HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρμογές των γράφων. 23-Γράφοι

Transcript

1 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων / γραφήματα Πέμπτη, 10/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός argyros@csd.uoc.gr 10-May May Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δομών και που είναι χρήσιμη για την αναπαράσταση σχέσεων Εφαρμογές των γράφων Oτιδήποτε μπορεί να μοντελοποιηθεί χρησιμοποιώντας σχέσεις. Εφαρμογές στα δίκτυα, στον προγραμματισμό ενεργειών, βελτιστοποίηση ροής, σχεδιασμό κυκλωμάτων, προγραμματισμό κίνησης, αναζήτηση, ταξινόμηση, ΠΡΟΚΛΗΣΗ: ονομάστε ένα πεδίο στο οποίο η γράφοι δεν είναι χρήσιμοι! 10-May May

2 Απλοί γράφοι Θα εισάγουμε ένα πλήθος διαφορετικών τύπων γράφων, ξεκινώντας από τους μηκατευθυνόμενους γράφους: απλοί γράφοι πολυγράφοι 10-May Αντιστοιχούν σε συμμετρικές, μη ανακλαστικές διμελείς σχέσεις R επί ενός συνόλου. Ένας απλός γράφος G=(V,E) αποτελείται από: Ένα σύνολο Vκορυφώνήκόμβων(το V Αναπαράσταση απλού γράφου αντιστοιχεί στο σύνολο επί του οποίου ορίζεται η σχέση), Ένα σύνολο E ακμών: μη διατεταγμένα ζεύγη διαφορετικώνστοιχείωνu,vv, τ.ω.urv. 10-May Παράδειγμα Απλού Γράφου ΈστωVτο σύνολο κάποιων από τις πολιτείες των ΗΠΑ: Π.χ., V={FL, GA, AL, MS, LA, SC, TN, NC} ΈστωE={{u,v} u γειτονεύει μεv} ={{FL,GA},{FL,AL},{FL,MS}, {FL,LA},{GA,AL},{AL,MS}, {MS,LA},{GA,SC},{GA,TN}, MS {SC,NC},{NC,TN},{MS,TN}, {TN,AL}} LA AL TN NC SC GA FL Επεκτάσεις Όλοι οι βασικοί τύποι γράφων μπορούν να επεκταθούν για να γίνουν πιό περιγραφικοί. Για παράδειγμα, οι ακμές μπορούν να έχουν κάποια ετικέττα Π.χ., στις ακμές του προηγούμενου παραδείγματος μπορούμε να βάλουμε ετικέττεςμε το μήκος των συνόρων μεταξύ των πολιτειών. 10-May May

3 Πολυγράφοι Όπως οι απλοί, αλλά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία ακμές που να συνδέουν δύο κόμβους. Π.χ., οι κόμβοι είναι πόλεις, και οι ακμές είναι τμήματα δρόμων που τις ενώνουν. Παράλληλες ακμές Κατευθυνόμενοι γράφοι Αντιστοιχούν σε τυχαίες σχέσεις R, που δεν χρειάζεται να είναι συμμετρικές. Έναςκατευθυνόμενος γράφος(v,e) αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών Vκαι μία διμελή σχέση Eεπί του V. Επομένως, οι ακμές είναι διατεταγμένα ζεύγη και όχι σύνολα! Π.χ..: V= το σύνολο των ανθρώπων, E={(x,y) xαγαπάy} 10-May May Κατευθυνόμενοι πολυγράφοι Ανακεφαλαιώνοντας Όπως οι κατευθυνόμενοι γράφοι με την διαφορά πως μπορεί να υπάρχουν πολλαπλές ακμές που να συνδέουν δύο κόμβους. Π.χ., V=web pages, E=hyperlinks. Ο παγκόσμιος ιστός είναι ένας κατευθυνόμενος πολυγράφος May Γράφος G(V,E) Μη κατευθυνόμενος Κατευθυνόμενος (συμμετρική σχέση) (οποιαδήποτε σχέση) Απλός Πολυγράφος Απλός Πολυγράφος Ε: Σύνολο Ε:Πολυσύνολο Ε: Σύνολο Ε: Πολυσύνολο συνόλων συνόλων ή διατεταγμένων διατεταγμένων πολυσυνόλων ζευγών ζευγών 10-May

4 Ορολογία Εισαγωγή των ακόλουθων όρων: Γειτονικοί κόμβοι, συνδέει, άκρα ακμής, βαθμός, αρχική κορυφή, τερματική κορυφή, βαθμός κόμβου, έσω-βαθμός, έξω-βαθμός, πλήρης γράφος, κυκλικός γράφος, διμερής γράφος, υπογράφος,... Γειτνίαση ΈστωGέναςμη κατευθυνόμενος γράφος με σύνολο ακμών E. ΈστωeEμεταξύ των κορυφών {u,v}. Τότε λέμε: Οι u, vείναι γειτονικοί/ συνδέονται Η ακμήeείναιπροσπίπτουσαστις κορυφές uκαι v. Η ακμήeσυνδέει τις κορυφές uκαι v. Οι κορυφές uκαιvείναι τα άκρατης ακμήςe. 10-May May Βαθμός μιας κορυφής Έστω G μη κατευθυνόμενος γράφος, με vvένα κόμβο του. Ο βαθμόςτουv, deg(v), είναι ο αριθμός των ακμών που προσπίπτουν σε αυτόν(κάθε βρόχος μετράει διπλά) Ένας κόμβος με μηδενικό βαθμό ονομάζεται απομονωμένος. Βαθμός μιας κορυφής v1 v2 v3 v4 Deg(v1)=0, deg(v2)=deg(v3)=1, deg(v4)=2 10-May May

5 Θεώρημα Έστω Gμη-κατευθυνόμενοςγράφος με σύνολο κορυφών Vκαι σύνολο ακμών E. Τότε D deg( v) 2 E vv Απόδειξη: κάθε ακμή που εισάγεται στο γράφο έχει ως αποτέλεσμαd:= D+2 Θεώρημα Έστω Gμη-κατευθυνόμενοςγράφος με σύνολο κορυφών Vκαι σύνολο ακμών E. Τότε D deg( v) 2 E vv Λήμμα: Κάθε μη κατευθυνόμενος γράφος έχει άρτιο πλήθοςκόμβων περιττού βαθμού. 10-May May Θεώρημα Παράδειγμα Λήμμα: Κάθε μη κατευθυνόμενος γράφος έχει άρτιο πλήθος κόμβων περιττού βαθμού. Απόδειξη: Ddeg( v) 2 E vv vv, vά. ύ vv, v. ύ vv, v. ύ vv, vά. ύ vv, v. ύ vv, v. ύ deg( v) deg( v) 2 E deg( v) 2 E deg( v) deg( v) 2 E 2k2( E k) deg( v): ά Επομένως πρέπει το πλήθος των κόμβων περιττού βαθμού να είναι άρτιος αριθμός 10-May Ερώτημα:Μπορεί να υπάρχει περιττό πλήθος φοιτητών που να γνωρίζονται με περιττό πλήθος συμφοιτητών τους πριν μπουν στο CSD; 10-May

6 Παράδειγμα Υποθέστε ότι οι φοιτητές του ΗΥ118 αναπαριστώνται ως κόμβοι ενός γράφου που αναπαριστά τη σχέση γνωριμίας Μία ακμή μεταξύ δύο κόμβων aκαι bσημαίνει ότι η/ο aκαι η/οbγνωρίζονταν πριν την εισαγωγή τους στο τμήμα Απάντηση:Αρνητική απάντηση στο ερώτημα,το πλήθος των φοιτητών με περιττό αριθμό γνωριμιών δεν μπορεί να είναι περιττός αριθμός! Κατευθυνόμενη γειτνίαση Έστω Gκατευθυνόμενοςγράφος, και έστωeμία ακμή του G μεταξύ των κορυφών(u,v). Τότε λέμε: Η eξεκινά απότηνu, η e καταλήγει στηv. Η e συνδέει τηνu στηv,ηe πηγαίνει από τηνu στηv Η αρχική κορυφήτηςeείναι ηu Η τερματική κορυφήτηςeείναι η v 10-May May Βαθμός κορυφής σε κατευθυνόμενους γράφους Έστω Gκατευθυνόμενος γράφος και vμία κορυφή του. Ο έσω-βαθμόςτηςv, deg (v), είναι το πλήθος των ακμών που καταλήγουν στη v. Ο έξω-βαθμόςτηςv, deg (v), είναι το πλήθος των ακμών που ξεκινούν από τηv. Ο βαθμός τηςv, deg(v):deg (v)+deg (v), είναι το άθροισμα του έσω-και έξω-βαθμού της v. Θεώρημα Έστω G=(V, E) κατευθυνόμενος γράφος. Τότε: 1 deg ( v) deg ( v) deg( v) E vv vv 2 vv Σημειώστε ότι ο βαθμός μιας κορυφής δεν αλλάζει με βάση το αν οι ακμές είναι κατευθυνόμενες ή όχι. 10-May May

7 Ειδικές κατηγορίες μη κατευθυνόμενων γράφων Πλήρεις γράφοιk n Κυκλικοί γράφοιc n Διμερείς γράφοι Πλήρεις γράφοι nn, έναςαπλός πλήρης γράφος nκορυφών, K n, είναι ένας απλός γράφος μεnκορυφέςστον οποίο κάθε κόμβος γειτνιάζει με όλους τους υπόλοιπους: u,vv: uv{u,v}e. Πλήρεις διμερείς γράφοιk m,n K 1 K 2 K 3 K 4 K5 K 6 n( n1) Πλήθος ακμών του K n : i i1 2 n 1 10-May May Κυκλικοί γράφοι Θεωρείστε οποιοδήποτε απλό πλήρη γράφο G=(V,E). Μπορεί τοe να περιέχει ακμές που συνδέουν ένα κόμβο με τον εαυτό του; Όχι! Εφόσον είναι απλός, δεν μπορεί να περιλαμβάνει στοιχεία της μορφής {α,α} γιατί το {α,α} δεν είναι σύνολο! Για οποιοδήποτεn3, ένας κυκλικός γράφοςnκορυφών, C n, είναιένας απλός γράφος όπουv={v 1,v 2,,v n }και E={{v 1,v 2 },{v 2,v 3 },,{v n1,v n },{v n,v 1 }}. C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 Πόσες ακμές υπάρχουν στοcn ; 10-May May

8 Μπορεί ένας κυκλικός γράφος να είναι πλήρης γράφος; Μπορεί ένας κυκλικός γράφος να είναι πλήρης γράφος; Ναι: Ο πλήρης γράφος Κ 3 είναι κυκλικός Δεν υπάρχει κανένας άλλος κυκλικός γράφος που να είναι πλήρης 10-May May Διμερείς γράφοι Ορισμός: Ένας γράφος ονομάζεται κανονικόςαν και μόνο ανκάθε κόμβος του έχει τον ίδιο βαθμό. Οι πλήρεις γράφοιείναι κανονικοί (n-1 βαθμό για κάθε κόμβο, εάν έχουμε n κόμβους) Οι κυκλικοί γράφοιείναι κανονικοί (βαθμός 2 για κάθε κόμβο) 10-May Ένας γράφοςg=(v,e)λέγεται διμερήςαν και μόνο αν V= V 1 V 2 όπουv 1 V 2 =και ee: v 1 V 1,v 2 V 2 : e={v 1,v 2 }. Δηλαδή:Το σύνολο Vτων κόμβων χωρίζεται σε δύο υποσύνολα έτσι ώστε οι ακμές να συνδέουν κόμβους διαφορετικών υποσυνόλων Ο ορισμός μπορεί εύκολα να τροποποιηθεί για την περίπτωση κατευθυνόμενων γράφων. V 1 V 2 10-May

9 Διμερείς γράφοι αναπαριστούν σχέσεις στοιχείων διαφορετικών συνόλων, π.χ., Άντρες / γυναίκες Λέξεις, συνδεδεμένες με τον αριθμό γραμμάτων τους Λογικές προτάσεις, συνδεδεμένες με τις προτάσεις που σε φυσική γλώσσα εκφράζουν το νόημά τους Ερωτήσεις Μπορείτε να σκεφτείτε ένα γράφομε δύο κορυφές που να μην είναι διμερής; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφομε δύο κορυφές που να μην είναι διμερής; Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφομε τρεις κορυφές και ένα μη-κενό σύνολο ακμών που να είναι διμερής; 10-May May Ερωτήσεις Μπορείτε να σκεφτείτε ένα γράφο με δύο κορυφές που να μην είναι διμερής; Ναι, αν υπάρχουν βρόχοι. Μπορείτε να σκεφτείτε ένααπλόγράφομε δύο κορυφές που να μην είναι διμερής;όχι, δεν υπάρχει, πρέπει να είναι διμερής Μπορείτε να σκεφτείτε ένα απλόγράφομε τρεις κορυφές και ένα μη-κενό σύνολο ακμώνπου να είναι διμερής; Ναι, αρκεί να μην είναι πλήρης Πλήρεις διμερείς γράφοι Για m,nn, ο πλήρης διμερής γράφοςk m,n είναι ένας διμερής γράφος τέτοιος ώστε V 1 = m, V 2 = n, και E= {{v 1,v 2 } για κάθε v 1 V 1 και v 2 V 2 } K 4,3 O K m,n έχειm+n κόμβους και mxn ακμές. 10-May May

10 Υπογράφημα Ένα υπογράφημα ενός γράφου G=(V,E) είναι ένας γράφος H=(W,F) όπου WVκαι FE. G H Υπογράφημα Ένα υπογράφημα ενός γράφου G=(V,E) είναι ένα γράφημα H=(W,F) όπου WVκαι FE. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: αφού ο Ηείναι γράφος, υποχρεωτικά το σύνολο Fτων ακμών του θα συνδέει κορυφές που ανήκουν στο W! 10-May May Παραδείγματα Υπογράφημα Επικαλύπτον υπογράφημα Ο γράφος H=(V,F)αποτελεί ένα επικαλύπτον υπογράφημα του γράφου G=(V,E). ΣΗΜΕΙΩΣΗ: υπογράφημα με το ίδιο σύνολο κορυφών αλλά με σύνολο ακμών F που είναι υποσύνολο του Ε. 10-May May

11 Συμπλήρωμα γραφήματος Το συμπλήρωμα ενός γράφου G =(V,E ) ως προς ένα γράφο G=(V,E) είναι ένας γράφος G =(Q, E-E ). ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Περιλαμβάνει δηλαδή τις ακμές που ανήκουν στο Ε αλλά όχι στο Ε, και όλες τις κορυφές του V που συνδέονται με ακμές στο σύνολο Ε-Ε,ΚΑΙ τους απομονωμένους κόμβους του G. Συνήθως μιλάμε για συμπλήρωμα ενός γράφου ως προς τον αντίστοιχο πλήρη γράφο Συμπλήρωμα γραφήματος Παράδειγμα: Ο (α) γράφος είναι το συμπλήρωμα του (γ) ως προς τον (β) (α) (β) (γ) 10-May May