Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης"

Transcript

1 Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης X 0.674σ 1 στις X 1.8σ 1 στις X 1.645σ 1 στις X 1.960σ 1 στις X.576σ 1 στις X 3.91σ 1 στις 1000 Με σκοπό τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης, για το μέσο μιας ομάδας παρατηρήσεων από τα αντίστοιχα διαστήματα, για μια απλή παρατήρηση, το δεύτερο διαιρείται με. Διάστημα εμπιστοσύνης μέσου Διάστημα εμπιστοσύνης απλής παρατήρησης (4.77) Έτσι, η προσδοκία ότι ο μέσος μιας ομάδας παρατηρήσεων δε θα διαφέρει περισσότερο από ένα συγκεκριμένο ποσό από το θεωρητικό μέσο ενός άπειρου συνόλου παρατηρήσεων, μπορεί επίσης να εκφραστεί με όρους ενός διαστήματος εμπιστοσύνης και ενός επιπέδου εμπιστοσύνης.

2 4.46 Σφάλματα Μετρήσεων Πίνακας 4.5 Διαστήματα εμπιστοσύνης (όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι μικρός) Αριθμός βαθμών ελευθερί ας 1 Αριθμό ς παρατ ηρήσε ων Επίπεδο εμπιστοσύνης X 1.00s X 6.31s X 1.71s X 63.66s 3 X 0.8s X.9s X 4.3s X 9.9s 3 4 X 0.77s X.35s X 3.18s X 5.84s 4 5 X 0.74s X.13s X.78s X 4.60s 5 6 X 0.73s X.0s X.57s X 4.03s 6 7 X 0.7s X 1.94s X.45s X 3.71s 7 8 X 0.71s X 1.90s X.37s X 3.50s Διάστημα εμπιστοσύνης X 0.71s X 1.86s X 0.70s X 1.83s X 0.70s X 1.81s X 0.69s X 1.75s X.31s X 3.36s X.6s X 3.5s X.3s X 3.17s X.13s X.95s

3 Σφάλματα Μετρήσεων 4.47 Παράδειγμα 4.15 Οι παρακάτω 10 παρατηρήσεις καταγράφθηκαν κατά τη μέτρηση τάσης: 41.7, 4.0, 41.8, 4.0, 4.1, 41.9, 4.0, 41.9, 4.5 και 41.8V. Να βρεθούν (α) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη παρατήρηση για επίπεδο εμπιστοσύνης0.5, 0.9, 0.95 και 0.99 και (β) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το σύνολο των παρατηρήσεων για τους προαναφερθέντες βαθμούς εμπιστοσύνης. Συμβουλευτείτε το πίνακα για τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Απάντηση. Αυτό το παράδειγμα είναι μια προέκταση του παραδείγματος (α) Τυπική απόκλιση d s 1 0. V Επομένως, τα επίπεδα εμπιστοσύνης και τα αντίστοιχα διαστήματα (γύρω από το μέσο) για μια μεμονωμένη παρατήρηση δίνονται στον παρακάτω πίνακα. (χρησιμοποιήθηκε ο Πίνακας 4.5) Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης s 1.83 s.6 s 0.15V 0.40V 0.50V 3.5 s 0.7V (β) Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου, υπολογίζονται διαιρώντας τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μεμονωμένες καταγραφές με τον όρο. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου που αντιστοιχούν σε διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης είναι: Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης Σχολιασμός. Επομένως η μέση τιμή που υπολογίστηκε από τις 10

4 4.48 Σφάλματα Μετρήσεων παρατηρήσεις θα αναμένεται με πιθανότητα 50% να είναι εντός του 0.05V από τη μέση τιμή ενός άπειρου αριθμού παρατηρήσεων. Σε ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99, οι παρατηρηθείσες και οι θεωρητικές τιμές διαφέρουν λιγότερο από 0.4V Απόρριψη Δεδομένων Στα περισσότερα από τα πειράματα, ο παρατηρητής βρίσκει ότι κάποια από τα δεδομένα είναι αισθητώς διαφορετικά από την πλειοψηφία των δεδομένων. Αν αυτά τα δεδομένα λήφθηκαν κάτω από μη φυσιολογικές συνθήκες και ο παρατηρητής είναι σίγουρος για την λανθασμένη φύση τους, αυτά τα δεδομένα μπορούν να παραληφθούν άμεσα. Όμως ο παρατηρητής δε μπορεί να απορρίψει δεδομένα απλά επειδή είναι διαφορετικά από τα υπόλοιπα, πρέπει να βασιστεί σε συγκεκριμένες μαθηματικές μεθόδους για να απορρίψει τα πειραματικά δεδομένα. Υπάρχουν πολλές διαθέσιμες μέθοδοι για να αξιολογηθεί αν τα δεδομένα πρέπει να συμπεριληφθούν ή να απορριφθούν. Οι τρεις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι: Το κριτήριο του Chauveet, Η χρήση διαστημάτων εμπιστοσύνης και Τα όρια στο 3. Αυτές οι μέθοδοι αναλύονται παρακάτω Το Κριτήριο του Chauveet Έστω, ότι παρατηρήσεις έχουν γίνει για τη μέτρηση ενός μεγέθους. Θεωρείται ότι οι παρατηρήσεις είναι αρκετές ώστε τα δεδομένα να ακολουθούν μια κανονική κατανομή. Αυτή η κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογισθεί η πιθανότητα για μια δεδομένη καταγραφή να αποκλίνει κατά ένα συγκεκριμένο ποσό από το μέσο. Το κριτήριο του Chauveet ορίζει ότι μια καταγραφή μπορεί να απορριφθεί αν η πιθανότητα να ληφθεί η συγκεκριμένη απόκλιση από το μέσο είναι μικρότερη από 1. Ο Πίνακας 4.6 δίνει τιμές για το λόγο της απόκλισης προς τη τυπική απόκλιση για διάφορες τιμές του ανάλογα με το κριτήριο.

5 Σφάλματα Μετρήσεων 4.49 Πίνακας 4.6 Το κριτήριο του Chauveet για την απόρριψη δεδομένων. Λόγος μέγιστης αποδεκτής απόκλισης Αριθμός καταγραφών προς τυπική απόκλιση, d max Όταν εφαρμόζεται το κριτήριο του Chauveet, ώστε να αποκλειστούν κάποια ύποπτα δεδομένα, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται, πρώτα, χρησιμοποιώντας όλα τα δεδομένα. Οι αποκλίσεις των μεμονωμένων καταγραφών, έπειτα, συγκρίνονται με την τυπική απόκλιση. Αν ο λόγος της απόκλισης μιας καταγραφής από την τυπική απόκλιση υπερβαίνει τα όρια που δίνονται στον Πίνακα 4.6, αυτή η καταγραφή απορρίπτεται. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται ξανά, αφού αφαιρεθεί η απορριφθείσα καταγραφή από τα δεδομένα.

6 4.50 Σφάλματα Μετρήσεων Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Ένα κριτήριο που χρησιμοποιείται για τον αποκλεισμό δεδομένων, είναι όταν η απόκλιση μιας καταγραφής από το μέσο υπερβαίνει τέσσερις φορές το πιθανό σφάλμα μιας μεμονωμένης καταγραφής. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, την απόρριψη των δεδομένων που βρίσκονται εκτός του διαστήματος εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη καταγραφή με επίπεδο εμπιστοσύνης Ένα καλύτερο κριτήριο το οποίο δεν περιλαμβάνει τον υπολογισμό του πιθανού σφάλματος, όταν το σύνολο των δεδομένων είναι μικρό και η τυπική απόκλιση δεν είναι επακριβώς γνωστή, είναι να απορριφθεί μια καταγραφή η οποία βρίσκεται εκτός του διαστήματος που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99 για μια μεμονωμένη παρατήρηση (βλ. Πίνακα 4.4 και 4.5). Σε αυτή τη βάση, λιγότερες από 1 καταγραφές στις 100 θα είναι εκτός του εύρους αυτού. Μια ακόμα καλύτερη μέθοδος είναι να χρησιμοποιηθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης που να αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.95, έτσι ώστε να ελεγχθεί πιο διεξοδικά η διαδικασία μέτρησης που έχει υιοθετηθεί Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Ορίων ±3σ Η πιθανότητα μια καταγραφή να είναι εντός των ορίων 3 από τη μέση τιμή είναι , η οποία είναι αρκετά υψηλή και έτσι κάθε καταγραφή που είναι εκτός αυτών των ορίων θα απορριφθεί. Παράδειγμα 4.16 Ένα εργαστηριακό πείραμα εκτελείται για να μετρηθεί η ρευστότητα ενός δείγματος λαδιού. Μια σειρά από πειράματα δίνει τις τιμές , , , 5.610, , , , , και m s. Μπορεί να απορριφθεί κάποια τιμή με τη χρήση του κριτηρίου Chauveet; Ο λόγος της μέγιστης απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το Απάντηση. Τα αποτελέσματα μπορούν να παρουσιαστούν στον παρακάτω πίνακα

7 Σφάλματα Μετρήσεων 4.51 Α/Α x i d i = xi - X d i d s Μέση τιμή ρευστότητας: x i x 3 i d i 3 X m s Τυπική απόκλιση: d 9 i s m s 1 (101) Έχει ορισθεί ότι για 10 καταγραφές ο λόγος της απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1.96 και έτσι η καταγραφή 5, 3 δηλαδή η τιμή πρέπει να απορριφθεί Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Υποθετικά έχουμε ένα σύνολο καταγραφών x1, x,, x. Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεών τους από μια μέση τιμή X m είναι: S ( x X ) i1 Υποθέτοντας ότι πρέπει να ελαχιστοποιηθεί το S ως προς τη μέση τιμή X m έχουμε: S xi Xm 0 Xm i1 i m

8 4.5 Σφάλματα Μετρήσεων ή X m 1 xi i1 Αλλά 1 xi i1 X, οπότε Xm X Επομένως, η μέση τιμή η οποία ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων είναι ο αριθμητικός μέσος. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Άλλη μια εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων δίνεται παρακάτω. Υποθέστε ότι δύο μεταβλητές x και y μετρώνται σε ένα εύρος τιμών. Θέλουμε να εξάγουμε μια απλή αναλυτική έκφραση της y ως συνάρτηση της x. Ο απλούστερος τύπος συνάρτησης είναι ο γραμμικός και, επομένως, γίνεται προσπάθεια να βρεθεί η καλύτερη γραμμική συνάρτηση που να συνδέει τα x και y. Έστω, ότι η γραμμική συνάρτηση είναι y xb. Τώρα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα, S y ( x b ) i1 i Αυτό γίνεται παίρνοντας παράγωγα του S ως προς a και b και θέτοντάς τα ίσα με το μηδέν. Έτσι προκύπτει ότι b a x y i b x a x x y i i i i i i Λύνοντας τις παραπάνω εξισώσεις, έχουμε xiyi xi( yi) x x b i i xi xi y ( x ) x y ( x ) i i i i i (4.78) (4.79) Οι τυπικές αποκλίσεις των a και b, μπορούν να υπολογιστούν ως sa s y (4.80) x x i i

9 Σφάλματα Μετρήσεων 4.53 s b xi i x x 1 s y ( xi b yi) Η τυπική απόκλιση του x είναι s x 1 yi b s y xi a a i s y (4.81) (4.8) (4.83) Παράδειγμα 4.17 Τα ακόλουθα δεδομένα αναμένεται να ακλουθούν μια γραμμική σχέση της μορφής y xb. Δώστε την καλύτερη γραμμική σχέση σε συμφωνία με την ανάλυση των ελαχίστων τετραγώνων. Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση των δεδομένων από το αποτέλεσμα. x y Απάντηση. Η λύση είναι της μορφής yx b. Οι διάφορες ποσότητες υπολογίζονται όπως παρακάτω: x i y i i i x y x x i y i xy i i i i Ο αριθμός των καταγραφών είναι 6. Από τις εξισώσεις (4.78) και (4.79) προκύπτει ότι

10 4.54 Σφάλματα Μετρήσεων Επομένως, η επιθυμητή σχέση είναι b y 0.67x 0.96 Το Σχήμα 4.7 δείχνει τη γραφική παράσταση της σχέσης και τα πραγματικά πειραματικά δεδομένα. Ας βρούμε την τυπική απόκλιση του y : x i y i αx i +b i i αx +b-y αx +b-y xi b y i i i Η τυπική απόκλιση του y υπολογίζεται ως εξής sy ( xi b yi) Από την εξίσωση (4.83) η τυπική απόκλιση του x είναι s x s y a 0.67 Από τις εξισώσεις (4.80) και (4.81), οι τυπικές αποκλίσεις των a και b είναι s s a b 6 s x x y i i xi sy i i x x

11 Σφάλματα Μετρήσεων 4.55 Y 0.67x 0.96 Y Σχήμα 4.7 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων για γραμμική παρεμβολή. x 4.17 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με συνιστώσες διαφορετικές μεταβλητές, κάθε μια από τις οποίες είναι υποκείμενη σε τυχαία φαινόμενα. Έτσι, ισχύει: X f( x, x, x,, x ) (4.84) 1 3 Τώρα, αν οι x 1, x, x 3,, x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, τότε για μικρή απόκλιση από την μέση τιμή τους στα x 1, x, x 3,, x, που ορίζεται ως x 1, x, x 3,, x, η τελική απόκλιση του X από τη μέση τιμή του, για κάθε ξεχωριστό όρο δίνεται ως

12 4.56 Σφάλματα Μετρήσεων X X X x1 x x x 1 Υψώνοντας στο τετράγωνο τη σχέση 4.59, ισχύει X x x x x (4.85) X X X X 1 1 (4.86) x1 x x1 x Τώρα, αν οι αποκλίσεις των x 1, x κτλ, είναι ανεξάρτητες, όπως λέει η υπόθεση, οι θετικές τιμές μιας προσαύξησης είναι εξίσου πιθανό να συνδέονται με μια θετική ή αρνητική τιμή μιας άλλης προσαύξησης. Επομένως, το άθροισμα των γινομένων των χιαστί (cross) όρων τείνει να είναι μηδέν για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Εξ ορισμού, η διακύμανση V είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Επομένως, το μέσο του X γίνεται η διακύμανση του X για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Η διακύμανση του X ορίζεται ως V X και έτσι γράφεται ως X X X V X V 1 V V x1 x x X x x x (4.87) Καθώς, σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις το x 1 τείνει να γίνει η μέση τιμή της διασποράς του x 1, δηλαδή V x1. Η εξίσωση (4.87) μπορεί να γραφεί ως: V V V V (4.88) X x1 x x Αυτό φανερώνει ότι οι διακυμάνσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1. Η διακύμανση του x 1 με βάρος (weighted variace) μπορεί να γραφεί ως V X V x1 x1 x1 (4.89) Η τυπική απόκλιση του X μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση (4.87). Η τυπική απόκλιση του X είναι x και είναι ίση με X X X V V 1 V V x1 x x x x x x x (4.90)

13 Σφάλματα Μετρήσεων 4.57 αλλά V x x. Συνεπώς X X X V 1 V V x1 x x x x x x X X X 1 x1 x x x x x (4.91) Είναι φανερό από την εξίσωση (4.91) ότι και οι δύο τυπικές αποκλίσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1, κτλ. οι οποίοι εκφράζουν τη σχετική επιρροή των διάφορων συνιστωσών στην εξίσωση του συνδυασμού τους. Επομένως, μπορεί να γραφεί 1 x x x x (4.9) Όπου x 1 είναι η τυπική απόκλιση με βάρος για το x 1, X x1 x1 x1 (4.93) Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι αληθείς μόνο για συνιστώσες μεγεθών x 1, x, κτλ. που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ότι οι προσαυξήσεις είναι μικρές, έτσι ώστε οι όροι μεγαλύτερης τάξης από την πρώτη να είναι αμελητέες. Στην πραγματικότητα, σε εφαρμογές στην επιστήμη του μηχανικού, οι προσαυξήσεις είναι μικρές, καθώς είναι εφικτό, γενικά, να διατηρούνται τα τυχαία φαινόμενα υπό έλεγχο Πιθανό Σφάλμα Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με διαφορετικές μεταβλητές για συνιστώσες x 1, x, x 3,, x κάθε μια από τις οποίες είναι μια ανεξάρτητη μετρούμενη ποσότητα. Η τυπική απόκλιση σύμφωνα με τον ορισμό είναι X X X 1 x1 x x x x x x (4.94)

14 4.58 Σφάλματα Μετρήσεων Αλλά από την εξίσωση (4.6) το πιθανό σφάλμα είναι το πιθανό σφάλμα είναι ανάλογο της τυπικής απόκλισης. Έτσι μπορεί να οριστεί το πιθανό σφάλμα του X ως r , ή x x x x X X X r r 1 r r x1 x x (4.95) όπου r x1, r x, κτλ. είναι τα πιθανά σφάλματα για τα x 1, x, κτλ. Η συμβολή του πιθανού σφάλματος του x 1 στο συνολικό σφάλμα στο X είναι 1 x1 X x r και αυτή η συμβολή μπορεί να γραφεί με άλλη μορφή ως Επομένως, η εξίσωση (4.95) γίνεται x x1 x x r x1. r r r r (4.96) Όπου το πιθανό σφάλμα με βάρος του x είναι r x X r x x (4.97) Παράδειγμα 4.18 Έχουμε ένα κύκλωμα με δυο παράλληλους κλάδους. Τον πρώτο κλάδο διαρρέει ρεύμα I1 100 A και το δεύτερο I 00 5A. Να προσδιοριστεί η τιμή του συνολικού ρεύματος, α) θεωρώντας τα σφάλματα στα I 1 και I ως οριακά σφάλματα και β) θεωρώντας τα σφάλματα ως τυπικές αποκλίσεις. Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. α) Ισχύει I I1I Σχετικό σφάλμα: I I1 I1 I I I I I I1 I I Αλλά, I1 I και I I I Επομένως το σχετικό σφάλμα ισούται με I % I Επομένως, μπορεί να γραφεί ότι

15 Σφάλματα Μετρήσεων 4.59 I β) Όταν τα σφάλματα θεωρούνται η τυπική απόκλιση κάθε μεγέθους, έχουμε: Τυπική απόκλιση του I, Διότι 1 1 I Η τυπική απόκλιση του I εκφράζεται σαν κλάσμα ως %. Είναι φανερό από τους παραπάνω υπολογισμούς ότι τα οριακά σφάλματα του % στο I 1 και του.5% στο I συνδυάζονται κατά ένα τρόπο για να δώσουν ένα οριακό σφάλμα του.33% στο άθροισμά τους ( I ). Ενώ όταν τα ίδια σφάλματα θεωρούνται ως η τυπική απόκλιση, συνδυάζονται για να δώσουν ένα σφάλμα της τάξης του 1.8%. Η χρήση της τυπικής απόκλιση αντί του οριακού σφάλματος δίνει ένα πιο αισιόδοξο αποτέλεσμα. Αυτό είναι λογικό, αφού η πιθανότητα να είναι και το I 1 και το I μακριά από την αντίστοιχη μέση τιμή είναι μικρή Ανάλυση Αβεβαιότητας και Χειρισμός Μεμονωμένων Δειγμάτων. Πολλές φορές τα διαθέσιμα δεδομένα έχουν ληφθεί με απλή δειγματοληψία και, έτσι, οι στατιστικές μέθοδοι που συζητήθηκαν παραπάνω δε μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα. Στην περίπτωση των δεδομένων με απλή δειγματοληψία δεν είναι δυνατό να παρατηρηθεί η διασπορά μέσω της γραφικής παράστασης της καμπύλης της κατανομής συχνότητας. Έτσι είναι απαραίτητη μια άλλη προσέγγιση. Οι Klie και McClitock εισηγήθηκαν μια μέθοδο βασισμένη σε πιθανότητες και στατιστική, η οποία αναλύει τα δεδομένα χρησιμοποιώντας μια κατανομή αβεβαιότητας (ucertaity distributio), παρά μια κατανομή συχνότητας. Όρισαν την κατανομή αβεβαιότητας, ως τη κατανομή

16 4.60 Σφάλματα Μετρήσεων σφάλματος που πιστεύει ο παρατηρητής ότι θα υπήρχε σε περίπτωση που ήταν επιτρεπτή η πολλαπλή δειγματοληψία. Οι Klie και McClitock πρότειναν ότι ένα μεμονωμένο δείγμα μπορεί να εκφραστεί σε συνάρτηση με την μέση τιμή και ένα διάστημα αβεβαιότητας που βασίζεται σε ορισμένες πιθανότητες. Το αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί ως: X X w ( b προς1) όπου X είναι η τιμή, όταν μόνο μια καταγραφή είναι διαθέσιμη, του αριθμητικού μέσου για αρκετές καταγραφές, w είναι το διάστημα αβεβαιότητας, b είναι η απόδοση ή η πιθανότητα της πραγματικής τιμής να είναι μέσα στο δηλωθέν διάστημα, βάσει της γνώμης του παρατηρητή. Η έννοια της αβεβαιότητας (ucertaity) μπορεί να εξηγηθεί στο παρακάτω παράδειγμα. Τα αποτελέσματα μιας μέτρησης της θερμοκρασίας μπορεί να εκφραστεί ως: Αυτό, σημαίνει ότι υπάρχει μια αβεβαιότητα του 1 στο αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, ο παρατηρητής θέτει με συγκεκριμένους όρους, την ακρίβεια των αποτελεσμάτων που λήφθηκαν από τον ίδιο. Αυτό αναδεικνύει μια άλλη διάσταση στις μετρήσεις, και αυτή είναι κατά πόσο ο παρατηρητής είναι σίγουρος ότι οι μετρήσεις του βρίσκονται εντός καθορισμένων ορίων. Επομένως, προκύπτει η ανάγκη για περαιτέρω προδιαγραφές. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι Klie και McClitock πρότειναν να καθορίζουν οι παρατηρητές συγκεκριμένες πιθανότητες για την αβεβαιότητα. Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να δοθεί ως (0 προς 1) Τα αποτελέσματα που ορίζονται με την παραπάνω μορφή είναι πιο συγκεκριμένα. Αυτό συμβαίνει διότι ο παρατηρητής δίνει απόδοση 0 προς 1 ότι η μέτρηση της θερμοκρασίας που έκανε είναι εντός του 1 από τους 100. Αυτή η προσέγγιση είναι μεγάλης αξίας όταν προετοιμάζεται ένα πείραμα, ειδικά όταν το πείραμα περιλαμβάνει έξοδα διαφόρων ειδών,

17 Σφάλματα Μετρήσεων 4.61 όπως ανθρωποδύναμης, χρόνου και εξοπλισμού. Αυτή η προσέγγιση θέτει τα ουσιώδη για να καθιερωθεί η βάση για προκαθορισμένες εκτιμήσεις της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων μέσω της μελέτης της διάδοσης των αβεβαιοτήτων. Με αυτό τον τρόπο εκτίμησης των πειραματικών αποτελεσμάτων, τα αποτελέσματα μπορούν να εξαχθούν προτού διεξαχθεί το πείραμα Διάδοση Αβεβαιοτήτων Η ανάλυση της αβεβαιότητας στις μετρήσεις, όταν περιλαμβάνονται πολλές μετρούμενες ποσότητες, γίνεται με την ίδια βάση που γίνεται η ανάλυση σφάλματος όταν τα αποτελέσματα είναι εκφρασμένα ως τυπικές αποκλίσεις ή πιθανά σφάλματα. Υποθέτοντας ότι X είναι μια συνάρτηση διάφορων μεταβλητών, όπου x 1, x, x 3,, πιθανοτήτων. Έστω X f( x, x, x,, x ) 1 3 x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές με τον ίδιο βαθμό w x είναι η προκύπτουσα αβεβαιότητα και w x1, w x, w x3,, w x, είναι οι αβεβαιότητες των ανεξάρτητων μεταβλητών x 1, x, x 3,, x, αντίστοιχα. Η αβεβαιότητα στο αποτέλεσμα δίνεται ως x x x x X X X w w 1 w w x1 x x (4.98) Παράδειγμα 4.19 Μια συγκεκριμένη αντίσταση παρουσιάζει πτώση τάσης 110.V και τη διαρρέει ρεύμα 5.3A. Οι αβεβαιότητες στις μετρήσεις είναι 0.V και 0.06A αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση και η αβεβαιότητα της ισχύος. Απάντηση Η ισχύς είναι ίση με Pτάσηρεύμα VI W Επειδή P VI έχουμε P I 5.3 και P V 110. V I

18 4.6 Σφάλματα Μετρήσεων Όμως, w 0. και w Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση V της ισχύος είναι P P wv wi V I W % Παράδειγμα 4.0 Δυο αντιστάτες R 1 και R είναι συνδεδεμένοι πρώτα σε σειρά και έπειτα παράλληλα. Οι τιμές των αντιστάσεων είναι R Ω, R Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στην προκύπτουσα αντίσταση και για τις δυο συνδεσμολογίες. Απάντηση. Όταν οι αντιστάτες συνδέονται σε σειρά τότε η συνολική αντίσταση είναι R R R 1 R 1 και R 1 R 1 R Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr R1 R Η συνολική αντίσταση είναι R Και μπορεί να εκφραστεί ως R Όταν οι δυο αντιστάτες είναι συνδεδεμένοι παράλληλα, η προκύπτουσα αντίσταση είναι: RR R R R Τώρα, 1

19 Σφάλματα Μετρήσεων 4.63 R R R R R 1 1 R 1 RR1R R1RR1R R1 R R1R R R R R R R1 R1R R R R R R Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr R1 R Η συνολική αντίσταση θα γραφεί ως: R Παράδειγμα 4.1 Ένας αντιστάτης έχει ονομαστική τιμή 101%. Μια τάση εφαρμόζεται στα άκρα του και η ισχύς που καταναλώνεται μπορεί να υπολογιστεί με δυο τρόπους: (i) P E R και (ii) P EI. Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ισχύος, σε κάθε περίπτωση, όταν οι μετρούμενες τιμές για τα E και I είναι: 100V 1% και I 101% Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. Το κύκλωμα φαίνεται στο Σχήμα 4.8. Σχήμα 4.8 Κύκλωμα παραδείγματος 4.30.

20 4.64 Σφάλματα Μετρήσεων (i) P E P E E R R R E P R Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος είναι: P E R E R P P E E w w w w w E R R R Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp we wr % P E R (ii) P P EI I και P E E I Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp 1 P P 100 we wi 100 P P E I 1 we wi IwE EwI P E I % Η δεύτερη μέθοδος του καθορισμού της ισχύος δίνει μια πολύ μικρότερη αβεβαιότητα από την πρώτη, παρά το γεγονός ότι οι βασικές αβεβαιότητες σε κάθε ξεχωριστή ποσότητα είναι οι ίδιες. Συμπεραίνεται από τα παραπάνω, ότι μια ενσυνείδητη επιλογή της μεθόδου μέτρησης είναι σημαντική στον περιορισμό της αβεβαιότητας στον υπολογισμό των τελικών αποτελεσμάτων.

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Η βασική διαφορά μεταξύ των πειραματικών σχεδίων είναι ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται ή κατατάσσονται οι πειραματικές μονάδες (πειραματικά τεμάχια) Σε όλα τα σχέδια

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ 1 ο Γενικό Λύκειο Ηρακλείου Αττικής Σχ έτος 2011-2012 Εργαστήριο Φυσικής Υπεύθυνος : χ τζόκας 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ Η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός αυτής της μελέτης είναι αφενός να επαληθεύσουμε το νόμο του Ohm πειραματικά και αφετέρου να μετρήσουμε την αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία.

Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 9144 Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία. Συνεργάτες: Ιντζέογλου

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις

Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση αβεβαιότητας από άμεσες μετρήσεις Εκτίμηση τυπικής αβεβαιότητας τύπου B Η εκτίμηση βασίζεται στις διαθέσιμες πληροφορίες και την εμπειρία, χρησιμοποιώντας συνήθως: τα χαρακτηριστικά του κατασκευαστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων 1 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων (Circuits Theorems) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Η dc πηγή τάσης Η πηγή ρεύματος Μετασχηματισμοί πηγών Το Θεώρημα της Υπέρθεσης Το Θεώρημα Thevenin Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 4 Συνδεσµολογίες Παράλληλων Αντιστάσεων και Χρήση Ποτενσιόµετρου στη ιαίρεση Τάσης

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ Α.1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ Ο μετασχηματιστής είναι μια ηλεκτρική διάταξη που μετατρέπει εναλλασσόμενη ηλεκτρική ενέργεια ενός επιπέδου τάσης

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικοί Ενισχυτές

Διαφορικοί Ενισχυτές Διαφορικοί Ενισχυτές Γενικά: Ο Διαφορικός ενισχυτής (ΔΕ) είναι το βασικό δομικό στοιχείο ενός τελεστικού ενισχυτή. Η λειτουργία ενός ΔΕ είναι η ενίσχυση της διαφοράς μεταξύ δύο σημάτων εισόδου. Τα αρχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.).

ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η διάμεσος τιμή της ηλικίας των Ελλήνων το 1990 ήταν 30 έτη. Το 2001, η διάμεσος τιμή ήταν 33,1 (Πηγή:Ε.Σ.Υ.Ε.). a. Τι μπορεί να συνέβη όταν η διάμεσος αυξήθηκε; Το γεγονός ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΟΗΜ. 1) Να μελετηθούν τα ηλεκτρικά κυκλώματα με αντίσταση, λαμπτήρα, αμπερόμετρο και βολτόμετρο.

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΟΗΜ. 1) Να μελετηθούν τα ηλεκτρικά κυκλώματα με αντίσταση, λαμπτήρα, αμπερόμετρο και βολτόμετρο. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΟΗΜ ΣΚΟΠΟΣ 1) Να μελετηθούν τα ηλεκτρικά κυκλώματα με αντίσταση, λαμπτήρα, αμπερόμετρο και βολτόμετρο. 2) Να μελετηθεί ο νόμος του Οhm. 3) Να μετρηθεί η αντίσταση ενός αντιστάτη. 4) Να μελετηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 4 Ορθότητα, Ακρίβεια και Θόρυβος (Accuracy, Precision and Noise) Φ. Πλέσσας

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 2 Νόμος του Ohm, Συνδέσεις αντιστάσεων σε σειρά Φ. Πλέσσας Βόλος 2015

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

2. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

2. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Περιεχόμενα 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Η φύση των μετρήσεων 1.3 1.3 Γενικά για τα όργανα των μετρήσεων 1.4 1.4 Όργανα απόκλισης και όργανα μηδενισμού 1.6 1.5 Ορολογία των μετρήσεων 1.6 2. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα