BIOMEHANIKA LOKOMOTORNOG SISTEMA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BIOMEHANIKA LOKOMOTORNOG SISTEMA"

Transcript

1 BIOMEHANIKA LOKOMOTORNOG SISTEMA ČOVJEKA

2 1. ELEMENTI LOKOMOTORNOG SISTEMA 2. UNKCIONISANJE LOKOMOTORNOG SISTEMA 3. REALNI SISTEMI Lokomotorni sistem omogućuje čovjeku da se kreće u prostoru. U kretanju učestvuju: Pasivni elementi kosti i zglobovi Aktivni elementi mišići 2

3 Podjela ela: 1.1. KOSTI K Kratke kosti (kosti šake, stopala, kičmeni pršljenovi ljenovi) Duge kosti Sastoje se od srednjeg dijela (dijafiza) i okrajaka (epifiza) koji su pokriveni hrskavicom i ulaze u sastav zglobova. Pljosnate kosti (kosti lobanje, karlične i grudne kosti) Nepravilne kosti nemaju ni jedan od parametara iz prethodne podjel ele.. To su kosti lica i kičmeni pršljenovi. Pneumatične kosti imaju u svojoj strukturi šupljine ispunjene vazduhom (primjer: mastoidni nastavak sljepoo epoočne kosti). Sezamoidne kosti podsjećaju svojim oblikom na sjeme s susama. Razvijaju se u tetivama nekih mišića, najčešće e u predjelu elu zglobova (primjer: čašica patela). 3

4 unkcija: održavanje organizma u odreñenom položaju hodanje i druge vrste kretanja organizma zaštita osjetljivih dijelova i vitalnih organa (mozak, srce, pluća) stovarište te za odreñene hemijske elemente koje organizam može koristiti po potrebi ishrana organizma (zubi) transmisija zvuka (kosti srednjeg uha - jedine kosti koje tokom cijelog života čoveka zadržavaju avaju veličinu inu koju su imale prij ije roñenja) 4

5 Sastav i struktura kosti Kolagen - organski materijal (oko 60% zapremine i 40% težine kostiju) obezbeñuje eñuje elastičnost kostiju. Minerali - neorganski dio d o (oko 40% zapremine i 60% težine) koji kostima daje neophodnu čvrstinu; neorganski kristali hidroksilapatita Ca 10 (PO 4 ) 6 (OH) 2, oblika štapića a dijametra od 2-7 nm i dužine od 5-10 nm, ukupne površine kod odraslog čoveka oko 4x10 5 m 2 ; oko svakog kristala nalazi se sloj vode bogate mnogim hemijskim jedinjenjima potrebnim ljudskom organizmu. Ako se kost potopi u kiselinu dolazi do rastvaranja minerala i ostaje o samo kolagen koji ima osobine viskoelastičnih materijala i ponaša se kao guma. Ukoliko se kost upali kolagen će e sagorjeti. Kost sada predstavljaju slabo povezani kristali minerala koji zadržavaju avaju oblik, ali će e se na najmanji dodir raspasti u pepeo. 5

6 Ogroman procenat koštanog tkiva je inertan, ali to ne znači da je kost mrtva. Oko 2% koštanog tkiva predstavljaju osteociti - ćelije koje se, kao i sve druge žive ćelije, snabdjevaju elementima potrebnim za njihovo funkcionisanje putem krvi. Rasporeñene su ravnomjerno unutar kosti (u kolagenu) tako da održavaju kost u zdravom stanju. Koštane ćelije se u neprekidnom procesu uništavaju (osteoklasti) i ponovo stvaraju (osteoblasti); u periodu od oko sedam godina koštane ćelije cijelog kostura bivaju obnovljene. 6

7 Struktura kosti: kompaktna i sunñerasta. Kompaktni dio kosti se nalazi na mjestu koje je izloženo dejstvu sporadičnih spoljnjih sila različitog intenziteta, kao što je srednji dio femura. težina tijela linije kompresije linije tenzije sunñerasti dio kosti a b c kompaktni dio kosti Sunñerasta struktura kosti karakteristična je za dijelove koji ulaze u zglob. Prednost ovakve strukture u odnosu na kompaktnu strukturu je da: dejstvu sila u zglobovima pružaju neophodan otpor sa manje materijala zbog veće fleksibilnosti mogu da apsorbuju više energije i kompenzuju dejstvo sila 7

8 8

9 ZGLOBOVI Zglob predstavlja skup koštano tano-hrskavičavih avih materijala pomoću kojih se kosti meñusobno zglobljuju. Sinartroza je kontinuirani spoj izmeñu kostiju.. Na mjestu m spajanja elemenata skeleta čitav prostor je ispunjen potpornim tkivom, koje može e biti vezivno ili hrskavičavo. avo. Diartroza je spoj sa prekidom kontinuiteta izmeñu kostiju,, do kojeg je došlo usljed formiranja šupljine u dubini spoja. Diartroze čini grupa zglobova koje nazivamo sinovijalni zglobovi.

10 sinovijalna membrana glava kosti sinovijalna tečnost čašica hrskavica Elementi pokretnog zgloba. U sastav pokretnog zgloba ulaze: krajevi (okrajci) kostiju od kojih je jedan ispupčen - glava kosti, a drugi udubljen - čašica. Krajevi kostiju su obloženi hrskavicom i odvojeni zglobnom šupljinom. U šupljini se nalazi bezbojna sluzava tečnost - sinovija, koja je obuhvaćena sinovijalnom membranom. U sastav zgloba ulaze još i zglobne veze - ligamenti. Pri pokretima postoji trenje izmeñu okrajaka kostiju. Površina hrskavice koja prekriva okrajak kosti je glatka. Da bi se trenje dalje smanjilo, izmeñu okrajaka kostiju u sastavu zgloba nalazi se sinovijalna tečnost, koja "podmazuje" zglob. Koeficijent trenja u zglobu ima vrijednost manju od 0,01.

11 ODREðIVANJE KOEICIJENTA TRENJA zglob teret Odreñivanje koeficijenta trenja u zglobu pomoću klatna (predložili su godine Litl, rimen i Svonson (Little, reeman & Swanson)).

12

13 ROTACIJA ZGLOBOVA Pokretni zglobovi mogu da rotiraju oko jedne, dvij ije e ili tri ose (odnosno, praktično oko beskonačno no mnogo osa). Jednoosni zglobovi mogu da rotiraju oko jedne ose. Zglobne površine dvoosnog zgloba imaju elipsoidni ili sedlasti oblik, koji im obezbjeñuje eñuje veću u pokretljivost pri rotaciji oko dvij ije uzajamno normalne ose. Loptasti oblik glave omogućuje uje rotaciju oko tri meñusobno ortogonalne ose X' X' (a) (b) (c) X' Z' A B A Y' Y A B Y' Y X X Z X Modeli jednoosnog (a), dvoosnog (b) i troosnog (c) zgloba.

14

15

16

17

18 MIŠIĆI - OSNOVNE KARAKTERISTIKE U tijelu čoveka postoji preko 630 mišića (oko 40% težine tijela).,...

19 MIŠIĆI - OSNOVNE KARAKTERISTIKE 30 od njih su facijalni mišići. Oni nam pomažu da kreiramo sve moguće izraze lica: srećno, iznenañeno, zadovoljno, ljuto, nesrećno, tužno, uplašeno,... Najzaposleniji mišići u tijelu su oni koji okružuju oko. Pokreću se preko puta na dan. Najveći mišić u tijelu je gluteus maximus (na butnoj kosti).

20 MIŠIĆI OSNOVNA UNKCIJA unkcija mišića je da pomijera tijelo. Bez mišića ne bismo mogli da pomijeramo skelet. Ne bi postojao način da se animira fizičko tijelo ni da se izgovori misao. Ne bismo bili sposobni da trepćemo, varimo hranu, dišemo. Naše srce ne bi moglo da pumpa krv.

21 Prema strukturi mi VRSTE MIŠIĆA mišićno tkivo se dijd ijeli na: glatko i poprečno prugasto. Glatki mišići: i: zovu se još i nevoljni, jer NISU pod svjesnom kontrolom. Nevoljni u ovom slučaju znači i da ne morate da mislite o njima. Mogu se naći i u unutrašnjim njim organima digestivni trakt, respiratorni prolazi, urinarni trakt i bešika, žučna kesa, zidovi limfnih i krvnih sudova,... Poprečno no-prugasti mišići: i: zovu se još i voljni, jer su pod svjesnom kontrolom. To možemo opisati na slij ijedeći i način: ako kažeš ruci ruko, pomjeri se ona se pomjera. Osnovna podjela poprečno no-prugastih mišića: skeletni mišići i i srčani mišić Prema svojoj funkciji svaki mi srčanim mišićima. ima. svaki mišić pripada jednoj od tri kategorije: glatkim, skeletnim, ili

22 Skeletni mišići aktivni elementi lokomotornog sistema Skeletni mišićim predstavljaju aktivne elemente lokomotornog sistema jer se na njihovim krajevima generišu sile prilikom njihove kontrakcije. Uzrok ovih sila vezuje se za generisanje električnih impulsa koji se prostiru duž motornih nerava iz kičmene moždine i, djelujući na mišićna vlakna, izazivaju njihovu kontrakciju. Ove sile su, dakle,, u osnovi električnog porij ijekla. Preko tetiva, koje povezuju mišiće sa kostima, sile djeluju na kosti i omogućuju uju njihove pokrete. Vezivanje može biti jednostruko ili višestruko (dvostruko - bicepsi, trostruko - tricepsi,,...).

23 Struktura skeletnih mišića Skeletni mišići i se sastoje od vlakana debljine manje od debljine dlake (dijametra nm), dužine nekoliko centimetara. Svako vlakno je omotano membranom debljine 0,01 nm. Vlakna koja formiraju skeletni mišić sastoje se od tankih kontraktilnih niti - miofibrila,, kojih u jednom vlaknu može e biti izmeñu 1000 i 2000.

24 UNKCIONISANJE LOKOMOTORNOG SISTEMA Kretanje čovjeka je složeno (hodanje, trčanje, skakanje...) Složena kretanja- sastoje se od prostih kretanja- translacija i rotacija Lokomotorni sistem čovjeka- kosti posmatramo kao poluge zglobove kao oslonce tih poluga mišići pokreću poluge (kosti)

25 UNKCIONISANJE LOKOMOTORNOG SISTEMA Kruto tijelo. Uslovi ravnoteže krutog tijela Šta je kruto tijelo? Kruto tijelo predstavlja tijelo kod koga se meñusobni položaj pojedinih tačaka ne mijenja. Takvo tijelo se ne deformiše pod dejstvom sile. Kruto tijelo je model - fizička apstrakcija, jer takvih tijela u prirodi nema, mada se neka tijela po svojim osobinama približavaju definiciji krutog tijela (kosti, na primjer). Pod dejstvom sile kruto tijelo se može kretati translaciono i/ili rotaciono. Uslovi ravnoteže krutog tijela i i = 0 i M = 0 i i

26 POLUGE I SISTEMI POLUGA Model funkcionisanja lokomotornog sistema Osnovnu predstavu o funkcionisanju lokomotornog sistema možemo dobiti ako kosti (ili grupu čvrsto povezanih kostiju) posmatramo kao poluge. Poluge su fizički posmatrano kruta tijt ijela, tj. tijt ijela koja se ne deformišu u pod dejstvom sile. Deformacija realnih kostiju pod dejstvom sila koje se generišu u u mišićima ima relativno je mala, pa se u prvoj aproksimaciji one mogu uspješno modelirati polugom. B' A a O b B A s 1 A' Q B a = Q b k = Q = a b (a) Q (b) (a) poluge sile k > 1 (b) poluge brzine k<1

27 POLUGE Za analizu funkcionisanja poluga u tijelu čovjeka potrebno je znati tačan položaj napadne tačke sile mišića, tačke oslonca i napadne tačke tereta. U odnosu na meñusobni položaj ovih elemenata poluge se dijele na: poluge I vrste poluge II vrste poluge III vrste. O T O k > 1 k < 1 Q Q Primjer poluge I vrste u organizmu i njen šematski prikaz.

28 O k > 1 O Q Q Primjer poluge II vrste u organizmu i njen šematski prikaz. O k < 1 O Q R Primjer poluge III vrste u organizmu i njen šematski prikaz. Q R

29 Primjer 1. Dejstvo glave čovjeka na prvi vratni pršljen Q = mg 30N O T + Q = M C M M 5cm Q C 3cm Q 5cm = Q 3cm M 3 M = Q = 18N 5 = 18N + 30N = 48N C Uzajamno dejstvo glave čovjeka i prvog cervikalnog pršljena na kome leži glava; sila vratnog mišića održava glavu u uspravnom položaju. C σ = = 9,6 N m S 2

30 Primer 2. Izračunavanje sile u Ahilovoj tetivi T ibula Tibia T T cos sin ( 7 ) + Q K cos ( 7 ) sinθ = 0 K θ = 0 Q ( 7 ) 0 10 Q 5,6 cos = T 7 0 T a K b Q 10 T = Q = 1, 8Q 5,6,8 Q = cosθ i 0,22 Q = sinθ 2 K K K = 2, 8Q tan θ = 0,22 2,8 = 0,079 K θ θ = 4, 5

31 SISTEMI POLUGA - Model ruke biceps deltoid b d d sina O Q p Q O a Q r Q 4cm x b = 14cm x Q p + 30cm x Q b = 3,5 x 15N + 7,5 x 30N b = 277,5 N 18cm x d sina = 36cm x Q r + 72cm x Q d = (2 x 60N + 4 x 30N)/ sin16 0 d = 870,7 N

32 SISTEMI POLUGA - Model noge (a) B femur tibia O A C (b) mišić kvadriceps Analiza djelovanja butnog mišića: dijelovi noge koji učestvuju u uspravljanju (a); analogan fizički model (b). B D A ' s s θ/2 O C r DO k = = r = ' DO = s cos θ 2 θ s cos ' 2 r ' = s r cos θ 2 Za vrijednosti ugla 0<θ<160 koeficijent k<1, što znači da poluga djeluje kao poluga brzine pa sila mora biti znatno veća od tezine tereta Q/2. Iznad 160, poluga djeluje kao poluga sile što znači da je sila manja od tezine tereta.

33 peti lumbalni pršljen (L.5) B y D B M 12 0 Q2 C A 30 0 Q 1 28,5 0 A x R Q = 225 N Q 1 - težina trupa (320 N) Q 2 - težina ruku, glave i tereta (382 N) A - tačka oslonca na L.5 AB - poluga kojom se modelira trup AC = 1/2 AB AD = 2/3 AB M - sila naprezanja u leñnim mišićima R - rezultujuća sila koja djeluje na L.5 R = 3664 N Analiza dejstva sile na peti lumbalni pršljen pri podizanju tereta. 33

34 REALNI SISTEMI U prethodnom izlaganju kosti su u posmatranju zamij ijenjene modelom - polugama, koje se pod dejstvom sila ne deformišu. Kod realnih tijt ijela, kao što su kosti, mišići i i tetive (elementi lokomotornog sistema) uvij ijek dolazi do izvjesnog stepena deformacije pod dejstvom spoljnih sila. Kao protivdejstvo spoljnim, javljaju se unutrašnje nje sile koje teže e da tijt ijelu vrate prvobitan oblik. To su elastične sile. Intenzitet elastičnih sila zavisi od sila meñu molekulima od kojih je tijt ijelo načinjeno.

35 Priroda meñumolekularnih sila. Elastičnost i plastičnost Molekuli posjeduju pozitivna i negativna naelektrisanja, pa meñu njima vladaju privlačne i odbojne elektrostatičke ke sile. Meñumolekularne sile, čije se dejstvo osjeća a do rastojanja koje je deset puta veće e od dijametra molekula (d ~ m), imaju elektrostatičku ku i kvantnu prirodu. b a a b r 0 b a a b = i = s 9 7 b s r r ( ) 0 A B r 0 r a U odsustvu spoljnih sila održava se ravnotežno rastojanje r 0. Akcija - dejstvo spoljnih sila Reakcija - elastične sile tiela t ili restitucione sile. Elastične deformacije - plastične deformacije

36 Elastične deformacije Postoji više e vrsta deformacija zavisno od pravca i smjera djelovanja d spoljnih sila, kao i od mjesta m napadne tačke sile: 1. istezanje i sabijanje (i savijanje kao njihova kombinacija) 2. smicanje 3. Uvrtanje ili torzija. U opštem slučaju, pri proizvoljnom dejstvu sile može e se istovremeno javiti više e deformacija. n S t σ n = S n i σ t = t S

37 Hukov zakon za longitudinalne deformacije istezanje i sabijanje A' A S n L σ n = n / δ = L/ S L δ ~ σ L δ= 1 E γ σ L L = 1 E γ S n Eγ Jangov modul elstičnosti karakteriše e osobine materijala od koga je tijt ijelo načinjeno, odnosno stepen elastičnosti tijt ijela. Materijali velikog modula elastičnosti se srazmjerno malo deformišu u pod uticajem sile.

38 Savijanje,, smicanje s i torzija A A' A A' A A' L α α (a) (b) (c) Deformacije savijanja (a), smicanja (b) i torzije (c). Savijanje - kvazi-longitudinalna deformacija, kombinacija sabijanja i istezanja (a). Smicanje deformacija pod dejstvom tangencijalne sile čija je napadna tačka na obodu poprečnog presjeka, eka, a pravac dejstva prolazi kroz osu tijt ijela. Torzija (uvrtanje) - specijalan slučaj smicanja. Javlja se kada sila djeluje d kao tangenta na površinu poprečnog presjeka eka tijt ijela.

39 Energetika koštane frakture Energija deformisanog tijela, prema zakonu o održanju energije, biće jednaka radu spoljnih sila koje su tu deformaciju izazvale n /S (N/mm 2 ) SS n L L 0,012 L/L (%) Grafik zavisnosti relativne deformacije istezanja kompaktne kosti od normalnog napona. E E p p ε A = E = E = E = γ γ E ε V p n S L p SL 2 p = L 0 = E L 0 γ S L d L L 1 = E 2 1 = 2E γ n d( L) L L ( L) γ 2 δ σ = 2 2 n = E 1 2 E γ γ S L Vδ δ = ( L) E γ σ n 2

40 Materijal Kritični napon pri sabijanju (x10 6 N/m 2 ) Kritični napon pri istezanju (x10 6 N/m 2 ) Jangov modul elastčnosti (x10 9 N/m 2 ) Modul smicanja (x10 9 N/m 2 ) Čelik Aluminijum Porcelan Guma , Kompaktna kost Sunñerasta kost Tetiva Mišić , , Kritični napon i kritična sila. Impulsne sile N c σc = c =σ cs c = m = 2,4 10 N 2 S m Posmatrajmo sistem koji čini butna kost i kombinacija golenjače (tibia) i lišnjače (fibula) kao jedinstveno tijelo u obliku štapa (S= 6 cm2, l= 90 cm). Naći energiju koju će ovaj sistem da apsorbuje da bi pri longitudinalnoj deformaciji došlo do njegove frakture u tački loma (mjestu koje je najslabije) ( ) m 0,9m GN / m Sσ c l 7 E p = = = 1,93 10 GNm = 193J 2 2Ey 2 14 GN / m

41 Koštana depozicija i apsorpcija Koštano tkivo čine koštane ćelije koje su na površini kostiju zbijenije, a u unutrašnjosti razrjeñenije Svaka kost je pokrivena pokosnicom (periostom) u kojoj se nalazi najveći dio mladih koštanih ćelija (osteoblasta) Koštane ćelije neprekidno stvaraju koštano tkivo i omogućavaju rast kostiju u dužinu i u širinu koštana depozicija (taloženje) U graničnim oblastima mnogih šupljina kostiju nalaze se krupne ćelije osteoklasti koje razaraju i apsorbuju unutrašnje dijelove koštanog tkiva koštana apsorpcija

42 unkcionalna adaptacija kostiju Ako se stepen korištenja nekog dijela tijela ili organa uveća on će da se uveća (hipertrofiše), a ako ne, onda će on da se smanji (atrofiše). Osteogeneza (proces nastanka i formiranja kostiju) omogućava da se kost funkcionalno adaptira na sile koje djeluju na njega i to u smislu promjene strukture i u smislu promjene forme

43 Zakon transformacije kostiju Julius Wolff Svaka sila koja trajno ili veoma često djeluje na odreñenu kost mišićnoskeletnog sistema dovodi do očvršćavanja te kosti, tj.povećanja gustine koštanih ćelija i debljine kosti. Permanentno fizičko opterećenje kostiju ima stimulativan efekat na koštanu depoziciju.

44 Adaptacija forme kosti Osteogeneza omogućava i trajnu adaptaciju forme kostiju u skladu sa silama koje djeluju na kost (kost se svojim izvijanjem štiti od djelovanja poprečnih ili transverzalnih sila, težeći da se postavi longitudinalno u odnosu na pravac djelovanja sile na nju). orma kosti se mjenja u toku života zavisno od funkcija koje vrši. Kosti su ugaone poluge.

45 Mahanički model adaptacije forme kosti Qa- aksijalna komponenta sile Q čije se dejstvo prenosi duž ose poluge tako da ona djeluje na zglob Qt- transverzalna komponenta sile Q, teži da savije polugu naniže - sila znatno jača od komponente Qt, smanjuje učinak sile Qt

46 Ako se poluga savije tako da čini tup ugao s tjemenom u B, može se pokazati da će sile u potpunosti djelovati aksijalno, t.j. duž oba dijela poluge. Poluga ovog oblika nije izložena transverzalnim komponentama sila i ona je u ravnoteži. S druge strane, kost je po svojoj strukturi izuzetno otporna na djelovanje aksijalnih sila, a povećana površina glave kosti štiti klizne površine u zglobu od jakih pritisaka izazvanih ovim silama.

47 Zaključujemo: Smjer savijanja kosti je suprotan smjeru djelovanja sile. Smjerovi sila i Q su takvi da se njihove napadne linije uvijek sijeku u tački B, tj. u tjemenu ugla poluge. Tako može da se predvidi mjesto izmjene forme kosti pri djelovanju sila na nju Kao što kod prave poluge rezultantna sila koja na nju djeluje mora da prolazi kroz oslonac, tako i rezultujuća R sila i Q takoñer prolazi kroz centar O rotacije poluge, tj.zglob. Cjelokupno djelovanje poluge na zglobnu čašicu je tada aksijalno, tj.sila na čašicu djelovaće duž ose onog dijela poluge koji ulazi u čašicu

48 unkcionalna adaptacija kostiju unkcionalna adaptacija kostiju podrazumijeva takvu promjenu strukture i oblika kosti, koja će obezbijediti uniformnost naprezanja sa minimumom upotrebljenog materijala. (A.1) (A.2) 1 =7,4 Q σ=96 MPa σ=96 MPa Q (C.1) (C.2) 11 =6 Q 2 =4,8 Q σ=12,8 MPa σ=21 MPa Q (A.3) (C.3) σ u =8,5 MPa σ u =8,5 MPa 11 =6 Q (B.1) 2 =4,8 Q (D) σ=63 MPa Q (B.2) σ=71 MPa (B.3) σ u =8,5 MPa

49 Leonardo da Vinci Anatomske studije ruke (c.1510)

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

FIZIKA LJUDSKOG ORGANIZMA FIZIKA SLOBODANKA STANKOVIĆ ZA STUDENTE MEDICINSKE FIZIKE I MEDICINE NOVI SAD, 2006.

FIZIKA LJUDSKOG ORGANIZMA FIZIKA SLOBODANKA STANKOVIĆ ZA STUDENTE MEDICINSKE FIZIKE I MEDICINE NOVI SAD, 2006. FIZIKA LJUDSKOG ORGANIZMA UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA FIZIKU SLOBODANKA STANKOVIĆ FIZIKA LJUDSKOG ORGANIZMA ZA STUDENTE MEDICINSKE FIZIKE I MEDICINE SLOBODANKA STANKOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A

Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

MEðUMOLEKULARNE SILE Deformacije čvrstih tijela

MEðUMOLEKULARNE SILE Deformacije čvrstih tijela MEðUMOLEKULARNE SILE Deformacije čvrstih tijela Sfera meñumolekularnog djelovanja privlačne (atraktivne) i odbojne (repulsivne) sile Prestaju djelovati kada su centri molekula meñusobno udaljeni više od

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.

Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. * Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials,

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost

Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost. Elastičnost Eastične osobine materijaa i Hukov zakon (AP78-79) Vrste eastičnih deformacija (AP79-8) udari (AP8-85): Eastični. Neeeastični Eastične osobine materijaa. Pojam krutog tea: ne deformiše se pri dejstvu sia,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120

3525$&8158&1(',=$/,&(6$1$92-1,095(7(120 Srednja masinska skola OSOVE KOSTRUISAJA List1/8 355$&8158&1(',=$/,&(6$1$9-1,095(7(10 3ROD]QLSRGDFL maksimalno opterecenje Fa := 36000 visina dizanja h := 440 mm Rucna sila Fr := 350 1DYRMQRYUHWHQR optereceno

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile

Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe

Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju

Διαβάστε περισσότερα