Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης"

Transcript

1 Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης X 0.674σ 1 στις X 1.8σ 1 στις X 1.645σ 1 στις X 1.960σ 1 στις X.576σ 1 στις X 3.91σ 1 στις 1000 Με σκοπό τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης, για το μέσο μιας ομάδας παρατηρήσεων από τα αντίστοιχα διαστήματα, για μια απλή παρατήρηση, το δεύτερο διαιρείται με. Διάστημα εμπιστοσύνης μέσου Διάστημα εμπιστοσύνης απλής παρατήρησης (4.77) Έτσι, η προσδοκία ότι ο μέσος μιας ομάδας παρατηρήσεων δε θα διαφέρει περισσότερο από ένα συγκεκριμένο ποσό από το θεωρητικό μέσο ενός άπειρου συνόλου παρατηρήσεων, μπορεί επίσης να εκφραστεί με όρους ενός διαστήματος εμπιστοσύνης και ενός επιπέδου εμπιστοσύνης.

2 4.46 Σφάλματα Μετρήσεων Πίνακας 4.5 Διαστήματα εμπιστοσύνης (όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι μικρός) Αριθμός βαθμών ελευθερί ας 1 Αριθμό ς παρατ ηρήσε ων Επίπεδο εμπιστοσύνης X 1.00s X 6.31s X 1.71s X 63.66s 3 X 0.8s X.9s X 4.3s X 9.9s 3 4 X 0.77s X.35s X 3.18s X 5.84s 4 5 X 0.74s X.13s X.78s X 4.60s 5 6 X 0.73s X.0s X.57s X 4.03s 6 7 X 0.7s X 1.94s X.45s X 3.71s 7 8 X 0.71s X 1.90s X.37s X 3.50s Διάστημα εμπιστοσύνης X 0.71s X 1.86s X 0.70s X 1.83s X 0.70s X 1.81s X 0.69s X 1.75s X.31s X 3.36s X.6s X 3.5s X.3s X 3.17s X.13s X.95s

3 Σφάλματα Μετρήσεων 4.47 Παράδειγμα 4.15 Οι παρακάτω 10 παρατηρήσεις καταγράφθηκαν κατά τη μέτρηση τάσης: 41.7, 4.0, 41.8, 4.0, 4.1, 41.9, 4.0, 41.9, 4.5 και 41.8V. Να βρεθούν (α) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη παρατήρηση για επίπεδο εμπιστοσύνης0.5, 0.9, 0.95 και 0.99 και (β) τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το σύνολο των παρατηρήσεων για τους προαναφερθέντες βαθμούς εμπιστοσύνης. Συμβουλευτείτε το πίνακα για τα διαστήματα εμπιστοσύνης. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Απάντηση. Αυτό το παράδειγμα είναι μια προέκταση του παραδείγματος (α) Τυπική απόκλιση d s 1 0. V Επομένως, τα επίπεδα εμπιστοσύνης και τα αντίστοιχα διαστήματα (γύρω από το μέσο) για μια μεμονωμένη παρατήρηση δίνονται στον παρακάτω πίνακα. (χρησιμοποιήθηκε ο Πίνακας 4.5) Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης s 1.83 s.6 s 0.15V 0.40V 0.50V 3.5 s 0.7V (β) Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου, υπολογίζονται διαιρώντας τα διαστήματα εμπιστοσύνης για μεμονωμένες καταγραφές με τον όρο. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για το μέσο του συνόλου που αντιστοιχούν σε διάφορα επίπεδα εμπιστοσύνης είναι: Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης Σχολιασμός. Επομένως η μέση τιμή που υπολογίστηκε από τις 10

4 4.48 Σφάλματα Μετρήσεων παρατηρήσεις θα αναμένεται με πιθανότητα 50% να είναι εντός του 0.05V από τη μέση τιμή ενός άπειρου αριθμού παρατηρήσεων. Σε ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99, οι παρατηρηθείσες και οι θεωρητικές τιμές διαφέρουν λιγότερο από 0.4V Απόρριψη Δεδομένων Στα περισσότερα από τα πειράματα, ο παρατηρητής βρίσκει ότι κάποια από τα δεδομένα είναι αισθητώς διαφορετικά από την πλειοψηφία των δεδομένων. Αν αυτά τα δεδομένα λήφθηκαν κάτω από μη φυσιολογικές συνθήκες και ο παρατηρητής είναι σίγουρος για την λανθασμένη φύση τους, αυτά τα δεδομένα μπορούν να παραληφθούν άμεσα. Όμως ο παρατηρητής δε μπορεί να απορρίψει δεδομένα απλά επειδή είναι διαφορετικά από τα υπόλοιπα, πρέπει να βασιστεί σε συγκεκριμένες μαθηματικές μεθόδους για να απορρίψει τα πειραματικά δεδομένα. Υπάρχουν πολλές διαθέσιμες μέθοδοι για να αξιολογηθεί αν τα δεδομένα πρέπει να συμπεριληφθούν ή να απορριφθούν. Οι τρεις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι: Το κριτήριο του Chauveet, Η χρήση διαστημάτων εμπιστοσύνης και Τα όρια στο 3. Αυτές οι μέθοδοι αναλύονται παρακάτω Το Κριτήριο του Chauveet Έστω, ότι παρατηρήσεις έχουν γίνει για τη μέτρηση ενός μεγέθους. Θεωρείται ότι οι παρατηρήσεις είναι αρκετές ώστε τα δεδομένα να ακολουθούν μια κανονική κατανομή. Αυτή η κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογισθεί η πιθανότητα για μια δεδομένη καταγραφή να αποκλίνει κατά ένα συγκεκριμένο ποσό από το μέσο. Το κριτήριο του Chauveet ορίζει ότι μια καταγραφή μπορεί να απορριφθεί αν η πιθανότητα να ληφθεί η συγκεκριμένη απόκλιση από το μέσο είναι μικρότερη από 1. Ο Πίνακας 4.6 δίνει τιμές για το λόγο της απόκλισης προς τη τυπική απόκλιση για διάφορες τιμές του ανάλογα με το κριτήριο.

5 Σφάλματα Μετρήσεων 4.49 Πίνακας 4.6 Το κριτήριο του Chauveet για την απόρριψη δεδομένων. Λόγος μέγιστης αποδεκτής απόκλισης Αριθμός καταγραφών προς τυπική απόκλιση, d max Όταν εφαρμόζεται το κριτήριο του Chauveet, ώστε να αποκλειστούν κάποια ύποπτα δεδομένα, η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται, πρώτα, χρησιμοποιώντας όλα τα δεδομένα. Οι αποκλίσεις των μεμονωμένων καταγραφών, έπειτα, συγκρίνονται με την τυπική απόκλιση. Αν ο λόγος της απόκλισης μιας καταγραφής από την τυπική απόκλιση υπερβαίνει τα όρια που δίνονται στον Πίνακα 4.6, αυτή η καταγραφή απορρίπτεται. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση υπολογίζονται ξανά, αφού αφαιρεθεί η απορριφθείσα καταγραφή από τα δεδομένα.

6 4.50 Σφάλματα Μετρήσεων Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Ένα κριτήριο που χρησιμοποιείται για τον αποκλεισμό δεδομένων, είναι όταν η απόκλιση μιας καταγραφής από το μέσο υπερβαίνει τέσσερις φορές το πιθανό σφάλμα μιας μεμονωμένης καταγραφής. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, την απόρριψη των δεδομένων που βρίσκονται εκτός του διαστήματος εμπιστοσύνης για μια μεμονωμένη καταγραφή με επίπεδο εμπιστοσύνης Ένα καλύτερο κριτήριο το οποίο δεν περιλαμβάνει τον υπολογισμό του πιθανού σφάλματος, όταν το σύνολο των δεδομένων είναι μικρό και η τυπική απόκλιση δεν είναι επακριβώς γνωστή, είναι να απορριφθεί μια καταγραφή η οποία βρίσκεται εκτός του διαστήματος που αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.99 για μια μεμονωμένη παρατήρηση (βλ. Πίνακα 4.4 και 4.5). Σε αυτή τη βάση, λιγότερες από 1 καταγραφές στις 100 θα είναι εκτός του εύρους αυτού. Μια ακόμα καλύτερη μέθοδος είναι να χρησιμοποιηθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης που να αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης 0.95, έτσι ώστε να ελεγχθεί πιο διεξοδικά η διαδικασία μέτρησης που έχει υιοθετηθεί Απόρριψη Δεδομένων βάσει των Ορίων ±3σ Η πιθανότητα μια καταγραφή να είναι εντός των ορίων 3 από τη μέση τιμή είναι , η οποία είναι αρκετά υψηλή και έτσι κάθε καταγραφή που είναι εκτός αυτών των ορίων θα απορριφθεί. Παράδειγμα 4.16 Ένα εργαστηριακό πείραμα εκτελείται για να μετρηθεί η ρευστότητα ενός δείγματος λαδιού. Μια σειρά από πειράματα δίνει τις τιμές , , , 5.610, , , , , και m s. Μπορεί να απορριφθεί κάποια τιμή με τη χρήση του κριτηρίου Chauveet; Ο λόγος της μέγιστης απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το Απάντηση. Τα αποτελέσματα μπορούν να παρουσιαστούν στον παρακάτω πίνακα

7 Σφάλματα Μετρήσεων 4.51 Α/Α x i d i = xi - X d i d s Μέση τιμή ρευστότητας: x i x 3 i d i 3 X m s Τυπική απόκλιση: d 9 i s m s 1 (101) Έχει ορισθεί ότι για 10 καταγραφές ο λόγος της απόκλισης από την τυπική απόκλιση δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1.96 και έτσι η καταγραφή 5, 3 δηλαδή η τιμή πρέπει να απορριφθεί Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Υποθετικά έχουμε ένα σύνολο καταγραφών x1, x,, x. Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεών τους από μια μέση τιμή X m είναι: S ( x X ) i1 Υποθέτοντας ότι πρέπει να ελαχιστοποιηθεί το S ως προς τη μέση τιμή X m έχουμε: S xi Xm 0 Xm i1 i m

8 4.5 Σφάλματα Μετρήσεων ή X m 1 xi i1 Αλλά 1 xi i1 X, οπότε Xm X Επομένως, η μέση τιμή η οποία ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων είναι ο αριθμητικός μέσος. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Άλλη μια εφαρμογή της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων δίνεται παρακάτω. Υποθέστε ότι δύο μεταβλητές x και y μετρώνται σε ένα εύρος τιμών. Θέλουμε να εξάγουμε μια απλή αναλυτική έκφραση της y ως συνάρτηση της x. Ο απλούστερος τύπος συνάρτησης είναι ο γραμμικός και, επομένως, γίνεται προσπάθεια να βρεθεί η καλύτερη γραμμική συνάρτηση που να συνδέει τα x και y. Έστω, ότι η γραμμική συνάρτηση είναι y xb. Τώρα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα, S y ( x b ) i1 i Αυτό γίνεται παίρνοντας παράγωγα του S ως προς a και b και θέτοντάς τα ίσα με το μηδέν. Έτσι προκύπτει ότι b a x y i b x a x x y i i i i i i Λύνοντας τις παραπάνω εξισώσεις, έχουμε xiyi xi( yi) x x b i i xi xi y ( x ) x y ( x ) i i i i i (4.78) (4.79) Οι τυπικές αποκλίσεις των a και b, μπορούν να υπολογιστούν ως sa s y (4.80) x x i i

9 Σφάλματα Μετρήσεων 4.53 s b xi i x x 1 s y ( xi b yi) Η τυπική απόκλιση του x είναι s x 1 yi b s y xi a a i s y (4.81) (4.8) (4.83) Παράδειγμα 4.17 Τα ακόλουθα δεδομένα αναμένεται να ακλουθούν μια γραμμική σχέση της μορφής y xb. Δώστε την καλύτερη γραμμική σχέση σε συμφωνία με την ανάλυση των ελαχίστων τετραγώνων. Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση των δεδομένων από το αποτέλεσμα. x y Απάντηση. Η λύση είναι της μορφής yx b. Οι διάφορες ποσότητες υπολογίζονται όπως παρακάτω: x i y i i i x y x x i y i xy i i i i Ο αριθμός των καταγραφών είναι 6. Από τις εξισώσεις (4.78) και (4.79) προκύπτει ότι

10 4.54 Σφάλματα Μετρήσεων Επομένως, η επιθυμητή σχέση είναι b y 0.67x 0.96 Το Σχήμα 4.7 δείχνει τη γραφική παράσταση της σχέσης και τα πραγματικά πειραματικά δεδομένα. Ας βρούμε την τυπική απόκλιση του y : x i y i αx i +b i i αx +b-y αx +b-y xi b y i i i Η τυπική απόκλιση του y υπολογίζεται ως εξής sy ( xi b yi) Από την εξίσωση (4.83) η τυπική απόκλιση του x είναι s x s y a 0.67 Από τις εξισώσεις (4.80) και (4.81), οι τυπικές αποκλίσεις των a και b είναι s s a b 6 s x x y i i xi sy i i x x

11 Σφάλματα Μετρήσεων 4.55 Y 0.67x 0.96 Y Σχήμα 4.7 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων για γραμμική παρεμβολή. x 4.17 Διακύμανση και Τυπική Απόκλιση Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με συνιστώσες διαφορετικές μεταβλητές, κάθε μια από τις οποίες είναι υποκείμενη σε τυχαία φαινόμενα. Έτσι, ισχύει: X f( x, x, x,, x ) (4.84) 1 3 Τώρα, αν οι x 1, x, x 3,, x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, τότε για μικρή απόκλιση από την μέση τιμή τους στα x 1, x, x 3,, x, που ορίζεται ως x 1, x, x 3,, x, η τελική απόκλιση του X από τη μέση τιμή του, για κάθε ξεχωριστό όρο δίνεται ως

12 4.56 Σφάλματα Μετρήσεων X X X x1 x x x 1 Υψώνοντας στο τετράγωνο τη σχέση 4.59, ισχύει X x x x x (4.85) X X X X 1 1 (4.86) x1 x x1 x Τώρα, αν οι αποκλίσεις των x 1, x κτλ, είναι ανεξάρτητες, όπως λέει η υπόθεση, οι θετικές τιμές μιας προσαύξησης είναι εξίσου πιθανό να συνδέονται με μια θετική ή αρνητική τιμή μιας άλλης προσαύξησης. Επομένως, το άθροισμα των γινομένων των χιαστί (cross) όρων τείνει να είναι μηδέν για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Εξ ορισμού, η διακύμανση V είναι το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Επομένως, το μέσο του X γίνεται η διακύμανση του X για επαναλαμβανόμενες μετρήσεις. Η διακύμανση του X ορίζεται ως V X και έτσι γράφεται ως X X X V X V 1 V V x1 x x X x x x (4.87) Καθώς, σε επαναλαμβανόμενες μετρήσεις το x 1 τείνει να γίνει η μέση τιμή της διασποράς του x 1, δηλαδή V x1. Η εξίσωση (4.87) μπορεί να γραφεί ως: V V V V (4.88) X x1 x x Αυτό φανερώνει ότι οι διακυμάνσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1. Η διακύμανση του x 1 με βάρος (weighted variace) μπορεί να γραφεί ως V X V x1 x1 x1 (4.89) Η τυπική απόκλιση του X μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση (4.87). Η τυπική απόκλιση του X είναι x και είναι ίση με X X X V V 1 V V x1 x x x x x x x (4.90)

13 Σφάλματα Μετρήσεων 4.57 αλλά V x x. Συνεπώς X X X V 1 V V x1 x x x x x x X X X 1 x1 x x x x x (4.91) Είναι φανερό από την εξίσωση (4.91) ότι και οι δύο τυπικές αποκλίσεις των συνιστωσών είναι προσθετικές με παράγοντες βάρους X x 1, κτλ. οι οποίοι εκφράζουν τη σχετική επιρροή των διάφορων συνιστωσών στην εξίσωση του συνδυασμού τους. Επομένως, μπορεί να γραφεί 1 x x x x (4.9) Όπου x 1 είναι η τυπική απόκλιση με βάρος για το x 1, X x1 x1 x1 (4.93) Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι αληθείς μόνο για συνιστώσες μεγεθών x 1, x, κτλ. που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ότι οι προσαυξήσεις είναι μικρές, έτσι ώστε οι όροι μεγαλύτερης τάξης από την πρώτη να είναι αμελητέες. Στην πραγματικότητα, σε εφαρμογές στην επιστήμη του μηχανικού, οι προσαυξήσεις είναι μικρές, καθώς είναι εφικτό, γενικά, να διατηρούνται τα τυχαία φαινόμενα υπό έλεγχο Πιθανό Σφάλμα Συνδυασμού Συνιστωσών Έστω X είναι μια συνάρτηση με διαφορετικές μεταβλητές για συνιστώσες x 1, x, x 3,, x κάθε μια από τις οποίες είναι μια ανεξάρτητη μετρούμενη ποσότητα. Η τυπική απόκλιση σύμφωνα με τον ορισμό είναι X X X 1 x1 x x x x x x (4.94)

14 4.58 Σφάλματα Μετρήσεων Αλλά από την εξίσωση (4.6) το πιθανό σφάλμα είναι το πιθανό σφάλμα είναι ανάλογο της τυπικής απόκλισης. Έτσι μπορεί να οριστεί το πιθανό σφάλμα του X ως r , ή x x x x X X X r r 1 r r x1 x x (4.95) όπου r x1, r x, κτλ. είναι τα πιθανά σφάλματα για τα x 1, x, κτλ. Η συμβολή του πιθανού σφάλματος του x 1 στο συνολικό σφάλμα στο X είναι 1 x1 X x r και αυτή η συμβολή μπορεί να γραφεί με άλλη μορφή ως Επομένως, η εξίσωση (4.95) γίνεται x x1 x x r x1. r r r r (4.96) Όπου το πιθανό σφάλμα με βάρος του x είναι r x X r x x (4.97) Παράδειγμα 4.18 Έχουμε ένα κύκλωμα με δυο παράλληλους κλάδους. Τον πρώτο κλάδο διαρρέει ρεύμα I1 100 A και το δεύτερο I 00 5A. Να προσδιοριστεί η τιμή του συνολικού ρεύματος, α) θεωρώντας τα σφάλματα στα I 1 και I ως οριακά σφάλματα και β) θεωρώντας τα σφάλματα ως τυπικές αποκλίσεις. Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. α) Ισχύει I I1I Σχετικό σφάλμα: I I1 I1 I I I I I I1 I I Αλλά, I1 I και I I I Επομένως το σχετικό σφάλμα ισούται με I % I Επομένως, μπορεί να γραφεί ότι

15 Σφάλματα Μετρήσεων 4.59 I β) Όταν τα σφάλματα θεωρούνται η τυπική απόκλιση κάθε μεγέθους, έχουμε: Τυπική απόκλιση του I, Διότι 1 1 I Η τυπική απόκλιση του I εκφράζεται σαν κλάσμα ως %. Είναι φανερό από τους παραπάνω υπολογισμούς ότι τα οριακά σφάλματα του % στο I 1 και του.5% στο I συνδυάζονται κατά ένα τρόπο για να δώσουν ένα οριακό σφάλμα του.33% στο άθροισμά τους ( I ). Ενώ όταν τα ίδια σφάλματα θεωρούνται ως η τυπική απόκλιση, συνδυάζονται για να δώσουν ένα σφάλμα της τάξης του 1.8%. Η χρήση της τυπικής απόκλιση αντί του οριακού σφάλματος δίνει ένα πιο αισιόδοξο αποτέλεσμα. Αυτό είναι λογικό, αφού η πιθανότητα να είναι και το I 1 και το I μακριά από την αντίστοιχη μέση τιμή είναι μικρή Ανάλυση Αβεβαιότητας και Χειρισμός Μεμονωμένων Δειγμάτων. Πολλές φορές τα διαθέσιμα δεδομένα έχουν ληφθεί με απλή δειγματοληψία και, έτσι, οι στατιστικές μέθοδοι που συζητήθηκαν παραπάνω δε μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα. Στην περίπτωση των δεδομένων με απλή δειγματοληψία δεν είναι δυνατό να παρατηρηθεί η διασπορά μέσω της γραφικής παράστασης της καμπύλης της κατανομής συχνότητας. Έτσι είναι απαραίτητη μια άλλη προσέγγιση. Οι Klie και McClitock εισηγήθηκαν μια μέθοδο βασισμένη σε πιθανότητες και στατιστική, η οποία αναλύει τα δεδομένα χρησιμοποιώντας μια κατανομή αβεβαιότητας (ucertaity distributio), παρά μια κατανομή συχνότητας. Όρισαν την κατανομή αβεβαιότητας, ως τη κατανομή

16 4.60 Σφάλματα Μετρήσεων σφάλματος που πιστεύει ο παρατηρητής ότι θα υπήρχε σε περίπτωση που ήταν επιτρεπτή η πολλαπλή δειγματοληψία. Οι Klie και McClitock πρότειναν ότι ένα μεμονωμένο δείγμα μπορεί να εκφραστεί σε συνάρτηση με την μέση τιμή και ένα διάστημα αβεβαιότητας που βασίζεται σε ορισμένες πιθανότητες. Το αποτέλεσμα μπορεί να γραφεί ως: X X w ( b προς1) όπου X είναι η τιμή, όταν μόνο μια καταγραφή είναι διαθέσιμη, του αριθμητικού μέσου για αρκετές καταγραφές, w είναι το διάστημα αβεβαιότητας, b είναι η απόδοση ή η πιθανότητα της πραγματικής τιμής να είναι μέσα στο δηλωθέν διάστημα, βάσει της γνώμης του παρατηρητή. Η έννοια της αβεβαιότητας (ucertaity) μπορεί να εξηγηθεί στο παρακάτω παράδειγμα. Τα αποτελέσματα μιας μέτρησης της θερμοκρασίας μπορεί να εκφραστεί ως: Αυτό, σημαίνει ότι υπάρχει μια αβεβαιότητα του 1 στο αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, ο παρατηρητής θέτει με συγκεκριμένους όρους, την ακρίβεια των αποτελεσμάτων που λήφθηκαν από τον ίδιο. Αυτό αναδεικνύει μια άλλη διάσταση στις μετρήσεις, και αυτή είναι κατά πόσο ο παρατηρητής είναι σίγουρος ότι οι μετρήσεις του βρίσκονται εντός καθορισμένων ορίων. Επομένως, προκύπτει η ανάγκη για περαιτέρω προδιαγραφές. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι Klie και McClitock πρότειναν να καθορίζουν οι παρατηρητές συγκεκριμένες πιθανότητες για την αβεβαιότητα. Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να δοθεί ως (0 προς 1) Τα αποτελέσματα που ορίζονται με την παραπάνω μορφή είναι πιο συγκεκριμένα. Αυτό συμβαίνει διότι ο παρατηρητής δίνει απόδοση 0 προς 1 ότι η μέτρηση της θερμοκρασίας που έκανε είναι εντός του 1 από τους 100. Αυτή η προσέγγιση είναι μεγάλης αξίας όταν προετοιμάζεται ένα πείραμα, ειδικά όταν το πείραμα περιλαμβάνει έξοδα διαφόρων ειδών,

17 Σφάλματα Μετρήσεων 4.61 όπως ανθρωποδύναμης, χρόνου και εξοπλισμού. Αυτή η προσέγγιση θέτει τα ουσιώδη για να καθιερωθεί η βάση για προκαθορισμένες εκτιμήσεις της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων μέσω της μελέτης της διάδοσης των αβεβαιοτήτων. Με αυτό τον τρόπο εκτίμησης των πειραματικών αποτελεσμάτων, τα αποτελέσματα μπορούν να εξαχθούν προτού διεξαχθεί το πείραμα Διάδοση Αβεβαιοτήτων Η ανάλυση της αβεβαιότητας στις μετρήσεις, όταν περιλαμβάνονται πολλές μετρούμενες ποσότητες, γίνεται με την ίδια βάση που γίνεται η ανάλυση σφάλματος όταν τα αποτελέσματα είναι εκφρασμένα ως τυπικές αποκλίσεις ή πιθανά σφάλματα. Υποθέτοντας ότι X είναι μια συνάρτηση διάφορων μεταβλητών, όπου x 1, x, x 3,, πιθανοτήτων. Έστω X f( x, x, x,, x ) 1 3 x είναι ανεξάρτητες μεταβλητές με τον ίδιο βαθμό w x είναι η προκύπτουσα αβεβαιότητα και w x1, w x, w x3,, w x, είναι οι αβεβαιότητες των ανεξάρτητων μεταβλητών x 1, x, x 3,, x, αντίστοιχα. Η αβεβαιότητα στο αποτέλεσμα δίνεται ως x x x x X X X w w 1 w w x1 x x (4.98) Παράδειγμα 4.19 Μια συγκεκριμένη αντίσταση παρουσιάζει πτώση τάσης 110.V και τη διαρρέει ρεύμα 5.3A. Οι αβεβαιότητες στις μετρήσεις είναι 0.V και 0.06A αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση και η αβεβαιότητα της ισχύος. Απάντηση Η ισχύς είναι ίση με Pτάσηρεύμα VI W Επειδή P VI έχουμε P I 5.3 και P V 110. V I

18 4.6 Σφάλματα Μετρήσεων Όμως, w 0. και w Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση V της ισχύος είναι P P wv wi V I W % Παράδειγμα 4.0 Δυο αντιστάτες R 1 και R είναι συνδεδεμένοι πρώτα σε σειρά και έπειτα παράλληλα. Οι τιμές των αντιστάσεων είναι R Ω, R Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στην προκύπτουσα αντίσταση και για τις δυο συνδεσμολογίες. Απάντηση. Όταν οι αντιστάτες συνδέονται σε σειρά τότε η συνολική αντίσταση είναι R R R 1 R 1 και R 1 R 1 R Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr R1 R Η συνολική αντίσταση είναι R Και μπορεί να εκφραστεί ως R Όταν οι δυο αντιστάτες είναι συνδεδεμένοι παράλληλα, η προκύπτουσα αντίσταση είναι: RR R R R Τώρα, 1

19 Σφάλματα Μετρήσεων 4.63 R R R R R 1 1 R 1 RR1R R1RR1R R1 R R1R R R R R R R1 R1R R R R R R Επομένως, η αβεβαιότητα της συνολικής αντίστασης είναι R R wr wr1 wr R1 R Η συνολική αντίσταση θα γραφεί ως: R Παράδειγμα 4.1 Ένας αντιστάτης έχει ονομαστική τιμή 101%. Μια τάση εφαρμόζεται στα άκρα του και η ισχύς που καταναλώνεται μπορεί να υπολογιστεί με δυο τρόπους: (i) P E R και (ii) P EI. Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ισχύος, σε κάθε περίπτωση, όταν οι μετρούμενες τιμές για τα E και I είναι: 100V 1% και I 101% Να σχολιαστούν τα αποτελέσματα. Απάντηση. Το κύκλωμα φαίνεται στο Σχήμα 4.8. Σχήμα 4.8 Κύκλωμα παραδείγματος 4.30.

20 4.64 Σφάλματα Μετρήσεων (i) P E P E E R R R E P R Επομένως, η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος είναι: P E R E R P P E E w w w w w E R R R Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp we wr % P E R (ii) P P EI I και P E E I Η ποσοστιαία αβεβαιότητα στη μέτρηση της ισχύος με τη χρήση της πρώτης σχέσης είναι: wp 1 P P 100 we wi 100 P P E I 1 we wi IwE EwI P E I % Η δεύτερη μέθοδος του καθορισμού της ισχύος δίνει μια πολύ μικρότερη αβεβαιότητα από την πρώτη, παρά το γεγονός ότι οι βασικές αβεβαιότητες σε κάθε ξεχωριστή ποσότητα είναι οι ίδιες. Συμπεραίνεται από τα παραπάνω, ότι μια ενσυνείδητη επιλογή της μεθόδου μέτρησης είναι σημαντική στον περιορισμό της αβεβαιότητας στον υπολογισμό των τελικών αποτελεσμάτων.

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ 1 ο Γενικό Λύκειο Ηρακλείου Αττικής Σχ έτος 2011-2012 Εργαστήριο Φυσικής Υπεύθυνος : χ τζόκας 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΚΑΜΠΥΛΗ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΠΥΡΑΚΤΩΣΗΣ Η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Η βασική διαφορά μεταξύ των πειραματικών σχεδίων είναι ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται ή κατατάσσονται οι πειραματικές μονάδες (πειραματικά τεμάχια) Σε όλα τα σχέδια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία.

Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 9144 Εργαστηριακή Άσκηση 8 Εξάρτηση της αντίστασης αγωγού από τη θερμοκρασία. Συνεργάτες: Ιντζέογλου

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΤΗΜΑ IΙΙ (III-1.1) όπου x i η τιµή της µέτρησης i και Ν ο αριθµός των µετρήσεων.

ΠΡΟΣΑΡΤΗΜΑ IΙΙ (III-1.1) όπου x i η τιµή της µέτρησης i και Ν ο αριθµός των µετρήσεων. ΠΡΟΣΑΡΤΗΜΑ IΙΙ IΙΙ-1. Αξιολόγηση Αναλυτικών εδοµένων ύο όροι που χρησιµοποιούνται ευρύτατα στη διερεύνηση της αξιοπιστίας των δεδοµένων είναι η επαναληψιµότητα (precson) και η ακρίβεια (accurac). Επαναληψιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΩΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΛΑΜΠΤΗΡΑ ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός αυτής της μελέτης είναι αφενός να επαληθεύσουμε το νόμο του Ohm πειραματικά και αφετέρου να μετρήσουμε την αντίσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ανάλυση ιασποράς με ένα Παράγοντα. One-Way Anova. 8.2 Προϋποθέσεις για την εφαρμογή της Ανάλυσης ιασποράς

Στατιστική. Ανάλυση ιασποράς με ένα Παράγοντα. One-Way Anova. 8.2 Προϋποθέσεις για την εφαρμογή της Ανάλυσης ιασποράς Στατιστική Ανάλυση ιασποράς με ένα Παράγοντα One-Way Anova Χατζόπουλος Σταύρος Κεφάλαιο 8ο. Ανάλυση ιασποράς 8.1 Εισαγωγή 8.2 Προϋποθέσεις για την εφαρμογή της Ανάλυσης ιασποράς 8.3 Ανάλυση ιασποράς με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧ0ΛΗ ΤΕΧΝ0Λ0ΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: ΟΡΓΑΝΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΡΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ

ΣΧ0ΛΗ ΤΕΧΝ0Λ0ΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: ΟΡΓΑΝΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΡΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΣΧ0ΛΗ ΤΕΧΝ0Λ0ΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ & ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: ΟΡΓΑΝΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΡΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος «ποιότητα», είναι μια απλή έννοια που εκφράζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργαςία πειραματικών δεδομζνων

Επεξεργαςία πειραματικών δεδομζνων Επεξεργαςία πειραματικών δεδομζνων Επεξεργασία μετρήσεων. Στα θέματα που ακολουθούν, η επεξεργασία των μετρήσεων στηρίζεται στη δημιουργία γραφημάτων α βαθμού, δηλαδή της μορφής ψ=α χ+β,και στην εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4. Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4. Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Συστήματα εξισώσεων - Ορίζουσες Η μέθοδος των ρευμάτων των κλάδων Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων Η μέθοδος των τάσεων κόμβων

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων

Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εργαστήριο 3 Νόμος του Ohm, Κυκλώματα σε Σειρά και Παράλληλα Λευκωσία, 2010 Εργαστήριο 3 Νόμος

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Έλεγχος Υποθέσεων (Hypothesis Testing) Έλεγχος Υποθέσεων (Hypothesis Testig) Ορισμοί Μορφές στατιστικού ελέγχου Πιθανότητες σφάλματος τύπου Ι και ΙΙ Ισχύς (Power) ενός ελέγχου Η P-τιμή (P-vlue) Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

159141,9 64 x n 1 n

159141,9 64 x n 1 n Πιθανότητες Στατιστική: Λύσεις θεμάτων. Φεβρουάριος 9. Σειρά Α Ζήτημα ο : Μία ομάδα φοιτητών μετρά 64 φορές μία απόσταση s που δεν γνωρίζουν. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων εμφανίζονται στον διπλανό πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΊΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΊΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΊΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6: ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διδάσκων : Δημήτρης Τσιπιανίτης Γεώργιος Μανδέλλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων 1 7 Θεωρήματα κυκλωμάτων (Circuits Theorems) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Η dc πηγή τάσης Η πηγή ρεύματος Μετασχηματισμοί πηγών Το Θεώρημα της Υπέρθεσης Το Θεώρημα Thevenin Το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΚΥΚΛΩΜΑ

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΤΟ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΚΥΚΛΩΜΑ Το ισοδύναμο κύκλωμα ενός επαγωγικού κινητήρα αποτελεί ένα πολύ σημαντικό εργαλείο για τον προσδιορισμό της απόκρισης του κινητήρα στις αλλαγές του φορτίου του Για να χρησιμοποιηθεί αυτό το ισοδύναμο θα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα

ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 4 Χάραξη Καμπύλης, Ελάχιστα Τετράγωνα Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή καμπυλών και να μπορέσει εν τέλει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ.

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ http://www.physicslab.tuc.gr https://www.eclass.tuc.gr/courses/sci123/ Επιμέλεια παρουσίασης: Ά.Καλλιατάκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ.

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ http://www.physicslab.tuc.gr https://www.eclass.tuc.gr/courses/sci123/ Επιμέλεια παρουσίασης: Ά.Καλλιατάκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σινάνογλου Ι. Βασιλεία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σινάνογλου Ι. Βασιλεία ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σινάνογλου Ι. Βασιλεία Βασικές έννοιες Αναλυτικό Πρόβλημα Επιλογή Αναλυτικής Μεθόδου Πρωτόκολλο Ανάλυσης, προετοιμασία Ευαισθησία Μεθόδου Εκλεκτικότητα Όριο ανίχνευσης (limit

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Στατιστική

Αναλυτική Στατιστική Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων

Διαβάστε περισσότερα

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΡΟΠΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΡΟΠΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Αν είναι γνωστή η συμπεριφορά των μαγνητικών πεδίων στη μηχανή, είναι δυνατός ο προσεγγιστικός προσδιορισμός της χαρακτηριστικής ροπής-ταχύτητας του επαγωγικού κινητήρα Όπως είναι γνωστό η επαγόμενη ροπή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα