Μη Γραμμική Ανάλυση Τοιχοποιιών υπό Διαξονική Ένταση

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1-9 Μη Γραμμική Ανάλυση Τοιχοποιιών υπό Διαξονική Ένταση Π. Γ. ΑΣΤΕΡΗΣ Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. Περίληψη Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μία νέα πρόταση για τη μη γραμμική (ελαστοπλαστική) ανάλυση ανισότροπων τοιχοποιιών υπό διαξονική ένταση. Ιδιαίτερη έμφαση δίδεται στη διατύπωση/ προσδιορισμό της επιφάνειας διαρροής ανισότροπων τοιχοποιιών υπό επίπεδη εντατική κατάσταση καθώς επίσης και στην αριθμητική μέθοδο επίλυσης του μη γραμμικού προβλήματος. Ειδικότερα για τον προσδιορισμό της επιφάνειας διαρροής γίνεται χρήση ενός κυβικού τανυστικού πολυωνύμου ενώ για την επίλυση του ελαστοπλαστικού προβλήματος γίνεται χρήση της μεθόδου των αρχικών τάσεων. Για την εφαρμογή της μεθοδολογίας σχεδιάσθηκε ένα νέο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων για την ελαστοπλαστική ανάλυση επιπέδων τοιχοποιιών το οποίο λαμβάνει υπόψη την ιδιαίτερα έντονη ανισότροπη συμπεριφορά αυτών. Η νέα πρόταση για διατύπωση των εξισώσεων της πλαστικότητας μέσω μίας ομαλής (ενιαίας) επιφάνειας διαρροής έχει ως αποτέλεσμα την εξάλειψη υπολογιστικών προβλημάτων που εμφανίζονται από τη χρήση μη ομαλών (ιδιόμορφων) επιφανειών κατά τη διαδικασία της μη γραμμικής ανάλυσης. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζονται οι βασικές αρχές της μαθηματικής θεωρίας της πλαστικότητας, με ιδιαίτερη έμφαση στην περίπτωση της τοιχοποιίας. Ειδικότερα, καταστρώνονται οι σχέσεις που αφορούν την πλαστικότητα με βάση μία νέα μέθοδο για τον αναλυτικό προσδιορισμό της επιφάνειας διαρροής μιας ανισότροπης τοιχοποιίας μέσω μίας ομαλής (regular) επιφάνειας, δηλαδή μίας επιφάνειας που καθορίζεται μέσω μιας μόνον εξισώσεως της μορφής f(σ) = 0 (Koiter, 1953) [8]. Το ζητούμενο μίας ομαλής επιφάνειας διαρροής έχει ήδη διατυπωθεί από τον Hill το 1950 στο βιβλίο του he Mathematical heory of Plasticity [6]. Η διατύπωση της θεωρίας της πλαστικότητας μέσω μίας κλειστής επιφάνειας διαρροής αντιμετωπίζει, όπως θα δειχθεί παρακάτω, το κύριο πρόβλημα εφαρμογής της μη γραμμικής ανάλυσης που είναι η ύπαρξη ιδιόμορφων σημείων ασυνέχειας σε επιφάνειες διαρροής και τα οποία εισάγουν υπολογιστικά προβλήματα κατά τη διαδικασία της μη γραμμικής ανάλυσης (Zienkiewicz, Valliapan, and King 1969) [19]. Κύριο χαρακτηριστικό των μέχρι σήμερα αναλυτικών διερευνήσεων της μη γραμμικής συμπεριφοράς της τοιχο- Υποβλήθηκε: Έγινε δεκτή: ποιίας (Andreaus & Ippoliti 1995, Ballio, Calvi & Magenes 199) [1] [3] είναι αφενός η χρήση ετοίμων προγραμμάτων ανάλυσης κατασκευών τα οποία έχουν συνταχθεί για την περίπτωση του σκυροδέματος και αφετέρου η χρήση ισότροπων και μη ομαλών επιφανειών διαρροής κατά τη διαδικασία προσδιορισμού του ελαστοπλαστικού μητρώου. Παρά το μεγάλο αριθμό προγραμμάτων πεπερασμένων στοιχείων που έχουν συνταχθεί μέχρι τώρα, σπανίζουν τα προγράμματα που έχουν αναπτυχθεί για την περίπτωση της τοιχοποιίας, ιδιαίτερα δε, για την ανισότροπη, μη γραμμική θεώρηση αυτής, που αποτελεί και κύριο γνώρισμά της. Εξ άλλου ως κυριότερο μειονέκτημα της χρήσης ετοίμων προγραμμάτων μπορεί να αναφερθεί η μη προσπελασιμότητα των προγραμμάτων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την αδυναμία επέμβασης και τροποποίησης του υφιστάμενου λογισμικού ώστε να λάβει υπόψη τις θεωρήσεις που ισχύουν για την τοιχοποιία. Με σκοπό την αναίρεση των προβλημάτων από τη χρήση ετοίμων προγραμμάτων αναπτύχθηκε λογισμικό σε γλώσσα προγραμματισμού FORRAN, το οποίο αντιμετωπίζει μη γραμμικά επίπεδα προβλήματα τοιχοποιίας με φόρτιση στο επίπεδό τους λαμβάνοντας υπόψη την ανισότροπη συμπεριφορά αυτής. Κατά τον σχεδιασμό του προγράμματος δόθηκε ιδιαίτερη βαρύτητα στην γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης. Μέσω του προγράμματος παράγονται εκτός από τα γνωστά διαγράμματα δύναμηςμετατόπισης έγχρωμες γραφικές απεικονίσεις του τρόπου εξέλιξης της διαρροής με διάκριση αυτής ανάλογα προς το είδος της έντασης για την οποία λαμβάνει χώρα (διαρροή υπό διαξονική θλιπτική, εφελκυστική ή ετερόσημη ένταση).. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ.1. Ελληνικά σύμβολα : µ : µ µ

2 10 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1- : µ 1 1 :,, 1 :, x y : µ x,y : µ x-y.. Λατινικά σύμβολα D : µ 0 : F i : µ F ij : 4 µ F ijk :.3. Γενικοί δείκτες 6 µ Αντικείμενο της μαθηματικής θεωρίας της πλαστικότητας είναι να ορίσει μία θεωρητική περιγραφή της σχέσης τάσεων-παραμορφώσεων για ένα υλικό το οποίο εμφανίζει ελαστοπλαστική απόκριση. Για να διατυπωθεί μία θεωρία η οποία να προσομοιώνει την ελαστοπλαστική παραμόρφωση του υλικού απαιτούνται: Μία σαφής σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης η οποία να περιγράφει τη συμπεριφορά του υλικού υπό ελαστικές συνθήκες. Ένα κριτήριο διαρροής το οποίο να ορίζει το επίπεδο της έντασης για το οποίο έχουμε έναρξη πλαστικής ροής. Μία σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης μετά την έναρξη της διαρροής. Πριν απ την έναρξη πλαστικής διαρροής, η σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης δίδεται από την παρακάτω συνήθη γραμμική ελαστική έκφραση: D (3.1) όπου σ και ε είναι οι συνιστώσες της έντασης και της παραμόρφωσης αντίστοιχα και D είναι το μητρώο ελαστικότητας., d p d p e : ελαστικό ep : ελαστοπλαστικό p : πλαστικό vol : όγκος.4. Χρώματα : µ ()=0 d p 1 : µ : : 3. Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΠΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ, 1 1 Σχήμα 1: Γεωμετρική αναπαράσταση του νόμου της καθετότητας στην περίπτωση ενός δυσδιάστατου προβλήματος. Figure 1: Geometrical representation of the normality rule in two dimensional stress space Το κριτήριο διαρροής Το κριτήριο διαρροής καθορίζει το επίπεδο της έντασης για το οποίο αρχίζει η πλαστική παραμόρφωση και μπορεί να γραφεί με την παρακάτω γενική μορφή: 0 (3.) Η γεωμετρία της επιφάνειας διαρροής επηρεάζει σημαντικά τόσο τη διατύπωση όσο και την επίλυση του μη γραμμικού προβλήματος, όπως θα δειχθεί σε επόμενη παρά-

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1-11 γραφο, στην οποία θα παρουσιασθούν διεξοδικά τα προβλήματα που γεννώνται κατά τη διαδικασία υπολογισμού του ελαστοπλαστικού μητρώου. 3.. Νόμος της πλαστικής ροής D 1 (3.6) 3.4. Ελαστοπλαστικό μητρώο Πρώτος ο Von Mises το 198 πρότεινε τη βασική καταστατική σχέση που καθορίζει την αύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης σε σχέση με την επιφάνεια διαρροής. Εάν δ{ε} p συμβολίζει την αύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης τότε σύμφωνα με τον Von Mises ισχύει: p (3.3) όπου λ είναι μία προσδιοριστέα σταθερά (πλαστικός πολλαπλασιαστής). Ευρετικές μέθοδοι (Heuristic methods 1 ) για την ισχύ της προτεινόμενης σχέσης (3.3) έχουν δοθεί από διάφορους ερευνητές (Drucker, 1951), (Prager, 1956) [5] [1] και μέχρι σήμερα φαίνεται να είναι γενικά αποδεκτή: Ο νόμος αυτός είναι γνωστός ως η αρχή της καθετότητας, επειδή η σχέση (3.3) μπορεί να ερμηνευθεί ως η απαιτούμενη καθετότητα του διανύσματος αύξησης της πλαστικής παραμόρφωσης προς την επιφάνεια διαρροής στον ν-διάστατο χώρο της έντασης. Στο σχήμα 1 παρουσιάζεται σχηματικώς αυτή η καθετότητα στην περίπτωση ενός δυσδιάστατου προβλήματος Σχέσεις συνολικών τάσεων-παραμορφώσεων Εάν υποτεθεί ότι κατά τη διάρκεια μίας απειροστής μεταβολής της τάσης, οι μεταβολές της παραμόρφωσης αποτελούνται από ελαστικά και πλαστικά τμήματα, τότε ισχύει η σχέση: e p (3.4) Οι μεταβολές της ελαστικής παραμόρφωσης σχετίζονται με τις μεταβολές της τάσης μέσω ενός συμμετρικού μητρώου σταθερών [D], του μητρώου ελαστικότητας κατά την ακόλουθη σχέση: 1 e D (3.5) Όταν λαμβάνει χώρα πλαστική διαρροή, οι τάσεις βρίσκονται επάνω στην επιφάνεια διαρροής η οποία δίδεται από τη σχέση (3.). Διαφορίζοντας αυτή μπορούμε να γράψουμε: ή ή 0 x y x y... 0 (3.7) 0 (3.8) όπου: (3.9) Το διάνυσμα α καλείται διάνυσμα ροής. Στο σημείο αυτό αξίζει να επισημανθεί ότι το διάνυσμα μεταβολής των τάσεων δ{σ} είναι κάθετο στο διάνυσμα ροής α επειδή το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν (σχέση (3.8)). Η έκφραση (3.6) μπορεί κατά συνέπεια να ξαναγραφεί με την ακόλουθη μορφή: 1 D (3.10) Με πολλαπλασιασμό και των δύο μερών της ισότητας (3.10) από αριστερά με α D προκύπτει: D D (3.11) Με αντικατάσταση στην (3.11) του α Τ δ{σ} από την (3.8) προκύπτει: Η σχέση (3.4), με χρήση των εξισώσεων (3.3) και (3.5) μπορεί να γραφεί με την παρακάτω μορφή: D D 1 Ευρετική μέθοδος (Heuristic method) καλείται κάθε μη αλγοριθμική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων, στην οποία η πορεία προς ένα αποδεκτό τελικό αποτέλεσμα στηρίζεται σε μία σειρά προσεγγιστικών παραδοχών.

4 1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1- ή επιλύοντας ως προς λ προκύπτει: D D (3.1) Με αντικατάσταση τώρα της (3.1) στην (3.10) προκύπτει: D 1 D D Επιλύοντας την παραπάνω σχέση ως προς δ{σ} προκύπτει: ή όπου: D D1 D D ep (3.13) D D Dep D (3.14) D είναι το ελαστοπλαστικό μητρώο. 4. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΕΛΑΣΤΟ- ΠΛΑΣΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η μέθοδος των αρχικών τάσεων προτάθηκε το 1969 από τους Zienkiewicz, Valliapan και King [19] και επιλύει ένα ελαστοπλαστικό πρόβλημα βάσει μιας σειράς διαδοχικών προσεγγίσεων. Για κάθε μεταβολή του φορτίου, λύνεται κατ αρχάς ένα ελαστικό πρόβλημα, οπότε προσδιορίζεται μία μεταβολή της παραμόρφωσης Δε και η αντίστοιχη μεταβολή της έντασης Δσ σε κάθε σημείο της κατασκευής. Όμως η μη γραμμικότητα του προβλήματος συνεπάγεται ότι για τη μεταβολή της παραμόρφωσης που βρέθηκε, η μεταβολή της τάσης δεν είναι εν γένει σωστή. Οπότε, εάν Δσ η πραγματική μεταβολή της τάσης που αντιστοιχεί στη δοθείσα παραμόρφωση, η ισορροπία δεν μπορεί να διατηρηθεί παρά με την εισαγωγή ενός συνόλου από καθολικές δυνάμεις που να ισορροπεί τις αρχικές τάσεις (Δσ-Δσ ). Στο δεύτερο βήμα οι προηγούμενες καθολικές δυνάμεις μπορούν να αφαιρεθούν επιτρέποντας στην κατασκευή να παραμορφωθεί εκ νέου. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα να αναπτυχθεί ένα νέο σύνολο από παραμορφώσεις και επομένως να εμφανισθούν και οι αντίστοιχες μεταβολές των τάσεων. Λόγω όμως της μη γραμμικότητας του προβλήματος οι προκύπτουσες τάσεις θα είναι πιο μεγάλες από αυτές που δίνουν οι μη γραμμικές καταστατικές εξισώσεις και άρα θα πρέπει να εισαχθούν πάλι καθολικές δυνάμεις που θα προκαλέσουν ανακατανομή των τάσεων. Η διαδικασία συγκλίνει όταν η μεταβολή του φορτίου ικανοποιεί τελικά τόσο τις καταστατικές ελαστικές εξισώσεις, όσο και τις μη γραμμικές εξισώσεις. Αυτή η σύγκλιση όπως οι εφαρμογές δείχνουν, είναι σύντομη και τρεις ή τέσσερις κύκλοι ανακατανομής του φορτίου είναι αρκετοί σε κάθε αύξηση του φορτίου. Επειδή όμως σε κάθε κύκλο είναι το ίδιο ελαστικό πρόβλημα που πρέπει να λυθεί, προκύπτουν πολύ σύντομοι χρόνοι επίλυσης εφόσον χρησιμοποιηθεί μία διαδικασία πίσω-αντικατάστασης (back substitution process) με το μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής να παραμένει σταθερό. Εν γένει, για να ακολουθήσουμε την εξέλιξη των παραμορφώσεων είναι απαραίτητο να εφαρμοσθεί μία σειρά από μεταβολές του φορτίου. Εάν εφαρμοσθεί μία μόνη αύξηση προκύπτει ένα κάτω φράγμα του σωστού αποτελέσματος για το οποίο ικανοποιούνται τα κριτήρια ισορροπίας και διαρροής, όχι όμως και η πραγματική εξέλιξη των παραμορφώσεων. Για την ελαστοπλαστική κατάσταση, τα βήματα κατά τη διάρκεια μίας αύξησης του φορτίου μπορούν να συνοψισθούν ως εξής σύμφωνα με τους Zienkiewicz, Valliapan και King [19]: βήμα 1ο: Κατ αρχάς επιβάλλεται μία μεταβολή του φορτίου και προσδιορίζονται οι ελαστικές μεταβολές της τάσης {Δσ } 1 και οι αντίστοιχες αυξήσεις της παραμόρφωσης {Δε } 1. βήμα ο: Οι αυξήσεις {Δσ } 1 προστίθενται στις ήδη υπάρχουσες τάσεις {σ 0 } προ της επιβολής της μεταβολής του φορτίου και προκύπτουν οι {σ }. Ελέγχεται εάν f{σ }<0. Εάν ισχύει, οι προκύπτουσες μεταβολές στην παραμόρφωση είναι πράγματι ελαστικές και δεν πραγματοποιείται το βήμα 3. Εάν δεν ισχύει λαμβάνει χώρα το βήμα 3. βήμα 3ο: Εάν f{σ } 0 και f{σ 0 }=0 (δηλαδή το στοιχείο βρισκόταν στην επιφάνεια διαρροής στην έναρξη της μεταβολής) υπολογίζεται το {Δσ} 1 από την εξίσωση (3.13). 1 D ep 1 όπου το [D] ep υπολογίζεται από τη σχέση (3.14) συναρτήσει των {σ }. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι τάσεις που πρέπει να εξισορροπηθούν από τις καθολικές δυνάμεις που θα εισαχθούν, δηλαδή οι:

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No και αποθηκεύονται (στη μνήμη του υπολογιστή) οι τρέχουσες τάσεις και οι αντίστοιχες παραμορφώσεις: 1 1 Η παραπάνω επαναληπτική διαδικασία σταματά όταν οι κομβικές δυνάμεις του βήματος 5 φθάσουν σε αρκετά μικρές τιμές. Εάν αυτό δεν είναι κατορθωτό για ένα προκαθορισμένο αριθμό επαναλήψεων (0 σύμφωνα με τους Zienkiewicz, Valliapan και King [19]) θεωρείται ότι έχουν επιτευχθεί συνθήκες κατάρρευσης και η διαδικασία σταματά. Η παραπάνω διαδικασία παρουσιάζεται/επεξηγείται γραφικά στο σχήμα. Αξίζει να σημειωθεί ότι μετά από λίγες επαναλήψεις οι προκύπτουσες τάσεις βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια διαρροής Σχήμα : Γραφική ερμηνεία της μεθόδου των αρχικών τάσεων. Figure : Graphical interpretation of the initial stress method. βήμα 4ο: Εάν f{σ } 0 και f{σ 0 }<0 υπολογίζονται οι ενδιάμεσες εκείνες τιμές των τάσεων για τις οποίες έχουμε έναρξη της πλαστικής διαρροής και υπολογίζεται η μεταβολή {Δσ} 1 από την εξίσωση (3.13) με αφετηρία από εκείνο το σημείο. Η διαδικασία συνεχίζεται όπως στο βήμα 3. βήμα 5ο: Υπολογίζονται οι επικόμβιες δυνάμεις που αντιστοιχούν στις καθολικές δυνάμεις ισορροπίας. Αυτές οι δυνάμεις δίνονται για κάθε στοιχείο από τη σχέση: B dvol P 1 βήμα 6ο: Επιλύεται το πρόβλημα με πεπερασμένα στοιχεία με χρήση των αρχικών ελαστικών σταθερών και των φορτίων {P} και προκύπτουν οι {Δσ } και {Δε }. βήμα 7ο: Επαναλαμβάνονται τα βήματα έως ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΔΙΑΡΡΟΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Όπως ήδη αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο, το κριτήριο διαρροής επηρεάζει σημαντικά την διατύπωση του μη γραμμικού προβλήματος. Στην παρούσα παράγραφο εξετάζεται η επιρροή της γεωμετρίας της επιφάνειας διαρροής τόσο στη διατύπωση όσο και στην επίλυση του ελαστοπλαστικού προβλήματος Γωνίες σε μία επιφάνεια διαρροής Συμβαίνει συχνά, η επιφάνεια διαρροής να μην καθορίζεται από μία μόνο συνεχή (και κυρτή) συνάρτηση, αλλά από μία σειρά συναρτήσεων: f 1,f,...f n Σύμφωνα με τον Koiter [8] οι επιφάνειες αυτής της μορφής καλούνται ιδιόμορφες (singular). Ως τέτοιες μπορούν να αναφερθούν η επιφάνεια διαρροής του resca και η προταθείσα το 1985 για την τοιχοποιία επιφάνεια των τριών αλληλοτεμνομένων κώνων των Dhanasekar, Page και Kleeman [4]. Για τη διατύπωση των εξισώσεων της ελαστοπλαστικότητας για τις ιδιόμορφες επιφάνειες ακολουθείται η ίδια διαδικασία της παραγράφου 3 με μόνη εξαίρεση τις γωνίες των ιδιόμορφων επιφανειών όπου ισχύει η συνθήκη f h = = f m = 0.. Για τα ιδιόμορφα αυτά σημεία έχει προταθεί από τον Koiter [8] να γίνεται χρήση της παρακάτω σχέσης για την αύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης σε σχέση με την επιφάνεια διαρροής, αντί της σχέσης (3.3):

6 14 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1-, 1 0 d p διαρροής ανισότροπων τοιχοποιιών (Syrmakezis & Asteris 001) [15] μέσω μίας ομαλής (regular) επιφάνειας, δηλαδή μίας επιφάνειας που καθορίζεται από μία μόνον εξίσωση της μορφής f(σ) = 0 (Koiter, 1953) [8]. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, ως κριτήριο διαρροής κατάλληλο για ανισότροπα υλικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα τανυστικό πολυώνυμο. Συγκεκριμένα, η επιφάνεια διαρροής μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση: 0 F F F 1 0 (5.) i i ij i j ijk i j k 1, 1 Σχήμα 3: Γωνίες σε μία επιφάνεια διαρροής. Γραφική ερμηνεία του κριτηρίου του Koiter. Figure 3: Corners in a yield surface. Graphical interpretation of Koiter s criterion. h m d p h... m (5.1) h m όπου λ i είναι θετικές σταθερές (σχήμα 3). Διαδικασίες ανάλογες με αυτές της παραγράφου 3 θα δώσουν νέες μορφές για το ελαστοπλαστικό μητρώο εφαρμόσιμες σε τέτοιες γωνίες. Σύμφωνα με τους Zienkiewicz, Valliapan και King [19], η χρήση ιδιόμορφων επιφανειών εισάγει σημαντικά προβλήματα στην ελαστοπλαστική ανάλυση. Μάλιστα οι ερευνητές προτείνουν να αποφεύγεται ο υπολογισμός ιδιόμορφων σημείων σε επιφάνειες διαρροής και προτείνουν τη χρήση μίας συνεχούς επιφάνειας η οποία να μπορεί να αναπαραστήσει με ένα καλό βαθμό ακριβείας τις αληθείς συνθήκες. Σύμφωνα με τους Τσαμασφύρο και Θεοτόκογλου [17] το κριτήριο του Von Mises υπερτερεί έναντι του κριτηρίου του resca, αν και ορίζουν περίπου την ίδια περιοχή, κατά το γεγονός ότι έχει το πλεονέκτημα να είναι μία συνεχής συνάρτηση (ομαλή επιφάνεια) ενώ το κριτήριο του resca εμφανίζει γωνιακά σημεία, όπου υπάρχει ασυνέχεια της κλίσης (ιδιόμορφη επιφάνεια). 5.. Ομαλή επιφάνεια διαρροής Λαμβάνοντας υπόψη τα υπολογιστικά προβλήματα που υπεισέρχονται κατά τη διατύπωση και την επίλυση του μη γραμμικού προβλήματος με χρήση ιδιόμορφων επιφανειών διαρροής, στην παρούσα παράγραφο θα χρησιμοποιηθεί μία νέα μέθοδος που έχει προταθεί για τον καθορισμό της όπου i, j, k δείκτες με τιμές 1,,..., 6, ( = 1,,..., 6) οι συνιστώσες της τάσης, και F i, F ij, F ijk προσδιοριστέοι συντελεστές των τανυστών. Προφανώς, για τιμές ƒ <0 δεν υπάρχει διαρροή, ενώ για ƒ( ) >0 η διαρροή έχει ήδη λάβει χώρα. Επιλέγονται γενικά ως συνιστώσες της τάσης σ 1, σ, σ 3 οι ορθές τάσεις και ως σ 4, σ 5, σ 6 αντίστοιχα οι διατμητικές. Έτσι, στην επίπεδη εντατική κατάσταση που εξετάζεται, θα υπάρχουν οι τρεις μόνον συνιστώσες της τάσης σ 1, σ, σ 6 (i, j, k = 1, και 6), που αντιστοιχούν στις τάσεις σ xx, σ yy, τ. Στην περίπτωση αυτή, με διατήρηση των τριών μόνο πρώτων όρων της εξίσωσης (5.) (τανυστικό πολυώνυμο 3ης τάξης) και με κατάλληλες παραδοχές (Wu and Scheublein 1974, Syrmakezis & Asteris 001) [18], [15] η εξίσωση (5.) γράφεται: x, y, F 1 x F y F 11 x F y F66 (5.3) F 1 x y 3F 11 x y 3F 1 x y 3F166 x 3F66 y 1 0 Εάν στην εξίσωση (5.3) παραλείψουμε χάριν απλοποίησης, τους όρους των τριπλών δεικτών, η επιφάνεια διαρροής απλοποιείται στη μορφή:,, F F F F F x y 1 x y 11 F1 x y 1 0 x y 66 (5.4) Υπό την απλοποιημένη αυτή μορφή το κριτήριο εφαρμόστηκε ήδη μέχρι σήμερα στην τοιχοποιία (Dhanasekar, Page and Kleeman 1985, Scarpas 1991, Andreaus 1996, Συρμακέζης & Αστερής 1999) [4], [13], [], [14]. Για τον υπολογισμό των σταθερών F 1, F, F 11, F, F 66, έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι υπολογισμού μέχρι σήμερα. Σε όλες τις προτάσεις οι πέντε πρώτες σταθερές F 1, F, F 11, F, F 66 υπολογίζονται πειραματικά από τις τιμές των

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1-15 μονοαξονικών (εφελκυστικών και θλιπτικών) τάσεων αστοχίας κατά μήκος των αξόνων x και y και των διατμητικών τάσεων αστοχίας στο επίπεδο xy (sai and Wu 1971, Jiang and ennyson 1989) [16] [7]. Οι εναπομένουσες σταθερές F 1, F 11, F 1, F 166 και F 66 υπολογίζονται με χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, κατά τρόπον τέτοιο ώστε η προκύπτουσα επιφάνεια να είναι κλειστή, δηλαδή να εξασφαλίζεται θετική καμπυλότητα σε όλα τα σημεία αυτής (Syrmakezis & Asteris 001) [15]. Κατά συνέπεια η έκφραση (3.9) του διανύσματος ροής δίδεται για μεν την περίπτωση του γενικευμένου κριτηρίου διαρροής (5.3) από τη σχέση: F1 F11x F1 y 6F11xy 3F 1 y 3F166 x F F y F1 x 3F11 X (5.5) y 6F 1 x y 3F66 F 66 6F166 x 6F66 y Αξίζει να σημειωθεί ότι και αρκετοί άλλοι ερευνητές έχουν χρησιμοποιήσει το πρόγραμμα των Owen & Hinton ως βάση για τον σχεδιασμό προγραμμάτων μη γραμμικής ανάλυσης τοιχοποιιών. Στα πιο χαρακτηριστικά συγκαταλέγεται το πρόγραμμα μη γραμμικής ανάλυσης τοιχοποιιών που σχεδιάσθηκε το 1996 από τον Andreaus []. Στα κυριότερα μειονεκτήματα του προγράμματος των Owen & Hinton συμπεριλαμβάνονται αφενός μεν η ισότροπη θεώρηση του υλικού και αφετέρου η χρήση ισότροπων κριτηρίων διαρροής. Στο πρόγραμμα της παρούσας εργασίας, λαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω αδυναμίες του προγράμματος PLAS, γίνεται θεώρηση ανισότροπης συμπεριφοράς του υλικού, καθώς επίσης και χρήση ανισότροπων και μάλιστα ομαλών επιφανειών διαρροής (εξισώσεις 5.3 και 5.4). Επιπρόσθετα, κατά τον σχεδιασμό του προγράμματος δόθηκε ιδιαίτερη βαρύτητα στη γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης. Μέσω του προγράμματος παράγονται, εκτός από τα γνωστά διαγράμματα δύναμης-μετατόπισης, έγχρωμες γραφικές απεικονίσεις του τρόπου εξέλιξης της διαρροής με διάκριση αυτής ανάλογα προς το είδος της έντασης για την οποία λαμβάνει χώρα. ενώ για την περίπτωση του απλοποιημένου κριτηρίου (5.4) από τη σχέση: x F1 F11 F F y F 6. ΕΦΑΡΜΟΓΗ x y 66 F F 1 1 y x (5.6) Με σκοπό την αναίρεση των προβλημάτων από τη χρήση ετοίμων προγραμμάτων και σε εφαρμογή των προτάσεων της παρούσας εργασίας σχεδιάσθηκε σε γλώσσα προγραμματισμού FORRAN ένα νέο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων με σκοπό την ανάλυση ανισότροπων μη γραμμικών τοιχοποιιών. Κατά το σχεδιασμό του προγράμματος έγινε χρήση των ήδη υπαρχουσών βιβλιοθηκών του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων PLAS των Owen & Hinton [9] Πρώτη εφαρμογή Με χρήση του προγράμματος αυτού, μελετάται η μη γραμμική συμπεριφορά ενός επιπέδου ορθογωνικού δίσκου τοιχοποιίας με ανοίγματα, ο οποίος υποβάλλεται σε ομοιόμορφο θλιπτικό και διατμητικό φορτίο (σχήμα 4) με βάση τις παρακάτω θεωρήσεις: χρήση ίσο-παραμετρικών τετραπλευρικών στοιχείων διαστάσεων 1.00 m 1.00 m, βήμα μεταβολής της φόρτισης σταθερό και ίσο με 0.1 MPa, ισότροπη ελαστοπλαστική ανάλυση (μέτρο ελαστικότητας E=5700 MPa και λόγος του Poisson ν=0.19), και χρήση του κριτηρίου διαρροής τόσο του απλοποιημένου (5.4) όσο και του γενικευμένου τανυστικού πολυωνύμου (5.3). Για τα μηχανικά χαρακτηριστικά της τοιχοποιίας έχει γίνει χρήση των πειραματικών αποτελεσμάτων των Dhanasekar, Page και Kleeman [4]. Με χρήση των πειραματικών αυτών αποτελεσμάτων έχουν προσδιορισθεί [14][15] οι ομαλές επιφάνειες διαρροής, τόσο για την περίπτωση του γενικευμένου κριτηρίου (5.3) μέσω της εξίσωσης:.7 x 9.87 y x 1.3 y 6.5 (6.1) 0.30 x y x y x y x y 1

8 16 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1- p=0.1 MPa q=0.1 MPa όσο και για την περίπτωση του απλοποιημένου κριτηρίου (5.4) που περιγράφεται από την εξίσωση: H=3.00 m.7 x 9.87 y x 1.3 y (6.) xy 1 L=5.00 m Σχήμα 4: Επίπεδος ορθογωνικός δίσκος τοιχοποιίας με ανοίγματα υπό ομοιόμορφη κατανεμημένη θλιπτική και διατμητική φόρτιση. Figure 4: Plane masonry wall with openings under uniform compressive and shear loading. =3.5 =3.0 =1.5 =.5 =.0 =0.0 Σχήμα 5: Επιφάνεια διαρροής τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων [15]. Figure 5: Yield surface of masonry in normal stress terms [15]. Στο σχήμα 5 έχει σχεδιασθεί η επιφάνεια διαρροής της τοιχοποιίας σε όρους ορθών τάσεων, η οποία αντιστοιχεί στην περίπτωση του γενικευμένου τανυστικού πολυωνύμου (6.1). Στο σχήμα 6 έχουν σχεδιασθεί -για το ίδιο υλικό της τοιχοποιίας- οι καμπύλες διαρροής σε όρους κυρίων τάσεων για γωνία θ=45 τόσο για το γενικευμένο κριτήριο διαρροής (6.1), όσο και για το απλοποιημένο (6.). Από το σχήμα αυτό προκύπτει ότι το γενικευμένο κριτήριο προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά αποτελέσματα του Page [10] από ό,τι το απλοποιημένο κριτήριο. Στο σχήμα 7 έχει σχεδιασθεί το διάγραμμα του συντελεστή φόρτισης λ-μετατοπίσεων τόσο με χρήση του απλοποιημένου όσο και του γενικευμένου κριτηρίου διαρροής. Από το σχήμα αυτό προκύπτει ότι η (μη γραμμική) συμπεριφορά των τοιχοποιιών επηρεάζεται σημαντικά από το κριτήριο διαρροής. Αξίζει να σημειωθεί ότι ή έντονη αυτή διαφοροποίηση εμφανίζεται κατά τη μελέτη του υπόψη τοίχου παρά το γεγονός ότι και για τα δύο κριτήρια έχουν ληφθεί υπόψη τα ίδια μηχανικά χαρακτηριστικά για την τοιχοποιία (ίδιες μονό-αξονικές θλιπτικές και εφελκυστικές αντοχές, καθώς επίσης και ίδια αντοχή σε καθαρή διάτμηση). B A. µ (6.1) * Experimental results by Page [10] General model (Equation 6.1) Simplified model (Equation 6.) Σχήμα 6: Καμπύλη διαρροής τοιχοποιίας σε όρους κυρίων τάσεων για θ=45 [15]. Figure 6: Yield curve of masonry in principal stress terms forθ=45 [15].. µ (6.) Σχήμα 7: Διάγραμμα συντελεστή φόρτισης λ-μετατοπίσεων. Figure 7: Load factor-displacement diagram.

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1-17 Με χρήση του υπόψη προγράμματος παράγονται, εκτός από τα γνωστά διαγράμματα δύναμης-μετατόπισης (σχήμα 7), και έγχρωμες γραφικές απεικονίσεις (σχήματα 8) του τρόπου εξέλιξης της διαρροής. Διακρίνεται μάλιστα και το είδος της έντασης για την οποία λαμβάνει χώρα η διαρροή (διαξονική θλιπτική, εφελκυστική ή ετερόσημη ένταση). Η γραφική απεικόνιση της διαρρέουσας επιφάνειας καθιστά ευκολότερη την ερμηνεία και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης. Με παρατήρηση της εξέλιξης της διαρροής που απεικονίζεται στα σχήματα 8 σε συνδυασμό με το διάγραμμα φόρτισης-μετατοπίσεων του σχήματος 7, διαπιστώνεται σε πρώτο στάδιο ότι για τιμές του συντελεστή λ 1.50 (ελαστική συμπεριφορά) λαμβάνει χώρα διαρροή υπό διαξονικό εφελκυσμό (κόκκινο χρώμα στα σχήματα 8) στην περιοχή περί το κάτω μέρος της αριστερής παρειάς του τοίχου ενώ για τιμές του συντελεστή λ>1.50 (ελαστοπλαστική συμπεριφορά) έχουμε μετάβαση σε διαρροή υπό ετερόσημη ένταση. Στο σημείο αυτό αξίζει να επιχειρηθεί ένας επιπρόσθετος σχολιασμός (μία φυσική ερμηνεία) της μετάβασης από τον διαξονικό εφελκυσμό (κόκκινο της τρίτης εικόνας του σχήματος 8) στην ετερόσημη ένταση (πράσινο στην τέταρτη εικόνα του ιδίου σχήματος). Η μετάβαση αυτή δηλώνει ότι κάποιο ρήγμα εφελκυσμού επιτρέπεται να κλείσει και μάλιστα σε βαθμό ανάλογο με τη θέση στην οποία βρίσκεται η αντίστοιχη ένταση αυτού επί της επιφάνειας διαρροής. Η θέση της έντασης ενός σημείου επί της επιφάνειας διαρροής είναι καθοριστική για το μέγεθος και το είδος της εντατικής κατάστασης που μπορεί να αναπτυχθεί/παραληφθεί. Αυτή η δυνατότητα μετάβασης από μία εντατική κατάσταση σε μία άλλη και μάλιστα χωρίς περιορισμούς αποτελεί ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα της προτεινόμενης μεθοδολογίας λαμβάνοντας υπόψη ότι πρόκειται για μακροσκοπική και μάλιστα μονοφασική προσομοίωση της τοιχοποιίας. 6.. Δεύτερη εφαρμογή : µ : µ : : Σχήμα 8: Διαδοχικές απεικονίσεις της εξέλιξης της διαρροής. Figure 8: Successive representations of yield pattern. Με χρήση του ιδίου προγράμματος, μελετάται η κατανομή των κατακόρυφων τάσεων της υψίκορμης δοκού τοιχοποιίας (σχήμα 9) η οποία και έχει μελετηθεί πειραματικά από τον Page το 1978 [11]. Ειδικότερα διερευνάται η κατανομή των κατακόρυφων τάσεων στο επίπεδο Α-Α της υψίκορμης δοκού του σχήματος 9 η οποία έχει μελετηθεί πειραματικά από τον Page το 1978 [11]. Η υψίκορμη δοκός ήταν διαστάσεων 757 mm Χ 457 mm Χ 54 mm και είχε κατασκευασθεί από συμπαγή τούβλα διαστάσεων 1 mm Χ 37 mm Χ 54 mm με αρμό πάχους 5 mm και σύνθεσης 1 : 1 : 6 (τσιμέντο: άσβεστος: άμμος, κατ όγκο). Η δοκός θεωρείται πακτωμένη στη βάσητης σε πλάτος 188 mm σε κάθε άκρο της.

10 18 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1- P Jack P Κατά την ανάλυση έγιναν οι παρακάτω θεωρήσεις: χρήση ίσο-παραμετρικών τετραπλευρικών στοιχείων διαστάσεων mm mm, βήμα μεταβολής της φόρτισης σταθερό και ίσο με 5 kn, και ισότροπη ελαστοπλαστική ανάλυση (μέτρο ελαστικότητας E=4700 MPa και λόγος του Poisson ν=0.0). A A Στο σχήμα 10 συγκρίνονται οι κατανομές των προκυπτουσών αναλυτικών τιμών των τάσεων στο επίπεδο Α-Α για τιμή του φορτίου P=80 kn τόσο για την περίπτωση ελαστικής όσο και μη ελαστικής ανάλυσης με τις αντίστοιχες πειραματικές τιμές του Page [11]. Με βάση το σχήμα αυτό αφενός προκύπτει ικανοποιητική σύγκλιση των πειραματικών αποτελεσμάτων με τα αντίστοιχα της μη γραμμικής ανάλυσης και αφετέρου καταδεικνύεται η έντονη μη γραμμική συμπεριφορά της υψίκορμης δοκού τοιχοποιίας. Regid supports : Gauge positions 7. ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Σχήμα 9: Γενική διάταξη της δοκιμής σε υψίκορμη δοκό τοιχοποιίας (Page 1978) [11]. Figure 9: General arrangement of masonry deep beam test (Page 1978) [11]. P=80 kn Experimental (Page,1978) Inelastic analysis Elastic analysis Για την πληρότητα της διερεύνησης της συμπεριφοράς της τοιχοποιίας απαιτείται και ο προσδιορισμός του φθίνοντα κλάδου του διαγράμματος δύναμης-μετατόπισης. Για την προσομοίωση του φθίνοντα κλάδου απαιτείται ο προσδιορισμός ενός συντελεστή συστολής της επιφάνειας διαρροής μετά το μέγιστο. Η εισαγωγή ενός τέτοιου συντελεστή συστολής είναι δυσχερής, καθώς απαιτείται διαφορετικός συντελεστής συστολής για κάθε ένα στοιχείο που έχει διαρρεύσει και μάλιστα ανάλογος του είδους και του μεγέθους της διαρροής. Ήδη διερευνάται η δυνατότητα καθορισμού του συντελεστή συστολής ανάλογα με το είδος της διαρροής που λαμβάνει χώρα, καθώς επίσης και με τον τρόπο μετάβασης της διαρροής από μία εντατική κατάσταση σε μία άλλη. 8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Half panel width Σχήμα 10: Κατανομή των κατακόρυφων τάσεων σε υψίκορμη δοκό τοιχοποιίας. Figure 10: Vertical stresses distributions in masonry deep beam. CL Στην παρούσα εργασία παρουσιάσθηκαν τα πρώτα αποτελέσματα μίας νέας πρότασης για τη μη γραμμική (ελαστοπλαστική) ανάλυση ανισότροπων τοιχοποιιών υπό διαξονική ένταση. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στη διατύπωση/ προσδιορισμό της επιφάνειας διαρροής ανισότροπων τοιχοποιιών υπό επίπεδη εντατική κατάσταση καθώς επίσης και στην αριθμητική μέθοδο επίλυσης του μη γραμμικού προβλήματος. Ειδικότερα για τον προσδιορισμό της επιφάνειας διαρροής γίνεται χρήση ενός κυβικού τανυστικού πολυωνύμου ενώ για την επίλυση του ελαστοπλαστικού προβλήματος γίνεται χρήση της μεθόδου των αρχικών τάσεων. Στα κυριότερα πλεονεκτήματα της παρούσας πρότασης συγκαταλέγονται τα παρακάτω: η διατύπωση των εξισώσεων της πλαστικότητας μέσω της ομαλής (ενιαίας) επιφάνειας έχει ως αποτέλεσμα την εξάλειψη του προβλήματος που εμφανίζεται από τη χρήση μη ομαλών (ιδιόμορφων) επιφανειών, και

11 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1-19 η μη γραμμική συμπεριφορά της τοιχοποιίας είναι κρίσιμα εξαρτώμενη από την επιφάνεια διαρροής. Οι συγγραφείς με βάση τα πρώτα αποτελέσματα θεωρούν ιδιαίτερα χρήσιμες τις παραγόμενες γραφικές απεικονίσεις της εξέλιξης της διαρροής και τούτο αφενός διότι μας παρέχουν χρήσιμες πληροφορίες για την τοπολογία της διαρροής και αφετέρου διότι καθιστούν ευκολότερο τον έλεγχο αξιοπιστίας και την ερμηνεία των γνωστών διαγραμμάτων δύναμης-μετατόπισης. 17. Τσαμασφύρος, Γ., Θεοτόκογλου, Ε. Ε., Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, Εκδόσεις Συμεών, Wu, E. M., and Scheublein J. K., Laminate Strength - A Direct Characterization Procedure, Composite materials: esting and Design (hird Conference), ASM SP 546, American Society for esting and Materials, 1974, pp Zienkiewicz, O. C., Valliapan, S. and King, I. P., Elasto-plastic solutions of engineering problems; Initial stress finite element approach, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1969, Vol. 1, pp ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Andreaus, U., and Ippoliti, L., A two-storey masonry wall under monotonic loading: a comparison between experimental and numerical results, Proceedings of the 4th International conference on structural studies of historical buildings, Crete, Greece, 1995, pp Andreaus, U., Failure criteria for masonry panels under in-plane loading, Journal of Structural Engineering, (ASCE), Vol. 1, No. 1, 1996, Ballio, G., Calvi, M., and Magenes, G., Experimental and numerical investigation on a brick masonry building prototype, Reports 1.1,.0, 3.0, Consiglio Nazionale delle Ricerche, Gruppo Nazionale per la Difesa dai erremoti, Italy, Dhanasekar, M., Page, A. W., and Kleeman, P. W., he failure of brick masonry under biaxial stresses, Proc. Instn Civ. Engnrs, London, England, Part, Vol. 79, 1985, Drucker, D. C., A more fundamental approach to plastic stressstrain solutions, Proceedings of the 1st U. S. natn. Cong. Appl. Mech., 1951, pp Hill, R., he Mathematical heory of Plasticity, Oxford University Press, Jiang, Z., and ennyson, R. C., Closure of the cubic tensor polynomial failure surface, Journal of Composite Materials, Vol. 3, 1989, pp Koiter, W.., Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic materials with a singular yield surface, Quarterly of applied mathematics, Vol. XI, 1953, pp Owen, D. R. J., and Hinton, E., Finite Elements in Plasticity: heory and Practice, Pineridge Press Ltd., Swansea, U.K, Page A. W., he biaxial compressive strength of brick masonry, Proc. Instn Civ. Engrs, Part, Vol. 71, Sept., 1981, pp Page A. W., Finite element model for masonry, Journal of the Structural Division; American Society of Civil Engieers (ASCE), Vol. 104, No. S8, 1978, pp Prager, W., A new method of analyzing stress and strain in work hardening plastic solids, Revue Méc. Appl., Buc., 3, 1956, pp Scarpas A., Non-local Plasticity Softening Model for Brittle Materials / Experimental Evidence / Analytical Modelling / Preliminary Results, Research Report, Laboratory of Reinforced Concrete, National echnical University of Athens, Συρμακέζης, Κ. Α., Αστερής, Π. Γ., «Επιφάνεια αστοχίας τοιχοποιίας υπό διαξονική ένταση», Τεχνικά Χρονικά, Επιστημονική Έκδοση Τεχνικού Επιμελητηρίου Ελλάδας, σειρά Ι, 1999, τόμος 19, τεύχος 1-, σελ Syrmakezis, C. A., and Asteris, P. G., Masonry Failure Criterion Under Biaxial Stress State, Journal of Materials in Civil Engineering; American Society of Civil Engieers (ASCE), Vol. 13, Issue 1, 001, pp sai, S. W., and Wu E. M., A general failure criterion for anisotropic materials, Journal of Composite Materials, Vol. 5, 1971, pp Π. Γ. Αστερής Δρ Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π., Δημητρίου Μόσχα 4, Μαρούσι. asteris@teiath.gr

12 0 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1- Extended summary Non-Linear Analysis of Masonry Under Biaxial Stress P. G. ASERIS Dr Civil Engineer N..U.A. Abstract In this paper, a new methodology is presented for the non-linear (elasto-plastic) analysis of anisotropic masonry wall under biaxial stress. he methodology focuses on the definition / specification of the yield surface for the case of anisotropic masonry under biaxial stress, as well as on the numerical solution of this nonlinear problem. Specifically, in order to define the yield surface we use a cubic tensor polynomial, whereas we use the initial stress method in order to solve the elasto-plastic problem. In addition, novel computer code of finite elements was developed in order to apply the method of elasto-plastic analysis of plane masonry wall, which takes account of its particularly intense anisotropic behavior. Using classical and analytical data we were able to validate the application of the proposed method. 1. INRODUCION In the present work we outline the basic assumptions and associated mathematical expressions for the theory of plasticity, giving special attention to the case of masonry. More specifically, in order to formulate the quantitative expressions of the mathematical theory of plasticity, a new analytical method for the description of the yield of the anisotropic masonry via a regular surface, that is, a surface defined by a single equation of the form f(σ)=0 (Koiter, 1953) [8], has been used. he significance of the use of a regular yield surface has been known since 1950, when Hill introduced it in his book he Mathematical heory of Plasticity [6]. he theory of plasticity through a closed yield surface must deal with the existence of singular points on the yield surface. his problem imposes additional computational difficulties in the non-linear analysis procedure (Zienkiewcz, Valliapan and King 1969) [19]. An additional problem of the non-linear behavior analysis of masonry today (Andreaus & Ippoliti 1995, Ballio, Calvi & Magenes 199) [1] [3] is the use of ready made analysis software packages that have been developed for the case of concrete, and the use an of isotropic and non regular yield surface during the procedure of formulation of the elasto-plastic matrix. Although many software packages are available, only a small number can be considered Submitted: Feb Accepted: Jun appropriate for application to masonry, and an even smaller number can be considered appropriate in the case of the anisotropic response of masonry. he basic disadvantage of these ready-made software packages is that their architecture is not amenable to modifications in order to take into account some important assumptions, which are valid for the case of masonry. o overcome these problems, new computer code, in FORRAN programming language, was developed. he code can be applied to elasto-plastic anisotropic masonry wall under plane stress. Special attention was given, during the development procedure to graphic imaging of the analysis results. he software also has the capability of automatically producing not only the load-displacement diagram, but also the graphic images of the yield process, which are colored according to the kind of stress under which yield takes places.. HE MAHEMAICAL HEORY OF PLASICIY he objective of the mathematical theory of plasticity is to provide a comprehensive theoretical description of the relationship between stress and strain for a material that exhibits an elasto-plastic response. In order to formulate such a theoretical description, able to model elasto-plastic material deformation, three requirements have to be addressed: An explicit relationship between stress and strain that will describe the material s behavior under elastic conditions. A yield criterion that will define the stress level at which plastic flow commences must be postulated. A relationship between stress and strain must be developed for post-yield behavio, i.e. when the deformation is made up of both elastic and plastic components. he relationship between stress and strain before the onset of plastic yielding is given by the standard linear elastic expression (3.1). In this expression σ and ε are the stress and strain components, respectively, and D is the elasticity matrix.

13 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No he yield criterion he yield criterion defines the stress level at which plastic deformation begins and takes the form of equation (3.) where f is a function. he geometry of the yield surface tends to have a significant influence not only on the formulation, but also on the numerical solution of the non-linear problem, as we will show in the next paragraph where we will present in detail all the problems relevant to the estimation of elasto-plastic matrix... Plastic flow Rule Von Mises first suggested, in 198, the basic constitutive relation that defines the plastic strain increments in relation to the yield surface. Various other researchers (Drucker 1951), (Prager 1956) [5] [1] have proposed heuristic methods for the validation of Von Mises proposed relationship. hese methods have ledt to the current state-of-the-art hypothesis, which states that: If δ{ε} p denotes the increment of plastic strain, then a representation (3.3) is applied where λ is a determinable constant (plastic multiplier). his rule is widely known as the normality principle because the relation (3.3) can be interpreted as requiring the normality of the plastic strain increment vector to the yield surface in the hyper-space of ν stress dimensions. In Figure 1 this normality is shown in the case of a two dimensional space..3. Stress strain relations During an infinitesimal increment of stress, changes of strain are assumed to be partly elastic and partly plastic (3.4). he elastic strain increments are related to the stress increments via a symmetric matrix of constants [D] known as the elasticity matrix (3.5)..4. Elasto-plastic matrix Zienkiewicz, Valliapan and King [19] proposed in 1969 the method of initial stress, which can calculate an elasto-plastic problem based on a series of successive approximations. In the first place, during a load increment, a purely elastic problem is solved determining an increment of strain and the relevant increment of stress at every point of construction. he non-linearity of the problem implies, however, that for the increment of strain found, the stress increment will in general not be correct. If is the real increment of stress for the given strain, then the situation can only be maintained by a set of body forces equilibrating the initial stress system. At the second step of the computation we can remove all previous body forces by allowing the structure (with unchanged elastic properties) to have a new deformation. In this way, additional new strain, and the corresponding stress increments, will be caused. However these are most likely to exceed those permissible by the non-linear relationship and the redistribution of equilibrating body forces has to be repeated. If the process converges then finally within an increment the full non-linear compatibility and equilibrium conditions will be satisfied just as they are in an incremental elasticity solution. As all applications show, this convergence is very fast and three or four cycles of redistribution (iteration) are sufficient in any increment. In order to follow the flow rules of plasticity, we must apply a series of load increments. If, however, a single load increment is used, it will be found that an approximate lower bound is achieved, satisfying equilibrium and yield criteria but not necessarily following the current strain development. 4. YIELD SURFACE GEOMERY EFFEC IN SOLVING A NON-LINEAR PROBLEM As we have already mentioned in the previous paragraph the yield criterion affects the formulation of the non-linear problem. In this paragraph we will describe the yield surface geometry effect in the formulation and the numerical solution of the elasto-plastic problem Corners in a yield surface When plastic yield occurs, the stresses are on the yield surface given by equation (3.). Differentiating this relation and usinge all previous expressions, we derive the elastoplastic matrix in the form (3.14). 3. HE MEHOD OF INIIAL SRESS FOR HE SOLUION OF HE ELASO- PLASIC PROBLEM Sometimes the yield surface is not defined only a single continuous (and convex) function, but by a series of functions. According to Koiter [8], a surface of this kind is called singular. Such a surface is the yield surface of resca and the aforementioned surface in 1985 about the masonry in three mutually intersected cones of Dhanasekar, Page, and Kleeman [4]. According to Zienkiewicz, Valliapan, and King [19], the

14 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1- use of singular areas poses important problems for the elastoplastic analysis process. he researchers propose to avoid calculating the singular points in a yield surface by a suitable choice of continuous surfaces, which usually can represent the true conditions with a good degree of accuracy. According to samasfyros and heotokoglou [17], Von Mises criterion surpasses resca s criterion, though both define the same area, in that the first has the advantage of represent a continuous surface (regular surface) while resca s criterion shows singular points with a discontinuity in slope (singular surface). 4.. Regular yield surface Having in mind the computational problems introduced during the formulation and the numerical solution of the non linear problem using singular yield surfaces, we will use a new method in order to define the yielding for the case of anisotropic masonry (Syrmakezis & Asteris 001) [15] via a regular surface, that is, a surface defined by a single equation of the form f (σ)=0 (Koiter, 1953) [8]. 5. APPLICAION In order to implement the method, a specific computer program for a D non-linear finite element analysis of masonry plane wall under monotonic static loads was developed. During the development procedure use was made of the ready-made databanks of Owen & Hinton PLAS computer code [9]. It must be mentioned that many other researchers have used Owen & Hinton software in order to develop non-linear software for the analysis of masonry. he most representative is a non-linear analysis computer code developed in 1996 by Adreaus []. he main disadvantages of the Owen & Hinton software are the isotropic consideration of the materials and the use of isotropic yield criteria. he software used in the present research, overcomes the above mentioned disadvantages of PLAS, and is appropriate to model the anisotropic behavior of the materials, allowing the use of anisotropic and regular yield surface (5.3 and 5.4). During the development phase we gave special attention to the graphic representation of the analysis results. Also, with this software we can produce not only the load displacement diagram, but also the graphic images of the yield process, colored according to the kind of stress (yield under biaxial compressive, tensile or heterosemous stress). In particular, using this computer program, we studied the non-linear behavior of a plane masonry wall with openings under uniform compressive and shear loading (Figure 4) with the following assumptions: he loads are uniformly distributed at the wall top; the reference load amplitude in both directions is assumed to equal 0.1 MPa and the load factor increment is equal to 0.1. he masonry wall has been discretized by means of fournode isoparametric quadrilateral elements, whose length is 1.00 m. Isotropic linearly elastic behaviour has been assumed for masonry material in the purely elastic range, with Young s modulus E=5700 MPa and Poisson s ratio ν=0.19. he use of both a simple and a general yield criterion. For the mechanical characteristics of the masonry, we used the experimental results of Dhanasekar, Page, and Kleeman [4]. With the same results we defined [14] [15] the regular yield surface for the case of a general criterion (5.3), as well as for the case of a simple criterion (5.4). Figure 7 shows the load factor λ displacement diagram using a simple and a general yield. It is clear that the nonlinear behavior of masonry is affected by the yield criterion. It must be noted that this strong variation appeared during the study of this wall, although both criteria have the same mechanical masonry characteristics (same mono-axial compressive and tensile strength as well as the same strength in pure shear) With this software we can produce not only the load displacement diagram (Fig. 7), but also the graphic images of the yield process (Fig. 8), which are colored according to the kind of stress (yield under biaxial compressive, tensile or heterosemous stress). hese graphic representations are especially useful, not only because of the information they give, but also because of the validation they provide. Vertical stress distributions at level A-A (see Figure 9), obtained from experiments performed by Page [11], were compared to the results obtained using the proposed methodology. Stress distributions at one level of applied load, P, are shown in Figure 10. Results obtained from a conventional finite element analysis, with the masonry modelled as a continuum with average properties and isotropic elastic behaviour, are also included. Clearly, there is a good agreement between the results of the present inelastic analysis and the experimental results. It is also clear that the elastic solution deviates grossly from both experimental and the inelastic results, and this confirms that material behaviour is significantly non-linear, especially that of the mortar joints. 6. CONCLUSIONS he present research shows a new methodology for the non-linear (elastoplastic) D finite element analysis of anisotropic masonry under monotonic loads. he methodology focuses on the definition / specification of the yield surface for the case of anisotropic masonry under biaxial stress state, as well as on the numerical solution of this non-linear problem. Specifically, in order to define the yield surface we use a cubic tensor polynomial, whereas

15 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ , ech. Chron. Sci. J. CG, I, No 1-3 we use the initial stress method in order to solve the elastoplastic problem. In addition, novel computer code of finite elements was developed in order to apply the method of elasto-plastic analysis of plane masonry wall, which takes account of its particularly intense anisotropic behavior. he main advantages of the method can be summarized as follows: he plasticity equations through a regular surface leads to the elimination of the problem that occurs when using a singular surface, and he non-linear behavior of masonry is strongly affected by the yield criterion. P. G. Asteris Dr Civil Engineer N..U.A., 4, Dimitriou Moscha Str., Marousi GR-151 4, Athens, Greece, asteris@teiath.gr