2. Ποσοτική ανάλυση υδρογραφικών δικτύων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2. Ποσοτική ανάλυση υδρογραφικών δικτύων"

Transcript

1 2. Ποσοτική ανάλυση υδρογραφικών δικτύων Η ποσοτική ανάλυση ενός υδρογραφικού δικτύου καθορίζει κάποια σχέση µεταξύ των κλάδων του. Η παρατήρηση ύπαρξης µεγάλων κεντρικών κλάδων, µικρότερων δευτερευόντων και ακόµα µικρότερων πρωτευόντων οδήγησε στη διατύπωση µιας ποσοτικής έκφρασης της ανάπτυξης ενός υδρογραφικού δικτύου µε την µορφή αρίθµησης των κλάδων του. Έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι ταξινόµησης από τους επιστήµονες. Οι γνωστότεροι και συνήθως χρησιµοποιούµενοι είναι των Horton (1945), Strahler (1952), ο Scheidegger (1965) και Sheve (1967). Παρακάτω θα εξετασθούν αυτοί οι τρόποι ταξινόµησης - αρίθµησης των υδρογραφικών δικτύων. Σκοπός της ανάλυσης των υδρογραφικών δικτύων δεν είναι µόνο η έκφραση των χαρακτηριστικών της δοµής του, αλλά ο προσδιορισµός των επιπτώσεων των περιβαλλοντικών παραγόντων σε ένα ποτάµιο σύστηµα, και η χρήση αυτής για την πρόβλεψη της εξέλιξής των δικτύων, καθώς και για τον προσδιορισµό της υδρολογικής συµπεριφοράς των λεκανών απορροής. 14

2 Ανάλυση υδρογραφικών δικτύων Μέθοδοι αρίθµησης υδρογραφικών δικτύων Α. HORTON οι µικρότεροι κλάδοι του δικτύου οι οποίοι δεν δέχονται τα νερά κανενός µικρότερου κλάδου αλλά µόνο τα επιφανειακά νερά µιας µικρής λεκάνης, ονοµάζονται κλάδοι πρώτης τάξης. Οι µεγαλύτεροι κλάδοι του δικτύου, οι οποίοι δέχονται τα νερά ενός κλάδου 1ης τάξης ονοµάζονται κλάδοι 2ης τάξεως κ.ο.κ. 1ης τάξης 2ης τάξης 3ης τάξης 4ης τάξης Σχήµα 6: Αρίθµηση υδρογραφικού δικτύου κατά Horton (1945) 15

3 Β. STRAHLER ρεύµατα τα οποία δεν δέχονται τα νερά µικρότερων κλάδων ρευµάτων ονοµάζονται 1ης τάξεως. Σύνδεση δύο κλάδων ίσης τάξης δηµιουργεί ένα νέο κλάδο της αµέσου επόµενης τάξης δηλαδή σύνδεση δύο κλάδων 1ης τάξεως δηµιουργεί ένα ρεύµα 2ης τάξεως κ.ο.κ. 1ης τάξης 2ης τάξης 3ης τάξης 4ης τάξης Σχήµα 7: Αρίθµηση υδρογραφικού δικτύου κατά Strahler (1952) 16

4 Νόµοι της υδρογραφικής σύνθεσης Μορφοµετρικές Παράµετροι Υδρογραφικών ικτύων Μετά την αρίθµηση των κλάδων ενός υδρογραφικού δικτύου υπολογίζονται διάφορες µορφοµετρικές παράµετροι τόσο των δικτύων όσο και των υδρολογικών λεκανών τους. Α. Μετρούµενες παράµετροι του υδρογραφικού δικτύου Τάξεις κλάδου (u) είναι η ιεράρχηση των κλάδων του δικτύου µε κάποια από τις µεθόδους, που αναπτύξαµε παραπάνω. Αριθµός κλάδων τάξεως u (Νu) είναι το σύνολο των κλάδων τάξεως u. Συνολικός αριθµός κλάδων εντός λεκάνης τάξεως u (ΣΝ)u: Συνολικό µήκος κλάδων τάξεως u (Lu) Μέσο µήκος τάξεως u (Lu) είναι ο αριθµός των κλάδων που βρίσκονται µέσα σε µία λεκάνη τάξεως u. είναι το άθροισµα των µηκών των κλάδων της ίδιας τάξης µέσα σε µία λεκάνη. είναι ο λόγος Lu/Nu Συνολικό µήκος κλάδων εντός είναι το άθροισµα των µηκών όλων των λεκάνης τάξεως u (ΣL)u κλάδων εντός λεκάνης τάξεως u. Αζιµούθιο ή διεύθυνση της κοίτης Εκφράζεται ως η γωνία µεταξύ της (α) διεύθυνσης της κοίτης που έχει φορά προς την κατεύθυνση ροής του ρέµατος και του γεωγραφικού βορρά. Β. Υπολογιζόµενες µορφοµετρικές παράµετροι του υδρογραφικού δικτύου. Συντελεστής διακλάδωσης (Rb) είναι ο λόγος µεταξύ του αριθµού των κλάδων µιας δεδοµένης τάξης δια του αριθµού των κλάδων της επόµενης τάξης Rb=Nu/N(u+1) Λόγος µήκους κλάδων (RL) είναι ο λόγος του µέσου µήκους των κλάδων µιας δεδοµένης τάξης ρεύµατος δια του µέσου µήκους των κοιτών της αµέσως προηγούµενης τάξης RL=Lu/L(u-1) 17

5 Νόµοι της υδρογραφικής σύνθεσης Λόγος Συνάρτηση Συγγραφέας Νόµος του αριθµού των κλάδων Nu 1 N u = R B N u = α 1 e -β1u όπου β 1 =ΙnR B Horton (1945) Νόµος του µήκους των κλάδων L L u u 1 = R L L u = α 2 e β2u όπου β 2 =ΙnR L Horton (1945) Νόµος του εµβαδού A u των λεκανών u 1 απορροής A = R A A u = α 3 e β3u όπου β 3 =ΙnR A Schumm (1956) Νόµος του αριθµού των κλάδων (1ος Νόµος του Horton, 1945) Ο αριθµός των διαδοχικώς µικρότερων τάξεων κλάδων ενός υδρογραφικού δικτύου, τείνει να σχηµατίσει µια αύξουσα γεωµετρική ακολουθία, της οποίας πρώτος όρος είναι η µονάδα (ο απλός κλάδος της µέγιστης τάξεως) και λόγος, ο λόγος διακλαδώσης Rb. Nu = Rb (k u) Nu: ο αριθµός των κλάδων τάξεως u, Κ: η µέγιστη τάξη, u: η ζητούµενη τάξη, Rb: ο λόγος διακλάδωσης, Η µορφοµετρική παράµετρος του υδρογραφικού δικτύου που ονοµάζεται Συντελεστής διακλάδωσης (Rb) εκφράζει το λόγο µεταξύ του αριθµού των κλάδων µιας δεδοµένης τάξης δια του αριθµού των κλάδων της επόµενης τάξης. Rb=Nu/N(u+1) Nu: ο αριθµός των κλάδων τάξεως u, Κ: η µέγιστη τάξη, u: η ζητούµενη τάξη, Rb: ο λόγος διακλάδωσης, Για τον εντοπισµό του συντελεστή διακλάδωσης και την εφαρµογή των Νόµων του Horton ο καταλληλότερος τρόπος αρίθµησης είναι αυτός που προτάθηκε από τον Strahler (1952). Έτσι αυτός θα χρησιµοποιείται για την αρίθµηση των κλάδων των υδρογραφικών δικτύων σε όλες τις παρακάτω ασκήσεις. 18

6 Παράδειγµα εφαρµογής του Νόµου του αριθµού των κλάδων Αριθµήθηκαν οι κλάδοι του δικτύου σύµφωνα µε τη µέθοδο του Strahler. Κατασκευάστηκε διάγραµµα που έχει στον οριζόντιο αριθµητικό άξονα την τάξη των κλάδων u και στον κατακόρυφο λογαριθµικό άξονα τον αριθµό των κλάδων Nu. u Nu Rb Rb = Nu / N (u + 1) Η εξίσωση που εκφράζει τον Νόµου του αριθµού των κλάδων είναι εκθετική και έχει τη µορφή : Y = a e dx 19

7 Άσκηση 3 η. Βρείτε το λόγο διακλάδωσης (Rb) και αποδείξτε ότι ισχύει ο πρώτος νόµος του αριθµού των κλάδων στο υδρογραφικό δίκτυο του ρέµατος Καραβόµυλος. Ποια είναι η µορφή του υδρογραφικού δικτύου; Ποιοι παράγοντες επηρέασαν την ανάπτυξη του υδρογραφικού δικτύου; 20

8 ΛΥΣΗ Αρχικά πρέπει να αριθµηθεί το υδρογραφικό δίκτυο. Έπειτα πρέπει να µετρηθούν οι κλάδοι 1ης, 2ης, 3ης, 4ης και 5ης τάξης, που στο σχήµα φαίνονται µε διαφορετικό χρώµα. Τέλος υπολογίζουµε το Rb σύµφωνα µε τον τύπο: Rb = Nu / N(u + 1) και κατασκευάζουµε το ηµιλογαριθµικό διάγραµµα, όπως φαίνεται παρακάτω, µε βάση τον πίνακα. Η µέση τιµή του Rb είναι 3,9. u Nu Rb Νόµος του αριθµού των κλάδων 1000 Aριθµός κλάδων Τάξη κλάδων u 21

9 Άσκηση 4 η. Να εφαρµοστεί ο Νόµος του αριθµού των κλάδων για το παρακάτω υδρογραφικό δίκτυο. Ποια συµπεράσµατα εξάγονται από την ανάπτυξή του. 22

Μορφοµετρικές Παράµετροι Λεκανών Απορροής

Μορφοµετρικές Παράµετροι Λεκανών Απορροής Μορφοµετρικές Παράµετροι Λεκανών Απορροής Α. Μετρούµενες παράµετροι του υδρογραφικού δικτύου Τάξεις κλάδου (u) είναι η ιεράρχηση των κλάδων του δικτύου µε κάποια από τις µεθόδους, που αναπτύξαµε παραπάνω.

Διαβάστε περισσότερα

Yarlung Tsangpo River, Tibet. Πηγή: Τμήμα Γεωγραφίας, Ζ Εξάμηνο σπουδών Αθήνα, 2017

Yarlung Tsangpo River, Tibet. Πηγή:  Τμήμα Γεωγραφίας, Ζ Εξάμηνο σπουδών Αθήνα, 2017 Yarlung Tsangpo River, Tibet Ιωάννης Μ. Τσόδουλος Δρ. Γεωλόγος Πηγή: http://photojournal.jpl.nasa.gov/catalog/pia03708 Τμήμα Γεωγραφίας, Ζ Εξάμηνο σπουδών Αθήνα, 2017 Ποτάμια γεωμορφολογία Τύποι υδρογραφικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. 1 Βασικές Υδρολογικές έννοιες

Κεφάλαιο 1. 1 Βασικές Υδρολογικές έννοιες Κεφάλαιο 1 1 Βασικές Υδρολογικές έννοιες Η υδρογεωλογική μελέτη μιας περιοχής πρέπει να καταλήγει πάντα σε ποσοτικά στοιχεία σε σχέση με τις παραμέτρους του υδρολογικού ισοζυγίου. Όμως, για να γίνει αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµορφοµετρικά Χαρακτηριστικά των Υδρολογικών Λεκανών της Ελλάδας

Γεωµορφοµετρικά Χαρακτηριστικά των Υδρολογικών Λεκανών της Ελλάδας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Γεωµορφοµετρικά Χαρακτηριστικά των Υδρολογικών Λεκανών της Ελλάδας ιπλωµατική εργασία του φοιτητή

Διαβάστε περισσότερα

Tαξινόμηση υδρορρεύματος

Tαξινόμηση υδρορρεύματος Tαξινόμηση υδρορρεύματος Αποτελεί μια ευρέως εφαρμοσμένη μέθοδο χαρακτηρισμού των υδρορρευμάτων που βασίζεται στην προϋπόθεση ότι ο αριθμός ταξινόμησης έχει κάποια σχέση με το μέγεθος της περιοχής τροφοδοσίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 5ο: Στοιχεία γεωμορφολογίας

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 5ο: Στοιχεία γεωμορφολογίας Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Κεφάλαιο 5ο: Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πλημμύρες Φυσικό πλαίσιο-γεωμορφολογία και απορροή

Πλημμύρες Φυσικό πλαίσιο-γεωμορφολογία και απορροή Όγκος απορροής Πλημμύρες Φυσικό πλαίσιο-γεωμορφολογία και απορροή Νίκος Μαμάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 4 Φυσικό πλαίσιο Μηχανισμός δημιουργίας επιφανειακής απορροής

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο της Παρουσίασης

Αντικείμενο της Παρουσίασης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Αντικείμενο της Παρουσίασης Η παρουσίαση των μορφών των υδρογραφικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης

Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Μεθοδολογία επίλυσης προβληµάτων καταβύθισης Τα προβλήµατα που υπάρχουν πάντα στις περιπτώσεις βαρυτοµετρικών διαχωρισµών είναι η γνώση της συµπεριφοράς των στερεών, όσον αφορά στην καταβύθισή τους µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµορφοµετρικά Χαρακτηριστικά των Υδρολογικών Λεκανών της Ελλάδας

Γεωµορφοµετρικά Χαρακτηριστικά των Υδρολογικών Λεκανών της Ελλάδας 12η Συνάντηση Ελλήνων Χρηστών ArcInfo - ArcView 7-8 Νοεµβρίου 2002 Holiday Inn - Αθήνα Γεωµορφοµετρικά Χαρακτηριστικά των Υδρολογικών Λεκανών της Ελλάδας Ιωάννης Πασπαλλής ηµήτρης Κουτσογιάννης Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ROSIN-RAMMLERRAMMLER

1. ROSIN-RAMMLERRAMMLER ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΕΜΑΧΙΩΝ. OSIN-AMMLEAMMLE 2. GATES-GAUDIN-SCHUHMANN Τσακαλάκης Κώστας, Καθηγητής Ε.Μ.Π.-2008 Κατανομή osi mmler - - k 00 = e ή = 00 k e 00 % e k = αθροιστικό παραμένον σε

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Το νερό των κατακρημνισμάτων ακολουθεί διάφορες διαδρομές στη πορεία του προς την επιφάνεια της γης. Αρχικά συναντά επιφάνειες που αναχαιτίζουν την πορεία του όπως είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. 9 Ψηφιακά μοντέλα αναγλύφου και Υδρολογία. 9.1 Εντοπισμός και ομαλοποίηση καταβυθίσεων

Κεφάλαιο 9. 9 Ψηφιακά μοντέλα αναγλύφου και Υδρολογία. 9.1 Εντοπισμός και ομαλοποίηση καταβυθίσεων Κεφάλαιο 9 9 Ψηφιακά μοντέλα αναγλύφου και Υδρολογία Η κίνηση του νερού πάνω στη γήινη επιφάνεια ελέγχεται κατά κύριο λόγο από τη μορφολογία του εδάφους. Στη συνέχεια εξετάζεται η δυνατότητα χρήσης ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

Υπόγεια Υδραυλική. 5 η Εργαστηριακή Άσκηση Υδροδυναμική Ανάλυση Πηγών

Υπόγεια Υδραυλική. 5 η Εργαστηριακή Άσκηση Υδροδυναμική Ανάλυση Πηγών Υπόγεια Υδραυλική 5 η Εργαστηριακή Άσκηση Υδροδυναμική Ανάλυση Πηγών Υδροδυναμική Ανάλυση Πηγών Η υδροδυναμική ανάλυση των πηγαίων εκφορτίσεων υπόγειου νερού αποτελεί, ασφαλώς, μια βασική μεθοδολογία υδρογεωλογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΑΘΜΟΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ ΕΞΑΤΜΙΣΗ. Μ 1 450 mm 150 mm. Μ 2 560 mm 190 mm. Μ 3 480 mm 165 mm. Μ 4 610 mm 173 mm.

ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΑΘΜΟΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ ΕΞΑΤΜΙΣΗ. Μ 1 450 mm 150 mm. Μ 2 560 mm 190 mm. Μ 3 480 mm 165 mm. Μ 4 610 mm 173 mm. Στην περιοχή που φαίνεται στον χάρτη υπάρχουν πέντε µετεωρολογικοί σταθµοί. Ποίος είναι ο µέσος ισοδύναµος όγκος νερού µε τον οποίο τροφοδοτείται ο υπόγειος υδροφορέας από την κατείσδυση στην περιοχή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Υδρογραφήματα υδρορρευμάτων δείχνει την παροχή ενός ποταμού σε μια απλή θέση ως συνάρτηση του χρόνου

Υδρογραφήματα υδρορρευμάτων δείχνει την παροχή ενός ποταμού σε μια απλή θέση ως συνάρτηση του χρόνου Υδρογραφήματα υδρορρευμάτων δείχνει την παροχή ενός ποταμού σε μια απλή θέση ως συνάρτηση του χρόνου είναι δυνατόν να διαχωρίσουμε το υδρογράφημα στις συνιστώσες του της: χερσαίας ροής βασικής ροής ενδοροής

Διαβάστε περισσότερα

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Επιµέλεια: ηµάδη Αγόρω Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ: είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ Θ. Ξανθόπουλος, Δ. Χριστούλας, Μ. Μιμίκου, Δ. Κουτσογιάννης & Μ. Αφτιάς Τομέας Υδατικών Πόρων, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ Θ. Ξανθόπουλος, Δ. Χριστούλας, Μ. Μιμίκου, Δ. Κουτσογιάννης & Μ. Αφτιάς Τομέας Υδατικών Πόρων, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα

Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα Φυσικό πλαίσιο-γεωμορφολογία και απορροή Νίκος Μαμάσης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΟΓΕΩΛΟΓΙΑ Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ Ν. ΛΑΜΠΡΑΚΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΟΓΕΩΛΟΓΙΑ Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ Ν. ΛΑΜΠΡΑΚΗΣ ONOMA ΕΠΩΝΥΜΟ Α.Μ. Ημερομηνία παράδοσης: ΑΣΚΗΣΗ 1 Η ΥΔΡΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παρακάτω παρατίθενται κάποιες από τις πιο βασικές υδρολογικές έννοιες: Υδρολογική λεκάνη σ ένα σημείο ή καλύτερα σε μία διατομή

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος. . Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 5. ΑΠΟΡΡΟΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 5. ΑΠΟΡΡΟΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 5. ΑΠΟΡΡΟΗ 5.1 ΓΕΝΙΚΑ Από το νερό που φθάνει στην επιφάνεια της γης ως κατακρήμνισμα: - Ένα μέρος συγκρατείται από το φύλλωμα των

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακές Ασκήσεις Δ.Ο.Υ. Ι

Εργαστηριακές Ασκήσεις Δ.Ο.Υ. Ι Εργαστηριακές Ασκήσεις Δ.Ο.Υ. Ι Στο τοπογραφικό διάγραμμα κλίμακας 1:50.000 και ισοδιάστασης 100m, εμφανίζεται χειμαρρώδες ρεύμα, το οποίο καταλήγει σε ένα μεγαλύτερο αποδέκτη και επιβάλλεται η διευθέτησή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραφικές παραστάσεις Μαρία Κατσικίνη E-mail: katsiki@auth.gr Web: users.auth.gr/katsiki Παρουσίαση αποτελεσμάτων με τη μορφή πινάκων Πίνακας : χρόνος και ταχύτητα του κινητού

Διαβάστε περισσότερα

Από χρόνο σε χρόνο Κατά τη διάρκεια ενός χρόνου Από εποχή σε εποχή Μετά από μια βροχόπτωση Μετά το λιώσιμο του χιονιού Σε διάφορα σημεία της λεκάνης α

Από χρόνο σε χρόνο Κατά τη διάρκεια ενός χρόνου Από εποχή σε εποχή Μετά από μια βροχόπτωση Μετά το λιώσιμο του χιονιού Σε διάφορα σημεία της λεκάνης α Ζαΐμης Γεώργιος Από χρόνο σε χρόνο Κατά τη διάρκεια ενός χρόνου Από εποχή σε εποχή Μετά από μια βροχόπτωση Μετά το λιώσιμο του χιονιού Σε διάφορα σημεία της λεκάνης απορροής ΕΙΝΑΙ Η ΙΔΙΑ; Μετά από

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ

ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ''ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΓΕΩΜΟΡΦΟΛΟΓΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΤΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ ΚΟΥΡΚΟΥΤΑ (ΕΥΗΝΟΣ)'' ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΗΣ ΜΑΚΡΗ ΕΛΕΝΗΣ Α.Μ:20974 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:ΕΥΘΥΜΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS

Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Νίκος Μαμάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 2014 Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Γενικά Η τεχνολογία των Συστημάτων Γεωγραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΝΤΛΗΤΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΝΤΛΗΤΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΝΤΛΗΤΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Εισαγωγικά Στην περίπτωση που επιθυμείται να διακινηθεί υγρό από μία στάθμη σε μία υψηλότερη στάθμη, απαιτείται η χρήση αντλίας/ αντλιών. Γενικώς, ονομάζεται δεξαμενή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΙ ΤΠΙ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ ΣΥΝΤΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ Α( 1, y 1 ΑΠ ΤΗΝ ΑΡΧΗ (0, 0 των αξόνων: (A = + y 1 1 Αν έχουμε τον μιγαδικό αριθμό 1 = 1 + i y 1 με εικόνα στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

9. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ

9. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ 73 9. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ 9.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό μήκος ενός τόπου είναι η δίεδρη γωνία μεταξύ του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου και του μεσημβρινού του Greenwich. Η γωνία αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή):

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή): ΑΣΚΗΣΗ 1 Αρδευτικός ταµιευτήρας τροφοδοτείται κυρίως από την απορροή ποταµού που µε βάση δεδοµένα 30 ετών έχει µέση τιµή 10 m 3 /s και τυπική απόκλιση 4 m 3 /s. Ο ταµιευτήρας στην αρχή του υδρολογικού

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ

Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ Στον παρακάτω πίνακα, δίνονται τα ετήσια ύψη βροχών όπως μετρήθηκαν σε δυο γειτονικούς βροχομετρικούς σταθμούς χ και ψ για την περίοδο 1990-2001. Ζητείται: 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( s) Συντονισµός Συντονισµός στο κύκλωµα RLC σειράς. Η αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος είναι

( ) ( s) Συντονισµός Συντονισµός στο κύκλωµα RLC σειράς. Η αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος είναι Συνάρτηση µεταφοράς Η συνάρτηση µεταφοράς ορίζεται ς ο λόγος του µετασχηµατισµού aplace της εξόδου y(t) του κυκλώµατος προς το µετασχηµατισµό aplace της εισόδου x(t). Η είσοδος όπς και η έξοδος µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών

Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών O11 Απορρόφηση φωτός: Προσδιορισμός του συντελεστή απορρόφησης διαφανών υλικών 1. Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί α) στη μελέτη του φαινομένου της εξασθένησης φωτός καθώς διέρχεται μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β. Γραμμικές Εξισώσεις. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + β διέρχεται από το σημείο Α(, ). Να βρείτε τον αριθμό. ίνεται η ευθεία = + (α ). Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήματος σελ. 99 σχολικού βιβλίου. Α. α. Ψευδής β. Θεωρούμε τη συνάρτηση, 0 g, 0 η οποία έχει γραφική παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ.5): y O y=g() Η g είναι συνάρτηση στο Ag

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα

Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Νίκος Μαμάσης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Υδροµετεωρολογία. Εισαγωγή στα υδρογραφήµατα. Νίκος Μαµάσης, Αθήνα 2009 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Υ ΡΟΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

Υδροµετεωρολογία. Εισαγωγή στα υδρογραφήµατα. Νίκος Μαµάσης, Αθήνα 2009 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Υ ΡΟΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Υδροµετεωρολογία Εισαγωγή στα υδρογραφήµατα Νίκος Μαµάσης, Αθήνα 009 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Υ ΡΟΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΛΕΚΑΝΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ Υ ΡΟΓΡΑΦΗΜΑ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΕΛΛΕΙΜΑΤΩΝ Υ ΡΟΚΡΙΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Σπύρος Γλένης, Μαθηματικός Εάν α) 0,, β) να βρείτε τα παρακάτω: t,,, Να βρείτε το ( h) ( ) για τις παρακάτω συναρτήσεις: h i) ii) iii), ρητός 0, άρρητος Δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 5 ο : Απορροή

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΘΕΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Η τουριστική παραγωγή στο βραχυχρόνιο διάστημα. Η τουριστική παραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ARSALL ΚΑΙ ICKS. Η καµπύλη Egel Η καµπύλη Egel παράγεται από την

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

1. ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Εξάμηνο: Κωδικός μαθήματος:

1. ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Εξάμηνο: Κωδικός μαθήματος: ΕΞΑΜΗΝΟ Δ 1. ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ Εξάμηνο: 4 Κωδικός μαθήματος: ΖTΠO-4011 Επίπεδο μαθήματος: Υποχρεωτικό Ώρες ανά εβδομάδα Θεωρία Εργαστήριο Συνολικός αριθμός ωρών: 5 3 2 Διδακτικές Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1 Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:

1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

Στο διπλανό σχήμα το έμβολο έχει βάρος Β, διατομή Α και ισορροπεί. Η δύναμη που ασκείται από το υγρό στο έμβολο είναι

Στο διπλανό σχήμα το έμβολο έχει βάρος Β, διατομή Α και ισορροπεί. Η δύναμη που ασκείται από το υγρό στο έμβολο είναι Ερωτήσεις θεωρίας - Θέμα Β Εκφώνηση 1η Στο διπλανό σχήμα το έμβολο έχει βάρος Β, διατομή Α και ισορροπεί. Η δύναμη που ασκείται από το υγρό στο έμβολο είναι α) β) γ) Λύση Εκφώνηση 2η Στο διπλανό υδραυλικό

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Το νερό είναι το μάτι ενός τοπίου. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΡΕΜΑΤΩΝ Από τον Γεώργιο Ζαΐμη

Το νερό είναι το μάτι ενός τοπίου. ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΡΕΜΑΤΩΝ Από τον Γεώργιο Ζαΐμη Το νερό είναι το μάτι ενός τοπίου ΔΙΕΡΓΑΣΙΕΣ ΡΕΜΑΤΩΝ Από τον Γεώργιο Ζαΐμη Τι είναι ο Υδροκρίτης Mία τοπογραφική διαχωριστικη γραμμή που διχωριζει το νερό που απορρέει επιγανειακα σε δύο ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση των ArcGIS, ArcHYDRO Tools και HEC GeoRASγια τον προσδιορισµό των Ζωνών Προστασίας των φραγµάτων ύδρευσης της Κύπρου.

Χρήση των ArcGIS, ArcHYDRO Tools και HEC GeoRASγια τον προσδιορισµό των Ζωνών Προστασίας των φραγµάτων ύδρευσης της Κύπρου. Χρήση των ArcGIS, ArcHYDRO Tools και HEC GeoRASγια τον προσδιορισµό των Ζωνών Προστασίας των φραγµάτων ύδρευσης της Κύπρου. Κώστας Αριστείδου ιπλ. ΕΜΠ, Msc U of Illinois Νοέµβρης 2010 1 Περιεχόµενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων.

Στο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η τεχνική αυτή έκθεση περιλαµβάνει αναλυτική περιγραφή των εναλλακτικών µεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης που εξετάσθηκαν µε στόχο να επιλεγεί η µέθοδος εκείνη η οποία είναι η πιο κατάλληλη για

Διαβάστε περισσότερα

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΡΓΟ Το έργο, εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σ ένα άλλο ή που μετατρέπεται από μια μορφή σε μία άλλη. Για σταθερή δύναμη δίνεται από τη σχέση W F Δx Είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων :

5o Φύλλο Ασκήσεων. Γενικής Παιδείας. ΑΣΚΗΣΗ 1η. ΑΣΚΗΣΗ 2η. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : ΛΥΚΕΙΟ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Κ E Φ Α Λ Α Ι Ο Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ 1ο Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΡΙΜΗΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Γενικής Παιδείας 5o Φύλλο Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενα 4 ου εργαστηρίου

Αντικείμενα 4 ου εργαστηρίου 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διδάσκων: Δρ. Γκόγκος Χρήστος Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α 4 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα

Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα Βασίλειος Γουργουλιός και Ιωάννης Ναλμπάντης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα