Μηχανική Ρευστών Ι. Ενότητα 9: Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής Νίκος Πελεκάσης. Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Μηχανική Ρευστών Ι Ενότητα 9: Μακροσκοπικά Ισοζύγια Ενέργειας σε Συστήματα Ροής Νίκος Πελεκάσης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

2 Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα εκφράσουμε τον 1 ο Θερμοδυναμικό νόμο, που αφορά στην διατήρηση και μετατροπή της ενέργειας, για Σύστημα και Όγκο Ελέγχου Με βάση τον 1 ο Θερμοδυναμικό Νόμο θα εξαχθεί η γενική εξίσωση διατήρησης ενέργειας σε διαφορική και ολοκληρωτική μορφή με χρήση του Θεωρήματος Μεταφοράς Reynolds Παράλληλα θα εξαχθεί η εξίσωση μηχανικής ενέργειας σε διαφορική και ολοκληρωτική μορφή σε συνδυασμό με τις απώλειες λόγω αναντιστρεπτότητας Αφαιρώντας από την γενική εξίσωση ενέργειας θα εξαχθεί η εξίσωση διατήρησης θερμικής ενέργειας σε ολοκληρωτική και διαφορική μορφή Τέλος θα εξαχθεί η εξίσωση Bernoulli η οποία για ιδανική ροή χωρίς απώλειες περιγράφει την διατήρηση της συνολικής μηχανικής ενέργειας, σαν άθροισμα της κινητικής, δυναμικής και ενέργειας ροής ενός ρεύματος ρευστού, καθώς και τις μεταξύ τους μετατροπές.

3 Στόχοι Κατάστρωση ισοζυγίων μάζας σε ΟΕ που περιγράφει ένα σύστημα ροής παρουσία εισερχομένων και εξερχομένων ρευμάτων. Αναγνώριση διαφόρων μορφών ενέργειας καθώς και του συντελεστή απόδοσης διαφόρων διεργασιών μετατροπής ενέργειας Χρήση εξίσωσης Bernoulli για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων ροής κατανοώντας τους περιορισμούς της Κατάστρωση ισοζυγίων ενέργειας σε ΟΕ που περιλαμβάνει σύστημα ροής για τον υπολογισμό απαιτούμενου εισερχόμενου ή εξερχόμενου ενεργειακού περιεχόμενου, με όρους ισοδύναμων υψών, με την μορφή αντλιών και στροβίλων ενταγμένων στο σύστημα ροής

4 Μηχανική Ενέργεια Μηχανική Ενέργεια είναι το είδος της ενέργειας που μπορεί να μετατραπεί πλήρως σε μηχανικό έργο μέσω ενός ενός ιδεατού μηχανικού συστήματος χωρίς απώλειες, όπως π.χ. Μιάς αντλίας ή μιάς τουρμπίνας Ενέργεια ροής P/, κινητική V /g, και δυναμική gz ενέργεια είναι οι τρεις μορφές μηχανικής ενέργειας e mech = P/V /g + gz Η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας μεταξύ δύο θέσεων ενός συστήματος ροής ασυμπίεστου ρευστού δίδεται από την σχέση P P1 V V1 e mech g z z 1 Απουσία απωλειών η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας, e mech, αντιπροσωπεύει το έργο που παρέχεται στο σύστημα (e mech >0), π.χ. μέσω μιάς αντλίας, η αποδίδεται από το σύστημα (e mech <0), π.χ. μέσω μιάς τουρμπίνας

5 Απόδοση Η μεταφορά μηχανικής ενέργειας, e mech, επιτυγχάνεται συνήθως μέσω ενός περιστρεφόμενου άξονα: αξονικό έργο Αντλίες, φτερωτές και προωθητήρες: δέχονται αξονικό έγο (π.χ., από ηλεκτρικό κινητήρα) το οποίο αποδίδουν στο ρευστό με την μορφή μηχανικής ενέργειας Στρόβιλοι (ή τουρμπίνες): μετατρέπουν μηχανική ενέργεια e mech ενός συστήματος ροής σε αξονικό έργο. Η μηχανική απόδοση mechanical efficiency ενός μηχανισμού ή μιάς διεργασίας ορίζεται ως E E mech 1 E E mech, out mech, loss mech, in mech, in Η απόδοση είναι μικρότερη της μονάδας, mech < 100%, λόγω απωλειών στην διαδικασία μεταφοράς ενέργειας.

6 Απόδοση αντλιών και στροβίλων Σε συστήματα ροής ενδιαφερόμαστε να αυξήσουμε την πίεση, την ταχύτητα και την ανύψωση του ρευστού Στις περιπτώσεις αυτές η απόδοση ορίζεται καλύτερα μέσω του λόγου μεταξύ του ρυθμού απόδοσης/απαγωγής ενέργειας προς/από το σύστημα ροής και του ρυθμού αύξησης/μείωσης της μηχανικής του ενέργειας pump E W mech, fluid shaft, out turbine shaft, in E mech, fluid Η συνολική απόδοση του συστήματος πρέπει να περιέχει την απόδοση του κινητήρα ή της γεννήτριας που συνδέονται με την αντλία ή την τουρμπίνα αντίστοιχα Ps E Mech, Fl PW κιν, αντ, κιν-αντ κιναντ Pk PS P P P P, P Qh s W Lm Lf W p W Κινητήρας Παρεχόμενη ισχύς από δίκτυο Αντλία Αξονική Ισχύς Ωφέλιμη Απώλειες στα Υδραυλική Μηχανικά Ισχύς μέρη Αντλίας Υδραυλικές Απώλειες της Αντλίας

7 Διατήρηση Ενέργειας Ένας από τους θεμελιώδεις νόμους της φύσεως είναι ο 1 ος Θρμοδυναμικός Νόμος ο οποίος είναι γνωστός και ως Βασική Αρχή Διατήρησης Ενέργειας Συνίσταται στο οτι η ενέργεια δεν μπορεί να δημιουργηθεί ή να καταστραφεί σε μία διεργασία, παρά μόνο να αλλάζει μορφές Ένας βράχος που πέφτει επιταχύνεται καθώς η δυναμική ενέργεια, PE, μετατρέπεται σε κινητική, KE Εάν αμελήσουμε τις αντιστάσεις του αέρα η συνολική μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή PE + KE = constant

8 1ος Θερμοδυναμικός Νόμος Γενική Μορφή Διατήρησης Ενέργειας Το ενεργειακό περιεχόμενο ενός συστήματος μπορεί να αλλάξει με δύο τρόπους: μετάδοση θερμότητας Q και μετάδοση αξονικού έργου W Ο ρυθμός μεταβολής της συνολικής ενέργειας κλειστού συστήματος ισούται με τον ρυθμό πρόσδοσης θερμότητας στο σύστημα από το περιβάλον μείον τον ρυθμό μετάδοσης έργου από το σύστημα προς το περιβάλον desys Q net, in W net, in Καθαρός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας προς το σύστημα από το περιβάλον: Q Q Q net, in in out Καθαρός ρυθμός απόδοσης έργου από το σύστημα προς το περιβάλον: W W W net, in in out

9 1 ος Θερμοδυναμικός Νόμος για Όγκο Ελέγχου Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds db sys d CV bdv Η εξίσωση διατήρησης ενέργειας για OE παράγεται θέτοντας B=E and b=e= u V /g + gz (u εσωτερική ενέργεια) de sys Ανάλυση θερμικού φορτίου σε ογκομετρικό και επιφανειακό στις διεπιφάνειες με το περιβάλον CS b V n da d Q net, in W net, in edv e V CV CS r n da T Q Net, In Q dv k da n CV CS n : κάθετο διάνυσμα με κατεύθυνση προς το εξωτερικό του ΟΕ r

10 Ανάλυση προσδιδόμενου έργου σε (α) αξονικό έργο (shaft work) που παράγεται λόγω των επιφανειακών δυνάμεων που αναπτύσσονται στις διεπιφάνειες με το περιβάλλον όπου η ταχύτητα του ρευστού ταυτίζεται με αυτήν του Όγκου Ελέγχου (ΟΕ) και (β) έργο επιφανειακών δυνάμεων που αναπτύσσεται στις διεπιφάνειες όπου το ρευστό διαπερνά τον ΟΕ W W W W W W net, in shaft, net, in flow, net, in shaft, net, in pressure, net, in viscous, net, in W n V da n V da n V da pn V da n V da net, in CS r CS r r CS CS CS CS CS pi : τανυστής τάσεων, :τανυστής ιξωδών τάσεων V CS : ταχύτητα του όγκου ελέγχου στις διάφορες διεπιφάνειες του ΟΕ με το περιβάλλον δεν είναι κατ' ανάγκην ίδια σε κάθε διεπιφάνεια με το περιβάλλον V : ταχύτητα του ρευστού, V r =V-V CS :σχετική ταχύτητα του ρευστού ως προς τον ΟΕ CS CS1CS, CS1:μέρος της επιφάνειας ελέγχου όπου VCS V CS :μέρος της επιφάνειας ελέγχου όπου V V Ο ΟΕ μπορεί να κινείται με ενιαία ταχύτητα ή να παραμορφώνεται Η ταχύτητα του ΟΕ, V CS, στις διάφορες περιοχές της διεπιφάνειας μπορεί να είναι διαφορετική Αυτό αντανακλά στην περιπλοκότητα της διαδικασίας ολοκλήρωσης των επιφανειακών όρων CS

11 W V da n V da e V da n e viscous, net, in n r nn r ns s r nn ns s CS CS CS Έργο κάθετων τάσεων Έργο διατμητικών τάσεων : άνυσμα ιξωδών τάσεων στην διεπιφάνεια ne, s : κάθετο και εφαπτομενικό διάνυσμα στην διεπιφάνεια Συνήθως ο ΟΕ λαμβάνεται έτσι ώστε το διάνυσμα της ταχύτητας να είναι συγγραμμικό με το κάθετο διάνυσμα στην διεπιφάνεια και συνεπώς το έργο των διατμητικών τάσεων μηδενίζεται W W W pn V da n V da e V da flow, net, in p, in v, in r nn r ns s r CS CS CS συνήθως αμελητέο Το έργο βαρύτητας έχει ενσωματωθεί στην εντατική ιδιότητα b=e= u V /g + gz και έτσι δεν συμπεριλαμβάνεται στην παραγωγή έργου

12 Παραγωγή Έργου στα Όρια του Συστήματος Παράδειγμα από την χρήση εμβόλων Συμβάσεις προσήμων: n V κάθετο διάνυσμα με κατεύθυνση προς τα έξω Το αρνητικό πρόσημο χρησιμοποιείται ώστε το έργο να είναι θετικό όταν προσδίδεται στο σύστημα. Όταν το έμβολο κινείται προς τα κάτω κατά ds υπό την επίδραση δύναμης πίεσης F=PA, θεωρώντας αμελητέες ιξώδεις τάσεις από το περιβάλλον στο έμβολο, το αξονικό έργο που προσδίδεται στο σύστημα είναι W shaft =PAds. Εάν διαιρέσουμε με παίρνουμε dw shaft dw boundary PdA ds PdAVpiston Για γενικευμένους όγκους ελέγχου: dw P dav PdA V n shaft nn n

13 Εξίσωση Συνολικής Ενέργειας de sys Αναπαριστά το έργο που καταναλώνεται για να φέρει το ρευστό στον ΟΕ Έργο Ιξωδών Θερμικό φορτίο Αξονικό έργο Έργο Ροής Τάσεων T Q W Q dv k da n V da pn V da n V da net, in net, in CS r r n CV CS CS CS CS d V V u gz dv u gz Vr nda CV CS Ρυθμός συσσώρευσης ενέργειας Ρυθμός καθαρής εκροής ενέργειας Μεταφέροντας το ολοκλήρωμα της πίεσης στο αριστερό μέρος: T Q dv k da V da V da n CS n r n CV CS CS CS d V p V u gz dv u gz Vr nda CV CS h: ενθαλπία

14 d Παραγωγή ιαφορικής Μορφής Ισοζυγίου Συνολικής Ενέργειας r VV V Πίεση στο δεξί μέλος r CS Ολοκληρωτική Μορφή Ισοζυγίου Συνολικής Ενέργειας edv e V n da qdv k T nda n VdA Leibniz CV CS CV CS CS e dv e V n da qdv t kt nda n VdA CV CS CV e dv ev k T V nda Q dv t CS Gauss CV CS CV e dv ev k T V dv Q dv t CV CV CV e ev kt V Q dv 0 dv t 0 CV e ev kt V Q 0 ev Q k T V t e V0 t e V e Q e V / gz u ktpv V t e t DuV Dt / gv Q k T pv V CS

15 Παραγωγή ιαφορικής και Ολοκληρωτικής Μορφής Ισοζυγίου Μηχανικής Ενέργειας DV g gz V Διαφορική Μορφή Εξίσωσης Κίνησης V V gv gz Dt 0 t DV / gz V V gzv : V Dt t DV / gz Ολοκλήρωση σε υλικό όγκο Vm(t) V : V Dt V / gz V t V V / gz dv V : V dv t V m Vm V / gz Gauss V V / gz dv V : V dv Leibniz t Vm Vm d CSCS1CS V / gzdv V /gz Vr nda V nda : V dv CV CS CS CV d n pnn V / gzdv V / gzvr nda VCS nda Vr nda : V dv CV CS CS CS CV d p V / gzdv V /gz Vr nda VCS nda Vr nda : V dv CV Ρυθμός μεταβολής μηχανικής ενέργειας στον ΟΕ CS Καθαρή εκροή μηχανικής ενέργειας και έργου ροής CS CS CV Αξονικό έργο Έργο τριβών Απώλειες στον ΟΕ

16 Παραγωγή ιαφορικής και Ολοκληρωτικής Μορφής Ισοζυγίου Θερμικής Ενέργειας Αφαιρώντας το ισοζύγιο μηχανικής ενέργειας από αυτό της συνολικής προκύπτει σε ολοκληρωτική μορφή το ισοζύγιο θερμικής ενέργειας d d r : CV CS n CV CS CV CV T udv u V n da Q dv k da V dv T udv uvr n da Q dv k da pvdv : V dv CS n Ρυθμός μεταβολής εσωτερικής ενέργειας στον ΟΕ Καθαρή εκροή εσωτερικής ενέργειας από τον ΟΕ CV CS CV CV Ρυθμός πρόσδοσης θερμότητας Απώλειες λόγω συμπιεστότητας Θερμικές απώλειες λόγω αναντιστρεπτότητας Εναλλακτική Μορφή του 1 ου Θερμοδυναμικού Νόμου pdv wr : μέγιστο έργο για αντιστρεπτή διεργασία du q pdv wl w : αναντίστρεπτες απώλειες λόγω τριβών στο σύστημα l Αφαιρώντας την διαφορική μορφή μηχανικής ενέργειας από αυτήν της συνολικής προκύπτει σε το ισοζύγιο θερμικής ενέργειας σε διαφορική μορφή Du k TQ p V : V Dt

17 Απλοποιητικές Παραδοχές Ισοζυγίων Ενέργειας Στις εφαρμογές της υδραυλικής σε κλειστούς λεπτούς αγωγούς είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθούν μέσες τιμές στις διατομές εισόδου και εξόδου Για λεπτούς αγωγούς εισόδου/εξόδου όπου η ροή είναι περίπου πλήρως ανεπτυγμένη το έργο των ιξωδών τάσεων είναι αμελητέο αφού Vn V n, nn 0 n d P P Qnet, in Wshaft, net, in edv m e m e CV out in m V n da : διατομή εισόδου ή εξόδου του ρευστού από τον ΟΕ A C r c c m : μαζική παροχή ρευστού διά μέσου διατομής η οποία διαπερνάται από αυτό e=u+ke+pe = u+v /+gze+p/ρ=h+v /+gz d P V P V Qnet, in Wshaft, net, in edv m u gz m u gz out in CV α: συντελεστής διόρθωσης κινητικής ενέργειας Μέσες τιμές

18 Συντελεστής διόρθωσης κινητικής ενέργειας 1 1 V m V V nda VAv Av A c A c VdA 3 3 V 3 1 V Av 3 A V A A Av V n : da V A da c c A c για ασυμπίεστη ροή r Γιά στρωτή ροή: V V01 VAv 0.5U0.0 R 0 r Για τυρβώδη ροή: V V0 1 m1/7 R0 V m 3 3 1m m 0 VAv 1 1m m 4 13m 3m

19 Ενεγειακή Ανάλυση Συστημάτων Ροής σε Μόνιμη κατάσταση Σε μόνιμη κατάσταση, ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας στον ΟΕ μηδενίζεται. Σε συνθήκες τυρβώδους ροής α1 Για λεπτούς αγωγούς όπου επικρτατούν συνθήκες πλήρως ανεπτυγμένης ροής το έργο ιξωδών τάσεων είναι αμελητέο V V Q net, in W shaft, net, in mh gzmh gz out in Φυσική σημασία του παραπάνω ισοζυγίου ενέργειας: Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας και παραγωγής αξονικού έργου στον ΟΕ σε μόνιμη κατάσταση ισούται με την διαφορά του συνολικού ενεργειακού περιεχομένου μεταξύ των ροών εισόδου και εξόδου του συστήματος ροής

20 Για συστήματα ροής μιάς εισόδου και εξόδου, που βρίσκονται σε μόνιμη κατάσταση η μαζική παροχή είναι δεδομένη Μπορούμε να ορίσουμε το ενεργειακό περιεχόμενο ανά μονάδα μεταφερόμενης μάζας στο υδραυλικό κύκλωμα, για τους διάφορους όρους Q W net, in shaft net in q,, w,, w, w w m m Συνολικό Ισοζύγιο Ενέργειας V V1 qnet, in wshaft, net, in h h1 gz z1 P V P V w gz gz u u q του ισοζυγίου ενέργειας, net in shaft net in shaft net in pump turbine 1 1 shaft, net, in 1 1 net, in 1 Ισοζύγιο θερμικής ενέργειας για μία είσοδο και έξοδο σε μόνιμη κατάσταση u u1 qnet, in emech, loss Ισοζύγιο μηχανικής ενέργειας αφού αφαιρέσουμε το θερμικό ισοζύγιο από το συνολικό P 1 1 V gz1wpump P V gz wturbine emech, loss 1 Το αξονικό έργο της αντλίας και του εισερχόμενου ρεύματος δεν μετατρέπονται πλήρως σε ωφέλιμο μηχανικό έργο στο ρεύμα εξόδου και την τουρμπίνα, αλλά μέρος τους χάνεται, θερμαίνοντας αναντίστρεπτα το ρεύμα εξόδου, πέραν του εισερχόμενου θερμικού φορτίου q net,in Οι απώλειες συμβαίνουν στο εσωτερικό της αντλίας και της τουρμπίνας καθώς και στους αγωγούς μεταφοράς του ρευστού

21 Διαιρώντας με το g παίρνουμε όλους τους όρους σε ισοδύναμα μανομετρικά ύψη του ρευστού που κυκλοφορεί στο υδραυλικό κύκλωμα P V P V 1 1 z1hpump z hturbine hl 1g g g g W w pump pump W turbine turbine h w pump emechloss pump hturbine emechlossturbine gm g gm g Οι απώλειες h L στην παραπάνω σχέση αφορούν μόνο τις σωληνώσεις μεταφοράς του ρευστού και όχι τυχόν αντλίες και τουρμπίνες στο κύκλωμα

22 Γραμμή Ενέργειας & Υδραυλική Γραμμή Ενέργειας Είναι πολλές φορές χρήσιμο να σχηματίσουμε γραφήματα της μηχανικής ενέργειας μέσω της Γραμμής Ενέργειας (Energy Grade Line EGL) και της υδραυλικής Γραμμής Ενέργειας (Hydraulic Grade Line HGL) EGLx EGLx e ( 0) ( ) mech, loss x Υδραυλική Γραμμή Ενέργειας HGL P g Ενεργειακή Γραμμή ή (Γραμμή Συνολικής Ενέργειας) EGL z P V g g Η διαφορά της Ενεργειακή Γραμμής μεταξύ δύο θέσεων στο κύκλωμα της σωλήνωσης δίνει τις απώλειες ενέργειας στο σχετικό κομμάτι της σωλήνωσης z

23 Εξίσωση Bernoulli Αν αγνοήσουμε τις απώλειες στις σωληνώσεις του κυκλώματος και θεωρήσουμε κύκλωμα χωρίς αντλίες ή τουρμπίνες παίρνουμε την εξίσωση Bernoulli P V P V 1 1 z1 z 1g g g g Μπορεί επίσης να προκύψει από τον ο νόμο κίνησης του Νεύτωνα αν αμελήσουμε μεταβατικά φαινόμενα και τριβές Περιέχει 3 όρους που αντιστοιχούν στο: Υδροστατικό (πίεση), Δυναμικό, and Υψομετρικό μανομετρικό ύψος Σε αυτή την περίπτωση ισχύει σε κάθε σημείο του πεδίου ροής

24 Εξίσωση Bernoulli Η εξίσωση Bernoulli είναι μία προσεγγιστική σχέση μεταξύ πίεσης, ταχύτητας και υψομέτρου που ισχύει σε περιοχές του πεδίου ροής όπου επικρατούν συνθήκες μόνιμης, ασυμπίεστης και άτριβης/αστρόβιλης ροής Δεν ισχύει μέσα σε συνοριακά στρώματα και ολκούς όπου υπάρχει έντονη στροβιλότητα στο πεδίο ροής Περιορισμοί της Εξίσωσης Bernoulli Μόνιμη κατάσταση: d/ = 0 Άτριβη και ασυμπίεστη ροή, μ0, ρ=σταθερό Απουσία Αξονικού Έργου: w pump =w turbine =0 Απουσία μεταφοράς θερμότητας: q net,in =0 Εφαρμόζεται επάνω σε ροϊκή γραμμή (πλην της περίπτωσης αστρόβιλης ροής όπου ισχύει σε κάθε σημείο του ρευστού)