Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Transcript

1 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 00 % Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού Κατανομή Διασπορά Μέγεθος δείγματος Διάστημα Εμπιστοσύνης Κανονική Γνωστή Οποιοδήποτε Οποιαδήποτε Γνωστή Μεγάλο 30 Z a Οποιαδήποτε Άγνωστη Μεγάλο 30 Z a Κανονική Άγνωστη Μικρό 30 t 3 ; Z 58, Z 96, Z Σφάλμα Εκτίμησης: Error X Επιλογή μεγέθους δείγματος για σφάλμα εκτίμησης X e : Z e Παράδειγμα Από ένα δείγμα 00 τυχαία επιλεγμένων σημείων της ΒΙΠΕΘ, βρέθηκε ότι το μέσο πλήθος αιωρούμενων σωματιδίων είναι 09 σωματίδια/lt και η τυπική απόκλιση είναι 5 σωματίδια/lt ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετάμε; ( β ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο πλήθος των αιωρούμενων σωματιδίων στη ΒΙΠΕΘ (γ ) Να υπολογιστεί το μέγεθος του δείγματος που πρέπει να πάρουμε, ώστε το σφάλμα εκτίμησης να είναι το πολύ σωματίδια/lt ( α ) Πληθυσμός: Η περιοχή της ΒΙΠΕΘ Μεταβλητή: Το πλήθος των αιωρούμενων σωματιδίων (σωματίδια / lt) ( β ) Η διασπορά και η Κατανομή του πληθυσμού είναι άγνωστες, αλλά το δείγμα μεγάλο Μπορούμε επομένως να υπολογίσουμε το δε εμπιστοσύνης από τον τύπο ( )

2 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 95% δε Z Z Z Z a , Με πιθανότητα σφάλματος 0, εκτιμούμε ότι το μέσο πλήθος αιωρούμενων σωματιδίων στη ΒΙΠΕΘ βρίσκεται εντός των ορίων 0606 σωματίδια/lt και 94 σωματίδια/lt ( γ ) Επειδή η τυπική απόκλιση είναι άγνωστη, θα χρησιμοποιήσουμε την δειγματική τυπική απόκλιση, δηλαδή 5 Z 5 96 e 6 09 Επομένως, θα πρέπει να επιλέξουμε τυχαίο δείγμα μεγέθους 6 Παράδειγμα Τα κέρδη των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας ακολουθούν την Κανονική Κατανομή Από ένα δείγμα 6 τυχαία επιλεγμένων μονάδων εκτιμήθηκε το μέσο ετήσιο κέρδος σε Χ = και η τυπική απόκλιση σε = 5000 ( α ) Ποιός είναι ο πληθυσμός και ποια η μεταβλητή που ερευνούμε; ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το πραγματικό μέσο ετήσιο κέρδος των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας, με την προϋπόθεση ότι ακολουθούν Κανονική Κατανομή ( α ) Πληθυσμός: Οι μονάδες τυποποίησης προϊόντων της Μακεδονίας Μεταβλητή: Ετήσιο κέρδος (σε ) ( β ) Η διασπορά είναι άγνωστη και ο πληθυσμός Κανονικός Το δείγμα είναι μικρό, επομένως το δε θα υπολογιστεί από τον τύπο ( 3 ) 95% δε t t t 3 ; 0 0 ; 5 ; 6 Μαρίνα Σύρπη

3 Τύποι και παραδείγματα t , ; 6 Με πιθανότητα σφάλματος 0, εκτιμούμε ότι το μέσο κέρδος για τις μονάδες τυποποίησης προϊόντων της Μακεδονίας βρίσκεται εντός των ορίων 4008,8 και 5799,5 Παράδειγμα 3 Μια εταιρεία εμπορίας καυσίμων πρόκειται να παραλάβει μια μεγάλη ποσότητα καυσίμων Για τον έλεγχο της ποιότητας των καυσίμων, πάρθηκαν 36 τυχαίες μετρήσεις από την παραπάνω ποσότητα και μετρήθηκε η περιεκτικότητα σε θείο Βρέθηκε ότι η περιεκτικότητα σε θείο του πετρελαίου κίνησης ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με δειγματική μέση τιμή 9 % και η δειγματική τυπική απόκλιση 4 % ( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε; ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 90% διάστημα για τη μέση περιεκτικότητα σε θείο του πετρελαίου κίνησης ( α ) Πληθυσμός: Η ποσότητα πετρελαίου κίνησης, που πρόκειται να παραλάβει η εταιρεία εμπορίας καυσίμων Μεταβλητή: Η περιεκτικότητα σε θείο (%) ( β ) Η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη, και η Κατανομή Κανονική Μέγεθος δείγματος, μεγάλο Θα υπολογίσουμε το δε από τον τύπο ( ) 90% δε Z Z Z Z , 4 36 a Με πιθανότητα σφάλματος 0 0, εκτιμούμε ότι η μέση περιεκτικότητα σε θείο της ποσότητας καυσίμων που πρόκειται να παραλάβει η εταιρεία, βρίσκεται εντός των ορίων 8 % και 4 % Σημειώσεις Στατιστικής

4 4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 00 % Διάστημα Εμπιστοσύνης για την αναλογία p σε έναν πληθυσμό Z, 5, 5 ο σημειακός εκτιμητής της αναλογίας p το πλήθος των αντικειμένων του δείγματος που ανήκουν στην κατηγορία που μας ενδιαφέρει το μέγεθος του δείγματος Z 58, Z 96, Z Σφάλμα Εκτίμησης: Error p Επιλογή μεγέθους δείγματος για σφάλμα εκτίμησης ˆp p e : Z p p Επειδή η αναλογία p είναι κατά κανόνα άγνωστη, στον υπολογισμό του μεγέθους δείγματος χρησιμοποιούμε είτε μια προγενέστερη εκτίμηση της αναλογίας p, είτε δίνουμε την τιμή p e Παράδειγμα 4 Ένας διευθυντής Μάρκετινκ θέλει να εκτιμήσει το ποσσοτό των πελατών που προτιμούν τη νέα συσκευασία ενός προϊόντος σε σχέση με την παλιά Από ένα δείγμα 50 τυχαία επιλεγμένων ατόμων, τα 30 απάντησαν ότι προτιμούν τη νέα συσκευασία ( α ) Να εκτιμηθεί και να ερμηνευτεί το 95 % διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό των πελατών που προτιμούν τη νέα συσκευασία ( β ) Ποιό είναι το ελάχιστο απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, εάν θέλει να υπολογίσει το παραπάνω ποσοστό με ακρίβεια 5%; ( α ) 95% δε Z Z Z0 96 0, p και p Επομένως, μπορούμε να εκτιμήσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης Μαρίνα Σύρπη

5 Τύποι και παραδείγματα 5 Z , Με πιθανότητα σφάλματος 0, εκτιμούμε ότι το ποσοστό των πελατών που προτιμούν τη νέα συσκευασία βρίσκεται εντός των ορίων 46,4 % και 73,58 % ( β ) Επειδή δεν γνωρίζουμε την τιμή της αναλογίας p, θα χρησιμοποιοήσουμε τη δειγματική τιμή, δηλαδή p 06 Z p p e 0 Θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί τυχαίο δείγμα, μεγέθους 400 ατόμων Σημειώσεις Στατιστικής

6 6 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 00 % Διαστήματα Εμπιστοσύνης τη διαφορά τιμών δύο πληθυσμών δείγματα ανεξάρτητα των μέσων Κατανομές των πληθυσμών Διασπορές Μεγέθη, Δειγμάτων Διάστημα Εμπιστοσύνης Κανονικές Γνωστές Οποιαδήποτε Μεγάλα X X Z Οποιεσδήποτε Γνωστές Μεγάλα Οποιεσδήποτε Αγνωστες X X Z Κανονικές Άγνωστες αλλά ίσες Οποιαδήποτε X X t 3 ; p p Παράδειγμα 5 Δύο διαφορετικές συνθέσεις ενός οξυγονωμένου καυσίμου πρόκειται να ελεγχθούν, προκειμένου να μελετηθεί ο αριθμός των οκτανίων τους Η διασπορά για την πρώτη σύνθεση είναι ενώ για τη δεύτερη 5 Επελέγησαν δύο τυχαία δείγματα μεγέθους 0, 5, και οι μέσοι αριθμοί οκτανίων βρέθηκαν X 9 5 και X 89 6 Υποθέτοντας Κανονική Κατανομή να εκτιμήσετε και να ερμηνεύσετε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά του μέσου αριθμού οκτανίων στις δύο συνθέσεις Μαρίνα Σύρπη

7 Τύποι και παραδείγματα 7 Επειδή υποθέτουμε Κανονικότητα και οι διασπορές των πληθυσμών είναι γνωστές, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ( ) 95% δε Z Z Z X X Z , Με πιθανότητα σφάλματος 0, εκτιμούμε ότι η διαφορά για τον μέσο αριθμό οκτανίων στις δύο συνθέσεις βρίσκεται εντός των ορίων 6 οκτάνια και 3684 οκτάνια 00 % Διαστήματα Εμπιστοσύνης τη διαφορά p p των αναλογιών ˆ ˆ ˆ p p p ˆ, ˆ, ˆ p Z p 5 p 5 οι σημειακοί εκτιμητές των αναλογιών p το πλήθος των αντικειμένων του δείγματος που ανήκουν στην κατηγορία που μας ενδιαφέρει τα μεγέθη των δειγμάτων Z 58, Z 96, Z Παράδειγμα 6 Σε μία έρευνα που έγινε σε δείγμα 00 ατόμων, οι 63 απάντησαν για τις συναλλαγές τους προτιμούν να χρησιμοποιούν την πιστωτική τους κάρτα και οι 37 ότι προτιμούν να χρησιμιποιούν την χρεωστική τους κάρτα Να εκτιμηθεί και να ερμηνευτεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά του ποσοστού μεταξύ των ατόμων που προτιμούν την πιστωτική κάρτα και αυτών που προτιμούν την χρεωστική Σημειώσεις Στατιστικής

8 8 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 90% δε Z Z Z , και , και Επομένως, μπορούμε να εκτιμήσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης ˆ ˆ ˆ p p p ˆ p Z , Με πιθανότητα σφάλματος 0 0, εκτιμούμε ότι η διαφορά μεταξύ της αναλογίας των ατόμων που προτιμούν για τις συναλλαγές τους την πιστωτική κάρτα και των ατόμων που προτιμούν την χρεωστική, βρίσκεται εντός των ορίων 3 % και 39% Μαρίνα Σύρπη

9 Τύποι και παραδείγματα 9 Πίνακας της Κατανομής t - Studet ν οι βαθμοί ελευθερίας Παράδειγμα t t t 753 a 00 0;5 ; ;6 Σημειώσεις Στατιστικής