Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες"

Transcript

1 Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ενότητα 2: Αναπαράσταση Γνώσης και Επίλυση Προβλημάτων Δημοσθένης Σταμάτης Μαθησιακοί Στόχοι της ενότητας 2 Πως ορίζεται ένα πρόβλημα στα πλαίσια της Τεχνητής Νοημοσύνης (ΤΝ). Πως αναπαρίσταται ένα πρόβλημα με τη μορφή του χώρου καταστάσεων Το ρόλο που παίζουν οι αλγόριθμοι αναζήτησης ως μία γενική τεχνική επίλυσης προβλημάτων Ποιοι είναι οι τρόποι αναπαράστασης γνώσης που σχετίζονται με ένα πρόβλημα και ποιος ο ρόλος της συλλογιστικής για την παραγωγή νέας γνώσης 2 1

2 Η ύλη της ενότητας 2 Περιγραφή Προβλημάτων Ανοιχτός και κλειστός κόσμος προβλήματος Χώρος καταστάσεων - Χώρος αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης Μέθοδοι αναπαράστασης γνώσης Συλλογιστική Παράρτημα: Γράφοι και Προβλήματα γράφων 3 Περιγραφή Προβλήματος Γιαναγίνειδυνατήηεπίλυσηενόςπροβλήματος στην Τεχνητή Νοημοσύνη (ΤΝ) απαιτείται ένας τυποποιημένος και σαφής ορισμός Θεωρούμε ότι ένα πρόβλημα μπορεί να οριστεί αν: Υπάρχει μια δεδομένη αρχική κατάσταση Υπάρχει μια επιθυμητή τελική κατάσταση Είναι γνωστές κάποιες ενέργειες που πρέπει να γίνουν για να προκύψει η επιθυμητή κατάσταση 4 2

3 Ενδεικτικά Προβλήματα Τριάρα (ti-t-to) 8 puzzl (N-puzzl) 5 Ενδεικτικά Προβλήματα (1) Ο κόσμος των κύβων 6 3

4 Ενδεικτικά Προβλήματα Η σκούπα Root που καθαρίζει τα δύο δωμάτια Α και Β 7 Ενδεικτικά Προβλήματα Ιεραπόστολοι και Κανίβαλοι Στην όχθη ενός ποταμού βρίσκονται 3 ιεραπόστολοι και 3 κανίβαλοι, οι οποίοι επιθυμούν να το διασχίσουν για να βρεθούν στην άλλη όχθη Στη διάθεσή του έχουν 1 βάρκα που χωράει το πολύ 2 άτομα Αν σε κάποια όχθη βρεθούν περισσότεροι κανίβαλοι τρώνε τους ιεραπόστολους! 8 4

5 Το Πρόβλημα του ταξιδεύοντος εμπόρου Οδικός Χάρτης Β. Ελλάδας 9 Φλώρινα Καστοριά Γρεβενά Κοζάνη Ιωάννινα 155 Έδεσσα 44 Βέροια Γράφημα Πόλεων Καρδίτσα Κιλκίς Κατερίνη Λάρισα Σέρρες Θεσσαλονίκη 62 Δράμα Πολύγυρος 89 Καβάλα Ξάνθη 52 Αποστάσεις από το Το Πρόβλημα του ταξιδεύοντος εμπόρου 50 Κομοτηνή 55 Αλεξανδρούπολη Ένας έμπορος πρέπει να επισκεφτεί όλες τις πόλεις της Β. Ελλάδας κάνοντας τα λιγότερα δυνατά χιλιόμετρα 10 5

6 Κόσμος ενός προβλήματος Ο Κόσμος ενός προβλήματος (prolm worl) ορίζεται από τα αντικείμενα (ή τις οντότητες) που τον αποτελούν, τις ιδιότητες των αντικειμένων και τις σχέσεις που τα συνδέουν. Ο Κόσμος ενός προβλήματος χαρακτηρίζεται ως κλειστός (los worl) όταν κανένα νέο αντικείμενο, ιδιότητα ή σχέση δεν μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί. [είναι στατικός] Σε αντίθετη περίπτωση χαρακτηρίζεται ως ανοιχτός (opn worl). [Η περιγραφή του προβλήματος μπορεί να αλλάζει δυναμικά] 11 Ορισμός Προβλήματος με Χώρο Καταστάσεων (1) Κατάσταση ενός κόσμου προβλήματος είναι ένα στιγμιότυπο (instn) που παράγεται σε μία χρονική στιγμή κατά την εξέλιξη του κόσμου. Οι καταστάσεις ενός κόσμου συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια ότι από μία κατάσταση, κατά την επόμενη χρονική στιγμή, μπορούν να προκύψουν μία ή περισσότερες καταστάσεις Θεωρούμε ότι μία κατάσταση προκύπτει από μία άλλη με την εφαρμογή ενός τελεστή μετάβασης (trnsition oprtor) 12 6

7 Ορισμός Προβλήματος με Χώρο Καταστάσεων (2) Ένα πρόβλημα P ορίζεται ως μία τετράδα P={S,I,T,G},όπου: S είναι ο χώρος καταστάσεων (το σύνολο όλων των καταστάσεων) Ι είναι μία αρχική κατάσταση (ανήκει στο S) Τ είναι το σύνολο των τελεστών μετάβασης G είναι το σύνολο των τελικών καταστάσεων (υποσύνολο του S) Λύση ενός προβλήματος P={S,I,T,G}είναι μία ακολουθία από τελεστές μετάβασης <t1, t2,t3,...,tn> ώστε να ισχύει: g=tn(... t2(t1(i))...) όπου g μία τελική κατάσταση του συνόλου G 13 Χώρος Αναζήτησης ενός Προβλήματος Δοθέντος ενός προβλήματος P={S,I,T,G}, Χώρος Αναζήτησης (Srh Sp) SPείναιτοσύνολοόλων των καταστάσεων που είναι προσβάσιμες από την αρχική κατάσταση I. Ο χώρος αναζήτησης είναι υποσύνολο του χώρου καταστάσεων, καθώς το σύνολο SP εξαρτάται από την αρχική κατάσταση I ενώ το S όχι. 14 7

8 Χώρος Καταστάσεων (1) Ο Χώρος Καταστάσεων του προβλήματος «ιεραπόστολοι & κανίβαλοι 15 Χώρος Καταστάσεων (2) Ο Χώρος Καταστάσεων του προβλήματος «της σκούπας Root» 16 8

9 Περιγραφή προβλήματος με αναγωγή Μία ακολουθία από τελεστές ανάγουν συνεχώς τα προβλήματα σε άλλα «απλούστερα» έως ότου τα υπο-προβλήματα που προκύπτουν τελικά να είναι άμεσα επιλύσιμα. Παράδειγμα οι Πύργοι του Hnoi: Ένας αριθμός δίσκων σε φθίνουσα διάταξη βρίσκονται σε ένα στύλο και πρέπει να μεταφερθούν σε έναν άλλο με την ίδια διάταξη με τους εξής περιορισμούς: Επιτρέπεται να μετακινείται ένας δίσκος τη φορά Δεν επιτρέπεται η τοποθέτηση μεγαλύτερου δίσκου σε μικρότερο Ένα τρίτος στύλος μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βοηθητικός 17 Περιγραφή προβλήματος με αναγωγή Η λύση του προβλήματος «Πύργοι του Hnoi» 18 9

10 Αλγόριθμοι Αναζήτησης ΥπάρχουνπολλάπροβλήματατηςΤΝγιαταοποίαδενμπορείνα μας δοθεί ένας ειδικός αλγόριθμος για τη λύση τους, αλλά μόνο μία περιγραφή της λύσης. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να ψάξουμε να βρούμε τη λύση! Πολλά προβλήματα της ΤΝ μπορούν να αναπαρασταθούν αφαιρετικά με τη βοήθεια ενός γραφήματος. Στην περίπτωση αυτή η επίλυση του προβλήματος ταυτίζεται με την αναζήτηση ενός μονοπατιού του γραφήματος Στις περισσότερες περιπτώσεις ξεκινούμε από έναν αρχικό κόμβο και αναζητούμε το μονοπάτι που θα μας οδηγήσει σε έναν κόμβο στόχο 19 Αλγόριθμοι Αναζήτησης Η γενική ιδέα (1): Δοθέντος ενός γράφου, ενός αρχικού κόμβου και ενός κόμβου στόχου : Εξερευνούμε επαυξανόμενα μονοπάτια από τον αρχικό κόμβο Διατηρούμε ένα σύνολο-μέτωπο (frontir st) από κόμβους που πρόκειται να εξερευνήσουμε άμεσα. Καθώς η αναζήτηση προχωρά το σύνολο-μέτωπο επεκτείνεται μέχρις ότου βρεθούμε στον κόμβο στόχο. Ο τρόπος που επεκτείνουμε και επεξεργαζόμαστε το σύνολο-μέτωπο καθορίζει τη στρατηγική της αναζήτησης 20 10

11 Δέντρο Αναζήτησης (OR Δέντρο) Για τις ανάγκες των αλγορίθμων ό χώρος αναζήτησης μπορεί να αναπαρασταθεί με τη βοήθεια ενός OR Δέντρου 21 Δέντρο Αναζήτησης (OR Δέντρο) Η μετατροπή ενός γράφου σε δέντρο αναζήτησης είναι πάντα εφικτή, εμπεριέχει όμως τον κίνδυνο το δέντρο να αποκτήσει κλαδιά με άπειρο μήκος (συνδυαστική έκρηξη!) 22 11

12 OR Δέντρο της Σκούπας Root 23 Αλγόριθμοι Αναζήτησης Η γενική ιδέα (2): σύνολο μέτωπο αρχικός κόμβος κόμβος στόχος κόμβοι που έχουμε επισκεφτεί κόμβοι που δεν έχουμε επισκεφτεί 24 ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ Δ. ΣΤΑΜΑΤΗΣ 12

13 Γενικός Αλγόριθμος Αναζήτησης 25 Γενικός Αλγόριθμος Αναζήτησης 26 13

14 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης εφαρμόζονται όταν δεν έχουμε επαρκείς πληροφορίες που να μας επιτρέπουν την «έξυπνη» εκτίμηση των επόμενων καταστάσεων ενός προβλήματος. 27 ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ Δ. ΣΤΑΜΑΤΗΣ Αλγόριθμος Πρώτα σε βάθος (fs) Ο αλγόριθμος πρώτα-σε-βάθος επιλέγει να επεκτείνει το σύνολο-μέτωπο με την κατάσταση που βρίσκεται πιο βαθιά στο δέντρο αναζήτησης

15 Αλγόριθμος Πρώτα σε βάθος (fs) 29 Αλγόριθμος Πρώτα σε πλάτος (fs) Ο αλγόριθμος πρώτα σε πλάτος επιλέγει να επεκτείνει το σύνολο-μέτωπο με όλες τις καταστάσεις που βρίσκονται στο ίδιο βάθος και μετά προχώρα σε καταστάσεις μεγαλύτερου επιπέδου 30 15

16 Αλγόριθμος Πρώτα σε πλάτος 31 Αλγόριθμοι Ευρετικής Αναζήτησης Μία ευρετική τεχνική βασίζεται σε κριτήρια με βάση τα οποία μπορούμε να επιλέξουμε ανάμεσα σε πολλές επιλογές την πιο αποτελεσματική, η οποία θα μας οδηγήσει στο στόχο μας. Συνήθως η ευρετική τεχνική υλοποιείται με μία ευρετική συνάρτηση. Μία ευρετική τεχνική: Βελτιώνει την αποτελεσματικότητα της διαδικασίας αναζήτησης, ενδεχομένως θυσιάζοντας την πληρότητα των λύσεων Δεν διασφαλίζει ότι θα βρούμε τη βέλτιστη λύση αλλά σχεδόν πάντα βρίσκει μία ικανοποιητική λύση 32 16

17 Αλγόριθμοι Ευρετικής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Αναζήτησης με αντίπαλο (π.χ. παιχνίδια 2 παικτών) 33 Ευρετικές συναρτήσεις (1) Παράδειγμα: Τριάρα (ti-t-to) Η καλύτερη θέση είναι στο κέντρο γιατί πιθανολογούνται 4 περιπτώσεις για τη νίκη 34 17

18 Ευρετικές συναρτήσεις (2) Παράδειγμα: Το πρόβλημα του λαβυρίνθου 35 Ευρετικές συναρτήσεις (3) Παράδειγμα: Το 15-puzzl 36 18

19 Αλγόριθμος Πρώτα στο καλύτερο (stfs) Ο αλγόριθμος πρώτα στο καλύτερο επεκτείνει το σύνολο-μέτωπο με βάση τον «καλύτερο» κόμβο, τον κόμβο δηλαδή που ήδη υπάρχει στο συνολο-μέτωπο και η ευρετική συνάρτηση του δίνει την καλύτερη τιμή. 37 Αλγόριθμος Α* Ο αλγόριθμος Α* είναι ειδική περίπτωση του Bstfs, κατά την οποία η ευρετική συνάρτηση F(S) για κάθε κόμβο S ορίζεται σε συνδυασμό με την πραγματική απόσταση που έχει διανυθεί και την εκτίμηση της απόστασης μέχρι τον κόμβο στόχο: F(S) = g(s) + h(s) g(s) δίνει την πραγματική απόσταση του κόμβου S από τον αρχικό h(s) είναι η ευρετική συνάρτηση που δίνει την εκτίμηση της απόστασης του κόμβου S από τον κόμβο στόχο

20 Αναπαράσταση Γνώσης ΤΝ = Αναπαράσταση Γνώσης + Συλλογιστική (AI = Knowlg Rprsnttion + Rsoning) Συλλογιστική: Το να παράγουμε πληροφορία που υπονοείται από άλλες πληροφορίες που ήδη υπάρχουν (και έχουν αναπαρασταθεί με κάποια μορφή). Αναπαράσταση γνώσης: Οι μορφές αναπαράστασης γνώσης είναι χρήσιμες όταν μπορούμε να δράσουμε επί αυτών συλλογιστικά 39 Λογική Μαθηματική Λογική Λογική με χρόνο Κατηγορηματικός Λογισμός 1 ης τάξης Λογικός Προγραμματισμός prnt(kosts, nikos). prnt(imitr, nikos). prnt(kosts, ntonis). prnt(nikos, ynn). prnt(nikos, vsilis). grnprnt(x,y) <= prnt(x,z), prnt(z,y). 40 ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ Δ. ΣΤΑΜΑΤΗΣ 20

21 Συστήματα κανόνων 41 Συστήματα κανόνων Ορθή συλλογιστική A (is tru) B (is tru) if A thn C if B n C thn D 42 21

22 Συστήματα κανόνων Ανάστροφη συλλογιστική A (is tru) B (is tru) if A thn C if B n C thn D 43 Σημασιολογικά Δίκτυα Το σημασιολογικό δίκτυο είναι μία απλή σχηματική μέθοδος αναπαράστασης γνώσης που βασίζεται σε ένα κατευθυνόμενο γράφο στον οποίο: Οι κόμβοι αναπαριστούν αντικείμενα, έννοιες και συμβάντα Οι ακμές αναπαριστούν διμελείς σχέσεις ανάμεσα στους κόμβους 44 22

23 Σημασιολογικά Δίκτυα Smnti Ntwork y Collins n Quillin 45 Πλαίσια (Frms) Ένα πλαίσιο αποτελεί μία δυναμική αναπαράσταση μίας έννοιας. Αποτελείται από πεδία (slots) τα οποία δηλώνουν ιδιότητες ανάμεσα σε αντικείμενα. Μερικά πεδία μπορεί να δημιουργούνται αυτόματα και άλλα μπορεί αρχικά να είναι κενά για να πάρουν τιμή όταν αυτή γίνει γνωστή. Μερικά πεδία μπορεί να είναι σύνδεσμοι σε άλλα πλαίσια

24 Πλαίσια (Frms) 47 W Links Stt prolms Brth-First Srh (BFS) Erik Dmin, MIT Opn Courss Dpth-First Srh (DFS), Topologil Sort Erik Dmin, MIT Opn Courss How Googl mks improvmnts to its srh lgorithm Shortst Pth using Dijkstr's Algorithm Computtionl Complxity

25 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γραφήματα (Grphs) Προβλήματα που βασίζονται σε γράφους 49 Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το μη κενό και πεπερασμένο σύνολο V με n διακεκριμένα στοιχεία V = {v 1, v 2,..., v n }, και E ένα σύνολο με m 0 με μη-διατεταγμένα ζεύγη ij = {v i, v j }, i =/= j, στοιχείων του V. Τότε το διατεταγμένο ζεύγος G = (V,E) ονομάζεται μη κατευθυνόμενο γράφημα (unirt grph) ή απλώς γράφημα. f 50 25

26 Μη κατευθυνόμενο γράφημα Στο παράδειγμα: G = (V, E) με: V = {,,, f,, }, και E = { {, }, {, }, {, f}, {, }, {, }, {, }, {f, } } f 51 Τάξη γραφήματος Oρισμός 2: Τάξη (orr) ενός γραφήματος ονομάζεται το πλήθος των κορυφών του, ενώ μέγεθος (siz) ονομάζεται το πλήθος των ακμών του. Στο παράδειγμα η orr = 6 και siz = 7 f 52 26

27 Διπλανές κορυφές γραφήματος Oρισμός 3: Δύο κορυφές v i, v j ονομάζονται διπλανές (jnt) όταν υπάρχει ακμή ij = {v i,v j }, i =/= j που να τις έχει άκρα. Δύο κορυφές που δεν είναι διπλανές ονομάζονται ανεξάρτητες ( inpnnt). Στο παράδειγμα οι και είναι διπλανές ενώ οι και ανεξάρτητες f 53 Βαθμός κορυφής ενός γραφήματος Oρισμός 4: Βαθμός (gr) μιας κορυφής ονομάζεται το πλήθος των διπλανών κορυφών της, ή αλλιώς το πλήθος των ακμών που πρόσκεινται στην κορυφή. Μια κορυφή ονομάζεται άρτια ή περιττή ανάλογα με το αν ο βαθμός της είναι άρτιος ή περιττός Στο παράδειγμα η είναι άρτια και ο βαθμός της είναι 4 f 54 27

28 Τερματική κορυφή γραφήματος Oρισμός 5: Μία κορυφή v i ονομάζεται τερματική κορυφή (n vrtx) αν gr(v i ) = 1. Στο παράδειγμα η κορυφή είναι τερματική f 55 Απομονωμένη κορυφή γραφήματος Oρισμός 6: Μία κορυφή v i ονομάζεται απομονωμένη (isolt), αν ο βαθμός της gr(v i ) = 0 Στο παράδειγμα η κορυφή είναι απομονωμένη f 56 28

29 Πλήρες Γράφημα (Grphs) Oρισμός 7: Ένα γράφημα ονομάζεται πλήρες (omplt grph) όταν περιλαμβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς ακμών ανάμεσα στις κορυφές του. Παρατήρηση: Δεν αποτελεί συνηθισμένη περίπτωση! f 57 Κατευθυνόμενο Γράφημα (Dirt Grph) Oρισμός 8: Έστω το μη κενό και πεπερασμένο σύνολο V με n διακεκριμένα στοιχεία V = {v 1, v 2,..., v n }, και E ένα σύνολο με m 0 με διατεταγμένα ζεύγη ij = {v i, v j }, i =/= j, στοιχείων του V. Τότε το διατεταγμένο ζεύγος DG = (V,E) ονομάζεται κατευθυνόμενο γράφημα (irt grph). f 58 29

30 Περίπατος γραφήματος Oρισμός 9: Ονομάζουμε περίπατο (wlk) σε ένα γράφημα G μία ακολουθία κορυφών του γραφήματος, της μορφής W = <v 0, v 1, v 2,..., v n > και λέμε ότι έχει μήκος n. Στο παράδειγμα: W = <,,,,, > με μήκος 5 f 59 Μονοπάτι γραφήματος Oρισμός 10: Ονομάζουμε μονοπάτι (pth) σε ένα γράφημα G μία ακολουθία κορυφών του γραφήματος, της μορφής P= <v 0, v 1, v 2,..., v n >που είναι περίπατος στον οποίο καμία κορυφή δεν επαναλαμβάνεται Στο παράδειγμα: P = <,,, > με μήκος 3 f 60 30

31 Παραδείγματα Γραφημάτων: Δίκτυα Υπολογιστών 61 Παραδείγματα Γραφημάτων: Κοινωνικά δίκτυα 62 31

32 Κοινωνικά δίκτυα 63 Πίνακας διπλανών κορυφών Αναπαράσταση γραφήματος Έστω ένα κατευθυνόμενο γράφημα με n κορυφές, οι οποίες μπορούν να αριθμηθούν με διακριτές συνεχόμενες τιμές. Η αναπαράστασή του μπορεί να γίνει με τη βοήθεια ενός δισδιάστατου πίνακα D με διαστάσεις n x n, στον οποίο: η θέση του πίνακα (i,j) δηλώνει την ύπαρξη ή όχι ακμής D(i,j)=1, αν υπάρχει η ακμή, D(i,j)=0, αν δεν υπάρχει D = Αρίθμηση κορυφών: >0, >1, >2, >3, >

33 Λίστες διπλανών κορυφών Αναπαράσταση γραφήματος Έστω ένα κατευθυνόμενο γράφημα με n κορυφές, οι οποίες μπορούν να αριθμηθούν με διακριτές συνεχόμενες τιμές. Η αναπαράστασή του μπορεί να γίνει με τη βοήθεια ενός μονοδιάστατου πίνακα συνδεδεμένων λιστών: η θέση i του πίνακα αντιστοιχεί στον κόμβο i το περιεχόμενο του πίνακα στη θέση i είναι η λίστα των κόμβων που συνδέονται με τον i Αρίθμηση κορυφών: >0, >1, >2, >3, > Επίλυση προβλήματος γραφήματος Αναζητούμε ένα μονοπάτι το οποίο να ξεκινάει από έναν κόμβο Χ (κόμβος αρχή) και να καταλήγει σε έναν κόμβο Υ (κόμβος στόχος). Αντίστοιχα μπορεί να αναζητούμε έναν περίπατο ο οποίος να ξεκινάει από έναν κόμβο Χ (κόμβος αρχή) και να καταλήγει σε έναν κόμβο Υ (κόμβος στόχος). Το γενικότερο πρόβλημα μπορεί να περιλαμβάνει: 1. θετικούς περιορισμούς (πρέπει οπωσδήποτε να περάσουμε από κάποιους κόμβους). 2. Αρνητικούς περιορισμούς (πρέπει οπωσδήποτε να αποφύγουμε κάποιους κόμβους). 3. Πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τα βάρη σύνδεσης των κόμβων (προβλήματα ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης 66 33

34 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Στόχος μας είναι να επισκεφτούμε όλους τους κόμβους του γραφήματος Παράδειγμα: Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Ξεκινώντας από έναν κόμβο i: επισκεπτόμαστε τον κόμβο i επισκεπτόμαστε αναδρομικά κάθε κόμβο που συνδέεται με τον κόμβο i με την προϋπόθεση ότι δεν τον έχουμε ήδη επισκεφθεί. 67 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 f g h 68 34

35 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 f 2 g h 69 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f 2 g h 70 35

36 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f 2 g 4 h 71 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f 2 5 g 4 h 72 36

37 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: 1 3 f g 4 h 73 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: f g 4 h 74 37

38 Αλγόριθμοι Επίσκεψης κόμβων γραφήματος Αλγόριθμος «πρώτα σε βάθος» (pth first srh) Σειρά επίσκεψης των κόμβων: f g 4 h 75 38

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs) Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάμηνο. - Ενότητα 9 - Δημοσθένης Σταμάτης Τμήμα Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάμηνο. - Ενότητα 9 - Δημοσθένης Σταμάτης  Τμήμα Πληροφορικής Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάμηνο - Ενότητα 9 - Προβλήματα που βασίζονται σε γράφους Δημοσθένης Σταμάτης http://www.it.tith.gr/~mos Τμήμα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ To Πρόβλημα της Αναζήτησης του Θησαυρού

Διαβάστε περισσότερα

f e Γράφημα (Graph) Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ΑΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

f e Γράφημα (Graph) Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ΑΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grps) ttp://tos.it.tit.r/~mos/tin_gr.tml Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grp) Oρισμός : Έστω το µη κενό και πεπερασµένο

Διαβάστε περισσότερα

Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής

Δηµοσθένης Σταµάτης  Τµήµα Πληροφορικής Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάµηνο - Ενότητα 9 - Προβλήµατα που βασίζονται σε γράφους Δηµοσθένης Σταµάτης http://www.it.tith.gr/~mos Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ To Πρόβληµα της Αναζήτησης του Θησαυρού

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Αλγόριθµοι Αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων! Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Γενικά " Τεχνητή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Προβλημάτων

Περιγραφή Προβλημάτων Τεχνητή Νοημοσύνη 02 Περιγραφή Προβλημάτων Φώτης Κόκκορας Τμ.Τεχν/γίας Πληροφορικής & Τηλ/νιών - ΤΕΙ Λάρισας Παραδείγματα Προβλημάτων κύβοι (blocks) Τρεις κύβοι βρίσκονται σε τυχαία διάταξη πάνω στο τραπέζι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Περιγραφή Προβλημάτων Διαισθητικά, σε ένα πρόβλημα υπάρχει μια δεδομένη κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Αναζήτηση Δοθέντος ενός προβλήματος με περιγραφή είτε στον χώρο καταστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων

1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 5ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης εφαρμόζονται σε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων και Τεχνικές Αναζήτησης Εισαγωγή

Επίλυση Προβλημάτων και Τεχνικές Αναζήτησης Εισαγωγή Επίλυση Προβλημάτων και Τεχνικές Αναζήτησης Εισαγωγή επίλυση προβλημάτων μέσω αναζήτησης κάθε πρόβλημα το οποίο μπορεί να διατυπωθεί αυστηρά λύνεται μέσω αναζήτησης. Για τα περισσότερα ενδιαφέροντα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων. Αποτελεί ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα της νοημοσύνης.

Επίλυση Προβλημάτων. Αποτελεί ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα της νοημοσύνης. Επίλυση Προβλημάτων Αποτελεί ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά γνωρίσματα της νοημοσύνης. Τεχνητή Νοημοσύνη = Αναπαράσταση Γνώσης + Αλγόριθμοι Αναζήτησης Κατηγορίες Προβλημάτων Aναζήτησης Πραγματικά και

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης.

Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει την αξιολόγηση των καταστάσεων του χώρου αναζήτησης. Ανάλογα με το αν ένας αλγόριθμος αναζήτησης χρησιμοποιεί πληροφορία σχετική με το πρόβλημα για να επιλέξει την επόμενη κατάσταση στην οποία θα μεταβεί, οι αλγόριθμοι αναζήτησης χωρίζονται σε μεγάλες κατηγορίες,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΕΙΚΤΗ ΚΟ-Β-3: ΕΛΞΗ ΠΟΛΕΩΝ

ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΕΙΚΤΗ ΚΟ-Β-3: ΕΛΞΗ ΠΟΛΕΩΝ ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΕΙΚΤΗ ΚΟ-Β-3: ΕΛΞΗ ΠΟΛΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει, µε τη χρήση ενός µοντέλου βαρύτητας, τη δυνητική έλξη ανάµεσα στα αστικά κέντρα και τις πρωτεύουσες Νοµών της

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Περιγραφή Προβληµάτων και Αναζήτηση Λύσης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση

Κεφάλαιο 2. Περιγραφή Προβληµάτων και Αναζήτηση Λύσης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Κεφάλαιο 2 Περιγραφή Προβληµάτων και Αναζήτηση Λύσης Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Περιγραφή Προβληµάτων ιαισθητικά: υπάρχει µία δεδοµένη

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων 1

Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων 1 Επίλυση Προβλημάτων Περιγραφή Προβλημάτων Αλγόριθμοι αναζήτησης Αλγόριθμοι τυφλής αναζήτησης Αναζήτηση πρώτα σε βάθος Αναζήτηση πρώτα σε πλάτος (ΒFS) Αλγόριθμοι ευρετικής αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάμηνο. - Ενότητα 1 - Δημοσθένης Σταμάτης http://www.it.teithe.gr/~demos

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάμηνο. - Ενότητα 1 - Δημοσθένης Σταμάτης http://www.it.teithe.gr/~demos Γλώσσες & Τεχνικές 4 ο Εξάμηνο - Ενότητα 1 - Εισαγωγή στην Τεχνητή Νοημοσύνη Δημοσθένης Σταμάτης http://www.it.teithe.gr/~demos Τμήμα Πληροφορικής A.T.E.I. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Rethinking University Teaching!!!

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 10/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 10-May-18 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 10-May-18 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δομώνκαι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ Διάλεξη 9: Εισαγωγή στους Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση γραφήματος

Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Ένας αλγόριθμος διερεύνησης γραφήματος επισκέπτεται τους κόμβους του γραφήματος με μια καθορισμένη στρατηγική, π.χ. κατά εύρος ή κατά βάθος. Καθοδική διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Αλγόριθμοι Ευριστικής Αναζήτησης Πολλές φορές η τυφλή αναζήτηση δεν επαρκεί

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΚΟ-Β-3: ΕΛΞΗ ΠΟΛΕΩΝ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΚΟ-Β-3: ΕΛΞΗ ΠΟΛΕΩΝ ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει, με τη χρήση ενός μοντέλου βαρύτητας, τη δυνητική έλξη ανάμεσα στα αστικά κέντρα και τις πρωτεύουσες Νομών της Ζώνης IV σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

1 Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής

1 Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 00 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di88 6ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 5: Γραφήματα. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Οι δυναμικές δομές δεδομένων στην ΑΕΠΠ

Οι δυναμικές δομές δεδομένων στην ΑΕΠΠ Καθηγητής Πληροφορικής Απαγορεύεται η αναπαραγωγή των σημειώσεων χωρίς αναφορά στην πηγή Οι σημειώσεις, αν και βασίζονται στο διδακτικό πακέτο, αποτελούν προσωπική θεώρηση της σχετικής ύλης και όχι επίσημο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Για παράδειγμα η αρχική και η τελική κατάσταση αναπαριστώνται ως εξής: (ένα λίτρο)

Για παράδειγμα η αρχική και η τελική κατάσταση αναπαριστώνται ως εξής: (ένα λίτρο) 8 1 η ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Απάντηση 1ης άσκησης Κατάσταση (κόμβοι): Αναπαριστούμε μια κατάσταση του προβλήματος με ένα διατεταγμένο ζεύγος (X,Y) όπου X είναι τα λίτρα στο βάζο Α (χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΚΟ-Π-6: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΚΟ-Π-6: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει την ταξινόμηση κατά πληθυσμιακό μέγεθος (α) όλων των αστικών κέντρων και των πρωτευουσών των νομών της Ζώνης IV και (β) των αστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 29: Γράφοι. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 9: Γράφοι Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Γράφοι - ορισμοί και υλοποίηση - Διάσχιση Γράφων Διδάσκων: Παναγιώτης νδρέου ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και λγόριθμοι για Ηλ. Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.2.5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ

2.2.5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ 2.2.5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Προκειμένου να επιτευχθεί η «ακριβής περιγραφή» ενός αλγορίθμου, χρησιμοποιείται κάποια γλώσσα που μπορεί να περιγράφει σειρές ενεργειών με τρόπο αυστηρό,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET10: ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET10: ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει το μόνιμο πληθυσμό και τη μεταβολή του ανά αστικό κέντρο (οικισμοί άνω των 10.000 κατοίκων) και πρωτεύουσα Νομού της Ζώνης IV. Η

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 3η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 3η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 3η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΕΙΚΤΗ ΚΟ-Π-6: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ

ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΕΙΚΤΗ ΚΟ-Π-6: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει την ταξινόμηση κατά πληθυσμιακό μέγεθος (α) όλων των αστικών κέντρων και των πρωτευουσών των νομών της Ζώνης IV και (β) των αστικών

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET10: ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET10: ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει το μόνιμο πληθυσμό και τη μεταβολή του ανά αστικό κέντρο (οικισμοί άνω των 10.000 κατοίκων) και πρωτεύουσα Νομού της Ζώνης IV. Η

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 1 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ 2 ο : ΣΤΟΙΒΑ & ΟΥΡΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: http://eclass.sch.gr/courses/el594100/ ΣΤΟΙΒΑ 2 Μια στοίβα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης (blind

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση

Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση Επίλυση προβλημάτων με αναζήτηση Περιεχόμενα Μέθοδοι (πράκτορες) επίλυσης προβλημάτων Προβλήματα και Λύσεις Προβλήματα παιχνίδια Προβλήματα του πραγματικού κόσμου Αναζήτηση λύσεων Δέντρο αναζήτησης Στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρμογές των γράφων. 23-Γράφοι

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρμογές των γράφων. 23-Γράφοι HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων / γραφήματα Πέμπτη, 10/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 10-May-18 1 1 10-May-18 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δομών και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Representing Relations Using Digraph

Representing Relations Using Digraph M R n = M R, Κλειστότητες, Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνοψη Προηγούµενου EXAMPLE 6 from th finition of Booln powrs. Exris

Διαβάστε περισσότερα

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S. Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 10 ο Γράφοι Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Γράφοι Ορισµός Αφηρηµένος τύπος δεδοµένων Υλοποίηση Αναζήτηση έντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Επίλυση Προβλημάτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Επίλυση Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Επίλυση Προβλημάτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστούν με παραδειγματικές περιπτώσεις οι θεμελιώδεις έννοιες για τον ορισμό ενός προβλήματος και η επίλυσή του μέσω αλγόριθμων αναζήτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Άσκηση 1 Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Υπάρχουν τρία μαύρα τετραγωνάκια (b), τρία άσπρα (w) και ένα κενό (e). Η σπαζοκεφαλιά έχει τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems

HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Πώς θα έρθετε: Χάρτης χιλιομετρικών αποστάσεων: http://vivl-livad.voi.sch.gr/greek/livadeia/apostaseis.htm

Πώς θα έρθετε: Χάρτης χιλιομετρικών αποστάσεων: http://vivl-livad.voi.sch.gr/greek/livadeia/apostaseis.htm Ημερίδα με θέμα: Συνεργασίες λαϊκών βιβλιοθηκών - Εργαλεία, πρότυπα και συλλογικοί κατάλογοι" Παρασκευή 24 Νοεμβρίου 2006 Ώρα: 9.00 Λιβαδειά, Συνεδριακό Κέντρο Κρύας Χάρτης χιλιομετρικών αποστάσεων: http://vivl-livad.voi.sch.gr/greek/livadeia/apostaseis.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ

ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΜΑΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΡΑΚΤΟΡΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΛΥΣΗΣ Καραγιώργου Σοφία Γενικά Περί Πρακτόρων Με το όρο πράκτορα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 6. Δυαδικά Δέντρα 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 18/11/2016 Εισαγωγή Τα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET11: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET11: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει την ταξινόμηση (α) όλων των αστικών κέντρων και των πρωτευουσών των νομών της Ζώνης IV κατά πληθυσμιακό μέγεθος, (β) των αστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα

Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Οι ημερομηνίες ενδέχεται να αλλάξουν και να προστεθούν νέες. 17, Πέμπτη Αθήνα, Θεσσαλονίκη

Σημείωση: Οι ημερομηνίες ενδέχεται να αλλάξουν και να προστεθούν νέες. 17, Πέμπτη Αθήνα, Θεσσαλονίκη Σημείωση: Οι ημερομηνίες ενδέχεται να αλλάξουν και να προστεθούν νέες. 3, Πέμπτη Θεσσαλονίκη 4, Παρασκευή Αθήνα 10, Πέμπτη Θεσσαλονίκη 11, Παρασκευή Αθήνα 17, Πέμπτη Αθήνα, Θεσσαλονίκη Ιανουάριος 18, Παρασκευή

Διαβάστε περισσότερα