3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall"

Transcript

1 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι με βάση τις παρατηρήσεις αυτές καθεαυτές και, επιπλέον, η κατανομή του δεν εξαρτάται από την κατανομή των μεταβλητών Χ και, όταν αυτές είναι ανεξάρτητες και συνεχείς. Το κύριο πλεονέκτημα του μέτρου αυτού σε σχέση με το μέτρο ρ του Spearman είναι ότι τείνει στην κανονική κατανομή σχετικά γρήγορα. Αποτέλεσμα αυτού είναι ότι η προσέγγιση της κατανομής του συντελεστή τ από την κανονική κατανομή είναι καλύτερη από την αντίστοιχη προσέγγιση της κατανομής του συντελεστή ρ του Spearman, όταν αληθεύει η μηδενική υπόθεση της ανεξαρτησίας μεταξύ των μεταβλητών Χ και. Ενα άλλο πλεονέκτημα του συντελεστή τ του Kendall βρίσκεται στο γεγονός ότι μπορεί άμεσα και απλά να ερμηνευθεί μέσω των πιθανοτήτων με τις οποίες παρατηρούμε εναρμονισμένα ή συσχετισμένα (concordant) ζεύγη τιμών και μη εναρμονισμένα ή μη συσχετισμένα (dscordant) ζεύγη τιμών, όπως αυτά ορίζονται στην συνέχεια. Τα δεδομένα αποτελούνται από ένα διμεταβλητό τυχαίο δείγμα μεγέθους n παρατηρήσεων (X, ), = 1, 2,..., n, πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (Χ, ). Ορισμός: Δύο παρατηρήσεις, έστω (X j, j ) και (X k, k ), ονομάζονται εναρμονισμένες ή συσχετισμένες (concordant), αν και τα δύο μέλη της μίας παρατήρησης είναι μεγαλύτερα (ή μικρότερα) από τα αντίστοιχα μέλη της άλλης παρατήρησης. Δηλαδή, αν X j > X k (αντίστοιχα, X j < X k ), τότε j > k (αντίστοιχα, j < k ). 1

2 Οι παρατηρήσεις (X j, j ) και (X k, k ) θα ονομάζονται μη εναρμονισμένες ή μη συσχετισμένες (dscordant), αν η διάταξη των πρώτων μελών τους είναι αντίθετη από την διάταξη των δεύτερων μελών τους, δηλαδή, αν X j > X k (αντίστοιχα, X j < X k ), τότε j < k (αντίστοιχα, j > k ). Ισοδύναμα, δύο ζεύγη παρατηρήσεων (X j, j ) και (X k, k ) θα ονομάζονται εναρμονισμένα αν οι διαφορές X j - X k και j - k έχουν το ίδο πρόσημο (αν (X j - X k ) ( j - k ) > ). Τα ζεύγη (X j, j ) και (X k, k ) θα ονομάζονται μη εναρμονισμένα αν οι διαφορές X j - X k και j - k έχουν αντίθετο πρόσημο (αν (X j - X k )( j - k ) < ). Έστω N c και N d οι αριθμοί των εναρμονισμένων και μη εναρμονισμένων ζευγών παρατηρήσεων, αντίστοιχα. Τα ζεύγη των παρατηρήσεων (X j, j ) και (X k, k ), για τα οποία ισχύει ότι X j = X k ή/και j = k, δεν είναι ούτε εναρμονισμένα ούτε μη εναρμονισμένα. Τα ζεύγη αυτά ονομάζονται ισοβαθμούντα (ted). Έστω N ο αριθμός των ισοβαθμούντων ζευγών παρατηρήσεων. Επειδή οι n παρατηρήσεις μπορούν να συνδυασθούν ανά δύο με n 2 = n( n 1)/2 διαφορετικούς τρόπους, έπεται ότι N c + N d + N = n 2. Τα δεδομένα μπορούν, επίσης, να αποτελούνται από μη αριθμητικές παρατηρήσεις, οι οποίες εμφανίζονται κατά n ζεύγη, με την προϋπόθεση ότι οι παρατηρήσεις αυτές είναι τέτοιες, ώστε μπορούν να ορισθούν εναρμονισμένα και μη εναρμονισμένα ζεύγη παρατηρήσεων και να είναι δυνατός ο υπολογισμός των αριθμών N c και N d. 2

3 Το μέτρο συσχέτισης που προτάθηκε από τον Kendall το 1938 ορίζεται ως εξής: τ = N c N n 2 d N = n c ( n 1) N d. 2 Ο συντελεστής τ, δηλαδή, παριστάνει την διαφορά μεταξύ των ποσοστών των εναρμονισμένων και μη εναρμονισμένων ζευγών παρατηρήσεων. Αν όλα τα ζεύγη παρατηρήσεων είναι εναρμονισμένα, τότε ο συντελεστής τ είναι ίσος με 1. Αν όλα τα ζεύγη είναι μη εναρμονισμένα, τότε η τιμή του συντελεστή τ είναι 1. Είναι, δηλαδή, οι τιμές του συντελεστή τ μεταξύ 1 και 1. Επιπλέον, ο συντελεστής τ ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις που προαναφέρθηκαν. Ο υπολογισμός του συντελεστή τ γίνεται απλούστερος, αν οι παρατηρήσεις (X, ), = 1, 2,..., n διαταχθούν σε μία στήλη κατά αύξουσα τάξη μεγέθους των τιμών των παρατηρήσεων πάνω στην τυχαία μεταβλητή Χ. Τότε, κάθε τιμή χρειάζεται να συγκριθεί μόνο με τις τιμές που είναι "κάτω" από αυτήν. Έτσι, κάθε ζεύγος παρατηρήσεων εξετάζεται μόνο μία φορά και ο αριθμός των συσχετισμένων και μη συσχετισμένων ζευγών προσδιορίζεται γρηγορότερα. Παράδειγμα 3..3: Ας θεωρήσουμε τα δεδομένα πάνω στην επιθετικότητα των διδύμων. Διατάσσοντας τις παρατηρήσεις (X, ), = 1, 2,..., n κατά αύξουσα τάξη μεγέθους των τιμών των παρατηρήσεων X, = 1, 2,..., n, καταλήγουμε στον εξής πίνακα: 3

4 Εναρμονισμένα ζεύγη κάτω Μη εναρμονισμένα ζεύγη κάτω (Χ (), ) από το (Χ (), ) από το (Χ (), (68, 6) 11 (7, 65) 9 (71, 77) ισοβαθμία (71, 8) (72, 72) 5 1 (77, 65) 5 ισοβαθμία (77, 76) 1 (86, 88) 2 2 (87, 72) 3 (88, 81) 2 (91, 9) ισοβαθμία (91, 96) Σύνολο N c = 9 Ν d = 12 ) Εδώ Χ (), = 1,, n είναι η διατεταγμένη ακολουθία των παρατηρήσεων Χ, και, = 1,, n η προκύπτουσα αναδιάταξη των αντιστοιχουσών σ αυτές τιμών των Υ. Η δεύτερη στήλη του πίνακα δίνει, τον αριθμό των ζευγών (Χ (+1), + ) για τα οποία 1 < + όταν Χ () <Χ (+1), ( = 1,, n-1). H τρίτη στήλη δίνει τον 1 αριθμό των ζευγών (Χ (+1), Χ () < Χ (+1) ( = 1,, n-1). + ) για τα οποία 1 > + όταν Με βάση τα στοιχεία του πίνακα, προκύπτει ότι η τιμή του συντελεστή συσχέτισης τ του Kendall είναι 1

5 N c N d 9 12 τ = = =.566. n ( n 1) 2 ( 12)( 11) 2 Υπάρχει, επομένως, θετική συσχέτιση τάξης μεγέθους μεταξύ των μετρήσεων της επιθετικότητας των διδύμων, όπως προκύπτει από την μέτρηση του συντελεστή συσχέτισης τ του Kendall. Ο συντελεστής τ μπορεί, επίσης, να χρησιμοποιηθεί ως ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης της ανεξαρτησίας μεταξύ των τυχαίων μεταβλητών Χ και, με αμφίπλευρες ή μονόπλευρες εναλλακτικές, όπως εξάλλου και στην περίπτωση του συντελεστή συσχέτισης ρ του Spearman. Περισσότερο συχνή, όμως, είναι η χρήση της διαφοράς N c N d ως ελεγχοσυνάρτησης για τον έλεγχο των υποθέσεων αυτών. Χρησιμοποιούμε, δηλαδή, ως ελεγχοσυνάρτηση την στατιστική συνάρτηση T = N c N d, την οποία ονομάζουμε ελεγχοσυνάρτηση του Kendall. Τα ποσοστιαία σημεία της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης Τ δίνονται από τον πίνακα 12 του παραρτήματος. Είναι προφανές ότι μεγάλες τιμές της στατιστικής συνάρτησης Τ αποτελούν ένδειξη εναντίον της υπόθεσης Η και υπέρ της μονόπλευρης εναλλακτικής υπόθεσης θετικής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών Χ και. Αντίστοιχα, μικρές τιμές της στατιστικής συνάρτησης Τ αποτελούν ένδειξη εναντίον της υπόθεσης Η και υπέρ της μονόπλευρης εναλλακτικής υπόθεσης αρνητικής συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών Χ και. Επομένως, θεωρώντας την ταξινόμηση των ζευγών υποθέσεων που θα μπορούσαν να μας ενδιαφέρουν στο 5

6 πλαίσιο του παρόντος προβλήματος ή παρόμοιων προβλημάτων, στις κατηγορίες Α. (Αμφίπλευρος έλεγχος συσχέτισης) Β. (Μονόπλευρος έλεγχος θετικής συσχέτισης) Γ. (Μονόπλευρος έλεγχος αρνητικής συσχέτισης), ο κανόνας απόφασης διαμορφώνεται ως εξής: Α. Η υπόθεση Η απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν Τ > w 1-α/2 ή αν Τ < w α/2 = w 1-α/2. Β. Η υπόθεση Η απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν Τ > w 1-α. Γ. Η υπόθεση Η απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν Τ < w α = w 1-α. Επιστρέφοντας στο παράδειγμά μας, ας υποθέσουμε ότι ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε την υπόθεση Η : οι μεταβλητές Χ και είναι ασυσχέτιστες, εναντίον της εναλλακτικής Η 1 : οι μεταβλητές Χ και είναι συσχετισμένες (αμφίπλευρος έλεγχος). Από τον πίνακα που κατασκευάσθηκε παραπάνω, έχουμε ότι η παρατηρούμενη τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ είναι N c N d = 9 12 = 37. Από τον σχετικό πίνακα του παραρτήματος, προκύπτει ότι τα ποσοστιαία σημεία για έναν αμφίπλευρο έλεγχο μεγέθους α=.5, για n=12, είναι w.975 = 28 και w.25 = w.975 = 28. Επομένως, η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ υπερβαίνει το.975-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της και, κατά συνέπεια, η μηδενική υπόθεση ότι δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των Χ και απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας.5. Το κρίσιμο επίπεδο του ελέγχου αυτού είναι, 6

7 όπως φαίνεται από τον σχετικό πίνακα του παραρτήματος, περίπου ίσο με αˆ 2(.5) =.1. Παρατήρηση: Η ακριβής κατανομή των στατιστικών συναρτήσεων ρ και τ είναι εύκολο να προσδιορισθεί, αν και, στην πράξη, η διαδικασία είναι πολύ χρονοβόρα ακόμα και για μέτριο μέγεθος δείγματος n. Και οι δύο κατανομές μπορούν να προσδιορισθούν κάτω από την υπόθεση ότι οι μεταβλητές Χ και είναι ανεξάρτητες και ισόνομες. Τότε, οι n! διατάξεις των βαθμών (τάξεων μεγέθους) των μεταβλητών Χ, θεωρουμένων κατά ζεύγη με τους αντίστοιχους βαθμούς των μεταβλητών, είναι ισοπίθανες. Οι συναρτήσεις κατανομής προκύπτουν με απλή απαρίθμηση του αριθμού των διατάξεων, οι οποίες οδηγούν σε μία συγκεκριμένη τιμή του ρ ή του τ και με διαίρεση του αριθμού αυτού των διατάξεων με n! για να προσδιορισθεί η πιθανότητα της συγκεκριμένης τιμής του ρ ή του τ. Επειδή, τόσο η στατιστική συνάρτηση ρ όσο και η τ αποτελούν αθροίσματα τυχαίων μεταβλητών, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει μια μορφή του κεντρικού οριακού θεωρήματος για να προσεγγίσει τςι κατανομές τους στην περίπτωση μεγάλων δειγμάτων. Και οι δύο συντελεστές έχουν συμμετρικές κατανομές γύρω από το μηδέν και, επομένως, έχουν και οι δύο μέση τιμή ίση με το μηδέν. Οι διασπορές των στατιστικών αυτών συναρτήσεων είναι δυσκολότερο να προσδιορισθούν. Διαίρεση, επομένως, των στατιστικών συναρτήσεων ρ και τ με τις αντίστοιχες διασπορές τους οδηγεί σε τυχαίες μεταβλητές, οι οποίες κατά προσέγγιση έχουν την κανονική κατανομή για μεγάλες τιμές του n. Όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, η προσέγγιση αυτή 7

8 είναι καλύτερη στην περίπτωση της στατιστικής συνάρτησης τ για n 8. Δεν είναι, όμως, εξ ίσου ικανοποιητική όταν χρησιμοποιείται για τον κατά προσέγγιση προσδιορισμό των ποσοστιαίων σημείων της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης ρ. Στην περίπτωση που τα ζεύγη (X, ), = 1, 2,..., n είναι ανεξάρτητες και ισόνομες διδιάστατες κανονικές μεταβλητές, και οι δύο συντελεστές έχουν ασυμπτωτική σχετική αποτελεσματικότητα ίση με 9/π 2 =.912, σε σχέση με τον παραμετρικό έλεγχο που χρησιμοποιεί τον συντελεστή r του Pearson ως στατιστική συνάρτηση (Stuart, 195). 8

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks)

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) Στο κεφάλαιο αυτό, εξετάζονται ορισμένες τεχικές ανάλυσης δεδομένων, οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ S.. Φορτίο, q oulomb, Ηλεκτρικό ρεύμα, i Ampére, A Ηλεκτρικό δυναμικό olt, Ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα