Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης"

Transcript

1 Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης X 0.674σ 1 στις X 1.8σ 1 στις X 1.645σ 1 στις X 1.960σ 1 στις X.576σ 1 στις X 3.91σ 1 στις 1000 Με σκοπό τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης, για το μέσο μιας ομάδας παρατηρήσεων από τα αντίστοιχα διαστήματα, για μια απλή παρατήρηση, το δεύτερο διαιρείται με. Διάστημα εμπιστοσύνης μέσου Διάστημα εμπιστοσύνης απλής παρατήρησης (4.77) Έτσι, η προσδοκία ότι ο μέσος μιας ομάδας παρατηρήσεων δε θα διαφέρει περισσότερο από ένα συγκεκριμένο ποσό από το θεωρητικό μέσο ενός άπειρου συνόλου παρατηρήσεων, μπορεί επίσης να εκφραστεί με όρους ενός διαστήματος εμπιστοσύνης και ενός επιπέδου εμπιστοσύνης.

2 4.46 Σφάλματα Μετρήσεων Πίνακας 4.5 Διαστήματα εμπιστοσύνης (όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι μικρός) Αριθμός βαθμών ελευθερί ας 1 Αριθμό ς παρατ ηρήσε ων Επίπεδο εμπιστοσύνης X 1.00s X 6.31s X 1.71s X 63.66s 3 X 0.8s X.9s X 4.3s X 9.9s 3 4 X 0.77s X.35s X 3.18s X 5.84s 4 5 X 0.74s X.13s X.78s X 4.60s 5 6 X 0.73s X.0s X.57s X 4.03s 6 7 X 0.7s X 1.94s X.45s X 3.71s 7 8 X 0.71s X 1.90s X.37s X 3.50s Διάστημα εμπιστοσύνης X 0.71s X 1.86s X 0.70s X 1.83s X 0.70s X 1.81s X 0.69s X 1.75s X.31s X 3.36s X.6s X 3.5s X.3s X 3.17s X.13s X.95s

3 Σφάλματα Μετρήσεων 4.47 Παράδειγμα 4.15 Οι παρακάτω 10 παρατηρήσεις καταγράφθηκαν κατά τη μέτρηση τάσης: 41.7, 4.0, 41.8, 4.0, 4.1, 41.9, 4.0, 41.9, 4.5 και 41.8V. Να βρεθούν (α) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη παρατήρηση για επίπεδο εμπιστοσύνης0.5, 0.9, 0.95 και 0.99 και (β) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το σύνολο των παρατηρήσεων για τους προαναφερθέντες βαθμούς εμπιστοσύνης. Συμβουλευτείτε το πίνακα για τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Απάντηση. Αυτό το παράδειγμα είναι μια προέκταση του παραδείγματος (α) Τυπική απόκλιση d s 1 0. V Επομένως, τα επίπεδα εμπιστοσύνης και τα αντίστοιχα διαστήματα (γύρω από το μέσο) για μια μεμονωμένη παρατήρηση δίνονται στον παρακάτω πίνακα. (χρησιμοποιήθηκε ο Πίνακας 4.5) Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης s 1.83 s.6 s 0.15V 0.40V 0.50V 3.5 s 0.7V (β) Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου, υπολογίζονται διαιρώντας τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μεμονωμένες καταγραφές με τον όρο. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου που αντιστοιχούν σε διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης είναι: Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης Σχολιασμός. Επομένως η μέση τιμή που υπολογίστηκε από τις 10

4 4.48 Σφάλματα Μετρήσεων παρατηρήσεις θα αναμένεται με πιθανότητα 50% να είναι εντός του 0.05V από τη μέση τιμή ενός άπειρου αριθμού παρατηρήσεων. Σε ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99, οι παρατηρηθείσες και οι θεωρητικές τιμές διαφέρουν λιγότερο από 0.4V Απόρριψη Δεδομένων Στα περισσότερα από τα πειράματα, ο παρατηρητής βρίσκει ότι κάποια από τα δεδομένα είναι αισθητώς διαφορετικά από την πλειοψηφία των δεδομένων. Αν αυτά τα δεδομένα λήφθηκαν κάτω από μη φυσιολογικές συνθήκες και ο παρατηρητής είναι σίγουρος για την λανθασμένη φύση τους, αυτά τα δεδομένα μπορούν να παραληφθούν άμεσα. Όμως ο παρατηρητής δε μπορεί να απορρίψει δεδομένα απλά επειδή είναι διαφορετικά από τα υπόλοιπα, πρέπει να βασιστεί σε συγκεκριμένες μαθηματικές μεθόδους για να απορρίψει τα πειραματικά δεδομένα. Υπάρχουν πολλές διαθέσιμες μέθοδοι για να αξιολογηθεί αν τα δεδομένα πρέπει να συμπεριληφθούν ή να απορριφθούν. Οι τρεις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι: Το κριτήριο του Chauveet, Η χρήση διαστημάτων εμπιστοσύνης και Τα όρια στο 3. Αυτές οι μέθοδοι αναλύονται παρακάτω Το Κριτήριο του Chauveet Έστω, ότι παρατηρήσεις έχουν γίνει για τη μέτρηση ενός μεγέθους. Θεωρείται ότι οι παρατηρήσεις είναι αρκετές ώστε τα δεδομένα να ακολουθούν μια κανονική κατανομή. Αυτή η κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογισθεί η πιθανότητα για μια δεδομένη καταγραφή να αποκλίνει κατά ένα συγκεκριμένο ποσό από το μέσο. Το κριτήριο του Chauveet ορίζει ότι μια καταγραφή μπορεί να απορριφθεί αν η πιθανότητα να ληφθεί η συγκεκριμένη απόκλιση από το μέσο είναι μικρότερη από 1. Ο Πίνακας 4.6 δίνει τιμές για το λόγο της απόκλισης προς τη τυπική απόκλιση για διάφορες τιμές του ανάλογα με το κριτήριο.

5 Σφάλματα Μετρήσεων 4.49 Πίνακας 4.6 Το κριτήριο του Chauveet για την απόρριψη δεδομένων. Λόγος μέγιστης αποδεκτής απόκλισης Αριθμός καταγραφών προς τυπική απόκλιση, d max Όταν εφαρμόζεται το κριτήριο του Chauveet, ώστε να αποκλειστούν κάποια ύποπτα δεδομένα, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται, πρώτα, χρησιμοποιώντας όλα τα δεδομένα. Οι αποκλίσεις των μεμονωμένων καταγραφών, έπειτα, συγκρίνονται με την τυπική απόκλιση. Αν ο λόγος της απόκλισης μιας καταγραφής από την τυπική απόκλιση υπερβαίνει τα όρια που δίνονται στον Πίνακα 4.6, αυτή η καταγραφή απορρίπτεται. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται ξανά, αφού αφαιρεθεί η απορριφθείσα καταγραφή από τα δεδομένα.

6 4.50 Σφάλματα Μετρήσεων Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Ένα κριτήριο που χρησιμοποιείται για τον αποκλεισμό δεδομένων, είναι όταν η απόκλιση μιας καταγραφής από το μέσο υπερβαίνει τέσσερις φορές το πιθανό σφάλμα μιας μεμονωμένης καταγραφής. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, την απόρριψη των δεδομένων που βρίσκονται εκτός του διαστήματος εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη καταγραφή με επίπεδο εμπιστοσύνης Ένα καλύτερο κριτήριο το οποίο δεν περιλαμβάνει τον υπολογισμό του πιθανού σφάλματος, όταν το σύνολο των δεδομένων είναι μικρό και η τυπική απόκλιση δεν είναι επακριβώς γνωστή, είναι να απορριφθεί μια καταγραφή η οποία βρίσκεται εκτός του διαστήματος που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99 για μια μεμονωμένη παρατήρηση (βλ. Πίνακα 4.4 και 4.5). Σε αυτή τη βάση, λιγότερες από 1 καταγραφές στις 100 θα είναι εκτός του εύρους αυτού. Μια ακόμα καλύτερη μέθοδος είναι να χρησιμοποιηθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης που να αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.95, έτσι ώστε να ελεγχθεί πιο διεξοδικά η διαδικασία μέτρησης που έχει υιοθετηθεί Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Ορίων ±3σ Η πιθανότητα μια καταγραφή να είναι εντός των ορίων 3 από τη μέση τιμή είναι , η οποία είναι αρκετά υψηλή και έτσι κάθε καταγραφή που είναι εκτός αυτών των ορίων θα απορριφθεί. Παράδειγμα 4.16 Ένα εργαστηριακό πείραμα εκτελείται για να μετρηθεί η ρευστότητα ενός δείγματος λαδιού. Μια σειρά από πειράματα δίνει τις τιμές , , , 5.610, , , , , και m s. Μπορεί να απορριφθεί κάποια τιμή με τη χρήση του κριτηρίου Chauveet; Ο λόγος της μέγιστης απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το Απάντηση. Τα αποτελέσματα μπορούν να παρουσιαστούν στον παρακάτω πίνακα

7 Σφάλματα Μετρήσεων 4.51 Α/Α x i d i = xi - X d i d s Μέση τιμή ρευστότητας: x i x 3 i d i 3 X m s Τυπική απόκλιση: d 9 i s m s 1 (101) Έχει ορισθεί ότι για 10 καταγραφές ο λόγος της απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1.96 και έτσι η καταγραφή 5, 3 δηλαδή η τιμή πρέπει να απορριφθεί Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Υποθετικά έχουμε ένα σύνολο καταγραφών x1, x,, x. Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεών τους από μια μέση τιμή X m είναι: S ( x X ) i1 Υποθέτοντας ότι πρέπει να ελαχιστοποιηθεί το S ως προς τη μέση τιμή X m έχουμε: S xi Xm 0 Xm i1 i m

8 4.5 Σφάλματα Μετρήσεων ή X m 1 xi i1 Αλλά 1 xi i1 X, οπότε Xm X Επομένως, η μέση τιμή η οποία ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων είναι ο αριθμητικός μέσος. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Άλλη μια εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων δίνεται παρακάτω. Υποθέστε ότι δύο μεταβλητές x και y μετρώνται σε ένα εύρος τιμών. Θέλουμε να εξάγουμε μια απλή αναλυτική έκφραση της y ως συνάρτηση της x. Ο απλούστερος τύπος συνάρτησης είναι ο γραμμικός και, επομένως, γίνεται προσπάθεια να βρεθεί η καλύτερη γραμμική συνάρτηση που να συνδέει τα x και y. Έστω, ότι η γραμμική συνάρτηση είναι y xb. Τώρα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα, S y ( x b ) i1 i Αυτό γίνεται παίρνοντας παράγωγα του S ως προς a και b και θέτοντάς τα ίσα με το μηδέν. Έτσι προκύπτει ότι b a x y i b x a x x y i i i i i i Λύνοντας τις παραπάνω εξισώσεις, έχουμε xiyi xi( yi) x x b i i xi xi y ( x ) x y ( x ) i i i i i (4.78) (4.79) Οι τυπικές αποκλίσεις των a και b, μπορούν να υπολογιστούν ως sa s y (4.80) x x i i

9 Σφάλματα Μετρήσεων 4.53 s b xi i x x 1 s y ( xi b yi) Η τυπική απόκλιση του x είναι s x 1 yi b s y xi a a i s y (4.81) (4.8) (4.83) Παράδειγμα 4.17 Τα ακόλουθα δεδομένα αναμένεται να ακλουθούν μια γραμμική σχέση της μορφής y xb. Δώστε την καλύτερη γραμμική σχέση σε συμφωνία με την ανάλυση των ελαχίστων τετραγώνων. Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση των δεδομένων από το αποτέλεσμα. x y Απάντηση. Η λύση είναι της μορφής yx b. Οι διάφορες ποσότητες υπολογίζονται όπως παρακάτω: x i y i i i x y x x i y i xy i i i i Ο αριθμός των καταγραφών είναι 6. Από τις εξισώσεις (4.78) και (4.79) προκύπτει ότι

10 4.54 Σφάλματα Μετρήσεων Επομένως, η επιθυμητή σχέση είναι b y 0.67x 0.96 Το Σχήμα 4.7 δείχνει τη γραφική παράσταση της σχέσης και τα πραγματικά πειραματικά δεδομένα. Ας βρούμε την τυπική απόκλιση του y : x i y i αx i +b i i αx +b-y αx +b-y xi b y i i i Η τυπική απόκλιση του y υπολογίζεται ως εξής sy ( xi b yi) Από την εξίσωση (4.83) η τυπική απόκλιση του x είναι s x s y a 0.67 Από τις εξισώσεις (4.80) και (4.81), οι τυπικές αποκλίσεις των a και b είναι s s a b 6 s x x y i i xi sy i i x x

11 Σφάλματα Μετρήσεων 4.55 Y 0.67x 0.96 Y Σχήμα 4.7 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων για γραμμική παρεμβολή. x 4.17 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με συνιστώσες διαφορετικές μεταβλητές, κάθε μια από τις οποίες είναι υποκείμενη σε τυχαία φαινόμενα. Έτσι, ισχύει: X f( x, x, x,, x ) (4.84) 1 3 Τώρα, αν οι x 1, x, x 3,, x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, τότε για μικρή απόκλιση από την μέση τιμή τους στα x 1, x, x 3,, x, που ορίζεται ως x 1, x, x 3,, x, η τελική απόκλιση του X από τη μέση τιμή του, για κάθε ξεχωριστό όρο δίνεται ως

12 4.56 Σφάλματα Μετρήσεων X X X x1 x x x 1 Υψώνοντας στο τετράγωνο τη σχέση 4.59, ισχύει X x x x x (4.85) X X X X 1 1 (4.86) x1 x x1 x Τώρα, αν οι αποκλίσεις των x 1, x κτλ, είναι ανεξάρτητες, όπως λέει η υπόθεση, οι θετικές τιμές μιας προσαύξησης είναι εξίσου πιθανό να συνδέονται με μια θετική ή αρνητική τιμή μιας άλλης προσαύξησης. Επομένως, το άθροισμα των γινομένων των χιαστί (cross) όρων τείνει να είναι μηδέν για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Εξ ορισμού, η διακύμανση V είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Επομένως, το μέσο του X γίνεται η διακύμανση του X για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Η διακύμανση του X ορίζεται ως V X και έτσι γράφεται ως X X X V X V 1 V V x1 x x X x x x (4.87) Καθώς, σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις το x 1 τείνει να γίνει η μέση τιμή της διασποράς του x 1, δηλαδή V x1. Η εξίσωση (4.87) μπορεί να γραφεί ως: V V V V (4.88) X x1 x x Αυτό φανερώνει ότι οι διακυμάνσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1. Η διακύμανση του x 1 με βάρος (weighted variace) μπορεί να γραφεί ως V X V x1 x1 x1 (4.89) Η τυπική απόκλιση του X μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση (4.87). Η τυπική απόκλιση του X είναι x και είναι ίση με X X X V V 1 V V x1 x x x x x x x (4.90)

13 Σφάλματα Μετρήσεων 4.57 αλλά V x x. Συνεπώς X X X V 1 V V x1 x x x x x x X X X 1 x1 x x x x x (4.91) Είναι φανερό από την εξίσωση (4.91) ότι και οι δύο τυπικές αποκλίσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1, κτλ. οι οποίοι εκφράζουν τη σχετική επιρροή των διάφορων συνιστωσών στην εξίσωση του συνδυασμού τους. Επομένως, μπορεί να γραφεί 1 x x x x (4.9) Όπου x 1 είναι η τυπική απόκλιση με βάρος για το x 1, X x1 x1 x1 (4.93) Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι αληθείς μόνο για συνιστώσες μεγεθών x 1, x, κτλ. που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ότι οι προσαυξήσεις είναι μικρές, έτσι ώστε οι όροι μεγαλύτερης τάξης από την πρώτη να είναι αμελητέες. Στην πραγματικότητα, σε εφαρμογές στην επιστήμη του μηχανικού, οι προσαυξήσεις είναι μικρές, καθώς είναι εφικτό, γενικά, να διατηρούνται τα τυχαία φαινόμενα υπό έλεγχο Πιθανό Σφάλμα Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με διαφορετικές μεταβλητές για συνιστώσες x 1, x, x 3,, x κάθε μια από τις οποίες είναι μια ανεξάρτητη μετρούμενη ποσότητα. Η τυπική απόκλιση σύμφωνα με τον ορισμό είναι X X X 1 x1 x x x x x x (4.94)

14 4.58 Σφάλματα Μετρήσεων Αλλά από την εξίσωση (4.6) το πιθανό σφάλμα είναι το πιθανό σφάλμα είναι ανάλογο της τυπικής απόκλισης. Έτσι μπορεί να οριστεί το πιθανό σφάλμα του X ως r , ή x x x x X X X r r 1 r r x1 x x (4.95) όπου r x1, r x, κτλ. είναι τα πιθανά σφάλματα για τα x 1, x, κτλ. Η συμβολή του πιθανού σφάλματος του x 1 στο συνολικό σφάλμα στο X είναι 1 x1 X x r και αυτή η συμβολή μπορεί να γραφεί με άλλη μορφή ως Επομένως, η εξίσωση (4.95) γίνεται x x1 x x r x1. r r r r (4.96) Όπου το πιθανό σφάλμα με βάρος του x είναι r x X r x x (4.97) Παράδειγμα 4.18 Έχουμε ένα κύκλωμα με δυο παράλληλους κλάδους. Τον πρώτο κλάδο διαρρέει ρεύμα I1 100 A και το δεύτερο I 00 5A. Να προσδιοριστεί η τιμή του συνολικού ρεύματος, α) θεωρώντας τα σφάλματα στα I 1 και I ως οριακά σφάλματα και β) θεωρώντας τα σφάλματα ως τυπικές αποκλίσεις. Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. α) Ισχύει I I1I Σχετικό σφάλμα: I I1 I1 I I I I I I1 I I Αλλά, I1 I και I I I Επομένως το σχετικό σφάλμα ισούται με I % I Επομένως, μπορεί να γραφεί ότι

15 Σφάλματα Μετρήσεων 4.59 I β) Όταν τα σφάλματα θεωρούνται η τυπική απόκλιση κάθε μεγέθους, έχουμε: Τυπική απόκλιση του I, Διότι 1 1 I Η τυπική απόκλιση του I εκφράζεται σαν κλάσμα ως %. Είναι φανερό από τους παραπάνω υπολογισμούς ότι τα οριακά σφάλματα του % στο I 1 και του.5% στο I συνδυάζονται κατά ένα τρόπο για να δώσουν ένα οριακό σφάλμα του.33% στο άθροισμά τους ( I ). Ενώ όταν τα ίδια σφάλματα θεωρούνται ως η τυπική απόκλιση, συνδυάζονται για να δώσουν ένα σφάλμα της τάξης του 1.8%. Η χρήση της τυπικής απόκλιση αντί του οριακού σφάλματος δίνει ένα πιο αισιόδοξο αποτέλεσμα. Αυτό είναι λογικό, αφού η πιθανότητα να είναι και το I 1 και το I μακριά από την αντίστοιχη μέση τιμή είναι μικρή Ανάλυση Αβεβαιότητας και Χειρισμός Μεμονωμένων Δειγμάτων. Πολλές φορές τα διαθέσιμα δεδομένα έχουν ληφθεί με απλή δειγματοληψία και, έτσι, οι στατιστικές μέθοδοι που συζητήθηκαν παραπάνω δε μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα. Στην περίπτωση των δεδομένων με απλή δειγματοληψία δεν είναι δυνατό να παρατηρηθεί η διασπορά μέσω της γραφικής παράστασης της καμπύλης της κατανομής συχνότητας. Έτσι είναι απαραίτητη μια άλλη προσέγγιση. Οι Klie και McClitock εισηγήθηκαν μια μέθοδο βασισμένη σε πιθανότητες και στατιστική, η οποία αναλύει τα δεδομένα χρησιμοποιώντας μια κατανομή αβεβαιότητας (ucertaity distributio), παρά μια κατανομή συχνότητας. Όρισαν την κατανομή αβεβαιότητας, ως τη κατανομή

16 4.60 Σφάλματα Μετρήσεων σφάλματος που πιστεύει ο παρατηρητής ότι θα υπήρχε σε περίπτωση που ήταν επιτρεπτή η πολλαπλή δειγματοληψία. Οι Klie και McClitock πρότειναν ότι ένα μεμονωμένο δείγμα μπορεί να εκφραστεί σε συνάρτηση με την μέση τιμή και ένα διάστημα αβεβαιότητας που βασίζεται σε ορισμένες πιθανότητες. Το αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί ως: X X w ( b προς1) όπου X είναι η τιμή, όταν μόνο μια καταγραφή είναι διαθέσιμη, του αριθμητικού μέσου για αρκετές καταγραφές, w είναι το διάστημα αβεβαιότητας, b είναι η απόδοση ή η πιθανότητα της πραγματικής τιμής να είναι μέσα στο δηλωθέν διάστημα, βάσει της γνώμης του παρατηρητή. Η έννοια της αβεβαιότητας (ucertaity) μπορεί να εξηγηθεί στο παρακάτω παράδειγμα. Τα αποτελέσματα μιας μέτρησης της θερμοκρασίας μπορεί να εκφραστεί ως: Αυτό, σημαίνει ότι υπάρχει μια αβεβαιότητα του 1 στο αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, ο παρατηρητής θέτει με συγκεκριμένους όρους, την ακρίβεια των αποτελεσμάτων που λήφθηκαν από τον ίδιο. Αυτό αναδεικνύει μια άλλη διάσταση στις μετρήσεις, και αυτή είναι κατά πόσο ο παρατηρητής είναι σίγουρος ότι οι μετρήσεις του βρίσκονται εντός καθορισμένων ορίων. Επομένως, προκύπτει η ανάγκη για περαιτέρω προδιαγραφές. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι Klie και McClitock πρότειναν να καθορίζουν οι παρατηρητές συγκεκριμένες πιθανότητες για την αβεβαιότητα. Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να δοθεί ως (0 προς 1) Τα αποτελέσματα που ορίζονται με την παραπάνω μορφή είναι πιο συγκεκριμένα. Αυτό συμβαίνει διότι ο παρατηρητής δίνει απόδοση 0 προς 1 ότι η μέτρηση της θερμοκρασίας που έκανε είναι εντός του 1 από τους 100. Αυτή η προσέγγιση είναι μεγάλης αξίας όταν προετοιμάζεται ένα πείραμα, ειδικά όταν το πείραμα περιλαμβάνει έξοδα διαφόρων ειδών,

17 Σφάλματα Μετρήσεων 4.61 όπως ανθρωποδύναμης, χρόνου και εξοπλισμού. Αυτή η προσέγγιση θέτει τα ουσιώδη για να καθιερωθεί η βάση για προκαθορισμένες εκτιμήσεις της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων μέσω της μελέτης της διάδοσης των αβεβαιοτήτων. Με αυτό τον τρόπο εκτίμησης των πειραματικών αποτελεσμάτων, τα αποτελέσματα μπορούν να εξαχθούν προτού διεξαχθεί το πείραμα Διάδοση Αβεβαιοτήτων Η ανάλυση της αβεβαιότητας στις μετρήσεις, όταν περιλαμβάνονται πολλές μετρούμενες ποσότητες, γίνεται με την ίδια βάση που γίνεται η ανάλυση σφάλματος όταν τα αποτελέσματα είναι εκφρασμένα ως τυπικές αποκλίσεις ή πιθανά σφάλματα. Υποθέτοντας ότι X είναι μια συνάρτηση διάφορων μεταβλητών, όπου x 1, x, x 3,, πιθανοτήτων. Έστω X f( x, x, x,, x ) 1 3 x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές με τον ίδιο βαθμό w x είναι η προκύπτουσα αβεβαιότητα και w x1, w x, w x3,, w x, είναι οι αβεβαιότητες των ανεξάρτητων μεταβλητών x 1, x, x 3,, x, αντίστοιχα. Η αβεβαιότητα στο αποτέλεσμα δίνεται ως x x x x X X X w w 1 w w x1 x x (4.98) Παράδειγμα 4.19 Μια συγκεκριμένη αντίσταση παρουσιάζει πτώση τάσης 110.V και τη διαρρέει ρεύμα 5.3A. Οι αβεβαιότητες στις μετρήσεις είναι 0.V και 0.06A αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση και η αβεβαιότητα της ισχύος. Απάντηση Η ισχύς είναι ίση με Pτάσηρεύμα VI W Επειδή P VI έχουμε P I 5.3 και P V 110. V I

18 4.6 Σφάλματα Μετρήσεων Όμως, w 0. και w Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση V της ισχύος είναι P P wv wi V I W % Παράδειγμα 4.0 Δυο αντιστάτες R 1 και R είναι συνδεδεμένοι πρώτα σε σειρά και έπειτα παράλληλα. Οι τιμές των αντιστάσεων είναι R Ω, R Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στην προκύπτουσα αντίσταση και για τις δυο συνδεσμολογίες. Απάντηση. Όταν οι αντιστάτες συνδέονται σε σειρά τότε η συνολική αντίσταση είναι R R R 1 R 1 και R 1 R 1 R Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr R1 R Η συνολική αντίσταση είναι R Και μπορεί να εκφραστεί ως R Όταν οι δυο αντιστάτες είναι συνδεδεμένοι παράλληλα, η προκύπτουσα αντίσταση είναι: RR R R R Τώρα, 1

19 Σφάλματα Μετρήσεων 4.63 R R R R R 1 1 R 1 RR1R R1RR1R R1 R R1R R R R R R R1 R1R R R R R R Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr R1 R Η συνολική αντίσταση θα γραφεί ως: R Παράδειγμα 4.1 Ένας αντιστάτης έχει ονομαστική τιμή 101%. Μια τάση εφαρμόζεται στα άκρα του και η ισχύς που καταναλώνεται μπορεί να υπολογιστεί με δυο τρόπους: (i) P E R και (ii) P EI. Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ισχύος, σε κάθε περίπτωση, όταν οι μετρούμενες τιμές για τα E και I είναι: 100V 1% και I 101% Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. Το κύκλωμα φαίνεται στο Σχήμα 4.8. Σχήμα 4.8 Κύκλωμα παραδείγματος 4.30.

20 4.64 Σφάλματα Μετρήσεων (i) P E P E E R R R E P R Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος είναι: P E R E R P P E E w w w w w E R R R Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp we wr % P E R (ii) P P EI I και P E E I Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp 1 P P 100 we wi 100 P P E I 1 we wi IwE EwI P E I % Η δεύτερη μέθοδος του καθορισμού της ισχύος δίνει μια πολύ μικρότερη αβεβαιότητα από την πρώτη, παρά το γεγονός ότι οι βασικές αβεβαιότητες σε κάθε ξεχωριστή ποσότητα είναι οι ίδιες. Συμπεραίνεται από τα παραπάνω, ότι μια ενσυνείδητη επιλογή της μεθόδου μέτρησης είναι σημαντική στον περιορισμό της αβεβαιότητας στον υπολογισμό των τελικών αποτελεσμάτων.

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing).

Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Κεφάλαιο 4 Μετρολογικές Διατάξεις Μέτρησης Θερμοκρασίας. 4.1. Μετρολογικός Ενισχυτής τάσεων θερμοζεύγους Κ και η δοκιμή (testing). Οι ενδείξεις (τάσεις εξόδου) των θερμοζευγών τύπου Κ είναι δύσκολο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων

Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τεχνικές Ανάλυσης Διοικητικών Αποφάσεων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Τμηματικό e-mal : dap_ode@yahoo.gr www.dap-pape.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου

Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2012 Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών, Τεχνολογίας, Περιβάλλοντος A Λυκείου A Λυκείου Θεωρητικό Μέρος Θέμα 1 ο 10 Μαρτίου 2012 Στις ερωτήσεις A, B, Γ, Δ i), Δ ii) μια μόνο απάντηση είναι σωστή. Γράψτε στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράμμα της ερώτησης και το μικρό γράμμα της σωστής

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΣΠΕ ΕΘΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Επιλογή κειμένων των καθηγητών: Μ. GRAWITZ Καθηγήτρια Κοινωνιολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 6 ΔΙΟΔΟΣ ZENER ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ ΤΑΣΗΣ

Άσκηση 6 ΔΙΟΔΟΣ ZENER ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ ΤΑΣΗΣ Άσκηση 6 ΔΙΟΔΟΣ ZENER ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ ΤΑΣΗΣ Αυτό έργο χορηγείται με άδεια Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.0. Ονοματεπώνυμο: Μητρόπουλος Σπύρος Α.Ε.Μ.: 3215 Εξάμηνο: Β'

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2001 ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΛΕΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΛΕΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΛΕΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΛΟΓΙΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΤΩΝ Αντιστάτες συνδεδεμένοι σε σειρά Όταν ν αντιστάτες ενός κυκλώματος διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα τότε λέμε ότι οι αντιστάτες αυτοί είναι συνδεδεμένοι σε σειρά.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ακρίβεια μέτρησης. Τιμές ενέργειας και βαθμός απόδοσης για Φωτοβολταϊκοί μετατροπείς Sunny Boy και Sunny Mini Central

Ακρίβεια μέτρησης. Τιμές ενέργειας και βαθμός απόδοσης για Φωτοβολταϊκοί μετατροπείς Sunny Boy και Sunny Mini Central Ακρίβεια μέτρησης Τιμές ενέργειας και βαθμός απόδοσης για Φωτοβολταϊκοί μετατροπείς Sunny Boy και Sunny Mini Central ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ο κάθε ιδιοκτήτης μιας φωτοβολταϊκής εγκατάστασης θέλει να τις καλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 6 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ 6 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΛΟΤ HD 3S4 ΕΛΟΤ ΜΕΡΟΣ 6 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 61 Αρχικός έλεγχος 610 Γενικά 610.1 Κάθε ηλεκτρική εγκατάσταση πρέπει να ελέγχεται μετά την αποπεράτωση της και πριν να τεθεί σε λειτουργία από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορίες και Βασικές Ιδιότητες Θερμοστοιχείων.

Κατηγορίες και Βασικές Ιδιότητες Θερμοστοιχείων. Κεφάλαιο 3 Κατηγορίες και Βασικές Ιδιότητες Θερμοστοιχείων. Υπάρχουν διάφοροι τύποι μετατροπέων για τη μέτρηση θερμοκρασίας. Οι βασικότεροι από αυτούς είναι τα θερμόμετρα διαστολής, τα θερμοζεύγη, οι μετατροπείς

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ

Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ Αυτό έργο χορηγείται με άδεια Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.0. Ονοματεπώνυμο: Μητρόπουλος Σπύρος Α.Ε.Μ.: 3215 Εξάμηνο: Β' Σκοπός της εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE

Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α/Α ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ : ΑΣΚΗΣΗ 3 η Τίτλος Άσκησης : ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE Σκοπός Η κατανόηση της λειτουργίας και

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις για τη διαχείριση ραδιοδιαύλων

ΙΚΤΥΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις για τη διαχείριση ραδιοδιαύλων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΚΤΥΑ ΚΙΝΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΩΠΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ασκήσεις για τη διαχείριση

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήµιο Κύπρου Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωµάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο Εισαγωγή στις Μετρήσεις Σηµάτων και Επίδραση Οργάνου στις Μετρήσεις Λευκωσία, 04

Διαβάστε περισσότερα

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.

Q=Ne. Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου. Q ολ(πριν) = Q ολ(μετά) Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno. Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Φυσικής Γ Γυμνασίου Κβάντωση ηλεκτρικού φορτίου ( q ) Q=Ne Ολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις

Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις Πολύμετρο Βασικές Μετρήσεις 1. Σκοπός Σκοπός της εισαγωγικής άσκησης είναι η εξοικείωση του σπουδαστή με τη χρήση του πολύμετρου για τη μέτρηση βασικών μεγεθών ηλεκτρικού κυκλώματος, όπως μέτρηση της έντασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης

Παράρτημα. Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Παράρτημα Πραγματοποίηση μέτρησης τάσης, ρεύματος, ωμικής αντίστασης με χρήση του εργαστηριακού εξοπλισμού Άσκηση εξοικείωσης Σκοπός του παραρτήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τη χρήση και τη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ )

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘ. ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ( ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΠΤΩΣΗΣ ) Α. ΣΤΟΧΟΙ Η ικανότητα συναρμολόγησης μιας απλής πειραματικής διάταξης. Η σύγκριση των πειραματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ με χρήση Τ.Π.Ε. ΤΙΤΛΟΣ: «Απλά ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος» 5 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ με χρήση Τ.Π.Ε. ΤΙΤΛΟΣ: «Απλά ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος» 5 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Διδασκαλία, Σύνδεσης αντιστατών παράλληλα, με Εργαστήριο Κατασκευής Κυκλωμάτων Συνεχούς Ρεύματος, Physics Education Technology (PhET), University of 1 ΠΛΑΙΣΙΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ με χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Διαχείριση Αποθεμάτων Συστήματα Συνεχούς και Περιοδικής Αναθεώρησης Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Συστήματα ελέγχου αποθεμάτων Σύστημα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α.

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α. Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Κ Ρ Η Τ Η Σ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Τ Μ Η Μ Α Δ Η Μ Ο Τ Ι Κ Η Σ Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Σ Η Σ Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ (Β06Σ03) ΤΙΤΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

- Η ισοδύναμη πηγή τάσης Thevenin (V ή VT) είναι ίση με τη τάση ανοικτού κυκλώματος VAB.

- Η ισοδύναμη πηγή τάσης Thevenin (V ή VT) είναι ίση με τη τάση ανοικτού κυκλώματος VAB. ΘΕΩΡΗΜΑ THEVENIN Κάθε γραμμικό ενεργό κύκλωμα με εξωτερικούς ακροδέκτες Α, Β μπορεί να αντικατασταθεί από μια πηγή τάση V (ή VT) σε σειρά με μια σύνθετη αντίσταση Z (ή ZT), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Αθήνα 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ... 2. ΤΥΠΟΙ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ... 3. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 34 Οικονομική Ανάλυση & Πολιτική Γραπτή Εργασία # 4 (Δημόσια Οικονομική) Ακαδ. Έτος: 2006-7 Οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ E. Λαμπή, Χ. Αλεξόπουλος, Η. Κακουλίδης ΓΕΝΙΚΟ ΧΗΜΕΊΟ ΤΟΥ ΚΡΆΤΟΥΣ Ε X.Y. ΑΘΗΝΩΝ,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις

Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Εισαγωγή στις Ηλεκτρικές Μετρήσεις Σφάλματα Μετρήσεων Συμβατικά όργανα μετρήσεων Χαρακτηριστικά μεγέθη οργάνων Παλμογράφος Λέκτορας Σοφία Τσεκερίδου 1 Σφάλματα μετρήσεων Επιτυχημένη μέτρηση Σωστή εκλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα