Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1

Transcript

1 Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική Τµήµα Τεχνολογίας και Συστηµάτων Παραγωγής

2 Θέµα ον α) Έστω Ακαι Β δύο ενδεχόµενα ενός πειράµατος και έστω ότι ισχύει : (Α).5, (Α Β).6, (Β) q i)γιαποιατιµήτου qταακαιβείναιξένα; ii)γιαποιατιµήτου qταακαιβείναιανεξάρτητα; β) Ένας αριθµός επιλέγεται τυχαία από το διάστηµα (,). ώστε τις πιθανότητες : i) Τοπρώτοδεκαδικόψηφίοτουναείναι ii) Το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του τετραγώνου του να είναι γ) Ένα κουτί περιέχει 9 ζευγάρια παπούτσια. Αν επιλεγούν τυχαία παπούτσια, ποια η πιθανότητα να περιέχεται τουλάχιστον ένα σωστό ζευγάρι ανάµεσα τους;

3 ΘΕΜΑ ον α) (A),5, ( A B),6, (B) q i) Για να είναι ξένα πρέπει να ισχύει : Α Β Ρ Α + Ρ Β ( A B) Έχουµε : ( ) ( ) ( ) Ρ ( Α Β),6, 5 q ( Α Β),6 +,5 + q, + q q, ii) Για να είναι ανεξάρτητα πρέπει ( A B) Ρ : Α Β Ρ Α + Ρ Β Ρ Α Β Έχουµε : ( ) ( ) ( ) ( ),6, 5,6 q,,5 q ( Α) Ρ ( Β) Ρ ( Α) Ρ ( Β),5 q + q,5 q

4 β) τυχαία επιλογή από το [, ] i) Για το πρώτο δεκαδικό ψηφίο έχουµε δυνατές επιλογές Πιθανότητα να είναι είναι ii) Για να είναι το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του τετραγώνου του, πρέπει για το τετράγωνο να ισχύει, m <,5 τετράγωνο αριθµού, m <, 5 Η ζητούµενη πιθανότητα είναι :,5, 7,6,,5 m

5 γ) Εξετάζουµε την πιθανότητα να µην επιλεγεί κανένα ζευγάρι Α : µεταξύ των παπουτσιών δεν υπάρχει κανένα ζευγάρι Α Β Β Β Β η δεύτερη επιλογή δεν «ταιριάζει» η τρίτη επιλογή δεν «ταιριάζει» επιλέγεται οποιοδήποτε παπούτσι µε την πρώτη µε τις δύο προηγούµενες η τέταρτη επιλογή δεν «ταιριάζει» µε τις τρεις προηγούµενες Ρ ( Α) Ρ ( Β Β Β Β ) ( Β ) ( Β Β ) ( Β Β Β ) 6 ( Β Β Β Β ), Ζητούµενη πιθανότητα ( Α),

6 Θέµα ον α) Το τεστ Παπανικολάου έχει πιθανότητα σωστής διάγνωσης 95%. οθέντος ότι % του γυναικείου πληθυσµού έχει την ασθένεια και ότι το τεστ έδωσε αρνητικό αποτέλεσµα σε µια περίπτωση, ποια η πιθανότητα η εξετασθείσα να έχει παρόλα αυτά την ασθένεια; β) Τα τηλεγραφικά σήµατα (. ) και (-) στέλνονται µε αναλογία : αντίστοιχα. Λόγω θορύβου στη γραµµή µεταφοράς µια τελεία (. ) καταφθάνει σαν παύλα (-) µε πιθανότητα / και αντίστροφα µια παύλα καταφθάνει σαν τελεία µε πιθανότητα /5. Εάν ένα σήµα καταφθάσει σαν τελεία, να βρεθεί η πιθανότητα να έχει µεταφερθεί σωστά.

7 α) Ορίζουµε τα γεγονότα: : ΘΕΜΑ ον Σ σωστή διάγνωση ; Ρ ( Σ ), 95 Κ : Α : Α : µέλος του γυναικείου πληθυσµού έχει την ασθένεια Ρ ; ( Κ ), αρνητικό αποτέλεσµα του τέστ θετικό αποτέλεσµα του τέστ Ζητούµε : Ρ ( Κ Α) Ρ Ρ ( Α Κ) Ρ( Α) Bays Ρ,5, ( Α Κ) ( Κ) Ρ( Α) ( Α) Ρ( Α Κ) Ρ( Κ) + Ρ( Α Κ) Ρ ( Κ), 9 Ρ ( Κ Α),5,, 95, 99,5,,9 5,

8 β) Ζητούµε την πιθανότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) αποστολή λήψη ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 7 5 7, 6 ( ) 7, 6,77

9 Θέµα ον α) Η διάρκεια ζωής Τ ενός εξαρτήµατος είναι κατανεµηµένη εκθετικάµεε{τ} έτη. Γιαένασύστηµαπουεµπεριέχει τέτοια εξαρτήµατα : i) Ποια η πιθανότητα ότι δεν θα προκύψει ανάγκη αντικατάστασης µέσα σε ένα έτος; ii) Ποια η πιθανότητα ότι η πρώτη αντικατάσταση θα γίνει µέσα στο δεύτερο έτος;

10 β) Οι προδιαγραφές για σιδηροδοκούς που πρόκειται να χρησιµοποιηθούν σ ένα οικοδοµικό έργο απαιτούν µήκος µεταξύ 8.5 και 8.65 µέτρα και διάµετρο µεταξύ.55 και.6 µέτρα. Οι σιδηροδοκοί όπως κατασκευάζονται στη βιοµη-χανία έχουν µήκος το οποίο κατανέµεται κανονικά µε µέση τιµή 8.56 µέτρα και τυπική απόκλιση. µέτρα και διάµετρο που ακολουθεί επίσης κανονική κατανοµή µε µέση τιµή.58 µέτρα και τυπική απόκλιση.5 µέτρα. i) Να υπολογιστεί το ποσοστό των σιδηροδοκών που δεν ικανοποιεί τις προδιαγραφές. ii) Σ ένα δείγµα 8 τυχαίων σιδηροδοκών, ποια η πιθανότητα ότι το πολύ σιδηροδοκοί δεν ικανοποιούν τις προδιαγραφές;

11 ΘΕΜΑ ον α) Τ εκθετικά κατανεµηµένη σύµφωνα µε : i) t ( t) ( ) F t Ζητάται η πιθανότητα και τα εξαρτήµατα να λειτουργήσουν κανονικά κατά την διάρκεια ενός έτους. ( Τ > έτος ) F( έτος ) t για ένα εξάρτηµα Για τα τέσσερα : Ρ Ρ Ρ Ρ,68 ii) Έστω, A i η πρώτη αντικατάσταση γίνεται στο δεύτερο έτος και αφορά το εξάρτηµα i Α i T i [,] T > T για j i j i

12 Η ζητούµενη πιθανότητα είναι : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A A A A ξένα A i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α i t F t F t F dt t λ λ λ t t t λ λ λ λ λ t t t dt dt λ λ 8 λ ( ) [ ], A Α Α Α Ρ

13 Πιο απλά ( ; ; ) : έτη οκιµή Bnoulli, όπου : A : τουλάχιστον µια αντικατάσταση στο διάστηµα Α : όχι αντικατάσταση στο διάστηµα Χ : πλήθος δοκιµών µέχρι πρώτης εµφάνισης του Α (Γεωµετρική) ( X ) ( Α Α ) ( Α ) Ρ ( Α Α ) (ερώτηµα i) (A) (έλλειψη µνήµης εκθετικής)

14 β) Μήκος : Ν 8,56 ;, : Μ ιάµετρος : Ν,58 ;,5 : i) 8,5 M 8,65,55 ( ) (,6 ) φ Ανεξαρτησί 8,65 8,56 α 8,5 8,56 φ,,,6,58 φ,5,55,58 φ,5 Α Β Α Β φ (,5) φ (,5), 9,9878, 9 φ (,) φ ( ), 885,98, 977 Ζητούµενη Πιθανότητα,9,885,8

15 ii)έχουµε δείγµα 8 δοκών. Έστω Χ το πλήθος των δοκών που δεν ικανοποιούν τις προδιαγραφές. Χ : ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή, µε p,8 και n 8 ( X ) ( X ) + ( X ) + ( X ) + 8 8,8,8 8 (,8 ) +,8 (,8 ),86 6 (,8 ) (,86) + 8,8,86 + 8,8,86 7, 8 6

16 Θέµα ον Η ακτίνα µιας σφαίρας είναι τυχαία µεταβλητή,, µε συνάρτηση πυκνότητας: () c. (-), < < ½ Να βρεθούν : i) Οι πιθανότητες (/), (>/8 >/), (</) ii) Η µέση ακτίνα Ε{} καθώς και µέση επιφάνεια Ε {S π } της σφαίρας.

17 ΘΕΜΑ ον Έχουµε : ( ) ( ) [ ], c Από ( ) c d c c 8 c i) ( ) ( ) > > Ρ ( ) ( ) ( ) > Ρ > > Ρ > > Ρ 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ),5,6875,67 d d > Ρ > Ρ ( ) ( ) ( ) 5, d >

18 ii) Έχουµε : { } ( ) Ε d 5, { } ( ) π π π Ε 5 5 d ( ) ( ) π 5 5 π 9

19 Θέµα 5ον α) Στα πλαίσια εισαγωγής δύο νέων προϊόντων εξετάστηκαν οι προτιµήσεις ατόµων µε τα εξής αποτελέσµατα: Φύλλο / Προϊόν Προτιµάται Προϊόν Α Προτιµάται Προϊόν Β Άρρεν.. Θήλυ.. i) Περιγράψτε τα αποτελέσµατα µέσω ενός διδιάστατου τυχαίου διανύσµατος και δώστε το γράφηµα της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας. ii) Υπολογίστε τις περιθωριακές και τις δεσµευµένες συναρτήσεις πυκνότητας. iii) Εξετάστε αν οι τυχαίες µεταβλητές του διανύσµατος είναι ανεξάρτητες.

20 β) Εάν οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας, c (x + y) (x,y) ναβρεθούν : < x < 6, αλλο ύ < y < 5 i) Η σταθερά c καθώς και οι περιθωριακές συναρτήσεις πυκνότητας ii) Oιπιθανότητες: ( X < }, ( <X< Y> ), (X+Y> ) iii) Η από κοινού συνάρτηση κατανοµής iiii) Εξετάστε αν οι τυχαίες µεταβλητές του διανύσµατος είναι ανεξάρτητες.

21 α) Έχουµε : i + ii ) ˆ προτιµάται Α ˆ προτιµάται Β y x, ΘΕΜΑ 5ον ( X, Y ), y ( ) 5y, Φύλλο : ˆ άρρεν ˆ θήλυ,,, 5 ( x) x,, 7 ( x,y) ( x y) y y x,, x,6,8 y,,,, x ( y x) y y x x 7 7

22 iii) Ανεξάρτητες αν ( x,y) ( x) ( y) y x,5 x,5 y,5,5 ( x, y ) εξηρτηµένες

23 β) Έχουµε : ( x, y ) ( x y ) c + x αλλού [, 6 ], y [, 5 ] y i + iii) c ( x + y) d x d y c xy + dx x y x x 6 5 c x + d x c c 5 x ( x) ( x + y ) d y για x [, 6 ] y 6 x y ( y) ( x + y ) d x για y [, 5 ] x y Εξηρτηµένες, επειδή : x ( x, y )! y

24 ii ) x + 5 ( X < ) ( x) d x d x 8 x x + 5x [ ] 8 ( < X < Y > ) ( x + y) x 5 y 8 dx dy 5 8 y 5 Β ( X + Y > ) ( x, y) dx dy ( x, y) dx dy Β 5 6 Β x x + y x x y Β ( x + y ) dx dy 5