και την τυπική απόκλιση s x των τιμών του x. Βρίσκουμε ότι x = 4, s x = 2. Στην συνέχεια, αφαιρούμε τον μέσο από κάθε τιμή της μεταβλητής X και διαιρούμε με την τυπική απόκλιση. 1 4 = = = = = Οι αριθμοί αυτοί προσδιορίζουν πόσο μακριά, πάνω ή κάτω, βρίσκονται οι τιμές της μεταβλητής X από τον μέσο όρο τους σε σχέση με την τυπική απόκλιση. Στο παράδειγμά, μας η τιμή 1 είναι 1.5 τυπικές αποκλίσεις χαμηλότερη από τον μέσο. Βήμα 2: Μετατρέπουμε τις τιμές της μεταβλητής Y σε τυπικές τιμές. Βήμα 3: Για κάθε ένα από τα ζευγάρια των τυπικών τιμών υπολογίζουμε το γινόμενο: (τυπική τιμή του x) * (τυπική τιμή του y). Βήμα 4: Θεωρούμε τον μέσο των γινομένων r = μέσος (τυπικών τιμών του x) * (τυπικών τιμών του y) = = = Τα αποτελέσματα αυτά συνήθως τοποθετούνται σε ένα πίνακα με την μορφή του πίνακα που ακολουθεί. 111

27 Υπολογισμός του Συντελεστή Συσχέτισης r Τυποποιημένες Τυποποιημένες Γινόμενο x y τιμές του x τιμές του y Εάν θεωρήσουμε το διάγραμμα του παραδείγματος αυτού, θα δούμε ότι η κλίση της ευθείας συσχέτισης είναι θετική, αλλά τα σημεία υποδηλώνουν ένα χαλαρό άπλωμα γύρω από την ευθεία. Διάγραμμα σημείων του συντελεστή συσχέτισης (της τυποποιημένης συνδιακύμανσης) του αριθμητικού παραδείγματος Ποιοί είναι οι λόγοι που κάνουν τον συντελεστή συσχέτισης ένα κατάλληλο μέτρο για γραμμική σχέση; Στο σχήμα που προηγήθηκε, τα γινόμενα των τυποποιημένων τιμών εμφανίζονται ως σημεία. Εχουν επίσης συρθεί η οριζόντα και η κατακόρυφη γραμμή που περνά από το σημείο των μέσων των x και y 112

28 (Προφανώς, το σημείο αυτό είναι το μηδέν αφού μιλάμε γαι τυποποιημένες τιμές). Οι γραμμές αυτές χωρίζουν το διάγραμμα σημείων σε τέσσερα τετράγωνα. Αν ένα σημείο βρίσκεται στο κάτω αριστερό τετράγωνο, το σημείο αυτό αντιστοιχεί σε ζεύγος τιμών των μεταβλητών που είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες μέσες τιμές τους και επομένως έχουν αρνητικές τυποποιημένες τιμές. (Το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι θετικός αριθμός). Στο πάνω δεξιό τετράγωνο, το γινόμενο δύο θετικών τιμών είναι θετικό. Στα δύο άλλα τετράγωνα, το γινόμενο ενός θετικού και ενός αρνητικού αριθμού είναι αρνητικός αριθμός. Ο μέσος όλων αυτών των γινομένων είναι ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης. Αν το r είναι θετικό, τότε τα σημεία που βρίσκονται στα δύο θετικά τετράγωνα θα υπερισχύουν, όπως αυτό φαίνεται στο πρώτο από τα δύο σχήματα που ακολουθούν. Αν το r είναι αρνητικό, τότε τα σημεία στα δύο αρνητικά τετράγωνα θα υπερισχύουν όπως φαίνεται στο δεύτερο από τα σχήματα που ακολουθούν. Η Ευθεία Τυπικής Απόκλισης (The Standard Deviation Line) Θετικό r Αρνητικό r Μέσος Μέσος Ο ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (Law of Large Numbers) Η μεγάλη εμπειρία που έχει συσσωρευθεί από τον άνθρωπο μας διδάσκει ότι φαινόμενα που έχουν πιθανότητα πολύ κοντά στην μονάδα συμβαίνουν σχεδόν οπωσδήποτε. Αντίστροφα, ενδεχόμενα των οποίων η πιθανότητα να συμβούν είναι πολύ μικρή (πολύ κοντά στο μηδέν) συμβαίνουν πάρα πολύ σπάνια. Η παρατήρηση αυτή παίζει βασικό ρόλο στις πρακτικές εφαρμογές της Θεωρίας 113

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω Χ μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, και έστω ότι το P(X=x)=p Χ καθορίζει ένα τυχαίο πείραμα. Ένα ερώτημα που τίθεται συχνά είναι το εξής: Τί θα συμβεί μακροπρόθεσμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΡΙΚΕΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στις ενότητες που ακολουθούν εξετάζουμε συνεχείς κατανομές με ευρεία χρήση στις εφαρμογές. Σε αυτές περιλαμβάνονται η ομοιόμορφη, η εκθετική, η Γάμμα και η

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r)

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) 5 H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) Περίληψη Σκοπός του κεφαλαίου είναι η εφαρμογή της ανάλυσης συσχέτισης (Pearson r) μέσω του PASW. H ανάλυση συσχέτισης Pearson r χρησιμοποιείται για να εξεταστεί η

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 ο : Η Ζήτηση των Αγαθών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Οι τιμές των αγαθών προσδιορίζονται στην αγορά από την αλληλεπίδραση της ζήτησης και της προσφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling)

6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) 6. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ (Cluster Sampling) Από την θεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια, φαίνεται ότι μια αλλαγή στον σχεδιασμό της δειγματοληψίας και, κατά συνέπεια, στην μέθοδο εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Γραμμικά μοντέλα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 4 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: Προσοµοίωση (Simulation) και Τυχαίες µεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα

Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Ενότητα 0 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Τα δεδομένα με τα οποία ασχολείται η Στατιστική προέρχονται από παρατηρήσεις και πειράματα που εμπίπτουν σε οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα