SAVJETNIK ZA GRADNJU

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SAVJETNIK ZA GRADNJU"

Transcript

1 SAVJETNIK ZA GRADNJU

2 Građevinski materijal koji piše povijest Kada se godine započelo s industrijskom proizvodnjom porobetona, nitko nije mogao predvidjeti da će porobeton u tako kratkom razdoblju postati ono za što je cigli trebalo više od 5000 godina. "U samom početku razmišljanja o građevinskom materijalom vodili smo se mišlju kako prvenstveno želimo kvalitetu, i tu se moja supruga najbolje izrazila kazavši: Stavljaj samo ono što vrijedi! " - Obitelj Drviš vlasnici YTONG kuće, Imotski Velika gospodarska kriza 30-tih godina prošloga stoljeća potaknula je znanstvenike u Europi da počnu istraživati materijale koji bi zadovoljili sve veće potrebe graditeljstva, te na taj način smanjili ovisnost države o uvozu. Posebno su uspješni bili u Švedskoj gdje su zbog ograničenih domaćih izvora i skupe energije za proizvodnju tražili materijal koji bi, uz smanjeno korištenje energije, mogli industrijski proizvoditi iz lokalnih sirovina. Istovremeno su tražili građevinski materijal koji bi posjedovao sve pozitivne značajke drva (koje je bilo tradicionalni građevni materijal u skandinavskim državama) i industrijski proizvedene cigle. Novi materijal je trebao biti ekološki besprijekoran, prihvatljiv za okoliš, dobre toplinske i zvučne izolacije, otporan na potrese, a istovremeno trajan, tvrd i negoriv. Upravo takav materijal je godine otkrio švedski arhitekt Axel Eriksson te ga je zbog njegove poraste strukture nazvao porobetonom. Upravo su brojne sitne pore u kojima se nalazi zrak i gusta mrežasta struktura materijala one koje porobetonu osiguravaju specifičan izgled i njegove jedinstvene osobine. Prva industrijska linija za proizvodnju porobetona pokrenuta je godine u švedskom gradu Yxhult. Kombinacijom naziva mjesta i švedskog naziva za porobeton (betong) nastalo je ime za prvu i najstariju marku na svijetu među građevinskim materijalima YTONG. Kuće izgrađene od tada proizvedenog YTONG-a postojane su još i danas. 2

3 Kada gradite odaberite najbolje Dom. Sigurnost. Udobnost. Troškovi. Odabir građevinskog materijala direktno utječe na kvalitetu Vašeg doma i iznos potrošenog novca. YTONG Vam pruža optimalno rješenje za Vašu gradnju. Prirodni sastojci YTONG je izrađen od prirodnih tvari koje jamče zdrav i ugodan boravak. Toplinska izolacija I bez dodatne toplinske izolacije, Vaša će kuća biti optimalno izolirana. Na taj ćete način uštedjeti energiju i novac. Bez obzira gradite li sami ili uz pomoć stručnjaka, uselit ćete se za godinu ili nešto više od godine dana. Proći će i određeno vrijeme dok Vaš novi dom do kraja opremite i prilagodite svojim željama i potrebama. Tek onda ćete moći uočiti kvalitetu Vašeg doma. Građevinski materijal kojeg sada odaberete će utjecati na udobnost Vašega življenja u budućnosti. Zbog toga uspoređujte. Niti jedan drugi građevinski materijal ne posjeduje toliko prednosti kao porobeton. Ugodna mikroklima Porobeton se brine za održavanje ugodnog odnosa temperature i vlage u prostoriji odnosno življenja u zdravim uvjetima. Zvučna izolacija Uličnu buku ili susjedovu glazbu nećete morati slušati. Porobeton će se pobrinuti za neometan i ugodan boravak. Otpornost na požar YTONG je proizveden iz mineralnih sirovina i iz tog razloga ne gori. Vaša obitelj će mirno spavati. Sigurnost od potresa U kući izgrađenoj YTONG sustavom, u slučaju potresa bit ćete najbolje zaštićeni. Brza gradnja YTONG građevinski elementi velikih dimenzija i manje težine omogućuju 2x bržu gradnju od klasične. Zašto biste plaćali više? Jednostavna gradnja YTONG je građevinski materijal koji se jednostavno obrađuje i ugrađuje. YTONG blokovi slažu se jednostavno kao Lego kockice. Ekologija Od dobivanja sirovina do vraćanja proizvodnih ostataka natrag u proces, porobeton štiti dragocjene prirodne sastojke. Kvaliteta Proizvodi vrhunske robne marke YTONG proizvedeni su u skladu sa strogim pravilima koji jamče visoku kvalitetu proizvoda. 3

4 Prirodni materijal Porobeton YTONG je u cijelosti izrađen od sirovina koje nas okružuju i u biti su neiscrpne: kremeni pijesak, vapno i voda. Kamen i drvo su najstariji i najrasprostranjeniji građevinski materijali koji prate čovječanstvo od prapovijesti pa do današnjih dana. Ljudi su oduvijek gradili svoje domove iz prirodnih, mineralnih materijala koje su pronalazili u svojoj okolini. Upravo zbog 100-postotnog prirodnog sastava, učinak porobetona na naše zdravlje je blagotvoran i ugodan, a objekti izgrađeni od porobetona jamče zdrav boravak tijekom neograničenog broja godina. POROBETON JE ZBOG SVOG SASTAVA: prirodan i ekološki prihvatljiv građevinski materijal bez štetnih dodataka sa stupnjem prirodne radioaktivnosti daleko ispod dopuštenog i nižim od ostalih građevinskih materijala SASTAV RADIOAKTIVNIH ELEMENATA SASTAV POROBETONA Radioaktivnost prema empirijskoj formuli (-) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 Emp. formula = a TH /259 + a RA /370 + a K /4810 < 1 Opeka Ekspandirana glina Torij 232 Radij 226 Kalij 40 Beton Prirodna radioaktivnost porobetona je manja od radioaktivnosti ostalih usporedivih građevinskih materijala Silikatna opeka Vir:Njemačko udruženje proizvođača porobetona Porobeton ima 3,5 puta manje radioaktivnih elemenata od opeke 4

5 Ušteda u troškovima grijanja i hlađenja Ako za gradnju koristite porobeton, nije Vam potrebna dodatna toplinska izolacija pa će tako troškovi grijanja i hlađenja Vašeg doma biti niži do 50% i više. YTONG zidu nisu potrebne dodatne toplinske obloge sam materijal je toplinski izolator. Milijuni malih zračnih pora učinkovito sprječavaju gubitak energije. Učinkovita toplinska zaštita, koju nudi YTONG, tijekom zime smanjuje koeficijent toplinske provodljivosti U (W/m 2 K) 1,60 1,50 1,40 1,30 1,20 1,10 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 Puna opeka λ = 0,61 W/mK USPOREDBA TOPLINSKE PROVODLJIVOSTI Šuplja opeka λ = 0,23 W/mK Porozna opeka λ = 0,18 W/mK debljina zida (cm) Niskoenergetska kuća obitelji Lipovec troškove zagrijavanja objekta, a tijekom ljetnih mjeseci smanjuje potrebu za radom našeg klimatizacijskog uređaja. Obzirom da su pore u materijalu jednakomjerno raspoređene, strah od stvaranja toplinskog mosta je potpuno neutemeljen. YTONG λ = 0,12 W/mK YTONG λ = 0,10 W/mK YTONG λ = 0,10 W/mK 29,0 29,0 38,0 30,0 40,0 50,0 Vir: YTONG januar 2007 Izvor: YTONG siječanj 2007 " Za 150 m 2 neto kvadrature kuće u zimskom periodu izdvajamo svega 200 kn mjesečno. Treba li što više dodati? - Obitelj Lipovec vlasnici YTONG niskoenergetske kuće, Čazma NAPRAVITE TEST: Tijekom zime, položite dlan na površinu YTONG-a, opeke, betona i drva. Uočit ćete da je YTONG najtopliji. Ima najvišu površinsku temperaturu. S YTONG-OM ĆETE UŠTEDJETI: ne zahtijeva dodatnu toplinsku izolaciju troškovi grijanja i hlađenja kuće su niži izgradit ćete trajan objekt (neće biti potrebno mijenjati toplinsku izolaciju zbog dotrajalosti) 5

6 Nemojte zanemariti sigurnost od potresa Tlačna tvrdoća i stabilnost predstavljaju mjerilo robusnosti i elastičnosti. S YTONG-om će Vaša kuća očuvati svoju vrijednost. POROBETON NUDI MASIVNU SIGURNOST: jednaku tlačnu tvrdoću u svim smjerovima najbolju zaštitu od potresa očuvanje vrijednosti kuće Niti jedan drugi građevinski materijal tako dobro ne spaja stabilnost i optimalnu toplinsku izolaciju kao što to čini porobeton. Uzrok takve idealne kombinacije leži u jedinstvenoj i finoj mrežastoj strukturi pora unutar YTONG-a. Takvu strukturu možemo pronaći u kostima čovjeka i ona jamči maksimalnu tvrdoću pri minimalnoj težini. Za postizanje većih vrijednosti toplinske zaštite, ostali građevinski materijali obično traže okomite zračne kanale koji imaju tanke, osjetljive stijenke. To obično opazimo tijekom bušenja zidova kad svrdlo odjednom propadne u prazan prostor. Suprotno tome, zid izveden iz porobetona bez problema podnosi velika opterećenja kao što su viseći ormari i police za knjige, bez straha od puknuća. 100 cm 30 cm Primjer: Zid izveden od YTONG zidnih blokova tlačne tvrdoće PP4, kod kojeg je korišten YTONG tankoslojni mort, ima nosivost od cca. 100 t/0,3 m 3, drugim riječima, 0,3 kubna metra zida mogu podnijeti težinu od cca. 100 automobila srednje klase. OBJEKT GRAĐEN OD POROBETONA OTPORAN JE NA POTRES: u svim smjerovima ima jednaku nosivost niža težina objekta, a zbog toga i manje vodoravne seizmičke sile u primjeru rušilačkoga potresa, YTONG ima izvrsna protupotresna svojstva i na taj način omogućuje sigurnu evakuaciju ljudi iz objekata to je dokazano godine u opsežnom istraživanju o gradnji otpornoj na potres (provedenom pri Zavodu za graditeljstvo u Ljubljani) 6

7 Uživajte u tišini svog doma Manja težina i učinkovita zaštita od buke se međusobno ne isključuju naprotiv: YTONG podrazumijeva odličnu zvučnu izolaciju. Buku relativno jednostavno možemo izmjeriti obzirom na frekvenciju iste, te je iz tog razloga različito osjećamo tj. čujemo. Glinena opeka ima zadovoljavajuće vrijednosti zvučne zaštite, ali još uvijek dovoljno ne štiti od buke. Uzrok leži, između ostalog, u neprekidnosti zračnih kanala u unutrašnjosti opeke. Zračne pore u YTONG-u su ravnomjerno raspoređene i zadržavaju zvuk u svim smjerovima. To je razlog zbog kojeg porobeton ima jedinstvenu značajku zadržavanja zvuka u sebi. S tim u vezi, YTONG pruža za dva decibela bolju zaštitu od buke nego što to nude ostali, jednako teški, građevinski materijali. YTONG NUDI OPTIMALNU ZAŠTITU OD BUKE: USPOREDBA VRIJEDNOSTI ZAŠTITE OD BUKE zadržava buku [db] 46 ima 2 db bolju zvučnu zaštitu od drugih građevinskih materijala slične gustoće [kg/m 2 ] šuplja opeka porobeton DIN 4109 Bbl.1 porobeton bonus 7

8 YTONG UČINKOVITO ŠTITI OD POŽARA: Porobeton: sastoji se samo od mineralnih, prirodnih sirovina koje su negorive već i tanke stijenke pružaju optimalnu protupožarnu zaštitu Požar se ne događa nekom drugom Srećom, rijetko se nađemo u opasnosti od požara. Kako je to pokazano i u primjeru, u kući koja je izgrađena iz porobetona optimalno ste zaštićeni od požara. Porobeton je u cijelosti mineralan građevinski materijal i stoga je negoriv. Već tanke unutarnje razdjelne stijenke pružaju dovoljnu otpornost od požara te na taj način Vama i Vašoj obitelji omogućuju najveću moguću sigurnost. I sve to bez dodatnih troškova i posebne protupožarne opreme. POTREBNE DEBLJINE ZIDA ZA ZADOVOLJAVAJUĆU POŽARNU OTPORNOST 180 Debljina (mm) Zid od 10 cm =120 min otpornosti na požar Razred požarne otpornosti (min) 8

9 Zdrava i ugodna mikroklima Porobeton se brine za uravnoteženost sobne temperature i vlažnosti zraka u prostoriji. Zdrava i ugodna klima u prostoriji rezultat je te jedinstvene značajke. Naše je zdravlje svakoga dana izloženo velikom stresu. Zato je važno da kod kuće pronađemo svoju oazu mira. Porobeton nudi idealna polazišta za visoku kvalitetu življenja. Regulira temperaturna odstupanja i postotak vlage u zraku. Sasvim je svejedno jesu li vani tropske vrućine, je li maglovito ili je prava snježna mećava. Jednostavno duboko udahnite i opustite se. KUĆA IZGRAĐENA IZ POROBETONA U SVAKOM TRENUTKU OSIGURAVA UGODNU KLIMU UNUTAR PROSTORIJA: zadržava sobnu temperaturu tijekom zimskih hladnoća ili ljetnih vrućina održava optimalnu vlažnost zraka Zimi hladnoća ostaje vani Ljeti toplina ostaje vani Toplina se zadržava u prostorijama Održava ugodnu temperaturu 9

10 Kada su zidari, koji su prvi puta gradili Ytong materijalom, završili s gradnjom naše kuće izjavili su kako bi sada nadalje radili samo s YTONG-om. Mislim da je to zato jer je riječ o materijalu s kojim se čovjek lako 'razbahati', odnosno lako se njime barata i obrada nije zahtjevna. Nemoguće je napraviti grešku pri radu, i to upravo stoga jer veličina, širina i visina blokova doslovce 'tjera' da se zida ravno. - Obitelj Makoter vlasnici YTONG kuće, Zagreb Jednostavna obrada i oblikovanje YTONG blok je osnovni element gradnje u YTONG sustavu. Jednostavan, tijekom izgradnje brz, puno veći od drugih, usklađenih dimenzija i lakši. Upravo zato je najnapredniji od svih elemenata iz segmenta gradnje. JEDNOSTAVNA GRADNJA S YTONG-OM: površine zidova su glatke izrada svih oblika zidova je jednostavna lako oblikovanje blokova jednostavna završna obrada jednostavno bušenje zidova i izrada kanala za instalacije Porobetonom vrlo jednostavno rukujemo i jednostavno ga oblikujemo. Elementi YTONG sustava su jednostavnih oblika, velikih dimenzija i svi se međusobno izvrsno nadopunjuju. Zaobljeni i naizgled komplicirani arhitektonski oblici s YTONGom se mogu lako izvesti, a unutrašnjost objekta možemo oblikovati po vlastitoj želji. Jednostavnije ne može. 10

11 Brza gradnja Brzina gradnje je novac Vaš novac! Optimalnim dimenzijama YTONG blokova i njihovom jednostavnom upotrebom uštedjet ćete oboje. YTONG sustav gradnje je detaljno osmišljen. Blokovi su veliki, njihova je težina relativno mala pa ih je stoga moguće postaviti u vrlo kratkom vremenu. YTONG tankoslojni mort jednostavno i brzo nanosite lopaticom iste širine kao zidni blokovi. Posebne dimenzije YTONG blokova jednostavno možete izrezati u svakom trenutku, a manje nepravilnosti možete ručno izbrusiti. Za premošćivanje otvora prozora i vrata iskoristite YTONG pregrade za koje vam nisu potrebni nikakvi potporni elementi. Za gradnju objekta s YTONG elementima utrošit ćete 50% manje radnih sati nego za klasičnu gradnju. BRŽA GRADNJA JE JEFTINIJA GRADNJA. ZAŠTO BISTE PLAĆALI VIŠE, AKO ZBOG: velikih dimenzija male težine YTONG elemenata usklađenog sustava gradnje malo pripremnih radova i pomoćnih materijala S YTONG-OM MOŽETE UŠTEDJETI! "Moj šogor i ja usporedno smo gradili na istoj lokaciji dvije YTONG kuće s građevinskim timom od 5 radnika. Kuće su niknule kroz 50 efektivnih dana izgradnje. - Obitelj Pavlović vlasnici YTONG niskoenergetske kuće, Zagreb 11

12 YTONG JE SA SVAKOG STAJALIŠTA EKOLOŠKI GRAĐEVINSKI MATERIJAL: proizvodnja dodatno ne onečišćuje okoliš s CO 2 uporaba sirovina je značajno manja ne sadrži štetne tvari moguća je ponovna prerada ostataka Zaštitite okoliš Građenje i graditeljska industrija koristi 58% dobivenih sirovina i stvara 50% otpada u okolišu. Iz jednog kubičnoga metra sirovina u prosjeku proizvedemo 5 metara kubičnih porobetona. U energetski štedljivoj proizvodnji se pri temperaturi od 190 C ne ispušta CO 2. U odnosu na tradicionalne masivne građevinske materijale, manja težina porobetona smanjuje korištenje energije za prijevoz proizvoda. Svaki porobetonski blok jednostavno možemo izrezati po traženim mjerama pa zato na gradilištu gotovo da i nemamo otpada. Ostatke jednostavno kasnije iskoristimo u daljnjoj gradnji. Osim toga, YTONG u obliku granulata jednostavno vratimo u proizvodni proces. Takvo odlaganje YTONG-a ne stvara probleme. Porobeton je u cijelosti napravljen iz mineralnih sastojaka i ne sadrži otrovne tvari. Količina proizvedenog građevinskog materijala od 1 m 3 materijala (od do) Potrošnja loživog ulja (l) 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 Od 1 m 3 čvrstoga materijala dobijemo od 3,33 do 5 m 3 porobetona 1,11 1,00 Beton 1,67 1,33 Silikatna opeka - porasta UŠTEDA MATERIJALA 2,00 1,25 Opečna cigla s okomitim porama 2,22 1,62 Silikatna cigla s okomitim porama 3,33 2,63 5,00 3,33 Porozirana Porobeton opečna cigla s okomitim porama POTROŠNJA LOŽIVOG ULJA NA m 2 STAMBENE POVRŠINE ,53 YTONG deb. 30 cm 5,68 YTONG deb. 40 cm Građevinski materijal 13,12 Šuplja opeka deb. 29 cm 8,95 Porozna opeka deb. 30 cm 12

13 Uživajte u brojnim prednostima Niti jedan drugi građevinski materijal nema toliko prednosti koliko ih ima YTONG. YTONG je cjeloviti sustav snižava troškove u tren oka gradnje koji udovoljava i sadrži niz prednosti koje željama kupca i doprinosi generacijama omogućuju zaštiti okoliša. Od opskrbe visoku kvalitetu življenja sirovinama pa do završetka uz niske troškove opskrbe proizvodnje, strogo nadziremo energijom. Primjenjivost sve postupke u skladu s YTONG građevinskog materijala najstrožim zahtjevima kvalitete. je raznovrsna; od novogradnje, Visokokvalitetni građevinski nadogradnje i rekonstrukcije materijal YTONG je ekološki postojećih objekata do prihvatljiv od proizvodnje do kreativnog oblikovanja recikliranja. Tijekom gradnje unutarnjih prostora. KOJE SU OSNOVNE PREDNOSTI YTONG-A: vrhunska toplinska zaštita jednostavna obrada odlična zaštita od potresa i požara mogućnost korištenja u svim oblicima gradnje ugodna mikroklima optimalna zaštita od buke ekološki materijal "Obišli smo nekoliko proizvođača, na kraju nas je oduševio suvremen pristup Ytong ekipe koja nas je s puno konkretnih savjeta osvojila 'na prvu'. - Obitelj Ahčin vlasnici YTONG kuće, Sveta Nedelja ŠTO VAM NUDIMO DA BISTE BEZ PROBLEMA IZGRADILI KVALITETAN, SIGURAN I TRAJAN OBJEKT? savjetovanje i potpuna podrška YTONG tima u svim fazama gradnje instruktivni materijal s uputama za gradnju instruktora gradnje na Vašem gradilištu preporučamo ovlaštene YTONG majstore 13

14 PODRUČJA PRIMJENE Ytong sustav gradnje može se primjeniti u svim područjima gradnje, od jednostavnih zahvata u interijeru do masivnih građevina: obiteljske kuće višestambeni objekti industrijski objekti poslovni objekti javne ustanove poljoprivredni objekti zdravstvene ustanove adaptacije, nadogradnje i rekonstrukcije objekata uređenje interijera Uređenje interijera Obiteljska kuća, Istra Obiteljska kuća, Zagreb Uređenje interijera

15 Dogradnja objekta Nadbiskupska gimnazija, Zadar Stambeno poslovni objekt, Slunj Sveučilišna knjižnica, Split Gospodarski objekt, Krasno Stambeno poslovni objekt "Višnjik", Zadar Sportski centar "Lučko", Zagreb

16 PRONAĐITE SVOG YTONG SAVJETNIKA. Uz vas smo od trenutka odluke o gradnji do useljenja. Besplatna stručna pomoć našeg prodajnog tima. Istra & PG Županija ISTRA & PRIMORSKO-GORANSKA ŽUPANIJA Zvonimir Levak, dipl.ing. GSM: zvonimir.levak@ytong.com Ytong porobeton d.o.o. Kovinska 4a Susedgrad Hrvatska Tel: Fax: Besplatni info telefon: info.hr@ytong.com facebook.com/ytonghrvatska Sjeverozapadna Hrvatska Zagreb i okolica Dalmacija SJEVEROZAPADNA HRVATSKA Tomislav Ivančić GSM: tomislav.ivancic@ytong.com Slavonija ZAGREB I OKOLICA Luka Matijević GSM: luka.matijevic@ytong.com SLAVONIJA Tel: Fax: DALMACIJA Mislav Bilandžić, ing.građ. GSM: mislav.bilandzic@ytong.com Ytong je registrirana robna marka Xella. Srpanj, 2013.

SAVETNIK O YTONG MATERIJALU I SISTEMU GRADNJE

SAVETNIK O YTONG MATERIJALU I SISTEMU GRADNJE SAVETNIK O YTONG MATERIJALU I SISTEMU GRADNJE Građevinski materijal koji piše istoriju Kada se 1928. godine započelo sa industrijskom proizvodnjom porobetona, niko nije mogao predvideti da će porobeton

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje

Knauf zvučna zaštita. Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja. Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf zvučna zaštita Knauf ploče Knauf sistemi Knauf detalji izvođenja Dipl.inž.arh. Goran Stojiljković Rukovodilac tehnike suve gradnje Knauf ploče Gipsana Gipskartonska Gipsano jezgro obostrano ojačano

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Katalog proizvoda Zidni sistemi

Katalog proizvoda Zidni sistemi Katalog proizvoda 2018. Zidni sistemi Sadržaj Gotovo 200 godina duga inovacija...4 Svjetski lider u proizvodnji glinenih građevinskih materijala... 4 6 Linija proizvoda za savršen dom!... 7 POROTERM ENERGY

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

CIGLA - tehnički priručnik

CIGLA - tehnički priručnik CIGLA - tehnički priručnik SADRŽAJ TERMO PROGRAM KLASIČNI PROGRAM STROPNI PROGRAM TROŠKOVNIK ZA UGRADNJU PROIZVODA 04 13 16 21 Proizvodi Građevinska fizika Prednosti termo bloka Proizvodi Proizvodi Tehničke

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od

Vrijedi: OD 20. LIPNJA Lindab CJENiK Cijene su izražene u KN exw Lučko Zagreb, bez PDV-a; Cjenik vrijedi od Vrijedi: OD 20 LIPNJA 2012 Lindab CJENiK 2012 Sustav za odvodnju oborinskih voda i dodaci Lindab Elite sustav zaštite proizvoda >>> 3 Lindab Rainline Lindab Elite R Žlijeb Duljina: 4 m i 6 m 190 Elite

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Zidni sistemi Fasadni sistemi Katalog proizvoda 2017

Zidni sistemi Fasadni sistemi Katalog proizvoda 2017 Zidni sistemi Fasadni sistemi Katalog proizvoda 017 Sistem gradnje SPECIAL Strop DIMNJACI UNIVERSAL ENERGY + IZO PROFI SPECIAL 5 AKU ENERGY + 8 PROFI INTERIOR 1-50 Profi COMFORT 0 S SPECIAL 0/5 MULTI www.wienerberger.hr

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Katalog proizvoda s tehničkim podacima

Katalog proizvoda s tehničkim podacima Ytong sustav gradnje Katalog s tehničkim podacima λ 10 DRY = 0,09 Najbolja toplinska izolacija kompletan sustav za energetski učinkovitu gradnju Tehnički podaci Stranice od 16-21 vanjski zidovi Stranice

Διαβάστε περισσότερα

Katalog proizvoda Zidni sistemi

Katalog proizvoda Zidni sistemi Katalog proizvoda 2018. Zidni sistemi Sadržaj Gotovo 200 godina duga inovacija...4 Svetski lider u proizvodnji glinenih građevinskih materijala... 4 4 linije proizvoda za savršen dom!... 7 POROTHERM ENERGY

Διαβάστε περισσότερα

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr

DUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)

Διαβάστε περισσότερα

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra

Cjenik građevinskih izolacija i folija Izolacija za bolje sutra Cjenik građevinskih izolacija i folija 2018 Izolacija za bolje sutra Toplinska i zvučna izloacija za dugoročno održivu gradnju Odlična toplinska izolacija Odlična zvučna izolacija Negoriva - klasa A1 Paropropusna

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα