V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr"

Transcript

1 V Διαφορικός Λογισμός

2 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr

3 ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν υπάρχει το όριο lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο Α, την ευθεία που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Παραγώγιση: Θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο lim και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με Δηλαδή: lim h Εναλλακτικά η παράγωγος μπορεί να ορισθεί με τον τύπο lim h h Η είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια είναι πραγματικοί αριθμοί και είναι ίσα, δηλαδή: lim lim Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A, είναι η παράγωγος της στο Δηλαδή Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης t στο t Δηλαδή v t t Όμοια, η στιγμιαία επιτάχυνση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης ταχύτητας στο t Δηλαδή a t v t t Θεώρημα Ι Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι και συνεχής στο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 3 blospotcom, bouboulismyschr

4 B Παράγωγος Συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α Η είναι παραγωγίσιμη στο Α αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A Η είναι παραγωγίσιμη στο α,β αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο, Η είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο, και επιπλέον a lim R, lim R a a Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και έστω A το σύνολο των σημείων του Α στα οποία η είναι παραγωγίσιμη Μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση : A R, τέτοια ώστε Η συνάρτηση ονομάζεται πρώτη παράγωγος ή απλά παράγωγος της Με όμοιο τρόπο η παράγωγος της αν υπάρχει συμβολίζεται με και ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της Επαγωγικά ορίζεται η ν-οστή παράγωγος της ως Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων c e e ln ημ συν συν ημ εφ συν σφ ημ Γ Κανόνες Παραγώγισης Κανόνας Αθροίσματος: Κανόνας Βαθμωτού Γινομένου: c c Κανόνας Γινομένου: Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 4 blospotcom, bouboulismyschr

5 Κανόνας Πηλίκου: Κανόνας Σύνθετης Συνάρτησης Κανόνας Αλυσίδας: Δ Ρυθμός Μεταβολής Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y, όταν η είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς στο σημείο την παράγωγο Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης ενός κινητού είναι η ταχύτητα του κινητού Ο ρυθμός μεταβολής τη ταχύτητας ενός κινητού είναι η επιτάχυνση του κινητού Στην οικονομία, ο ρυθμός μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα παραγόμενου προϊόντος ονομάζεται οριακό κόστος Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 5 blospotcom, bouboulismyschr

6 Ε Μεθοδολογία Ασκήσεων Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης Αν μας ζητείται να βρούμε την παράγωγο χρησιμοποιώντας τον ορισμό, τότε παίρνουμε το όριο και ακολουθούμε μεθοδολογία των ασκήσεων με όρια Αν δεν ξέρουμε τον τύπο της συνάρτησης, αλλά κάποιες σχέσεις που αυτή πληροί πχ ανισότητες τότε παίρνουμε τον ορισμό και υπολογίζουμε το όριο με μεθοδολογία ορίων πχ κριτήριο παρεμβολής Αν μας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης, εφαρμόζουμε τους κανόνες παραγώγισης για να υπολογίσουμε την παράγωγο Σε δίκλαδες συναρτήσεις υπολογίζουμε την παράγωγο κάθε κλάδου και στη συνέχεια ελέγχουμε αν υπάρχει η παράγωγος στα σημεία αλλαγής είτε με τον ορισμό, είτε με πλευρικά όρια στην Παραδείγματα: Α, Α, 3Α, 4Α, Β, Β, 3Β, 4Β, 5Β, 6Β, 7Β, 8Β σελ 9- Α, Α, 3Α, Β, σελ 7-8 Α, Α, 3Α, 4Α, 5Α, 6Α, Α, 3Α, 4Α, 5Α, 7Β σελ 38-4 Ασκήσεις που αφορούν εφαπτόμενες ευθείες της γραφικής παράσταση μιας συνάρτησης Για να βρούμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο A,, υπολογίζουμε την τιμή της παραγώγου και χρησιμοποιούμε τον τύπο y Επιπλέον δεν ξεχνάμε ότι: Δύο παράλληλες ευθείες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή Δύο κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές διεύθυνσης που ικανοποιούν τη σχέση Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης ευθείας είναι ο αριθμός Προσοχή: Οι κατακόρυφες ευθείες δεν έχουν συντελεστή διεύθυνσης Οι οριζόντιες ευθείες έχουν συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το Αν η άσκηση μας ζητάει να βρούμε σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης η εφαπτόμενη ευθεία είναι παράλληλη σε μια δοσμένη ευθεία με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης, τότε λύνουμε την εξίσωση ως προς Αν η άσκηση μας ζητάει να βρούμε σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης η εφαπτόμενη ευθεία είναι κάθετη σε μια δοσμένη ευθεία με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης, τότε λύνουμε την εξίσωση ως προς Σε όλες τις σχετικές ασκήσεις μπορεί να φανούν χρήσιμοι οι τύποι των αποστάσεων δύο σημείων, σημείου από ευθείας και του εμβαδού τριγώνου Για να αποδείξουμε ότι μια ευθεία εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης βρίσκουμε τα σημεία τομής των δύο γραφικών παραστάσεων της C και της ευθείας και σε αυτά τα σημεία βρίσκουμε την εξίσωση της αντίστοιχης εφαπτόμενης ευθείας Αν η εξίσωση που βρήκαμε ταυτίζεται με την δοσμένη ευθεία τότε αυτή πράγματι εφάπτεται στην C Για να βρούμε την κοινή εφαπτόμενη ευθεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων, ακολουθούμε παρόμοια μεθοδολογία Βρίσκουμε όλες τις εφαπτόμενες ευθείες της από αυτές εφάπτονται και στην C ή αντιστρόφως Παραδείγματα: Β, 3Β, 4Β σελ 8-9 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 6 blospotcom, bouboulismyschr, C και κοιτάμε ποιές

7 5Α, 7Α, 8Α, 9Α, Α, Α, Β, Β, 3Β, 4Β, 5Β, 8Β, Β, Β σελ Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να βρούμε κάποιες παραμέτρους ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη Σε τέτοιες ασκήσεις συνήθως καταλήγουμε σε ένα σύστημα Η πρώτη εξίσωση προκύπτει από το γεγονός ότι η συνάρτηση που μας δίνεται πρέπει να είναι συνεχής Έτσι μπορούμε να πάρουμε πχ τα πλευρικά όρια Η δεύτερη εξίσωση θα προκύψει ουσιαστικά από τον ορισμό της παραγώγου μπορούμε να πάρουμε κι εδώ τα πλευρικά όρια 4 Προβλήματα Προσπαθούμε να εκφράσουμε την ζητούμενη ποσότητα ως συνάρτηση των άλλων μεταβλητών του προβλήματος Στη συνέχεια ανάλογα με το πρόβλημα υπολογίζουμε το ρυθμό μεταβολής παράγωγος και τον χρησιμοποιούμε κατάλληλα Παραδείγματα: Ασκήσεις στις σελίδες Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 7 blospotcom, bouboulismyschr

8 Ασκήσεις Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης 5 7 στο σημείο Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση στο σημείο 3 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 4 Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, η συνάρτηση 3 5 Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, η συνάρτηση ημ 6 Να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, η συνάρτηση 4 συν 7 Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 3 8 Αν μια άρτια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα -α, α, να αποδείξετε ότι 9 Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση, η οποία ορίζεται σε ένα διάστημα Δ είναι παραγωγίσιμη στο είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ισχύει Δύο συναρτήσεις, είναι ορισμένες στο R και για κάθε R είναι Αν η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να αποδείξετε ότι και η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό Έστω, συναρτήσεις ορισμένες στο R και παραγωγίσιμες στο σημείο Αν ισχύει ότι και για κάθε * R, τότε να δείξετε ότι * * Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο R και παραγωγίσιμη στο σημείο R Να αποδειχθεί ότι: lim ημ 3 Δίνεται η συνάρτηση, όπου η είναι μια συνάρτηση ορισμένη στο R με Αν γνωρίζουμε ότι 4 και, να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 4 Δίνονται οι συναρτήσεις,, h ορισμένες στο R, για τις οποίες γνωρίζουμε ότι: Α h, Β h, Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 8 blospotcom, bouboulismyschr

9 Γ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο * * 5 Δίνεται η συνάρτηση : R R, τέτοια ώστε για κάθε, y R να ισχύει η σχέση y y Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε * κάθε R Επιπλέον δείξτε ότι 6 Αν η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R και παραγωγίσιμη στο σημείο a, με a, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο a 7 Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα,, για την οποία ισχύει ότι: Α y y, για κάθε, y,, Β Η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε όλο το διάστημα, 8 Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο R, για την οποία ισχύουν: Α y y y, για κάθε, y R, Β Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R 9 Δύο συναρτήσεις, είναι ορισμένες σε ένα διάστημα Δ=α,β και ισχύει για κάθε Αν με και οι, είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι Δίνεται η συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής στο R και ισχύει ότι h lim, h h Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α, β, γ, ώστε η συνάρτηση με α β γ, / e Να είναι παραγωγίσιμη στο R α Δίνεται η συνάρτηση e ημβ Δείξτε ότι α β 3 Δίνεται η συνάρτηση ημπ, Α βρείτε την παράγωγο της Β Αποδείξτε ότι η είναι συνεχής Γ Υπολογίστε τα όρια lim και lim Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 9 blospotcom, bouboulismyschr

10 4 Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R Βρείτε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης 5 Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R είναι άρτια, δείξτε ότι η είναι περιττή 6 Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R είναι περιττή, δείξτε ότι η είναι άρτια 7 Δίνεται οι δύο φορές παραγωγίσιμη περιττή συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα -α,α Δείξτε ότι 8 Δίνεται η άρτια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε όλο το R Αν 3 ημ, δείξτε ότι 9 Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P a P a ap a P με το a είναι 3 Α Αν P είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου του δύο, αποδείξτε ότι P ρ π Pρ P ρ Β Δείξτε ότι το n είναι παράγοντας του πολυωνύμου n n Γ Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α, β έτσι ώστε το n n Q α β 4, n, n να είναι παράγοντας του 3 Δίνεται το πολυώνυμο τρίτου βαθμού, το οποίο έχει ρίζες τους αριθμούς,, 3 διαφορετικούς ανά δύο Δείξτε ότι Δίνεται η συνάρτηση :, R με y y για κάθε, y, Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι: y Α, για κάθε, y,, y Β Αν, τότε για κάθε, 33 Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης Δίνεται η - συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αποδείξτε τα εξής: Α Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο του διαστήματος Δ, τότε η συνάρτηση είναι συνεχής στο Β Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του διαστήματος Δ και, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: Γ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε όλο το διάστημα Δ και για κάθε, τότε η είναι παραγωγίσιμη σε όλο το διάστημα και ισχύει, για κάθε Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr

11 Δ Δίνεται η συνάρτηση ημ, ορισμένη στο διάστημα -π/, π/ Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 34 Δίνεται η συνάρτηση : R R, η οποία είναι - και παραγωγίσιμη Αν για κάποιο σημείο ισχύει η σχέση, δείξτε ότι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 35 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 3, στο σημείο Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ln, στο σημείο Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης στο σημείο Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο σημείο 3 39 Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C στα σημεία στα οποία η τιμή της συνάρτησης είναι ίδια με την τιμή της παραγώγου 4 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο σημείο 4 3 Δίνεται η συνάρτηση Σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης της ορίζεται εφαπτομένη και σε ποια όχι; ημ 4 Δίνεται η συνάρτηση ορίζεται εφαπτομένη και σε ποια όχι; Σε ποια σημεία της γραφικής παράστασης της Δίνεται η συνάρτηση 5 6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που είναι παράλληλη στην ευθεία που διχοτομεί το πρώτο και το τρίτο τεταρτημόριο Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε σημείο Μ της C τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της C στο Μ να είναι κάθετη στην ευθεία y 45 Δίνονται οι συναρτήσεις e και ln y' y και Β το σημείο τομής της C με τον εφαπτόμενη των C, C Αν Α είναι το σημείο τομής της C με τον ', να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κοινή 46 Δίνεται η συνάρτηση a Να προσδιορίσετε το a έτσι ώστε η ευθεία y να εφάπτεται στην C Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr

12 47 Δίνεται η συνάρτηση a Δείξτε ότι για κάθε a έτσι ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της C στο σημείο διέρχεται από την αρχή των αξόνων Δίνεται η συνάρτηση a Α Να προσδιορίσετε το a έτσι ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της C στο σημείο να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Β Να προσδιορίσετε το a έτσι ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της C στο σημείο να σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο με τους άξονες 4 Δίνεται η συνάρτηση c Α Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τρία σημεία Α, Β, Γ της γραφικής παράστασης της στα οποία οι εφαπτομένες της C είναι παράλληλες στον άξονα Β Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο με σταθερό εμβαδό Γ Να δείξετε ότι το βαρύκεντρο του τριγώνουν ΑΒΓ είναι σημείο του άξονα y 5 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που σχηματίζει γωνία / 4 με τον άξονα 5 Έστω Α ένα κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων e ημ και ημ, όπου το πεδίο ορισμού και των δύο συναρτήσεων είναι το διάστημα, Να αποδείξετε ότι οι C, C έχουν κοινή εφαπτόμενη στο σημείο Α a b 5 Δίνεται η συνάρτηση 3 Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a, b, έτσι ώστε η C να περνά από την αρχή των αξόνων και εφαπτομένη της στο σημείο να είναι κάθετη στην ευθεία y 5 53 Δίνεται η συνάρτηση a b c Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a, b, c για τις οποίες η γραφική παράσταση της στο σημείο, έχει εφαπτόμενη παράλληλη στην ευθεία y b 54 Δίνεται η συνάρτηση a e Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων a, b, έτσι ώστε η C να διέρχεται από το σημείο, και η εφαπτομένη της στο σημείο, να είναι κάθετη στην ευθεία y Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου a έτσι ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3 a και να έχουν κοινή εφαπτόμενη σε ένα κοινό τους σημείο Δίνεται η συνάρτηση a Για ποια τιμή της παραμέτρου a, υπάρχουν εφαπτόμενες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων; 57 Να βρεθεί ο a R, έτσι ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 3 a σε ένα κοινό σημείο με τον άξονα των να σχηματίζει γωνία π/4 με τον άξονα 4 αυτό Η εφαπτομένη αυτή έχει άλλο κοινό σημείο με την C ; Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr

13 58 Δίνονται οι συναρτήσεις 4 και a /, a Να βρείτε για ποια τιμή του a η εφαπτόμενη της C στο σημείο εφάπτεται και στην C 59 Μια συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και για κάθε Να αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη ευθεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης / σε ένα κοινό σημείο της με τον άξονα, σχηματίζει γωνία π/4 με αυτόν 6 Δίνεται η συνάρτηση ln a,, a Α Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο μ Β Να αποδείξετε ότι για κάθε a, η εφαπτομένη που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα διέρχεται από σταθερό σημείο το οποίο και να βρείτε 6 6 Δίνονται οι συναρτήσεις e, e, B, Η εφαπτομένη της C στο Α κόβει τον άξονα των στο σημείο Γ, ενώ η εφαπτομένη της C στο Β κόβει τον άξονα των στο σημείο Δ Να αποδείξετε ότι Α Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ είναι σταθερό ανεξάρτητο του Β Το ΑΔΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο Γ Το Β είναι το ορθόκεντρο του ΑΔΓ και τα σημεία A, Δίνεται η συνάρτηση a /, a Να αποδείξετε ότι: Α Από κάθε σημείο του άξονα διέρχεται μόνο μια εφαπτόμενη της C Β Η εφαπτόμενη αυτή σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο σταθερού εμβαδού 63 Δίνονται τρεις συναρτήσεις,, h ορισμένες στο R για τις οποίες υποθέτουμε ότι για κάθε R : Η είναι παραγωγίσιμη και, Η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, h, h h, Αν το, y είναι ένα κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των,, να αποδείξετε ότι οι C και C έχουν στο, y κοινή εφαπτομένη και τα σημεία A, 64 Δίνεται η συνάρτηση a, a, B, Α Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της C στα Α, Β τέμνονται σε σημείο Μ του άξονα y αν και μόνο αν Β Να βρείτε τις συντεταγμένες των Α, Β, Μ έτσι ώστε το τρίγωνο ΑΒΜ να είναι ορθογώνιο στο Μ 65 Δίνονται οι συναρτήσεις και / Α Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων Β Αν Α, Β, είναι τα σημεία επαφής της ευθείας με τις C και C και Γ, Δ τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες και y αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Β είναι μέσον του ΓΔ και το Γ μέσον του ΑΔ Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 3 blospotcom, bouboulismyschr

14 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 4 blospotcom, bouboulismyschr

15 ΜΕΡΟΣ Θεώρημα Μέσης Τιμής Α Θεωρία Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση είναι Συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β και Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Αν μια συνάρτηση είναι Συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον,, τέτοιο ώστε α Σχήμα Γεωμετρική ερμηνεία α του θεωρήματος Rolle και β του θεωρήματος Μέσης Τιμής Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η είναι συνεχής στο Δ και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Θεώρημα Έστω δύο συναρτήσεις, ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι, είναι συνεχείς στο Δ και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερός αριθμός c τέτοιος ώστε να ισχύει c, για κάθε σημείο του Δ β Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 5 blospotcom, bouboulismyschr

16 Β Μεθοδολογία Ασκήσεων Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα ή ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ έτσι ώστε να ισχύει μια σχέση Όπως έχουμε ήδη εξηγήσει, ο κλασικός τρόπος αντιμετώπισης μιας τέτοιας άσκησης είναι η χρήση του θεωρήματος Bolzano Υπάρχουν ιδιαίτερες περιπτώσεις όμως κατά τις οποίες η εφαρμογή του θεωρήματος Rolle είναι προσφορότερη Τέτοιες περιπτώσεις είναι οι ακόλουθες: Α Η άσκηση μας ζητάει να εξετάσουμε για ρίζες μια δοσμένη εξίσωση, η οποία προκύπτει ως παράγωγος μιας άλλης εξίσωσης που εξετάσαμε σε προηγούμενα ερωτήματα Χαρακτηριστικά παραδείγματα τέτοιων ασκήσεων είναι οι, Β ομάδας στη σελίδα 49, 5 Μην ξεχνάτε ότι αν η άσκηση μας ζητάει να αποδείξουμε ότι η ρίζα είναι μοναδική πρέπει να βρούμε τη μονοτονία της συγκεκριμένης συνάρτησης Β Αν η εξίσωση εμπλέκει συναρτήσεις και παραγώγους, των οποίων οι τύποι είναι άγνωστοι Σε αυτή την περίπτωση το θεώρημα Rolle είναι η ενδεδειγμένη μεθοδολογία Προσοχή όμως! Θα πρέπει να ορίσουμε μια κατάλληλη συνάρτηση, της οποίας η παράγωγος να δίνει την δοσμένη εξίσωση Στη συνέχεια εφαρμόζοντας το θεώρημα Rolle παίρνουμε τη λύση Ασκήσεις στις οποίες μας ζητάνε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα ή συγκεκριμένο αριθμό ριζών Ο κλασικός τρόπος αντιμετώπισης μιας τέτοιας άσκησης είναι να εξετάσουμε την μονοτονία της αντίστοιχης συνάρτησης Εναλλακτικά όμως, στην περίπτωση που η συνάρτηση είναι άγνωστη, αλλά γνωρίζουμε κάποιες ιδιότητες τις παραγώγου της, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Rolle Σε αυτή την περίπτωση, θεωρούμε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle και καταλήγουμε σε άτοπο Με την παραπάνω διαδικασία μπορούμε, επίσης, να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει το πολύ δυο ρίζες, κοκ Σε αυτή την περίπτωση, θεωρούμε ότι η συνάρτηση έχει τρεις ρίζες, εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle δύο φορές και παίρνουμε δύο σημεία,, τα οποία μηδενίζουν την παράγωγο Έτσι αναγόμαστε στην παραπάνω περίπτωση Εφαρμόζοντας μια ακόμη φορά το θεώρημα Rolle για την παράγωγο της συνάρτησης βρίσκουμε μια ρίζα της δεύτερης παραγώγου και καταλήγουμε σε άτοπο Βέβαια, μπορεί να καταλήξουμε σε άτοπο χωρίς να χρειαστεί να εφαρμόσουμε και δεύτερη φορά το θ Rolle, αν γνωρίζουμε ότι είναι αδύνατον η παράγωγος να έχει δύο ρίζες Δεν ξεχνάμε ότι για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα ή δύο τουλάχιστον κοκ εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano Παρατηρήσεις: Ένα πολυώνυμο έχει το πολύ ν ρίζες όπου ν είναι ο βαθμός του Αν μια συνάρτηση έχει ν ρίζες, τότε η παράγωγός της θα έχει οπωσδήποτε ν- ρίζες, η δεύτερη παράγωγος ν-, κοκ Παραδείγματα: Ασκήσεις 3, 7 σελ 5 3 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η απόδειξη μιας ανισότητας Συνήθως η απόδειξη ανισωτήτων γίνεται μέσω της μελέτης μιας συνάρτησης όπως θα δούμε παρακάτω Όμως, πολλές φορές σε ασκήσεις τέτοιας μορφής το ΘΜΤ του διαφορικού λογισμού είναι ιδιαίτερα χρήσιμο Το δύσκολο σημείο όχι πάντα είναι να βρούμε το διάστημα στο οποίο θα εφαρμόσουμε το θεώρημα αλλά και τη συγκεκριμένη συνάρτηση Τέτοιες περιπτώσεις είναι οι ακόλουθες: Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 6 blospotcom, bouboulismyschr

17 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 7 blospotcom, bouboulismyschr Α Η άσκηση μας ζητάει να αποδείξουμε μια ανισοτική σχέση μεταξύ άγνωστων συναρτήσεων με δύο παραμέτρους ή μεταβλητές Για παράδειγμα θεωρείστε την σχέση,, b a b a F Σε αυτή την περίπτωση μετασχηματίζουμε την ανισότητα έτσι ώστε το ένα μέλος της να πάρει τη μορφή Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στο διάστημα [α, β] για τη συνάρτηση και προσπαθούμε να αποδείξουμε την ανισοτική σχέση χρησιμοποιώντας την παράγωγο της στο σημείο ξ, αντί για το κλάσμα Β Γενικά, αν έχουμε μια άσκηση που μας εξασφαλίζει ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και μας δίνει κάποιες σχέσεις με ανισότητες που αφορούν την παράγωγο, είναι πολύ πιθανό αυτή η άσκηση να λύνεται με τη βοήθεια του ΘΜΤ Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ, παίρνουμε τη δοσμένη σχέση για την παράγωγο και καταλήγουμε στο επιθυμητό συμπέρασμα Γ Τέλος, με το ΘΜΤ μπορούμε να αντιμετωπίσουμε και ασκήσεις που μας ζητάνε την απόδειξη μιας απλής ανισότητας ως προς μια μεταβλητή Για παράδειγμα θεωρείστε μια σχέση της μορφής F Σε αυτή την περίπτωση μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για τη δοσμένη συνάρτηση F στο διάστημα [α, ] ή στο διάστημα [,α] Ιδιαίτερη προσοχή θέλει η επιλογή του αριθμού α πολύ συχνά χρησιμοποιούμε το ή το Από εκεί μπορεί να προκύψει η ζητούμενη ανισότητα Παραδείγματα: 3Α, 4Β, 5Β σελ Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή, ή ότι δύο συναρτήσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά Εφαρμόζουμε τα αντίστοιχα θεωρήματα Για να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή, αρκεί να δείξουμε ότι Για να δείξουμε ότι δύο συναρτήσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά, αρκεί ναι δείξουμε ότι Η σταθερά μπορεί να υπολογιστεί αν ξέρουμε την τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο Παρατηρήσεις Αν c, τότε υπάρχει κάποιο c τέτοιο ώστε c c Αν c, τότε υπάρχει κάποιο d τέτοιο ώστε c e d Σε όλες τις παραπάνω ασκήσεις όλων των κατηγοριών είναι πολύ χρήσιμοι οι παρακάτω κανόνες συν ημ ημ ημ συν συν ημ συν ημ ημ συν ημ συν συν ln e e e e e e e e e e

18 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 8 blospotcom, bouboulismyschr

19 Ασκήσεις Θεώρημα Rolle - Εξισώσεις 3 Δίνεται η συνάρτηση 4 a Να αποδειχθεί ότι για τη συνάρτηση εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο διάστημα [-,] και έπειτα να υπολογιστεί -, το οποίο ικανοποιεί το θεώρημα Να εξετάσετε αν εφαρμόζετε το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση 4, στο διάστημα [-3, 3] Αν απαντήσετε θετικά υπολογίστε το ξ του θεωρήματος 3 Μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση με στο διάστημα [,]; 4 Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] Αν ισχύουν οι σχέσεις και, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία,, τέτοια ώστε να ισχύει, 5 Δίνεται η συνάρτηση ln Δείξτε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο διάστημα,, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα 6 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ln 8ln 8 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, 3 7 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα στο διάστημα, 8 Δείξτε ότι η εξίσωση, έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα, 3 9 Δείξτε ότι η εξίσωση c δε μπορεί να έχει δύο πραγματικές ρίζες στο διάστημα, Δίνεται η συνάρτηση Δείξτε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες 3 Δείξτε ότι η εξίσωση 3 ημθ, θ R, έχει το πολύ μια ρίζα στο διάστημα, Αποδείξετε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική ρίζα 3 3 Δίνεται η εξίσωση 3 lnθ, θ Αποδείξτε ότι έχει το πολύ δύο ρίζες στο διάστημα,3 4 4 Δείξτε ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου λ Δίνεται το πολυώνυμο a a a Να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α, το πολυώνυμο δε μπορεί να έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες 6 Αν το πολυώνυμο έχει ν πραγματικές ρίζες διαφορετικές ανά δύο, να αποδείξετε ότι το έχει τουλάχιστον ν- πραγματικές ρίζες Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 9 blospotcom, bouboulismyschr

20 7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημ συν έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, και, 8 Αποδείξτε ότι η εξίσωση a b, a, b R, έχει μια μοναδική πραγματική ρίζα Θεώρημα Rolle Θεωρητικές Ασκήσεις 9 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] Να αποδείξετε ότι: Α Για τη συνάρτηση e εφαρμόζεται το θ Rolle στο διάστημα [α,β] Β Υπάρχει, τέτοιο ώστε να ισχύει Έστω η συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β Αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα στο α,β, δείξτε ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο ρίζες στο [α,β] Θεωρούμε μια συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β, με την ιδιότητα α β ημα ημβ Δείξτε ότι υπάρχει ξ που ανήκει στο α,β τέτοιο ώστε να ισχύει ξ συνξ Έστω, δύο συναρτήσεις συνεχείς στο διάστημα, και παραγωγίσιμες στο, Αν ισχύει η σχέση /, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ στο ανοικτό διάστημα,, τέτοιο ώστε εφ 3 Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο [,], με για κάθε, και, δείξτε ότι η εξίσωση, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, 4 Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [-,] και για την οποία ισχύει η σχέση Δείξτε ότι υπάρχει -, τέτοιος ώστε 5 ΘΜΤ Η συνάρτηση και η παράγωγός της είναι παραγωγίσιμες στο [α,β] Αν υπάρχει α, β τέτοιο ώστε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ στο ανοικτό διάστημα α,β με 6 Δίνεται η συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο e,e και συνεχής στα σημεία e,e ισχύει e e Δείξτε ότι υπάρχει e, τέτοιο ώστε ln,e, για τα οποία 7 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β Δίνεται επίσης η c συνάρτηση e, για κάποιο πραγματικό αριθμό c, τέτοια ώστε Δείξτε ότι υπάρχει στο ανοικτό διάστημα α,β τέτοιο ώστε c 8 Δίνονται οι συναρτήσεις, συνεχείς και παραγωγίσιμες στο [a,b] Αν ισχύουν οι σχέσεις,, για κάθε στο [a,b] και b a a b, να αποδειχθεί ότι υπάρχει a, b τέτοιος ώστε να ισχύει Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr

21 9 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός,, τέτοιος ώστε η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της στο σημείο, να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 3 Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β με Δίνεται επίσης η συνάρτηση, όπου c [, ] Δείξτε ότι c Α Υπάρχει ξ στο ανοικτό διάστημα α,β τέτοιο ώστε Β Υπάρχει α, β τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο M,, να διέρχεται από το σημείο c, 3 Θεώρημα Cauchy Δύο συναρτήσεις, είναι συνεχείς στο διάστημα [ a, b] και παραγωγίσιμες στο a, b Επίσης ισχύει ότι a b και για κάθε στο διάστημα a, b Να αποδείξετε ότι υπάρχει b a α,b τέτοιος ώστε b a ΘΜΤ 3 Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,3] Αν είναι 3 να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο,3 τέτοιο ώστε να ισχύει 33 Να εφαρμόσετε το ΘΜΤ για τη συνάρτηση ln στο διάστημα [,e] 34 Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [,] τέτοια ώστε και για κάθε [,] να ισχύει 3 Δείξτε ότι για κάθε,, ισχύει 5 35 Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [,3] και παραγωγίσιμη στο,3 Αν ισχύει η σχέση 3, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν σημεία a, b,3 με a b 3 τέτοια ώστε 3 να ισχύει a b 36 ΜΟΝ ημ Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα π a ημa [a, b], Στη συνέχεια να αποδειχθεί η ταυτότητα b ημb a b b 37 Αν ισχύει a b, δείξτε ότι ln b a a 38 Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ σε κατάλληλη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι α συνα β συν α - β όπου α β /, 39 Θεωρούμε τη συνάρτηση, για την οποία ισχύει ημa, a R για κάθε Δείξτε ότι Αν b a, να αποδείξετε ότι a b συν b a b εφa εφb συν a Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr

22 4? Αν b a π/, δείξτε ότι a ημ a b ημ b 3a b 4 Εφαρμόζοντας το ΘΜΤ σε κατάλληλη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι ισχύει συνa π b aεφa ln b a εφb, όπου α b συνb 43 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο με y και υπάρχει u R, τέτοιος ώστε για κάθε να ισχύει ημu, δείξτε ότι y ημu 44 Δίνεται μια συνάρτηση συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο a,b με για κάθε a, b Να δείξετε ότι για κάθε, [ a, b] Στη συνέχεια να δείξετε ότι ημ ημy y, για κάθε,y 45 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο α,β, a Θεωρούμε ότι υπάρχουν,,,, τέτοιο ώστε και ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο α,β, δείξτε ότι 46 Δίνεται μια συνάρτηση συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο a,b με a b Να αποδείξετε ότι: Α Η εξίσωση a b έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα a,b B Υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, τέτοια ώστε να ισχύει: b a b a 47 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[, c] R, τέτοια ώστε και c c Α Δείξτε ότι υπάρχει, c τέτοιος ώστε c - ξ Β Αν επιπλέον η είναι παραγωγίσιμη στο,c, δείξτε ότι υπάρχουν ξ,ξ, c με ξ ξ ξ c, τέτοιοι ώστε 48 Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [a,b] και παραγωγίσιμη στο διάστημα a,b Να αποδείξετε ότι για κάθε, h [ a, b], h, υπάρχει c, τέτοιο ώστε να ισχύει h h ch 49 Αποδείξτε ότι ln 5 Δείξτε ότι για κάθε > ισχύει για κάθε 5 Αποδείξτε ότι e για κάθε ln 5 Αν a, δείξτε ότι για κάθε ισχύει a a Σταθερές Συναρτήσεις 53 Αν οι συναρτήσεις, είναι παραγωγίσιμες στο R, ισχύει,, για κάθε στο R και,, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr

23 54 Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με για κάθε Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή 55 Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο R για την οποία ισχύει y y για κάθε,y Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή 56 Να προσδιοριστεί η συνάρτηση για την οποία ισχύουν και * 57 Δίνεται συνάρτηση : R R με y y για κάθε, y R Αν η είναι παραγωγίσιμη στο με, να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο R με για κάθε R Στη συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση 58 Έστω η συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, τέτοια ώστε για κάθε 3 R Επιπλέον δίνεται η συνάρτηση, R 3 Α Δείξτε ότι η είναι σταθερή Β Αν και 3, δείξτε ότι Δίνονται οι συναρτήσεις, για τις οποίες ισχύει Οι, είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R, για κάθε Να αποδείξετε ότι : Α Υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει c Β Αν είναι ρίζες της, τότε η έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [, ] 6 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο Α με για κάθε A Αν το Α δεν είναι διάστημα, να εξηγήσετε ότι η μπορεί και να μην είναι σταθερή στο Α 6 Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσμη στο R Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει ce, όπου c μια σταθερά Στη συνέχεια, να προσδιοριστεί η συνάρτηση για την οποία ισχύουν π π συν ημ συν,, και 4 6 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσμη στο R και ισχύει, για κάθε στο R αποδείξτε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε ce Στη συνέχεια να προσδιοριστεί συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο,, όταν ln ln, για κάθε e e e και 63 Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ικανοποιεί τις συνθήκες e ημ συν για κάθε στο R και Υπολογίστε τον αριθμό 64 Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα, και για κάθε a, b, ισχύει η σχέση ab a b b a Να αποδείξετε ότι Α Β Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο με 4, τότε η είναι παραγωγίσιμη σε όλο το διάστημα, Επιπλέον δείξτε ότι για κάθε ισχύει η σχέση 4 και να προσδιορίσετε τη συνάρτηση Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 3 blospotcom, bouboulismyschr

24 Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ 4 blospotcom, bouboulismyschr

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ. Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης. Θ. Κουτσανδρέας Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά θετικής τεχνολογικής κατεύθυνσης ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Θ. Κουτσανδρέας Γεράσιμος Κεφ. ο Διαφορικός Λογισμός Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Παράγωγος αριθμός στο o R Έστω συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο 2ο - Γ Λυκείου Κατεύθυνσης lisari.blogspot@gmail.com 13 Βήματα στο Διαφορικό Λογισμό Κεφάλαιο ο - Κατεύθυνσης (Τελευταία ενημέρωση: 3/1/16) 13 Μαθήματα 34 Ερωτήσεις θεωρίας 177 Άλυτες ασκήσεις _+ 5 ασκήσεις σχολικού βιβλίου Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 94 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης

Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα