Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις"

Transcript

1 Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου) και τα εξής: α) Έλεγχος των απαιτούμενων (κατά περίπτωση) υποθέσεων/παραδοχών. β) Κατάλληλοι μη παραμετρικοί έλεγχοι, όταν οι απαιτούμενες υποθέσεις/παραδοχές δεν ικανοποιούνται. γ) Για κάθε έλεγχο, κατασκευή της καμπύλης ισχύος. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή με γνωστή τυπική απόκλιση ίση με 5gr. Επιλέξαμε 5 φιάλες του μισού κιλού που είχαν γεμίσει από τη συγκεκριμένη μηχανή και μετρήσαμε την ποσότητα κρασιού που περιείχαν. Η μέση ποσότητα κρασιού σε αυτές τις 5 φιάλες βρέθηκε ίση με 485gr. α) Βρείτε ένα 95% και ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα κρασιού που περιέχεται στις φιάλες του μισού κιλού που γεμίζει η συγκεκριμένη μηχανή. β) Μετρήσαμε την ποσότητα κρασιού σε 5 άλλες φιάλες του μισού κιλού που είχαν γεμίσει επίσης από τη συγκεκριμένη μηχανή και βρήκαμε μέση ποσότητα κρασιού 48gr. Να απαντήσετε στο ερώτημα (α) χρησιμοποιώντας τα ευρήματα από το νέο δείγμα. γ) Μετρήσαμε την ποσότητα κρασιού σε 4 ακόμη φιάλες του μισού κιλού που είχαν γεμίσει από τη συγκεκριμένη μηχανή και βρήκαμε μέση ποσότητα κρασιού, σε αυτές, 48gr. Να απαντήσετε και πάλι στο ερώτημα (α) χρησιμοποιώντας τα νέα ευρήματα. δ) Πώς σχολιάζετε και πώς ερμηνεύετε (συγκριτικά) τα πλάτη των έξι διαστημάτων που υπολογίσατε στα (α), (β) και (γ); ε) Τι μεγέθους δείγμα πρέπει να πάρουμε προκειμένου, με πιθανότητα 95% το περιθώριο σφάλματος για την εκτίμηση της μέσης ποσότητας κρασιού που περιέχεται στις φιάλες μισού κιλού που γεμίζει η συγκεκριμένη μηχανή, να είναι.5gr; στ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στα ερωτήματα (α), (β) και (γ);. (Συνέχεια του Προβλήματος-): Η τυπική απόκλιση του πρώτου δείγματος (μεγέθους 5) που πήραμε, βρέθηκε να είναι 6gr, γεγονός που δημιούργησε αμφιβολίες στον υπεύθυνο παραγωγής για το αν η τυπική απόκλιση της ποσότητας κρασιού που εμφιαλώνεται ανά φιάλη είναι πράγματι 5gr ή μήπως η μηχανή έχει απορυθμισθεί και η τυπική απόκλιση είναι πλέον μεγαλύτερη. α) Να ελέγξετε, με βάση αυτό το δείγμα, αν οι αμφιβολίες του υπεύθυνου παραγωγής, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, είναι βάσιμες και β) να δώσετε, με ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης, μια εκτίμηση της τυπικής απόκλισης της ποσότητας κρασιού που εμφιαλώνει η μηχανή ανά φιάλη. Να δώσετε επίσης, ένα 95% κάτω φράγμα εμπιστοσύνης (για την τυπική απόκλιση). 3. Είναι γνωστό ότι η πετρελαϊκή ρύπανση των θαλασσών προκαλεί, μεταξύ άλλων, την ανάπτυξη ενός συγκεκριμένου τύπου βακτηρίων. Μια ομάδα ερευνητών, προκειμένου να μελετήσει αυτό το φαινόμενο σε μια θαλάσσια περιοχή που έχει πληγεί από πετρελαϊκή ρύπανση, πήρε νερό από διαφορετικά σημεία αυτής της περιοχής και έκανε σχετικές μετρήσεις. Συγκεκριμένα, μέτρησε τον αριθμό, έστω Χ, αυτών των βακτηρίων ανά milliliters νερού. Οι τιμές, x, x,..., x, της μεταβλητής, Χ, στα δέκα σημεία ήταν: 49, 7, 54, 67, 59, 4, 6, 69, 7, 5. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού στην υπό μελέτη θαλάσσια περιοχή. β) Τι υποθέσεις

2 χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (α); γ) Εξηγείστε πώς αντιλαμβάνεσθε (πώς ερμηνεύετε) το 95% διάστημα εμπιστοσύνης που βρήκατε στο (α). δ) Αν ερευνητικές ομάδες πάρουν, η κάθε μία, από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από την υπό μελέτη περιοχή, και υπολογίσουν (με την ίδια διαδικασία) από ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού η κάθε μία, πόσα από αυτά τα διαστήματα εμπιστοσύνης περιμένετε να περιέχουν το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού στην υπό μελέτη θαλάσσια περιοχή; ε) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό βακτηρίων ανά milliliters νερού στην υπό μελέτη θαλάσσια περιοχή. στ) Ποια εκτίμηση είναι πιο ακριβής, του ερωτήματος (α) ή του (ε); Για ποια έχουμε μεγαλύτερη εμπιστοσύνη; 4. Ένας φοιτητής του Τμήματος Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων του Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών, στο πλαίσιο της πτυχιακής του εργασίας, μελέτησε μεταξύ άλλων, την ποσότητα νατρίου, έστω Χ, που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου (όχι light) που παράγει μια γνωστή γαλακτοβιομηχανία. Τα αποτελέσματα εννέα σχετικών μετρήσεων που έκανε ο φοιτητής σε κασέρι που επέλεξε τυχαία από την παραγωγή της γαλακτοβιομηχανίας, ήταν (σε milligrams/gr): 34, 3, 34, 3, 3, 9, 33, 3, 3. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία. β) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (α); γ) Σύμφωνα με τις προδιαγραφές τις γαλακτοβιομηχανίας, η μέση ποσότητα νατρίου στο κασέρι συνήθους τύπου που παράγει είναι 3mgr/gr. Με βάση το δείγμα που πήρε ο φοιτητής, να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αν ο ισχυρισμός της γαλακτοβιομηχανίας ευσταθεί. δ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (γ); ε) Σε επίπεδο σημαντικότητας %, ο ισχυρισμός της γαλακτοβιομηχανίας ευσταθεί; 5. (Συνέχεια του Προβλήματος-4): Ο φοιτητής, επίσης μελέτησε, την ποσότητα νατρίου στο κασέρι τύπου light της ίδιας γαλακτοβιομηχανίας. Τα αποτελέσματα οκτώ σχετικών μετρήσεων ήταν: 3, 3, 3, 9, 8, 8, 85, 75. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι τύπου light που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία. β) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά της μέσης ποσότητας νατρίου στο κασέρι τύπου light που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία από τη μέση ποσότητα νατρίου στο κασέρι συνήθους τύπου (που παράγει η ίδια γαλακτοβιομηχανία). γ) Με βάση το 95% διάστημα εμπιστοσύνης που υπολογίσατε στο ερώτημα (β), μπορείτε να συμπεράνετε αν οι δύο πληθυσμιακοί μέσοι διαφέρουν ή όχι και αν ναι με τι πιθανότητα το συμπέρασμά σας μπορεί να είναι λάθος; δ) Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, κατάλληλο στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε αν η μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία είναι ίδια ή όχι στους δύο τύπους κασεριού. Συμφωνεί το συμπέρασμά σας με αυτό του ερωτήματος (γ); ε) Με βάση το συμπέρασμά σας στο (δ), μπορείτε να αποφασίσετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αν η μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου που παράγει η συγκεκριμένη γαλακτοβιομηχανία είναι μεγαλύτερη από τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι τύπου light (που παράγει η ίδια γαλακτοβιομηχανία); στ) Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, κατάλληλο στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε αν η μέση

3 ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι συνήθους τύπου είναι μεγαλύτερη από τη μέση ποσότητα νατρίου που περιέχεται στο κασέρι τύπου light περισσότερο από 5mgr/gr. ζ) Για να απαντήσετε στα ερωτήματα (β), (δ) και (στ) χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις; 6. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται το ποσοστό (%) οξειδίου του αργιλίου (aluminum oxie) σε καθένα από 4 κεραμικά αγγεία που βρέθηκαν σε αρχαιολογικές ανασκαφές που έγιναν σε δύο διαφορετικές περιοχές (Α και Β). Α Β α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Α (της χρονολογικής περιόδου που αντιστοιχούν τα ευρήματα). β) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Β (της χρονολογικής περιόδου που αντιστοιχούν τα ευρήματα). γ) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά της μέσης περιεκτικότητας σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Β από τη μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών της περιοχής Α. δ) Με βάση το 95% διάστημα εμπιστοσύνης που υπολογίσατε στο ερώτημα (γ), μπορείτε να συμπεράνετε αν οι δύο πληθυσμιακοί μέσοι διαφέρουν ή όχι και αν ναι με τι πιθανότητα το συμπέρασμά σας μπορεί να είναι λάθος; ε) Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, κατάλληλο στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε αν η μέση περιεκτικότητα σε αργίλιο των κεραμικών είναι ίδια ή όχι στις δύο περιοχές. Συμφωνεί το συμπέρασμά σας με αυτό του ερωτήματος (δ); στ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στα ερωτήματα (α), (β), (γ) και (ε); ζ) Το συμπέρασμά σας στο (ε), συμφωνεί με το συμπέρασμά σας στο αντίστοιχο πρόβλημα περιγραφικής στατιστικής; (πρόβλημα- περιγραφικής στατιστικής). 7. Η πτυχιακή μελέτη ενός φοιτητή του Γεωπονικού Πανεπιστημίου Αθηνών αφορούσε στα άνθη μιας συγκεκριμένης ποικιλίας ενός φυτού που καλλιεργείται στο νομό Κοζάνης. Στο πλαίσιο αυτής της μελέτης, ο φοιτητής μέτρησε, μεταξύ άλλων, τον αριθμό των πετάλων σε 5 άνθη της συγκεκριμένης ποικιλίας που επέλεξε από καλλιέργειες του νομού Κοζάνης. Τα αποτελέσματα αυτών των μετρήσεων ήταν τα εξής: α) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο αριθμό πετάλων ανά άνθος της συγκεκριμένης ποικιλίας του φυτού στο νομό Κοζάνης. β) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να κάνετε για να απαντήσετε στο ερώτημα (α); γ) Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι ο μέσος αριθμός πετάλων της συγκεκριμένης ποικιλίας του φυτού είναι 6 πέταλα ανά άνθος. Να διατυπώσετε και να κάνετε, σε επίπεδο σημαντικότητας %, κατάλληλο στατιστικό έλεγχο για να ελέγξετε

4 αν τα ευρήματα στο δείγμα που πήρε ο φοιτητής συμφωνούν ή όχι με τη βιβλιογραφία. δ) Μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα το συμπέρασμά σας στο (γ) να είναι λάθος; Εξηγείστε. 8. Η αποτελεσματικότητα του φυτοφαρμάκου που χρησιμοποιεί ένας αγρότης για την αντιμετώπιση κάποιας συγκεκριμένης ασθένειας είναι γνωστό ότι είναι 6%, δηλαδή το 6% των άρρωστων φυτών στα οποία χορηγείται το εν λόγω φάρμακο θεραπεύονται. Για να ελέγξει την αποτελεσματικότητα ενός νέου φαρμάκου, που καταπολεμά την ίδια ασθένεια, ο αγρότης χορήγησε αυτό το νέο φάρμακο σε 5 άρρωστα φυτά, και από αυτά θεραπεύθηκαν τα. α) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, υποστηρίζουν αυτά τα πειραματικά δεδομένα ότι το νέο φάρμακο είναι πιο αποτελεσματικό από αυτό που ήδη χρησιμοποιεί; β) Αν ο αγρότης είχε εκτελέσει το πείραμα με 5 άρρωστα φυτά και είχε βρει ότι θεραπεύτηκαν από αυτά, τι έπρεπε να έχει συμπεράνει; γ) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για την αποτελεσματικότητα του νέου φαρμάκου, με τα δεδομένα από τα 5 φυτά και τα δεδομένα από τα 5 φυτά. Σχολιάστε τα μήκη των δύο διαστημάτων. δ) Πόσα φυτά πρέπει να χρησιμοποιηθούν στο πείραμα ώστε με πιθανότητα 99% το περιθώριο σφάλματος της εκτίμησης του ποσοστού των φυτών που θεραπεύονται με το νέο φυτοφάρμακο να είναι. (%); 9. Για να συγκριθεί η ευαισθησία δύο διαφορετικών ποικιλιών καλαμποκιού σε κάποια ασθένεια, έγινε κατάλληλο πείραμα, στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν 5 φυτά της ποικιλίας Α και 5 φυτά της ποικιλίας Β. Βρέθηκε ότι από τα 5 φυτά της ποικιλίας Α προσβλήθηκαν από την ασθένεια τα 74 και από τα 5 φυτά της ποικιλίας Β τα 9. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στην ευαισθησία στη συγκεκριμένη ασθένεια μεταξύ των δύο ποικιλιών καλαμποκιού. β) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, μπορούμε να ισχυρισθούμε ότι υπάρχει διαφορά στην ευαισθησία στη συγκεκριμένη ασθένεια μεταξύ των δύο ποικιλιών καλαμποκιού; Σε επίπεδο σημαντικότητας %; γ)τι υποθέσεις κάνατε για να απαντήσετε στα ερωτήματα (α) και (β).. Τα φυτά σιταριού με ύψος μικρότερο από 9.44cm (συμπεριλαμβανομένης και της ταξιανθίας) χαρακτηρίζονται «κοντά». Ένα τυχαίο δείγμα 5 φυτών σιταριού από μια αγροτική περιοχή έδωσε μέσο ύψος 89.cm με τυπική απόκλιση 4.58cm. α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσος ύψος των φυτών σιταριού της συγκεκριμένης αγροτικής περιοχής. β) Τα ευρήματα στο τυχαίο δείγμα, υποστηρίζουν, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, ότι τα φυτά σιταριού στη συγκεκριμένη αγροτική περιοχή, με βάση το μέσο ύψος τους, είναι κοντά;. Από την παραγωγή δύο μηχανών, έστω Α και Β, πήραμε δύο τυχαία δείγματα μεγέθους n = 45 και n = 4, αντίστοιχα. Στο δείγμα από την παραγωγή της μηχανής Α βρέθηκαν 7 ελαττωματικά προϊόντα και στο δείγμα από την παραγωγή της μηχανής Β βρέθηκαν ελαττωματικά προϊόντα. Τα ευρήματα στα δύο δείγματα υποστηρίζουν, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, ότι το ποσοστό τον ελαττωματικών προϊόντων στην παραγωγή της μηχανής Α διαφέρει από το ποσοστό τον ελαττωματικών προϊόντων στην παραγωγή της μηχανής Β; Σε επίπεδο σημαντικότητας %;. Ένας φοιτητής του Τμήματος Περιβάλλοντος του Πανεπιστημίου Αιγαίου, στο πλαίσιο μιας εργαστηριακής άσκησης, πήρε 5 μετρήσεις συγκέντρωσης οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι της Μυτιλήνης και άλλες μετρήσεις στα

5 νερά παρακείμενης θαλάσσιας περιοχής έξω από το λιμάνι. Οι μετρήσεις στα νερά που ελήφθησαν μέσα από το λιμάνι έδωσαν μέση συγκέντρωση οξυγόνου 3.8mg/lt με τυπική απόκλιση.9mg/lt, ενώ οι μετρήσεις στα νερά που ελήφθησαν έξω από το λιμάνι έδωσαν μέση συγκέντρωση οξυγόνου3.388mg/lt με τυπική απόκλιση.mg/lt. α) Σε επίπεδο σημαντικότητας %, υποστηρίζουν τα δεδομένα αυτά μειωμένη συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι της Μυτιλήνης σε σχέση με τη συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά έξω από το λιμάνι; Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%; β) Ο καθηγητής έδωσε τη συγκεκριμένη άσκηση σε 3 φοιτητές, δηλαδή, από κάθε φοιτητή ζητήθηκε να ληφθούν από 5 και μετρήσεις συγκέντρωσης οξυγόνου από νερά μέσα και έξω από το λιμάνι της Μυτιλήνης αντίστοιχα, και στη συνέχεια να κάνει κατάλληλο στατιστικό έλεγχο υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Αν ο καθηγητής γνωρίζει ότι η μέση συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι δεν είναι μικρότερη από ότι στα νερά έξω από το λιμάνι, πόσοι από τους 3 φοιτητές (περίπου) αναμένετε να βρήκαν ότι η μέση συγκέντρωση οξυγόνου στα νερά μέσα στο λιμάνι είναι μικρότερη από ότι στα νερά έξω από το λιμάνι; (Υποθέστε ότι όλοι οι φοιτητές εκτέλεσαν την άσκηση σωστά). 3. Οι κάτοικοι μιας περιοχής στο Θριάσιο, ανησυχούν για τη συγκέντρωση μονοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα κατά τις μεσημεριανές ώρες. Η αρμόδια κρατική υπηρεσία, μετά από διαμαρτυρία των κατοίκων, επέλεξε σύμφωνα με ένα σχέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, 6 σημεία της περιοχής και έκανε σχετικές μετρήσεις. Οι μετρήσεις αυτές έδωσαν μέση συγκέντρωση μονοξειδίου του άνθρακα 55.9mg/m 3 με τυπική απόκλιση 6.5mg/m 3. Το επιτρεπτό για την υγεία των κατοίκων όριο μονοξειδίου του άνθρακα είναι 55mg/m 3. α) Με βάση τα ευρήματα στο δείγμα, και σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, τι πρέπει να ανακοινώσει η κρατική υπηρεσία στους κατοίκους; β) Μια περιβαλλοντική οργάνωση πίεσε την κρατική υπηρεσία να επαναλάβει τον έλεγχο με μεγαλύτερο δείγμα. Η κρατική υπηρεσία δέχθηκε και ένα νέο τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 που πήρε, έδωσε μέση συγκέντρωση μονοξειδίου του άνθρακα 56.mg/m 3 με τυπική απόκλιση 5.mg/m 3. Τι πρέπει να ανακοινώσει η κρατική υπηρεσία στους κατοίκους με βάση τα ευρήματα στο νέο δείγμα (σε επίπεδο σημαντικότητας και πάλι 5%); γ) Σχολιάστε τα συμπεράσματα στα (α) και (β) συγκριτικά. δ) Τι υποθέσεις χρειάσθηκε να γίνουν για να απαντηθούν τα ερωτήματα (α) και (β); 4. Ένας ερευνητής, έκανε 34 μετρήσεις για το PH ενός χημικού διαλύματος Α και 4 μετρήσεις για το PH ενός άλλου χημικού διαλύματος Β. Οι 34 μετρήσεις για το διάλυμα Α έδωσαν μέσο PH 7.5 με τυπική απόκλιση.5 και οι 4 μετρήσεις για το διάλυμα Β έδωσαν μέσο PH 7.76 με τυπική απόκλιση.9. α) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, η διαφορά που παρατηρείται στους δύο δειγματικούς μέσους, είναι άραγε στατιστικά σημαντική; Σε επίπεδο σημαντικότητας %; β) Τι πρέπει να υπολογίσουμε για να διαπιστώσουμε πόσο στατιστικά σημαντική είναι αυτή η διαφορά; γ) Να απαντήσετε στο ερώτημα (α) αν γνωρίζετε ότι P τιμ ή. 3. Εξηγείστε τι εκφράζει η P-τιμή και πώς χρησιμοποιείται στο στατιστικό έλεγχο υποθέσεων. δ) Βρείτε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά του PH στα δύο διαλύματα. 5. Για να συγκρίνουμε δυο αντιδιαβρωτικά επιστρώματα σωλήνων, έστω Α και Β, κάναμε το εξής πείραμα. Σε κάθε μία από τυχαία επιλεγμένες περιοχές τοποθετήσαμε μέσα στο έδαφος δύο σωλήνες, τον ένα δίπλα στον άλλο, στο ίδιο

6 βάθος και για ίδιο χρονικό διάστημα. Ο ένας σωλήνας από τους δύο που τοποθετήθηκαν σε κάθε περιοχή, είχε επιστρωθεί με το αντιδιαβρωτικό Α και ο άλλος με το αντιδιαβρωτικό Β. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται ο βαθμός 3 διάβρωσης κάθε σωλήνα (σε in ) στις δέκα περιοχές. Βαθμός διάβρωσης με 3 επίστρωμα Α (σε in ) Βαθμός διάβρωσης με 3 επίστρωμα Β (σε in ) Περιοχή α) Βρείτε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά του βαθμού διάβρωσης μεταξύ σωλήνων με αντιδιαβρωτικό επίστρωμα Α και σωλήνων με αντιδιαβρωτικό επίστρωμα Β. β) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, υποστηρίζουν τα πειραματικά δεδομένα ότι τα δύο αντιδιαβρωτικά δεν έχουν την ίδια αποτελεσματικότητα; γ) Με βάση το συμπέρασμά σας στο (β), μπορείτε να συμπεράνετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αν τα πειραματικά δεδομένα υποστηρίζουν ότι το αντιδιαβρωτικό Β είναι πιο αποτελεσματικό από το αντιδιαβρωτικό Α; δ) Για να απαντήσετε στα προηγούμενα ερωτήματα, χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις; 6. Ένας ερευνητής μέτρησε τη συγκέντρωση γλυκόζης (σε mg/li) στο αριστερό και το δεξί μάτι 35, τυχαία επιλεγμένων, υγιών σκύλων συγκεκριμένης ράτσας. Ας συμβολίσουμε με Χ και Υ, τη συγκέντρωση γλυκόζης, αντίστοιχα, στο αριστερό και το δεξί μάτι, υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας. Για τις 35 μετρήσεις, x, x,..., x35, στο αριστερό μάτι και τις 35 μετρήσεις, y, y,..., y35, στο δεξί, ο ερευνητής υπολόγισε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλισή τους και βρήκε, x = mg/li, sx =. 64 mg/li, y = mg/li, s y =. 7 mg/li. Υπολόγισε επίσης την τυπική απόκλιση των διαφορών, i = xi yi, i =,,..., 35, μεταξύ αριστερού και δεξιού ματιού, s =. 6 mg/li. Χρησιμοποιείστε όσα και όποια από αυτά τα στατιστικά κρίνετε, για να απαντήσετε στα επόμενα. α) Βρείτε 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά της συγκέντρωσης γλυκόζης μεταξύ των δύο ματιών υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας. β) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, υποστηρίζουν οι μετρήσεις που έκανε ο ερευνητής ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά στη μέση συγκέντρωση γλυκόζης μεταξύ των δύο ματιών υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας; γ) Για να απαντήσετε στα (α) και (β), χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις; 7. Πέντε μονάδες εμφιάλωσης αναψυκτικών δέχτηκαν να εφαρμόσουν μια νέα μέθοδο στη διαδικασία παραγωγής προκειμένου να ελεγχθεί (από μια ερευνητική ομάδα) αν η νέα μέθοδος αυξάνει την παραγωγικότητα. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται, για κάθε μια από τις πέντε παραγωγικές μονάδες, ο αριθμός μπουκαλιών που παρήχθησαν ανά ώρα πριν και μετά την εφαρμογή της νέας διαδικασίας παραγωγής. Παραγωγικότητα Παραγωγική Μονάδα (σε αριθμό μπουκαλιών ανά ώρα) Πριν Μετά

7 Με βάση αυτά τα πειραματικά δεδομένα, α) να ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αν η νέα μέθοδος αυξάνει την παραγωγικότητα των μονάδων παραγωγής, β) να υπολογίσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά της παραγωγικότητας των μονάδων παραγωγής, πριν και μετά την εφαρμογή της νέας διαδικασίας παραγωγής. γ) Χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες υποθέσεις για να απαντήσετε στα ερωτήματα (α) και (β); 8. Δύο ερευνητές Α και Β, έκαναν 6 μικροαναλυτικούς προσδιορισμούς της περιεκτικότητας σε άνθρακα ενός χημικού προϊόντος και πήραν τις ακόλουθες τιμές: Ερευνητής Α Ερευνητής Β α) Με βάση αυτά τα δεδομένα, πώς συγκρίνονται, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, οι μεταβλητότητες (διασπορές) των μετρήσεων που κάνουν οι δύο ερευνητές. β) Για να απαντήσετε στο ερώτημα (α), χρειάσθηκε να κάνετε κάποιες παραδοχές; ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. α) [483.6, ] και [48.4, ], αντίστοιχα. β) [478.4, 48.96] και [477.4, ], αντίστοιχα. γ) [48.45, ] και [479.97, 484.4], αντίστοιχα. δ)... ε) n=43. στ) ότι τα δείγματα είναι τυχαία. α) H : σ = 5, H : σ > 5, όχι γιατί η τιμή δεν ανήκει στην περιοχή απόρριψης β) [4.68, 8.35], α) [5.78, 66.6] β) ότι το δείγμα είναι τυχαίο και ότι έχει ληφθεί από κανονικό πληθυσμό γ) το διάστημα [5.78, 66.6] έχει 95% πιθανότητα να περιέχει τον άγνωστο πληθυσμιακό μέσο δ).95 = 9 ε) [48.54, 69.86] στ) του (α) πιο ακριβής, του (ε) μεγαλύτερη εμπιστοσύνη. 4. α) [35.89, 33.89] β) ότι το δείγμα έχει ληφθεί από κανονικό πληθυσμό γ) H : μ = 3, H : μ 3, δεν απορρίπτεται ο ισχυρισμός t =. 969 δ) ότι το δείγμα έχει ληφθεί από κανονικό πληθυσμό ε) Προφανώς όχι 5. α) [79.76, 3.4] β) [3.44, 44.34] γ) διαφέρουν με πιθανότητα λάθους το πολύ 5% δ) H : μ =, H : μ, ναι t = ε) ναι αφού απορρίπτεται στον αμφίπλευρο στ) H μ 5, H μ 5, ναι : = : > t =.99 ζ) ότι τα δείγματα έχουν ληφθεί από κανονικούς πληθυσμούς με ίσες διασπορές 6. α) [.77, 3.36] β) [6.55, 8.95] γ) [-6.48, -3.89] δ) διαφέρουν, με πιθανότητα το συμπέρασμα αυτό να είναι λάθος το πολύ 5% ε) H μ, H μ, όχι t = 8. 38, συμφωνεί στ) στα (α) και (β) : = : ότι τα δείγματα είναι τυχαία και ότι οι πληθυσμοί είναι κανονικοί, στα (γ) και (ε) ότι τα δείγματα είναι τυχαία, και ότι έχουν ληφθεί από κανονικούς πληθυσμούς με ίσες διασπορές ζ) ναι 7. α) [5.48, 6.37] β) ότι το δείγμα είναι τυχαίο γ) H : μ = 6, H : μ 6, ναι z =.755 δ) επακριβώς όχι γιατί δε γνωρίζουμε την πραγματική τιμή 8. α) H : p =. 6, H : p >. 6, όχι z =. 587 β) ναι z = 5 γ) [.534,.66] και [.75,.855] αντίστοιχα. Το μεγαλύτερο δείγμα έδωσε, για τον ίδιο συντελεστή εμπιστοσύνης, ακριβέστερη εκτίμηση δ) n = 66

8 9. α) [-.543,.3] β) H : p p =, H : p p, όχι z =. 7. Όχι αφού δεν απορρίπτεται σε 5%. γ) καμία. α) [85.6, 93.4] β) H : μ = 9. 44, H : μ < 9. 44, όχι z =. 86. α) H : p p =, H : p p, όχι γιατί z =. 63. Όχι αφού δεν απορρίπτεται σε 5%.. α) H : μ =, H : μ <, ναι t = Ναι αφού απορρίπτεται για % β).5 3 =. 5, δηλ. ένας ή δύο περίπου 3. H : μ = 55, H : μ > 55, t =. 554, δεν αποδεικνύουν οι μετρήσεις ότι η συγκέντρωση έχει ξεπεράσει το επιτρεπτό όριο β) z =. 7875, οι μετρήσεις υποστηρίζουν ότι η συγκέντρωση έχει ξεπεράσει το επιτρεπτό όριο (με πιθανότητα αυτό το συμπέρασμα να είναι λάθος το πολύ 5%) γ) το μεγαλύτερο δείγμα αύξησε την ισχύ του ελέγχου δ) στο (α) ότι το δείγμα προέρχεται από κανονικό πληθυσμό ενώ στο (β) καμία. 4. α) H : μ =, H : μ, ναι z = Ναι και σε % β) την P τιμή γ) επειδή P τιμ ή =.3 <. 5 η μηδενική σε επίπεδο σημαντικότητας 5% απορρίπτεται, ομοίως, επειδή P τιμ ή =.3 <., απορρίπτεται και σε %. Εκφράζει το πόσο ισχυρές είναι οι αποδείξεις που προκύπτουν από το δείγμα εναντίον της μηδενικής δ) [-.4, -.8] 5. α) [.9,.] β) H : μ =, H : μ, ναι t = 3. 3 γ) H : μ =, H : μ >, ναι αφού απορρίπτεται στον αμφίπλευρο δ) ναι, ότι το δείγμα των διαφορών προέρχεται από κανονικό πληθυσμό 6. α) [-.95,.49] β) H : μ =, H : μ, όχι z =. 63 γ) καμία 7. α) H : μ =, H : μ < (πριν-μετά), ναι t =. 8 β) [-9.3, -.7] γ) ναι, ότι το δείγμα των διαφορών είναι τυχαίο και ότι προέρχεται από κανονικό πληθυσμό 8. α) H : σ = σ, H : σ σ, δεν απορρίπτεται η μηδενική, s s = β) τα δύο δείγματα είναι ανεξάρτητα τυχαία δείγματα από κανονικούς πληθυσμούς.

9 Η Συνάρτηση Κατανομής της Τυποποιημένης Κανονικής Κατανομής

10 Τιμές t ; της κατανομής t n n a n α =. α =.5 α =.5 α =. α =

11 Τιμές F n,m ; a της κατανομής F n,m Οι Πίνακες δίνουν τα άνω α -ποσοστιαία σημεία της κατανομής F με n και m βαθμούς ελευθερίας, για α =. 5 και α =., αντίστοιχα. Αν X ~ F n, m, ισχύει, P( X > Fn,m ; a ) = a. Επίσης ισχύει, F n, m; α = Fm, n; α

Ερωτήσεις κατανόησης

Ερωτήσεις κατανόησης Έλεγχος Υποθέσεων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Αν σε ένα στατιστικό έλεγχο υποθέσεων η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται για επίπεδο σημαντικότητας 5%, τότε α) απορρίπτεται για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Ένας ερευνητής προκειμένου να συγκρίνει τρία σιτηρέσια εκτροφής κοτόπουλων (Σ1, Σ2 και Σ3, αντίστοιχα), σχεδίασε και εκτέλεσε το εξής πείραμα. Επέλεξε 15 νεογέννητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ -Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι τα ποσοστά των ομάδων αίματος Α, Β, ΑΒ και Ο σε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις 26/5/2017

Επαναληπτικές Ασκήσεις 26/5/2017 Επαναληπτικές Ασκήσεις 2 Άσκηση 1 η (1) Ένας ερευνητής μέτρησε τη συγκέντρωση γλυκόζης (σε mg/dl) στο αριστερό και το δεξί μάτι 35 τυχαία επιλεγμένων υγιών σκύλων συγκεκριμένης ράτσας Έστω ότι με Χ και

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 3. Ανάλυση Διακύμανσης Σύντομη ανασκόπηση βασικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος ο ) 3/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0 Περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα. 12 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα Παραδείγματα 12 η Διάλεξη 1 ο Παράδειγμα (1) Μια αυτόματη μηχανή συσκευάζει καλαμπόκι σε τσουβάλια των 25kg Το βάρος του καλαμποκιού που συσκευάζεται ανά τσουβάλι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Στατιστική. 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i) Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν

Διαβάστε περισσότερα

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί).

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί). Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 009 στη Στατιστική 0/0/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. [0] Οι ακαθάριστες εβδοµαδιαίες εισπράξεις µιας κτηνοτροφικής µονάδας, από την πώληση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα Εμπιστοσύνης 00 % Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού Κατανομή Διασπορά Μέγεθος δείγματος Διάστημα Εμπιστοσύνης Κανονική Γνωστή Οποιοδήποτε Οποιαδήποτε Γνωστή Μεγάλο 30 Z

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή Σειρά Α σ1 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Ζήτηµα 1 ο (3 µονάδες) Εξετάσεις Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Στατιστική Θεσσαλονίκη: 03/03/2012 Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t - Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού. t-έλεγχος για την σύγκριση των μέσων δύο πληθυσμών

Στατιστικοί Ελεγχοι. t - Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού. t-έλεγχος για την σύγκριση των μέσων δύο πληθυσμών Στατιστικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύμανση Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Επίδραση παρέμβασης:

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΓΕΝΕΤΙΚΗ 03. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ & ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ

ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΓΕΝΕΤΙΚΗ 03. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ & ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ ΓΕΝΕΤΙΚΗ 03. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ & ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ 1 ΠΟΣΟΤΙΚΟ ΓΝΩΡΙΣΜΑ ΑΑββΓΓδδεεΖΖ αριθμός φυτών 50 00 150 100 50 0 10 5 184 119 17 87 40 1 5 0-10 10-0 0-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 απόδοση/φ υτό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Δημήτρης Ιωαννίδης. Τμήμα Οικονομικών Επιστημών.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Δημήτρης Ιωαννίδης. Τμήμα Οικονομικών Επιστημών. Μεθοδολογία Έρευνας: Μάθημα 3 ο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Δημήτρης Ιωαννίδης Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Email: dimioan@uom.gr Εμπιστευτικό Σελίδα 1 Μάθημα 5 ο Ελέγχοντας την Θεωρία ΙΙ: Στατιστικοί Έλεγχοι για

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου 2009 στη Στατιστική 30/09/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ [20] Μια καπνοβιοµηχανία ισχυρίζεται ότι στα νέα τσιγάρα που διαφηµίζει, η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα