Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona

Transcript

1 * Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac u kojem djeluje. Konvencija o predznaku napona Normalni napon je pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom vanjske normale na elementu površine Tangencijalni napon je pozitivan ako je na gornjoj i desnoj površini elementa usmjeren ka pozitivnom smjeru ose. *Grupa autora, lastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 OTPORNOST MATRIJALA I / 60

2 * Ravno stanje napona Ravno stanje napona jedinstveno predstavljeno s dvije komponente normalnog napona i jednom komponentom tangencijalnog napona koji djeluju na element s određenim položajem u tački elementa. = = OTPORNOST MATRIJALA I / 6

3 Naponi na kosoj ravni F i = i F i = i 0 A sec( ) A cos( ) A sin( ) A tg( )sin( ) A tg( )cos( ) = A sec( ) + A sin( ) A cos( ) A tg( )cos( ) + A tg( )sin( ) = (3.) (3.) = cos ( ) + sin ( ) + sin( )cos( ) (3.3) = + (3.4) ( )sin( )cos( ) (cos ( ) sin ( )) OTPORNOST MATRIJALA I / 6

4 Naponi na kosoj ravni = cos ( ) + sin ( ) + sin( )cos( ) (3.3) 3) = ( )sin( )cos( ) + (cos ( ) sin ( )) (3.4) cos ( ) = ( + cos( )) sin ( ) = ( cos( )) sin( )cos( ) = sin( ) + = + cos( ) + sin( ) (3.5) = sin( ) + cos( ) (3.6) OTPORNOST MATRIJALA I / 63

5 Naponi na kosoj ravni + = cos( ) sin( ) (3.6) + = + (3.7) OTPORNOST MATRIJALA I / 64

6 Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi + = + cos( ) + sin( ) (3.5) d = ( )sin( ) + cos( ) = 0 (3.8) d α = = α (3.8) tg( α) = (3.9) Ugao α određuje ravan maksimalnog/minimalnog normalnog napona Jednačina (3.9) ima dva korijena u domenu (0,π), a oni ovise od predznaka i ( - ) ovi korijeni se nazivaju i uglovi glavnih ravni OTPORNOST MATRIJALA I / 65

7 Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi + = + cos( ) + sin( ) (3.5) = sin( ) + cos( ) (3.6) + = + = + (3.7) R = + cos( α) = R sin( α ) = R + = = + U ravni glavnih normalnih napona ne djeluju tangencijalni naponi, tj. =0 (3.0) (3.) OTPORNOST MATRIJALA I / 66

8 Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi = sin( ) + cos( ) (3.6) d = ( )cos( ) sin( ) = 0 d α (3.) = = β (3.) tg( β ) = = tg( α) (3.3) Ugao β određuje ravan maksimalnog/minimalnog tamngencijalnog napona Jednačina (3.3) ima dva korijena u domenu (0,π), a oni ovise od predznaka i ( - ) za ugao β prema (3.3) vrijedi β = α ± 45 OTPORNOST MATRIJALA I / 67

9 Glavni normalni naponi i najveći tangencijalni naponi + = + cos( ) + sin( ) (3.5) = sin( ) + cos( ) (3.6) + = + = + (3.7) R = + ma,min =± + =± (3.4) cos( α ) = R sin( α) = R U ravni najvećih tangencijalnih napona djeluju normalni naponi + + = = (3.5) OTPORNOST MATRIJALA I / 68

10 Mohr-ov ov (Mor) krug napona Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao + = + cos( ) + sin( ) (3.5) sin( ) cos( ) = + (3.6) Jednačine za računanje napona mogu se predstaviti grafički pomoću Mohr-ovog kruga napona. Iz jednačina (3.5) i (3.6) se eliminiše ugao tako što se obje jednačine kvadriraju i saberu, pa se dobije: + + = + (3.6) ( sr ) R + = (3.6a) OTPORNOST MATRIJALA I / 69

11 Mohr-ov ov (Mor) krug napona konstrukcija Dva načina crtanja Mohr-ovog kruga napona OTPORNOST MATRIJALA I / 70

12 Mohr-ov ov (Mor) krug napona konstrukcija Nacrta se koordinatni sistem s abscisom ( n ), pozitivna na desno, i ordinatom ( n ), pozitivna na dole U dijagramu jg se ucrta tačka A s koordinatama (, ) predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj površi (površ A) U dijagramu se ucrta tačka B s koordinatama (,- ) predstavlja naponsko stanje na pozitivnoj površi (površ B) Povuče č se duž džod dab kj koja predstavlja dt prečnik č kruga napona s centrom u tački C. Koristeći tačku C kao centar nacrta se kružnica koja prolaziu kroz tačke A i B. Ugao α koji određuje ravan normalnih napona određuje se na osnovu ugla α ( p ) Ugao β koji određuje ravan maksimalnih tangencijalnih napona određuje se na osnovu ugla β ( s ) OTPORNOST MATRIJALA I / 7

13 Mohr-ov ov (Mor) krug napona konstrukcija JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials, Cengage Learning, Seventh dition, 009. OTPORNOST MATRIJALA I / 7

14 Mohr-ov ov (Mor) krug napona određivanje napona za proizvoljnu ravan *Grupa autora, lastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003 OTPORNOST MATRIJALA I / 73

15 Primjer 3.: lement je izložen naponima kao na slici: =85MPa, =-9MPa, =-3.5MPa. a) Odrediti glavne napone i prikaži na skici elementa napona b) Odrediti maksimalni tangencijalni napon i pokaži na elementu napona c) rezultate pod a) i b) potvrdi konstrukcijom Mohr-ovog kruga napona -9MPa 85MPa -3.5MPa OTPORNOST MATRIJALA I / 74

16 Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Aksijalno naprezanje + = + cos( ) + sin( ) = sin( ) + cos( ) = (+ cos( )) = sin( ) OTPORNOST MATRIJALA I / 75

17 Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Čisto smicanje (bez normalnih napona) + = + cos( ) + sin( ) = sin( ) + cos( ) = sin( ) = cos( ) OTPORNOST MATRIJALA I / 76

18 Specijalni slučajevi dvoosnog naponskog stanja Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih napona + = + cos( ) + sin( ) = sin( ) + cos( ) + = + = sin( ) cos( ) OTPORNOST MATRIJALA I / 77

19 Hooke-ov ov zakon za ravno stanje napona + + ε = ε = γ = γ = γ = G ε = ε = G = ( + +ν ) ε = ( ) ν ε = ν + αδ + ( ) utjecaj temperature ε = ( ν ) ε = ( ν ) + αδ T T (3.7) OTPORNOST MATRIJALA I / 78

20 Hooke-ov ov zakon za ravno stanje napona ε = ( ν ) ε = ( ν ) + utjecaj j temperature t ε = ( ν ) + αδ T ε = ( ν ) + αδ T (3.7) ( ) = ε + νε ν ( ) = ε + νε ν ( ) α = ε νε T ν + ν Δ + utjecaj temperature (3.8) ( ) α = ε νε T ν + ν Δ OTPORNOST MATRIJALA I / 79

21 Promjena zapremine i deformacioni rad Dvoosno naprezanje, bez tangencijalnih napona V 0 = abc V = ( a + aε )( b + bε)( c + cεz) = abc( + ε)( + ε)( + εz) V = V ( + ε )( + ε )( + ε ) 0 z V ( ) V0 + ε + ε + εz Δ V = V ( ) V0 V0 ε + ε + εz Specifična promjena zapremine (dilatacija): ΔV ν e = = ε + ε + εz = ( + ) V 0 Deformacioni rad W = ( ε + ε + γ ) ( ) W = + ν + G OTPORNOST MATRIJALA I / 80

22 Primjer 3.: Pravougaona čelična ploča debljine t=6 mm napregnuta je na ravnomjerne napone i, kao na slici. Mjerne trake A i B, koje su postavljene u pravcima i su postavljene na ploču. Ako su čitanja mjernih traka ε =0.00 (izduženje) i ε = (skraćenje) izračunati napone i, te promjenu debljine ploče. Podaci: = 00GPa. Primjeri (str ), Grupa autora, lastostatika I, Tehnički fakultet, Bihać, 003. OTPORNOST MATRIJALA I / 8