Enhancing the Teaching and Learning of Early Statistical Reasoning in European Schools

Transcript

1 Enhancing the Teaching and Learning of Early Statistical Reasoning in European Schools SOCRATES-COMENIUS Action Project CP CY-COMENIUS-C21 Διδακτικό Σενάριο 8 Συγγραφική Ομάδα: Universidad de Cádiz

2 COPYRIGHT Copyright 2006 EarlyStatistics Consortium consisting of: Cyprus College (CC), Cyprus Sor Trondelag University College (HiST), Trondheim, Norway University of Thessaly (UTH), Volos, Greece Aristotle University of Thessaloniki (AUTH), Thessaloniki, Greece Universidad de Cádiz, Departamento de Didáctica (UCA), Cádiz, Spain This document may not be copied, reproduced, or modified in whole or in part for any purpose without written permission from the EarlyStatistics Consortium. In addition to such written permission to copy, reproduce, or modify this document in whole or part, an acknowledgement of the authors of the document and all applicable portions of the copyright notice must be clearly referenced. All rights reserved. This document may change without notice.

3 Διδακτικό Σενάριο: Η Στατιστική ως διαδικασία λύσης προβλήματος Τηλεοπτικό επεισόδιο Numbers ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4 Στόχοι 5 Περιεχόμενο 5 Η μεθοδολογία 5 Βιβλιογραφικές Αναφορές 6 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 7 ΠΡΟΣΔΟΚΩΝΤΑΣ ΤΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ 7 ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΤΟΥ ΤΗΛΕΟΠΤΙΚΟΥ ΕΠΕΙΣΟΔΙΟΥ NUMBERS 7 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 9 Ιούνιος 2008 S8-Greek Σελ. 3

4 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Εισαγωγή Μελέτες που έχουν γίνει διεθνώς, καταδεικνύουν ότι οι μαθητές έχουν σοβαρές παρανοήσεις για στατιστικά φαινόμενα. Οι περισσότεροι έχουν την τάση να χρησιμοποιούν τις πληροφορίες που εξάγονται από πολύ μικρού μεγέθους δείγματα για να προβαίνουν σε γενικεύσεις για τον ευρύτερο πληθυσμό. Σε αυτήν την περίπτωση λέμε ότι η κρίση πιθανοτήτων των μαθητών βασίζεται στην επιρροή της «αντιπροσωπευτικότητας» (representativeness heuristic), μη λαμβάνοντας υπόψη την μεταβλητότητα των δεδομένων. Ο Cardeñoso (1998), υποστηρίζει ότι η διδασκαλία των μαθηματικών συχνά ενθαρρύνει αυτή την τάση των μαθητών, οδηγώντας σε παρανοήσεις που δυσχεραίνουν την κατανόηση καταστάσεων που χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητα. Οι παρανοήσεις των μαθητών μπορεί εν μέρει να οφείλονται στον τρόπο διδασκαλίας των στατιστικών εννοιών. Στην τάξη των μαθηματικών, ζητείται συνήθως από τους μαθητές απλά να επεξεργαστούν στατιστικά δεδομένα που αφορούν πολύ μικρού μεγέθους δείγματα (Serradó, 2003), τα οποία τις περισσότερες προ-επιλέγονται από τον εκπαιδευτικό. Η επικέντρωση μόνο στην ανάλυση δεδομένων, δεν δίνει στον ευκαιρία στα παιδιά να βιώσουν την στατιστική ως διαδικασία λύσης προβλήματος με τέσσερις συνιστώσες: διατύπωση προβλήματος, συλλογή δεδομένων, επεξεργασία δεδομένων, εξαγωγή συμπερασμάτων. Η παραγνώριση της φάσης της διατύπωσης του ερευνητικού προβλήματος, δεν δίνει στους μαθητές την ευκαιρία να προβληματιστούν για το εάν θα πρέπει να αναμένουν ένα ντετερμινιστικό αποτέλεσμα που θα καθορίζεται από τα δεδομένα ή αν το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα λόγω της μεταβλητότητας των δεδομένων. Η κατανόηση, όμως, της στατιστικής εξαρτάται από τη διάκριση ανάμεσα στα ντετερμενιστικά φαινόμενα όπου η απάντηση μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια και στα στοχαστικά φαινόμενα όπου το αναμενόμενο αποτέλεσμα είναι αβέβαιο γιατί στηρίζεται σε δεδομένα που χαρακτηρίζονται από μεταβλητότητα (Kader and Perry, 2007). Παραγνωρίζοντας την τελική φάση της στατιστικής διαδικασίας όπου πρέπει να γίνεται ερμηνεία των δεδομένων και εξαγωγή συμπερασμάτων σε σχέση με το ερευνητικό πρόβλημα, δίνουμε στους μαθητές μας την εσφαλμένη εντύπωση ότι η πρόσβαση ακόμη και σε ένα πολύ μικρού μεγέθους δείγματα είναι αρκετή για να μπορούν να γίνουν γενικεύσεις και να καθοριστούν με βεβαιότητα ιδιότητες του πληθυσμού. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι μαθητές να αγνοούν το σημαντικό ρόλο της μεταβλητότητας των δεδομένων στη στατιστική. Σε αυτή την δραστηριότητα, παρουσιάζουμε ένα διδακτικό σενάριο το οποίο φέρνει τους μαθητές σε επαφή με όλες τις φάσεις της διαδικασίας επίλυσης στατιστικών προβλημάτων. Ιούνιος 2008 S8-Greek Σελ. 4

5 Στόχοι Ο μαθητής: Να εξοικειωθεί με τον τρόπο εργασίας ενός μαθηματικού κατά τη διαδικασία επίλυσης κάποιου στατιστικού προβλήματος Να κατανοήσει το σημαντικό ρόλο της μεταβλητότητας στη στατιστική Να γνωρίζει τις συνιστώσες που περιλαμβάνει η διαδικασία επίλυσης στατιστικών προβλημάτων Να εξοικειωθεί με τη στατιστική ορολογία. Περιεχόμενο Έννοιες Μεταβλητότητα/Διακύμανση δεδομένων Δείγμα Συχνότητα Γραφική παράσταση Διαδικασίες στατιστικής έρευνας Στάσεις Εκτίμηση της σημασίας της στατιστικής για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων Η μεθοδολογία Η δραστηριότητα διαιρείται σε τρία διαφορετικά στάδια, το καθένα από τα οποία ακολουθεί συγκεκριμένη μεθοδολογία. Πρόγνωση της μεταβλητότητας Σε αυτό το στάδιο, ο μαθητής πρέπει να κατανοήσει τη διαφορά ανάμεσα σε ντετερμινιστικές καταστάσεις που καθορίζονται από τα δεδομένα και καταστάσεις που χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητα και διακύμανση των δεδομένων. Εισηγούμαστε όπως πρώτα οι μαθητές δουλέψουν ατομικά ή σε ζευγάρια και όπως ακολούθως συζητήσουν τα συμπεράσματά τους με τους υπόλοιπους συμμαθητές τους. Ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να είναι σε θέση να αναγνωρίσει τα εμπόδια ή τις δυσκολίες κατανόησης των μαθητών που συνδέονται με τον ντετερμινιστικό ή τυχαίο χαρακτήρα των μεταβλητών που εξετάζονται. Προηγούμενες μελέτες (π.χ. Serradó, Cardeñoso και Azcárate, 2006) για τα εμπόδια που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στην κατανόηση της έννοιας του τυχαίου καταδεικνύουν ότι ο εκπαιδευτικός πιθανόν να παρατηρήσει δύο είδη εμποδίων: επιστημολογικά και οντολογικά. Τα επιστημολογικά εμπόδια αφορούν στο περιορισμένο είδος των φαινομένων που μπορούν να μελετηθούν στην τάξη των μαθηματικών, τα οποία περιορίζουν την ευρεία έννοια του τυχαίου πειράματος ή οδηγούν σε παρανοήσεις ως προς την έννοια της αβεβαιότητας. Τα οντολογικά εμπόδια συσχετίζονται με τη διάκριση μεταξύ της πιθανότητας και της αιτιότητας. Ιούνιος 2008 S8-Greek Σελ. 5

6 Παρακολούθηση του τηλεοπτικού επεισοδίου Numbers Οι εκπαιδευτικοί μπορούν προβάλουν αυτό το επεισόδιο στην τάξη τους, αφού πρώτα εξασφαλίσουν άδεια από την ακόλουθη διεύθυνση: Ενώ οι μαθητές παρακολουθούν το επεισόδιο, πρέπει να εστιάσουν την προσοχή τους στις μαθηματικές και στατιστικές εκφράσεις που χρησιμοποιεί ο μαθηματικός Charlie. Η δραστηριότητα που θα βοηθήσει τους μαθητές να εντοπίσουν αυτούς τους μαθηματικούς και στατιστικούς όρους είναι ένα πολλαπλής επιλογής ερωτηματολόγιο. Το ερωτηματολόγιο αυτό έχει διαμορφωθεί έτσι ώστε να βοηθήσει τους μαθητές να διακρίνουν μεταξύ των στατιστικών και άλλων μαθηματικών εννοιών. Η συμπλήρωση του ερωτηματολογίου, η οποία γίνεται παράλληλα με την παρακολούθηση του επεισοδίου, θα βοηθήσει τους μαθητές να: Αναπτύξουν το λεξιλόγιο και την ορολογία που συνδέεται με τη στατιστική, όπως προτείνεται στο NCTM (2000). Να διακρίνουν τις διαφορές μεταξύ της καθημερινής γλώσσας και γλώσσας που χρησιμοποιείται στη στατιστική. Οι Ortiz, Batanero και Serrano (2001) μας ενημερώνουν ότι είναι απαραίτητο οι μαθητές να κατανοούν αυτές τις διαφορές προκειμένου να ξεπεραστούν εμπόδια στην κατασκευή των πιθανολογικών και στατιστικών εννοιών που συνδέονται με τη στατιστική ορολογία. Ερμηνεία Δεδομένων Οι μαθητές συζητούν με την ομάδα τους το τηλεοπτικό επεισόδιο που έχουν παρακολουθήσει. Ακολουθεί συζήτηση με ολόκληρη η τάξη έτσι ώστε να εξαχθούν συμπεράσματα για το ρόλο της μεταβλητότητας στη στατιστική και για τις διαδικασίες που ακολουθούνται σε μια στατιστική έρευνα. Βιβλιογραφικές Αναφορές Cardeñoso (1998): Las creencias y conocimientos de los profesores de Primaria andaluces sobre la Matemática escolar. Modelización de concepciones sobre la Aleatoriedad y Probabilidad. Tesis doctoral inédita. Universidad de Granada. Kader, G. D. and Perry, M. (2007): A framework for teaching statistics within the K-12 mathematics currículo. Proceedings of the 7 th International Conference on Teaching Statistics. Working Cooperatively in Statistics Education. Salvador de Bahía, Brasil. NCTM (2000): Principles and standards for school mathematics. Reston, VA; N.C.T.M. http//standards.nctm.org Ortiz, J.J., Batanero, C. and Serrano, L. (2001): El lenguaje probabilístico en los libros de texto. Suma, 38, Serradó, A. (2003). El tratamiento del azar en educación secundaria obligatoria. Doctoral Dissertation. Michigan, EEUU: UMI s Proquest Digital Dissertations. AAT Number. Serradó, A; Cardeñoso, J.M and Azcárate, P. (2006): Obstacles in the learning of probabilistic knowledge: influence from the textbooks. Statistics Education Research Journal, 4(2), 59-81, Ιούνιος 2008 S8-Greek Σελ. 6

7 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Εισαγωγή Ίσως ποτέ να μην αναρωτηθήκατε για πως μπορούν οι μαθηματικοί και οι στατιστικοί να κάνουν προβλέψεις για γεγονότα που πρόκειται να συμβούν στο μέλλον, έχοντας πρόσβαση μόνο σε ένα μικρού μεγέθους δείγμα του πληθυσμού. Παραδείγματος χάριν πώς κατορθώνουν οι εκλογολόγοι να προβλέψουν με επιτυχία τον νικητή των προσεχών προεδρικών εκλογών, ή πώς γνωρίζει μια φαρμακευτική εταιρεία ότι κάποιο καινούργιο φάρμακο που κατασκεύασε θα βοηθήσει τους ασθενείς ως σύνολο; Για να κάνουν σωστές προβλέψεις, οι επιστήμονες εφαρμόζουν την στατιστική μεθοδολογία. Σε αυτή την δραστηριότητα, θα εξοικειωθείτε με την στατιστική μεθοδολογία και τις διαδικασίες που περιλαμβάνει. Προσδοκώντας τη μεταβλητότητα Οι επιστήμονες πάντα είχαν την ανάγκη να κάνουν προβλέψεις για τη μεταβλητότητα των δεδομένων, προκειμένου να λύσουν πρακτικά προβλήματα. 1. Εξετάστε τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις. Σε ποια από τις δύο περιπτώσεις η απάντηση μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια και σε ποια εμπεριέχει το στοιχείο της αβεβαιότητας; α. Ο υποψήφιος που θα εκλεγεί στις επόμενες προεδρικές εκλογές. β. Ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει κάποιος από την εργασία του στο σπίτι του, ταξιδεύοντας με συγκεκριμένη σταθερή ταχύτητα, αν η εργασία του βρίσκεται σε απόσταση 10 χιλιομέτρων από το σπίτι του. 2. Σκεφτείτε παραδείγματα καταστάσεων όπου υπάρχει διακύμανση των τιμών. Ταξινομήστε αυτές τις καταστάσεις ανάλογα με το αν αυτές αφορούν ντετερμινιστικά φαινόμενα όπου το αποτέλεσμα μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα ή στοχαστικά φαινόμενα όπου το αναμενόμενο αποτέλεσμα είναι αβέβαιο λόγω της μεταβλητότητας των δεδομένων. Για λύσουμε κάποιο πρόβλημα σχετικό με τη μεταβλητότητα των δεδομένων, πρέπει να κάνουμε μια στατιστική έρευνα. Για να κατανοήσουμε τη διαδικασία που ακολουθείται σε μια στατιστική έρευνα, θα παρακολουθήσουμε ένα επεισόδιο της τηλεοπτικής σειράς «Numbers». Παρακολούθηση του τηλεοπτικού επεισοδίου Numbers 3. Ενώ παρακολουθείτε τη σειρά, επιλέξτε σε κάθε μια από τις ακόλουθες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής την σωστή απάντηση: Ι. Στη πρώτη σκηνή με την FBI, ο Charlie λέει ότι πρόκειται να κάνει: α. Ποιοτική ανάλυση των δεδομένων β. Διανυσματική ανάλυση Ιούνιος 2008 S8-Greek Σελ. 7

8 ΙΙ. Γιατί η FBI χρειάζεται τις υπηρεσίες ενός διάσημου μαθηματικού; α. Λόγω της πολυπλοκότητας των υπολογισμών β. Επειδή ένας διάσημος μαθηματικός μπορεί να προβλέψει το αποτέλεσμα. ΙΙΙ. Μια ασθένεια είναι ένα πρόβλημα που εξαρτάται από: α. Μια μεταβλητή β. Πολλαπλές μεταβλητές IV. Ποιες είναι οι μεταβλητές που εμφανίζονται στον τύπο; β ε τ ν ρ π s u V. Ποια εργαλεία χρειάζεται ένας μαθηματικός; α. Στατιστικά αριθμητικά μέτρα και γραφικές παραστάσεις β. Άλγεβρα και γεωμετρία VI. Γιατί ο Charlie χρειάζεται περισσότερα στοιχεία; α. Για να προσδιορίσει τους άξονες του καρτεσιανού επιπέδου και να καθορίσει την επέκτασή τους. β. Για να βρει την αρχή των αξόνων και για να καθορίσει την επέκτασή τους. VII. Τι υπολόγισε τον Charlie; α. Τη συχνότητα β. Τη σχετική συχνότητα γ. Το ποσοστό VIII. Ο Charlie πρέπει να ανακαλύψει: α. Τον ασθενή μηδέν. β. Που πηγαίνουν. γ. Πού βρίσκονται οι νέοι ασθενείς IX. Η εξέλιξη είναι όπως: α. Μια γραφική παράσταση. β. Ένα ζώο γ. Ένα φυτό Χ. Ο Charlie πρέπει να αποδείξει: α. Τους υπολογισμούς β. Την γραφική παράσταση γ. Τον χάρτη προβολής ΧΙ. Η τυπική εικόνα ενός επιστήμονα είναι αυτή: α. Του τρελού ατόμου β. Του αμερόληπτου επιστήμονα γ. Του παθιασμένου επιστήμονα ΧΙΙ. Τι σημαίνει «ο καθένας έχει τον ίδιο αριθμό λεπτών»; α. Ότι ο χρόνος περνά το ίδιο αργά στην τελευταία τάξη της ημέρας όπως και στην πρώτη β. Ότι ο χρόνος περνά το ίδιο γρήγορα στην τελευταία τάξη της ημέρας όπως και στην πρώτη Ιούνιος 2008 S8-Greek Σελ. 8

9 ΧΙΙΙ. Ο Charlie ασχολείται με την: α. Ανάλυση υπερβολικών συναρτήσεων β. Στατιστική ανάλυση σύνθετων μεταβλητών και πολλαπλών διανυσμάτων XIV. Ο Charlie έχει βρει τη λύση για: α. Το σημείο μηδέν β. Το σημείο τομής με τον άξονα Χ γ. Το σημείο τομής με τον άξονα Y XV. Τα μαθηματικά είναι: α. Ανιαρά β. Λογικά γ. Προβλήματα XVI. Ποιο είναι το κοινό σημείο όλων των θυμάτων; α. Το σημείο μηδέν β. O Σταθμός Union XVII. Όταν προσαρμοστεί το μοντέλο στο σταθμό, παρουσιάζεται: α. Μείωση κατά 36% των περιπτώσεων και βελτίωση του μοντέλου β. Μείωση κατά 36% των περιπτώσεων και χειροτέρευση του μοντέλου γ. Αύξηση κατά 36% των περιπτώσεων και βελτίωση του μοντέλου Δ. Αύξηση κατά 36% των περιπτώσεων και χειροτέρευση του μοντέλου XVIII. Στο Βορρά βρίσκονται: α. 80% περισσότεροι ασθενείς απ ότι στο Νότο β. 80% λιγότεροι ασθενείς απ ότι στο Νότο ΧΙΧ. Ποια είναι η πιθανότητα εμφάνισης και των δύο στο ίδιο σημείο; α. Είναι βέβαιο ότι θα συμβεί αυτό β. Είναι αδύνατο να συμβεί κάτι τέτοιο ΧΧ. Στη σκηνή όπου παρατηρούν το DNA δύο διαφορετικών δειγμάτων αίματος, ο Charlie εξηγεί ότι ως μαθηματικός έχει: α. Απλουστεύσει τα δεδομένα β. Μεγεθύνει τα δεδομένα γ. Παραστήσει γραφικά τα δεδομένα Ερμηνεία των Δεδομένων 4. Πώς ο Charlie ως μαθηματικός έχει βοηθήσει στην εξιχνίαση του εγκλήματος; Ακολουθώντας τη στατιστική μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων, ο Charlie έχει χρησιμοποιήσει τέσσερις διαφορετικές διαδικασίες που είναι: διατύπωση του προβλήματος, συλλογή δεδομένων, επεξεργασία δεδομένων, εξαγωγή συμπερασμάτων. 5. Σκεφτείτε για τις τέσσερις διαδικασίες και προσδιορίστε σε ποιες περιπτώσεις έχει χρησιμοποιηθεί η καθεμία: 6. Πιστεύετε ότι το αποτέλεσμα είναι 100% ορθό; Γιατί ναι ή γιατί όχι; Ιούνιος 2008 S8-Greek Σελ. 9