Επισκόπηση της μεθόδου αποτίμησης κινδύνου χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων VaR (Value-at- Risk). Εφαρμογή σε Ελληνικά δεδομένα

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Επισκόπηση της μεθόδου αποτίμησης κινδύνου χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων VaR (Value-at- Risk). Εφαρμογή σε Ελληνικά δεδομένα Μεταπτυχιακός φοιτητής: Μαρκόπουλος Ηλίας Επιβλέπων Καθηγητής: Βενέτης Ιωάννης Τριμελής επιτροπή: Βενέτης Ιωάννης, Επίκουρος Καθηγητής Τζελέπης Δημήτριος, Λέκτορας Σόγιακας Βασίλειος, Π.Δ 407 Παρουσίαση εργασίας: 17 Ιουνίου 2010 Ιούνιος

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ιωάννη Βενέτη, για την υπομονή και επιμονή του, για την ερευνητική και επιστημονική καθοδήγησή του, για την ειλικρινή και ανιδιοτελή υποστήριξή του και για την αμέριστη συμπαράστασή του καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της Διπλωματικής Εργασίας. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω και τα έτερα μέλη της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής, κ. Σόγιακα Βασίλειο, καθώς και τον κ. Τζελέπη Δημήτριο, οι οποίοι ευγενικά δέχθηκαν να αξιολογήσουν την διπλωματική μου εργασία. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω όλους τους καθηγητές του τμήματος Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών για τις βάσεις που μου πρόσφεραν σε προπτυχιακό επίπεδο και στις οποίες στήριξα στη συνέχεια τις μεταπτυχιακές μου σπουδές. Ένα μεγάλο ευχαριστώ ανήκει στην οικογένειά μου, στους γονείς μου, τόσο για την ηθική όσο και για την οικονομική τους στήριξη κατά την διάρκεια των σπουδών μου. 2

3 Σύνοψη Στην παρούσα εργασία γίνεται μια ανασκόπηση της μεθόδου μέτρησης κινδύνου Value at Risk (Var). Παρουσιάζουμε μερικούς βασικούς τρόπους μέτρησης του Value at Risk και εφαρμόζουμε σε δεδομένα ενός χαρτοφυλακίου συναλλαγματικών ισοτιμιών και στον γενικό δείκτη του χρηματιστηρίου Αθηνών διαφορετικά μοντέλα GARCH (IGARCH, TGARCH, EGARCH, GARCH) για την εκτίμηση του VaR με ορίζοντα μιας ημέρας (1- day ahead). Εφαρμόζουμε διαφορετικές υποθέσεις για την κατανομή των αποδόσεων (normal, student's-t, ged), χρησιμοποιούμε διαφορετικά μεγέθη δείγματος (250,500,750,1000) και επίπεδα εμπιστοσύνης για το VaR (95% και 99%). Στην συνέχεια τα αποτελέσματα του κάθε μοντέλου ελέγχονται με βάση τον έλεγχο του Kupiec για την καταλληλότητα τους. Λέξεις κλειδιά: Value at Risk, VaR, GARCH Abstract 3

4 Περιεχόμενα 1.Εισαγωγή Μέτρηση κίνδυνου με την μεθοδολογία VaR Τύποι κινδύνου Μεθοδολογία VaR Ορισμός VaR Υπολογισμός VaR - Μέθοδοι Υπολογισμού RiskMetrics - GARCH Historical simulation Hybrid Model CAViaR Quasi Maximum Likelihood GARCH Monte Carlo Simulation Θεωρία Ακραίων Τιμών (Extreme Value Theory) Εμπειρικές εφαρμογές της μεθοδολογίας VaR Εφαρμογή Εφαρμογή σε συναλλαγματικές ισοτιμίες...19 Μεθοδολογία...22 Συμπεράσματα Εφαρμογή στον γενικό δείκτη Χρηματιστηρίου Αθηνών...36 Συμπεράσματα Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

5 1.Εισαγωγή Σύμφωνα με την χρηματοοικονομική θεωρία ο κίνδυνος ορίζεται ως η διασπορά των απροσδόκητων αποτελεσμάτων εξαιτίας της μεταβολής χρηματοοικονομικών μεταβλητών. Έτσι τόσο οι αρνητικές αλλά και οι θετικές αποκλίσεις γύρω από την αναμενόμενη τιμή η τον μέσο πρέπει να θεωρούνται ως πήγες κινδύνου. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα επενδυτών που δεν κατάφεραν να συνειδητοποιήσουν οτι πολύ υψηλές αποδόσεις έκρυβαν και μεγάλο κίνδυνο. Μια πιο επίπεδη (πλατύκυρτη) κατανομή αποδόσεων ενέχει και μεγαλύτερο κίνδυνο από μια κατανομή που οι τιμές είναι πιο μαζεμένες γύρω από τον μέσο (λεπτόκυρτη). Aπο τα τέλη της δεκαετίας του 1980, εξαιτίας πολλών μεγάλων χρηματοοικονομικών κρίσεων (Για παράδειγμα η χρεωκοπία της Αγγλικής τράπεζας Barings το 1995, οι απώλειες της Ιαπωνικής τράπεζας Daiwa το 1995) πολλές από τις οποίες οφείλονταν στην έλλειψη πολιτικών διαχείρισης κινδύνου υπήρξε μεγάλο ενδιαφέρον από μεγάλες τράπεζες, ρυθμιστικές αρχές και την ακαδημαϊκή κοινότητα για την δημιουργία ενός εξελιγμένου μοντέλου για την πρόβλεψη του κινδύνου αγοράς (Market Risk).Το πιο διαδεδομένο μέτρο ποσοτικοποίησης και πρόβλεψης του κινδύνου σήμερα είναι η Αξία σε Κίνδυνο (Value at Risk VaR), το οποίο μετράει την χειρότερη δυνατή απώλεια ενός χαρτοφυλακίου χρηματοοικονομικών στοιχείων για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και για ένα επίπεδο εμπιστοσύνης. Η χρήση του Value at Risk ξεκίνησε τα τέλη της δεκαετίας του 1980 από μεγάλες χρηματοοικονομικές επιχειρήσεις για την μέτρηση του κινδύνου των χαρτοφυλακίων τους. Τα μοντέλα Value at Risk παρουσίασαν τεράστια ανάπτυξη και συνεχή αυξανόμενη χρήση με την ανακοίνωση και την ελεύθερη διάθεση της μεθοδολογίας RiskMetrics από τον χρηματοοικονομικό όμιλο JP Morgan το Τα μέτρα Value at Risk μπορούν να έχουν εφαρμογή τόσο στην διαχείριση κίνδυνου, όσο και για εποπτικούς σκοπούς. Η επιτροπή της Βασιλείας σχετικά με την τραπεζική εποπτεία (1996) επέβαλε στα χρηματοοικονομικά ιδρύματα (τράπεζες και επενδυτικές εταιρίες) ο έλεγχος των κεφαλαιακών τους απαιτήσεων να γίνεται με εκτιμήσεις Value at Risk. Να τονίσουμε ότι στην ερευνητική βιβλιογραφία έχει εμφανιστεί μεγάλος αριθμός 5

6 μεθόδων μέτρησης του VaR. Στην παρούσα εργασία θα παρουσιάσουμε τις πιο διαδεδομένες μεθόδους και θα προχωρήσουμε σε εκτίμηση και αξιολόγηση του VaR με βάση διάφορα υποδείγματα δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (GARCH) τα οποία παράγουν εκτιμήσεις της (δεσμευμένης) διακύμανσης από τις οποίες εξαρτάται άμεσα η εκτίμηση του μέτρου VaR. Στην ενότητα 2 παρουσιάζουμε μια εισαγωγή στον κίνδυνο αγοράς και την μεθοδολογία VaR για την μέτρηση του. Στην ενότητα 3 παρουσιάζουμε μερικές από τις εμπειρικές εφαρμογές της μεθοδολογίας VaR από την διεθνή βιβλιογραφία. Στην ενότητα 4 εφαρμόζουμε σε ένα χαρτοφυλάκιο συναλλαγματικών ισοτιμιών και στον γενικό δείκτη του χρηματιστηρίου Αθηνών διάφορες μεθόδους για τον υπολογισμό του VaR βασισμένες σε υποδείγματα GARCH. 2. Μέτρηση κίνδυνου με την μεθοδολογία VaR 2.1 Τύποι κινδύνου Ο χρηματοοικονομικός κίνδυνος χωρίζεται στις εξής ευρείς κατηγορίες : τον κίνδυνο αγοράς (Market risk), τον πιστωτικό κίνδυνο (Credit risk), τον κίνδυνο ρευστότητας (liquidity risk ),λειτουργικό κίνδυνο(operational risk), νομικό κίνδυνο (legal risk). Market risk (Κίνδυνος Αγοράς) : προέρχεται από τις αλλαγές ή την μεταβλητότητα στις τιμές των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων. Οι βασικοί παράγοντες κινδύνου αγοράς είναι : Κίνδυνος μετοχικών τίτλων (Equity risk), ο κίνδυνος που προέρχεται από την διακύμανση των μετόχων Κίνδυνος επιτοκίου (Interest rate risk), ο κίνδυνος την μεταβολής του επιπέδου των επιτοκίων Συναλλαγματικός κίνδυνος (Currency risk), ο κίνδυνος της μεταβολής τιμής ξένων νομισμάτων 6

7 Κίνδυνος εμπορευμάτων (Commodity risk), ο κίνδυνος ότι θα μεταβληθούν οι τιμές εμπορευμάτων (πχ πετρέλαιο) Credit Risk (Πιστωτικός Κίνδυνος) : Εμφανίζεται όταν κάποιος οφειλέτης δεν είναι σε θέση να εκπληρώσει τις υποχρεώσεις του (πχ κάποιου δανείου, κάποιου ομολόγου η κάποιου χρέους γενικότερα), είναι γνωστός και ως default risk Ο πιστωτικός κίνδυνος συμπεριλαμβάνει και τον Sovereign risk, στην περίπτωση που αντί για κάποια επιχείρηση έχουμε κάποια χώρα η οποία δεν μπορεί να εκπληρώσει τις υποχρεώσεις της. Ο πιστωτικός κίνδυνος παίρνει επίσης την μορφή κινδύνου διακανονισμού (settlement risk) στην περίπτωση που κάποιος αντισυμβαλλόμενος δεν αποπληρώσει κάποια υποχρέωση ενώ το άλλο μέρος έχει ήδη πληρώσει. Αυτή η περίπτωση εμφανίζεται κυρίως σε περιπτώσεις ξένου συναλλάγματος. Ένα γνωστό παράδειγμα είναι η περίπτωση της Γερμανικής τράπεζας Herstatt Bank η οποία όταν χρεοκόπησε το 1974 είχε ήδη λάβει πληρωμές από κάποιους συμβαλλόμενους σε Γερμανικά Μάρκα αλλά αθέτησε τις δική της υποχρέωση να κάνει πληρωμές σε Αμερικάνικα Δολάρια στην συνέχεια της μέρας, καθώς χρεοκόπησε στο ενδιάμεσο διάστημα. Liquidity Risk (Κίνδυνος ρευστότητας) : Λαμβάνει δυο κύριες μορφές : Ρευστότητα αγοράς/προϊόντος (Market/product liquidity) : Εμφανίζεται όταν μια συναλλαγή δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί στις τρέχουσες τιμές αγοράς εξαιτίας ανεπαρκούς δραστηριότητας στην αγορά. Για παράδειγμα κάποιος που χρειάζεται κεφάλαια και δεν έχει την κατάλληλη πιστοληπτική ικανότητα για να τα αντλήσει. Ρευστότητα ταμειακών ροών/χρηματοδότησης (cash flow/funding liquidity) : Αναφέρεται στην αδυναμία να εκπληρωθούν ταμειακές απαιτήσεις, κάτι που μπορεί να έχει σαν αποτέλεσμα την αναγκαστική ρευστοποίηση περιουσιακών στοιχείων Ο κίνδυνος χρηματοδότησης μπορεί να αντιμετωπιστεί με σωστό σχεδιασμό των αναγκών των ταμειακών ροών κάτι που μπορεί να γίνει θέτοντας όρια στα ταμειακά 'κενά' 7

8 Operational Risk (Λειτουργικός Κίνδυνος) : Αναφέρεται στον κίνδυνο που προέρχεται από ανεπαρκή συστήματα, διοικητική αποτυχία, ελαττωματικούς ελέγχους, απάτη και ανθρώπινο λάθος. Ένα κομμάτι του λειτουργικού κινδύνου είναι ο εκτελεστικός κίνδυνος(executional risk), ο οποίος αφορά την περίπτωση κάποιες συναλλαγές να μην εκτελεστούν με αποτέλεσμα δαπανηρές καθυστερήσεις. Ένα ακόμα κομμάτι του λειτουργικού κινδύνου είναι ο τεχνολογικός κίνδυνος (technology risk) ο οποίος προέρχεται από βλάβες τεχνολογικών συστημάτων,απώλειες εξαιτίας φυσικών καταστροφών κτλ. Λειτουργικά προβλήματα μπορούν να δημιουργηθούν και από θέματα αξιολόγησης. 2.2 Μεθοδολογία VaR Ορισμός VaR Αξία σε κίνδυνο (Value at Risk) είναι το πιο διαδεδομένο μέτρο υπολογισμού του κινδύνου και ορίζεται ως η χειρότερη αναμενόμενη έκβαση ενός χαρτοφυλακίου σε ένα προκαθορισμένο χρονικό διάστημα και για ένα συγκεκριμένο επίπεδο εμπιστοσύνης. Για παράδειγμα ένα 1-day ahead VaR με επίπεδο εμπιστοσύνης 99% μας δείχνει ότι την επόμενη μέρα οι απώλειες του χαρτοφυλακίου δεν θα είναι μεγαλύτερες από το VaR με πιθανότητα 99%. Σύμφωνα με τον Tsay (2002) την χρονική περίοδο t και για πιθανότητα p το VaR των L επόμενων περιόδων ορίζεται ως p=pr [ ΔV L VaR]=F L VaR, οπού ΔV(L) είναι η μεταβολή του χαρτοφυλακίου για την περίοδο t έως t+l και F L η αθροιστική συνάρτηση κατανομής των ΔV(L). Το Value at Risk είναι ένα πολύ σημαντικό μέτρο κινδύνου γιατί μπορεί να συνοψίσει σε έναν μόνο αριθμό την συνολική έκθεση μιας επιχείρησης ή ενός οργανισμού στον κίνδυνο αγοράς. 8

9 Eίναι η πλέον διαδεδομένη μέθοδος για την ποσοτικοποίηση του κινδύνου αγοράς, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τον υπολογισμό του πιστωτικού κινδύνου. Ο κίνδυνος ρευστότητας δεν είναι εύκολο να ποσοτικοποιηθεί με την μεθοδολογία Value at Risk και μπορεί να διαφέρει ανάλογα με τις συνθήκες τις αγοράς. Παρά το ότι αυτός ο κίνδυνος δεν μπορεί να μετρηθεί σωστά με την μέθοδο Value at Risk οι περίοδοι ρευστοποίησης έχουν μεγάλη σχέση με τον ορίζοντα των μεθόδων Value at Risk Υπολογισμός VaR - Μέθοδοι Υπολογισμού Για να υπολογίσουμε την Αξία σε Κίνδυνο (Value at Risk) πρέπει καταρχήν να ορίσουμε τους δυο βασικούς παράγοντες, το επίπεδο εμπιστοσύνης και το χρονικό διάστημα για το οποίο θα κάνουμε την εκτίμηση. Το χρονικό διάστημα ποικίλει ανάλογα με την περίπτωση, για παράδειγμα σε χαρτοφυλάκια που μεταβάλλονται πολύ συχνά επιλέγεται περίοδος μιας ημέρας, αντίθετα για επενδυτικά χαρτοφυλάκια που η έκθεση τους στον κίνδυνο δεν μεταβάλλεται συχνά μπορεί να επιλεγεί περίοδος ενός μήνα. Το επίπεδο εμπιστοσύνης συνήθως κυμαίνεται μεταξύ 95% και 99%. Παρά το γεγονός ότι ο ορισμός του VaR είναι σχετικά απλός υπάρχουν πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις στον υπολογισμό του. Η βασική τους διάφορα είναι ο τρόπος υπολογισμού της κατανομής των αποδόσεων του χαρτοφυλακίου, μερικές μέθοδοι υποθέτουν κάποιες δεδομένες κατανομές για τις αποδόσεις (κανονική, student's t,κτλ), ενώ κάποιες άλλες βασίζονται σε μη παραμετρικές μεθόδους και δεν κάνουν κάποια υπόθεση για συγκεκριμένη κατανομή των αποδόσεων. Μπορούμε να χωρίσουμε τις διάφορες μεθοδολογίες σε 3 γενικές κατηγορίες (Engle and Manganelli, 2001) : Παραμετρικές μέθοδοι. Για παράδειγμα η μεθοδολογία Risk Metrics και η Οικονομετρική Μέθοδος (Econometric Approach) Μη παραμετρικές μέθοδοι. Για παράδειγμα η μέθοδος Ιστορικής Προσομοίωσης (Historical Simulation) και το Υβριδικό Μοντέλο (Hybrid Model) 9

10 Ημιπαραμετρικές μέθοδοι. Για παράδειγμα η Θεωρία Ακραίων Τιμών (Extreme Value Theory) και το υπόδειγμα Διευρυμένου αυτοπαλίνδρομου Value at Risk Conditional Autoregressive Value at Risk (CAViaR) RiskMetrics - GARCH H μέθοδος RiskMetrics δημιουργήθηκε από την J.P Morgan για τον υπολογισμό του VaR και για τον υπολογισμό της δεσμευμένης διακύμανσης χρησιμοποιεί έναν Εκθετικό Σταθμισμένο Κινούμενο Μέσο (Exponentially Weighted Moving Average), που αντιστοιχεί σε ένα οικονομετρικό Integrated GARCH (IGARCH) μοντέλο. Στην πιο απλή της μορφή υποθέτει ότι οι ημερήσιες αποδόσεις ενός χαρτοφυλακίου ( ) ακολουθούν (δεσμευμένα ως προς τις παρελθοντικές αποδόσεις r t 1, r t 2... ) την 2 κανονική κατανομή με μέσο μ t και τυπική απόκλιση σ t. Επιπλέον υποθέτει ότι ο μέσος και η τυπική απόκλιση εκφράζονται από τις σχέσεις : r t μ t =0 σ t =α σ t 1 1 α r t 1, 0 α 1 Ο λογάριθμος της τιμής p t =ln P t ικανοποιεί την εξίσωση p t p t 1 =α t, οπού α t =σ t ε t είναι μια IGARCH(1,1) διαδικασία, με το α να λαμβάνει συνήθως τιμή στο διάστημα (0.9,1). ε t : ονομάζεται διαδικασία της καινοτομίας και στο συγκεκριμένο μοντέλο ε t ~i.i.d. 0,1 (λευκός θόρυβος) To VaR με την μέθοδο Risk Metrics για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% και περίοδο μιας ημέρας μπορεί να υπολογιστεί ως : VaR=ΠοσόΤοποθέτησης 1.96 σ t 1,οπου 1.96 είναι η τιμή της κανονικής κανονικής κατανομής για 95% επίπεδο εμπιστοσύνης. Το VaR για ορίζοντα k ημερών θα είναι : VaR k =ΠοσόΤοποθέτησης 1.96 k σ t 1 10

11 Η συγκεκριμένη μέθοδος μπορεί να επεκταθεί, υιοθετώντας διαφορετικά GARCH μοντέλα και κάνοντας διαφορετικές υποθέσεις για την κατανομή της διαδικασίας των καινοτομιών και της απόδοσης του χαρτοφυλακίου που εξετάζεται. Στο επόμενο κομμάτι της εργασίας θα παρουσιάσουμε μια εφαρμογή με διάφορα μοντέλα GARCH για την πρόβλεψη της 1-step ahead δεσμευμένης διακύμανσης, υποθέτοντας διαφορετικές κατανομές για την διαδικασία των καινοτομιών (και άρα και των αποδόσεων) Σύμφωνα με τους Engle και Manganelli (2001), το μειονέκτημα αυτών των μεθόδων είναι ότι τείνουν να υποεκτιμούν το Value at Risk, καθώς η υπόθεση για κανονικότητα της διαδικασίας των καινοτομιών δεν φαίνεται να είναι συνεπής με την συμπεριφορά των χρηματοοικονομικών αποδόσεων. Το πλεονέκτημα τους όμως είναι ότι επιτρέπουν τον πλήρη χαρακτηρισμό της κατανομής των αποδόσεων, επιτρέποντας να υπάρξει πιθανή βελτίωση, εφόσον η υπόθεση της κανονικότητας αντικατασταθεί με κάποια άλλη κατανομή Historical simulation Μια από τις πιο συνηθισμένες μη παραμετρικές μεθόδους υπολογισμού του VaR είναι η ιστορική προσομοίωση (Historical simulation). Σε αυτήν την μέθοδο δεν γίνεται η υπόθεση ότι οι αποδόσεις ακολουθούν την κανονική κατανομή, αλλά απλά ότι έχουν την ίδια κατανομή σε ολόκληρη την περίοδο πρόβλεψης, χωρίς να αναφέρεται ο τύπος της κατανομής. Καταρχήν επιλέγεται ένα ''παράθυρο'' παρατηρήσεων (συνήθως 6μηνες έως 2 έτη), στην συνέχεια οι αποδόσεις του χαρτοφυλακίου σε αυτό το παράθυρο ταξινομούνται σε αύξουσα σειρά και το θ-ποσοστημόριο που ψάχνουμε είναι η απόδοση που αφήνει θ% των παρατηρήσεων στην αριστερή πλευρά και (1-θ)% στην δεξιά πλευρά Για να υπολογιστεί το VaR της επόμενης ημέρας το παράθυρο των παρατηρήσεων μετακινείται κατά μια ημέρα. 11

12 Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου είναι η ευκολία υπολογισμού και η μη υπόθεση κάποιας συγκεκριμένης κατανομής. Παρόλα αυτά έχει αρκετά μειονεκτήματα : Θεωρεί ότι η κατανομή των αποδόσεων είναι ίδια στην περίοδο του δείγματος και στην περίοδο της πρόβλεψης, κάτι που στην πράξη σημαίνει ότι η αξία σε κίνδυνο (VaR) από την πρόβλεψη δεν θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ιστορική αξία σε κίνδυνο. Για ακραία ποσοστημόρια (Πχ p κοντά στο 0 ή το 1) τα εμπειρικά ποσοστημόρια δεν είναι αποτελεσματικές εκτιμήσεις (efficient estimates) των θεωρητικών ποσοστημορίων Σε περίπτωση που έχουμε μια αλλαγή στην διακύμανση των αποδόσεων, για παράδειγμα εάν πάμε από μια περίοδο χαμηλής διακύμανσης σε μια περίοδο υψηλής διακύμανσης το VaR που θα υπολογιστεί με την μέθοδο της ιστορικής προσομοίωσης θα είναι μεροληπτικό προς τα κάτω (ή αντίστοιχα προς τα πάνω σε περίπτωση που πάμε σε περίοδο μικρότερης διακύμανσης) καθώς θα πρέπει να περάσει χρόνος μέχρι οι αποδόσεις από την περίοδο χαμηλής διακύμανσης να φύγουν από το παράθυρο. Η μέθοδος της ιστορικής προσομοίωσης οδηγεί σε ''άλματα'' του VaR εξαιτίας των ακραίων αποδόσεων Hybrid Model Το υβριδικό μοντέλο προτάθηκε από τους Boudoukh, Richardson και Whitelaw (1998). Είναι μια μέθοδος που συνδυάζει την μεθοδολογία RiskMetrics και την ιστορική προσομοίωση εφαρμόζοντας εκθετικά φθίνουσες σταθμίσεις στις ιστορικές αποδόσεις του χαρτοφυλακίου, δίνοντας μεγαλύτερο ειδικό βάρος στις ποιο πρόσφατες παρατηρήσεις. Ακολουθούνται τα εξής βήματα : 1. Σε κάθε μια από τις Κ πιο πρόσφατες αποδόσεις του χαρτοφυλακίου y t, y t 1,..., y t Κ 1 αντιστοιχεί μια στάθμιση 1 λ 1 λ 1 λ, λ,..., K K 1 λ 1 λ 1 λ K λκ 1 Οι Boudoukh, Richardson και Whitelaw έθεσαν το λ=97 ή λ=99 2. Οι αποδόσεις διατάσσονται σε αύξουσα σειρά 3. Για να υπολογιστεί το θ% VaR αθροίζονται οι σταθμίσεις μέχρι να φτάσουμε στο θ%, το VaR του χαρτοφυλακίου θα είναι η απόδοση που θα αντιστοιχεί στην τελευταία στάθμιση του αθροίσματος. 12

13 CAViaR Το Conditional Autoregressive Value at Risk (CAViaR) προτάθηκε από τους Engle και Manganelli το 1999.Τα μοντέλα CAViaR μελετούν την εξέλιξη των ποσοστημορίων στον χρόνο χρησιμοποιώντας μια αυτοσυσχετιζόμενη διαδικασία, και όχι ολόκληρη την κατανομή των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου. Μια απλουστευμένη μορφή του υποδείγματος είναι η παρακάτω : p VaR t = f χ t, β θ = β 0 β i VaR t 1 l β p 1,..., β p q ; Ω t 1 i=1 και μπορεί να απλουστευτεί ως : VaR t = β 0 β 1 VaR t 1 l β 2, y t 1,VaR t 1 ο αυτοσυσχετιζόμενος όρος β 1 VaR t 1 εγγυάται ότι το Value at Risk θα κινείται ομαλά στον χρόνο, ενώ ο όρος l β 2, y t 1, VaR t 1 συνδέει το Value at Risk στο y t 1, δηλαδή υπολογίζεται πόσο πρέπει να μεταβληθεί το VaR με τις νέες πληροφορίες που εισέρχονται στο y. Με την αλλαγή των ιδιοτήτων της συνάρτησης l μπορεί να εκτιμηθεί μεγάλος αριθμός διαφορετικών υποδειγμάτων. Οι άγνωστες παράμετροι του υποδείγματος εκτιμούνται με την χρήση μη γραμμικής παλινδρόμησης ποσοστημορίων (non-linear quantile regression).η συγκεκριμένη μεθοδολογία δεν χρειάζεται κάποια υπόθεση παρά μόνο να οριστεί σωστά η διαδικασία ποσοστημορίων (quantile process). Δεν χρειάζεται να γίνει κάποια υπόθεση για τα σφάλματα, άρα μειώνεται ο κίνδυνος μη σωστού προσδιορισμού του υποδείγματος Quasi Maximum Likelihood GARCH Ένα από τα προβλήματα της μεθοδολογίας GARCH για τον υπολογισμό του Value at Risk είναι η υπόθεση ότι οι διαδικασία της καινοτομίας ακολουθεί την κανονική κατανομή, ενώ οι αποδόσεις των χρηματοοικονομικών δεικτών εμφανίζουν μακριές ουρές (heavy tails). Παρόλα αυτά η υπόθεση της κανονικότητας δεν είναι τόσο αυστηρή. Οι Bollerslev και Woolridge (1992) έδειξαν ότι η μεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας για ένα GARCH υπόδειγμα με υπόθεση κανονικότητας μπορεί να αποδώσει συνεπείς εκτιμητές, εφόσον η συνάρτηση της διακύμανσης έχει προσδιοριστεί σωστά, ακόμα και εάν η διαδικασία της καινοτομιών δεν κατανέμεται κανονικά. Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται Quasi 13

14 Maximum Likelihood (QML) GARCH. Πολλές έρευνες έχουν χρησιμοποιήσει αυτήν την ιδιότητα, για παράδειγμα οι Engle και Manganelli (1999) προτείνουν τον υπολογισμό του VaR χρησιμοποιώντας την μέθοδο QML GARCH και στην συνέχεια πολλαπλασιάζοντας το εμπειρικό ποσοστημόριο της κατανομής της διαδικασίας της καινοτομίας με την τετραγωνική ρίζα της εκτιμημένης διακύμανσης από την μέθοδο QML Monte Carlo Simulation Αυτή η μέθοδος έχει αρκετές ομοιότητες με την μέθοδο της Ιστορικής Προσομοίωσης. Η βασική τους διαφορά είναι ότι με την Monte Carlo προσομοίωση δεν χρησιμοποιούνται οι πραγματικές τιμές των αποδόσεων για τον υπολογισμό του VaR αλλά προσομοιώσεις των αποδόσεων. Σε αυτήν την μέθοδο επιλέγεται μια κατανομή που εκφράζει (η πλησιάζει) την κατανομή των αποδόσεων και στην συνέχεια μέσω αριθμητικών μεθόδων (pseudo random generator) δημιουργούνται Ν πιθανές αλλαγές στους παράγοντες της αγοράς (περισσότερες από 1000 περιπτώσεις), στην συνεχεία αυτοί οι υποθετικοί παράγοντες χρησιμοποιούνται για την παραγωγή Ν υποθετικών τιμών του χαρτοφυλακίου και από αυτές τις τιμές υπολογίζεται μια κατανομή από την οποία υπολογίζεται το VaR όμοια με την μέθοδο της Ιστορικής Προσομοίωσης Θεωρία Ακραίων Τιμών (Extreme Value Theory) Η Θεωρία Ακραίων Τιμών είναι ένα κομμάτι της στατιστικής το οποίο ασχολείται με την μελέτη των ουρών των κατανομών. Σύμφωνα με τον Tsay (2002) για Τ παρατηρήσεις χωρίζουμε το δείγμα σε g μη επικαλυπτόμενες υποπεριόδους μεγέθους n, έτσι ώστε T=ng. Εαν T=ng+m με 1 m n τότε διαγράφουμε τις m πρώτες παρατηρήσεις από το δείγμα. Μέσω της Θεωρίας Ακραίων Τιμών και της μεθόδου της Μέγιστης Πιθανοφάνειας εκτιμούμε συντελεστές β n, α n, k n οι οποίοι είναι εκτιμητές των παραμέτρων της θέσης, της κλίμακας και του σχήματος (location, scale, shape) του 14

15 ελαχίστου της υποπεριόδου (subperiod minima) {r n,i }. Χρησιμοποιώντας αυτές τις παραμέτρους μπορούμε να υπολογίσουμε για δεδομένη πιθανότητα το ποσοστημόριο της γενικευμένης κατανομής ακραίων τιμών (generalized extreme value distribution). Το Value-at-risk θα είναι : VaR={ β n α n k n {1 [ nln 1 p ] n k }} if k n 0 VaR={ β n α n 1 [ nln 1 p ]}if k n =0 Σύμφωνα με τον Engle (1999) το βασικό πλεονέκτημα της συγκεκριμένης μεθοδολογίας είναι ότι η χρήση μιας γενικευμένης κατανομής ακραίων τιμών για την παραμετροποίηση των απολήξεων δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστική καθώς καλύπτει τις περισσότερες κατανομές που χρησιμοποιούνται συνήθως. Αντίθετα παρουσιάζει και αρκετά μειονεκτήματα, ένα απο αυτά είναι ότι η υπόθεση για i.i.d δεν συμβαδίζει με τα χαρακτηριστικά των χρηματοοικονομικών δεδομένων. Ένα ακόμα μειονέκτημα είναι ότι η Θεωρία Ακραίων Τιμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά επίπεδα πιθανοτήτων το πόσο μικρά είναι αυτά τα επίπεδα είναι δύσκολο να πούμε εκ των προτέρων. ή 15

16 3. Εμπειρικές εφαρμογές της μεθοδολογίας VaR Τις τελευταίες δυο δεκαετίες έχει υπάρξει μεγάλος αριθμός από εμπειρικές εφαρμογές που βασίζονταν στην μεθοδολογία Value at Risk, στην συνεχεία παρουσιάζουμε μερικές από αυτές. Οι Angelidis,Benos και Degiannakis (2004) αξιολόγησαν την επίδοση διαφορετικών GARCH υποδειγμάτων στην μοντελοποίηση του ημερήσιου Value at Risk χρησιμοποιώντας διαφορετικά μεγέθη δείγματος και υποθέσεις κατανομών σε χαρτοφυλάκια 5 διαφορετικών δεικτών (S&P500, NIKKEI 225, FTSE 100, CAC 40 και DAX 30). Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι λεπτόκυρτες κατανομές έχουν την δυνατότητα για καλύτερες 1-step ahead προβλέψεις του Value at Risk, το μέγεθος του δείγματος παίζει σημαντικό ρόλο και η εξειδίκευση του δεσμευμένου μέσου δεν έχει σημασία. Σύμφωνα με την έρευνα η ARCH διαδικασία που επιτυγχάνει τα βέλτιστα αποτελέσματα ποικίλει ανάλογα με τον κάθε χρηματοοικονομικό δείκτη. Οι Pierre Giot και Sebastien Laurent (2001) υπολόγισαν το Value at Risk για χρηματιστηριακούς δείκτες χρησιμοποιώντας ARCH μοντέλα βασισμένα στην ασύμμετρη student κατανομή. Το αποτέλεσμα είναι ότι τα μοντέλα με συμμετρικές κατανομές δεν είναι επαρκή σε σχέση με τα μοντέλα που υποθέτουν ασύμμετρες κατανομές όταν ενδιαφερόμαστε για την ερμηνεία τόσο της αριστερής όσο και της δεξιάς ουράς της κατανομής (για παράδειγμα επενδυτές με short και long positions). Προτείνεται η χρήση APARCH μοντέλου βασισμένου στην ασύμμετρη student κατανομή για τον υπολογισμό VaR ώστε να ληφθούν υπόψιν οι μακριές απολήξεις (fat tails) της κατανομής των αποδόσεων. Οι Guermat και Harris (2002) χρησιμοποίησαν ένα Εκθετικά Σταθμισμένο μοντέλο Μεγίστης Πιθανοφάνειας (exponentially weighted maximum likelihood (EWML))για την εκτίμηση του Value at Risk χωρίς να θεωρούν ότι η διακύμανση και η κύρτωση τον αποδόσεων είναι σταθερή στον χρόνο. Χρησιμοποίησαν δεδομένα από 3 αντιπροσωπευτικά χαρτοφυλάκια μετοχών της Αμερικής, της Ιαπωνίας και του Ηνωμένου Βασιλείου. Το αποτέλεσμα ήταν βελτίωση σε σχέση με τα GARCH και EWMA μοντέλα για υψηλά επίπεδα εμπιστοσύνης. 16

17 Οι Berkowitch και O'Brien (2002) αξιολόγησαν τις επιδόσεις των μοντέλων που χρησιμοποιούνται από μεγάλες τράπεζες για τον υπολογισμό του Value at Risk, συγκρίνοντας το VaR αυτά τα μοντέλα με τον VaR μέσω ενός απλού GARCH μοντέλου. Το συμπέρασμα της ερευνάς ότι τα απλά ARMA-GARCH μοντέλα είχαν καλύτερα αποτελέσματα από πιο πολύπλοκα μοντέλα για την εκτίμηση του VaR. Ο Daryll Hendricks (1996) αξιολόγησε την επίδοση μοντέλων Value at Risk εφαρμόζοντας τα σε 1000 τυχαία χαρτοφυλάκια συναλλαγματικών ισοτιμιών. Τα συμπεράσματα της έρευνας είναι ότι υπάρχει ικανοποιητική επίδοση για 95% επίπεδο σημαντικότητας από όλα τα μοντέλα, αλλά για 99% επίπεδο σημαντικότητας τα αποτελέσματα είναι λιγότερο αξιόπιστα, με τις μεθόδους ιστορικής προσομοίωσης να υπερεκτιμούν το Value at Risk περισσότερο από τις μεθόδους Διακύμανσης- Συνδιακύμανσης. Οι Engle και Manganelli (1999) αξιολόγησαν διάφορα διαδεδομένα υποδείγματα για τον υπολογισμό του Value at Risk, χρησιμοποιώντας Monte Carlo προσομοίωση. Παρήγαγαν δεδομένα χρησιμοποιώντας GARCH διεργασίες για διάφορες κατανομές και σύγκριναν τα εκτιμημένα ποσοστημόρια με τα πραγματικά. Το αποτέλεσμα ήταν ότι τα CAViaR μοντέλα έχουν την καλύτερη αποτελεσματικότητα για κατανομές με βαριές ουρές (heavy tails). Οι Kuester, Mittnik και Paolella (2005) σύγκριναν την (out of sample) απόδοση μοντέλων για την πρόβλεψη του Value at Risk. Χρησιμοποιώντας δεδομένα 30 ετών από τον δείκτη NASDAQ, κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι περισσότερες μέθοδοι είναι αναποτελεσματικές, παρά το ότι αρκετές από αυτές είναι αποδεκτές από τους ρυθμιστικούς κανονισμούς για την ακρίβεια των υποδειγμάτων. Μια υβριδική μέθοδος που συνδυάζει ένα υπόδειγμα GARCH με κατανομή καινοτομιών που παρουσιάζει μακριές ουρές με μια προσέγγιση βασισμένη στην Θεωρία Ακραίων Τιμών έχει τα καλύτερα αποτελέσματα. Οι Christoffersen, Hahn και Inoue (2001) συγκρίνουν την χρησιμότητα διαφόρων μεθόδων μέτρησης της διακύμανσης για την διαχείριση κινδύνου (GARCH, RiskMetrics, Implied και Reprojected volatility). Εφαρμόζουν τις διάφορες μεθόδους σε δεδομένα του δείκτη S&P500 για ορίζοντα μιας ημέρας και εφαρμόζουν μια μεθοδολογία για να συγκρίνουν μεταξύ τους ένα προς ένα τα μοντέλα μέτρησης της δεσμευμένης διακύμανσης για την μέτρηση του Value at Risk. 17

18 Οι Leon Li και William Lin (2004) εκτίμησαν το Value at Risk για τις αποδόσεις διαφόρων χρηματιστηριακών δεικτών (Dow Jones, Nikkei, Frankfurt Commerzbank index, and FTSE) χρησιμοποιώντας Markov Switching ARCH (SWARCH) μοντέλα. Τα αποτελέσματα είναι ότι υπάρχει βελτίωση στην εκτίμηση του Value at Risk όταν έχουμε περίπτωση κύρτωσης και βαριές ουρές στις κατανομές των αποδόσεων σε σχέση με τα ARCH και GARCH υποδείγματα. Οι Danielsson και de Vries (2000) πρότειναν μια ημιπαραμετρική μέθοδο υπολογισμού του Value at Risk βασισμένη στην Θεωρία Ακραίων τιμών. Χρησιμοποιώντας δεδομένα 6 ετών (1500 ημέρες) από 6 τυχαίες Αμερικάνικες μετοχές και την τιμή της μετοχής της JP Morgan συνέκριναν τα αποτελέσματα με αυτά της Ιστορικής Προσομοίωσης και της μεθόδου RiskMetrics. Το αποτέλεσμα ήταν ότι η ημιπαραμετρική μέθοδος αποδίδει τα πιο ακριβή αποτελέσματα. 18

19 4. Εφαρμογή 4.1 Εφαρμογή σε συναλλαγματικές ισοτιμίες Σε αυτό το κομμάτι θα εφαρμόσουμε διάφορες μεθόδους για τον υπολογισμό της Αξίας σε Κίνδυνο (Value at Risk, VaR) Τα δεδομένα μας αποτελούνται από τις 2841 ημερήσιες % λογαριθμικές αποδόσεις τεσσάρων συναλλαγμάτων από τις 4/1/1999 έως τις 16/4/2010. Επιλέξαμε τις αποδόσεις των ισοτιμιών: Δολαρίου/Ευρώ (USDol/Euro), Δολαρίου/Δολαρίου Καναδα (USDol/Canadian), Δολαρίου/Λίρα Αγγλίας(Usdol/Uk), Γιεν/Δολαρίου( Yen/UsDol). Οι αποδόσεις δίνονται ως r t =100 ln p i,t p i,t 1 όπου i υποδηλώνει ισοτιμία και p i, t την τιμή της ισοτιμίας. Από αυτά τα νομίσματα δημιουργήσαμε ένα ισοβαρές χαρτοφυλάκιο του οποίου την 4 απόδοση r t = i =1 1 4 r i, t θα μελετήσουμε ως προς την Αξία σε Κίνδυνο υιοθετώντας διαφορετικές υποθέσεις σχετικά με την δεσμευμένη διακύμανση. Ειδικότερα, θα μεταβάλλουμε τον τρόπο υποδειγματοποίησης της δεσμευμένης διακύμανσης (άρα και την πρόβλεψή της) χρησιμοποιώντας τα υποδείγματα GARCH, IGARCH, EGARCH και TGARCH καθώς και διαφορετικές υποθέσεις αναφορικά με την κατανομή των καινοτομιών (άρα και των αποδόσεων). Τα υποδείγματα αυτά αναλύονται στην συνέχεια. Το παρακάτω γράφημα παρουσιάζει τις λογαριθμικές αποδόσεις του χαρτοφυλακίου που δημιουργήσαμε 19

20 RET Ενώ στο επόμενο σχήμα βλέπουμε το ιστόγραμμα των αποδόσεων και μερικά περιληπτικά στατιστικά χαρακτηριστικά Παρατηρούμε ότι η μέση και διάμεση απόδοση είναι εξαιρετικά κοντά στο μηδέν κάτι που επαληθεύει την συνήθη υπόθεση που κάνει η προσέγγιση VaR (μηδενικές μακροχρόνιες αποδόσεις συνάδουν με την αποτελεσματικότητα της αγοράς και την μη-ύπαρξη προβλεψιμότητας δηλαδή επίμονων μακροχρόνιων θετικών ή αρνητικών αποδόσεων). Η μέγιστη απόδοση που παρατηρήσαμε είναι 1,5% ενώ η μικρότερη 2,3% με τυπική 20

21 απόκλιση 0,2687%. Επίσης βεβαιώνεται από τον παραπάνω πίνακα, η ασυμμετρία των αποδόσεων (αρνητική ασυμμετρία) για το σχετικό δείγμα όπως και λεπτοκύρτωση με τον εκτιμημένο συντελεστή κύρτωσης να υπερβαίνει κατά πολύ αυτόν της κανονικής κατανομής. Ο έλεγχος Jarque-Bera απορρίπτει την υπόθεση περί κανονικότητας των αποδόσεων με p-value (τιμή πιθανότητας) Στην συνέχεια θα ελέγξουμε αν οι αποδόσεις είναι ασυσχέτιστες (λευκός θόρυβος) ή αν πρέπει να υποδειγματοποιήσουμε τον δεσμευμένο μέσο των λογαριθμικών αποδόσεων k μέσω πιθανώς ενός AR(k) υποδείγματος : Ε r t F t 1 = ρ 0 i=1 (υστέρησης κ) ρ i r t i χαμηλής τάξης Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα αποτελέσματα της στατιστικής Ljung-Box (Q-stat) και την αντίστοιχη τιμή πιθανότητας. Παρατηρούμε ότι η μηδενική υπόθεση περί μησυσχέτισης δεν απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Υστέρηση Q-Stat Prob Επίσης, εκτιμήσεις υποδειγμάτων τύπου ARMA(p,q) για p,q=0,1,2 έδειξαν ανυπαρξία συσχέτισης. Άρα δεν θα υποδειγματοποιήσουμε τον δεσμευμένο μέσο. 21

22 Μεθοδολογία Θα προχωρήσουμε σε διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις της δεσμευμένης διακύμανσης σ + υιοθετώντας διαφορετικά (δημοφιλή στην εμπειρική έρευνα) μοντέλα GARCH, 2 ˆT 1 χρησιμοποιώντας δείγματα που αποτελούνται από τις 250, 500, 750 και 1000 τελευταίες παρατηρήσεις του δείγματος μας (καλύπτουν τις χρονικές περιόδους 20/4/ /4/2010,21/4/ /4/2010,26/4/ /4/2010 και 28/4/ /4/2010 αντίστοιχα) ανάλογα με το GARCH μοντέλο που επιλέγουμε κάθε φορά. Στην συνέχεια, θα προβούμε σε διαφορετικές υποθέσεις για την κατανομή της διαδικασίας της καινοτομίας (άρα και των αποδόσεων) και θα υπολογίζουμε την αντίστοιχη Αξία σε Κίνδυνο (Value at Risk) για το δείγμα που εξετάζουμε σύμφωνα με τον γενικό τύπο : VaR t 1 =F x σ t 1,όπου F(x) είναι to 95% ή 99% ποσοστημόριο της κατανομής την οποία έχουμε υποθέσει ότι ακολουθούν οι λογαριθμικές αποδόσεις. Backtesting Ο έλεγχος της καταλληλότητας των υποδειγμάτων θα γίνει σύμφωνα με το μοντέλο της επιτροπής της Βασιλείας. Θα μετρήσουμε τις ημέρες στο δείγμα μας κατά τις οποίες η απόδοση του χαρτοφυλακίου ήταν μικρότερη από το αναμενόμενο VaR που υπολογίσαμε και θα διαιρέσουμε αυτόν τον αριθμό με το μέγεθος του δείγματος για το οποίο έχουμε κάνει εκτίμηση ορίζοντας το Failure rate=failures/t. Στην συνέχεια συγκρίνουμε το Failure Rate με το διάστημα εμπιστοσύνης που έχουμε χρησιμοποιήσει για τον υπολογισμό του VaR. Ένας έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας (likelihood ratio test, LR) που προτάθηκε από τον Kupiec (1995) θα μας δείξει εάν το μοντέλο που χρησιμοποιήσαμε πρέπει να απορριφθεί ή όχι. Με Ν = τον αριθμό των περιπτώσεων που απέτυχε το μοντέλο και Τ= το μέγεθος του δείγματος, ο αριθμός των αποτυχιών θα ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή Ν ~ Β Τ, p Όπου p είναι το επίπεδο σημαντικότητας για το VaR. Θέλουμε το Ν/Τ να είναι ίσο με το p 22

23 Η αρχική υπόθεση του ελέγχου είναι Η 0 : Ν /Τ = p Και η εναλλακτική H 1 : N /T p Η στατιστική υπολογίζεται από τον τύπο: LR=2[log N T N 1 N T T N log p N 1 p T N ] και ακολουθεί ασυμπτωτικά την κατανομή Χ 2 με έναν βαθμό ελευθερίας Για μέγεθος δείγματος 250, 500, 750 και 1000 έχουμε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος μας δείχνει σε επίπεδο σημαντικότητας 95% και 99% για το VaR τα διαστήματα για τα οποία δεν απορρίπτουμε το μοντέλο σύμφωνα με τον έλεγχο του Kupiec για επίπεδο σημαντικότητας 95%. Επίπεδο εμπιστοσύ νης Μέγεθος δείγματος % 7 Ν Ν Ν Ν 64 99% 1 Ν 6 2 Ν 9 3 Ν 13 5 Ν 16 IGARCH, normal distribution Σε αυτό το τμήμα κάνουμε την υπόθεση ότι οι ημερήσιες αποδόσεις ακολουθούν 2 (δεσμευμένα) την κανονική κατανομή, rt Ft 1 N ( µ t, σ t ) : όπου r t είναι ο δεσμευμένος μέσος (θα υποθέσουμε ότι είναι μηδέν όπως φαίνεται και από τα περιληπτικά στατιστικά) και σ t 2 η δεσμευμένη διακύμανση των αποδόσεων. Το σετ Ft 1 { rt 1, rt 2,... } = περιέχει κατ ελάχιστο πληροφόρηση σχετικά με παρελθοντικές (μέχρι μία περίοδο πριν) αποδόσεις. Υποθέτουμε ότι οι πρώτες δύο δεσμευμένες ροπές ακολουθούν το παρακάτω μοντέλο : μ t =0, σ 2 2 t =α σ t 1 1 t r t 1 23

24 Αυτή η μέθοδος υποθέτει ότι η ημερήσια λογαριθμική απόδοση P t =ln P t ικανοποιεί την σχέση P t P t 1 =α t όπου α t =σ t ε t είναι μια IGARCH(1,1) διεργασία. Η 1-step ahead πρόβλεψη της διακύμανσης θα είναι : 2 σ t 1 =α σ t 2 1 α r t To VaR θα είναι : VaR t 1 t =F p σ t 1 t, όπου F(p) το ποσοστημόριο της κανονικής κατανομής με p επίπεδο σημαντικότητας. Στην συνεχεία προχωράμε σε διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις για τις τελευταίες 500 παρατηρήσεις του δείγματος μας και υπολογίζουμε το 95% VaR που βλέπουμε στο επόμενο διάγραμμα VARESTIMATED Στο επόμενο διάγραμμα βλέπουμε το εκτιμημένο VaR μαζί με τις λογαριθμικές αποδόσεις για αυτήν την περίοδο 24

25 VARESTIMATED RET Για το συγκεκριμένο δείγμα 500 παρατηρήσεων, το IGARCH(1,1) μοντέλο έχει αποτύχει να εκτιμήσει το πραγματικό VaR 36 φόρες ή παρουσιάζει περίπου 7.2% ποσοστό αποτυχίας. Σύμφωνα με τον έλεγχο του Kupiec (βλ. πίνακα 1) είναι εκτός των αποδεκτών ορίων άρα το συγκεκριμένο υπόδειγμα απορρίπτεται για αυτές τις τιμές του δείγματος και επίπεδο σημαντικότητας για το VaR 95% Στην συνέχεια επαναλαμβάνουμε την διαδικασία για διαφορετικά μεγέθη δείγματος και επίπεδα εμπιστοσύνης για το VaR και έχουμε τα αποτελέσματα που βλέπουμε στον επόμενο πίνακα Sig 95% Sig 99% n Failures Failures Σημείωση: Με έντονη γραφή τονίζονται απορρίψεις της μηδενικής υπόθεσης στο αντίστοιχο επίπεδο σημαντικότητας για το VaR.. Π.χ η τιμή δεκατρία υποδηλώνει ότι απορρίπτουμε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% την μηδενική υπόθεση και άρα δεν έχουμε αποδεκτά αποτελέσματα για την πρόβλεψη του 99% VaR με το συγκεκριμένο μοντέλο για μέγεθος δείγματος

26 Παρατηρούμε ότι για δείγμα μεγαλύτερο των 500 παρατηρήσεων σε επίπεδο εμπιστοσύνης 99% και 95% απορρίπτουμε το συγκεκριμένο υπόδειγμα καθώς ο αριθμός των περιπτώσεων που υπολόγισε λάθος VaR ξεφεύγει από τα αποδεκτά όρια του ελέγχου. GARCH(1,1) - normal Σε αυτήν την περίπτωση υποθέτουμε οτι η διαδικασία που θα ακολουθήσουμε για τον υπολογισμό του σ t 1 είναι ένα GARCH(1,1) υπόδειγμα με τις καινοτομίες ε t (και άρα και τις λογαριθμικές αποδόσεις) να ακολουθούν κανονική κατανομή Έχουμε ότι σ 2 2 =α 0 α 1 ε t 1 β 1 σ t 1, ενώ η 1-step ahead πρόβλεψη για την διακύμανση θα δίνεται από τον τύπο : 2 σ t 1 t =α 0 α 1 ε t β 1 σ t 2 Προχωράμε σε διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις για την διακύμανση για τις τελευταιεες 250, 500,750 και 1000 τιμές του δείγματος μας και υπολογίζουμε το VaR σύμφωνα με τον τύπο VaR t 1 t =F p σ t 1, όπου F(p) είναι το πσοστημόριο της κανονικής κατανομής για επίπεδο εμπιστοσύνης p. Στο επόμενο σχήμα βλέπουμε ένα διάγραμμα με το εκτιμημένο 95%VaR και τις λογαριθμικές αποδόσεις για τις τελευταίες 500 παρατηρήσεις του δείγματος μας VARESTIMATED RET 26

27 Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο αριθμός των περιπτώσεων που το VaR ήταν μικρότερο της απόδοσης Sig 95% Sig 99% n Failures Failures Παρατηρούμε ότι έχουμε αρκετά υψηλά ποσοστά αποτυχίας, ειδικά για 99% επίπεδο σημαντικότητας του VaR, όπου το μοντέλο απορρίπτεται από το τεστ του Κupic για 500, 750 και 1000 παρατηρήσεις, αλλά και για 750 παρατηρήσεις και 95% Var, ενώ είναι αρκετά κοντά στα όρια για 500 και 1000 παρατηρήσεις, χωρίς ωστόσο να ξεπερνάει τα όρια απόρριψης TGARCH(1,1) threshold =1 Χρησιμοποιούμε ένα μοντέλο threshold GARCH(1,1) ή TGARCH υποθέτοντας κανονική κατανομή για τις καινοτομίες και άρα τις λογαριθμικές αποδόσεις. Σε αυτήν την περίπτωση σ 2 2 =α 0 α 1 α 1 ε t 1 γ 1 ε 2 2 t 1 d t 1 β 1 σ t 1, όπου το d t =1 αν ε t 0,αλλιώς d t =0.Το συγκεκριμένο μοντέλο επιτρέπει στην διακύμανση να προσαρμόζεται σε διάφορα γεγονότα, με διαφορετικούς συντελεστές για θετικά και αρνητικά γεγονότα. Η 1-day ahead πρόβλεψη της δεσμευμένης διακύμανσις θα είναι : 2 σ t 1 t =α 0 α 1 ε t 2 γ ε t 2 β 1 σ t 2 και το VaR : VaR t 1 =F p σ t 1. Στην συνέχεια βλέπουμε ένα διάγραμμα με το εκτιμημένο 95%VaR και τις λογαριθμικές αποδόσεις για τις τελευταίες 500 παρατηρήσεις του δείγματος μας και τον πίνακα πε τον αριθμό των περιπτώσεων που το εκτιμημένο VaR ήταν μικρότερο από την απόδοση 27

28 VARESTIMATED RET Sig 95% Sig 99% n Failures Failures Παρατηρούμε ότι και σε αυτήν την περίπτωση για 99% VaR και μέγεθος δείγματος 500,750 και 1000 ο αριθμός των περιπτώσεων που το VaR ήταν μικρότερο από την απόδοση ξεφεύγει από τα όρια του ελέγχου του Kupiec, παρόλα αυτά τα αποτελέσματα είναι ικανοποιητικά για 95% VaR και ο αριθμός των αποτυχιών είναι μικρότερος του απλού GARCH(1,1) υποδείγματος σε όλες τις περιπτώσεις 28

29 GARCH(1,1) student's-t Χρησιμοποιούμε ένα μοντέλο GARCH(1,1) αλλά με την υπόθεση οτι τα κατάλοιπα ακολουθούν κατανομή standardized t-student's. Οι υπόλοιπες υποθέσεις είναι όμοιες με την περίπτωση του GARCH(1,1) υποδείγματος με κανονική κατανομή To VaR σε αυτή την περίπτωση θα δίνεται από τον τύπο VaR t 1 = t p σ 1 u t u/ u 2 όπου t u p είναι το ποσοστημόριο της t-student κατανομής για επίπεδο σημαντικότητας p και u βαθμούς ελευθερίας. Οι βαθμοί ελευθερίας θα υπολογιστούν κατά την διάρκεια της εκτίμησης του GARCH(1,1) υποδείγματος VARESTIMATEDSTANDARIZEDT RET Sig 95% Sig 99% n Failures Failures Βλέπουμε ότι το συγκεκριμένο μοντέλο έχει σημαντική βελτίωση σε σχέση με το 29

30 GARCH(1,1) και το TARCH(1,1) για VaR με 99% επίπεδο εμπιστοσύνης, αλλά όχι και για το VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης. EGARCH(1,1) normal distribution Χρησιμοποιούμε ένα μοντέλο EGARCH(1,1) υποθέτοντας κανονική κατανομή των καινοτομιών. Ενα EGARCH(p,q) μοντέλο έχει την παρακάτω γενική μορφή q ln σ t =α 0 [α i ε t i γ i=1 σ i ε t i t i p σ t i ] j =1 2 b j ln σ t i H 1-step ahead πρόβλεψη της δεσμευμένης διακύμανσης για ένα EGARCH(p,q) θα δίνετε από τον τύπο : ln σ t 1 t =α 0 [α i ε t i 1 γ σ i ε t i 1 t i 1 q i=1 p σ t i 1 ] j=1 2 b j ln σ t i 1 Στην συνέχεια εφαρμόζουμε ένα EGARCH(1,1) και κάνοντας διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις για την δεσμευμένη διακύμανση υπολογίζουμε το VaR t 1 =F p σ t 1 όπου F(p) είναι το ποσοστημόριο της κανονικής κατανομής για p επίπεδο σημαντικότητας. Στο επόμενο διάγραμμα βλέπουμε το εκτιμημένο VaR μαζί με τις λογαριθμικές αποδόσεις και στην συνέχεια τον πίνακα με τον αριθμό που το εκτιμημένο VaR ήταν μικρότερο της λογαριθμικής απόδοσης VARESTIMATED RET 30

31 Sig 95% Sig 99% n Failures Failures EGARCH (1,1) GED Σε αυτήν την περίπτωση θα χρησιμοποιήσουμε ένα egarch(1,1) υπόδειγμα,αλλά κάνοντας την υπόθεση ότι τα οι καινοτομίες και άρα και οι λογαριθμικές αποδόσεις ακολουθούν την generalized error distribution. Το VaR θα υπολογιστεί από τον τύπο VaR t 1=qged p, g σ t 1 όπου qged : το ποσοστημόριο της generalized error distribution για επίπεδο σημαντικότητας p και g την παράμετρο ged η οποία θα υπολογίζεται κατά την διάρκεια εκτίμησης του EGARCH VARESTIMATED RET 31

32 Sig 95% Sig 99% n Failures Failures Παρατηρούμε ότι το μοντέλο αποτυγχάνει στην περίπτωση 500 παρατηρήσεων και 99% VaR, αλλά έχουμε καλύτερα αποτελέσματα από την περίπτωση του απλού GARCH(1,1) υποδείγματος με κανονική κατανομή, αλλά και με κατανομή student's-t Συμπεράσματα Στα επόμενα διαγράμματα βλέπουμε μια γραφική παράσταση του εκτιμημένου VaR για 95% και 99% επίπεδο σημαντικότητας για τις 250 και 500 τελευταίες παρατηρήσεις για τα μοντέλα που εξετάσαμε. 32

33 EGARCH_GED_SIG95_250 -EGARCH_NORM_SIG95_250 -GARCH_NORMAL_SIG95_250 -GARCH_ST_T_SIG95_250 -GARCH_THRESH_SIG95_250 -IGARCH_NORMAL_SIG95_ EGARCH_GED_SIG99_250 -EGARCH_NORM_SIG99_250 -GARCH_NORMAL_SIG99_250 -GARCH_ST_T_SIG99_250 -GARCH_THRESH_SIG99_250 -IGARCH_NORMAL_SIG99_250 33

34 EGARCH_GED_SIG95_500 EGARCH_NORM_SIG95_500 GARCH_STUDENT_SIG95_500 GARCH_THRESH_SIG95_500 IGARCH_SIG95_500 Στον επόμενο πινάκα βλέπουμε συνοπτικά τους αριθμούς αποτυχιών (Failure) των μοντέλων που εξετάσαμε για 95% VaR και στην συνέχεια για 99% VaR 95% VaR n Failures IGARCH normal GARCH, normal GARCH, student's-t TGARCH normal EGARCH, normal EGARCH, ged

35 99% VaR n Failures IGARCH normal GARCH, normal GARCH, student's-t TGARCH normal EGARCH, normal EGARCH, ged Παρατηρούμε ότι για 95% επίπεδο σημαντικότητας VaR τα καλύτερα αποτελέσματα τα έχουμε με την χρήση του TGARCH μοντέλου με κανονική κατανομή και με το EGARCH με generalized error distribution. Είναι τα μόνα 2 μοντέλα που δεν χουν καμία απόρριψη σύμφωνα με το test του Kupiec. Για 99% επίπεδο σημαντικότητας του VaR το μοντέλο EGARCH με κατανομή generalized error distribution εμφανίζει τα καλύτερα αποτελέσματα σχετικά με τον αριθμό των αποτυχιών στην πρόβλεψη του VaR. Κοντά σε αυτά τα αποτελέσματα είναι και το GARCH μοντέλο με κατανομή standardized student's-t, ενώ όλα τα μοντέλα για τα οποία είχαμε κάνει την υπόθεση ότι οι καινοτομίες (και οι αποδόσεις) ακολουθούν την κανονική κατανομή εμφανίζουν μεγάλο αριθμό αποτυχιών στην πρόβλεψη του VaR και απορρίπτονται από τον έλεγχο Kupiec για μέγεθος δείγματος 500, 750, και 1000 παρατηρήσεων, ενώ αντίστοιχα τα μοντέλα GARCH- student's-t και EGARCH- ged απορρίπτονται από τον έλεγχο μόνο για μέγεθος δείγματος

36 4.2 Εφαρμογή στον γενικό δείκτη Χρηματιστηρίου Αθηνών Δεδομένα Τα δεδομένα που θα χρησιμοποιήσουμε αποτελούνται από τις λογαριθμικές αποδόσεις του γενικού δείκτη του Χρηματιστηρίου Αθηνών για 5826 παρατηρήσεις, από την 02/01/1985 εως 30/5/2008. Οι αποδόσεις δίνονται ως r t =100 ln p t p t 1, όπου p t είναι η τιμή του γενικού δείκτη την περίοδο t. Στο επόμενο σχήμα βλέπουμε ένα ιστόγραμμα των αποδόσεων και μερικά περιληπτικά στατιστικά χαρακτηριστικά Series: RET Sample Observations 5826 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Παρατηρούμε ότι ο μέσος κυμαίνεται στο 0. Η μέγιστη απόδοση που παρατηρήσαμε είναι 24.2% και ελάχιστη -16.2%, με τυπική απόκλιση 1.7. Επίσης βεβαιώνεται από τον παραπάνω πίνακα, η ασυμμετρία των αποδόσεων (αρνητική ασυμμετρία) για το σχετικό δείγμα όπως και λεπτοκύρτωση με τον εκτιμημένο συντελεστή κύρτωσης να υπερβαίνει κατά πολύ αυτόν της κανονικής κατανομής. Ο έλεγχος Jarque-Bera απορρίπτει την υπόθεση περί κανονικότητας των αποδόσεων με p-value (τιμή πιθανότητας)

37 RET Στην συνέχεια θα ελέγξουμε αν οι αποδόσεις είναι ασυσχέτιστες ή αν πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα AR(k) υπόδειγμα για την υποδειγματοποίηση του δεσμευμένου μέσου των λογαριθμικών αποδόσεων Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα αποτελέσματα της στατιστικής Ljung-Box (Q-stat) και την αντίστοιχη τιμή πιθανότητας. Παρατηρούμε ότι έχουμε ισχυρή ένδειξη αυτοσυσχέτισης. Υστέρηση Q-Stat Prob Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C RET(-1) RET(-2) RET(-3)

38 Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε ισχυρή αυτοσυσχέτιση της απόδοσης, οπότε θα επιλέξουμε να υποδειγματοποιήσουμε τον δεσμευμένο μέσο των λογαριθμικών αποδόσεων μέσω ενός AR(2) υποδείγματος, δηλαδή : r t = ρ 0 ρ 1 r t 1 ρ 2 r t 2 u t AR(2) GARCH(1,1) Normal Εφαρμόζουμε όμοια με πριν ένα AR(2) GARCH(1,1) υπόδειγμα στις τελευταίες 250, 500,750 και 1000 παρατηρήσεις και υπολογίζουμε διαδοχικές 1-day ahead εκτιμήσεις για το 95 και 99% VaR. Οι υποθέσεις και το μοντέλο που χρησιμοποιούμε είναι ίδιες με την περίπτωση των συναλλαγματικών ισοτιμιών με μόνη διαφορά ότι σε αυτήν την περίπτωση ο δεσμευμένος μέσος ακολουθεί μια AR(2) διαδικασία, δηλαδή : r t = ρ 0 ρ 1 r t 1 ρ 2 r t 2 u t Στην συνέχεια βλέπουμε το διάγραμμα του VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης μαζί με τις λογαριθμικές αποδόσεις για τις τελευταίες 500 παρατηρήσεις του δείγματος και τον πίνακα με των αριθμό αποτυχιών του VaR για τις διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις του VaR VARESTIMATED RET 38

39 Sig 95% Sig 99% n Failures Failures Παρατηρούμε ότι για τα δεδομένα του Γενικού Δείκτη το υπόδειγμα δεν απορρίπτεται από τον έλεγχο kupiec σε καμία περίπτωση. AR(2) GARCH(1,1) threshold Εφαρμόζουμε μια AR(2) TGARCH(1,1) διαδικασία με τιμή κατωφλίου 1 και υποθέτοντας κανονική κατανομή εκτιμούμε το VaR. Στο επόμενο διάγραμμα βλέπουμε το εκτιμημένο 95% VaR και τις πραγματικές αποδόσεις για τις τελευταίες 250 παρατηρήσεις και τον πίνακα με τον αριθμό των περιπτώσεων που το εκτιμημένο VaR ήταν μικρότερο της απόδοσης VARESTIMATED RET 39

40 Sig 95% Sig 99% n Failures Failures AR(2) GARCH(1,1) standardized t-student's Χρησιμοποιούμε ένα AR(2) GARCH(1,1) μοντέλο για την ερμηνεία του δεσμευμένου μέσου και της δεσμευμένης διακύμανσης. Κάνουμε την υπόθεση ότι η διαδικασία της καινοτομίας και οι λογαριθμικές αποδόσεις ακολουθούν την standardized student's-t κατανομή με βαθμούς ελευθερίας που θα εκτιμηθούν από το υπόδειγμά μας (υπολογίσαμε 5 βαθμούς ελευθερίας ) Στην συνέχεια βλέπουμε το διάγραμμα του VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης μαζί με τις λογαριθμικές αποδόσεις για τις τελευταίες 500 παρατηρήσεις του δείγματος και τον πίνακα με των αριθμό αποτυχιών του VaR για τις διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις του VaR VARESTIMATED RET 40

41 Sig 95% Sig 99% n Failures Failures AR(2) EGARCH(1,1) Normal Εφαρμόζουμε ένα AR(2) EGARCH(1,1) για την ερμηνεία του δεσμευμένου μέσου των αποδόσεων και της δεσμευμένης διακύμανσης. Κάνουμε την υπόθεση ότι η διαδικασία της καινοτομίας και οι λογαριθμικές αποδόσεις ακολουθούν την κανονική κατανομή. Στην συνέχεια βλέπουμε το διάγραμμα του VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης μαζί με τις λογαριθμικές αποδόσεις για τις τελευταίες 500 παρατηρήσεις του δείγματος και τον πίνακα με των αριθμό αποτυχιών του VaR για τις διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις του VaR VARESTIMATED RET 41

42 Sig 95% Sig 99% n Failures Failures AR(2) EGARCH(1,1) Ged Εφαρμόζουμε ένα AR(2) EGARCH(1,1) για την ερμηνεία του δεσμευμένου μέσου των αποδόσεων και της δεσμευμένης διακύμανσης. Κάνουμε την υπόθεση ότι η διαδικασία της καινοτομίας και οι λογαριθμικές αποδόσεις ακολουθούν την κατανομή generalized error distribution. Στην συνέχεια βλέπουμε το διάγραμμα του VaR με 95% επίπεδο εμπιστοσύνης μαζί με τις λογαριθμικές αποδόσεις για τις τελευταίες 500 παρατηρήσεις του δείγματος και τον πίνακα με των αριθμό αποτυχιών του VaR για τις διαδοχικές 1-day ahead προβλέψεις του VaR EGARCH_GED_SIG95_500 RET 42

43 Sig 95% Sig 99% n Failures Failures Συμπεράσματα Στον επόμενο πινάκα βλέπουμε συνοπτικά τους αριθμούς αποτυχιών (Failure) των μοντέλων που εξετάσαμε για 95% VaR και στην συνέχεια για 99% VaR 95% VaR Failures n GARCH, normal GARCH, student's-t TGARCH normal EGARCH, normal EGARCH, ged

44 99% VaR Failures n GARCH, normal GARCH, student's-t TGARCH, normal EGARCH, normal EGARCH, ged Παρατηρούμε ότι για τα δεδομένα του Γενικού Δείκτη του χρηματιστηρίου Αθηνών κανένα από τα μοντέλα που χρησιμοποιήσαμε δεν απορρίπτεται από τον έλεγχο Kupiec. Παρά το ότι κανένα από τα μοντέλα που χρησιμοποιήσαμε δεν απορρίπτεται από τον έλεγχο, τα μοντέλα που δεν χρησιμοποιούν την υπόθεση της κανονικότητας(egarchged, GARCH- student's-t) έχουν μεγαλύτερα ποσοστά επιτυχίας για την εκτίμηση του VaR με επίπεδο εμπιστοσύνης 99%. Για επίπεδο εμπιστοσύνης για το VaR 95% δεν υπάρχουν μεγάλες διαφορές στον αριθμό επιτυχιών των διαφόρων μοντέλων. Στα επόμενα διαγράμματα βλέπουμε μια γραφική παράσταση του εκτιμημένου VaR για 95% και 99% επίπεδο σημαντικότητας για τις 250 και 500 τελευταίες παρατηρήσεις για τα μοντέλα που εξετάσαμε. 44

45 EGARCH_GED_SIG95_250 -EGARCH_NORMAL_SIG95_250 -GARCH_NORMAL_SIG95_250 -GARCH_ST_T_SIG95_250 -GARCH_THRESH_SIG95_ EGARCH_GED_SIG99_250 -EGARCH_NORMAL_SIG99_250 -GARCH_NORMAL_SIG99_250 -GARCH_ST_T_SIG99_250 -GARCH_THRESH_SIG99_250 45

46 EGARCH_GED_SIG99_500 -EGARCH_NORMAL_SIG99_500 -GARCH_NORMAL_SIG99_500 -GARCH_ST_T_SIG99_500 -TGARCH_NORMAL_SIG99_ EGARCH_GED_SIG95_500 -EGARCH_NORMAL_SIG95_500 -GARCH_NORMAL_SIG95_500 -GARCH_ST_T_SIG95_500 -TGARCH_NORMAL_SIG95_500 46