5. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΟΓΚΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ

Transcript

1 5. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕ ΟΓΚΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥ α) ιατήρηση της Μάζας-Εξίσωση Συνέχειας β) εύτερος νόµος του Newton-Εξίσωση Ορµής γ) Πρώτος νόµος Θερµοδυναµικής-Εξίσωση Ενέργειας Ολοκληρωτική ανάλυση ιαφορική ανάλυση

2 5.1 ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Η µάζα ενός συστήµατος παραµένει σταθερή ή Ο ρυθµός µεταβολής της µάζας είναι µηδέν DM συσ 0 Dt = M = όπου η µάζα του συστήµατος είναι συσ ρd Για ένα σύστηµα και ένα σταθερό όγκο ελέγχου που συµπίπτουν µία χρονική στιγµή, η εφαρµογή του θεωρήµατος Reynolds µε Β=µάζα και b=1 δίνει D Dt ρd = ρd + ρ U nda ˆ = 0 t συσ ΟΕ EΕ ρd = 0 Για µόνιµη ροή t ΟΕ ρ V nda ˆ = m m = 0 m = παροχ ήµ άζας kg / s ΕΕ ( ) συσ

3

4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Αν η ταχύτητα εξόδου στο ακροφύσιο του σωλήνα του σχήµατος θα πρέπει να είναι τουλάχιστον 0 m/s να υπολογισθεί η ελάχιστη παροχή του σωλήνα σε m 3 /s ΛΥΣΗ Q = Q 1 πd 3 Q = UA = U = 0.051m / s 4 3 Q = 0.051m / s 1

5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Νερό εισρέει σε µία κυλινδρική δεξαµενή µε ρυθµό βενζίνη ( ΛΥΣΗ ρ βενζ = 3 680kg /m 100 / hr και εξαναγκάζει τη ) να εκρέει από τη δεξαµενή όπως φαίνεται στο σχήµα. Υπολογίστε τη χρονική µεταβολή της µάζας της βενζίνης στη δεξαµενή. Για έναν όγκο ελέγχου που περιλαµβάνει νερό και βενζίνη στη δεξαµενήηαρχή διατήρησης της µάζας δίνει: ϑmβενζ ϑmνερ Βενζίνη + +ρβενζqβενζ ρ νερqνερ = 0 (SG=0.68) ϑt ϑt ϑmβενζ ϑvνερ + ρ βενζqβενζ + ρνερ ρ νερqνερ = 0 ϑt ϑt Αφού Qβενζ = Q ϑvνερ νερ και = Q έχουµε νερ ϑt ϑm βενζ + ρ βενζqνερ = 0 ϑt ϑm 3 3 βενζ m = 680 = kg /sec ϑt 3600 sec Νερό

6 5. ΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ Ρυθµός χρονικής µεταβολής = άθροισµα εξωτερικών της ορµής του συστήµατος δυνάµεων που επιδρούν στο σύστηµα D Dt συσ Uρd = F συσ Για σύστηµα που συµπίπτει µε τον όγκο ελέγχου F συσ = F ΟΕ Από θεώρηµα Reynolds D Dt Uρd = Uρd + Uρ U nda = F t συσ ΟΕ ΕΕ Επιφανειακές δυνάµεις και δυνάµεις σώµατος ΟΕ

7

8

9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Κωνικό ακροφύσιο Να προσδιορισθεί η δύναµη «αγκύρωσης» που απαιτείται για να µείνει στη θέση του το κωνικό ακροφύσιο του σωλήνα του σχήµατος όταν η παροχή του νερού είναι 0.6 m 3 /sec. Η µάζα του ακροφύσιου είναι 0.1 kg. Ηδιάµετρος στην είσοδο και έξοδο του ακροφυσίου είναι 16mm και 5mm αντίστοιχα. Οάξοναςτου ακροφυσίου είναι κατακόρυφος και η απόσταση µεταξύ των διατοµών (1) και () είναι 30mm.H πίεση στη διατοµή (1) είναι 464 kpα. ΛΥΣΗ - H δύναµη «αγκύρωσης» που ζητείται είναι η αντίδραση µεταξύ του σωλήνα και του ακροφυσίου -Ο όγκος ελέγχου που επιλέγεται περιλαµβάνει όλο το ακροφύσιο και το νερό που περιέχεται στο ακροφύσιο όπως φαίνεται στο σχήµα.

10 (συνέχεια) t ΟΕ EΕ Προσδιορίζονται οι δυνάµεις που δρουν στον όγκο ελέγχου και εφαρµόζεται η εξίσωση ορµής στη διεύθυνση z wρd + wρ U * nda = F W p A W + p A (1) A ακρ 1 1 νερ Για µόνιµη ροή = 0 και t εποµένως ο πρώτος όρος στο δεξί µέρος της εξίσωσης είναι µηδέν Ο όρος ΕΕ wρ U nda προσδιορίζεται στις επιφάνειες ελέγχου όπου η ταχύτητα δεν είναι µηδέν, δηλαδή στην είσοδο και έξοδο του όγκου ελέγχου

11 (συνέχεια) Το πρόσηµο τωνδιανυσµατικών µεγεθών (ταχύτητα, δύναµη κλπ.) εξαρτάται απότοσύστηµα συντεταγµένων που επιλέγεται. Το πρόσηµο της παροχής εξαρτάται από το αν είναι εισροή (-) ήεκροή(+). Η εξίσωση (1) γίνεται w ρ w A + w ρ + w A = F W p A W p A ( ) ( ) ( ) ( ) A ακρ 1 1 νερ A 1 1 ακρ 1 1 νερ F = ρw A ρ w A + W + p A + W p A Υπολογισµός των όρων της εξίσωσης Q Q w1 = =.98m /s, w = = 30.6m /s A1 A w = m g = 0.981N, w = ρ g = 0.078N ακρ ακρ νερ νερ p = 464kPa, p = 0( ατµοσφαιρικήπί εση) 1 Η F A υπολογίζεται ίση µε FA = 16.5N N N N = 77,8N

12 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 -Γωνία Σωλήνα Νερό ρέει στον οριζόντιο σωλήνα του σχήµατος που έχει γωνία. Ηδιατοµήτου σωλήνα είναι σταθερή και ίση µε 0.1 m. Ηταχύτηταροήςείναι15 m/s. Οι απόλυτες πιέσειςστιςδιατοµές (1) και () είναι 06 kpa και 165 kpa αντίστοιχα.να υπολογιστούν οι οριζόντιες συνιστώσες (x, y) της δύναµης που ασκείται από τη γωνία στο νερό. ΛΥΣΗ Επιλέγεται ο όγκος ελέγχου που περιλαµβάνει µόνοτονερόµεταξύ των διατοµών (1) και (). -Προσδιορίζονται οι δυνάµεις που δρούν στον όγκο ελέγχου. -Εφαρµόζεται η εξίσωση ορµής στις διευθύνσεις x και y.

13 (συνέχεια) x εξ. uρ U nda = R (1) ΕΕ y εξ. vρ U nda = R + p A + p A () ΕΕ x y 1 1 Από την (1) έχουµε R x =0 (η ταχύτηταu είναι µηδέν σε όλες τις επιφάνειες του όγκου ελέγχου) Από την () έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) + v ρ v Α + v ρ + v Α = R + p Α + p Α R y 1 1 y = 5889N Το αρνητικό πρόσηµο τηςr y σηµαίνει ότι η R y έχει διαφορετική διεύθυνση από αυτή που έχουµε επιλέξειαρχικά.

14 5.3 ΠΡΩΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Εξίσωση ενέργειας 1ος Νόµος Θερµοδυναµικής Ρυθµός αύξησης της Τελικός ρυθµός της ενέργειας Τελικός ρυθµός της ενέργειας συνολικής ενέργειας = που προστίθεται στο σύστηµα + που προστίθεται στο σύστηµα στο σύστηµα από µεταφορά θερµότητας από µεταφορά έργου D Dt eρ dv = Q Q + W W συσ συσ e:συνολική ενέργεια ανά µονάδα µάζας e= u + U / + gz ǔ: εσωτερική ενέργεια ανά µονάδα µάζας (λόγω της κίνησης κατανοµής και διαµόρφωσης µορίων) U /: κινητική ενέργεια ανά µονάδα µάζας gz: δυναµική ενέργεια ανά µονάδα µάζας

15 Για σύστηµα και όγκο ελέγχου που συµπίπτουν έχουµε: D Dt ϑ eρ dv = eρ dv + eρu nda ϑt συσ οε εε Qnet + W net Q = net + W net συσ οε Εποµένως edv ρ + eu ρ nda= Qnet + W t net ΟΕ EΕ Q: ρυθµός µετάδοσης θερµότητας (λόγω διαφοράς θερµοκρασίας, ακτινοβολία,συναγωγή,επαγωγή) W: ρυθµός πρόσδοσης έργου(ισχύς) Q: + (θετική όταν έχουµε µεταφορά θερµότητας στον όγκο ελέγχου) W: + (θετική όταν προσφέρεται έργο στον όγκο ελέγχου από το περιβάλλον) ΟΕ

16 Τρόποι παραγωγής έργου (α) κινούµενο έµβολο (προπέλες,αντλίες,τουρµπίνες,ανεµιστήρες) W εµβ = T ω εµβ T εµβ :ροπή στρέψεως ω:γωνιακή ταχύτητα (β) κάθετη τάση του ρευστού στην επιφάνεια ελέγχου,σ=-p δ W καθετης τασης = κάθετηςτάσης δfκ άθετηςτάσης U = σnδa U = pnδa U = pu nδa W = σu nda = pu nda εε γ) ιατµητική τάση στην επιφάνεια ελέγχου W δ διατµητικήςτάσης = δfδτ. U έργο διάτµησης εε έργο πίεσης

17 Εποµένως έχουµε eρ dv + eρu nda = Q + W pu nda ϑ net εµβ, net ϑt οε εε εε ϑ p U eρ dv+ u+ + + gz ρu nda= Qnet + Wεµβ,net ϑt ρ οε εε ή Εφαρµογή της εξίσωσης ενέργειας εε p U u gz ρu nda 0 ρ όταν U n 0 p U U U p p u gz ρu nda = gz m gz m ρ u ρ u ρ εε έξοδος είσοδος

18 Εποµένως έχουµε τη µονοδιάστατη εξίσωση ενέργειας για µόνιµη ροή p p u u m u u g + ρ ρ Αν h p είναι η ενθαλπία, h = u + και θα έχουµε ρ ( z z ) Q = net W net m h h g z z Q W U U + + = net + net ( ) Σύγκριση της εξίσωσης Ενέργειας µε την εξίσωση Bernoulli Για ασυµπίεστη ροή χωρίς έργο λόγω εµβόλου η εξίσωση ενέργειας γίνεται p p U U m u u g z z = Q ρ ρ ( ) net

19 ιαιρώντας µε την παροχή µάζας της έχουµε: p ρ U + + gz = p ρ Η εξίσωση Bernoulli µπορεί να γραφεί: p U p U + + gz = + + gz ρ ρ U + + gz απώλειες ( u u qnet ) όπου q net = Q net m Εποµένως για µόνιµη,ασυµπίεστη,µη-συνεκτική ροή u u qnet = 0 Για µόνιµη,ασυµπίεστη,συνεκτική ροή p U + + gz = χρήσιµη ενέργεια ρ u u qnet > 0 u u q net = απώλειες ενέργειας λόγω τριβής

20 p ρ + U + gz = p ρ + U + gz απ ώλειες Αν έχουµε και µεταφορά έργου λόγω µηχανής ( αντλία) έχουµε: p U p U + + gz = + + gz + Wαντλια απώλειες ρ ρ net,

21

22

23 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 ύο δεξαµενές συνδέονται µεένασωλήναόπωςφαίνεταιστοσχήµα. Σε κάποιο σηµείο του σωλήνα παρεµβάλλεται µία υδραυλική µηχανή η οποία λειτουργεί σαν υδροστρόβιλος (τουρµπίνα) κατά τη διάρκεια της ηµέρας (ροή από τη δεξαµενή Α στη Β). Κατά τη διάρκεια της νύχτας λειτουργεί σαν αντλία και νερό αντλείται από την δεξαµενή Β στην Α. είξετε ότι σε κάθε περίπτωση είναι επιθυµητή η ελαχιστοποίηση των απωλειών. ΛΥΣΗ (α) Για λειτουργία υδροστροβίλου (τουρµπίνας), ροή από την δεξαµενή Α στην Β ηεξ. ενέργειας δίνει: PA UA PB UB + + za = + + zb + hυδρ + hαπωλ γ g γ g (1) Αφού P A =U A =P B =U B =0 η 1 απλοποιείται h = (z z ) h υδρ A B απωλ

24 Το φορτίο του υδροστροβίλου και εποµένως η ωφέλιµη ισχύς του είναι η υψοµετρική διαφορά µεταξύ των δύο δεξαµενών µειωµένη κατά το φορτίο απωλειών λόγω τριβών. (β) Γιαλειτουργίααντλίας, ροή από την Β στην Α, η εξίσωση ενέργειας δίνει: B B A A B αντ P U P U + + z + h = + + za + h γ g γ g Η () απλοποιείται σε h = (z + z ) + h αντλ A B απωλ Το «µανοµετρικό» της αντλίας και εποµένως η απαιτούµενη ισχύς της είναι αυξηµένη κατά το φορτίο απωλειών λόγω τριβών. Είναι φανερό ότι και στις δύο περιπτώσεις το φορτίο απωλειών h απωλ θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί απωλ ()